1.
4.
7.
10.
12.
14.
16.
18.
20.
22.
iz'ukoyh 7-1
1
1 sin 3 x
− cos 2 x 2. 3.
3
13 14 x
2
(ax + b) 5. − cos 2 x − e 3 6.
3a 23
3 32
x ax bx
− x +C 8. ++ cx +C 9.
3 32
2
x
+log
x
− 2x+ C 11.
2
73
2
x2 + 2 x2 +8
x +C 13. 7
35
22
22
x − x +C 15.
35
x 2 −3sin x +ex + C 17.
tan x + sec x + C 19. 2 tan x – 3 sec x + C 21. A
iz'ukoyh 7-2
12 x
e
2
4 e 3x + x +C
3
23 x
x +e +C
3
x 24
+ 5x++C
2 x
3
x
+ x +C
3
7 53
64
2C
x2 + x2 + 2x +
75
3
2 10
32
x +3cos x+ x +C
33 tan x – x + C C
13
1. log (1 + x 2) + C 2. (log | x|) + C 3. log 1+log x
+ C
3
4. cos (cos x) + C 5. − 1 cos 2( ax + b) + C
4a
3 53
2 24
2 22
6. (ax + b) +C 7. ( x+ 2) − (x +2) +C
3a 53
123 423
x − 1 + C
8. (1 +2x )2 +C 9. ( x + x +1) 2 + C 10. 2log
63
11. 2
x +4( x −8) + C
3
606 xf.kr
12. 7 3 3 1 ( 1) 7 x − 4 3 3 1 ( 1) 4 x+ − C+ 13. 3 2 1 C 18(2 3x ) − + +
14. 1(log ) C 1 m x m − + − 15. 21 log |9 4 | C 8 x− − + 16. 2 31 C 2 x e + +
17. 2 1 2 x e − C+ 18. 1tan Cx e − + 19. log ( ) + C x x e e −+
20. 2 21 log( ) C 2 x x e e −+ + 21. 1 tan (2 3) C 2 x x− − +
22. 1 tan (7 4 ) C 4 x− − + 23. 1 21 (sin ) C 2 x − +
24. 1 log 2 sin 3cos C 2 x x+ + 25. 1 C (1 tan x) + −
26. 2sin Cx + 27. 3 2 1 (sin 2 ) 3 x C+ 28. 2 1+sin Cx +
29. 21 (log sin ) C 2 x + 30. – log 1+cos Cx + 31. 1 C 1+cos x +
32. 1 log cos sin C 2 2 x x x− + + 33. 1 log cos sin C 2 2 x x x− − +
34. 2 tan x C+ 35. 31 (1 log ) C 3 x+ + 36. 31 ( log ) C 3 x x+ +
37. 1 41 cos (tan ) C 4 x −− + 38. D
39. B
iz'ukoyh 7-3
1. 1 sin (4 10) C x x− + + 2. 1− 1 cos 7 cos Cx x+ +
2 8 14 2
3. 1 1 1 1 sin12 sin 8 sin 4 C 4 12 8 4 x x x x ⎡ ⎤+ + + +⎢ ⎥⎣ ⎦
1 13 1614
4. − cos (2 x+1) + cos (2 x+1) + C 5. cos x − cos x + C
26 64 1 ⎡ 111 ⎤
6. cos6 x − cos 4 x− cos 2 x + C
⎥
4 ⎣ 64 2 ⎦
1 ⎡ 11 x
sin 4 x − sin12 x +C 2 tan − x+ C
7. ⎢ 8.
2 ⎣ 4 12 ⎦ 2
x 3x 11
9. x − tan + C 10. − sin 2 x+ sin 4 x+ C
2 84 32
3x 11
11. + sin4 x+ sin8 x +C 12. x – sin x + C
88 64
1
−+C
13. 2 (sinx + x cosα) + C 14.
cos x+sin x
13 3
15. sec 2x− 1 sec2 x+C 16. 1 tan x −tan x + x + C
62 3
17. sec x – cosec x + C 18. tan x + C 12
tan x
+ tan x+ C 20. log
19. log cos x +sin x
+ C
2 cos ( x −a)
π xx 2 1
log
+ C
21. −+C 22.
