नीचे दिए गए नारियल के आव्यूह को ध्यान से देखिए। दिए गए गुणन तथ्यों का उपयोग करते हुए दो विभाजन तथ्यों को लिखिए।

35 नारियलों को 5 समूहों में विभाजित किया गया है अतः प्रत्येक समूह में 7 नारियल हैं।

नीचे दिखाए गए आव्यूह के लिए उपयुक्त गुणन तथ्य लिखिए। दो विभाजन तथ्यों को भी लिखिए जो गुणन तथ्यों का अनुसरण करते हैं।

आइए खेलें

उन संख्याओं को पहचानिए जो वृत्तों को इस प्रकार पूर्ण कर सके कि वर्गों में लिखित संख्याएँ, वृत्तों में लिखित संख्याओं का गुणनफल अथवा भागफल हो।

आइए करके देखें

1. निम्नलिखित गुणन समस्याओं को हल कीजिए। प्रत्येक समस्या में दो विभाजन कथनों को भी लिखिए।

भाज्य, भाजक और भागफल के बीच के संबंध को ध्यान से देखिए।

2. निम्नलिखित विभाजन समस्याओं को हल कीजिए। इन प्रतिरूपों पर ध्यान दीजिए और कक्षा में चर्चा कीजिए।

विभाजन में प्रतिरूप और स्थानीय मान

अब स्थानीय मान तालिका को पूर्ण कीजिए।

आइए करके देखें

1. सबीना 20 दिनों में 160 किलोमीटर साइकिल चलाती है और वह प्रत्येक दिन समान दूरी तय करती है। वह प्रत्येक दिन कितने किलोमीटर साइकिल चलाती है?
2. यदि सीमा ₹ 4200 मूल्य के नारियल क्रय करना चाहती है तो उसे अपने साथ ₹ 100 के कितने नोटों को ले जाने की आवश्यकता होगी?
3. एक बिजली सामग्री के दुकान के स्वामी ने दिवाली के उपहार के रूप में अपने 5 कर्मचारियों के मध्य ₹ 5500 को समान रूप से वितरित करने का निश्चय किया। बताइए, प्रत्येक कर्मचारी को कितनी राशि प्राप्त होगी? क्या होगा यदि वह इतनी ही धनराशि को 10 कर्मचारियों के मध्य बाँटता है? क्या प्रत्येक कर्मचारी को कम अथवा अधिक राशि प्राप्त होगी? उसे वितरित करने के लिए कितनी धन राशि की आवश्यकता होगी, यदि प्रत्येक कर्मचारी को उतनी ही राशि प्राप्त हो जितनी पूर्व में प्राप्त हुई थी?
4. नीचे दिए गए बक्सों में 1 से 8 तक की संख्याओं को इस प्रकार रखिए कि सभी चारों संक्रियाएँ विभाजन, गुणन, योग और व्यवकलन सही हो। कोई भी संख्या पुनः नहीं लिखी जाएगी।


आपने इसको हल करने के विषय में कैसे सोचा?

क्या इसके एक से अधिक उत्तर हो सकते हैं?

5. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए।

(क) _______ / 18 = 100
(ख) _______ / 10 = 610

(ग) _______ / 100 = 72
(घ) _______ / 100 = 10

(ङ) 870 / ______ =87
(च) _______ / 100 = 70

(छ) 200 / _______ =2

(ज) 130 / _______ =13

विभाजन के लिए बौद्धिक विधियाँ

विभाजन का ध्यानपूर्वक अवलोकन कीजिए।

क्या आप ऐसे 5 उदाहरण दे सकते हैं जहाँ आप संख्या को सविधाजनक बाँट सकते हैं?

किन अन्य भाज्यों और भाजकों के लिए बारंबार आधा करने की यह विधि कार्य कर सकती है?

प्रयास करें

आइए हल करें

सूसी और सुनिथा के पास एक बड़ा नारियल का खेत है और उन्होंने अप्रैल में 1,117 नारियल तोड़े।

उन्होंने 582 नारियलों को 6 नियमित ग्राहकों के मध्य समान रूप से विक्रय किया। प्रत्येक ग्राहक को कितने नारियल प्राप्त हुए?

