1

ہمارے آس پاس کے بڑے اعداد
(LARGE NUMBERS AROUND US )

1.1 ایک لاکھ اقسام !

کرناٹک کے ایک قصبہ چنتامنی میں ایشورپاّ نام کا ایک کسان رہتا ہے۔ وہ اپنے دھان کے کھیت کے لیے بیج خریدنے کی غرض سے روزانہ بازار جاتا ہے ۔ اسی طرح کے ایک دورے کے دوران اس نےرمنّا اورلکشممّا کی گفتگو سنی ۔رمنّا نے کہا ” پہلے ہمارے ملک میں دھان کی ایک لاکھ قسمیں ہوا کرتی تھیں ۔ کسان مختلف قسموں کے بیجوں کو محفوظ رکھا کرتےتھے اور انھیں دھان اگانے کے لیے استعمال کرتے تھے ۔اب ہمارے پاس صرف چند اقسام رہ گئی ہیں۔ نیز بیج خریدنے کے لیے کسانو ں کو بھی بازار آنا پڑتا ہے ۔ ‘‘

لکشممّاکہتی ہے” میرےگھر کے قریب ایک بیج بینک ہے۔اب تک انھوں نے مختلف جگہوں سے چاول کے بیجوں کی تقریباً سو مقامی اقسام جمع کی ہیں ۔آپ وہاں سے بھی بیج خرید سکتے ہیں۔“

اس سے پہلےآپ نےلفظ’ لاکھ‘تو سنا ہی ہوگا۔ کیا آپ جانتے ہیں ایک لاکھ کتنا بڑا ہوتا ہے؟ آئیے ہم معلوم کرتے ہیں۔

ایشورپّانےیہ واقعہ اپنی بیٹی روکسی اور بیٹےایسٹوکو سنایا۔

ایسٹو کو یہ جان کر حیرت ہوئی کہ اس ملک میں چاول کی تقریباً ایک لاکھ قسمیں ہواکرتی تھیں۔اس نے حیران ہوکر پوچھا”ایک لاکھ! اب تک میں نے توصرف 3قسمیں ہی چکھی ہیں ۔ اگر ہم ہر دن ایک نئی قسم کا ذائقہ لیں تو کیا ہم سو سال کی زندگی میں تمام اقسام کو چکھنے کے قریب بھی پہنچ پائیں گے۔“

آپ کا کیا خیال ہے ؟ اندازہ لگائیے۔

لیکن ایک لاکھ کتنا ہوتا ہے؟ پیٹرن کا مشاہدہ کیجیے اور ذیل میں دیے گئے خانو ں کو بھریے۔

روکسی اورایسٹو نے پایاکہ اگر وہ ایک دن میں چاول کی ایک قسم کھائیں تووہ پوری زندگی میں ایک لاکھ کےآس پاس بھی نہیں پہنچ پائیں گے ۔ روکسی مشورہ دیتی ہے،”کیا ہوگا اگر ہم روزانہ 2قسموں کے چاول کھائیں تو ؟کیا ہم سو سال میں ایک لاکھ قسم کے چاول کھا سکیں گے؟‘‘

اگر کوئی شخص روزانہ 3قسموں کے چاول کھاتا ہے تو کیاوہ 100 سال کی زندگی میں ایک لاکھ اقسام کے چاول کے ذائقے کا لطف اٹھا پائےگا ؟ پتہ لگائیے۔

ایسٹو کہتاہے ” ہم جانتے ہیں کہ ایک سال میں کتنے دن ہوتے ہیں — 365، اگر ہم لون سال (Leap Year)کو نظر انداز کر دیں تو ۔اگر ہم y سالوں تک زندہ رہتے ہیں تو ہماری زندگی میں کل دنوں کی تعداد ہوگی ۔ ‘‘

y کے لیے کوئی ایک عدد چُن لیجیے ۔ y کے لیےآپ کے چُنے ہوئے عدد کے مطابق y سالوں میں دنوں کی تعداد ایک لاکھ کے کتنے قریب ہوگی ؟

معلوم کیجیے

1. 2011کی مردم شماری کے مطابق قصبہ چنتا منیکی آبادی تقریباً 75,000تھی ۔75,000ایک لاکھ سے کتناکم ہے ؟
2. تخمینہ کے مطابق 2024میں چنتامنیکی آبادی 1,06,000ہے ۔1,06,000ایک لاکھ سے کتنا زیادہ ہے ؟
3. سال2011سے2024تک چنتا منیکی آبادی میں کل کتنا اضافہ ہوا؟

بڑے اعداد کا احساس

آپ اس طرح کے دل چسپ حقائق سے واقف ہوں گے :

• دنیا کا سب سے اونچا مجسمہ ‘مجسمہ اتحاد ’(Statue of Unity)ہے،جو گجرات میں ہے اوروہ سردار ولبھ بھائی پٹیل کا مجسّمہ ہے۔ اس کی اونچائی تقریباً 180 میٹر ہے ۔
• کہاجاتا ہے کہ کرناٹک میں کُنچیکل(Kunchikal)آبشار تقریباً 450میٹر کی اونچائی سے گرتا ہے ۔

یہ سمجھنا ہمیشہ آسان نہیں ہوتا ہے کہ کوئی پیمائش کتنی بڑی ہے۔ لیکن جب ہم ان کا موازنہ کسی جانی پہچانی چیز سے کرتے ہیں توان کا اندازہ بہتر طور پر ہوجا تا ہے۔ آئیے ایک مثال سے اسے سمجھتے ہیں۔

