अध्याय 5

बाँटना और मापना

इकरा और उसकी छोटी बहन समीना एक चित्र बनाने का निर्णय करती हैं किंतु उनके पास केवल एक ही आरेखण पत्रक (ड्राइंग शीट) है। इकरा इस कागज को आधे-आधे भागों में बाँटकर साझा करना चाहती है किंतु समीना कागज का बड़ा भाग लेने का हठ करती है। इकरा ने एक क्षण के लिए सोचा और एक उपाय सुझाया।

आइए चर्चा करें

1. आप कागज का कौन-सा भाग चुनते - आधा भाग या दो-चौथाई भाग? क्यों?
2. क्या आपको लगता है कि इकरा ने कागज को बराबर भागों में बाँटा, क्यों? एक कागज लेकर स्वयं कीजिए।
3. आपको कैसे पता चला कि कागज बराबर भागों में विभाजित किया गया है?
4. आपके अनुसार समीना ने कागज का दो-चौथाई भाग क्यों चुना?

आइए करते हैं

1. समीना ने कुछ आकृतियों को दो भागों में विभाजित किया है। उन आकृतियों में रंग भरिए जिन्हें सही प्रकार से आधे भागों में विभाजित किया गया है। आपको उत्तर कैसे प्राप्त हुआ?

2. एक रेखा खींचकर आकृतियों को आधे भागों में विभाजित कीजिए।

3. इन आकृतियों को चार बराबर भागों / एक-चौथाई भागों में विभाजित कीजिए।

विचार कीजिए - यदि हमने किसी वस्तु को पाँच बराबर भागों में विभाजित किया है तो हम प्रत्येक भाग को भिन्न में कैसे लिखेंगे?

आइए प्रयत्न करें

1. आप एक आयताकार कागज को दो बराबर भागों में बाँटने के लिए उसे कितने विभिन्न तरीकों से मोड़ सकते हैं या काट सकते हैं? एक आयताकार कागज लेकर प्रयत्न कीजिए।
   शिक्षण संकेत – भिन्नों को संकेतों का उपयोग करके लिखने के लिए शिक्षक विद्यार्थियों का मार्गदर्शन करें। 1/2 एवं 1/4 जैसे उदाहरणों से प्रारंभ करें। अन्य भिन्नों के साथ अभ्यास करने के लिए कागज मोड़ने एवं आकृतियाँ बनाने के विभिन्न अवसर प्रदान करें।
2. अब उन पाँच विभिन्न तरीकों को बनाने एवं दिखाने का प्रयास कीजिए जिनमें हम एक आयत को चार बराबर भागों एक-चौथाई) में मोड़ / काट सकते हैं।

3. नीचे दिए गए भागों का उनकी पूर्ण आकृति से मिलान कीजिए।
   

सुमेधा की माँ ने स्वादिष्ट ढोकला बनाया है।।

ये तुम्हारा ढोकला है। इसे आपस में बराबर-बराबर बाँट लो।

ढोकला दो बराबर भागों में बाँटा गया है। आधा मेरे लिए और आधा विनायक के लिए-बिल्कुल सही! इसका अर्थ है कि ढोकले के दो आधे भाग मिलकर एक पूरा ढोकला बनाते हैं।

डिंग-डाँग ! दरवाजे की घंटी बजी।

नमस्ते कुमार !

बच्चो ! ढोकले को कुमार के साथ भी बाँटो।

मेरा भाग, विनायक का भाग और कुमार का भाग मिलकर पूरा ढोकला बनता है।

डिंग-डाँग! सुमेधा की चचेरी बहन परिधि आती है।

आओ परिधि, मैंने ढोकला बनाया है। खा कर देखो।

ढोकले को चार बराबर भागों में विभाजित किया गया है। इसमें से प्रत्येक को ढोकले का एक-चौथाई भाग मिलेगा।

रिक्त स्थान भरें।

डिंग-डाँग! उनकी पड़ोसी इडा आती है और सभी से प्रसन्नता से मिलती है।

स्वागत है, इडा! सब लोग ढोकला खा रहे हैं। थोड़ा-सा चखकर देखो।

अब और अधिक बाँटना होगा!!! अब तो मुझे और भी छोटा टुकड़ा मिलेगा। मुझे मेरे पसंदीदा ढोकले का केवल भाग ही मिलेगा। 1/5

