2
خطوط اور زاویے
(Lines and Angles)

اس باب میں ہم جیومیٹری کے بنیادی تصورات جیسے نقطے، خطوط، عمودی لکیریں (Rays) ، قطع خطوط اور زاویوں کا جائزہ لیں گے۔ یہ تصورات مستوی جیومیٹری (Plane Geometry) کے بلڈ نگ بلاکوں کی تشکیل کرتے ہیں اور جیومیٹری کے مزید اعلیٰ موضوعات جیسے کہ مختلف شکلوں کی تشکیل اور تجزیے کو سمجھنے میں ہماری مدد کریں گے۔

2.1 نقطه

پنسل کی نوک سے ایک کاغذ پر ایک نقطہ (Dot) لگائیے۔ پنسل کی نوک جتنی باریک ہو گی، نقطہ اتناہی باریک ہو گا۔ یہ چھوٹا نقطہ آپ کو ایک نقطے کا تصور دے گا۔ کوئی نقطہ کسی متعینہ مقام کی نشان دہی کرتا ہے لیکن اس کی کوئی لمبائی، چوڑائی یا اونچائی نہیں ہوتی۔ ذیل میں نقطہ کے کچھ نمونے دیے گئے ہیں۔

سوئی کانو کیلا سرا پنسل کی تراشی ہوئی نوک پر کار کی نوک اگر آپ کسی کاغذ پر تین نقطے لگائیں تو آپ کو ان تینوں نقطوں کے درمیان فرق کرنے ! کی ضرورت پڑے گی۔ اس مقصد کے لیے ہم ہر نقطہ کو الگ الگ انگریزی کے بڑے حرف

P Z اور T سے ظاہر کر سکتے ہیں۔ ان نقطوں کو ، نقطہ Z ، نقطہ P اور نقطہ T کے طور پر پڑھا جاتا ہے۔ یقینا، یہ نقطے مخصوص مقامات کی نمائندگی کرتے ہیں اور انھیں بہت باریک اور غیر مرئی تصور کیا جاتا ہے۔

2.2 قطع خط

ایک کاغذ کو موڑ کر پھر کھول دیجیے۔ کیا آپ کو کوئی شکن نظر آتی ہے؟ اس سے قطع خط کے تصور کا اندازہ ہوتا ہے۔ اس میں دو سرے ہوتے ہیں، A اور B۔ کاغذ کے کسی ٹکڑے پر دو نقطے A اور B کے نشان لگائیے۔ A اور B کو مختلف راستوں سے ملانے کی کوشش کیجیے۔ (شکل 2.1)

BA تک سب سے مختصر راستہ کون سا ہے؟ یہاں دکھایا گیا سب سے چھوٹا راستہ (جس میں A اور B بھی شامل ہیں) ایک قطع خط ہے۔ اس کو AB یا BA سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ نقطے A اور B قطع خط AB کے میرے کے نقطے (End Points) کہلاتے ہیں۔

2.3 خط

تصور کیجیے کہ A سے B تک قطع خط ( یعنی (AB) کو ایک سمت میں A سے آگے بڑھایا جائے اور دوسری سمت میں B سے آگے بڑھایا جائے اور اس میں کوئی سرا نہ ہو۔ (شکل 2.2 دیکھیے ) یہ ایک خط کا ماڈل ہے ۔ کیا آپ کو لگتا ہے کہ آپ ایک مکمل خط کی تصویر بنا سکتے ہیں؟ نہیں، کیوں؟

دو نقطوں A اور B سے گذرنے والے خط کو AB لکھا جاتا ہے۔ اس کو دونوں طرف سے ہمیشہ بڑھایا جاسکتا ہے۔ کبھی کبھی خط کو 1 یا m جیسے حروف سے بھی ظاہر کیا جاتا ہے۔ m B 2.2 شکل غور کیجیے کہ کسی خط کو بنانے کے لیے دوہی نقطے کافی ہوتے ہیں اور ان دو نقطوں سے ایک منفر د خط بنتا ہے۔

2.4 عمودی لکیر

عمودی لکیر (Ray)، خط کا ایک حصہ ہوتی ہے جو ایک نقطہ سے شروع ہوتی ہے (جسے ہم عمودی لکیر کا شروعاتی نقطہ یا ابتدائی نقطہ کہتے ہیں) اور آگے کسی سمت میں لامحدود طور پر بڑھتی رہتی ہے۔ ذیل میں عمودی لکیر کے کچھ ماڈل دیے گئے ہیں:

عمودی لکیر کے ڈائی گرام کو (شکل 2.3) دیکھیے۔ اس پر دو نقطے نشان زد کیے گئے ہیں۔ ایک شروعاتی نقطہ A ہے اور دوسرا نقطہ P ہے جو عمودی لکیر کے راستے پر ہے۔ ہم اس عمودی لکیر کو AP سے ظاہر کرتے ہیں۔

