अध्याय-1

                                                 गणित में पैटर्न

1.1 गणित  क्या   है ?

 गणित, पैटर्नों  (प्रतिरूपों) की खोज तथा पैटनों उनके अस्तित्व के कारण का स्पष्टीकरण है|

    पैटर्न सामान्यतः हमारे आस-पास प्रकृति में, हमारे घरों और विद्यालयों में तथा सूर्य, चंद्रमा और तारों की गति में विद्यमान होते हैं| ये  पैटर्न हमें खरीदारी से लेकर खाना बनाने में, गेंद फेंकने से लेकर खेल खेलने आदि में दिखाई देते हैं| इसके साथ ही यह मौसम चक्र को समझने एवं प्रौद्योगिकी का उपयोग करने में हमारी सहायता करते हैं|

पैटर्न तथा उन्हें समझना आनंददायक और रचनात्मक कार्य हो सकता है| इसी कारणवश गणितज्ञ, गणित को कला और विज्ञान दोनों के ही रूप में देखते हैं| हमें आशा है कि इस कक्षा में आपको गणितीय  पैटर्नों को खोजने और समझने के लिए अनेक रचनात्मक तथा कलात्मक अवसर प्राप्त होंगे|

यह बात ध्यान रखने योग्य कि गणित का लक्ष्य केवल यह ज्ञात करना नहीं है कि कौन-कौन से पैटनों का अस्तित्व है, अपितु उनके अस्तित्व के कारणों के स्पष्टीकरणों को भी ज्ञात करना है| तब, ऐसे स्पष्टीकरणों का उपयोग प्रायः ऐसे अनुप्रयोगों में तब किया जा सकता है, जो उन संदर्भों के बाहर हैं जिनमें इनकी खोज की गई थी, और जो मानवता को आगे बढ़ने के लिए प्रेरित करने में सहायता कर सकते हैं|

उदाहरण के लिए, तारों, ग्रहों और उनके उपग्रहों (satellites) की गति के पैटनों की समझ ने मानव को गुरुत्वाकर्षण (gravitation) का सिद्धांत विकसित करने तक पहुँचाया| इसी के   फलस्वरूप हम चंद्रमा और मंगल पर स्वयं अपने उपग्रह प्रक्षेपित करने और रॉकेट भेजने में सफल हो पाए| इसी प्रकार, जीनोमों (genomes) के पैटनों की समझ ने हमें रोगों का पता लगाने और उनका उपचार करने में सहायता की| पैटर्न से संबंधित ऐसे अनेक उदाहरण हैं जिनमें से यह एक हैं|

* आइए, पता लगाएँ

1. क्या आप अन्य उदाहरणों के विषय में सोच सकते हैं, जहाँ गणित दैनिक जीवन में हमारी सहायता करता है?

2. गणित ने किस प्रकार मानव को आगे बढ़ाने के लिए प्रेरित करने में सहायता की है? (आप उन उदाहरणों के विषय में विचार कर सकते हैं जिनमें वैज्ञानिक प्रयोग करना, अपनी अर्थव्यवस्था और लोकतंत्र को चलाना, पुलों, घरों या अन्य जटिल भवनों को निर्मित करना, टी. वी, मोबाइल फोन, कम्प्यूटरों, साइकिलों, रेलगाड़ियों, कारों, वायुयानों, कैलेंडरों, घड़ियों इत्यादि को बनाना सम्मिलित है|)

1.2 संख्याओं में पैटर्न

गणित में दिखने वाले सबसे अधिक मौलिक पैटनों में संख्याओं के पैटर्न हैं, विशेष रूप से पूर्ण संख्याओं के पैटर्व-0,1,2,3,4......

    गणित की वह शाखा जिसमें पूर्ण संख्याओं के पैटनों का अध्ययन किया जाता है, संख्या सिद्धांत कहलाती है| 

संख्या अनुक्रम (sequences) सबसे अधिष् मौलिक एवं सबसे अधिक आकर्षित करने वाले  पैटनों के प्रकारों में है, जिनका अध्ययन गणितज्ञ करते हैं| 

सारणी | कुछ मुख्य संख्या अनुक्रमों को दर्शाती है, जिनका गणित में अध्ययन किया जाता है|

 सारणी 1  - संख्या अनुक्रमों के उदाहरण

* आगाए, पता लगाएँ

1.   क्या आप सारणी  1  में दिए प्रत्येक अनुक्रम में पैटर्न की पहचान कर सकते हैं?