रिक्त स्थान भरें।

आइए चर्चा करते हैं

1. प्रत्येक अतिथि के आने के साथ सुमेधा अपने भाग के विषय में क्या सोच रही है?
2. किस स्थिति में सुमेधा को अधिक ढोकला खाने को मिलेगा - जब उसे 9 व्यक्तियों में वितरित किया गया हो या 11 व्यक्तियों में?
3. कितने 1/6 भाग मिलकर एक पूरा ढोकला बनाते हैं?
4. यदि इडा व विनायक दोनों अपने ढोकले का भाग सुमेधा को दे दें तो सुमेधा का भाग कितना होगा?

आइए करते हैं

1. यदि ढोकले को 6 व्यक्तियों में समान रूप से वितरित किया गया हो तो प्रत्येक को कितना ढोकला मिलेगा? इसे 8 व्यक्तियों के बीच भी वितरित करने का प्रयास कीजिए। कौन ढोकले का बड़ा भाग प्राप्त करेगा। चित्र बनाकर समझाइए।

2. नीचे दिए गए व्यक्तियों की संख्या के अनुसार ढोकले के उस भाग में रंग भरिए जो सुमेधा को मिलेगा। साथ ही चर्चा कीजिए कि जब व्यक्तियों की संख्या बढ़ती है तो सुमेधा का भाग छोटा क्यों हो जाता है।

आइए चर्चा करते हैं

पाठ्यपुस्तक के अंत में दी गई भिन्न किट का उपयोग करके निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए।

1. - विभिन्न भागों और पूर्ण भाग के विषय में अपने अवलोकन के बिंदु साझा कीजिए।
2. भिन्न किट से कोई दो टुकड़े लीजिए और उनकी तुलना कीजिए। चर्चा कीजिए कि कौन-सा टुकड़ा छोटा है और क्यों?
3. सुमेधा ने ध्यान दिया कि जब एक पूर्ण भाग को अधिक संख्या में बराबर भागों में विभाजित किया जाता है तो प्रत्येक भाग छोटा होता जाता है। क्या आप सुमेधा से सहमत हैं?
4. सुमेधा कहती है, "जब मैं 1/5 के 5 टुकड़ों को मिलाती हूँ तो एक पूरा ढोकला बन जाता है।" इसे अपनी भिन्न किट के साथ स्वयं करने का प्रयास कीजिए।
5. सुमेधा कहती है कि यह भाग पूर्ण भाग का एक-तिहाई है। वह ऐसा क्यों कह रही है?

आइए, रिक्त स्थानों की पूर्ति करने का प्रयास करें। दोनों भिन्न एक ही पूर्ण भाग के लघु भाग हैं। यदि आवश्यक हो तो अपनी भिन्न किट का उपयोग कीजिए। अपने विचार साझा कीजिए।

1. ....... से ........... बड़ा है। (1/5, 1/4)
2. .........>......... (1/9, 1/6)
3. 1/6 ,..............., 1/8 (<,>)
4. ...........से.............. छोटा है। (.......,........)

इडा के पास 5 प्रकार के फूलों के पौधों के बीज हैं -गुलाब, मोगरा, चमेली, गेंदा और कुमुदिनी। वह उन्हें अपने बगीचे में समान रूप से बोना चाहती है, जैसा कि चित्र में दर्शाया गया है।

मेरे पास कुमुदिनी के बहुत कम बीज हैं अतः मैं दो भागों में गुलाब लगाऊँगी।

उसकी परिवर्तित योजना यहाँ दर्शाई गई है।

वाटिका को देखिए और प्रश्नों के उत्तर दीजिए।

वाटिका को देखिए और प्रश्नों के उत्तर दीजिए।

वाटिका को देखिए और प्रश्नों के उत्तर दीजिए।

आइए करते हैं

सात फूलों के बीजों - मोगरा, गेंदा, चमेली, गुलाब, कुमुदिनी, गुड़हल और सदाबहार से एक पुष्प वाटिका बनाइए।

(क) गेंदा सातवें भाग (1/7) में और गुलाब व गुड़हल प्रत्येक तीन-सातवें (3/7) भाग में है।

