3
عدد کا کھیل
(Number Play)

اعداد کو مختلف سیاق و سباق اور مختلف طریقوں سے ہماری زندگی کو منظم کرنے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے۔ ہم اعداد کو گفتی یا شمار کے لیے استعمال کرتے ہیں اور ان پر بنیادی اعمال جیسے جمع، تفریق، ضرب اور تقسیم کا اطلاق کیا ہے تا کہ اپنی روز مرہ زندگی کے مسائل حل کر سکیں۔ اس باب میں ہم عددی سفر کو جاری رکھیں گے، اعداد کے ساتھ کھیلیں گے، انھیں اپنے ارد گرد دیکھیں گے، پیٹرن کا مشاہدہ کریں گے اور نئے طریقوں سے اعداد کا استعمال سیکھیں گے۔
ایسی مختلف صورت حال کے بارے میں غور کیجیے جہاں ہم اعداد کا استعمال کرتے ہیں۔ پانچ مختلف صورت حال کی فہرست بنائیے جہاں اعداد کا استعمال ہوتا ہے۔ دیکھیے کہ آپ کے ہم جماعتوں نے کیا فہرست بنائی ہے، بتائیے اور تبادلہ خیال کیجیے۔

3.1 اعداد ہمیں چیزیں بتا سکتے ہیں

یہ اعداد ہم سے کیا کہہ رہے ہیں؟
کسی پارک میں چند بچے ایک قطار میں کھڑے ہیں۔ ہر ایک بچہ ایک عدد کہتا ہے۔

ان اعداد کے مطلب کے متعلق آپ کا کیا خیال ہے؟

کیا آپ نے اندازہ لگایا کہ یہ اعداد کیا بتاتے ہیں؟
اشارہ : کیا ان کی اونچائی کا اس میں کوئی کردار ہو سکتا ہے؟
ایک بچہ 1 کہتا ہے اگر ان کے بعد صرف 1 لمبا بچہ کھڑا ہوا ہے۔
ایک بچہ 2 کہتا ہے کہ اگر ان کے بعد کھڑے ہوئے دونوں بچے اس سے لمبے ہوں۔
ایک بچہ '' کہتا ہے، اگر ان کے بعد کھڑے ہوئے بچوں میں کوئی بھی لمبا نہیں ہے۔
اس کا مطلب یہ ہے کہ شخص اپنے برابر کھڑے خود سے لمبے قد کے پڑوسیوں کی تعداد بتائے گا۔ نیچے دیے گئے سوالوں کے جواب دیجیے اور اپنے دلائل پیش کیجیے۔
1 کیا بچے خود کو اس طرح پھر سے ترتیب دے سکتے ہیں کہ قطار کے دونوں سروں پر کھڑے بچے 2 کہیں؟
2 کیا ہم بچوں کو ایک قطار میں اس طرح سے ترتیب دے سکتے ہیں کہ سب صرف 0‘ کہیں؟
1 کیا دو بچے جو ایک دوسرے کے برابر کھڑے ہیں ایک جیسا عدد کہہ سکتے ہیں؟
4 5 بچوں کا ایک گروپ ہے، سب کے قد مختلف ہیں۔ کیا وہ اس طرح کھڑے ہو سکتے ہیں کہ ان میں بات سے چار بچے 1 کہیں اور آخری والا بچہ '' کہے؟ کیوں یا کیوں نہیں؟
5 کیا اس 5 بچوں کے گروپ کے لیے 1 ، 1 ، 1 ، 1 ، 1 ، کی ترتیب ممکن ہے؟
6 کیا 0، 1، 2، 0،1 کی ترتیب ممکن ہے؟ کیوں یا کیوں نہیں؟
7 آپ پانچ بچوں کو کس طرح پھر سے ترتیب دیں گے تا کہ زیادہ سے زیادہ بچے 2 کہیں۔

3.2 سپر سیل اسپر خانے (Supercells)

عدد کا کھیل رومانويك نیچے دیے گئے جدول میں لکھے گئے اعداد کا مشاہدہ کیجیے۔ کچھ اعداد کیوں رنگے ہوئے ہیں؟ تبادلہ خیال کیجیے۔

ایک خانے کو اس وقت رنگا جاتا ہے جب اس میں موجود عدد اس کے قریبی خانوں میں موجود اعداد سے بڑا ہوتا ہے۔ عدد 626 رنگین ہے کیوں کہ یہ 577 اور 345 سے بڑا ہے، جبکہ 200 رنگین نہیں ہے کیوں کہ یہ 577 سے چھوٹا ہے۔ عدد 198 اس لیے رنگین ہے کیوں کہ اس کے ساتھ ایک ہی خانہ ہے جس میں 109 ہے اور 198 ،109 سے بڑا ہے۔ معلوم کیجیے