2.   सरणी 1  में दिए प्रत्येक अनुक्रम को उसकी अगली तीन संख्याओं सहित अपनी नोटबुक पर पुन:   लिखिए| प्रत्येक अनुक्रम के बाद उस अनुक्रम में संख्याओं को बनाने वाले              नियम को अपने शब्दों में लिखिए|

1.3 संख्या अनुक्रमों का दृश्यांकन

चित्रों का उपयोग करते हुए अनेक संख्या अनुक्रमों का दृश्यांकन किया जा सकता है| गणितीय वस्तुओं का चित्रों या आरेखों के माध्यम से दृश्यांकन गणितीय पैटनों और संकल्पनाओं को समझने का एक अति लाभप्रद तरीका हो सकता है| 

आइए, सारणी 1   के प्रथम  सात अनुक्रमों को अग्रलिखित  चित्रों के माध्यम से दर्शाइए-

 * आइए, पता लगाएँ

1.    सारणी 2 में दिए संख्या अनुक्रमको को  चित्रात्मक    रूपों  से  दर्शाने   के लिए अपनी नोटबुक में प्रतिलिपि बनाकर प्रत्येक अनुक्रम के लिए अगला  चित्र बनाइए  |

2.    1, 3, 6, 10, 15,   त्रिभुजाकार  संख्याएँ    क्यों कहलाते हैं?   1, 4, 9, 16, 25,.....  वर्ग संख्याएँ, या वर्ग क्यों कहलाती है 1 , 8 , 27, 64, 125, घन संख्याएँ    या   घन क्यों           कहलाती है|

 3.   आपने ध्यान  दिया   होगा कि 36 एक त्रिभुजाकर  संख्या  और वर्गाकार संख्या दोनों है| अर्थात्   36 बिंदुओं की  त्रिभुज और वर्ग दोनों में पूरी तरह व्यवस्थित किया जा सकता है|          इसे स्पष्ट करते हुए अपनी नोटबुक में  चित्र  बनाइए |

         इसमे ज्ञात होता है कि एक ही संख्या को   अलग-अलग तरीकों से   दर्शाया   जा सकता है और संदर्भ के आधार पर   अलग -अलग   भूमिकाएँ  निभाई  जा  सकती है|   कुछ              अन्य  संख्याओं को अल-अलग तरीकों  से   चित्रात्मक  रूप    से  दर्शाने  का    प्रयास कीजिए|

4.     आप संख्याओं के निम्नलिखित अनुक्रम को क्या   कहेंगे?  

                     1                      7                           19                                             37

             इन्हे   षड्‌भुजाकार (hexagonal) संख्याएँ कहते हैं| इन्हें अपनी नोटबुक में बनाइए | अनुक्रम में अगली संख्या क्या होगी?

5.       क्या  "2"   की धात के  अनुक्रम   का  चित्रीय     निरूपण  कर सकते हैं  " 3" की   घात  का  ?

            यहाँ '2 की घात' के चित्रात्मक प्रस्तुतीकरण का एक संभावित तरीका दिया है-

                   1                2                 4                        8                                    16

1.4 संख्या अनुक्रमों के बीच संबंध

कभी-कभी संख्या अनुक्रम आश्चर्यजनक तरीकों से एक-दूसरे से संबंधित हो सकते हैं| 

उदाहरण- क्या होता है जब हम विषम संख्याओं को जोड़ना प्रारंभ करते हैं?

1=1

1+3-4

1+3+5=9

1+3+5+7=16

1+3+5+7+9=25

1+3+5+7+9+11=36

वास्तव में यह एक सुंदर पैटर्न है!

* ऐसा क्यों होता है? क्या आपको यह लगता है कि सदैव ऐसा ही होता रहेगा?

इसका उत्तर है कि यह पैटर्न सदैव ही चलता रहेगा| अब आप सोच रहे होंगे कि ऐसा क्यों है?

