अध्याय ऽ ज्ीम उंजीमउंजपबंस मगचमतपमदबम व िजीम ेजनकमदज पे पदबवउचसमजम प िीम दमअमत ींक जीम वचचवतजनदपजल जव ेवसअम ं चतवइसमउ पदअमदजमक इल ीपउेमसण्ि कृ ळ च्व्स्ल्। ऽ 12ण्1 भूमिका ;प्दजतवकनबजपवदद्ध पिछली कक्षाओं में हम रैख्िाक समीकरणों और दिन प्रति दिन की समस्याओं में उनके अनुप्रयोग पर विचार - विमशर् कर चुके हैं। कक्षा ग्प् में हमने दो चर राश्िायों वाले रैख्िाक असमिकाओं और रैख्िाक असमिकाओं के निकायों के आलेखीय निरूपण से हल निकालने के विषय में अध्ययन कर चुके हैं। गण्िात में कइर् अनुप्रयोगों में असमिकाओं/समीकरणों के निकाय सम्िमलित हैं। इस अध्याय में हम रैख्िाक असमिकाओं/समीकरणों के निकायों का नीचे दी गइर् वुफछ वास्तविक जीवन की समस्याओं को हल करने में उपयोग करेंगे। एक पफनीर्चर व्यापारी दो वस्तुओं जैसे मेश और वुफ£सयों का व्यवसाय करता है। निवेश के लिए उसके पास त्े 50,000 और रखने के लिए केवल 60 वस्तुओं के लिए स्थान है। एक मेश पर त्े 2500 और एक वुफसीर् पर त्े 500 की लागत आती है। वह अनुमान लगाता है कि एक मेश को बेचकर वह त्े 250 और एक वुफसीर् को बेचने से त्े 75 का लाभ कमा सकता है। मान लीजिए कि वह सभी वस्तुओं को बेच सकता है जिनको कि वह खरीदता है तब वह जानना चाहता है कि कितनी मेशों एवं वुफसिर्यों को खरीदना चाहिए ताकि उपलब्ध् निवेश राश्िा पर उसका सकल लाभ अध्िकतम हो। इस प्रकार की समस्याओं जिनमें सामान्य प्रकार की समस्याओं में लाभ का अध्िकतमीकरण और लागत का न्यूनतमीकरण खोजने का प्रयास किया जाता है, इष्टतमकारी समस्याएँ कहलाती हैं। अतः इष्टतमकारी समस्या में अध्िकतम लाभ, न्यूनतम लागत या संसाध्नों का न्यूनतम उपयोग सम्िमलित है। रैख्िाक प्रोग्रामन समस्याएँ एक विशेष लेकिन एक महत्त्वपूणर् प्रकार की इष्टतमकारी समस्या है और उपरोक्त उल्िलख्िात इष्टतमकारी समस्या भी एक रैख्िाक प्रोग्रामन समस्या है। उद्योग, वाण्िाज्य, प्रबंध्न विज्ञान आदि में विस्तृत सुसंगतता के कारण रैख्िाक प्रोग्रामन समस्याएँ अत्यध्िक महत्त्व की हैं। इस अध्याय में, हम वुफछ रैख्िाक प्रोग्रामन समस्याएँ और उनका आलेखी विध्ि द्वारा हल निकालने का अध्ययन करेंगे। यद्यपि इस प्रकार समस्याओं का हल निकालने के लिए अन्य विध्ियाँ भी हैं। 12ण्2 रैख्िाक प्रोग्रामन समस्या और उसका गण्िातीय सूत्राीकरण ;स्पदमंत च्तवहतंउउपदह च्तवइसमउ ंदक पजे डंजीमउंजपबंस थ्वतउनसंजपवदद्ध हम अपना विचार विमशर् उपरोक्त उदाहरण के साथ प्रारंभ करते हैं जो कि दो चर राश्िायों वाली समस्या के गण्िातीय सूत्राीकरण अथवा गण्िातीय प्रतिरूप का मागर्दशर्न करेगा। इस उदाहरण में हमने ध्यानपूवर्क देखा कि ;पद्ध व्यापारी अपनी ध्न राश्िा को मेशों या वुफसिर्यों या दोनों के संयोजनों में निवेश कर सकता है। इसके अतिरिक्त वह निवेश के विभ्िान्न योजनात्मक विध्ियों से विभ्िान्न लाभ कमा सकेगा। ;पपद्ध वुफछ अध्िक महत्त्वपूणर् स्िथतियाँ या व्यवरोधें का भी समावेश है जैसे उसका निवेश अध्िकतम त्े 50,000 तक सीमित है तथा उसके पास अध्िकतम 60 वस्तुओं को रखने के लिए स्थान उपलब्ध् है। मान लीजिए कि वह कोइर् वुफसीर् नहीं खरीदता केवल मेशों के खरीदने का निश्चय करता है, इसलिए वह 50ए000 झ् 2500ए या 20 मेशों को खरीद सकता है। इस स्िथति में उसका सकल लाभ त्े ;250 × 20द्ध या त्े 5000 होगा। मान लीजिए कि वह कोइर् मेश न खरीदकर केवल वुफ£सयाँ ही खरीदने का चयन करता है। तब वह अपनी उपलब्ध् त्े 50,000 की राश्िा में 50ए000 झ् 500ए अथार्त् 100 वुफ£सयाँ ही खरीद सकता है। परंतु वह केवल 60 नगों को ही रख सकता है। अतः वह 60 वुफ£सयाँ मात्रा खरीदने के लिए बाध्य होगा। जिससे उसे सकल लाभ त्े 60 × 75 अथार्त् त्े 4500 ही होगा। ऐसी और भी बहुत सारी संभावनाएँ हैं। उदाहरण के लिए वह 10 मेशों और 50 वुफ£सयाँ खरीदने का चयन कर सकता है, क्योंकि उसके पास 60 वस्तुओं को रखने का स्थान उपलब्ध् है। इस स्िथति में उसका सकल लाभ त्े ;10 × 250 ़ 50 × 75द्धए अथार्त् त्े 6250 इत्यादि। अतः हम ज्ञात करते हैं कि पफनीर्चर व्यापारी विभ्िान्न चयन विध्ियों के द्वारा अपनी ध्न राश्िा का निवेश कर सकता है और विभ्िान्न निवेश योजनाओं को अपनाकर विभ्िान्न लाभ कमा सकेगा। अब समस्या यह है कि उसे अपनी ध्न राश्िा को अध्िकतम लाभ प्राप्त करने के लिए किस प्रकार निवेश करना चाहिए? इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए हमें समस्या का गण्िातीय सूत्राीकरण करने का प्रयास करना चाहिए। 12ण्2ण्1 समस्या का गण्िातीय सूत्राीकरण ;डंजीमउंजपबंस थ्वतउनसंजपवद व िजीम च्तवइसमउद्ध मान लीजिए कि मेशों की संख्याग और वुफसिर्यों की संख्या ल है जिन्हें पफनीर्चर व्यापारी खरीदता है। स्पष्टतः ग और ल )णेतर हैं, अथार्त् ग ≥ 0 ⎫ ण्ण्ण् ;1द्ध ⎬ े ; )णतर व्यवरोध्द्ध ल ≥ 0 ण्ण्ण्;2द्ध  क्यांेकि मेशों और वुफसिर्यों की संख्या )णात्मक नहीं हो सकती है। व्यापारी ;व्यवसायीद्ध पर अध्िकतम ध्न राश्िा ;यहाँ यह त्े 50,000 हैद्ध का निवेश करने का व्यवरोध् है और व्यवसायी के पास केवल अध्िकतम वस्तुओं ;यहाँ यह 60 हैद्ध को रखने के लिए स्थान का भी व्यवरोध् है। गण्िातीय रूप में व्यक्त करने पर 2500ग ़ 500ल ≤ 50ए000 ;निवेश व्यवरोध् द्ध या 5ग ़ ल ≤ 100 ण्ण्ण् ;3द्ध और ग ़ ल ≤ 60 ;संग्रहण व्यवरोध्द्ध ण्ण्ण् ;4द्ध व्यवसायी इस प्रकार से निवेश करना चाहता है उसका लाभ र् ;मानाद्ध अध्िकतम हो और जिसे ग और ल के पफलन के रूप में निम्नलिख्िात प्रकार से व्यक्त किया जा सकता हैः र् त्र 250ग ़ 75ल ;उद्देशीय पफलन कहलाता हैद्ध प्रदत्त समस्या का अब गण्िातीय रूप में परिवतिर्त हो जाती हैः र् त्र 250ग ़ 75ल का अध्िकतमीकरण कीजिए जहाँ व्यवरोध् निम्नलिख्िात है 5ग ़ ल ≤ 100 ग ़ ल ≤ 60 ग ≥ 0ए ल ≥ 0 इसलिए हमें रैख्िाक पफलन र् का अध्िकतमीकरण करना है जबकि )णेतर चरों वाली रैख्िाक असमिकाओं के रूप वुफछ विशेष स्िथतियों के व्यवरोध् व्यक्त किए गए हैं। वुफछ अन्य समस्याएँ भी हैं जिनमें रैख्िाक पफलन का न्यूनतमीकरण किया जाता है जबकि )णेतर चर वाली रैख्िाक असमिकाओं के रूप में वुफछ विशेष स्िथतियों के व्यवरोध् व्यक्त किए जाते