7

تین متقاطع خطوط کی کہانی
(A TALE OF THREE INTERSECTING LINES)

مثلث سب سے بنیادی بند کثیر ملتی ہے۔ جیسا کہ ہم جانتے ہیں کہ اس میں: تین کونے ہوتے ہیں، جن کو نقطوں سے ظاہر کرتے ہیں اور ان کو ہم مثلث کی راس کہتے ہیں تین خط قطع یا مثلث کے اضلاع ، جو راسوں کے جوڑوں کو جوڑتے ہیں۔

مثلث متعدد اشکال کے ہوتے ہیں ان میں سے چند درج ذیل ہیں۔

مثلث کو ظاہر کرنے کے لیے استعمال ہونے والی علامت کا مشاہدہ کیجیے اور دیکھیے کہ ان کے راسوں کا استعمال کرتے ہوئے مثلث کا نام کیسے رکھا گیا ہے۔ مثلث کا نام دیتے وقت ، راس کسی بھی ترتیب میں آسکتے ہیں۔

تین کونوں پر اضلاع کے ملنے سے تین زاویے بنتے ہیں جنھیں ہم مثلث کے زاویے کہتے ہیں۔ مثال کے طور پر، AABC میں، یہ زاویے BCA، ABC، CAB ہیں، جنھیں ہم بالترتیب B ، A اور C سے ظاہر کرتے ہیں۔

7.1 مساوی الاضلاع مثلث(Equilateral Triangles)

تمام مثلثوں میں، مساوی الاضلاع مثلت متشاکل ہوتے ہیں۔ اس مثلث کے تمام اضلاع برابر لمبائی کے ہوتے ہیں۔ آئیے ان کو بنانے کی کوشش کریں۔

نوٹ: تشکیل سے چند روز قبل اساتذہ طلبا سے جیومیٹری باکس لانے کو کہیں۔

● ایک مثلث کی تشکیل کیجیے، جس کے ہر ضلع کی لمبائی 4 سینٹی میٹر ہو۔

آپ نے اس مثلث کی تشکیل کیسے کی اور آپ نے کون سے آلات استعمال کیے؟ کیا تشکیل صرف پیمانہ (اسکیل) اور (ایک پینسل) سے کی جاسکتی ہے؟

صرف ایک پیمانے (Ruler) کا استعمال کرتے ہوئے اس مثلث کی تشکیل ناممکن تو نہیں لیکن یقینی طور پر مشکل ضرور ہے کیوں کہ اس کے لیے کئی بار کوشش کرنی پڑ سکتی ہے۔ فرض کیجیے کہ ہم نے 4 سینٹی میٹر کا ایک قاعدہ بنایا اور اسے AB کا نام دیا۔ ( نیچے دی گئی تصویر دیکھیے) اور تیسرے نقطہ C کو ایک پیمانہ کا استعمال کرتے ہوئے اس طرحنشان زد کیجیے 4 سینٹی میٹر = AC ہو ۔ ایسا کرنے سے عین ممکن ہے کہ BC کی لمبائی بھی 4 سینٹی میٹر نہ ہو ۔ آپ خود تجربہ کریں اور BC کی لمبائی کی پیمائش کر کے دیکھیں۔ ایسی صورت میں ہمیں C کو نشان زد کرنے کی کوششیں جاری رکھنی ہوگی جب تک کہ BC کی لمبائی 4 سینٹی میٹر نہ ہو جائے۔

مثلث کو ظاہر کرنے کے لیے استعمال ہونے والی علامت کا مشاہدہ کیجیے اور دیکھیے کہ ان کے راسوں کا استعمال کرتے ہوئے مثلث کا نام کے کا نام کیسے رکھا گیا ہے۔ مثلث کا نام دیتے وقت ، راس کسی بھی ترتیب میں آسکتے ہیں۔ تین کونوں پر اضلاع کے ملنے سے تین زاویے بنتے ہیں جنھیں ہم مثلث کے زاویے کہتے ہیں۔ مثال کے طور پر، AABC میں، یہ زاویے BCA، ABC / CAB ہیں، جنھیں ہم بالترتیب B ، A اور C کے سے ظاہر کرتے ہیں۔

اگر تینوں راس ایک خط مستقیم پر ہوں تو کیا ہو گا؟

(Equilateral Triangles) 7.1 مساوی الاضلاع مثلث تمام مثلثوں میں، مساوی الاضلاع مثلت متشاکل ہوتے ہیں۔ اس مثلث کے تمام اضلاع برابر لمبائی کے ہوتے ہیں۔ آیئے ان کو بنانے کی کوشش کریں۔

نوٹ: تشکیل سے چند روز قبل اساتذہ طلبا سے جیومیٹری باکس لانے کو کہیں۔

؟ ایک مثلث کی تشکیل کیجیے، جس کے ہر ضلع کی لمبائی 4 سینٹی میٹر ہو۔

(اسکیل) آپ نے اس مثلث کی تشکیل کیسے کی اور آپ نے کون سے آلات استعمال کیے؟ کیا ۔ تشکیل با تشکیل صرف پیمانه (۱) اور (ایک پینسل) سے کی جاسکتی ہے؟

صرف ایک پیمانے (Ruler) کا استعمال کرتے ہوئے اس مثلث کی تشکیل نا ممکن تو نہیں لیکن یقینی طور پر مشکل ضرور ہے کیوں کہ اس کے لیے کئی بار کوشش کرنی پڑ سکتی ہے۔ فرض کیجیے کہ ہم نے 4 سینٹی میٹر کا ایک قاعدہ بنایا۔ اور اسے AB کا نام دیا۔ ( نیچے دی گئی تصویر دیکھیے ) اور تیسرے نقطہ C کو ایک پیمانہ کا استعمال کرتے ہوئے اس طرحنشان زد کیجیے 4 سینٹی میٹر = AC ہو۔ ایسا کرنے سے عین ممکن ہے کہ BC کی لمبائی بھی 4 سینٹی میٹر نہ ہو ۔ آپ خود تجربہ کریں اور BC کی لمبائی کی پیمائش کر کے دیکھیں۔ ایسی صورت میں ہمیں C کو نشان زد کرنے کی کوششیں جاری رکھنی ہو گی جب تک کہ BC کی لمبائی 4 سینٹی میٹر نہ ہو جائے۔

● ہم اس کی تشکیل کم وقت میں درستگی کے ساتھ کیسے کر سکتے ہیں؟

یاد کیجیے کہ آپ نے پچھلے سال ایک پر کار ( کمپاس) کا استعمال کرتے ہوئے اسی طرح کے مسئلے کو کس طرح حل کیا تھا؟ ( باب تشکیلات کے ساتھ کھیلنا میں ہمیں ایک گھر کے سب سے اونچے نقطہ کو نشان زد کرنا تھا جو کہ دو دیگر نقطوں سے 5 سینٹی میٹر کی دوری پر واقع تھا۔ وہی طریقہ ہم یہاں خط قطع BC کے اس نقطے C کو حاصل کرنے کے لیے بھی استعمال کر سکتے ہیں۔

4 سینٹی میٹر = AB بنانے کے بعد ، ہم مندرجہ ذیل کام کر سکتے ہیں۔

مرحله 1: کمپاس کا استعمال کرتے ہوئے ، A سے 4 سینٹی میٹر نصف قطر (Radius) کا ایک بڑا قوس بنائیے، جیسا کہ تصویر میں دکھایا گیا ہے۔ نقطہ C اس قوس پر کہیں ہو گا۔

