6

متوازی اور متقاطع خطوط
(PARALLEL AND INTERSECTING LINES)

6.1 اعداد ہمیں کچھ بتاتے ہیں

• نیچے دی گئی شکل میں موجود اعداد ہمیں کیا بتاتے ہیں؟

ریاضی کی گریڈ 6 کی کتاب میں دیے گئے بچوں کو یاد کیجیے۔ اب وہ ایک مختلف قاعدے کے تحت اعداد بتارہے ہیں۔

• آپ کے خیال میں ان اعداد کا کیا مطلب ہے؟

بچے خود اپنی ترتیب بدلتے ہیں اور ہر بچہ نئی ترتیب کے مطابق ایک عدد بولتا ہے۔

•کیا آپ معلوم کر سکتے ہیں کہ یہ اعداد کیا ظاہر کرتے ہیں؟ غور سے دیکھیے اور جاننے کی کوشش کیجیے۔ ؟

قاعدہ یہ ہے۔ ہر بچہ اپنے آگے کھڑے خود سے لمبے بچوں کی تعداد بتاتا ہے۔ دونوں ترتیبوں میں دیکھیے کہ کیا ہر بچے کے ذریعے بتایا گیا عدد اس قاعدے کے مطابق ہے۔

•نیچے دی گئی ترتیب میں، اس قاعدے کے تحت ہر بچے کو کون ساعد د بتانا چاہیے، سوچ کر لکھیے۔

•معلوم کیجیے/

1 کتاب کے آخر میں دیے گئے اسٹک تصاویر کے تراشے کو اس طرح ترتیب دیجیے یا قد کے لحاظ سے ایسی ترتیب بنائیے کہ اس سلسلے کو یوں پڑھا جا سکے :

(a) 0, 1, 1, 2, 4, 1, 5
(b) 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0
(c) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
(d) 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0
(e) 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1
(f) 0, 0, 0, 3, 3, 3, 3

2 نیچے دیے گئے ہر بیان کے بارے میں سوچیے اور بتائیے کہ کیا یہ ہمیشہ درست ہے، کبھی کبھی درست ہے، یا کبھی بھی درست نہیں ہے؟ اپنی دلیل بھی بیان کیجیے۔

(a) اگر کوئی شخص ' کہے، تو وہ گروپ میں سب سے لمبا ہے۔
(b) اگر کوئی شخص سب سے لمبا ہو ، تو اس کا عدد 0‘ ہو گا۔
(c) ہے۔ شخص کا عدد 0
(d) اگر کوئی شخص قطار میں نہ تو سب سے آگے کھڑا ہے اور نہ ہی سب سے آخر میں، ( درمیان میں کھڑا ہو )، تو وہ ' نہیں کہہ سکتا۔
(e) جو شخص سب سے بڑا عدد کہے، وہ سب سے چھوٹا ہو گا۔
(f) آٹھ افراد کے گروپ میں سب سے بڑا ممکنہ عدد کیا ہو سکتا ہے؟

(Picking Parity) 6.2 طاق و جفت چننا

کشور کے پاس کچھ عددی کارڈ ہیں اور وہ ایک پہیلی حل کر رہا ہے۔ 5 ڈبے ہیں اور ہر ڈبے میں صرف 1 نمبر کارڈ ہونا چاہیے۔

ڈبوں میں موجود تمام اعداد کا مجموعہ 30 ہونا چاہیے۔ کیا آپ کوئی ایسا طریقہ تلاش کرنے میں اس کی مدد کر سکتے ہیں؟

کیا آپ معلوم کر سکتے ہیں کہ کون سے 5 کارڈوں کا مجموعہ 30 بنتا ہے؟ کیا ممکن ہے؟

اس مجموعے میں سے 5 کارڈ چننے کے کئی طریقے ہیں۔

کیا ایسا کوئی طریقہ ہے جس سے تمام امکانات کو آزمائے بغیر حل نکالا جا سکے؟

آئیے معلوم کرتے ہیں۔

•چند جفت اعداد کو جوڑیے۔ آپ کو کس قسم کا عدد حاصل ہوتا ہے؟ کیا اس بات سے فرق پڑتا ہے کہ کتنے اعداد کو جوڑا گیا ہے؟

کوئی بھی جفت عدد جوڑوں میں ترتیب دیا جاسکتا ہے اور کوئی بھی اکیلا عدد باقی نہیں بچتا۔ یہاں کچھ جفت اعداد دکھائے

گئے ہیں جو جوڑوں کی صورت میں ترتیب دیے گئے ہیں۔

جیسا کہ ہم شکل میں دیکھ رہے ہیں، کسی بھی جفت اعداد کو جوڑنے پر ان کا حاصل جمع ایسا عدد آئے گا جسے بغیر کسی بچے ہوئے حصے کے جوڑوں میں ترتیب دیا جاسکتا ہے دوسرے الفاظ میں، ان کا حاصل جمع ہمیشہ جفت عدد ہی ہو گا۔ ۔

اب چند طاق اعداد کو جوڑیے۔ آپ کو کس قسم کا عدد حاصل ہوتا ہے ؟ کیا اس بات سے فرق پڑتا ہے کہ کتنے طاق -اعداد کو جوڑا گیا ہے؟

طاق اعداد کو مکمل طور پر جوڑوں میں ترتیب نہیں دیا جا سکتا ہے۔ ایک طاق عدد ہمیشہ کسی جوڑے کے مجموعے سے ایک زیادہ ہوتا ہے۔ ذیل میں کچھ طاق اعداد دکھائے گئے ہیں:

کیا ہم طاق عدد کو ایسے بھی سوچ سکتے ہیں کہ یہ جوڑوں کے مجموعے سے ایک کم ہوتا ہے؟

شکل دکھاتی ہے کہ دو طاق اعداد کا حاصل جمع ہمیشہ جفت عدد ہوتا ہے! یہ اور یہاں دی گئی دیگر شکلیں بھی اس بات کو ثابت کرتی ہیں!

