10
صفر کا دوسرا رخ
(The other side of Zero)

صحیح اعداد

مزید اور مزید اعداد !
یاد کیجیے کہ ریاضی کے مطالعے میں سب سے پہلے جن اعداد کے بارے میں ہم نے جانا تھا وہ اعداد 1، 2، 3، 4، .... تھے۔ پھر ہم نے یہ سیکھا کہ اور بھی اعداد ہیں ! مثلاً، ایک عدد '' (صفر ) ہے جو کچھ بھی نہیں کی نمائندگی کرتا ہے اور 1 سے پہلے آتا ہے۔ 0 ہندوستان کی تاریخ میں اور اب دنیا میں بھی بہت اہم ہے۔ مثلاً دنیا بھر میں ہم ہندوستانی عددی نظام میں 0 سے و تک کے ہندسوں کا استعمال کر کے اعداد لکھنا سیکھتے ہیں، ہم صرف ان 10 ہندسوں کے استعمال سے بڑے یا پھر چھوٹے اعداد لکھتے ہیں۔

، پھر ہم نے مزید اعداد کے بارے میں سیکھا جو ان اعداد، 0، 1، 2، 3، 4 ..... کے درمیان موجود ہیں، جیسے کہ اور انہیں کسری اعداد (Fractions) کہتے ہیں۔ 13 6

لیکن کیا اور بھی مزید اعداد ہیں؟ اچھا ، 10 ایک اضافی عدد ہے جس کے بارے میں ہم پہلے نہیں جانتے تھے، اور یہ 1 سے پہلے آتا ہے اور 1 سے کم ہوتا ہے۔ کیا ایسے مزید اعداد ہو سکتے ہیں جو 0 سے پہلے آتے ہیں اور 0 سے بھی کم ہیں؟ دوسرے الفاظ میں ہم نے عددی خط دیکھا ہے :

حالاں کہ یہ اصل میں صرف ایک عددی عمودی لکیر (Ray) ہے ، ہم نے زبان میں پہلے جیومیٹری کے بارے میں سیکھا تھا؛ یہ عمودی لکیر 0 سے شروع ہوتی ہے اور ہمیشہ اپنے دائیں جانب بڑھتی جاتی ہے۔ کیا ہ کی بائیں جانب بھی اعداد موجود ہیں، جس سے اس عددی عمودی لکیر کو مکمل کر کے ایک حقیقی عددی خط بنایا جا سکے؟

اس باب میں ہم یہی جائزہ لیں گے!

کیا ں سے کم کوئی عدد ہو سکتا ہے؟ کیا آپ کسی ایسی صورت کے بارے میں سوچ سکتے ہیں جس میں کسی چیز کی مقدار 0 سے کم ہو ؟

10.1 بیلا کی تفریحی عمارت

بچے بیلا کی آئس کریم فیکٹری میں اس کی مزیدار آئس کریم دیکھنے اور چکھنے کے لیے جمع ہوتے ہیں۔ بچوں کے لیے اسے مزید دلچسپ بنانے کے لیے بیلا نے ایک کثیر منزلہ عمارت خریدی اور اسے پرکشش اشیا سے بھر دیا۔ اس نے اس عمارت کا نام بیلا کی تفریحی عمارت رکھا۔

لیکن یہ کوئی عام عمارت نہیں تھی !

غور کریں کہ اس تفریحی عمارت میں کچھ منزلیں زمین کے نیچے ہیں۔ آپ کو ان منزلوں پر کون کون سی دوکانیں ملتی ہیں؟ زمینی پر کیا ہے؟ )Ground floor( منزل

منزلوں کے درمیان اوپر اور نیچے جانے کے لیے لفٹ کا استعمال کیا جاتا ہے۔ اس میں دو بٹن ہیں ' + او پر جانے کے لیے اور ۔ نیچے جانے کے لیے ۔ کیا آپ لفٹ کو دیکھ سکتے ہیں؟ استقبالیہ ہال (Welcome hall) سے آرٹ سینٹر جانے کے لیے آپ کو ' کو دو بار لازمی دیانا ہو گا۔

ہم کہتے ہیں کہ بٹن دبانے کا عمل + + یا 2 + ہے۔

دومنزلیں نیچے جانے کے لیے آپ کو دے، بٹن کو دوبار لازمی دبانا ہو گا۔ جسے ہم۔۔ یا 2 - لکھتے ہیں۔

+ لہذا اگر آپ 1 + دبائیں (یعنی اگر آپ ' 4 ، بٹن کو ایک بار دبائیں) تو آپ ایک منزل او پر جائیں گے اور اگر آپ 1 - دبائیں (یعنی د، بٹن کو ایک بار دبائیں ) تو آپ ایک منزل نیچے جائیں گے۔

آپ چار منزلیں اوپر جانے کے لیے کیا دبائیں گے؟ آپ تین منزلیں نیچے جانے کے لیے کیا دبائیں گے؟

تفریحی عمارت میں منزلوں کا شمار

تفریحی عمارت میں داخلہ زمینی سطح کی منزل پر ہوتا ہے جسے استقبالیہ ہال کہا جاتا ہے۔ زمینی منزل سے آپ 1 + کو دبا کر فوڈ کورٹ پہنچ سکتے ہیں اور 2 + کو دبا کر آرٹ سینٹر پہنچ سکتے ہیں۔ تو ہم کہہ سکتے ہیں کہ فوڈ کورٹ منزل 1 + پر ہے اور آرٹ سینٹر

زمینی منزل سے کھلونوں کی دوکان تک پہنچنے کے لیے آپ کو 1 - دبانا ہو گا۔ تو کھلونوں کی دوکان منزل 1- پر ہے، اسی طرح زمینی منزل سے ویڈیو گیمز کی دوکان تک پہنچنے کے لیے آپ کو 2- لازمی دبانا ہو گا۔ کیوں کہ ویڈیو گیمز کی دوکان منزل 2- پر ہے۔

زمینی منزل کو ہ منزل کہا جاتا ہے، کیا آپ سمجھ سکتے ہیں کیوں؟

تفریحی عمارت میں تمام منزلوں کو نمبر دیں۔

کیا آپ نے توجہ دی کہ 3+ کتابوں کی دوکان کا منزل نمبر ہے لیکن یہ ان منزلوں کی گنتی بھی ہے جو آپ 3 + دبا کر منتقل ہوتے ہیں؟ اسی طرح -3 - منزل کا نمبر ہے مگر یہ ان منزلوں کی گنتی بھی ہے جن پر آپ 3- دبانے کے بعد نیچے جاتے ہیں، یعنی جب آپ نے دبایا تو تین منزلیں نیچے گئے۔

ایسا عدد جس کے سامنے '' کا نشان ہوتا ہے مثبت عدد (Positive number) کہلاتا ہے۔ ایسا عدد جس کے سامنے ۔ کانشان ہوتا ہے منفی عدد (Negative number) کہلاتا ہے۔

تفریحی عمارت میں زمینی منزل، منزل '' کو بطور حوالہ یا نقطہ آغاز کے طور پر استعمال کر کے نمبر دیا گیا ہے۔ زمین کے اوپر منزلوں کو مثبت اعداد کے ساتھ نمبر دیا گیا ہے۔ اوپر جانے کے لیے لفٹ میں ' + ' کا بٹن چند مرتبہ دبانا ہوتا ہے۔ زمین کے نیچے کی منزلوں کو منفی اعداد کے ساتھ نمبر دیا گیا ہے۔ نیچے جانے کے لیے لفٹ میں '۔‘ کا بٹن چند مرتبہ دبانا ہوتا ہے۔

صفر نہ تو مثبت عدد ہے نہ ہی منفی عدد ہم اس کے آگے ' + یاد، کا نشان نہیں لگاتے ہیں۔

حرکت کا حساب رکھنے کے لیے جمع

فوڈ کورٹ سے شروع کریں اور لفٹ میں 2 + دبائیں۔ آپ کہاں پہنچیں گے ؟________

ہم اسے ایک عبارت کے ذریعے بیان کر سکتے ہیں:

)Target floor( ہدف منزل = )Movement( حرکت + )Starting floor( ابتدائی منزل ابتدائی منزل +1+ (فوڈ کورٹ) ہے اور جس بٹن کو دباتے ہیں وہ 2 ہے۔ اس طرح آپ ہدف کی منزل (1) + (2) + ) = 3 + کتابوں کی دوکان ) پہنچ جاتے ہیں۔

1. آپ منزل 2 سے شروع کرتے ہیں اور لفٹ میں 3- دباتے ہیں۔ آپ کہاں پہنچیں گے؟ اس نقل و حرکت کے لیے ایک عبارت لکھیے۔
معلوم کیجیے

2 ان عبارتوں کا جائزہ لیجیے، ( آپ انھیں تفریحی عمارت کا حوالہ دے کر ان کو ابتدائی منزل + حرکت کے طور پر سوچ

سکتے ہیں۔)

a. (1) + (4) =..........
b. (+4) + (+1) =..........
c. (+4) + (- 3) =..........
d. (-1)+(+2) =..........
e. (- 1) + (+1) =..........
f. 0 + (+2) =..........
g. 0 + (- 2) =..........

