8
تشکیلات کے ساتھ کھیلنا
(Playing with Constructions)
8.1 آرٹ ورک
مندرجہ ذیل اشکال کو دیکھیے اور انھیں ہاتھ سے بنانے کی کوشش کیجیے۔
اب آپ ایک پیمانہ اور پر کار اٹھائیے۔ آیئے دریافت کرتے ہیں کہ کیا ہم ان شکلوں کو ان چیزوں سے بنا سکتے ہیں اور پر کار کے استعمال سے اچھی طرح واقف ہو سکتے ہیں۔
مشاہدہ کیجیے کہ پر کار کو کس طرح بنایا گیا ہے۔ کوئی شخص پر کار سے کیا بنا سکتا ہے؟ دریافت کیجیے!
کیا آپ کو معلوم ہے کنی (Curve) کیا ہیں؟ یہ وہ شکلیں ہیں جو کاغذ پر پنسل سے بنائی جاسکتی ہیں اور ان میں خط مستقیم، دائرہ اور دوسری شکلیں بھی شامل ہیں، جیسا کہ ذیل میں دکھایا گیا ہے:
اپنی کاپی پر ایک نقطہ P نشان زد کیجیے۔ پھر مختلف سمتوں میں زیادہ سے زیادہ ممکن نقطے نشان زد کیجیے جو نقطہ P سے 4 سینٹی میٹر کے فاصلے پر ہوں۔
سوچیے : نقطہ P سے 4 سینٹی میٹر کے فاصلے پر تمام نقطوں کو نشان زد کرنا تصور کیجیے۔ وہ کیسے نظر آئیں گے؟ منحنی پر کچھ نقطے بنائیے اور اس بات کی جانچ اور تصدیق کیجیے کہ کیا وہ نقطے P سے ٹھیک 4 سینٹی میٹر کے فاصلے پر ہیں۔
4 سینٹی میٹر R تلاش کیجیے اگر آپ نے ایسا پہلے نہیں کیا ہے، دیکھیے کہ کیا آپ اس مقصد کے لیے پر کار کا استعمال کر سکتے ہیں۔
آپ پر کار کا استعمال کر کے نقطہ P سے 4 سینٹی میٹر کے فاصلے پر کچھ نقطے نشان زد کر کے شروع کر سکتے ہیں، یہ کیسے کیا جا سکتا ہے؟
آپ کو کسی پیمانے کے مقابل پر کار کو کھولنا ہو گا (دیکھیے شکل 8.2) کچھ اس طرح کہ پر کار کی نوک اور پنسل کے درمیان کا فاصلہ 4 سینٹی میٹر ہو ۔
اب آپ پوری منحنی بنانے کی کوشش کیجیے۔
اشارہ : پر کار کی نوک کو ایک جگہ پر رکھیے اور صرف پنسل کو حرکت دیجیے۔
اس منحنی کی شکل کیا ہے ؟ یہ ایک دائرہ ہے!
دائرے پر ایک نقطہ لیجیے۔ P سے اس کا فاصلہ کیا ہو گا 4 سینٹی میٹر کے برابر ، 4 سینٹی میٹر سے کم یا 4 سینٹی میٹر سے زیادہ؟ اسی طرح سے اگر کوئی نقطہ دائرہ پر ہو تو نقطہ P سے اس نقطے کا فاصلہ کیا ہو گا؟
جیسا کہ شکل میں دکھایا گیا ہے نقطہ Pدائرہ کا مرکز (Centre) کہلاتا ہے اور اس نقطے سے دائرے پر موجود کسی بھی نقطے کا فاصلہ نصف قطر (Radius) کہلاتا ہے۔
اب پر کار کے استعمال سے آپ واقف ہو چکے ہیں، آگے بڑھیے اور شکل 8.1 میں دی گئی تصویروں کو دوبارہ بنائیے۔
کیا آپ شکلوں کو اتنا ہی اچھا بنا سکتے ہیں، جیسا کہ وہاں دکھایا گیا ہے ؟ اگر آپ چاہیں تو دوبارہ کوشش کر سکتے ہیں!
کیا آلات کے استعمال سے تشکیل آسان ہو گئی ہے؟ اب مندرجہ ذیل شکلوں کو بنانے کی کوشش کیجیے۔
تشکیل کیجیے
1 ایک شخص
آپ اسے کیسے بنائیں گے؟
یہاں یہ چیلنج معلوم کرنا ہے کہ اس منحنی کو بنانے کے لیے پر کار کی نوک کہاں رکھی جائے اور نصف قطر کتنا لیا جائے۔ آپ پر کار میں کوئی نصف قطر لے لیجیے اور منحنی حاصل کرنے کے لیے پر کار کی نوک کو مختلف مقامات پر رکھ کر کوشش کیجیے کہ کون سا مقام زیادہ مناسب ہے۔ اپنا تخمینہ استعمال کیجیے کہ پر کار کی نوک کہاں رکھی جائے۔
2 لہردار لہریں
اس کی تشکیل کیجیے۔
چوں کہ مرکزی خط کی لمبائی مخصوص نہیں کی گئی ہے تو ہم کوئی بھی لمبائی لے سکتے ہیں۔
آئیے مرکزی خط AB کو اس طرح لیتے ہیں کہ AB کی لمبائی 8 سینٹی میٹر ہو ، اسے ہم 8 = AB سینٹی میٹر لکھتے ہیں۔
یہاں پہلی لہر نصف دائرے کے شکل میں بنائی گئی ہے۔
معلوم کیجیے
- یہ نصف دائرہ حاصل کرنے کے لیے پر کار میں کتنا نصف قطر لیا جائے؟ AX کی لمبائی کیا ہونی چاہیے؟
- مختلف لمبائی والا مرکزی خط لیجیے اور اس پر لہر بنانے کی کوشش کیجیے۔
- وہ شکل دوبارہ بنانے کی کوشش کیجیے جہاں لہریں نصف دائرے سے چھوٹی ہوں (جیسا کہ ایک شخص کی گردن ) تصویر میں دکھائی دے رہی ہے )۔ یہاں چیلنج یہ ہے کہ دونوں لہریں ایک جیسی ہوں۔ یہ تھوڑا پیچیدہ ہو سکتا ہے!
