9 تشاكل
(Symmetry)

او پر دی گئیں تصاویر میں کچھ خوب صورتی ہے۔

پھول مختلف زاویوں سے ایک جیسے دکھائی دیتے ہیں ۔ تلی کے متعلق آپ کا کیا خیال ہے؟ بلاشبہ اس کے رنگ بہت دل کش ہیں۔ لیکن تتلی کی اور کون سی چیز آپ کو پسند آتی ہے؟

ان تصاویر میں یہ ظاہر ہوتا ہے کہ شکل کے کچھ حصے دہرائے گئے ہیں اور ایسا لگتا ہے کہ یہ ایک مخصوص پیٹرن میں نم آتے ہیں۔ کیا آپ دیکھ سکتے ہیں کہ اس خوب صورت رنگولی کی شکل میں کیا پیٹرن دہرایا جاتا ہے؟ رنگولی میں،

پھول کو مرکز کے گرد 90 ڈگری زاویے سے گھمانے پر سرخ پنکھڑیاں خود پر واپس آجاتی ہیں اور رنگولی کے دوسرے حصے بھی ایسا ہی کرتے ہیں۔

پھول پھر کی کے متعلق آپ کا کیا خیال ہے ؟ کیا آپ بتا سکتے ہیں کہ کون سا پیٹرن دہرایا جارہا ہے؟ اشاره: پہلے پھول پھر کی کے چھ زاویوں کو دیکھیے۔

کیا اب آپ بتا سکتے ہیں کہ چھ زاویوں کے ہر ضلع کے ساتھ کون سی تصویر دہرائی جا رہی ہے؟ ہر ضلع سے لگی ہوئی تصویر کی شکل کیا ہے؟ کیا آپ اسے پہچانتے ہیں؟ جب آپ چھ زاویوں کی سرحد کے ساتھ حرکت کرتے ہیں تو شکلیں کیسے حرکت کرتی ہیں؟ دوسری تصاویر کے متعلق آپ کا کیا خیال ہے۔ ان ڈھانچوں کے متعلق کون سی چیز آپ کو پرکشش لگتی ہے اور ان ڈھانچوں میں کون سے پیٹرن دہرائے جارہے ہیں؟

دوسری طرف بادلوں کی اس تصویر کو دیکھیے، یہاں ایسا کوئی متواتر پیٹرن نہیں ہے۔

ہم کہہ سکتے ہیں کہ پہلی چار شکلیں متشاکل ہیں اور آخری ایک غیر متشاکل ۔ تشاکل کسی شکل کے ایک یا ایک سے زیادہ حصوں سے تعلق رکھتا ہے جو ایک مخصوص پیٹرن میں دہرائے جاتے ہیں۔

9.1 خط تشاکل (Line of Symmetry)

شکل (a) نقطے دار خط کے ساتھ ایک نیلے مثلث کو دکھا رہی ہے۔ کیا واقع ہو گا اگر آپ اس مثلث کو نقطے دار خط کے مطابق موڑیں گے؟ جی ہاں، مثلث کا ایک نصف حصہ دوسرے نصف حصے کو پوری طرح ڈھک لیتا ہے۔ انہیں نصف آئینے !کہتے ہیں (Mirror halves)

چار ٹکڑوں والے معمہ کی شکل (b) اور اس کے درمیان سے نکلتا ہوا نقطہ دار خط کے متعلق آپ کا کیا خیال ہے؟ کیا یہ نصف آئینے ہیں؟ نہیں ، جب ہم اسے خط کے مطابق موڑتے ہیں تو بایاں نصف دایاں نصف کو مکمل طور پر نہیں ڈھک پاتا ہے۔

ایک خط جو کسی شکل کو دو حصوں میں تقسیم کرتا ہے جب ان دو حصوں کو اس خط کے ساتھ موڑا جاتا ہے تو وہ بالکل ایک دوسرے کے اوپر آجاتے ہیں اسے خط تشاکل (Line of symmetry) کہتے ہیں۔

معلوم کیجیے

1

1. . کیا آپ باب کے ابتدا میں دی گئیں تصاویر میں کوئی خط تشاکل دیکھتے ہیں؟ بادل کی تصویر کے بارے میں کیا خیال ہے ؟
2. 2 مندرجہ ذیل تمام اشکال کے لیے خط تشاکل تلاش کیجیے اگر وہ موجود ہو ۔

