5

متوازی اور متقاطع خطوط
(PARALLEL AND INTERSECTING LINES)

5.1 خط کے آر پار (Across the Line)

ایک چوکور کاغذ کا ٹکڑا لیجیے اور اسے مختلف طرح سے موڑیے ۔اب موڑنے کی وجہ سے جو سلوٹیں نمایاں ہورہی ہیں، ان پر پنسل اور پیمانہ(Scale)کی مدد سے خطوط کھینچیے ۔آپ دیکھیں گے کاغذ پر مختلف خطوط بن گئے ہیں ۔اب کسی بھی خط کے جوڑے کو منتخب کیجیے اور ایک دوسرے سے ان کی نسبت کا مشاہدہ کیجیے ۔کیا وہ ملتے ہیں ؟ اگر وہ کاغذ کے حدود میں نہیں مل رہے ،تو کیا آپ کو لگتا ہے کہ وہ کاغذ سے باہر تک بڑھائے جانےپر ایک دوسرے سے ملیں گے ؟

اس باب میں ہم ایک ہموار سطح(Plane Surface) پر موجودخطوط کے درمیان تعلق کودریافت کریں گے ۔ میز کا اوپری حصہ ،آپ کے کا غذ کا ٹکڑا،بلیک بورڈ اور نوٹس بورڈ ، یہ سب ہموار سطحوں کی مثالیں ہیں۔

آیئے ہم ایسے دو خطوط پر نظر ڈالتے ہیں جو ایک دوسرے سے مل رہے ہیں ۔آپ دیکھیں گے کہ دونوں خط ایک نقطے پر ملتے ہیں ۔ جب ہموار سطح پرخطوں کاکوئی جوڑا ایک دوسرے سے کسی نقطہ پر ملتا ہے تو ہم کہتے ہیں کہ یہ خطوط ایک دوسرے کو کاٹتے ہیں یا قطع (Intersect)کرتے ہیں ۔

آئیے غور کرتے ہیں کہ جب دو خطوط ایک دوسرے کوقطع کرتے ہیں تو کیا ہوتا ہے۔

وہ کتنے زاویے بناتے ہیں ؟

شکل5.2میں، جہاں خط lخط m کو قطع کرتا ہے ،تو ہم دیکھ سکتے ہیں کہ چار زاویے وجود میں آتے ہیں ۔

کیا دو مستقیم خطوط (Straight Lines)ایک سے زائد نقطے پر ایک دوسرے کوقطع کرسکتے ہیں ؟

سرگرمی1

ایک سادہ کاغذ پر دو مستقیم خط اس طرح کھینچیے کہ وہ ایک دوسرے کو قطع کررہے ہوں ۔ایک چاندہ کی مدد سے بنے ہوئے چاروں زاویوں کی پیمائش کیجیے۔ مزید چار متقاطع خطوط کے جوڑے کھینچیے اور نقطۂ قطع پر عیاں ہونے والے زاویوں کی پیمائش کیجیے ۔

ان زاویوں میں آپ کو کیسا طرز(Pattern)نظر آرہا ہے؟

شکل 5.2میں اگر a∠کی پیمائش 120° ہےتوکیا آپc،∠b∠اور d∠کی پیمائش بغیر انھیں کھینچے اور ناپے معلوم کرسکتے ہیں؟

ہم جانتے ہیں کہ a∠اورb∠کی مل کر پیمائش 180°ہوتی ہے کیوں کہ جب یہ دونوں زاویے جمع ہوتے ہیں تو یہ زاویہ مستقیم کو تشکیل دیتے ہیں جس کی پیمائش 180°ہوتی ہے ۔اس لیے اگرہےتو لازماً ہی ہوگا ۔

اسی طرحb∠اور c∠کی کل پیمائش 180°ہوگی۔ اس لیے اگر ہے تو c∠کی پیمائش 120° ہی ہوگی ۔ اور c∠ اورd∠کی مل کر پیمائش180° ہوگی۔ اس لیے اگرہے تو d∠کی پیمائش60° ہی ہوگی ۔