3 آنکھیں
آپ پر کار کی مدد سے یہ آنکھیں کیسے بنائیں گے؟
اشارے کے لیے باب کے آخر میں جائیے۔
پیمانے اور پر کار کے ساتھ اپنی پسند کا دوسرا آرٹ ورک بنائیے۔
8.2 مربعے اور مستطیلیں
اب آئیے ہم ایسی سادہ شکلوں کو دیکھتے ہیں جن کا احاطہ ( Boundary) مستقیم خطوط ہوں۔
یہ کیسی شکلیں ہیں ؟ ہاں، یہ مربعے اور مستطیلیں ایسے ہیں جن سے ہم واقف ہیں۔ لیکن وہ کیا چیز ہے جوان مربعوں اور مستطیلوں کو بناتی ہے؟
مستطیل ABCD پر عور بیچے؟
نقطے C، B ، A اور D مستطیل کے کونے ہیں خطوط CD BC، AB اور DA اس کے اضلاع ہیں۔ اس کے زاویے ،C، B اور D ہیں۔
نیلے اضلاع AB اور CD مقابل اضلاع (Opposite sides) کہلاتے ہیں کیوں کہ یہ ایک دوسرے کے مقابل ہیں۔ اسی طرح AD اور BC مقابل اضلاع کا دوسرا جوڑا ہے۔
مستطیل میں اسے یاد کیجیے:
(1) مقابل اضلاع لمبائی میں برابر ہوتے ہیں، اور (2) تمام زوایے 900 کے ہوتے ہیں۔
مستطیلوں کی طرح ہی مربعے کے کونے اور اضلاع کی تعریف بیان کی جاتی ہے۔
ایک مربع مندرجہ ذیل دو خصوصیات کو پورا کرتا ہے:
(S1) تمام اضلاع برابر ہوتے ہیں اور
(S2) تمام زاویے 900 کے ہوتے ہیں۔
شکل 8.4 میں مستطیل اور اس کو دیے گئے نام ABCD کو دیکھیے۔ اس مستطیل کو ہم دوسرے نام بھی دے سکتے ہیں ۔ تو کیا ایک مستطیل کا نام اس BADC اور CBAD DCBA ADCB DABC ،CDAB ،BCDA-مثلاً کے کسی بھی کونوں کو ملا کر لکھا جا سکتا ہے؟ نہیں! مثال کے طور پر اس کو ABDC یا ACBD نام نہیں دیا جا سکتا۔ کیا آپ دیکھ سکتے ہیں کہ کون سے نام قابل قبول ہیں اور کون سے نہیں ہیں؟
صحیح نام وہی ہو گا جب کونے ترتیب میں ہوں گے۔ یعنی کسی ایک کونے سے شروع کر کے آمستطیل کے چاروں طرف چلیں۔
مندرجہ ذیل میں سے کون سا اس مربع کا نام نہیں ہے ؟
1. PQSR
2. SPQR
3. RSPQ
4. QRSP
گھومے ہوئے مربعے اور مستطیلیں
یہاں ایک مربع کاغذ کا ٹکڑا دیا ہوا ہے جس کے تمام اضلاع برابر ہیں اور تمام زاویے 900 کے ہیں۔ اس کو گھمایا گیا جیسا کہ شکل میں دکھایا گیا ہے ۔ کیا یہ اب بھی ایک مربع ہے؟
آیئے جانچتے ہیں کہ گھوما ہوا کاغذ کیا اب بھی مربع کی خصوصیات کو پورا کرتا ہے۔
- کیا تمام اضلاع اب بھی برابر ہیں؟ ہاں۔
- کیا تمام زاویے اب بھی 900 ہیں؟ ہاں۔
ایک مربع کو گھمانے سے اس کی لمبائی اور زاویے نہیں بدلتے۔
اس لیے یہ گھومی ہوئی شکل مربع کی دونوں خصوصیات پورا کرتی ہے۔ اس لیے یہ ایک مربع ہے۔
اسی استدلال سے ایک گھو ما ہوا مستطیل اب بھی ایک مستطیل ہی ہے۔
معلوم کیجیے
- 1. ایک ڈاٹ پیپر پر چار مربعے اور مستطیل بنائیے (جیسا کہ شکل 8.3 میں دکھایا گیا ہے )۔
- آپ نے اس شکل کو دوبارہ بنانے کے لیے کیا کیا کہ چاروں مربعے خوش اسلوبی مستطیل کے پاس رکھے گئے ہیں؟ اپنے ہم جماعتوں سے بحث کیجیے۔
- 2 اس مجموعے میں دیکھیے کہ کیا کوئی مربع موجود ہے۔ اگر ضرورت ہو تو پیمائشوں کا استعمال کیجیے۔
سوچیے: کیا ممکن ہے کہ اوپر دی ہوئی اشکال میں بغیر کسی پیمائشی آلوں کے استعمال کے آپ بتا سکتے ہیں کہ اضلاع برابر ہیں یا نہیں اور زاویے درست ہیں یا نہیں؟ کیا ہم صرف ڈاٹ گرڈ میں موجود کونوں کے مقام کو دیکھ کر ایسا کر سکتے ہیں؟