उन्होंने प्रत्येक ग्राहक को 582/6 नारियल विक्रय किए।

पहले अपने उत्तर का आकलन कीजिए। क्या आप समझे कि प्रत्येक ग्राहक को संभवतः 100 से कम नारियल मिलेंगे?

प्रत्येक ग्राहक को 97 नारियल प्राप्त होते हैं।

क्या आप के विचार में सुनिथा की विधि श्रेष्ठ है? चर्चा कीजिए आप दोनों में से कौन-सी विधि को प्राथमिकता देंगे और क्यों?

प्रत्येक थैले में 25 नारियल आ सकते हैं। 97 नारियल को रखने के लिए कितने थैलों की आवश्यकता होगी?

3 थैलों में 75 नारियल आएँगे। शेष बचे नारियल को रखने के लिए उन्हें एक और थैले की आवश्यकता होगी। अतः प्रत्येक व्यक्ति को 4 थैले मिलेंगे।

वे शेष नारियलों को सूखने और तेल निकालने के लिए रख देती हैं। वे एक थैले में 25 नारियल रख सकती हैं। शेष बचे नारियलों को रखने के लिए उन्हें कितने थैलों की आवश्यकता होगी?

582 नारियलों को विक्रय करने के पश्चात शेष बचे नारियलों की संख्या है। 1, 117 - 582 = 535 अतः 535 + 25 थैलों की आवश्यकता होगी।

आवश्यक थैलों की संख्या का अनुमान लगाइए। सीखी गई विधि का उपयोग कीजिए।

उन्हें 21 पूरे थैलों की और शेष 10 नारियल के लिए 1 अतिरिक्त थैले की आवश्यकता है, अतः कुल 22 थैले हैं।

आइए विभाजन सीखें

कभी-कभी भाजक (D), भाज्य (N) को पूर्ण रूप से विभाजित नहीं कर पाता और शेषफल (R) बच जाता है। भाज्य (N), भागफल (Q) और शेषफल के बीच क्या संबंध है? पता लगाने का प्रयास कीजिए। (R)

क्या 726 = 4 * 181 है? हाँ/नहीं। अतः 726= 4 * 181 +_____

भाज्य = भाजक × भागफल शेषफल

क्या 902 = 16 * 56 है? हाँ/नहीं। अतः 902= 16 * 56 + _____

आइए हल करे

निम्नलिखित शाब्दिक समस्याओं को हल कीजिए।

1. रानी एक समारोह आयोजित करने की योजना बना रही है। वह आकलन करती है कि 250 अतिथि आएँगे। वह प्रत्येक अतिथि को एक समोसा परोसने की योजना बनाती है। समोसे 6 अथवा 8 के समूह/पैक में उपलब्ध हैं। रानी को कौन-सा पैकट क्रय करना चाहिए? अपने उत्तर को स्पष्ट कीजिए।
2. एक विद्यालय के 342 विद्यार्थी विज्ञान उद्यान (साइंस पार्क) की यात्रा पर जा रहे हैं। प्रत्येक बस अधिकतम 41 विद्यार्थियों को ही ले जा सकती है। विद्यालय को कितनी बसों की आवश्यकता होगी?
3. सोफिया के पास मात्र ₹ 50 और ₹20 के नोट हैं। उसे इन नोटों का उपयोग करके ₹520 का भुगतान करना है। ₹ 520 के लिए उसे ₹ 50 और ₹ 20 के कितने नोटों की आवश्यकता होगी? विभिन्न संभावित संयोजनों को ज्ञात कीजिए।
4. तीन मित्र भ्रमण पर खर्च की गई राशि को आपस में समान रूप से विभाजित करना चाहते हैं। वे ₹ 157 में अल्पाहार और मिठाइयाँ, ₹124 में जूस और फल तथा ₹ 136 में पुलाव और पराठा क्रय करते हैं। प्रत्येक व्यक्ति को खर्च को समान रूप में वितरित करने के लिए कितनी धनराशि देनी होगी?
5. यदि शेषफल है तो उसे पहचानिए। भाज्य = भाजक भागफल + शेषफल की जाँच कीजिए।

(क) 887/3
(ख) 283/8

(ग) 745/5
(घ) 767/26

(ङ) 530/41
(च) 888/67

कल्पवृक्ष नारियल तेल

एक विशेष वर्ष में, सूसी और सुनिथा ने नारियल का तेल निकालने के लिए 4,376 नारियलों का उपयोग किया। वे 8 नारियल से 1 लीटर तेल निकाल सकती हैं। वे कितनी मात्रा में तेल निकालने में सक्षम होंगी?