जैसा कि पहले बताया जा चुका है, ऐसा पैटर्न होने का कारण उतना ही महत्वपूर्ण और रोमांचक है, जितना कि वह पैटर्न स्वयं|

एक चित्र इसे स्पष्ट कर सकता है

एक चित्र द्वारा इस तथ्य को समझने में सहायता मिल सकती है| स्मरण कीजिए कि वर्ग संख्याएँ एक वर्ग ग्रिड (grid) में बिंदुओं की गिनती करके बनाई जाती है|

* एक वर्गाकार बिंदु   ग्रिड  में   विषम संख्याओं 1, 3, 5, 7 के बिंदुओं को कैसे बाँटा जा  सकता है?

आगे पढ़ने से पहले इसके बारे में एक क्षण के लिए सोचिए|

नीचे दिए गए पैटर्न में दिखाया गया है कि यह कैसे किया जा सकता है-

यह चित्र दर्शाता है कि

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36 

क्योंकि इस प्रकार का चित्र किसी भी माप के वर्ग के लिए बनाया जा सकता है, अतः यह स्पष्ट  हो जाता है कि विषम संख्याओं को जोड़ने पर वर्ग संख्याएँ क्यों प्राप्त हो जाती हैं|

•   इसी प्रकार एक अन्य चित्र बनाकर, क्या आप यह बता सकते हैं कि प्रथम 10 विषम संख्याओं  का योग क्या है?

• अब एक ऐसे ही चित्र की कल्पना कीजिए या आवश्यकतानुसार आंशिक चित्र बनाकर क्या आप बता सकते हैं कि प्रथम 100 विषम संख्याओं का योग क्या है? ऐसे चित्र की कल्पना कीजिए और आवश्यकतानुसार छोटे आकार में बनाकर इसे समझाइए |
  

अनुक्रमों के मध्य ऐसे संबंध का एक अन्य उदाहरण- 

ऊपर और नीचे जोड़ना 

आइए, निम्नलिखित पैटर्न पर ध्यान दीजिए-

 1=1

 1 + 2 + 1 = 4 

1 + 2 + 3 + 2 + 1 = 9 

1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1 = 16 

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 25 

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36

दिए गए पैटर्न को देखकर यह प्रतीत होता है कि गणन संख्याओं को ऊपर और फिर नीचे जोड़ना वर्ग संख्याएँ प्राप्त करने का एक अन्य तरीका है|

 * क्या आप नीचे दिए गए ग्रिड बिंदु से एक ऐसा ही चित्रात्मक स्पष्टीकरण ज्ञात कर सकते हैं?

•  आइए, पता लगाएँ
  

1.   गणन को   संख्याओ    को  ऊपर और नीचे   जोड़ने पर अर्थात्  1, 1 + 2 + 1, 1 + 2 + 3+ 2 + 1 ,...,  से   वर्ग संख्याएँ क्यों प्राप्त होती है, क्या आप इसके लिए   एक  चित्रीय स्पष्टीकरण दे सकते हैं?

2.   इस तस्वीर के बड़े संस्करण की कल्पना करके या आवश्यकतानुसार उसका   आंशिक चित्र बनाकर, क्या आप ज्ञात कर सकते हैं कि  1+2+3......+  99 +100+99+.......+3+2+1  का मान  क्या होगा?

3.   जब आप सभी  "1" वाले अनुक्रम को ऊपर की ओर जोड़ना प्रारंभ करते हैं, तब आपको कौन-सा अनुक्रम प्राप्त होता है| जब आप सभी  "1"  वाले अनुक्रम को ऊपर और नीचे जोड़ते हैं,  तब कौन-सा अनुक्रम प्राप्त होता है?

4.   जब आप गणन संख्याओं को ऊपर की ओर जोड़ना प्रारंभ करते हैं, तब आपको कौन-सा अनुक्रम प्राप्त होता है| क्या आप एक छोटे से चित्र के माध्यम से स्पष्टीकरण दे सकते है

5.   जब आप क्रमागत  त्रिभुजाकार संख्याओं के पुष्पी को जोड़ते हैं तब क्या होता है?   उदहारण  के लिए 1 + 3, 3 + 6 , 10 + 15 ,... को   लीजिए आप कौन-सा अनुक्रम मिलता है? क्यों? क्या  आप   इसे एक चित्र  द्वारा स्पष्ट कर सकते है?

