4

حروفی اعداد کی مستعمل عبارات
(Expressions using Letter-Numbers)

4.1 حروفی اعداد کا تصور(The Notion of Letter-Numbers)

اس باب میں ہم ریاضیاتی رشتوں اور نمونوں (Patterns)کو ظاہر کرنے کا ایک مختصر طریقہ سیکھیں گے۔ ہم دیکھیں گے کہ کیسے یہ طریقہ رشتوں اور نمونوں سے متعلق غور و فکر کرنے میں اور ان کی صداقت کی وضاحت کرنے میں مدد کرتا ہے۔

●مثال1: شبنم، آفتاب سے 3 سال بڑی ہے جب آفتاب کی عمر10سال تھی تو شبنم کی عمر13 سال تھی ۔ اب آفتاب 18سال کا ہے توشبنم کی عمر کیا ہوگی؟ _______

●آفتاب کی عمر کی مدد سے آپ شبنم کی عمر کیسے نکال سکتے ہیں؟

آسان ہے: ہم آفتاب کی عمر میں 3سال جوڑ کر شبنم کی عمر نکال سکتے ہیں۔

●کیا ہم اس کو ایک عبارت کی شکل میں لکھ سکتے ہیں؟

شبنم کی عمر آفتاب سے 3 سال زیادہ ہے۔ مختصر طورپر اسے اس طرح لکھا جا سکتا ہے :

شبنم کی عمر = آفتاب کی عمر3+

اس طرح کے ریاضیاتی رشتوں کو عام طور پرمختصر شکل میں لکھا جاتا ہے۔ مندرجہ بالا رشتہ میں، ’آفتاب کی عمر‘کا فقرہ لکھنے کے بجائے، کسی رائج اورآسان علامت کااستعمال کیا جاتا ہے ۔ عام طور پر اس مقصد کے لیے حروف یا مختصر فقرے استعمال کیے جاتے ہیں۔

فرض کیجیے کہ ہم آفتاب کی عمر کو ظاہر کرنے کے لیے حرف ‘a’کا استعمال کرتے ہیں (ہم کوئی دوسرا حرف بھی استعمال کر سکتے تھے)اور شبنم کی عمر کوحرف ‘s’سے ظاہر کرتے ہیں تو شبنم کی عمر کومعلوم کرنے کے لیے ہم ‘a +3’ عبارت کا استعمال کریں گے۔ اس کو ہم اس طرح لکھ سکتے ہیں:

s = a + 3

اگر a (آفتاب کی عمر سالوں میں)23 ہے، تو شبنم کی عمر کیا ہے؟

عبارتa +3 میں aکو 23 سے تبدیل کرنے پرہمیں s = 23 + 3 = 26 سال ملتا ہے ۔حروف جیسے کہa اور s جو اعداد کو ظاہر کرنے کے لیے استعمال کیے جاتے ہیں حروفی اعدادکہلاتے ہیں۔ ایسی ریاضیاتی عبارتیں جن میں حروفی اعداد کا استعمال ہو جیسے a +3 تو وہ الجبریائی عبارتیں کہلاتی ہیں۔

●اگر شبنم کی عمر دی گئی ہو تو آفتاب کی عمر نکالنے کے لیے ایک عبارت لکھیے۔

ہم جانتے ہیں کہ آفتاب شبنم سے 3 سال چھوٹا ہے ۔ اس لیے آفتاب کی عمر شبنم سے 3 سال کم ہوگی ۔ اس کو ہم اس طرح ظاہر کرسکتے ہیں:

آفتاب کی عمر= 3 –شبنم کی عمر

اگر ہم دوبارہ آفتاب کی عمر کو ظاہر کرنے کے لیے حرف ‘a’اور شبنم کی عمر کے لیے حرف ‘s’ کا استعمال کریں تو الجبریائی عبارت اس طرح ہوگی: a = s –3 یعنی sسے 3 کم۔

●اگر شبنم کی عمر 20 سال ہوتواس عبارت کا استعمال کرکے آفتاب کی عمر معلوم کیجیے ۔

مثال 2: پارتھیو ماچس کی تیلیوں سے ایک نمونہ (Pattern)بنارہا ہے ۔ وہ ایک جیسے ‘’L ‘ کوایک کے آگے ایک لگا رہا ہے۔ ہر ’L میں دو ماچس کی تیلیاں ہیں جیسا کہ شکل 4.2 میں دکھایا گیا۔

5 عددL بنانے کے لیے کتنی تیلیوں کی ضرورت پیش آئے گی؟یہ ہوں گی2×5

7 عدد L بنانے کے لیے کتنی تیلیاں استعمال ہوں گی؟یہ ہوں گی2×7

45 عددL بنانے کے لیے ماچس کی کتنی تیلیاں استعمال ہوں گی؟ یہ ہوں گی 2×45

اب بتائیے کہ Lکی تعداد اور ماچس کی تیلیوں کی تعداد میں کیا رشتہ ہے؟

آیئے سب سے پہلے اس رشتہ یا پیٹرن کو بیان کرتے ہیں۔ ہر L کے لیے دو تیلیاں چاہیے ۔ اس لیے Lکی تعدادکی دوگنی تیلیوں کی ضرورت پیش آئے گی۔ اس رشتے کو ہم اس طرح لکھ سکتے ہیں:

ماچس کی تیلیوں کی تعداد= L کی تعداد × 2

اب ہم L کی تعداد کے لیے کوئی بھی حرف استعمال کرسکتے ہیں فرض کیجیے ہم’n ‘حرف کا استعمال کرتے ہیں ۔ ماچس کی تیلیوں کی تعداد کو ظاہر کرنے کی الجبریائی عبارت ہوگی؛

2 × n

یہ عبارت ہم کو بتاتی ہے کہnعدد L بنانے کے لیے ہم کو کتنی ماچس کی تیلیوں کی ضرورت ہوگی۔ تیلیوں کی تعداد معلوم کرنے کے لیے درج بالا عبارت میں ہم n کی جگہ L کی تعداد لکھ دیں گے۔

●مثال 3: کملا ناریل اور گڑ کے لڈّو بناکر بیچتی ہے۔ ایک ناریل کی قیمت 35 ₹ اور ایک کلوگڑ کی قیمت 60 ₹ ہے۔

●10 ناریل اور 5 کلو گڑ خریدنے کے لیے اسے کتنی رقم ادا کرنی ہوگی ؟

10 ناریل کی قیمت = 10 × 35 ₹

5کلو گڑ کی قیمت= 5 × 60 ₹

کل قیمت = 10 × ₹35 + 5 × ₹60 = ₹350 + ₹300 = ₹650

●8 ناریل اور 9 کلو گڑ خرید نے کے لیے وہ کتنے روپے اداکرےگی؟

●دی گئی ناریل کی تعداد اور گڑ کی مقدار کی کل قیمت کے لیے ایک الجبریائی عبارت لکھیے ۔

آئیے رشتے کو پہچان کر عبارت لکھتے ہیں :

ضروری مقدار	رشتہ	عبارت
ناریل کی قیمت	ناریل کی تعداد×35	c × 35
گڑ کی قیمت	گڑ کی مقدار کلو میں ×60	j × 60

یہاں ’C‘ ناریل کی تعداد کو ظاہر کرتا ہے اور ‘ j ’گڑ کی مقدار (کلو میں ) کو ظاہر کررہا ہے ۔اب ادا کی جانے والی کل قیمت ہوگی :

ناریل کی قیمت + گڑ کی قیمت

متعلقہ الجبریائی عبارت اس طرح لکھی جاسکتی ہے :

c × 35 + j × 60

●اس عبارت (یا فارمولے ) کا استعمال کرکے معلوم کیجیے کہ7 ناریل اور4کلو گڑ خرید نے کے لیے کتنے روپے ادا کرنے ہوں گے؟