ہم اس کا تعین کیسے کریں گے؟

مرحلہ 2 اب B سے 4 سینٹی میٹر نصف قطر کا ایک اور قوس بنائیے۔

مان ہیں کہ دونوں قوسوں کے تقاطع (Intersection) کا نقطہ C ہے۔

یہ تشکیل اس بات کو یقینی بناتی ہے کہ AC اور B C دونوں کی لمبائی 4 سینٹی میٹر ہی ہو گی۔ کیا آپ بتا سکتے ہیں کہ ایسا کیوں ہے؟

مرحلہ 3 اب نقطه AC اور BC کو ملائیں تا کہ مطلوبہ مساوی الاضلاع مثلث (Equilateral triangle) حاصل ہو سکے۔

7.2 مثلث کی تشکیل جب کہ اس کے اضلاع کی لمبائی مختلف ہو

ہم ایسے مثلث کیسے بنا سکتے ہیں جو کہ ( مساوی الاضلاع نہ ہوں ) ؟

● ایک مثلث بنائیے جس کے اضلاع کی لمبائی 4 سینٹی میٹر ، 5 سینٹی میٹر اور 6 سینٹی میٹر ہو۔

جیسا کہ پچھلے معاملہ میں ہوا تھا، اس مثلث کو بھی صرف ایک پیمانے کا استعمال کرتے ہوئے بنایا جاسکتا ہے۔ لیکن اس میں بھی کئی بار کوشش کرنی ہو گی۔

● ہم اس مثلث کو کم وقت میں درستگی کے ساتھ کیسے بنا سکتے ہیں؟

4 سینٹی میٹر مثلث کا قاعدہ بنانے کے لیے، دی گئی لمبائیوں میں سے ایک کا انتخاب کیجیے۔ اب 4 سینٹی میٹر کا ایک قاعدہ بنائیے جس کی راس A اور B ہوں اور تیسری راس کو C نام دیجیے۔ فرض کیجیے 5 سینٹی میٹر = AC اور 6 سینٹی میٹر = BC --

جیسا کہ ہم نے مساوی الاضلاع مثلث کے معاملے میں کیا تھا، آئیے پہلے ان سبھی نقطوں کو حاصل کریں جو A سے 5 سینٹی میٹر کے فاصلے پر ہوں۔ ایسا کیوں؟ کیوں کہ 5 = AC یعنی نقطہ A پر پر کار رکھ کر 5 سینٹی میٹر نصف قطر کا ایک قوس بنائیے۔ یہ نقطہ اس قوس پر ہی ہونا چاہیے جس کا مرکز A ہے اور اس کا نصف قطر 5 سینٹی میٹر ہے۔ ہم اسے کیسے تلاش کریں گے؟

اب ہمیں دیا گیا ہے کہ نقطہ B سے C کا فاصلہ 6 سینٹی میٹر ہے۔ اس لیے اب ہمیں پر کار کہاں رکھنا ہو گا؟ نقطہ B پر ۔ اب B سے 6 سینٹی میٹر کا نصف قطر لیتے ہوئے ایک دیگر قوس بنائیے۔ جو پہلے والے قوس کو قطع کرے۔

دو قوسین کو آپس میں قطع کرنے والا نقطہ ہی مطلوبہ C ہے۔

یہ قاطع نقطہ ہی تیسرا راس ہو گا، اس کی وجہ بھی وہی ہے جو مساوی الاضلاع مثلث کے لیے تھی۔ یہ نقطہ دونوں دائروں پر ہے۔ لہذا A سے اس کا فاصلہ A مرکز والے دائرے کا نصف ( قطر 5 سینٹی میٹر ) ہو گا اور B سے اس کا فاصلہ B مرکز والے دائرے کا نصف ( قطر 6 سینٹی میٹر ) ہو گا۔

آئے تشکیل کے مراحل کا خلاصہ کریں، اس بات کا خیال -رکھتے ہوئے کہ تیسر ا ر اس حاصل کرنے کے لیے مکمل دائرے بنانا ضروری نہیں ہے (شکل 7.2 اور 7.3 دیکھیے)۔

مرحله 1: کسی ایک ضلع کی لمبائی فرض کیجیے 4 سینٹی میٹر = AB کا انتخاب کرتے ہوئے AB بنائیے۔ (شکل 7.1 دیکھیں) مرحله 2 نقطہ A سے 5 سینٹی میٹر نصف قطر کا ایک قوس بنائیے (شکل 7.2 دیکھیں)۔

مرحله :3 نقطه B سے، نصف قطر 6 سینٹی میٹر کا ایک قوس اس طرح بنائیے کہ یہ پہلے قوس کو قطع کرے۔ (شکل 7.3 دیکھیے)

مرحلہ 4: وہ نقطہ جہاں دونوں قوس ایک دوسرے کو قطع کرتے ہیں وہی مطلوبہ تیسری راس ہے۔ AABC کو حاصل کرنے کے لیے AC اور BC کو ملائیے۔

تشکیل کیجیے

درج ذیل میں اضلاع کی دی گئی لمبائیوں کے مثلث بنائیے ( تمام اکائیاں سینٹی میٹر میں ہیں)

(a) 4, 4, 6

(b) 3, 4, 5

(c) 1, 5, 5

4,6,8

(e) 3.5, 3.5, 3.5

ہم نے سیکھا ہے کہ جس مثلث کے تینوں اضلاع مساوی لمبائی کے ہوں اسے مساوی الاضلاع مثلث (Equilateral triangles) کہتے ہیں۔ اور وہ مثلث جن کے کوئی دو اضلاع مساوی ہوں ان کو مساوی الساقین مثلث (Isosceles کہتے ہیں۔ )triangles

معلوم کیجیے ؟

1. دائرے کے مرکز کو استعمال کرتے ہوئے ایک مساوی الساقین مثلث بنائیے۔

2 دائروں پر واقع نقطوں اور دائروں کے مرکز کو استعمال کرتے ہوئے مساوی الساقین مثلث اور مساوی الاضلاع مثلث بنائیے۔

A اور B ایک ہی سائز کے دائروں کے مراکز ہیں۔ B ، A اور C ایک ہی سائز کے دائروں کے مراکز ہیں۔

کیا کسی بھی لمبائی کے مثلث کی تشکیل ممکن ہے؟

کیا مثلث کی تشکیل کے لیے اضلاع کی کوئی بھی لمبائی کی جاسکتی ہے ؟ کیا کوئی ایسی بھی لمبائی ہے جس کے لیے مثلث کی تشکیل ہی ممکن نہ ہو ؟ آئیے اس کی تلاش کریں۔

؟ 3 سینٹی میٹر ، 4 سینٹی میٹر ، اور 8 سینٹی میٹر لمبائی کے اضلاع کے ایک مثلث تشکیل کیجیے۔

اپنے تاثرات بیان کیجیے۔ آپ کیا محسوس کر رہے ہیں؟ کیا آپ اس مثلث کی تشکیل کر پارہے ہیں؟

یہاں لمبائیوں کا ایک اور سیٹ دیا گیا ہے جو 2 سینٹی میٹر ، 3 سینٹی میٹر ، اور 6 سینٹی میٹر ہے۔ جانچ کیجیے کہ کیا اضلاع کی دی