उन्हें 4376/8 लीटर तेल प्राप्त होगा।

उन्होनें पूरे वर्ष में 547 लीटर तेल निकाला।

यदि वे 1 लीटर तेल को ₹ 175 में बेचती हैं तो उन्हें कुल कितनी राशि प्राप्त होगी? उन्हें ₹ 547 * 175 प्राप्त होंगे। पता लगाइए।

नारियल के रेशों का उपयोग नारियल की रस्सी बनाने में किया जाता है। नारियल की रस्सी एक प्राकृतिक रेशा है जिसका उपयोग बागवानी, खेती, नाव बनाने और सजावटी सामान बनाने में किया जाता है।

सूसा आर सुनिथा के खत म नारियल क रशा का ₹23 प्रति किलाग्राम का दर पर विक्रय किया जाता है। मई माह में उन्होंने रेशों का विक्रय कर ₹9,913 प्राप्त किए। मई माह में उन्होंने रेशों की कितनी मात्रा विक्रय की?

मई माह में रेशों की विक्रय की गई मात्रा 9,913 + 23 किलोग्राम है।

पहले अनुमान लगाइए
यदि 23 को 300 अथवा 500 से गुणा किया जाए तो क्या प्राप्त होगा?

सूसी और सुनिथा के खेत में मई माह में 431 किलोग्राम नारियल के रेशों को विक्रय किया गया।

तपती गर्मी के महीनों में कच्चे नारियल को ₹35 में विक्रय किया जाता है। इब्राहिम एक सप्ताह में ₹8,890 की आय अर्जित करता है तो उसने कितने कच्चे नारियलों का विक्रय किया?

इब्राहिम ने कच्चे नारियल का विक्रय किया।

इब्राहिम ने ₹ 20 प्रति दर से कच्चे नारियल क्रय किए। उसने ₹ 35 प्रति दर से नारियल विक्रय करने पर कितनी अतिरिक्त राशि अर्जित की?

₹20 प्रति दर से नारियल की कुल कीमत = × ₹20 उसने बिक्री से ₹8,890 प्राप्त किए। उसके द्वारा अतिरिक्त अर्जित राशि ₹8,890-₹ ___ =₹ ____ है।

स्थानीय मान का उपयोग करके विभाजन

सुनिथा की माँ 62 लड्डूओं को 5 विद्यार्थियों के मध्य समान रूप से वितरित करना चाहती है। प्रत्येक विद्यार्थी को कितने लड्डू मिलेंगे? उन्होंने स्थानीय मान का उपयोग करके नीचे दी गई विधि से विभाजन किया।

1. 62 को 5 समान भागों → 62 + 5 में विभाजित कीजिए।

2. 75 को 8 समान भागों में विभाजित कीजिए। 75/8

3. 324 को 3 समान भागोों मेें विभाजित कीजिए। → 324 ÷ 3

324 = 3 सैकड़ा + 2 दहाई + 4 इकाई
3 सैकड़ा = 3 = 1 सैकड़ा

2 दहाई ÷ 3 → पनः समहित किए बिना यह संभव नहीं समूहित किए बिना यह संभव नहीं है अतः प्रत्येक को 0 दहाई प्राप्त होंगे।