خیال رہے کہ‘ C’اور ‘ j ’کی مختلف قدروں کے لیے عبارت کی قدر بھی بدل جائے گی ۔

اس عبارت کو ارکان کی حاصل جمع کے طور پر لکھنے سے ہمیں حاصل ہوگا:

●مثال 4: ہم سادہ اشکال کا احاطہ( Perimeters of Simple Shapes)معلوم کرنے کے طریقے سے واقف ہیں۔ آئیے اب احاطہ کے لیے عبارت لکھتے ہیں۔

ایک مربع کا احاطہ، مربع کے ضلع (Side)کی لمبائی کا 4گنا ہوتا ہے۔ اس کو ہم عبارت 4×qکے طور پر لکھ سکتے ہیں جہاں’q‘مربع کے ضلع کی لمبائی کو ظاہر کرتا ہے۔

●ایک ایسے مربع کا احاطہ کیا ہوگا جس کے ضلع کی لمبائی 7 سینٹی میٹر ہے؟ عبارت کا استعمال کرکے احاطہ معلوم کیجیے۔

آپ سمجھ گئے ہوں گے کہ حروفی اعداد اور الجبریائی عبارتوں کو استعمال کرکے ہم عمومی ریاضیا تی رشتوں کو کیسے مختصر طورپر لکھ سکتے ہیں۔ ان ریاضیا تی رشتوں کے اظہار کو ہی ہم ضابطہ (Formula) کہتے ہیں۔

معلوم کیجیے

1. درج ذیل احاطے کے فارمولے(Formula)لکھیے :

(a) ایک ایسا مثلث (Triangle)جس کے تمام اضلاع برابر ہوں ۔

(b) ایک منظم پانچ ضلعی (Pentagon)،(ہم نے پچھلے سال سیکھا تھا کہ ہم لفظ ‘منظم’کو اُن اشکال کے لیے استعمال کرتے ہیں جن کے تمام اضلاع اور تمام زاویے برابر ہوں )

(c) ایک منظم چھ ضلعی (Hexagon)

2. منی رتن کے پاس 20میٹر لمبا پائپ ہے حالاں کہ اس کو اپنے باغیچےکے لیے اور زیادہ لمبا پائپ چاہیے۔ اس نے اس میں ایک اور پائپ جوڑ لیا ۔ پائپ کی کل لمبائی کے لیے عبارت بنائیے ۔ پائپ کی لمبائی ، میٹرمیں ، کے لیے حرفی عدد‘k’کا استعمال کیجیے۔
3. اگر کریتکاکے پاس ذیل کی گنتی کے مطابق100 ₹،20 ₹ اور 5 ₹کے نوٹ ہیں تو اس کے پاس کل کتنی رقم ہے؟ درج ذیل جدول کو مکمل کیجیے:

100 ₹ کے نوٹ کی تعداد	20 ₹ کے نوٹ کی تعداد	5 ₹ کے نوٹ کی تعداد	عبارت اور کل رقم
3	5	6
			3 × 100 + 5 × 20 + 6 × 5 = 430
8	4	z
x	y	z

4. ونود ایک آٹے کی مل کا مالک ہے ۔مل کی مشین کو چالو ہونے میں 10سیکنڈ لگتے ہیں ۔ایک بار جب وہ چلنا شروع کردیتی ہے تو فی کلو اناج پیسنے میں اس کو 8 سیکنڈ لگتے ہیں ۔درج ذیل میں کون سی عبارت ‘y’کلو اناج کو پیسنے میں لگنے والے کل وقت کو بیان کرے گی ۔یہ فرض کرتے ہوئے کہ مشین شروع میں بند تھی ۔

   (a) 10 + 8 + y (b) (10 + 8) × y

   (c) 10 × 8 × y (d) 10 + 8 × y

   (e) 10 × y + 8

5. اپنی پسند کے حرفی عدد کا استعمال کرکے درجہ ذیل الجبریائی عبارتوں کو لکھیے۔

(a) کسی عدد سے 5 زیادہ

(b) کسی عدد سے 4کم

(c) کسی عدد کے 13 گنے سے 2کم

(d) کسی عدد کے 2 گنے سے 13کم

6. درج ذیل الجبریائی عبارتوں کے لیے صورتِ حال کی وضاحت کیجیے۔
   1. 8 × x + 3 × y
   2. 15 × j – 2 × k
7. کسی مہینہ کے کلینڈر سے اگر کوئی2 × 3خانےمع تاریخوں کے منتخب کیے جائیں جیسا کہ تصویر میں دکھایا گیا ہے۔خالی خانوں میں آنے والی تاریخوں کے لیے عبارتیں لکھیے اگر نیچے کے درمیانی خانے میں آنے والی تاریخ کو ‘w’ سے ظاہر کیا جائے۔

4.2 ریاضیاتی عبارتوں کو دہرانا

ہم نےارکان کی جمع کے طور پر عبارتوں کو لکھنا سیکھا اور اس سے ہمیں ریاضیا تی عبارتوں کو پڑ ھنا آسان ہوگیا ۔ بسا اوقات ان کو مختلف طریقوں سے پڑھا جاسکتا ہے اور یہ واضح نہیں ہوتا ۔ ہم مبادلہ ( دو اعداد کوکسی بھی ترتیب میں جوڑنا )کرتے ہیں اور گرو ہ بندی ( سہولت بخش گروہ بندی کے ذریعے اعداد کو جوڑنا )کرتے ہیں ،تاکہ عبارتوں کو ظاہر کرنے کے آسان طریقے تلاش کر سکیں ۔ارکان کا مبادلہ اور گرو ہ بندی، عبارت کی قدر کو نہیں بدلتی ہے۔ہم نے عبارتوں میں قوسین کا استعمال بھی سیکھا ہے جن میں قوسین کے باہر تفریق کے نشان کا استعمال بھی شامل ہے ۔ ہم نے تقسیمی خصوصیت (Distributive Property) بھی پڑھی ہے (کسی حاصل جمع کا حاصل ضرب، حاصل ضرب کے حاصل جمع کےبرابر ہوتا ہے )۔

آئیے ان تصوّرات کو دہراتے ہیں اور درج ذیل عبارتوں کی قدر معلوم کرتے ہیں:

1. 23 – 10 × 2 2. 83 + 28 – 13 + 32

3. 34 – 14 + 20 4. 42 + 15 – (8 – 7)

5. 68 – (18 + 13) 6. 7 × 4 + 9 × 6

7. 20 + 8 × (16–6)

آئیے پہلی عبارت(23 – 10 × 2)کوحل کرتے ہیں ۔ سب سے پہلے ہم عبارت کے ارکان کو لکھیں گے۔ خیال رہے کہ یہاں ایک رکن تو پہلے ہی عدد ہے جب کہ دوسرے رکن کو جوڑنے سے قبل 10کو 2 سے ضرب کرکے پہلے عدد میں تبدیل کرنا ہوگا اور پھر دونوں ارکان کو جوڑیں گے۔

23 – 10 × 2 = 23 + –10 × 2 = 23 + –20 = 3

آئیے اب دوسری عبارت کو حل کرتے ہیں۔ اس عبارت کے تمام ارکان اعداد ہیں ۔ اگر ہم ارکان پر غور کریں ، تو ہم پائیں گے کہ ارکان کا آپسی مبادلہ کرنے اور گروہ بنالینے سے حل کرنے میں آسانی ہوجائے گی۔

83 + 28 – 13 + 32 =

آئیے اب ہم پانچویں عبارت کو دیکھتے ہیں ۔ اس میں باہر تفریق کے نشان کے ساتھ قوسین ہیں۔ اس کو دو طریقوں سے حل کیا جاسکتا ہے ۔ پہلے قوسین کو حل کرکے (جیسا ذیل میں بائیں جانب دکھایا گیا ہے)یا قوسین کو قاعدے سے ہٹا کرکے (جیسا ذیل میں دائیں جانب دکھایا گیا ہے)۔

اب باقی ریاضیا تی عبارتوں کی قدر معلوم کیجیے۔

ریاضیا تی عبارتوں میں جب حروفی اعداد کو اعداد سے تبدیل کیا جاتا ہے تو ان کی قدر اعداد میں آجاتی ہے ۔ مثال 1میں شبنم کی عمر معلوم کرنے کے لیے جب کہ آفتاب کی عمر 23 سال تھی، عبارت a+3 میں ہم نے حروفی عدد’a‘ کو 23 سے تبدیل کردیا تو قدر 26 آگئی۔

4.3 الجبریائی عبارتوں میں ضرب کے نشان کو حذف کرنا

ذیل کے عددی تواتر پر غور کیجیے :

4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, ...

