vè;k; • The Theory of probabilities is simply the science of logic quantitatively treated – C.S. PEIRCE • 13.1 Hkwfedk (Introduction) igys dh d{kkvksa esa geus izkf;drk dks fdlh ;kn`fPNd ijh{k.k dh ?kVukvksa osQ ?kfVr gksus dh vfuf'prrk dh eki osQ :i esa i<+k FkkA geus :lh xf.krK ,-,u- dkSYeksxzksc (1903&1987) }kjk izfrikfnr vfHkx`fgrh; n`f"Vdks.k dk mi;ksx fd;k Fkk vkSj izkf;drk dks ijh{k.k osQ ifj.kkeksa ij ifjHkkf"kr iQyu osQ :i esa fu:fir fd;k FkkA geus lelaHkkO; ifj.kkeksa dh n'kk esa izkf;drk osQ vfHkx`fgrh; n`f"Vdks.k vkSj Dykfldy fl¼kar (classical theory) esa led{krk Hkh LFkkfir dh FkhA bl led{krk osQ vk/kj ij geus vlarr izfrn'kZ lef"V dh ?kVukvksa dh izkf;drk Kkr dh FkhA geus izkf;drk osQ ;ksx fu;e dk Hkh vè;;u fd;k gSA bl vè;k; esa ge fdlh ?kVuk dh lizfrca/ izkf;drk (conditional probability) osQ ckjs esa fopkj djsaxs] tcfd fdlh vU; ?kVuk osQ ?kfVr gksus dh lwpuk gekjs ikl gks] rFkk bl egÙoiw.kZ vo/kj.kk dh lgk;rk ls cst&izes; (Bayes' theorem), izkf;drk dk xq.ku fu;e rFkk Lora=k ?kVukvksa osQ ckjs esa le>asxsA ge ;kn`fPNd pj (random variable) vkSj blosQ izkf;drk caVu dh egÙoiw.kZ vo/kj.kk dks Hkh le>asxs rFkk fdlh izkf;drk caVu osQ ekè; (mean) o izlj.k osQ ckjs esa Hkh i<+saxsA vè;k; osQ vafre vuqHkkx esa ge ,d egÙoiw.kZ vlarr izkf;drk caVu (discrete probability distribution) osQ ckjs esa i<+saxs ftls f}in caVu dgk tkrk gSA bl vè;k; esa ge ,sls ijh{k.k ysaxs ftuosQ ifj.kke lelaHkkO; gksrs gSa] tc rd fd vU;Fkk u dgk x;k gksA 13.2 lizfrca/ izkf;drk (Conditional Probability) vHkh rd geus fdlh ?kVuk dh izkf;drk Kkr djus ij ppkZ dh gSA ;fn gesa fdlh izfrn'kZ lef"V dh nks ?kVuk,¡ nh xbZ gksa] rks D;k fdlh ,d ?kVuk osQ ?kfVr gksus dh lwpuk dk izHkko nwljh ?kVuk dh izkf;drk ij iM+rk gS\ vkb, bl iz'u osQ mÙkj osQ fy, ,d ;kn`fPNd ijh{k.k ij fopkj djsa ftlosQ ifj.kke lelaHkkO; gSaA vkb, vc rhu U;kÕ; (fair) flDdksa dks mNkyus osQ ijh{k.k ij fopkj dhft,A bl ijh{k.k dk izfrn'kZ lef"V gS% S = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT} 1D;ksafd flDosQ U;kÕ; gSa] blfy, ge izfrn'kZ lef"V osQ izR;sd izfrn'kZ ¯cnq dh izkf;drk fufnZ"V 8 dj ldrs gSaA eku yhft, E ?kVuk ¶U;wure nks fpr izdV gksuk¸ vkSj F ?kVuk ¶igys flDosQ ij iV iznf'kZr gksuk¸ dks fu:fir djrs gSaA rc E = {HHH, HHT, HTH, THH} vkSj F = {THH, THT, TTH, TTT} blfy, P(E) = P ({HHH}) + P ({HHT}) + P ({HTH}) + P ({THH}) 1 11 11 = ++ += (D;ksa ?)8 88 8 2 vkSj P(F) = P ({THH}) + P ({THT}) + P ({TTH}) + P ({TTT}) 1 11 11 = +++= 88882 lkFk gh E ∩ F = {THH} 1 blfy, P(E ∩ F) = P({THH}) = 8 vc eku yhft, gesa fn;k x;k gS fd igys flDosQ ij iV izdV gksrk gS vFkkZr~~ ?kVukF ?kfVr gqbZ gS] rc ?kVuk E dh izkf;drk D;k gS\ F osQ ?kfVr gksus dh lwpuk ij ;g fuf'pr gS fd E dh izkf;drk Kkr djus osQ fy, mu izfrn'kZ ¯cnqvksa ij fopkj ugha fd;k tk,xk ftueas igys flDosQ ij iV ugha gSA ?kVuk E osQ fy, bl lwpuk ls izfrn'kZ lef"V S ls ?kVdj bldk mileqPp; F cu x;k gSA vU; 'kCnksa esa] bl vfrfjDr lwpuk us gesa okLro esa ;g crk;k gS fd gkykr dks ,d ,sls u, ;kn`fPNd ijh{k.k osQ :i esa le>uk pkfg, ftldk izfrn'kZ lef"V osQoy mu ifj.kkeksa dk leqPp; gS tks fd ?kVuk F osQ vuqowQy gSA vc F dk og izfrn'kZ ¯cnq tks E osQ Hkh vuqowQy gS_ THH gSA vr% 1 F dks izfrn'kZ lef"V ekurs gq, ?kVuk E dh izkf;drk = 4 ;k F dk ?kfVr gksuk fn;k x;k gksus ij E dh izkf;drk = 1 4 ?kVuk E dh bl izkf;drk dks lizfrca/ izkf;drk dgrs gSa] tcfd Kkr gS fd ?kVuk F ?kfVr gks pqdh gS] vkSj bls P (E|F) }kjk n'kkZrs gSaA 1vFkkZr~~ P(E|F) = 4 uksV dhft, fd F osQ oks vo;o tks ?kVuk E osQ Hkh vuqowQy gSa] E rFkk F osQ lk>s vo;o gksrs gSa] vFkkZr~~ E ∩ F osQ izfrn'kZ ¯cnq gSaA vr% ge ?kVuk E dh lizfrca/ izkf;drk] tcfd Kkr gS fd ?kVuk F ?kfVr gks pqdh gS dks fuEu izdkj ls Kkr dj ldrs gSaA (E ∩F) svuowzZ avka aoQq Qyifrn'kfcnqsdhl[;k P(E|F) = F oQvuowz Z a q ksdhl[;k s q Qy ifrn'kfcnvaa n(E ∩ F) = n(F) vc va'k o gj dks izfrn'kZ lef"V osQ vo;oksa dh oqQy la[;k ls foHkkftr djus ij ge ns[krs gSa fd P (E|F) dks fuEu izdkj ls fy[kk tk ldrk gS% n(E ∩ F) P(E|F) = (S) (F) n n P(E F) P(F) ∩ = ... (1) (S) n uksV dhft, fd (1) rHkh ekU; gS tc P(F) ≠ 0 vFkkZr~~ F ≠ φ (D;ksa?) vr% ge lizfrca/ izkf;drk dks fuEu izdkj ls ifjHkkf"kr dj ldrs gSa% ifjHkk"kk 1 ;fn E rFkk F fdlh ;kn`fPNd ijh{k.k osQ izfrn'kZ lef"V ls lcaf/r nks ?kVuk,¡ gSa] rks F osQ ?kfVr gksus dh lwpuk ij] E dh izkf;drk fuEufyf[kr lw=k ls izkIr gksrh gS% P(E ∩F) P(E|F) = , tcfd P(F) ≠ 0 P(F) 13.2.1 lizfrca/ izkf;drk osQ xq.k (Properties of conditional probability) eku ysa fd E rFkk F fdlh izfrn'kZ lef"V S dh nks ?kVuk,¡ gSa xq.k 1 P (S|F) = P (F|F) = 1 P(S ∩F) P(F) gesa Kkr gS fd P(S|F) = == 1 P(F) P(F) 550 xf.kr P(F ∩F) P(F) lkFk gh P(F|F) = == 1 P(F) P (F) vr% P(S|F) = P(F|F) = 1 xq.k 2 ;fn A vkSj B izfrn'kZ lef"V S dh dksbZ nks ?kVuk,¡ gSa vkSj F ,d vU; ?kVuk bl izdkj gS fd P(F) ≠ 0, rc P[(A ∪ B)|F)] =P(A|F) + P(B|F) – P[(A ∩ B)|F] fo'ks"k :i ls] ;fn A vkSj B ijLij viothZ ?kVuk,¡ gksa] rks P[(A∪B)|F)] = P(A|F) + P(B|F) ge tkurs gSa fd P[(A ∪ B) ∩ F] P[(A∪B)|F)] = P(F) P[(A ∩ F) ∪ (B ∩ F)] = P(F) (leqPp;ksa osQ loZfu"B ij lfEeyu osQ caVu fu;e }kjk) P(A ∩ F) +P (B ∩ F) – P (A ∩B ∩ F) = P(F) P(A ∩ F) P(B ∩ F) P[(A ∩ B) ∩ F] = +− P(F) P(F) P(F) = P(A|F) + P(B|F) – P(A∩B|F) tc A rFkk B ijLij viothZ gksa rks P[(A ∩ B)|F)] = 0 ⇒ P[(A ∪ B)|F)] = P(A|F) + P(B|F) vr% tc A rFkk B ijLij viothZ ?kVuk,¡ gksa rks P(A ∪ B) = P(A|F) + P(B|F) xq.k 3 P (E′|F) = 1 – P(E|F) xq.k 1 ls gesa Kkr gS fd P (S|F) = 1 ⇒ P [(E ∪ E′)|F)] = 1 D;ksafd S = E ∪ E′ ⇒ P (E|F) + P (E′|F) = 1 D;ksafd E rFkk E′ ijLij viothZ ?kVuk,¡ gSa vr% P (E′|F) = 1 − P (E|F) vkb, vc dqN mnkgj.k ysaA 79 4mnkgj.k 1 ;fn P (A) = , P (B) = vkSj P (A ∩ B) = , rks P (A|B) Kkr dhft,A 13 13 13 4 P(A ∩ B) 13 4 gy ge tkurs gSa fd P(A|B) = == P(B) 99 13 mnkgj.k 2 ,d ifjokj esa nks cPps gSaA ;fn ;g Kkr gks fd cPpksa esa ls de ls de ,d cPpk yM+dk gS] rks nksuksa cPpksa osQ yM+dk gksus dh D;k izkf;drk gS\ gy eku yhft, b yM+osQ dks o g yM+dh dks fu:fir djrs gSaA ijh{k.k dk izfrn'kZ lef"V gS% S = {(b,b), (g,b), (b,g), (g,g)} eku yhft, E rFkk F Øe'k% fuEufyf[kr ?kVukvksa dks n'kkZrs gSa% E : ^nksuksa cPps yM+osQ gSa* F : ^cPpksa esa ls de ls de ,d yM+dk gS* rc E = {(b,b)} vkSj F = {(b,b), (g,b), (b,g)} vc E ∩ F = {(b,b)} 1vr% P(F) = 3 vkSj P (E ∩ F ) = 4 4 1 P(E ∩ F) 1blfy, P(E|F) = = 4 = P(F) 33 4 mnkgj.k 3 ,d cDls esa nl dkMZ 1 ls 10 rd iw.kk±d fy[k dj j[ks x, vkSj mUgas vPNh rjg feyk;k x;kA bl cDls ls ,d dkMZ ;kn`PN;k fudkyk x;kA ;fn ;g Kkr gks fd fudkys x, dkMZ ij la[;k 3 ls vf/d gS] rks bl la[;k osQ le gksus dh D;k izkf;drk gS\ gy eku yhft, fdA ?kVuk ^fudkys x, dkMZ ij le la[;k gS* vkSj B ?kVuk ^fudkys x, dkMZ ij la[;k 3 ls cM+h gS* dks fu:fir djrs gSaA gesa P(A|B) Kkr djuk gSA bl ijh{k.k dk izfrn'kZ lef"V gS% S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} rc A ={2, 4, 6, 8, 10}, B = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} vkSj A ∩ B = {4, 6, 8, 10} 57 4 vc P(A) = ,P(B)= vkSj P(A ∩ B) = 10 10 10 4 P(A ∩ B) 10 4 = =rc P(A|B) = P(B) 77 10 mnkgj.k 4 ,d ikB'kkyk esa 1000 fo|kFkhZ gSa] ftuesa ls 430 yM+fd;k¡ gSaA ;g Kkr gS fd 430 esa ls 10% yM+fd;k¡ d{kk XII esa i<+rh gSaA D;k izkf;drk gS fd ,d ;kn`PN;k pquk x;k fo|kFkhZ d{kk XII esa i<+rk gS ;fn ;g Kkr gS fd pquk x;k fo|kFkhZ yM+dh gS\ gy eku yhft, E ?kVuk ^;kn`PN;k pquk x;k fo|kFkhZ d{kk XII esa i<+rk gS* vkSj F ?kVuk ^;kn`PN;k pquk x;k fo|kFkhZ yM+dh gS*] dks O;Dr djrs gSaA gesa P (E|F) Kkr djuk gSA 430 43 vc P(F) = = 0.43 vkSj P(E ∩ F) = =0.043 (D;ksa?) 1000 1000 P(E ∩ F) 0.043 rc P(E|F) = == 0.1 P( F) 0.43 mnkgj.k 5 ,d ikls dks rhu ckj mNkyus ds ijh{k.k esa ?kVuk A rFkk B dks fuEu izdkj ls ifjHkkf"kr fd;k x;k gS% A : ^rhljh mNky ij la[;k 4 izdV gksuk* B : ^igyh mNky ij la[;k 6 vkSj nwljh mNky ij la[;k 5 izdV gksuk* ;fn B dk ?kfVr gksuk fn;k x;k gS] rks ?kVuk A dh izkf;drk Kkr dhft,A gy izfrn'kZ lef"V esa 216 ifj.kke gSaA vc] B = {(6,5,1), (6,5,2), (6,5,3), (6,5,4), (6,5,5), (6,5,6)} ⎧(1,1,4) (1,2,4) ... (1,6,4) (2,1,4) (2,2,4) ... (2,6,4) ⎫ ⎪⎪ A = ⎨(3,1,4) (3,2,4)...