بائیں طرف دی ہوئی تصویر کو دیکھیے۔ سومو1 میٹر لمباہے ۔اگر اس عمارت کی ہرایک منزل سومو کی لمبائی سےچار گنا زیادہ ہے تو عمارت کی اونچائی تقریباً کتنی ہوگی ؟

کون سی چیززیادہ اونچی ہے—مجسمۂ اتحاد یا یہ عمارت؟ کتنی زیادہ اونچی ہے؟

__________میٹر ۔

ہم دیکھ سکتے ہیں کہ مجسمۂ اتحاد کی اونچائی سومو کی عمارت کی اونچائی سے تقریباً4گنا ہے ۔

کنچیکل آبشار سومو کی عمارت سےکتنا اونچا ہے ؟ ___________میٹر۔

سومو کی عمارت میں کتنی منزلیں اورہونی چاہیے
تا کہ وہ آبشار جتنی اونچی ہوجائے؟

_________۔

کیا ایک لاکھ بہت بڑا عدد ہے ؟

ایشورپّا نے روکسی اور ایسٹوسے پوچھا ”ایک لاکھ بڑا عدد ہے یا چھوٹا ؟“

روکسی کو لگتا ہے کہ 1 لاکھ ایک بڑاعدد ہے:

• “ہمارے پاس چاول کی ایک لاکھ قسمیں تھیں — جوکہ بہت زیادہ ہے۔”

• ”1 لاکھ دن جینے کا مطلب ہے 274سال تک جینا —جوکہ واقعی ایک طویل مدت ہے !“

• “اگر1لاکھ لوگ کندھے سے کندھا ملا کرایک صف میں کھڑے ہوتے ہیں تووہ 38کلو میٹرکی دوری تک
  پھیل سکتے ہیں۔“

تاہم ایسٹو کا خیال ہے کہ یہ اتنا بڑا نہیں ہے :

• “کیا آپ جانتے ہیں کہ احمد آباد کے کرکٹ اسٹیڈیم میں ایک لاکھ سے زیادہ لوگوں کے بیٹھنے کی گنجائش ہے۔ اتنی چھوٹی جگہ میں 1لاکھ لوگ !”
• “زیادہ تر انسانو ں کے سرپر80,000سے1,20,000تک بال ہوتے ہیں —تصور کیجیے کہ اتنی چھوٹی سی جگہ میں ایک لاکھ بال فٹ ہو گئے ہیں ۔”
• “میں نے سنا ہے کہ مچھلیوں کی کچھ اقسام ایسی ہیں جن میں ایک مادہ مچھلی ایک ساتھ بہت آرام سے ایک لاکھ انڈے دے سکتی ہے ۔کچھ تو ایک وقت میں دس لاکھ انڈے بھی دیتی ہیں ۔”

آپ ایک لاکھ کو کیسے دیکھتے ہیں — ایک لاکھ بڑا عددہے یا چھوٹا؟

اعداد کو پڑھنا اور لکھنا

ہم پہلے ہی ہندوستانی مقامی قدری نظام (Indian Place Value System) میں 5 ہندسوں والے اعدادجیسے 45,830 کے لیے سکتہ (Comma)کا استعمال کرتے آرہے ہیں ۔جیسے جیسے اعداد بڑے ہوتے جاتے ہیں اسی حساب سے سکتوں کا استعمال کرنے سے اعداد کو پڑھنے میں سہولت ہوتی ہے ۔ ہم ہندسوں کے درمیان“ دس ہزار”اور ”ایک لاکھ“ کی جگہ کو ظاہر کرنے کے لیے سکتہ کااستعمال کرتے ہیں۔ جیسا کہ آپ نےپہلے دیکھا ہے (1,00,000)

عدد 12,78,830 کو لفظوں میں لکھا جائےتویہ بارہ لاکھ اٹھہتّر ہزار آٹھ سو تیس ہوگا۔

اسی طرح ،عدد15,75,000 کو لفظوں میں لکھا جائے تو یہ پندرہ لاکھ پچھتر ہزار ہوگا۔

مندرجہ ذیل اعداد کو لفظوں میں لکھیے:

1. 3,00,600
2. 5,04,085
3. 27,30,000
4. 70,53,138

مندرجہ ذیل فِقروں کوہندوستانی مقامی قدری نظام کے مطابق عددکی صورت میں لکھیے:

1. ایک لاکھ تیئس ہزار چار سو چھپن
2. چار لاکھ سات ہزار سات سو چار
3. پچاس لاکھ پانچ ہزار پچاس
4. دس لاکھ دو سو پینتیس

1.2دہائیوں کی دنیا (Land of Tens)

دہائیوں کی دنیا میں مخصوص بٹن والے خاص تحسیب کار(Calculators) ہوتے ہیں۔

1. 
   مفکر ہزاری(Thoughtful Thousands)تحسیب کار میں +1000کاصرف ایک بٹن ہے ۔ نیچے دیے گئے اعداد کو دکھانے کے لیے اسے کتنی مرتبہ دبانا ہوگا:

(a) تین ہزار ؟ تین مرتبہ

(b) 10,000؟_________

(c) ترپن ہزار؟ _________

(d) 90,000؟ _________

(e) ایک لاکھ؟ _________

(f) _________؟153مرتبہ

(g) ایک لاکھ بنانے کے لیے کتنے ہزار درکار ہیں ؟

2. دبنگ دہائی (Tedious Tens) تحسیب کارمیں +10کا صرف ایک بٹن ہے۔ نیچے دیے گئےعدد کو دکھانے کے لیے اسے کتنی مرتبہ دبانا ہوگا :