(ख) कुमुदिनी तीन-सातवें (3/7) भाग में, गेंदा दो-सातवें (2/7) भाग में और सदाबहार (2/7) दो-सातवें भाग में है।

(ग) मोगरा (5/7) पाँच-सातवें भाग में और गुड़हल (2/7) दो-सातवें भाग में है।

करण विभिन्न तरीकों से दोसा बनाता है। वह ग्राहक की पसंद के अनुसार दोसा बनाता है तथा एक ही दोसे पर विभिन्न प्रकार के खाद्य पदार्थ ऊपर से व्यवस्थित कर उसे अधिक आकर्षक व स्वादिष्ट बनाता है।

ग्राहक निम्नलिखित खाद्य पदार्थों में से चुन सकते हैं -

1. सदाबहार आलू
2. मसालेदार प्याज
3. शिमला मिर्च-पनीर
4. चटपटा टमाटर

इन विशेष दोसों को बनाने में करण

स्वयं कीजिए

नीचे दिए गए दोसों में प्रत्येक पर ऊपर से डाली गई भिन्न-भिन्न सामग्रियों (टॉपिंग्स) के अनुसार भिन्नों को लिखिए।

1. शिमला मिर्च पनीर =
2. सदाबहार आलू =

1. चटपटा टमाटर =
2. सदाबहार आलू =
3. मसालेदार प्याज =

1. मसालेदार प्याज =
2. चटपटा टमाटर =

1. चटपटा टमाटर =
2. सदाबहार आलू =
3. मसालेदार प्याज =

अब आप आवश्यकता के अनुसार विभिन्न दोसे बना सकते हैं।

आइए खोजते हैं

मीना के पास 8 दीपक हैं। उसके दीपकों को लाल रंग से रंगिए। 1/4 जानने के लिए आइए दीपकों की संख्या को 4 बराबर भागों में विभाजित कर 1/4 लेते हैं। क्या आप देख सकते हैं कि कैसे दीपकों को 4 बराबर भागों में विभाजित किया जाता है? अब 2 दीपकों को लाल रंग से रंगिए।

आइए करते हैं

आइए, अब नीचे दी गई स्थितियों के लिए भिन्नों को खोजने का प्रयत्न करते हैं। चित्रों में उपयुक्त भागों पर गोला लगाइए।

1. यहाँ 12 नान-खटाइयाँ (कुकीज) हैं। नान-खटाइयों का कौन-सा भाग प्रत्येक बच्चे को मिलेगा, यदि बच्चों की संख्या इस प्रकार है -

   (क) 3 बच्चे

   (ख) 6 बच्चे

   (ग) 2 बच्चे

   (घ) 4 बच्चे

2. सिमरन अपने जन्मदिन के उत्सव के लिए अपने विद्यालय के मित्रों को बुलाती है। उसके मित्रों में से 1/3 मित्रों को प्रत्युपहार (उपहार के बदले उपहार) के रूप में हेयरबैंड मिलता है। उसके 1/3 मित्रों को हेयरबैंड लगाइए।

3. दिए गए गमलों में से 1/5 में पुष्प बनाइए।

कदंबा यह जानने के लिए उत्साहित है कि हम दैनिक जीवन में भिन्नों का उपयोग कहाँ-कहाँ करते हैं। उसे नीचे दिए गए कुछ उदाहरण मिलते हैं। कुछ और अधिक उदाहरण खोजने में उसकी सहायता कीजिए। अपनी अभ्यास पुस्तिका में उनके चित्र बनाने का भी प्रयत्न कीजिए।

1. कल माँ ने बर्फी के एक डिब्बे को 4 समान भागों में विभाजित करने को कहा। डिब्बे में 16 बर्फियाँ हैं। 16 बर्फियों का चित्र बनाइए और संपूर्ण का 1/4 ज्ञात कीजिए। प्रत्येक भाग में कितनी बर्फियाँ हैं?
2. रोहन के पास उसकी अभ्यास पुस्तिका सजाने के लिए फीते (रिबन) का एक टुकड़ा है। मोहन का फीता रोहन के फीते से एक-चौथाई लंबा है। रोहन का फीता कितना लंबा होगा? इसका चित्र बनाइए।

मोहन का फीता _____

अपने आस-पास के परिवेश का अवलोकन कीजिए एवं उन स्थितियों के विषय में सोचिए जहाँ हम भिन्नों का उपयोग करते हैं। उनमें से किन्हीं दो को नीचे दिए गए स्थान पर लिखिए।

1. ................................
   ................................
   ................................
   ................................
2. ................................
   ................................
   ................................
   ................................

