अध्याय 13 साँख्ियकी और प्रायिकता ;।द्ध मुख्य अवधरणाएँ और परिणाम साँख्ियकी वेंफद्रीय प्रवृ�ि�ा के मापक ;ंद्ध वगीर्कृत आँकड़ों का माध्य ;पद्ध वगीर्कृत आँकड़ों का माध्य ज्ञात करने के लिए, यह कल्पना की जाती है कि प्रत्येक वगर् अंतराल की बारंबारता उसके मध्य - ¯बदु पर वेंफदि्रत होती है। ;पपद्ध प्रत्यक्ष या सीध्ी वि�ि�ा ∑ गि पप माध्य ; ग द्ध त्र ए जहाँ गप पि ;वगर् चिÉद्ध प वें वगर् अंतराल का मध्य - ¯बदु है तथा ∑ पि उसकी संगत बारंबारता है। ;पपपद्ध कल्िपत माध्य वि�ि�ा ∑ कि पप ं ़ माध्य ; ग द्ध त्र ए जहाँ ं कल्िपत माध्य है और प्रत्येक प के लिए ∑ पि कप त्र गप दृ ं, ं से गप के विचलन हैं। ;पअद्ध पग विचलन वि�ि�ा ⎛∑ नि प प  माध्य ; ग द्ध त्र ं ़ ी⎜ ए जहाँ ं कल्िपत माध्य है, ी वगर् माप है तथा ⎝∑ पि  ग दृ ं नप त्र पी है। ;अद्ध यदि वगर् माप ;साइशद्ध असमान हों, तब भी ;पअद्ध में दिया सूत्रा प्रयोग किया जा सकता है। इसके लिए, ी को सभी कप का एक उपयुक्त विभाजक लेना होगा। ;इद्ध वगीर्कृत आँकड़ों का बहुलक ;पद्ध एक वगीर्कृत बारंबारता बंटन में, बारंबारताओं को केवल देखकर बहुलक को निधार्रित करना संभव नहीं होता। वगीर्कृत आँकड़ों का बहुलक ज्ञात करने के लिए, अ�ि�ाकतम बारंबारता वाला वगर् ज्ञात कीजिए। यह वगर् बहुलक वगर् कहलाता है। आँकड़ों का बहुलक एक ऐसा मान है जो इस बहुलक वगर् में है। ;पपद्ध निम्नलिख्िात सूत्रा का प्रयोग करते हुए, वगीर्कृत आँकड़ों का बहुलक परिकलित किया जा सकता हैः  ि− ि स ़ 10 × ी बहुलक त्र ⎜ ए  2 1ि − 0ि − 2ि  जहाँ स बहुलक वगर् की निम्न सीमा है, ी वगर् साइज ;या मापद्ध है, 1ि बहुलक वगर् की बारंबारता है तथा 0ि और 2ि क्रमशः बहुलक वगर् से पहले और बाद वाले वगा±े की बारंबारताएँ हैं। ;बद्ध वगीर्कृत आँकड़ों का माध्यक ;पद्ध संचयी बारंबारता सारणी - वगीर्कृत बारंबारता बंटन की ‘से कम प्रकार की’ और ‘से अ�ि�ाक प्रकार की’ ;पपद्ध यदि प्रेक्षणों की वुफल संख्या द है, तो उस वगर् को ज्ञात कीजिए जिसकी संचयी बारंबारता द से बड़ी ;और उसके निकटतमद्ध है। यह वगर् माध्यक वगर् कहलाता है। 2 ;पपपद्ध निम्नलिख्िात सूत्रा का प्रयोग करते हुए वगीर्कृत आँकड़ों का माध्यक परिकलित किया जा सकता है:  द ⎞ − ब ि ⎜⎟ 2 माध्यक त्र स ़ ⎜ ी ए ि ⎜ ⎝ जहाँ स माध्यक वगर् की निम्न सीमा, द प्रेक्षणों की संख्या, ी वगर् साइज, ब िमाध्यक वगर् से ठीक पहले वाले वगर् की संचयी बारंबारता है तथा िमाध्यक वगर् की बारंबारता है। ;कद्ध संचयी बारंबारता बंटन का आलेखीय निरूपण ;तोरणद्ध दृ से कम प्रकार और से अ�ि�ाक प्रकार ;पद्ध वगीर्कृत आँकड़ों के संचयी बारंबारता बंटन ;से कम प्रकारद्ध के आलेख से माध्यक ज्ञात करना। ;पपद्ध संचयी बारंबारता बंटनों ;से कम प्रकार और से अ�ि�ाक प्रकारद्ध के आलेखों से, इन आलेखों के प्रतिच्छेद ¯बदु के भुज के रूप में माध्यक ज्ञात करना। प्रायिकता ऽ यादृच्िछक प्रयोग, किसी प्रयोग के परिणाम, घटनाएँ, प्रारंभ्िाक