•3 طاق اعداد کو جوڑنے کے بارے میں آپ کا کیا خیال ہے؟ کیا ان کا حاصل جمع جو ڑا بنا کر ترتیب دیا جا سکتا ہے؟ نہیں۔

• معلوم کیجیے کہ (a) 4 طاق اعداد (b) 5 طاق اعداد ، اور (C) 6 طاق اعداد کو جوڑنے پر کیا ہوتا ہے۔

آئیے اُس پہیلی کی طرف واپس چلتے ہیں جسے کشور حل کرنے کی کوشش کر رہا تھا۔ وہاں 5 خالی ڈتے ہیں۔ یعنی اُس کے پاس طاق اعداد میں ڈبے ہیں۔ تمام عددی کارڈوں پر طاق اعداد لکھے ہیں۔

ان کا حاصل جمع 30 ہونا چاہیے، جو کہ ایک جفت عدد ہے۔ چوں کہ 5 طاق اعداد کو جمع کرنے سے کبھی بھی جفت عدد حاصل نہیں ہو سکتا، اس لیے کشور ان کارڈوں کو ڈبوں میں اس طرح ترتیب نہیں دے سکتا کہ ان کا حاصل جمع 30 ہو۔

•دو بہن بھائی ، مارٹن اور ماریا، ایک سال کے فرق سے پیدا ہوئے۔ آج وہ اپنی سال گرہ منا رہے ہیں۔ ماریا کا کہنا ہے کہ ان کی عمروں کا مجموعہ 112 ہے۔ کیا ممکن ہے؟ اگر ہاں تو کیوں اور نہیں تو کیوں نہیں؟

چوں کہ وہ ایک سال کے فرق سے پیدا ہوئے ہیں، اس لیے ان کی عمر میں دو متواتر اعداد ہونے چاہیے۔ کیا ان کی عمریں 51 اور 52 ہو سکتی ہیں؟ 103-52+51 کچھ اور متواتر اعداد کو آزمائیے اور دیکھیے کہ کیا ان کا حاصل جمع 112 ہے۔

گنتی کے اعداد ...14 متبادل جفت اور طاق کی ترتیب میں ہوتے ہیں کسی بھی دو لگا تار آنے والے اعداد میں، ایک عدد ہمیشہ جفت اور دوسرا طاق ہوتا ہے!

ایک جفت اور ایک طاق عدد کا حاصل جمع کیا ہو گا؟ ہم دیکھ سکتے ہیں کہ ان کا حاصل جمع جوڑوں کی صورت میں ترتیب نہیں دیا جا سکتا، اس لیے وہ عدد ہمیشہ طاق ہو گا۔

چوں کہ 112 ایک جفت عدد ہے اور مارٹن اور ماریا کی عمرمیں لگا تار آنے والے اعداد ہیں، لہذا ان کا حاصل جمع کبھی بھی 112 نہیں ہو سکتا۔

ہم پیریٹی (Parity) کا لفظ کسی عدد کے طاق یا جفت ہونے کی خصوصیت کو ظاہر کرنے کے لیے استعمال کرتے ہیں۔ مثال کے طور پر، دو متواتر اعداد کا حاصل جمع ہمیشہ طاق عدد ہوتا ہے۔ اسی طرح دو طاق اعداد کے مجموعے کی پیریٹی ہمیشہ جفت ہوتی ہے۔

• معلوم کیجیے

1 اپنی طاق اور جفت اعداد کی تصویری وضاحت کی سمجھ کو استعمال کرتے ہوئے ، درج ذیل مجموعوں کی پیریٹی معلوم کیجیے :

(a) جفت اعداد اور 2 طاق اعداد کا حاصل جمع مثلاً ( جفت + جفت + طاق + طاق)
(b) 2 طاق اعداد اور 3 جفت اعداد کا حاصل جمع
(c) 5 جفت اعداد کا حاصل جمع
(d) 8 طاق اعداد کا حاصل جمع

2 کپا کی گلک میں 21 کے سکے طاق تعداد میں ہیں، 5 کے سکے بھی طاق تعداد میں ہیں، اور 10 کے سکے جفت تعداد میں ہیں۔ اس کے حساب سے اس کے پاس کل رقم 205 ہے۔ کیا اس سے کوئی غلطی ہوئی؟ اگر ہاں تو سمجھائیے کیوں؟ اگر نہیں، تو ہرقسم کے کتنے سکے ہو سکتے ہیں؟

3 ہم جانتے ہیں کہ :

(a) جفت + جفت =جفت
(b) طاق + طاق=جفت
(c) جفت + طاق = طاق

اسی طرح، مندرجہ ذیل صورتوں میں پیریٹی ( طاق اور جفت ہونا) معلوم کیجیے :

•گرڈ میں چھوٹے مربع ؟

ایک 3×3 کے گرڈ میں 9 چھوٹے مربع ہوتے ہیں، جو کہ ایک طاق عدد ہے۔

دوسری طرف ایک 4×3 کے گرڈ میں 12 چھوٹے مربع ہوتے ہیں، جو کہ ایک جفت عدد ہے۔

•اگر آپ کو کسی ایک گرڈ کی لمبائی اور چوڑائی دی جائے، تو کیا آپ ضرب کیے بغیر یہ بتا سکتے ہیں کہ چھوٹے مربعوں کی تعداد طاق ہو گی یا جفت؟

•مندرجہ ذیل گرڈ میں چھوٹے خانوں کی تعداد کی پیر بیٹی بتائیے : ؟

(a) 27 × 13
(b) 42 x 78
(c) 135×654

ریاضیاتی عبارات کی پیریٹی

الجبر یائی عبارت 4 + 3n پر غور کیجیے۔ کی مختلف قدروں کے لیے اس عبارت کی پیر بیٹی مختلف ہو گی۔

قدر کی پیریٹی	3+4 کی قدر	n
طاق	13	3
جفت	28	8
جفت	34	10

• ایسی کوئی الجبر یائی عبارت بتائیے جو ہمیشہ جفت پیر بیٹی رکھتی ہو۔

چند مثالیں: 100p اور 2-48w۔ ایسی مزید عبارتیں تلاش کیجیے۔

• ایسی عبارتیں بتائیے جو ہمیشہ طاق پیر سٹی رکھتی ہوں۔

•کچھ 4 + 32 جیسی عبارات بتائیے جن کی پیر بیٹی کبھی طاق اور کبھی جفت ہو سکتی ہے۔

•عبارت 62 کی قدریں 28,14,20 ہوتی ہیں جب .... = کے لیے ) ۔ اس میں کئی جفت عدد موجود نہیں ہیں۔