2 2 sin( a − b) cos ( x −b)
23. A 24. B
iz'ukoyh 7-4
1
−13
2 x+
1 + 4x 2
+ C
1. tan x +C 2. log
2
1
15x
log
+ C –1
4. sin + C
3.
2 − x +
x 2 −4x +5
53
3
1
1+ x 3
−1
2
tan 2 x + C log
+ C
5.
6.
2
2 6
1 − x 3
1
7.
x 2 −1 − log
x+
x 2 −1
+C 8. log
x 3 + x 6
3
9. log tan x+
tan 2 x+4 + C 10. log
x ++ 1 x 2
1 ⎛ 3x+1 ⎛ x +3⎞
−1 –1
tan + C sin +
11. ⎜ 12. ⎜⎟
6 ⎝ 2 ⎠⎝ 4 ⎠ –1 ⎛ 2x −3⎞
3
2log
x – + x − 3x+ 2
+ C sin
13.
14. ⎜
⎟
⎝
41 ⎠
2
a +b
log
x – +
( x − a)( x −b)
+ C
15.
2
16. 2
2x 2+ x −3 + C 17.
x 2 −1 + 2 log 5 11 −1 ⎛ 3x+1⎞
log
3x 2 + 2x+1 −
tan ⎜
+ C
18. ⎟
6
3
2 ⎝
2 ⎠ 9
19. 6
x 2 –9x+ 20 + 34log x −+
x 2 − 9x + 20
+ C
2
2 −1 ⎛ x − 2⎞
20. –4x – x + 4 sin + C
⎜⎟
⎝ 2 ⎠
21.
x 2 + 2x +3 + log x + 1+
x 2 +2x +3
+ C
1
2
x −1 −
6
log
x 2 − 2x−5
+
log
+C
22.
2
6
x −1 +
6
23. 5
x 2 + 4 x+10 − 7log x + 2+
x 2 + 4x +10
+ C
24. B 25. B
iz'ukoyh 7-5
+
a 6
+C
+
2x+ 2
+ C C
+C
x +
x 2 −1
+C
(x + 2) 2 1
x − 3
log
+ C log
+C
1.
2.
x +1
6
x + 3
3. log
x −1 − 5 log
x − 2
+4 log
x − 3
+ C
1 3
log
x −1
− 2 log
x − 2
+ log
x − 3 +C
4.
2 2
x
3
x
− log 1 − 2x
+ C
5. 4log x+2 − 2log
x + 1 + C 6. + log
2
4
1
11
2 −1
7. log
x −1
− log( x +1) + tan x+ C 2
42
2
x −1 x +1
4
log
− 1 + C 1 log
−+C
8.
9
x + 2
3( x −1) 9. 2
x −1
x −1 5
1
x +1
− log x −1 −12 log 2x + 3
+C
10. log
2 10
5
5
5 5 x +1 − log
x + 2
+ log
x − 2
+ C
11. log
3 2
6
x 21
3
12. + log x + 1 + log x − 1 +C
22
2
1
13. – log x − 1 + log (1 + x 2) + tan–1 x + C
2 51
x − 1
1
− tan −1 x +C3log x –2 −+ C log
14.
15.
x + 1
2x − 24
n
1
x
2 – sin xlog
+C
16.
17. log
+C
n xn + 1
1–sin x
⎛ 2
2 −1 x −1 x 1 x +1⎞
x +
tan −3tan +C log + C
18.
19. ⎜ 2 ⎟
3
32 2 ⎝ x +3⎠
x
1
x 4 − 1
⎛ e –1 ⎞
log +C log +C
20.