معلوم کیجیے
1. نیچے دیے گئے جدول کے سپر سیل کو رنگے یا مارک لگائیے۔

2 نیچے دیے گئے جدول کو (4) ہندسوں والے اعداد سے) اس طرح مکمل کیجیے کہ رنگین خانے ہی سپر سیل ہوں۔

3 نیچے دیے گئے جدول کو اس طرح مکمل کیجیے کہ ہمیں زیادہ سے زیادہ سپر سیل حاصل ہوں، 100 سے 1000 کے درمیان کے اعداد کو دہرائے بغیر استعمال کیجیے۔

4. اوپر دیے گئے 9 اعداد میں سے کتنے سپر سیل جدول میں ہیں؟
5 معلوم کیجیے کہ مختلف تعداد کے خانوں کے لیے کتنے سپر سیل ممکن ہیں؟
کیا آپ کسی پیٹرن کا مشاہدہ کرتے ہیں؟ زیادہ سے زیادہ سپر سیل حاصل کرنے کے لیے جدول کو بھرنے کا کیا طریقہ ہے؟ تلاش کیجیے اور اپنی حکمت عملی بتائیے۔

کیا آپ ایک خالی سپر سیل جدول کو اس طرح مکمل کر سکتے ہیں کہ کوئی بھی سپر سیل دہرایا نہ جائے؟ کیوں یا کیوں نہیں؟
7 کیا کسی جدول میں ہمیشہ سب سے بڑے اعداد و الا خانہ سپر سیل ہو گا؟ کیا کسی جدول میں سب سے چھوٹے عدد و الا خانہ سپر سیل ہو سکتا ہے؟ کیوں یا کیوں نہیں؟
کسی جدول کو اس طرح مکمل کیجیے کہ دوسرا سب سے بڑے عدد والا خانہ سپر سیل نہ ہو۔ و کسی جدول کو اس طرح مکمل کیجیے کہ دوسرا سب سے بڑے عدد والا خانہ سپر سیل نہ ہو لیکن دوسرا سب سے چھوٹے عدد والا خانہ سپر سیل ہو ۔ کیا ممکن ہے؟ 10. اس معمہ کی دوسری قسمیں بنائیے اور اپنے ہم جماعتوں سے حل کروائیے۔
آئیے مزید قطاروں کے ساتھ اس سپر سیل کی سرگرمی کو کریں۔ یہاں پڑوسی خانے وہ ہیں جو فور بائیں ، دائیں، اوپر اور نیچے ہیں۔

قاعدہ وہی ہے: کوئی خانہ ایک سپر سیل بن جاتا ہے اگر اس میں موجود عدد اس کے قریبی تمام خانوں کے اعداد سے بڑا ہو۔ جدول 1 میں 8632 اپنے تمام منسلک اعداد 4580 4795،8280 اور 1944 سے بڑا ہے۔
دیے گئے جدول 2 کو 5 ہندسوں والے اعداد سے مکمل کیجیے اور صرف 1 ، 0، 6، 3 ، اور 9 کا استعمال کیجیے صرف رنگے ہوئے خانوں میں ہی ایسے عدد آنے چاہیے جو منسلک خانوں کے اعداد سے بڑے ہوں۔ جدول 2 96,301 36,109 جدول میں سب سے بڑا عدد ہے۔ 13,609 60,319 19,306 جدول میں سب سے چھوٹا جفت عدد ہے۔

جدول میں سب سے چھوٹا عدد ہے، جو کہ 50,000 سے بڑا ہے۔ ایک بار جب آپ مندرجہ بالا جدول کو مکمل کر لیجے تو ہزار ہندسوں پر مناسب طریقے سے کو ما (، ) لگائیے۔

3.3 عددی خط پر اعداد کا پیٹرن

اب تک ہم عددی خط سے کافی حد تک واقف ہو چکے ہیں۔ آئیے دیکھتے ہیں کہ کیا ہم کچھ اعداد کو عددی خط پر ان کی مناسب جگہ رکھ سکتے ہیں۔ اعداد کچھ اس طرح ہیں: 2180 ، 2754، 1500 ، 3600 ، 9950، 9590، 1050 ، 3050، 8400 5300،5030، اور

معلوم کیجیے
نیچے دیے گئے عددی خط پر نشان زدہ عدد کی شناخت کیجیے اور باقی نمبروں کی جگہ کو مکمل کیجیے۔

او پر دی گئی ہر ترتیب میں سب سے چھوٹے عدد کے گرد دائرہ بنائیے اور سب سے بڑے عدد کے گرد ایک ڈبہ بنائیے۔