(3,6,4) (4,1,4) (4,2,4) ...(4,6,4) ⎬ ⎪⎪⎩(5,1,4) (5,2,4)...(5,6,4) (6,1,4) (6,2,4) ...(6,6,4)  vkSj A ∩ B = {(6,5,4)} 6 1 vc P(B) = vkSj P(A ∩ B) =216 216 1 P(A ∩ B) 216 1 rc P(A|B) = == P(B) 66 216 mnkgj.k 6 ,d ikls dks nks ckj mNkyk x;k vkSj izdV gqbZ la[;kvksa dk ;ksx 6 ik;k x;kA la[;k 4 osQ U;wure ,d ckj izdV gksus dh lizfrca/ izkf;drk Kkr dhft,A gy eku yhft, E ?kVuk ^la[;k 4 dk U;wure ,d ckj izdV gksuk* vkSj F ?kVuk ^nksuksa iklksa ij izdV la[;kvksa dk ;ksx 6 gksus* dks n'kkZrs gSaA rc E = {(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (1,4), (2,4), (3,4), (5,4), (6,4)} vkSj F = {(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)} ge tkurs gSa fd P(E) = 11 ] P(F) = 5 36 36 rFkk E ∩ F = {(2,4), (4,2)} 2 vc P(E ∩ F) = 36 vr% okafNr izkf;drk 2 P(E ∩F) 36 2 P(E|F) = == P(F) 55 36 vHkh rd geus mu ijh{k.kksa ij fopkj fd;k gS ftuosQ lHkh ifj.kke lelaHkkO; FksA bu ijh{k.kksa osQ fy, geusa lizfrca/ izkf;drk dks ifjHkkf"kr fd;k gSA rFkkfi lizfrca/ izkf;drk dh ;gh ifjHkk"kk] O;kid :i ls] ml fLFkfr es Hkh iz;ksx dh tk ldrh gS] tc ekSfyd ?kVuk,¡ lelaHkkO; u gksaA izkf;drkvksa P(E ∩ F) rFkk P (F) dk ifjdyu rnuqlkj fd;k tkrk gSA vkb, fuEufyf[kr mnkgj.k ls bls le>saA mnkgj.k 7 ,d flDosQ dks mNkyus osQ ijh{k.k ij fopkj dhft,A ;fn flDosQ ij fpr izdV gks rks flDosQ dks iqu% mNkysa ijarq ;fn flDosQ ij iV izdV gks rks ,d ikls dks isaQosaQA ;fn ?kVuk ^de ls de ,d iV izdV gksuk* dk ?kfVr gksuk fn;k x;k gS rks ?kVuk ^ikls ij 4 ls cM+h la[;k izdV gksuk* dh lizfrca/ izkf;drk Kkr dhft,A gy ijh{k.k osQ ifj.kkeksa dks fp=k 13-1 ls O;Dr fd;k tk ldrk gSA bl izdkj osQ fp=k dks o`{kkjs[k dgrs gSaA ijh{k.k dk izfrn'kZ lef"V gS% S = {(H,H), (H,T), (T,1), (T,2), (T,3), (T,4), (T,5), (T,6)} tgk¡(H,H) n'kkZrk gS fd nksuksa mNkykas ij fpr izdV gqvk gS] rFkk (T, i) n'kkZrk gS fd igyh mNky ij iV izdV gqvk vkSj ikls dks isaQdus ij la[;k i izdV gqbZA vr% 8 ekSfyd ?kVukvksa (H,H), (H,T), (T,1), (T,2), 111 1 (T,3) (T,4), (T,5), (T,6) dh Øe'k% ,,, , 4 41212 1111 , ,, izkf;drk fu/kZfjr dh tk ldrh gS] tSlk fd12 121212 fp=k 13-2 ls Li"V gSA eku ysa F ?kVuk ^U;wure ,d iV izdV gksuk* vkSj E ?kVuk ^ikls ij 4 ls cM+h la[;k izdV gksuk* dks n'kkZrs gSaA rc F = {(H,T), (T,1), (T,2), (T,3), (T,4), (T,5), (T,6)} E = {(T,5), T,6)} vkSj E ∩ F = {(T,5), (T,6)} vc P(F) = P({(H,T)}) + P ({(T,1)}) + P ({(T,2)}) + P ({(T,3)}) + P ({(T,4)}) + P({(T,5)}) + P({(T,6)}) 111111 13 = +++ +++ = 412 12 12 12 12 12 4 1 11vkSj P (E ∩ F) = P ({(T,5)}) + P ({(T,6)}) = += 12 12 6 1 P(E ∩F) 62vr% P(E|F) = == 3P(F) 9 4 iz'ukoyh 13.1 1. ;fn E vkSj F bl izdkj dh ?kVuk,¡ gSa fd P (E) = 0.6, P (F) = 0.3 vkSj P (E ∩ F) = 0.2] rks P (E|F) vkSj P (F|E) Kkr dhft,A 2. P(A|B) Kkr dhft,] ;fn P(B) = 0.5 vkSj P (A ∩ B) = 0.32 3. ;fn P(A) = 0.8, P(B) = 0.5 vkSj P (B|A) = 0.4 Kkr dhft, (i) P(A ∩ B) (ii) P(A|B) (iii) P(A ∪ B) 4. P(A ∪ B) Kkr dhft, ;fn 2 P(A) = P(B) = 5 vkSj PA|B =2( )13 5 65 7 5. ;fn P(A) = , P(B) = vkSj P(A ∪ B) = rks Kkr dhft, 11 11 11 (i) P(A∩B) (ii) P(A|B) (iii) P(B|A) fuEufyf[kr iz'u 6 ls 9 rd P(E|F) Kkr dhft,A 6. ,d flDosQ dks rhu ckj mNkyk x;k gS% (i) E : rhljh mNky ij fpr F : igyh nksuksa mNkyksa ij fpr (ii) E : U;wure nks fpr F : vf/dre ,d fpr (iii) E : vf/dre nks iV F : U;wure nks iV 7. nks flDdksa dks ,d ckj mNkyk x;k gS% (i) E : ,d flDosQ ij iV izdV gksrk gS F : ,d flDosQ ij fpr izdV gksrk gS (ii) E : dksbZ iV izdV ugha gksrk gSF dksbZ fpr izdV ugha gksrk gS 8. ,d ikls dks rhu ckj mNkyk x;k gS% E : rhljh mNky ij la[;k 4 izdV gksuk F : igyh nks mNkyksa ij Øe'k% 6 rFkk 5 izdV gksuk 9. ,d ikfjokfjd fp=k esa ekrk] firk o iq=k ;kn`PN;k [kM+s gSa% E : iq=k ,d fljs ij [kM+k gS F : firk eè; esa [kM+s gSa 10. ,d dkys vkSj ,d yky ikls dks mNkyk x;k gS% (a) iklksa ij izkIr la[;kvksa dk ;ksx 9 gksus dh lizfrca/ izkf;drk Kkr dhft, ;fn ;g Kkr gks fd dkys ikls ij 5 izdV gqvk gSA (b) iklksa ij izkIr laa[;kvksa dk ;ksx 8 gksus dh lizfrca/ izkf;drk Kkr dhft, ;fn ;g Kkr gks fd yky ikls ij izdV la[;k 4 ls de gSA 11. ,d U;kÕ; ikls dks mNkyk x;k gSA ?kVukvksa E = {1,3,5}, F = {2,3}, vkSjG = {2,3,4,5} osQ fy, fuEufyf[kr Kkr dhft,% (i) P (E|F) vkSj P (F|E) (ii) P (E|G) vkSj P (G|E) (iii) P (E ∪ F|G) vkSj P (E ∩ F|G) 12. eku ysa fd tUe ysus okys cPps dk yM+dk ;k yM+dh gksuk lelaHkkO; gSA ;fn fdlh ifjokj esa nks cPps gSa] rks nksuksa cPpksa osQ yM+dh gksus dh lizfrca/ izkf;drk D;k gS] ;fn ;g fn;k x;k gS fd (i) lcls NksVk cPpk yM+dh gS (ii) U;wure ,d cPpk yM+dh gSA 13. ,d izf'k{kd osQ ikl 300 lR;@vlR; izdkj osQ vklku iz'u 200 lR;@vlR; izdkj osQ dfBu iz'u] 500 cgq&fodYih; izdkj osQ vklku iz'u vkSj 400 cgq&fodYih; izdkj osQ dfBu iz'uksa dk laxzg gSA ;fn iz'uksa osQ laxzg ls ,d iz'u ;kn`PN;k pquk tkrk gS] rks ,d vklku iz'u dh cgq&fodYih; gksus dh izkf;drk D;k gksxh\ 14. ;g fn;k x;k gS fd nks iklksa dks isaQdus ij izkIr la[;k,¡ fHkUu&fHkUu gSaA nksuksa la[;kvksa dk ;ksx 4 gksus dh izkf;drk Kkr dhft,A 15. ,d ikls dks isaQdus osQ ijh{k.k ij fopkj dhft,A ;fn ikls ij izdV la[;k 3 dk xq.kt gS rks ikls dks iqu% isaQosaQ vkSj ;fn dksbZ vU; la[;k izdV gks rks ,d flDosQ dks mNkysaA ?kVuk ^U;wure ,d ikls ij la[;k 3 izdV gksuk* fn;k x;k gS rks ?kVuk ^flDosQ ij iV izdV gksus* dh lizfrca/ izkf;drk Kkr dhft,A fuEufyf[kr iz'uksa esa ls izR;sd esa lgh mÙkj pqusaA 1 16. ;fn P (A) = , P(B) = 0 rc P (A|B) gS%2 1 (A) 0 (B) (C) ifjHkkf"kr ugha (D) 1 2 17. ;fn A vkSj B nks ?kVuk,¡ bl izdkj gSa fd P (A|B) = P (B|A) ≠ 0 rc (A) A ⊂ B (B) A = B (C) A ∩ B = φ (D) P (A) = P(B) 13.3 izkf;drk dk xq.ku fu;e (Multiplication Theorem on Probability) eku yhft, fd E rFkk F ,d izfrn'kZ lef"V S dh nks ?kVuk,¡ gSaA Li"Vr;k leqPp; E ∩ F nksuksa ?kVukvksa E rFkk F osQ ?kfVr gksus dks n'kkZrk gSA vU; 'kCnksa esa E ∩ F ?kVukvksa E rFkk F osQ ;qxir~ ?kfVr gksus dks n'kkZrk gSA ?kVuk E ∩ F dks EF Hkh fy[kk tkrk gSA izk;% gesa l;qaDr ?kVuk EF dh izkf;drk Kkr djus dh vko';drk gksrh gSA mnkgj.k osQ fy,] ,d osQ ckn nwljk iÙkk fudkyus osQ ijh{k.k esa ge feJ ?kVuk ^,d ckn'kkg vkSj ,d jkuh* dh izkf;drk Kkr djus esa bPNqd gks ldrs gSaA ?kVuk EF dh izkf;drk Kkr djus osQ fy, ge lizfrca/ izkf;drk dk mi;ksx djrs gSa tSlk fd uhps fn[kk;k x;k gSA ge tkurs gSa fd ?kVuk F osQ fn, tkus ij ?kVuk E dh lizfrca/ izkf;drk dks P(E|F) }kjk n'kkZrs gSa vkSj bls fuEufyf[kr izdkj ls Kkr djrs gSaA P(E ∩F) P(E|F) = ,P(F) ≠0 P(F) mijksDr ifj.kke ls ge fy[k ldrs gSa fd P(E ∩ F) =P (F) . P (E|F) ... (1) ge ;g Hkh tkurs gSa fd P(F ∩E) P(F|E) = P(E) ,P(E) 0≠ ;k P(F|E) = P(E F) P (E) ∩ (D;ksafd E ∩ F = F ∪ E) vr% P(E ∩ F) = P(E) . P(F|E) ... (2) (1) vkSj (2) dks feykus ls gesa izkIr gksrk gS fd P(E ∩ F) = P(E) P(F|E) = P(F). P(E|F) tc fd P(E) ≠ 0 vkSj P(F) ≠ 0 mijksDr ifj.kke dks ^izkf;drk dk xq.ku fu;e* dgrs gSaA vkb, ,d mnkgj.k ysaA mnkgj.k 8 ,d dy'k esa 10 dkyh vkSj 5 li+Qn xsansaa gSaA nks xsan ,d osQ ckn ,d fudkyh tkrh sgSa vkSj igyh xsan nwljs osQ fudkyus ls igys okil ugha j[kh tkrh gSaA eku yhft, fd dy'k esa ls izR;sd xsan dk fudkyuk lelaHkkO; gS] rks nksuksa dkys xsan fudyus dh D;k izkf;drk gS\ gy ekuk fd E ^igyh dkyh xsan osQ fudyus* dh ?kVuk gS vkSj F ^nwljh dkyh xsan osQ fudyus* dh ?kVuk gSA gesa P(E∩F) ;k P (EF) Kkr djuk gSA 10 vc P(E) =P (igyh fudky esa dkyh xsan fudkyuk) = 15 lkFk gh fn;k x;k gS fd igyh fudky esa dkyh xsan fudyh gS vFkkZr~~ ?kVuk E ?kfVr gqbZ gS] vc dy'k esa 9 dkyh xsan vkSj 5 li+Qn xsan jg xbZ gSaA blfy,] nwljh xsan dkyh gksus dh izkf;drk stc fd igyh xsan dk dkyk gksuk gesa Kkr gS] oqQN vkSj ugha osQoy F dk lizfrca/ izkf;drk gS tc E dk ?kfVr gksuk Kkr gSA 9 vFkkZr~~ P(F|E) = 14 vc izkf;drk osQ xq.ku fu;e }kjk gesa izkIr gksrk gS P(E∩F) = P(E) P(F|E) = P(E) . P(F|E) . P(G|EF) 10 9 3 = ×= 15 14 7 nks ls vf/d ?kVukvksa osQ fy, izkf;drk dk xq.ku fu;e ;fn E, F vkSjG ,d izfrn'kZ lef"V dh ?kVuk,¡ gSa rks P(E∩F∩G) = P(E) P(F|E) P(G|E∩F) = P(E) P(F|E) P(G|EF) blh izdkj izkf;drk osQ xq.ku fu;e dk foLrkj pkj ;k vf/d ?kVukvksa osQ fy, Hkh fd;k tk ldrk gSA fuEufyf[kr mnkgj.k rhu ?kVukvksa osQ fy, izkf;drk osQ xq.ku fu;e dk n`"Vkar izLrqr djrk gSA mnkgj.k 9 52 iÙkksa dh vPNh rjg isaQVh xbZ xM~Mh esa ls ,d osQ ckn ,d rhu iÙks fcuk izfrLFkkfir fd, fudkys x,A igys nkss iÙkksa dk ckn'kkg vkSj rhljs dk bDdk gksus dh D;k izkf;drk gS\ gy eku ysa fdK ?kVuk ^fudkyk x;k iÙkk ckn'kkg gS* dks vkSj A?kVuk ^fudkyk x;k iÙkk bDdk gS* dks O;Dr djrs gSaA Li"Vr;k gesa P (KKA) Kkr djuk gSA 4 vc P(K) = 52 lkFk gh P(K|K) ;g Kkr gksus ij fd ^igys fudkyk x;k iÙkk ckn'kkg gS* ij nwljs iÙks dk ckn'kkg gksus dh izkf;drk dks n'kkZrk gSA vc xM~Mh esa (52 − 1) = 51 iÙks gSa ftuesa rhu ckn'kkg gS blfy, P(K|K) = 3 51 varr% P(A|KK) rhljs fudkys x, iÙks dk bDdk gksus dh lizfrca/ izkf;drk gS tc fd gesa Kkr gS fd nks ckn'kkg igys gh fudkys tk pqds gSaA vc xM~Mh esa 50 iÙks jg x, gSa 4 blfy, P(A|KK) = P(A|KK) = 50 izkf;drk osQ xq.ku fu;e }kjk gesa izkIr gksrk gS fd P(KKA) = P(K) P(K|K) P(A|KK) 434 2 = ××= 52 51 50 5525 13.4 Lora=k ?kVuk,¡ (Independent Events) 52 iÙkksa dh xM~Mh esa ls ,d iÙkk fudkyus osQ ijh{k.k ij fopkj dhft, ftlesa izR;sd ekSfyd ?kVuk dks lelaHkkO; ekuk x;k gSA ;fn E rFkk F Øe'k% ?kVukvksa ^fudkyk x;k iÙkk fpM+h dk gS* vkSj ^fudkyk x;k iÙkk ,d bDdk gS* dks O;Dr djrs gSa] rks 13 1 41 P(E) = = rFkk P(F) == 52 4 52 13 lkFk gh ^E vkSj F* ?kVuk ^fudkyk x;k iÙkk fpM+h dk bDdk gS* dks O;Dr djrh gS] blfy, 1 P(E ∩ F) = 52 1 P(E ∩F) 52 1vr% P(E|F) = == P(F) 14 13 D;ksafd P(E) = 1= P (E|F), ge dg ldrs gSa fd ?kVuk F osQ ?kfVr gksus dh lwpuk us ?kVuk4 E dh izkf;drk ij dksbZ izHkko ugha Mkyk gSA gesa ;g Hkh izkIr gS fd 1 P(E ∩F) 52 1 P(F|E) = === P(F) P(E) 1 13 4 1 iqu% P(F) = = P(F|E) n'kkZrk gS fd ?kVuk E osQ ?kfVr gksus dh lwpuk us ?kVuk F dh 13izkf;drk ij dksbZ izHkko ugha Mkyk gSA vr% E rFkk F bl izdkj dh ?kVuk,¡ gS fd fdlh ,d ?kVuk osQ ?kfVr gksus dh lwpuk nwljh ?kVuk dh izkf;drk ij dksbZ izHkko ugha Mkyrh gSA bl izdkj dh ?kVukvksa dks ^Lora=k ?kVuk,¡* dgrs gSaA ifjHkk"kk 2 nks ?kVukvksa E rFkk F dks Lora=k ?kVuk,¡ dgrs gSa ;fn P(F| E) = P(F) tcdh P(E) ≠ 0 P(E| F) = P(E) tcdh P(F) ≠ 0 vr% bl ifjHkk"kk esa P(E) vkSj P(F) dk 'kwU;sÙkj gksuk vko';d gSA vc izkf;drk osQ xq.ku fu;e ls P(E ∩ F) = P(E) . P(F|E) ... (1) ;fn E vkSj F Lora=k ?kVuk,¡ gksa rks (1) ls gesa izkIr gksrk gS fd P(E ∩ F) = P(E). P(F) ... (2) vr% (2) osQ mi;ksx ls ge nks ?kVukvksa dh Lora=krk dks fuEufyf[kr rjg ls Hkh ifjHkkf"kr dj ldrs gSaA ifjHkk"kk 3 eku ysa E vkSj F fdlh ;kn`fPNd ijh{k.k osQ izfrn'kZ lef"V dh nks ?kVuk,¡ gSa] rks E vkSj F Lora=k ?kVuk,¡ gksrh gSa ;fn P(E ∩ F) = P(E) P(F) fVIi.kh 1. nks ?kVukvksa E rFkk F dks ijkfJr (dependent) dgrs gSa] ;fn os Lora=k u gksa vFkkZr~~ ;fn P(E ∩ F ) ≠ P(E) . P(F) 2. dHkh&dHkh Lora=k ?kVukvksa vkSj ijLij viothZ ?kVukvksa osQ chp Hkze iSnk gks tkrk gSA ^Lora=k ?kVukvksa* dh ifjHkk"kk ^?kVukvksa dh izkf;drk* osQ :i esa dh xbZ gS tc fd ^ijLij viothZ ?kVukvksa* dh ifjHkk"kk ^?kVukvksa* osQ :i esa dh xbZ gSA blosQ vfrfjDr] ijLij viothZ ?kVukvksa esa dksbZ Hkh ifj.kke lkoZ dnkfi ugha gks ldrk gS ¯drq Lora=k ?kVukvksa esa ifj.kke lkoZ Hkh gks ldrs gSa] ;fn izR;sd ?kVuk vfjDr gSA Li"Vr;k ^Lora=k ?kVuk,¡* vkSj ^ijLij viothZ ?kVuk,¡* lekukFkhZ ugha gSaA nwljs 'kCnksa esa] ;fn nks ,slh Lora=k ?kVuk,¡ ?kVrh gSa ftudh izf;drk 'kwU;srj gS] rks og ijLij viothZ ugha gks ldrh gSaA foykser% ;fn nks 'kwU;srj izkf;drk okyh ijLij viothZ ?kVuk,¡ ?kVrh gSa] rks og Lora=k ugha gks ldrh gSaA 3. nks ;kn`fPNd ijh{k.k Lora=k dgykrs gSa] ;fn izR;sd ?kVuk ;qXe E vkSj F osQ fy,] tgk¡ E igys ijh{k.k ls rFkk F nwljs ijh{k.k ls lacaf/r gSa] ?kVukvksa E rFkk F osQ ,d lkFk ?kfVr gksus dh izkf;drk] tc nksuksa ijh{k.k laiUu fd, tk,¡] izkf;drk P(E) vkSjP(F) osQ xq.kuiQy osQ cjkcj gksrh gSa] ftudk ifjdyu nksuksa ijh{k.kksa osQ vk/kj ij vyx&vyx fd;k tkrk gSA vFkkZr~~ P(E∩F) = P(E) . P(F) 4. rhu ?kVukvksa A, B vkSj C dks Lora=k dgk tkrk gS ;fn vkSj osQoy ;fn P(A∩B) = P(A) P(B) P(A∩C) = P(A) P(C) P(B∩C) = P(B) P(C) vkSj P(A∩B∩C) = P(A) P(B) P(C) ;fn mijksDr esa ls de ls de ,d Hkh 'krZ lR; ugha gksrh gS rks nh xbZ ?kVukvksa dks Lora=k ugha dgk tkrk gSA mnkgj.k 10 ,d ikls dks ,d ckj mNkyk tkrk gSA ?kVuk ^ikls ij izkIr la[;k 3 dk vioR;Z gS*] dks E ls vkSj ^ikls ij izkIr la[;k le gS*] dks F ls fu:fir fd;k tk, rks crk,¡ D;k ?kVuk,¡ E vkSj F Lora=k gSa\ gy ge tkurs gSa fd bl ijh{k.k dk izfrn'kZ lef"V gS% S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} vc E = {3, 6}, F = {2, 4, 6} vkSj E ∩ F = {6} 2131 1 rc P(E) = = , P (F) == vkSj P(E ∩ F) = 6362 6 Li"Vr;k P(E ∩ F) = P(E) . P(F) vr% E vkSj F Lora=k ?kVuk,¡ gSaA mnkgj.k 11 ,d vufHkur (unbiased) ikls dks nks ckj mNkyk x;kA eku ysa A ?kVuk ^igyh mNky ij fo"ke la[;k izkIr gksuk* vkSj B ?kVuk ^f}rh; mNky ij fo"ke la[;k izkIr gksuk* n'kkZrs gSaA ?kVukvksa A vkSj B osQ Lokra=; dk ijh{k.k dhft,A gy ;fn lHkh 36 ekSfyd ?kVukvksa dks lelaHkkO; eku ysa rks 18 1 18 1 P(A) == vkSj P(B) == 36 2 36 2 lkFk gh P(A ∩ B) = P (nksuksa mNkyksa esa fo"ke la[;k izkIr gksuk) 91 = = 36 4 11 1 vc P(A) . P(B) = ⋅= 22 4 Li"Vr;k P(A ∩ B) = P(A) . P(B) vr%A vkSj B Lora=k ?kVuk,¡ gSaA mnkgj.k 12rhu flDdksa dks mNkyk x;k gSA eku ysa E ?kVuk ^rhu fpr ;k rhu iV izkIr gksuk* vkSj F ?kVuk ^U;wure nks fpr izkIr gksuk* vkSj G ?kVuk ^vf/dre nks iV izkIr gksuk* dks fu:fir djrs gSaA ;qXe (E,F), (E,G) vkSj (F,G) esa dkSu&dkSu ls Lora=k gSa\ dkSu&dkSu ls ijkfJr gSa\ gy ijh{k.k dk izfrn'kZ lef"V gS % S = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT} Li"Vr;k E = {HHH, TTT}, F= {HHH, HHT, HTH, THH} vkSj G = {HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT} lkFk gh E ∩ F = {HHH}, E ∩ G = {TTT}, F ∩ G = { HHT, HTH, THH} 2141 7blfy, P(E) = = , P(F) == , P(G) = 8482 8 1 13 P(E ∩ F) = ,P(E ∩ G) = , P(F ∩ G) = 8 88 111 177 177 lkFk gh P(E) . P(F) = ×= , P(E) P(G) ⋅ =×= S ⋅ =×=vkjP(F) P(G) 428 4832 2816 vr% P(E ∩ F) = P(E) . P(F) P(E ∩ G) ≠ P(E) . P(G) vkSj P(F ∩ G) ≠ P(F) . P(G) blfy, ?kVuk,¡ (E vkSj F) Lora=k gSa tcdh ?kVuk,¡ (F vkSj G) vkSj (E vkSj G) ijkfJr gSaA mnkgj.k 13 fl¼ dhft, fd ;fn E vkSj F nks Lora=k ?kVuk,¡ gSa rks E vkSj F′ Hkh Lora=k gksaxhA gy D;ksafd E rFkk F Lora=k gS] blfy, P(E ∩ F) = P(E) . P(F) ... (1) fp=k 13.3, osQ osu&vkjs[k ls ;g Li"V gS fd E ∩ F vkSjE ∩ F′ ijLij viothZ gSa vkSj lkFk gh E = (E ∩ F) ∪ (E ∩ F′) D;ksafd E ∩ F vkSj E ∩ F′ ijLij viothZ gSa] blfy, P(E) = P(E ∩ F) + P(E ∩ F′) ;k P(E ∩ F′) = P(E) − P(E ∩ F) = P(E) − P(E) . P(F) (1) ls = P(E) [1 − P(F] vko`Qfr 13.3 = P(E) . P(F′) vr% E vkSj F′ Lora=k ?kVuk,¡ gSaA mnkgj.k 14 ;fn AvkSj B Lora=k ?kVuk,¡ gSa rks A;k B esa ls U;wure ,d osQ gksus dh izkf;drk = 1− P(A′) P(B′) gy P(A ;k B esa ls U;wure ,d dk gksuk) = P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = P(A) + P(B) − P(A) P(B) = P(A) + P(B) [1−P(A)] = P(A) + P(B) . P(A′) =1− P(A′) + P(B) P(A′) =1− P(A′) [1− P(B)] =1− P(A′) P (B′) iz'ukoyh 13.2 1. ;fn P(A) = 3 ] P (B) = 1 vkSj A rFkk B Lora=k ?kVuk,¡ gSa rks P (A ∩B) Kkr dhft,A 55 2. 