21. ⎜ x ⎟
4
4
x e
⎝⎠
22. B 23. A
iz'ukoyh 7-6
1. – x cos x + sin x + C 2. 1 cos3 sin 3 C 3 9 x x x− + +
3. e x (x 2 – 2x + 2) + C 4. 2 2 log C 2 4 x x x − +
22 33
xx xx
5. log 2 x −+ C 6. log x−+ C
24 39 1 x
1− x 2 x 2 x 1
2 −1
−1 −1
7. (2 x −1) sin x ++ C 8. tan x −+ tan x + C
4 4 222
–1
cos xx
9. (2 x 2 −1) −
+ C
44
–1
2 −1
10. ( sin x)2 x +21 − x sin x − 2 x +C
⎡ ⎤
–
1– x 2 cos –1 x + x + C 12. x tan x + log
11.
cos x + C
⎢ ⎥⎣ ⎦
2 22
−11 2 x 2 xx
13. x tan x − log (1 + x ) + C 14. (log x) − log x ++ C
2 224
⎛ x 3 ⎞ x 3
+ x log x−− x +C ex
15. ⎜⎟ 16. sin x + C
⎝ 3 ⎠ 9
ex xx
+ C e tan + C
17. 18.
1+ x 2
x
ex e + C
19. +C 20. 2
x (x −1)
2x
e
21. (2sin x −cos x) + C 22. 2x tan–1 x – log (1 + x 2) + C
5
23. A 24. B
iz'ukoyh 7-7
1 x 11
2 −1 −1
2
1. x
4 − x + 2sin +C 2. sin 2x + x 1 − 4x + C
2 242
(x+2)
2
x + 4x +6 +log
x+ 2 +
x 2 + 4x+ 6 +C
3.
(x+2)
2 3
4. x + 4x +1 − log x+ 2+
x 2 +4 x+1
+C
22
5 ⎛ x + 2⎞ x + 2
−1
2
sin
+ 1− 4x − x + C
5. ⎜
⎟
2 ⎝
5 ⎠ 2
(x+2)
2 9
6. x + 4x −5 − log
x + 2 +
x 2 + 4x − 5 +C
22
(2 x− 3)
213 −1 ⎛ 2
x −3
1+3x− x + sin
+C⎜ ⎟
7. 48 ⎝ 13 ⎠ 2x +3
2 9
3
2 x + 3x − log
x+ + x +3x
+ C
8.
48 2
x
23
9. x +9 + log
x+
x 2 +9
+C
6
2
10. A 11. D
iz'ukoyh 7-8
1. 2 21 ( ) 2 b − a 2. 35 2 3. 19 3
4. 27 2 5. 1 e e − 6. 815 2 +e
iz'ukoyh 7-9
1. 2 2. 3 log 2 3. 64 3
4. 1 2 5. 0 6. e 4 (e – 1)
7. 1 2 log 2 8. 2 1 log 2 3 ⎛ ⎞− ⎜ ⎟−⎝ ⎠ 9. π 2
10. π 4 11. 1 3 log 2 2 12. π 4
13. 1 2 log 2 14. 1 log 6 5 + 13 tan 5 − 5
1
5 ⎛ 53⎞
15. (e – 1) 16. 5– 9log −log
⎜⎟
2 ⎝⎠
2 42
612 xf.kr π4 π 3π
17. ++2 18. 0 19. 3log 2 +
1024 2 8
20. 1 + 4 − 2 21. D 22. C
ππ
iz'ukoyh 7-10
1. 1 log 2 2 2. 64 231 3. π 2 – log 2
4. 16 2 ( 15 2 1) + 5. π 4 6. 1 21 5 log 417 + 17
7. π 8 8. 2 2( 2) 4 e e − 9. D
10. B
iz'ukoyh 7-11
πππ π
1.2.3. 4.
444 4 1
5. 29 6. 9 7.
(n +1)( n + 2)
π 16
2 π1 π
8. log 2 9. 10. log 11.