है। ऐसी समस्याओं को रैख्िाक प्रोग्रामन समस्या कहते हैं। अतः एक रैख्िाक प्रोग्रामन समस्या वह समस्या है जो कि ग और ल जैसे वुफछ अनेक चरों के एक रैख्िाक पफलन र् ;जो कि उद्देश्य पफलन कहलाता हैद्ध का इष्टतम सुसंगत/अनुवूफलतम सुसंगत मान ;अध्िकतम या न्यूनतम मानद्ध ज्ञात करने से संबंध्ित है। प्रतिबंध् यह है कि चर )णेतर पूणा±क हैं और ये रैख्िाक असमिकाआंे के समुच्चय रैख्िाक व्यवरोधें को संतुष्ट करते हैं। रैख्िाक पद से तात्पयर् है कि समस्या में सभी गण्िातीय संबंध् रैख्िाक हैं जबकि प्रोग्रामन से तात्पयर् है कि विशेष प्रोग्राम या विशेष �ि�या योजना ज्ञात करना। आगे बढ़ने से पूवर् हम अब वुफछ पदों ;जिनका प्रयोग ऊपर हो चुका हैद्ध को औपचारिक रूप से परिभाष्िात करेंगे जिनका कि प्रयोग हम रैख्िाक प्रोग्राम समस्याओं में करेंगेः उद्देश्य पफलन रैख्िाक पफलन र् त्र ंग ़ इलए जबकि ंए इ अचर है जिनका अध्िकतमीकरण या न्यूनतमीकरण होना है एक रैख्िाक उद्देश्य पफलन कहलाता है। उपरोक्त उदाहरण में र् त्र 250ग ़ 75ल एक रैख्िाक उद्देश्य पफलन है। चर ग और ल निणार्यक चर कहलाते हैं। व्यवरोध् एक रैख्िाक प्रोग्रामन समस्या के चरों पर रैख्िाक असमिकाओं या समीकरण या प्रतिबंध् व्यवरोध् कहलाते हैं। प्रतिबंध् ग ≥ 0ए ल ≥ 0 )णेतर व्यवरोध् कहलाते हैं। उपरोक्त उदाहरण में ;1द्ध से ;4द्ध तक असमिकाओं का समुच्चय व्यवरोध् कहलाते हैं। इष्टतम सुसंगत समस्याएँ निश्िचत व्यवरोधें के अध्ीन असमिकाओं के समुच्चय द्वारा निधर्रित समस्या जो चरों ;यथा दो चर ग और ल द्ध में रैख्िाक पफलन को अध्िकतम या न्यूनतम करे, इष्टतम सुसंगत समस्या कहलाती है। रैख्िाक प्रोग्रामन समस्याएँ एक विश्िाष्ट प्रकार की इष्टतम सुसंगत समस्या है। सुसंगत समस्या व्यापारी द्वारा मेशों तथा वुफसिर्यों की खरीद में प्रयुक्त एक इष्टतम सुसंगत समस्या तथा रैख्िाक प्रोग्रामन की समस्या का एक उदाहरण है। अब हम विवेचना करेंगे कि एक रैख्िाक प्रोग्रामन समस्या को किस प्रकार हल किया जाता है। इस अध्याय में हम केवल आलेखीय विध्ि से ही संबंध्ित रहेंगे। 12ण्2ण्2 रैख्िाक प्रोग्रामन समस्याओं को हल करने की आलेखीय विध्ि ;ळतंचीपबंस डमजीवक व िैवसअपदह स्पदमंत च्तवहतंउउपदह च्तवइसमउेद्ध कक्षा ग्प्ए में हम सीख चुके है कि किस प्रकार दो चरों ग और ल से संबंध्ित रैख्िाक असमीकरण निकायों का आरेख खींचते हैं तथा आरेखीय विध्ि द्वारा हल ज्ञात करते हैं। अब हमें अनुच्छेद 12.2 में विवेचन की हुइर् मेशों और वुफसिर्यों में निवेश की समस्या का उल्लेख करेंगे। अब हम इस समस्या को आरेख द्वारा हल करेंगे। अब हमें रैख्िाक असमीकरणों के रूप प्रदत्त व्यवरोधें का आरेख खींचेंः 5ग ़ ल ≤ 100 ण्ण्ण् ;1द्ध ग ़ ल ≤ 60 ण्ण्ण् ;2द्ध ग ≥ 0 ण्ण्ण् ;3द्ध ल ≥ 0 ण्ण्ण् ;4द्ध इस निकाय का आरेख ;छायां कित क्षेत्राद्ध में असमीकरणों ;1द्ध से ;4द्ध तक के द्वारा नियत सभी अध्र्तलों के उभयनिष्ठ ¯बदुओं से निमिर्त हैं। इस क्षेत्रा में प्रत्येक ¯बदु व्यापारी ;व्यवसायीद्ध को मेशों और वुफसिर्यों में निवेश करने के लिए सुसंगत विकल्प प्रस्तुत करता है। इसलिए यह क्षेत्रा समस्या का सुसंगत क्षेत्रा कहलाता है ;आवृफति 12.1द्ध। इस क्षेत्रा का प्रत्येक ¯बदु समस्या का सुसंगत हल कहलाता है। आवृफति 12ण्1 अतः हम निम्न को परिभाष्िात करते हैंः सुसंगत क्षेत्रा प्रदत्त समस्या के लिए एक रैख्िाक प्रोग्रामन समस्या के )णेतर व्यवरोध् गए ल ≥ 0 सहित सभी व्यवरोधें द्वारा नियत उभयनिष्ठ क्षेत्रा सुसंगत क्षेत्रा ;या हल क्षेत्राद्ध कहलाता है आवृफति 12.1 में क्षेत्रा व्।ठब् ;छायांकितद्ध समस्या के लिए सुसंगत क्षेत्रा है। सुसंगत क्षेत्रा के अतिरिक्त जो क्षेत्रा है उसेे असुसंगत क्षेत्रा कहते हैं। सुसंगत हल समूह सुसंगत क्षेत्रा के अंतः भाग तथा सीमा के सभी ¯बदु व्यवरोधें के सुसंगत हल कहलाते हैं। आवृफति 12.1 में सुसंगत क्षेत्रा व्।ठब् के अंतः भाग तथा सीमा के सभी ¯बदु समस्या के सुसंगत हल प्रदश्िार्त कहते हैं। उदाहरण के लिए ¯बदु ;10, 50द्ध समस्या का एक सुसंगत हल है और इसी प्रकार ¯बदु ;0, 60द्ध, ;20, 0द्ध इत्यादि भी हल हैं। सुसंगत हल के बाहर का कोइर् भी ¯बदु असुसंगत हल कहलाता हैं उदाहरण के लिए ¯बदु ;25, 40द्ध समस्या का असुसंगत हल है। इष्टतम/अनुवूफलतम ;सुसंगतद्ध हलः सुसंगत क्षेत्रा में कोइर् ¯बदु जो उद्देश्य पफलन का इष्टतम मान ;अध्िकतम या न्यूनतमद्ध दे, एक इष्टतम हल कहलाता है। अब हम देखते हैं कि सुसंगत क्षेत्रा व्।ठब् में प्रत्येक ¯बदु ;1द्ध से ;4द्ध तक में प्रदत्त सभी व्यवरोधें को संतुष्ट करता है और ऐसे अनंत ¯बदु हैं। यह स्पष्ट नहीं है कि हम उद्देश्य पफलन र् त्र 250ग ़ 75ल के अध्िकतम मान वाले ¯बदु को किस प्रकार ज्ञात करने का प्रयास करें। इस स्िथति को हल करने के लिए हम निम्न प्रमेयों का उपयोग करेंगे जो कि रैख्िाक प्रोग्रामन समस्याओं को हल करने में मूल सि(ांत ;आधरभूतद्ध है। इन प्रमेयों की उपपति इस पुस्तक के विषय - वस्तु से बाहर है। प्रमेय 1 माना कि एक रैख्िाक प्रोग्रामन समस्या के लिए त् सुसंगत क्षेत्रा’ ;उत्तल बहुभुजद्ध है और माना कि र् त्र ंग ़ इल उद्देश्य पफलन है। जब र् का एक इष्टतम मान ;अध्िकतम या न्यूनतमद्ध हो जहाँ व्यवरोधंे से संबंध्ित चर ग और ल रैख्िाक असमीकरणों द्वारा व्यक्त हो तब यह इष्टतम मान सुसंगत क्षेत्रा के कोने ;शीषर्द्ध पर अवस्िथत होने चाहिए। प्रमेय 2 माना कि एक रैख्िाक प्रोग्रामन समस्या के लिए त् सुसंगत क्षेत्रा है तथा र् त्र ंग ़ इल उद्देश्य पफलन है। यदि त् परिब( क्षेत्रा हो तब उद्देश्य पफलन र्ए त् में दोनों अध्िकतम और न्यूनतम मान रखता है और इनमें से प्रत्येक त् के कोनीय ;बवतदमतद्ध ¯बदु ;शीषर्द्ध पर स्िथत होता है। टिप्पणी यदि त् अपरिब( है तब उद्देश्य पफलन का अध्िकतम या न्यूनतम मान का अस्ितत्व नहीं भी हो सकता है। पिफर भी यदि यह विद्यमान है तो त् के कोनीय ¯बदु पर होना चाहिए, ;प्रमेय 1 के अनुसारद्ध उपरोक्त उदाहरण में परिब( ;सुसंगतद्ध क्षेत्रा के कोनीय ¯बदु व्ए ।