گئی ان لمبائیوں کے لیے مثلث کی تشکیل ممکن ہے؟

؟ اضلاع کی لمبائیوں کے ایسے مزید سیٹ تلاش کیجیے جن کے لیے مثلث کی تشکیل نا ممکن ہے ۔ دیکھیے کہ کیا آپ ان میں کوئی

پیٹرن تلاش کر سکتے ہیں۔

ہم دیکھتے ہیں کہ لمبائی کے کچھ مجموعوں کے لیے ایک مثلث کی تشکیل تو ممکن ہے لیکن کچھ کے لیے ممکن نہیں ہے۔ ہم یہ کیسے معلوم کریں کہ اضلاع کے دیے گئے مجموعے سے مثلث بن سکتا ہے یا نہیں؟ ایک طریقہ تو یہ ہے کہ مثلث بنانے کی کوشش کی جائے اور معلوم کیا جائے کہ کیا ممکن ہے یا نہیں یعنی راست تجربہ کیا جائے۔ کیا اس کو معلوم کرنے کا کوئی اور مؤثر طریقہ ہے؟

مثلث میں عدم مساوات (Triangle Inequality)

10 سینٹی میٹر ، 15 سینٹی میٹر اور 30 سینٹی میٹر والی لمبائیوں پر غور کیجیے۔ کیا ان لمبائیوں کے ساتھ کسی مثلث کا وجود ممکن ہے؟

آئیے ! اس مسئلہ کا حل تلاش کرنے کے لیے مثلث کی ایک خاصیت کا مطالعہ کریں۔ درج ذیل تصویر کے مطابق تصور کیجیے کہ کسی ہموار زمین کے ایک چھوٹے سے پلاٹ پر تین مختلف مقامات پر ایک خیمہ، ایک درخت اور ایک کھمبا ہے۔

تصور کیجیے کہ آپ خیمے کے دروازے پر کھڑے ہیں اور درخت تک جانا چاہتے ہیں۔ کون سا راستہ مختصر ترین ہو گا؟ (1) درخت تک جانے والی خط مستقیم (سرخ راستہ) یا (ii) خیمے سے کھمبے تک جا کر کھمبے سے درخت تک سیدھا جانے والا راستہ ( پیلا راسته )؟

واضح طور پر ، خیمے سے درخت تک کا سیدھا راستہ کھمبے سے ہو کر جانے والے راستے سے چھوٹا ہے۔ در حقیقت، سیدھا جانے کا راستہ، خیمے سے درخت تک پہنچنے کا مختصر ترین راستہ ہے۔

کیا کوئی بھی دو نقطوں کے درمیان کا سیدھا راستہ تیسرے نقطے (جو دو نقطوں کو ملانے والی لائن پر نہ ہو ) سے ہو کر جانے والے راستہ سے چھوٹا ہو گا؟ واضح طور پر جواب ہاں ہی ہو گا۔

؟ کیا اس تفہیم کو 10 سینٹی میٹر ، 15 سینٹی میٹر اور 30 سینٹی میٹر اضلاع کی لمبائی والے مثلث کے جائے وقوع کے بارے میں کچھ بتانے کے لیے استعمال کیا جاسکتا ہے؟

آئیے فرض کریں کہ لمبائیوں کے اس سیٹ کا ایک مثلث ہے۔ یاد رکھیے کہ اس وقت ہمیں مثلث کے وجود کے بارے میں یقین نہیں ہے لیکن ہم صرف یہ تصور کر رہے ہیں کہ کہیں نہ کہیں اس کا وجود ہے۔ آئیے ایک رف خاکہ بنائیں۔

کیا اس مثلث میں سب کچھ ٹھیک نظر آتا ہے ؟

اگر یہ مثلث ممکن تھا، تو کسی بھی دو راسوں کے درمیان کا سیدھا راستہ تیسرے راس (Vertex) سے ہو کر گذر کر جانے والے راستے سے چھوٹا ہونا چاہیے۔ کیا یہ ہمارے بنائے گئے خاکے کے لیے بھی درست ہے؟

آئے B اور C کے درمیان کے دو ممکنہ راستوں پر غور کریں۔

Direct path length )سیدھے راستے کی لمبائی(= BC = 10 cm راس A سے ہوتے ہوئے B سے C تک پہنچنے والے راستے کی لمبائی کتنی ہے؟ یہ خط قطع BA اور AC کی لمبائیوں کا مجموعہ ہے۔

Roundabout path length )چلر لگا کر آنے والے راستے کی لمبی = BA + AC = 15 cm + 30cm = 45cm

کیا B سے C تک سیدھے راستے کی لمبائی چکر لگا کر آنے والے راستے کی لمبائی سے کم ہے ؟ جی ہاں۔

آئیے اب A اور B کے درمیان کے راستے پر غور کریں۔

Direct path length = AB = 15 cm

راس C کے گرد چکر لگا کر آنے والے راستے کی لمبائی کا پتہ لگانے سے ہمیں ملتا ہے۔

Roundabout path length = AC + CB = 30cm + 10cm = 40cm

کیا سیدھے راستے کی لمبائی چکر لگا کر آنے والے راستے کی لمبائی سے کم ہے ؟ جی ہاں۔

آخر میں، C اور A کے درمیان دو ممکنہ راستوں پر غور کیجیے۔

Direct path length = CA = 30 cm

Roundabout path length = CB + BA = 10cm + 15cm = 25cm

کیا سیدھے راستے کی لمبائی چکر لگا کر آنے والے راستے کی لمبائی سے کم ہے ؟ اس صورت میں، سیدھا راستہ طویل ہے، جو کہ ایک حیران کن بات ہے۔ کیا اضلاع کی ان لمبائیوں سے مثلث تشکیل کیا جانا ممکن ہے؟ خود تجربہ کر کے دیکھیے اور بنائیے۔

لہذا ، 10 سینٹی میٹر ، 15 سینٹی میٹر اور 30 سینٹی میٹر کی لمبائی کے اضلاع سے مثلث تشکیل نہیں کیا جاسکتا۔

اس طرح ہم بغیر تشکیل کیسے یہ بتانے کے قابل ہیں کہ 10 سینٹی میٹر ، 15 سینٹی میٹر اور 30 سینٹی میٹر لمبائی کے مجموعے کے لیے ایک مثلث کا وجود کیوں نہیں ہو سکتا۔ ہم مکانی فضائی وجدان اور استدلال کے ذریعے اس کا پتہ لگانے میں کامیاب ہوئے ہیں۔

یاد کیجیے کہ ہم نے قاطع خطوط اور متوازی خطوط کی خصوصیات کو دریافت کرنے کے لیے اسی طرح کے وجدان اور استدلال کا استعمال کیسے کیا تھا۔ ہم جیومیٹری میں انکشافات کے لیے بھی یہ عمل جاری رکھیں گے۔

؟ ہم 3 سینٹی میٹر ، 3 سینٹی میٹر اور 7 سینٹی میٹر لمبائی کے اضلاع کے مثلث کے وجود کے بارے میں کیا کچھ کہہ سکتے ہیں؟ تشکیل کے ذریعہ اپنے جواب کی تصدیق کریں۔

«شکل 7.4 کے خاکے میں، کیا ممکن ہے کہ دی گئی لمبائیوں کو مختلف ترتیب میں اس طرح رکھا کیا جائے کہ سیدھا راستہ که سیدها راسته ہمیشہ چکر لگا کر جانے والے راستے سے چھوٹا ہو ؟ اگر ممکن ہے، تو اس مثلث کا وجود بھی ممکن ہے۔