2 दहाई को पुनः समूहित करके इकाई बनाइए।

20 इकाई + 4 इकाई = 24 इकाई

24 इकाई / 3 = 8 इकाई

4. 136 को 6 समान भागों में विभाजित कीजिए। 136/6

136 = 1 सैकड़ा + 3 दहाई + 6 इकाई

1 सैकड़ा ÷ 6 → दहाई में पुनः समूहित किए बिना ऐसा संभव नहीं है।

1 सैकड़ा को 10 दहाई में पुनः समूहित किया।

कुल 13 दहाई। सतत विभाजन कीजिए।

आइए विभाजन करें

(क) 7032/6

(ख) 3005/5

(ग) 2, 874/14

(घ) 9, 805/32

दोनों हल में तुलना कीजिए और 0 को सही स्थान पर रखना भी याद रखें।

आइए करके देखें

1. ऐसी लुप्त संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनमें कोई शेषफल प्राप्त न हो। याद रखिए, यहाँ एक से अधिक हल भी हो सकते हैं।

आइए हल करें

1. एक थिएटर कंपनी एक प्रदर्शन के समय 45 व्यक्तियों को बैठने की व्यवस्था कर सकती है।

(क) एक कठपुतली के खेल की प्रस्तुति के लिए कुल 475 व्यक्तियों ने टिकट क्रय किए। टिकट क्रय करने वाले सभी व्यक्तियों को प्रस्तुति दिखाने के लिए कितनी बार खेल की प्रस्तुति करने की आवश्यकता होगी?
(ख) एक दिन में दो बार प्रस्तुतियाँ होती हैं। सभी व्यक्तियों को प्रस्तुति दिखाने के लिए कितने दिनों की आवश्यकता होगी?

2. नैना ने अपने जन्मदिन पर 23 मित्रों के लिए 5 किलोग्राम आइसक्रीम क्रय की। सभी को समान मात्रा में आइसक्रीम देने के पश्चात 400 ग्राम आइसक्रीम शेष रह जाती है। उसके प्रत्येक मित्र ने कितनी आइसक्रीम खाई?
3. मेघा ने 4 दिवसीय सामूहिक यात्रा के लिए रागी-जई बिस्कुट के 15 पैकेट बाँधे। प्रत्येक पैकेट में 8 बिस्कुट हैं। समूह में कुल 6 व्यक्ति हैं। यदि बिस्कुट को सभी के बीच समान रूप से वितरित किया जाए तो प्रत्येक व्यक्ति को प्रतिदिन कितने बिस्कुट मिलेंगे।
4. निम्नलिखित प्रश्नों को हल कीजिए तथा यदि कोई शेषफल है तो उसकी पहचान कीजिए। प्रत्येक स्थिति में भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल की जाँच कीजिए।

(क) 9045/5
(ख) 1034/4

(ग) 2, 504/7
(घ) 8, 900/15

(ङ) 9, 876/32
(च) 7, 506/24

5. भाग 'क' के लिए हल ज्ञात कीजिए। भाज्य, भाजक और भागफल के बीच संबंधों की जाँच कीजिए तथा भाग 'ख' और 'ग' के उत्तर के लिए इसका उपयोग कीजिए।

6. मुबंई में एक कंपनी प्रत्येक वर्ष मुंबई से गोवा के पंजिम तक साइकिल रैली आयोजित करती है। उनका लक्ष्य 12 दिनों में 576 किलोमीटर दूरी तय करना है।

(क) प्रत्येक दिन समान दूरी तय करने के लिए उन्हें प्रतिदिन कितने किलोमीटर साइकिल चलानी चाहिए ?

(ख) रत्नागिरी पहुँचने के पश्चात वे 1 दिन विश्राम करते हैं। 4 दिनों में गोवा पहुँचने के लिए उन्हें प्रतिदिन साइकिल से कितनी दूरी तय करनी चाहिए? मान लीजिए कि वे प्रतिदिन समान दूरी तय करते हैं।

7. नीचे कुछ प्रश्न दिए गए हैं जिनमें दी गई जानकारी अधूरी है अतः इनको हल करने के लिए आपको कुछ अतिरिक्त जानकारी की आवश्यकता हो सकती है। इस अधूरी जानकारी का पता लगाइए व इसे लिखकर उत्तर ज्ञात कीजिए।

(क) एक फल विक्रेता आमों की 6 टोकरियाँ बेचता है। प्रत्येक टोकरी में 12 आम हैं। फल विक्रेता ने कुल कितने रुपए अर्जित किए?
(ख) एक विद्यालय में 8 कक्षा-कक्ष हैं तथा प्रत्येक कक्षा-कक्ष में समान संख्या में मेज हैं। प्रत्येक कक्षा-कक्ष में कितनी मेज हैं?

