6
احاطہ اور رقبہ

(Perimeter and Area)

6.1احاطہ(Perimeter)

کیا آپ کو یاد ہے کہ بند مستوی شکل کا احاطہ کیا ہوتا ہے ؟ آئیے ! ہم اپنی یادداشت تازہ کرتے ہیں۔
کسی بھی بند مستوی شکل کا احاطہ وہ فاصلہ ہے جو اس کی حدود کے ہمراہ آپ ایک دفعہ چکر لگاتے ہیں۔ کثیر ضلعی (Polygon) یعنی قطع خطوط سے بنی کوئی بند مستوی شکل کے لیے احاطہ صرف اس کے تمام ضلعوں کی لمبائیوں کا حاصل جم ہوتا ہے، یعنی اس کا کل فاصلہ باہری حدود کے ہمراہ۔ جمع ایک بند مستوی شکل کا احاطہ = اس کے تمام ضلعوں کی لمبائیوں کا حاصل جمع۔ آئیے ! ہم مستطیل ، مربع اور مثلث کے احاطے کے لیے ان فارمولوں کو دہراتے ہیں۔

مستطیل کا احاطہ(Perimeter of a rectangle)

ایک ABCD مستطیل پر غور کیجیے جس کی لمبائی اور چوڑائی بالترتیب 12 سینٹی میٹر اور 8 سینٹی میٹر ہے۔ اس کا احاطہ کیا ہو گا؟ مستطیل کا احاطہ = اس کے چاروں ضلعوں کی لمبائیوں کا حاصل جمع

= AB + BC + CD + DA

= AB + BC + AB + BC
= 2 × AB + 2 × BC
= 2(AB + BC)
= 2(12cm + 8cm)
= 2 × (20 cm)
= 40 cm.

اس مثال سے ہم یہ دیکھتے ہیں کہ۔
ایک مستطیل کا احاطہ = لمبائی + چوڑائی + لمبائی + چوڑائی۔
مستطیل کا احاطہ = 2 × (لمبائی + چوڑائی)۔
مستطیل کا احاطہ اس کی لمبائی اور چوڑائی کے حاصل جمع کا دو گنا ہوتا ہے۔

مربع کا احاطہ(Perimeter of a square)

دیو جیت ایک چوکور (مربع) فوٹو فریم کے چاروں طرف ایک رنگین ٹیپ لگانا چاہتا ہے جس کا ایک ضلع ایک میٹر ہے جیسا کہ دکھایا گیا ہے۔ اسے کتنے لمبے رنگین ٹیپ کی ضرورت ہو گی ؟ چوں کہ دیو جیت اس مربع فوٹو فریم پر چاروں طرف ٹیپ لگانا چاہتا ہے، اسے اس فوٹو فریم کا احاطہ معلوم کرنے کی ضرورت ہے۔ اس طرح ، مطلوبہ ٹیپ کی لمبائی = مربع کا احاطہ

=مربع کے چاروں اضلاع کی لمبائیوں کا حاصل جمع
= 1 میٹر + 1 میٹر + 1 میٹر + 1 میٹر = 4 میٹر ۔
اب ہم جانتے ہیں کہ مربع کے چاروں اضلاع کی لمبائی برابر ہے۔ اس لیے ہر ضلع کی لمبائی کا حاصل جمع نکالنے کے بجائے ہم آسانی سے صرف ایک ضلع کی لمبائی کو 4 سے ضرب کر سکتے ہیں۔
اس طرح مطلوبہ ٹیپ کی لمبائی = 4 × 1 میٹر = 4 میٹر اس مثال سے ، ہم دیکھتے ہیں کہ
مربع کا احاطہ = 4 × ایک ضلع کی لمبائی ۔
مربع کا احاطہ اس کے اضلاع کی لمبائی کا چوگنا ہوتا ہے۔

مثلث کا احاطہ(Perimeter of a triangle)

ایک مثلث لیجیے جس کے دیئے گئے تینوں اضلاع کی لمبائیاں 4 سینٹی میٹر ، 5 سینٹی میٹر اور 7 سینٹی میٹر ہیں۔ اس کا احاطہ معلوم کیجیے۔
مثلث کا احاطہ = 4 سینٹی میٹر + 5 سینٹی میٹر + 7 سینٹی میٹر
= 16 سینٹی میٹر