52 iÙkksa dh ,d xM~Mh esa ls ;kn`PN;k fcuk izfrLFkkfir fd, x, nks iÙks fudkys x,A nksuksa iÙkksa osQ dkys jax dk gksus dh izkf;drk Kkr dhft,A 3. larjksa osQ ,d fMCcs dk fujh{k.k mlesa ls rhu larjksa dks ;kn`PN;k fcuk izfrLFkkfir fd, gq, fudky dj fd;k tkrk gSA ;fn rhuksa fudkys x, larjs vPNs gksa rks fMCcs dks fcØh osQ fy, Loho`Qr fd;k tkrk gS vU;Fkk vLoho`Qr dj nsrs gSaA ,d fMCck ftlesa 15 larjs gSa ftuesa ls 12 vPNs o 3 [kjkc larjs gSa] osQ fcØh osQ fy, Loho`Qr gksus dh izkf;drk Kkr dhft,A 4. ,d U;kÕ; flDdk vkSj ,d vfHkur ikls dks mNkyk x;kA eku ysa A ?kVuk ^flDosQ ij fpr izdV gksrk gS* vkSj B ?kVuk ^ikls ij la[;k 3 izdV gksrh gS* dks fu:fir djrs gSaA fujh{k.k dhft, fd ?kVuk,¡ A vkSj B Lora=k gSa ;k ugha\ 5. ,d ikls ij 1, 2, 3 yky jax ls vkSj 4, 5, 6 gjs jax ls fy[ks x, gSaA bl ikls dks mNkyk x;kA eku ysa A ?kVuk ^la[;k le gS* vkSj B ?kVuk ^la[;k yky jax ls fy[kh xbZ gS*] dks fu:fir djrs gSaA D;k A vkSj B Lora=k gSa\ 33 1 6. eku ysa E rFkkF nks ?kVuk,¡ bl izdkj gSa fd P(E) = , P (F) = vkSjP (E ∩ F) = rc 510 5 D;k E rFkk F Lora=k gSa? 13 A7. A vkSj B ,slh ?kVuk,¡ nh xbZ gSa tgk¡ P () = , P (A ∪ B) = rFkk P(B) = p. 25 p dk eku Kkr dhft, ;fn (i) ?kVuk,¡ ijLij viothZ gSaA (ii) ?kVuk,¡ Lora=k gSaA 8. eku ysa A vkSjB Lora=k ?kVuk,¡ gSa rFkkP(A) = 0.3 vkSj P(B) = 0.4. rc (i) P (A ∩ B) (ii) P (A ∪ B) (iii) P(A|B) (iv) P( B|A ) Kkr dhft,A 11 1 9. nh xbZ ?kVuk,¡ A vkSj B ,slh gSa] tgk¡ P(A) = , P (B) = vkSj P(A ∩ B) = rc 42 8 P(A&ugha vkSj B&ugha) Kkr dhft,A 17 10. eku ysa A rFkk B Lora=k ?kVuk,¡ gSa vkSj P(A) = rFkk P(B) = vkSj2 12 1 P(A&ugha vkSj B&ugha) = . D;k A vkSj B Lora=k ?kVuk,¡ gSa\4 11. A vkSj B Lora=k ?kVuk,¡ nh xbZ gSa tgk¡ P(A) = 0.3, P (B) = 0.6 rks (i) P(A vkSj B) (ii) P(A vkSj B&ugha) (iii) P(A ;k B) (iv) P(A vkSj B esa dksbZ Hkh ugha) dk eku Kkr dhft,A 12. ,d ikls dks rhu ckj mNkyk tkrk gS rks de ls de ,d ckj fo"ke la[;k izkIr gksus dh izkf;drk Kkr dhft,A 13. nks xsan ,d ckWDl ls fcuk izfrLFkkfir fd, fudkyh tkrh gSA ckWDl esa 10 dkyh vkSj 8 yky xsnsa gSa rks izkf;drk Kkr dhft, (i) nksuksa xsansaa yky gksa (ii) izFke dkyh ,oa nwljh yky gks (iii) ,d dkyh rFkk nwljh yky gksA 14. ,d fo'ks"k leL;k dks A vkSjB }kjk Lora=k :i ls gy djus dh izkf;drk,¡ Øe'k% vkSj1 2 1 gSaA ;fn nksuksa] Lora=k :i ls] leL;k gy djus dk iz;kl djrs gSa] rks izkf;drk Kkr3 dhft, fd (i) leL;k gy gks tkrh gS (ii) muesa ls rF;r% dksbZ ,d leL;k gy dj ysrk gSA 15. rk'k osQ 52 iÙkksa dh ,d lqfefJr xM~Mh ls ,d iÙkk ;kn`PN;k fudkyk tkrk gSA fuEufyf[kr esa ls fdu n'kkvksa esa ?kVuk,¡ E vkSj F Lora=k gSa? (i) E : ‘fudkyk x;k iÙkk gqoqQe dk gS’ F : ‘fudkyk x;k iÙkk bDdk gS’ (ii) E : ‘fudkyk x;k iÙkk dkys jax dk gS’ F : ‘fudkyk x;k iÙkk ,d ckn'kkg gS’ (iii) E : ‘fudkyk x;k iÙkk ,d ckn'kkg ;k ,d csxe gS’ F : ‘fudkyk x;k iÙkk ,d csxe ;k ,d xqyke gS’ 16. ,d Nk=kkokl esa60% fo|kFkhZ ¯gnh dk] 40% vaxzs”kh dk vkSj 20% nksuksa v[kckj i<+rs gSaA ,d Nk=kk dks ;kn`PN;k pquk tkrk gSA (a) izkf;drk Kkr dhft, fd og u rks ¯gnh vkSj u gh vaxzs”kh dk v[kckj i<+rh gSA (b) ;fn og ¯gnh dk v[kckj i<+rh gS rks mlosQ vaxzs”kh dk v[kckj Hkh i<+us okyh gksus dh izkf;drk Kkr dhft,A (c) ;fn og vaxzs”kh dk v[kckj i<+rh gS rks mlosQ ¯gnh dk v[kckj Hkh i<+us okyh gksus dh izkf;drk Kkr dhft,A 17. ;fn iklksa dk ,d tksM+k mNkyk tkrk gS rks izR;sd ikls ij le vHkkT; la[;k izkIr djus dh izkf;drk fuEufyf[kr esa ls D;k gS\ 1 11 (A) 0 (B) (C) (D)3 12 36 18. nks ?kVukvksa A vkSj B dks ijLij Lora=k dgrs gSa] ;fn (A) A vkSj B ijLij viothZ gSa (B) P(A′B′) = [1–P(A)][1–P(B)] (C) P(A) = P(B) (D) P(A) + P(B) = 1 13.5 cs”k&izes; (Bayes' Theorem) eku yhft, fd nks FkSys I vkSj II fn, x, gSaA Fksyk I esa 2 li+Qn vkSj 3 yky xsansaa gSaA vkSj FkSyk sII esa 4 li+sQn vkSj 5 yky xsansaa gSaA fdlh ,d FkSys esa ls ,d xsan ;kn`PN;k fudkyh tkrh gSA ge fdlh ,d FkSys dks pquus dh izkf;drk 1 Kkr dj ldrs gSa ;k fdlh fo'ks"k FkSys (eku ysa FkSyk I)2 esa ls ,d fo'ks"k jax (eku ysa li+sQn) xsan dks fudkyus dh izkf;drk Hkh Kkr dj ldrs gSaA vU; 'kCnksa esa ge fdlh fo'ks"k jax dh xsan fudkyus dh izkf;drk Kkr dj ldrs gSa] ;fn gesa ;g fn;k x;k gks fd xsan dkSu&ls FkSys ls fudkyh xbZ gSA ysfdu D;k ge bl ckr dh izkf;drk Kkr dj ldrs gSa fd xsan fdlh fo'ks"k FkSys (eku ysa FkSyk&II) ls fudkyh xbZ gS ;fn gesa fudkyh xbZ xsan dk jax irk gS\ ;gk¡ gesa FkSyk&II osQ pquus dh izfrykse (reverse)izkf;drk Kkr djuh gS tcfd blosQ ckn gksus okyh ?kVuk dk gesa Kku gSA izfl¼ xf.krK tkWu cs”k us izfrykse izkf;drk Kkr djus dh leL;k dk lek/ku lizfrca/ izkf;drk osQ mi;ksx }kjk fd;k gSA muosQ }kjk cuk;k x;k lw=k ^cs”k&izes;* osQ uke ls tkuk tkrk gS tks mudh e`R;ksijkar 1763 esa izdkf'kr gqvk FkkA cs”k&izes; osQ dFku o izek.k ls iwoZ vkb, ,d ifjHkk"kk vkSj oqQN izkjafHkd ifj.kkeksa ij fopkj dhft,A 13.5.1 ,d izfrn'kZ lef"V dk foHkktu (Partition of a sample space) ?kVukvksa E1, E2 ... E n osQ leqPp; dks izfrn'kZ lef"V S osQ foHkktu dks fu:fir djrk gS ;fn (a) Ei ∩ Ej = φ, i ≠ j, i, j = 1, 2, 3, ...n (b) E ∪ Ε ∪...∪ E = S rFkk 1 2n (c) P(E) > 0, izR;sd i = 1, 2, ..., n osQ fy,inwljs 'kCnksa esa] ?kVuk,¡ E1, Ε2, ... En izfrn'kZ lef"V S osQ foHkktu dks fu:fir djrh gSa ;fn os ;qXer% vla;qDr gSa] lexz gS rFkk mudh izkf;drk 'kwU;srj gSA mnkgj.kr% ge ns[krs gSa fd dksbZ ?kVuk E vkSj mldh iwjd ?kVuk E′ izfrn'kZ lef"V S dk foHkktu gS D;ksafd E ∩ E′ = φ vkSj E ∪ E′ = S. osu&vkjs[k fp=k 13.3, ls ge vklkuh ls izs{k.k dj ldrs gSa fd ;fn E vkSj F fdlh izfrn'kZ lef"V S, osQ laxr dksbZ nks ?kVuk,¡ gSa] rks {E ∩ F, E ∩ F′} leqPp; E dk ,d foHkktu gSA leqPp; {E′ ∩ F, E ∩ F, E ∩ F′} leqPp; E ∪ F dk ,d foHkktu gS vkSj leqPp; {E ∩ F′, E ∩ F, E′∩ F, E′∩ F′} laiw.kZ izfrn'kZ S dk ,d foHkktu gSA vc ge laiw.kZ izkf;drk dh izes; dks fl¼ djsaxsA 13.5.2 laiw.kZ izkf;drk dh izes; (Theorem of Total Probability) eku ysa {E1, E2,...,En} izfrn'kZ lef"V S, dk ,d foHkktu gS vkSj eku ysa fd izR;sd ?kVukE1, E2 ,...,En dh izkf;drk 'kwU;sÙkj gSA eku yhft, A izfrn'kZ lef"V osQ laxr ,d ?kVuk gS] rc, P(A) =P(E) P(A|E) + P(E) P(A|E) + ... + P(E) P(A|E)1 12 2nnn P(E )P(A|E ) = ∑ jj j=1 miifÙk fn;k x;k gS fd E1, E2, ..., E n izfrn'kZ lef"VS dk ,d foHkktu gS (fp=k 13-4) blfy,] S =E ∪ E ∪ ... ∪ E ... (1)12 nvkSj E i ∩ E j = φ∀ i ≠ j, i, j = 1, 2, ...., n gesa Kkr gS fd fdlh ?kVuk A, osQ fy, A =A ∩ S =A ∩ (E∪ E ... E)12nvko`Qfr 13.4 = (A ∩ E) ∪ (A ∩ E) ∪ ...∪ (A ∩ E)12nlkFk ghA ∩ E, vkSjA ∩ E, Øe'k% leqPp;ks E vkSj E osQ mileqPp; gSa tks i ≠ j , osQijij fy, vla;qDr gS blfy, i ≠ j, i, j = 1, 2 ..., n osQ fy, A ∩ E i vkSj A ∩E j Hkh vla;qDr gSaA blfy, P(A) = P[(A ∩ E) ∪ (A ∩ E)∪ .....∪ (A ∩ E )]12n= P(A ∩ E1) + P(A ∩ E2) + ... + P(A ∩ E n) vc P(A ∩ Ei) = P(Ei) P(A|Ei) D;ksafd P (Ei) ≠ 0∀i = 1,2,..., n izkf;drk osQ xq.ku fu;e }kjk ge tkurs gSa fd blfy, P(A) =P(E) P(A|E) + P(E) P(A|E) + ... + P(E) P(A|E)1 122nnn ;k P(A) = P(E )P(A|E ) ∑ jj j=1 mnkgj.k 15 fdlh O;fDr us ,d fuekZ.k dk;Z dk Bsdk fy;k gSA gM+rky gksus dh izkf;drk 0-65 gSA gM+rky u gksus dh rFkk gM+rky gksus dh fLFkfr;ksa esa fuekZ.k dk;Z osQ le;kuqlkj iw.kZ gksus dh izkf;drk,¡ Øe'k% 0-80 rFkk 0-32 gSaA fuekZ.k dk;Z osQ le;kuqlkj iw.kZ gksus dh izkf;drk Kkr dhft,A gy eku yhft, fd ^fuekZ.k dk;Z osQ le;kuqlkj iw.kZ gksus* dh ?kVuk dks A vkSj ^gM+rky gksus* dh ?kVuk dks B }kjk fu:fir fd;k tkrk gSA gesa P(A) Kkr djuk gSA gesa Kkr gS fd P(B) = 0.65, P(gM+rky ugha) = P(B′) = 1 − P(B) = 1 − 0.65 = 0.35 P(A | B) = 0.32, P(A | B′) = 0.80 D;ksafd ?kVuk,¡ B vkSj B′ lef"V leqPp; osQ foHkktu gSa blfy, laiw.kZ izkf;drk izes; }kjk =P(B) . P(A | B) + P(B′) P(A | B′) = 0.65 × 0.32 + 0.35 × 0.8 = 0.208 + 0.28 = 0.488 vr% fuekZ.k dk;Z le;kuqlkj iw.kZ gksus dh izkf;drk 0-488 gSA vc ge cs”k&izes; dk izdFku djsaxs rFkk bls fl¼ djsaxsA cs”k&izes; (Bayes' Theorem) ;fnE 1, E2 ,..., E n vfjDr ?kVuk,¡ gSa tks fd izfrn'kZ lef"V S osQ foHkktu dk fuekZ.k djrh gSa vFkkZr~~ E1, E2 ,...., En ;qXer% vla;qDr gSa vkSj E1∪ E2 ∪ ,..., ∪ E n = S vkSj A dksbZ ,slh ?kVuk gS ftldh izkf;drk 'kwU;srj gS] rks P(E )P(A|E ) P(Ei|A) = ni i , i = 1, 2, 3, ..., n P(E )P(A| E )∑ jj j=1 miifÙk gesa Kkr gS fd P(A ∩ E) P(E|A) = i iP(A) P(E )P(A|E ) = ii (izkf;drk osQ xq.ku fu;e ls)P (A) P(E )P(A|E ) = ni i (laiw.kZ izkf;drk osQ fu;e ls) ∑P(E )P(A|E ) jj j=1 fVIi.kh cs”k&izes; osQ vuqiz;ksx esa fuEufyf[kr 'kCnkoyh dk mi;ksx djrs gSa ?kVukvksaE1, E2, ... E n dks ifjdYiuk,¡ (hypotheses)dgrs gSaA P(Ei) dks ifjdYiuk Ei dh iwoZdkyhu (a priori) izkf;drk dgrs gSaA lizfrca/ izkf;drk P(Ei A) dks ifjdYiuk E i dh mÙkjdkyhu (a posteriori) izkf;drk dgrs gSaA