ایک سے زیادہ خط تشاکل والی شکلیں

کیا مربع میں صرف ایک خط تشاکل ہے؟

ایک مربع کاغذ لیجیے۔ اسے موڑتے ہوئے اس کے تمام خط تشاکل تلاش کیجیے۔

یہاں مختلف نہیں ہیں جن سے مختلف خط تشاکل حاصل ہوتے ہیں۔

. کاغذ کو عمودی طور پر نصف موڑیے۔

. اسے دوبارہ افقی طور پر نصف موڑیے (یعنی آپ نے اسے دو بار موڑا) ۔ پھر ان تہوں کو کھو لیے۔

پھر مربع کو نصف موڑیے ( اب تیسری دفعہ ) لیکن اس دفعہ ایک وتر کے مطابق جیسا کہ شکل میں دکھایا گیا ہے۔ پھر اسے کھولیے۔

اس کو نصف موڑیے (چوتھی دفعہ ) لیکن اس بار دوسرے وتر کے مطابق ، جیسا کہ شکل میں دکھایا گیا ہے ۔ اب اس تہہ کو کھولیے۔

کیا مربع کو موڑنے کا کوئی اور طریقہ ہے جس میں دونوں نصف حصے ایک دوسرے کے اوپر آجائیں؟ مربع شکل میں کتنے خط تشاکل ہیں ؟

اس طرح شکلوں میں ایک سے زیادہ خط تشاکل ہو سکتے ہیں۔ ذیل کی شکلوں میں بھی ایک سے زیادہ خط تشاکل ہیں۔ کیا آپ ان تمام خطوط کو ڈھونڈ سکتے ہیں؟

ہم نے دیکھا کہ مربع کا وتر بھی ایک خط تشاکل ہے۔ آئیے ہم ایک مستطیل لیتے ہیں جو کوئی مربع نہیں ہے۔ کیا اس کا وتر بھی ایک خط تشاکل ہے ؟

پہلے مستطیل کو دیکھیے اور اس سوال کا جواب دیجیے۔ پھر ایک مستطیل کاغذ لیجیے اور یہ معلوم کیجیے کہ کیا اسے وتر کے مطابق تہہ کرنے پر اس کے دونوں حصے ایک دوسرے کے اوپر آتے ہیں۔ آپ کیا مشاہدہ کرتے ہیں؟

(Reflection) انعکاس

اب تک ہم یہ کہہ رہے ہیں کہ جب ہم ایک شکل کو خط تشاکل سے موڑتے ہیں تو اس کے دونوں حصے مکمل طور پر ایک دوسرے کے اوپر آجاتے ہیں۔ ہم یہ بھی کہہ سکتے تھے کہ شکل کا ایک حصہ خط تشاکل کے ذریعے دوسری طرف منعکس ہو جاتا ہے؟ اسی طرح شکل کا دوسرا حصہ خط تشاکل کے ذریعے پہلی طرف منعکس ہو جاتا ہے! آیئے ہم اس کو سمجھنے کے لیے شکل پر کچھ نقطے لگاتے ہیں۔

شکل ایک مربع دکھاتی ہے جس کے کونے C، B A اور D کے نام سے نشان زد ہیں۔ آیئے ہم سب سے پہلے عمودی خط تشاکل پر غور کرتے ہیں۔ جب ہم اس خط کے ساتھ مربع کو منعکس کرتے ہیں تو دائیں طرف کے نقطے B اور C بائیں طرف

منعکس ہو کر آجاتے ہیں جہاں پہلے A اور D تھے۔ نقطے A اور D کے ساتھ کیا واقع ہوتا ہے؟ A اس مقام پر آتا ہے جہاں پہلے B تھا اور D اس مقام پر آتا ہے جہاں پہلے C تھا !

منعکس ہو کر آجاتے ہیں جہاں پہلے A اور D تھے۔ نقطے A اور D کے ساتھ کیا واقع ہوتا ہے؟ A اس مقام پر آتا ہے جہاں پہلے B تھا اور D اس مقام پر آتا ہے جہاں پہلے C تھا !