معلوم کیجیے

کیا آپ ان کے جوابات تلاش کرنے میں ریحان اور شیتل کی مدد کر سکتے ہیں؟

2 شکل 2.4 میں دکھائے گئے قطع خطوط کو نام دیجیے۔ پانچوں نشان زد نقطوں میں سے کون سے نقطے دیے ہوئے قطع خطوط میں سے کسی ایک قطع خط پر مکمل طور سے ہیں؟ قطع خطوط کے وہ دو نقطے کون سے ہیں؟

3 شکل 2.5 میں دکھائی گئیں عمودی لکیروں کے نام بتائیے ۔ کیا T ہر ایک عمودی لکیر کا شروعاتی نقطہ ہے؟

4 ایک رف (Rough) شکل بنائیے اور صحیح طریقے سے انھیں نام دیجیے تا کہ مندرجہ ذیل میں سے ہر ایک کی وضاحت ہو : .a .C OP اور 6 نقطہ '' پر ملتے ہیں۔ اور PQ نقطہ M پر قطع کرتے ہیں۔ نقطے E اور F خط پر واقع ہیں لیکن نقطہ D نہیں ہے۔ نقطہ AB P پر واقع ہے۔

5 شکل 2.6 میں مندرجہ ذیل نام بتائیے :

1. پانچ نقطے
2. ایک خط
3. چار عمودی لکیریں
4. پانچ قطع خطوط کے

6 یہاں ایک عمودی لکیر ہے ( شکل (2.7)۔ یہ '' سے شروع ہوتی ہے اور نقطہ A سے گزرتی ہے۔ یہ نقطہ B سے بھی گزرتی ہے۔

1. کیا آپ اس کو OB نام بھی دے سکتے ہیں؟ کیوں؟
2. کیا ہم OA کو AD لکھ سکتے ہیں؟ کیوں اور کیوں نہیں؟

2.5 زاویه(Angle)

ایک زاویہ دو عمودی لکیروں سے مل کر بنا ہے جن کا شروعاتی نقطہ مشترک ہے۔ یہاں ایک زاویہ ہے جو عمودی لکیریں BD اور BE سے بنا ہے جہاں B مشترک شروعاتی نقطہ ہے (شکل 2.8)۔ E نقطه B زاویہ کا راس (Vertex) کہلاتا ہے اور عمودی لکیر BD

سکتے ہیں؟ ہم صرف راس کو استعمال کر سکتے ہیں اور اسے زاویہ B کہہ سکتے ہیں۔ زاویے کے نام کو بتانے کے لیے اور اس بات کو واضحکرنے کے لیے ہم راس کے ساتھ زاویے کے ہر بازو پر ایک ایک نقطہ لگائیں گے۔ اس صورت حال میں اس زاویہ کو ہم زاویہ DBE یا زاویہ EBD سے مخاطب کریں گے۔ لفظ زاویہ کو ہم علامت دے سے بدل سکتے ہیں، یعنی DBE کے یا EBD ۔ یہ بات دھیان میں رہے کہ زاویہ کو ظاہر کرنے میں راس کو ہمیشہ درمیانی حرف کے طور پر لکھا جاتا ہے۔

زاویہ کی نشان دہی کرنے کے لیے راس پر ایک چھوٹی منحنی (Curve) کا استعمال کرتے ہیں۔ (شکل 2.9)۔ وڈیا نے ابھی اپنی کتاب کھولی ہے۔ آئیے ہم مشاہدہ کرتے ہیں کہ وہ کتاب کی جلد کو کتنے مختلف مناظر میں کھولتی ہے۔

کیا آپ ان میں سے ہر صورت میں بنائے گئے زاویوں کو دیکھتے ہیں؟ کیا آپ ان زاویوں کے راس اور بازوؤں کی نشان دہی کر سکتے ہیں؟

کون ساز او یہ نسبتا بڑا ہے۔ صورت حال 1 کا زاویہ یا صورت حال 2 کا زاویہ ؟ جس طرح ہم خط کی لمبائی کی بنیاد پر اس کے سائز کے بارے میں بات کرتے ہیں، ویسے ہی ہم زاویوں کے سائز کی بات اس کی گردش محوری (Rotation) کی مقدار کی بنیاد پر کرتے ہیں۔

اس لیے صورت حال 2 کا زاویہ نسبتا بڑا ہے جیسا کہ اس صورت حال میں وڈیا کو ضرورت ہے کہ اس جلد کو زیادہ گھمائے۔ اسی طرح صورت حال 3 کا زاویہ صورت حال 2 سے بھی بڑا ہے، کیوں کہ اس میں اور زیادہ گردش عودی ہے، اور حالت 4، 5 اور 6 مسلسل اسی طرح گردش عودی بڑھنے کے ساتھ اور بڑے زاویوں کا مظاہرہ کر رہے ہیں۔