घटनाएँ। ऽ समप्रायिक परिणाम ऽ किसी घटना म् की सै(ांतिक ;या चिरप्रतिष्िठतद्ध प्रायिकता ¹च्;म्द्ध द्वारा व्यक्त या निरूपितह् निम्नलिख्िात से प्राप्त होती हैः म् वफे अनुवफू ल परिणामांे की सख्ं या च्;म्द्ध त्र ए प्र े े सभी परिणामांकी सख्या याग वफे ं जहाँ प्रयोग के परिणाम समप्रायिक हैं। ऽ किसी घटना की प्रायिकता 0 और 1 के बीच में कोइर् भी संख्या हो सकती है। वुफछ विशेष स्िथतियों में यह 0 या 1 भी हो सकती है। ऽ किसी प्रयोग की सभी प्रारंभ्िाक घटनाओं की बारंबारताओं का योग 1 होता है। ऽ किसी घटना म् के लिए ए च्;म्द्ध ़ च्;म्द्ध त्र 1 होता हैए ऽ असंभव घटना, निश्िचत घटना जहाँ म् का अथर् ष्म् नहीं’ है। म् , घटना म् का पूरक कहलाती है। ;ठद्ध बहु विकल्पीय प्रश्न दिये हुए चार विकल्पों में से सही उत्तर चुनिए: प्रतिदशर् प्रश्न 1 रू संचयी बारंबारता सारणी की रचना करना निम्नलिख्िात में उपयोगी होता है ;।द्ध माध्य ;ठद्ध माध्यक ;ब्द्ध बहुलक ;क्द्ध उपरोक्त सभी तीनों मापक हल रू उत्तर ;ठद्ध मासिक आय परिसर परिवारों की संख्या 10000 रु से अ�ि�ाक 13000 रु से अ�ि�ाक 16000 रु से अ�ि�ाक 19000 रु से अ�ि�ाक 22000 रु से अ�ि�ाक 25000 रु से अ�ि�ाक 100 85 69 50 33 15 उपरोक्त सारणी में, आय परिसर ;रु मेंद्ध 16000 दृ 19000 के परिवारों की संख्या है ;।द्ध 15 ;ठद्ध 16 ;ब्द्ध 17 ;क्द्ध 19 हल: उत्तर ;क्द्ध प्रतिदशर् प्रश्न 3: किसी कक्षा के 60 विद्याथ्िार्यों की ऊँचाइयों के निम्नलिख्िात बारंबारता बंटन पर विचार कीजिएः ऊँचाइर् ;बउ मेंद्ध विद्याथ्िार्यों की संख्या 150.155 155.160 160.165 165.170 170.175 175.180 15 13 10 8 9 5 बहुलक वगर् की निम्न सीमा और माध्यक वगर् की उपरि सीमा का योग है ;।द्ध 310 ;ठद्ध 315 ;ब्द्ध 320 ;क्द्ध 330 हल: उत्तर ;ठद्ध प्रतिदशर् प्रश्न 4: निम्नलिख्िात में से कौन किसी घटना की प्रायिकता हो सकती है? 18 8 ;।द्ध दृ 0ण्04 ;ठद्ध 1ण्004 ;ब्द्ध ;क्द्ध 23 7 हल: उत्तर ;ब्द्ध प्रतिदशर् प्रश्न 5: अच्छी प्रकार से पेफटी गयी 52 ताशों की एक गड्डी में से यादृच्िछक ;या यदृच्छद्ध रूप से एक ताश ;या काडर् या पत्ताद्ध चुना जाता है। इस काडर् के मुख काडर् ;तस्वीर वाला काडर्द्ध ;ंिबम बंतकद्ध होने की क्या प्रायिकता है? 346 9 ;।द्ध ;ठद्ध ;ब्द्ध ;क्द्ध 13 13 13 13 हल: उत्तर ;।द्ध प्रतिदशर् प्रश्न 6: एक थैले में 3 लाल गेंद, 5 सपेफद गेंद और 7 काली गेंद हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि इस थैले में यादृच्िछक रूप से निकाली गयी एक गेंद न तो लाल होगी और न ही काली? 117 8 ;।द्ध ;ठद्ध ;ब्द्ध ;क्द्ध 5 315 15 हल: उत्तर ;ठद्ध प्रश्नावली 13ण्1 दिये हुए चार विकल्पों में से सही उत्तर चुनिए: 1ण् वगीर्कृत आँकड़ों का माध्य ज्ञात करने के लिए, सूत्रा कि ∑ पप ग त्र ं ़ में कनिम्नलिख्िात के ं से विचलन है: ∑ पि प ;।