8 15 222
12. π 13. 0 14. 0 15. 0
a
16. – π log 2 17. 18. 5 20. C
2
21. C
vè;k; 7 ij fofo/ iz'ukoyh
2 ⎡ 33 ⎤
2
1
x
22
log
+C ⎢(x +a) − (x+ b) ⎥+C
1.
2 1 − x 2 2. 3( a − b) ⎢⎥
⎣⎦
1
2(a
− x)4
⎛ 1 ⎞
+ C 4. – 1+ + C
⎜ 4 ⎟
3. – ax ⎝ x ⎠
5.
6.
7.
9.
11.
13.
15.
17.
19.
20.
21.
23.
25.
27.
29.
31.
11 1
36 6
2
x −3x +6x − 6log (1 + x ) + C
13 x
2 −1
− 1 log
x+1
+ log ( x + 9) + tan + C
2 4 23
3
x
sin a log sin ( x− a) + xcos a +C 8. + C
3
–1 ⎛ sin x⎞ 1
sin ⎜ ⎟+ C 10. − sin 2 x +C
⎝⎠
22
1
1 cos ( x + b)
−14
+ C 12. sin (x ) +C
log
4
sin ( a – b) cos( x + a)
⎛⎞
11 x
1 −1
log ⎜ 1+ exx ⎟+ C 14. tan − x− tan + C
⎝ 2+ e ⎠
3 62
14 1
− cos x +C 16. log( x 4 +1) + C
44 [( ax +b)] n+1 –2
sin( x +α
f )
+ C
+ C
( +1) 18. sin α sin x
an
2(2 x −1) −1
2
x − x 2
sin x +− x+ C
ππ
2
–2
1– x + cos −1
x +
x − x + C x+1 − 1 + 3log
x + 2
+C
e x tan x + C 22. − 2log
x + 1
3 ⎡−1
2 ⎤ 1 ⎛ 1 ⎞ 2 ⎡⎛ 1 ⎞ 2 ⎤
1 xcos x− 1− x + C 24. –1+ log 1+ −+ C
⎢ ⎥⎜ 2 ⎟⎢ ⎜ 2 ⎟⎥
2 ⎣⎦ 3 ⎝ x ⎠ ⎝⎠ 3
⎣ x
ππ
2 26.
e
8 π 1( 3 −1)
−
28. 2sin
62
4
2 1
30. log9
3 40
ππ
−1 32. (π −2)
22
614 xf.kr 19 1 ⎛ 21 ⎞
e −
33. 40. ⎜⎟
⎝⎠
3 e
41. A 42. B
43. D 44. B
iz'ukoyh 8-1
14 32 −8
2
1. 2. 16 − 4
2 3.
33
π
4. 12π 5. 6π 6.
3
a 2 ⎛ π ⎞ 21
−1
7. ⎜⎟ 8. 9.
(4) 3
2 ⎝ 2 ⎠ 3
9
10. 11. 8
3 12. A 13. B
8
iz'ukoyh 8-2
1. 2 6 9 4 + 1 2 2 sin 3 − 2. 2π 3 ⎛ −⎜⎜⎝ 3 2 ⎞ ⎟⎟⎠
3. 21 2 4. 4 5. 8
6. B 7. B
vè;k; 8 ij fofo/ iz'ukoyh
1. (i) 7 3 (ii) 624.8
2. 1 6 3. 7 3 4. 9 5. 4
8 a 23
6. 7. 27 8. (π − 2)
3 m 32
1
9. ab (π − 2) 10. 9 11. 2 12.