اگر ہم A سے C تک وتر کے ساتھ منعکس کرتے ہیں تو کیا ہوتا ہے ؟ نقطے C، B ، A اور D کہاں جائیں گے؟ اگر ہم افقی خط تشاکل کے ساتھ منعکس کریں تو کیا ہو گا؟

ایک شکل جس میں ایک یا ایک سے زیادہ خط تشاکل ہوتے ہیں، اسی طرح کہا جاتا ہے کہ اس میں انعکاسی تشاکل بھی ہوتا ہے۔ )Reflection symmetry(

خط تشاکل والی شکلیں بنانا

اب تک ہم نے متشاکل (Symmetrical) اور غیر متشاکل(Asymmetrical) شکلیں دیکھی ہیں۔ کوئی اس طرح کی متشاکل شکلیں کیسے بنا سکتا ہے ؟ آئیے ہم اسے دریافت کرتے ہیں۔

انک بلاٹ ڈیولس (Ink Blot Devils) آپ نے پہلے پانچویں جماعت میں اس سرگرمی سے لطف اٹھایا۔ ایک کاغذ کا ٹکڑا لیجیے۔ اسے نصف سے موڑیے۔اسے کھو لیے اور آدھے حصے پر سیاہی ( یا پینٹ) کے چند قطرے ڈالیے۔

اب دونوں حصوں کو ایک ساتھ دبائیے اور پھر دوبارہ کاغذ کھولیے۔

• . آپ کیا دیکھتے ہیں؟
• کیا حاصل ہونے والی شکل متشاکل ہے ؟
• . اگر ہاں تو خط تشاکل کہاں ہے ؟
• . کیا کوئی دوسرا خط ہے جس کے ساتھ موڑنے پر ہمیں دو یکساں حصے حاصل ہو سکتے ہیں؟
• . اس طرح کے مزید پیٹرن بنانے کی کوشش کیجیے۔

کاغذ موڑنا اور کاٹنا

متشاکل شکلیں بنانے کا ایک دوسرا طریقہ یہاں ہے !

ان دو شکلوں میں ایک کاغذ کا تہہ شدہ ٹکڑا ہے اور دکھائی گئی نقطہ دار لکیر کے ساتھ تراشا گیا ہے۔ ایک خاکہ بنائیے کہ کاغذ کو کھولنے پر وہ کیسا دکھائی دے گا؟

کیا آپ اس تصویر میں خط تشاکل دیکھتے ہیں؟ وہ کون سی ہے؟

کاغذ کو موڑ کر اور تراش کر مختلف متشاکل شکلیں بنائیے۔

کاغذ کے ٹکڑوں کو موڑنے اور کاٹنے کے مزید طریقے موجود ہیں جن سے متشاکل شکلیں بنائی جا سکتی ہیں!

بار یک رنگین مستطیل کاغذ استعمال کیجیے۔ اس کو کئی دفعہ موڑیے اور کاغذ کو تراشتے ہوئے کچھ پیچیدہ پیٹرن بنائے، جیسے یہاں دکھایا گیا ہے۔ بار بار آنے والے ڈیزائن میں خط تشاکل کی شناخت کیجیے۔ ایسے سجاوٹی کاغذی کٹ آؤٹ کو تہواروں کے مواقع پر استعمال کیجیے۔

معلوم کیجیے

پنچنگ کیم (Punching Game)

تہہ ایک خط تشاکل ہے۔ چھیدنے والی مشین (Punching Machine) کا استعمال کرتے ہوئے ایک تہہ شدہ مربع کاغذ پر سوراخ کیجیے اور مختلف متشاکل پیٹرن بنائے۔

1 نیچے دی گئیں سب شکلوں میں تہہ شدہ مربع کاغذ پر ایک سوراخ کیا گیا ہے اور پھر انھیں کھولا گیا ہے۔ اس لکیر کی شناخت کیجیے جس کے ساتھ کاغذ کو موڑا گیا تھا۔ شکل (d) ایک سوراخ کر کے بنائی گئی تھی۔ کاغذ کو کیسے موڑا گیا تھا ؟

2 دیے گئے خط تشاکل کی بنیاد پر دوسرے سوراخ معلوم کیجیے :

3 کاغذ تراشنے سے متعلق یہاں چند سوالات ہیں۔

ایک عمودی موڑ فرض کیجیے۔ ہم اسے اس طرح دکھاتے ہیں:

اسی طرح ایک افقی موڑ کو اس طرح دکھایا جاتا ہے:

مندرجہ ذیل ہر تراش کے بعد کاغذ کے سوراخ کی نوعیت کے بارے میں کاغذ کو کھولنے سے پیشتر بتائیے۔ اپنی پیش گوئی کے بعد کٹ آؤٹس بنائیے اور اپنے جواب کی تصدیق کیجیے۔ 4

فرض کیجیے کہ آپ کو ان میں سے ہر شکل کو کچھ تہوں اور ایک سیدھی تراش کے ساتھ حاصل کرنا ہے۔ آپ یہ کیسے کریں گے؟ 5

