अध्याय 10 रचनाएँ ;।द्ध मुख्य अवधरणाएँ और परिणाम ऽ एक रेखाखंड का अंातरिक रूप से एक दियेे हुए अनुपात में विभाजन। ऽ एक दिये हुए त्रिाभुज के समरूप एक दिये हुए स्केल गुणक के अनुसार त्रिाभुज की रचना करना,जहाँ स्केल गुणक 1 से छोटा हो सकता है या 1 से बड़ा भी हो सकता है। ऽ किसी बाहरी ¯बदु से वृत्त पर स्पशर् रेखाओं के एक युग्म की रचना करना। ;ठद्ध बहु विकल्पीय प्रश्न दिये हुए चार विकल्पों में से सही उत्तर चुनिए: प्रतिदशर् प्रश्न 1 रू एक रेखाखंड ।ठ को च रू ु के अनुपात में विभाजित करने के लिए ;यहाँ च और ु धनात्मक पूणा±क हैंद्ध, एक किरण ।ग् खींचिए ताकि ∠ठ।ग् एक न्यून कोण हो। पिफर किरण ।ग् पर समान दूरियों पर इतने ¯बदु अंकित कीजिए कि इन ¯बदुओं की न्यूनतम संख्या हो ;।द्ध च और ु में से बड़ी ;ठद्ध च ़ ु ;ब्द्ध च ़ ु दृ 1 ;क्द्ध चु हल रू उत्तर ;ठद्ध प्रतिदशर् प्रश्न 2ः किसी वृत्त पर स्पशर् रेखाओं का ऐसा युग्म खींचने के लिए कि उनके बीच का कोण 35° हो, उन दो त्रिाज्याओं के सिरों पर स्पशर् रेखाएँ खींचनी चाहिए, जिनके बीच का कोण हो ;।द्ध 105° ;ठद्ध 70° ;ब्द्ध 140° ;क्द्ध 145° हलः उत्तर ;क्द्ध प्रश्नावली 10ण्1 दिये हुए चार विकल्पों में से सही उत्तर चुनिएः 1ण् एक रेखाखंड।ठ को 5रू7 के अनुपात में विभाजित करने के लिए, पहले एक किरण ।ग् खींचिए,ताकि ∠ठ।ग् एक न्यून कोण हो और पिफर किरण ।ग् पर समान दूरियों पर ¯बदु अंकित कियेजाएँ ताकि इनकी न्यूनतम संख्या हो ;।द्ध 8 ;ठद्ध 10 ;ब्द्ध 11 ;क्द्ध 12 2ण् एक रेखाखंड ।ठ को 4रू7 के अनुपात में विभाजित करने के लिए, पहले एक किरण ।ग् इस प्रकार खींची जाती है कि ∠ठ।ग् एक न्यून कोण हो और पिफर किरण ।ग् पर समान दूरियों पर¯बदु ।1ए ।2ए ।3ए ण्ण्ण्ण् अंकित किये जाते हैं और ¯बदु ठ को निम्नलिख्िात से मिलाया जाता है ;।द्ध ।;ठद्ध ।;ब्द्ध ।;क्द्ध । 12 1110 9 3ण् एक रेखाखंड ।ठ को 5 रू 6 के अनुपात में विभाजित करने के लिए, एक किरण ।ग् खींचिएताकि ∠ठ।ग् एक न्यून कोण हो, पिफर किरण ठल् किरण ।ग् के समांतर विपरीत दिशा मेंखींचिए। इसके बाद ।ग् और ठल् किरणों पर क्रमशः समान दूरियों पर ¯बदु ।1ए ।2ए ।3ए ण्ण्ण् और ठ1ए ठ2ए ठ3ए ण्ण्ण् अंकित किये जाएँ। पिफर जिन ¯बदुओं को मिलाया जाता है वे हैं ;।द्ध ।