1 - ہندسہ والے اعداد 1 سے 9 تک	2 ہندسوں والے اعداد	3 ہندسوں والے اعداد	4- ہندسوں والے اعداد	5 ہندسوں والے اعداد

اعداد کے ہند سے کا حاصل جمع
کو مل نے مشاہدہ کیا کہ جب وہ کچھ مخصوص اعداد کے ہندسوں کو جوڑتی ہے تو حاصل جمع یکساں ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر 68 کے ہندسوں کا حاصل جمع 176 اور 545 کے ہندسوں کے حاصل جمع کے برابر ہو گا۔

معلوم کیجیے
1 14 ہندسوں کا حاصل جمع
کچھ ایسے اعداد لکھیے جن کے ہندسوں کا جوڑ 14 ہو۔
وہ سب سے چھوٹا عدد کیا ہے جس کے ہندسوں کا جوڑ 14 ہے؟
وہ سب سے بڑا 5 ہندسوں والا عدد کیا ہے جس کا جوڑ 14 ہے؟
تنا بڑا عدد بنا سکتے ہیں جس کے ہندسوں کی جمع 14 ہو؟ کیا آپ اس سے بھی بڑا عدد آپ کتنا بنا سکتے ہیں؟
2 40 سے 70 تک ہر عدد کے ہندسوں کا حاصل جمع معلوم کیجیے۔ اپنے مشاہدات جماعت میں بتائیے۔
ایسے 3- ہندسوں والے اعداد کے ہند سے کا حاصل جمع کیجیے جن کے ہند سے متواتر ہوں (مثلاً 345)۔ کیا آپ نے کوئی پیٹرن دیکھا ؟ کیا یہ پیٹرن جاری رہے گا؟

ہندسوں کے جاسوس
1 سے 100 تک اعداد لکھنے کے بعد ، دنیش کو یہ اشتیاق ہوا کہ اس نے ہندسہ '7' کتنی دفعہ لکھا ہے !
1 سے 100 اعداد کے درمیان ہندسہ (7) کتنی دفعہ آئے گا؟
1 سے 1000 اعداد کے درمیان ہندسہ 7 کتنی دفعہ آئے گا؟

3.5 خوب صورت مقلوب مستوی پیٹرن (Pretty (Palindromic Patterns)

دیے گئے اعداد : 575،848،66، 797، 1111 میں آپ کیا پیٹرن دیکھتے ہیں؟
یہ اعداد بائیں سے دائیں اور دائیں سے بائیں ایک جیسے پڑھے جاتے ہیں، کوشش کیجیے اور دیکھیے۔ اس طرح کے اعداد ، مقلوب مستوی یا مقلوب مستوی اعداد کہلاتے ہیں۔

1، 2، 3 کا استعمال کرنے والے تمام مقلوب مستوی
اعداد 121، 313، 222 ہند سے 1 ، 2 ، 3 سے بنے ہوئے مقلوب مستوی کی چند مثالیں ہیں۔
ان ہندسوں کا استعمال کرتے ہوئے تمام ممکن 3 ہند سے والے مقلوب مستوی لکھیے۔
مقلوب مستوی کو الٹیے اور جوڑیے

مقلوب مستوی کو الٹیے اور جوڑیے
اب ب دیے گئے جمع کو دیکھیے۔ یہ جاننے کی کوشش کیجیے کہ کیا واقع ہو رہا ہے۔ پیروی کرنے کے اقدامات: 2- ہند سے والے عدد سے آغاز کریں ۔ عدد کو ان کے معکوس سے جوڑیے۔ اگر آپ کو مقلوب مستوی حاصل ہوتا ہے تو رک جائے ورنہ ہندسوں کے معکوس کے جمع والے مرحلے کو دہرائیے۔

دوسرے اعداد کے ساتھ یہی عمل اختیار کیجیے اور یہی اقدامات انجام دے کر آزمائیے۔ اگر مقلوب مستوی حاصل ہو جائے تو رک جائیے۔ کچھ ایسے بھی اعداد ہیں جن کے لیے آپ کو اسے کئی بار دہرانا پڑتا ہے۔

کیا ایسے بھی اعداد ہیں جن کے آپ مقلوب مستوی حاصل نہیں کر سکتے؟
دریافت کیجیے
کیا 2 ۔ ہندسوں سے شروع ہونے والے اعداد کو بار بار الٹ کر جمع کرنے سے ہمیشہ ایک مقلوب مستوی حاصل ہو گا؟ دریافت کیجیے اور معلوم کیجیے۔*
معمے کا وقت