اس تواتر یا پیٹرن کو ہم کیسے بیان کریں گے؟آسا ن ہے: یہ وہ اعداد ہیں جو 4 کے پہاڑوں میں آتے ہیں ۔

(بڑھی ہوئی ترتیب میں 4کے اضعاف)۔

تو اتر کا تیسرا رُکن کیا ہے؟ یہ ہے 4×3

تواتر کا 29 واں رُکن کیا ہے؟ یہ ہے 4×29

●تواتر کا n واں رُکن معلوم کرنے کے لیے الجبریائی عبارت معلوم کیجیے۔

خیال رہے کہ یہاں ’n‘ ایک حروفی عدد ہے جو تواتر میں مقام بتاتا ہے۔

جیساکہ یہاں 4 کے اضعاف کا تواتر ہے اس لیے n واں رُکنn کا4 گنا ہوگا:

4 × n

معیاری روش کے طور پر 4×nکو چھوٹا کرکے 4nلکھتے ہیں جس میں ضرب کا نشان حذف کردیا جاتا ہے۔ ہم پہلے عدد لکھتے ہیں اور اس کے بعد حرف۔7k کی قدر معلوم کیجیے جب k=4 ہو۔ یہاں اس کی قدر ہوگی : 7×4 = 28

عبارت 5m+3کی قدر معلوم کیجیے جب m=2ہو۔
چوں کہ یہاں 5mکا مطلب 5×m ہے،توعبارت میں m=2 رکھنےسے 13=2+3× 5ہوگا۔

غلطی پر توجہ دیتے ہوئےاسےدرست کیجیے

درج ذیل میں کچھ سادہ کاری(Simplification) دکھا ئی گئی ہیں جہاں حروفی اعداد کو اعداد سے بدلا گیا ہے اور عبارت کی قدر معلوم کی گئی ہے۔

1. ان میں سے ہر ایک کا مشاہدہ کیجیے کہ کیا کہیں کوئی غلطی ہے۔
2. اگرآپ کو لگتا ہے کہ کوئی غلطی ہے تو وضاحت کرنے کی کوشش کیجیے کہ کیا غلطی ہوئی ہے۔
3. پھراس کو ٹھیک کیجیے اور عبارت کی قدر بتائیے۔

4.4 الجبریائی عبارتوں کو حل کرنا

پہلے ہم نے اضلاع کے اعتبار سے مختلف منظم اشکال کی عبارتیں معلوم کی تھیں ۔ آئیے اب ہم مستطیل کے احاطہ کی عبارت معلوم کرتے ہیں۔

گزشتہ مثالوں کی طرح، ہم پہلے یہ بیان کریں گے کہ اگرکسی مستطیل کی لمبائی اور چوڑائی معلوم ہو تو اس کا احاطہ کیسے معلوم کریں گے؟

لمبائی+چوڑائی +لمبائی +چوڑائی کا حاصل جمع معلوم کیجیے ۔

لمبائی اور چوڑائی کی جگہ بالترتیب حروفی عددl اور b استعمال کرتے ہیں۔ مستطیل کے احاطہ کو p سے ظاہر کیجیے۔ پھر ہمارے پاس ہے :

p = l + b + l + b

جیسا کہ ہم جانتے ہیں کہ یہ اعداد کو ظاہر کررہے ہیں۔ اس لیے عبارت کے ارکان کو کسی بھی ترتیب میں جوڑا جاسکتا ہے۔ اس لیے اوپردی گئی عبارت کو ہم ایسے بھی لکھ سکتے ہیں:

= l + l + b + b

جیسا کہ l + l = 2 × l = 2l، اور b + b = 2 × b = 2b، اس لیے

p = 2l + 2b

غور طلب ہو کہ پہلی عبارت (l +b+ l +b) اورآخری عبارت(2l + 2b)جو کہ ہمیں مستطیل احاطے کے لیے ملی ہے وہ کچھ مختلف لگ رہی ہے۔ حالاں کہ یہ دونوں برابر ہیں کیوں کہ یہ ہمیں پہلی عبارت سے اُن ہی قاعدوں اور اعمال کو استعمال کرکے حاصل ہوئی ہے جن کا استعمال ہم اعداد کے لیے کرتے ہیں ۔ یہ برابر ہیں ان معنوں میں کہ جب حروفی اعداد کو اعداد سے تبدیل کیا جاتا ہے تو ان کی ایک ہی قدر حاصل ہوتی ہے ۔

مثال کے طورپر اگر 3= lاور b = 4 ہوتو ہمیں پہلی عبارت سے حاصل ہوگا۔

l+b+l+b = 3+4+3+4 =14، اور

2l + 2b = 2 × 3 + 2 × 4 = 14

ہم عبارت 2l+2bکوعبارت l+b+l+bکی سادہ شکل (Simplified Form) کہیں گے۔ آئیے سادہ کاری کی کچھ اورمثالوں کا مشاہدہ کرتے ہیں۔

●مثال5 : در ج ذیل جدول میں کسی دکان میں بکنے والی پنسل اور ربر کی تعداد ظاہر کی گئی ہے۔فی پنسل قیمت ‘c’اور فی ربر کی قیمت کو ’d‘سے ظاہر کیا گیا ہے۔ ان تین دنوں میں دکان دار کو ہونے والی کل کمائی معلوم کیجیے۔

	پہلا دن	دوسرا دن	تیسرا دن
پنسل کی(قیمت ’c‘)	5	3	10
ربرکی(قیمت’d‘)	4	6	1

پہلے پنسلوں کی فروخت سے حاصل ہونے والی رقم معلوم کرتے ہیں ۔

پہلے دن پنسلوں کی فروخت سے حاصل ہونے والی رقم ہے 5c ۔ اسی طرح دوسرے دن پنسلوں کی فروخت سے حاصل ہونے والی رقم ہے_______اور تیسرے دن کی_______ہے۔

پنسلوں کی فروخت سے حاصل ہونے والی کل رقم ہے 5c+3c+10c ۔ کیا ہم اس الجبریائی عبارت کو مزید مختصر کرسکتے ہیں اور ارکان کی تعداد کو کم کر سکتے ہیں؟

مذکورہ عبارت کا مطلب ہے کہ c کے 5 گُنے میںc کے تین گنے کو جوڑا گیا اور پھر اس میں c کے 10گنے کو جوڑا گیا۔ اس طرح کل ملاکر حروفی عدد ’c‘کو (5+3+10)بار جوڑ ا گیا۔ یہی اعداد کی تقسیمی خصوصیت(Distributions Property) ہے ۔ اس طرح،

5 × c + 3 × c + 10 × c = (5 + 3 + 10) × c

(5+3+10)×c کو مزید مختصر کرکے اس طرح لکھا جاسکتا ہے : 18×c = 18c

●اگر تو پنسل کی فروخت سے حاصل ہونے والی کل رقم معلوم کیجیے۔

●ربر کی فروخت سے حاصل ہونے والی کل رقم کی عبارت لکھیے۔پھراس کو حل کیجیے۔

ان تین دنوں میں پنسل اور ربر کی فروخت سے حاصل ہونے والی کل رقم کو ہم عبارت 18c+11d سے ظاہر کرسکتےہیں۔

●کیا عبارت 18c+11dکو مزیدمختصرکیا جاسکتا ہے؟

اس عبارت کو مزید مختصرنہیں کیا جاسکتا ہے کیوں کہ اس میں مختلف حروفی اعداد ہیں۔ یہی مختصر ترین عبارت ہے۔