• کیا ایسی کوئی عبارت ہے جس سے ہم تمام جفت اعداد کی فہرست بناسکیں؟

اشارہ: تمام جفت اعداد میں 2 ایک جزو ضربی (Factor) ہوتا ہے۔

• کیا ایسی کوئی عبارت ہو سکتی ہے جس سے ہم تمام طاق اعداد کی فہرست بناسکیں؟

ہم نے پہلے یہ دیکھا تھا کہ 4 کے اضعاف کے سلسلے کی ہواں رکن کو کس طرح لکھا جا سکتا ہے، جہاں n وہ حرفی عدد ہے جو سلسلے میں کسی جگہ کو ظاہر کرتا ہے (مثلاً: پہلا، تیئسواں، سوواں، ستر ہواں وغیرہ)۔

•2 کے اضعاف کے لیے nواں رکن کیا ہو گا؟ یا n واں جفت عدد کیا ہو گا؟

آیئے طاق اعداد پر غور کرتے ہیں۔

سوواں طاق عدد کیا ہو گا ؟

اس کا جواب دینے کے لیے، درج ذیل سوال پر غور کیجیے:

•سووال جفت عدد کیا ہو گا؟

2 * 100 = 200 یہ

کیا یہ طریقہ سوویں طاق عدد کو تلاش کرنے میں مدد گار ہے ؟ آئیے جفت اور طاق اعداد کی ترتیب کا ایک ایک کر کے موازنہ

کرتے ہیں:

2 angle 4/6 < 8 < 10 < 12 ..... جت اعداد

1،3،5،7، 9 ، 11.... : طاق اعداد

ہم دیکھتے ہیں کہ ہر مقام پر طاق عددی سلسلے کی قدر ، جفت عددی سلسلے کی قدر سے ایک کم ہوتی ہے۔ لہذا، سوواں طاق عدد 199 = 1 - 200 ہے۔

• n ویں طاق عدد تلاش کرنے کا فارمولا لکھیے۔

پہلے ہم وہ طریقہ بیان کرتے ہیں جو ہم نے کسی مقام پر طاق عدد تلاس کرنے کے لیے سیکھا ہے : a) اس مقام پر موجود جفت عدد تلاش کیجیے۔ یہ عدد اس مقام کا دو گنا ہو گا۔ (

(b) پھر اس جفت عدد میں سے 1 گھٹائیے۔

(a) 2n (b) 2n - 1

لہذا ، n واں جفت عدد کا فارمولا 2n ہے اور n واں طاق عدد کا فارمولا 1 - 2n ہے۔

6.3 گرڈ کے کچھ مشاہدات

اس 3 × 3 کے گرڈ کو غور سے دیکھیے۔ اسے ایک سادہ اصول کے تحت بھرا گیا ہے۔

یعنی 1 سے 9 تک کے اعداد کو استعمال کیا گیا ہے اور کوئی بھی عدد دوہرایا نہیں گیا ہے۔ گرڈ کے باہر کچھ گول دائروں میں اعداد بھی موجود ہیں۔

•کیا آپ اندازہ لگا سکتے ہیں کہ یہ دائرے میں لکھے گئے اعداد کیا دکھارہے ہیں؟ ؟

پہلے دائرے میں موجود اعداد، متعلقہ قطاروں اور کالموں کی حاصل جمع کو ظاہر کرتے ہیں۔

نیچے دیے گئے گرڈوں کو اسی اصول کے مطابق بھریے:

• اس طرح کے سوالات خود سے بنائیے اور اپنے دوستوں کو پیج کیجیے۔

نیچے دیے گئے سوال کو حل کرنے کی کوشش کیجیے۔

•آپ نے محسوس کیا ہو گا کہ اس گرڈ کا حل نکالنا ممکن نہیں ہے۔ ایسا کیوں ہے؟ ؟

ممکنہ سب سے چھوٹا مجموعہ 6 = 1 + 2 + 3 ہے۔ ممکنہ سب سے بڑا مجموعہ

سے لم یا 24 سے زیادہ ہے کہ دائرے میں موجود عدد 6 24 = 9 + 8 + 7 ہے۔ ظاہر

نہیں ہو سکتا۔ لیکن اس گرڈ میں جو مجموعے دیے گئے ہیں وہ 5 اور 26 ہیں۔ لہذا، یہ = ممکن ہی نہیں ہے !

پہلے حل کی گئی گرڈوں میں، کشور نے یہ دیکھا کہ دائروں میں موجود تمام اعداد کا حاصل جمع ہمیشہ 90 ہے۔ اسی طرح، ودیا نے دیکھا کہ تینوں قطاروں یا تینوں کالموں کے دائرے والے اعداد کا حاصل جمع ہمیشہ 45 ہے۔ پہلے حل کی گئی گرڈوں میں دیکھیے کہ آیا یہ بات درست ہے یا نہیں۔ 3 قطار کریں تو کے جوتے مجموع

•قطاروں کا حاصل جمع یا کالموں کا حاصل جمع 45 کیوں ہونا چاہیے؟ ؟

اس گرڈ سے ہم دیکھ سکتے ہیں کہ تمام قطاروں کے حاصل جمع کو آپس میں جوڑنے سے وہی حاصل ہو گا جو 1 سے 9 تک کے اعداد کا مجموعہ ہے۔ یہی بات کالموں کے حاصل جمع پر بھی لاگو ہوتی ہے۔ 1 سے 9 تک کے اعداد کا حاصل جمع ہے

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45

اعداد کی ایک ایسی چوکور گرڈ کو جادوئی مربع (Magic Square) کہتے ہیں اگر ہر قطار ، ہر کالم، اور ہر وتر (Diagonal) کا حاصل جمع ایک ہی عدد ہو۔ اس عدد کو جادوئی مجموعہ (Magic Sum) کہا جاتا ہے۔ وتروں کو تصویر میں دکھایا گیا ہے۔