(a) پانچ سو؟___________

(b) 780؟ ___________

(c) 1000؟__________

(d) 3700؟ __________

(e) 10,000؟_________

(f) ایک لاکھ؟_________

(g) ________؟435 مرتبہ

3. شاندارسیکڑے(Handy Hundreds)تحسیب کارمیں +100کا صرف ایک بٹن ہے۔نیچے دیے گئے اعداد کو دکھانے کے لیےکتنی مرتبہ اس بٹن کو دبانا ہوگا:

(a) چار سو؟_______مرتبہ

(b) 3,700؟ __________

(c) 10,000؟_________

(d) ترپن ہزار ؟__________

(e) 90,000 ؟_________

(f) (97,600 ؟__________

(g) 1,00,000؟_________

(h) ________؟582مرتبہ

(i) دس ہزار حاصل کرنے کے لیے کتنے سیکڑوں کی ضرورت ہے ؟

(j) ایک لاکھ حاصل کرنے کے لیے کتنے سیکڑوں کی ضرورت ہے ؟

(k) شاندارسیکڑے تحسیب کار کہتا ہے ،’’کچھ اعداد ایسے ہیں جودبنگ دہائی تحسیب کار نہیں دکھا سکتالیکن میں دکھا سکتا ہوں ‘‘کیا یہ بیان درست ہے ؟سوچیے اور دریافت کیجیے ۔

4. چالاک چٹّی ایک الگ قسم کا تحسیب کار ہے اس میں درج ذیل بٹن ہیں :

+1, +10, +100, +1000, +10000, +100000 +1000000

اس کے پاس ہمیشہ کام کرنے کے کئی طریقے ہوتے ہیں ۔”ایسا کیسے ؟“ آپ پوچھ سکتے ہیں ۔ عدد321 حاصل کرنے کے لیےیہ +10کوبتّیس مرتبہ اور+1 کوایک مرتبہ دباتا ہے ۔کیا اسے 321 حاصل ہوگا ؟ یا پھریہ +100 کودو مرتبہ ، +10 کو بارہ مرتبہ اور+1 کو ایک مرتبہ دبا سکتا ہے ۔

5. 5072 حاصل کرنے کے کئی طریقوں میں سے دو مندرجہ ذیل ہیں:

1. (50×100) + (7×10) + (2×1) = 5072
2. (3×1000) + (20×100) + (72×1) = 5072
   

5072 حاصل کرنے کے لیے مختلف طریقہ تلاش کیجیے اور اس کی حسابی عبارت لکھیے۔

معلوم کیجیے

نیچے دیے ہوئےہرعددکے لیے بٹن دبانے کےطریقۂ کار کے ذریعے نمبر حاصل کرنے کی کم از کم دو مختلف حسابی عبارتیں لکھیے۔چٹی کی طرح سوچیے اور چالاک بنیے ۔

1. 8300
2. 40629
3. 56354
4. 66666
5. 367813

چالاک چٹّی (Creative chitti)کے پاس آپ کے لیےکچھ سوالات ہیں —

(a) آپ کو ٹھیک 30مرتبہ بٹن دبانا ہے۔3–ہندسوں والا سب سے بڑا عدد کیا ہے جو آپ حل کرسکتے ہیں؟ 3– ہندسوں والا سب سے چھوٹا عدد کیا ہے جو آپ حل کرسکتے ہیں ؟

(b) 25مرتبہ بٹن دبا کر 997 حاصل کیا جا سکتا ہے ۔یا آپ کسی اور تعداد میں بٹن دبا کر997حاصل کر سکتے ہیں ؟

خوب سوچ کر آپ اس طرح کے سوال بنائیے اور اپنے ہم جماعتوں سے پوچھ کر انھیں چیلنج کیجیے۔

منظم سپّی (Systematic Sippy) ایک مختلف قسم کا تحسیب کار ہے۔ اس میں درجہ ذیل بٹن ہیں :

+1+10,+100, +1000, +10000,+100000

یہ چاہتا ہے کہ اسے استعمال کرتے ہوئے کم سے کم بٹن دبائے جائیں۔

ہم کم سے کم بٹن دبا کر اعداد8300 5072 کیسے حاصل کر سکتے ہیں ؟

معلوم کیجیے کہ کون سے بٹن کتنی مرتبہ دبانے ہوں گے تاکہ جدول میں دیے گئےمطلوبہ اعداد حاصل ہو سکیں ۔ مقصد ہے کم سے کم بٹن دبائے جائیں ۔

یہاں ایک طریقہ ہے جس سے 5072 حاصل کیا جا سکتا ہے۔ اس طریقے میں مجموعی طور پر 23 مرتبہ بٹن دبایا جاتا ہے ۔

کیا کوئی اور طریقہ ہے جس سے 5072 کو 23 سے کم مرتبہ بٹن دبا کر حاصل کیا جاسکے ؟ اس کی حسابی عبارت لکھیے ۔

معلوم کیجیے

1. پچھلی مشق میں دیےگئے اعداد کے لیے معلوم کیجیے کہ کم سے کم بٹن دبا کر ہر عدد کو کیسے حاصل کیا جا سکتا ہے اوران کی حسابی عبارت لکھیے۔
2. آپ کو ہر عدد اور اس کے کم سے کم بٹن دبانے کی تعداد کے درمیان کوئی تعلق نظر آتا ہے ؟
3. آپ غور کریں تو کم سے کم بٹن دبانے میں ہندوستانی مقامی قدری نظام بھی جھلکتا ہے ۔ سوچیےایسا کیوں ہے؟

اگر ہم دس مرتبہ +10,00,000کےبٹن دباتے ہیں توکیا ہوگا ؟ کون سا عدد آئےگا؟اس میں کتنے صفر ہوں گے ؟ اسے ہم کیا نام دیں گے؟یہ 100 لاکھ ہوگا جسے ایک کروڑ بھی کہا جاتا ہے۔1کروڑ 1,00,00,000 ایسےلکھا جاتا ہے— اس میں 1 کے بعد سات صفر ہوتے ہیں۔

1.3کروڑوں اور صرف کروڑوں کی باتیں!