اسی وجہ سےشکل 5.2 میںa∠ اورc∠کی پیمائش 120°، b∠اور d∠کی پیمائش 60°ہے۔

جب دو خطوط ایک دوسرے کو قطع کرتے ہیں اور چار زاویے بناتے ہیں تو ان کی نشان دہیa,b,c,d سے کی جاتی ہے ۔جیسا کہ شکل 5.2 میں دکھایا گیا ہے، یعنی a∠اورc∠ مساوی ہیں اورb∠اورd∠بھی مساوی ہیں !

کیا یہ بات قاطع خطوط کے ہر جوڑے کے لیے صحیح ثابت ہوگی ؟

a∠کی دیگر پیمائشوں کے ساتھ اس بات کی جانچ کیجیے۔ان پیمائشوں کے استعمال سے کیا آپ یہ اندازہ لگا سکتے ہیں کہ یہ بات a∠کی ہر پیمائش کے لیے صحیح ثابت ہوتی ہے ؟

ہم شکل 5.2 کے لیے،a∠کی کوئی قدر فرض کیے بغیر ، اپنے استدلال کو عمومی شکل دے سکتے ہیں۔

چوں کہ زاویہ مستقیم کی پیمائش 180° ہوتی ہے تو یہ لازم ہے کہ a + ∠b = ∠a + ∠d = 180º∠۔ اس لیے،b∠ اورd∠ہمیشہ مساوی ہوتے ہیں ۔اسی طرح b + ∠a = ∠b + ∠c = 180º∠،اس لیےa∠ اورc∠بھی لازماً مساوی ہوں گے۔

متصل زاویے (Adjacent Angles) جیسے a∠ اورb∠جو دو خطوط کےآپس میں قطع ہونے سے بنتے ہیں، انھیں خطی جوڑے (Linear Pairs) کہتےہیں ۔خطی جوڑے جمع کرنے پر ہمیشہ 180°ہوتےہیں ۔

متقا بل زاویے (Opposite Angles) جیسے b∠ اورd∠ خطوط کے ایک دوسرے سے قطع ہونے پر بنتے ہیں اور انھیں عمودی متقابل زاویے (Vertically Opposite Angles)کہتے ہیں ۔عمودی متقابل زاویے ہمیشہ ایک دوسرے کے مساوی ہوتے ہیں ۔

اوپر دی گئی دلیل سے ہم یہ نتیجہ نکالتے ہیں کہ جب بھی دو خطوط آپس میں قطع ہوتے ہیں تو عمودی متقابل زاویے مساوی ہوتے ہیں۔ اس طرح کی دلیل کو ریاضی میں’’ثبوت‘‘(Proof) کہتے ہیں ۔

معلوم کیجیے

شکل 5.3 میں آپ کو جوخطی جوڑے اور عمودی متقا بل زاویے نظر آرہے ہیں، ان کی فہرست بنائیے :

خطی جوڑے	a∠ اورb∠،...
عمودی متقابل زاویے کےجوڑے	b∠ اورd∠،...

پیمائش اور جیومیٹری

آپ نے دیکھا ہوگا کہ جب آپ خطی جوڑوں کی پیمائش کرتے ہیں تو کبھی کبھی ان کا حاصل جمع180° نہیں ہوتا یا عمودی متقابل زاویے کی پیمائش پر کبھی کبھی معلوم ہوتا ہے کہ وہ غیر مساوی ہیں ۔ اس کی کیا وجوہات ہیں؟ اس کی مختلف وجوہات ہوسکتی ہیں:

پیمائش کے آلوں کے غلط استعمال کی وجہ سے پیمائش میں غلطی ہوسکتی ہے –جیسے چاندہ کا غلط استعمال۔
کھینچے گئے خطوط کی موٹائی میں فرق – جیومیٹری میں “مثالی”(Ideal) خط کی کوئی موٹائی نہیں ہوتی ہے !لیکن ایسا نہیں ہوسکتا کہ ہم کوئی خط کھینچیں اور اس کی موٹائی نہ ہو ۔

جیومیٹری میں ہم ارد گرد نظر آنے والے مثالی ’’خطوط‘‘ اور دوسری اشکال بناتے ہیں اور ان کے درمیان تعلقات کا تجزیہ کرتے ہیں۔ مثال کے طور پر ، ہم جانتے ہیں کہ مستقیم خط سے بنا زاویہ 180° ہوتا ہے۔اگر کوئی دوسرا خط اس زاویے کو دو حصوں میں تقسیم کرے تو دونوں حصے مل کر180° ہوں گے۔ اس نتیجے پر پہنچنے کے لیے پیمائش کی ضرورت نہیں صرف دلیل ہی کافی ہے ۔ اگر ہم پیمائش کریں تو ان وجوہات کی بنا پر جو اوپر بیان کی گئی ہیں، ممکن ہے نتیجہ بالکل درست نہ ہو۔ پھر بھی، پیمائش اکثر ہمارے قیاس کے بہت قریب ہوتی ہے ۔یہی وجہ ہے کہ جیومیٹری کا استعمال طبیعیات، آرٹ ، انجینئرنگ اور تعمیرات جیسے مختلف شعبوں میں وسیع پیمانے پر کیا جاتا ہے۔

5.2 عمودی خطوط (Perpendicular Lines)

کیا آپ ایسے متقاطع خطوط کا ایک جوڑاکھینچ سکتے ہیں جس کے چاروں زاویے مساوی ہوں ؟ کیا آپ ان تمام زاویوں کی پیمائش معلوم کرسکتے ہیں؟

اگر دو خطوط متقاطع ہوں اور بننے والے چاروں زاویےمساوی ہوں،تو سبھی زاویے زاویۂ قائمہ 90ºکے ہوں گے۔

عمودی خطوط وہ دو خطوط ہیں جو ایک دوسرے کو قائمہ زاویوں (90º)پر قطع کرتے ہیں ۔ شکل 5.4 میں ہم کہہ سکتے ہیں کہ خطوطlاور m ایک دوسرے کے عمودی ہیں ۔

5.3 خطوط کے درمیان (Between Lines)

شکل 5.5کا مشاہدہ کیجیے اور یہ بتائیے کہ خطی قطعات کس طرح ایک دوسرے سے مل رہے ہیں یا ایک دوسرے کے پار جارہے ہیں، مناسب ریاضیاتی اصطلاحات (نقطہ، آخری نقطہ، وسطی نقطہ، نقطۂ تقاطع، متقاطع) استعمال کیجیے اور ہر زاویے کی ڈگری پیمائش بھی بتائیے ۔

مثال کے طور پر خطی قطعے FG اور FH، آخری نقطے F پر ملتے ہیں اور زاویہ 115.3º بناتے ہیں۔

کیا خطی قطعے ST اور UV آگے بڑھائے جائیں تو ان کے آپس میں ملنے کا امکان ہے؟

کیا خطی قطعے OP اور QR آگے بڑھائے جائیں تو ان کے آپس میں ملنے کا امکان ہے؟

یہاں ہمارے ارد گرد نظر آنے والے خطوط کی چند مثالیں دی جار ہی ہیں۔

Screenshot 2025-12-04 at 11-08-03 gugp105.pdf

مندرجہ بالا تصاویر کے خطوط میں کیا بات مشترک ہے؟ ایسا معلوم ہوتا ہے کہ یہ خطوط آپس میں ایک دوسرے کو قطع نہیں کرتے ہیں۔ ایسے خطوط کو متوازی خطوط (Parallel Lines)کہتے ہیں۔