مرکز میں سوراخ ایک مربع ہے۔

نوٹ: اوپر دیے گئے دونوں سوالوں کے لیے یہ جانچ کیجیے کہ مرکز میں موجود 4 ضلعی شکلیں مربع کی دونوں خصوصیات کو پورا کرتی ہیں یا نہیں؟

6 ان شکلوں میں کتنے خط تشاکل ہیں ؟

یکساں ضلعوں اور یکساں زاویوں والا مثلث۔

یکساں ضلعوں اور یکساں زاویوں والا مسدس (Hexagon)۔

7 ہر شکل کو نشان زد کیجیے اور خط تشاکل بنائیے، اگر کوئی ہو :

8. مندرجہ ذیل کولم کے لیے خط تشاکل تلاش کیجیے۔

9. مندرجہ ذیل کو بنائیے۔

1. ایک مثلث جس میں صرف ایک خط تشاکل ہو۔
2. ایک مثلث جس میں تین خط تشاکل ہوں۔
3. ایک مثلث جس میں کوئی خط تشاکل نہ ہو۔

کیا ایسا ممکن ہے کہ کوئی مثلث بنائی جائے جس میں دو خط تشاکل ہوں؟

10. مندرجہ ذیل کو بنائیے ۔ ہر حال میں تصویر میں کم از کم ایک منحنی حد (Curved boundary) ہونی چاہیے۔

1. ایک شکل جس میں صرف ایک خط تشاکل ہو ۔
2. ایک شکل جس میں دو خط تشاکل ہوں۔
3. ایک شکل جس میں چار خط تشاکل ہوں۔

11 . درج ذیل کو مربع کاغذ پر نقل کیجیے۔ انہیں اس طرح مکمل کیجیے کہ نیلی لکیر خط تشاکل ہو۔ مسئلہ (a) آپ کے لیے حل کیا

گیا ہے۔

اشارہ : (c) اور (f) کے لیے دیکھیے کہ کتاب کو گھمانامددگار ثابت ہوتا ہے !

12 . درج ذیل شکلوں کو مربع کاغذ پر نقل کیجیے۔ ہر ایک کو مکمل کیجیے تا کہ حاصل شدہ شکل میں دو نیلی لکیر میں خط تشاکل

کے طور پر ہوں۔

13 . مندرجہ ذیل کو نقطہ گرڈ پر نقل کیجیے۔ ہر تصویر کے لیے دو مزید خطوط بنائیے تا کہ ایک ایسی شکل بنے جس میں ایک خط تشاکل موجود ہو۔

9.2 گردشی تشکل (Rotational Symmetry)

تصویر میں کاغذی ہوائی چکی (Paper windmill) بظاہر متشاکل دکھائی دیتی ہے لیکن اس میں کوئی خط تشاکل نہیں ہے ! حالاں کہ اگر آپ اسے تہہ کریں گے تو دونوں نصف حصے ایک دوسرے کے اوپر نہیں آئیں گے۔ دوسری طرف اگر آپ اسے مرکزی سرخ نقطے کے مطابق 900 پر گردش کرتے ہیں تو ہوائی چکی بالکل ویسی ہی نظر آتی ہے۔ ہم کہتے ہیں کہ کاغذی ہوائی چکی میں گردشی تشاکل (Rotational symmetry) ہے۔

جب ہم گردشی تشاکل کی بات کرتے ہیں تو اس میں ہمیشہ کوئی متعین نقطہ ہوتا ہے، جس کے مطابق چیزوں کو گردش دی جاتی ہے۔ اس متعین نقطے کو گردش کامرکز (Centre of rotation) کہا جاتا ہے۔

کیا اوپر والی ہوائی چکی ° 90سے کم زاویے پر گھمانے پر بالکل ویسی ہی نظر آئے گی؟ نہیں!