درج ذیل جدول میں کچھ اعداد ہندستانی مقامی قدری نظام اورکچھ امریکی مقامی قدری نظام (بین الاقوامی مقامی قدری نظام )کے مطابق د یےگئے ہیں۔ دونوں نظاموں میں اعداد کو الفاظ میں لکھنے اور سکتہ لگانےکے طریقے کامشا ہدہ کیجیے۔

ہندوستانی عددی نظام		امریکی عددی نظام
1,000	ایک ہزار	1,000	ایک ہزار
10,000	دس ہزار	10,000	دس ہزار
1,00,000	ایک لاکھ	100,000	سو ہزار
10,00,000	دس لاکھ	1,000,000	ایک ملین
1,00,00,000	ایک کروڑ	10,000,000	دس ملین
10,00,00,000	دس کروڑ	100,000,000	سو ملین
1,00,00,00,000	ایک ارب یا سو کروڑ	1,000,000,000	ایک بلین

نوٹ کیجیےکہ ہندستانی نظام میں سکتہ ہندسوں کو ...3-2-2-2کی ترتیب میں دائیں سے بائیں (ہزار، لاکھ ، کروڑ وغیرہ ) کے حساب سے لگائے جاتے ہیں۔ امریکی نظام میں سکتہ کی ترتیب اس طرح ...3-3-3-3 ہے۔ہر تین ہندسوں کے بعد دائیں سے بائیں (ہزار، ملین ، بلین ، وغیرہ ) ۔

بھوٹان، نیپال، سری لنکا، پاکستان، بنگلہ دیش، مالدیپ، افغانستان اور میانمار میں بھی ہندوستانی نظام ہی استعمال ہوتا ہے۔لاکھ اور کروڑ سنسکرت کے الفاظ لکش(लक्ष ) اور کوٹی (कोटि) سے آئے ہیں۔ امریکی نظام بھی کئی ممالک میں استعمال ہوتا ہے۔

ایک لاکھ اور ایک کروڑ میں صفر کی تعداد کا مشاہدہ کیجیے۔

1لاکھ کو ہندسوں میں لکھیں تو 1 کے بعد 5صفر ہوتے ہیں ۔

ایک کروڑ کو ہندسوں میں لکھیں تو 1کے بعد 7صفر ہوتے ہیں ۔

ایک لاکھ ایک ہزار کا سو گنا ہے ، ایک کروڑ ایک لاکھ کا سو گنا ہے ۔ اور ایک ارب ایک کروڑ کا سو گنا ہوتا ہے ۔(یعنی سوہزار1لاکھ ہے، 100لاکھ 1کروڑ ہےاور 100کروڑ 1ارب ہے )۔

ایک ہزار لاکھ میں کتنے صفر ہوتے ہیں ؟___

سو ہزار میں کتنے صفر ہوتے ہیں ؟___

عدد 9876501234 کو سکتہ لگا کر آسانی سے پڑھا جا سکتا ہے :

1. 9,87,65,01,234← 9 ارب 87کروڑ65 لاکھ1ہزار234یا987کروڑ65 لاکھ 1ہزار 234 (ہندوستانی عددی نظام میں )۔
2. 9,876,501,234← 9بلین 876ملین 501ہزار 234 (امریکی عددی نظام میں )۔

معلوم کیجیے

1. درج ذیل اعداد کو ہندوستانی مقامی قدری نظام کے مطابق پڑھیے اورہندوستانی و امریکی عددی نظام کے مطابق ان کو لفظوں میں لکھیے:

   (a) 4050678 (b) 48121620

   (c) 20022002 (d) 246813579

   (e) 345000543 (f) 1020304050

2. مندرجہ ذیل اعداد کو ہندستانی مقامی قدری نظام کے مطابق ہندسوں میں لکھیے :

(a) ایک کروڑ ایک لاکھ ایک ہزار دس

(b) ایک بلین ایک ملین ایک ہزار ایک

(c) دس کروڑ بیس لاکھ تیس ہزار چالیس

(d) نو بلین اسّی ملین سات سو ہزار چھ سو

3. موازنہ کیجیے اور‘<’، ’>‘ یا ‘=’ کا استعمال کیجیے :

(a) 30 ہزار ____3لاکھ

(b) 500 لاکھ____5ملین

(c) 800 ہزار ____8ملین

(d) 640کروڑ ____60ملین

ہم بعد کے درجات میں اس سے بڑے اعداد کے بارے میں جانیں گے ۔

1.4قطعی درست اورتخمینی قدریں(Exact and Approximate Values)

اس گفتگوکے بارے میں آپ کا کیا خیال ہے؟ کیاآپ نے ایسی سر خیاں یا بیانات پڑھےیا سنے ہیں ؟

اکثر ، قطعی درست اعداد کی ضرورت نہیں ہوتی ہے صرف ایک تخمینہ(اندازہ) کافی ہوتاہے ۔مثال کے طور پر 2011کی مردم شماری کے مطابق چنتا منی قصبے کی آبادی 76,068 ہے۔ اس کے بجائے یہ کہنا کہ آبادی تقریباً 75000 ہے تو یہ تخمینہ لگانے کے لیےکافی ہے کہ تعداد کتنی بڑی ہے ۔