cs”k izes; dks ^dkj.kksa* dh izkf;drk dk lw=k Hkh dgk tkrk gSA D;ksafd E i izfrn'kZ lef"V S osQ ,d foHkktu dk fuekZ.k djrs gSa blfy, ?kVukvksa Ei esa ls ,d le; esa ,d vkSj osQoy ,d gh ?kfVr gksrh gS (vFkkZr~~E i esa ls osQoy ,d gh ?kVuk ?kVrh gS vkSj ,d ls vf/d ugha ?kV ldrh gS) vr% mijksDr lw=k gesa fdlh fo'ks"k Ei (vFkkZr~~ ,d dkj.k)dh izkf;drk nsrk gS tcfd ?kVuk A dk ?kfVr gksuk fn;k x;k gSA cs”k&izes; dh fofo/ ifjfLFkfr;ksa esa mi;ksfxrk gSA buesa ls oqQN dks fuEufyf[kr mnkgj.kksa esa Li"V fd;k x;k gSA mnkgj.k 16 nks FkSys I vkSj II fn, gSaA FkSys I esa 3 yky vkSj 4 dkyh xsansaa gSa tc fd FkSys II esa 5 yky vkSj 6 dkyh xsansaa gSaA fdlh ,d FkSys esa ls ;kn`PN;k ,d xsan fudkyh xbZ gS tks fd yky jax dh gSA bl ckr dh D;k izkf;drk gS fd ;g xsan FkSys II ls fudkyh xbZ gS\ gy FkSys I dk p;u gksuk dks E1 ls vkSj FkSys II osQ p;u dks E2 eku yhft,A eku yhft, fd yky jax dh xsan fudyus dh ?kVuk dks A ls fu:fir djrs gSaA 1 rc P(E) =P(E) =122 3 lkFk gh P(A|E1) = P(FkSys I esa ls yky jax dh xsan fudkyuk) = 7 5 vkSj P(A|E) =P(FkSys II esa ls yky jax dh xsan fudkyuk) =211 vc FkSys II esa ls xsan fudkyus dh izkf;drk] tc fd ;g Kkr gS fd og yky jax dh gS = P(E2|A), cs”k&izes; }kjk mnkgj.k 17 rhu vfHkUu fMCcs I, II vkSj III fn, x, gSa tgk¡ izR;sd esa nks flDosQ gSaA fMCcs I esa nksuksa flDosQ lksus osQ gS] fMCcs II esa nksuksa flDosQ pk¡nh osQ gSa vkSj fMCcs III esa ,d lksus vkSj ,d pk¡nh dk flDdk gSA ,d O;fDr ;kn`PN;k ,d fMCck pqurk gS vkSj mlesa ls ;kn`PN;k ,d flDdk fudkyrk gSA ;fn flDdk lksus dk gS] rks bl ckr dh D;k izkf;drk gS fd fMCcs esa nwljk flDdk Hkh lksus dk gh gS\ gy eku ysa E1, E2 vkSj E3 Øe'k% fMCcs I, II vkSj III osQ p;u dks fu:fir djrs gSa 1 rc P(E) =P(E) = P(E) =12 33 lkFk gh eku ysa A ?kVuk ^fudkyk x;k flDdk lksus dk gS* dks n'kkZrk gSA rc P(A|E1) = P(fMCcs I ls lksus dk flDdk fudyuk) = 22 = 1 P(A|E2) = P(fMCcs II ls lksus dk ,d flDdk fudyuk) = 0 P(A|E) =P(fMCcs III ls lksus dk flDdk fudyuk) = 1 32 vc fMCcs esa nwljk flDdk Hkh lksus dk gksus dh izkf;drk = fudkyk x;k lksus dk flDdk fMCcs I ls gksus dh izkf;drk = P(E1|A) vc cs”k&izes; }kjk P(E )P(A|E ) P(E1|A) = 1 1 P(E )PA|E )+P(E )P(A|E )+P(E )P(A|E ) 11223 3 33 32 mnkgj.k 18 eku ysa fd ,d ,p-vkbZ-oh- ijh{k.k dh fo'oluh;rk fuEufyf[kr izdkj ls fufnZ"V dh xbZ gSA ,p-vkbZ-oh- iksthfVo O;fDr;ksa osQ fy, ijh{k.k 90% irk yxkus esa vkSj 10% irk u yxkus esa l{ke gSA ,p-vkbZ-oh- ls Lora=k O;fDr;ksa osQ fy, ijh{k.k] 99% lgh irk yxkrk gS ;kuh ,p-vkbZ-oh usxsfVo crkrk gS tcfd 1%ijhf{kr O;fDr;ksa osQ fy, ,p-vkbZ-oh- iksthfVo crkrk gSA ,d cM+h tula[;k] ftlesa 0.1% O;fDr ,p-vkbZ-oh- xzLr gS] esa ls ,d O;fDr ;kn`PN;k pquk tkrk gS vkSj ml dk ijh{k.k fd;k tkus ij jksxfoKkuh ,p-vkbZ-oh- dh mifLFkfr crkrk gSA D;k izkf;drk gS fd og O;fDr okLro esa ,p-vkbZ-oh- (iksthfVo) gS\ gy eku ysa E pqus x, O;fDr osQ okLro esa ,p-vkbZ-oh- iksthfVo gksus dh ?kVuk vkSj A O;fDr osQ ,p-vkbZ-oh- ijh{k.k esa iksthfVo gksus dh ?kVuk dks n'kkZrs gSaA gesaP(E|A) Kkr djuk gSA lkFk ghE′ pqus x, O;fDr osQ ,p-vkbZ-oh- iksthfVo u gksus dh ?kVuk dks n'kkZrk gSA Li"Vr;k {E, E′} tula[;k esa lHkh O;fDr;ksa osQ izfrn'kZ lef"V dk ,d foHkktu gSA gesa Kkr gS 0.1 P(E) = 0.1% ==0.001 100 P(E′) =1 – P (E) = 0.999 P(A| E) = P (O;fDr dk ijh{k.k esa ,p-vkbZ-oh- iksthfVo n'kkZuk tcfd fn;k x;k gS fd og 9 okLro esa ,p-vkbZ-oh- iksthfVo gS)= 90% = = 0.9 10 vkSj P(A|E ′ ) = P (O;fDr dk ijh{k.k esa ,p-vkbZ-oh- iksthfVo n'kkZuk tc fd fn;k x;k gS fd og okLro esa ,p-vkbZ-oh- iksthfVo ugha gS) = 1% = 0.01 vc cs”k&izes; }kjk P(E)P(A|E) P(E|A) = P(E)P(A|E)+P(E )P(A| E )′′ 0.001 ×0.9 90 = = = 0.083 (yxHkx)0.001 ×0.9 + 0.999 ×0.01 1089 vr% ,d ;kn`PN;k pqus x, O;fDr osQ okLro esa ,p-vkbZ-oh- iksthfVo gksus dh izkf;drk tc fd Kkr gS fd mldk ,p-vkbZ-oh- ijh{k.k iksthfVo gS] 0.083 gSA mnkgj.k 19 ,d cksYV cukus osQ dkj[+kkus esa e'khusa (;a=k) A, B vkSj C oqQy mRiknu dk Øe'k% 25%, 35% vkSj 40% cksYV cukrh gSaA bu e'khuksa osQ mRiknu dk Øe'k% 5] 4] vkSj 2 izfr'kr Hkkx [kjkc (=kqfViw.kZ) gSaA cksYVksa osQ oqQy mRiknu esa ls ,d cksYV ;kn`PN;k fudkyk tkrk gS vkSj og [kjkc ik;k tkrk gSA bldh D;k izkf;drk gS fd ;g cksYV e'khu B }kjk cuk;k x;k gS\ gy eku fy;k fd ?kVuk,¡ B1, B2, B3 fuEu izdkj gS% B1 : cksYV e'khuA }kjk cuk;k x;k gS B2 : cksYV e'khu B }kjk cuk;k x;k gS B3 : cksYV e'khu C }kjk cuk;k x;k gS Li"V gS fd ?kVuk,¡ B1, B2, B3 ijLij viothZ vkSj ifjiw.kZ gSA eku fy;k fd ?kVuk E fuEu izdkj gS% E cksYV [kjkc gSA ?kVuk E, ?kVukvksa B1 ;k B2 ;k B3 osQ lkFk ?kfVr gksrh gSA fn;k gS% P(B1) = 25% = 0.25, P (B2) = 0.35 vkSj P(B3) = 0.40 iqu% P(E|B1) = cksYV osQ [kjkc gksus dh izkf;drk tc fd fn;k gks fd og e'khu B }kjk fufeZr gS = 5% = 0.05 blh izdkj P(E|B2) = 0.04, P(E|B3) = 0.02 cs”k&izes; }kjk gesa Kkr gS fd P(B )P(E|B ) P(B|E) = 2 2 2P(B )P(E|B )+P(B )P(E|B )+P(B )P(E+|B )11223 3 0.35 ×0.04 0.0140 28 == = 0.25 ×0.05 +0.35 × 0.04 + 0.40 ×0.02 0.0345 69 mnkgj.k 20 ,d MkWDVj dks ,d jksxh dks ns[kus vkuk gSA igys osQ vuqHkoksa ls ;g Kkr gS fd 3 11 2mlosQ Vªsu] cl] LowQVj ;k fdlh vU; okgu ls vkus dh izkf;drk,¡ Øe'k% ,, ;k 10 510 5 11 1 gS ;fn og Vsªu] cl ;k LowQVj ls vkrk gS rks mlosQ nsj ls vkus dh izkf;drk,¡ Øe'k% ,, ;k 43 12 gS] ijarq fdlh vU; okgu ls vkus ij mls nsj ugha gksrh gSA ;fn og nsj ls vk;k] rks mlosQ Vsªu ls vkus dh izkf;drk Kkr dhft,A gy eku yhft, fd ^MkWDVj osQ jksxh osQ ;gk¡ nsj ls vkus* dh ?kVuk E gSA ;fn MkWDVj osQ Vsªu] cl] LowQVj ;k fdlh vU; okgu }kjk vkus dh ?kVuk,¡ Øe'k% T1, T2, T3, vkSj T4 gks] rks 311 2 ,P(T ) = ,P(T ) = vkjS P(T ) =P(T1) =2 3 4 (fn;k gS)10 510 5 1 P(E|T1) = MkWDVj osQ Vsªu }kjk vkus ij nsj ls igq¡pus dh izkf;drk = 4 11 blh izdkj, P(E|T) = , P (E|T) = , P(E|T) = 0, D;ksafd vU; okgu }kjk vkus ij mls23 312 4nsjh ugha gksrhA vc cs”k&izes; }kjk P(T1|E) = MkWDVj }kjk nsj ls vkus ij Vsªu }kjk vkus dh izkf;drk P(T )P(E|T ) 1 1 2 2 3 34 4 = 11 P(T)P(E|T)+P(T )P(E|T )+P(T )P(E|T )+P(T )P(E|T ) 3 1 = 10 4 × = 3 120 × = 1 3 × 1 + 1 1 × + 1 × 1 + 2 0× 40 18 2 10 4 5 3 10 12 5 1 vr% vHkh"V izkf;drk 2 gSA mnkgj.k 21 ,d O;fDr osQ ckjs esa Kkr gS fd og 4 esa ls 3 ckj lR; cksyrk gSA og ,d ikls dks mNkyrk gS vkSj crykrk gS fd ml ij vkus okyh la[;k 6 gSA bl dh izkf;drk Kkr dhft, fd ikls ij vkus okyh la[;k okLro esa 6 gSA gy eku yhft, fd E] ^O;fDr }kjk ikls dks mNky dj ;g crkus dh fd ml ij vkus okyh la[;k 6 gS* dh ?kVuk gSA eku yhft, fd S1] ikls ij la[;k 6 vkus dh ?kVuk vkSj S2 ikls ij la[;k 6 ugha vkus dh ?kVuk gSaA rc P(S) = la[;k 6 vkus dh ?kVuk dh izkf;drk = 1 1 6 5 P(S2) = la[;k 6 ugha vkus dh ?kVuk dh izkf;drk = 6 P(E|S1) = O;fDr }kjk ;g crkus ij fd ikls fd la[;k 6 vkbZ gS tcfd ikls ij vkus okyh la[;k okLro esa 6 gS] dh izkf;drk 3 = O;fDr }kjk lR; cksyus dh izkf;drk = 4 P(E|S) = O;fDr }kjk ;g crkus ij fd ikls ij la[;k 6 vkbZ gS tcfd ikls ij vkus okyh2 la[;k okLro esa 6 ugha gS] dh izkf;drk = O;fDr }kjk lR; ugha cksyus dh izkf;drk 1= − 3 = 1 4 4 vc cs”k&izes; }kjk P(S1|E) = O;fDr }kjk ;g crkus dh izkf;drk fd la[;k 6 izdV gqbZ gS] tc okLro esa la[;k 6 gSvr% vHkh"V izkf;drk 3 gSA8iz'ukoyh 13.3 1. ,d dy'k esa 5 yky vkSj 5 dkyh xsnsa gSaA ;kn`PN;k ,d xsan fudkyh tkrh gS] bldk jax uksV djus osQ ckn iqu% dy'k esa j[k nh tkrh gSA iqu% fudkys x, jax dh 2 vfrfjDr xsansaa dy'k esa j[k nh tkrh gS rFkk dy'k esa ls ,d xsan fudkyh tkrh gSA nwljh xsansaa dh yky gksus dh izkf;drk D;k gS\ 2. ,d FkSys esa 4 yky vkSj 4 dkyh xsansaa gSa vkSj ,d vU; FkSys esa 2 yky vkSj 6 dkyh xsansa gSaA nksuksa FkSyksa esa ls ,d dks ;kn`PN;k pquk tkrk gS vkSj mlesa ,d xsan fudkyh tkrh gS tks fd yky gSA bl ckr dh D;k izkf;drk gS fd xsan igys FkSys ls fudkyh xbZ gS\ 3. ;g Kkr gS fd ,d egkfo|ky; osQ Nk=kksa esa ls 60% Nk=kkokl esa jgrs gSa vkSj 40% Nk=kkokl esa ugha jgrs gSaA iwoZorhZ o"kZ osQ ifj.kke lwfpr djrs gSa fd Nk=kkokl esa jgus okys Nk=kksa esa ls 30% vkSj Nk=kkokl esa u jgus okys Nk=kksa