6.   जब आप  1  से प्रारंभ करते हुए   2   की   घातों   को जोड़ाना   प्रारंभ करते है तब क्या होता है? उदाहरण के लिए 1,1 + 2, 1+2+ 4 ,1+2+4+8,......  लीजिए ?    अब इनमें से प्रत्येक  संख्या  में    1   जोड़   दीजिए ---  आप कौन  सी  संख्याएँ  प्राप्त  करते  हैं? ऐसा क्यों होता है?

 7.  जब आप    त्रिभुजाकार   संख्याओं को  6   से गुणा करते हैं और    1   जोड़ते   हैं   तो क्या होता है?  आपको कौन-सा अनुक्रम मिलता है? क्या आप इसे चित्र के माध्यम से समझा सकते हैं?

8.   जब आप षड्भुजाकार संख्याओं को   जोडकर  प्रारंभ करते हैं क्या होता है?  उदहारण  के लिए, 1,1+7,1+7+19,1+7+19+37.......... लीजिए आप कौन-सा अनुक्रम प्राप्त करते है? क्या आप इसे एक  धन के चित्र का उपयोग करते हुए स्पष्ट कर सकते हैं|

9 .  सारणी 1  में दिए गए  अनुक्रमो  में और दो भिन्न अनुक्रमों के उनके बीच स्वयं अपनी ओर से अन्य पैटर्न   या  सबंध  खोजिए  | क्या एक मित्र या किसी अन्य माध्यम से आप यह स्पष्ट कर  सकते हैं  कि  ऐसा क्यों होता है?

1.5 आकारों में पैटर्न

गणित में पाए जाने वाले अन्य महत्वपूर्ण और बुनियादी पैटर्न आकारों के पैटर्न हैं| ये आकार एफ, दो या तीन विमाओं (1D, 2D, 3D) में   या  यहाँ तक कि इनसे अधिक विमाओं (dimensions) में हो सकते हैं| गणित की यह शाखा जिसमें आकारों में पैटर्न का अध्ययन किया जाता है,   ज्यामिति  कहलाती है|

आकार अनुक्रम   एक महत्वपूर्ण प्रकार के आकार पैटर्न है, जिनका गणित अध्ययन करते हैं|  सारणी 3 कुछ मुख्य आकार अनुक्रमों को दर्शाती है, जिनका गणित में अध्ययन किया जाता है|

सरणी  3  --आकार अनुक्रम   के  उदहारण

 * आइए, पता लगाएँ

1.    क्या आप सारणी  3  के  प्रत्येक अनुक्रम में पैटर्न की पहचान कर सकते हैं?

2.    सारणी 3 के प्रत्येक अनुक्रम को अपनी   नोटबुक में   पुन:   बनाने का प्रयास कीजिए  | क्या आप प्रत्येक अनुक्रम में अगले आकार को खींच सकते है? क्यों और क्यों नहीं? प्रत्येक  अनुक्रम के बाद अपने शब्दों में उस नियम या पैटर्न की व्याख्या कीजिए, जिसके अनुसार उस अनुक्रम में आकार बन रहे हैं|

1.6 संख्या अनुक्रमों से संबंध

प्रायः आकार अनुक्रम आश्चर्यजनक तरीकों द्वारा संख्या अनुक्रमों से संबंधित होते हैं| ऐसे संबंध आकार अनुक्रम और संबंधित संख्या अनुक्रम दोनों के अध्ययन और समझने में सहायक हो सकते हैं| 

उदाहरण- सम बहुभुजों (regular polygons) के आकार अनुक्रम में, भुजाओं की संख्याएँ 3 से प्रारंभ करते हुए, अर्थात् 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ......गणन संख्याओं द्वारा दी जाती है| इसी कारण ये आकार क्रमश:   --  सम त्रिभुज, चतुर्भुज (अर्थात् वर्ग), पंचभुज, षड्‌भुज, सप्तभुज, अष्टभुज, नवभुज, दशभुज इत्यादि कहलाते हैं|

शब्द 'सम' यह इंगित करता है कि इन आकारों में "भुजाओं की लंबाइयाँ समान है और साथ ही "कोण" भी एक समान है (अर्थात् भुजाएँ बराबर दिखाई देती है तथा कोने भी समान दिखाई देते हैं)|   कोणों  के बारे में हम विस्तृत चर्चा अगले अध्याय में करेंगे|

सारणी 3 के अन्य आकार अनुक्रमों का भी संख्या अनुक्रमों के साथ संबंध है|

* आइए, पता लगाएँ

1. सम  बहुभुजों के प्रत्येक आकार अनुक्रम में भुजाओं की संख्या ज्ञात कीजिए |    आपको कौन-सा संख्या अनुक्रम प्राप्त होता है? सम   बहुभुजो   के प्रत्येक आकार अनुक्रम                में   आकृतियों के कोनों के विषय में आप क्या कहेंगे? क्या आपको   वही संख्या अनुक्रम प्राप्त होता है? क्या आप स्पष्ट कर सकते हैं कि ऐसा क्यों होता है? 