اپنی جماعت میں کچھ متوازی خطوط تلاش کیجیے اور ان کے نام بتائیے ۔

Screenshot 2025-12-04 at 11-08-48 gugp105.pdf

اکثر آرٹ کے کاموں اور سایہ اندازی (Shading)میں متوازی خطوط کا استعمال ہوتاہے ۔

نیچے دی گئی شکل 5.6 میں کون سے خطوط کے جوڑے متوازی نظر آتے ہیں ؟

5.4 تہہ کیے ہوئے کاغذ میں متوازی اور عمودی خطوط

(Parallel and Perpendicular Lines in Paper Folding)

سرگرمی 2

کا غذ کا ایک چوکورٹکڑا لیجیے (اس سرگرمی کے لیے اخبار کا استعمال کیجیے )۔

اس کاغذکے متصل کناروں (Opposite Edges)کو آپ کیسے بیان کریں گے ؟ یہ ایک دوسرے کے ____________ہیں ؟
اس کاغذ کے متصل کناروں(Adjacent Edges)کو آپ کیسے بیان کریں گے ؟ متصل کنارے ایک دوسرے کے ____________ہیں۔ وہ ایک نقطے پر ملتے ہیں۔ وہ زاویۂ قائمہ بناتے ہیں۔
کاغذ کو اُفقی (Horizontal)طور پر درمیان سے موڑیے ۔ایک نیا خط بنتا ہے ۔(شکل 5.7 دیکھیے )
اب آپ کتنے متوازی خطوط دیکھتے ہیں ؟ نئے خطی قطعات کا عمودی اطراف (Vertical Sides)سے کیا تعلق ہے ؟

تہہ شدہ کاغذ میں ایک اور اُفقی تہہ بنائیے۔اب آپ کتنے متوازی خطوط دیکھتے ہیں ؟
اگر آپ اسی عمل کو دہرائیں تو کیا ہوگا ؟ آپ کو کتنے متوازی خطوط حاصل ہوں گے ؟ کیا اس میں کوئی پیٹرن
بن رہا ہے؟جانچیےکہ اگر آپ ایک اور افقی تہہ بنائیں تو کیا یہ پیٹرن برقرار رہتا ہے ۔
چوکورکاغذ کی عمودی تہہ بنائیے ۔یہ نیا عمودی خط پچھلے افقی خطوط کے_______ہے ۔

کاغذ کو ایک وَتر (Diagonal)پر موڑیے ۔کیا آپ ایسی تہہ کا پتا لگا سکتےہیں جو وَتر خط کے ساتھ متوازی خط بنائے؟
یہاں آپ کی مشق کے لیے ایک اور سرگرمی دی گئی ہے ۔

ایک مربع کاغذ کا ٹکڑا لیجیے ،اسے درمیان سے موڑیے اور پھر کھول دیجیے ۔
کناروں کو مرکزی خط یا وسطی خط کی جانب سے موڑیے اور پھر کھول دیجیے ۔
اوپر ی دائیں اور نچلے بائیں کونوں کو تہہ شدہ خط پر اس طرح موڑیےکہ مثلث بن جائے ۔شکل 5.8 دیکھیے ۔
خیال رہے کہ مثلث کے خط کاغذ پر آئی تہوں سے باہر نہ نکلیں ۔
کیاa, b, c بالترتیب p, q, rکےمتوازی ہیں ؟اگرہاں تو کیوں اور نہیں توکیوں نہیں؟

علامات (Notations)

ریاضی میں ہم متوازی خطوط کو دکھانے کے لیے تیر (<)کی علامت کا استعمال کرتے ہیں ۔اگر ایک سے زائد متوازی خطوط کے جوڑے ہوں(جیسا کہ شکل 5.9 میں ہے) تو دوسرے جوڑے کو دو تیروں سے ظاہر کرتے ہیں اور اسی طرح آگے برقرار رکھتے ہیں۔عمودی خطو ط کو ان کے درمیان مربع زاویہ کی علامت سے ظاہرکرتے ہیں ۔