esa ls 20% Nk=kksa us A&xzsM fy;kA o"kZ osQ var esa egkfo|ky; osQ ,d Nk=k dks ;kn`PN;k pquk x;k vkSj ;g ik;k x;k fd mls A-xzsM feyk gSA bl ckr dh D;k izkf;drk gS fd og Nk=k Nk=kkokl es jgus okyk gS\ 4. ,d cgqfodYih iz'u dk mÙkj nsus esa ,d fo|kFkhZ ;k rks iz'u dk mÙkj tkurk gS ;k og vuqeku yxkrk gSA eku ysa fd mlosQ mÙkj tkuus dh izkf;drk 3 gS vkSj vuqeku yxkus dh4 1izkf;drk gSA eku ysa fd Nk=k osQ iz'u osQ mÙkj dk vuqeku yxkus ij lgh mÙkj nsus dh4 1izkf;drk gS rks bl ckr dh D;k izkf;drk gS fd dksbZ Nk=k iz'u dk mÙkj tkurk gS ;fn4;g Kkr gS fd mlus lgh mÙkj fn;k gS\ 5. fdlh fo'ks"k jksx osQ lgh funku osQ fy, jDr dh tk¡p 99% vljnkj gS] tc okLro esa jksxh ml jksx ls xzLr gksrk gSA ¯drq 0.5% ckj fdlh LoLFk O;fDr dh jDr tk¡p djus ij funku xyr fjiksVZ nsrk gS ;kuh O;fDr dks jksx ls xzLr crykrk gSA ;fn fdlh tuleqnk; esa 0-1% yksx ml jksx ls xzLr gS rks D;k izkf;drk gS fd dksbZ ;kn`PN;k pquk x;k O;fDr ml jksx ls xzLr gksxk ;fn mlosQ jDr dh tk¡p esa ;g crk;k tkrk gS fd mls ;g jksx gS\ 6. rhu flDosQ fn, x, gSaA ,d flDosQ osQ nksuksa vksj fpr gh gSA nwljk flDdk vfHkur gS ftlesa fpr 75% ckj izdV gksrk gS vkSj rhljk vufHkru flDdk gSA rhuksa esa ls ,d flDosQ dks ;kn`PN;k pquk x;k vkSj mls mNkyk x;k gSA ;fn flDosQ ij fpr izdV gks] rks D;k izkf;drk gS fd og nksuksa fpr okyk flDdk gS\ 7. ,d chek oaQiuh 2000 LowQVj pkydksa] 4000 dkj pkydksa vkSj 6000 Vªd pkydksa dk chek djrh gSA nq?kZVukvksa dh izkf;drk,¡ Øe'k% 0-01] 0-03 vkSj 0-15 gSA cheko`Qr O;fDr;ksa (pkydksa) esa ls ,d nq?kZVukxzLr gks tkrk gSA ml O;fDr osQ LowQVj pkyd gksus dh izkf;drk D;k gS\ 8. ,d dkj[kkus esaA vkSj B nks e'khus yxh gSaA iwoZ fooj.k ls irk pyrk gS fd oqQy mRiknu dk 60% e'khu AvkSj 40% e'khu B }kjk fd;k tkrk gSA blosQ vfrfjDr e'khu Adk 2% vkSj e'khu B dk 1% mRiknu [kjkc gSA ;fn oqQy mRiknu dk ,d ∑ = 1, i = 1, 2, ..., n i=1 okLrfod la[;k,¡ x , x , ... x ;kn`fPNd pj X osQ laHko eku (ewY;) gS vkSj p (i = 1,2, ... n)12n i;kn`fPNd pj X dk eku xi gksus dh izkf;drk gS vFkkZr~~ P (X=xi) = pi lkFk gh X osQ lHkh laHkkfor ekuksa osQ fy, izfrn'kZ lef"V osQ lHkh ¯cnqvksa dk lekos'k gks tkrk gSA blfy, fdlh izkf;drk caVu osQ fy, lHkh izkf;drkvksa dk ;ksx ,d gksuk pkfg,A mnkgj.k 24 rk'k osQ 52 iÙkksa dh ,d lqfefJr xM~Mh ls nks iÙks mÙkjksÙkj izfrLFkkiuk osQ lkFk fudkys tkrs gSaA bDdksa dh la[;k dk izkf;drk caVu Kkr dhft,A gy bDdksa dh la[;k ,d ;kn`fPNd pj gSA bldks ge X ls fu:fir djrs gSaA Li"Vr;kX dk eku 0, 1, ;k2 gSA D;ksafd iÙkksa dks izfrLFkkiuk osQ lkFk fudkyk x;k gS blfy,nksuksa iÙkksa dk fudkyuk Lora=k ijh{k.k gSaA blfy, P(X = 0) = P(bDdk ugha vkSj bDdk ugha) = P(bDdk ugha) × P (bDdk ugha) 48 48 144 = ×= 52 52 169 vkSj P(X = 1) = P(bDdk vkSjbDdk ugha vFkok bDdk ugha vkSj bDdk) = P(bDdk) . P(bDdk ugha) + P (bDdk ugha) . P (bDdk) 4 48 48 4 24 = × +×= 52 52 52 52 169 vkSj P(X = 2) = P(bDdk vkSj bDdk) = P(bDdk) % P(bDdk) 4 41 = ×= 52 52 169 vr% vHkh"V izkf;drk caVu gS% X 0 1 2 144 24 1 P(X) 169 169 169 mnkgj.k 25 iklksa osQ ,d tksM+s dks rhu ckj mNkyus ij f}dksa (doublets) dh la[;k dk izkf;drk caVu Kkr dhft,A gy eku yhft, fd X f}dksa dh la[;k fu:fir djrk gSA (1,1) , (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), vkSj (6,6) laHko f}d gSaA Li"V gS fd X dk eku 0, 1, 2, ;k 3 gSA ,d f}d izkIr gksus dh izkf;drk = 6 = 1 36 6 15 ,d f}d izkIr u gksus dh izkf;drk = 1 −= 66 vc 55 5 125 P(X = 0) = P(,d Hkh f}d ugha) = ××= 66 6 216 P(X = 1) = P(,d f}d vkSj nks f}d ugha) 15551555 1 ⎛ 1 52 ⎞ 75 = ××+××+× × =3⎜× 2 ⎟= 66666666 6 66 216 ⎝⎠ P(X = 2) = P (nks f}d vkSj ,d f}d ugha) 1 15151 5 11 = ××+××+ ×× 666666666 ⎛ 15⎞ 15 =3⎜ 2 ×=⎟⎝ 66 216 111 1 P(X = 3) = P (rhu f}d) =×× = 6 66 216 vr% X dk vHkh"V izkf;drk caVu fuEufyf[kr gSa% X 0 1 2 3 P(X) 125 216 75 216 15 216 1 216 lR;kiu izkf;drkvksa dk ;ksx n 125 75 15 1 p∑i = +++ i =1 216 216 216 216 125 + 75 +15 +1 216 = ==1 216 216 vr% mijksDr izkf;drk caVu lgh gSA mnkgj.k 26 eku ysa fdlh ;kn`fPNd pqus x, fo|ky;h fnol esa i<+kbZ ds ?kaVksa dks X ls n'kkZ;k tkrk gSA X osQ eku x ysus dh izkf;drk fuEufyf[kr rjg ls gS] tgk¡ k ,d okLrfod la[;k gS% ⎧0.1 ;fn x = 0 ⎪⎪kx ;fn x=1;k 2 P(X = x) = ⎨ k (5 − x) ;fn x =3 ;k 4⎪ ⎪0 vU;Fkk ⎩ (a) k dk eku Kkr dhft, (b) bl ckr dh D;k izkf;drk gS fd vki U;wure nks ?kaVs i<+rs gSa\ rF;r% nks ?kaVs i<+rs gSa\ vf/dre nks ?kaVs i<+rs gSa\ gy X dk izkf;drk caVu uhps fn;k x;k gS% X 0 1 2 3 4 P(X) 0.1 k 2 k 2 k k n (a) gesa Kkr gS fd ∑ pi =1 i =1 blfy, 0.1 + k + 2k + 2k + k = 1 ⇒ k = 0.15 (b) P(vki U;wure nks ?kaVs i<+rs gSaa) = P (X ≥ 2) = P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) = 2k + 2k + k = 5k = 5 × 0.15 = 0.75 P(vki rF;r% nks ?kaVs i<+rs gSa) = P (X = 2) = 2k = 2 × 0.15 = 0.3 P(vki vf/dre nks ?kaVs i<+rs gSa) = P (X ≤ 2) = P (X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0.1 + k + 2k = 0.1 + 3k = 0.1 + 3 × 0.15 = 0.55 13.6.2 ;kn`fPNd pj dk ekè; (Mean of a random variable) cgqr lh leL;kvksa esa fdlh ;kn`fPNd pj ds fdlh y{k.k dks ,dy la[;k ls n'kkZuk okaNuh; gksrk gS] ftls pj dh izkf;drk caVu ls Kkr dj ldrs gSa ,slh gh oqQN la[;k,¡ ekè;] ekè;d o cgqyd gksrs gSaA bl d{kk esa ge ekè; ij ppkZ djsaxsA ekè; vofLFkfr ;k osaQnzh; izo`fr dh eki bu vFkks± esa gS fd ;g fdlh ;kn`fPNd pj osQ eè;eku ;k vkSlr eku dks bafxr djrk gSA ifjHkk"kk 6 eku ysa X ,d ;kn`fPNd pj gS ftlosQ laHkkfor eku x 1, x 2, x3, ..., xn dh Øe'k% n izkf;drk p, p, p, ..., pgSA X dk ekè;] ftls µ , ls O;Dr djrs gSa] la[;k ∑xp i i gksrh gSA123 n i=1 vFkkZr~~ x dk ekè;] pj X, osQ laHkkfor ekuksa dk Hkkfjr vkSlr gksrk gS] tc izR;sd eku dks mldh laxr izkf;drk ls Hkkfjr fd;k x;k gksA ;kn`fPNd pj X osQ ekè; dks X dh izR;k'kk (Expectation) Hkh dgrs gSa] ftls E (X) ls O;Dr djrs gSaA vr%n xp E(X) = µ =∑ ii = xp+ xp + ... + xp1122nn i =1 vU; 'kCnksa esa ;kn`fPNd pj X dk ekè; ;k izR;k'kk X osQ lHkh laHkkfor ekuksa dk mudh laxr izkf;drkvksa osQ xq.ku dk ;ksx gksrk gSA mnkgj.k 27 eku ysa fd iklksa osQ ,d tksM+s dks mNkyk tkrk gS vkSj ;kn`fPNd pj X] iklksa ij izkIr la[;kvksa dk ;ksx fy;k tkrk gSA X dk ekè; ;k izR;k'kk Kkr dhft,A gy bl ijh{k.k dk izfrn'kZ lef"V 36 ekSfyd ?kVukvksa ls fufeZr gqvk gS] ftUgsa Øfer ;qXe (x, y) osQ :i esa fy[kk tk ldrk gS tgk¡ x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 vkSj y= 1, 2, 3, 4, 5, 6.iiii ;kn`fPNd pj X osQ eku vFkkZr~~ iklksa ij izkIr la[;kvksa dk ;ksx 2] 3] 4] 5] 6] 7] 8] 9] 10] 11 ;k 12 gks ldrk gS 1 vc P(X = 2) = P({(1, 1)}) = 36 2 =P(X = 3) = P({(1, 2), (2, 1)}) 36 3 P(X = 4) = P({(1, 3), (2, 2), (3, 1)}) = 36 4 P(X = 5) = P({(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)}) = 36 5 P(X = 6) = P({(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)}) = 36 6 P(X = 7) = P({(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}) = 36 5 P(X = 8) = P({(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)}) = 36 4 P(X = 9) = P({(3, 6), (4,5), (5,4), (6,3)}) = 36 3 P(X = 10) = P({(4, 6), (5, 5), (6, 4)}) = 36 2 P(X = 11) = P({(5, 6), (6, 5)}) = 36 1 P(X = 12) = P({(6, 6) = 36 X dk izkf;drk caVu gS% X ;k x i 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P(X) ;k pi 1 36 2 36 3 36 4 36 5 36 6 36 5 36 4 36 3 36 2 36 1 36 n 12 3 4blfy, µ = E(X) = xp =2×+3×+ 4×+5×∑ ii i=1 36 36 36 36 56 5432 1 + 6 ×+ 7 ×+ 8 ×+9 ×+10 ×+11 ×+12 × 36 36 36 36 36 36 36 2 + 6 + 12 + 20 + 30 + 42 + 40 + 36 + 30 + 22 +12 = = 7 36 vr% nks iklksa osQ isaQdus ij izdV la[;kvksa osQ ;ksx dk ekè; 7 gSA 13.6.3 ;kn`fPNd pj dk izlj.k (Variance of a random variable) ;kn`fPNd pj dk ekè; ml pj osQ ekuksa esa fopj.k osQ ckjs esa dksbZ lwpuk ugha nsrk gSA lkFk gh fofHkUu izkf;drk caVu okys ;kn`fPNd pjksa osQ ekè; leku gks ldrs gSa] tSlk fd X vkSj Y osQ fuEufyf[kr caVuksa esa fn[kk;k x;k gSA X 1 2 3 4 P(X) 1 8 2 8 3 8 2 8 Y –1 0 4 5 6 P(Y) 1 8 2 8 3 8 1 8 1 8 1 23 222 Li"Vr;k E(X) = 1×+ 2×+ 3×+ 4 ×= = 2.75 8 88 88 1241 122 vkSj E(Y) =− 1×+ 0 ×+3×+ 5×+ 