ایک مثلث کا احاطہ = اس کے تینوں اضلاع کی لمبائیوں کا حاصل جمع مثال: اکشی ایک مستطیلی میز پوش کے چاروں طرف ایک بیل لگانا چاہتی ہے جس کی لمبائی 3 میٹر اور چوڑائی 2 میٹر ہے۔ اس کو کتنی لمبی بیل کی ضرورت پڑے گی۔
حل:

مستطیلی میز پوش کی لمبائی = 3 میٹر ۔
مستطیلی میز پوش کی چوڑائی = 2 میٹر ۔
اکشی میز پوش کے چاروں طرف بیل لگانا چاہتی ہے۔
اس لیے، مطلوبہ بیل کی لمبائی مستطیلی میز پوش کا احاطہ ہو گا۔
اب مستطیلی میز پوش کا احاطہ = 2 × (لمبائی + چوڑائی) X 10=^ prime hat + 5 * 2 =( hat j hat + 2+ hat j hat - 3)*2=
اس طرح مطلوبہ بیل کی لمبائی 10 میٹر ہے۔
مثال: اوشا اگر ایک مربع پارک کے تین چکر لگاتی ہے جس کا ایک ضلع 75 میٹر ہے تو اس کے ذریعے طے کیا گیا فاصلا معلوم کیجیے۔
حال

مربع پارک کا احاطہ = 4 × ضلع کی لمبائی = 4 × 75 میٹر = 300 میٹر ۔
اوشا کے ایک چکر کا طے شدہ فاصلہ = 300 میٹر ۔
اس لیے، اوشا کے ذریعے تین چکروں میں کل طے شدہ فاصلہ 3 × 300 میٹر = 900 میٹر ۔ =

معلوم کیجیے

1. 1. غائب ارکان معلوم کیجیے :
1. مستطیل کا احاطہ = 14 سینٹی میٹر چوڑائی = 2 سینٹی میٹر لمبائی = ؟
2. مربع کا احاطہ = 20 سینٹی میٹر ، ضلع کی لمبائی = ؟
3. مستطیل کا احاطہ = 12 میٹر لمبائی = 3 میٹر چوڑائی = ؟
2. 2 ایک تار سے بنا ہوا مستطیل جس کے اضلاع کی لمبائی 5 سینٹی میٹر اور 3 سینٹی میٹر ہے۔ اگر اس تار کو سیدھا کر کے پھر موڑ کر اس سے ایک مربع بنایا جائے تو اس مربع کے اضلاع کی لمبائی کیا ہوگی؟
3. ایک مثلث جس کا احاطہ 55 سینٹی میٹر اور اس کے 2 اضلاع کی لمبائی بالترتیب 20 سینٹی میٹر اور 14 سینٹی میٹر ہیں، اس کے تیسرے ضلع کی لمبائی معلوم کیجیے؟
4. 4 ایک مستطیلی پارک میں باڑ لگانے کی قیمت کیا ہو گی، جس کی لمبائی 150 میٹر اور چوڑائی 120 میٹر ہے، اگر باڑ لگانے کی قیمت 40 روپئے فی میٹر ہے؟
5. ایک ڈوری کی لمبائی 36 سینٹی میٹر ہے۔ اس کے ہر ضلع کی لمبائی معلوم کیجیے اگر اس کا استعمال ذیل کو بنانے میں کیا جائے :
1. a ایک مربع
2. ایک مثلث جس کے تینوں اضلاع برابر لمبائی کے ہوں، اور
3. ایک منظم چھ ضلعی (چھ ضلعی بند شکل) جس کے تمام اضلاع کی لمبائی برابر ہو ؟
6. ایک کسان جس کے پاس ایک مستطیلی کھیت ہے جس کی لمبائی 230 میٹر اور چوڑائی 160 میٹر ہے۔ وہ رسی کی تین چکروں سے اس کی باڑ لگانا چاہتا ہے جیسا کہ تصویر میں دکھایا گیا ہے۔ اس کو کل کتنی لمبی رسی مطلوب ہے؟

ہر پٹی ایک مستطیل ہے۔ اکشی کی پٹی کی لمبائی 70 میٹر اور چوڑائی 40 میٹر ہے۔ اس پٹی پر ایک مکمل چکر لگانے سے 220 میٹر کا فاصلہ طے ہو گا یعنی میٹر = 220 میٹر ۔ یہ اکشی کے ذریعے طے کیے گئے ایک پورے چکر کا (40 + 70) * 2 فاصلہ ہے۔

