निम्नलिख्िात सारणी का अध्ययन कीजिए: ध्यान दीजिए कि जैसे - जैसे चीनी के भार में वृ�ि� होती है, वैसे - वैसे उसके मूल्य में भी इस प्रकार से वृ�ि� होती है कि इनका अनुपात ;तंजपवद्ध अचर रहता है। एक और उदाहरण लीजिए। मान लीजिए एक कार 60 ाउ की दूरी तय करने में 4 लीटर पेट्रोल का उपयोग करती है तो वह 12 लीटर पेट्रोल में कितनी दूरी तय करेगी? इसका उत्तर 180 ाउ है। हमने इसे वैफसे परिकलित किया? क्योंकि दूसरी स्िथति में 12 लीटर, अथार्त् 4 लीटर का तीन गुना पेट्रोल प्रयोग होता है, इसलिए तय की गइर् दूरी भी 60 ाउ की तीन गुना होगी। दूसरे शब्दों में, जब पेट्रोल की खपत तीन गुना होगी, तो तय की गइर् दूरी भी पहली दूरी की तीन गुना होगी। मान लीजिए कि पेट्रोल की खपत ग लीटर है तथा तय की गइर् संगत दूरी ल ाउ है। अब निम्नलिख्िात सारणी को पूरा कीजिएः पेट्रोल ;गद्ध लीटर में 4 8 12 15 20 25 दूरी ;लद्ध ाउ में 60 ण्ण्ण् 180 ण्ण्ण् ण्ण्ण् ण्ण्ण् हम पाते हैं कि जब ग के मान में वृ�ि� होती है, तब ल के मान में भी इस प्रकार वृ�ि� होती ग है कि अनुपात में कोइर् बदलाव नहीं आता है। यह अचर ;मान लीजिए ाद्ध रहता है। इस स्िथति ल 1 में, यह है, ;इसकी जाँच कीजिएद्ध। 15 ग यदि त्रा या ग त्र ाल हो, तो हम कहते हैं कि ग और ल में सीध या प्रत्यक्ष ल समानुपात ;कपतमबज चतवचवतजपवदद्ध है ख्अथवा वे अनुक्रमानुपाती ;कपतमबजसल चतवचवतजपवदंसद्ध हैं,। 4 12 इस उदाहरण में, त्र है, जहाँ 4 और 12 पेट्रोल की खपत की लीटर में मात्राएँ ; गद्ध हैं 60 180 तथा 60 और 180 ाउ में दूरियाँ ; लद्ध हैं। अतः, जब ग और ल में प्रत्यक्ष या सीध अनुपात गग त्र होता है, तो हम 12 लिख सकते हैं। ख्ग के मानों ग ए ग के लिए ल के संगत मान क्रमशः ल1 ल2 12ल1ए ल2 हैं।द्ध पेट्रोल की खपत और एक कार द्वारा तय की गइर् दूरी एक प्रत्यक्ष अनुपात की स्िथति है। इसी प्रकार, व्यय की गइर् वुफल ध्नराश्िा और खरीदी गइर् वस्तुओं की संख्या भी प्रत्यक्ष अनुपात का एक उदाहरण है। प्रत्यक्ष अनुपात के वुफछ और उदाहरणों के बारे में सोचिए। जाँच कीजिए कि क्या मोहन ;प्रारंभ्िाक उदाहरण मेंद्ध पाँच व्यक्ितयों के लिए चाय बनाने के लिए 750 उस् पानी, 5 चम्मच चीनी, इस प्रकार, यह आवश्यक नहीं है कि साथ - साथ बढ़ने ;या घटनेद्ध वाले चर सदैव अनुक्रमानुपाती हों। उदाहरणाथर्: ;पद्ध मानवों में भौतिक परिवतर्न समय के साथ होते रहते हैं, परंतु आवश्यक नहीं है कि ये एक पूवर् निधर्रित अनुपात में हों। ;पपद्ध व्यक्ितयों के भार और लंबाइर् में परिवतर्न किसी ज्ञात अनुपात में नहीं होते हैं। ;पपपद्ध किसी पेड़ की ऊँचाइर् और उसकी शाखाओं पर उगने वाली प�ि�ायों की संख्या में सीधा संबंध् या अनुपात नहीं होता है। 