3 ڈاٹ گرڈ پر کم سے کم 3 گھومے ہوئے مربعے اور مستطیلیں بنائیے۔ انہیں اس طرح بنائیے کہ ان کے کونے ڈاٹ پر نہ ہوں۔ تصدیق کیجیے کہ آپ نے جو مربعے اور مستطیلیں بنائے ہیں وہ اپنی متعلقہ خصوصیات کو پورا کرتے ہیں۔
8.3 مربعوں اور مستطیلوں کی تشکیل
آئیے اب ہم مربعے اور مستطیلیں بنانا شروع کرتے ہیں۔ آپ 6 سینٹی میٹر ضلع کے ذریعے مربع کیسے بنائیں گے؟
مدد کے لیے آپ مندرجہ ذیل شکلوں کو دیکھ سکتے ہیں۔ ایک مربع PQRS تشکیل کیا گیا ہے جس کے ضلعے کی لمبائی 6 سینٹی
PQ پر عمودی خط بنانے کے لیے P سے گزرتا ہوا ایک نقطہ لگائیے۔
قدم 3
طریقہ 1
طریقہ 2
یہ پر کار کا استعمال کرتے ہوئے بھی کیا جاسکتا ہے۔
کیا آپ سمجھ سکتے ہیں کہ PS کی لمبائی 6 سینٹی میٹر کیوں ہونی چاہیے؟
اگر ہم نے پر کار کا استعمال کیا ہوتا تو اگلے نقطے کو آسانی سے اس کا استعمال کرتے ہوئے نشان زد کیا جا سکتا تھا! قدم 5
قدم 4
خط مستقیم PQ پر Q سے گزرتا ہوا عمودی خط بنائیے۔
قدم 6
تشکیل کیجیے
- 4 سینٹی میٹر اور 6 سینٹی میٹر اضلاع والا ایک مستطیل بنائیے ۔ بنانے کے بعد جانچ کیجیے کہ مستطیل کی دونوں خصوصیات کو پورا کرتا ہے۔
- 2 سینٹی میٹر اور 10 سینٹی میٹر اضلاع والا ایک مستطیل بنائیے۔ بنانے کے بعد جانچ کیجیے کہ مستطیل کی دونوں خصوصیات کو پورا کرتا ہے۔
- کیا ایک 4 ضلعی شکل کی تشکیل کرنا ممکن ہے جس میں۔
- تمام زاویے 900 کے برابر ہوں لیکن
- مقابل اضلاع برابر نہ ہوں؟
8.4 مستطیلوں کے بارے میں ایک کھوج
7 = AB سینٹی میٹر اور BC = 4 سینٹی میٹر کا ایک مستطیل ABCD بنائیے۔
تصور کیجیے کہ X ایک ایسا نقطہ ہے جے ضلع AD پر کہیں بھی منتقل کیا جا سکتا ہے ۔ اسی طرح تصور کیجیے کہ Y ایک ایسا نقطہ ہے جے ضلع BC پر کہیں بھی منتقل کیا جاسکتا ہے۔ نوٹ کیجیے کہ X کو بھی نقطہ A یا D کے سرے پر رکھا جا سکتا ہے۔ اسی طرح Y کو بھی B یا C کے سرے پر رکھا جا سکتا ہے۔
کن مقامات پر نقطے X اور Y ایک دوسرے سے سب سے زیادہ نزدیک ہوں گے؟ اور کب وہ ایک دوسرے سے سب سے زیادہ دور ہوں گے ؟ آپ کا وجدان کیا کہتا ہے ؟ اپنے ہم جماعتوں سے بحث کیجیے۔
اب آپ نقطے X اور Y کو اضلاع پر رکھ کر اپنے اس تخمینے کی تصدیق کر سکتے ہیں کہ دونوں کتنے دور اور کتنے پاس ہیں؟اور Y کے درمیان کا فاصلہ XY کی لمبائی کو ناپ کر حاصل کیا جا سکتا ہے۔
X اور Y کے درمیان کا کم سے کم فاصلہ AB کی لمبائی سے کیسے موازنہ کرتا ہے؟
اور Y کے مقام کو تبدیل کر کے جانچ کیجیے کہ کن مقامات پر وہ دونوں ایک دوسرے سے سب سے قریب یا سب سے دور ہیں۔ آپ مستطیل کی بہت سی نقلیں بنائیے اور X اور Y کے مختلف مقامات پر غور کیجیے۔
آپ X اور Y کے مختلف مقامات کے لیے XY کی لمبائیوں کا پتہ کیسے رکھیں گے؟
ایسا کرنے کا ایک طریقہ یہ ہے۔ مان لیجیے کہ آپ نے X اور Y کے لیے کچھ مقامات چن لیے ہیں: جب A سے 5 ملی میٹر کے فاصلہ پر X ہو اور Y سے 3 سینٹی میٹر کے فاصلہ پر B ہو تو XY= سینٹی میٹر ملی میٹر۔
جب A سے 1 سینٹی میٹر کے فاصلے پر X ہو اور B سے 1 سینٹی میٹر کے فاصلہ پر Y ہو تو XY= سینٹی میٹر ملی میٹر۔ .