42 3 7 9π9 −1 ⎛ 1 ⎞ 1
13. 7 14. 15. − sin ⎜ ⎟+
2 84 ⎝ 3 ⎠ 3
2
16. D 17. C 18. C 19. B
iz'ukoyh 9-1
1. dksfV 4; ?kkr ifjHkkf"kr ugha 2. dksfV 1; ?kkr 1
3. dksfV 2; ?kkr 1 4. dksfV 2; ?kkr ifjHkkf"kr ugha
5. dksfV 2; ?kkr 1 6. dksfV 3; ?kkr 2
7. dksfV 3; ?kkr 1 8. dksfV 1; ?kkr 1
9. dksfV 2; ?kkr 1 10. dksfV 2; ?kkr 1
11. D 12. A
iz'ukoyh 9-2
11. D 12. D
iz'ukoyh 9-3
1. y″ = 0 2. xy y″ + x (y′)² – y y′ = 0
3. y″ – y′– 6y = 0 4. y″ – 4y′ + 4y = 0
5. y″ – 2y′ + 2y = 0 6. 2xyy′ + x2 = y2
7. xy′ – 2y = 0 8. xyy″ + x(y′)² – yy′ = 0
9. xyy″ + x(y′)² – yy′ = 0 10. (x² – 9) (y′)² + x² = 0
11. B 12. C
iz'ukoyh 9-4
x
1. y = 2 tan − x + C 2. y = 2 sin (x + C)
2
3. y = 1 + Ae –x 4. tan x tan y = C
3
x
5. y = log (ex + e –x) + C 6. tan –1 y = x + + C
3
7.
9.
11.
12.
14.
16.
18.
20.
22.
iz'ukoyh 9-5
1.
3.
5.
7.
9.
11.
12.
14.
16.
cx
y = e y = x sin–1 x +
2+ C
1– x
1 223
y= log ⎡(x+1) ( x +1) ⎤−
⎣⎦
4
1 ⎛ x 2 −1 ⎞ 13
y= log ⎜ 2 ⎟ – log
2 x 24
⎝⎠ y = sec x y – x + 2 = log (x2 (y + 2)2)
(x + 4)2 = y + 3 6.93% 2log 2 ⎛ 11 ⎞
log
⎜⎟
⎝10 ⎠
8.
10.
1 –1
tan x
2
13.
15.
17.
19.
21.
23.
–4 –4
x + y = C
x)
tan y = C ( 1 – e
+1 ⎛ y −2 ⎞
cos = a
⎜⎟
⎝⎠
x
2y – 1 = ex ( sin x – cos x) y2 – x2 = 4
1
(63 t + 27) 3
Rs 1648
A
− y x
(x − y )2 = Cxe ⎛ y ⎞ 1
–1 22
tan = log( x + y )+ C
⎜⎟
⎝ x ⎠ 2
1
x+
2 y
log
= log
x
+ C
2
2
x−
2 y
y
xy cos
= C
x
cy = log 1y x − log ( x2 + y2) + 2 tan–1 y x = π 2 +
y + 2x = 3x 2 y
cos log y ex x ⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠ C
2.
4.
6.
8.
10.
log 2
13.
15.
17.
y = x log
x
+Cx x2 + y2 = Cx
22 2
y+
x + y =Cx ⎡⎛ y ⎞⎤ ⎛ y ⎞
x 1 −cos =C sin
⎢ ⎜⎟⎥ ⎜⎟
⎣⎝ x ⎠⎦ ⎝ x ⎠
x
ye y + x = C
⎛ y ⎞
cot =log
ex
⎜⎟
⎝ x ⎠
y= 2x (x ≠0, x ≠ e)
1 −log
x
D
iz'ukoyh 9-6
1
–2 x –2x–3x
1. y = (2sin x – cos x)+ C e 2. y = e + Ce
5
4
x
3. xy =+ C 4. y (sec x + tan x) = sec x + tan x – x + C
4
2
x x
− 1) + Cx −25. y = (tan x – 1) + C e–tanx 6. y = (4 log
16
−2
2 −1 2 −1
7. ylog x = (1 + log
x
)+ C 8. y= (1+ x ) log sin x + C(1 + x )
x
y= 1 −cot x+ C
9. 10. (x + y +1) = C ey
xxsin x
y 2C
11. x =+ 12. x = 3y2 + Cy
3y
π
13. y = cos x – 2 cos2 x 14. y (1 + x 2) = tan–1 x – 4
x
15. y = 4 sin3 x – 2 sin2 x 16. x + y + 1 = e
17. y = 4 – x – 2 ex 18. C 19. D
vè;k; 9 ij fofo/ iz'ukoyh
1. (i) dksfV 2; ?kkr 1 (ii) dksfV 1; ?kkr 3
(iii) dksfV 4; ?kkr ifjHkkf"kr ugha
2 y 2 −x 2
y′=
3. 5. (x + yy′)² = (x – y)2 (1 + ( y′)2)
4xy
sec x
6. sin–1 y + sin–1 x = C 8. cos y =
2 π x
–1 –1(e
9. tany + tanx)= 10. ey = y +C
2
11. log
x – y
= x+ y+1 12. ye 2 x
= (2
x +C) π2
2x +1
2 y = log , x ≠− 113. ysin x =2x − (sin x ≠ 0) 14.