द्ध वगा±े की निम्न सीमाएँ ;ठद्ध वगा±े की उपरि सीमाएँ ;ब्द्ध वगा±े के मध्य - बिंदु ;क्द्ध वगर् चिÉों की बारंबारताएँ 2ण् वगीर्कृत आँकड़ों का माध्य अभ्िाकलित करते समय, हम यह कल्पना करते हैं कि बारंबारताएँ ;।द्ध सभी वगा±े में समान रूप से वितरित हैं ;ठद्ध वगा±े के वगर् चिÉों पर वेंफदि्रत हैं ;ब्द्ध वगा±े वफी उपरि सीमाओं पर वेंफदि्रत हैं ;क्द्ध वगा±े की निम्न सीमाओं पर वेंफदि्रत हैं 3ण् यदि गप वगीर्कृत आँकड़ों के वगर् अंतरालों के मध्य - ¯बदु हंै, पि इनकी संगत बारंबारताएँ हैं तथा ग माध्य है, तो ∑; गि प प− गद्ध बराबर है ;।द्ध 0 ;ठद्ध दृ1 ;ब्द्ध 1 ;क्द्ध 2 ⎛∑ नि  4ण् वगीर्कृत आँकड़ों का माध्य ज्ञात करने के लिए, सूत्रा ग त्र ं ़ ी  पप  में, नप त्र ⎝∑पि  ़ ं दृ ं दृ ग गप गपप ;।द्ध ;ठद्ध ी ;ग दृ ंद्ध ;ब्द्ध ;क्द्ध ी पीी 5ण् वगीर्कृत आँकड़ों की ‘से कम प्रकार’ और ‘से अ�ि�ाक प्रकार’ की संचयी बारंबारता वक्रों के प्रतिच्छेद ¯बदु के भुज से आंकड़ों का प्राप्त होना हैः ;।द्ध माध्य ;ठद्ध माध्यक ;ब्द्ध बहुलक ;क्द्ध उपरोक्त सभी तीनों 6ण् बंटन वगर् 0.5 5.10 10.15 15.20 20.25 बारंबारता 10 15 12 20 9 के लिए, माध्यक वगर् और बहुलक वगर् की निम्न सीमाओं का योग है ;।द्ध 15 ;ठद्ध 25 ;ब्द्ध 30 ;क्द्ध 35 7ण् बंटन वगर् 0.5 6.11 12.17 18.23 24.29 बारंबारता 13 10 15 8 11 में, माध्यक वगर् की उपरि सीमा है ;।द्ध 17 ;ठद्ध 17ण्5 ;ब्द्ध 18 ;क्द्ध 18ण्5 8ण् बंटन प्राप्तांक विद्याथ्िार्यों की संख्या 10 से कम 20 से कम 30 से कम 40 से कम 50 से कम 60 से कम 3 12 27 57 75 80 के लिए, बहुलक वगर् है ;।द्ध 10.20 ;ठद्ध 20.30 ;ब्द्ध 30.40 ;क्द्ध 50.60 9ण् बंटन वगर् 65.85 85.105 105.125 125.145 145.165 165.185 185.205 बारंबारता 4 5 13 20 14 7 4 के लिए, माध्यक वगर् की उपरि सीमा और बहुलक वगर् की निम्न सीमा का अंतर है ;।द्ध0 ;ठद्ध19 ;ब्द्ध20 ;क्द्ध38 10ण् 150 धावकों द्वारा 110 उ की बाध दौड़ में लिए गये समय ;सेवंफड मेंद्ध, नीचे सारणीब( किए गए हैंः वगर् ;समयद्ध 13ण्8.14 14.14ण्2 14ण्2.14ण्4 14ण्4.14ण्6 14ण्6.14ण्8 14ण्8.15 बारंबारता 2 4 5 71 48 20 14ण्6 सेवंफड से कम में दौड़ समाप्त करने वाले धावकों की संख्या है ;।द्ध 11 ;ठद्ध 71 ;ब्द्ध 82 ;क्द्ध 130 11ण् बंटन 14ण् किसी घटना का घटित होना बहुत कम संभावित है। इसकी प्रायिकता निम्नलिख्िात के निकटतम हैः प्राप्तांक विद्याथ्िार्यों की संख्या 0 से अ�ि�ाक या उसके बराबर 10 से अ�ि�ाक या उसके बराबर 20 से अ�ि�ाक या उसके बराबर 30 से अ�ि�ाक या उसके बराबर 40 से अ�ि�ाक या उसके बराबर 50 से अ�ि�ाक या उसके बराबर 63 58 55 51 48 42 के लिए, वगर् 30दृ40 की बारंबारता है ;।द्ध 3 ;ठद्ध 4 ;ब्द्ध 48 ;क्द्ध 51 12ण् यदि कोइर् घटना घटित नहीं हो सकती है, तो उसकी प्रायिकता है ;।द्ध 1 ;ठद्ध 3 4 ;ब्द्ध 1 2 ;क्द्ध 0 13ण् निम्नलिख्िात में से कौन किसी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकती? ;।द्ध 1 3 ;ठद्ध 0ण्1 ;ब्द्ध 3ः ;क्द्ध 17 16 ;।