ہر پٹی ایک مستطیل ہے۔ اکشی کی بیٹی کی لمبائی 70 میٹر اور چوڑائی 40 میٹر ہے۔ اس پٹی پر ایک مکمل چکر لگانے سے 220 میٹر کا فاصلہ طے ہو گا یعنی (40 + 70) * 2 میٹر = 220 میٹر ۔ یہ اکشی کے ذریعے طے کیے گئے ایک پورے چکر کا فاصلہ ہے۔

معلوم کیجیے

1. 1 معلوم کیجیے اکشی نے 5 چکروں میں کل کتنا فاصلہ طے کیا ہے؟
2. 2 معلوم کیجیے توشی نے 7 چکروں میں کل کتنا فاصلہ طے کیا ہے۔ کس نے زیادہ فاصلہ طے کیا ہے؟
3. 3 سوچیے اور بتائے گئے مقامات کی نشاندہی کیجیے۔

1. 250 میٹر دوڑنے کے بعد اکشی کہاں ہو گی اس جگہ 'A' کا نشان لگائیے۔
2. 500 میٹر دوڑنے کے بعد اکشی کہاں ہو گی اس جگہ '' کا نشان لگائیے۔
3. اب کشی 1000 میٹر دوڑ چکی ہے۔ وہ اپنی پٹی پر کتنے چکر مکمل کر چکی ہے ؟ اس جگہ کی نشاندہی 'C' سے کیجیے۔
4. 250 میٹر دوڑنے کے بعد توشی کسی جگہ ہو گی اس پر 'X' کا نشان لگائیے۔
5. 500 میٹر دوڑنے کے بعد توشی کہاں ہو گی ، اس جگہ پر '' کا نشان لگائیے۔
6. اب توشی 1000 میٹر دوڑ چکی ہے وہ اپنی پٹی کے کل کتنے چکر مکمل کر چکی ہے؟ اس جگہ کی نشان دہی '' سے کیجیے۔

گہرا غوطہ: دوڑ میں تمام دوڑنے والوں کے لیے ایک عام اختتامی خط (Finish line ہوتی ہے۔ یہاں دو مربع شکل کی دوڑنے کی پٹیاں (Tracks) ہیں جس کی اندرونی پٹی کا ایک ضلع 100 میٹر کا ہے اور باہری پٹی کا ہر ضلع 150 میٹر کا ہے۔ دونوں دوڑنے والوں کی اختتامی خط مشتر کہ ہے اور جھنڈوں سے اس کی نشاندہی کی گئی ہے جو تصویر میں پیٹیوں کے اضلاع کے ایک ضلع کے درمیان میں ہیں۔ اگر کل دوڑ 350 میٹر کی ہے تو ہمیں یہ معلوم کرنا ہے کہ دونوں دوڑنے والوں کے ابتدائی مقامات ان دونوں پیٹیوں پر کہاں ہونے چاہیے، جن سے 350 میٹر دوڑنے کے بعد دونوں کا اختتامی خط مشترک ہو۔ اندرونی پٹی پر دوڑنے والے کے ابتدائی مقام پر 'A' کا نشان لگائیے اور باہری پٹی پر دوڑنے والے کے ابتدائی مقام پر 'B کا نشان لگائیے۔

تخمینہ لگائیے اور تصدیق کیجیے
کسی رف کاغذ کا ایک ٹکڑا یا اخبار کا کوئی ٹکڑا لیجیے۔ کاغذ کو مختلف طریقوں سے کاٹ کر کچھ بے ترتیب شکلیں (Shapes) بنائیے۔ ہر شکل کے حدود کی لمبائی کا تخمینہ لگائیے اور کسی پیمانہ یا پیمائشی ٹیپ کی مدد سے اس کے احاطے کی پیمائش کی تصدیق کیجیے۔ اکشی کہتی ہے کہ اس مثلث شکل کا احاطہ 9 اکائیاں ہیں۔ تو شی کہتی ہے یہ 19 کائیاں نہیں ہو سکتیں بلکہ اس کا احاطہ 19 کائیوں سے زیادہ ہو گا۔ آپ کیا سوچتے ہیں؟

اس شکل میں دو مختلف اکائیوں کی لمبائیاں ہیں۔ لال اور نیلیے خطوط کی لمبائی کو نا پیے، کیا دونوں یکساں ہیں؟ ہم لال خطوط کو سیدھے خطوط اور نیلے خطوط کو وتری خطوط (Diagonal lines) کہیں گے۔ اس لیے، اس مثلث کا احاطہ 6 سیدھی اکائیاں + 3 وتری اکائیاں ہیں ۔ ہم اس کو مختصراً 3d +6 اکائیوں کے طور پر لکھ سکتے ہیں۔ نیچے دی گئیں شکلوں کے احاطے سیدھی اور و تری اکائیوں کے لحاظ سے لکھیے۔