میں ایک 5۔ ہندسوں کا مقلوب مستوی ہوں۔
میں ایک طاق عدد ہوں۔
میرا کا ہندسہ میرے '' ہندسہ کا دو گنا ہے۔
میرا h ہندسہ میرے '' ہندسہ سے دو گنا ہے۔
میں کون ہوں؟______________

3.6 کیپریکر (Kaprekar) کا جادوئی عدد

ڈاکٹر کیپریکر مہاراشٹر کے دیولائی میں ایک سرکاری اسکول میں ریاضی کے استاد تھے۔ انھیں

ڈاکٹر کیپریکر مہاراشٹر کے دیولائی میں ایک سرکاری اسکول میں ریاضی کے استاد تھے۔ انھیں اعداد کے ساتھ کھیلنا بہت اچھا لگتا تھا اور انھوں نے بہت سے ایسے خوب صورت پیٹرن معلوم کیے جو پہلے نا معلوم تھے۔
انھوں نے 1949 میں، 4۔ ہندسوں والے اعداد کے ساتھ کھیلتے ہوئے ایک دل چسپ اور جادوئی عجوبہ ایجاد کیا۔
جواب ہاں ہے !3 ہند سے اعداد کے لیے جواب نامعلوم ہے۔ ایسا اندیشہ ہوتا ہے کہ 196 سے شروع ہونے والے اعداد کبھی مقلوب مستوی نہیں دیتے!

دیئے گئے ان اقدامات پر عمل کیجیے اور خود سے اس جادو کا تجربہ کیجیے! کوئی بھی 4 ۔ ہندسوں والا عدد لیجیے، جیسے 6382۔

دریافت کیجیے
4- ہندسوں والے مختلف اعداد لیجیے اور ان اقدامات کو انجام دینے کی کوشش کیجیے معلوم کیجیے کیا واقع ہوتا ہے۔ اپنے دوستوں سے معلوم کیجیے انہوں نے کیا حاصل کیا۔
آپ ہمیشہ جادوئی عدد 6174 پر پہنچیں گے! 6174 عدد کو اب کیپریکر مستقلہ کہتے ہیں۔
ان اقدامات کو 3- ہندسوں والے اعداد کے ساتھ انجام دیجیے۔ کون ساعد دبار بار آنے لگتا ہے؟

3.7 گھڑی اور کیلنڈر کے اعداد

عام طور پر 12 گھنٹے والی گھڑی میں اوقات کے مختلف پیٹرن ہوتے ہیں۔ مثال کے طور پر 10:10،4:44، 12:21۔
کسی 12 گھنٹے والی گھڑی میں ہر طرح کے ممکنہ اوقات معلوم کرنے کی کوشش کیجیے۔
منیش کا یوم پیدائش 20.12.2012 کو ہے، جہاں ہند سے 2 0، 1 اور 2 خود کی ترتیب کو دوہرا رہے ہیں۔
ماضی سے اس طرح کی کچھ اور تاریخیں تلاش کیجیے۔
اس کی بہن میگھنا کی سالگرہ 11.02.2011 کو ہے، جہاں ہندسوں کو دائیں سے بائیں اور بائیں سے دائیں ایک جیسا پڑھتے ہیں۔
ماضی سے اس طرح کی کچھ اور تاریخیں تلاش کیجیے۔ جیون اس سال کا کیلنڈر دیکھ رہا تھا۔ وہ سوچنے لگا ” ہمیں ہر سال کیلنڈر کیوں بدلنا چاہیے؟ کیا ہم ایک کیلنڈر کو دوبارہ استعمال نہیں کر سکتے؟“ آپ کو کیا لگتا ہے؟
آپ نے شاید غور کیا ہو گا کہ پچھلے سال کا کیلنڈر اس سال سے مختلف تھا۔ اس کے علاوہ آنے والے سال کا کیلنڈر بھی پچھلے سالوں سے مختلف ہو گا۔
لیکن، کیا کسی بھی سال کا کیلنڈر کچھ سالوں بعد دوبارہ دہرایا جائے گا؟ کیا کسی سال کے تمام دن اور تاریخیں کسی دوسرے سال کے ساتھ بالکل مماثل ہوں گی؟
معلوم کیجیے