کرڈ کو اعداد سے بھر کر ایک جادوئی مربع بنانے کی کوشش کرنا مشکل ہو سکتا ہے! اس کی وجہ یہ ہے کہ 1 سے 9 تک کے اعداد کو بغیر دہرائے ہوئے گرڈ میں بھرنے کے بہت سے ممکنہ طریقے ہیں۔ در حقیقت، یہ پایا گیا ہے کہ ایسے کل 3،62،880 طریقے موجود ہیں۔ حیرت انگیز بات یہ ہے کہ ان تمام طریقوں کو فہرست میں لائے بغیر بھی ان کی تعداد معلوم کی جاسکتی ہے۔ ہم آئندہ سالوں میں سیکھیں گے کہ یہ کیسے کیا جاتا ہے۔ 3 * 3

ہمیں جادوئی مربع بنانے کے لیے منظم طریقے سے آگے بڑھنا چاہیے۔ اس کے لیے آئیے ہم خود سے کچھ سوالات کرتے ہیں۔

1. جادوئی مجموعہ کیا ہو سکتا ہے؟ کیا یہ کوئی بھی عدد ہو سکتا ہے ؟

آئیے پہلے صرف قطاروں کے حاصل جمع پر توجہ دیتے ہیں۔ ہم دیکھ چکے ہیں کہ 3 × 3 کے گرڈ میں، جس میں 1 سے 9 تک کے اعداد ہوں، قطاروں کے اعداد کا حاصل جمع ہمیشہ 45 ہوتا ہے۔ چوں کہ ایک جادوئی مربع میں تمام قطاروں کے حاصل جمع برابر ہوتے ہیں اور ان سب کا حاصل جمع 45 ہوتا ہے، لہذا ہر قطار کا حاصل جمع 15 ہونا چاہیے۔ چنانچہ، ہمیں درج ذیل مشاہدہ حاصل ہوتا ہے۔

مشاہدہ 1 : 1 سے 9 تک کے اعداد سے بنے جادوئی مربع میں جادوئی مجموعہ لازمی طور پر 15 ہونا چاہیے۔

2 جادوئی مربع کے مرکز میں کون سے ممکنہ اعداد آسکتے ہیں؟ آئیے ایک ایک کر کے امکانات پر غور کرتے ہیں۔ کیا مرکز میں 9 آسکتا ہے؟ اگر ہاں، تو پھر 8 کو دوسرے کسی خانے میں آنا ہو گا۔

بطور مثال پر ، اس صورت میں ہمیں یہ دیکھنا ہو گا 15 = کوئی اور عدد + 9 +8 لیکن ممکن نہیں ! چاہے ہم 8 کو کہیں بھی رکھیں، یہی مسئلہ پیش آئے گا۔

لہذا، 9 مرکز میں نہیں آسکتا۔ کیا مرکز میں 1 آسکتا ہے؟

اگر ہاں، تو پھر 2 کو کسی دوسرے خانے میں آنا ہو گا۔

اس صورت میں ہمیں یہ دیکھنا ہو گا 15 = کوئی اور عدد + 1 + 2 لیکن ممکن نہیں، کیوں کہ ہم صرف 1 سے 9 تک کے اعداد استعمال کر رہے

ہیں۔ یہی مسئلہ ہر بار پیش آئے گا، چاہے ہم 1 کو کہیں بھی رکھیں۔

لہذا، 1 بھی مرکز میں نہیں آسکتا۔

اس صورت میں ہمیں یہ دیکھنا ہو گا 15 = کوئی اور عدد + 1 + 2 لیکن ممکن نہیں، کیوں کہ ہم صرف 1 سے 9 تک کے اعداد استعمال کر رہے ہیں۔ یہی مسئلہ ہر بار پیش آئے گا، چاہے ہم 1 کو کہیں بھی رکھیں۔

لہذا، 1 بھی مرکز میں نہیں آسکتا۔

لہذا، 1 بھی مرکز میں نہیں آسکتا۔ ؟ اس طرح کی دلیل کو استعمال کرتے ہوئے معلوم کیجیے کہ 1 سے 9 کے بیچ میں آنے والے اور کون سے دوسرے اعداد مرکز میں نہیں آسکتے۔ یہ تلاش ہمیں ایک دل چسپ نتیجے تک لے جائے گی۔

مشاہدہ 2: 1 سے 9 تک کے اعداد سے بھرے گئے جادوئی مربع کے مرکز میں آنے والا عد د لازمی طور پر 5 ہونا چاہیے۔

اب آیئے دیکھتے ہیں کہ سب سے چھوٹا عدد 1 اور سب سے بڑا عدد 9 جادوئی مربع میں کہاں آسکتے ہیں۔ ہمارا دوسرا مشاہدہ ہمیں بتاتا ہے کہ یہ اعداد لازمی طور پر بیرونی خانوں میں ہی آسکتے ہیں۔ آئیے ان خانوں کو دو زمروں میں تقسیم کرتے ہیں:

کیا 1 کسی کونے والے خانے میں آسکتا ہے؟ مثال کے طور پر، کیا اسے اس طرح رکھا جا سکتا ہے؟

طرح رکھا جا سکتا ہے؟ ؟ اگر ہاں، تو پھر 1 کو دو اور اعداد کے ساتھ ملا کر 15 حاصل کرنے کے تین طریقے موجود ہونے چاہیے۔ ہمارے پاس ہے:

کیا کوئی اور مجموع ممکن ہے؟ 1 + 5 + 9 = 1 + 6 + 8 = 15 deg

اسی طرح کیا 9 کو کسی کونے میں رکھا جا سکتا ہے؟

مشاہدہ 3: اعداد 1 اور 9 کسی بھی کونے میں نہیں آسکتے، لہذا وہ لازمی طور پر درمیان کے خانوں میں آئیں گے۔

؟ کیا آپ 1 اور 9 کے دیگر ممکنہ مقامات تلاش کر سکتے ہیں

اب، ہمارے پاس جادوئی مربع کی ایک مکمل قطار یا کالم ہے!

اب اسے معمل کرنے کی کوشش کیجیے!