3 مختلف منزلوں سے شروع کرتے ہوئے یہ معلوم کیجیے کہ منزل 5 تک پہنچنے کے لیے کتنی حرکت درکار ہے۔ مثال کے طور پر اگر میں منزل 2 سے شروع کرتا ہوں تو مجھے 5 تک پہنچنے کے لیے 7- دبانا ہو گا۔ عبارت یہ ہے
(2) + (- 7) = - 5 اس طرح کی مزید ابتدائی پوزیشن تلاش کیجیے اور منزل 5 تک پہنچنے کے لیے در کار حرکت معلوم کیجیے اور عبارتیں لکھیے۔

دبائے گئے بٹنوں کو اکٹھا کرنا بھی جمع ہے

'+' گرمیت کھلونوں کی دوکان میں تھا اور دو منزلیں نیچے جانا چاہتا تھا لیکن غلطی سے اس نے دوبار 4 ، بٹن دبادیا۔ اسے اپنی غلطی کا احساس ہوا اور اس نے تیزی سے تین بار ، بٹن دبایا۔ گرمیت کھلونوں کی دوکان سے کتنی منزلیں نیچے یا او پر پہنچے گا۔

گرمیت ایک منزل نیچے جائے گا۔ ہم بٹن دبانے کے جوڑ کے نتیجے میں ہونے والی حرکت کو بطور عبارت دکھا سکتے ہیں: (2) + (- 3) = - 1

معلوم کیجیے
بٹن دبانے کے جوڑ کے نتیجے میں ہونے والی نقل و حرکت کے طور پر ان عبارتوں کی قدر معلوم کیجیے:

a. (1) + (4) =..........
C. (4) + (- 3) + (- 2) =..........
b. (4) + (1) =..........
d. (- 1) + (2) + (- 3) =..........

صفر پر واپسی!

بسنت بہت جلدی میں زمینی منزل پر تھا اور غلطی سے وہ 3 + دبادیتا ہے۔ وہ اسے رد کرنے کے لیے کیا کر سکتا ہے تا کہ وہ زمینی منزل پر ہی رہے ؟ وہ اسے 3- دبا کر منسوخ کر سکتا ہے۔ یعنی 0= (- 3) +.(+3)

ہم 3- کو 3 + کا الٹا یا معکوس (Inverse) کہتے ہیں۔ اسی طرح 3- کا معکوس 3 + ہے۔

اب اگر بسنت پہلے لفٹ میں 4 + دباتا ہے اور پھر 4- دباتا ہے تو وہ کہاں پہنچے گا؟

یہاں معکوس کے تصور کی وضاحت کا ایک اور طریقہ ہے۔ اگر آپ منزل 4+ پر ہیں اور آپ اس کا معکوس -4 کو دباتے ہیں تو آپ واپس صفر ، یعنی زمینی منزل پر پہنچ جائیں گے ! اگر آپ منزل 2- پر ہیں اور اس کا معکوس 2 کو دباتے ہیں تو آپ 0 = (2) + (- 2) دوبارہ زمینی منزل پر پہنچ جائیں گے! ان اعداد کے معکوس لکھیے : 4, - 4, - 3, 0, 2, - 1 خطوط کا استعمال کرتے ہوئے معکوسوں کو ملائیے۔

منزلوں کا استعمال کرتے ہوئے اعداد کا موازنہ کرنا

کون سب سے پچلی منزل پر ہے؟

1. 1. جے آرٹ سینٹر میں ہے۔ تو وہ منزل 2 + پر ہے۔
2. 2 آسین اسپورٹس سینٹر میں ہے تو وہ منزل پر ہے۔
3. 3 بنو سنیما سینٹر میں ہے تو وہ منزل پر ہے۔
4. 4 امن کھلونے کی دوکان میں ہے تو وہ منزل پر ہے۔

منزل 3 + منزل 4+ سے نیچے ہے۔ لہذا 4 + 3 + لکھتے ہیں۔ ہم 3 + > 4 + بھی لکھتے ہیں۔

منزل 3 + منزل 4+ سے نیچے ہے۔ لہذا 4 + 3 + لکھتے ہیں۔ ہم 3 + > 4 + بھی لکھتے ہیں۔

منزل 4- منزل 3- سے نیچے ہے۔ لہذا 4 × 3 سے 3- 4- یہ بھی لکھنا درست ہے۔

معلوم کیجیے

تفریحی عمارت کا استعمال کرتے ہوئے درج ذیل اعداد کا موازنہ کیجیے اور > یاد کے ساتھ خانوں 1

کو پر کیجیے۔

a. - 2 ....+5 b.-5 ....+4 c.-5 ....-3 d. +6 ....-6 e. 0 ....-4 f. 0.... +4

تصور کیجیے کہ تفریحی عمارت میں مزید منزلیں ہیں۔ اعداد کا موازنہ کیجیے اور سے یاد کے ساتھ خانوں

کو پر کیجیے۔

a.-10.....-12
b. +17.....-10
C. 0.....-20
d. +9.....-9
e.-25.....-17

3 اگر دائیں جانب دیے گئے بلڈ نگ کے خط میں منزل 12 - = A منزل 1 - = D اور فلور 1 + = E ہے، تو منزل G، FC، B اور H کے اعداد معلوم کیجیے۔

4 دائیں جانب دی گئیں بلڈنگ کی منزلوں پر نشان لگائیے۔ a.-7
b.-4
c. +3
d.-10

صحیح بٹن دبانے کے لیے تفریق

پچھلی جماعتوں میں ہم نے تفریق کا مطلب کم کرنا سمجھا تھا۔ مثال کے طور پر شیلف پر 10 کتابیں ہیں۔ میں شیلف سے چار کتابیں لے لیتا ہوں۔ شیلف پر کتنی کتابیں باقی رہ گئیں ؟

ہم تفریق کا استعمال کرتے ہوئے جو اب تلاش کر سکتے ہیں: 10 - 4 = 6 یا دس میں سے چار لے لیتے ہیں تو چھے کتابیں باقی رہتی ہیں۔

آپ تفریق کے ایک اور معنی سے بھی واقف ہو سکتے ہیں جس کا تعلق موازنہ یا تعداد کو مساوی بنانے سے ہے۔ مثال کے طور پر ، اس صورت حال پر غور کیجیے : میرے پاس 10 روپے ہیں اور میری بہن کے پاس 6 روپے ہیں۔

اب میں یہ سوال پوچھ سکتا ہوں: میری بہن کو مزید کتنے روپے ملنے چاہیے تا کہ اس کے پاس بھی میرے برابر پیسے ہو جائیں؟

ہم اسے دو طریقوں سے لکھ سکتے ہیں: 10 = ? + 6 یا ? = 6 - 10 یہاں ہم گمشدہ عدد کو معلوم کرنا اور تفریق کے درمیان تعلق دیکھتے ہیں۔

مثبت اور منفی اعداد کی تفریق کے لیے ، ہم تفریق کے اس معنی کو یکساں بنانا یا گمشدہ عدد کو معلوم کرنا کے معنی میں استعمال کریں گے۔

اب میں یہ سوال پوچھ سکتا ہوں : میری بہن کو مزید کتنے روپے ملنے چاہیے تا کہ اس کے پاس بھی میرے برابر پیسے ہو جائیں؟

ہم 10-6 = ہم اسے دو طریقوں سے لکھ سکتے ہیں: 10 = ? + 6 یا ? = 6 یہاں ہم گمشدہ عدد کو معلوم رہ عدد کو معلوم کرنا اور تفریق کے درمیان تعلق دیکھتے ہیں۔ مثبت اور منفی اعداد کی تفریق کے لیے ، ہم تفریق کے اس معنی کو یکساں بنانا یا گمشدہ عدد کو معلوم کرنا کے معنی میں استعمال کریں گے ۔