1 پر تبھا 4 ، 7 ، 3 اور 2 ہندسوں کا استعمال کرتی ہے اور ان سے 4۔ ہندسوں والا سب سے چھوٹا اور سب سے بڑا عدد بناتی ہے : 2347 اور 7432۔ ان دونوں اعداد کے درمیان کا فرق 7432 - 2347 = 5085 ہے۔ ان دو اعداد کی جمع 9779 ہے۔ مندرجہ ذیل کو بنانے کے لیے 4۔ ہندسوں کا انتخاب کیجیے:
a سب سے بڑے اور سب سے چھوٹے اعداد کے درمیان کا فرق 5085 سے بڑا ہو ۔
سب سے بڑے اور سب سے چھوٹے اعداد کے درمیان کا فرق 5085 سے چھوٹا ہو۔
سب سے بڑے اور سب سے چھوٹے اعداد کی جمع 9779 سے بڑی ہو ۔
سب سے بڑے اور سب سے چھوٹے اعداد کی جمع 9779 سے چھوٹی ہو۔
2 سب سے چھوٹے اور سب سے بڑے 5۔ ہندسوں والے مقلوب مستوی کا حاصل جمع کیا ہے ؟ ان کا فرق کیا ہے؟
3 ابھی وقت 10:01 ہے ۔ کتنے منٹ بعد گھڑی اگلا مقلوب مستوی وقت دکھائے گی؟ اور اس کے اگلے والے مقلوب مستوی کے متعلق کیا خیال ہے؟
4 کیپریکر مستقلہ تک پہنچنے کے لیے عدد 5683 کو کتنے چکر در کار ہیں؟

3.8 ذہنی ریاضی

نیچے دئی گئی تصویر کا مشاہدہ کیجیے۔ آپ اعداد اور کھینچے گئے خطوط (Lines) کے متعلق کیا کہہ سکتے ہیں؟

درمیانی کالم کے اعداد کو مختلف طریقوں سے اس طرح جوڑا گیا ہے جس سے کنارے کے کالم کے اعداد (3400 = 400 + 1500 + 1500 حاصل ہوں۔ بیچ کے اعداد کو مطلوبہ جمع حاصل کرنے کے لیے جتنی مرتبہ ضرورت ہو استعمال کیا جاسکتا ہے۔ مطلوبہ جمع حاصل کرنے کے لیے بیچ سے کنارے کے اعداد تک تیر کی شکل بنائیے۔ دو مثالیں دی گئی ہیں۔ اسے ذہنی طور پر کرنا آسان ہو گا!

38,800 =25,000 + 400 x 2 + 13,000 3400 = 1500 + 1500 +400

کیا ہم بیچ کے اعداد کی مدد سے 1000 بنا سکتے ہیں؟ کیوں نہیں؟ 14000 ، 15000 اور 16000 کے بارے میں کیا خیال ہے ؟ ہاں، ممکن ہے۔ دریافت کیجیے کیسے۔ کون سے ہزار نہیں بن سکتے؟
جمع کرنا اور تفریق کرنا

یہاں ڈبوں میں دیے گئے اعداد کا استعمال کرتے ہوئے ہم مطلوبہ عدد حاصل کرنے کے لیے جمع اور تفریق دونوں کا استعمال کر سکتے ہیں۔ یہاں ایک مثال دکھائی گئی ہے۔

ہند سے اور عوامل
یہ دو 5۔ ہندسوں والے اعداد کو جوڑ کر ، دوسرا 5 ہندسوں والا عدد حاصل کرنے کی ایک مثال ہے۔
12,350+ 24,545 = 36,895
یہ دو 5۔ ہندسوں والے اعداد کو تفریق کر کے، دوسرا 5 ہندسوں والا عدد حاصل کرنے کی ایک مثال ہے۔
48,95224,547 = 24,405
معلوم کیجیے
1. نیچے دیئے گئے ہر ایک منظر کے لیے ایک مثال دیجیے۔

کیا آپ دیے گئے سبھی مناظر کے لیے مثالیں دریافت کر سکتے ہیں؟ اگر نہیں، تو اس کی وجہ کو سوچیے اور بحث کیجیے۔ ایسے ہی دوسرے سوالات بنائیے اور اپنے ہم جماعتوں کو چیلنج کیجیے۔
2 ہمیشہ ، کبھی کبھی کبھی نہیں؟
ذیل میں دیے گئے چند بیانات ہیں سوچیے، دریافت کیجیے اور معلوم کیجیے کہ کیا ہر بیان ہمیشہ صحیح ، صرف کبھی کبھی صحیح ، یا کبھی صحیح نہیں ہے۔ آپ کو ایسا کیوں لگتا ہے؟ اپنے استدلال کو لکھیے اور جماعت میں بحث کیجیے۔
5 ہند سے + 5 ہند سے ایک 5 ہند سے کا عدد ملتا ہے۔
4 ہند سے + 2 ہند سے ایک 4 ہند سے کا عدد ملتا ہے۔
4 ہند سے + 2 ہند سے ایک 6 ہند سے کا عدد ملتا ہے۔
5 ہند سے 5 ہند سے ایک 5 ہند سے کا عدد ملتا ہے۔
5 ہند سے 2 ہند سے ایک 3 ہند سے کا عدد ملتا ہے۔