ए ठ और ब् हैं और ¯बदुओं के निदेर्शांक ज्ञात करना सरल है यथा ;0ए 0द्धए ;20ए 0द्धए ;10ए 50द्ध और ;0ए 60द्ध क्रमशः कोनीय ¯बदु हैं। अब हमें इन ¯बदुओं परए र् का मान ज्ञात करना है। वह इस प्रकार हैः सुसंगत क्षेत्रा के शीषर् र् के संगत मान व् ;0ए0द्ध 0 । ;0ए60द्ध 4500 ठ ;10ए50द्ध 6250 ← ब् ;20ए0द्ध 5000 अध्िकतम हम निरीक्षण करते हैं कि व्यवसायी को निवेश योजना ;10, 50द्ध अथार्त् 10 मेशों और 50 वुफसिर्यों के खरीदने में अध्िकतम लाभ होगा। इस विध्ि में निम्न पदों का समाविष्ट हैंः 1ण् रैख्िाक प्रोग्रामन समस्या का सुसंगत क्षेत्रा ज्ञात कीजिए और उसके कोनीय ¯बदुओं ;शीषर्द्ध को या तो निरीक्षण से अथवा दो रेखाओं के प्रतिच्छेद ¯बदु को दो रेखाओं की समीकरणों को हल करके उस ¯बदु को ज्ञात कीजिए। 2ण् उद्देश्य पफलन र् त्र ंग ़ इल का मान प्रत्येक कोनीय ¯बदु पर ज्ञात कीजिए। माना कि ड और उए क्रमशः इन ¯बदुओं पर अध्िकतम तथा न्यूनतम मान प्रदश्िार्त करते हैं। 3ण् ;पद्ध जब सुसंगत क्षेत्रा परिब( है, ड और उए र् के अध्िकतम और न्यूनतम मान हंै। ;पपद्ध ऐसी स्िथति में जब सुसंगत क्षेत्रा अपरिब( हो तो हम निम्नलिख्िात विध्ि का उपयोग करते हैं। 4ण् ;ंद्धड कोर् का अध्िकतम मान लेते हैं यदि ंग ़ इल झ ड द्वारा प्राप्त अध्र् - तल का कोइर् ¯बदु सुसंगत क्षेत्रा में न पड़े अन्यथा र् कोइर् अध्िकतम मान नहीं है। ;इद्ध इसी प्रकारए उए को र् का न्यूनतम मान लेते हंै यदि ंग ़ इल ढ उ द्वारा प्राप्त खुले अध्र्तल और सुसंगत क्षेत्रा में कोइर् ¯बदु उभयनिष्ठ नहीं है। अन्यथा र् का कोइर् न्यूनतम मान नहीं है। हम अब वुफछ उदाहरणों के द्वारा कोनीय विध्ि के पदों को स्पष्ट करेंगेः उदाहरण 1 आलेख द्वारा निम्न रैख्िाक प्रोग्रामन समस्या को हल कीजिएः निम्न व्यवरोधें के अंतगर्त ग ़ ल ≤ 50 ण्ण्ण् ;1द्ध ’ सुसंगत क्षेत्रा का कोनीय ¯बदु क्षेत्रा का ही कोइर् ¯बदु होता है जो दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन ¯बदु है। ’’ एक रैख्िाक समीकरण निकाय का सुसंगत क्षेत्रा परिब( कहा जाता है यदि यह एक वृत के अंतगर्त परिब( किया जा सकता है अन्यथा इसे अपरिब( कहते हैं। अपरिब( से तात्पयर् है कि सुसंगत क्षेत्रा किसी भी दिशा में असीमित रूप से बढ़ाया जा सकता है। 3ग ़ ल ≤ 90 ण्ण्ण् ;2द्ध ग ≥ 0ए ल ≥ 0 ण्ण्ण् ;3द्ध र् त्र 4ग ़ ल का अध्िकतम मान ज्ञात कीजिएः हल आवृफति 12.2 में छायांकित क्षेत्रा ;1द्ध से ;3द्ध के व्यवरोधें के निकाय के द्वारा निधर्रित सुसंगत क्षेत्रा है। हम निरीक्षण करते है कि सुसंगत क्षेत्रा व्।ठब् परिब( है। इसलिए हम र् का अध्िकतम मान ज्ञात करने के लिए कोनीय ंिबंदु विध्ि का उपयोग करेंगे। अध्िकतम आवृफति 12ण् 2 कोनीय ¯बदुओं व्ए ।ए ठ और ब् के निदेर्शांक क्रमशः ;0ए 0द्धए ;30ए 0द्धए ;20ए 30द्ध और ;0ए 50द्ध हैं। अब प्रत्येक कोनीय ¯बदु परर् का मान ज्ञात करते हैं। अतः ¯बदु ;30, 0द्ध पर र् का अध्िकतम मान 120 है। उदाहरण 2 आलेखीय विध्ि द्वारा निम्न रैख्िाक प्रोग्रामन समस्या को हल कीजिए। निम्न व्यवरोधें के अंतगर्त ग ़ 2ल ≥ 10 ण्ण्ण् ;1द्ध 3ग ़ 4ल ≤ 24 ण्ण्ण् ;2द्ध ग ≥ 0ए ल ≥ 0 ण्ण्ण् ;3द्ध र् त्र 200 ग ़ 500 ल का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए हल आवृफति 12.3 में छायांकित क्षेत्रा, ;1द्ध से ;3द्ध के व्यवरोधें के निकाय द्वारा निधर्रित सुसंगत क्षेत्रा ।ठब् है जो परिब( है। कोनीय ¯बदुओं ।ए ठ और ब् के निदेर्शांक क्रमशः ;0ए 5द्धए ;4ए 3द्ध और ;0ए 6द्ध हैं। हम इन ¯बदुओं पर र् त्र 200ग ़ 500ल का मान ज्ञात करते हैं आवृफति 12ण्3 अतः ¯बदु ;4, 3द्ध पर र् का न्यूनतम मान त्े 2300 प्राप्त होता है। उदाहरण 3 आलेखीय विध्ि से निम्न समस्या को हल कीजिएः निम्न व्यवरोधें के अंतगर्त ग ़ 3ल ≤ 60 ण्ण्ण् ;1द्ध ग ़ ल ≥ 10 ण्ण्ण् ;2द्ध ग ≤ ल ण्ण्ण् ;3द्ध ग ≥ 0ए ल ≥ 0 ण्ण्ण् ;4द्ध र् त्र 3ग ़ 9ल का न्यूनतम और अध्िकतम मान ज्ञात कीजिए। हल सबसे पहले हम ;1द्ध से ;4द्ध तक की रैख्िाक असमिकाओं के निकाय के सुसंगत क्षेत्रा का आलेख खींचते हैं। सुसंगत क्षेत्रा ।ठब्क् को आवृफति 12.4 में दिखाया गया है। क्षेत्रा परिब( है। कोनीय ¯बदुओं ।ए ठए ब् और क् के निदेर्शांक क्रमशः ;0ए 10द्धए ;5ए 5द्धए ;15ए15द्ध और ;0ए 20द्ध हैं। अब हम र् के न्यूनतम और अध्िकतम मान ज्ञात करने के लिए कोनीय ¯बदु विध्ि का उपयोग करते हैं। सारणी से हम सुसंगत क्षेत्रा ¯बदु ठ ;5, 5द्ध पर र् का न्यूनतममान 60 प्राप्त करते हैं। कोनीय ¯बदु र् त्र दृ 50ग ़ 20ल ;0ए 5द्ध ;0ए 3द्ध ;1ए 0द्ध ;6ए 0द्ध 100 60 दृ50 दृ 300 र् का अध्िकतम मान सुसंगत क्षेत्रा के दो कोनीय ¯बदुओं प्रत्येक ब् ;15ए 15द्ध और क् ;0ए 20द्ध पर 120 प्राप्त होता है। टिप्पणी निरीक्षण कीजिए कि उपरोक्त उदाहरण में, समस्या कोनीय ¯बदुओं ब् और क्एपर समान इष्टतम हल रखती है, अथार्त् दोनों ¯बदु वही अध्िकतम मान 180 उत्पन्न करते हैं। ऐसी स्िथतियों में दो कोनीय ¯बदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड ब्क् पर प्रत्येक ¯बदु तथा ब् और क् भी एक ही अध्िकतम मान देते हैं। वही उस स्िथति में भी सत्य है यदि दो ¯बदु वही न्यूनतम मान उत्पन्न करते हैं। उदाहरण 4 आलेखीय विध्ि द्वारा उद्देश्य पफलन र् त्र दृ50ग ़ 20ल का न्यूनतम मान निम्नलिख्िात व्यवरोधें के अंतगर्त ज्ञात कीजिएः 2ग दृ ल ≥ दृ 5 ण्ण्ण् ;1द्ध 3ग ़ ल ≥ 3 ण्ण्ण् ;2द्ध 2ग दृ 3ल ≤ 12 ण्ण्ण् ;3द्ध ग ≥ 0ए ल ≥ 0 ण्ण्ण् ;4द्ध हल सबसे पहले हम ;1द्ध से ;4द्ध तक के असमीकरण निकाय द्वारा सुसंगत क्षेत्रा का आलेख खींचते है। आवृफति 12.5 में सुसंगत क्षेत्रा ;छायांकितद्ध दिखाया गया है। निरीक्षण कीजिए कि सुसंगत क्षेत्रा अपरिब( है। अब हम कोनीय ¯बदुओं पर र् का मान भी ज्ञात करेंगेः ← सबसे कम इस सारणी से हम ज्ञात करते हैं कि कोनीय ¯बदु ;6, 0द्ध पर र् का सबसे कम मान - 300 है। क्या हम कह सकते हैं कि र् का न्यूनतम मान - 300 है? ध्यान दीजिए कि यदि क्षेत्रा परिब( होता तो यह र् का सबसे कम मान ;प्रमेय 2 सेद्ध होता।