1ण् निम्नलिख्िात सारण्िायों को देख्िाए तथा ज्ञात कीजिए कि क्या ग और ल अनुक्रमानुपाती हैं। ;पद्ध ;पपद्ध ग 20 17 14 11 8 5 2 ल 40 34 28 22 16 10 4 ग 6 10 14 18 22 26 30 ल 4 8 12 16 20 24 28 ;पपपद्ध ग 5 8 12 15 18 20 ल 15 24 36 60 72 100 2ण् मूलध्न त्र 1000 रुपये, ब्याज दर त्र 8ः वा£षक। निम्नलिख्िात सारणी को भरिए तथा ज्ञात सोचिए, चचार् कीजिए और लिख्िाए यदि हम समय अवध्ि और ब्याज की दर स्िथर रखें, तो साधरण ब्याज मूलध्न के साथ प्रत्यक्ष अनुपात में परिवतिर्त होता है। क्या ऐसा ही संबंध् चक्रवृ�ि� ब्याज के लिए भी होगा? क्यों? आइए, अब वुफछ उदाहरण हल करें, जहाँ हम प्रत्यक्ष अनुपात की अवधरणा का प्रयोग करेंगे। उदाहरण 1 रू एक विशेष प्रकार के 5 मीटर कपड़े का मूल्य 210 रुपये है। इसी प्रकार के 2, 4, 10 और 13 मीटर कपड़े के मूल्यों के लिए एक सारणी बनाइए। हल रू मान लीजिए कि कपड़े की लंबाइर् ग मीटर है तथा उसका मूल्य ;रुपयों मेंद्ध ल है। ग 2 4 5 10 13 ल ल2 ल3 210 ल4 ल5 उदाहरण 3 रू यदि मोटे कागश की 12 शीटों ;ेीममजेद्ध का भार 40 ग्राम है, तो ऐसे ही कागश 1 की कितनी शीटों का भार 2 किलोग्राम होगा? 21 हल रू मान लीजिए कि उन शीटों की संख्या ग है जिनका भार 2 किलोग्राम है। हम उपरोक्त 2 सूचना को नीचे दशार्ए अनुसार एक सारणी के रूप में लिखते हैं: शीटों की संख्या अध्िक होगी, तो उनका भार भी उतना ही अध्िक होगा। अतः शीटों की संख्या और उनके भार परस्पर अनुक्रमानुपाती हैं। 12 ग अतः त्र 40 2500 12 × 2500 त्र ग या या 750 त्र ग 40 अतः कागश की शीटों की वांछित संख्या 750 है। वैकल्िपक विध्ि: दो राश्िायाँ ग और ल जो प्रत्यक्ष अनुपात में विचरण ;अंतलद्ध करती हैं में ग ग त्राल या त्रा का संबंध् होता है। ल शीटों की सख्ं या 12 3 यहाँ ा त्र त्र त्र । अब ग उन कागश की शीटों की संख्या है गा्रमांेमंे शीटांेका भार40 10 1 3 जिनका भार 2 ाह ;2500 हउद्ध है। संबंध् ग त्राल का उपयोग करने पर, ग त्र× 2500 त्र 750 2 10 1 इस प्रकार, कागश की 750 शीटों का भार 2 किलोग्राम होगा। 2उदाहरण 4 रू एक रेलगाड़ी 75 ाउध्ी की एकसमान ;नदपवितउद्ध चाल से चल रही है। ;पद्ध वह 20 मिनट में कितनी दूरी तय करेगी? ;पपद्ध 250 ाउ की दूरी तय करने में लगने वाला समय ज्ञात कीजिए। हल रू मान लीजिए कि 20 मिनट में तय की गइर् दूरी ;ाउ मेंद्ध ग है तथा 250 ाउ की दूरी तय करने में लगने वाला समय ;मिनटों मेंद्ध ल है। तय की गइर् दूरी ;ाउ मेंद्ध 75 ग 250 लिया गया समय ;मिनटों मेंद्ध 60 20 ल क्योंकि चाल एकसमान है, इसलिए तय की गइर् दूरी लिए गए समय के अनुक्रमानुपाती होगी। सीध और प्रतिलोम समानुपात 75 ग 75 × 20 ;पद्ध हमें प्राप्त है: त्र या त्र ग 60 20 60 या ग त्र 25 । अतः रेलगाड़ी 20 मिनट में 25 ाउ की दूरी तय करेगी। 75 250 त्र ;पपद्ध साथ ही, 60 ल 250 × 60 या ल त्रत्र200 मिनट, अथार्त् 3 घंटे 20 मिनट 75 अतः 250 ाउ की दूरी तय करने के लिए 3 घंटे 20 मिनट का समय लगेगा। ग 250 त्र वैकल्िपक रूप से, जब ग ज्ञात है, तो संबंध् से ल को ज्ञात किया जा सकता है। 