؟ کیا اس طرح کی لمبائیوں کی ترتیب درج بالا مثال والے مثلث میں ممکن ہے؟

● معلوم کیجیے

1. ہم نے تشکیل کے ذریعے نتیجہ اخذ کیا کہ کوئی ایسا مثلث نہیں ہے جس کے اضلاع کی لمبائی(Sidelength) 3 سینٹی میٹر ، 4 سینٹی میٹر اور 8 سینٹی میٹر ہو۔ اور 2 سینٹی میٹر ، 3 سینٹی میٹر اور 6 سینٹی میٹر ہو۔ معلوم کیجیے کہ کیا آپ مثلث کی تشکیل کیے بغیر یہ پتہ لگا سکتے ہیں؟

کیا ہم مندرجہ ذیل اضلاع کی لمبائی والے اضلاع کے مجموعوں میں سے ہر ایک کے لیے مثلث کے وجود کے بارے میں کچھ کہہ سکتے ہیں؟ 2

(a) 10 km, 10km 25 km

(b) 5 mm, 10mm 20mm

(c) 12 cm, 20cm 40cm

آپ نے نے محسوس کیا ہو گا کہ ایک خاکے کا استعمال کرتے ہوئے اور سیدھے راستے کی لمبائیوں کا، ان کے متعلقہ چکر لگانے والے راستے کی لمبائی کے ساتھ موازنہ کرنا ایسا ہی ہے جیسے کہ ہر ایک لمبائی کا دیگر دو لمبائیوں کے جوڑ کے ساتھ موازنہ کرنا ہو ۔ اس طرح کے تین موازنہ کرنے ہوں گے۔

3. اب تک دیکھی گئی لمبائی کے ہر ایک مجموعہ کے لیے، آپ نے محسوس کیا ہو گا کہ کم از کم دو موازنوں میں، سیدھی لمبائی دیگر دو اضلاع کے مجموعے سے کم تھی (اگر نہیں، تو دوبارہ معلوم کیجیے ) ۔ مثال کے طور پر ، 10 سینٹی میٹر ، 15 سینٹی میٹر اور 30 سینٹی میٹر لمبائی کے مجموعہ کے لیے، دو موازنہ ہیں جہاں ایسا ہوتا ہے :

30 + 15 > 10

30 + 10 > 15

10+15< 30

لیکن یہ تیسری لمبائی کے لیے نہیں ہوتا:

●کیا ایسا ہمیشہ ہو گا؟ یعنی ، اضلاع کی لمبائیوں کے کسی بھی مجموعہ کے لیے۔ کیا ایسے کم از کم دو مواز نے ہوں گے جہاں براہ راست لمبائی دیگر دو کے مجموعے سے کم ہے ؟ لمبائی کے مختلف مجموعوں کے لیے دریافت کیجیے۔

● مزید یہ کہ بغیر حساب کیسے لمبائی کے دیے گئے مجموعوں کے لیے، کیا یہ شناخت کرنا ممکن ہے کہ کون سی لمبائی دیگر دو لمبائی ہونے کے مجموعے سے کم ہو گی؟

اشارہ: بڑھتی ہوئی ترتیب میں سیدھی لمبائی پر غور کیجیے۔]

●تین اضلاع کی لمبائیوں کو دیکھتے ہوئے، ہمیں مثلث کے وجود کی جانچ کرنے کے لیے کس چیز کا موازنہ کرنے کی ضرورت ہے؟

جب ہر لمبائی دوسری دو لمبائیوں کے مجموعے سے چھوٹی ہوتی ہے، تو ہم کہتے ہیں کہ لمبائیاں کی مثلث عدم مساوات (Triangle inequality) کو مطمئن کرتی ہیں۔ مثال کے طور پر، مجموعہ 3، 4، 5 مثلث عدم مساوات کو مطمئن کرتا ہے جب کہ مجموعہ 10,15,30 مثلث کی عدم مساوات کو مطمئن نہیں کرتا ہے۔

ہم نے دیکھا ہے کہ 5,10,15,30 جیسی لمبائیاں جو مثلث کی عدم مساوات کو مطمئن نہیں کرتی ہیں وہ مثلث کے اضلاع کی لمبائیاں نہیں ہو سکتیں۔

کیا ایک ایسا مثلث بنایا جا سکتا ہے جس کی لمبائی 4 سینٹی میٹر ، 5 سینٹی میٹر اور 8 سینٹی میٹر ہے؟

یہ مثلث عدم مساوات کو مطمئن کرتا ہے ؟

8 < 4 + 5 = 9

ہمیں دوسرے دو اضلاع کو جانچنے کی ضرورت کیوں نہیں ہے؟

اس کا مطلب ہے کہ ہر سیدھے راستے کی لمبائی چکر لگا کر آنے والے راستے کی کل لمبائیوں سے کم ہے۔ کیا یہ مثلث کے وجود کی تصدیق کرتا ہے؟

اگر سیدھے راستے کی لمبائی میں سے ایک طویل ہوتی تو ہم یہ نتیجہ اخذ کر سکتے تھے کہ مثلث نہیں بنایا جا سکتا ہے۔ لیکن اس معاملے میں ، ہم صرف یہ کہہ سکتے ہیں کہ مثلث بنایا جا سکتا ہے یا نہیں بنایا جا سکتا ہے۔

مثلث بنانے کے لیے، جو قوس (arcs) ہم تیسرے راس کو حاصل کرنے کے لیے بناتے ہیں ان کو آپس میں کاٹنا چاہیے۔ کیا اس بات کا تعین کرنا ممکن ہے کہ حقیقت میں تشکیل کے بغیر ہو گا؟

دائروں کی تشکیل کی تصویری پیش کش:

آیئے ہم سب سے لمبے حصے کو قاعدے کے طور پر بناکر تعمیر شروع کرتے ہیں۔ مان لیں کہ 8 سینٹی میٹر لمبائی AB کا قاعدہ (Base) ہے۔ اگلا مرحلہ دیگر دو لمبائیوں، 4 سینٹی میٹر اور 5 سینٹی میٹر ، کے مطابق ایک لمبے قوس کی تشکیل ہے۔

صرف قوس بنانے کے بجائے ، آئیے مکمل دائرے بناتے ہیں۔ فرض کیجیے کہ ہم A کو مرکز کے طور پر لے کر 4 سینٹی میٹر نصف قطر کا ایک دائرہ بناتے ہیں۔

اب فرض کیجیے کہ نصف قطر 5 سینٹی میٹر کا ایک دائرہ بنایا گیا ہے، جس کا مرکز B ہے۔ کیا آپ اس شکل کا ایک خاکہ بنا سکتے ہیں؟

نوٹ کیجیے کہ نیچے دی گئی تصویر میں 4 سینٹی میٹر = AX اور 8 سینٹی میٹر = AB ہے تو ، BX کیا ہے؟ کیا یہ لمبائی دی ہوئی شکل کو دیکھنے میں مدد کرتی ہے؟

چوں کہ 4 سینٹی میٹر = BX ہے، اور اس دائرے کا نصف قطر 5 سینٹی میٹر ہے جس کا مرکز B ہے، یہ واضح ہے کہ دائرے ایک دوسرے کو دو نقطوں پر کائیں گے۔