اس نظریے کی مدد سے حل کیجیے : 100-150-5 ، اور 74 - 34 کی قدر نکا لیے۔

آپ کی شروعاتی منزل آرٹ سینٹر ہے اور آپ کا ہدف اسپورٹ سینٹر کی منزل ہے۔ آپ کو کون سا بٹن دبانا چاہیے ؟ آپ کو تین منزلیں او پر جانا ہے، لہذا آپ کو 3 + بٹن دبانا چاہیے ۔ ہم تفریق کا استعمال کرتے ہوئے اسے عبارت کے طور پر لکھ سکتے ہیں۔

ہدف منزل ابتدائی منزل = در کار حرکت

مندرجہ بالا دی گئی مثال میں ابتدائی منزل 2 + آرٹ سینٹر ) اور ہدف منزل 5 + ہے۔ اس لیے 15 سے 2+ تک پہنچنے کے لیے 3 + دبانا ہو گا۔ تو

(+5) - (+2) = +3

وضاحت
جمع اور تفریق کے درمیان تعلق کو یاد کیجیے ۔ 5 + 2 = 5 کے لیے، ہم تفریق کا استعمال کرتے ہوئے گمشدہ عدد تلاش کر سکتے ہیں: 5 - 3 - 2 - تفریق کا عمل غائب عدد کو تلاش کر کے جوڑ نے جیسا ہے۔

ہم جانتے ہیں کہ۔
ابتدائی منزل + در کار حرکت = ہدف منزل
اگر ضروری حرکت کو تلاش کرنا ہو ، تو ،
ابتدائی منزل + ؟ = ہدف منزل
لہذا،
ہدف منزل۔ ابتدائی منزل = ؟ = در کار حرکت۔
مزید مثالیں:

اگر ہدف منزل -1 ہے اور ابتدائی منزل 2 ہے، تو آپ کو کون سا بٹن دبانا چاہیے؟ آپ کو ایک منزل او پر جانا ہے اس لیے آپ کو 1 + دبانا چاہیے۔
(- 1) - (- 2) = (1) عبارت
اگر ہدف منزل -1 ہے اور ابتدائی منزل 3 + ہے، تو آپ کو کون سا بٹن دبانا چاہیے؟ آپ کو چار منزل نیچے جانے کی ضرورت ہے لہذا آپ کو 4۔ بٹن دبانا چاہیے۔
(- 1) - (3) = (- 4) عبارت
+ اگر ہدف منزل 2 ہے اور ابتدائی منزل -2- ہے، تو آپ کو کون سا بٹن دبانا چاہیے؟ آپ کو چار منزل او پر جانے کی ضرورت ہے، لہذا آپ کو 4 + بٹن دبانا کو 4 + بٹن دبانا چاہیے۔ .C (2) - (- 2) = (4) عبارت

معلوم کیجیے

ان عبارتوں کو مکمل کیجیے۔ آپ ان کے بارے میں ایسے سوچ سکتے ہیں کہ ابتدائی منزل سے ہدف منزل تک پہنچنے کے لیے کتنی حرکت در کار ہے۔

a. (+1) - (+4) =.......
b. (0) - (+2) =.......
c. (+4) - (+1) =.......
d. (0) - (- 2) =.......
e. (+4) - (- 3) =.......
f. (- 4) - (- 3) =......
. g. (- 1) - (+2) =.......
h. (- 2) - (- 2) =.......
i. (- 1) - (+1) =.......
j. (+3) - (- 3) =.......

بڑے اعداد کی جمع اور تفریق

تصویر میں ایک کان دکھائی گئی ہے جہاں چٹان میں کھدائی کر کے معدنیات (Minerals) نکالی جاتی ہیں۔ ٹرک زمینی سطح پر ہے لیکن معدنیات زمینی سطح سے اوپر اور نیچے دونوں جگہ موجود ہیں۔ یہاں ایک تیز رفتار لفٹ ہے جو لوگوں اور معد نیات کو لے کر اوپر نیچے چلتی ہے۔

کچھ سطحوں کو تصویر میں نشان زد کیا گیا ہے۔ زمینی سطحکو 0 سے نشان زد کیا گیا ہے۔ زمین سے اوپر کی سطحوں کو مثبت اعداد سے نشان زد کیا گیا ہے اور زمین کے نیچے کی سطحوں کو منفی اعداد سے نشان زد کیا گیا ہے۔ عدد بتاتا ہے کہ یہ زمین سے کتنا میٹر اوپر یا نیچے ہے۔

ابتدائی سطح + حرکت = هدف سطح

مثال کے طور پر،

(40) + (60) = 100 (- 90) + (- 55) = - 145

ہدف سطح ابتدائی سطح = در کار حرکت

ابتدائی سطح + حرکت = هدف سطح

مثال کے طور پر،

(40) + (60) = 100 (- 90) + (- 55) = - 145

ہدف سطح ابتدائی سطح = در کار حرکت

مثال کے طور پر

(40) - (- 50) = 90 (- 90) - (40) = - 130

معلوم کیجیے

ان عبارتوں کو مکمل کیجیے۔

a. (+40) +..... =+200
b. (+40) +..... =-200
c. (- 50) +..... =+200
d. (- 50) +..... =-200
e. (- 200) - (- 40) =.....
f. (+200) - (+40) =.....
g. (- 200) - (+40) =.....

کان کی راہ (Mineshaft) میں حرکت کو ذہن میں رکھتے ہوئے اپنے جوابات کی جانچ کیجیے۔

کسی بھی اعداد کی جمع، تفریق اور موازنہ

بڑے صحیح اعداد کو جمع اور تفریق کے لیے ہم اس سے بھی بڑی لفٹوں کا تصور کر سکتے ہیں! بلکہ ہم ایک ایسی لفٹ کا تصور سکتے ہیں جو 0 سطح سے شروع کرتے ہوئے، مسلسل اوپر اور نیچے جاسکتی ہے۔ ضروری نہیں کہ کوئی عمارت یا کان ہو بس ایک لا محد و دلفٹ !

ہم اپنی پسند کے صحیح اعداد کو جمع اور تفریق کرنے میں اس تخیل کا استعمال کر سکتے ہیں۔

مثلاً، ہمیں (200) - 2000 کی تفریق کو انجام دینا ہے۔ ہم ایک ایسی لفٹ تصور کر سکتے ہیں جس میں زمین کے اوپر 2000 منزلیں اور زمین کے نیچے 200 منزلیں ہوں۔ یاد کیجیے کہ،

ہدف سطح ابتدائی سطح = در کار حرکت

اس طرح ایک مناسب لفٹ کی ڈرائنگ یا تصور کی مدد سے مندرجہ ذیل عبارتوں کو حل کرنے کی کوشش کیجیے۔

a. -125+(-30)
b. +105-(-55)
c. +105 + (+55)
d. +80-(-150)
e. 80 + (+150)
f.-99-(-200)
g. - 99 + (+200)
h. +1500-(-1500)

2000 - (- 200) = 2000 + (200) = 2200 ،نےدیکھا ہم میں مثال گئی دی پر او

دوسرے الفاظ میں ایک منفی عدد کی تفریق کرنا دراصل اسی کے مساوی مثبت عدد جمع کرنے کے مترادف ہے۔ یعنی ہم منفی عدد کی تفریق کو مثبت عدد کی جمع سے تبدیل کر سکتے ہیں!

کیا آپ نے اوپر کی دیگر مشقوں میں یہ غور کیا کہ منفی عدد کی تفریق مثبت عدد کو جمع کرنے کے مترادف تھی ؟

مندرجہ بالا لا محدود لفٹ پر ایک نظر ڈالیے۔ کیا یہ آپ کو کسی عددی خط کی یاد دلاتی ہے؟ کن طریقوں سے ؟

عددی خط پر واپسی

او پر ہم نے جو بنیادی طور پر ایک عددی خط بن جاتا ہے۔ مذکورہ خط ہمیں یہ بھی بتاتا ہے کہ ایک عددی عمودی لکیر کو عددی خط میں کیسے مکمل کیا جائے ، اس سوال کا جواب دیتے ہیں جو ہم نے باب کی ابتدا میں پوچھا تھا۔ 0 کے بائیں طرف منفی اعداد 1 - 2 - 3 - ... لا محدود لفٹ دیکھی ، وہ عددی خط کی طرح تھی، کیا نہیں؟ در حقیقت اگر ہم اسے 900 پر گھماتے ہیں تو یہ ہوتے ہیں۔

ہی لکھتے ہیں۔ عام طور پر مثبت اعداد پر " + " کی علامت ہم نہیں لکھتے اور ان اعداد کو ہم 1 ، 2 ، 3......

