vè;k;
• The Theory of probabilities is simply the science of logic quantitatively treated – C.S. PEIRCE •
13.1 Hkwfedk (Introduction)
igys dh d{kkvksa esa geus izkf;drk dks fdlh ;kn`fPNd ijh{k.k dh ?kVukvksa osQ ?kfVr gksus dh vfuf'prrk dh eki osQ :i esa i<+k FkkA geus :lh xf.krK ,-,u- dkSYeksxzksc (1903&1987) }kjk izfrikfnr vfHkx`fgrh; n`f"Vdks.k dk mi;ksx fd;k Fkk vkSj izkf;drk dks ijh{k.k osQ ifj.kkeksa ij ifjHkkf"kr iQyu osQ :i esa fu:fir fd;k FkkA geus lelaHkkO; ifj.kkeksa dh n'kk esa izkf;drk osQ vfHkx`fgrh; n`f"Vdks.k vkSj Dykfldy fl¼kar (classical theory) esa led{krk Hkh LFkkfir dh FkhA bl led{krk osQ vk/kj ij geus vlarr izfrn'kZ lef"V dh ?kVukvksa dh izkf;drk Kkr dh FkhA geus izkf;drk osQ ;ksx fu;e dk Hkh vè;;u fd;k gSA bl vè;k; esa ge fdlh ?kVuk dh lizfrca/ izkf;drk (conditional probability) osQ ckjs esa fopkj djsaxs] tcfd fdlh vU; ?kVuk osQ ?kfVr gksus dh lwpuk gekjs ikl gks] rFkk bl egÙoiw.kZ vo/kj.kk dh lgk;rk ls cst&izes; (Bayes' theorem), izkf;drk dk xq.ku fu;e rFkk Lora=k ?kVukvksa osQ ckjs esa le>asxsA ge ;kn`fPNd pj (random variable) vkSj blosQ izkf;drk caVu dh egÙoiw.kZ vo/kj.kk dks Hkh le>asxs rFkk fdlh izkf;drk caVu osQ ekè; (mean) o izlj.k osQ ckjs esa Hkh i<+saxsA vè;k; osQ vafre vuqHkkx esa ge ,d egÙoiw.kZ vlarr izkf;drk caVu (discrete probability distribution) osQ ckjs esa i<+saxs ftls f}in caVu dgk tkrk gSA bl vè;k; esa ge ,sls ijh{k.k ysaxs ftuosQ ifj.kke lelaHkkO; gksrs gSa] tc rd fd vU;Fkk u dgk x;k gksA
13.2 lizfrca/ izkf;drk (Conditional Probability)
vHkh rd geus fdlh ?kVuk dh izkf;drk Kkr djus ij ppkZ dh gSA ;fn gesa fdlh izfrn'kZ lef"V dh nks ?kVuk,¡ nh xbZ gksa] rks D;k fdlh ,d ?kVuk osQ ?kfVr gksus dh lwpuk dk izHkko nwljh ?kVuk
dh izkf;drk ij iM+rk gS\ vkb, bl iz'u osQ mÙkj osQ fy, ,d ;kn`fPNd ijh{k.k ij fopkj djsa ftlosQ ifj.kke lelaHkkO; gSaA
vkb, vc rhu U;kÕ; (fair) flDdksa dks mNkyus osQ ijh{k.k ij fopkj dhft,A bl ijh{k.k dk izfrn'kZ lef"V gS%
S = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT} 1
D;ksafd flDosQ U;kÕ; gSa] blfy, ge izfrn'kZ lef"V osQ izR;sd izfrn'kZ ¯cnq dh izkf;drk fufnZ"V
8 dj ldrs gSaA eku yhft, E ?kVuk ¶U;wure nks fpr izdV gksuk¸ vkSj F ?kVuk ¶igys flDosQ ij iV iznf'kZr gksuk¸ dks fu:fir djrs gSaA rc E = {HHH, HHT, HTH, THH}
vkSj F = {THH, THT, TTH, TTT}
blfy, P(E) = P ({HHH}) + P ({HHT}) + P ({HTH}) + P ({THH})
1 11 11
= ++ += (D;ksa ?)
8 88 8 2 vkSj P(F) = P ({THH}) + P ({THT}) + P ({TTH}) + P ({TTT})
1 11 11
= +++=
88882 lkFk gh E ∩ F = {THH}
1
blfy, P(E ∩ F) = P({THH}) = 8
vc eku yhft, gesa fn;k x;k gS fd igys flDosQ ij iV izdV gksrk gS vFkkZr~~ ?kVukF ?kfVr gqbZ gS] rc ?kVuk E dh izkf;drk D;k gS\ F osQ ?kfVr gksus dh lwpuk ij ;g fuf'pr gS fd E dh izkf;drk Kkr djus osQ fy, mu izfrn'kZ ¯cnqvksa ij fopkj ugha fd;k tk,xk ftueas igys flDosQ ij iV ugha gSA ?kVuk E osQ fy, bl lwpuk ls izfrn'kZ lef"V S ls ?kVdj bldk mileqPp; F cu x;k gSA vU; 'kCnksa esa] bl vfrfjDr lwpuk us gesa okLro esa ;g crk;k gS fd gkykr dks ,d ,sls u, ;kn`fPNd ijh{k.k osQ :i esa le>uk pkfg, ftldk izfrn'kZ lef"V osQoy mu ifj.kkeksa dk leqPp; gS tks fd ?kVuk F osQ vuqowQy gSA
vc F dk og izfrn'kZ ¯cnq tks E osQ Hkh vuqowQy gS_ THH gSA vr% 1
F dks izfrn'kZ lef"V ekurs gq, ?kVuk E dh izkf;drk =
4
;k F dk ?kfVr gksuk fn;k x;k gksus ij E dh izkf;drk = 1
4
?kVuk E dh bl izkf;drk dks lizfrca/ izkf;drk dgrs gSa] tcfd Kkr gS fd ?kVuk F ?kfVr gks pqdh gS] vkSj bls P (E|F) }kjk n'kkZrs gSaA
1
vFkkZr~~ P(E|F) =
4 uksV dhft, fd F osQ oks vo;o tks ?kVuk E osQ Hkh vuqowQy gSa] E rFkk F osQ lk>s vo;o gksrs gSa] vFkkZr~~ E ∩ F osQ izfrn'kZ ¯cnq gSaA vr% ge ?kVuk E dh lizfrca/ izkf;drk] tcfd Kkr gS fd ?kVuk F ?kfVr gks pqdh gS dks fuEu izdkj ls Kkr dj ldrs gSaA
(E ∩F) svuowzZ avka a
oQq Qyifrn'kfcnqsdhl[;k
P(E|F) =
F oQvuowz Z a q ksdhl[;k
s q Qy ifrn'kfcnvaa
n(E ∩ F)
=
n(F)
vc va'k o gj dks izfrn'kZ lef"V osQ vo;oksa dh oqQy la[;k ls foHkkftr djus ij ge ns[krs gSa fd P (E|F) dks fuEu izdkj ls fy[kk tk ldrk gS%
n(E ∩ F)
P(E|F) = (S) (F) n n P(E F) P(F) ∩ = ... (1)
(S) n
uksV dhft, fd (1) rHkh ekU; gS tc P(F) ≠ 0 vFkkZr~~ F ≠ φ (D;ksa?)