और ठ;ठद्ध ।और ठ;ब्द्ध ।और ठ;क्द्ध ।और ठ 56 6545 54 4ण् एक दिये हुए त्रिाभुज ।ठब्के समरूप एक ऐसा त्रिाभुज बनाने के लिए जिसकी भुजाएँ Δ।ठब् 3 की संगत भुजाओं का हों, पहले एक किरण ठग् ऐसी खींचिए कि ∠ब्ठग् एक न्यून कोण 7 हो और ग् भुजा ठब् के सापेक्ष । के विपरीत ओर हो। किरण ठग् पर अब समान दूरियों पर¯बदु ठ1ए ठ2ए ठ3ए ण्ण्ण् अंकित कीजिए तथा उसके बाद अगला चरण मिलाने का है ;।द्ध ठकोब् से ;ठद्ध ठको ब् से ;ब्द्ध ठकोब् से ;क्द्ध ठको ब् से 1037 4 5ण् एक दिये हुए त्रिाभुज ।ठब् के समरूप एक ऐसा त्रिाभुज बनाने के लिए जिसकी भुजाएँ Δ।ठब् 8 की संगत भुजाओं का हों, पहले एक किरण ठग् ऐसी खींचिए कि ∠ब्ठग् एक न्यून कोण 5 हो और ग् भुजा ठब्के सापेक्ष ।के विपरीत ओर हो। किरण ठग् पर अब समान दूरियों पर अंकितकिये जाने वाले ¯बदुओं की न्यूनतम संख्या है ;।द्ध 5 ;ठद्ध 8 ;ब्द्ध 13 ;क्द्ध 3 6ण् किसी वृत्त पर स्पशर् रेखाओं का एक ऐसा युग्म खींचने के लिए कि उनके बीच का कोण 60° हों,उन दो त्रिाज्याओं के सिरों पर स्पशर् रेखाएँ खींचनी चाहिए जिनके बीच का कोण हो ;।द्ध 135° ;ठद्ध 90° ;ब्द्ध 60° ;क्द्ध 120° ;ब्द्ध तवर्फ के साथ संक्ष्िाप्त उत्तरीय प्रश्न सत्य या असत्य लिख्िाए तथा अपने उत्तर का कारण दीजिए। प्रतिदशर् प्रश्न 1:ज्यामितीय रचना से, एक दिये हुए रेखाखंड को 2 3रू2 3 के अनुपात में विभाजित करना संभव है। हल: असत्य। क्योंकि 2 3रू2 3 को सरल करने पर, 74 3रू1 प्राप्त होता है। यहाँ 743 एक ध्नात्मक पूणा±क नहीं है, जबकि 1 है। प्रश्नावली 10ण्2 निम्नलिख्िात में से प्रत्येक में, सत्य या असत्य लिख्िाए तथा अपने उत्तर का कारण दीजिए: 1ण् ज्यामितीय रचना से, एक दिये हुए रेखाखंड को 3रू 1 के अनुपात में विभाजित किया जा 3 सकता है। 2ण् एक दिये हुए त्रिाभुज के समरूप एक ऐसे त्रिाभुज की रचना करने के लिए जिसकी भुजाएँ Δ।ठब् 7 की संगत भुजाओं का हों, ठब् से एक न्यून कोण बनाती हुइर् एक किरण ठग् खींचिए, ताकि 3 ग् भुजा ठब् के सापेक्ष । के विपरीत ओर स्िथत हो। ठग् पर समान दूरियों पर ¯बदु ठ1ए ठ2ए ण्ण्ण्ण्ए ठअंकित कीजिए, ठको ब् से मिलाइए और पिफर ठब् के समांतर एक रेखाखंड ठब्श् 7 3 36 खींचा जाता है,जबकि ¯बदु ब्श् बढ़ाइर् गयी भुजा ठब् पर स्िथत है। अंत में, ।