ایک ایسا زاویہ جس کے ذریعے کسی شکل کو بالکل یکساں نظر آنے کے لیے گھمایا جا سکتا ہے، اسے زاویہ گردشی تشاکل کہتے ہیں۔ )Angle of symmetry( یا مختصر زاویہ تشاکل )Angle of rotational symmetry(

کاغذی ہوائی چکی کے لیے زاویہ تشاکل 900 (چوتھائی چکر ) ، 1800 (نصف چکر )، 2700 ( تین چوتھائی چکر )، اور °360 ( مکمل چکر ) ہیں۔ غور کیجیے کہ جب کوئی بھی شکل 3600 سے گھمائی جاتی ہے تو وہ اپنی اصل صورت میں واپس آجاتی ہے، اس لیے °360 ہمیشہ ایک زاویہ تشاکل ہوتا ہے۔

اس طرح ہم دیکھتے ہیں کہ کاغذی ہوائی چکی میں 4 زاویہ تشاکل ہیں۔ کیا آپ کسی ایسی دیگر شکل کے بارے میں جانتے ہیں جس میں بالکل چار زاویہ تشاکل ہوں؟

ایک مربع میں کتنے زاویہ تشاکل ہوتے ہیں؟ ابتدائی مربع حاصل کرنے کے لیے اسے کتنی گردش در کار ہے؟

ہمیں 900 کی گردش کے بعد منطبق مربع واپس حاصل ہوتا ہے۔ یہ نقطہ A کو نقطہ B کے مقام تک لے جاتا ہے ، نقطہ B کو نقطہ C کے مقام پر ، نقطہ C کو نقطہ D کے مقام پر اور نقطہ D کو واپس نقطہ A کے مقام تک لے جاتا ہے۔ کیا آپ جانتے ہیں کہ گردش کے مرکز کو کہاں نشان زد کرنا ہے؟

مثال: درج ذیل پٹی کے زاویہ تشاکل معلوم کیجیے۔

حل: آئیے ہم اس پٹی کو اس کے مرکز کے مطابق گھڑی کی سمت (Clockwise) میں گھماتے ہیں۔

1800 کے زاویے کی گردش کا نتیجہ او پر موجود شکل ہے ۔ کیا یہ اصل شکل کو منطبق کرتی ہے۔

نہیں۔ کیوں ؟

اس مقام سے دوبارہ 1800 کی گردش کرنے پر اصل شکل حاصل ہوتی ہے۔

شکل °360 کی مکمل گردش کے بعد اپنی اصل حالت میں واپس آتی ہے۔ اس لیے ہم کہتے ہیں کہ اس شکل میں گردشی تشاکل نہیں ہے۔

عمودی بازوؤں والی اشکال کا گردشی تشاکل

اس شکل پر غور کیجیے، جس میں 4 عمودی بازو ہیں۔ اس میں کتنے زاویہ تشاکل ہیں؟ وہ کون سے ہیں؟ نوٹ کیجیے کہ ہر دو نزدیکی مرکزی نقطه دار خطوط کے درمیان 900 کا زاویہ ہے۔

کیا آپ عمودی بازوؤں کے درمیان زاویوں کو اس طرح تبدیل کر سکتے ہیں کہ شکل میں پھر بھی 4 زاویہ تشاکل ہوں؟ اسے بنانے کی کوشش کیجیے۔

یہ جانچنے کے لیے کہ آیا کھینچی گئی شکل میں واقعی 4 زاویہ تشاکل ہیں ، آپ شکل کو کاغذ کے دو مختلف ٹکڑوں پر بنا سکتے ہیں۔ ایک کاغذ سے عمودی بازوؤں کو کاٹ لیجیے۔ کاغذ پر موجود شکل کو ثابت رکھیے اور تراش کر نکالی گئی شکل کو گھما کر گردشی تشاکل کی جانچ کیجیے۔

آپ اوپر والی شکل میں کیسے ترمیم کریں گے تا کہ اس میں صرف دوز او یہ تشاکل ہوں؟ یہاں ایک طریقہ دیا گیا ہے:

ہم نے 4 اور 2 زاویہ تشاکل والی شکلیں دیکھی ہیں۔ کیا ہم ایک ایسی شکل بنا سکتے ہیں جس میں صرف 3 زاویہ تشاکل ہوں؟

کیا آپ اس کے لیے عمودی بازوؤں کا استعمال کر سکتے ہیں؟

آئیے ہم 3 عمودی بازوؤں کے ساتھ کوشش کرتے ہیں جیسا کہ ذیل کی تصویر میں دکھایا گیا ہے۔ اس میں کتنے زاویہ

تشاکل ہیں اور وہ کون سے ہیں؟

یہاں 3 عمودی بازوؤں والی ایک تصویر ہے۔

اس شکل کی نقل بنائیے اور اسے تراش لیجیے۔ تراشی ہوئی نقل کو شکل پر گھمائیے اور گردش کے زاویے معلوم کیجیے۔