3.9 اعداد کے پیٹرن کا کھیل

یہاں چند اعداد کو کچھ پیٹرن میں ترتیب دیا گیا ہے۔ مندرجہ ذیل ہر ایک تصویر کے اعداد کا حاصل جمع کیجیے۔ کیا ہمیں انھیں انھیں یکے بعد دیگرے جوڑنا چاہیے یا ہم کوئی تیز تر طریقہ اختیار کر سکتے ہیں؟
آپ ان سوالات کو حل کرنے کے لیے جو مختلف طریقے استعمال کرتے ہیں اسے جماعت میں بتائیے اور بحث کیجیے۔

3.10 ایک غیر حل شده راز کو لائنز کا قیاس ! (Collatz Conjecture)

درج ذیل سلسلے کو دیکھیے۔ تمام تو اتروں میں ایک ہی اصول نافذ ہوتا ہے :
a. 12, 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
b. 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
c. 21, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1
d. 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
کیا آپ نے دیکھا کہ یہ تواتر کیسے تشکیل دیے گئے ہیں؟
قاعدہ یہ ہے : کوئی اسے کسی بھی عدد سے شروع کرتا ہے ؟ اگر وہ عدد جفت ہے، تو اس کا نصف لیجیے؛ اگر طاق ہے، تو اسے 3 سے ضرب کیجیے اور اس میں 1 جمع کیجیے؛ دہرائیے۔
غور کیجیے کہ دی گئیں چاروں تو اتر آخر کار عدد 1 تک پہنچتی ہیں۔ 1937 میں، جرمن ریاضی داں لوتھر کو لائنز نے یہ قیاس کیا کہ چاہے آپ کسی بھی صحیح عدد سے کوئی تواتر شروع کیجیے، یہ ہمیشہ 1 تک پہنچے گا۔ آج بھی بہت سے ریاضی داں کے اس پر کام کرنے کے باوجود یہ ایک حل طلب مسئلہ ہے کہ آیا کو لائنز کا قیاس درست ہے! کولائز کا یہ قیاس ریاضی کے مشہور غیر حل شدہ مسائل میں سے ایک ہے۔
اپنے پسندیدہ مکمل اعداد سے شروع کرتے ہوئے اوپر دیے گئے تو اتروں کی طرح کچھ اور تواتروں کی تشکیل کیجیے۔ کیا آپ ہمیشہ 1 تک پہنچتے ہیں؟
کیا آپ کو لائز کے اس قیاس پر یقین کرتے ہیں کہ سارے تسلسل آخر میں 1 تک پہنچیں گے۔ کیوں یا کیوں نہیں؟

3.11 ساده تخمینه

بعض اوقات، ہو سکتا ہے ہمیں اشیا کی صحیح گنتی کا علم نہ ہو یا ضرورت نہ ہو اور اس مقصد کے لیے ایک تخمینہ کافی ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر ، ہو سکتا ہے کہ آپ کے اسکول کے ہیڈ ماسٹر کو آپ کے اسکول میں پڑھنے والے طلباکی صحیح تعداد کا علم ہو، لیکن ممکن ہے کہ آپ کو صرف تخمینہ کی تعداد معلوم ہو۔ آپ کے اسکول میں کتنے طلب ہیں؟ تقریبا 400150؟ یا ہزار ؟
پرومیتا کی جماعت سیکشن میں 32 بچے ہیں۔ اس کی جماعت کے دیگر دو سیکشن میں 29 اور 35 بچے ہیں۔ اس لیے اس نے اعت میں کل بچوں کا تخمینہ تقریباً 100 لگایا ۔ جماعت 6 کے ساتھ ساتھ اس کے اسکول میں جماعت 7-10 بھی ہیں اور ہر جماعت کے 3 سیکشن ہیں۔ اس نے ساری جماعتوں میں یکساں تعداد فرض کرتے ہوئے اپنے اسکول میں طلبا کی تعداد کا اپنی اندازہ تقریباً 500 لگایا۔

معلوم کیجیے
ہم کچھ آسان اندازے کریں گے۔ یہ ایک پر لطف مشق ہے اور آپ کو ہمارے اطراف کے مختلف اعداد کے متعلق جاننا دل چسپ لگ سکتا ہے۔ خیال رہے، ہمیں مندرجہ ذیل سوالوں کے صحیح تعداد میں دل چسپی نہیں ہے۔ اپنے تخمینے - کے طریقے جماعت میں بتائیے۔