vr% ge lizfrca/ izkf;drk dks fuEu izdkj ls ifjHkkf"kr dj ldrs gSa%
ifjHkk"kk 1 ;fn E rFkk F fdlh ;kn`fPNd ijh{k.k osQ izfrn'kZ lef"V ls lcaf/r nks ?kVuk,¡ gSa]
rks F osQ ?kfVr gksus dh lwpuk ij] E dh izkf;drk fuEufyf[kr lw=k ls izkIr gksrh gS%
P(E ∩F)
P(E|F) = , tcfd P(F) ≠ 0
P(F)
13.2.1 lizfrca/ izkf;drk osQ xq.k (Properties of conditional probability)
eku ysa fd E rFkk F fdlh izfrn'kZ lef"V S dh nks ?kVuk,¡ gSa
xq.k 1 P (S|F) = P (F|F) = 1 P(S ∩F) P(F)
gesa Kkr gS fd P(S|F) = == 1
P(F) P(F)
550 xf.kr
P(F ∩F) P(F)
lkFk gh P(F|F) = == 1
P(F) P (F) vr% P(S|F) = P(F|F) = 1 xq.k 2 ;fn A vkSj B izfrn'kZ lef"V S dh dksbZ nks ?kVuk,¡ gSa vkSj F ,d vU; ?kVuk bl izdkj
gS fd P(F) ≠ 0, rc P[(A ∪ B)|F)] =P(A|F) + P(B|F) – P[(A ∩ B)|F] fo'ks"k :i ls] ;fn A vkSj B ijLij viothZ ?kVuk,¡ gksa] rks
P[(A∪B)|F)] = P(A|F) + P(B|F)
ge tkurs gSa fd
P[(A ∪ B) ∩ F] P[(A∪B)|F)] = P(F)
P[(A ∩ F) ∪ (B ∩ F)]
=
P(F)
(leqPp;ksa osQ loZfu"B ij lfEeyu osQ caVu fu;e }kjk)
P(A ∩ F) +P (B ∩ F) – P (A ∩B ∩ F)
=
P(F)
P(A ∩ F) P(B ∩ F) P[(A ∩ B) ∩ F]
= +−
P(F) P(F) P(F) = P(A|F) + P(B|F) – P(A∩B|F) tc A rFkk B ijLij viothZ gksa rks P[(A ∩ B)|F)] = 0
⇒
P[(A ∪ B)|F)] = P(A|F) + P(B|F)
vr% tc A rFkk B ijLij viothZ ?kVuk,¡ gksa rks P(A ∪ B) = P(A|F) + P(B|F)
xq.k 3 P (E′|F) = 1 – P(E|F)
xq.k 1 ls gesa Kkr gS fd P (S|F) = 1
⇒
P [(E ∪ E′)|F)] = 1 D;ksafd S = E ∪ E′
⇒ P (E|F) + P (E′|F) = 1 D;ksafd E rFkk E′ ijLij viothZ ?kVuk,¡ gSa vr% P (E′|F) = 1 − P (E|F) vkb, vc dqN mnkgj.k ysaA
79 4
mnkgj.k 1 ;fn P (A) = , P (B) = vkSj P (A ∩ B) = , rks P (A|B) Kkr dhft,A
13 13 13
4 P(A ∩ B) 13 4
gy ge tkurs gSa fd P(A|B) = ==
P(B) 99 13
mnkgj.k 2 ,d ifjokj esa nks cPps gSaA ;fn ;g Kkr gks fd cPpksa esa ls de ls de ,d cPpk yM+dk gS] rks nksuksa cPpksa osQ yM+dk gksus dh D;k izkf;drk gS\
gy eku yhft, b yM+osQ dks o g yM+dh dks fu:fir djrs gSaA ijh{k.k dk izfrn'kZ lef"V gS% S = {(b,b), (g,b), (b,g), (g,g)} eku yhft, E rFkk F Øe'k% fuEufyf[kr ?kVukvksa dks n'kkZrs gSa%
E : ^nksuksa cPps yM+osQ gSa*
F : ^cPpksa esa ls de ls de ,d yM+dk gS* rc E = {(b,b)} vkSj F = {(b,b), (g,b), (b,g)} vc E ∩ F = {(b,b)}
1
vr% P(F) = 3 vkSj P (E ∩ F ) =
4 4
1 P(E ∩ F) 1
blfy, P(E|F) = = 4 =
P(F) 33 4
mnkgj.k 3 ,d cDls esa nl dkMZ 1 ls 10 rd iw.kk±d fy[k dj j[ks x, vkSj mUgas vPNh rjg
feyk;k x;kA bl cDls ls ,d dkMZ ;kn`PN;k fudkyk x;kA ;fn ;g Kkr gks fd fudkys x, dkMZ
ij la[;k 3 ls vf/d gS] rks bl la[;k osQ le gksus dh D;k izkf;drk gS\
gy eku yhft, fdA ?kVuk ^fudkys x, dkMZ ij le la[;k gS* vkSj B ?kVuk ^fudkys x, dkMZ
ij la[;k 3 ls cM+h gS* dks fu:fir djrs gSaA gesa P(A|B) Kkr djuk gSA
bl ijh{k.k dk izfrn'kZ lef"V gS% S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
rc A ={2, 4, 6, 8, 10}, B = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
vkSj A ∩ B = {4, 6, 8, 10}
57 4
vc P(A) = ,P(B)= vkSj P(A ∩ B) =
10 10 10
4 P(A ∩ B) 10 4
= =
rc P(A|B) =
P(B) 77 10
mnkgj.k 4 ,d ikB'kkyk esa 1000 fo|kFkhZ gSa] ftuesa ls 430 yM+fd;k¡ gSaA ;g Kkr gS fd 430 esa ls 10% yM+fd;k¡ d{kk XII esa i<+rh gSaA D;k izkf;drk gS fd ,d ;kn`PN;k pquk x;k fo|kFkhZ d{kk XII esa i<+rk gS ;fn ;g Kkr gS fd pquk x;k fo|kFkhZ yM+dh gS\
gy eku yhft, E ?kVuk ^;kn`PN;k pquk x;k fo|kFkhZ d{kk XII esa i<+rk gS* vkSj F ?kVuk ^;kn`PN;k pquk x;k fo|kFkhZ yM+dh gS*] dks O;Dr djrs gSaA gesa P (E|F) Kkr djuk gSA 430 43
vc P(F) = = 0.43 vkSj P(E ∩ F) = =0.043 (D;ksa?)
1000 1000 P(E ∩ F) 0.043
rc P(E|F) = == 0.1
P( F) 0.43
mnkgj.k 5 ,d ikls dks rhu ckj mNkyus ds ijh{k.k esa ?kVuk A rFkk B dks fuEu izdkj ls ifjHkkf"kr fd;k x;k gS%
A : ^rhljh mNky ij la[;k 4 izdV gksuk*
B : ^igyh mNky ij la[;k 6 vkSj nwljh mNky ij la[;k 5 izdV gksuk* ;fn B dk ?kfVr gksuk fn;k x;k gS] rks ?kVuk A dh izkf;drk Kkr dhft,A
gy izfrn'kZ lef"V esa 216 ifj.kke gSaA
vc] B = {(6,5,1), (6,5,2), (6,5,3), (6,5,4), (6,5,5), (6,5,6)}
⎧(1,1,4) (1,2,4) ... (1,6,4) (2,1,4) (2,2,4) ... (2,6,4) ⎫ ⎪⎪
A = ⎨(3,1,4) (3,2,4)...(3,6,4) (4,1,4) (4,2,4) ...(4,6,4) ⎬ ⎪⎪
⎩(5,1,4) (5,2,4)...(5,6,4) (6,1,4) (6,2,4) ...(6,6,4)
vkSj A ∩ B = {(6,5,4)}
6 1
vc P(B) = vkSj P(A ∩ B) =
216 216
1 P(A ∩ B) 216 1
rc P(A|B) = ==
P(B) 66 216
mnkgj.k 6 ,d ikls dks nks ckj mNkyk x;k vkSj izdV gqbZ la[;kvksa dk ;ksx 6 ik;k x;kA la[;k 4 osQ U;wure ,d ckj izdV gksus dh lizfrca/ izkf;drk Kkr dhft,A
gy eku yhft, E ?kVuk ^la[;k 4 dk U;wure ,d ckj izdV gksuk* vkSj F ?kVuk ^nksuksa iklksa ij izdV la[;kvksa dk ;ksx 6 gksus* dks n'kkZrs gSaA
rc E = {(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (1,4), (2,4), (3,4), (5,4), (6,4)} vkSj F = {(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)}
ge tkurs gSa fd P(E) = 11 ] P(F) = 5
36 36 rFkk E ∩ F = {(2,4), (4,2)}
2
vc P(E ∩ F) = 36
vr% okafNr izkf;drk
2 P(E ∩F) 36 2
P(E|F) = ==
P(F) 55 36
vHkh rd geus mu ijh{k.kksa ij fopkj fd;k gS ftuosQ lHkh ifj.kke lelaHkkO; FksA bu ijh{k.kksa osQ fy, geusa lizfrca/ izkf;drk dks ifjHkkf"kr fd;k gSA rFkkfi lizfrca/ izkf;drk dh ;gh ifjHkk"kk] O;kid :i ls] ml fLFkfr es Hkh iz;ksx dh tk ldrh gS] tc ekSfyd ?kVuk,¡ lelaHkkO; u gksaA izkf;drkvksa P(E ∩ F) rFkk P (F) dk ifjdyu rnuqlkj fd;k tkrk gSA vkb, fuEufyf[kr mnkgj.k ls bls le>saA
mnkgj.k 7 ,d flDosQ dks mNkyus osQ ijh{k.k ij fopkj dhft,A ;fn flDosQ ij fpr izdV gks rks flDosQ dks iqu% mNkysa ijarq ;fn flDosQ ij iV izdV gks rks ,d ikls dks isaQosaQA ;fn ?kVuk ^de ls de ,d iV izdV gksuk* dk ?kfVr gksuk fn;k x;k gS rks ?kVuk ^ikls ij 4 ls cM+h la[;k izdV gksuk* dh lizfrca/ izkf;drk Kkr dhft,A
gy ijh{k.k osQ ifj.kkeksa dks fp=k 13-1 ls O;Dr fd;k tk ldrk gSA bl izdkj osQ fp=k dks o`{kkjs[k dgrs gSaA
ijh{k.k dk izfrn'kZ lef"V gS%
S = {(H,H), (H,T), (T,1), (T,2), (T,3), (T,4), (T,5), (T,6)}
tgk¡(H,H) n'kkZrk gS fd nksuksa mNkykas ij fpr izdV gqvk gS] rFkk (T, i) n'kkZrk gS fd igyh mNky ij iV izdV gqvk vkSj ikls dks isaQdus ij la[;k i izdV gqbZA
vr% 8 ekSfyd ?kVukvksa (H,H), (H,T), (T,1), (T,2),
111 1
(T,3) (T,4), (T,5), (T,6) dh Øe'k% ,,, ,
4 41212
1111
, ,, izkf;drk fu/kZfjr dh tk ldrh gS] tSlk fd
12 121212
fp=k 13-2 ls Li"V gSA
eku ysa F ?kVuk ^U;wure ,d iV izdV gksuk* vkSj E ?kVuk ^ikls ij 4 ls cM+h la[;k izdV gksuk* dks n'kkZrs gSaA rc F = {(H,T), (T,1), (T,2), (T,3), (T,4), (T,5), (T,6)}
E = {(T,5), T,6)} vkSj E ∩ F = {(T,5), (T,6)}
vc P(F) = P({(H,T)}) + P ({(T,1)}) + P ({(T,2)}) + P ({(T,3)}) +
P ({(T,4)}) + P({(T,5)}) + P({(T,6)}) 111111 13
= +++ +++ =
412 12 12 12 12 12 4 1 11
vkSj P (E ∩ F) = P ({(T,5)}) + P ({(T,6)}) = +=
12 12 6
1 P(E ∩F) 62
vr% P(E|F) = ==
3
P(F) 9 4
iz'ukoyh 13.1
1. ;fn E vkSj F bl izdkj dh ?kVuk,¡ gSa fd P (E) = 0.6, P (F) = 0.3 vkSj P (E ∩ F) = 0.2] rks P (E|F) vkSj P (F|E) Kkr dhft,A
2.