معلوم کیجیے

شکل 5.10 میں نقطہ دار کاغذ پر دیے گئے خطوط پر کچھ عمودی خطوط کھینچیے ۔

شکل 5.11 میں متوازی خطوط کو اوپر دی گئی علامتوں(ایک تیر،دو تیر وغیرہ )سے ظاہر کیجیے ۔عمودی خطوط کے درمیانی زاویوں کو مربع کی علامت سے ظاہر کیجیے ۔

(a) آپ نے عمودی خطوط کی پہچان کیسے کی ؟

(b) آپ نے متوازی خطوط کی پہچان کیسے کی ؟

دیے ہوئے نقطہ دار کاغذ پر مختلف متوازی خطوط کے جوڑےبنایئے ۔ خطی قطعات کی لمبائی مختلف ہوسکتی ہے لیکن ان کے سرے نقطوں پر ہونے چاہیے۔
متوازی خطوط کی ظاہری شکل کو ذہن میں رکھتے ہوئے ،اس نقطہ دار کا غذ پر د یے گئے خطی قطعات کے متوازی خطوط کھینچنے کی کوشش کیجیے ۔

(a) کیا آپ کو ان میں سے کچھ خطوط کھینچنے میں دشواری پیش آئی ؟

(b) کون سے ؟

5. شکل 5.13 میں، کون سا خط ،خط aکے متوازی ہے— خط bیا خطc؟ آپ نے یہ فیصلہ کیسے کیا ؟

ہم نے پچھلی مشقوں سے مشاہدہ کیا کہ بعض اوقات یہ فیصلہ کرنا مشکل ہوتا ہے کہ دو خطوط متوازی ہیں یا نہیں ۔اس کا تعین کرنے کے لیے ہم خط قاطع کے تصور کا استعمال کرتے ہیں ۔

5.5 خط قاطع (Transversals)

ہم نے دیکھا کہ جب دو خطوط مختلف طریقوں سے متقاطع ہوتے ہیں تو کیا ہوتا ہے۔ آئیے یہ دیکھتے ہیں کہ جب ایک خط دو مختلف خطوط کو قطع کرتا ہے تو کیا ہوتا ہے ۔

شکل 5.14 میں خط t خطوط l اورmکو قطع کرتا ہے ۔خط t کو خط قاطع کہتے ہیں ۔ غور کیجیے جب ایک خط دو خطوط کو قطع کرتا ہے تو 8 زاویے بنتے ہیں۔

کیا یہ ممکن ہے کہ تمام آٹھ زاویوں کی پیمائش مختلف ہو؟ اگرہاں توکیوں اور نہیں تو کیوں نہیں ؟

ان پانچ مختلف زاویوں کے متعلق کیا خیال ہے—6,5,4,3,2 ؟

شکل 5.14 میں چوں کہ1∠اور 3∠ متقابل راسی زاویے (Vertically opposite angles) ہیں، اس لیے وہ مساوی ہیں ۔کیا متقابل راسی زاویوں کے اور بھی جوڑے ہیں ؟ہم دیکھ سکتے ہیں کہ کل چار متقابل راسی زاویوں کے جوڑے ہیں اور ہر جوڑے میں زاویے ایک دوسرے کے مساوی ہیں۔

اس طرح جب ایک خط قاطع دو خطوط کو قطع کرتا ہے تو یہ آٹھ زاویے بناتا ہے جس میں زیادہ سے زیادہ چار ہی زاویے ایسے ہوتے ہیں جن کی پیمائش ایک دوسرے سے الگ ہوتی ہے ۔

5.6 نظیری زاویے (Corresponding Angles)