ब् के समांतर रेखाखंड ।श्ब्श् खींचा जाता है। 3ण् त्रिाज्या 3ण्5 बउ वाले वृत्त के वेंफद्र से 3 बउ की दूरी पर स्िथत एक ¯बदु च् से उस वृत्त की स्पशर् रेखाओं के एक युग्म की रचना की जा सकती है। 4ण् किसी वृत्त पर स्पशर् रेखाओं के एक ऐसे युग्म की रचना की जा सकती है कि जिनके बीच का कोण 170° हो। ;क्द्ध संक्ष्िाप्त उत्तरीय प्रश्न प्रतिदशर् प्रश्न 1: एक समबाहु त्रिाभुज ।ठब् खींचिए जिसकी प्रत्येक भुजा 4 बउ हो। इस त्रिाभुज के 3 समरूप एक त्रिाभुज की रचना कीजिए जिसका स्केल गुणक 5 हो। क्या नया त्रिाभुज भी एक समबाहु त्रिाभुज है? हल:कक्षा ग् की गण्िात की पाठ्यपुस्तक में दिये हुए चरणों का अनुसरण कीजिए। हाँ, नया त्रिाभुज भी समबाहु है। प्रश्नावली 10ण्3 1ण् लंबाइर्7 बउ का एक रेखाखंड खींचिए। इस पर स्िथत एक ¯बदु च् ज्ञात कीजिए जो इस रेखाखंड को 3रू5 के अनुपात में विभाजित करे। 2ण् एक समकोण त्रिाभुज ।ठब् खींचिए, जिसमें ठब् त्र 12 बउए ।ठ त्र 5 बउ और∠ठ त्र 90° है।इस त्रिाभुज के समरूप एक त्रिाभुज की रचना कीजिए, जिसका स्केल गुणक 2 हो। क्या नया त्रिाभुज 3 भी एक समकोण त्रिाभुज है? 3ण् एक त्रिाभुज ।ठब् खींचिए, जिसमें ठब् त्र 6 बउए ब्। त्र 5 बउ और ।ठ त्र 4 बउ है। इस त्रिाभुज के समरूप और स्केल गुणक 5 के एक 3 त्रिाभुज की रचना कीजिए। 4ण् एक 4 बउ त्रिाज्या वाले वृत्त पर उस ¯बदु से एक स्पशर् रेखा खींचिए, जो इस वृत्त के वेंफद्र से 6 बउ की दूरी पर है। ;म्द्ध दीघर् उत्तरीय प्रश्न प्रतिदशर् प्रश्न 1: एक समचतुभुर्ज ।ठब्क् दिया है, जिसमें ।ठ त्र 4 बउ और ∠।ठब् त्र 60° है। इसे दो त्रिाभुजों ।ठब् और ।क्ब् में विभाजित कीजिए। मान लीजिए, Δ।ठब्के समरूप एक त्रिाभुज ।ठश्ब्श् की रचना कीजिए, जिसका स्केल गुणक 2 हो। एक रेखाखंड ब्श्क्श् की रचना कीजिए, जो 3 ब्क् के समांतर हो, जहाँ क्श् भुजा ।क् पर स्िथत है। क्या ।ठश्ब्श्क्श् भी एक समचतुभुर्ज है? कारण दीजिए। हल: पहले एक समचतुभुर्ज ।ठब्क् खींचिए, जिसमें ।ठ त्र 4 बउ और ∠।ठब् त्र 60° हो, जैसा आकृति 10ण्1 में दशार्या गया है। ।ब् को मिलाइए। त्रिाभुज ।ठब् के समरूप स्केल गुणक 2 वाले 3 एक त्रिाभुज ।ठश्ब्श् की रचना कीजिए, जैसा कि कक्षा ग् की गण्िात की पाठ्यपुस्तक में वण्िार्त है;देख्िाए आकृति 10ण्1द्ध। अंत में ब्श्क्श् भुजा ब्क् के समांतर खींचिए। ।