P(A|B) Kkr dhft,] ;fn P(B) = 0.5 vkSj P (A ∩ B) = 0.32
3.
;fn P(A) = 0.8, P(B) = 0.5 vkSj P (B|A) = 0.4 Kkr dhft,
(i) P(A ∩ B) (ii) P(A|B) (iii) P(A ∪ B)
4.
P(A ∪ B) Kkr dhft, ;fn 2 P(A) = P(B) = 5 vkSj PA|B =2
( )
13 5
65 7
5. ;fn P(A) = , P(B) = vkSj P(A ∪ B) = rks Kkr dhft,
11 11 11
(i) P(A∩B) (ii) P(A|B) (iii) P(B|A) fuEufyf[kr iz'u 6 ls 9 rd P(E|F) Kkr dhft,A
6. ,d flDosQ dks rhu ckj mNkyk x;k gS%
(i)
E : rhljh mNky ij fpr F : igyh nksuksa mNkyksa ij fpr
(ii)
E : U;wure nks fpr F : vf/dre ,d fpr
(iii) E : vf/dre nks iV F : U;wure nks iV
7. nks flDdksa dks ,d ckj mNkyk x;k gS%
(i)
E : ,d flDosQ ij iV izdV gksrk gS F : ,d flDosQ ij fpr izdV gksrk gS
(ii)
E : dksbZ iV izdV ugha gksrk gSF dksbZ fpr izdV ugha gksrk gS
8. ,d ikls dks rhu ckj mNkyk x;k gS%
E : rhljh mNky ij la[;k 4 izdV gksuk
F : igyh nks mNkyksa ij Øe'k% 6 rFkk 5 izdV gksuk
9. ,d ikfjokfjd fp=k esa ekrk] firk o iq=k ;kn`PN;k [kM+s gSa%
E : iq=k ,d fljs ij [kM+k gS F : firk eè; esa [kM+s gSa
10. ,d dkys vkSj ,d yky ikls dks mNkyk x;k gS%
(a)
iklksa ij izkIr la[;kvksa dk ;ksx 9 gksus dh lizfrca/ izkf;drk Kkr dhft, ;fn ;g Kkr gks fd dkys ikls ij 5 izdV gqvk gSA
(b)
iklksa ij izkIr laa[;kvksa dk ;ksx 8 gksus dh lizfrca/ izkf;drk Kkr dhft, ;fn ;g Kkr gks fd yky ikls ij izdV la[;k 4 ls de gSA
11. ,d U;kÕ; ikls dks mNkyk x;k gSA ?kVukvksa E = {1,3,5}, F = {2,3}, vkSjG = {2,3,4,5} osQ fy, fuEufyf[kr Kkr dhft,%
(i) P (E|F) vkSj P (F|E) (ii) P (E|G) vkSj P (G|E)
(iii) P (E ∪ F|G) vkSj P (E ∩ F|G)
12.
eku ysa fd tUe ysus okys cPps dk yM+dk ;k yM+dh gksuk lelaHkkO; gSA ;fn fdlh ifjokj esa nks cPps gSa] rks nksuksa cPpksa osQ yM+dh gksus dh lizfrca/ izkf;drk D;k gS] ;fn ;g fn;k x;k gS fd (i) lcls NksVk cPpk yM+dh gS (ii) U;wure ,d cPpk yM+dh gSA
13.
,d izf'k{kd osQ ikl 300 lR;@vlR; izdkj osQ vklku iz'u 200 lR;@vlR; izdkj osQ dfBu iz'u] 500 cgq&fodYih; izdkj osQ vklku iz'u vkSj 400 cgq&fodYih; izdkj osQ
dfBu iz'uksa dk laxzg gSA ;fn iz'uksa osQ laxzg ls ,d iz'u ;kn`PN;k pquk tkrk gS] rks ,d vklku iz'u dh cgq&fodYih; gksus dh izkf;drk D;k gksxh\
14.
;g fn;k x;k gS fd nks iklksa dks isaQdus ij izkIr la[;k,¡ fHkUu&fHkUu gSaA nksuksa la[;kvksa dk ;ksx 4 gksus dh izkf;drk Kkr dhft,A
15.
,d ikls dks isaQdus osQ ijh{k.k ij fopkj dhft,A ;fn ikls ij izdV la[;k 3 dk xq.kt gS rks ikls dks iqu% isaQosaQ vkSj ;fn dksbZ vU; la[;k izdV gks rks ,d flDosQ dks mNkysaA ?kVuk ^U;wure ,d ikls ij la[;k 3 izdV gksuk* fn;k x;k gS rks ?kVuk ^flDosQ ij iV izdV gksus* dh lizfrca/ izkf;drk Kkr dhft,A
fuEufyf[kr iz'uksa esa ls izR;sd esa lgh mÙkj pqusaA
1
16. ;fn P (A) = , P(B) = 0 rc P (A|B) gS%
2 1
(A) 0 (B) (C) ifjHkkf"kr ugha (D) 1
2
17. ;fn A vkSj B nks ?kVuk,¡ bl izdkj gSa fd P (A|B) = P (B|A) ≠ 0 rc
(A)
A ⊂ B (B) A = B (C) A ∩ B = φ
(D)
P (A) = P(B)
13.3 izkf;drk dk xq.ku fu;e (Multiplication Theorem on Probability)
eku yhft, fd E rFkk F ,d izfrn'kZ lef"V S dh nks ?kVuk,¡ gSaA Li"Vr;k leqPp; E ∩ F nksuksa ?kVukvksa E rFkk F osQ ?kfVr gksus dks n'kkZrk gSA vU; 'kCnksa esa E ∩ F ?kVukvksa E rFkk F osQ ;qxir~ ?kfVr gksus dks n'kkZrk gSA ?kVuk E ∩ F dks EF Hkh fy[kk tkrk gSA
izk;% gesa l;qaDr ?kVuk EF dh izkf;drk Kkr djus dh vko';drk gksrh gSA mnkgj.k osQ fy,] ,d osQ ckn nwljk iÙkk fudkyus osQ ijh{k.k esa ge feJ ?kVuk ^,d ckn'kkg vkSj ,d jkuh* dh izkf;drk Kkr djus esa bPNqd gks ldrs gSaA ?kVuk EF dh izkf;drk Kkr djus osQ fy, ge lizfrca/ izkf;drk dk mi;ksx djrs gSa tSlk fd uhps fn[kk;k x;k gSA
ge tkurs gSa fd ?kVuk F osQ fn, tkus ij ?kVuk E dh lizfrca/ izkf;drk dks P(E|F) }kjk n'kkZrs gSa vkSj bls fuEufyf[kr izdkj ls Kkr djrs gSaA
P(E ∩F)
P(E|F) = ,P(F) ≠0
P(F)
mijksDr ifj.kke ls ge fy[k ldrs gSa fd
P(E ∩ F) =P (F) . P (E|F) ... (1)
ge ;g Hkh tkurs gSa fd
P(F ∩E)
P(F|E) = P(E) ,P(E) 0≠
;k P(F|E) = P(E F) P (E) ∩ (D;ksafd E ∩ F = F ∪ E)
vr% P(E ∩ F) = P(E) . P(F|E) ... (2)
(1) vkSj (2) dks feykus ls gesa izkIr gksrk gS fd P(E ∩ F) = P(E) P(F|E) = P(F). P(E|F) tc fd P(E) ≠ 0 vkSj P(F) ≠ 0
mijksDr ifj.kke dks ^izkf;drk dk xq.ku fu;e* dgrs gSaA vkb, ,d mnkgj.k ysaA
mnkgj.k 8 ,d dy'k esa 10 dkyh vkSj 5 li+Qn xsansaa gSaA nks xsan ,d osQ ckn ,d fudkyh tkrh sgSa vkSj igyh xsan nwljs osQ fudkyus ls igys okil ugha j[kh tkrh gSaA eku yhft, fd dy'k esa ls izR;sd xsan dk fudkyuk lelaHkkO; gS] rks nksuksa dkys xsan fudyus dh D;k izkf;drk gS\
gy ekuk fd E ^igyh dkyh xsan osQ fudyus* dh ?kVuk gS vkSj F ^nwljh dkyh xsan osQ fudyus* dh ?kVuk gSA gesa P(E∩F) ;k P (EF) Kkr djuk gSA
10
vc P(E) =P (igyh fudky esa dkyh xsan fudkyuk) =
15