شکل 5.14میں ہم دیکھتے ہیں کہ خط قاطع t زاویوں کے دو جوڑے بناتا ہے— ایک خطlکے ساتھ اور دوسرا خط mکے ساتھ۔پہلے سیٹ کے کچھ زاویے دوسرے سیٹ کے کچھ زاویوں کے ساتھ اپنے مقام کی بنیا د پر مطابقت رکھتے ہیں۔ 1∠اور5∠ کو نظیری زاویےکہا جاتا ہے ۔اسی طرح 2∠اور6∠، 3∠اور7∠، 4∠اور8∠ نظیری زاویے ہیں جو خط قاطعtکے خطوطl اور m کوقطع کرنے سے بنتے ہیں ۔

سرگرمی 3

خطوط کا ایک جوڑااور ایک خط قاطع اس طرح کھینچیے کہ دو مختلف زاویے بن جائیں ۔

مرحلہ 1 : ایک خطlکھینچیے اس پر ایک خط قاطعtکھینچیے جو اسے نقطہXپر قطع کرے ۔

مرحلہ 2 : خطوطtاورlسے بننے والے a∠کی پیمائش کیجیے (فرض کیجیے یہ60°ہے)۔

اب کتنے مختلف زاویے بنے ؟

اگر ایک زاویہ60°ہے، تو اس کے خطی جوڑے (Linear pairs)کا دوسرا زاویہ120°ہونا چاہیے ۔ اس طرح ہمارے پاس دو مختلف زاویے ہو ہی گئے ۔

اور جب ہم خط قاطع t کو قطع کرنے والا ایک اور خط کھینچتے ہیں تو صرف دو زاویوں کوبنانا چاہتے ہیں° 60اور120º۔

مرحلہ 3: خط t پر ایک نقطہY نشان زد کیجیے ۔

مرحلہ 4 : نقطہY سے گزرتےہوئے ایک خط mکھینچیے جو خطt پر60°کا زاویہ بناتا ہو۔ اسے آپ یا تو aکو ٹریسنگ پیپر (Tracing Paper)سے نقل کرکے یا چاندہ سے زاویوں کی پیمائش کرکے بنا سکتے ہیں۔

خطوطl اورm کے متعلق آپ کا کیا مشاہدہ ہے ؟ کیا دونوں ایک دوسرے کے متوازی معلوم ہوتے ہیں ؟

جی ہاں ،یہ ایک دوسرے کے متوازی نظر آتے ہیں۔

زاویے a∠اورb∠خط قاطع t کے ذریعے خطوطl اور m پر بننے والے نظیری زاویے ہیں ۔یہ نظیری زاویے ایک دوسرے کے مساوی ہیں ۔

اس سے ہم دیکھ سکتے ہیں کہ :

فرض کیجیے، ہمارے پاس ایک خط قاطع ہے جو دو متوازی خطوط کو قطع کرتا ہے ۔ تو ان کے نظیری زاویوں کے متعلق کیا کہا جاسکتا ہے؟

سرگرمی4

شکل 5.19 میں دو متوازی خطوطl اور m دیے گئے ہیں( شکل میں کون سی علامات ان کے متوازی ہونے کو ظاہر کرتی ہے؟)۔ خطt ان دو خطوں کا خط قاطع ہے ۔a∠اورb∠نظیری زاویے ہیں ۔ایک ٹریسنگ پیپر پرa∠کو نقل کیجیے ۔پھر اسے b∠ کے اوپر رکھیے اور دیکھیے کہ کیا دونوں زاویے بالکل ایک جیسے ہیں ۔ آپ دیکھیں گے کہ زاو یے بالکل ملتے ہیں ۔چاندہ کا استعمال کرتے ہوئے شکل میں موجود دیگر نظیری زاویوں کی جانچ کیجیے ۔کیا تمام نظیری زاویے ایک دوسرے کے مساوی ہیں ؟