6 ×= = 2.75 8888 88 pj X vkSj Y vyx&vyx gSa ;|fi muosQ ekè; leku gSa ;g bu pjksa osQ fp=kkRed fu:i.k ls Hkh vklkuh ls izsf{kr fd;k tk ldrk gS (vko`Qfr 13-5)A vko`Qfr 13.5 X dks Y ls vyx djus osQ fy, gesa ;kn`fPNd pj osQ eku esa fc[kjko dh lhek rd osQ eki dh vko';drk gSA geus lkaf[;dh esa i<+k gS fd vk¡dM+ksa esa fopj.k ;k fc[kjko dh eki gh izlj.k gSA blh izdkj ;kn`fPNd pj osQ ewY;ksa esa fc[kjko dks izlj.k ls ekik tk ldrk gSA ifjHkk"kk 7 eku yhft, X ,d ;kn`fPNd pj gS ftlosQ laHkkfor ewY; x 1, x 2 ...xn laxr izkf;drkvksa p(x 1), p(x 2), ..., p(xn) osQ lkFk fo|eku gSaA eku ysa µ = E (X), X dk ekè; gSA X dk izlj.k var (X) ;k σ x 2 }kjk fu:fir] dks fuEu izdkj ls ifjHkkf"kr fd;k tkrk gS_ n 2 = Var(X) = (x −µ)2 px ()σ∑ iix i =1 ;k lerqY;r% σx 2 = E(X −µ)2 n ½.ksÙkj la[;k σ = Var (X) = (x −µ)2 px )(∑ iix i=1 dks ;kn`fPNd pj X dk ekud fopyu (standard deviation) dgrs gSaA ;kn`fPNd pj dk izlj.k Kkr djus dk vU; lw=k ge tkurs gSa fd n Var(X) = ∑(xi −µ) 2 p x i )( i =1 n (x 2 + µ2 − 2µ x ) px )(= ∑ i ii i =1 n nn =2 2(xp(x ) + µ p(xi ) − 2µ xp ( xi )∑ ii ∑∑ i i =1 i =1 i =1 n nn =(x 2() + µ2 p x i ) − 2µ ( ipx ( xpx )∑ ii ∑∑ i i =1 i=1 i=1 n nn 2 22 xp (x ) + µ − 2µ D;kfasd p (x )=1vkjSµ= x P( x )= ∑ ii ⎢⎡ ∑ i ∑ ii ⎥⎤ i =1  i =1 i =1  n =(x 2() − µ2 px ∑ ii i =1 nn 2 ⎛ 2 ;k Var(X) = ∑(xi ( i )) − ⎜∑ xi ( i ⎟px px ) i =1  i =1  n ;k Var(X) = E(X 2 ) −[E(X)] 2 ] tgk¡ E(X2) =∑xi 2 px ( i ) i =1 mngkj.k 28 ,d vufHkur ikls dks isaQdus ij izkIr la[;kvksa dk izlj.k Kkr dhft,A gy ijh{k.k dk izfrn'kZ lef"V gS S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} eku ysa X, ikls ij izdV la[;k dks O;Dr djrk gSA rc X ,d ;kn`fPNd pj gS tks 1, 2, 3, 4, 5, ;k 6 eku ys ldrk gSA 1lkFk gh P(1) = P (2) = P (3) = P (4) = P (5) = P (6) = 6 blfy, X dk izkf;drk caVu gS% X 1 2 3 4 5 6 P(X) 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 n vc E(X) = ∑ xi p( xi ) i =1 111 11121 =1×+ 2 ×+ 3×+ 4×+ 5 ×+ 6 ×= 666 6666 1 1 1 1 1 191 222222lkFk gh E(X2) = 1 ×+ 2 ×+ 3 ×+ 4 ×+ 5 ×+ 6 ×= 666666 6 vr% Var(X) = E (X2) – (E(X))2 91  21  2 91 441 35 = − =−=⎜⎟⎝⎠6 6 636 12 mnkgj.k 29 rk'k osQ 52 iÙkksa dh ,d Hkyh&Hkk¡fr isaQVh xbZ xM~Mh esa ls nks iÙks mÙkjksÙkj fcuk izfrLFkkiuk osQ (;k ,d lkFk) fudkys tkrs gSaA ckn'kkgksa dh la[;k dk ekè;] izlj.k o ekud&fopyu Kkr dhft,A gy eku yhft, fd nks iÙks fudkyus esa ckn'kkgksa dh la[;k dks X ls O;Dr djrs gSaA X ,d ;kn`fPNd pj gS tks 0 , 1 ;k 2 eku ys ldrk gSA 48! 48 C2 2!(48 − 2)! 48 × 47 188 vc P(X = 0) = P(dksbZ ckn'kkg ugha) = 52 = == 52! 2!(52 − 2)! C2 52 × 51 221 4 C 48 C = 11 P(X = 1) = P(,d ckn'kkg vkSj ,d ckn'kkg ugha) 52 C2 4× 48 × 2 32 = = 52 × 51 221 4C 4 × 31 = 2 == =vkSj P(X = 2) = P (nksuksa ckn'kkg) 52 C2 52 × 51 221 vr% X dk izkf;drk caVu gS% X 0 1 2 188 32 1 P(X) 221 221 221 n vc ekè; X = E(X) = ∑ xi p( xi ) i =1 188 32 134 =0×+1×+ 2×= 221 221 221 221 n 2 188 32 136 22 2lkFk gh E(X2) = ∑ xi p( xi ) =0 ×+1 ×+ 2 ×= i =1 221 221 221 221 vc Var(X) = E(X2) – [E(X)]2 36  34  2 6800 – = = ⎜ 2221  221  (221) 6800 blfy, σ = Var(X) == 0.37 (yxHkx)x (221) iz'ukoyh 13.4 1. crkb, fd fuEufyf[kr izkf;drk caVuksa esa dkSu ls ,d ;kn`fPNd pj osQ fy, laHko ugha gSA viuk mÙkj dkj.k lfgr fyf[k,A (i) (ii) X 0 1 2 P(X) 0.4 0.4 0.2 X 0 1 2 3 4 P(X) 0.1 0.5 0.2 – 0.1 0.3 (iii) Y – 1 0 1 P(Y) 0.6 0.1 0.2 (iv) Z 3 2 1 0 –1 P(Z) 0.3 0.2 0.4 0.1 0.05 2. ,d dy'k esa 5 yky vkSj 2 dkyh xsan gSaA nks xsan ;kn`PN;k fudkyh xbZA eku yhft, X dkyh xsanksa dh la[;k dks O;Dr djrk gSA X osQ laHkkfor eku D;k gS\ D;k X ;kn`fPNd pj gS\ 3. eku yhft, X fprksa dh la[;k vkSj iVksa dh la[;k esa varj dks O;Dr djrk gS] tc ,d flDosQ dks 6 ckj mNkyk tkrk gSA X osQ laHkkfor ewY; D;k gS? 4. fuEufyf[kr osQ izkf;drk caVu Kkr dhft,% (i) ,d flDosQ dh nks mNkyksa esa fprksa dh la[;k dk (ii) rhu flDdksa dks ,d lkFk ,d ckj mNkyus ij iVksa dh la[;k dk (iii) ,d flDosQ dh pkj mNkyksa esa fprksa dh la[;k dk 5. ,d iklk nks ckj mNkyus ij liQyrk dh la[;k dk izkf;drk caVu Kkr dhft, tgk¡ (i) ^4 ls cM+h la[;k* dks ,d liQyrk ekuk x;k gSA (ii) ^ikls ij la[;k 6 izdV gksuk* dks ,d liQyrk ekuk x;k gSA 6. 30 cYcksa osQ ,d 6) (iv) P(0 < X < 3) 9. ,d ;kn`fPNd pj X dk izkf;drk iQyu P(x) fuEu izdkj ls gS] tgk¡ k dksbZ la[;k gS k ;fn ⎧ =0x 2k ;fn 1=x P( ) x⎨=3k ;fn 2= ⎪ x 0 vU;Fkk (a) k dk eku Kkr dhft, (b) P (X < 2), P (X ≤ 2), P(X ≥ 2) Kkr dhft,A 10. ,d U;kÕ; flDosQ dh rhu mNkyksa ij izkIr fprksa dh la[;k dk ekè; Kkr dhft,A 11. nks iklksa dks ;qXer~ mNkyk x;kA ;fn X, NDdksa dh la[;k dks O;Dr djrk gS] rks X dh izR;k'kk Kkr dhft,A 12. izFke N% /u iw.kk±dksa esa ls nks la[;k,¡ ;kn`PN;k (fcuk izfrLFkkiu) pquh xbZA eku ysa X nksuksa la[;kvksa esa ls cM+h la[;k dks O;Dr djrk gSA E(X) Kkr dhft,A 13. eku yhft, nks iklksa dks iasQdus ij izkIr la[;kvksa osQ ;ksx dks X ls O;Dr fd;k x;k gSA X dk izlkj.k vkSj ekud fopyu Kkr dhft,A 14. ,d d{kk esa 15 Nk=k gSa ftudh vk;q 14] 17] 15] 14] 21] 17] 19] 20] 16] 18] 20] 17] 16] 19 vkSj 20 o"kZ gSaA ,d Nk=k dks bl izdkj pquk x;k fd izR;sd Nk=k osQ pqus tkus dh laHkkouk leku gS vkSj pqus x, Nk=k dh vk;q (X) dks fy[kk x;kA ;kn`fPNd pj X dk izkf;drk caVu Kkr dhft,A X dk ekè;] izlj.k o ekud fopyu Hkh Kkr dhft,A 15. ,d cSBd esa 70% lnL;ksa us fdlh izLrko dk vuqeksnu fd;k vkSj 30% lnL;ksa us fojks/ fd;kA ,d lnL; dks ;kn`PN;k pquk x;k vkSj] ;fn ml lnL; us izLrko dk fojks/ fd;k gks rks X = 0 fy;k x;k] tc fd ;fn mlus izLrko dk vuqeksnu fd;k gks rks X = 1 fy;k x;kA E(X) vkSj var (X) Kkr dhft,A fuEufyf[kr esa ls izR;sd esa lgh mÙkj pqusaA 16. ,sls ikls] ftlosQ rhu iQydksa ij 1 vU; rhu ij 2 vkSj ,d iQyd ij 5 fy[kk x;k gS] dks mNkyus ij izkIr la[;kvksa dk ekè; gS% 8 (A) 1 (B)2 (C)5 (D) 3 17. eku yhft, rk'k dh ,d xM~Mh ls ;kn`PN;k nks iÙks fudkys tkrs gSaA eku yhft, X bDdksa dh la[;k izdV djrk gSA rc E(X) dk eku gS% 37 5 1 2 (A) 221 (B) 13 (C) 13 (D) 13 13.7 cjukSyh ijh{k.k vkSj f}in caVu(Bernoulli Trails and Binomial Distribution) 13.7.1 cjukSyh ijh{k.k vusd iz;ksxksa dh izo`Qfr f}ifj.kkeh gksrh gSA mnkgj.kkFkZ mNkyk x;k flDdk ,d ^fpr* ;k ,d ^iV* n'kkZrk gS] fdlh iz'u dk mÙkj ^gk¡* ;k ^ugha* gks ldrk gS] ,d vaMs ls cPpk ^fudy pqdk gS* ;k ^ugha fudyk gS] ,d fu.kZ; ^gk¡* ;k ^ugha* gS vkfnA bl izdkj dh fLFkfr;ksa esa ,slk izpyu gS fd izkIr ifj.kkeksa esa ls ,d dks ^liQyrk* vkSj nwljs dks ^vliQyrk* dgk tkrk gSA mnkgj.k osQ fy,] ,d flDosQ dks mNkyus ij ^fpr* vkus dks liQyrk ekuk tk, rks ^iV* vkus dks vliQyrk dgk tk,xkA izR;sd ckj] tc ge ,d flDdk mNkyrs gSa ;k ,d iklk mNkyrs gSa ;k dksbZ vU; iz;ksx djrs gSa] rc ge bls ,d ijh{k.k (trial) dgrs gSaA ;fn ,d flDdk eku yhft,] pkj ckj mNkyk tk, rks ijh{k.kksa dh la[;k 4 gksxh vkSj buesa ls izR;sd osQ ifj.kke rF;r% nks gksaxs vFkkZr~~ liQyrk ;k vliQyrkA fdlh ,d ijh{k.k dk ifj.kke fdlh nwljs ijh{k.k osQ ifj.kke ls Lora=k gksrk gSA bl izdkj osQ izR;sd ijh{k.k esa liQyrk (;k vliQyrk) dh izkf;drk,¡ vpj gksrh gSA bl izdkj osQ Lora=k ijh{k.k] ftuosQ osQoy nks ifj.kke gksrs gSa tks izk;% ^liQyrk* ;k ^vliQyrk* dgykrs gSa] cjukSyh ijh{k.k dgykrs gSaA ifjHkk"kk 8 ,d ;kn`fPNd iz;ksx osQ ijh{k.kksa dks cjukSyh ijh{k.k dgrs gSa ;fn os fuEufyf[kr 'krks± dks larq"V djrs gSa% (i) ijh{k.kksa dh la[;k fuf'pr (ifjfer) gksuh pkfg, (ii) ijh{k.k Lora=k gksus pkfg, (iii) izR;sd ijh{k.k osQ rF;r% nks gh ifj.kke gksus pkfg,] liQyrk ;k vliQyrk (iv) fdlh ifj.kke dh izkf;drk izR;sd ijh{k.k esa leku jguh pkfg, mnkgj.k osQ fy, ,d ikls dks 50 ckj mNkyuk] 50 cjukSyh ijh{k.kksa dh fLFkfr gS] ftlesa izR;sd ijh{k.k dk ifj.kke liQyrk (eku ysa le la[;k izdV gksuk) ;k vliQyrk (fo"ke la[;k izdV gksuk) gS vkSj lHkh 50 mNkyks esa liQyrk dh izkf;drk(p) ,d leku gSA fu%lUnsg ikls dh mÙkjksÙkj mNkysa Lora=k iz;ksx gksrs gSaA ;fn iklk U;kÕ; gS vkSj blosQ N% iQydksa ij N% la[;k,¡ 1 ls 6 rd fy[kh xbZ gS rks p = 1 liQyrk dh vkSj q = 1 – p = 1 vliQyrk dh izkf;drk gSA2 2mnkgj.k 30 7 yky vkSj 9 dkyh xsanksa okys ,d dy'k esa ls mÙkjksÙkj N% xsan fudkyh xbZA crkb, fd xsan fudkyus osQ ijh{k.k cjukSyh ijh{k.k gSa ;k ugha ;fn izR;sd fudky osQ ckn xsan dks (i) izfrLFkkfir fd;k x;k gksA (ii) izfrLFkkfir u fd;k x;k gksA gy (i) ijh{k.kksa dh la[;k ifjfer (fuf'pr) gSA tc xsan dks fudkyus osQ ckn dy'k esa iqu% izfrLFkkfir fd;k x;k gks rks liQyrk (eku ysa yky xsan fudyuk) dh izkf;drk p = 7 16 gS tks fd lHkh N% ijh{k.kksa esa leku gS vr% xasnksa dks izfrLFkkiuk osQ lkFk fudkyuk cjukSyh ijh{k.k gSaA (ii) tc xsanksa dks fcuk izfrLFkkiuk osQ fudkyk x;k rks igys ijh{k.k esa liQyrk (vFkkZr~ yky 76 xsan dk fudyuk) dh izkf;drk gS] nwljs ijh{k.k esa gS vkSj bl rjgLi"Vr;k lHkh 16 15ijh{k.kksa esa liQyrk dh izkf;drk leku ugha gS] vr% ;g ijh{k.k cjukSyh ijh{k.k ugha gSaA 13.7.2 f}in caVu (Binomial Distribution) ,d flDosQ osQ mNkyus osQ iz;ksx ij fopkj dhft, ftlesa izR;sd ijh{k.k dk ifj.kke liQyrk (eku ysa fpr) ;k vliQyrk (iV) gksrs gSaA izR;sd ijh{k.k esa liQyrk vkSj vliQyrk dks Øe'k% S vkSj F eku yhft,A dYiuk dhft, fd ge N% ijh{k.kksa esa ,d liQyrk osQ fofHkUu rjhdksa dks Kkr djus esa bPNqd gSaA Li"Vr;k N% fofHkUu rjhosQ gSa tSlk fd uhps lwphc¼ fd;k x;k gS% SFFFFF, FSFFFF, FFSFFF, FFFSFF, FFFFSF, FFFFFS 6! blh izdkj] nks liQyrk,¡ vkSj pkj vliQyrk,¡ Øep; esa gks ldrh gaSA bu lHkh4!× 2! Øep;ksa dh lwph cukuk dki+Qh yack dk;Z gksxkA blfy,] 0] 1] 2] ---]n liQyrkvksa dh izkf;drk Kkr djuk yack vkSj le; ysus okyk dk;Z gks ldrk gSA n cjukSyh ijh{k.kksa esa ls liQyrkvksa dh la[;k dh izkf;drk Kkr djus osQ fy, ,d lw=k dk fuekZ.k fd;k x;k gS] ftlls x.kuk esa yxus okys le; vkSj laHko ifj.kkeksa dh lwph cukus ls cpk tk ldrk gSA bl mn~ns'; osQ fy, rhu cjukSyh ijh{k.kksa ls cus ;kn`fPNd iz;ksx dks ysrs gSa ftlesa izR;sd ijh{k.k esa liQyrk vkSj vliQyrk dh izkf;drk,¡ Øe'k% p rFkk q gSaA bl iz;ksx (ijh{k.k) dk izfrn'kZ lef"V dkrhZ; xq.ku S = lSSS, SSF, SFS, FSS, SFF, FSF, FFS, FFF q gS liQyrkvksa dh la[;k ,d ;kn`fPNd pj X gS vkSj 0, 1, 2, ;k 3 eku ys ldrk gSA liQyrkvksa dh la[;k dk izkf;drk caVu fuEufyf[kr izdkj ls izkIr fd;k x;k gSA P(X = 0) = P(dksbZ liQyrk ugha) = P({FFF}) = P(F) P(F) P(F) = q . q . q = q3 (D;ksafd ijh{k.k Lora=k gSa) P(X = 1) = P(,d liQyrk) = P({SFF, FSF, FFS}) = P({SFF}) + P({FSF}) + P({FFS}) = P(S) P(F) P(F) + P(F) P(S) P(F) + P(F) P(F) P(S) = p.q.q + q.p.q + q.q.p = 3qp2 P(X = 2) = P (nks liQyrk,¡) = P({SSF, SFS, FSS}) = P({SSF}) + P({SFS}) + P({FSS}) = P(S) P(S) P(F) + P(S) P(F) P(S) + P(F) P(S) P(S) = p.p.q. + p.q.p + q.p.p = 3qp 2 vkSj P(X = 3) = P(rhu liQyrk,¡) = P ({SSS}) = P(S) . P(S) . P(S) = p 3 vr% X dk izkf;drk caVu gS X 0 1 2 3 P(X) q 3 3q 2 p 3qp 2 p 3 lkFk gh (q + p)3 dk f}in foLrkj fuEufyf[kr gS q3 + 3q2 p + 3qp2 + p3 uksV dhft, fd 0] 1] 2] ;k 3 liQyrkvksa dh izkf;drk,¡ Øe'k% (q + p)3 osQ foLrkj dh igyh] nwljh] rhljh vkSj prqFkZ in gSaA lkFk gh D;ksafd q + p = 1 gS ftlls ;g vFkZ fudyrk gS fd lHkh izkf;drkvksa dk ;ksx 1 gS tSlk fd vkisf{kr FkkA vr% ge ;g fu"d"kZ fudky ldrs gSa fd n-cjukSyh ijh{k.kksa okys iz;ksx esa 0, 1, 2 ...., n liQyrkvksa dh izkf;drk,¡ (q + p)n osQ foLrkj dh izFke] f}rh;] r`rh;] ...noha in ls izkIr dh tk ldrh gSaA bl ifj.kke dks fl¼ djus osQ fy, ge n &cjukSyh ijh{k.kksa okys iz;ksx esa x&liQyrkvksa dh izkf;drk Kkr djrs gSaA Li"Vr;k x liQyrkvksa (S) dh n'kk esa (n–x) vliQyrk,¡ (F) gksaxhA n! vc x liQyrk,¡ (S) vkSj (n–x) vliQyrk,¡ (F), rjhdksa ls Øep; gksrh gSaAx!( n − x)! buesa ls izR;sd rjhosQ esa x liQyrkvksa vkSj(n − x) vliQyrkvksa dh izkf;drk = P(x liQyrk,¡). P[( n − x) vliQyrk,¡] P(S).P(S)...P(S) . P(F).P(F)...P(F) 1442443 1442443 qn–x= = pxx ckj (n− x) ckjn! xn−xn xn −xvr% n-cjukSyh ijh{k.kksa esa x liQyrkvksa dh izkf;drk pq ;k Cp q gSAx!( n − x)! x n xn− xvr% P(x liQyrk,¡) = Cp q , x = 0, 1, 2, ..., n, (q = 1 – p)xxn−xLi"Vr;k P (x liQyrk,¡) vFkkZr~~ nCp q , (q + p)n osQ foLrkj dh (x + 1)oha in gSAxbl izdkj] n&cjukSyh ijh{k.kksa okys ,d iz;ksx esa liQyrkvksa dh la[;k dh izkf;drk caVu (q + p)n osQ f}in&foLrkj }kjk izkIr dh tk ldrh gSA vr%] liQyrkvksa dh la[;k X dk caVu fuEufyf[kr izdkj ls fy[kk tk ldrk gSA X 0 1 2 ... x ... n P (X) nC0 q n n C1 q n–1 p 1 n C2 q n–2 p 2 n C x q n–x p x nC n p n mi;qZDr izkf;drk caVu dks f}in caVu dgrs gSa ftlesa n rFkk p, izkpy gSa] D;ksafd n rFkk p osQ eku fn, gksus ij ge laiw.kZ izkf;drk caVu Kkr dj ldrs gSaA x liQyrkvksa dh izkf;drk P (X = x) dks P(x) ls Hkh O;Dr djrs gSa vkSj bls n–x xP(x) = nC xq p , x = 0, 1, ..., n (q = 1 – p) ls izkIr djrs gSaA bl P(x) dks f}in caVu dk izkf;drk iQyu dgrs gSaA ,d n-cjukSyh ijh{k.kksa vkSj izR;sd ijh{k.k esa liQyrk dh izkf;drk p, okys f}in caVu dks B(n, p) ls O;Dr djrs gSaA vkb, vc oqQN mnkgj.k ysaA mnkgj.k 31 ;fn ,d U;kÕ; flDosQ dks 10 ckj mNkyk x;k rks fuEu dh izkf;drk,¡ Kkr dhft,% (i) Bhd N% fpr (ii) U;wure N% fpr (iii) vf/dre N% fpr gy ,d flDosQ dks ckjckj mNkyuk cjukSyh ijh{k.k gksrs gSaA 10 ijh{k.kksa esa fprkas dh la[;k dks X eku yhft,A Li"Vr;k X caVu n = 10 vkSj p = 1 okyk f}in caVu gSA2 qn–xpxblfy, P(X = x) = nC x ;gk¡ n = 10, p = 1, q = 1 – p = 1 22 10 − xx 10 10  1⎞ 1 10  1⎞blfy, P(X = x) = C x ⎜ ⎜⎟= C x ⎜⎟ 2⎠ 2⎠ 2 vc 10  1⎞10 10! 1 105 (i) P(Bhd N% fpr) P(X =6) = C == 6 ⎜ 10 ⎝⎠2 6! × 4! 2 512 (ii) P(U;wure N% fpr) = P(X ≥ 6) = P(X = 6) + P(X = 7) + P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10  1 ⎞ 1 ⎞ 1⎞ 1 ⎞ 1 CC +=6 ⎜ + 7 ⎜ C8 ⎜ + C9 ⎜ + C10 ⎜⎟ 2⎠ 2 ⎠ 2⎠ 2⎠ 2  10! ⎞ 10! ⎞ 10! ⎞ 10! ⎞ 10!  1 193 = ++++ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ 10  6! × 4! ⎠ 7! × 3! ⎠ 8! × 2! ⎠ 9! ×1! ⎠ 10!  2 512 (iii) P (vf/dre N% fpr) = P (X ≤ 6) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) + P (X = 5) + P (X = 6) 10 10 10 10 10  1 10  1  10  1 10  1 10  1 = + C + C + C + C⎜ 1 ⎜ 2 ⎜ 3 ⎜ 4 ⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝ ⎝⎠22222 10 10 10  1  10  1  +C + C5 ⎜ 6 ⎜⎟⎝ ⎝⎠22 848 53 = = 1024 64 mnkgj.k 32 10%[kjkc vaMksa okys ,d 0.99 vFkkZr~~ P (x ≥ 1) > 0.99 blfy, 1 – P (x = 0) > 0.99 n 1;k 1− C0 > 0.99 4n 41 1 ;k C0 < 0.01 vFkkZr~ < 0.01 4n 4n 1 ;k 4n > = 100 ... (1)0.01 vlfedk (1) dks larq"V djus okyh n dh U;wure eku 4 gSA vr% fu'kkusckt dks de ls de 4 xksyh pykuh gksxhA mnkgj.k 36 A vkSj B ckjh&ckjh ls ,d ikls dks mNkyrs gSa tc rd fd muesa ls dksbZ ,d ikls ij N% izkIr dj [ksy dks thr ugha ysrkA ;fn A [ksy dks 'kq: djsa rks muosQ thrus dh Øe'k% izkf;drk Kkr dhft,A gy eku yhft, S liQyrk (ikls ij 6 izdV gksuk) dks vkSj F vliQyrk (ikls ij 6 izdV u gksuk) dks O;Dr djrs gSaA 15vr% P(S) = , P(F) = 66 P(A osQ igyh mNky esa thruk) = P(S) = 1 6 A dks rhljh mNky dk volj rc feyrk gS tc A igyh mNky esa vkSj B nwljh mNky esa vliQy gksrs gSaA blfy, 551  5 21 P(A dk rhljh mNky esa thruk ) = P(FFS) = P(F)P(F)P(S) = × × =⎜⎟× ⎝  5 4  1  666 6 6 blh izdkj P(A dk ik¡poha mNky esa thruk) = P (FFFFS) = ⎟ ⎟ ⎠  1  5 2  1⎞ 5  4  1 66 vkSj blh izdkj vU;vr% P(A thruk) = +⎜⎟ ⎟+ ⎟⎜⎟+ ... 6  6⎠ 6⎠ 6 ⎠ 6⎠1 36 65 P(B thruk) = 1 – P(A thruk) = 1−= 11 11 a .fVIi.kh ;fn a + ar + ar2 + ... + arn –1 + ..., tgk¡ r |< 1, rc bl vuar Js.kh dk ;ksx 1− r (nsf[k, d{kk XI dh ikB~;iqLrd dk A.1.3) mnkgj.k 37 ;fn ,d e'khu leqfpr P(A), rc fuEu esa ls dkSu lgh gSA (A) P(B|A) < P(B) (B) P(A ∩ B) < P(A) . P(B) (C) P(B|A) > P(B) (D) P(B|A) = P(B) 19. ;fn A vkSj B ,slh nks ?kVuk,¡ gaS fd P(A) + P(B) – P(A vkSj B) = P(A), rc (A) P(B|A) = 1 (B) P(A|B) = 1 (C) P(B|A) = 0 (D) P(A|B) = 0 lkjka'k bl vè;k; osQ eq[; ¯cnq fuEu izdkj ls gSa • ?kVukE dh lizfrca/ izkf;drk tc fd ?kVuk F nh xbZ gS] fuEu izdkj ls Kkr dh tkrh gS P(E ∩ F) P(E|F) = , P ( F ) ≠ 0P(F) • 0 ≤ P (E|F) ≤ 1, P (E′| F) = 1 – P (E|F) P (E ∪ F|G) = P (E|G) + P (F|G) – P (E ∩ F|G) • P (E ∩ F) = P (E) P (F|E), P (E) ≠ 0 ;k P (E ∩ F) = P (F) (E|F), P (F) ≠ 0 • ;fn E vkSj F Lora=k ?kVuk,¡ gSa rks P (E ∩ F) = P (E) P (F) vkSj P (E|F) = P (E), P ( F ) ≠ 0 P (F|E) = P (F), P(E) ≠ 0 —•—

RELOAD if chapter isn't visible.