20 ल आप जानते हैं कि एक मानचित्रा ;उंचद्ध एक बहुत बड़े क्षेत्रा का लघु निरूपण होता है। प्रायः मानचित्रा के सबसे नीचे वाले भाग में एक पैमाना ;ेबंसमद्ध दिया रहता है। यह पैमाना वास्तविक लंबाइर् और मानचित्रा पर निरूपित लंबाइर् में संबंध् दशार्ता है। इस प्रकार, मानचित्रा का पैमाना मानचित्रा पर दो बिंदुओं की दूरी और बड़े क्षेत्रा पर दोनों बिंदुओं की वास्तविक दूरी का अनुपात होता है। उदाहरणाथर्, यदि मानचित्रा पर 1 बउ वास्तविक दूरी 8 ाउ निरूपित करता है ;अथार्त् पैमाना 1 बउ रू 8 ाउ या 1 रू 800000 हैद्ध, तो उसी मानचित्रा पर 2 बउ वास्तविक दूरी 16 ाउ निरूपित करता है। अतः, हम कह सकते हैं कि मानचित्रा का पैमाना प्रत्यक्ष अनुपात की अवधारणा पर आधरित है। उदाहरण 5 रू एक मानचित्रा का पैमाना 1 रू 30000000 दिया है। दो नगर मानचित्रा में 4 बउ की दूरी पर हैं। उनके बीच की वास्तविक दूरी ज्ञात कीजिए। हल रू मान लीजिए कि मानचित्रा दूरी ग बउ है तथा वास्तविक दूरी ल बउ है। 1 ग त्र तब, 1 रू 30000000 त्र ग रू ल या 7 3×10 ल 14 त्र क्योंकि ग त्र 4 है, इसलिए 3×10 7 ल अथवा ल त्र 4 × 3 × 107 त्र 12 × 107 बउ त्र 120 ाउ इस प्रकार, मानचित्रा पर 4 बउ की दूरी वाले नगरों की वास्तविक दूरी 1200 ाउ है। प्रश्नावली 13ण्1 1ण् एक रेलवे स्टेशन के निकट कार पा²कग शुल्क इस प्रकार हैं - 4 घंटों तक ृ 60 8 घंटों तक ृ 100 12 घंटों तक ृ 140 24 घंटों तक ृ 180 जाँच कीजिए कि क्या कार पा²कग शुल्क पा²कग समय के प्रत्यक्ष अनुपात में है। 2ण् एक पेंट के मूल मिश्रण ;इंेमद्ध के 8 भागों में लाल रंग के पदाथर् का 1 भाग मिलाकर मिश्रण तैयार किया जाता है। निम्नलिख्िात सारणी में, मूल मिश्रण के वे भाग ज्ञात कीजिए जिन्हें मिलाए जाने की आवश्यकता है: 3ण् प्रश्न 2 में यदि लाल रंग के पदाथर् के 1 भाग के लिए 75 उस् मूल मिश्रण की आवश्यकता है, तो मूल मिश्रण के 1800 उस् में हमें कितना लाल रंग का पदाथर् मिलाना चाहिए? 4ण् किसी साॅफ्रट डिªंक पैफक्ट्री में एक मशीन 840 बोतलें 6 घंटे में भरती है। वह मशीन पाँच घंटे में कितनी बोतलें भरेगी? 5ण् एक बैक्टीरिया ;इंबजमतपंद्ध या जीवाणु के पफोटोग्रापफ ;चित्राद्ध को 50ए000 गुना आव£ध्त करने पर उसकी लंबाइर् 5 बउ हो जाती है, जैसा कि संलग्न चित्रा में दिखाया गया है। इस बैक्टीरिया की वास्तविक लंबाइर् क्या है? यदि पफोटोग्रापफ को केवल 20ए000 गुना आव£धत किया जाए, तो उसकी आव£ध्त लंबाइर् क्या होगी? 6ण् एक जहाज के माॅडल में, उसका मस्तूल ;उंेजद्ध 9 बउ ऊँचा है, जबकि वास्तविक जहाज का मस्तूल 12 उ ऊँचा है। यदि जहाज की लंबाइर् 28 उ है, तो उसके माॅडल की लंबाइर् कितनी है? 