लेकिन हम यहाँ देखते हैं कि सुसंगत क्षेत्रा अपरिब( है। इसलिए - 300, र् का न्यूनतम मान हो भी सकता है और नहीं भी। इस समस्या का निष्कषर् ज्ञात करने के लिए हम निम्नलिख्िात असमीकरण का आलेख खींचते हैंः दृ 50ग ़ 20ल ढ दृ 300 अथार्त् दृ 5ग ़ 2ल ढ दृ 30 और जाँच कीजिए कि आलेख द्वारा प्राप्त खुले अध्र्तल व सुसंगत क्षेत्रा में उभयनिष्ठ ¯बदु हैं या नहीं है। यदि इसमें उभयनिष्ठ ¯बदु हैं, तब र् का न्यूनतम मान - 300 नहीं होगा। अन्यथा, र् का न्यूनतम मान - 300 होगा। जैसा कि आवृफति 12.5 में दिखाया गया है। इसलिए, र् त्र दृ50 ग ़ 20 लए का प्रदत्त व्यवरोधें के परिप्रेक्ष्य मंे न्यूनतम मान नहीं है। उपरोक्त उदाहरण मे क्या आप जाँच कर सकते हैं कि र् त्र दृ 50 ग ़ 20 लए ;0, 5द्ध पर अध्िकतम मान 100 रखता है? इसके लिए, जाँच कीजिए कि क्या दृ 50 ग ़ 20 ल झ 100 का आरेख सुसंगत क्षेत्रा के साथ उभयनिष्ठ ¯बदु रखता है। उदाहरण 5 निम्नलिख्िात व्यवरोधें के अंतगर्त, र् त्र 3ग ़ 2ल का न्यूनतमीकरण कीजिएः ग ़ ल ≥ 8 ण्ण्ण् ;1द्ध 3ग ़ 5ल ≤ 15 ण्ण्ण् ;2द्ध ग ≥ 0ए ल ≥ 0 ण्ण्ण् ;3द्ध हल असमिकाओं ;1द्ध से ;3द्ध का आलेख खींचिए ;आवृफति 12.6द्ध। क्या कोइर् सुसंगत क्षेत्रा है? यह ऐसा क्यों है? आवृफति 12.6 से आप ज्ञात कर सकते है कि ऐसा कोइर् ¯बदु नहीं है जो सभी व्यवरोधें को एक साथ संतुष्ट कर सके। अतः, समस्या का सुसंगत हल नहीं है। टिप्पणी उदाहरणों से जिनका विवेचन हम अब तक कर चुके हैं जिसके आधर पर हम वुफछ रैख्िाक प्रोग्रामन समस्याओं की सामान्य विशेषताओं का उल्लेख करते हैं। ;1द्ध सुसंगत क्षेत्रा सदैव उत्तल बहुभुज होता है। ;2द्ध उद्देश्य पफलन का अध्िकतम ;या न्यूनतमद्ध हल सुसंगत क्षेत्रा के शीषर् पर आवृफति 12ण्6 ;कोने परद्ध स्िथत होता है। यदि उद्देश्य पफलन के दो कोनीय ¯बदु ;शीषर्द्ध एक ही अध्िकतम ;या न्यूनतमद्ध मान प्रदान करते हंै तो इन ¯बदुओं के मिलाने वाली रेखाखंड का प्रत्येक ¯बदु भी समान अध्िकतम ;या न्यूनतमद्ध मान देगा। प्रश्नावली 12.1 ग्राप़फीय विध्ि से निम्न रैख्िाक प्रोग्रामन समस्याओं को हल कीजिएः 1ण् निम्न अवरोधें के अंतगर्त र् त्र 3ग ़ 4ल का अध्िकतमीकरण कीजिएः ग ़ ल ≤ 4ए ग ≥ 0ए ल ≥ 0 2ण् निम्न अवरोधें के अंतगर्त र् त्र दृ 3ग ़ 4 ल का न्यूनतमीकरण कीजिएः ग ़ 2ल ≤ 8ए 3ग ़ 2ल ≤ 12ए ग ≥ 0ए ल ≥ 0 3ण् निम्न अवरोधें के अंतगर्त र् त्र 5ग ़ 3ल का अध्िकतमीकरण कीजिएः 3 ग ़ 5ल ≤ 15ए 5ग ़ 2ल ≤ 10ए ग ≥ 0ए ल ≥ 0 4ण् निम्न अवरोधें के अंतगर्त र् त्र 3ग ़ 5ल का न्यूनतमीकरण कीजिएऋ ग ़ 3ल ≥ 3ए ग ़ ल ≥ 2ए गए ल ≥ 0 5ण् निम्न अवरोधें के अंतगर्त र् त्र 3ग ़ 2ल का न्यूनतमीकरण कीजिएः ग ़ 2ल ≤ 10ए 3ग ़ ल ≤ 15ए गए ल ≥ 0 6ण् निम्न अवरोधें के अंतगर्त र् त्र ग ़ 2ल का न्यूनतमीकरण कीजिएः 2ग ़ ल ≥ 3ए ग ़ 2ल ≥ 6ए गए ल ≥ 0 दिखाइए कि र् का न्यूनतम मान दो ¯बदुओं से अध्िक ¯बदुओं पर घटित होता है। 7ण् निम्न अवरोधें के अंतगर्त र् त्र 5ग ़ 10 ल का न्यूनतमीकरण तथा अध्िकतमीकरण कीजिएः ग ़ 2ल ≤ 120ए ग ़ ल ≥ 60ए ग दृ 2ल ≥ 0ए गए ल ≥ 0 8ण् निम्न अवरोधें के अंतगर्त र् त्र ग ़ 2ल का न्यूनतमीकरण तथा अध्िकतमीकरण कीजिएः ग ़ 2ल ≥ 100ए 2ग दृ ल ≤ 0ए 2ग ़ ल ≤ 200य गए ल ≥ 0 9ण् निम्न अवरोधें के अंतगर्त र् त्र दृ ग ़ 2ल का अध्िकतमीकरण कीजिएः ग ≥ 3ए ग ़ ल ≥ 5ए ग ़ 2ल ≥ 6ए ल ≥ 0 10ण् निम्न अवरोधें के अंतगर्त र् त्र ग ़ ल का अध्िकतमीकरण कीजिएः ग दृ ल ≤ दृ1ए दृग ़ ल ≤ 0ए गए ल ≥ 0 12ण्3 रैख्िाक प्रोग्रामन समस्याओं के भ्िान्न प्रकार ;क्पमिितमदज ज्लचमे व िस्पदमंत च्तवहतंउउपदह च्तवइसमउेद्ध वुफछ महत्त्वपूणर् रैख्िाक प्रोग्रामन समस्याएँ नीचे सूूचीब( हंैः 1ण् उत्पादन संबंध्ी समस्याएँ इस प्रकार की समस्याओं में हम ज्ञात करते हैं कि विभ्िान्न उत्पादनों के कितने नग बनाने में एक निश्िचत जनशक्ित, मशीन के घंटे, प्रत्येक नग के निमार्ण में व्यय, श्रम के घंटे, माल भंडारण गोदाम में प्रत्येक उत्पादन को रखने के लिए स्थान आदि को दृष्िट में रखते हुए अध्िकतम लाभ कमाया जा सके। 2ण् आहार संबंध्ी समस्याएँ इस प्रकार की समस्याओं में हम ज्ञात करते हैं कि विभ्िान्न प्रकार के घटक/पोषक तत्व आहार में कितनी मात्रा में प्रयोग किए जाएँ जिससे उसमें सभी पोषक तत्वों की न्यूनतम आवश्यक मात्रा कम से कम लागत पर प्राप्त हो। 3ण् परिवहन संबंध्ी समस्याएँ इस प्रकार की समस्याओं में हम परिवहन प्रणाली को तय करते हैं जिससे संयंत्रों / कारखाने से विभ्िान्न स्थानों पर स्िथत विभ्िान्न बाजारों में उत्पादनों को भेजने में परिवहन व्यय न्यूनतम हो। अब हमें इस प्रकार की वुफछ रैख्िाक प्रोग्रामन समस्याओं को हल करना चाहिए उदाहरण 6 ;आहार संबंध्ी समस्याद्धरू एक आहार विज्ञानी दो प्रकार के भोज्यों को इस प्रकार मिलाना चाहता है कि मिश्रण में विटामिन । का घटक कम से कम 8 मात्राक और विटामिन ब् का घटक कम से कम 10 मात्राक हो। भोज्य प् में 2 मात्राक विटामिन ।प्रति ाह और 1 मात्राक विटामिन ब् प्रति ाह है। जबकि भोज्य प्प् में 1 मात्राक विटामिन । प्रति ाह और 2 मात्राक विटामिन ब् प्रति ाह है। दिया है कि प्रति ाह भोज्य प् को खरीदने में त्े 50 और प्रति ाह भोज्य प्प् को खरीदने में त्े 70 लगते हैं। इस प्रकार के भोज्य मिश्रण का न्यूनतम मूल्य ज्ञात कीजिए। हल माना कि मिश्रण में भोज्य प् का ग ाह और भोज्य प्प् का ल ाह है। स्पष्टतःग ≥ 0ल ≥ 0ण् हम प्रदत्त आँकड़ों से निम्न सारणी बनाते हैं। ड्डोत भोज्य पदाथर् आवश्यकता प् प्प् ;मात्राकों मेंद्ध ;गद्ध ;लद्ध विटामिन। 2 1 8 ;मात्राक/ाहद्ध विटामिन ब् 1 2 10 ;मात्राक/ाहद्ध लागत;त्े/ाहद्ध 50 70 चूँकि मिश्रण में विटामिन । की कम से कम 8 मात्राक और विटामिन ब् के 10 मात्राक होने चाहिए, अतः निम्नलिख्िात व्यवरोध् प्राप्त होते हैं 2ग ़ ल ≥ 8 ग ़ 2ल ≥ 10 भोज्य प् के ग ाह और भोज्य प्प् के ल ाह खरीदने का वुफल मूल्यर् है जहाँ र् त्र 50ग ़ 70ल अतः समस्या का गण्िातीय सूत्राीकरण निम्नलिख्िात हैः निम्न व्यवरोधें के अंतगर्त 2ग ़ ल ≥ 8 ण्ण्ण् ;1द्ध ग ़ 2ल ≥ 10 ण्ण्ण् ;2द्ध गए ल ≥ 0 ण्ण्ण् ;3द्ध र् त्र 50ग ़ 70ल का न्यूनतमीकरण कीजिए असमीकरणों ;1द्ध से ;3द्ध तक के आलेखों द्वारा निधर्रित सुसंगत क्षेत्रा को आवृफति 12.7 में दिखाया आवृफति 12ण्7 यहाँ हम देखते हंै कि सुसंगत क्षेत्रा अपरिब( है। हमें कोनीय ¯बदुओं ।