یمیں مثلث کے وجود کے بارے میں کیا بتاتا ہے ؟ نقطے A اور B دائروں کے کسی بھی نقطۂ تقاطع کے ساتھ ہمیں مطلوبہ مثلث دیں گے۔ اس طرح ، لمبائی 4 سینٹی میٹر ، 5 سینٹی میٹر اور 8 سینٹی میٹر کے ساتھ ایک مثلث بنایا جاسکتا ہے۔

معلوم کیجیے

1. درج ذیل میں سے کون سی لمبائیاں مثلث کے اضلاع کی لمبائی ہو سکتی ہے ؟ اپنے جوابات کی وضاحت کیجیے۔ نوٹ کیجیے کہ ہر سیٹ کے لیے، تینوں لمبائیوں میں پیمائش کی اکائی ایک ہی ہے۔

(a) 2, 2, 5

(b) 3, 4, 6

(c) 2, 4, 8

(d) 5, 5, 8

(e) 10, 20, 25

(f) 10, 20, 35

(g) 24, 26, 28

ہم پچھلے مسائل سے مشاہدہ کرتے ہیں کہ جب بھی لمبائیوں کا کوئی ایسا مجموعہ ہو جو مثلث میں عدم مساوات کو مطمئن کرتا ہو ( ہر لمبائی، دیگر دو لمبائیوں کا مجموعہ سے کم ہو)، تو ان تینوں لمبائیوں کو بطور اضلاع استعمال کرتے ہوئے ایک مثلث ضرور بنایا جاسکتا ہے۔

کیسے تعین کر سکتے ہیں کہ اگر لمبائیوں کا ایک مجموعہ ، مثلث میں عدم مساوات کے اصول کو مطمئن کرتا ہے تو مثلث ضرور بنے گا۔

ہم مثلث کے وجود کا یقین صرف اس صورت میں کر سکتے ہیں اگر ہم یہ دکھا سکیں کہ مثلث میں عدم مساوات کی شرط (جیسا کہ شکل 7.5 میں ہے ) پوری ہوتی ہیں تو دونوں دائرے اندرونی طور پر ایک دوسرے کو قطع کرتے ہیں۔ لیکن جب ان دونوں دائروں کو بنایا جائے تو کیا کچھ اور امکانات بھی ہو سکتے ہیں؟ آئیے ہم ان کا جائزہ لیں اور ان کا مطالعہ کریں۔

مندرجہ ذیل مختلف صورتیں تصور کی جاسکتی ہیں:

نوٹ کیجیے کہ دائروں کی تشکیل کے دوران ، ہم درجہ ذیل اقدامات کرتے ہیں۔

(2) اساس (AB (Base کی لمبائی = دی گئی لمبائیوں میں سب سے بھی ہے۔

(b) دائروں کے نصف قطر ، دو چھوٹی لمبائیوں کے ہوں گے۔

مذکورہ بالا صورتوں میں سے کون سی صورت میں مثلث بنے گا ؟ واضح طور پر ، مثلث صرف اس وقت بنتے ہیں جب دائرے ایک دوسرے کو اندرونی طور پر قطع کرتے ہیں ( کیس 3)۔

؟ آئیے ہم ان تمام صورتوں کا مطالعہ کریں اور دو چھوٹی لمبائیوں (جو دائروں کے نصف قطر ہیں) اور AB (جو سب سے بڑی لمبائی ہے ) کے درمیان رشتہ معلوم کریں۔

کیس 1: دائرے، ایک نقطہ پر ایک دوسرے کو چھوتے ہیں۔

اس کیس کے ہونے کے لیے،

دو نصف قطروں کا حاصل بمع = AB ہے۔

یا دو چھوٹی لمبائیوں کا حاصل جمع = سب سے لمبی لمبائی

کیس 2: دائرے ایک دوسرے کو اندرونی طور پر نہیں قطع کرتے۔

اس صورت میں ہونے کے لیے، نصف قطروں اور AB کے درمیان کیا تعلق ہونا چاہیے؟

یہ تصویر سے دیکھا جا سکتا ہے کہ ،

و نصف قطروں کا حاصل جمع < AB دو

یا دو چھوٹی لمبائیوں کا حاصل جمع د سب سے لمبی لمبائی

کیس 3: دائرے ایک دوسرے کو قطع کرتے ہیں۔

AB ایک نصف قطر اور دوسرے کے ایک حصے پرمشتمل ہے۔ تو ،

دو نصف قطروں کا مجموعہ > AB یا

دو چھوٹی لمبائیوں کا مجموعہ > سب سے لمبی لمبائی

کیا ہم اس تجزیے کو یہ بتانے کے لیے استعمال کر سکتے ہیں کہ ایک مثلث اس وقت بن سکتا ہے جب لمبائیاں مثلث میں عدم مساوات کی شرط کو پورا کرتی ہے؟

اگر دی گئی لمبائی مثلث میں عدم مساوات کی شرط کو پورا کرتی ہیں، تو دو چھوٹی لمبائیوں کا مجموعہ سب سے لمبی لمبائی سے زیادہ ہے۔ اس کا مطلب ہے کہ یہ معاملہ 3 کی طرف لے جائے گا جہاں دائرے اندرونی طور پر ایک دوسرے کو آپس میں کاٹتے ہیں، اور اس طرح ایک مثلث بن سکتا ہے۔

دی گئی لمبائیوں کے مجموعے کے لیے دونوں دائروں کی شکل کیا ہو گی جب وہ مثلث میں عدم مساوات کی شرط کو پورا نہ کرسکتی ہو۔

ایسی لمبائیوں کے مجموعہ کی تین مثالیں دیجیے جن کے دائرے:

(a) ایک دوسرے کو ایک نقطہ پر چھوتے ہوں۔

ایک دوسرے کو قطع نہ کرتے ہوں۔ ()

ایک ایسا مکمل طریقہ کار وضع کیجیے جو کہ مثلث کے وجود کو جانچنے کے لیے استعمال کیا جاسکے۔

نتیجه

اگر تین ایسی لمبائیوں کا مجموعہ دیا گیا ہو جو مثلث میں عدم مساوات کی شرط کو پورا کرتا ہے، تو ایک مثلث بن سکتا ہے جس کے اضلاع کی یہ لمبائیاں ہوں۔ اگر مجموعہ مثلث میں عدم مساوات کی شرط کو پورا نہیں کرتا ہے، تو اضلاع کی ان لمبائیوں کے ساتھ ایک مثلث نہیں بن سکتا ہے۔

؟ معلوم کیجیے

1 چیک کیجیے کہ کیا درج ذیل میں دی گئی لمبائیوں سے ایک مثلث بن سکتا ہے :

(a) 1, 100, 100

(b) 3, 6, 9

(c) 1, 1, 5

(d) 5, 10, 12

2 کیا ایک ایسا مساوی الاضلاع مثلث بن سکتا ہے جس میں ہر ایک اضلاع کی لمبائی 50،50،50 ہو؟ کیا اضلاع کی لمبائیوں کے کسی بھی مجموعہ سے مساوی الاضلاع مثلث بن سکتا ہے؟ اپنے جواب کا جواز پیش کریں۔

3 مندرجہ ذیل میں سے ہر ایک کے لیے، تیسرے ضلع کی لمبائی کی 5 ممکنہ قدریں بتائیے جن سے ایک مثلث بنایا جاسکے (اعشاریہ کی قدریں بھی منتخب کی جاسکتی ہیں)