ठश् 2 ।श्ब्श् अब त्र त्र ।ठ3 ।ब् ।ब्श् ब्क् श्श् ।क् श् 2 साथ ही, त्र त्र ।ब् ब्क् ।क्3 2 अतः ।ठश् त्र ठश्ब्श् त्र ब्श्क्श् त्र ।क्श् त्र ।ठ 3 अथार्त्ए ।ठश्ब्श्क्श् एक समचतुभुर्ज है। प्रश्नावली 10ण्4 1ण् दो रेखाखंडों ।ठ और ।ब् के बीच का कोण 60° है, जहाँ ।ठ त्र 5 बउ और ।ब् त्र 7 बउ है। ।ठ और ।ब् पर क्रमशः ¯बदु च् और फ इस प्रकार निधर्रित कीजिए कि ।च् त्र 3।ठ और 4 ।फ त्र 1।ब् हो। च् और फ को मिलाइए तथा च्फ की लंबाइर् ज्ञात कीजिए। 4 2ण् एक समांतर चतुभुर्ज ।ठब्क् खींचिए, जिसमें ठब् त्र 5 बउए ।ठ त्र 3 बउ और ∠।ठब् त्र 60° है। विकणर् ठक् द्वारा इसे दो त्रिाभुजों ठब्क् और ।ठक् में विभाजित कीजिए। 4 Δठक्ब् के समरूप स्केल गुणक के एक त्रिाभुज ठक्श् ब्श् की रचना कीजिए। क्। के समांतर 3 क्श्।श् खींचिए, जहाँ ।श् बढ़ाइर् गयी भुजा ठ। पर स्िथत है। क्या ।श्ठब्श्क्श् भी एक समांतर चतुभुर्ज है? 3ण् त्रिाज्याओं 3 बउ और 5 बउ वाले दो संवंेफद्रीय वृत्त खींचिए। बाहरी वृत्त पर एक ¯बदु लेकर उससेदूसरे वृत्त की स्पशर् रेखाओं के युग्म की रचना कीजिए। एक स्पशर् रेखा की लंबाइर् मापिये तथा वास्तविक परिकलन से इसका सत्यापन कीजिए। 4ण् एक समद्विबाहु त्रिाभुज ।ठब् खींचिए, जिसमें ।ठ त्र।ब् त्र 6 बउ और ठब् त्र 5 बउ है। ।ठब् के समरूप, एक त्रिाभुज च्फत् की रचना कीजिए, जिसमें च्फ त्र 8 बउहो। अपनी रचना का औचित्य भी दीजिए। 5ण् एक त्रिाभुज ।ठब्खींचिए, जिसमें ।ठ त्र 5 बउए ठब् त्र 6 बउ और ।ठब्त्र 60ह् है। ।ठब् के समरूप, स्केल गुणक 5 के एक त्रिाभुज की रचना कीजिए। रचना का औचित्य दीजिए। 7 6ण् त्रिाज्या 4 बउ का एक वृत्त खींचिए। इस पर स्पशर् रेखाओं के एक ऐसे युग्म की रचना कीजिए कि इनके बीच का कोण 60ह्हो। रचना का औचित्य भी दीजिए। वृत्त के वेंफद्र और स्पशर् रेखाओं के प्रतिच्छेद ¯बदु के बीच की दूरी को मापिये। 7ण् एक त्रिाभुज ।ठब् खींचिए, जिसमें ।ठ त्र 4 बउए ठब् त्र 6 बउ और।ब् त्र 9 बउ है।इस Δ।ठब् के 3 समरूप, स्केल गुणक के एक त्रिाभुज की रचना कीजिए। रचना का औचित्य दीजिए क्या दोनों त्रिाभुज 2 सवा±गसम हैं? ध्यान दीजिए कि यहाँ दोनों त्रिाभुजों में तीनों कोण और दो भुजाएँ बराबर हैं।