. جب A سے 2 سینٹی میٹر کے فاصلے پر X ہو اور B سے 4 سینٹی میٹر کے فاصلہ پر Y ہو تو XY= سینٹی میٹر ملی میٹر اور اسی طرح سے آگے بھی۔
کیا اسے لکھنے کا کوئی آسان طریقہ ہے ؟ ان تمام جملوں میں صرف Y ، X کے مقام اور XY کی لمبائی میں تبدیلی ہوتی ہے۔ اس لیے ہم اس کو اس طرح لکھ سکتے ہیں:
| X A کا فاصلہ | B سے Y کا فاصلہ | XY کی لمبائی |
کیا آپ نے جانچ کیا ہے کہ جب X اور Y کو بالترتیب A اور B سے برابر فاصلے پر رکھا جاتا ہے تو XY کی لمبائی میں کیا ہوتا ہے ؟ مثال کے طور پر جیسے ان حالتوں میں:
| X A کا فاصلہ | B سے Y کا فاصلہ | کی لمبائی |
| 5 ملی میٹر | 5 ملی میٹر | |
| 1 سینٹی میٹر | 1 سینٹی میٹر | |
| 1 سینٹی میٹر 5 ملی میٹر | 1 سینٹی میٹر 5 ملی میٹر |
اور اسی طرح آگے۔
1 XY کی لمبائی کیسے AB سے موازنہ کرتی ہے اور 2 4 ضلعی شکل ABYX کی ہیئت ہے۔
اور Y کے درمیان کے سب سے بڑے فاصلے کا AC اور BD کی لمبائی سے موازنہ کیسے کرتے ہیں؟
تشکیل کیجیے
مستطیلوں کو توڑنا
ایک ایسا مستطیل بنائیے جس کو 3 مساوی مربعوں میں تقسیم کیا جا سکے۔ جیسا کہ تصویر میں دکھایا گیا ہے۔ حل
اگر یہ مشکل ہے تو آئیے ہم اسے مل کر آسان بناتے ہیں۔
دریافت کیجیے
ایک ایسے مستطیل کے بارے میں کیا خیال ہے جس کو دو مساوی مربعوں میں تقسیم کیا جاسکے ؟ کیا آپ کوشش کر سکتے ہیں؟
پہلے منصوبہ بنانا اور پھر تشکیل کرنا عقل مندی ہے۔ لیکن ہم منصوبہ کیسے بناتے ہیں؟ کیا آپ کوئی طریقہ سوچ سکتے ہیں؟
حتمی شکل کے تصور کا ایک طریقہ یہ ہے کہ اس کی ایک رف شکل بنائی جائے۔
ہم اس شکل سے کیا نتیجہ اخذ کر سکتے ہیں؟
کیا آپ مساوی اضلاع کی شناخت کر سکتے ہیں؟
چوں کہ دونوں مربعے یکساں ہیں۔
EDFE اور BC=AB
چوں کہ ABEF اور BCDE مربعے ہیں اس لیے ہر مربعے کے تمام اضلاع برابر ہیں۔ اس کو ہم اس طرح لکھ سکتے ہیں۔
AF=AB=BE=FE
BE=BC=CD=ED
اس لیے تمام چھوٹے خطوط برابر ہیں!
مساوی اضلاع کو روایتی طور پر ظاہر کیا جاتا ہے۔ اس کو خط پر ایک الگا کر کیا جاتا ہے۔ اس کی رف شکل کو دیکھیے۔
اس کا استعمال کرتے ہوئے کیا آپ اسے بنانے کی کوشش کر سکتے ہیں؟ یاد رکھیے کہ یہ ایک ایسا مستطیل بنانے کے لیے کیا گیا ہے جس کو تین یکساں مربعوں میں تقسیم کیا جاسکتا ہے اور جس میں کسی پیمائش کی کوئی بندش نہیں ہے۔
مستطیل ACDF کی تشکیل کے لیے، AF کو کوئی بھی لمبائی دی جاسکتی ہے۔
مثلاً اگر ہم 4 = AF سینٹی میٹر لیتے ہیں ، تو AC کی لمبائی کیا ہو گی؟
دریافت کیجے : کیا مستطیل کو مکمل کیا جا سکتا ہے؟
در حقیقت کوئی بھی شخص پیمانے کا استعمال کرتے ہوئے اس AF کی لمبائی کی پیمائش کیے بغیر بھی AF کھینچ کر آگے بڑھ سکتا ہے۔ ہم AF کے عمودی ایک اشاریہ خط کھینچ سکتے ہیں جس میں دوسرا ضلع بھی شامل ہو سکے۔ چوں کہ AF=AB ہے،
اس لیے نقطہ B حاصل کرنے کے لیے ہمیں AF کی لمبائی کو تبدیل کرنے کی ضرورت ہے۔ ہم پیمانے کے بغیر ایسا کیسے کریں گے؟ کیا ہم اسے پر کار کی مدد سے کر سکتے ہیں؟
مشاہدہ کیجیے کہ پر کار کا استعمال کرتے ہوئے AF کی لمبائی کی پیمائش کیسے کی جاتی ہے۔
اس کو استعمال کر کے نقطے B اور C نشان زد کیجیے اور مستطیل کو مکمل کیجیے۔
اس خیال کا استعمال کرتے ہوئے ایک ایسا مستطیل بنانے کی کوشش کیجیے جسے تین یکساں مربعوں میں تقسیم کیا جا سکتا ہو۔
ایک مستطیل کے اضلاع کی لمبائیاں بتائیے جن کو تقسیم نہیں کیا جاسکتا۔
. دو یکساں مربعوں میں۔
. تین یکساں مربعوں میں۔