اشارہ: پہلے اُن قطاروں یا کالموں کو بھر یے جن میں 1 اور 9 شامل ہیں]

اشارہ: پہلے اُن قطاروں یا کالموں کو بھر یے جن میں 1 اور 9 شامل ہیں]

معلوم کیجیے

1. 1 سے 9 تک کے اعداد کو استعمال کرتے ہوئے کتنے مختلف جادوئی مربع بنائے جا سکتے ہیں؟

2 2 سے 10 تک کے اعداد کو استعمال کرتے ہوئے ایک جادوئی مربع بنائیے۔ اس کے لیے آپ کون سا طریقہ

استعمال کریں گے؟ اسے 1 سے 9 والے جادوئی مربع سے موازنہ کر کے دیکھیے۔

3 ایک جادوئی مربع لیجیے اور

ہر عدد میں 1 کا اضافہ کیجیے۔ (a)

(b) ہر عدد کو دو گنا کیجیے۔

ان دونوں صورتوں میں، کیا حاصل شدہ گرڈ بھی جادوئی مربع کہلائے گی؟ ہر صورت میں جادوئی مجموعے میں کیا تبدیلی آئے گی؟

جادوئی مربع پر اور کون سے عمل کیے جاسکتے ہیں تاکہ ہمیں کوئی دوسرا جادوئی مربع حاصل ہو ؟ 4.

5 لگا تار آنے والے اعداد ( مثلاً 17-11-10-2 وغیرہ) کو استعمال کرتے ہوئے جادوئی مربع بنا۔

5 لگا تار آنے والے اعداد ( مثلاً 17-11-10-2 وغیرہ) کو استعمال کرتے ہوئے جادوئی مربع بنا۔

3×3 کے جادوئی مربع کا عمومی تصور

ہم یہ بتا سکتے ہیں کہ جادوئی مربع کے اعداد کا آپس میں کیا تعلق ہے، یعنی جادوئی مربع کی ساخت بیان کر سکتے ہیں۔

؟ اب تک آپ نے لگا تار آنے والے اعداد سے جتنے بھی جادوئی مربع بنائے ہیں، ان میں سے کسی ایک کو منتخب کیجیے۔ اگر اس عدد کو ظاہر کرے جو مربع کے بیچ میں ہے ، تو معلوم کیجیے کہ باقی اعداد m سے کتنے زیادہ یا کم ہیں اور وہ m سے کس طرح متعلق ہیں۔

اشارہ: یاد کیجیے ہم نے الجبر یائی عبارات والے باب میں کس طرح کیلنڈر مہینے کے 2×2 گرڈ کو

بیان کیا تھا۔]

جب آپ عمومی صورت تیار کر لیجیے، تو اپنے مشاہدات پوری جماعت کو بتائیے۔

• معلوم کیجیے

1 . اس عمومی صورت کو استعمال کرتے ہوئے ، ایک جادوئی مربع بنائیے جس میں مرکز کا عدد 25 ہو۔

2. کسی بھی قطار ، کالم یا وتر کے تین ارکان کو جمع کرنے سے حاصل ہونے والی عبارت کیا ہے؟

2. کسی بھی قطار ، کالم یا وتر کے تین ارکان کو جمع کرنے سے حاصل ہونے والی عبارت کیا ہے؟ 3. درج ذیل کے حاصل شدہ نتائج لکھیے اگر

(a) عمومی صورت کے ہر عدد میں 1 کا اضافہ کر دیا جائے۔ (b) عمومی صورت کے ہر عدد کو دو گنا کر دیا جائے

(b) عمومی صورت کے ہر عدد کو دو گنا کر دیا جائے۔ 4. ایک ایسا جادوئی مربع بنائیے جس کا جادوئی مجموعہ 60 ہو۔

4. ایک ایسا جادوئی مربع بنائیے جس کا جادوئی مجموعہ 60 ہو۔

5. کیا نو غیر متواتر اعداد سے جادوئی مربع بنانا ممکن ہے؟

سب سے پہلا 4 × 4 کا جادوئی مربع m کوشش عدد کا کھیل سب سے پہلا ریکارڈ شدہ 4×4 کا جادوئی مربع دسویں صدی کی

سب سے پہلا ریکارڈ شدہ 4×4 کا جادوئی مربع دسویں صدی کی ایک تحریر میں پایا گیا ہے، جو بھارت کے کھجور اہو میں واقع پارشو ناتھ جین مندر میں موجود ہے، اور اسے چوتیسا ینتر (Chautisa Yantra) کہتے ہیں۔

پارشو ناتھ جین مندر میں موجود ہے، اور اسے چوتیسا ینتر (Chautisa Yantra) کہتے ہیں۔

دو چوتیس کا مطلب 34 ہوتا ہے ۔ آپ کے خیال میں اسے چوتیسا نینتر (Chautisa Yantra) کیوں کہا گیا ہو گا؟

اس جادوئی مربع کی ہر قطار ، ہر کالم اور ہر وتر کا حاصل جمع 34 ہے۔ کیا آپ اس مربع میں ایسے اور بھی چار عددوں کے پیٹرن تلاش کر سکتے ہیں جن کا حاصل جمع 34 ہو ؟

تاریخ و ثقافت میں جادوئی مربع

سب سے پہلا ریکارڈ شدہ جادوئی مربع ، لوشو (Lo Shu) مربع ہے جو دو ہزار سال سے بھی

زیادہ پرانا ہے اور قدیم چین سے تعلق رکھتا ہے۔ ایک روایت کے مطابق، لو دریا میں ایک

خوفناک سیلاب آیا، جس کے دوران دیوتاؤں نے لوگوں کو بچانے کے لیے ایک کچھوا بھیجا۔

اس کچھوے کی پشت پر 3 × 3 کا ایک گرڈ تھا، جس میں 1 سے 9 تک کے اعداد ایک جادوئی ترتیب میں لگے ہوئے تھے۔

جادوئی مربع دنیا کے مختلف حصوں میں مطالعے کا موضوع رہے ہیں، جن میں بھارت، جاپان، وسطی ایشیا اور یورپ شامل ہیں۔

ہندوستانی ریاضی دانوں نے جادوئی مربع پر بہت گہرائی سے کام کیا ہے اور ان کے بنانے کے عمومی طریقے بیان کیے ہیں۔ ہندوستانی ریاضی دانوں کا کام صرف 3 × 3 اور 4 × 4 گرڈ تک محدود نہیں تھا، بلکہ انھوں نے 5 5 5 اور اس سے بڑے مربع کی بھی تحقیق کی۔ ہم ان کے بارے میں آنے والی جماعتوں میں مزید سیکھیں گے۔