درج بالا مثال میں ہم نے دیکھا کہ عبارت 5c+3c+10cکو مزید مختصرکرکے عبارت 18c حاصل ہوئی۔

●دونوں عبارتوں میںcکو مختلف اعداد سے تبدیل کرکے جانچ کیجیے کہ کیا دونوں میں ایک ہی قدر آتی ہے۔

●مثال6: ایک بڑے مستطیل کو دو چھوٹے مستطیلوں میں بانٹا گیا ہے جیسا کہ ذیل میں دکھایا گیا ہے ۔بڑے مستطیل کے رقبہ کو ظاہر کرنے کے لیے ایک عبارت لکھیے۔

چھوٹے مستطیلوں کے رقبے 4v مربع یونٹ اور 3v مربع یونٹ ہیں ۔

بڑے مستطیل کا رقبہ معلوم کرنے کےدو طریقے ہیں: (i) سیدھے طورپر اس کے اضلاع کی لمبائیاں v اور (4+3) لے کر، یا (ii) چھوٹے مستطیلوں کے رقبہ کو جوڑ کر۔

پہلے طریقے سے 7v حاصل ہوگا اور دوسرے طریقے سے 4v+3v حاصل ہوگا۔ ہم جانتے ہیں کہ یہ دونوں برابرہیں: 4v+3v=7v اور یہی بڑے مستطیل کے رقبہ کی مطلوبہ عبارت ہے۔

پہلے کی طرح ایک بڑے مستطیل کو دو چھوٹے مستطیلوں میں تقسیم کیا گیا جیسا کہ ذیل میں دکھایا گیا ہے۔ AEFD مستطیل کے رقبہ کو معلوم کرنے کے لیے ایک عبارت لکھیے ۔

اس صورت میں بھی AEFD مستطیل کا رقبہ دو طریقوں سے معلوم کیا جاسکتا ہے: (i) اضلاع کی لمبائیاںn اور
(12-4) کو استعمال کرکے یا (ii) مستطیل EBCF کے رقبہ کو مستطیل ABCD کے رقبہ سے تفریق کرکے ۔

پہلے طریقہ سے ہمیں 8n حاصل ہوگا اور دوسرے طریقہ سے ہمیں 12n-4n حاصل ہوگا اور یہ دونوں برابر ہیں کیوں کہ 12n-4n=8n ۔یہی AEFDمستطیل کے رقبہ کی عبارت ہے۔

ارکان کے ایسے سیٹ جیسے(12n,-4n) (5c,c,10c)جن کے حروفی عدد ایک ہی ہوں یکساں ارکان (Like Terms) کہلاتے ہیں۔ ارکان کے ایسے مجموعہ جیسے{18c,11d} ، غیر یکساں ارکان (Unlike Terms) کہلاتے ہیں کیوں کہ اس میں حروفی اعداد مختلف ہیں۔

جیسا کہ ہم نے دیکھا کہ یکساں ارکان کو آپس میں جوڑ ا جاسکتا ہے اور پھر ان کو ایک رُکن میں تبدیل کیا جاسکتا ہے۔

●مثال 7: ایک دکان ایک دن کے استعمال کے لیے کرسیاں اور میزیں کرائے پر دیتی ہے۔ انھیں کرایہ پر لینے کے لیے پہلے درج ذیل رقم فی کرسی یامیز ادا کرنی ہوتی ہے ۔

فرنیچر واپس کرنے پر دکان دار کچھ رقم حسب ذیل ادا کرتا ہے۔

اگرxکرسیاں اور y میزیں کرائے پر دی جائیں تو ادا کیے جانے والے کل ₹ کے لیے ایک عبارت لکھیے۔

xکرسیوں اور y میزوں کے لیے، آئیے شروع میں ادا کی گئی کل رقم اور فرنیچر واپس کرنے کے بعد واپس ملنے والی رقم معلوم کرتے ہیں ۔

●ان رقوم کو معلوم کرنے کے طریقہ کار کو بیان کیجیے۔

شروع میں ادا کیے گئے روپے کی کل رقم 40x + 75y ہےاور واپس کی گئی کل رقم 6x + 10yہے۔

تو، ادا کی گئی کل رقم = (40x + 75y) – (6x + 10y)

●کیا ہم اس عبارت کو مختصر کر سکتے ہیں؟ اگر ہاں تو کیسے؟ اگر نہیں تو کیوں نہیں؟

یاد کیجیے کہ ہم ریاضیاتی عبارتوں میں قوسین کیسے کھولتے ہیں، ہمیں ملتا ہے؛

(40x + 75y) – (6x + 10y) = (40x + 75y) – 6x – 10y

چوں کہ ارکان کو کسی بھی ترتیب میں جوڑا جا سکتا ہے، اس لیے بقیہ قوسین کھولے جاسکتے ہیں اور در ج ذیل عبارت حاصل ہوتی ہے۔ 40x + 75y + – 6x + – 10y

ہم یکساں ارکان کو ایک ساتھ گروپ کر سکتے ہیں، نتیجتاً

40x + – 6x + 75y + – 10y

= (40 – 6)x + (75 – 10)y

= 34x + 65y

عبارت(40x + 75y)–(6x + 10y)کو اورمختصر ترین کرکے 34x + 65yلکھا جاسکتا ہے،جو روپے میں ادا کی گئی کل رقم کو ظاہر کرتی ہے۔

●کیا ہم ابتدائی عبارت کو درج ذیل طریقہ سے لکھ سکتےہیں

(40x + 75y) + (– 6x –10y)؟

●مثال 8: چارو نے ایک کوئز کے شروع کے تین مقابلےکھیلے۔ تین راؤنڈمیں اس کے اسکور7p –3q ،8p – 4q اور 6p –2qہیں۔ یہاں،p درست جواب کے اسکور کی نمائندگی کرتا ہے اورq غلط جواب کے لیے جرمانے کی نمائندگی کرتا ہے۔

●ہر ایک عبارت کا کیا مطلب ہے؟

اگر صحیح جواب کا اسکور4 (p = 4)ہے اور غلط جواب کا جرمانہ1 (q = 1)ہے تو کوئز کے پہلے راؤنڈ میں چارو کا اسکور معلوم کیجیے۔

چاروکاا سکورہے؛7 × 4 – 3 × 1۔ ہم اس عبارت کو ارکا ن کے جمع کے طور پر لکھ سکتے ہیں۔

7 × 4 – 3 × 1 = 7 × 4 + – 3 × 1 = 28 + – 3 = 25

دوسرے اور تیسرے راؤنڈ میں اس کے اسکور کیا ہیں؟

اگرکوئی جرمانہ نہیں ہے تو عبارت کیسے لکھیں گے ؟ ایسی صورت حال میں q کی قدر کیا ہوگی؟

تین راؤنڈکے بعد اس کا حتمی اسکور کیا ہے؟

اس کا حتمی اسکور ،تین اسکورکا حاصلِ جمع ہو گا:

(7p – 3q) + (8p – 4q) + (6p – 2q)

چوں کہ ارکان کسی بھی ترتیب میں جمع کیےجا سکتے ہیں، اس لیے ہم قوسین کو ہٹا کر ذیل کی طرح لکھ سکتے ہیں:

7p + – 3q + 8p + – 4q + 6p + –2q

= 7p + 8p + 6p + – (3q) + – (4q) + – (2q) (آپسی تبادلے اور گروہ بندی کے ذریعے)

= (7 + 8 + 6) p + – (3 + 4 + 2)q

= 21p+ – 9q

= 21p – 9q

تین راؤنڈ کے بعدچارو کا کل اسکور 21p – 9qہے۔ اس کی دوست کریشیٹا کاتین راؤنڈز کے بعد اسکور 23p−7q ہے۔

●تین راؤنڈ میں چارو کے لیے کچھ ممکنہ اسکور بتایئےجن کوجوڑ کر اس کا اسکور 23p –7qآجائے ۔