1 چلنے کے لیے آپ جو اقدام اٹھائیں گے:
a آپ کے بیٹھنے کی جگہ سے جماعت کے دروازے تک
اسکول کے میدان کے ایک سرے سے دوسرے سرے تک
آپ کی جماعت کے ب کی جماعت کے دروازے سے اسکول کے دروازے تک
آپ کے اسکول سے آپ کے گھر تک
2 جتنی بار آپ اپنی آنکھیں جھپکتے ہیں یا سانسیں لیتے ہیں:
a ایک منٹ میں
ایک گھنٹے میں
ایک دن میں
اپنے اردگر کی کچھ اشیا کے نام بتائیے جو :
a اعداد میں چند ہزار ہوں
اعداد میں دس ہزار سے زیادہ ہوں
جواب کا تخمینہ کیجیے
30 سیکنڈ میں اندازہ لگانے کی کوشش کیجیے۔ اپنے دوستوں کے ساتھ اپنا اندازہ چیک کیجیے۔
1 آپ کی ریاضی کی درسی کتاب میں الفاظ کی تعداد :
a 5000 سے زیادہ
5000 سے کم
2 آپ کے اسکول میں بس سے اسکول آنے والے طلبا کی تعداد :
a 200 سے زیادہ
200 سے کم
روشن دودھ اور 3 قسم کے پھل خریدنا چاہتا ہے تا کہ 5 افراد کے لیے فروٹ کسٹرڈ بنائے۔ وہ خرچ کا اندازہ 100 روپئے لگاتا ہے۔ کیا آپ اس سے متفق ہیں؟ کیوں یا کیوں نہیں؟
4 گاندھی نگر (گجرات) سے کو ہیما (ناگالینڈ ) کے بیچ کی دوری کا تخمینہ کیجیے۔
اشارہ : ان شہروں کو تلاش کرنے کے لیے ہندوستان کا نقشہ دیکھیے۔
5 شیتل درجہ 6 کی طالبہ ہے اور اس کا کہنا ہے کہ اس نے آج کی تاریخ تک تقریباً 13,000 گھنٹے اسکول میں گزارے ہیں۔ کیا آپ اس سے متفق ہیں؟ کیوں یا کیوں نہیں؟
6 پہلے لوگ طویل فاصلے پیدل طے کرتے تھے کیوں کہ ان کے پاس کوئی اور ذریعہ نقل و حمل نہیں تھا۔ فرض کیجیے کہ آپ اپنی عام رفتار سے چلتے ہیں تو آپ کو تقریباً کتنا وقت لگے گا:
آپ کے موجودہ مقام سے آپ کے کسی نزد یکی پسندیدہ مقامات تک۔
آپ کے موجودہ مقام سے کسی بھی پڑوسی ریاست کے دارالحکومت تک۔
ہندوستان کے جنوبی سرے سے ہندوستان کے شمالی سرے تک۔
کچھ تخمینہ سوالات بنائے اور اپنے ہم جماعتوں کو چیلنج کیجیے!

3.12 کھیل اور جیتنے کی تدابیر

اعداد کا استعمال نہ صرف کھیل کھیلنے بلکہ جیتنے کے طریقے تیار کرنے کے لیے بھی کیا جا سکتا ہے۔
یہاں ایک مشہور کھیل ہے جسے 21 کہتے ہیں۔ اسے اپنے کسی ہم جماعت کے ساتھ کھیلے۔ پھر اسے گھر والوں کے ساتھ گھر پر کھیلے!
کھیل کے اصول #1 پہلا کھلاڑی 1، 2 یا 3 کہتا ہے۔ پھر باری باری سے دونوں کھلاڑی اس عدد میں 1 ، 2 یا 3 وڑتے جاتے ہیں۔ پہلا کھلاڑی جو 21 تک پہنچے گا جیت جائے گا!
اس کھیل کو اپنے ہم جماعت کے ساتھ کئی دفعہ اور کھیلیے کیا آپ جیتنے کی حکمت عملی دیکھنا شروع کر رہے ہیں؟
اگر وہ صحیح طریقے سے کھیلیں تو کون ساکھلاڑی ہمیشہ جیت سکتا ہے ؟
اعداد کا وہ کون سا پیٹرن ہے جو جیتنے والے کھلاڑی کو کہنا چاہیے؟
اس کھیل کے بہت سے تغیرات ہیں۔ یہاں ایک اور عام تغیر ہے:
کھیل کے اصول 2 پہلا کھلاڑی 1 اور 10 کے بیچ کا کوئی عدد کہتا ہے۔ پھر دونوں کھلاڑی باری باری اس عدد میں 1
10 تک کے اعداد جوڑتے جاتے ہیں۔ پہلا کھلاڑی جو 99 تک پہنچے گا وہ جیت جائے گا۔
سے اس کھیل کو اپنے ہم جماعت کے ساتھ کئی بار کھیلے۔ دیکھیے آیا آپ اس سے متعلق جیتنے کی مماثل حکمت عملی معلوم کر سکتے ہیں! کون سا کھلاڑی ہمیشہ جیت سکتا ہے؟ اس دفعہ اعداد کے کون سے پیٹرن کی ترتیب جیتنے والے کھلاڑی کو کہنا چاہیے؟