lkFk gh fn;k x;k gS fd igyh fudky esa dkyh xsan fudyh gS vFkkZr~~ ?kVuk E ?kfVr gqbZ gS] vc dy'k esa 9 dkyh xsan vkSj 5 li+Qn xsan jg xbZ gSaA blfy,] nwljh xsan dkyh gksus dh izkf;drk stc fd igyh xsan dk dkyk gksuk gesa Kkr gS] oqQN vkSj ugha osQoy F dk lizfrca/ izkf;drk gS tc E dk ?kfVr gksuk Kkr gSA
9
vFkkZr~~ P(F|E) =
14
vc izkf;drk osQ xq.ku fu;e }kjk gesa izkIr gksrk gS
P(E∩F) = P(E) P(F|E) = P(E) . P(F|E) . P(G|EF)
10 9 3
= ×=
15 14 7 nks ls vf/d ?kVukvksa osQ fy, izkf;drk dk xq.ku fu;e ;fn E, F vkSjG ,d izfrn'kZ lef"V dh ?kVuk,¡ gSa rks
P(E∩F∩G) = P(E) P(F|E) P(G|E∩F) = P(E) P(F|E) P(G|EF)
blh izdkj izkf;drk osQ xq.ku fu;e dk foLrkj pkj ;k vf/d ?kVukvksa osQ fy, Hkh fd;k tk ldrk gSA fuEufyf[kr mnkgj.k rhu ?kVukvksa osQ fy, izkf;drk osQ xq.ku fu;e dk n`"Vkar izLrqr djrk gSA mnkgj.k 9 52 iÙkksa dh vPNh rjg isaQVh xbZ xM~Mh esa ls ,d osQ ckn ,d rhu iÙks fcuk izfrLFkkfir fd, fudkys x,A igys nkss iÙkksa dk ckn'kkg vkSj rhljs dk bDdk gksus dh D;k izkf;drk gS\
gy eku ysa fdK ?kVuk ^fudkyk x;k iÙkk ckn'kkg gS* dks vkSj A?kVuk ^fudkyk x;k iÙkk bDdk gS* dks O;Dr djrs gSaA Li"Vr;k gesa P (KKA) Kkr djuk gSA
4
vc P(K) =
52 lkFk gh P(K|K) ;g Kkr gksus ij fd ^igys fudkyk x;k iÙkk ckn'kkg gS* ij nwljs iÙks dk ckn'kkg gksus dh izkf;drk dks n'kkZrk gSA vc xM~Mh esa (52 − 1) = 51 iÙks gSa ftuesa rhu ckn'kkg gS
blfy, P(K|K) = 3
51 varr% P(A|KK) rhljs fudkys x, iÙks dk bDdk gksus dh lizfrca/ izkf;drk gS tc fd gesa Kkr gS fd nks ckn'kkg igys gh fudkys tk pqds gSaA vc xM~Mh esa 50 iÙks jg x, gSa
4
blfy, P(A|KK) = P(A|KK) =
50
izkf;drk osQ xq.ku fu;e }kjk gesa izkIr gksrk gS fd
P(KKA) = P(K) P(K|K) P(A|KK)
434 2
= ××=
52 51 50 5525
13.4 Lora=k ?kVuk,¡ (Independent Events)
52 iÙkksa dh xM~Mh esa ls ,d iÙkk fudkyus osQ ijh{k.k ij fopkj dhft, ftlesa izR;sd ekSfyd ?kVuk dks lelaHkkO; ekuk x;k gSA ;fn E rFkk F Øe'k% ?kVukvksa ^fudkyk x;k iÙkk fpM+h dk gS* vkSj ^fudkyk x;k iÙkk ,d bDdk gS* dks O;Dr djrs gSa] rks
13 1 41
P(E) = = rFkk P(F) ==
52 4 52 13 lkFk gh ^E vkSj F* ?kVuk ^fudkyk x;k iÙkk fpM+h dk bDdk gS* dks O;Dr djrh gS] blfy,
1
P(E ∩ F) =
52 1 P(E ∩F) 52 1
vr% P(E|F) = ==
P(F) 14 13 D;ksafd P(E) = 1= P (E|F), ge dg ldrs gSa fd ?kVuk F osQ ?kfVr gksus dh lwpuk us ?kVuk
4 E dh izkf;drk ij dksbZ izHkko ugha Mkyk gSA gesa ;g Hkh izkIr gS fd
1 P(E ∩F) 52 1
P(F|E) = === P(F)
P(E) 1 13 4 1
iqu% P(F) = = P(F|E) n'kkZrk gS fd ?kVuk E osQ ?kfVr gksus dh lwpuk us ?kVuk F dh
13
izkf;drk ij dksbZ izHkko ugha Mkyk gSA
vr% E rFkk F bl izdkj dh ?kVuk,¡ gS fd fdlh ,d ?kVuk osQ ?kfVr gksus dh lwpuk nwljh ?kVuk dh izkf;drk ij dksbZ izHkko ugha Mkyrh gSA bl izdkj dh ?kVukvksa dks ^Lora=k ?kVuk,¡* dgrs gSaA
ifjHkk"kk 2 nks ?kVukvksa E rFkk F dks Lora=k ?kVuk,¡ dgrs gSa ;fn
P(F| E) = P(F) tcdh P(E) ≠ 0
P(E| F) = P(E) tcdh P(F) ≠ 0
vr% bl ifjHkk"kk esa P(E) vkSj P(F) dk 'kwU;sÙkj gksuk vko';d gSA vc izkf;drk osQ xq.ku fu;e ls
P(E ∩ F) = P(E) . P(F|E) ... (1)
;fn E vkSj F Lora=k ?kVuk,¡ gksa rks (1) ls gesa izkIr gksrk gS fd P(E ∩ F) = P(E). P(F) ... (2)
vr% (2) osQ mi;ksx ls ge nks ?kVukvksa dh Lora=krk dks fuEufyf[kr rjg ls Hkh ifjHkkf"kr
dj ldrs gSaA ifjHkk"kk 3 eku ysa E vkSj F fdlh ;kn`fPNd ijh{k.k osQ izfrn'kZ lef"V dh nks ?kVuk,¡ gSa] rks E vkSj F Lora=k ?kVuk,¡ gksrh gSa ;fn
P(E ∩ F) = P(E) P(F)
fVIi.kh
1.
nks ?kVukvksa E rFkk F dks ijkfJr (dependent) dgrs gSa] ;fn os Lora=k u gksa vFkkZr~~ ;fn P(E ∩ F ) ≠ P(E) . P(F)
2.
dHkh&dHkh Lora=k ?kVukvksa vkSj ijLij viothZ ?kVukvksa osQ chp Hkze iSnk gks tkrk gSA ^Lora=k ?kVukvksa* dh ifjHkk"kk ^?kVukvksa dh izkf;drk* osQ :i esa dh xbZ gS tc fd ^ijLij viothZ ?kVukvksa* dh ifjHkk"kk ^?kVukvksa* osQ :i esa dh xbZ gSA blosQ vfrfjDr] ijLij viothZ ?kVukvksa esa dksbZ Hkh ifj.kke lkoZ dnkfi ugha gks ldrk gS ¯drq Lora=k ?kVukvksa esa
ifj.kke lkoZ Hkh gks ldrs gSa] ;fn izR;sd ?kVuk vfjDr gSA Li"Vr;k ^Lora=k ?kVuk,¡* vkSj ^ijLij viothZ ?kVuk,¡* lekukFkhZ ugha gSaA nwljs 'kCnksa esa] ;fn nks ,slh Lora=k ?kVuk,¡ ?kVrh gSa ftudh izf;drk 'kwU;srj gS] rks og ijLij viothZ ugha gks ldrh gSaA foykser% ;fn nks 'kwU;srj izkf;drk okyh ijLij viothZ ?kVuk,¡ ?kVrh gSa] rks og Lora=k ugha gks ldrh gSaA
3.
nks ;kn`fPNd ijh{k.k Lora=k dgykrs gSa] ;fn izR;sd ?kVuk ;qXe E vkSj F osQ fy,] tgk¡ E igys ijh{k.k ls rFkk F nwljs ijh{k.k ls lacaf/r gSa] ?kVukvksa E rFkk F osQ ,d lkFk ?kfVr gksus dh izkf;drk] tc nksuksa ijh{k.k laiUu fd, tk,¡] izkf;drk P(E) vkSjP(F) osQ xq.kuiQy osQ cjkcj gksrh gSa] ftudk ifjdyu nksuksa ijh{k.kksa osQ vk/kj ij vyx&vyx fd;k tkrk gSA vFkkZr~~ P(E∩F) = P(E) . P(F)
4.