7ण् मान लीजिए 2 ाह चीनी में 9×10 �ि�स्टल हैं। निम्नलिख्िात चीनी में कितने चीनी के �ि�स्टल होंगे? ;पद्ध 5 ाह ;पपद्ध 1.2 ाह 8ण् रश्िम के पास एक सड़क का मानचित्रा है, जिसके पैमाने में 1 बउ की दूरी 18 ाउ निरूपित करती है। वह उस सड़क पर अपनी गाड़ी से 72 ाउ की दूरी तय करती है। उसके द्वारा तय की गइर् दूरी मानचित्रा में क्या होगी? 9ण् एक 5 उ 60 बउ ऊँचे ऊध्वार्ध्र खंभे की छाया की लंबाइर् 3 उ 20 बउ है। उसी समय पर ज्ञात कीजिए - ;पद्ध 10 उ 50 बउ ऊँचे एक अन्य खंभे की छाया की लंबाइर् ;पपद्ध उस खंभे की ऊँचाइर् जिसके छाया की लंबाइर् 5उ है। 10ण् माल से लदा हुआ एक ट्रक 25 मिनट में 14 ाउ चलता है। यदि चाल वही रहे, तो वह 5 घंटे में कितनी दूरी तय कर पाएगा? लाल रंग के पदाथर् के भाग 1 4 7 12 20 मूल मिश्रण के भाग 8 ण्ण्ण् ण्ण्ण् ण्ण्ण् ण्ण्ण् 6 1ण् एक वगा±कित कागश पर भ्िान्न - भ्िान्न भुजाओं के पाँच वगर् खींचिए। निम्नलिख्िात सूचना को एक सारणी के रूप में लिख्िाए: वगर् - 1 वगर् - 2 वगर् - 3 वगर् - 4 वगर् - 5 एक भुजा की लंबाइर् ;स्द्ध परिमाप ;च्द्ध स् च् सीध और प्रतिलोम समानुपात दो राश्िायाँ इस प्रकार भी परिवतिर्त ;बदलद्ध हो सकती हैं कि यदि एक राश्िा में वृ�ि� होती है, तो दूसरी राश्िा में कमी होती है तथा एक में कमी होने पर दूसरी में वृ�ि� होती है। उदाहरणाथर्, जब किसी काम पर अध्िक व्यक्ित लगाए जाते हैं, तो वह काम कम समय में पूरा हो जाता है। इसी प्रकार, यदि चाल बढ़ा दी जाए, तो एक निश्िचत दूरी तय करने में कम समय लगता है। इसको समझने के लिए, आइए निम्नलिख्िात स्िथति को देखें: शाहिदा अपने स्कूल चार विभ्िान्न प्रकारों से जा सकती है। वह पैदल जा सकती है, दौड़ कर जा सकती है, साइकिल पर जा सकती है और कार में जा सकती है। संलग्न सारणी का अध्ययन कीजिए: ध्यान दीजिए कि जब चाल में वृ�ि� होती है, तो समान दूरी को तय करने में लगने वाले समय में कमी होती है। जब शाहिदा दौड़कर अपनी चाल दुगुनी करती है, तो उसके द्वारा 1 लिया गया समय हो जाता है। 2 सीध और प्रतिलोम समानुपात हैं, जो हमने इस अध्याय की भूमिका में व£णत की थी। प्रतिलोम समानुपात को और अच्छी प्रकार से समझने के लिए एक �ि�याकलाप यहाँ दिया जा रहा है। निम्नलिख्िात सारण्िायों को देख्िाए तथा ज्ञात कीजिए कि कौन - से चरों ;यहाँ ग और लद्ध के युग्म परस्पर प्रतिलोम समानुपात में हैं: ;पद्ध ग 50 40 30 20 ल 5 6 7 8 ;पपद्ध ग 100 200 300 400 ल 60 30 20 15 ;पपपद्ध ग 90 60 45 30 20 5 ल 10 15 20 25 30 35 आइए, वुफछ ऐसे उदाहरणों पर विचार करें, जहाँ हम प्रतिलोम समानुपात की अवधरणा का प्रयोग करते हैं। निम्नलिख्िात सारणी को पूरा करके, उसकी सहायता कीजिए: तीलियों की संख्या 4 6 8 10 12 क्रमागत तीलियों के एक युग्म के बीच का कोण 90° 60° ण्ण्ण् ण्ण्ण् ण्ण्ण् ;पद्ध क्या तीलियों की संख्या और क्रमागत तीलियों के किसी युग्म के बीच का कोण प्रतिलोम समानुपात में है? ;पपद्ध 15 तीलियों वाले एक पहिए के क्रमागत तीलियों के किसी युग्म का कोण परिकलित कीजिए। ;पपपद्ध यदि क्रमागत तीलियों के प्रत्येक युग्म के बीच का कोण 40° है, तो आवश्यक तीलियों की संख्या कितनी होगी? 