(ग) राहुल ने अपने दल (टीम) के लिए 5 क्रिकेट बल्ले (बैट) क्रय किए एवं कुल बिल राशि ₹ 3,500 है। एक बल्ले का मूल्य कितना है?

(घ) एक जलपान गृह एक दिन में 125 थाली इडली परोसता है। सभी इडली की थालियों को विक्रय करने से उसे ₹ 6,025 की राशि प्राप्त होती है। प्रत्येक प्लेट में इडली की संख्या कितनी है?

8. एक पुस्तकों की अलमारी बनाने के लिए एक बढ़ई को निम्नलिखित वस्तुओं की आवश्यकता होती है-

4 लंबे लकड़ी के तख्ते 8 छोटे लकड़ी के तख्ते 16 छोटी क्लिप 4 बड़ी क्लिप 32 पेंच

बढ़ई के पास 264 लंबे लकड़ी के तख्ते, 306 छोटे लकड़ी के तख्ते, 2400 छोटी क्लिप, 120 बड़ी क्लिप और 2,800 पेंच का भंडार है। बढ़ई कितनी संख्या में पुस्तकों की अलमारी बना सकता है? अपने विचारों पर चर्चा कीजिए।

सब्जी मंडी

मुंशीलाल के पास बिहार में एक बड़ा खेत है। प्रत्येक शनिवार वह अपने खेत से सब्जियों को सुंदर सब्जी मंडी में विक्रय करते हैं। मुंशीजी मंडी में भेजी जाने वाली सब्जियों की मात्रा और प्रत्येक सब्जी के मूल्य का विस्तृत लेखा-जोखा रखते हैं। नीचे दी गई तालिका में एक शनिवार को उनकी लेखा पुस्तिका को दर्शाया गया है। उनके शरारती पोते ने उनकी लेखा पुस्तिका से कुछ संख्याओं को मिटा दिया। तालिका पूरी करने में मुंशीलाल की सहायता कीजिए।

आइए हल करें

निम्नलिखित को विभाजित कीजिए। जब भी आपको भाग देना हो तो स्थानीय मान का उपयोग करके भाग देने का प्रयत्न कीजिए। यदि कोई शेषफल है तो इसे पहचानिए तथा भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल की जाँच भी कीजिए।

(क) 506/5
(ख) 918/8
(ग) 8, 126/7

(घ) 9, 324/4
(ङ) 876/6
(च) 7008/3

(छ) 934/12
(ज) 829/23
(झ) 705/18

(ञ) 8, 704/32
(ट) 6, 790/45
(ठ) 5074/21

गणितीय कथन

3. नीचे दिए गए कथनों पर विचार कीजिए और नीचे सुझाए गए उदाहरणों का पता लगाइए।

(क) “जब दो विषम संख्याओं को जोड़ा जाता है तब योगफल सम आता है।" उपर्युक्त कथन के लिए 5 उदाहरणों का पता लगाइए। क्या आप कोई एक उदाहरण देकर यह दिखा सकते हैं कि यह कथन असत्य भी हो सकता है? <---- सदैव सत्य

(ख) “एक संख्या को 2 से गुणा करने पर एक विषम संख्या प्राप्त हो सकती है।" इस कथन के लिए कुछ उदाहरण दीजिए। क्या आपने कोई उदाहरण ढूँढ़ा। एक संख्या को आधा करने पर सदैव एक सम संख्या प्राप्त होती है।" <----कभी सत्य नहीं

(ग) “एक सख्या का आधा करन पर सदव एक सम सख्या प्राप्त हाता है।" इस कथन के लिए 3 उदाहरण दीजिए। क्या आप 3 ऐसे उदाहरण बता सकते हैं जब यह सत्य नह कभी कभी सत्य <----कभी-कभी सत्य

4. निम्नलिखित कथनों के लिए उपयुक्त कक्ष में सही का चिह्न लगाइए।