اس کھیل کے اپنے اصول بنائیے۔ طے کیجیے کہ ہر باری میں کھلاڑی کتنے کا اضافہ کریں گے اور جیتنے والا عدد کیا ہو گا؟ پھر اس کھیل کو کئی بار کھیلیے اور جیتنے کی حکمت عملی معلوم کیجیے اور کون سا کھلاڑی ہمیشہ جیت سکتا ہے؟
معلوم کیجیے

1 اس گرڈ (Grid) میں صرف ایک سپر سیل سبھی پڑوسی اعداد سے بڑا عدد) ہے۔ اگر آپ کسی ایک عدد کے دو ہندسوں کو ایک دوسرے سے بدلتے ہیں تو 4 سپرسیل حاصل ہوں گے۔ معلوم کیجیے کہ کون سے ہند سے بدلتے ہیں۔

2 آپ کی پیدائش کے سال کو کیپریکر مستقلہ تک پہنچنے کے لیے کتنے مراحل در کار ہیں؟
ہم 35,000 اور 75,000 کے بیچ 5 ہندسوں کے اعداد کا گروپ ہیں، وہ جن کے سارے ہند سے طاق ہیں۔ ہمارے گروپ میں سب سے بڑا عدد کون سا ہے؟ کون ساعد دسب سے چھوٹا ہے ؟ ہم میں سے کون 50,000 کے قریب تر ہے؟
4 سال میں آپ اپنی ملنے والی چھٹیوں کا اندازہ لگائیے، جس میں ہفتہ وار چھٹیاں، تہوار اور بڑی چھٹیاں شامل ہوں۔ پھر صحیح تعداد معلوم کیجیے اور دیکھیے کہ آپ کا تخمینہ صحیح تعداد کے کتنے قریب ہے۔
ایک مگ، ایک بالٹی اور ایک پانی کی ٹنکی میں لیٹروں کی تعداد کا تخمینہ لگائیے۔
6 ایک 5- ہند سے اور دو 3 - ہند سے والے اعداد کو اس طرح لکھیے کہ ان کی جمع 18,670 ہو۔
7. 210 اور 390 کے درمیان ایک عدد منتخب کیجیے۔ سیکشن 3.9 میں دکھائے گئے پیٹرن کی طرح ایک عددی پیٹرن بنائیے جس کا حاصل اس عدد تک پہنچ جائے گا۔
8 باب 1 کے جدول 1 کے پاور 2 کے تواتر کو یاد کیجیے۔ اس تواتر میں تمام ابتدائی اعداد کے لیے کو لائنز کا قیاس کیوں درست ہے ؟

ابتدائی عدد 100 کے لیے کو لائز قیاس کی جانچ کیجیے۔
10. 0) سے شروع کرتے ہوئے کھلاڑی باری باری سے 1 اور 3 کے درمیانی عدد کو جوڑتے ہیں۔ پہلا شخص جو 22 تک پہنچتا ہے وہ جیت جاتا ہے۔ اب جیتنے کی حکمت عملی کیا ہے؟

خلاصه

• اعداد کو بہت سے مختلف مقاصد کے لیے استعمال کیا جاسکتا ہے مثلاً معلومات پہنچانا، پیٹرن بنانا اور دریافت کرنا، طول اور عرض کا تخمینہ لگانا اور معمہ کو تشکیل دینا اور حل کرنا اور کھیل کو کھیلنا اور جیتنا۔
• ان مقاصد کے لیے اعداد کے استعمال کے طریقہ کار کے متعلق سوچنا اور وضع کرنا ایک مفید مہارت اور صلاحیت ہے ( جسے حسیبی سوچ کہتے ہیں )۔
• اعداد سے متعلق بہت سے مسائل بنانا آسان ہو سکتا ہے لیکن انھیں حل کرنا اتنا ہی مشکل۔ در حقیقت اس طرح کے بے شمار مسائل ابھی بھی حل نہیں ہو سکے ہیں ( مثلاً کو لائز کا قیاس )۔