منظم کثیر ضلعی کا احاطہ (Perimeter of a regular polygon)

مربعوں کی طرح وہ بند شکلیں جن کے سارے اضلاع اور سارے زاویے برابر ہوں، منظم کثیر ضلعی (Regular )polygons کہلاتے ہیں۔
ہم نے منظم کثیر ضلعی تواتر کو دشکلی تواتر 1 کے طور پر سبق نمبر 1 میں مطالعہ کیا۔ منظم کثیر ضلعی کی مثالیں مساوی ضلعی مثلث (Equilateral) ہیں (جہاں تینوں اضلاع اور تینوں زاویے برابر ہوتے ہیں)، منظم پانچ ضلعی ( جہاں پانچوں اضلاع اور پانچوں زاویے برابر ہوتے ہیں) وغیرہ۔

مساوی ضلعی مثلث کا احاطہ (Perimeter of an equilateral triangle)

ہم جانتے ہیں کہ کسی بھی مثلث کا احاطہ اس کے تینوں اضلاع کا حاصل جمع ہوتا ہے۔ اس فہم کے ساتھ ، ہم مساوی ضلعی مثلث کا احاطہ معلوم کر سکتے ہیں۔

مساوی ضلعی مثلث کا احاطہ
AB+BC+AC=AB+AB+ AB
ایک ضلع کی تین گنا لمبائی مساوی ضلعی مثلث کا احاطہ = 3 × ایک ضلع کی لمبائی

ایک مربع اور مساوی ضلعی مثلث کے درمیان کیا مشابہت ہے؟
اپنے آس پاس کی چیزوں میں سے کچھ منظم شکلوں کی چیزیں لیجیے اور ان کا احاطہ معلوم کیجیے۔ اس کے علاوہ، دیگر منظم کثیر ضلعی کا احاط متعین کرنے کے لیے اپنی تفہیم کو عام بھی کیجیے۔

(Split and rejoin) توڑیئے اور دوبارہ جوڑیئے
ایک مستطیلی کاغذ کا ٹکڑا لیجیے جس کی پیمائش (Dimension) چھ سینٹی میٹر x 4 سینٹی میٹر ہو۔ اس کو دکھائی گئی شکل کے مطابق دو برابر حصوں میں کا لیے۔ یہ دونوں ٹکڑے مختلف طریقوں سے جڑے ہیں۔

مثال کے طور پر ترتیب - کا احاطہ 28 سینٹی میٹر ہے۔
نیچے دی گئیں مختلف ترتیبوں میں سے ہر ایک کے کنارے (یعنی، احاطہ) کی لمبائی معلوم کیجیے۔

دو ٹکڑوں کو ایک شکل بنانے کے لیے منظم کیجیے جس کا احاطہ 22 سینٹی میٹر ہو۔

6.2رقبه(Area)

پچھلی جماعتوں میں ہم بند شکلوں ( منظم اور غیر منظم) کے رقبے کے بارے میں پڑھ چکے ہیں۔ آئیے ہم چند کلیدی نقطوں کو دہرا لیتے ہیں۔ (Area) ایک بند شکل سے گھری ہوئی جگہ کی مقدار کو اس کا رقبہ کہتے ہیں، پچھلی جماعتوں میں ہم گرڈ پیپر کا استعمال کر کے ایک مستطیل اور مربع کے رقبے کے فارمولے تک پہنچے تھے۔ کیا آپ کو یاد ہے؟

آیئے ہم ان خیالات سے جڑے کچھ حقیقی زندگی کے مسائل کو دیکھتے ہیں۔
مثال: ایک فرش جس کی لمبائی 5 میٹر اور چوڑائی 4 میٹر ہے ۔ 3 میٹر اضلاع کا ایک مربع قالین فرش پر بچھا ہوا ہے۔ فرش کے اُس حصے کا رقبہ بتائیے، جہاں قالین نہیں ہے۔
حل:
فرش کی لمبائی = 5 میٹر ۔
فرش کی چوڑائی = 4 میٹر ۔
فرش کار قبہ = لمبائی چوڑائی = 5 میٹر 4x میٹر = 20 مربع میٹر ۔
مربع قالین کی لمبائی = 3 میٹر ۔
قالین کار قبہ = لمبائی لمبائی = 3 میٹر 3 میٹر = 9 مربع میٹر ۔
اس طرح فرش کا وہ حصہ جو قالین سے ڈھکا ہوا ہے۔ 9 اسکوائر میٹر ہے۔
اس لیے فرش کا وہ رقبہ جو قالین سے ڈھکا ہوا نہیں ہے، وہ ہے : فرش کارقبہ فرش کا وہ رقبہ جو ڈھکا ہوا ہے =20 مربع ومربع میٹر = 11 مربع میٹر
مثال: 12 میٹر لمبی اور 10 میٹر چوڑی زمین کے ٹکڑے کے چار کناروں پر چار مربع شکل کی پھولوں کی کیاریاں ہیں جس کا ہر ضلع 4 میٹر کا ہے۔ زمین کے باقی حصے کار قبہ معلوم کیجیے۔