आइए करते हैं

1. कागज का एक आयताकार टुकड़ा लीजिए। इसे 3 बराबर भागों में मोड़िए और फिर खोल दीजिए।

2. चित्र में दर्शाए अनुसार 3 में से 1 भाग में रंग भरिए।

3. अब कागज को पहले की तरह तीन बराबर भागों में मोड़िए और फिर इसे आधा मोड़ दीजिए।

4. रंगीन भाग को ध्यान से देखिए। अब छायांकित भाग की भिन्न क्या है? इसका क्या अर्थ है?

5. कागज को फिर से मोड़िए और जाँच कीजिए कि इसका रंगीन भाग कैसे परिवर्तित होता है।

6. प्रत्येक बार मोड़ने के बाद आपने कौन-सी भिन्न देखी, उसे लिखिए।

   1/3 = 2/6 = .....=.....=..... .

   

आइए प्रयास करते हैं

कागज का एक अन्य टुकड़ा लीजिए और पहले की तरह ही इसके साथ वही प्रयोग कीजिए परंतु इस बार दो बराबर भागों से आरंभ करते हुए हर बार उसे आधा करते जाइए। अपने निष्कर्ष को अपने मित्रों के साथ साझा कीजिए।

आइए चर्चा करते हैं

भिन्न सारणी का अवलोकन कीजिए एवं नीचे दिए गए प्रश्नों पर चर्चा कीजिए। उत्तरों को खोजने के लिए आप अपनी भिन्न किट का उपयोग भी कर सकते हैं।

1. कितने 1/4 भाग 1/2 के बराबर हैं?
2. 2/3, 1/2 से कम है या अधिक ?
3. 1/10 भाग वाले 10 टुकड़े एक पूर्ण भाग बनाते हैं। क्या यह कथन सत्य है?

4. 1/6 भाग वाले तीन टुकड़े 1/8 भाग वाले दो टुकड़ों के बराबर हैं। क्या यह सत्य है
5. 1/8 भाग वाले कितने टुकड़े 1/4 बनाते हैं?
6. उन टुकड़ों को खोजिए जिन्हें आप एक साथ जोड़कर दूसरा बड़ा टुकड़ा बना सकते हैं।

आइए करते हैं

1. बबलू वर्गाकार आकृतियों के साथ खेल रहा है। वह उन्हें इस तरह से काटना चाहता है कि प्रत्येक टुकड़ा आकार में समान हो। उन वर्गों पर घेरा लगाइए जिन्हें समान भागों में काटा गया है। जहाँ भी संभव हो, छायांकित भाग के लिए भिन्न लिखिए।

2. जाँच कीजिए कि क्या विद्यार्थियों द्वारा प्रत्येक चित्र के छायांकित भागों के विषय में नीचे दिए गए कथन सही हैं। उन चित्रों पर घेरा लगाइए जो आपको सही लगते हों। जो सही न हों उन पर गलत का चिह्न लगाइए। आप भागों को बराबर बनाने के लिए अतिरिक्त रेखाएँ खींच सकते हैं। आपको जो लगता है, उस पर चर्चा कीजिए।



अमीना कहती है: 1/3
किशोर कहता है: 1/4

पैरी कहती है: 1/6
कुंज कहता है: 1/3

बालू कहता है: 1/6
गीता कहती है: 1/3



3. - नीचे दिए गए चित्रों में रंगीन भागों द्वारा प्रदर्शित भिन्नों की पहचान कीजिए।




4. पहचान कीजिए कि नीचे दिए गए प्रत्येक चित्र में नीले रंग वाले भाग संपूर्ण चित्र के किस भिन्न को दर्शाते हैं।




5. नीचे दिए गए चित्रों को बराबर भागों में बाँटिए तथा प्रत्येक में उचित भाग छायांकित कीजिए।