;0ए8द्धए ठ;2ए4द्ध और ब्;10ए0द्ध पर र् का मान ज्ञात करना है। सारणी में, ¯बदु ;2, 4द्ध पर र् का सबसे कम मान 380 है, क्या हम कह सकते हैं कि र् का न्यूनतम मान 380 है ;क्यों?द्ध याद कीजिए कि सुसंगत क्षेत्रा अपरिब( है। इसलिए हमें निम्नलिख्िात असमीकरण का आलेख खींचना पड़ेगा। 50ग ़ 70ल ढ 380 अथार्त् 5ग ़ 7ल ढ 38 जाँच करने के लिए कि क्या असमीकरण द्वारा निधर्रित परिणामी खुला अध्र्तल, सुसंगत क्षेत्रा के साथ कोइर् उभयनिष्ठ ¯बदु रखता है। आवृफति 12.7 में हम देखते हैं कि यहाँ कोइर् उभयनिष्ठ ¯बदु नहीं है। अतः, ¯बदु ;2, 4द्ध पर र् का प्राप्त न्यूनतम मान 380 है। इसलिए आहार विज्ञानी की इष्टतम मिश्रण योजना भोज्य ष्प्ष् की 2 ाह और भोज्य ष्प्प्ष् के 4 ाह के मिश्रण बनाने की हो सकती है और इस योजना के अंतगर्त मिश्रण का न्यूनतम मूल्य त्े 380 होगा। उदाहरण 7 ;आबंटन समस्याद्ध किसानों की एक सहकारी समिति के पास दो प़फसलों ग् और ल् को उगाने के लिए 50 हेक्टेयर भूमि है। पफसलों ग् और ल् से प्रति हेक्टेयर लाभ का क्रमशः त्े 10ए500 और त्े 9ए000 का अनुमान लगाया गया है। पफसलों ग् और ल् के लिए अपतृण नियंत्राण के लिए शाक - नाशी द्रव का क्रमशः 20 लिटर तथा 10 लिटर प्रति हेक्टेयर प्रयोग किया जाता है। इसके अतिरिक्त प्रयुक्त भूमि से जुड़ी नालियों से संब( तालाब पर निभर्र जीवधरियों एवं मछलियों की जीवन - सुरक्षा हेतु शाकनाशी की मात्रा 800 लिटर से अध्िक न हो। प्रत्येक प़फसल के लिए कितनी भूमि का आबंटन होना चाहिए ताकि समिति के सकल लाभ का अध्िकतमीकरण किया जा सके? हल माना कि ग् पफसल के लिए ग हेक्टेयर भूमि तथा ल्पफसल के ल हेक्टेयर भूमि का आबंटन होता है। स्पष्टतः ग ≥ 0ए ल ≥ 0 ग् पफसल पर प्रति हेक्टेयर लाभ त्र त्े 10500 ल् पफसल पर प्रति हेक्टेयर लाभ त्र त्े 9000 इसलिए वुफल लाभ त्र त्े ;10500ग ़ 9000लद्ध समस्या का गण्िातीय सूत्राीकरण निम्न हैः निम्न अवरोधें के अंतगर्त ग ़ ल ≤ 50 ;भूमि संबंध्ी व्यवरोध्द्ध ण्ण्ण् ;1द्ध 20ग ़ 10ल ≤ 800 ;शाकनाशी का उपयोग संबंध्ी व्यवरोध्द्ध अथार्त् 2ग ़ ल ≤ 80 ण्ण्ण् ;2द्ध ग ≥ 0ए ल ≥ 0 ण्ण्ण् ;3द्ध र् त्र 10500 ग ़ 9000 ल का अध्िकतमीकरण कीजिए अब हम ;1द्ध से ;3द्ध तक असमीकरण निकाय का आलेख खीचते हैं। आवृफति 12.8 में सुसंगत क्षेत्रा व्।ठब् को छायांकित दिखाया गया है। निरीक्षण कीजिए कि सुसंगत क्षेत्रा परिब( है। अध्िकतम आवृफति 12ण्8 कोनीय ¯बदुओं के निदेर्शांक क्रमशः ;0ए 0द्धए ;40ए 0द्धए ;30ए 20द्ध और ;0ए 50द्ध हंै। उद्देश्य पफलन र् त्र 10500 ग ़ 9000ल का मान इन शीषो± पर निकालना चाहिए ताकि उस शीषर् को ज्ञात किया जा सके जिस पर अध्िकतम लाभ होता है। अतः समिति को ग् पफसल के लिए 30 हेक्टयर और ल्पफसल के 20 हेक्टयर का आबंटन होगा ताकि अध्िकतम लाभ त्े 4ए95ए000 का हो सके। उदाहरण 8 उत्पादन संबंध्ी समस्या ;डंदनंिबजनतपदह च्तवइसमउद्ध एक निमार्णकतार् कंपनी एक उत्पाद के दो नमूने ;प्रतिमानद्ध । और ठ बनाती है। नमूना । के प्रत्येक नग बनाने के लिए 9 श्रम घंटे और 1 घंटा पाॅलिश करने के लिए लगता है जबकि नमूना ठ के प्रत्येक नग के बनाने में 12 श्रम घंटे तथा पाॅलिश करने में 3 श्रम घटों की आवश्यकता होती है। बनाने तथा पाॅलिश करने के लिए उपलब्ध् अध्िकतम श्रम घंटे क्रमशः 180 तथा 30 हैं। वंफपनी नमूना । के प्रत्येक नग पर त्े 8000 तथा नमूना ठ के प्रत्येक नग पर त्े12000 का लाभ कमाती है। नमूना । और नमूना ठ के कितने नगों का अध्िकतम लाभ कमाने के लिए प्रति सप्ताह निमार्ण करना चाहिए? प्रति सप्ताह अध्िकतम लाभ क्या है? हल मान लीजिए कि नमूना । के नगों की संख्या ग है तथा नमूना ठ के नगों की संख्या ल है। इसलिए वुफल लाभ त्र ;त्े 8000 ग ़ 12000 लद्ध अतः र् त्र 8000 ग ़ 12000 ल अब हमारे पास प्रदत्त समस्या का गण्िातीय सूत्राीकरण निम्नलिख्िात हैः निम्न व्यवरोधें के अंतगर्त 9ग ़ 12ल ≤ 180 अथार्त् 3ग ़ 4ल ≤ 60 ;गढ़ने का व्यवरोध्द्ध ण्ण्ण् ;1द्ध ग ़ 3ल ≤ 30 ;पाॅलिश का व्यवरोध्द्ध ण्ण्ण् ;2द्ध ग ≥ 0ए ल ≥ 0;)णेतर व्यवरोध्द्ध ण्ण्ण् ;3द्ध र् त्र 8000 ग ़ 12000 ल का अध्िकतमीकरण कीजिए। रैख्िाक असमीकरण ;1द्ध से ;3द्ध द्वारा निधर्रित सुसंगत क्षेत्रा व्।ठब् ;छायांकितद्ध आवृफति 12.9 में दिखाया गया है। ध्यान दीजिए कि सुसंगत क्षेत्रा परिब( है। आवृफति 12ण्9 प्रत्येक कोनीय ¯बदु पर उद्देश्य पफलन र् का मान की गणना की गइर् है जैसा कि निम्न सारणी में दिखाया गया हैः कोनीय ¯बदु र् त्र 8000 ग ़ 12000 ल 0 ;0ए 0द्ध 0 । ;20ए 0द्ध 160000 ठ ;12ए 6द्ध 168000 ← ब् ;0ए 10द्ध 120000 अध्िकतम हम शीषर् ठ ;12ए 6द्ध पर र् का अध्िकतम मान त्े 1ए68ए000 पाते हैं। अतः वंफपनी को नमूना । के 12 नग तथा नमूना ठ के 6 नगों के उत्पादन पर अध्िकतम लाभ कमाने के लिए करना चाहिए और अध्िकतम लाभ त्े 1ए68ए000होगा। प्रश्नावली 12.2 1ण् रेशमा दो प्रकार के भोज्य च् और फ को इस प्रकार मिलाना चाहती है कि मिश्रण में विटामिन अवयवों में 8 मात्राक विटामिन । तथा 11 मात्राक विटामिन ठ हों। भोज्य च् की लागत त्े 60/ाह और भोज्य फ की लागत त्े 80/ाह है। भोज्य च् में 3 मात्राक/ाह विटामिन ।और 5 मात्राक/ाह विटामिन ठ है जबकि भोज्य फ में 4 मात्राक/ाह विटामिन । और 2 मात्राक/ाह विटामिन है। मिश्रण की न्यूनतम लागत ज्ञात कीजिए। 2ण् एक प्रकार के केक को 200 ह आटा तथा 25 ह वसा ;ंिजद्धकी आवश्यकता होती है तथा दूसरी प्रकार के केक के लिए 100 ह आटा तथा 50 ह वसा की आवश्यकता होती है। केकों की अध्िकतम संख्या बताओ जो 5 किलो आटे तथा 1 किलो वसा से बन सकते हैं, यह मान लिया गया है कि केकों को बनाने के लिए अन्य पदाथो± की कमी नहीं रहेगी। 