آئیے ہم ایسی کچھ اور مثالیں دیکھتے ہیں جہاں حقیقی زندگی میں گردش محوری یا گھماؤ سے زاویوں کی تشکیل ہوتی ہے : پر کار یا ڈیوائیڈر میں، ہم بازوؤں کو گھما کر ایک زاویہ کی تشکیل کرتے ہیں۔ ان کا راس وہ ہوتا

پر کار یا ڈیوائیڈر میں، ہم بازوؤں کو گھما کر ایک زاویہ کی تشکیل کرتے ہیں۔ ان کا راس وہ ہوتا ہے جہاں دونوں بازو ملتے ہیں۔ زاویہ کے بازوؤں اور راس کی شناخت کیجیے۔

ہے جہاں دونوں بازو ملتے ہیں۔ زاویہ کے بازوؤں اور راس کی شناخت کیجیے۔ ایک قینچی کے دو بلیڈ ہوتے ہیں۔ جب ہم کوئی چیز کاٹنے کے لیے انھیں کھولتے (یا گھماتے) ہیں تو اس کے دونوں بلیڈ ایک زاویہ بناتے ہیں۔ بازوؤں اور ر اس کی شناخت کیجیے۔

عینک ، بٹوہ اور دوسری عام اشیا کی تصویروں کو دیکھیے۔ بازوؤں اور راسوں کو نشان زد کرتے ہوئے زاویوں کی شناخت کیجیے۔

کیا آپ دیکھتے ہیں کہ کیسے ایک بازو کو دوسرے بازوؤں کی مناسبت سے موڑ کر یہ زاویے بنتے ہیں؟

معلوم کیجیے

1 کیا آپ ذیل میں دی گئی تصویروں میں زاویے معلوم کر سکتے ہیں؟ ان میں سے کوئی ایک زاویہ بنانے والی عمودی لکیروں کو نشان زد کیجیے اور زاویہ کے راس کا نام بتائیے۔

2. ST اور SR بازوؤں کا ایک زاویہ بنائیے اور اس کو لیبل کیجیے۔
3. APC کو P کیوں نہیں لکھا جا سکتا، وضاحت کیجیے۔

4. درج ذیل تصویر میں نشان زد کیے گئے زاویوں کے نام لکھیے۔

5 کاغذ پر تین ایسے نقطے نشان زد کیجیے جو ایک خط پر نہ ہوں۔ ان کو B ،A اور C سے لیبل کیجیے۔ ان نقطوں کے جوڑوں سے گذرتے ہوئے تمام ممکنہ خطوط کھینچیے۔ آپ کو کتنے خطوط حاصل ہوئے؟ ان کے نام لکھیے۔ آپ C، B ،A کو استعمال کرتے ہوئے کتنے زاویوں کے نام بتا سکتے ہیں؟ ان کو لکھیے اور ان میں ہر ایک کو ایک منحنی سے نشان زد کیجیے جس طرح شکل 2.9 میں دکھایا گیا ہے۔

6. اب آپ اپنے کاغذ پر کوئی ایسے چار نقطے نشان زد کیجیے جن میں سے تین ایک خط میں نہ ہوں۔ ان کو C، B، A اور D سے لیبل کیجیے۔ ان نقطوں کے جوڑوں سے گزرتے ہوئے تمام ممکنہ خطوط کھینچیے۔ آپ کو کتنے خطوط حاصل ہوتے ہیں؟ ان کے نام بتائیے۔ C، B ، A اور D کو استعمال کرتے ہوئے آپ کتنے زاویوں کے نام بتا سکتے ہیں؟ ان تمام کو لکھیے اور ان میں سے ہر ایک کو سختی سے نشان زد کیجیے۔ جیسا کہ شکل 2.9 میں دکھایا گیا ہے۔

2.6 زاویوں کا موازنہ

ان جانوروں کو منھ کھولتے ہوئے دیکھیے۔ کیا آپ یہاں کوئی زاویہ دیکھتے ہیں؟ اگر ہاں، تو ہر ایک کے راس اور بازوؤں کو نشان زد کیجیے۔ کچھ منھ دوسرے کے مقابلے میں زیادہ کھلتے ہیں، جبڑے جتنے زیادہ کھلیں گے، زاویہ اتنا ہی بڑا ہو گا، کیا آپ ان زاویوں کو سب سے چھوٹے سے سب سے بڑے کی ترتیب میں لکھ سکتے ہیں؟

انطباق (Superimposition) کے ذریعے زاویوں کا موازنہ کسی بھی دو زاویوں کا ایک دوسرے کے اوپر رکھ کر موازنہ کیا جاسکتا ہے یعنی انطباق کے ذریعے۔ انطباق کرتے وقت دونوں زاویوں کے راس بالکل ایک دوسرے کے اوپر ہوں۔ انطباق کے بعد یہ صاف ہو جاتا ہے کہ کون ساز او یہ چھوٹا ہے اور کون سا بڑا ہے۔