سرگرمی 5

شکل 5.20میں خطوط l اور m پر خط قاطع t اس طرح کھینچیے کہ نظیری زاویوں کا کم ازکم ایک جوڑا مساوی ہو۔آپ ان جوڑوں کی پیمائش چاندہ کی مدد سے کرسکتے ہیں ۔

کیاآپ کو ایسا خط قاطع کھینچنا مشکل لگ رہا ہے جس کے نظیری زاویے مساوی ہوں ؟

5.7 متوازی خطوط کھینچنا

کیا آپ پیمانہ اور ایک سیٹ اسکوائرکی مدد سے متوازی خطوط کا ایک جوڑا بنا سکتے ہیں ؟

شکل 5.21 میں دکھایا گیا ہے کہ آپ یہ کیسے کرسکتے ہیں ۔

پیمانہ سے ایک خطl کھینچیے ۔ سیٹ اسکوائر کو سرکاتے ہوئے آپ خطl پر دو عمودی خطوط کھینچ سکتے ہیں ۔

کیا یہ دونوں خطوط ایک دوسرےکے متوازی ہیں ؟ہم کیسے یقین کریں کہ یہ متوازی ہیں ؟ ان دونوں خطوط اور خط l کے درمیان بننے والے زاویے کون سے ہیں ؟

چوں کہ ہم نے سیٹ اسکوائر استعمال کیا تھا ،اس لیے زاویوں کی پیمائش 90°ہے ۔خطوط کے مقام مختلف ہیں لیکن وہ خط l پر یکساں زاویہ بنا رہے ہیں ۔اگر خط l کو دو نئے خطوط کے لیےخط قاطع کے طور پر دیکھا جائے، تو نظیری زاویوں کی پیمائش90°ہوگی۔

جیسا کہ ہم جانتے ہیں کہ یہ نظیری زاویے ہیں اور مساوی ہیں ،ہم یقین سے کہہ سکتے ہیں کہ یہ خطوط متوازی ہیں ۔

سیٹ اسکوائر کی لمبائی کا استعمال کرتے ہوئے دو مزید متوازی خطوط کھینچیے ،جیسا کہ شکل 5.22 میں دکھایا گیا ہے ۔

آپ کو کیسے معلوم ہوا کہ یہ دونوں خطوط متوازی ہیں ؟ کیا آپ جانچ کرسکتے ہیں کہ نظیری زاویے مساوی ہیں ؟

معلوم کیجیے

کیا آپl کے متوازی ایک ایسا خط کھینچ سکتے ہیں جو نقطہ A سے گزرے ؟ آپ اپنے جیومیٹری باکس کے آلات کی مدد سے یہ کیسے کریں گے ؟اپنا طریقہ بیان کیجیے ۔

کاغذ کو موڑ کر متوازی خطوط بنانا

آئیے اس عمل کے لیےکا غذ کو موڑ کر انجام دینے کی کوشش کرتے ہیں ۔ایک خطl کے لیے (جو ایک تہہ کے طور پر دیا گیا ہے ) ہمl کے متوازی ایک ایسا خط کیسے بنائیں گے جو نقطہAسے گزرے ؟

ہم جانتے ہیں کہ کاغذ کو موڑ کر خطl پر عمودی خط کیسے بناتے ہیں ۔اب کوشش کرکے خطl پر ایک عمودی خط ایسا موڑیے جو نقطہA سےگزرے۔ اس نئی تہہ کوt کا نام دیتے ہیں ۔

اب ایک اور خط موڑیے جوt پرعمودی ہو اور دوبارہ نقطہAسے گزرے ۔اس خط کوmفرض کر لیتے ہیں ۔ اب خطوطl اور m ایک دوسرے کے متوازی ہیں ۔

خطوطlاورm ایک دوسرے کے متوازی کیوں ہیں ؟

5.8 متبادل زاویے(Alternate Angles)