حل زمین کی لمبائی 12 = (l) میٹر ۔
زمین کی چوڑائی () = 10 میٹر ۔
پوری زمین کا 12 = wl = dot Y میٹر 10 میٹر = 120 مربع میٹر ۔
چاروں پھولوں کی کیاریوں کے کنارے کی لمبائی (s) ہے = 4 میٹر ۔
ایک پھول والی کیاری کا رقبہ = sxs = 4 میٹر 4 میٹر = 16 مربع میٹر ۔
اس طرح پھول والی چاروں کیاریوں کا رقبہ = 4 × 16 مربع میٹر = 64 مربع میٹر اس لیے زمین کا باقی بچا رقبہ: زمین کا کل رقبہ تفرق چاروں پھول والی کیاریوں کا رقبہ = 120 مربع میٹر - 64 مربع میٹر = 56 مربع میٹر ۔

معلوم کیجیے

1. 25 میٹر لمبے ایک مستطیلی باغ کارقبہ جو 300 مربع میٹر ہے۔ باغ کی چوڑائی کیا ہوگی؟
2. 500 میٹر لمبے اور 200 میٹر چوڑے ایک مستطیلی پلاٹ ٹائل لگانے کی قیمت معلوم کیجیے اگر ہر 100 مربع میٹر کی قیمت 8 روپیے ہے۔
3. ایک مستطیلی ناریل کا باغ 100 میٹر لمبا اور 50 میٹر چوڑا ہے۔ اگر ہر ناریل کے درخت کو 25 مربع میٹر جگہ چاہیے تو اس باغ میں زیادہ سے زیادہ کتنے درخت لگائے جاسکتے ہیں؟
4. دی گئیں شکلوں کو مستطیل میں توڑ کر ان کارقبہ معلوم کیجیے۔ ( تمام پیمائشیں میٹر میں دی گئی ہیں)

معلوم کیجیے

آپ اپنی درسی کتاب کے آخر میں دیئے گئے ٹینگرام کے ٹکڑوں کو کاٹ کر نکالیے۔ معلوم کیجیے

دی گئیں شکلوں کو دیکھیے اور اندازہ لگائیے کہ کسی شکل کار قبہ زیادہ ہے۔

ہم کسی بھی آسان بند شکل کے رقبے کا اندازہ ایک مربع پیپر یا گراف پیپر کو استعمال کرتے ہوئے کر سکتے ہیں، جہاں ہر مربع کی پیمائش 1 ا کائی × 1 ا کائی یا 1 مربع اکائی ہے۔
رقبہ کا اندازہ لگانے کے لیے، ہم کسی شفاف پیپر پر شکل کی نشان دہی کر سکتے ہیں اور اسے کسی مربع کاغذ یا گراف پیپر پر رکھ کرمندرجہ ذیل ہدایات پر عمل کر سکتے ہیں۔
1 ایک گراف پیپر کا چھوٹا سا مربع کارقبہ 1 مربع اکائی کے طور پر لیا جاتا ہے۔
2 رقبے کا وہ حصہ جو نصف مربع سے کم ہو نظر انداز کیا جائے۔
3 اگر نصف مربع سے زیادہ حصے میں آرہا ہے تو اس کو 1 مربع اکائی گنا جائے۔
4 اگر حقیقی طور پر نصف مربع گنا گیا ہے تو اس کے رقبے کو ل مربع اکائی لیجیے۔
درج ذیل شکلوں کا رقبہ معلوم کیجیے۔

دریافت کیجیے
عام طور پر مربعوں کو استعمال کر کے رقبے کی پیمائش کیوں کی جاتی ہے؟ ایک گراف پیپر پر ایک دائرہ بنائیے جس کے قطر ( چوڑائی) کی لمبائی 3 ہو۔ مربعوں کی گنتی کیجیے اور دائروی علاقوں کے رقبے