2. संपूर्ण आलेखों के प्रत्येक आकार अनुक्रम में खाओं की संख्याओं की गणना कीजिए| इसमे आपको कौन-सा संख्या अनुक्रम प्रापर होता है? क्या आप स्पष्ट कर सकते हैं कि ऐसा        क्यों होता है?

3.  ढेरित(stacked)   वर्गों  के अनुक्रम के प्रत्येक आकार में कितने छोटे वर्ग है| इससे   कौन-सा संख्या अनुक्रम प्राप्त होता है क्या आप स्पष्ट कर सकते हैं कि ऐसा क्यों होता है?

4.  ढेरित  त्रिभुजों के अनुक्रम के प्रत्येक आकार में कितने छोटे त्रिभुज हैं| इससे कौन-सा संख्या अनुक्रम प्राप्त होता है? क्या आप स्पष्ट कर सकते है कि ऐसा क्यों होता है? (संकेत- अनुक्रम के प्रत्येक आकार में प्रत्येक पंक्ति में कितने  त्रिभुज हैं?)

5.  कोच  हिमकण (Koch  snowflake)  वाले अनुक्रम में ,एक आकार से अगला आकार प्राप्त करने कि लिए प्रत्येक रेखाखंड   "........."   को एक" गति उभार (speed bump)"     में प्रतिस्थापित करना पड़ता है| जैसे-जैसे इसे अधिक से अधिक बार किया जाता है, वैसे-वैसे परिवर्तन अत्यधिक छोटे-छोटे रेखाखंडो  के साथ छोटे   तथा और अधिक छोटे  होते जाते हैं| कोच हिमकण के प्रत्येक आकार में कुल कितने रेखाखंड हैं| इनके संगत संख्या अनुक्रम क्या है? (3,12,48,......... अर्थात   4   की घात का तीन गुना इसका उत्तर है, यह अनुक्रम सारणी में नहीं है  |  )

सारांश

गणित को पैटर्न की खोज और उन पैटर्न के  आस्तित्त्व के स्पष्टीकरण के रूप में देखा जा सकता है|

गणित में पाए जाने वाले सबसे   मैलिक पैटर्न में संख्या अनुक्रम है|

संख्या  अनुक्रमों के कुछ महत्वपूर्ण   उदहारणों   में  गणन  संख्याएँ,   विषम   संख्याएँ ,सम  संख्याएँ  वर्ग संख्याएँ, त्रिभुजाकार संख्याएँ ,घन  संख्याएँ  ,  विरहांक  संख्याएँँ  और  2 की  घातें   सम्मिलित है|

 कभी-अभी संख्या अनुक्रम एक  दुसरे  से   आकर्षक  और   उल्लेखनीय    तरीको  से  संबंधित  हो  सकते]  है | उदाहरण के लिए 1 से शुरू होने वाली   विषम  संख्याओ    के अनुक्रम  को  जोड़ने   पर   वर्ग  संख्याएँ    प्राप्त होती है |  चित्रों का  उपयोग  करके  संख्या  अनुक्रमो   के   दृश्यांकन से  अनुक्रमो  और  उनके  बीच  संबंधो को  समझने   में  सहायता  प्राप्त  हो  सकती  है |

आकार अनुक्रम   गणित में पैटर्न का एक और मौलिक प्रकार है| आकार अनुकमों के कुछ महत्वपूर्ण उदाहरणों में सम बहुभुज ,  सम्पूर्ण  ग्राफ, ढेरित  त्रिभुज और   वर्ग  तथा कोच हिमकोण  (snowflake)  पुनरावृत्तियाँ    सम्मिलित  होती  है | आकार   अनुक्रम, संख्या  अनुक्रमो  के साथ अनेक    रोचक  संबंध  भी   प्रदर्शित  करते हैं