●کیاہم کہہ سکتے ہیں کہ کس نے زیادہ اسکوربنائے؟ کیا آپ اس کی وضاحت کر سکتے ہیں، کہ ایسا کیوں ہے ؟

کریشیٹا نے چارو سے کتنا زیادہ اسکور کیا ہے؟ دونوں اسکور کے درمیان فرق تلاش کر کے یہ معلوم کیا جا سکتا ہے۔

23p – 7q – (21p – 9q)

●اس عبارت کو مزیدمختصرشکل میں لکھیے ۔

●مثال 9 : عبارت4 (x + y) – yکو مختصر ترین شکل میں لکھیے ۔

تقسیمی خصوصیت کا استعمال کرتے ہوئے، اس عبارت کو مختصر ترین کیا جا سکتا ہے۔

4 (x + y) – y = 4x + 4y – y

= 4x + 4y + – y

= 4x + (4 – 1)y

= 4x + 3y

●ممثال 10 :کیا عبارت5u اور(5+u) ایک دوسرے کے برابر ہیں؟

عبارت5u کا مطلب ہے عدد u کا5 گنا اور عبارت5 + u کا مطلب ہے عددuسے 5 زیادہ ہے ۔ یہ دونوں مختلف اعمال ہیں۔ یہ دونوںuکی بیشتر قدروں کے لیے مختلف قدریں دیں گے ۔

آئیے اس کی جانچ کریں۔

●حروفی اعداد کواعدادسے بدل کر خالی جگہ کو پُر کیجیے؛نیچےدی گئی تصویرمیں ایک خانے میں مثال دی گئی ہے۔پھر ان قدروں کا موازنہ کیجیے جو 5u اور( 5 + u) کے لیے لی گئی ہیں۔

اگر عبارت5u اور5+u برابر ہیں، تو انھیں uکی کسی بھی قدر کے لیے ایک جیسی قدریں دینی چاہیے۔ لیکن ہم دیکھ سکتے ہیں کہ وہ عبارتیں ایک جیسی قدریں نہیں دیتی ہیں ۔لہذا، یہ دونوں عبارتیں برابر نہیں ہیں۔

کیا عبارتیں(10y – 3)اور 10(y – 3) برابر ہیں؟

10y – 3،دراصل 10× y – 3کی مختصرشکل ہے،اس کا مطلب ہے yکے10 گناسے 3 کم۔

10 (y – 3)،دراصل کی مختصرشکل ہے یعنی yسے 3 کم کا 10گنا۔

آئیے! ان عبارتوں میںy کی مختلف اقدار لے کر ان کا موازنہ کرتے ہیں ۔

●کیا آپ کو لگتا ہے کہ دونوں خاکوں کو پُر کرنے کے بعد، دونوں عبارتیں برابر ہیں؟

● مثال11: تصویر میں اعداد کی جمع کیا ہے(نامعلوم قدروں کو حرفی عدد سے ظاہر کیا گیا ہے؟)

ان اعداد کو جمع کرنے کے بہت سے طریقے ہیں۔ یہاں ان میں سے چند دکھا ئے گئے ہیں۔

1. قطار کے لحاظ سے جمع کرنے پرعبارت حاصل ہوتی ہے:

(4 × 3) + (r + s) + (r + s) + (4 × 3)

2. یکساں ارکان کو ایک ساتھ جمع کرنےپرعبارت حاصل ہوتی ہے:

(8 × 3) + (r + r) + (s + s)

3. اوپری نصف حصے کو جمع کرکے اس کا دوگنا کرنے پرعبارت حاصل ہوتی ہے:

2 × (4 × 3 + r + s)

درج بالا تینوں عبارتیں مختلف معلوم ہورہی ہیں۔ ہم ہر ایک کو مختصر ترین کرکے جانچ کر سکتے ہیں کہ کیا وہ سب:

2r + 2s + 24 کے برابر ہیں۔

معلوم کیجیے

1. نیچے دی گئی ہر تصویر میں اعداد کو جمع کیجیے۔ ان کی متعلقہ عبارتیں لکھیے اور انھیں مختصر ترین کیجیے۔ ہر تصویر میں موجود اعداد کو دو مختلف طریقوں سے جمع کرنےکی کوشش کیجیے اور دیکھیے کہ آپ کو ایک ہی نتیجہ حاصل ہوتا ہے۔

2. درج ذیل عبارتوں میں سے ہر ایک کو مختصر ترین بنایئے:
   1. p + p + p + p, p + p + p + q, p + q + p – q,
   2. p – q + p – q, p + q – p + q,
   3. p + q – (p + q), p – q – p – q
   4. 2d – d – d – d, 2d – d – d – c,
   5. 2d – d – (d – c), 2d – (d – d) – c,
   6. 2d – d – c – c

غلطی پر تو جہ دیتے ہوئے اسےدرست کیجیے

درج ذیل میں الجبریائی عبارتوں کو آسان کرکے دکھایا گیاہے۔ دائیں طرف کی عبارت اپنی مختصر ترین شکل (Simplest Form) میں ہوناچاہیے۔

• ان میں سے ہر ایک کا مشاہدہ کیجیے اور دیکھیے کہ کیا کوئی غلطی ہے؟
• اگر آپ کو لگتا ہے کہ کوئی غلطی ہوئی ہے، تو یہ بتانے کی کوشش کیجیےکہ کیا غلطی ہوئی ہے۔
• پھر، اسے صحیح طریقے سےحل کرکے مختصر عبارت بنائیے ۔

●تمام تصحیح کی گئی مختصر ترین شکلوں پر ایک نظر ڈالیے(یعنی قوسین ہٹا دیے گئے ہیں،یکساں ارکان جمع کر دیے گئےہیں اور صرف اعدادوالےارکان کو بھی جمع کر دیا گیا ہے)۔کیا ان عبارتوں میں ارکان کی تعداد اور حروفی اعداد کی تعداد کے درمیان کوئی تعلق ہے؟

4.5 پیٹرن پہچانیے اور تعلقات کو ظاہر کیجیے

پہلے حصے میں ہم نے الجبریائی عبارتوں کی ایک جھلک دیکھی اورسیکھا کہ کس طرح انھیں استعمال کرکے آسان پیٹرنوں اورتعلقات کو مختصر اور خوب صورت انداز میں بیان کیا جا سکتا ہے۔ یہاں، ہم مختلف تناظر میں مقداروں کے درمیان عمومی تعلقات کو تلاش کریں گے ، ڈھونڈیں گے اور دل چسپ پہلو کی وضاحت بھی کر یں گے کہ یہ پیٹرن کیوں وقوع پذیرہوتے ہیں۔

یاد رکھیے کہ کسی بھی ریاضیاتی تعلق کو عبارتوں کی شکل میں لکھنے کی کوشش کرنے سے پہلےاسے آسان زبان میں بیان کرنا اور بصری طور پر سمجھنا بہت اہم ہے ۔

فارمولامعلوم کرنا (Formula Detective)

ذیل میں دی گئی تصویر کو دیکھیے۔ ہر معاملے میں، عددی مشین ‘Y’ کے اوپری حصے میں دیے 2 مختلف اعداد کو بطور ان پٹ(Input) لیتی ہے، کچھ عمل کرتی ہے اور نتیجہ نچلے حصے سے دیتی ہے۔ تمام مشینیں ہر صورت میں اپنے
ان پٹ پر ایک جیسا عمل کرتی ہیں ۔

●اس عددی مشین کا فارمولا معلوم کیجیے۔

اوپر دی گئی عددی مشین کا فارمولا’’ پہلے عدد کے دوگنے میں سے دوسرے عدد کو گھٹانا‘‘ ہے۔ جب اس کو الجبریائی عبارت کی مدد سے لکھا جاتا ہےتو ، فارمولا ( 2a – b) بنتاہے۔ پہلے سیٹ کے ان پٹ کےلیے عددی عبارت2 × 5 – 2 = 8ہے۔ جانچ کیجیے کہ فارمولا ان پٹ کے ہر سیٹ کے لیے درست ہے۔

●درج ذیل میں عددی مشینوں کے فارمولے تلاش کیجیے اور ان پٹ کے ہر سیٹ کے لیے عبارت لکھیے ۔

●آپ خود ہی اپنا ایک فارمولا بنا یئے۔ اس فارمولے کو استعمال کرتے ہوئے چند عددی مشینوں کی مثالیں لکھیے ۔ فارمولے کا پتہ لگانے کے لیے اپنے ہم جما عت ساتھیوں کو چیلنج کیجیے!