کا اندازہ لگائیے۔ جیسا کہ آپ جانتے ہیں کہ دائروں کو خلا کے بغیر سختی سے باندھا نہیں جاسکتا۔ ان کے درمیان خلا رہے گی اس لیے اس کے رقبے کی حقیقی پیمائش دائروں کو اکائی مان کر کرنا بہت مشکل ہے۔ اسی طرح یہاں ایک مستطیل کو دو مختلف طریقوں سے دائروں سے بھرا گیا ہے۔ پہلے مستطیل میں 42 دائرے اور دوسرے میں 44 دائرے ہیں۔

مختلف شکلوں ( مثلث اور مربع) کو استعمال کر کے اس خلا کو پر کرنے کی کوشش کیجیے اور معلوم کیجیے کہ کسی اور طرح کی شکل کے بجائے مربع شکل کا استعمال کر کے رقبہ نکالنے کے کیا فائدے ہیں۔ اہم نقطے کی فہرست تیار کیجیے جو مربع کے ذریعے رقبہ نکالنے کے طریقے کو بہتر ثابت کرے۔ 1 راہداری کے باہر فرش کا رقبہ (مربع میٹر میں) معلوم کیجیے۔ 2 اپنے اسکول کے کھیل کے میدان کار قبہ ( مربع میٹر میں) معلوم کیجیے۔

دریافت کیجی
ایک مربعی گرڈ کاغذ ( 1 مربع = 1 مربع اکائی) پر جتنی ممکن ہو اتنی تعداد میں مستطیل بنائیے جن کی لمبائی اور چوڑائی ایسے اعداد و شمار کے مطابق ہو کہ مستطیل کا رقبہ 24 مربع اکائی ہو ۔

1. کسی مستطیل کا احاطہ سب سے بڑا ہے؟
2. کسی مستطیل کا احاطہ سب سے کم ہے ؟

اگر آپ 32 مربع سینٹی میٹر رقبے والا ایک مستطیل لیتے ہیں تو آپ کے جواب کیا ہوں گے؟ دیا گیا کوئی بھی رقبہ ہو، کیا یہ ممکن ہے کہ سب سے زیادہ احاطے والے مستطیل اور سب سے کم احاطے والے مستطیل کی پیش گوئی کی جاسکے؟ مثالیں دیجیے اور اپنے جواب کو دلیل سے واضح کیجیے۔

6.3مثلث کا رقبہ(Area of a Triangle)

کاغذ کے ایک ٹکڑے پر ایک مستطیل بنا کر اس کا ایک وتر بنائیے۔ استطیل کو ایک وتر (Diagonals) کے ساتھ کاٹ کر دو مثلث حاصل کیجیے۔
جانچ کیجیے ! کیا دونوں مثلث ایک دوسرے پر مکمل طور پر منطبق ہیں۔ کیا ان دونوں کا رقبہ یکساں ہے؟ اسی طرح اور زیادہ مستطیل جو مختلف طول و عرض کے ہوں بنائیے ۔ آپ اسے ایک مربع سے بھی جانچ سکتے ہیں۔
آپ اس مشق سے کیا نتیجے اخذ کر سکتے ہیں؟ برائے مہر بانی یہاں لکھیے۔

اب نیچے دی گئیں شکلوں کو دیکھیے۔ کیا نیلے رنگ کے مستطیل کا رقبہ پیلے رنگ کے مثلث کی بہ نسبت زیادہ ہے یا کم؟ یا یہ یکساں ہے؟ کیوں؟

کیا آپ نیلے مستطیل اور پہلے مثلث اور ان کے رقبے کے درمیان کوئی تعلق دیکھ سکتے ہیں؟ اس تعلق کو یہاں لکھیے۔

اپنے نتیجوں اور اوپر دی گئیں مشقوں میں دیکھے گئے تعلقات کی تصدیق کرنے کے لیے گرڈ کاغذ پر مناسب مثلث بنائیے۔
اپنی سابقہ جماعتوں کی سمجھ سے ایک گرڈ کاغذ کا استعمال کرتے ہوئے کسی بند شکل کے رقبے کا تخمینہ لگائیے اور۔
1 نیلے مثلث BAD کارقبہ معلوم کیجیے۔
2 سرخ مثلث ABE کارقبہ معلوم کیجیے۔