جادوئی مربع صرف علمی یا ریاضیاتی کتب تک محدود نہیں ہے۔ یہ ہندوستان میں کئی مقامات پر پائے جاتے ہیں۔ دائیں طرف ایک 3 × 3 جادوئی مربع کی تصویر دکھائی گئی ہے، جو تمل ناڈو میں پالنی کے ایک مندر میں ستون پر کندہ ہے۔ یہ مندر آٹھویں صدی عیسوی کا ہے۔

3×3 جادوئی مربع بھارت کے گھروں اور دکانوں میں بھی دیکھے جاسکتے ہیں۔

ایک مثال نوگره ینتر (Navagraha Yantra) ہے جو نیچے دکھایا گیا ہے۔

6.4 فطرت کی پسندیدہ ترتیب: ورہانک فیبوناچی اعداد (Virahanka-Fibonacci Numbers)

ترتیب 1,2,3,5,8,13,21,34 و ر ہانک فیبوناچی اعداد ریاضی کے سب سے زیادہ مشہور سلسلوں میں سے ایک ہے۔ یہ فن، سائنس اور ریاضی کی دنیا میں ہر جگہ نظر آتا ہے۔ اگر چہ یہ اعداد سائنس میں بہت کثرت سے پائے جاتے ہیں، لیکن یہ بات حیرت انگیز ہے کہ ان اعداد کو سب سے پہلے فن آرٹ (خصوصاً شاعری) کے سیاق و سباق میں دریافت کیا گیا تھا! وربانک - فیبوناچی اعداد ، فن، سائنس اور ریاضی کے درمیان قریبی تعلق کی ایک خوبصورت مثال فراہم کرتے ہیں۔

ور ہانک اعداد کی دریافت

ور بانک اعداد ہزاروں سال پہلے سنسکرت اور پراکرت کے ماہرین لسانیات کے شعری مطالعے میں سامنے آئے تھے!

ہندوستان کی کئی زبانوں کی شاعری میں، جن میں پر اگرت، مسکرت، مراٹھی، ملیالم، عمل اور تیلگو شامل ہیں، ہر رکن کلمہ کو یا تو طویل یا مختصر طور پر درجہ بند کیا جاتا ہے۔

ایک طویل رکن کلمہ کو مختصر ا کانی کے مقابلے میں دو گنا وقت تک ادا کیا جاتا ہے۔ جب اس طرح کی نظم گائی جاتی ہے، تو ہجہ مختصر (Short Syllable) ایک تال کے برابر ہوتی ہے، جب کہ ہجہ طویل (Long Syllable) دو تالوں کے برابر وقت بیتی ہے۔

اس سے بے شمار ریاضیاتی سوالات جنم لیتے ہیں، جن پر ان زبانوں کے قدیم شاعروں نے گہرائی سے غور کیا۔ شاعری سے متعلق ان سوالات کو پوچھنے اور ان کے جواب تلاش کرنے کے عمل میں کئی اہم ریاضیاتی دریافتیں ہوئیں۔ ان میں سے ایک نہایت اہم سوال یہ تھا۔

آٹھ تالوں پر مشتمل کتنی مختلف کے (Rhythms) بن سکتی ہیں، جن میں مختصر رکن کلمات (1 تال ) اور طویل رکن کلمات (2) تالیں)، دونوں شامل ہوں؟ یعنی ، آٹھ تالوں کو مختصر اور طویل رکن کلمات سے کتنے مختلف طریقوں سے بھرا جاسکتا ہے، جہاں ایک مختصر رکن کلمہ ایک تال کے برابر وقت لیتی ہے اور ایک طویل رکن کلمہ دو تالوں کے برابر ۔

یہاں چند ممکنہ ترکیبیں دی جارہی ہیں:

طویل طویل طویل طویل مختصر مختصر مختصر مختصر مختصر مختصر مختصر مختصر مختصر طویل طویل مختصر طویل طویل طویل مختصر مختصر طویل :

کیا آپ مزید طریقے تلاش کر سکتے ہیں؟

اگر اس سوال کو ریاضیاتی انداز میں بیان کیا جائے تو : کسی عدد ، جیسے کہ 8 ، کو 1 اور 2 کے مجموعے کے طور پر کتنے مختلف طریقوں سے لکھا جا سکتا ہے ؟

مثال کے طور پر:

8 = 2 + 2 + 2 + 2
8 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
8 = 1 + 2 + 2 + 1 + 2
8 = 2 + 2 + 1 + 1 + 2
وغیرہ۔

کیا آپ کو مزید طریقے نظر آتے ہیں؟

یہاں 1,2,3,4 کو 1 اور 2 کے مجموعے کے طور پر لکھنے کے تمام ممکنہ طریقے دیے گئے ہیں:

1	1	n=1
2	1+1 2	n=2
3	1+1+1 1+2 2+1	n=3
5	1+1+1+1 1+1+2 1+2+1 2+1+1 2+2	n=4

اپنی کاپی میں عدد 5 کو 1 اور 2 کے مجموعے کے طور پر تمام ممکنہ طریقوں سے لکھنے کی کوشش کیجیے آپ نے کتنے طریقے تلاش کیے ؟ ( آپ کو 8 مختلف طریقے تلاش کرنے چاہیے ! کیا آپ بغیر تمام امکانات لکھے، جواب معلوم کر سکتے ہیں؟

کیا آپ اسے 8 = n کے لیے آزما سکتے ہیں؟

یہ ایک منظم طریقہ ہے جس سے 5 تالوں پر سمل مختصر اور طویل رکن کلمات کی تمام لے بھی جاسکتی ہیں۔ چار تالوں والی تمام لے کے آگے 14 اور تین تالوں والی تمام لے کے آگے 2 لگائیے۔ اس طریقے سے ہمیں پانچ تالوں پر مشتمل تمام کے حاصل ہو سکتی ہیں۔