پیٹرن کو بیان کرنے کے لیے الجبریائی عبارتیں

●مثال 12: سومجیت نےایک ساڑی کےبارڈر پر دہرایا جانے والا ایک پیٹرن دیکھا۔

●سومجیت حیران ہے کہ کیا تمام مقاموں(Positions) کے ڈیزائن کو بیان کرنے کا کوئی طریقہ ہے جہاں(i) ڈیزائن A واقع ہے، (ii) ڈیزائن B واقع ہے اور(iii) ڈیزائن C واقع ہے۔

آئیے ڈیزائن C سے شروع کرتےہیں۔ یہ پہلی بار مقام3 پر ظاہر ہوتا ہے، دوسری بار مقام6 پر۔

●ڈیزائن n ،Cویں بارمیں کہاں ظاہر ہوگا؟

ہم دیکھ سکتے ہیں کہ یہ ڈیزائن ان مقاموں میں ظاہر ہوتا ہے جو 3 کے اضعاف ہیں۔ اس لیے ڈیزائن C کیnویں موجودگی 3n مقام پر ہوگی۔

●اسی طرح، وہ فارمولاتلاش کیجیے جو ایسا مقام بتاتاہے جہاں دوسرےڈیزائن nو یں مرتبہ نمودار ہوئے ۔

وہ مقام، جہاں ڈیزائن B نمودارہوا، وہ 2,5,8,11,14 وغیرہ ہیں۔

ہم دیکھ سکتے ہیں کہ ڈیزائن B کی nویں شکل کا مقام وہ ہےجو ڈیزائن Cکے nویں مقام سے ایک کم ہے۔اسی طرح ڈیزائن B کی n ویں موجودگی کا مقام (3n –1 ) ہوگا ۔

اسی طرح A کی پوزیشن کو بیان کرنے والی عبارت ہوگی : 3n – 2 ۔

●کسی عدد کے دیے گئے مقام کی مدد سے کیا ہم وہاں ظاہر ہونے والے ڈیزائن کا پتہ لگا سکتے ہیں؟ مثلاً مقام122 پر کون سا ڈیزائن ظاہر ہوگا؟

پہلے دیکھا گیا ہے کہ اگر ایک مقامی عدد 3 کااضعاف ہے، تو واضح طور پر یہ ڈیزائن Cہوگا ۔ا گرمقامی عدد 3 کے اضعاف سے ایک کم ہے، تو یہ ڈیزائنB ہوگااور اگر یہ 3 کے اضعاف سے 2 کم ہے، تو یہ ڈیزائن A ہوگا ۔

●کیا اعدادکےمقام کو 3 سے تقسیم کرنے پرباقی کواس کےلیےاستعمال کیا جا سکتا ہے؟ نیچے دیے گئے جدول کا مشاہدہ کیجیے۔

مقام نمبر	3سے تقسیم کرنے پرحاصل ِتقسیم (Quotient)	بقیہ(Remainder)
99	33	0
122	40	2
148	49	1

●122،99 اور 148 مقاموں پر کون سے ڈیزائن ظاہر ہوں گے یہ جاننے کے لیے حاصل تقسیم کا استعمال کیجیے۔

کیلنڈر میں پیٹرن

یہ نومبر 2024 کا کیلنڈر ہے ۔ 2 × 2 مربعوں پر غور کیجیے، جیسا کہ کیلنڈر میں نشان زد ہے۔ اس مربع کے اعداد
دل چسپ خصوصیت کو ظاہر کرتے ہیں۔

13

12

20

19

آئیے ہم نشان زد 2 × 2 مربع کو لیتے ہیں اوروتر (Diagonal)پر موجود اعداد پر غور کرتے ہیں؛یہ 12اور 20، 13 اور19ہیں ۔ ان کاحاصل جمع معلوم کیجیے12+20،اور 13+19۔ آپ نےکیا مشاہدہ کیا؟

وہ برابرہیں۔

آئیےکیلنڈر میں اعداد کو 30 سےآگے بڑھاتے ہیں۔اور لا محدود قطاریں بناتےہیں۔جیسا کہ ذیل کی تصویر میں دکھایا گیا ہے۔

●کیا اس لامحدود گرڈ میں ہر 2 × 2 مربع میں وترپرآنےوالی قدروں کا حاصل جمع برابر ہو گا ؟ ہم اسےکیسے یقینی بنا سکتےہیں؟

اسے یقینی بنانے کے لیے ہم تمام 2 × 2 مربعوں کو چیک نہیں کر سکتے کیوں کہ ان کی تعدادلامحدود ہے۔

آئیے 2 × 2 مربع پر غور کیجیے۔ اس کا اوپری بائیں عدد کوئی بھی عدد ہو سکتا ہے۔ آئیے اسے ‘a’ نام دیتے ہیں۔

●یہ مانتے ہوئے کہ ہمیں اوپری بائیں عدد معلوم ہے، ہم اس 2 × 2 مربع میں دوسرے اعداد کو کیسےمتعین کریں گے۔

جیسا کہ ہم ابھی تک کرتے آئے ہیں، پہلے ہم دوسرے اعدادکو الفاظ میں بیان کرتے ہیں۔

• ‘a’کے دائیں طرف کا عدد اس سے 1 زیادہ ہوگا۔
• ‘a’کے نیچے کاعدد اس سے 7 زیادہ ہوگا۔
• وترمیں ‘a’کے مقابل آنے والاعدد،اس سے 8 زیادہ ہوگا۔

لہٰذا 2 × 2 مربع میں دوسرے اعداد کو حسب ذیل گرڈ کی طرح دکھایا جا سکتا ہے۔ آئیے ہم وتر پر موجود اعداد کا حاصل جمع معلوم کرتے ہیں : a+(a+8) اور (a+1) + (a+7)

آئیے ان کو مختصر (Simplify)کرتے ہیں۔

چوں کہ ارکان کو کسی بھی ترتیب میں جمع کیا جا سکتاہے، اس لیے قوسین کو کھولا جا سکتا ہے۔

a + (a + 8) = a + a + 8 = 2a + 8

(a + 1) + (a + 7) = a + 1 + a + 7 = a + a + 1 + 7 = 2a + 8

ہم دیکھتے ہیں کہ دونوں وتروں پرآنےوالےاعداد کی حاصل جمع 2a + 8 یعنی (aکےدوگنےسے8 زیادہ کے برابر) ہے ۔

●اس عبارت کی تصدیق کسی بھی 2×2 مربع کےوترپر موجود اعدادکےلیےکیجیے اور اس کے اوپری بائیں خانے کےعدد ’a‘ کو لے لیجیے۔

اس طرح، ہم نے دیکھا کہ aکی کسی بھی قدر کے لیے وتر کے اعداد کی حاصل جمع برابر ہوتی ہے، یعنی کسی بھی
2 × 2 مربع کے لیے!