تصویر میں دوز او مین طبق ہیں۔ اب یہ صاف ہو گیا کہ PQR کے سے ABC کے بڑا ہے۔ مساوی زاویہ (Equal angle). اب آپ شکل میں AOB اور XOYے پر غور کریں۔ ان میں کون سا بڑا ہے؟

ان دونوں زاویوں کے کونے (راس) اور دونوں بازو بالکل ایک دوسرے کو ڈھک رہے ہیں۔ یعنی OX OA اور OYOB۔ اس لیے یہ زاویے جسامت میں مساوی ہیں۔
یہ زاویے پیمائش میں برابر ہیں، کیوں کہ جب ہم گردش محوری سے بننے والے ہر ایک زاویہ کو دیکھتے ہیں، تو ہم دیکھ سکتے ہیں کہ OB سے OA تک حرکت کرنے اور or سے Ox تک حرکت کرنے میں گردش محوری کی ضروری مقدار برابر ہے۔
انطباق کے نظریہ سے جب دو زاویے ایک دوسرے پر منطبق ہوتے ہیں تو دونوں زاویوں کا مشترک راس اور دونوں بازو ٹھیک ایک دوسرے کے اوپر ہوتے ہیں۔ تب زاویوں کی پیمائش برابر ہوتی ہے۔

ہم کہاں کہاں موازنہ کے لیے انطباق کا استعمال کرتے ہیں؟
معلوم کیجیے

1 ایک مستطیل نما کاغذ کے ٹکڑے کو موڑیے۔ پھر بنی ہوئی کریز کے ہمراہ ایک خط کھینچے مستطیل سیٹ کے کنارے اور موڑ کے درمیان بننے والے زاویوں کو نام دیجیے اور ان کا موازنہ کیجیے کسی مستطیل کاغذ کی شیٹ کو موڑ کر مختلف زاویے بنائیے اور ان کا موازنہ کیجیے۔ آپ کے ذریعے بنائے گئے زاویوں میں کون ساز اد یہ سب سے بڑا ہے اور کون سا سب سے چھوٹا؟ 2 ہر حالت میں کون سازاد یہ بڑا ہے اور کیوں، معلوم کیجیے۔

1. ∠XOY ∠AOB
2. ∠XOB ∠AOB
3. ∠XOC ∠XOB

اس بات پر اپنے دوستوں سے بحث کیجیے کہ انھوں نے کیسے طے کیا کہ کون سا زاویہ بڑا ہے؟

3 کون ساز او یہ بڑا ہے۔ XOY یا AOB ؟ وجہ بتائیے؟ انطباق کے بغیر زاویوں کا موازنہ دو ہنس آپس میں بحث کر رہے ہیں کہ کون اپنا منھ

دو ہنس آپس میں بحث کر رہے ہیں کہ کون اپنا منھ زیادہ کھول سکتا ہے، یعنی دونوں میں کون بڑا زاویہ بناتا ہے۔

آیئے ہم پہلے ان کے زاویے بناتے ہیں۔ ہم کیسے جانیں گے کہ کون سا زاویہ بڑا ہے؟ جیسے پہلے دیکھا گیا، ہم ان دونوں زاویوں کو بنا کر انطباق کے ذریعے جانچ کر سکتے ہیں۔ لیکن کیا ہم بغیر انطباق کے موازنہ کر سکتے ہیں؟ فرض کیجیے ہمارے پاس ایک شفاف دائرہ ہے۔ جس کو ہم حرکت دے سکتے ہیں اور مختلف شکلوں پر رکھ سکتے ہیں۔ کیا ہم موازنہ کرنے کے لیے اس کا استعمال کر سکتے ہیں؟ آیئے ہم دائروی کاغذ کو پہلے ہنس کے ذریعے بنائے گئے زاویہ پر رکھتے ہیں۔ دائرہ کو زاویہ پر اس طرح رکھتے ہیں کہ اس کا مرکز

کیا ہم اس کا استعمال کر کے معلوم کر سکتے ہیں کہ یہ زاویہ دوسرے ہنس کے زاویے سے بڑا ہے، مساوی ہے یا چھوٹا ہے؟ آپ اس دائرہ کو دوسرے زاویے پر اس طرح رکھیں کہ اس کار اس دائرہ کے مرکز پر منطبق ہو اور اس کا ایک بازو OA سے B. Y 0 AX ہو کر گزرے۔

اگر آپ ایک شفاف دائروی کاغذ کی شیٹ بنا سکیں تو اس طریقہ سے شکل 10. 2 میں دیے گئے زاویوں کا موازنہ ایک دوسرے سے کرنے کی کوشش کیجیے۔

2.7 گردشی باز و بنانا

آیئے ، ہم مندرجہ ذیل اقدامات کو اپناتے ہوئے ، دو کاغذ کی اسٹر از (Straws) اور ایک کاغذ کلپ کو لے کر گردشی بازو بنائیں:

1 کاغذ کے دو اسٹر از اور ایک کلپ لیجیے۔

2 دونوں اسٹراز کو کاغذ کے کلپ میں داخل کیجیے۔

3 آپ کا گردشی باز و تیار ہے !