द्ध 0ण्0001 ;ठद्ध 0ण्001 ;ब्द्ध 0ण्01 ;क्द्ध 0ण्1 15ण् यदि किसी घटना की प्रायिकता च है, तो इसकी पूरक घटना की प्रायिकता है 11 −;।द्ध च दृ 1 ;ठद्ध च ;ब्द्ध 1 दृ च ;क्द्ध च 16ण् किसी विशेष घटना के घटित होने की प्रायिकता प्रतिशत के रूप में व्यक्त करने पर, निम्नलिख्िात कभी नहीं हो सकती ;।द्ध 100 से कम ;ठद्ध 0 से कम ;ब्द्ध 1 से अध्िक ;क्द्ध एक पूणर् संख्या के अतिरिक्त सभी वुफछ 17ण् यदि च्;।द्धए घटना । की प्रायिकता व्यक्त करता है, तो ;।द्ध च्;।द्ध ढ 0 ;ठद्ध च्;।द्ध झ 1 ;ब्द्ध 0 ≤ च्;।द्ध ≤ 1 ;क्द्ध दृ1 ≤ च्;।द्ध ≤ 1 18ण् 52 ताशों की एक गड्डी में से एक ताश निकाला जाता है। इसके लाल रंग का मुख काडर् होने की प्रायिकता है 332 1 ;।द्ध ;ठद्ध ;ब्द्ध ;क्द्ध 26 13 13 2 19ण् इसकी प्रायिकता कि यादृच्िछक रूप से चुने गए एक ऐसे वषर् में, जो अ�ि�ावषर् ;समंच लमंतद्ध न हो 53 रविवार हों, निम्नलिख्िात है: 123 5 ;।द्ध ;ठद्ध ;ब्द्ध ;क्द्ध 777 7 20ण् जब एक पासे को पेंफका जाता है, तो 3 से छोटी एक विषम संख्या आने की प्रायिकता है 1 11 ;।द्ध ;ठद्ध ;ब्द्ध ;क्द्ध 0 6 32 21ण् 52 ताशों की एक गड्डी में से एक काडर् निकाला जाता है। काडर् का ईंट का इक्का न होना घटना म् है। म् के अनुवूफल परिणामों की संख्या है ;।द्ध4 ;ठद्ध13 ;ब्द्ध48 ;क्द्ध51 22ण् 400 अंडों के एक संग्रह में से एक खराब अंडा प्राप्त करने की प्रायिकता 0ण्035 है। इस संग्रह में खराब अंडों की संख्या है ;।द्ध7 ;ठद्ध14 ;ब्द्ध21 ;क्द्ध28 23ण् कोइर् लड़की यह परिकलित करती है कि उसके द्वारा एक लाॅटरी में प्रथम पुरस्कार जीतने की प्रायिकता 0ण्08 है। यदि 6000 टिकट बेचे गये हैं, तो उस लड़की ने कितने टिकट खरीदे हैं? ;।द्ध 40 ;ठद्ध 240 ;ब्द्ध 480 ;क्द्ध 750 24ण् किसी थैले में वुफछ टिकट हैं, जिन पर 1 से 40 तक संख्याएँ अंकित हैं। इसमें से यादृच्िछक रूप से एक टिकट निकाला जाता है। इसकी प्रायिकता कि निकाले गये इस टिकट की संख्या 5 का एक गुणज हो, निम्नलिख्िात है 134 1 ;।द्ध ;ठद्ध ;ब्द्ध ;क्द्ध 555 3 25ण् किसी व्यक्ित से 1 से 100 तक की संख्याओं में से एक संख्या चुनने को कहा जाता है। इस संख्या के अभाज्य संख्या होने की प्रायिकता है 1 61 13 ;।द्ध ;ठद्ध ;ब्द्ध ;क्द्ध 5 25 4 50 26ण् किसी स्वूफल में पाँच सदन ।ए ठए ब्ए क् और म् हैं। किसी कक्षा में 23 विद्याथीर् हैं, जिनमें से 4 सदन । से, 8 सदन ठ से, 5 सदन ब् से, 2 सदन क् से तथा शेष सदन म् से हैं। इनमें से एक विद्याथीर् को कक्षा का माॅनीटर बनाने के लिए चुना जाता है। चुने गये इस विद्याथीर् के सदनों ।ए ठ और ब् से न होने की प्रायिकता है 4 68 17 ;।