x +1
2
15. 31250 16. C
17. C 18. C
iz'ukoyh 10-1
uuur
1. layXu vko`Qfr esa] lfn'k OP okafNr foLFkkiu dks fu:fir djrk gSA
2. (i) vfn'k (ii) lfn'k (iii) vfn'k (iv) vfn'k (v) vfn'k
(vi) lfn'k
3. (i) vfn'k (ii) vfn'k (iii) lfn'k (iv) lfn'k (v) vfn'k
4. (i) lfn'k a r vkSj b r lg&vfne gSaA
r ur
(ii) lfn'k b vkSj d leku gSA
(iii) lfn'ka r vkSj c r lajs[k gS ijarq leku ugha gSaA
5. (i) lR; (ii) vlR; (iii) vlR; (iv) vlR;
iz'ukoyh 10-2
r
r
r
a
=
3,
b
=
62,
c
=1
1.
2.
laHkkfor mÙkjksa dh la[;k vuar gSA
3.
laHkkfor mÙkjksa dh la[;k vuar gSA
4. x = 2, y = 3 5. –7 vkSj 6; −7ˆi vkSj 6 j
11 2
ˆˆˆ
i + j + k
6. −4ˆj −kˆ 7.
6
6
6 111 11
ˆˆˆ ˆˆ
i + j + k i + k
8.
9.
3
3
3
2
2
mÙkjekyk 619
40 8 16 123
ˆˆˆ
i − j + k
, ,
10.
12.
30
30
30
14
14
14
122 14
1ˆ
13. − ,− , 15. (i) − iˆ + jˆ + k (ii) −3iˆ +3kˆ
333 333
16. 3iˆ + 2ˆj +kˆ 18. (C) 19. (C)
iz'ukoyh 10-3
π –1 ⎛ 5⎞
1. 2. cos ⎜⎟ 3. 0
4 ⎝ 7⎠ 60 16
2 2
2 rr
r
22 r
,
4.
6.
7. 6
a
+11 ab . –35
b
114
37 3
7
rr
a
=1,
b
=1 9.
8.
10. 8
13
r −3
12. lfn'k b dksbZ Hkh lfn'k gks ldrk gSA 13.
2
r
r
14. dksbZ Hkh nks ½.ksrj vkSj ijLij yacor~ lfn'kksa a vkSj b dks yhft,
–1 ⎛ 10 ⎞
cos
15. ⎜
⎟ 18. (D)
⎝
102 ⎠
iz'ukoyh 10-4
1. 19 2 2. 2 ˆ 3 i± m 2 1 ˆˆ 3 3 j km 3. π ; 3 1 , 2 1 1 , 22
5. 8. 27 3, 2 6. ;k 0 0a b= = rr ;k ugha; dksbZ Hkh 'kwU;srj lajs[k lfn'kksa dks yhft,A
9. 61 2 10. 15 2 11. (B) 12. (C)
vè;k; 10 ij fofo/ iz'ukoyh
1. 3 1ˆ ˆ 2 2 i j+
2. 2 1 2 1 2 1 – , – , ;x x y y z z− 2 2 2 2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( )x x y y z z− + − + −
−5 3
3
3. iˆ + jˆ
22
rr r
4. ugha; a , b vkSj c dks f=kHkqt dh rhuksa Hkqtkvksa dks fu:fir djrs gq, yhft,A
1 33 2
10 ˆˆ ˆ
±
i − j+ k
5.