بازوؤں کے درمیان مختلف زاویوں سے کچھ گردشی بازو بنائیے موازنہ کرتے ہوئے اور انطباق کے عمل کو استعمال کرتے ہوئے آپ کے ذریعے بنائے گئے زاویوں کو سب سے چھوٹے سے سب سے بڑے کی ترتیب میں لگائیے۔ ورہ سے گذرتے ہوئے: مختلف زاویوں والے گردشی بازوؤں کو اکٹھا کیجیے، اس سرگرمی کے دوران گردشی بازوؤں کو نہ گھمائیے۔

ایک گتہ لیجیے اور اس میں گردشی بازو کی شکل کو معلوم کرتے ہوئے اور کاٹتے ہوئے ایک زاویائی شکل کی درہ بنائیے جیسا کہ ذیل میں دکھایا گیا ہے۔

اب تمام گردشی بازوؤں کو ہلا کر ایک ساتھ ملادیجیے۔ کیا آپ پہچان سکتے ہیں کہ کون سا گردشی باز و دڑے سے گزرے گا؟ گردشی بازوؤں کو درے پر رکھ کر صحیح جواب معلوم کیا جاسکتا ہے۔ آئیے ہم اس عمل کو دوسرے گردشی بازوؤں کے ساتھ کرتے ہیں۔

2.8 مخصوص قسم کے زاویے

آیئے ہم وڈیا کی کاپی کی طرف واپس چلتے ہیں۔ آئیے ہم مختلف حالتوں میں اس کے ذریعے کتاب کی جلد کو کھولنے کا مشاہدہ کرتے ہیں۔ جب کتاب کو پکڑے ہوئے اسے لکھنا ہوتا ہے تو وہ کتاب کی جلد کو پوری طرح گھما لیتی ہے۔

جب وہ کھلی ہوئی کتاب کو میز پر رکھتی ہے تو کتاب کی جلد کو آدھا گھماتی ہے۔ اس صورت حال میں بنے ہوئے زاویوں کے بازوؤں کا مشاہدہ کیجیے۔ یہ ایک افقی خط میں ہوتے ہیں۔ ایسا زاویہ، زاویہ متقی کہلاتا ہے۔

آئیے ہم ایک زاویہ تقیم LAOB پر غور کرتے ہیں۔ دیکھیے کہ کوئی عمودی لکیر DC اس زاویے کو دوزاویوں، AOC اور COB میں تقسیم کرتی ہے۔

کیا ممکن ہے کہ OC کو اس طرح کھینچا جائے کہ دونوں زاویے سائز میں ایک دوسرے کے برابر ہوں؟
آیئے ہم معلوم کرتے ہیں
کاغذ کے ایک ٹکڑے کا استعمال کرتے ہوئے ہم اس مسئلے کا حل معلوم کر سکتے ہیں۔ یاد کیجیے، جب کاغذ کو موڑا جاتا ہے تو ایک کریز بن جاتی ہے، جو سیدھی ہوتی ہے۔
مستطیل نما کاغذ کا ایک ٹکڑا لیجیے اور اس کی ایک سطح پر زاویہ مستقیم LAOB نشان زد کیجیے۔ اس کاغذ کو موڑ کر ایک ایسا خط ( کریز ) حاصل کیجیے جوں سے گزرتے ہوئے AOB کو دو برابر زاویوں میں تقسیم کر دے۔ یہ کیسے کیا جاسکتا ہے؟

اس کاغذ کو اس طرح موڑیے کہ OA OB کو پوری طرح منطبق کرلے۔ کریز اور دو بننے والے زاویوں کا مشاہدہ کیجیے۔

وضاحت کیجیے کہ دونوں زاویے برابر کیوں ہیں۔ کیا انطباق کے طریقے سے اس کی جانچ کی جاسکتی ہے۔ کیا کاغذ کو موڑ نے سے یہ انطباق ہو سکتا ہے؟
ان بننے والے برابر زاویوں میں سے ہر ایک کو زاویہ قائمہ کہا جاتا ہے۔ اس طرح ایک زاویہ متقیم میں دو زاویہ قائمہ موجود ہوتے ہیں۔