لفٹ کا استعمال کرتے ہوئے عددی خط پر سفر کرنے کے بجائے ہم صرف اس پر چلنے کا تصور کر سکتے ہیں۔ دائیں طرف مثبت (آگے کی جانب ) سمت ہے اور بائیں طرف منفی ( پیچھے کی جانب ) سمت ہے۔

اب چھوٹے اعداد، بڑے اعداد کے بائیں جانب ہیں اور بڑے اعداد ، چھوٹے اعداد کے دائیں جانب ہیں۔ تو 52

3-5 3-2 اور

اگر آپ 5 سے 9 پر پہنچنا چاہتے ہیں تو آپ کو عددی خط پر کتنی دور جانا ہو گا ؟

آپ کو 4 قدم چلنا ہو گا۔ اس لیے 5 + 4 = 9
(یاد رکھیے: ابتدائی عدد + حرکت = ہدف عدد) متعلقہ تفریقی بیان ہے 9 - 5 = 4
یاد رکھیے : ہدف عدد ابتدائی عدد = در کار حرکت )
اب اگر آپ کو 9 سے 3 پر جانا ہے تو آپ کو عددی خط کے ساتھ کتنا چلنا ضروری ہے؟

آپ کو 6 قدم پیچھے لازمی طور پر جانا ہو گا یعنی آپ کو 6- لازمی چلنا ہے۔ اس لیے ہم لکھتے ہیں 9 + (6) = 3
دوبارہ یاد کیجیے : ابتدائی عدد + حرکت = هدف عدد)
اس کے متعلقہ تفریقی بیان 3-9 = 6 - ہے۔
دوبارہ یاد کیجیے : ہدف عدد ابتدائی عدد = در کار حرکت)
اب اگر 3 سے آپ کو 2 - پر جانا ہے تو آپ کو کتنا سفر کرناضروری ہے؟

آپ کو 5 - قدم سفر کرنا ہے یعنی 5 قدم پیچھے ۔ اس طرح 3 + (5) = 2

اس کے متعلقہ تفریقی بیان: (2) - 3 = 5

معلوم کیجیے

1 مندرجہ بالا عددی خط میں 3 مثبت اعداد اور 3 منفی اعداد کو نشان زد کیجیے۔
2 مندرجہ ذیل خانوں میں اوپر دیے گئے 3 منفی اعداد کو لکھیے :
3 کیا 3-2 ہے؟ کیوں؟ کیا 3-2- ہے؟ کیوں؟

4 یہ کیا ہیں:
a.-5+0
b. 7+(-7)
с.-10+20
d. 10-20
e. 7-(-7)
f. -8-(-10)?

جمع اور تفریق کے لیے غیر نشان زدہ عددی خط کا استعمال کرنا

جیسے آپ او پر دیے گئے عددی خط کا استعمال کرتے ہوئے چھوٹے اعداد سے جمع، تفریق اور موازنہ کر سکتے ہیں، اسی طرح آپ یا ایک غیر نشان )Unmarked number line) (Infinite number line( ایک لامحدود عددی خط زد خط کھینچ کر بڑے اعداد کے ساتھ بھی ایسا کر سکتے ہیں:

یہ خط صرف صفر کا مقام بتاتا ہے۔ دوسرے اعداد اس پر نشان زد نہیں ہیں۔ غیر نشان زدہ عددی خط کو استعمال کر کے صحیح اعداد کی جمع اور تفریق ہمارے لیے آسان ہو گی۔ عددی خط کا پیمانہ اور اعداد کے مقام کا تصور کر کے آپ اس کا مظاہرہ کر سکتے ہیں۔

مثلاً، یہ غیر نشان زدہ عددی خط جمع کے ایک مسئلے کا مظاہرہ کرتا ہے:? = (60) + 85

85 + (- 60) =25: پھر ہم تصور کر سکتے ہیں کہ

به غیر نشان زدہ عددی خط تفریق کا ایک مسئلہ دکھاتا ہے جسے جمع میں لاپتہ عدد کے ایک مسئلے کے طور پر بھی لکھا جا سکتا ہے :

250+?=-100 underline (- 100) - (250)

?= - 350 پھر ہم اس مسئلے میں تصور کر سکتے ہیں کہ

اس طرح سے آپ غیر نشان زدہ عددی خط کا استعمال کرتے ہوئے کاغذ پر یا دماغ میں مثبت اور منفی اعداد کے ساتھ جمع اور

تفریق کے مسائل انجام دے سکتے ہیں۔

ان کو مکمل کرنے کے لیے غیر نشان زدہ عددی خط کا استعمال کیجیے۔

a. 125+(-30) =
b. +105(55) =
c. +80-(-150) =
d.-99-(-200) =

تفریق کو جمع اور جمع کو تفریق میں تبدیل کرنا

یاد کیجیے کہ ہدف منزل - ابتدائی منزل = در کار حرکت

هدف منزل = ابتدائی منزل + در کار حرکت

اگر ہم 2 سے شروع کرتے ہیں اور 3 پر پہنچنا چاہتے ہیں تو در کار حرکت کیا ہے؟

پہلا طریقہ : عددی خط کو دیکھتے ہوئے، ہم دیکھتے ہیں کہ ہمیں 5 کی حرکت درکار ہے (یعنی 5 پیچھے کی جانب)

اس لیے 5-2-3- ہے۔ لہذا در کار حرکت 5- ہے۔

دوسرا طریقہ : 2 سے 3- تک کے سفر کو دو حصوں میں تقسیم کیجیے۔

-2 سے 20 تک کی حرکت 0 - 2 = 2- ہے۔

-0 سے 3- تک کی حرکت 0 - (3) = 3- ہے۔

-5=(-2)+-3 leftarrow sqrt(2) * 5w + sqrt(3)

ان دور نگین عبارتوں کو دیکھیے۔ دوسرے طریقے میں کوئی تفریق نہیں ہے !

اس طرح ہم ہمیشہ تفریق کو جمع میں تبدیل کر سکتے ہیں جس عدد کی تفریق کی جارہی ہے اسے اس کے معکوس سے تبدیل کیا

جاسکتا ہے اور پھر جمع کیا جاسکتا ہے۔

اسی طرح، جس عدد کی جمع کی جارہی ہے اسے اس کے معکوس سے تبدیل کیا جاسکتا ہے اور پھر تفریق کی جاسکتی ہے۔ اس

طرح سے ہم ہمیشہ جمع کو تفریق میں بھی تبدیل کر سکتے ہیں۔

مثالیں ۔

a. (7) - (5) = (7) + (- 5)
b. (- 3) - (8) = (- 3) + (- 8)
C. (8) - (- 2) = (8) + (2)
d. (6) - (- 9) = (6) + (9)

10.2 ٹوکن ماڈل

جمع کے لیے ٹوکن کا استعمال کرنا

بیلا کی تفریحی عمارت میں لفٹ چلانے والا اُکتا گیا ہے۔ اپنی تفریح کے لیے وہ ایک ڈبہ رکھتا ہے جس میں بہت سارے مثبت (سرخ) اور منفی (سیاہ) ٹوکن ہوتے ہیں۔ ہر بار جب وہ + کا بٹن دباتا ہے تو وہ ڈبے سے ایک مثبت ٹوکن نکالتا ہے اور اسے اپنی جیب میں ڈال دیتا ہے۔ اسی طرح ہر بار جب وہ - کا بٹن دباتا ہے تو ایک منفی ٹوکن نکالتا ہے اور اسے اپنی جیب میں ڈال دیتا ہے۔

وہ خالی جیب کے ساتھ زمینی منزل (منزل (0) سے شروع کرتا ہے۔ ایک گھنٹے کے بعد اس نے اپنی جیب دیکھی تو اسے پانچ مثبت اور تین منفی ٹوکن ملے۔ وہ اب کس منزل پر ہے؟ اس نے + کو ضرور 5 مرتبہ اور ' کو 3 مرتبہ دبایا ہو گا ۔ 2 + (3) + (5) تو ، اب وہ منزل 2+ پر ہے۔ یہاں شمار کرنے کا ایک اور طریقہ ہے۔