(a) 1, 100

(b) 5.5

(c) 3,7

دیکھیے کہ کیا آپ ہر معاملے میں تیسرے ضلع کی تمام ممکنہ لمبائیوں کو بیان کر سکتے ہیں، تاکہ ضلع کی ان لمبائیوں کے ساتھ ایک مثلث بن سکے۔ مثال کے طور پر، کیس (a) میں، 99 اور 101 کے درمیان کے تمام نمب ممکن ہوں گے۔

7.3 مثلث کی تشکیل جب کچھ اضلاع اور زاویے دیے ہوں

ہم نے دیکھا ہے کہ مثلث کی تشکیل کیسے کی جاتی ہے جب ان کے اضلاع کی لمبائیاں دی گئی ہوں۔ اب، ہم ایسی تشکیلات کریں گے جہاں کچھ اضلاع کی لمبائیوں کی جگہ زاویہ کی پیمائش دی گئی ہے۔

دو اضلاع اور ان کے درمیان کا زاویہ

اگر دو اضلاع اور ان کے درمیان کا زاویہ دیا جائے تو ہم مثلث کیسے بنائیں گے؟ یہاں پیمائش کی کچھ مثالیں ہیں جو درمیانی زاویہ کو ظاہر کرتی ہیں۔

ایک مثلث ABC بنائیے جس میں AB کی لمبائی 5 سینٹی میٹر ہو ۔ 4 سینٹی میٹر = AC اور 450 = A ہے۔

مرحله 1: 5 سینٹی میٹر لمبائی کا ایک ضلع AB بنائیے۔

مرحله 2: زاویہ کا دوسرا باز و بیچ کر ° 45 = A بنائیے۔ مرحلہ 3 نقطہ C کو دوسرے بازو پر اس طرح نشان زد کیجیے کہ

4 سینٹی میٹر = AC ہو۔

مرحله 4: مطلوبه مثلث حاصل کرنے کے لیے BC بنائیے۔

.معلوم کیجیے

1 درج ذیل پیمائش کے لیے مثلث تشکیل دیں جہاں اضلاع کے درمیان کا زاویہ بھی دیا گیا ہو :

(a) 3 cm, 75°, 7 cm

(b) 6 cm, 25°, 3 cm

(c) 3 cm, 120°, 8 cm

(c) 3 cm, 120°, 8 cm ہم نے دیکھا ہے کہ اضلاع کی لمبائیوں کے تمام مجموعوں کے لیے مثلث تشکیل نہیں دیے ہیں۔ کیا دو اضلاع اور ان کے درمیان کے زاویہ کے معاملے میں پیمائش کا کوئی ایک ایسا مجموعہ ہے جہاں مثلث تشکیل نہیں دیا جا سکتا ہے ؟ تشکیل کے -دوران کیے ہوئے اپنے مشاہدے کا استعمال کرتے ہوئے اپنے جواب کا جواز پیش کیجیے۔

دو زاویہ اور ان کے درمیان کا ضلع :

اس معاملے میں ، ہمیں دو زاویے دیے گئے ہیں اور ان کے درمیان کے ضلع کی لمبائی بھی دی ہوئی ہے۔ یہاں اس طرح کی پیمائش کی کچھ مثالیں ہیں:

AB = 5 cm, angle A = 45 deg اور angle B = 80 deg :ہو میں جس بنائے ABC ایکمثلث ؟ آئیے دیے گئے ضلع کو قاعدہ کے طور پر لیتے ہیں۔

مرحله 1: 5 سینٹی میٹر لمبائی کا قاعدہ AB بنائیے۔

مرحله 2 A اور B پر بالترتیب 450 اور 800 کے زاویے بنائیے۔

مرحلہ 3: دونئی شعاعوں کا نقطہ تقاطع اور تیسر ار اس C ہے۔

معلوم کیجیے

1 درج ذیل پیمائش کے لیے مثلث کی تشکیل کیجیے۔

14 (a) 75°, 5 cm, 75°

(b) 25°, 3 cm, 60°

(c) 120°, 6 cm, 30°

کیا مثلث کا بنا ہمیشہ ممکن ہے؟

کیا دیے گئے دو زاویوں اور ان کے درمیان واقع ضلع کے ہر مجموعہ کے لیے ایک مثلث بنایا جاسکتا ہے؟ تحقیق کیجیے۔

جس طرح مثلث کے تینوں اضلاع کی مدد سے یہ پتہ چل جاتا تھا کہ مثلث کی تشکیل ہو پائے گی یا نہیں تو اسی طرحجب دو زاویے اور ان کے درمیان کا ضلع دیا جائے تو پتہ چلایا جاسکتا ہے کہ ہمیشہ مثلث کی تشکیل ہو پائے گی یا نہیں۔

دو زاویے اور ان کے درمیان کے ضلع کی پیمائش کے مجموعوں کی ایسی مثالیں معلوم کیجیے جہاں مثلث کی تشکیل کر نا ممکن نہیں ہے۔

آئیے ہم ایسی صورت حال کو دیکھنے کی کوشش کرتے ہیں۔ ایک بار جب قاعدہ بن جائے تو تصور کرنے کی کوشش کیجیے کہ دونوں اضلاع کیسے ہونے چاہیے تا کہ وہ مل نہ سکیں۔

یہاں کچھ واضح مثالیں ہیں۔

اگر دونوں زاویے ایک زاویہ قائمہ (900) سے زیادہ یا برابر ہیں تو یہ واضح ہے کہ مثلث کی تشکیل ممکن نہیں ہے۔

اب ہم قاعدے پر بنے زاویوں میں سے ایک کو زاویہ حادہ بناتے ہیں، جیسے 400۔ تو دوسرے زاویہ کی ایسی کون سی قدریں ہونی چاہیے تا کہ خطوط مل نہ سکیں؟

یہ واضح ہے کہ اگر B سے لائن کافی حد تک دائیں طرف مائل“ ہے، تو یہ لائن 1 نہیں ملے گی۔

(a) ایسا کرنے کے لیے ایک ممکنہ B ( شکل میں نشان زد) تلاش کرنے کی کوشش کیجیے۔

خطوط کے نہ ملنے کے لیے B کی سب سے چھوٹی قدر کیا ہو سکتی ہے؟ (b)

نیلا خط وہ خط ہے جو دائیں طرف سب سے کم مائل ہوا ہے اور جو خطا سے نہیں ملتا دیکھنے پر، یہ واضح ہے کہ جو خط سب سے چھوٹا زوایہ B بناتا ہے اسے 1 کے متوازی ہونا چاہیے۔ آیئے ہم اس متوازی خط کو mمان لیتے ہیں۔

کیا آپ بتا سکتے ہیں کہ اس معاملے میں B کی اصل قیمت کتنی ہے؟ 6

اشاره: نوٹ کیجیے کہ AB قاطع ہے۔] ہم نے دیکھا ہے کہ جب دو خطوط متوازی ہوتے ہیں تو قاطع کے ایک ہی طرف کے اندرونی زاویوں کا جوڑ °180 ہوتا ہے۔ اس لیے زاویہ ، 1400=B کے برابر ہو گا۔

تو B کی کن قدروں کے لیے، کوئی مثلث نہیں بنایا جا سکتا ہے، کیا لمبائی AB یہاں کوئی کردار ادا کرتی ہے؟