مستطیل ABCD کار قبه =
اس لیے مثلث BAD کار قبر مستطیل ABCD کے رقبے کا نصف ہے۔

اسی طرح مثلث BEF کارقبہ = مستطیل BFEC کے رقبے کا نصف۔
اس طرح مثلث ABE کا رقبہ
= مستطیل AFED کے رقبے کا نصف + BFEC مستطیل کا نصف رقبہ مستطیل AFED اور BFEC کے نصف رقبے کے حاصل جمع کا نصف
= ABCD مستطیل رقبے کا نصف ۔

معلوم کیجیے
1. مندرجہ ذیل شکلوں کا رقبہ انھیں مستطیل اور مثلث میں تقسیم کر کے معلوم کیجیے۔

کم یا زیادہ بنانا ان دونوں شکلوں پر غور کیجیے۔ کیا ان دونوں میں کوئی مماثلت یا فرق ہے؟

19 کائی والے مربعے (جن کا رقبہ 9 مربع اکائیاں ہوں) کا استعمال کرتے ہوئے اب تک ہم نے دو مختلف احاطوں والی شکلیں بنائی ہیں۔ پہلی شکل کا احاطہ 12 اکائیاں ہے اور دوسری شکل کا احاطہ 20 اکائیاں ہے۔
و مربع اکائیوں کے ساتھ دیگر احاطے حاصل کرنے کے لیے مختلف شکلیں ترتیب دیجیے یا بنائیے۔ ہر مربع کم سے کم ایک طرف مکمل طور پر ایک دوسرے مربعے کے ایک ضلع سے ہم صف ہونا چاہیے اور سبھی مربعے ساتھ مل کر ایک مکمل شکل بنانے چاہیے جس میں کوئی سوراخ نہ ہو۔
9 کائی والے مربعوں کو استعمال کر کے ان سوالوں کو حل کیجیے۔

1. 1. ممکنہ طور پر سب سے چھوٹا احاطہ کیا ہے؟
2. 2 ممکنہ طور پر سب سے بڑا احاطہ کیا ہے؟
3. 3 18 اکائیوں کے احاطے کے ساتھ ایک شکل بنائیے۔
4. 4 کیا آپ مذکورہ تینوں احاطے میں سے ہر ایک کے لیے مختلف شکلیں بنا سکتے ہیں، یا صرف ایک ہی شکل اس احاطے کے لیے ممکن ہے۔ آپ کی دلیل کیا ہے ؟

آئیے ہم کچھ پیچیدہ مشق کریں ! یہاں 24 اکائیوں پر مشتمل احاطے کی ایک شکل دی گئی ہے۔

پھر سے مکمل کیے بغیر ، غور کیجیے، سوچیے اور معلوم کیجیے اگر دائیں طرف دکھائے گئے ایک نئے مربع کو جوڑا جائے تو احاطے میں کیا تبدیلی آئے گی۔

اس نئے مربع کو مختلف مقامات پر رکھنے کا تجربہ کیجیے اور سوچیے کہ اس کے احاطے میں کیا تبدیلی آئے گی۔ کیا آپ مربعے کو ایسے رکھ سکتے ہیں کہ احاطہ : a) بڑھتا ہے ؛ b) گھٹتا ہے ؛ c) مساوی رہتا ہے؟

نیچے چرن کے گھر کا منصوبہ دیا گیا ہے۔ یہ ایک مستطیلی پلاٹ میں ہے منصوبے کو دیکھیے۔ آپ کیا غور کرتے ہیں؟

چند پیمائشیں دی گئی ہیں۔احاطے کی ایک شکل دی گئی ہے۔

• گمشدہ پیمائشیں معلوم کیجیے۔
• اس کے گھر کارقبہ معلوم کیجیے۔

اب شرن کے گھر کے گم شدہ حدود ابعاد اور رقبہ معلوم کیجیے۔ نیچے منصوبہ دیا گیا ہے۔

چند پیمائشیں دی گئی ہیں:

• گمشدہ پیمائش معلوم کیجیے۔
• اس کے گھر کارقبہ معلوم کیجیے۔

شرن کے گھر میں تمام مختلف کمروں کے حدود ابعاد (Dimension) کیا ہیں؟ شرن کے گھر اور چرن کے گھر کے رقبے اور احاطے کا موازنہ کیجیے۔

رقبہ سے تعلق معمے
ہر شکل میں اس کے ایک حصے کی یا تو ضلعی لمبائی یا علاقے کار قبہ معلوم کیجیے۔