6. 3
10 iˆ + jˆ 7.
3
22
22
22 rr 1
22 ˆ
ik
8. 2 : 3 9. 3 a + 5 b 10. (3 ˆ– 6 ˆj + 2 ); 11
7
1
12. (160 ˆi –5ˆj – 70 kˆ) 13. λ = 1 16. (B)
3
17. (D) 18. (C) 19. (B)
iz'ukoyh 11-1
−11 111 − 96 − 2
,
, ±
, ±
3. ,, 2
2
3
3
3 111111
1. 0, 2. ±
−2 −23 −2 −3 −245 −1
, ,; ,
,
; ,
,
17
17 17
17
17
17
42
42
42
5.
iz'ukoyh 11-2
4. ˆ 2r i= + r ˆ ˆˆ ˆ ˆ3 (3 2 2 )j k i j k+ + λ + − tgk¡ λ ,d okLrfod la[;k gSA
5. ˆ2r i= −r ˆˆ 4j k+ + λ ˆ( 2i + ˆˆ )j k− vkSj dkrhZ; :i 1 2−x = 2 1 = +y 1 4 − −z gSA
6. x 3 2+ = 5 4−y = 6 5+z
7. ˆ(5 4r i= −r ˆ ˆˆ ˆ ˆ6 ) (3 7 2 )j k i j k+ + λ + +
8. js[kk dk lfn'k lehdj.k % r = r ˆ(5 2iλ − ˆˆ 3 )j k+ ;
js[kk dk dkrhZ; lehdj.k % 5 x = 2 y = − 3 z
9. js[kk dk lfn'k lehdj.k % ˆ ˆˆ ˆ3 2 5 (11 ) r i j k k= − − + λ
js[kk dk dkrhZ; lehdj.k % 3 0 x − = 2 0 y + = 5 11 z +
⎛19 ⎞⎛ 8 ⎞
−1 −1
10. (i) θ = cos ⎜⎟ , (ii) θ = cos
⎝ 21⎠⎝ 5
3 ⎠ −1 ⎛ 26 ⎞−1 ⎛ 2 ⎞
11. (i) θ = cos (ii) θ = cos
⎜⎟
9
38 ⎝ 3 ⎠
⎝ ⎠
70 3
2
12. p = 14. 15. 2
29
11 2
38
16.
17.
19
29
iz'ukoyh 11-3
111 1
, ,
; 3
3
3
3
23 −15 8 1. (a) 0, 0, 1; 2 (b)
, , ;(c) (d) 0, 1, 0;
14
14
14
14 5
r ⎛ 3 iˆ +5ˆj − 6 kˆ
2. r ⋅⎜
⎟= 7
⎜ ⎟
70
⎝ ⎠
3. (a) x + y – z = 2 (b)2x + 3y – 4 z = 1
(c) (s – 2t) x + (3 – t) y + (2s + t) z = 15
⎛ 24 36 48 ⎞⎛ 18 24⎞
, , 0, ,
4. (a) ⎜⎟ (b) ⎜⎟
⎝ 29 29 29 ⎠⎝ 25 25⎠ ⎛ 1 11 ⎞ ⎛− 8 ⎞
⎜ ,, ⎟⎜0, ,0⎟
(c) (d)
⎝ 3 33 ⎠⎝ 5 ⎠
5. (a) [ r − (ˆi − 2 kˆ)] (⋅ iˆ + ˆj − kˆ) =0; x + y – z = 3
(b) [ r − ( iˆ + 4ˆj + 6 kˆ)] (⋅ iˆ − 2ˆj + kˆ) = 0; x – 2y + z + 1 = 0
6. (a) fcanq lajs[k gSaA fn, x, fcanqvksa ls tkus okys ryksa dh la[;k vuar gksxhA
(b) 2x + 3y – 3z = 5
5
7. , 5, –5 8. y = 3 9. 7x – 5y + 4z – 8 = 0
2
10. r ⋅(38iˆ + 68 jˆ + 3kˆ )= 153 11. x – z + 2 = 0
−1 ⎛ 15 ⎞
12. cos ⎜