اوپر کی بحث سے، یہ دیکھا جا سکتا ہے کہ لمبائی AB کسی مثلث کے وجود کا فیصلہ کرنے میں کوئی کردار ادا نہیں کرتی ہے۔ ہم کہہ سکتے ہیں کہ مثلث کی تشکیل ممکن نہیں ہے جب °B140 سے بڑا یا اس کے برابر ہو ۔

معلوم کیجیے

1 مندرجہ ذیل زاویوں میں سے ہر ایک کے لیے، ایک اور دوسرا زاویہ کی پیمائش بتائیے جس کے لیے مثلث

( a) ممکن ہے، (b) ممکن نہیں۔ ہر زمرے کے لیے کم از کم دو مختلف زاویے تلاش کیجیے:

(a) 30°

(b) 70°

(c) 54°

(d) 144°

2 معلوم کیجیے کہ مندرجہ ذیل میں سے کون سا جوڑا، کسی مثلث کے زاویوں کا جوڑا ہو سکتا ہے اور کون سا نہیں:

(a) 35°, 150°

(b) 70°, 30°

(c) 90°, 85°

(d) 50°, 150°

سلث میں عدم مساوات کی طرح ، کیا آپ کوئی ایسا اصول تشکیل دے سکتے ہیں جو ان دو زاویوں کے بارے میں بتائے جن کے لیے مثلث ممکن ہے؟

کیا ” دوزاویوں کا جوڑا اس اصول کو بنانے کے لیے استعمال کیا جاسکتا ہے؟

جب دو دیے گئے زاویوں کا حاصل جمع 1800 سے کم ہو تو ان زاویوں سے ایک مثلث تشکیل دیا جا سکتا ہے۔ اگر یہ حاصل جمع 1800 سے زیادہ یا اس کے برابر ہے، تو ان زاویوں سے کوئی مثلث نہیں تشکیل دیا جا سکتا ہے۔

آئے ایسے دو زاویے لیجیے جن کا حاصل جمع 1800 سے کم ہو جیسے 600 اور 700 - مان لیجیے کہ درمیانی ضلع 5 سینٹی میٹر ہے۔

تیسرے زاویے کی پیمائش کیا ہو سکتی ہے؟ کیا یہ پیمائش قاعدے کی لمبائی کو تبدیل کرنے پر تبدیل ہوتی ہے۔ مان لیں کہ 7 سینٹی میٹر ؟ تشکیل کیجیے اور معلوم کیجیے۔

عام طور پر، جب دو زاویے مقرر کر دیے جائیں، تو کیا تیسر از او یہ درمیانی ضلع کی لمبائی پر منحصر ہوتا ہے ؟ مختلف زاویوں کے جوڑوں اور ضلع کی لمبائیوں کو لے کر آزمائیے۔

پیمائش سے ظاہر ہو سکتا ہے کہ تیسرے زاویہ پر درمیانی ضلع کی لمبائی کا کوئی اثر نہیں ہوتا ( یا بہت کم اثر ہوتا ہے )۔

اس مشاہدے کے ساتھ ، آئیے دیکھتے ہیں کہ کیا ہم تشکیل اور پیمائش کیے بغیر تیسر از او یہ تلاش کر سکتے ہیں۔ در

ربات ہے مختلف مثلثوں کے ساتھ آزمانے کی کوش کیجیے کہ کیا کسی دوزاویوں اور تیسرے زاویہ کے درمیان کوئی تعلق ہے۔ اس تعلق کو تلاش کرنے کے لیے، آپ کسی معلومات پر نظر رکھیں گے اور آپ جو معلومات اکٹھا کریں گے اسے کیسے ترتیب دیں گے؟

یک مثلث ABC جس کے زاویے 500 = B اور 700=C ہوں۔ آئیے دیکھتے ہیں کہ ہم بغیر تشکیل کے LA علوم کر سکتے ہیں۔

ہم نے دیکھا کہ متوازی خطوط (Parallel lines) کا تصور اس بات کا تعین کرنے کے لیے مفید تھا کہ مثلث کے کسی بھی دو زاویوں کا مجموعہ 1800 سے کم ہو متوازی خطوط کے استعمال سے تیسرے زاویہ BAC کی بھی تلاش کی جاسکتی ہے۔

فرض کیجیے کہ ہم راس A سے گزرتا ہوا XY بنائیں جو BC کے متوازی ہو۔

؟ ہم یہاں نئے زاویے بنتے دیکھ سکتے ہیں: XAB اور YAC ۔ ان کی اقدار کیا ہیں؟

چوں کہ خط XY متوازی ہے BC کے XAB = B اور YAC = C کیوں کہ یہ قاطع خطوط AB اور AC کے متبادل زاویے ہیں۔

لہذا = 50 = XAB اور 70 = YAC - کیا ہم اس سے BAC کو معلوم کر سکتے ہیں؟

ہم جانتے ہیں کہ XAC ، XAB اور BAC مل ک 180° بنتے ہیں۔ تو

angle XAB+ angle YAC+ angle BAC = 180°

50° + ∠ BAC + 70° + deg = 180° deg

120° + ∠BAC = 180° = =

اس لیے angle ∠BAC = 60°

اس لیے،

اب ایک مثلث بنائیے (BC کی کوئی بھی مناسب لمبائی لے کر ) اور تصدیق کیجیے کہ کیا واقعی ایسا ہی معاملہ ہے۔

معلوم کیجیے

. مثلث کا تیسر از او یہ معلوم کیجیے ایک متوازی خط کا استعمال کرتے ہوئے) جب دو زاویہ دیے ہوئے ہوں۔ 1

(a) 36°, 72°

(b) 150°,15°

(c) 90°, 30°

(d) 75°, 45°

2 کیا آپ ایک مثلث کی تشکیل کر سکتے ہیں جس کے تمام زاویے 700 کے برابر ہوں؟ اگر دو زاویہ 700 ہیں تو تیسر از اویہ کیا ہو گا؟ اگر ایک مثلث میں تمام زاویے برابر ہوں تو اس کی پیمائش کیا ہو گی؟ تلاش کیجیے اور معلوم کیجیے۔

یہاں ایک مثلث ہے جس میں ہم جانتے ہیں کہ 500=A اور B = C ہے۔ کیا آپ B اور C کو ] 3

معلوم کر سکتے ہیں؟

زاویوں کے مجموعے کی خاصیت (Angle Sum Property)

ہم کسی مثلث کے زاویوں کے مجموعے کے بارے میں کیا کہہ سکتے ہیں؟

ایک مثلث ABC پر غور کیجیے۔ اس کے زاویوں کا مجموعہ معلوم کرنے کے لیے، ہم اس قاعدے کے متوازی خط کھینچنے کا وہی طریقہ استعمال کر سکتے ہیں۔ راس A کے ذریعے ایک خط بنائیے جو B C کے متوازی ہو۔

ہمیں معلوم کرنا ہے ∠A + ∠B + ∠C

ہم جانتے ہیں کہ ∠B = ∠XAB, ∠C = ∠YAC

ZA + B + C = ∠A + XAB + YAC ،اس لیے

= 180° ہے، کیوں کہ یہ تینوں زاویے مل کر ایک سیدھا زاویہ بناتے ہیں۔

اس طرح ہم نے ثابت کیا کہ کسی بھی مثلث میں تین زاویوں کا مجموعہ 1800 ہے ! یہ حیرت انگیز نتیجہ ہی ” مثلث کے زاویوں

کے مجموعے کی خاصیت“ کہلاتا ہے۔

اس بات پر غور کرنے کے لیے کچھ وقت نکالیے کہ ہم نے زاویوں کے مجموعے کی خاصیت کا اندازہ کیسے لگایا۔ شروع میں تیسرے زاویے اور باقی دو زاویوں کے درمیان تعلق بالکل واضح نہیں تھا۔ حالاں کہ اوپری راس (جیسا کہ شکل 7.7 میں) پر قاعدہ کے متوازی خط کھینچنے کے ایک خیال نے اچانک تعلق کو واضح کر دیا۔ یہ واضح خیال ریاضی کی تاریخ کی ایک بہت ہی با اثر کتاب میں پایا جاسکتا ہے جسے عناصر کہا جاتا ہے۔ یہ کتاب یونانی ریاضی داں یو کلڈ سے منسوب ہے، جن کا زمانہ 300 قبل مسیح کا ہے۔

یہ حل ایک اور مثال ہے کہ کس طرح تخلیقی سوچ ریاضی میں کلیدی کردار ادا کرتی ہے!