کچھ حالات میں اعداد کو اوپر کی طرف بڑھانا (Round up) درست ہوتا ہے ۔(اوپر کی طرف بڑھانے کا مطلب ہے کہ تخمینے والا عدد اصل عدد سے زیادہ ہے۔) مثال کے طور پر ، اگر کسی اسکول میں طلبا، اساتذہ اور عملہ سمیت کل 732 افراد ہیں،تو پرنسپل 700 مٹھائیوں کے بجائے 750 مٹھائیاں منگوا سکتا ہے ۔

کچھ حالات میں اعداد کونیچے کی طرف گھٹانا (Round down)بہتر ہوتا ہے۔ (نیچے کی طرف گھٹانے کا مطلب ہےکہ تخمینے والا عدد اصل عدد سے کم ہے ۔) مثال کے طور پر، اگر کسی چیز کی قیمت 470 ₹ہے تو دکان دار یہ کہنے کے بجائے کہ اس کی قیمت تقریباً 500 ₹ہے، وہ یہ کہہ سکتا ہے کہ یہ تقریباً ₹450 کی ہوگی ۔

سوچیے اور ان حالات کے بارے میں بتائیے جہاں مناسب ہوگا (a) اوپر کی طرف بڑھانا(b)نیچے کی طرف بڑھانا (c) اوپریا نیچے دونوں میں سے کسی ایک طرف بڑھانا ٹھیک ہوگا (d) جب قطعی درست اعداد کی ضرورت ہو۔

قریب ترین پڑوسی اعداد

بڑے اعداد کے تعلق سے یہ جاننا سود مند ہوتا ہے کہ ان میں ہزار، لاکھ یاکروڑکے قریب تر کون سا ہے ۔ مثال کے طورپر،عدد 6,72,85,183 کے قریب ترین پڑوسی اعدادنیچے جدول میں دکھائے گئے ہیں۔

قریب ترین ہزار	6,72,85,000
قریب ترین دس ہزار	6,72,90,000
قریب ترین لاکھ	6,73,00,000
قریب ترین دس لاکھ	6,70,00,000
قریب ترین کروڑ	7,00,00,000

اسی طرح، ان اعداد کے پانچ قریب ترین پڑوسی لکھیے:

1. 3,87,69,957
2. 29,05,32,481

میرے پاس ایک عدد ہے جس کےتمام پانچ قریب ترین پڑوسی 5,00,00,000 ہیں۔ وہ عدد کیا ہوسکتا ہے ؟ ایسے کتنے اعداد ہو سکتے ہیں ؟

روکسی اور ا یسٹو سادہ عبارات کی قدر کا تخمینہ لگا رہے ہیں ۔

1. 4,19,682 + 4,63,128

روکسی :”حاصل جمع تقریباً 8,00,000 کے قریب ہے اور8,00,000 سے زیادہ ہے ۔‘‘

ایسٹو: ” حاصل جمع 9,00,000 کے قریب ہے اور9,00,000 سے کم ہے ۔‘‘

(a) کیا یہ اندازے درست ہیں ؟ کس کا اندازہ حاصل جمع کے قریب ہے ؟

(b) کیا حاصل جمع 8,50,000سے زیادہ ہو گا یاکم ؟ آپ کو ایسا کیوں لگتا ہے ؟

(c) کیا حاصل جمع 8,83,128سے زیادہ ہو گا یا کم ؟ آپ کو ایسا کیوں لگتا ہے ؟

(d) 4,19,682 + 4,63,128کی قطعی درست قدر =__________ہے۔

2. 4,90,020 – 14,63,128

روکسی: ” فرق تقریباًٰ 10,00,000کے قریب ہے اور 10,00,000 سے کم ہے ۔‘‘

ایسٹو :” فرق تقریباً 9,00,000 کے قریب ہے اور 9,00,000 سے زیادہ ہے ۔‘‘

(a) کیا یہ تخمینےدرست ہیں ؟ کس کا تخمینہ فرق کے زیادہ قریب ہے ؟

(b) کیا فرق 9,50,000سے زیادہ ہو گا یا کم ؟ آپ کو ایسا کیوں لگتا ہے ؟

(c) کیا فرق 9,63,128سے زیادہ ہو گا یا کم ؟ آپ کو ایسا کیوں لگتا ہے ؟

(d) 4,90,020 – 14,63,128کی قطعی درست قدر =__________ ہے

شہروں کی آبادی

مندرجہ ذیل جدول میں کچھ ہندوستانی شہروں کی آبادی کا مشاہدہ کیجیے۔

درجہ	شہر	آبادی (2011)	آبادی (2001)
1	ممبئی	1,24,42,373	1,19,78,450
2	نئی دہلی	1,10,07,835	98,79,172
3	بینگلورو	84,25,970	43,01,326
4	حیدر آباد	68,09,970	36,37,483
5	احمد آباد	55,70,585	35,20,085
6	چنئی	46,81,087	43,43,645
7	کلکتہ	44,86,679	45,72,876
8	سورت	44,67,797	24,33,835
9	وڈودرا	35,52,371	16,90,000
10	پُونے	31,15,431	25,38,473
11	جے پور	30,46,163	23,22,575
12	لکھنؤ	28,15,601	21,85,927
13	کان پور	27,67,031	25,51,337
14	ناگ پور	24,05,665	20,52,066
15	اندور	19,60,631	14,74,968
16	تھانے	18,18,872	12,62,551
17	بھوپال	17,98,218	14,37,354
18	وشاکھا پٹنم	17,28,128	13,45,938
19	پِمپری- چنچواڑ	17,27,692	10,12,472
20	پٹنہ	16,84,222	13,66,444

جدول میں دی ہوئی معلومات کی روشنی میں مندرجہ ذیل سوالات کا اندازہ لگا کر جواب دیجیے:

1. آپ کا اس ڈاٹاکے بارےمیں عمومی مشاہدہ کیا ہے؟ کلاس کو بتایئے۔
2. اوپر دیے گئے جدول کے لیے مناسب عنوان کیا ہے ؟
3. 2011 میں پُونےکی آبادی کتنی تھی ؟ 2001کے مقابلے میں تقریباً اس میں کتنا اضافہ ہوا ؟
4. 2001 اور 2011 کے درمیان کس شہر کی آبادی میں سب سے زیادہ اضافہ ہوا ؟
5. کیاایسے شہر ہیں جن کی آبادی تقریباً دوگنی ہوگئی؟وہ کون سے ہیں ؟
6. ہمیں پٹنہ کی آبادی کو کس عدد سے ضرب دینا چاہیے تاکہ وہ عددیا آبادی کی تعداد مل سکے جو ممبئی کی آبادی کے قریب ترین ہو۔

1.5 حاصل ضرب میں پیٹرن

روکسی اور ایسٹو ضرب کے ساتھ کھیل رہے ہیں وہ کسی عدد کو 10,100,1000وغیرہ سے ضرب کرنےکی ایک دل چسپ تکنیک کا مشاہدہ کر رہے ہیں ۔

ضرب کاشارٹ کٹ طریقہ (A Multiplication Shortcut)

روکسی نے5×116 کواس طرح حل کیا :

ایسٹو نے 25×824 کو اس طرح حل کیا :

ضرب اور تقسیم کے معنی کو پوری طرح سمجھتے ہوئے ، کیا آپ بتا سکتے ہیں کہ ایسا کیوں ہے کہ کسی عدد کو 5 سے ضرب دیناایسا ہی ہے جیسا 2 سےتقسیم کرکے 10 سے ضرب دینا؟

معلوم کیجیے

1. ان حاصل ضرب کا تیزی سے حساب لگانے کے طریقے تلاش کیجیے:

1. 2 × 1768 × 50
2. 72 × 125 [125 = ]
3. 125 × 40 × 8 × 25
4. ان حاصل ضرب کا تیزی سے حساب لگائیے۔

1. 25 × 12 = _____________
2. 25 × 240 = _____________
3. 250 × 120 = _____________
4. 2500 × 12 =_____________
5. ______×______= 120000000

حاصل ضرب کتنا لمبا ہے ؟

ذیل کے ہر خانے میں دیے گئے ضرب کے حاصل ضرب دل چسپ اعداد کو ظاہر کرتے ہیں ۔ان کا جائزہ لیجیے تاکہ ان کے پیٹرن کا اندازہ ہو سکے۔مشاہدہ کی بنیادپرضرب کے عمل کو آگے بڑھائیے۔

66 × 61 = 666 × 661 = 6666 × 6661 =		11 × 11 = 111 × 111 = 1111 × 1111 =
101 × 101 = 102 × 102 = 103 × 103 =		3 × 5 = 33 × 35 = 333 × 335 =

ضرب کیے جانے والے دواعداد، ان کے ہندسوں اورحاصل ضرب کے ہندسوں کا مشاہدہ کیجیے۔ کیا ان اعداد کے ہندسوں کی تعداد اور ان کے حاصل ضرب کےہندسوں کی تعداد کے درمیان کوئی تعلق ہے ؟

روکسی کا کہنا ہے کہ 2 ہندسوں والےدو اعداد کا حاصل ضرب3 یا 4 ہندسوں والا عددہی ہو سکتا ہے ۔ کیا وہ صحیح ہے ؟

کیا ہمیں یہ معلوم کرنے کے لیےکہ روکسی کا دعویٰ درست ہے یا نہیں ، تمام ممکنہ2 ہندسوں والے دو اعداد کو ضرب کرکے دیکھنا چاہیے ۔یا یہ معلوم کرنے کا کوئی اور بہترین طریقہ ہے ؟

وہ اپنی منطق یوں سمجھاتی ہے :” ہم یہ جاننا چاہتے ہیں کہ دو ہندسوں والے دو اعداد کے حاصل ضرب میں کتنے ہندسے ہوں گے ؟ سب سے چھوٹےایسے حاصل ضرب کو جاننے کے لیے میں نے10×10 لیا تاکہ تمام حاصل ضرب 100 سے زیادہ ہوں ۔

اسی طرح سب سےبڑے ایسے حاصل ضرب کو جاننے کے لیے میں نے سب سے چھوٹے 3ہندسوں والےدواعدادکو ضرب کیا (100×100)تو 10,000 حاصل ہوا ؛ اس لیےتمام 2ہندسوں والے دو اعداد کا حاصل ضرب 10,000 سے کم ہوگا۔“

کیا ایک 3 ہندسوں والے عدد کو دوسرے 3 ہندسوں والے عددسے ضرب کرنے پر 4 ہندسوں کا عددمل سکتا ہے ؟

کیا ایک4 ہندسوں والے عدد کو 2 ہندسوں والے عددسے ضرب کرنے پر 5 ہندسوں کا عدد مل سکتا ہے ؟

ذیل میں دیےہوئے ضرب کے بیانات کا مشاہدہ کیجیے۔ کیا آپ کو کوئی پیٹرن نظر آتا ہے ؟ دیکھیے کہ کیا یہ پیٹرن دوسرے اعداد کے لیے بھی استعمال ہو سکتے ہیں۔