اگر ایک زاو میر تقیم کسی چیز کو محور پر آدھا گھمانے سے بنتا ہے تو زاویہ قائمہ محور پر کتنا گھمانے سے بنے گا؟ دیکھیے کہ زاویہ قائمہ '' سے مشابہ ہے۔ ایک زاویہ بھی صرف زاویہ قائمہ ہوتا ہے جب وہ زاویہ مستقیم کا ٹھیک آدھا ہو۔ دو خطوط جو ایک دوسرے سے زاویہ قائمہ پر ملتے ہیں ، عمودی خطوط (Perpendicular lines) کہلاتے ہیں۔
معلوم کیجیے
1. آپ کے کلاس روم کی کھڑ کی میں کتنے زاویہ قائمہ ہیں؟ کیا آپ اپنے کلاس روم میں کہیں اور بھی زاویہ قائمہ دیکھتے ہیں؟

4. کاغذ پر ایک ترچھی کریز بنائیے۔ اب ایک ایسی دوسری کریز بنانے کی کوشش کیجیے جو اس ترچھی کریز پر عمودی ہو۔

1. اب آپ کے پاس کتنے زاویہ قائمہ ہیں ؟ تصدیق کیجیے کہ یہ زاویے کیوں بالکل زاویہ قائمہ ہیں۔
2. وضاحت کیجیے کہ آپ کاغذ کو کیسے موڑیں گے کہ کوئی دوسرا شخص جو اس عمل کو نہ جانتا ہو وہ آپ کی وضاحت کو اپناتے ہوئے زاویہ قائمہ کو اس عمل سے سمجھ سکے۔

زاویوں کی درجہ بندی
جیسا کہ درج ذیل میں دکھایا گیا ہے، زاویے تین گروپ میں تقسیم کیے گئے ہیں۔ سبھی زاویہ قائمہ دوسرے گروپ میں دکھائے گئے ہیں۔ باقی دو گروپوں میں کیا خصوصیت یکساں ہو سکتی ہے؟

پہلے گروپ میں سبھی زاویے، زاویہ قائمہ سے کم ہیں یا کہہ سکتے ہیں کہ چوتھائی دائرے سے کم ہیں۔ ایسے زاویے زاویہ حادہ (Acute angles) کہلاتے ہیں۔
تیسرے گروپ میں سبھی زاویے زاویہ قائمہ سے زیادہ ہیں مگر مستقیم زاویے سے کم ہیں۔ اس میں گھماؤ چو تھائی دائرے سے زیادہ ہے اور آدھے دائرے سے کم ہے۔ ایسے زاویے، منفرجہ زاویے (Obtuse angles) کہلاتے ہیں۔

معلوم کیجیے
1. پچھلی شکلوں میں حادہ، قائمہ ، منفرجہ اور مستقیم زاویوں کی شناخت کیجیے۔
2 کچھ حادہ اور کچھ منفرجہ زاویے بنائیے۔ ان کو بنانے کے لیے مختلف تشریق (Orientation) کا استعمال کیجیے۔
کیا آپ جانتے ہیں کہ لفظ حادہ اور منفرجہ کے کیا معنی ہیں؟ حادہ کے معنی ہیں شدید اور منفرجہ کے معنی ہیں ماند (موٹے سرے یانشان والا ) ۔ آپ کو کیا لگتا ہے یہ الفاظ کیوں چنے گئے ہیں؟
4 مندرجہ ذیل شکلوں میں حادہ زاویوں کی تعداد معلوم کیجیے۔

ہم دیکھ چکے ہیں کہ دو زاویوں کا موازنہ کیسے کیا جاتا ہے۔ لیکن کیا ہم صحیح معنوں میں کسی زاویے کا دوسرے زاویے سے موازنہ کیے بغیر صرف عدد استعمال کرتے ہوئے ، اس کی مقدار کا تعین کر سکتے ہیں؟

ہم نے دیکھا کہ مختلف زاویوں کا موازنہ دائرے کے استعمال سے کیسے کیا جا سکتا ہے۔ شاید زاویوں کی پیمائش کے لیے ایک دائرے کا استعمال کیا جا سکتا ہے؟

زاویوں کی پیمائش کا صحیح تعین کرنے کے لیے ریاضی دانوں نے ایک خیال پیش کیا۔ انھوں نے ایک دائرے کا استعمال کیا اور اس کے مرکز کے زاویے کو 360 برابر زاویوں یا حصوں میں تقسیم کیا۔ ہر حصے کے زاویے کے پیمائش 1 ڈگری ہے، جسے ہم 10 لکھتے ہیں۔

اس اکائی والے حصے کا استعمال کسی بھی زاویے کی پیمائش متعین کرنے کے لیے کیا جاتا ہے : کسی زاویے کی پیمائش اس میں موجود 10 اکائی والے حصوں کی کل تعداد پر ہوتی ہے۔ مثال کے طور پر مندرجہ ذیل شکل دیکھیے :