ایک مثبت ٹوکن اور ایک منفی ٹوکن ایک دوسرے کو منسوخ کر دیتے ہیں کیوں کہ اس جوڑے کی مجموعی قدر صفر ہے۔ اس کی جیب میں ان دوٹوکنوں کا مطلب یہ ہے کہ اس نے بالترتیب ایک مرتبہ ' + ' اور ایک مرتبہ دبایا جو ایک دوسرے کو منسوخ کرتے ہیں۔ ہم کہتے ہیں کہ ایک مثبت اور ایک منفی ٹوکن صفر کا جوڑا بناتے ہیں۔ جب آپ سارے صفر جوڑے ہٹاتے ہیں تو آپ کے پاس دو مثبت ٹوکن رہ جاتے ہیں۔ اس لیے، 2 + = (3) + + 5) ہم ٹوکنوں کا استعمال کرتے ہوئے اس طرح کی کوئی بھی جمع انجام دے سکتے ہیں۔

مثال - 5+ اور 8 - کو جمع کیجیے۔

تصویر کی مدد سے ہم دیکھتے ہیں کہ ہم 5 صفر جوڑے ہٹا سکتے ہیں اور پھر ہمارے پاس 3- شکلیں باقی رہ جاتی ہیں۔ اس لیے،

(5) + (- 8) = - 3

معلوم کیجیے

1 ٹوکن کو استعمال کرتے ہوئے جمع کو مکمل کیجیے۔ a. (6) + (4)
b. (- 3) + (- 2)
c. (5) + (- 7)
d. (- 2) + (6)

مندرجہ ذیل دو ٹوکنوں کے سیٹوں میں صفر کے جوڑوں کو منسوخ کیجیے۔ ہر صورت حال میں لفٹ چلانے والا کس منزل پر ہے ؟ ہر صورت حال کے متعلقہ جمع کی عبارت کیا ہے؟ 2

تفریق کے لیے ٹوکنوں کا استعمال

ہم نے دیکھا ہے کہ مثبت اور منفی ٹوکنوں کے ساتھ صحیح اعداد کی جمع کو کیسے انجام دیا جا سکتا ہے۔ ہم ٹوکنوں کا استعمال کر کے تفریق بھی کر سکتے ہیں !

مثال: آیئے ہم تفریق کرتے ہیں:
(+5) - (+4)

یہ کرنا آسان ہے۔ نتیجہ دیکھنے کے لیے 5 مثبت میں سے 4 مثبت نکال لیجیے۔

مثال: آیئے ہم تفریق کرتے ہیں:

(- 7) - (- 5)

کیا (5-) - (-) اور (5+) (7-) یکساں ہیں؟

مثال: آیئے ہم تفریق کرتے ہیں: (5) - (6) 5 ثبت لیجیے۔

لیکن 6 مثبت نکالنے کے لیے ٹوکن کافی نہیں ہیں!

اس مسئلے کے حل کے لیے ہم مزید ایک صفر جوڑے (ایک مثبت اور ایک منفی) کو شامل کر سکتے ہیں، یہ جانتے ہوئے کہ اس سے ٹوکنوں کے سیٹ کی قدر میں کوئی تبدیلی نہیں آتی ہے۔

اب ہم 6 مثبت نکال سکتے ہیں!

دیکھیے کیا باقی رہ گیا :

ہمارا نتیجہ یہ ہے 1- = (6) - (5)

معلوم کیجیے

1 ٹوکنوں کا استعمال کرتے ہوئے مندرجہ ذیل میں دیے گئے فرق کا اندازہ لگائیے۔ جانچ کیجیے کہ کیا دوسرے طریقوں سے آپ کو وہی نتیجہ حاصل ہوتا ہے جو اب آپ جانتے ہیں :

a. (10) - (7)
b. (- 8) - (- 4)
c. (- 9) - (- 4)
d. (9) - (12)
e. (- 5) - (- 7)
f. (- 2) - (- 6)

2 تفریق مکمل کیجیے:

a. (- 5) - (- 7)
b. (10) - (13)
c. (- 7) - (- 9)
d. (3) - (8)
e. (- 2) - (- 7)
f. (3) - (15)

(4) + - x * (- 6) / J * 6

4 مثبت سے شروع کیجیے۔

ہمیں ان میں سے 6 منفی نکالنے ہیں۔ لیکن یہاں موجود منفی کافی نہیں ہیں۔

یہ کوئی مسئلہ نہیں ہے۔ ہم کچھ صفر جوڑوں کو شامل کرتے ہیں کیوں کہ اس سے ٹوکنوں کے سیٹ کی قدر میں کوئی تبدیلی نہیں آتی۔

لیکن کتنے صفر جوڑے ؟ ہمیں 6 منفی لینا ہے لہذا ہمیں 6 صفر جوڑوں کی ضرورت ہے :

ہم نے 6 صفر جوڑے لیے :

معلوم کیجیے

1 1 - تفریق کرنے کی کوشش کیجیے : (5+) - 3 -

آپ کو کتنے صفر جوڑے شامل کرنے ہوں گے ؟ نتیجہ کیا ہے؟

2 ٹوکنوں کا استعمال کرتے ہوئے تفریق کی قدر نکالیے :

a. (- 3) - (+10)
b. (+8) - (- 7)
c. (- 5) - (+9)
d. (- 9) - (+10)
e. (+6) - (- 4)
f. (- 2) - (+7)

10.3 دوسرے مقامات پر صحیح اعداد

کمائی اور خرچ

فرض کیجیے کہ آپ نے اپنے مقامی بینک میں 100 روپیوں کے ساتھ ایک کھاتا کھولا جو آپ پچھلے ایک مہینے سے بچارہے تھے۔

اس لیے آپ کا بینک بیلنس 100 روپے سے شروع ہوتا ہے۔

پھر اگلے دن آپ اپنی نوکری سے 60 روپے کماتے ہیں اور اسے اپنے کھاتے میں جمع کراتے ہیں۔ یہ آپ کے بینک پاس بک (Passbook) میں کمائی (Credit) کے طور پر دکھایا جاتا ہے۔

آپ کے بینک کے کھاتے کی نئی رقم کتنی ہے۔ اگلے دن آپ اپنے بینک کھاتے سے 30 روپے کا بجلی کا بل ادا کرتے ہیں۔ یہ آپ کے بینک کے پاس بک میں خرچ (Debit) کے طور پر دکھایا جاتا ہے۔

اب آپ کے بینک کھاتے میں کتنی رقم ہو گی ؟ اگلے دن آپ اپنے کاروبار کے لیے 150 روپے کی ایک بڑی خریداری کرتے ہیں۔ پھر یہ خرچ کے طور پر دکھایا جاتا ہے۔

اب آپ کے بینک کھاتے میں کتنی رقم ہے ؟ کیا ممکن ہے؟

ہاں ، کچھ بینک آپ کے بینک کھاتے کو وقتی طور پر نفی ہونے کی اجازت دیتے ہیں! کچھ بینک آپ سے ایک اضافی رقم بھی لیتے ہیں اگر آپ کے بینک کھاتے میں منفی رقم ہو جاتا ہے 'سود یا فیس کی شکل میں۔

آپ کے گذشتہ روز کی حکمت عملی کے تحت کی گئی بڑی خریداری آپ کو اگلے دن کاروبار میں 200 روپے کمانے کا موقع فراہم کرتی ہے۔

اب آپ کی رقم کتنی ہے؟ آپ اپنی کمائی کو مثبت اعداد اور خرچ کو منفی اعداد کی شکل میں سوچ سکتے ہیں۔ آپ کی کمائی ( مثبت اعداد ) اور خرچ ( منفی اعداد با ) ملا کر آپ کے بینک کے کھاتے کی کل رقم ہو گی۔ یہ مثبت یا منفی ہو سکتی ہے !

عام طور پر بہتر ہے کہ آپ اپنے کھاتے میں مثبت رقم رکھنے کی کوشش کیجیے!