تشکیل کیجیے
1. کسی مستطیل کے اندر ایک مربع
8 سینٹی میٹر اور 4 سینٹی میٹر کے اضلاع والا ایک مستطیل بنائیے۔ آپ اس کے اندر ایسا مربع کیسے بنائیں گے جیسا کہ شکل میں دکھایا گیا ہے تا کہ مستطیل اور مربع دونوں کا مرکز ایک ہو ؟
اس لیے نقطہ B حاصل کرنے کے لیے ہمیں AF کی لمبائی کو تبدیل کرنے کی ضرورت ہے۔ ہم پیمانے کے بغیر ایسا کیسے کریں گے؟ کیا ہم اسے پر کار کی مدد سے کر سکتے ہیں؟
مشاہدہ کیجیے کہ پر کار کا استعمال کرتے ہوئے AF کی لمبائی کی پیمائش کیسے کی جاتی ہے۔
اس کو استعمال کر کے نقطے B اور C نشان زد کیجیے اور مستطیل کو مکمل کیجیے۔
اس خیال کا استعمال کرتے ہوئے ایک ایسا مستطیل بنانے کی کوشش کیجیے جسے تین یکساں مربعوں میں تقسیم کیا جاسکتا ہو۔
ایک مستطیل کے اضلاع کی لمبائیاں بتائیے جن کو تقسیم نہیں کیا جا سکتا۔
. دو یکساں مربعوں میں۔
تین یکساں مربعوں میں۔
تشکیل کیجیے
1. کسی مستطیل کے اندر ایک مربع
8 سینٹی میٹر اور 4 سینٹی میٹر کے اضلاع والا ایک مستطیل بنائیے۔ آپ اس کے اندر ایسا مربع کیسے بنائیں گے جیسا کہ شکل میں دکھایا گیا ہے تا کہ مستطیل اور مربع دونوں کا مرکز ایک ہو ؟
اشارہ: ایک رف شکل بنائیے ۔ مربع کے ضلع کی لمبائی کیا ہو گی ؟ مربع کے کونوں اور باہری مستطیل کے درمیان فاصلہ کیا ہو گا؟
2. گرتے ہوئے مربعے
شیڈنگ (Shadings)
اس کی تشکیل کیجیے۔ اپنے پسند کی پیمائش لیجیے۔ نوٹ کیجیے کہ 4 بڑے ضلع والی شکل ایک مربع ہے اور اسی طرح چھوٹے ضلعے والی شکل بھی مربع ہے۔
5. زیادہ سوراخ والا مربع
6. منحنی کے ساتھ مربع
یہ ایک 8 سینٹی میٹر ضلعوں والا مربع ہے۔
اشارہ : سوجیسے کہ پر کار کی نوک کہاں رکھی جائے کہ ہر ضلع کے یکساں 4 نمایاں قوسین (Arcs) حاصل ہوں۔ اس کی کوشش کیجیے!
8.5 مستطیلوں اور مربعوں کے وتروں کی دریافت
ایک مستطیل PQRS لیجیے۔ PR اور QS کو ملائیے ۔ یہ دو خطوط مستطیل کے وتر (Diagonals) کہلاتے ہیں۔
وتروں کی لمبائی کا موازنہ کیجیے۔ پہلے جواب کی پیشن گوئی کیجیے۔ پھر ایک مستطیل کی تشکیل کیجیے اور نقطوں کو نشان زد کیجیے جیسے کہ دکھایا گیا ہے۔ پھر وتروں کی پیمائش کیجیے۔
مستطیل PQRS میں P اور R زاویہ قائمہ ہیں، جن کو ہم مقابل زاویہ کہتے ہیں۔ مقابل زاویوں کا دوسرا جوڑا قائمہ زاویے Q اور S پر ہے۔
مشاہدہ کیجیے کہ وتر مقابل زاویوں کے جوڑوں کو دو چھوٹے زاویوں میں تقسیم کرتا ہے۔ شکل میں وتر PR ، زاویہ R کو دو چھوٹے زاویوں میں تقسیم کرتا ہے جن کو ہم زاویہ g اور h کہتے ہیں۔ یہ وتر زاویہ P کو بھی ، اور d میں تقسیم کرتا ہے۔ کیا g اور h زاویے برابر ہیں؟ کیا ، اور d زاویے برابر ہیں؟
پہلے جوابات کا اندازہ کیجیے اور پھر زاویوں کی پیمائش کیجیے۔ آپ کیا مشاہدہ کرتے ہیں؟ برابر زاویوں کے جوڑوں کی نشاندہی کیجیے۔
دریافت کیجیے
مستطیل کی تشکیل کیسے کی جائے کہ اس کا وتر مقابل زاویوں کو برابر حصوں میں بانٹے؟
آپ اپنے مشاہدات کیسے ریکارڈ کریں گے؟ پہلے ان پیمائشوں کی شناخت کیجیے جن کو معلوم کرنے کی ضرورت ہے۔ وہ مستطیل کے اضلاع اور دو وتروں سے بنائے گئے 8 زاویے ہیں۔ کیا کوئی اور پیمائشیں ہیں جو آپ معلوم کرنا چاہیں گے۔
| اضلاع | A | B | C | D | E | F | G | H |
اپنے تجربے کے عمل میں کیا آپ نے اس معاملے پر غور کیا جب مستطیل کے چاروں اضلاع برابر ہوں؟ یعنی کیا آپ نے مربع کے معاملے پر غور کیا؟ دیکھیے اس مخصوص حالت میں کیا واقع ہوتا ہے!