کیلنڈر کے اعداد کے ایک سیٹ سے بننے والی درج ذیل شکل کو ملاحظہ کیجیے( جس میں لامحدود قطاریں ہیں):

●درج بالا سیٹ کے تمام اعداد کا حاصل جمع معلوم کیجیے۔ اس کا موازنہ مرکز میں موجود عدد 15 کے ساتھ کیجیے۔اعداد کے اسی طرح کے دوسرے سیٹ کے لیے اس عمل کو دہرایئے جو درج بالا شکل کو بناتا ہے۔ آپ نےکیا مشاہدہ کیا؟

ہم دیکھتے ہیں کہ حاصل جمع ہمیشہ مرکز میں موجود عدد کا 5 گنا ہوتا ہے۔

●کیا ایسا ہمیشہ ہوتا ہو گا؟ آپ یہ کیسے ثابت کریں گے؟

[اشارہ: اعداد کے ایک عمومی سیٹ پر غور کیجیے جو اسی طرح کی شکل کو بناتا ہے۔مرکز میں پائےجانےوالےعدد کو ’a‘ سےظاہرکیجیے۔ دوسرے اعداد کو’a‘ کی مناسبت سے ظاہر کیجیے ۔]

ایسی دوسری اشکال تلاش کیجیے جن کے اندر موجود اعداد کی جمع ہمیشہ ان اعداد میں سے کسی ایک عدد کا حاصل ضرب ہو۔

ماچس کی تیلیوں سے پیٹرن بنانا

نیچے دی گئی تصویر کو دیکھیے۔ماچس کی تیلیوں کے استعمال سےبنا یہ ایک پیٹرن ہے۔ کیا آپ پہچان سکتے ہیں کہ پیٹرن کس شکل کا ہے؟

ہم دیکھ سکتے ہیں کہ مرحلہ 1 میں 1 مثلث ہے، مرحلہ 2 میں 2 مثلث ہیں، مرحلہ 3 میں 3 مثلث ہیں، وغیرہ۔

کیا آپ بتا سکتے ہیں کہ مرحلہ 5 میں کتنی ماچس کی تیلیاں ہوں گی؟ یہ 11 ہوں گی۔ آپ اس کوبھی بنا کر دیکھ سکتے ہیں۔

●مرحلہ 33، مرحلہ 84، اور مرحلہ 108 میں کتنی ماچس کی تیلیاں درکا ر ہوں گی؟ بلاشبہ، ہم اس کا خاکہ بناسکتےہیں اورگن بھی سکتے ہیں، لیکن کیا یہاں موجود پیٹرن کا استعمال کرتے ہوئے جوابات تلاش کرنے کا کوئی فوری طریقہ ہے؟

اگلے مرحلے میں ہم سیکھیں گے کہ ماچس کی تیلیوں کی تعداد معلوم کرنے کا عمومی اصول کیا ہے؟ ہم دیکھ سکتے ہیں کہ اگلامرحلہ حاصل کرنے کے لیے ہر قدم پر 2 ماچس کی تیلیاں رکھ دی جاتی ہیں، یعنی ہر بار ماچس کی تیلیوں کی تعداد میں 2 کااضافہ ہوتا ہے۔

مرحلہ نمبر	1	2	3	4	5	6
ماچس کی تیلیوں کی تعداد	3	5	7	9	11	13

درج بالا جدول کا استعمال کرتے ہوئے مرحلہ 33 میں ماچس کی تیلیوں کی تعداد معلوم کرنے کے لیے طریقے کے بارے میں سوچیے۔ (نمبر لکھنے کو جاری رکھے بغیر)۔

جیسا کہ ہر بار 2 ماچس کی تیلیوں کو شامل کیا جا رہاہے، یہ معلوم کرنے سے کہ مرحلہ 33 میں کتنے 2 شامل کیے جائیں گے۔ نیچے دیے گئے جدول کو د یکھیے اور معلوم کرنے کی کوشش کیجیے۔

مرحلہ نمبر	1	2	3	4	5	6
ماچس کی تیلیوں کی تعداد	3	5	7	9	11	13
		3 + 2	3 + 2 + 2	3 + 2 + 2 + 2	3 + 2 + 2 + 2 + 2

33 مثلث (مرحلہ 33 )بنانے کے لیے ماچس کی تیلیوں کی تعداد _________ ہے۔ اسی طرح، مرحلہ 84 اور مرحلہ 108 کے لیے درکار ماچس کی تیلیوں کی تعداد معلوم کیجیے۔

کسی بھی مرحلے پر ماچس کی تیلیوں کی تعداد معلوم کرنے کے لیے اصول یافارمولےکو بیان کرنے والی عبارت کیا ہوسکتی ہے؟

پیٹرن اس طرح ہوگا کہ مرحلہ 10 میں، نو مرتبہ 2 میں 3جوڑنے پر (3+2×9) ماچس کی تیلیوں کی تعدادملتی ہے؛ مرحلہ 11 میں، دس مرتبہ2 میں 3جوڑنے پر(3+2×10)ماچس کی تیلیوں کی تعداد حاصل ہوتی ہے۔ مرحلہyکے لیے عبارت کیا ہوگی ؟

یہ ہے : yسے ایک کم (یعنیy – 1 ) مرتبہ 2 اور 3 کا جمع ۔

لہٰذا، عبارت ہے

3 + 2 × (y – 1)

درج بالا عبارت مرحلہ y میں ماچس کی تیلیوں کی تعداد بتاتی ہے۔ اب ہم کسی بھی مرحلے پر ماچس کی تیلیوں کی تعداد فوراً معلوم کر سکتے ہیں۔

آپ نے پہلے ہی دیکھا ہوگا کہ پہلے مرحلے میں بھی2 ہے،اور 3 = 1 + 2 ۔ اس کا استعمال کرتے ہوئے، ہمیں یہ عبارت حاصل ہوتی ہے۔

2y + 1

●کیا مندرجہ بالا عبارت بھی ہر مرحلے پر ماچس کی تیلیوں کی تعداد کو صحیح طور پربتا دیتی ہے؟ کیا یہ عبارتیں ایک جیسی ہیں؟

ہم عبارت 3 + 2 × (y – 1) کومختصر ترین بنا کرکے جانچ سکتے ہیں

3 + 2 × (y – 1) = 3 + 2y – 2

= 2y + 1

دونوں عبارتیں ایک جیسی ہیں۔

پیٹرن گننے یا دیکھنے کا ایک اورمختلف طریقہ بھی ہے۔ آئیے دوبارہ تصویر پر ایک نظر ڈالتے ہیں۔

ماچس کی تیلیوں کو دو جہات سے رکھاگیاہے— (a) جوافقی طورپراوپر اور نیچے اور (b) جو درمیان میں وتر کے طور پر رکھی گئی ہیں۔ مثال کے طور پر، مرحلہ 2 میں 2 ماچس کی تیلیاں افقی طور پر اوپر اور نیچے رکھی گئی ہیں اور 3 ماچس کی تیلیاں وتر کے طور پر رکھی گئی ہیں۔

●مرحلہ 3 اور مرحلہ 4 میں یہ اعداد کیا ہیں؟

●مرحلے بڑھنے کے ساتھ ہی ہر جہت میں ماچس کی تیلیوں کی تعداد کیسے بدلتی ہے؟ ہر جہت میں مر حلہ ‘y’ پر ماچس کی تیلیوں کی تعداد کے لیے ایک عبارت لکھیے۔ کیا دونوں عبارتوں کا حاصل جمع2y + 1 ہوگا؟

●معلوم کیجیے

ان مسائل کے لیے جن میں آپ سے مناسب عبارتیں بنانے کے لیے کہا جارہا ہے ، پہلے بیان کردہ صورت حال میں مختلف مقداروں کے درمیان رشتہ کو سمجھنے کی کوشش کیجیے۔ اگر ضرورت ہو تو نامعلوم کے لیے کچھ قدریں فرض کرلیجیے اور پھرتعلق تلاش کرنے کی کوشش کیجیے۔

1. جوارکی روٹیکی ایک پلیٹ کی قیمت ₹30 اور پلاؤکی ایک پلیٹ کی قیمت₹20 ہے۔ اگر جوار کی روٹی کی x پلیٹیں اور پلاؤ کی y پلیٹیں ایک دن میں منگوائی جائیں تو کون سی عبارت اس دن روپے میں کل رقم کی ادائیگی کو ظاہر کرے گی ؟