ہم دیکھتے ہیں کہ صرف ایک مکمل چکر یا 3600 کی گردش شکل کو اس کی اصل حالت میں واپس لے آتی ہے۔ اس لیے 360° ہی اس تصویر کا واحد تشاکل ہے، اس تصویر میں گردشی تشاکل نہیں ہے۔

تا ہم کیا اس شکل میں کچھ تبدیل کیا جا سکتا ہے تا کہ اس میں 3 زاویہ تشاکل ہوں؟

کیا یہ نقطہ دار خطوط کے درمیانی زاویوں کو تبدیل کر کے کیا جاسکتا ہے؟

اگر تین عمودی بازوؤں والی شکل میں گردشی تشاکل ہونا چاہیے تو اس کی گردشی شکل کو اصل شکل پر منطبق ہونا چاہیے۔ یہاں ان دونوں کے رف خاکے ہیں۔

اگر یہ دونوں شکلیں ایک دوسرے پر منطبق ہوں تو آپ ان کے زاویوں کے متعلق کیا کہیں گے؟

غور کریں کہ LA کو B پر منطبق ہونا چاہیے، B کو C پر منطبق ہونا چاہیے اور C کو LA پر منطبق ہونا چاہیے۔

اس لیے C = B = A ۔ یہ زاویہ کیا ہو گا؟ ہمیں معلوم ہے کہ ایک مکمل گردش میں 360 ڈگری ہوتی ہیں۔ یہ تینوں زاویوں کے درمیان برابر تقسیم ہوں گی۔ تو ہر زاویہ \ 6 * 120 deg = 360^ 3 tilde 6 JU

اس لیے 3 عمودی بازوؤں والی شکل اس وقت گردشی تشاکل ظاہر کرتی ہے جب قریبی نقطہ دار خطوط کا درمیانی زاویہ 1200 کا ہو ۔ اس مشاہدے کی تصدیق کے لیے کاغذ کے کٹ آؤٹ کا استعمال کیجیے۔

دی گئی اس تصویر میں کتنے گردش کے زاویے ہیں اور وہ کون سے ہیں؟

نوٹ: گردشوں کو دکھانے کے لیے رنگوں کا استعمال کیا گیا ہے۔

آئیے ہم مزید شکلوں کا جائزہ لیتے ہیں۔

کیا آپ ایک ایسی شکل بنا سکتے ہیں جس میں عمودی بازوئیں ہوں۔

لازما 5 زاویہ تشاکل ہوں، .a

6 زاویہ تشاکل ہوں؟ ہر صورت حال میں تشاکل کے زاویے معلوم کیجیے۔

اشاره: پہلی صورت حال کے لیے 5 عمودی بازوؤں کا استعمال کیجیے۔ دو قریبی عمودی بازوؤں کے درمیان کاز او یہ کیا ہونا چاہیے؟

عمودی بازوؤں والی ایک شکل پر غور کیجیے جس میں 7 زاویہ تشاکل ہیں۔ اس کا سب سے چھوٹا زاویہ تشاکل کیا ہو گا؟ کیا ڈگری کی تعداد اس صورت میں ایک مکمل عدد ہو گی ؟ اگر نہیں تو اس کو مخلوط کسری عدد (Mixed fraction) کے طور پر ظاہر کیجیے۔

آئیے ہم مختلف قسم کی شکلوں کے لیے زاویہ تشاکل تلاش کرتے ہیں۔ معلوم کیجیے

1. نشان زد نقطے (۰) کے مطابق مندرجہ ذیل شکلوں میں زاویہ تشاکل معلوم کیجیے۔

2. مندرجہ ذیل میں سے کن شکلوں میں ایک سے زیادہ زاویہ تشاکل ہیں؟

3 ہر ایک شکل میں گردشی تشاکل کی ترتیب بتائیے :

آئیے ہم مذکورہ تمام صورت حال کے لیے تشاکل کے زاویے کی فہرست بنائیں۔

جب زاویه تشاکل دو ہوں: °180 ، °360 ۔ - -360240 ،120 :جب زاویہ تشاکل 3 ہوں -360° 270° 180° 90° جب زاویہ تشاکل 4 ہوں .