2+1+1+1 2+1+2 2+2+1

1+1+1+1+1 1+1+1+2 1+1+2+1 1+2+1+1 1+2+2

n=5

لہذا ، 5 تالوں پر مشتمل 8 مختلف لے ہوتی ہیں۔

2 سے یہ طریقہ اس لیے کارآمد ہے کیوں کہ ہر 5 تال والی کے لازماً یا تو +1 سے شروع ہوگی یا ' 2 سے۔ اگر یہ +1 سے شروع ہوتی ہے، تو باقی کے اعداد سے 4 تال والی کے بنے گی اور ہم وہ تمام اعداد لکھ سکتے ہیں۔ اگر یہ '+ شروع ہوتی ہے، تو باقی کے اعداد سے 3 تال والی کے بنے گی اور وہ بھی ہم لکھ سکتے ہیں۔ لہذا، 5 تال والی لے کی تعداد 4 تال والی نے کی تعداد اور 3 تال والی نے کی تعداد کا مجموعہ ہے۔

تالوں پر مشتمل کتنی لے ہوں گی ؟ اسی دلیل کے تحت، یہ 5 تال والی لے اور 4 تال والی نے کا مجموعہ ہوں گے، یعنی + 5 = 13 8۔ چناں چہ ، 6 تالوں پر مشتمل 13 کے ہوں گی۔

منظم طریقہ استعمال کر کے 6 تالوں پر مشتمل تمام کے لکھیے، یعنی عدد 6 کو 1 اور 2 کے مجموعے کے طور پر تمام ممکنہ طریقوں سے لکھیے۔ کیا آپ کو 13 طریقے ملے ؟

یہ خوبصورت طریقہ ، سب سے پہلے عظیم پراکرت عالم و ر ہانک نے تقریباً 700 عیسوی میں پیش کیا تھا، جس سے مختصر اور طویل رکن کلمات پرمشتمل کسی بھی مقررہ تعداد کی لے گئی جاسکتی ہے۔ انھوں نے یہ طریقہ ایک پراکرت نظم کی شکل میں بیان کیا ! اسی وجہ سے ترتیب ...1,2,3,5,8,13,21,34 کو ور ہانک ترتیب کہا جاتا ہے اور اس ترتیب میں آنے والے اعداد کو ور ہانک اعداد کہا جاتا ہے۔ ورہا نک تاریخ میں پہلے شخص تھے جنھوں نے ان اہم اعداد پر باقاعدہ غور کیا اور ان کی تشکیل کا قاعدہ تحریری صورت میں بیان کیا۔

ہندوستان کے دیگر علما نے بھی ان اعداد کو اسی شاعرانہ سیاق و سباق میں دیکھا اور بیان کیا۔ و ر ہانک کو قدیم سنسکرت عالم پنگل (Pingala) کے کام سے تحریک ملی، جو تقریباً 300 ق م میں زندہ تھے۔ ور بانک کے بعد ان اعداد پر گو پال (تقریباً 1135 عیسوی) اور پھر ہیم چندر ( تقریباً 1150 عیسوی) نے بھی کام کیا۔

مغرب میں ان اعداد کو فیبوناچی اعداد کے نام سے جانا جاتا ہے، اس اطالوی ریاضی داں کے نام پر جس نے 1202 عیسوی میں ان کو لکھا تھا۔ جو کہ ور ہانک کے تقریباً 500 سال بعد کا زمانہ ہے۔ جیسا کہ ہم دیکھ سکتے ہیں، فیبوناچی نہ تو پہلا، نہ دوسرا، بلکہ ان اعداد کو لکھنے والا تیسرا شخص بھی نہیں تھا کبھی کبھار ”ور ہانک فیبوناچی اعداد “ کی اصطلاح استعمال کی جاتی ہے تا کہ سب سمجھ سکیں کہ کن اعداد کا حوالہ دیا جارہا ہے۔

مختصر اور طویل رکن کلمات پر مشتمل 8 تالوں والی کتنی کے ہو سکتی ہیں؟ ہم وربانک ترتیب کے آٹھویں عنصر :کولیتے ہیں )Element(

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,... لہذا، 8 تالوں پر مشتمل 34 مختلف لے ہوں گی۔

اس ترتیب میں 55 کے بعد اگلا عدد لکھیے۔

ہم نے دیکھا ہے کہ ترتیب میں اگلا عدد پچھلی دو اعداد کو جوڑ کر حاصل ہوتا ہے۔ تصدیق کیجیے کہ یہ اوپر دیے گئے اعداد کے لیے درست ہے۔ اگلا عدد 89 = 55 + 34 ہے۔

ترتیب میں اگلے 3 اعداد لکھیے :

1, 2, 3, 5, 6, 15, 21, 34, 55, 89,

اگر آپ کو اوپر دی گئی ترتیب میں ایک اور عدد لکھنا ہو، تو کیا آپ بغیر پچھلے دو اعداد کو جوڑ بتا سکتے ہیں کہ وہ عدد طاق ہو گا

یا جفت؟

● ترتیب میں ہر عدد کی طاق یا جفت ہونے کی پیریٹی کیا ہے؟ کیا آپ کو ترتیب میں کوئی خاص پیٹرن دکھائی دیتا ہے؟ آج ، ورہانک فیبوناچی اعداد بہت سے ریاضیاتی نظریات اور فنونِ لطیفہ کے نظریات کی بنیاد ہیں، جیسے شاعری، طبلہ نوازی، بصری فنون، فن تعمیر اور سائنس۔ شاید ان اعداد کا سب سے حیرت انگیز ظہور قدرت میں ہوتا ہے۔ مثال کے طور پر ، گل بہار کے پتوں کی تعداد عموم اور ہانک عدد ہوتی ہے۔

آپ کو ان پھولوں میں سے ہر ایک پر کتنی پتیاں دکھائی دیتی ہیں؟

کا وربانک فیبوناچی اعداد کی اور بھی بہت سی حیرت انگیز ریاضیاتی خصوصیات ہیں، جنھیں ہم آگے چل کر ریاضی اور دیگر مضامین میں سیکھیں گے

2 یہ اعداد واقعی فن، سائنس اور ریاضی کے درمیان گہرے تعلق کو نمایاں کرتے ہیں۔

6.5 پوشیدہ ہندسہ

آپ نے عددوں کے ساتھ حسابی عمل کیسے ہیں۔ اب ذرا وہی کام حروف کے ساتھ کرنے کی کوشش کیجیے؟