آپ نے اضلاع اور زاویوں سے متعلق کون سے عمومی قوانین کے بارے میں مشاہدہ کیا ؟ ان کی فہرست بنائیے اور اپنے ہم جماعتوں کے ساتھ بحث کیجیے۔
کوئی کیسے مطمئن ہو سکتا ہے کہ وہ قوانین جن کا آپ نے مشاہدہ کیا ہے وہ ہمیشہ صحیح ہوں گے؟
تشکیل کیجیے
. ایک ایسا مستطیل بنائیے جس میں کوئی بھی ایک وتر مقابل زاویوں کو °60 اور 300 میں تقسیم کرتا ہے۔ 1
آئیے ہم ایک رف شکل سے شروع کرتے ہیں۔ حل:
اس کے حصوں کو کس ترتیب میں بنایا جائے؟
ہم مختصر طور پر ایک مکن تشکیل کی ترتیب کا خاکہ بناتے ہیں۔
قدم 1
اس کے حصوں کو کس ترتیب میں بنایا جائے؟
ہم مختصر طور پر ایک مکہ تشکیل کی ترتیب کا خاکہ بناتے ہیں۔ قدم 1
AB کو اپنی پسند کی لمبائی لے کر بنایا گیا۔ اگلا نقطہ کون سا ہے جس کی نشاندہی ہو سکتی ہے؟
AB کو اپنی پسند کی لمبائی لے کر بنایا گیا۔ اگلا نقطہ کون سا ہے جس کی نشاندہی ہو سکتی ہے؟
ہم اس خط کو جانتے ہیں جس پر D واقع ہے ۔ A سے گزرتے ہوئے عمود AB پر ایک خط بنائیے۔ قدم 3
اب A کے دو زاویوں میں تقسیم کیا گیا ہے۔ ایک کی پیمائش 600 ہے۔ دوسرے زاویے کی جانچ کیجیے۔
نقطہ D کو معلوم کرنے کے کم سے کم دو طریقے ہیں۔
. ایک اس حقیقت کو استعمال کرتے ہیں کہ مستطیل کے تمام زاویے، قائمہ زاویے ہوتے ہیں۔
. دوسرے اس حقیقت کو استعمال کرتے ہیں کہ مستطیل کے مقابل اضلاع برابر ہوتے ہیں۔
اب A دو زاویوں میں تقسیم کیا گیا ہے۔ ایک کی پیمائش 600 ہے۔ دوسرے زاویے کی جانچ کیجیے۔
نقطہ D کو معلوم کرنے کے کم سے کم دو طریقے ہیں۔
ا
- یک اس حقیقت کو استعمال کرتے ہیں کہ مستطیل کے تمام زاویے، قائمہ زاویے ہوتے ہیں۔
- دوسرے اس حقیقت کو استعمال کرتے ہیں کہ مستطیل کے مقابل اضلاع برابر ہوتے ہ
قدم 4
طریقہ 1
BC کے نقطہ C پر ایک عمود بنائیے تا کہ نقطہ D حاصل ہو سکے۔ طریقہ 2
ایک پر کار کا استعمال کرتے ہوئے نقطہ D کو اس طرح نشان زد کیجیے کہ AD=BC ہو ۔ CD کو ملائیے اور مطلوبہ مستطیل حاصل کیجیے۔
ہم دیکھ چکے ہیں کہ ہم مستطیلیں کیسے بناتے ہیں جب ان کے اضلاع دیئے گئے ہوں۔ لیکن اگر ایک ضلع اور ایک وتر دیا جائے تو ہم کیا کرتے ہیں؟
. ایک مستطیل کی تشکیل کیجیے جس کے ایک اضلاع کی لمبائی 5 سینٹی میٹر ہو او روتر کی لمبائی 7 سینٹی میٹر ہو۔ 2
حل آئیے ہم ایک رف شکل بناتے ہیں۔ آئے تشکیل کے اقدامات طے کرتے ہیں۔ سب سے پہلے کون ساخط کھینچ سکتے ہیں ؟ قدم 1
5 سینٹی میٹر کی لمبائی والے اساس (CD (base کو ہم آسانی سے بنا سکتے ہیں۔ قدم 1
5 سینٹی میٹر کی لمبائی والے اساس (CD (base کو ہم آسانی سے بنا سکتے ہیں۔
اگلا؟ قدم 2 خط DC کے نقطہ C پر ایک عمود بنائیے۔اسے ہم 1 کہیں گے۔
یہ آسان ہے کیوں کہ ہم جانتے ہیں کہ یہ خط اساس کے عمود میں ہے۔ نقطہ B کو کہیں اس خط ] پر ہونا چاہیے۔
ہم اسے کیسے تلاش کرتے ہیں؟ ہم B کے مقام کے بارے میں اور کیا جانتے ہیں؟
ہم جانتے ہیں کہ یہ نقطہ D سے 7 سینٹی میٹر کے فاصلے پر ہے۔
نقطه B کو نشان زد کرنے کا ایک طریقہ تو یہ ہے کہ ایک پیمانہ لیجیے اور نقطہ D سے 7 سینٹی میٹر حاصل کرنے کے لیے خط کے ہمراہ اس کو حرکت دیجیے۔ تاہم اس کے لیے ہمیں کوشش اور خطا (Trial and error) کی ضرورت ہوتی ہے۔
ایک اور موثر طریقہ ہے جو کوشش اور خطا پر مبنی نہیں ہے ں ہے۔
اس کے لیے نقطہ D سے 7 سینٹی میٹر کے فاصلہ پر نقطہ B حاصل کرنے کے بجائے آیئے ہم ایک ایسا طریقہ اپناتے ہیں جس میں نقطہ D سے 7 سینٹی میٹر کے فاصلہ پر موجود تمام نقطے حاصل کیے جاسکیں۔
ہم جانتے ہیں کہ شکل کیا ہے !