3ण् एक कारखाने में टेनिस के रैकेट तथा �ि�केट के बल्ले बनते हैं। एक टेनिस रैकेट बनाने के लिए 1.5 घंटा यांत्रिाक समय तथा 3 घंटे श्िाल्पकार का समय लगता है। एक �ि�केट बल्ले को तैयार करने में 3 घंटे यांत्रिाक समय तथा 1 घंटा श्िाल्पकार का समय लगता है। एक दिन में कारखाने में विभ्िान्न यंत्रों पर उपलब्ध् यांत्रिाक समय के 42 घंटे और श्िाल्पकार समय के 24 घंटे से अध्िक नहीं हैं। ;पद्ध रैकेटों और बल्लों को कितनी संख्या में बनाया जाए ताकि कारखाना पूरी क्षमता से कायर् करे? ;पपद्ध यदि रैकेट और बल्ले पर लाभ क्रमशः त्े 20 तथा त्े 10 हों तो कारखाने का अध्िकतम लाभ ज्ञात कीजिए यदि कारखाना पूरी क्षमता से कायर् करे। 4ण् एक निमार्णकतार् नट और बोल्ट का निमार्ण करता है। एक पैकेट नटों के निमार्ण में मशीन । पर एक घंटा और मशीन ठ पर 3 घंटे काम करना पड़ता है, जबकि एक पैकेट बोल्ट के निमार्ण में 3 घंटे मशीन । पर और 1 घंटा मशीन ठ पर काम करना पड़ता है। वह नटों से त्े 17.50 प्रति पैकेट और बोल्टों पर त्े7.00 प्रति पैकेट लाभ कमाता है। यदि प्रतिदिन मशीनों का अध्िकतम उपयोग 12 घंटे किया जाए तो प्रत्येक ;नट और बोल्टद्ध के कितने पैकेट उत्पादित किए जाएँ ताकि अध्िकतम लाभ कमाया जा सके। 5ण् एक कारखाने में दो प्रकार के पेंच ।और ठ बनते हैं। प्रत्येक के निमार्ण में दो मशीनों के प्रयोग की आवश्यकता होती है, जिसमें एक स्वचालित और दूसरी हस्तचालित है। एक पैकेट पेंच । के निमार्ण में 4 मिनट स्वचालित और 6 मिनट हस्तचालित मशीन, तथा एक पैकेट पेंच ठ के निमार्ण में 6 मिनट स्वचालित और 3 मिनट हस्तचालित मशीन का कायर् होता है। प्रत्येक मशीन किसी भी दिन के लिए अध्िकतम 4 घंटे काम के लिए उपलब्ध् है। निमार्ता पेंच । के प्रत्येक पैकेट पर त्े 7 और पेंच ठ के प्रत्येक पैकेट पर त्े 10 का लाभ कमाता है। यह मानते हुए कि कारखाने में निमिर्त सभी पेंचों के पैकेट बिक जाते हैं, ज्ञात कीजिए कि प्रतिदिन कितने पैकेट विभ्िान्न पेंचों के बनाए जाएँ जिससे लाभ अध्िकतम हो तथा अध्िकतम लाभ ज्ञात कीजिए। 6ण् एक वुफटीर उद्योग निमार्ता पैडेस्टल लैंप और लकड़ी के शेड बनाता है। प्रत्येक के निमार्ण में एक रगड़ने / काटने और एक स्प्रेयर की आवश्यकता पड़ती है। एक लैंप के निमार्ण में 2 घंटे रगड़ने/काटने और 3 घंटे स्प्रेयर की आवश्यकता होती है, जबकि एक शेड के निमार्ण में 1 घंटा रगड़ने/काटने और 2 घंटे स्प्रेयर की आवश्यकता होती है। स्प्रेयर की मशीन प्रतिदिन अध्िकतम 20 घंटे और रगड़ने/काटने की मशीन प्रतिदिन अध्िकतम 12 घंटे के लिए उपलब्ध् है। एक लैंप की बिक्री पर त्े 5 और एक शेड की बिक्री पर त्े 3 का लाभ होता है। यह मानते हुए कि सभी निमिर्त लैंप और शेड बिक जाते है, तो बताइए वह निमार्ण की प्रतिदिन वैफसी योजना बनाए कि लाभ अध्िकतम हो? 7ण् एक वंफपनी प्लाइर्वुड के अनूठे स्मृति चिÉ का निमार्ण करती है। । प्रकार के प्रति स्मृति चिÉ के निमार्ण में 5 मिनट काटने और 10 मिनट जोड़ने में लगते हैं। ठ प्रकार के प्रति स्मृति चिÉ के लिए 8 मिनट काटने और 8 मिनट जोड़ने में लगते हैं। दिया गया है कि काटने के लिए वुफल समय 3 घंटे 20 मिनट तथा जोड़ने के लिए 4 घंटे उपलब्ध् हैं। प्रत्येक ।प्रकार के स्मृति चिÉ पर त्े 5 और प्रत्येक ठ प्रकार के स्मृति चिÉ पर त्े 6 का लाभ होना है। ज्ञात कीजिए कि लाभ के अध्िकतमीकरण के लिए प्रत्येक प्रकार के कितने - कितने स्मृति चिÉों का कंपनी द्वारा निमार्ण होना चाहिए? 8ण् एक सौदागर दो प्रकार के निजी कंप्यूटर - एक डेस्कटाॅप नमूना और दूसरा पोटर्ेबल नमूना, जिनकी कीमतें क्रमशः त्े 25,000 और त्े 40,000 होगी, बेचने की योजना बनाता है। वह अनुमान लगाता है कि कंप्यूटरों की वुफल मासिक माँग 250 नगों से अध्िक नहीं होगी। प्रत्येक प्रकार के कंप्यूटरों के नगों की संख्या ज्ञात कीजिए जिसे सौदागार अध्िकतम लाभ प्राप्त करने के लिए संग्रह करें यदि उसके पास निवेश के लिए त्े70 लाख से अध्िक नहीं है और यदि डेस्कटाॅप नमूने पर उसका लाभ त्े 4500 और पोटेर्बल नमूने पर त्े 5000 लाभ हो। 9ण् एक भोज्य पदाथर् में कम से कम 80 मात्राक विटामिन ।और 100 मात्राक खनिज होना चाहिए। दो प्रकार के भोज्य थ् और थ् उपलब्ध् हैं। भोज्य थ् की लागत त्े 4 प्रति मात्राक और थ् 121 2 की लागत त्े 5 प्रति मात्राक है। भोज्य थ्1 की एक इकाइर् में कम से कम 3 मात्राक विटामिन । और 4 मात्राक खनिज है। थ्2 की प्रति इकाइर् में कम से कम 6 मात्राक विटामिन । और 3 मात्राक खनिज हैं। इसको एक रैख्िाक प्रोग्रामन समस्या के रूप में सूत्राब( कीजिए। उस आहार का न्यूनतम मूल्य ज्ञात कीजिए, जिसमें इन दो भोज्यों का मिश्रण है और उसमें न्यूनतम पोषक तत्व हैं। 10ण् दो प्रकार के उवर्रक थ् और थ् है। थ् में 10ः नाइट्रोजन और 6ः पफास्पफोरिक अम्ल है। तथा 1 2 1 थ्2 में 5ः नाइट्रोजन तथा 10ः पफास्पफोरिक अम्ल है। मिटी की स्िथतिओं का परीक्षण करनेð के पश्चात् एक किसान पाता है कि उसे अपनी पफसल के लिए 14 ाह नाइट्रोजन और 14 ाह पफास्पफोरिक अम्ल की आवश्यकता है। यदि थ्1 की कीमत त्े 6धह और थ्2 की कीमत त्े 5धह है, प्रत्येक प्रकार का कितना उवर्रक उपयोग के लिए चाहिए ताकि न्यूनतम मूल्य पर वांछित पोषक तत्व मिल सके। न्यूनतम लागत क्या है। 11ण् निम्नलिख्िात असमीकरण निकायः 2ग ़ ल ≤ 10ए ग ़ 3ल ≤ 15ए गए ल ≥ 0 से निधर्रित सुसंगत क्षेत्रा के कोनीय ¯बदुः ;0ए 0द्धए ;5ए0द्धए ;3ए 4द्ध और ;0ए 5द्ध है। मानाकि र् त्र चग ़ ुलए जहाँ चए ु झ 0ए च तथा ु के लिए निम्नलिख्िात में कौन प्रतिबंध् उचित है ताकि र् का अध्िकतम ;3, 4द्ध और ;0, 5द्ध दोनों पर घटित होता है ;।द्ध च त्र ु ;ठद्ध च त्र 2ु ;ब्द्ध च त्र 3ु ;क्द्ध ु त्र 3च विविध् उदाहरण उदाहरण 9 ;आहार समस्याद्ध एक आहारविद् दो भोज्यों च् और फ का उपयोग करते हुए एक विशेष आहार तैयार करता है। भोज्य च् का प्रत्येक पैकेट ;जिसमें 30 ग्राम अंत£वष्ट हैद्ध में कैल्िशयम के 12 मात्राक लौह तत्व के 4 मात्राक, कोलेस्ट्रोल के 6 मात्राक और विटामिन । के 6 मात्राक अंत£वष्ट हैं जबकि उसी मात्रा के भोज्य फ के पैकेट में वैफल्िशयम तत्व के 3 मात्राक, लौह तत्व के 20 मात्राक, कोलेस्ट्रोल के 4 मात्राक और विटामिन ।