معلوم کیجیے

1. 1 مان لیجیے کہ آپ نے بینک کھاتے کی شروعات '0' روپیوں سے کی اور پھر کمائی 30 روپے، 40 روپے اور 50 روپے ہوئی اور خرچ 40 روپے، 50 روپے اور 60 روپے ہوا۔ اب آپ کے بینک کھاتے میں کل رقم کیا ہے ؟
2. 2 مان لیجیے کہ آپ نے بینک کھاتے کی شروعات (0) روپیوں سے کی اور پھر آپ کا خرچ 1، 2، 4، 64،32،16،8 اور 128 روپے ہوا اور بس ایک کمائی 256 روپے کی ہوئی۔ اب آپ کے بینک کھاتے میں کتنی رقم ہے ؟
3. 3 کیوں عام طور پر بینک کھاتے میں مثبت رقم رکھنا بہتر ہوتا ہے؟ وہ کون سے حالات ہوں گے جب بینک کھاتے میں وقتی طور پر منفی رقم ہونا کار آمد ہو گی؟
4. جیسا کہ آپ دیکھ سکتے ہیں کہ صفر کے ساتھ صنفی اور مثبت اعداد بینکنگ او را کاؤنٹنگ کی دنیا میں بے حد کار آمد ہیں۔

جغرافیائی کراس سیکشن (Geographical cross section)

ہم کرتے سطح سمندری سے جغرافیائی خصوصیات جیسے پہاڑوں ، سطح مرتفع (Plateaus) اور صحراؤں کی اونچائی کی پیمائش کر ہیں سمندری سطح پر اونچائی 0 میٹر ہوتی ہے۔ سمندری سطح سے اوپر کی اونچائی کو مثبت اعداد سے ظاہر کیا جاتا ہے اور سمندری سطحسے نیچے کی اونچائی کو منفی اعداد سے ظاہر کیا جاتا ہے۔

معلوم کیجیے

. جغرافیائی کر اس سیکشن کو دیکھتے ہوئے متعلقہ اونچائیوں کو خانوں میں بھریے۔ 1

2 جغرافیائی کر اس سیکشن میں سب سے اونچا نقطہ کون سا ہے؟ سب سے نیچا نقطہ کون سا ہے؟
کیا آپ B A ..... ، نقطوں کو ان کی اونچائیوں کے مطابق گھٹتی ہوئی ترتیب میں لکھ سکتے ہیں؟ کیا آپ ان نقطوں کو ان کی اونچائیوں کے مطابق بڑھتی ہوئی ترتیب میں لکھ سکتے ہیں؟
4 زمین پر سمندری سطح سے اوپر سب سے اونچا مقام کون سا ہے؟ اس کی اونچائی کیا ہے؟
سمندری سطح کے لحاظ سے زمین یا سمندری سطح پر سب سے نیچا مقام کون سا ہے؟ اس کی اونچائی کیا ہے؟ ( یہ اونچائی منفی ہونی چاہیے )۔

درجه حرارت (Temperature)

گرمی کے موسم کے دوران آپ نے خبروں میں سنا ہو گا کہ گرمی کی لہر (Heat wave) ہے۔ آپ کے خیال میں اس وقت درجہ حرارت کیا ہو گا جب آپ کو بہت گرمی محسوس ہوتی ہے ؟ سردی کے موسم میں ہمارے پاس درجہ حرارت زیادہ ٹھنڈا یا سرد ہوتا ہے۔

آپ کے علاقے میں پچھلے سال گرمیوں میں سب سے زیادہ درجہ حرارت اور سردیوں میں سب سے کم درجہ حرارت کیا تھا ؟ پتہ لگائیے۔

جب ہم درجہ حرارت کی پیمائش کرتے ہیں تو ہم سیلسیس (OC) کو پیمائش کی اکائی کے طور پر استعمال کرتے ہیں۔

40°C اور 15°C درجۂ حرارت دکھا رہے ہیں۔ ( مندرجہ ذیل تھرما میٹر ( Thermometers

معلوم کیے

1. کیا آپ کو معلوم ہے کہ ہندوستان میں کچھ ایسی = جگہیں ہیں جہاں درجہ حرارت 0°C سے نیچے جاسکتا ہے۔ ہندوستان میں ایسی جگہیں تلاش کیجیے جہاں درجہ حرارت کبھی: 0°C سے نیچے جاتا ہے۔ ان جگہوں میں کیا یکسانیت ہے؟ وہاں کیوں اتنی ٹھنڈ ہوتی ہے جب کہ دوسرے مقامات میں نہیں ہوتی۔
2 لداخ کا لہہ (Leh) سردیوں میں بہت ٹھنڈا ہو جاتا ہے۔ نومبر کے مہینے کے ایک دن لہہ میں دن سے رات تک کے کچھ وقفوں میں درجہ حرارت کی پیمائش درج ذیل جدول میں دیا گیا ہے۔ درجہ حرارت کو دن اور رات کے صحیح وقت کے ساتھ ملائے۔

ٹمپریچر	وقت
14 deg * C	02:00 a.m.
8 deg * C	11:00 p.m.
- 2 deg * C	02:00 p.m.
- 4 deg * C	11:00 a.m.

10.4 صحیح اعداد کے ساتھ جستجو

پیچ سے خالی کسی صحیح عدد کا گرڈ

ان دو گرڈوں کے بارے میں کچھ خاص بات ہے۔ آئیے دریافت کریں کہ وہ کیا ہے۔

5 + (- 3) + (- 5) =\
(- 8) + (- 2) + 7 =\
5 + 0 + (- 8) =\
(- 5) + (- 5) + 7 =\
4 + (- 1) + (- 3) = 0
(- 1) + (- 1) + 2 = 0
4 + (- 3) + (- 1) = 0
(- 3) + 1 + 2 = 0
اوپر کی قطار
نیچے کی قطار
بایاں کالم
دایاں کالم

ہر گرڈ میں دو قطاروں میں سے ہر ایک کے اعداد (اوپر والی قطار اور نیچے والی قطار ) اور دونوں کالموں میں سے ہر کالم کے اعداد (سب سے بایاں کالم اور سب سے دایاں کالم ) جوڑ کر یکساں عدد دیتے ہیں۔ ہم اس جمع کو بارڈر کا حاصل جمع ، (Border sum) کہہ سکتے ہیں۔ پہلے گرڈ کے بارڈر کا حاصل جمع 0 ہے۔

معلوم کیجیے

1. اوپر دیے گئے دوسرے گرڈ کو حل کیجیے اور بارڈر کا حاصل جمع معلوم کیجیے۔
2 گرڈ کو مکمل کیجیے اور بارڈر کا مطلوبہ حاصل جمع بنائیے : 3. بارڈر کا حاصل جمع 4۔ بنانے کے لیے اوپر دیے گئے گرڈ کو بھرنے کے لیے ایک سے زیادہ طریقے معلوم کیجیے۔
4. کون سے دوسرے گرڈ کو متعدد طریقوں سے بھرا جا سکتا ہے؟ کیا وجہ ہو سکتی ہے؟
5. ایک بارڈر صحیح اعداد مربع پہیلی بنائیے اور اپنے ہم جماعتوں کو چیلنج کیجیے۔

اعداد کا شاندار گرڈ !

ذیل میں ایک گرڈ ہے جس میں کچھ اعداد موجود ہیں۔ دیے گئے اقدامات پر اس وقت تک عمل کیجیے جب تک کہ گرڈ میں کوئی عدد باقی نہ رہے۔

جب کوئی عدد بغیر نشان کے نہ ہو ، رک جائے ۔ دائرے والے اعداد کو جمع کیجیے۔

ذیل کی مثال میں دائرے والے اعداد 1 - ، 9، 7-2- ہیں۔ اگر آپ انہیں جوڑتے ہیں تو آپ کو 1 - حاصل ہوتا ہے۔

معلوم کیجیے

1 . نئے سرے سے کوشش کیجیے، اس بار مختلف اعداد کا انتخاب کیجیے۔ آپ کا حاصل جمع کیا ہے؟ کیا یہ پہلی مرتبہ سے مختلف ہے؟ کچھ اور مرتبہ آزمائیے!
2 نیچے دیے گئے گرڑوں کے ساتھ یکساں کھیل کھیلیے۔ آپ کو کیا جواب ملا؟

ان گرڈوں کے بارے میں کیا خاص بات ہو سکتی ہے؟ کیا اعداد میں جادو ہے یا جس طرح سے ان کو ترتیب دیا گیا ہے اس میں یا دونوں میں؟ کیا آپ مزید ایسے گرڈ بنا سکتے ہیں؟

معلوم کیجیے

1 دیے گئے جوڑوں کے درمیان کے صحیح اعداد کو بڑھتی ہوئی ترتیب میں لکھیے۔ اور اور اور 15 3-30-اور

2 تین اعداد بتائیے جن کی جمع 8۔ ہو۔

3 یہاں دو پاسے ہیں جن کے اوپر یہ عدد دیئے گئے ہیں : 1، 2، 3، 4، 6،5۔ ان پاسوں کو گھمانے پر سب سے چھوٹا ممکنہ حاصل . (- 5) + (- 5) = (- 10) ^ 2 ہے اور سب سے بڑا ممکنہ حاصل جمع 12 = (6) + (6) - 10 - اور 12 + کے درمیان کچھ اعداد ایسے ہیں جنھیں پاسوں پر دیے گئے اعداد کو جوڑ کر حاصل کرنا ممکن نہیں ہے۔ ان اعداد کو تلاش کیجیے۔

4. ان کو حل کیجیے۔

(-13)+(-8)	(-13)-(-8)	(-8)-(-13)	8-13
13-(-8)	(13)-8	(-8)-(-13)	8+(-13)

5 مندرجہ ذیل میں سال تلاش کیجیے۔

آج سے 150 سال پہلے کون سا سال تھا ؟ آج سے 2200 سال پہلے کون سا سال تھا ؟ اشارہ: یاد رکھیے کوئی 10 سال نہیں تھا 680 قبل مسیح ( BCE) کے 320 سال بعد کون سا سال ہو گا؟

درجہ ذیل تو اتروں کو مکمل کیجیے۔ 6 a. (-40), (-34), (-28), (-22),.....,....., .....
b. 3, 4, 2, 5, 1, 6, 0, 7,..., ...., ....
C. ...., .....,12, 6, 1, (-3), (-6), ......, ......, ......