قدم 3 طریقہ 1
D کو مرکز مانتے ہوئے 7 سینٹی میٹر نصف قطر والا ایک دائرہ بنائیے۔
کیا آپ یہاں نقطہ B کو تلاش کر سکتے ہیں؟ یاد رکھیے کہ یہ خط پر واقع ہے اور نقطہ D سے 7 سینٹی میٹر کے فاصلے
اس نقطہ پر غور کیجیے جہاں دائرہ اور خط ایک دوسرے کو کاٹتے ہیں۔ نقطہ D سے اس کا فاصلہ کیا ہے؟ اگر ضروری ہو تو دی ہوئی شکل کی جانچ کیجیے۔ آپ کیا مشاہدہ کرتے ہیں؟ پر ہے۔
جس مقام پر دائرہ خطا کو قطع کرتا ہے، وہ مطلوبہ نقطہ B ہے۔
نقطه B تلاش کرنے کے لیے کیا پورا دائرہ بناناضروری تھا ؟ ہم دیکھ سکتے ہیں کہ خط کے نزدیک صرف قوس (Arc) مطلوب ہے۔ اس لیے تیسرا قدم نیچے دی ہوئی شکل میں دکھائے گئے طریقے کی طرح بھی مکمل کیا جا سکتا ہے۔ طریقہ 2
مستطیل کے تین نقطے نشان زد کرنے کے بعد ہمیں صرف اسے مکمل کرنے کی ضرورت ہے۔ یاد کیجیے ہم پچھلے سوال میں بھی ایسی ہی حالت سے دو چار تھے۔ ہم نے یہاں مستطیل کو مکمل کرنے کے دو طریقے دیکھے۔ ہم ان میں سے کسی ایک طریقے کو اپنا سکتے تھے۔
قدم 4
نقطہ D اور B سے گزرتے ہوئے بالترتیب عمود DC اور BC بنائیے۔ جس نقطے پر یہ دونوں خطوط ملتے ہیں وہ چوتھا نقطہ ہے۔
نقطہ D اور B سے گزرتے ہوئے بالترتیب عمود DC اور BC بنائیے۔ جس نقطے پر یہ دونوں خطوط ملتے ہیں وہ چوتھا نقطہ ہے۔
تشکیل کیجیے
- 1 ایک مستطیل بنائیے جس کا ایک وتر مقابل زاویوں کو 500 اور 400 میں تقسیم کرتا ہے۔
- 2 ایک مستطیل بنائیے جس کا ایک وتر مقابل زاویوں کو 450 اور 450 میں تقسیم کرتا ہے۔ آپ اضلاع کے بارے میں کیا مشاہدہ کرتے ہیں؟
- 3 ایک مستطیل بنائیے جس میں ایک ضلع کی لمبائی 4 سینٹی میٹر اور وتر کی لمبائی 8 سینٹی میٹر ہو۔
- 4 ایک مستطیل بنائیے جس میں ایک ضلع کی لمبائی 3 سینٹی میٹر اور وتر کی لمبائی 7 سینٹی میٹر ہو۔
8.6 دو دیے گئے نقطوں سے یکساں فاصلہ پر موجود نقطے
تشکیل کیجیے مکان
اس شکل کو دوبارہ بنائیے۔
نوٹ کیجیے کہ گھر کی سرحد بنانے والے تمام خطوط کی لمبائی 5 سینٹی میٹر ہے۔
حل پہلا کام یہ شناخت کرنا ہے کہ خطوط اور منحنی کس ترتیب کے مطابق بنانا ہے۔
قدم 1
کیا آپ شکل کو مکمل کر سکتے ہیں؟ کوشش کیجیے!
ہمیں نقطہ A کو تلاش کرنا ہے جو نقطہ B اور C سے 5 سینٹی میٹر کے فاصلے پر ہے ۔ آپ نے شاید محسوس کیا ہو گا کہ یہ پیمانے کا استعمال کر کے کیا جاسکتا ہے۔ حالاں کہ یہ بہت کوشش اور غلطی کی طرف لے جائے گا۔ اس تشکیل کو مزید آسان بنایا جاسکتا ہے۔ کیسے؟
اگر آپ نے یہ اندازہ لگایا ہے کہ آپ اسے پر کار کی مدد سے کر سکتے ہیں تو آپ بالکل صحیح ہیں! آگے بڑھیے اور معلوم کیجیے کہ نقطہ A کو کوشش اور غلطی کے بغیر کیسے معلوم کیا جاسکتا ہے۔
اس مسئلے میں نقطہ A ڈھونڈ نا اور پچھلے حصے (صفحہ 209 دیکھیں) کے دوسرے حل شدہ مثال کے قدم 3 میں نقطہ B کو ڈھونڈ نے میں مشابہت ہے۔ قدم 2
ایک منحنی بنائیے جس کے تمام نقطے نقطہ 3 سے 5 سینٹی میٹر کے فاصلے پر ہوں ؟ وہ دائرہ جس کا مرکز B ہو اس کا نصف قطر 5 سینٹی میٹر ہونا چاہیے۔
کیا اس سے آپ کو نقطہ A تلاش کرنے میں مدد ملتی ہے ؟ تشکیل کیجیے اور شکل میں تلاش کیجیے۔
نقطہ A کو تلاش کیا جاسکتا ہے اگر ہم دائرے پر وہ درست نقطہ تلاش کریں جو نقطہ C سے 5 سینٹی میٹر کے فاصلے پر ہو۔
پھر اس کو دوبارہ پیمانے کی مدد سے معلوم کیا جا سکتا ہے۔ لیکن کیا ہم اس کے لیے پر کار استعمال کر سکتے ہیں؟
قدم 3 پر کار میں 5 سینٹی میٹر کا نصف قطر لیجیے اور C کو مرکز بنا کر ایک دائرہ بنائیے۔ طریقہ 1
کیا آپ نقطه A کو تلاش کر پارہے ہیں؟ اپنی کاپی میں اس شکل کی جانچ کیجیے۔ آپ کیا مشاہدہ کرتے ہیں؟
اس نقطہ کو دیکھے جہاں دونوں دائرے ایک دوسرے کو قطع کرتے ہیں۔ یہ نقطہ B سے کتنے فاصلے پر ہے؟
یہ نقطہ C سے کتنے فاصلے پر ہے؟اس طرح یہ نقطہ A ہے !