اس میں 10 والی کل 130 کائیاں موجود ہیں اور اس لیے ہم کہتے ہیں کہ اس زاویے کی پیمائش 300 ہے۔ مختلف زاویوں کی پیمائش: ڈگریوں میں ایک پورے چکر کی پیمائش کیا ہے ؟ جیسا کہ ہم نے اس میں 360 ڈگری لی ہے، اس لیے اس کی پیمائش 360 ہے۔

آدھا 180 ہے۔ ڈگری میں زاویہ قائمہ کی پیمائش کیا ہوتی ہے؟ دو زاویہ قائمہ مل کر ایک زاویہ مستقیم بناتے ہیں۔ جیسا کہ ایک زاویہ مستقیم کی پیمائش 1800 ہوتی ہے، تو زاویہ قائمہ °90 ہوگا۔

تاریخ سے ایک چٹکی
ایک پورا چکر 360 میں تقسیم کیا گیا ہے۔ قابل غور پہلو یہ ہے کہ 360 ہی کیوں؟ ابھی تک ہمیں 360 استعمال کرنے کی وجہ کمل طور پر معلوم نہیں ہے۔ قدیم زمانے میں ایک دائرے کو 360 حصوں میں تقسیم کیا گیا۔ ہزاروں سال قبل رگ وید، جو انسانیت کے سب سے پرانے متن میں سے ایک ہے، کے مطابق ایک پیسے میں 360 پتلیاں تھیں (مصرع 1.164.48)۔ بہت سے قدیم کیلنڈر جو 3000 سال سے بھی قدیم ہیں۔ جیسے ہندوستان، فارس، بابل اور مصر کے کیلنڈر اس پر منحصر تھے کہ۔ ایک سال میں 360 دن ہوتے ہیں۔ اس کے علاوہ بابل کے ریاضی دانوں نے سیکس جیسمل (Sexagesimal) اعداد اور 60 کی گنتی کی وجہ سے 60 اور 360 کی تقسیم کا کثرت سے استعمال کیا۔

تاریخ سے ایک چٹکی
ایک پورا چکر 360 میں تقسیم کیا گیا ہے۔ قابل غور پہلو یہ ہے کہ 360 ہی کیوں؟ ابھی تک ہمیں 360 استعمال کرنے کی وجہ مکمل طور پر معلوم نہیں ہے۔ قدیم زمانے میں ایک دائرے کو 360 حصوں میں تقسیم کیا گیا۔ ہزاروں سال قبل رگ وید، جو انسانیت کے سب سے پرانے متن میں سے ایک ہے، کے مطابق ایک پہلے میں 360 پتلیاں تھیں (مصرع 1.164.48)۔ بہت سے قدیم کیلنڈر جو 3000 سال سے بھی قدیم ہیں۔ جیسے ہندوستان، فارس، بابل اور مصر کے کیلنڈر اس پر منحصر تھے کہ ایک سال میں 360 دن ہوتے ہیں۔ اس کے علاوہ بابل کے ریاضی دانوں نے سیکس جیمل (Sexagesimal) اعداد اور 60 کی گنتی کی وجہ سے 60 اور 360 کی تقسیم کا کثرت سے استعمال کیا۔

وجہ سے 60 اور 360 کی تقسیم کا کثرت سے استعمال کیا۔ ریاضی داں برسوں سے 360 ڈگری کو پسند کرتے ہیں اور استعمال کرتے ہیں۔ شاید اس کا سب سے اہم اور عملی جواب یہ ہے کہ 360 وہ سب سے چھوٹا عدد ہے جو 7 کے علاوہ 10 تک کے تمام اعداد سے برابر تقسیم ہو جاتا ہے۔ اس طرح سے کوئی بھی دائرے کو 1، 2، 3، 4، 5، 6، 8، 9 یا 10 مساوی حصوں میں توڑا جاسکتا ہے اور پھر بھی ہر حصے میں مکمل اعداد کی ڈگری موجود ہو گی ! یہ بات بھی نوٹ کرنے کی ہے کہ 360، 12 سے بھی برابر تقسیم ہو سکتا ہے، جو سال کے مہینوں کی تعداد ہے، اور 24 سے، جو دن کے گھنٹوں کی تعداد ہے۔ یہ تمام حقیقتیں عدد 360 کو کافی مفید بناتی ہیں۔

ذیل میں دیا گیا دائرہ 1، 2، 3، 4، 5، 6، 8، 9، 10 اور 12 حصوں میں تقسیم کیا گیا ہے۔ نتیجے میں حاصل ہونے والے زاویوں کی ڈگری پیمائش کیا ہے ؟ نشان لگے ہوئے زاویوں کے قریب ان کی ڈگری کی پیمائش لکھیے۔