rhu ?kVukvksa A, B vkSj C dks Lora=k dgk tkrk gS ;fn vkSj osQoy ;fn
P(A∩B) = P(A) P(B)
P(A∩C) = P(A) P(C)
P(B∩C) = P(B) P(C)
vkSj P(A∩B∩C) = P(A) P(B) P(C) ;fn mijksDr esa ls de ls de ,d Hkh 'krZ lR; ugha gksrh gS rks nh xbZ ?kVukvksa dks Lora=k ugha dgk tkrk gSA
mnkgj.k 10 ,d ikls dks ,d ckj mNkyk tkrk gSA ?kVuk ^ikls ij izkIr la[;k 3 dk vioR;Z gS*] dks E ls vkSj ^ikls ij izkIr la[;k le gS*] dks F ls fu:fir fd;k tk, rks crk,¡ D;k ?kVuk,¡ E vkSj F Lora=k gSa\
gy ge tkurs gSa fd bl ijh{k.k dk izfrn'kZ lef"V gS% S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} vc E = {3, 6}, F = {2, 4, 6} vkSj E ∩ F = {6}
2131 1
rc P(E) = = , P (F) == vkSj P(E ∩ F) =
6362 6 Li"Vr;k P(E ∩ F) = P(E) . P(F) vr% E vkSj F Lora=k ?kVuk,¡ gSaA
mnkgj.k 11 ,d vufHkur (unbiased) ikls dks nks ckj mNkyk x;kA eku ysa A ?kVuk ^igyh mNky ij fo"ke la[;k izkIr gksuk* vkSj B ?kVuk ^f}rh; mNky ij fo"ke la[;k izkIr gksuk* n'kkZrs gSaA ?kVukvksa A vkSj B osQ Lokra=; dk ijh{k.k dhft,A
gy ;fn lHkh 36 ekSfyd ?kVukvksa dks lelaHkkO; eku ysa rks
18 1 18 1
P(A) == vkSj P(B) ==
36 2 36 2
lkFk gh P(A ∩ B) = P (nksuksa mNkyksa esa fo"ke la[;k izkIr gksuk) 91
=
= 36 4 11 1
vc P(A) . P(B) = ⋅=
22 4 Li"Vr;k P(A ∩ B) = P(A) . P(B) vr%A vkSj B Lora=k ?kVuk,¡ gSaA mnkgj.k 12rhu flDdksa dks mNkyk x;k gSA eku ysa E ?kVuk ^rhu fpr ;k rhu iV izkIr gksuk* vkSj F ?kVuk ^U;wure nks fpr izkIr gksuk* vkSj G ?kVuk ^vf/dre nks iV izkIr gksuk* dks fu:fir djrs gSaA ;qXe (E,F), (E,G) vkSj (F,G) esa dkSu&dkSu ls Lora=k gSa\ dkSu&dkSu ls ijkfJr gSa\ gy ijh{k.k dk izfrn'kZ lef"V gS %
S = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT} Li"Vr;k E = {HHH, TTT}, F= {HHH, HHT, HTH, THH} vkSj G = {HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT} lkFk gh E ∩ F = {HHH}, E ∩ G = {TTT}, F ∩ G = { HHT, HTH, THH}
2141 7
blfy, P(E) = = , P(F) == , P(G) =
8482 8
1 13
P(E ∩ F) = ,P(E ∩ G) = , P(F ∩ G) =
8 88
111 177 177
lkFk gh P(E) . P(F) = ×= , P(E) P(G) ⋅ =×= S ⋅ =×=vkjP(F) P(G)
428 4832 2816 vr% P(E ∩ F) = P(E) . P(F)
P(E ∩ G) ≠ P(E) . P(G) vkSj P(F ∩ G) ≠ P(F) . P(G) blfy, ?kVuk,¡ (E vkSj F) Lora=k gSa tcdh ?kVuk,¡ (F vkSj G) vkSj (E vkSj G) ijkfJr gSaA
mnkgj.k 13 fl¼ dhft, fd ;fn E vkSj F nks Lora=k ?kVuk,¡ gSa rks E vkSj F′ Hkh Lora=k gksaxhA gy D;ksafd E rFkk F Lora=k gS] blfy, P(E ∩ F) = P(E) . P(F) ... (1)
fp=k 13.3, osQ osu&vkjs[k ls ;g Li"V gS fd E ∩ F vkSjE ∩ F′ ijLij viothZ gSa vkSj lkFk gh
E = (E ∩ F) ∪ (E ∩ F′) D;ksafd E ∩ F vkSj E ∩ F′ ijLij viothZ gSa] blfy, P(E) = P(E ∩ F) + P(E ∩ F′) ;k P(E ∩ F′) = P(E) − P(E ∩ F)
= P(E) − P(E) . P(F) (1) ls
= P(E) [1 − P(F]
vko`Qfr 13.3
= P(E) . P(F′) vr% E vkSj F′ Lora=k ?kVuk,¡ gSaA
mnkgj.k 14 ;fn AvkSj B Lora=k ?kVuk,¡ gSa rks A;k B esa ls U;wure ,d osQ gksus dh izkf;drk = 1− P(A′) P(B′) gy P(A ;k B esa ls U;wure ,d dk gksuk) = P(A ∪ B)
= P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
= P(A) + P(B) − P(A) P(B)
= P(A) + P(B) [1−P(A)]
= P(A) + P(B) . P(A′)
=1− P(A′) + P(B) P(A′)
=1− P(A′) [1− P(B)]
=1− P(A′) P (B′)
iz'ukoyh 13.2
1. ;fn P(A) = 3 ] P (B) = 1 vkSj A rFkk B Lora=k ?kVuk,¡ gSa rks P (A ∩B) Kkr dhft,A
55
2.
52 iÙkksa dh ,d xM~Mh esa ls ;kn`PN;k fcuk izfrLFkkfir fd, x, nks iÙks fudkys x,A nksuksa iÙkksa osQ dkys jax dk gksus dh izkf;drk Kkr dhft,A
3.
larjksa osQ ,d fMCcs dk fujh{k.k mlesa ls rhu larjksa dks ;kn`PN;k fcuk izfrLFkkfir fd, gq, fudky dj fd;k tkrk gSA ;fn rhuksa fudkys x, larjs vPNs gksa rks fMCcs dks fcØh osQ
fy, Loho`Qr fd;k tkrk gS vU;Fkk vLoho`Qr dj nsrs gSaA ,d fMCck ftlesa 15 larjs gSa ftuesa ls 12 vPNs o 3 [kjkc larjs gSa] osQ fcØh osQ fy, Loho`Qr gksus dh izkf;drk Kkr dhft,A
4.
,d U;kÕ; flDdk vkSj ,d vfHkur ikls dks mNkyk x;kA eku ysa A ?kVuk ^flDosQ ij fpr izdV gksrk gS* vkSj B ?kVuk ^ikls ij la[;k 3 izdV gksrh gS* dks fu:fir djrs gSaA fujh{k.k dhft, fd ?kVuk,¡ A vkSj B Lora=k gSa ;k ugha\
5.
,d ikls ij 1, 2, 3 yky jax ls vkSj 4, 5, 6 gjs jax ls fy[ks x, gSaA bl ikls dks mNkyk x;kA eku ysa A ?kVuk ^la[;k le gS* vkSj B ?kVuk ^la[;k yky jax ls fy[kh xbZ gS*] dks fu:fir djrs gSaA D;k A vkSj B Lora=k gSa\
33 1
6. eku ysa E rFkkF nks ?kVuk,¡ bl izdkj gSa fd P(E) = , P (F) = vkSjP (E ∩ F) = rc
510 5 D;k E rFkk F Lora=k gSa? 13
A
7.
A vkSj B ,slh ?kVuk,¡ nh xbZ gSa tgk¡ P () = , P (A ∪ B) = rFkk P(B) = p.
25 p dk eku Kkr dhft, ;fn (i) ?kVuk,¡ ijLij viothZ gSaA (ii) ?kVuk,¡ Lora=k gSaA
8.
eku ysa A vkSjB Lora=k ?kVuk,¡ gSa rFkkP(A) = 0.3 vkSj P(B) = 0.4. rc
(i) P (A ∩ B) (ii) P (A ∪ B)
(iii) P(A|B) (iv) P( B|A ) Kkr dhft,A
11 1
9. nh xbZ ?kVuk,¡ A vkSj B ,slh gSa] tgk¡ P(A) = , P (B) = vkSj P(A ∩ B) = rc
42 8 P(A&ugha vkSj B&ugha) Kkr dhft,A 17
10. eku ysa A rFkk B Lora=k ?kVuk,¡ gSa vkSj P(A) = rFkk P(B) = vkSj
2 12
1
P(A&ugha vkSj B&ugha) = . D;k A vkSj B Lora=k ?kVuk,¡ gSa\
4
11. A vkSj B Lora=k ?kVuk,¡ nh xbZ gSa tgk¡ P(A) = 0.3, P (B) = 0.6 rks
(i) P(A vkSj B) (ii) P(A vkSj B&ugha)
(iii) P(A ;k B) (iv) P(A vkSj B esa dksbZ Hkh ugha) dk eku Kkr dhft,A
12.
,d ikls dks rhu ckj mNkyk tkrk gS rks de ls de ,d ckj fo"ke la[;k izkIr gksus dh izkf;drk Kkr dhft,A
13.
nks xsan ,d ckWDl ls fcuk izfrLFkkfir fd, fudkyh tkrh gSA ckWDl esa 10 dkyh vkSj 8 yky xsnsa gSa rks izkf;drk Kkr dhft, (i) nksuksa xsansaa yky gksa (ii) izFke dkyh ,oa nwljh yky gks (iii) ,d dkyh rFkk nwljh yky gksA
14.
,d fo'ks"k leL;k dks A vkSjB }kjk Lora=k :i ls gy djus dh izkf;drk,¡ Øe'k% vkSj
1
2 1
gSaA ;fn nksuksa] Lora=k :i ls] leL;k gy djus dk iz;kl djrs gSa] rks izkf;drk Kkr
3
dhft, fd
(i)
leL;k gy gks tkrh gS
(ii)
muesa ls rF;r% dksbZ ,d leL;k gy dj ysrk gSA
15. rk'k osQ 52 iÙkksa dh ,d lqfefJr xM~Mh ls ,d iÙkk ;kn`PN;k fudkyk tkrk gSA fuEufyf[kr esa ls fdu n'kkvksa esa ?kVuk,¡ E vkSj F Lora=k gSa?