1 -ہندسہ

×

1 -ہندسہ

=

1 - ہندسہ

یا

2 - ہندسہ

2 -ہندسہ

×

1 -ہندسہ

=

2 -ہندسہ

یا

3 -ہندسہ

2 -ہندسہ

×

2 - ہندسہ

=

3 -ہندسہ

یا

4 -ہندسہ

3 -ہندسہ

×

3 - ہندسہ

=

5 -ہندسہ

یا

6 - ہندسہ

5 -ہندسہ

×

5 - ہندسہ

=

یا

8 -ہندسہ

×

3 - ہندسہ

=

یا

12 -ہندسہ

×

13 -ہندسہ

=

یا

بڑے اعداد کے بارے میں دل چسپ حقائق

بڑے اعداد سے متعلق کچھ دل چسپ حقائق نیچے چھُپے ہوئے ہیں ۔حقائق سے پردہ اٹھانے کے لیے حاصل ضرب یاحاصل تقسیم کا حساب لگائیے۔ جب آپ کو حاصل ضرب یاحاصل تقسیم مل جائے تو ہندوستانی اور امریکی نظام کے مطابق اعداد کو پڑھیے۔ ہر عدد کی دریافت کے بعد اس کے بارے میں اپنے ہم جماعتوں کواپنے خیالات اور سوالات بتایئے۔

پہلے کی طرح نیچے دیے گئےاعداد کو تقسیم کیجیے تا کہ دل چسپ حقائق ظاہر ہوں۔ جب آپ ہر عدد کو معلوم کر لیں تو اس کے بارے میں ا پنے خیالات اور سوالات اپنے ہم جماعت کو بتائیں۔

اس طرح کے بڑے اعداد والے حقائق جس سے آپ واقف ہیں، ان کے بارے میں اپنے ہم جماعت کو بتایئے۔

1.6 کیاآپ نےکبھی سوچا ...؟

ایسٹوبڑے عدد کے دل چسپ حقائق کو جان کر حیران ہوجاتا ہے۔ ان کے بارے میں غور و فکر کرتےہوئے اس کے دماغ میں ایک انوکھا سوال آتا ہے۔’’ کیا ممبئی کی پوری آبادی کو ایک لاکھ بسوں میں بٹھایا جا سکتا ہے ؟‘‘

آپ کا کیا خیال ہے ؟

ہم کیسے معلوم کر سکتے ہیں ؟

فرض کیجیے کہ ایک بس میں 50 افراد بیٹھ سکتے ہیں۔تو پھر1 لاکھ بسوں میں1 لاکھ ×50 = 50 لاکھ افراد بیٹھ سکتے ہیں۔

ممبئی کی کل آبادی 1کروڑ 24 لاکھ سے زیادہ ہے ( جیسا کہ ہم یہ پہلے ایک جدول میں دیکھ چکے ہیں )اس لیے ممبئی کی پوری آبادی ایک لاکھ بسوں میں نہیں بیٹھ سکتی ۔

آر ایم ایس ٹائٹینک (RMSTitanic) جہاز میں تقریباً 2500مسافر سوارتھے۔ کیا ممبئی کی آبادی کو ایسے 5000 جہازوں میں بٹھایا جا سکتا ہے ؟

اس انوکھے سوال سے متاثرہوکر روکسی نے سوچا ”اگر میں روزانہ 100 کلومیٹر سفر کروں، تو کیا میں 10 سالوں میں چاند تک پہنچ سکتی ہوں ؟ ‘‘(زمین اور چاند کےدرمیان 3,84,400کلو میٹر کا فاصلہ ہے۔ )

وہ ایک سال میں کتنا سفر طے کرے گی ؟

وہ دس سال میں کتنا سفر طے کرے گی ؟

ان حسابات کواگر مرحلہ وارانجام دیا جائے تو کیا یہ آسا ن نہیں ہوگا؟آپ یہ طریقہ تمام بڑے حسابات کے لیے استعمال کر سکتے ہیں۔

معلوم کیجیے کہ اگر آپ روزانہ 1000 کلومیٹر کا سفر طے کریں تو کیا زندگی بھر سفر کرتے رہنے کے بعد آپ سورج تک پہنچ سکتے ہیں ؟ ( آپ نے گزشتہ مشق میں زمین اور سورج کے درمیان کا فاصلہ لکھا تھا ۔)

معقول ضروری مفروضات کے ساتھ درج ذیل سوالوں کے جوابات دیجیے :

(a) اگر کسی کاغذ کے ایک ورق کا وزن 5گرام ہو توکیا آپ ایک ہی وقت میں ایک لاکھ کاغذ کے اوراق اٹھا سکتے ہیں ؟

(b) اگر دنیا بھر میں ایک منٹ میں 250بچے پیدا ہوتے ہوں تو کیا ایک دن میں 10لاکھ بچے پیدا ہوں گے ؟

(c) کیا آپ ایک دن میں1ملین سِکّے گن سکتے ہیں ؟ فرض کیجیے آپ ہر ایک سیکنڈ میں 1سکّہ گن سکتے ہیں۔

اس طرح کے مزید دل چسپ سوالات سوچیے اور اپنے ہم جماعتوں کو بتایئے۔

معلوم کیجیے

1. 0سے 9تک کے سبھی ہندسے صرف ایک مرتبہ استعمال کرتے ہوئے 10ہندسوں والا ایک عدد بنائیے اور لکھیے
   ( واضح رہے کہ پہلا ہند سہ 0نہیں ہو سکتا ) —

(a) 5کا سب سےبڑا ضعف (Multiple)

(b) سب سے چھوٹا جفت عدد(Even number)

2. 10,30,285کو الفاظ میں لکھا جائے تویہ بنتا ہے دس لاکھ تیس ہزاردوسوپچاسی(Ten Lakh Thirty Thousand Two Hundred Eighty Five) ،جس میں انگریزی کے 41 حروف ہیں ۔ ایسا7 ہندسوں والا عدد بنائیے جس کوالفاظ میں لکھنے پرسب سے زیادہ حروف استعمال ہوں۔