کیا آپ نے ان تمام صورتوں میں تشاکل کے زاویے کے متعلق کچھ عام مشاہدے کیے؟ پہلے سیٹ کے سبھی اعداد 180 کے اضعاف ہیں۔ دوسرے سیٹ میں سارے 120 کے اضعاف ہیں۔ تیسرے سیٹ میں سارے 90 کے اضعاف ہیں۔

ہر صورت حال میں زاویے سب سے چھوٹے زاویہ کا اضعاف ہوتے ہیں۔ آپ شاید متحیر ہوں اور سوال کریں کہ کیا ایسا ہمیشہ واقع ہو گا۔ آپ کا کیا خیال ہے؟

صحیح یا غلط ہر شکل میں 360 ڈگری ایک زاویہ تشاکل ہو گا۔ اگر ایک شکل کا سب سے چھوٹاز او یہ تشاکل ڈگریوں میں ایک طبعی عدد ہو تو یہ 360 کا جز و ضربی ہے۔

کیا بھی شکلوں کے لیے ایک سب سے چھوٹا زاویہ ہے؟ ایسا لگتا ہے کہ یہ زیادہ تر شکلوں کے لیے درست ہے، سوائے سب سے زیادہ تشاکل شکلوں کے، مثلاً دائرہ، جس کے تشاکل کے متعلق ہم اب بات کریں گے۔

)Symmetries of a circle دائرہ کے تشکلات

دائرہ ایک دلچسپ شکل ہے۔ جب آپ ایک دائرے کو اس کے مرکز کے مطابق گھڑی کی سمت (Clockwise) میں گھماتے ہیں تو کیا ہوتا ہے؟ یہ خود کے ساتھ منطبق ہو جاتا ہے۔ اس سے فرق نہیں پڑتا کہ آپ اسے کس زاویے سے گھماتے ہیں!

لہذا دائرے کے لیے ہر زاویہ ایک زاویہ تشاکل ہوتا ہے۔

اب دائرہ کے رم (Rim) پر ایک نقطہ لیجیے اور اسے مرکز سے ملائیے۔ قطعه خط (Line sigment) کو دائرے کے قطر (Diameter) تک بڑھائیے۔ کیا وہ قطر ایک انعکاسی تشاکل کی خط ہے؟ ہاں ہے۔ ہر قطر خط تشاکل ہوتا ہے۔

پہیوں کی طرح ہم اپنے ارد گرد میں گردشی تشاکل والی دوسری چیزیں تلاش کر سکتے ہیں۔ انھیں تلاش کیجیے ۔ ان میں سے کچھ نیچے دکھائی گئی ہیں:

1 دیے گئے دائرے کے قطعوں کو ایسے رنگے کہ شکل میں (i) تین زاویہ تشاکل ہوں (ii) چار زاویہ تشاکل ہوں (iii) مختلف طریقوں سے تمام قطعوں (Sectors) میں رنگ بھر کر کتنے زاویہ تشاکل حاصل کیے جاسکتے ہیں؟ معلوم کیجیے

2 دائرے اور مربع کے علاوہ دو ایسی شکلیں بنائیے جن میں انعکاسی تشاکل اور گردشی تشاکل دونوں موجود ہوں۔ 3 اگر ممکن ہو تو ان کے رف خاکے بنائیے۔

1. ایک مثلث جس میں کم از کم دو خط تشاکل اور دو زاویہ تشاکل ہوں۔
2. ایک مثلث جس میں صرف ایک خط تشاکل ہو اور گردشی تشاکل نہ ہو۔
3. ایک چار ضلعی جس میں گردشی تشاکل ہو مگر انعکاسی تشاکل نہ ہو۔
4. ایک چار ضلعی جس میں انعکاسی تشاکل ہو مگر گردشی تشاکل نہ ہو۔

4 ایک شکل میں 600 سب سے چھوٹا زاویہ تشاکل ہے۔ اس شکل کے لیے دوسرے زاویہ تشاکل کیا ہوں گے؟
5 ایک تصویر میں 600 زاویہ تشاکل ہے۔ اس شکل میں دو زاویہ تشاکل 600 سے چھوٹے ہیں۔ اس کا سب سے چھوٹا زاویہ تشاکل کیا ہے ؟
6 کیا ہم ایک ایسی گردشی تشاکل والی شکل بنا سکتے ہیں جس کا سب سے چھوٹاز او یہ تشاکل ہو :
45؟° )a(
17؟° )b(

7 یہ نئی پارلیمنٹ کی عمارت کی تصویر ہے جو دہلی میں ہے۔

1. کیا اس تصویر کے باہری کنارے (Boundary) میں انعکاسی تشاکل ہے؟ اگر ہے تو خط تشاکل بنائیے۔ ان کی تعداد کتنی ہے؟
2. کیا اس میں مرکز کے گرد گردشی تشاکل ہے ؟ اگر ہے تو گردشی تشاکل کے زاویہ تشاکل معلوم کیجیے۔