द्ध ;ठद्ध ;ब्द्ध ;क्द्ध 23 23 23 23 ;ब्द्ध तवर्फ के साथ संक्ष्िाप्त उत्तरीय प्रश्न प्रतिदशर् प्रश्न 1 रू अवगीर्कृत आँकड़ों का माध्य तथा इन आँकड़ों को वगीर्कृत करने के बाद परिकलित किया गया माध्य सदैव बराबर होते हैं। क्या आप इस कथन से सहमत हैं ? अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए। हल: यह कथन सत्य नहीं है। इसका कारण यह है कि जब हम वगीर्कृत आँकड़ों का माध्य परिकलित करते हैं, तो हम कल्पना करते हैं कि प्रत्येक वगर् की बारंबारता उसके मध्य - ¯बदु पर वेंफदि्रत है। इसी कल्पना के कारण, अवगीर्कृत और वगीर्कृत आँकड़ों के माध्य एक ही होने की संभावना बहुत ही कम है। प्रतिदशर् प्रश्न2 रू क्या यह कहना सही है कि एक तोरण एक बारंबारता बंटन का आलेखीय निरूपण है? कारण दीजिए। हल: किसी बारंबारता बंटन का आलेखीय निरूपण एक तोरण हो सकता है और नहीं भी हो सकता है। यह एक आयतचित्रा भी हो सकता है। तोरण एक संचयी बारंबारता बंटन का आलेखीय निरूपण होता है। प्रतिदशर् प्रश्न 3 रू किसी स्िथति में, जब केवल दो संभव परिणाम हों, प्रत्येक परिणाम की प्रायिकता 1 होगी। सत्य है या असत्य? क्यों? 2 1 हल रू असत्य। प्रत्येक परिणाम की प्रायिकता तभी होगी जबकि दोनों परिणाम समप्रायिक हों, 2 अन्यथा नहीं। प्रश्नावली 13ण्2 1ण् अवगीर्कृत आँकड़ों का माध्यक और इन्हीं आँकड़ों को वगीर्कृत करने के बाद परिकलित माध्यक सदैव बराबर होते हैं। क्या आप सोचते हैं कि यह कथन सत्य है? कारण दीजिए। ∑ कि ं ़ पप 2ण् वगीर्कृत आँकड़ों का माध्य परिकलित करने के लिए, हम सूत्रा ग त्र िका प्रयोग कर ∑ प सकते है, जब सभी वगा±े की वगर्माप बराबर हैं, ं कल्िपत माध्य है तथा ं को वगा±े के मध्य - ¯बदुओं में से कोइर् एक होना चाहिए। क्या अंतिम कथन सत्य है? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए। 3ण् क्या यह कहना सत्य है कि दिये हुए वगीर्कृत आँकड़ों के माध्य, बहुलक और माध्यक सदैव भ्िान्न - भ्िान्न होंगे? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए। 4ण् क्या दिये हुए वगीर्कृत आँकड़ों के लिए माध्यक वगर् और बहुलक वगर् सदैव भ्िान्न - भ्िान्न होंगे? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए। 5ण् तीन बच्चों वाले एक परिवार में, हो सकता है कोइर् लड़की न हो, एक लड़की हो, दो लड़कियाँ 1 हों या तीन लड़कियाँ हों। अतः, इनमें से प्रत्येक की प्रायिकता है। क्या यह कथन सत्य है? 4 अपने उत्तर का औचित्य दीजिए। 6ण् किसी खेल में एक तीर को घुमाया जाता है, जो घूमने के बाद, 1ए 2 या 3 क्षेत्रों में से किसी एक की ओर इंगित करता हुआ स्िथर हो जाता है ;देख्िाए आकृति 13ण्1द्ध। क्या परिणाम 1ए 2 और 3 आना समप्रायिक है? कारण दीजिए। आवृफति 13.1 7ण् अपूवर् दो पासों को पेंफकता है तथा इन पासों पर आने वाली संख्याओं का गुणनपफल परिकलित करता है। पीहू एक पासे को पेंफकती है तथा उस पर आयी संख्या का वगर् कर देती है। संख्या 36 प्राप्त करने का किसका अ�ि�ाक अच्छा संयोग है और क्यों? 8ण् जब हम किसी सिक्के को उछालते हैं, तो दो संभव परिणाम हैं - चित या पट। अतः, इनमें से प्रत्येक परिणाम की प्रायिकता 1 है। अपने उत्तर का औचित्य दीजिए। 