3. ایسا 9 ہندسوں والا عدد لکھیے جس کے کسی بھی دو ہندسوں کا تبادلہ کر نے سے ایک بڑا عدد بنے۔ ایسے کتنے اعدادہوسکتے ہیں ؟

4. عدد12345123451234512345 میں سے کوئی بھی 10 ہندسے کاٹ دیجیے تاکہ جو عدد باقی بچے وہ ممکنہ حد تک سب سے بڑا ہو۔

5. الفاظ‘zero’اور’one‘میں‘e’اور‘o’دونوں حرف آئے ہیں۔ الفاظ‘one’اور‘two’میں حرف‘o’ مشترک ہے اور‘two’ اور‘three’ میں حرف‘t’ مشترک ہے۔ تو آپ کو کتنے عددتک گنتی کرنی ہوگی تاکہ آپ کوایسےمسلسل دو عدد ملیں جس میں کوئی انگریزی حرف مشترک نہ ہو ۔

6. فرض کیجیے کہ آپ تمام اعدادلکھتے جا رہے ہیں تو دسواں ہندسہ جو آپ لکھیں گے وہ ‘1’ اور گیارہواں ہندسہ ‘0’ ہے جو کہ عدد 10کا حصہ ہے ۔

1. ہزارواں (1000th)ہند سہ کیا ہو گا ؟ یہ کس نمبر پرآئے گا ؟
2. کس نمبر پر دس لاکھواں ہند سہ ہو گا ؟
3. آپ نے پانچ ہزارویں(5000th)مرتبہ ‘5’ہند سہ کب لکھا ہو گا ؟

7. ایک تحسیب کار میں صرف ’ +10,000 اور +100 ‘کے بٹن ہیں ۔درج ذیل اعداد کو حاصل کرنے کے لیے کتنی بار کس بٹن کو دبانا پڑے گا ،اس کی وضاحت کرنے والی ایک حسابی عبارت لکھیے :

1. 20, 800
2. 92,100
3. 1, 20, 500
4. 65,30, 000
5. 70, 25,700

8. کتنے لاکھ سے ایک ارب (billion) بنتا ہے؟

9. آپ کوعددی کارڈ کے دوسیٹ دیےگئے ہیں جن میں 1 سے 9 تک کی گنتی لکھی ہوئی ہے۔نیچے دیے گئے ہر ڈبے میں ایک عددی کارڈ رکھیے جس سے آپ کو دونوں اعداد کا (a)سب سے بڑا ممکنہ حاصل جمع (b) سب سے چھوٹا ممکنہ حاصل تفریق مل سکے۔

10. آپ کو کچھ عددی کارڈ دیے گئے ہیں؛

آپ ان کارڈوں کا استعمال کرکے درج ذیل اعداد کےجتنا قریب ہوسکے پہنچیے،آپ کوئی بھی عمل یعنی ،جمع ،تفریق،ضرب،تقسیم اپنی پسند کے مطابق کرسکتے ہیں ۔لیکن یہ دھیان رہے کہ ایک مخصوص عدد بنانے کے لیے ہر کارڈ کو صرف ایک بار ہی استعمال کیا جاسکتا ہے ۔

1. 1,10,000: قریب ترین عدد جو میں بنا سکا وہ ہے:

   4000×(20+5)+
   13000 = 1,13,000

2. 2,00,000:
3. 5,80,000:
4. 12,45,000:
5. 20,90,800:

11. معلوم کیجیے کہ مجسمۂ اتحاد کے برابر کی اونچائی تک پہنچنے کے لیے کتنے سکےّ ایک دوسرے پر رکھنے ہوں گے ؟ فرض کیجیے کہ ہر ایک سکےکی موٹا ئی ایک ملی میٹر ہے۔

12. سرمئی سر والے بہت دور تک پرواز کرنے والے البتروس (Albatrosses)پرندوں کے پروں کا پھیلاؤ تقریباً 7 فٹ چوڑا ہوتا ہے۔ وہ کئی سمندروں کے مہاجر پرندوں کے طور پر جانے جاتے ہیں۔البتروس روزانہ تقریباً900-1000کلومیٹر کا فاصلہ طے کرتے ہیں ۔ان کا سب سے طویل ترین ایک طرفہ سفر تقریباً 12000 کلومیٹر درج ہوا ہے۔ بحرالکاہل(Pacific Ocean) کو پار کرنے میں اس طرح کے ایک طرفہ سفر میں تقریباًکتنے دن لگیں گے ؟

13. لمڈھینگ (bar-tailed godwit) نامی پرندہ بغیررکے سب سے طویل پرواز کے لیے جانا جاتا ہے۔اس نے الاسکا (Alaska) سے آسٹریلیا(Australia) تک 13560 کلومیٹر کا سفر بغیر رُکے طے کیا ۔ اس کا سفر 13 اکتوبر 2022 کو شروع ہوا تھااور تقریباً 11 دن تک جاری رہا بتایئےکہ اس نے اندازاً ہر روز کتنا فاصلہ طے کیا ہو گا۔ بتایئے کہ اس نےتقریباًہر گھنٹے میں کتنا فاصلہ طے کیا ہو گا ؟

14.گنجے عقاب کو زمین کی سطح سے 4500 سے 6000میٹر تک اونچی پرواز کرنے کے لیے جانا جاتا ہے۔ماؤنٹ ایورسٹ تقریباً 8850 میٹر بلند ہے ، ہوائی جہاز 10,000 سے 12,800 میٹر کی بلندی تک پرواز کر سکتے ہیں۔ یہ اونچائیاں سو مو کی عمارت کے مقابلے میں کتنی زیادہ ہیں ؟