باب 1 ، جدول 3 میں مساوی کثیر ضلعی کے پہلے اشکالی تواتر کی اشکال میں کتنے تشاکل ہیں؟ آپ کو کون ساعد دی (Number sequence) تواتر حاصل ہوا؟
باب 1 ، جدول 3 میں مساوی کثیر ضلعی کے پہلے اشکالی تواتر کی اشکال میں کتنے زاویہ تشاکل ہیں؟ آپ کو کون ساعد دی تو اتر حاصل ہوا ؟
10 باب 1 ، جدول 3 میں کو چ اسنو فلیک تواتر (Koch snowflake sequence) کے آخری اشکالی تواتر کی اشکال میں کتنے خط تشاکل ہیں؟ کتنے زاویہ تشاکل ہیں ؟
11. اشوک چکر میں کل کتنے خط تشاکل اور زاویہ تشاکل موجود ہیں؟

ٹائلوں کے ساتھ کھیلنا (Playing with tiles)

کتاب کے آخر میں دی گئی رنگین ٹائلز کا استعمال کر کے مندرجہ ذیل شکل کو اس طرح مکمل کیجیے کہ اس میں صرف 2 خط تشاکل ہوں۔ .a

اسی طرح کی 16 ٹائلوں کا استعمال ایسی شکلیں بنانے میں کیجیے جن میں صرف :
1 خط تشاکل ہو
2 خط تشاکل ہوں

ان ٹائلوں کا استعمال تخلیقی متشاکل ڈیزائن ( Creative symmetric designs) بنانے میں کیجیے۔

کھیل
ایک 6x6 کا گرڈ بنائیے۔ دو کھلاڑی اپنی باری لیں اور خط کھینچتے ہوئے 2 قریبی مربعوں کو ڈھانپیں۔ خط کو عمودی یا افقی دونوں طرح سے کھینچ سکتے ہیں۔ خطوط آپس میں منطبق نہیں ہونے چاہیے۔ کھیل تب تک جاری رہے گا جب تک ایک کھلاڑی کوئی بھی مزید خطوط نہ کھینچ سکے۔ جو کھلاڑی خط کھینچنے میں ناکام ہو جائے گا وہ ہار جائے گا۔

اس کھیل کو جیتنے کے لیے کس حکمت عملی کے ساتھ کھیلا جاسکتا ہے؟

خلاصه

• جب کوئی تصویر ایسے حصوں سے بنتی ہے جو ایک مخصوص پیٹرن میں دہرائے جاتے ہیں تب ہم کہتے ہیں اس شکل میں تشاکل (Symmetry) ہے ۔ ہم کہتے ہیں کہ یہ متشاکل (Symmetrical) ہے۔
• ایک خط جو کسی شکل کو دو ایسے حصوں میں تقسیم کرتا ہے جب اس خط کے ساتھ تہہ کیا جائے تو دونوں حصے بالکل ایک دوسرے پر منطبق ہو جائیں، اسے شکل کا خط تشاکل (Line of symmetry) یا محور تشاکل (Axis of کہتے ہیں۔ )symmetry
• ایک شکل میں کثیر خط تشاکل ہو سکتے ہیں۔
• بعض دفعہ اگر ہم کسی شکل کو متعین نقطے کے گرد کسی زاویے کے مطابق گھماتے ہیں تو وہ اصل شکل سے یکساں نظر آتی ہے۔ اس طرح کے زاویے کو زاویہ تشاکل (Angle of symmetry) کہتے ہیں۔ ایک شکل جس کا زاویہ تشاکل اور 360 ڈگری کے درمیان کا ہوتا ہے تو اسے گردشی تشاکل کہتے ہیں۔ وہ نقطہ جس کے گرد یہ گردش ہوتی ہے اسے کہتے ہیں۔ )Centre of rotation( گردش کا مرکز
• ایک شکل میں ایک سے زیادہ زاویہ تشاکل ہو سکتے ہیں۔
• کچھ شکلوں میں خط تشاکل ہو سکتا ہے لیکن ممکن ہے کہ کوئی زاویہ تشاکل نہ ہو جب کہ دیگر شکلوں میں زاویے تشاکل تو ہو سکتے ہیں لیکن ممکن ہے کہ کوئی خط تشاکل موجود نہ ہو بعض شکلوں میں خط تشاکل اور زاویہ تشاکل دونوں ہو سکتے ہیں۔