(i)
E : ‘fudkyk x;k iÙkk gqoqQe dk gS’
F : ‘fudkyk x;k iÙkk bDdk gS’
(ii)
E : ‘fudkyk x;k iÙkk dkys jax dk gS’
F : ‘fudkyk x;k iÙkk ,d ckn'kkg gS’
(iii) E : ‘fudkyk x;k iÙkk ,d ckn'kkg ;k ,d csxe gS’
F : ‘fudkyk x;k iÙkk ,d csxe ;k ,d xqyke gS’
16. ,d Nk=kkokl esa60% fo|kFkhZ ¯gnh dk] 40% vaxzs”kh dk vkSj 20% nksuksa v[kckj i<+rs gSaA ,d Nk=kk dks ;kn`PN;k pquk tkrk gSA
(a)
izkf;drk Kkr dhft, fd og u rks ¯gnh vkSj u gh vaxzs”kh dk v[kckj i<+rh gSA
(b)
;fn og ¯gnh dk v[kckj i<+rh gS rks mlosQ vaxzs”kh dk v[kckj Hkh i<+us okyh gksus dh izkf;drk Kkr dhft,A
(c)
;fn og vaxzs”kh dk v[kckj i<+rh gS rks mlosQ ¯gnh dk v[kckj Hkh i<+us okyh gksus dh izkf;drk Kkr dhft,A
17. ;fn iklksa dk ,d tksM+k mNkyk tkrk gS rks izR;sd ikls ij le vHkkT; la[;k izkIr djus dh izkf;drk fuEufyf[kr esa ls D;k gS\
1 11
(A) 0 (B) (C) (D)
3 12 36
18. nks ?kVukvksa A vkSj B dks ijLij Lora=k dgrs gSa] ;fn
(A)
A vkSj B ijLij viothZ gSa (B) P(A′B′) = [1–P(A)][1–P(B)]
(C)
P(A) = P(B) (D) P(A) + P(B) = 1
13.5 cs”k&izes; (Bayes' Theorem)
eku yhft, fd nks FkSys I vkSj II fn, x, gSaA Fksyk I esa 2 li+Qn vkSj 3 yky xsansaa gSaA vkSj FkSyk sII esa 4 li+sQn vkSj 5 yky xsansaa gSaA fdlh ,d FkSys esa ls ,d xsan ;kn`PN;k fudkyh tkrh gSA ge
fdlh ,d FkSys dks pquus dh izkf;drk 1 Kkr dj ldrs gSa ;k fdlh fo'ks"k FkSys (eku ysa FkSyk I)
2
esa ls ,d fo'ks"k jax (eku ysa li+s
Qn) xsan dks fudkyus dh izkf;drk Hkh Kkr dj ldrs gSaA vU; 'kCnksa esa ge fdlh fo'ks"k jax dh xsan fudkyus dh izkf;drk Kkr dj ldrs gSa] ;fn gesa ;g fn;k x;k gks fd xsan dkSu&ls FkSys ls fudkyh xbZ gSA ysfdu D;k ge bl ckr dh izkf;drk Kkr dj ldrs gSa fd xsan fdlh fo'ks"k FkSys (eku ysa FkSyk&II) ls fudkyh xbZ gS ;fn gesa fudkyh xbZ xsan dk jax irk gS\ ;gk¡ gesa FkSyk&II osQ pquus dh izfrykse (reverse)izkf;drk Kkr djuh gS tcfd blosQ ckn gksus okyh ?kVuk dk gesa Kku gSA izfl¼ xf.krK tkWu cs”k us izfrykse izkf;drk Kkr djus dh leL;k dk lek/ku lizfrca/ izkf;drk osQ mi;ksx }kjk fd;k gSA muosQ }kjk cuk;k x;k lw=k ^cs”k&izes;* osQ uke ls tkuk tkrk gS tks mudh e`R;ksijkar 1763 esa izdkf'kr gqvk FkkA cs”k&izes; osQ dFku o izek.k ls iwoZ vkb, ,d ifjHkk"kk vkSj oqQN izkjafHkd ifj.kkeksa ij fopkj dhft,A
13.5.1 ,d izfrn'kZ lef"V dk foHkktu (Partition of a sample space)
?kVukvksa E1, E2 ... E n osQ leqPp; dks izfrn'kZ lef"V S osQ foHkktu dks fu:fir djrk gS ;fn
(a) Ei ∩ Ej = φ, i ≠ j, i, j = 1, 2, 3, ...n
(b) E ∪ Ε ∪...∪ E = S rFkk
1 2n
(c) P(E) > 0, izR;sd i = 1, 2, ..., n osQ fy,
i
nwljs 'kCnksa esa] ?kVuk,¡ E1, Ε2, ... En izfrn'kZ lef"V S osQ foHkktu dks fu:fir djrh gSa ;fn os ;qXer% vla;qDr gSa] lexz gS rFkk mudh izkf;drk 'kwU;srj gSA
mnkgj.kr% ge ns[krs gSa fd dksbZ ?kVuk E vkSj mldh iwjd ?kVuk E′ izfrn'kZ lef"V S dk foHkktu gS D;ksafd E ∩ E′ = φ vkSj E ∪ E′ = S.
osu&vkjs[k fp=k 13.3, ls ge vklkuh ls izs{k.k dj ldrs gSa fd ;fn E vkSj F fdlh izfrn'kZ lef"V S, osQ laxr dksbZ nks ?kVuk,¡ gSa] rks {E ∩ F, E ∩ F′} leqPp; E dk ,d foHkktu gSA
leqPp; {E′ ∩ F, E ∩ F, E ∩ F′} leqPp; E ∪ F dk ,d foHkktu gS vkSj leqPp; {E ∩ F′, E ∩ F, E′∩ F, E′∩ F′} laiw.kZ izfrn'kZ S dk ,d foHkktu gSA vc ge laiw.kZ izkf;drk dh izes; dks fl¼ djsaxsA
13.5.2 laiw.kZ izkf;drk dh izes; (Theorem of Total Probability)
eku ysa {E1, E2,...,En} izfrn'kZ lef"V S, dk ,d foHkktu gS vkSj eku ysa fd izR;sd ?kVukE1, E2 ,...,En dh izkf;drk 'kwU;sÙkj gSA eku yhft, A izfrn'kZ lef"V osQ laxr ,d ?kVuk gS] rc,
P(A) =P(E) P(A|E) + P(E) P(A|E) + ... + P(E) P(A|E)
1 12 2nn
n
P(E )P(A|E )
= ∑ jj
j=1
miifÙk fn;k x;k gS fd E1, E2, ..., E n izfrn'kZ lef"VS dk ,d foHkktu gS (fp=k 13-4) blfy,]
S =E ∪ E ∪ ... ∪ E ... (1)
12 n
vkSj E i ∩ E j = φ∀ i ≠ j, i, j = 1, 2, ...., n gesa Kkr gS fd fdlh ?kVuk A, osQ fy,
A =A ∩ S
=A ∩ (E∪ E ... E)
12nvko`Qfr 13.4
= (A ∩ E) ∪ (A ∩ E) ∪ ...∪ (A ∩ E)
12n
lkFk ghA ∩ E, vkSjA ∩ E, Øe'k% leqPp;ks E vkSj E osQ mileqPp; gSa tks i ≠ j , osQ
ijij
fy, vla;qDr gS blfy, i ≠ j, i, j = 1, 2 ..., n osQ fy, A ∩ E i vkSj A ∩E j Hkh vla;qDr gSaA blfy, P(A) = P[(A ∩ E) ∪ (A ∩ E)∪ .....∪ (A ∩ E )]
12n= P(A ∩ E1) + P(A ∩ E2) + ... + P(A ∩ E n) vc P(A ∩ Ei) = P(Ei) P(A|Ei) D;ksafd P (Ei) ≠ 0∀i = 1,2,..., n izkf;drk osQ xq.ku fu;e }kjk ge tkurs gSa fd blfy, P(A) =P(E) P(A|E) + P(E) P(A|E) + ... + P(E) P(A|E)
1 122nnn
;k P(A) = P(E )P(A|E )
∑ jj
j=1 mnkgj.k 15 fdlh O;fDr us ,d fuekZ.k dk;Z dk Bsdk fy;k gSA gM+rky gksus dh izkf;drk 0-65 gSA gM+rky u gksus dh rFkk gM+rky gksus dh fLFkfr;ksa esa fuekZ.k dk;Z osQ le;kuqlkj iw.kZ gksus dh izkf;drk,¡ Øe'k% 0-80 rFkk 0-32 gSaA fuekZ.k dk;Z osQ le;kuqlkj iw.kZ gksus dh izkf;drk Kkr dhft,A
gy eku yhft, fd ^fuekZ.k dk;Z osQ le;kuqlkj iw.kZ gksus* dh ?kVuk dks A vkSj ^gM+rky gksus* dh ?kVuk dks B }kjk fu:fir fd;k tkrk gSA gesa P(A) Kkr djuk gSA gesa Kkr gS fd P(B) = 0.65, P(gM+rky ugha) = P(B′) = 1 − P(B) = 1 − 0.65 = 0.35 P(A | B) = 0.32, P(A | B′) = 0.80 D;ksafd ?kVuk,¡ B vkSj B′ lef"V leqPp; osQ foHkktu gSa blfy, laiw.kZ izkf;drk izes; }kjk =P(B) . P(A | B) + P(B′) P(A | B′)
= 0.65 × 0.32 + 0.35 × 0.8 = 0.208 + 0.28 = 0.488
vr% fuekZ.k dk;Z le;kuqlkj iw.kZ gksus dh izkf;drk 0-488 gSA vc ge cs”k&izes; dk izdFku djsaxs rFkk bls fl¼ djsaxsA