شکل5.25میں d∠کوf∠کا متبادل زاویہ کہا جاتا ہے اور c∠کو e∠کا متبادل زاویہ کہتے ہیں۔

آپ کسی دیے گئے زاویے مثلاً f∠کا متبادل زاویہ اس طرح معلوم کر سکتے ہیں کہ پہلے f∠کا نظیری زاویہ معلوم کیجیے جو کہb∠ہے اور پھرb∠کا متقابل راسی زاویہ معلوم کیجیے جو کہd∠ہے۔

سرگرمی 6

شکل 5.25میں اگر f∠کی پیمائش 120°ہے، تو اس کے متبادل زاویہ d∠کی پیمائش کیا ہے ؟

اگر ہمیں b∠کی پیمائش معلوم ہو تو ہم d∠ کی پیمائش پتہ کر سکتے ہیں کیوں کہ یہ متقابل راسی زاویہ ہیں ۔یا د رکھیے متقابل راسی زاویہ مساوی ہوتے ہیں ۔

b∠کی پیمائش کیا ہے ؟ یہ 120° ہےکیوں کہ یہ f∠کا نظیری زاویہ ہے ۔

اس لیے d∠ کی پیمائش بھی 120°ہے۔

درحقیقت f =∠b∠ چاہےf∠کی پیمائش کچھ بھی ہو ۔کیوں؟کیوں کہf،∠b∠ کا نظیری زاویہ ہے۔

اسی طرح، b =∠d∠چاہےb∠کی پیمائش کچھ بھی ہو۔کیوں؟ کیوں کہ b،∠d∠کا متقابل راسی زاویہ ہے۔ اس لیے ہمیشہ یہ ہوگا

f =∠d∠

ہم نے بغیرپیمائش کے صرف نظیری زاویوں کی سمجھ سے یہ ثابت کیا ہے کہ متبادل زاویے ہمیشہ مساوی ہوتے ہیں ۔

مثال 1 : شکل 5.26 میں ،متوازی خطوطlاورmکوخط قاطع t سے قطع کیا گیا ہے ۔اگرہے تو، دیگر زاوویوں کی پیمائش کیا ہوگی؟

حل : 6∠کی پیمائش 135°ہے ، اس لیے2∠بھی 135ºہے،کیوں کہ یہ 6∠کا نظیری زاویہ ہے اور خطوط l اور m متوازی ہیں ۔

8∠کی پیمائش 135°ہے ،کیوں کہ یہ6∠کا متقابل راسی زاویہ ہے۔ 4∠کی پیمائش135ºہے کیوں کہ یہ8∠کا نظیری زاویہ ہے ۔

2∠کی پیمائش135ºہے کیوں کہ یہ4∠کا متقابل راسی زاویہ ہے ۔ اس لیے 6∠,4∠,2∠ اور 8∠سب کے سب 135ºہیں۔

5∠ اور6∠ ایک خطی جوڑا ہیں ،جو مل کر 180ºبناتے ہیں ۔اگر 6∠ 135ºہے پھر ،

∠5 = 180 – 135 = 45°

اسی طرح ہم یہ بھی معلوم کرسکتے ہیں 1∠، 3∠ اور 7∠کی پیمائش بھی معلوم کرسکتے ہیں جو کہ 45ºہے۔

مثال2: شکل 5.27 میں خطوطl اورm خط قاطع t سے قطع ہورہے ہیں ۔اگر a∠کی پیمائش120° ہے اور، تو کیا خطوط l اورm ایک دوسرے کے متوازی ہیں ؟

حل : 2∠کی پیمائش135ºہے،اس لیےb∠ کی پیمائش 60ºہوگی ۔کیوں کہa∠اورb∠ خطی جوڑا ہیں۔f،∠b∠کا نظیری زاویہ ہے ۔اگر خطوط l اور m متوازی ہوں توb∠ کو f∠ کے مساوی ہونا چاہیے ، لیکن یہ مساوی نہیں ہیں ۔