2 9ण् एक विद्याथीर् कहता है कि यदि आप एक पासे को पेंफवेंफगे, तो यह या तो 1 दशार्एगा या 1 नहीं 1 दशार्एगा। इसलिए, 1 प्राप्त करने और 1 नहीं प्राप्त करने में से प्रत्येक की प्रायिकता है। क्या 2 यह सही है? कारण दीजिए। 10ण् मैं तीन सिक्कों को एक साथ उछालता हूँ। संभव परिणाम कोइर् चित नहीं, 1 चित, 2 चित या 1 3 चित हैं। अतः, मैं कहता हूँ कि कोइर् चित प्राप्त न करने की प्रायिकता है। इस निष्कषर् में 4 क्या गलती है? 11ण् यदि आप किसी सिक्के को 6 बार उछालते हैं और प्रत्येक बार चित आता है तो क्या आप कह सकते हैं कि चित के प्राप्त करने की सै(ांतिक प्रायिकता 1 है? कारण दीजिए। 12ण् सुषमा एक सिक्के को तीन बार उछालती है और उसे प्रत्येक बार एक पट प्राप्त होता है। क्या आप सोचते हैं कि अगली उछाल में भी उसे पट प्राप्त होगा? कारण दीजिए। 13ण् यदि मुझे एक सिक्के को तीन बार उछालने पर प्रत्येक बार चित प्राप्त होता है, क्या चैथी उछाल में मुझे यह आशा रखनी चाहिए कि पट आने का अ�ि�ाक अच्छा संयोग है? 14ण् एक थैले में 1 से 100 तक की संख्याएँ लिखी हुइर् पचिर्याँ रखी हैं। यदि इसमें से पफातिमा एक पचीर् यादृच्िछक रूप से चुनती है, तो या तो यह एक विषम संख्या होगी या एक सम संख्या होगी। 1 क्योंकि इस स्िथति में, केवल दो ही संभव परिणाम हैं, इसलिए इनमें से प्रत्येक की प्रायिकता 2 है। औचित्य दीजिए। ;क्द्ध संक्ष्िाप्त उत्तरीय प्रश्न प्रतिदशर् प्रश्न 1रू निम्नलिख्िात बंटन के लिए संचयी बारंबारता बंटन की रचना कीजिए: वगर् 12ण्5.17ण्5 17ण्5.22ण्5 22ण्5.27ण्5 27ण्5.32ण्5 32ण्5.37ण्5 बारंबारता 2 22 19 14 13 हल रू दिये हुए बंटन का वाँछित संचयी बारंबारता बंटन नीचे दिया गया है: वगर् बारंबारता संचयी बारंबारता 12ण्5.17ण्5 2 2 17ण्5.22ण्5 22 24 22ण्5.27ण्5 19 43 27ण्5.32ण्5 14 57 32ण्5.37ण्5 13 70 प्रतिदशर् प्रश्न 2 रू किसी सवर्े से प्राप्त 110 श्रमिकों की दैनिक मजदूरी को नीचे सारणीब( किया गया हैः दैनिक मजदूरी ;रु मेंद्ध श्रमिकों की संख्या 100.120 120.140 140.160 160.180 180.200 200.220 220.240 10 15 20 22 18 12 13 इन श्रमिकों की माध्य दैनिक मजदूरी परिकलित कीजिए। हल रू हम पहले प्रत्येक वगर् का वगर् चिÉ गप ज्ञात करते हैं और नीचे दशार्ए अनुसार आगे बढ़ते हैं: दैनिक मजदूरी ;रु मेंद्ध वगर् वगर् चिÉ ;गपद्ध श्रमिकों की संख्या ;पिद्ध पिगप 100.120 120.140 140.160 160.180 180.200 200.220 220.240 110 130 150 170 190 210 230 10 15 20 22 18 12 13 1100 1950 3000 3740 3420 2520 2990 ∑ ित्र 110ए ∑ गि त्र 18720 प पप गि ∑ पप 18720 अतः, माध्य त्र ग त्र त्र त्र 170ण्20 ∑पि 110इसलिए, श्रमिकों की माध्य दैनिक मजदूरी 170ण्20 रु है। टिप्पणीः उपरोक्त माध्य दैनिक मजदूरी, कल्िपत माध्य वि�ि�ा या पग विचलन वि�ि�ा से भी परिकलित की जा सकती है। प्रतिदशर् प्रश्न 3 रू किसी परीक्षा में 100 विद्याथ्िार्यों द्वारा प्राप्त किये गये अंकों का प्रतिशत नीचे