معلوم کیجیے

1. ایک مستطیل کا حدود ابعاد معلوم کیجیے جس کا رقبہ ان دو مستطیلوں کے رقبے کا حاصل جمع ہے، جن کی پیمائشیں ہیں: 5 میٹر 10 میٹر اور 2 میٹر × 7 میٹر ۔
2. 2 50 میٹر لمبے ایک مستطیلی باغ کا رقبہ 1000 مربع میٹر ہے۔ اس باغ کی چوڑائی معلوم کیجیے۔
3. ایک کمرے کا فرش 5 میٹر لمبا اور 4 میٹر چوڑا ہے۔ ایک مربع قالین جس کے اضلاع کی لمبائی 3 میٹر ہے فرش پر بچھا ہوا ہے۔ فرش کے اُس حصے کا رقبہ بتائیے جس پر قالین نہیں بچھا ہے۔
4. 4 15 میٹر لمبے اور 12 میٹر چوڑے باغ کے چاروں کونوں پر 2 میٹر لمبی اور 1 میٹر چوڑی پھولوں کی چار کیاریاں کھدی ہیں۔ اب باغ میں لان کے لیے کتنی جگہ باقی بچے گی؟
5. 5 شکل A کارقبہ 18 مربع اکائی اور شکل B کا رقبہ 20 مربع اکائی ہے۔ شکل A کا احاطہ شکل B سے زیادہ ہے۔ دی گئی پیمائش کے مطابق دو ایسی شکلیں بنائیے جو ان شرائط کی تکمیل کرتی ہوں۔
6. اپنی کتاب کے ایک صفحے پر ایک مستطیلی بارڈر بنائیے جو اوپر اور نیچے سے 1 سینٹی میٹر اور بائیں اور دائیں سے 1.5 سینٹی میٹر ہو ۔ بارڈر کا احاطہ کیا ہے؟
7. 12 اکائی 18 کائی کا ایک مستطیل بنائیے ۔ اس کے اندر ایک اور مستطیل بنائیے بغیر باہری مستطیل کو چھوئے جو بالکل آدھا رقبہ گھیرے۔
8. ایک مربع کاغذ کے ٹکڑے کو آدھا کر کے موڑا گیا۔ مربع کو پھر موڑ سے دو مستطیلوں میں کاٹا گیا۔ مربع کے سائز کی پرواہ کیے بغیر ان میں سے ایک بیان ہمیشہ سچ ہے۔ کون سا بیان یہاں سچ ہے؟

• ہر ستطیل کا رقبہ مربع کے رقبے سے بڑا ہے۔
• مربعے کا احاطہ دونوں مستطیلوں کے احاطے کے حاصل جمع سے زیادہ ہے۔
• دو مستطیلوں کے احاطے کا حاصل جمع مربع کے احاطے کے مقابلے میں ہمیشہ 13 گنا بڑا ہوتا ہے۔
• مربع کار قبہ ہمیشہ دونوں مستطیلوں کے حاصل جمع کے مقابلے میں تین گنا بڑا ہے۔

خلاصه

• کثیر ضلعی (Polygon) کا احاطہ اس کے تمام اضلاع کی لمبائی کا حاصل جمع ہوتا ہے۔
• a ایک مستطیل کا احاطہ اس کی لمبائیوں اور چوڑائی کا دو گنا ہوتا ہے۔ .a
• ایک مربع کا احاطہ اس کے کسی ایک ضلع کی لمبائی کا چار گنا ہوتا ہے۔
• ایک بند شکل کار قبہ اس کے خطے کی پیمائش ہے جو اس شکل کے احاطے کے اندر ہے۔
• رقبہ عام طور پر مربع اکائیوں میں ناپا جاتا ہے۔
• مستطیل کار قبہ اس کی لمبائی اور چوڑائی کا ضرب ہے۔ مربع کار قبہ اس کے کسی بھی ایک ضلع کی لمبائی کو خود سے ضرب دینے کے برابر ہوتا ہے۔
• دو بند شکلوں کا رقبہ یکساں ہو سکتا ہے مختلف احاطے کے ساتھ یا یکساں احاطہ مختلف رقبے کے ساتھ۔
• خطے کے رقبے کی پیمائش کا تخمینہ ( یا حقیقی جاننے کے لیے) ان خطوں کو مربع اکائیوں میں توڑ کر لگایا جاسکتا ہے۔ پھر انھیں مزید عمومی شکل والے مستطیل اور مثلث، جن کے رقبے شمار کیے جاسکتے ہیں، کے ذریعے نکالا جا سکتا ہے۔