4ण् यदि किसी डिब्बे की मिठाइर् को 24 बच्चों में बाँटा जाए, तो प्रत्येक बच्चे को 5 मिठाइयाँ मिलती हैं। यदि बच्चों की संख्या में 4 की कमी हो जाए, तो प्रत्येक बच्चे को कितनी मिठाइयाँ मिलेंगी? 5ण् एक किसान की पशुशाला में 20 पशुओं के लिए 6 दिन का पयार्प्त भोजन है। यदि इस पशुशाला में 10 पशु और आ जाएँ, तो यह भोजन कितने दिन तक पयार्प्त रहेगा? 6ण् एक ठेकेदार यह आकलन करता है कि जसमिंदर के घर में पुनः तार लगाने का कायर् 3 व्यक्ित 4 दिन में कर सकते हैं। यदि वह तीन के स्थान पर चार व्यक्ितयों को इस काम पर लगाता है, तो यह कायर् कितने दिन में पूरा हो जाएगा? 7ण् बोतलों के एक बैच ;इंजबीद्ध को 25 बक्सों में रखा जाता है, जबकि प्रत्येक बक्स में 12 बोतलें हैं। यदि इसी बैच की बोतलों को इस प्रकार रखा जाए कि प्रत्येक बक्स में 20 बोतलें 8ण् एक पैफक्ट्री को वुफछ वस्तुएँ 63 दिन में बनाने के लिए 42 मशीनों की आवश्यकता होती है। उतनी ही वस्तुएँ 54 दिन में बनाने के लिए, कितनी मशीनों की आवश्यकता होगी? 9ण् एक कार एक स्थान तक पहुँचने में 60 ाउध्ी की चाल से चलकर 2 घंटे का समय लेती है। 80 ाउध्ी की चाल से उस कार को कितना समय लगेगा? सीध और प्रतिलोम समानुपात 10ण् दो व्यक्ित एक घर में नइर् ख्िाड़कियाँ 3 दिन में लगा सकते हैं। ;पद्ध कायर् प्रारंभ होने से पहले, एक व्यक्ित बीमार पड़ जाता है। अब यह कायर् कितने दिन में पूरा हो पाएगा? ;पपद्ध एक ही दिन में ख्िाड़कियाँ लगवाने के लिए, कितने व्यक्ितयों की आवश्यकता होगी? 11ण् किसी स्कूल में, 45 मिनट अवध्ि के 8 कालांश होते हैं। यह कल्पना करते हुए कि स्कूल का कायर् समय उतना ही रहता है, यदि स्कूल में बराबर अवध्ि के 9 कालांश हों, तो प्रत्येक कालांश कितने समय का होगा? 1ण् एक कागश की शीट लीजिए। इसे आकृति में दशार्ए अनुसार मोडि़ए। प्रत्येक स्िथति में, भागों की संख्या तथा एक भाग का क्षेत्रापफल लिख्िाए। अपने प्रेक्षणों की सारणी बनाइए और उसकी अपने मित्रों से चचार् कीजिए। क्या यह एक प्रतिलोम समानुपात की स्िथति है? क्यों? भागों की संख्या 1 2 4 8 16 प्रत्येक भाग का क्षेत्रापफल कागश का क्षेत्रापफल कागश के क्षेत्रापफल का 1 2 ण्ण्ण् ण्ण्ण् ण्ण्ण् 2ण् वृत्तीय आधर वाले विभ्िान्न मापों के वुफछ बतर्न लीजिए। प्रत्येक बतर्न में पानी की समान मात्रा भरिए। प्रत्येक बतर्न का व्यास और उस बतर्न में पानी किस ऊँचाइर् तक है उसे माप कर लिख्िाए। अपने प्रेक्षणों की एक सारणी बनाइए। क्या यह एक प्रतिलोम समानुपात की स्िथति है? बरतन का व्यास ;बउ में द्ध पानी के स्तर की ऊँचाइर् ;बउ में द्ध हमने क्या चचार् की?