दिया गया है प्राप्तांक 30.35 35.40 40.45 45.50 50.55 55.60 60.65 बारंबारता 14 16 18 23 18 8 3 माध्यक प्रतिशत अंक निधार्रित कीजिए। हल रू प्राप्तांक ;वगर्द्ध विद्याथ्िार्यों की संख्या ;बारंबारताद्ध संचयी बारंबारता 30.35 35.40 40.45 45.50 50.55 55.60 60.65 14 16 18 23 18 8 3 14 30 48 71 ← माध्यक वगर् 89 97 100 यहाँ, द त्र 100 है। द अतः, त्र 50 है यह प्रेक्षण वगर् 45दृ50 में स्िथत है। 2 स ;माध्यक वगर् की निम्न सीमाद्ध त्र 45 ब ि;माध्यक वगर् से ठीक पहले वाले वगर् की संचयी बारंबारताद्ध त्र 48 ि;माध्यक वगर् की बारंबारताद्ध त्र 23 ी ;वगर् मापद्ध त्र 5  द ⎞ − ब ि ⎜⎟ 2 माध्यक त्र स ़ ⎜ ी ि ⎜ ⎝  50 − 48  त्र 45़ × 5 ⎜⎟  23  10 त्र 45़ त्र45ण्4 23 अतः, प्राप्तांकों का माध्यक प्रतिशत 45ण्4 है। प्रतिदशर् प्रश्न 4 रू किसी गाँव में कृष्िा योग्य भूमि - स्वामियों की बारंबारता बंटन सारणी नीचे दी गयी हैः भूमि का क्षेत्रापफल ;हेक्टेयर मेंद्ध 1.3 3.5 5.7 7.9 9.11 11.13 परिवारों की संख्या 20 45 80 55 40 12 इस गाँव का बहुलक भूमि - स्वामित्व ज्ञात कीजिए। हल रू यहाँ, अ�ि�ाकतम बारंबारता 80 है तथा इस बारंबारता के संगत वगर् 5दृ7 है। अतः, बहुलक वगर् 5दृ7 है। स ;बहुलक वगर् की निम्न सीमाद्ध त्र 5 1ि ;बहुलक वगर् की बारंबारताद्ध त्र 80 0ि ;बहुलक वगर् के ठीक पहले के वगर् की बारंबारताद्ध त्र 45 2ि ;बहुलक वगर् के ठीक बाद के वगर् की बारंबारताद्ध त्र 55 ी ;वगर् मापद्ध त्र 2  1ि − 0ि  × ी बहुलकत्र स ़ ⎜⎟ 2 ि− ि− ि  102   80 दृ 45 ⎞ 5 ़× 2 त्र ⎜⎟  2;80द्ध − 45 − 55  35 35 त्र 5 ़ ×2 त्र 5 ़ 60 30 त्र 5 ़ 1ण्2 त्र 6ण्2 अतः, इस गाँव का बहुलक भूमि - स्वामित्व 6ण्2 हेक्टेयर है। प्रश्नावली 13ण्3 1ण् निम्नलिख्िात बंटन का माध्य ज्ञात कीजिए: 2ण् एक गण्िात टेस्ट में 20 विद्याथ्िार्यों के निम्नलिख्िात प्राप्तांकों का माध्य ज्ञात कीजिए: वगर् 1.3 3.5 5.7 7.10 बारंबारता 9 22 27 17 प्राप्तांक 10.20 20.30 30.40 40.50 50.60 विद्याथ्िार्यों की संख्या 2 4 7 6 1 3ण् निम्नलिख्िात आँकड़ों का माध्य परिकलित कीजिए: 4ण् निम्नलिख्िात सारणी, सारिका द्वारा स्वयं अपनी पुस्तक को पूणर् करने के लिए 30 दिन तक लिखे गये पृष्ठों को दशार्ती है: वगर् 4 दृ 7 8 दृ11 12दृ 15 16 दृ19 बारंबारता 5 4 9 10 प्रतिदिन लिखे पृष्ठों की संख्या 16.18 19.21 22.24 25.27 28.30 दिनों की संख्या 1 3 4 9 13 प्रतिदिन लिखे गये माध्य पृष्ठों की संख्या ज्ञात कीजिए। 5ण् 50 कमर्चारियों के एक प्रतिदशर् की दैनिक आय निम्नलिख्िात रूप में सारणीब( है: आय ;रु मेंद्ध 1.200 201.400 401.600 601.800 कमर्चारियों की संख्या 14 15 14 7 कमर्चारियों की माध्य दैनिक आय ज्ञात कीजिए। 6ण् किसी एयरक्राफ्रट में यात्रिायों के लिए 120 सीटें हैं। 