cs”k&izes; (Bayes' Theorem) ;fnE 1, E2 ,..., E n vfjDr ?kVuk,¡ gSa tks fd izfrn'kZ lef"V S osQ foHkktu dk fuekZ.k djrh gSa vFkkZr~~ E1, E2 ,...., En ;qXer% vla;qDr gSa vkSj E1∪ E2 ∪ ,..., ∪ E n = S vkSj A dksbZ ,slh ?kVuk gS ftldh izkf;drk 'kwU;srj gS] rks
P(E )P(A|E )
P(Ei|A) = ni i , i = 1, 2, 3, ..., n
P(E )P(A| E )
∑ jj j=1
miifÙk gesa Kkr gS fd
P(A ∩ E)
P(E|A) = i
iP(A)
P(E )P(A|E )
= ii (izkf;drk osQ xq.ku fu;e ls)
P (A)
P(E )P(A|E )
= ni i (laiw.kZ izkf;drk osQ fu;e ls) ∑P(E )P(A|E ) j
j
j=1
fVIi.kh cs”k&izes; osQ vuqiz;ksx esa fuEufyf[kr 'kCnkoyh dk mi;ksx djrs gSa ?kVukvksaE1, E2, ... E n dks ifjdYiuk,¡ (hypotheses)dgrs gSaA
P(Ei) dks ifjdYiuk Ei dh iwoZdkyhu (a priori) izkf;drk dgrs gSaA lizfrca/ izkf;drk P(Ei A) dks ifjdYiuk E i dh mÙkjdkyhu (a posteriori) izkf;drk dgrs gSaA
cs”k izes; dks ^dkj.kksa* dh izkf;drk dk lw=k Hkh dgk tkrk gSA D;ksafd E i izfrn'kZ lef"V S osQ ,d foHkktu dk fuekZ.k djrs gSa blfy, ?kVukvksa Ei esa ls ,d le; esa ,d vkSj osQoy ,d gh ?kfVr gksrh gS (vFkkZr~~E i esa ls osQoy ,d gh ?kVuk ?kVrh gS vkSj ,d ls vf/d ugha ?kV ldrh gS) vr% mijksDr lw=k gesa fdlh fo'ks"k Ei (vFkkZr~~ ,d dkj.k)dh izkf;drk nsrk gS tcfd ?kVuk A dk ?kfVr gksuk fn;k x;k gSA
cs”k&izes; dh fofo/ ifjfLFkfr;ksa esa mi;ksfxrk gSA buesa ls oqQN dks fuEufyf[kr mnkgj.kksa esa Li"V fd;k x;k gSA
mnkgj.k 16 nks FkSys I vkSj II fn, gSaA FkSys I esa 3 yky vkSj 4 dkyh xsansaa gSa tc fd FkSys II esa 5 yky vkSj 6 dkyh xsansaa gSaA fdlh ,d FkSys esa ls ;kn`PN;k ,d xsan fudkyh xbZ gS tks fd yky jax dh gSA bl ckr dh D;k izkf;drk gS fd ;g xsan FkSys II ls fudkyh xbZ gS\ gy FkSys I dk p;u gksuk dks E1 ls vkSj FkSys II osQ p;u dks E2 eku yhft,A eku yhft, fd yky jax dh xsan fudyus dh ?kVuk dks A ls fu:fir djrs gSaA
1
rc P(E) =P(E) =
122
3
lkFk gh P(A|E1) = P(FkSys I esa ls yky jax dh xsan fudkyuk) =
7 5
vkSj P(A|E) =P(FkSys II esa ls yky jax dh xsan fudkyuk) =
211 vc FkSys II esa ls xsan fudkyus dh izkf;drk] tc fd ;g Kkr gS fd og yky jax dh gS = P(E2|A), cs”k&izes; }kjk
mnkgj.k 17 rhu vfHkUu fMCcs I, II vkSj III fn, x, gSa tgk¡ izR;sd esa nks flDosQ gSaA fMCcs I esa nksuksa flDosQ lksus osQ gS] fMCcs II esa nksuksa flDosQ pk¡nh osQ gSa vkSj fMCcs III esa ,d lksus vkSj ,d pk¡nh dk flDdk gSA ,d O;fDr ;kn`PN;k ,d fMCck pqurk gS vkSj mlesa ls ;kn`PN;k ,d flDdk fudkyrk gSA ;fn flDdk lksus dk gS] rks bl ckr dh D;k izkf;drk gS fd fMCcs esa nwljk flDdk Hkh lksus dk gh gS\
gy eku ysa E1, E2 vkSj E3 Øe'k% fMCcs I, II vkSj III osQ p;u dks fu:fir djrs gSa 1
rc P(E) =P(E) = P(E) =
12 33
lkFk gh eku ysa A ?kVuk ^fudkyk x;k flDdk lksus dk gS* dks n'kkZrk gSA
rc P(A|E1) = P(fMCcs I ls lksus dk flDdk fudyuk) = 22 = 1
P(A|E2) = P(fMCcs II ls lksus dk ,d flDdk fudyuk) = 0
P(A|E) =P(fMCcs III ls lksus dk flDdk fudyuk) = 1
32
vc fMCcs esa nwljk flDdk Hkh lksus dk gksus dh izkf;drk = fudkyk x;k lksus dk flDdk fMCcs I ls gksus dh izkf;drk = P(E1|A)
vc cs”k&izes; }kjk
P(E )P(A|E )
P(E1|A) = 1 1
P(E )PA|E )+P(E )P(A|E )+P(E )P(A|E )
11223 3
33 32
mnkgj.k 18 eku ysa fd ,d ,p-vkbZ-oh- ijh{k.k dh fo'oluh;rk fuEufyf[kr izdkj ls fufnZ"V dh xbZ gSA
,p-vkbZ-oh- iksthfVo O;fDr;ksa osQ fy, ijh{k.k 90% irk yxkus esa vkSj 10% irk u yxkus esa l{ke gSA ,p-vkbZ-oh- ls Lora=k O;fDr;ksa osQ fy, ijh{k.k] 99% lgh irk yxkrk gS ;kuh ,p-vkbZ-oh usxsfVo crkrk gS tcfd 1%ijhf{kr O;fDr;ksa osQ fy, ,p-vkbZ-oh- iksthfVo crkrk gSA ,d cM+h tula[;k] ftlesa 0.1% O;fDr ,p-vkbZ-oh- xzLr gS] esa ls ,d O;fDr ;kn`PN;k pquk tkrk gS vkSj ml dk ijh{k.k fd;k tkus ij jksxfoKkuh ,p-vkbZ-oh- dh mifLFkfr crkrk gSA D;k izkf;drk gS fd og O;fDr okLro esa ,p-vkbZ-oh- (iksthfVo) gS\
gy eku ysa E pqus x, O;fDr osQ okLro esa ,p-vkbZ-oh- iksthfVo gksus dh ?kVuk vkSj A O;fDr osQ ,p-vkbZ-oh- ijh{k.k esa iksthfVo gksus dh ?kVuk dks n'kkZrs gSaA gesaP(E|A) Kkr djuk gSA lkFk ghE′ pqus x, O;fDr osQ ,p-vkbZ-oh- iksthfVo u gksus dh ?kVuk dks n'kkZrk gSA Li"Vr;k {E, E′} tula[;k esa lHkh O;fDr;ksa osQ izfrn'kZ lef"V dk ,d foHkktu gSA gesa Kkr gS
0.1
P(E) = 0.1% ==0.001
100
P(E′) =1 – P (E) = 0.999
P(A| E) = P (O;fDr dk ijh{k.k esa ,p-vkbZ-oh- iksthfVo n'kkZuk tcfd fn;k x;k gS fd og
9
okLro esa ,p-vkbZ-oh- iksthfVo gS)= 90% = = 0.9
10
vkSj P(A|E ′ ) = P (O;fDr dk ijh{k.k esa ,p-vkbZ-oh- iksthfVo n'kkZuk tc fd fn;k x;k gS fd og okLro esa ,p-vkbZ-oh- iksthfVo ugha gS) = 1% = 0.01
vc cs”k&izes; }kjk
P(E)P(A|E) P(E|A) = P(E)P(A|E)+P(E )P(A| E )′
′
0.001 ×0.9 90
= = = 0.083 (yxHkx)
0.001 ×0.9 + 0.999 ×0.01 1089
vr% ,d ;kn`PN;k pqus x, O;fDr osQ okLro esa ,p-vkbZ-oh- iksthfVo gksus dh izkf;drk tc
fd Kkr gS fd mldk ,p-vkbZ-oh- ijh{k.k iksthfVo gS] 0.083 gSA mnkgj.k 19 ,d cksYV cukus osQ dkj[+kkus esa e'khusa (;a=k) A, B vkSj C oqQy mRiknu dk Øe'k% 25%, 35% vkSj 40% cksYV cukrh gSaA bu e'khuksa osQ mRiknu dk Øe'k% 5] 4] vkSj 2 izfr'kr Hkkx [kjkc (=kqfViw.kZ) gSaA cksYVksa osQ oqQy mRiknu esa ls ,d cksYV ;kn`PN;k fudkyk tkrk gS vkSj og [kjkc ik;k tkrk gSA bldh D;k izkf;drk gS fd ;g cksYV e'khu B }kjk cuk;k x;k gS\
gy eku fy;k fd ?kVuk,¡ B1, B2, B3 fuEu izdkj gS% B1 : cksYV e'khuA }kjk cuk;k x;k gS B2 : cksYV e'khu B }kjk cuk;k x;k gS B3 : cksYV e'khu C }kjk cuk;k x;k gS
Li"V gS fd ?kVuk,¡ B1, B2, B3 ijLij viothZ vkSj ifjiw.kZ gSA eku fy;k fd ?kVuk E fuEu izdkj gS% E cksYV [kjkc gSA ?kVuk E, ?kVukvksa B1 ;k B2 ;k B3 osQ lkFk ?kfVr gksrh gSA fn;k gS%