7 یہاں پر چھے بیچ عددی کارڈز ہیں: (1) ، (7)، (18+)، (5)، (2)، (9-)۔ آپ ان میں سے کسی کو بھی چن سکتے ہیں اور جمع اور تفریق استعمال کرتے ہوئے ایک عبارت بنا سکتے ہیں۔ یہاں ایک عبارت ہے : (2-)۔

6 (7) - (1) (18) جس کی قدر 14 + ہے۔ اب کارڈز کا انتخاب کیجیے اور ایک ایسی عبارت بنائیے جس کی قدر (30-) کے قریب ہو۔

دو مثبت صحیح اعداد کا حاصل جمع ہمیشہ مثبت ہوتا ہے۔ لیکن ایک ( مثبت صحیح عدد) - (مثبت صحیح عدد) منفی یا مثبت ہو سکتا ہے۔ درجہ ذیل کے بارے میں کیا خیال ہے : (a) مثبت منفی
(b) مثبت + منفی
(c) منفی + منفی
(d) منفی منفی
(e) منفی مثبت
(f) منفی + مثبت

و اس دھاگے میں کل 100 ٹوکن کو خاص ترتیب سے لگایا گیا ہے۔ دھاگے کی قدر کیا ہو گی؟

تاریخ سے چٹکی 10.5

عام کسری اعداد کی طرح عام صحیح اعداد ( صفر اور منفی اعداد کے ساتھ ) ہزاروں سال پہلے، اس وقت سے بھی پہلے جب یہ بالآخر جدید زمانے میں دنیا میں عام ہوئے ، پہلی بار ایشیا میں ہی نکلے اور یہیں استعمال ہوئے۔

منفی اعداد کے تصور کی پہلی جھلک حساب و کتاب کے سیاق و سباق میں ملتی ہے۔ چین کے اہم ریاضیاتی نگارشات میں سے کی تکمیل پہلی ہے جس میں )The Nine Chapter of Mathematical Art (Jiuzhaug Suanshu( ایک یا دوسری صدی عیسوی میں ہوئی جس میں مثبت اور منفی اعداد کا مظاہرہ سرخ اور سیاہ چھڑیوں کا استعمال کرتے ہوئے کیا گیا تھا، کافی حد تک اسی طرح ہیں جیسے ہم نے انھیں سرخ اور سیاہ رنگ کے ٹوکنوں کے استعمال سے ظاہر کیا تھا!

قدیم زمانے میں ہندوستان میں حساب و کتاب کی ایک بہت مضبوط روایت بھی موجود تھی۔ کمائی (Credit) اور خرچ (Debit) کے تصور کو کو ٹلیا نے اپنی کتاب ارتھ شاستر ( Arthshashtra) میں (300 قبل مسیح) ، تفصیلات سے لکھا ہے، جس میں اس بات کا اعتراف بھی شامل ہے کہ بینک کھاتے کی رقم منفی بھی ہو سکتی ہے۔ حساب و کتاب کے سیاق و سابق میں منفی اعداد کے واضح استعمال کا ذکر قدیم ہندستان کی کئی قدیم تصانیف، جس میں بکشالی (Bakhshali) دستاویز تقریباً 300 عیسوی بھی شامل ہے، جہاں ایک خاص علامت کو عدد کے بعد رکھا جاتا تھا (جیسا کہ آج ہم عدد سے پہلے رکھتے ہیں) تاکہ منفی عدد کو ظاہر کیا جاسکے ۔

مثبت اعداد منفی اعداد اور صفر کا پہلا جامع بیان، جس میں ان تینوں کو برابر کی حیثیت سے قابل قبول اعداد پر لیا گیا، جن پر جمع، تفریق، ضرب اور حتی کہ تقسیم جیسے بنیادی افعال کیے جاسکتے ہیں، برہم گیت نے کے طور پر لیا

اپنی کتاب بر هم اسپوت سدهانت (Brahma-sputa siddhant) میں 628 عیسوی میں دیا۔ برہم گیت نے تمام اعداد مثبت، منفی اور صفر پر عملیات (Operation) کے لیے واضح اور صریح اصول پیش کیے جنھوں نے بنیادی طور پر ان اعداد کو سمجھنے کے جدید طریقے کی بنیاد رکھی، جو ہم آج بھی استعمال کرتے ہیں۔ مثبت اعداد ، منفی اعداد اور صفر کے جمع اور تفریق کے لیے برہم گیت کے کچھ اہم اصول ذیل میں دیے گئے ہیں:

برہم گیت کے جمع کے اصول (برہم۔ استوپ سدھانت 628،18.30 عیسوی)

1. 1 دو مثبت کا حاصل جمع مثبت ہوتا ہے (مثلاً 2 + 3=5)۔
2. 2 دو منفی کا حاصل جمع منفی ہوتا ہے۔ دو منفی کو جمع کرنے کے لیے اعداد کو جمع کیجیے (بغیر علامت کے) اور پھر گھٹاؤ کا نشان لگا کر نتیجہ حاصل کیجیے ( مثلاً -( - 5 = (- 3) + (- 2)
3. 3 ایک مثبت عدد اور ایک منفی عدد کو جمع کرنے کے لیے بڑے عدد ( بغیر علامت) میں سے چھوٹے عدد ( بغیر علامت) کو تفریق کر دیتے ہیں اور نتیجہ حاصل کرنے کے لیے پھر بڑے عدد کی علامت کو لکھیے (مثلاً leftarrow 2 = 3 + (- 5) -( 2 = 5 - 3 ;;1-=(-3)+2
4. 4 کسی عدد اور اس کے معکوس (inverse) کی جمع صفر کے برابر ہوتا ہے (مثلاً 2 + (2) = 0)۔
5. 5 کسی بھی عدد اور صفر کا حاصل جمع وہی عدد ہوتا ہے۔ (مثلاً (2) + 0 = 2 اور 0 + 0 = 0) -

برہم گیت کے تفریق کے لیے اصول (برہم۔ استوپ سدھانت 18.32، 18.31 عیسوی)

1. . اگر کسی چھوٹے مثبت عدد کو بڑے مثبت عدد سے تفریق کی جائے تو نتیجہ ثبت حاصل ہوتا ہے۔ (مثلاً 3 - 2 = 1)۔
2. 2 اگر کسی بڑے مثبت عدد کو چھوٹے مثبت عدد سے تفریق کی جائے تو نتیجہ منفی حاصل ہوتا ہے ( مثلاً 2 - 3 = 1-)۔
3. 3 کسی منفی عدد کو تفریق کرنا ایسا ہے جیسے اس کے متعلقہ مثبت عدد کو جمع کرنا۔ \ ( 3 + 2 =(-3)-2 hat i Phi^ pm ).
4. 4 کسی عدد کو خود سے تفریق کرنے پر نتیجہ صفر حاصل ہوتا ہے۔ (مثلاً 0 = 2-2 اور 0 = (2)-2)۔
5. 5 کسی عدد میں سے 0 تفریق کرنے پر نتیجہ خود وہ عدد ہوتا ہے (مثلاً - 2 = (0) - (- 2) اور 0 - 0 = 0) ،
6. کسی عدد کو صفر سے تفریق کرنے پر اس عدد کا معکوس (Inverse) حاصل ہوتا ہے (مثلاً 0 - (2) = (2) ۔

ایک بار جب آپ برہم گیت کے اصولوں کو سمجھ جاتے ہیں تو پھر آپ کسی بھی اعداد کے ساتھ جمع اور تفریق کر سکتے ہیں ۔ خواہ مثبت، منفی اور صفر ہو !