   (a) 30x + 20y (b) (30 + 20) × (x + y)

   (c) 20x + 30y (d) (30 + 20) × x + y

   (e) 30x – 20y

2. پُشپتا یوم آزادی پر دو قسم کے پھول فروخت کرتی ہے : چمپا اور گیندا۔ ‘p’ گاہکوں نے صرف چمپاکےپھول خریدے، ‘q’ گاہکوں نے صرف گیندےکےپھول خریدے، اور ‘r’گاہکوں نے دونوں طرح کےپھول خریدے۔ اسی دن، اس نے ہر گاہک کو ایک چھوٹا سا قومی جھنڈا دیا۔ اس دن اس نے کتنے جھنڈے دیے تھے؟

   (a) p + q + r (b) p + q + 2r

   (c) 2 × (p + q + r) (d) p + q + r + 2

   (e) p + q + r + 1 (f) 2 × (p + q)

3. ایک گھونگا ایک گہرے کنویں کی دیوار پرچڑھنے کی کوشش کر رہا ہے۔ دن کے وقت یہ ‘u’ سینٹی میٹر اوپر چڑھتا ہے اور رات کے وقت یہ آہستہ آہستہ ‘d’سینٹی میٹر نیچے گر جاتا ہے۔ ایسا 10دن اور 10راتوں تک ہوتاہے۔

(a) ایک عبارت لکھیےجو یہ بیان کرےکہ گھونگا اپنےابتدائی مقام سے کتنا دور ہے۔

(b) ہم گھونگھے کی حرکت کے بارے میں کیا کہہ سکتے ہیں اگر d > uہو؟

4. رادھا سائیکل کی دوڑ کی تیاری کر رہی ہے اور روزانہ مشق کرتی ہے۔ پہلے ہفتے وہ ہر روز 5 کلومیٹر سائیکل چلاتی ہے۔ ہر ہفتے وہ روزانہ ‘z’کلومیٹر فاصلے کا اضافہ کرتی ہے۔ رادھا نے 3 ہفتوں کے بعد کتنے کلومیٹر سائیکل چلائی ہوگی؟
5. مندرجہ ذیل تصویر میں مشاہدہ کیجیے کہ کس طرح ایک راستے کے ساتھ w +2عبارت ، 4w + 20بن جاتی ہے۔ بقیہ راستوں پر موجود خالی جگہوں کو پُر کیجیے ۔ بیضوی شکل میں عبارتیں ہیں اور چوکور خانوں میں عمل ہیں۔
6. ‘یہاں پور’سے‘وہاں پور’جانے والی ایک لوکل ٹرین راستے میں برابر فاصلے پر تین اسٹیشنوں پر رکتی ہے۔ ایک اسٹیشن سے دوسرےاسٹیشن تک سفر کرنے میں منٹوں میں لگنے والا وقت ایک جیسا ہے اور اسے tسے ظاہر کیا جاتا ہے۔ ٹرین تینوں اسٹیشنوں پر 2 منٹ کے لیے رکتی ہے۔

1. اگرt = 4ہےتو یہاں پور سے وہاں پور تک سفر کرنے میں کتنا وقت لگے گا ؟
2. یہاں پور سے وہاں پور تک کے سفر میں لگنے والے وقت کی الجبریائی عبارت کیا ہے؟

[ اشارہ: صورت حال کو دیکھنے کے لیے ایک کچّا خاکہ بنایئے]

7. درج ذیل عبارتوں کو مختصر ترین شکل میں لکھیے:
   1. 3a + 9b – 6 + 8a – 4b – 7a + 16
   2. 3 (3a – 3b) – 8a – 4b – 16
   3. 2 (2x – 3) + 8x + 12
   4. 8x – (2x – 3) + 12
   5. 8h – (5 + 7h) + 9
   6. 23 + 4(6m – 3n) – 8n – 3m – 18
8. ذیل میں دی گئی عبارتوں کوجمع کیجیے:
   1. 4d – 7c + 9 روا 8c – 11 + 9d
   2. – 6f + 19 – 8s روا – 23 + 13f + 12s
   3. 8d – 14c + 9 روا 16c – (11 + 9d)
   4. 6f – 20 + 8s روا 23 – 13f – 12s
   5. 13m – 12n روا 12n – 13m
   6. – 26m + 24n روا 26m – 24n
9. ذیل میں دی گئی عبارتوں کو گھٹایئے:
   1. 9a – 6b + 14 سے 6a + 9b – 18
   2. – 15x + 13 – 9y سے 7y – 10 + 3x
   3. 17g + 9 – 7h سے 11 – 10g + 3h
   4. 9a – 6b + 14 سے 6a – (9b + 18)
   5. 10x + 2 + 10y سے –3y +8 – 3x
   6. 8g + 4h – 10 سے 7h – 8g + 20
10. درج ذیل الجبریائی عبارتوں کے مطابق صورت حال بیان کیجیے:
    1. 8x + 3y
    2. 15x – 2x
11. ایک سیدھی رسی کا تصور کیجیے۔ اگر اسے ایک بار کاٹا جائے جیسا کہ تصویر میں دکھایا گیا ہے، تو ہمیں 2ٹکڑے حاصل ہوتے ہیں ۔ اگر رسی کو ایک بارموڑ دیا جائے اور پھر تصویر کے مطابق کاٹا جائے تو ہمیں 3ٹکڑے حاصل ہوتے ہیں ۔ ذیل کے پیٹرن کا مشاہدہ کیجیے اورٹکڑوں کی تعداد معلوم کیجیے،اگر رسی کو 10 بارموڑ کر کاٹ دیا جائے تو کتنے ٹکڑے حاصل ہوں گے۔ جب رسی کو r بارموڑ کر کاٹا جاتا ہے تو ٹکڑوں کی تعداد معلوم کرنے کی عبارت کیا ہوگی ؟

12. نیچے دیے گئےماچس کی تیلیوں کےپیٹرن کو دیکھیے۔ پیٹرن کا بغور مشاہدہ کیجیے اور پیٹرن کی شناخت کیجیے۔ اس
    طرح کے 10 مربعے بنانے کے لیے کتنی ماچس کی تیلیوں کی ضرورت ہے۔w مربع بنانے کے لیے کتنی تیلیوں کی ضرورت ہوگی ؟

13. کیا آپ نے دیکھا ہے کہ ٹریفک سگنل میں رنگ کیسے بدلتے ہیں؟ رنگ کی تبدیلیوں کا تواتر ذیل میں دکھایا گیا ہے۔

پوزیشن 90، 190 اور 343 پرکون سا رنگ آئےگا؟ ہر رنگ کے مقامات کو بیان کرنے کے لیے عبارت لکھیے۔

14. نیچے دیے گئے پیٹرن کا مشاہدہ کیجیے۔ مرحلہ 4، مرحلہ 10اور مرحلہ 50 میں کتنے مربع ہوں گے ایک عمومی فارمولا لکھیے۔ اگر ہم تمام مربعوں کے راسوں (Vertices)کی تعداد کو شمار کرنا چاہتے ہیں تو فارمولےمیں کیا تبدیلی کرنی ہوگی ؟

15. اس لا محدود 4 کالم گرڈ میں اعداد ایک خاص ترتیب میں لکھے گئےہیں۔

(a) دیے گئے کا لم (1, 2, 3, 4)میں تمام اعداد لکھنے کے لیے
عبارتیں لکھیے۔

(b) کس قطار اور کا لم میں درج ذیل اعداد ظاہر ہوں گے:

1. 124
2. 147
3. 201

(c) قطار r اور کالم c میں کون سا عدد ظاہر ہوتا ہے؟

(d) 3کےاضعاف کے مقامات کا مشاہدہ کیجیے۔

کیا آپ کو اس میں کوئی پیٹرن نظر آتا ہے ؟ ایسےدوسرے پیٹرنوں کی فہرست بنایئے جو آپ کو نظرآرہے ہیں۔