⎝
−1 ⎛ 2 ⎞
13. (a) cos (b) ry vkil esa yacor~ gSaA
⎜⎟
⎝ 5 ⎠
(c) ry vkil esa lekarj gSaA (d) ry vkil esa lekarj gSaA
(e) 45o
3 13
14. (a) (b)
13 3
(c)3 (d)2
vè;k; 11 ij fofo/ iz'ukoyh
xyz
3. 90° 4. == 5. 0o
100
−10
6. k = 7. r = iˆ +2ˆj + 3 kˆ +λ ( iˆ + 2 jˆ − 5 kˆ)
7
8. x + y + z = a + b + c 9. 9
⎛ 17 −13 ⎞⎛17 23 ⎞
10. ⎜0, , ⎟ 11. ⎜ , 0, ⎟ 12. (1, – 2, 7)
⎝ 22 ⎠⎝ 33 ⎠
3 11
13. 7x – 8y + 3z + 25 = 0 14. p = vFkok
26
15. y – 3z + 6 = 0 16. x + 2y – 3z – 14 = 0
17. 33 x + 45y + 50 z – 41 = 0 18. 13
19.
r = iˆ + 2 jˆ + 3kˆ +λ (− 3iˆ + 5ˆj + 4kˆ)
20.
r = ˆi + 2ˆj − 4 kˆ +λ (2 iˆ + 3ˆj + 6 kˆ) 22. D
23. B
iz'ukoyh 12-1
1.
(0, 4) ij vf/dre Z = 16
2.
(4, 0) ij U;wure Z = – 12
⎛ 20 45 ⎞ 235
3. ⎜ , ⎠⎟ ij vf/dre Z =
⎝ 19 19 19 ⎛ 31⎞
4. ⎜ , ⎟⎠ ij U;wure Z = 7
⎝ 22
5. (4, 3) ij vf/dre Z = 18
6. (6, 0) vkSj (0, 3) dks feykus okyh js[kk [kaM ij fLFkr lHkh fcanqvksa ij U;wure Z = 6.
7. (60, 0) ij U;wure Z = 300;
(120, 0) vkSj (60, 30) dks feykus okyh js[kk [kaM ij fLFkr lHkh fcanqvksa ij vf/dre Z = 600;
8.
(0, 50) vkSj(20, 40) dks feykus okyh js[kk[kaM ij fLFkr lHkh fcanqvksa ij U;wure Z = 100. (0, 200) ij vf/dre Z = 400
9.
Z dk dksbZ vf/dre eku ugha gSA
10.
pw¡fd dksbZ lqlaxr {ks=k ugha gS vr% Z dk vf/dre eku ugha gSA
iz'ukoyh 12-2
8 ⎛ 1 ⎞
1. ⎛⎜ ,0 ⎞⎟ vkSj ⎜2, ⎟⎠ dks feykus okyh js[kk [kaM osQ lHkh fcanqvksa ij U;wure ewY;
⎝ 3 ⎠⎝ 2
= Rs 160 .
2.
osQdksa dh vf/dre la[;k = 30 ,d izdkj dh rFkk 10 vU; izdkj dh gSaA
3.
(i) 4 Vsful jSdV rFkk 12 fØosQV cYys
(ii) vf/dre ykHk = Rs 200
4.
uV osQ rhu iSfdV rFkk oksYV osQ rhu iSfdV_ vf/dre ykHk = Rs 73.50.
5.
30 iSfdV A izdkj osQ isap rFkk 20 iSfdV B izdkj dh isapks osQ rFkk vf/dre ykHk = Rs 410
6.
4 vk/kj ySai vkSj 4 dkB dk