نیچے دی گئی مشقوں میں ہند سے، حروف سے بدل دیے گئے ہیں۔ ہر حرف کسی خاص ہندسہ (0 سے 9) کی نمائندگی کر رہا ہے۔ آپ کو یہ معلوم کرنا ہے کہ ہر حرف کسی ہندسہ کے لیے استعمال ہوا ہے۔

T
T
T +
——————————
UT

یہاں ہمارے پاس ایک ہندسی عدد ہے، جو خود سے دوبار جوڑا جائے تو حاصل جمع 2- ہندسی عدد بنتا ہے۔ اس حاصل جمع کا اکائی کا ہندسہ وہی ہے جو اصل میں جوڑا گیا ایک ہندسی عدد ہے۔

●U اور Tکیا ہو سکتے ہیں ؟ کیا 2T ہو سکتا ہے؟ کیا یہ 3 ہو سکتا ہے؟ ؟

جب آپ غور کریں گے، تو آپ دیکھیں گے کہ 5 = T اور 15 = UT

k2
k2+
—————————
HMM

آیئے ایک اور مثال دیکھتے ہیں جو دائیں جانب دی گئی ہے۔ یہاں K2 کا مطلب ہے کہ یہ دو ہندسوں کا عدد ہے، جس میں اکائی کا ہندسہ 2 ہے اور دہائی کا ہندسہ K ہے۔ K2 کو خود اپنے ساتھ جوڑا گیا ہے اور حاصل جمع تین ہندسی عدد HMM پرشتمل ہے۔ آپ کو یہ معلوم کرنا ہے کہ حرف M کس ہندسہ کے برابر ہے۔

حاصل جمع میں دہائی او را کائی دونوں جگہ ایک ہی ہندسہ ہے۔

● H کیا ہو سکتا ہے؟ کیا یہ 2 ہو سکتا ہے؟ کیا یہ 3 ہو سکتا ہے؟

اس قسم کے سوالات دلچسپ اور مزے دار ہوتے ہیں! یہاں کچھ اور سوالات بھی ہیں جنھیں آپ چل کر سکتے ہیں۔ معلوم کیجیے کہ ہر حرف کسی ہندسہ کو دکھا رہا ہے۔

اپنے ہم جماعتوں کو بتائیے کہ آپ نے ہر سوال کے بارے میں کیسے سوچا؟ ممکن ہے آپ کو کچھ نئے طریقے معلوم ہوں!

YY
Z+
—————
ZOO


B5
3D+
—————
ED5


KP
KP +
—————
PRR


C1
C +
———————
1FF

کہا جاتا ہے۔ )Alphametics( ،یا الفا میٹکس )Cryptarithms( ایسے سوالات کو کرپٹری تھمز

● معلوم کیجیے

1. ایک بلب جل رہا ہے۔ دور جی نے اس کا سوئچ 77 بار دبایا۔ کیا بلب جل رہا ہو گا یا بجھا ہوا ہو گا؟ کیوں؟

2. لیسونی کے پاس ایک پرانی بڑی انسائیکلو پیڈیا ہے۔ جب اس نے اسے کھولا تو کئی ڈھیلے صفحات باہر گر گئے۔ اس نے کل 50 ورق گئے ، جن کے دونوں طرف چھپائی تھی۔ کیا ان گرے ہوئے صفحات کے صفحہ نمبروں کا مجموعہ 6000 ہو سکتا ہے؟ کیوں یا کیوں نہیں؟

3 یہ ایک 3×2 گرڈ ہے۔ ہر قطار اور ہر کالم کے حاصل جمع کی پیریٹی دائرے میں دی گئی ہے ۔ '' کا مطلب جفت اور ' کا مطلب طاق عدد ہے۔ آپ کو ان 6 خانوں کو 3 طاق اعداد اور 3 جفت اعداد سے اس طرح بھرنا ہے کہ ہر قطار اور کالم کے حاصل جمع کی پیریٹی دی گئی معلومات کے مطابق ہو۔

4. ایک 3 × 3 کا جادوئی مربع بنائیے جس کا جادوئی مجموعہ صفر ہو۔ تمام اعداد صفر نہیں ہو سکتے ضرورت پڑنے پر منفی عدد استعمال کیجیے۔

5. نیچے دی گئی خالی جگہوں کو طاق“ یا ”جفت اعداد سے پر کیجیے۔

(a) جفت عدد اور طاق عدد کا حاصل جمع ___ہوتا ہے۔

(b) طاق عدد اور جفت عدد کا حاصل جمع ___ ہوتا ہے۔

(c) جفت عدد اور جفت اعداد کا حاصل جمع ___ہوتا ہے۔

(d) طاق عدد اور طاق اعداد کا حاصل جمع ___ہوتا ہے۔

6. 1 سے 100 تک کے اعداد کے حاصل جمع کی پیر سٹی کیا ہو گی ؟ طاق یا جفت ؟

7. و ر ہانک ترتیب میں دو مسلسل اعداد 987 اور 1597 ہیں۔ ترتیب میں اگلے دو اعداد کون سے ہوں گے؟

ترتیب میں پچھلے دو اعداد کون سے ہوں گے ؟

8. انگان 8 سیڑھیوں والا ایک زینہ چڑھنا چاہتا ہے۔ اس کا اصول یہ ہے کہ وہ ایک بار میں 1 یا 2 سیڑھی ہی چڑھ سکتا ہے۔ مثال کے طور پر ، اس کا ایک راستہ یہ ہو سکتا ہے : 2 ، 1 ، 2 ،2 ، 1 ۔ وہ کتنے مختلف طریقوں سے زینے کے اوپر تک پہنچ سکتا ہے ؟

9. وربانک ترتیب کی 20 ویں رکن کی پیریٹی کیا ہو گی؟

10. درج ذیل بیانات میں سے کون سا بیان درست ہے ؟ پہچانیے (a) عبارت 1 - 4m ہمیشہ طاق عدد دیتی ہے۔

(b) تمام جفت اعداد کو 4 - 6 کی صورت میں لکھا جا سکتا ہے۔

(c) دونوں عبارات ، 21 اور 1 + 2 تمام طاق اعداد کو ظاہر کرتے ہیں۔

(d) عبارت 23 جفت اور طاق دونوں قسم کے عدد دے سکتی ہے۔

11. یہ کر پڑ ھم (Cryptarithm) حل کیجیے:
UT
TA+
—————
TAT