के 3 मात्राक अंतविर्ष्ट है। आहार में कम से कम 240 मात्राक वैफल्िशयम, लौह तत्व के कम से कम 460 मात्राक, और कोलेस्ट्रोल के अध्िक से अध्िक 300 मात्राक अपेक्ष्िात हैं। प्रत्येक भोज्य के कितने पैकेटों का उपयोग किया जाए ताकि आहार में विटामिन । की मात्रा का न्यूनतम किया जा सके। हल माना कि भोज्यों च् और फ के पैकेटों की संख्या क्रमशः ग और ल है। स्पष्टतः ग ≥ 0ए ल ≥ 0ण् प्रदत्त समस्या का गण्िातीय सूत्राीकरण निम्न है निम्न व्यवरोधें के अंतगर्त 12ग ़ 3ल ≥ 240 ;वैफल्िशयम का व्यवरोध्द्ध अथार्त् 4ग ़ ल ≥ 80 ण्ण्ण् ;1द्ध 4ग ़ 20ल ≥ 460 ;लौह तत्व का व्यवरोध्द्ध अथार्त् ग ़ 5ल ≥ 115 ण्ण्ण् ;2द्ध 6ग ़ 4ल ≤ 300 ;कोलेस्ट्रोल का व्यवरोध्द्ध अथार्त् 3ग ़ 2ल ≤ 150 ण्ण्ण् ;3द्ध ग ≥ 0ए ल ≥ 0 ग ≥ 0ए ल ≥ 0 ण्ण्ण् ;4द्ध र् त्र 6ग ़ 3ल ;विटामिन।द्ध का न्यूनतमीकरण कीजिए। असमीकरणों ;1द्ध से ;4द्ध तक का आलेखन व्यवरोधें ;1द्ध से ;4द्ध तक के अंतगर्त आवृफति 12.10 में दशार्या गया है। उसमें सुनिश्िचत सुंसगत क्षेत्रा ;छायांकितद्ध पर ध्यान दीजिए जो परिब( है। कोनीय ¯बदुओं स्ए ड और छ के निदेर्शांक क्रमशः ;2ए 72द्धए ;15ए 20द्ध और ;40ए 15द्ध हैं। इन ¯बदुओं पर र् का मान निम्नलिख्िात सारणी में दिया गया है। न्यूनतम कोनीय ¯बदु ;शीषर्द्ध र् त्र 6ग ़ 3ल ;2ए 72द्ध 228 ;15ए 20द्ध 150 ← ;40ए 15द्ध 285 सारणी से, हम र् का मान ¯बदु ;15ए 20द्ध पर न्यूनतम पाते हैं। अतः समस्या में प्रदत्त व्यवरोधें के आध्ीन विटामिन । का मान न्यूनतम तब होगा जबकि भोज्य च् के 15 पैकेट और भोज्य फ के 20 पैकेट का उपयोग विशेष आहार के प्रबंध् में किया जाय। विटामिन ।का न्यूनतम मान 150 मात्रा का होगा। उदाहरण 10 उत्पादन संबंध्ी समस्या ;डंदनंिबजनतपदह चतवइसमउद्ध एक उत्पादन के कारखाने में तीन मशीनें प्ए प्प् और प्प्प् लगी हैं। मशीनें प् और प्प् अध्िकतम 12 घंटे तक चलाए जाने की क्षमता रखती है। जबकि मशीन प्प्प् प्रतिदिन कम से कम 5 घंटे चलना चाहिए। निमार्णकतार् केवल दो प्रकार के सामान ड और छ का उत्पादन करता है, जिनमें प्रत्येक के उत्पादन में तीनों मशीनों की आवश्यकता होती है।ड और छ के प्रत्येक उत्पाद के एक नग उत्पादन में तीनों मशीनों के संगत लगे समय ;घंटांे मेंद्ध निम्न लिख्िात सारणी में दिए हैं। उत्पाद मशीन पर लगा समय ;घंटांे मेंद्ध प् प्प् प्प्प् ड छ 1 2 2 1 1 1ण्25 वह उत्पाद ड पर त्े 600 प्रति नग और उत्पाद छ पर त्े 400 प्रति नग की दर से लाभ कमाती है। मानते हुए कि उसके सभी उत्पाद बिक जाते हैं, जिनका उत्पादन किया गया है, तब ज्ञात कीजिए कि प्रत्येक उत्पाद के कितने नगों का उत्पादन किया जाए, जिससे लाभ का अध्िकतमीकरण हो? अध्िकतम लाभ क्या होगा? हल माना कि उत्पाद ड और छ के नगों की संख्या क्रमशः ग और ल है। उत्पादन पर वुफल लाभ त्र त्े ;600 ग ़ 400 लद्ध प्रदत्त समस्या का गण्िातीय सूत्राब( रूप निम्नलिख्िात हैः र् त्र 600 ग ़ 400 ल का अध्िकतमीकरण कीजिए जहाँ व्यवरोध् निम्नलिख्िात हैं। ग ़ 2ल ≤ 12 ;मशीन प् पर व्यवरोध्द्ध ण्ण्ण् ;1द्ध 2ग ़ ल ≤ 12 ;मशीन प्प् पर व्यवरोध्द्ध ण्ण्ण् ;2द्ध 5 ग ़ ल ≥ 5 ;मशीन प्प्प् पर व्यवरोध्द्ध ण्ण्ण् ;3द्ध 4 ग ≥ 0ए ल ≥ 0 ण्ण्ण् ;4द्ध हम व्यवरोधें ;1द्ध से ;4द्ध का आलेखन करते हैं। आवृफति 12.11 में दिखाया गया सुसंगत क्षेत्रा ।ठब्क्म् ;छायांकितद्ध है जिसको व्यवरोधें ;1द्ध से ;4द्ध तक द्वारा निधर्रित किया गया है। अवलोकन कीजिए कि सुसंगत क्षेत्रा परिब( है, कोनीय ¯बदुओं ।ए ठए ब्ए क् और म् के निदेर्शांक क्रमशः ;5ए 0द्ध ;6ए 0द्धए ;4ए 4द्धए ;0ए 6द्ध और ;0ए 4द्ध हैं। आवृफति 12ण्11 इन कोनीय ¯बदुओं ;शीषो±द्ध पर र् त्र 600 ग ़ 400 ल का मान निम्नलिख्िात सारणी में दिया गया है। कोनीय ¯बदु ;5ए 0द्ध र् त्र 600 ग ़ 400 ल का मान 3000 ;6ए 0द्ध 3600 ;4ए 4द्ध 4000 ← ;0ए 6द्ध 2400 ;0ए 4द्ध 1600 अध्िकतम हम देखते हैं कि ¯बदु ;4, 4द्ध र् का अध्िकतम मान है। अतः उत्पादक को अध्िकतम त्े 4000 लाभ कमाने के लिए प्रत्येक उत्पाद के 4 नगों का उत्पादन करना चाहिए। उदाहरण 11 परिवहन संबंध्ी समस्या ;ज्तंदेचवतजंजपवद च्तवइसमउद्ध च् और फ दो स्थानों पर दो कारखाने स्थापित हैं। इन स्थानों से सामान ।ए ठ और ब् पर स्िथत तीन डिपो में भेजे जाते हैं। इन डिपो की साप्ताहिक आवश्यकता क्रमशः 5, 5 और 4 सामान की नग हैं, जब कि च् और फ की स्थापित कारखानों की उत्पादन क्षमता 8 और 6 नग हैं। प्रति नग परिवहन व्यय निम्न सारणीब( हैः प्रत्येक कारखाने से कितने नग सामान प्रत्येक डिपो को भेजा जाए जिससे परिवहन व्यय न्यूनतम हो? न्यूनतम परिवहन व्यय क्या होगा। सेध्को मूल्य ;त्े मेंद्ध । ठ ब् च् 160 100 150 फ 100 120 100 हल आवृफति 12.12 द्वारा इस समस्या को निम्नलिख्िात रूप में व्यक्त किया जा सकता है। माना कि माल के ग नगों और ल नगों को कारखाना च् से क्रमशः । और ठ डिपो को भेजा गया। तब ;8 दृ ग दृ लद्ध नगों को ब् डिपो तक भेजा जाएगा ;क्यों?द्ध अतः ग ≥ 0ए ल ≥ 0 और 8 दृ ग दृ ल ≥ 0 अथार्त् ग ≥ 0ए ल ≥ 0 और ग ़ ल ≤ 8 अब डिपो । पर सामान की साप्ताहिक आवश्यकता 5 नग है। क्योंकि च् कारखाने से ग नग डिपो । को भेजे जा चुके हैं इसलिए कारखाने फ से ;5 दृ गद्ध नग, डिपो । को भेजे जाएँगे। स्पष्टतः 5 दृ ग ≥ 0ए अथार्त् ग ≤ 5 है। इसी प्रकार ;5 दृ लद्ध और 6 दृ ;5 दृ ग ़ 5 दृ लद्ध त्र ग ़ ल दृ 4 नग कारखाने फ से क्रमशः डिपो ठ और ब् को भेजे जाएँगे। अतः 5 दृ ल ≥ 0ए ग ़ ल दृ 4 ≥ 0 अथार्त् ल ≤ 5ए ग ़ ल ≥ 4 संपूणर् परिवहन व्यय, जो र् द्वारा दिया गया है निम्न हैः र् त्र 160 ग ़ 100 ल ़ 100 ; 5 दृ गद्ध ़ 120 ;5 दृ लद्ध ़ 100 ;ग ़ ल दृ 4द्ध ़ 150 ;8 दृ ग दृ लद्ध त्र 10 ;ग दृ 7 ल ़ 190द्ध इसलिए समस्या गण्िातीय रूप में निम्नलिख्िात रूप से व्यक्त की जा सकती हैः निम्न व्यवरोधें के अंतगर्त ग ≥ 0ए ल ≥ 0 ण्ण्ण् ;1द्ध ग ़ ल ≤ 8 ण्ण्ण् ;2द्ध ग ≤ 5 ण्ण्ण् ;3द्ध ल ≤ 5 ण्ण्ण् ;4द्ध ग ़ ल ≥ 4 ण्ण्ण् ;5द्ध र् त्र 10 ;ग दृ 7ल ़ 190द्ध का न्यूनतमीकरण कीजिए व्यवरोधें ;1द्ध से ;5द्ध द्वारा निधर्रित छायांकित क्षेत्रा ।