مختلف زاویوں کی ڈگری پیمائش
ہم دوسرے زاویوں کی پیمائش ڈگری میں کر سکتے ہیں؟ اس مقصد کے لیے ہمارے پاس ایک آلہ ہے جسے چاندہ (Protractor) کہتے ہیں۔ جو یا تو ایک دائرہ ہے جس کو 360 مساوی حصوں میں تقسیم کیا گیا ہے جیسا کہ (شکل 2.12، صفحہ 32) میں دکھایا گیا ہے یا نصف دائرہ ہے جس کو 180 مساوی حصوں میں تقسیم کیا گیا ہے۔

بغیر نشانات والا چانده
یہاں ایک چاندہ ہے۔ کیا آپ مرکز پر موجود زاویہ مستقیم کو 1 ڈگری کی 180 اکائیوں میں منقسم دیکھ رہے ہیں؟ حالاں کہ زاد میر تقیم کو تقسیم کرتے ہوئے خطوط کا کچھ حصہ نظر آرہا ہے!

قاعده (Base) کے ٹھیک دائیں طرف کی نشان دہی سے شروع کرتے ہوئے، ہر 100 پر ایک لمبا نشان لگا ہوا ہے۔ اس طرح کے ہراک لمبے نشان سے 50 کے بعد ایک نصف نشان ہے۔
معلوم کیجیے

1 مندرجہ ذیل میں دیے گئے زاویوں کی پیمائش لکھیے :
a. ✓ KAL
غور کیجیے کہ اس زاویے کار اس، چاندہ کے مرکز سے ملا ہوا ہے۔ اس لیے KA اور AL کے درمیان 1 ڈگری زاویہ کی اکائیوں کی تعداد KAL کی پیمائش ہوگی۔ گنتی کرنے پر ہمیں یہ ملتا ہے :
KAL = 30°
لمبے مارک اور درمیانی سائز کے مارک کا استعمال کرتے ہوئے، کیا ممکن ہے کہ ہم اکائیوں کی تعداد کو 5 یا 10 کے گروپ میں شمار کرسکیں۔
b. WAL
c. TAK

نشانات والا چانده
یہ ایک چاندہ ہے جو آپ کے جیومیٹری باکس میں ہوتا ہے۔ بظاہر یہ اوپر والے چاندہ جیسا ہے، سوائے اس کے کہ اس پر اعداد لکھے ہوئے ہیں۔ کیا آپ کو ان اعداد سے زاویہ پڑھنے میں آسانی ہو گی؟

اس چاندہ میں اعداد کے دو سیٹ ہیں: ایک دائیں سے بائیں بڑھ رہا ہے اور دوسرا بائیں سے دائیں بڑھ رہا ہے۔ اس چاندے میں اعداد کے دو سیٹ کیوں شامل ہیں؟ مندرجہ ذیل شکل میں موجود مختلف زاویوں کی پیمائش اور ان کے نام لکھیے۔

کیا آپ نے زاویے مثلاً TOQ کو شامل کیا ہے؟

آپ نے مارکنگ کا کون سا سیٹ استعمال کیا۔ اندرو الا یا باہر والا ؟
TOS کی پیمائش کیا ہے ؟ کیا آپ نشانات کی گنتی کیے بغیر صرف نشان لگے ہوئے اعداد کا استعمال کر کے زاویہ معلوم کر سکتے ہیں؟
اکائیاں موجود ہیں؟ یہاں OT اور OS باہری پیمانے کے اعداد 20 اور 55 سے گزرتے ہیں۔ ان دو بازوؤں کے درمیان 1 ڈگری کی کتنی

اکائیاں موجود ہیں؟
یہاں OT اور OS باہری پیمانے کے اعداد 20 اور 55 سے گزرتے ہیں۔ ان دو بازوؤں کے درمیان 1 ڈگری کی کتنی کیا یہاں گھٹاؤ کا استعمال کر سکتے ہیں؟
بغیر تفریق کیے ہم زاویوں کی پیمائش کس طرح کر سکتے ہیں؟
چاندہ کو اس طرح رکھیں کہ مرکز زاویہ کے راس پر ہو۔ چاندہ کو ایسے رکھیے کہ زاویہ کا ایک بازو چاندہ کے 00 مارک والے خط پر ہو جیسا کہ تصویر میں دکھایا گیا ہے۔

اکائیاں موجود ہیں؟ یہاں OT اور OS باہری پیمانے کے اعداد 20 اور 55 سے گزرتے ہیں۔ ان دو بازوؤں کے درمیان 1 ڈگری کی کتنی کیا یہاں گھٹاؤ کا استعمال کر سکتے ہیں؟ بغیر تفریق کیے ہم زاویوں کی پیمائش کس طرح کر سکتے ہیں؟ چاندہ کو اس طرح رکھیں کہ مرکز زاویہ کے راس پر ہو۔ چاندہ کو ایسے رکھیے کہ زاویہ کا ایک بازو چاندہ کے 00 مارک والے خط پر ہو جیسا کہ تصویر میں دکھایا گیا ہے۔