معلوم کیجیے

1. کیا آپ برہم گیت کے اصولوں کو بیلا کی تفریحی عمارت یا عددی خط کی شکل میں واضح کر سکتے ہیں؟

2 ہر اصول کے لیے آپ اپنی مثالیں دیجیے۔

برہم ۔ م گپت پہلے شخص تھے جنھوں نے صفر کو ایک عدد کی شکل میں مثبت اور منفی اعداد کے ساتھ برابر کا درجہ دیا اور اسی طرح مثبت، منفی اور صفر جیسے تمام اعداد پر حسابی عملیات کرنے کے واضح قواعد فراہم کیے۔ یہ تصور، جسے آج کل گھیرا (Ring) کہا جاتا ہے۔ یہ دنیا کے ریاضی کے عمل کے طریقے کو بدل دے گا۔

حالاں کہ باقی دنیا کو صفر اور منفی اعداد کو اعداد کے طور پر اپنانے میں کافی صدیاں لگیں۔ یہ اعداد یورپ میں 13 ویں صدی میں اپنائے جانے سے پہلے عرب دنیا کے ذریعے 9 ویں صدی تک مطالعہ کیے گئے، اپنائے گئے اور منتقل کیے گئے ۔

تعجب کی بات یہ ہے کہ 18 ویں صدی میں بھی منفی اعداد بہت سے یوروپی ریاضی دانوں کے ذریعے نہیں اپنائے گئے تھے۔ لازار کار نوٹ (Lazare Carnot)، جیسا 18 ویں صدی کا ایک فرانسیسی ریاضی داں نے منفی اعداد کو بے معنی (Absurd) کہا تھا۔ مگر وقت کے ساتھ صفر اور منفی اعداد دونوں کو عالمی ریاضی اور سائنس میں لازمی قرار دیا گیا اور مثبت اعداد کی طرح برابر کی اہمیت حاصل ہوئی۔ جس طرح سے برہم گیت نے 628 عیسوی میں واضح کیا تھا! سبھی اعداد پر حسابی اصولوں کی انتہا کی خصوصیت نے جدید دور میں الجبرا کو فروغ دیا جس کے بارے میں ہم آگے کے درجات میں مطالعہ کریں گے۔

خلاصه

• کچھ اعداد صفر سے کم ہوتے ہیں ۔ انہیں ' کی علامت کے ساتھ لکھا جاتا ہے (مثلاً 2-) اور انہیں منفی اعداد (Negative numbers) کہتے ہیں۔ یہ عددی خط میں صفر کے بائیں جانب لکھے جاتے ہیں۔

• اعداد .... 4 ،3 ،2 ،1 ،0 ، 1 - 2 - 3 - 4 کو صحیح اعداد (Integers) کہتے ہیں اور اعداد .... 1،2،3،4 کو
• مثبت اعداد (Positve integers) اور اعداد 1، 2، 3، 4.. کو منفی اعداد (Negative integers) کہتے ہیں۔ صفر (0) نہ ہی مثبت ہے نہ ہی منفی۔

• ہر مخصوص عدد کے ساتھ ایک متعلقہ دوسر اعدد ہوتا ہے جو اگر دیے ہوئے عدد سے جوڑا جائے تو صفر حاصل ہوتا ہے۔ اس کو جمعی معکوس (Additive inverse) کہتے ہیں۔ مثال کے طور پر 7 کا جمعی معکوس 7- اور 543- کا جمعی معکوس ہے۔543

• مندرجہ ذیل طریقے سے جمع کو دکھایا جاسکتا ہے۔ ابتدائی حالت + حرکت = ہدفی حرکت
• اضافے کو ہم باہمی حرکت یا بڑھنے اگھٹنے کے عمل میں دکھا سکتے ہیں۔ حرکت 1 + حرکت 2 = کل حرکت
• تفریق کو ہم اس طریقے سے دکھا سکتے ہیں۔ (ہد فی حالت ابتدائی حالت = حرکت)
• عام طور پر برہم گیت کے جمع کے اصولوں کی پیروی کے ذریعے ہم دو اعداد کو جوڑ سکتے ہیں :

1. اگر دونوں اعداد مثبت ہیں، دونوں اعداد کا حاصل جمع کیجیے اور نتیجہ ایک مثبت عدد ہے۔ (مثلاً: 2 + 3 = 5)۔ .a
2. اگر دونوں اعداد منفی ہیں، اعداد کو جمع کیجیے ( بغیر علامت کے) اور پھر اس میں تفریق کا نشان لگا کر نتیجہ حاصل کیجیے (- 5 = (- 3) + (- 2))
3. اگر ایک عدد مثبت اور دوسرا عدد منفی ہے، بڑے عدد (بغیر علامت کے) سے چھوٹے عدد ( بغیر علامت کے) کی تفریق کیجیے اور بڑے عدد کی علامت لگا کر نتیجہ حاصل کیجیے۔ (مثلاً : (5) + (3) = 5)۔
4. d کسی عدد کا اس کے جمعی معکوس (Additive inverse) کے ساتھ حاصل جمع صفر ہے۔ ))-2(+)2(:مثلاً ( =
5. .e کسی عدد کے ساتھ صفر کی جمع کے نتیجے میں وہی عدد حاصل ہوتا ہے۔ (مثلاً : (2) + (0) = 2-)۔

• ہم دو صحیح اعداد کی تفریق کے مسئلے کو جمع کے مسئلے میں تبدیل کر سکتے ہیں اور پھر جمع کے اصولوں کی پیروی کر سکتے ہیں۔ صحیح اعداد کی تفریق اور اس کے جمعی معکوس کا حاصل جمع ، دونوں یکساں ہے۔
• صحیح اعداد کا موازنہ کیا جاسکتا ہے .... > 3 + > 2 > 1 + > > 1 - 2 - 3 -... عددی خط پر چھوٹے اعداد، بڑے اعداد کے بائیں جانب ہوتے ہیں۔

• ہم مثبت اور منفی اعداد کو کمائی (Credit) اور خرچ (Debit) کے طور پر تعبیر کر کے انھیں معنی دے سکتے ہیں۔ ہم مثبت اعداد کو کسی حوالہ نقطہ ، جیسے زمینی سطح سے اوپر کے فاصلے کے طور پر بھی تعبیر کر سکتے ہیں۔ اسی طرح منفی اعداد کو زمینی سطحسے نیچے کے فاصلے کے طور پر تعبیر کیا جاسکتا ہے۔ جب ہم درجہ حرارت کو ڈگری سیلسیس میں پیمائش کرتے ہیں، تو مثبت درجہ حرارت وہ ہوتے ہیں جو پانی کے نقطہ انجماد (Freezing point of water) سے اوپر ہوں اور منفی درجہ حرارت وہ ہوتے ہیں جو پانی کے نقطہ انجماد سے نیچے ہوں۔

صحیح اعداد ۔ سانپ اور سیڑھی

اصول

• یہ دو کھلاڑیوں کا کھیل ہے۔ ہر کھلاڑی کے پاس 1 ڑی کے پاس 1 پیادہ ہے۔ دونوں کھلاڑی 0 سے شروع کرتے ہیں۔ کھلاڑی جیتنے کے لیے 50 یا 50 تک پہنچ سکتے ہیں۔ تک پہنچ سکتے ہیں۔ لیکن یہ کھیل سے پہلے یا اس کے دوران فیصلہ کرنے یا طے کرنے کی ضرورت نہیں ہے۔
• ہر کھلاڑی ایک وقت میں دو پاسے پھینک سکتا ہے۔ ایک پاسے میں 1 سے 6 اور دوسرے پاسے میں 1 سے 6-تک کے اعداد ہیں۔
• دونوں پاسوں کو ہر مرتبہ پھینکنے کے بعد کھلاڑی ای ند کھلاڑی انھیں کسی بھی ترتیب میں جمع یا تفریق کر سکتا ہے اور پھر وہ نہ ریق کر سکتا ہے اور پھر وہ نتیجے کے برابر قدم بڑھائے گا۔ ایک مثبت نتیجہ کا مطلب 50 کی طرف بڑھنا اور ایک منفی نتیجہ کا مطلب 50- کی طرف بڑھنا ہے۔

صفحات برائی آموزشی مواد LEARNING MATERIAL SHEETS