ठब्क्म्थ् सुसंगत क्षेत्रा है ;आवृफति 12.13द्ध अवलोकन कीजिए कि सुसंगत क्षेत्रा परिब( है। सुसंगत क्षेत्रा के कोनीय ¯बदुओं के निदेर्शांक ;0ए 4द्धए ;0ए 5द्धए ;3ए 5द्धए ;5ए 3द्धए ;5ए 0द्ध और ;4ए 0द्ध हैं। हम इन ¯बदुओं पर र् का मान ज्ञात करते हैंः न्यूनतम कोनीय ¯बदु र् त्र 10 ;ग दृ 7 ल ़ 190द्ध ;0ए 4द्ध 1620 ;0ए 5द्ध 1550 ← ;3ए 5द्ध 1580 ;5ए 3द्ध 1740 ;5ए 0द्ध 1950 ;4ए 0द्ध 1940 सारणी से ज्ञात होता है कि ¯बदु ;0, 5द्ध पर र् का न्यूनतम मान 1550 है। अतः इष्टतम परिवहन स्िथति के अनुसार कारखाना च् से 5ए 0 और 3 नग और कारखाने फ से क्रमशः डिपो ।ए ठ और ब् तक 5, 0 और 1 नग भेजा जाएगा। इसी स्िथति के संगत न्यूनतम परिवहन व्यय त्े 1550 होगा। अध्याय 12 पर विविध् प्रश्नावली 1ण् उदाहरण 9 पर ध्यान कीजिए। आहार में विटामिन । की मात्रा का अध्िकतमीकरण करने के लिए प्रत्येक भोज्य के कितने पैकेटों का उपयोग होना चाहिए? आहार में विटामिन । की अध्िकतम मात्रा क्या है? 2ण् एक किसान दो प्रकार के चारे च् और फ को मिलाता ;मिश्रणद्ध है। च् प्रकार के चारे, जिसका मूल्य त्े 250 प्रति थैला जोकि पोषक तत्व । के 3 मात्राक, तत्व ठ के 2.5 मात्राक और तत्व ब् के 2 मात्राक रखता है जबकि फ प्रकार का चारा जिसका मूल्य त्े200 प्रति थैला है, पोषक तत्व । का 1.5 मात्राक, तत्व ठ का 11.25 मात्राक और तत्व ब् के तीन मात्राक रखता है। पोषक तत्वों ।ए ठए और ब् की न्यूनतम आवश्यकताएँ क्रमशः 18 मात्राक, 45 मात्राक और 24 मात्राक हैं। प्रत्येक प्रकार के थैलों की संख्या ज्ञात कीजिए ताकि मिश्रण के प्रत्येक थैले का मूल्य न्यूनतम हो? मिश्रण के प्रत्येक थैले का न्यूनतम मूल्य क्या है? 3ण् एक आहारविद् दो प्रकार के भोज्यों ग् और ल् को इस प्रकार मिलाना चाहता है कि मिश्रण में विटामिन ।ए की कम से कम 10 मात्राक, विटामिन ठ की कम से कम 12 मात्राक और विटामिन ब् की 8 मात्राक हों 1 ाह भोज्यों में विटामिनों की मात्रा निम्नलिख्िात सारणी में दी गइर् है। भोज्य विटामिन । विटामिन ठ विटामिन ब् ग् 1 2 3 ल् 2 2 1 भोज्य ग् के 1 ाह का मूल्य त्े 16 और भोज्य ल के 1 ाह का मूल्य त्े 20 है। वांछित आहार के लिए मिश्रण का न्यूनतम मूल्य ज्ञात कीजिए। 4ण् एक निमार्ता दो प्रकार के ख्िालौने । और ठ बनाता है। इस उद्देश्य के लिए निमार्ण में तीन मशीनों की आवश्यकता पड़ती है और प्रत्येक प्रकार के ख्िालौने के निमार्ण के लिए लगा समय ;मिनटों मेंद्ध निम्नलिख्िात है। प्रत्येक मशीन अध्िकतम 6 घंटे प्रतिदिन के लिए उपलब्ध् है। यदि । प्रकार के ख्िालौने की बिक्री पर त्े 7.50 लाभ और ठ प्रकार के ख्िालौने पर त्े 5 का लाभ हो तो दशार्इए कि अध्िकतम लाभ कमाने के लिए प्रतिदिन । प्रकार के 15 ख्िालौने और ठ प्रकार 30 ख्िालौने नि£मत होने चाहिए। 5ण् एक हवाइर् जहाज अध्िकतम 200 यात्रिायों को यात्रा करा सकता है। प्रत्येक प्रथम श्रेणी के टिकट पर त्े 1000 और सस्ते श्रेणी के टिकट पर त्े 600 का लाभ कमाया जा सकता है। एयरलाइन कम से कम 20 सीटें प्रथम श्रेणी के लिए आरक्ष्िात करती है। तथापि प्रथम श्रेणी की अपेक्षा कम से कम 4 गुने यात्राी सस्ती श्रेणी के टिकट से यात्रा करने को वरीयता देते हैं। ज्ञात कीजिए कि प्रत्येक प्रकार के कितने - कितने टिकट बेचे जाएँ ताकि लाभ का अध्िकतमीकरण हो? अध्िकतम लाभ कितना है? 6ण् दो अन्न भंडारों । और ठ की भंडारण क्षमता क्रमशः 100 क्िवंटल और 50 क्िवंटल है। उन्हें तीन राशन की दुकानों क्ए म् और थ् पर अन्न उपलब्ध् कराना पड़ता है, जिनकी आवश्यकताएँ क्रमशः 60, 50, और 40 क्िवंटल हैं। भंडारों से दुकानों को प्रति क्िवंटल परिवहन व्यय निम्न सारणी के अनुसार हैः ख्िालौने के प्रकार मशीन प् प्प् प्प्प् । 12 18 6 ठ 6 0 9 प्रति क्िवंटल परिवहन व्यय ;रुपयों मेंद्ध को ध् से । ठ क् 6 4 म् 3 2 थ् 2ण्50 3 परिवहन व्यय के न्यूनतमीकरण के लिए आपूतिर् का परिवहन वैफसे किया जाए? न्यूनतम परिवहन मूल्य क्या है? 7ण् एक तेल कारखाने में दो डिपो । तथा ठ हैं, जिनकी क्षमताएँ क्रमशः 7000 लिटर और 4000 लिटर की हैं। कारखाने द्वारा तीन पेट्रोल पंपों क्ए म् और थ् के लिए आपूतिर् करनी है, जिनकी आवश्यकताएँ क्रमशः 4500 लिटर, 3000 लिटर और 3500 लिटर की है। डिपो से पेट्रोल पंपों की दूरियाँ ;ाउ मेंद्ध निम्नांकित सारणी के अनुसार हैः यह मानते हुए कि परिवहन व्यय प्रति 10 लिटर पर प्रति किलोमीटर 1 रुपया है, ज्ञात कीजिए कि वैफसी आपूतिर् योजना अपनाइर् जाए, जिससे परिवहन व्यय का न्यूनतमीकरण हो जाए? न्यूनतम व्यय क्या है? 8ण् एक पफल उत्पादक अपने बाग में दो प्रकार के खादों च् ब्रांड और फ ब्रांड का उपयोग कर सकता है। मिश्रण के प्रत्येक थैले में नाइट्रोजन, पफास्पफोरिक अम्ल, पोटाश और क्लोरीन की मात्रा ;ाह मेंद्ध सारणी में दिया गया है। परीक्षण संकेत देते है कि बाग को कम से कम 250 ाह पफास्पफोरिक अम्ल, कम से कम 270 ाह पोटाश और क्लोरीन की अध्िक से अध्िक 310 ाह की आवश्यकता है। यदि उत्पादक बाग के लिए मिलाइर् जाने वाली नाइट्रोजन की मात्रा का न्यूनतमीकरण करना चाहता है तथा, प्रत्येक मिश्रण के कितने थैलों का उपयोग होना चाहिए? मिलाइर् जाने वाली नाइट्रोजन की निम्नतम मात्रा क्या है? 9ण् उपरोक्त प्रश्न 8 पर ध्यान दीजिए। यदि उत्पादक बाग में मिलाइर् जाने वाली नाइट्रोजन की मात्रा का अध्िकतमीकरण चाहता है तो मिश्रण के कितने थैलों को मिलाया जाना चाहिए? मिलाइर् जाने वाली नाइट्रोजन की अध्िकतम मात्रा क्या है? 10ण् एक ख्िालौना वंफपनी, । और ठ दो प्रकार की गुडि़यों का निमार्ण करती है। मा£कट परीक्षणों तथा उपलब्ध् संसाध्नों से संकेत मिलता है कि सम्िमलित उत्पादन स्तर प्रति सप्ताह 1200 गुडि़यों से अध्िक नहीं होना चाहिए और ठ प्रकार की गुडि़यों की अध्िक से अध्िक माँग । प्रकार की गुडि़यों की आध्ी है। इसके अतिरिक्त । प्रकार की गुडि़यों का उत्पादन स्तर दूसरे प्रकार की गुडि़यों के उत्पादन स्तर के तीन गुने से 600 नग अध्िक है। यदि कंपनी । और ठ प्रत्येक गुडि़या पर क्रमशः त्े 12 और त्े 16 का लाभ कमाती है, लाभ का अध्िकतमीकरण करने के लिए प्रत्येक के कितने नगों का साप्ताहिक उत्पादन करना चाहिए। दूरियाँ ;ाउ मेेंद्ध को ध् से । ठ क् 7 3 म् 6 4 थ् 3 2 ाह प्रति थैला ब्राँड च् ब्राँड फ नाइट्रोजन पफास्पफोरिक अम्ल पोटाश क्लोरीन 3 1 3 1ण्5 3ण्5 2 1ण्5 2 कृऽ कृ