100 उड़ानों के दौरान प्रयोग की गयी सीटों की संख्याएं निम्नलिख्िात सारणी में दी हुइर् हैं: सीटों की संख्या 100.104 104.108 108.112 112.116 116.120 बारंबारता 15 20 32 18 15 इन उड़ानों में प्रयोग की गयी सीटों की संख्या का माध्य निधार्रित कीजिए। 7ण् 50 पहलवानों के भार ;ाह मेंद्ध नीचे सारणी में दिये हैंः भार ;ाह मेंद्ध 100.110 110.120 120.130 130.140 140.150 पहलवानों की संख्या 4 14 21 8 3 इन पहलवानों का माध्य भार ज्ञात कीजिए। 8ण् किसी कार निमार्ता द्वारा एक ही माॅडल की 50 कारों की माइलेश ;अथार्त एक लीटर ईंध्न में कितने ाउ चलती हैंद्ध की जाँच की, जिसके परिणाम नीचे सारणीब( हैंः माइलेज ;ाउध्स्द्ध 10.12 12.14 14.16 16.18 कारों की संख्या 7 12 18 13 माध्य माइलेज ज्ञात कीजिए। निमार्ता यह दावा करता है कि इस माॅडल की माइलेज 16 ाउध्स् है। क्या आप इस दावे से सहमत हैं? 9ण् 40 व्यक्ितयों के भारों ;ाह मेंद्ध का बंटन निम्नलिख्िात हैः भार ;ाह मेंद्ध 40.45 45.50 50.55 55.60 60.65 65.70 70.75 75.80 व्यक्ितयों की संख्या 4 4 13 5 6 5 2 1 उपरोक्त आँकड़ों के लिए, ‘से कम प्रकार’ की एक संचयी बारंबारता बंटन सारणी की रचना कीजिए। 10ण् निम्नलिख्िात सारणी किसी परीक्षा में 800 विद्याथ्िार्यों के प्राप्तांकों के संचयी बारंबारता बंटन को दशार्ती है: प्राप्तांक विद्याथ्िार्यों की संख्या 10 से कम 20 से कम 30 से कम 40 से कम 50 से कम 60 से कम 70 से कम 80 से कम 90 से कम 100 से कम 10 50 130 270 440 570 670 740 780 800 उपरोक्त आँकड़ों के लिए, एक बारंबारता बंटन सारणी की रचना कीजिए। 11ण् निम्नलिख्िात आँकड़ों से एक बारंबारता बंटन सारणी बनाइए। प्राप्तांक ;90 में सेद्ध प्रत्याश्िायों की संख्या 80 से अ�ि�ाक या उसके बराबर 70 से अ�ि�ाक या उसके बराबर 60 से अ�ि�ाक या उसके बराबर 50 से अ�ि�ाक या उसके बराबर 40 से अ�ि�ाक या उसके बराबर 30 से अ�ि�ाक या उसके बराबर 20 से अ�ि�ाक या उसके बराबर 10 से अ�ि�ाक या उसके बराबर 0 से अ�ि�ाक या उसके बराबर 4 6 11 17 23 27 30 32 34 12ण् किसी कक्षा के विद्याथ्िार्यों की ऊँचाइयों ;लंबाइयोंद्ध के निम्नलिख्िात बंटन में अज्ञात प्रविष्िटयाँ ंए इए बए कए म और िज्ञात कीजिए: 13ण् एक विश्िाष्ट दिन किसी अस्पताल में इलाज करा रहे 300 रोगियों की आयु ;वषा±े मेंद्ध निम्नलिख्िात हंै: ऊँचाइर् ;बउ मेंद्ध बारंबारता संचयी बारंबारता 150.155 12 ं 155.160 इ 25 160.165 10 ब 165.170 क 43 170.175 म 48 175.180 2 ि वुफल 50 आयु ;वषा±े मेंद्ध 10.20 20.30 30.40 40.50 50.60 60.70 रोगियों की संख्या 60 42 55 70 53 20 उपरोक्त आँकड़ों के लिए, निम्नलिख्िात को बनाइएः ;पद्ध ‘से कम प्रकार’ का संचयी बारंबारता बंटन ;पपद्ध ‘से अ�ि�ाक प्रकार’ का संचयी बारंबारता बंटन 14ण् नीचे किसी कक्षा के 50 विद्याथ्िार्यों द्वारा प्राप्त अंकों का एक संचयी बारंबारता बंटन दशार्या गया है: प्राप्तांक 20 से कम 40 से कम 60 से कम 80 से कम 100 से कम विद्याथ्िार्यों की संख्या 17 22 29 37 50 उपरोक्त के लिए एक बारंबारता बंटन सारणी बनाइए।