سوچے
کیا نقطہ A حاصل کرنے کے لیے دو مکمل دائرے بنانا ضروری تھا؟ ہمیں دونوں دائروں کے صرف ایک حصے کی ضرورت تھی۔
طریقہ 2
اس لیے نقطہ A کو نقطہ B اور C سے صرف 5 سینٹی میٹر نصف قطر کا قوس بنا کر بھی حاصل کیا جا سکتا تھا۔
خطوط مستقیم کے ذریعے A کو نقطہ B اور C سے ملائیے۔
نقطہ A حاصل کرنے کے بعد باقی کام صرف باقی قوس کی تشکیل کرنا ہے۔ ہم اسے کیسے کرتے ہیں؟
کیا ہم اس حقیقت کا استعمال کر سکتے ہیں کہ نقطہ A ، نقطہ B اور نقطہ C دونوں سے ہی 5 سینٹی میٹر کے فاصلے پر ہے ؟
قدم 4
پر کار میں 5 سینٹی میٹر کا نصف قطر لیجیے اور A سے قوس بنائیے جو B اور C کو چھوتے ہوں جس طرح اس شکل میں ظاہر ہے۔
مکان تیار ہے !
تشکیل کیجیے
- . ایک بڑا مکان بنائیے جس کے تمام اضلاع کی لمبائی 7 سینٹی میٹر ہو۔
- سیکشن آرٹ ورک سے شخص ، لہر دار لہروں ، اور آنکھوں کو دوبارہ بنانے کی کوشش کیجیے، ان خیالات کا استعمال کرتے ہوئے جو گھر کی تشکیل میں شامل ہیں۔
- کیا کوئی ضلعی شکل ہے جس کے تمام اضلاع لمبائی میں برابر ہوں لیکن وہ مربع نہ ہو؟ اگر ایسی کوئی تصویر موجود ہے تو کیا آپ اس کی تشکیل کر سکتے ہیں؟
- اشاری
آنکھیں (8.1) آرٹ ورک اور مذکورہ تشکیل (صفحہ نمبر (215) سے)۔ (A
اس سے پہلے تشکیل کا ایک حصہ دکھایا گیا ہے۔ اسے محتاط ہو کر مشاہدہ کیجیے۔ آپ دیکھیں گے کہ دو افقی خطوط ہلکے انداز کے بنائے گئے ہیں۔ جیومیٹری کی تشکیلات میں کسی کو اکثر معاون خمیدہ خطوط یا نقوش بنانے پڑتے ہیں جو دیے گئے نقش کا حصہ نہیں ہوتے لیکن اس کی تشکیل میں معاون ہوتے ہیں۔ A
آنکھ کی اوپری اور نچلی خط منحنی بنانے کی تکنیک وہی ہے جو ” ایک شخص کی شکل میں استعمال ہوئی ہے۔ نقطہ A اور B وہ مقامات ہیں جہاں پر کار کی نوک کو آنکھ کی خمیدہ لکیر بناتے وقت رکھا جاتا ہے۔ نوٹ کیجیے کہ اوپری خمیدہ لکیر اور نچلی خمیدہ لکیر مل کر متشاکل (Symmetry) نقش بناتی ہیں۔ ایسا ہونے کے لیے A اور B نقطوں کو کہاں رکھا جائے؟ بہتر تخمینہ کیجیے ۔
جتنا ممکن ہوا تنا متشاکل اور یکساں آنکھیں بنانے کی کوشش کیجیے۔ اس سلسلے میں کئی کوششیں ضروری ہو سکتی ہیں۔
B) (مذکورہ تشکیل (صفحہ نمبر (211)
تشکیل کے مقصد کے لیے آئیے ہم ضلعوں کی لمبائی کو 5 سینٹی میٹر لیتے ہیں۔ اس شکل پر غور کیجیے۔
اس شکل کو 4 ضلعی شکل بنانے کے لیے ہمیں صرف ایک اور نقطہ کو شناخت کرنے کی ضرورت ہے۔ مان لیجیے وہ نقطہ D ہے جسے B اور C دونوں سے 5 سینٹی میٹر کے فاصلے پر ہونا چاہیے۔ ایسا نقطہ کیسے حاصل ہو سکتا ہے؟
کیا مکان کے مسئلے میں استعمال ہونے والے تصورات میں سے کسی کو یہاں استعمال کیا جا سکتا ہے؟
خلاصه
- دائرے پر موجود تمام نقطے مرکز( Centre) سے برابر کے فاصلے پر ہیں۔ یہ فاصلہ دائرے کا نصف قطر (Radius) کہلاتا ہے۔
- دائرے اور ان کے مختلف حصے بنانے کے لیے پر کار کا استعمال کیا جا سکتا ہے۔
- کسی دی ہوئی شکل کی تشکیل کی منصوبہ بندی کرنے کے لیے کوئی رف شکل مفید ہو سکتی ہے۔
- ایک مستطیل کی تشکیل کی جا سکتی ہے اگر اس کے اضلاع کی لمبائیاں دی ہوئی ہوں، یا کوئی ایک ضلع اور وتر دیے ہوئے ہوں۔