P(B1) = 25% = 0.25, P (B2) = 0.35 vkSj P(B3) = 0.40 iqu% P(E|B1) = cksYV osQ [kjkc gksus dh izkf;drk tc fd fn;k gks fd og e'khu B }kjk fufeZr gS
= 5% = 0.05 blh izdkj P(E|B2) = 0.04, P(E|B3) = 0.02 cs”k&izes; }kjk gesa Kkr gS fd
P(B )P(E|B )
P(B|E) = 2 2
2P(B )P(E|B )+P(B )P(E|B )+P(B )P(E+|B )
11223 3
0.35 ×0.04 0.0140 28
==
=
0.25 ×0.05 +0.35 × 0.04 + 0.40 ×0.02 0.0345 69
mnkgj.k 20 ,d MkWDVj dks ,d jksxh dks ns[kus vkuk gSA igys osQ vuqHkoksa ls ;g Kkr gS fd
3 11 2
mlosQ Vªsu] cl] LowQVj ;k fdlh vU; okgu ls vkus dh izkf;drk,¡ Øe'k% ,, ;k
10 510 5 11 1
gS ;fn og Vsªu] cl ;k LowQVj ls vkrk gS rks mlosQ nsj ls vkus dh izkf;drk,¡ Øe'k% ,, ;k
43 12
gS] ijarq fdlh vU; okgu ls vkus ij mls nsj ugha gksrh gSA ;fn og nsj ls vk;k] rks mlosQ Vsªu ls vkus dh izkf;drk Kkr dhft,A
gy eku yhft, fd ^MkWDVj osQ jksxh osQ ;gk¡ nsj ls vkus* dh ?kVuk E gSA ;fn MkWDVj osQ Vsªu] cl] LowQVj ;k fdlh vU; okgu }kjk vkus dh ?kVuk,¡ Øe'k% T1, T2, T3, vkSj T4 gks] rks 311 2
,P(T ) = ,P(T ) = vkjS P(T ) =
P(T1) =2 3 4 (fn;k gS)
10 510 5 1
P(E|T1) = MkWDVj osQ Vsªu }kjk vkus ij nsj ls igq¡pus dh izkf;drk =
4 11
blh izdkj, P(E|T) = , P (E|T) = , P(E|T) = 0, D;ksafd vU; okgu }kjk vkus ij mls
23 312 4
nsjh ugha gksrhA vc cs”k&izes; }kjk P(T1|E) = MkWDVj }kjk nsj ls vkus ij Vsªu }kjk vkus dh izkf;drk
P(T )P(E|T )
1 1 2 2 3 34 4
= 11 P(T)P(E|T)+P(T )P(E|T )+P(T )P(E|T )+P(T )P(E|T )
3 1
= 10 4 × = 3 120 × = 1
3 × 1 + 1 1 × + 1 × 1 + 2 0× 40 18 2
10 4 5 3 10 12 5
1
vr% vHkh"V izkf;drk 2 gSA
mnkgj.k 21 ,d O;fDr osQ ckjs esa Kkr gS fd og 4 esa ls 3 ckj lR; cksyrk gSA og ,d ikls dks mNkyrk gS vkSj crykrk gS fd ml ij vkus okyh la[;k 6 gSA bl dh izkf;drk Kkr dhft, fd ikls ij vkus okyh la[;k okLro esa 6 gSA gy eku yhft, fd E] ^O;fDr }kjk ikls dks mNky dj ;g crkus dh fd ml ij vkus okyh la[;k 6 gS* dh ?kVuk gSA eku yhft, fd S1] ikls ij la[;k 6 vkus dh ?kVuk vkSj S2 ikls ij la[;k 6 ugha vkus dh ?kVuk gSaA rc
P(S) = la[;k 6 vkus dh ?kVuk dh izkf;drk = 1
1 6
5
P(S2) = la[;k 6 ugha vkus dh ?kVuk dh izkf;drk =
6 P(E|S1) = O;fDr }kjk ;g crkus ij fd ikls fd la[;k 6 vkbZ gS tcfd ikls ij vkus okyh la[;k okLro esa 6 gS] dh izkf;drk
3
= O;fDr }kjk lR; cksyus dh izkf;drk =
4 P(E|S) = O;fDr }kjk ;g crkus ij fd ikls ij la[;k 6 vkbZ gS tcfd ikls ij vkus okyh
2
la[;k okLro esa 6 ugha gS] dh izkf;drk
= O;fDr }kjk lR; ugha cksyus dh izkf;drk 1= − 3 = 1
4 4
vc cs”k&izes; }kjk
P(S1|E) = O;fDr }kjk ;g crkus dh izkf;drk fd la[;k 6 izdV gqbZ gS] tc okLro esa la[;k 6 gS
vr% vHkh"V izkf;drk 3 gSA
8
iz'ukoyh 13.3
1.
,d dy'k esa 5 yky vkSj 5 dkyh xsnsa gSaA ;kn`PN;k ,d xsan fudkyh tkrh gS] bldk jax uksV djus osQ ckn iqu% dy'k esa j[k nh tkrh gSA iqu% fudkys x, jax dh 2 vfrfjDr xsansaa dy'k esa j[k nh tkrh gS rFkk dy'k esa ls ,d xsan fudkyh tkrh gSA nwljh xsansaa dh yky gksus dh izkf;drk D;k gS\
2.
,d FkSys esa 4 yky vkSj 4 dkyh xsansaa gSa vkSj ,d vU; FkSys esa 2 yky vkSj 6 dkyh xsansa gSaA nksuksa FkSyksa esa ls ,d dks ;kn`PN;k pquk tkrk gS vkSj mlesa ,d xsan fudkyh tkrh gS tks fd yky gSA bl ckr dh D;k izkf;drk gS fd xsan igys FkSys ls fudkyh xbZ gS\
3.
;g Kkr gS fd ,d egkfo|ky; osQ Nk=kksa esa ls 60% Nk=kkokl esa jgrs gSa vkSj 40% Nk=kkokl esa ugha jgrs gSaA iwoZorhZ o"kZ osQ ifj.kke lwfpr djrs gSa fd Nk=kkokl esa jgus okys Nk=kksa esa ls 30% vkSj Nk=kkokl esa u jgus okys Nk=kksa esa ls 20% Nk=kksa us A&xzsM fy;kA o"kZ osQ var esa egkfo|ky; osQ ,d Nk=k dks ;kn`PN;k pquk x;k vkSj ;g ik;k x;k fd mls A-xzsM feyk gSA bl ckr dh D;k izkf;drk gS fd og Nk=k Nk=kkokl es jgus okyk gS\
4.
,d cgqfodYih iz'u dk mÙkj nsus esa ,d fo|kFkhZ ;k rks iz'u dk mÙkj tkurk gS ;k og
vuqeku yxkrk gSA eku ysa fd mlosQ mÙkj tkuus dh izkf;drk 3 gS vkSj vuqeku yxkus dh
4
1
izkf;drk gSA eku ysa fd Nk=k osQ iz'u osQ mÙkj dk vuqeku yxkus ij lgh mÙkj nsus dh
4
1
izkf;drk gS rks bl ckr dh D;k izkf;drk gS fd dksbZ Nk=k iz'u dk mÙkj tkurk gS ;fn
4
;g Kkr gS fd mlus lgh mÙkj fn;k gS\
5.
fdlh fo'ks"k jksx osQ lgh funku osQ fy, jDr dh tk¡p 99% vljnkj gS] tc okLro esa jksxh ml jksx ls xzLr gksrk gSA ¯drq 0.5% ckj fdlh LoLFk O;fDr dh jDr tk¡p djus ij funku xyr fjiksVZ nsrk gS ;kuh O;fDr dks jksx ls xzLr crykrk gSA ;fn fdlh tuleqnk; esa 0-1% yksx ml jksx ls xzLr gS rks D;k izkf;drk gS fd dksbZ ;kn`PN;k pquk x;k O;fDr ml jksx ls xzLr gksxk ;fn mlosQ jDr dh tk¡p esa ;g crk;k tkrk gS fd mls ;g jksx gS\
6.
rhu flDosQ fn, x, gSaA ,d flDosQ osQ nksuksa vksj fpr gh gSA nwljk flDdk vfHkur gS ftlesa fpr 75% ckj izdV gksrk gS vkSj rhljk vufHkru flDdk gSA rhuksa esa ls ,d flDosQ dks ;kn`PN;k pquk x;k vkSj mls mNkyk x;k gSA ;fn flDosQ ij fpr izdV gks] rks D;k izkf;drk gS fd og nksuksa fpr okyk flDdk gS\
7.
,d chek oaQiuh 2000 LowQVj pkydksa] 4000 dkj pkydksa vkSj 6000 Vªd pkydksa dk chek djrh gSA nq?kZVukvksa dh izkf;drk,¡ Øe'k% 0-01] 0-03 vkSj 0-15 gSA cheko`Qr O;fDr;ksa (pkydksa) esa ls ,d nq?kZVukxzLr gks tkrk gSA ml O;fDr osQ LowQVj pkyd gksus dh izkf;drk D;k gS\
8.
,d dkj[kkus esaA vkSj B nks e'khus yxh gSaA iwoZ fooj.k ls irk pyrk gS fd oqQy mRiknu dk 60% e'khu AvkSj 40% e'khu B }kjk fd;k tkrk gSA blosQ vfrfjDr e'khu Adk 2% vkSj e'khu B dk 1% mRiknu [kjkc gSA ;fn oqQy mRiknu dk ,d