ایک کاغذ کے متلثی کٹ موڑ کر زاویوں کے مجموعے کی خاصیت کی تصدیق کرنے کا ایک اور آسان طریقہ ہے۔ کیا آپ نے دیکھا کہ یہ کیسے ظاہر کرتا ہے کہ اس مثلث میں زاویوں کا مجموعہ °180 ہے؟

(Exterior Angles) بیرونی زاویه

مثلث کے کسی ضلع کے توسیع اور دوسری طرف کے ضلع کے درمیان بنے والا او یہ مثلث کا بیرونی زاویہ کہلاتا ہے اس شکل میں،

ACD ایک بیرونی زاویہ ہے۔

c angle A = 50 deg اور angle B = 60 deg ACD کو معلوم کیجیے اگر

زاویوں کے مجموعے کی خاصیت سے، ہم جانتے ہیں کہ

50^ +60^ + angle ACB = 180 deg

110^ + angle ACB = 180 deg

ACB = 70 تو

ACD = 180° - 70° = 1100 اس لیے

چوں کہ ACB اور ACD کے مل کر ایک زاو میر تقیم بناتے ہیں۔

اور B کے کی مختلف پیمائشوں کے لیے بیرونی زاویہ تلاش کیجیے۔ کیا آپ کو بیرونی زاویہ اور ان دو زاویوں کے درمیان کوئی تعلق نظر آتا ہے۔

اشارہ: زاویہ کی مجموعی خاصیت سے، ہمارے پاس °180 = A + B+ / ACB / ہے۔] ہمارے پاس 1800 = ACD + ACB بھی ہے، کیوں کہ یہ ایک زاد میر تقیم بناتے ہیں۔ یہ کیا ظاہر کرتا ہے؟

7.4 مثلث کی ارتفاع (Altitudes) سے تعلق تشکیلات

مثلث کے حوالے سے پیمائشوں کا ایک اور مجموعہ ہے۔ مثلث کے ہر راس کی اونچائی اس کے متضاد ضلع کے مطابق ہوتی ہے۔

ہم اپنے اطراف کی دنیا میں مختلف اشیا کی اونچائیوں کے بارے میں بات کرتے ہیں: کسی شخص کی اونچائی، درخت کی اونچائی، عمارت کی اونچائی وغیرہ۔ لفظ 'اونچائی سے ہمارا کیا مطلب ہے؟

ایک مثلث ABC پر غور کیجیے۔ اس کے متضاد ضلع BC سے راس A کی اونچائی کتنی ہے، اور اسے کیسے ناپا جاسکتا ہے؟

مانا AD ایک خط ہے جو A سے BC پر عمود (Perpendicular) ہے۔ AD کی لمبائی BC سے راس A کی

اونچائی ہے۔ قاطع خط AD کو مثلث کا ایک "ارتفاع" کہا جاتا ہے۔ نیچے دی گئی تصویر میں دیگر ارتفاع BE اور CF ہیں: دوسرے راسوں سے ان کے مقابل اضلاع پر کھینچے گئے عمودی خ خط ۔

جب بھی ہم مثلث کی اونچائی کا لفظ استعمال کرتے ہیں تو عام طور پر اس سے مراد ارتفاع کی لمبائی ہوتی ہے جو اس کے کسی قاعدہ کے مطابق ہوتا ہے۔ ( یہ ارتفاع شکل 7.8 کے معاملے میں AD ہے) اس مثلث میں A سے BC تک کا ارتفاع کیا ہو گا؟

ہم BC کو B کی طرف بڑھاتے ہیں اور پھر A سے اس بڑھے ہوئے خط پر ایک عمود ڈالتے ہیں۔

کاغذ موڑنے کے عمل سے ارتفاع کی تشکیل

ایک کاغذ کو مثلث کی شکل میں کاٹ لیجیے۔ اضلاع میں سے کسی ایک کو قاعدہ مان لیجیے۔ اس کو اس طرح موڑیے کہ نتیجے میں آنے والی کریز اوپر کے قاعدہ سے اساس پر بنا ایک ارتفاع ہو۔ اس بات کا جواز پیش کیجیے کہ کریز کو راس پر عمود کیوں

مثلث کے ارتفاع کی تشکیل

کوئی ایک مثلث بنائیے۔ اس کے راس کا نام A,B,C رکھیے اور BC کو قاعدہ بنائیں۔

A سے BC پر ایک ارتفاع بنائیے۔

صرف ایک پیمانہ کا استعمال کرتے ہوئے ارتفاع کی تشکیل درست نہیں ہے۔ °90 کا زیادہ درست زاویہ حاصل

کرنے کے لیے، ہم پیمانے کے ساتھ ایک سیٹ اسکوائر کا استعمال کرتے ہیں۔

کیا آپ دیکھ سکتے ہیں کہ ایسا کیسے کیا جاتا ہے؟

مرحله 1 پیمانے کو قاعدہ سے منسلک رکھیے۔ سیٹ اسکوائر کو پیمانے پر رکھیے جیسا کہ دکھایا گیا ہے، اس طرح کہ زاویہ قائمہ کا ایک کنارہ پیمانے کو چھوتا ہو ۔

مرحلہ 2 سیٹ اسکوائر کو پیمانے کے ساتھ تب تک سر کائیں جب تک سیٹ اسکوائر کا عمودی کنارہ (vertical edge) راس نقطہ A کو نہ چھولے۔

مرحلہ 3: سیٹ اسکوائر کے عمودی کنارے کا استعمال کرتے ہوئے A کے ذریعے BC تک ارتفاع بنائیے۔

کیا کوئی مثلث ہے جس کا کوئی ضلع اس کا ارتفاع بھی ہو ؟

اس طرح کے مثلث کا تصور کیجیے اور ایک خاکہ بنائیے۔

ہم دیکھتے ہیں کہ یہ ایسے مثلث میں ہوتا ہے جہاں ایک زاویہ ، زاویہ قائمہ ہوتا ہے۔

(Right triangles) کہلاتا ہے۔ ایسے مثلث جن کا ایک زاویہ ، زاویہ قائمہ ہو ، قائم زاویہ مثلث

A سے BC پر ارتفاع:

7.5 مثلث کی اقسام

مثلث کے مطالعہ میں، ہم نے مثلث کی درج ذیل اقسام کے بارے میں جانا۔ مساوی الاضلاع مثلث ، مساوی الساقین مثلث، مختلف الاضلاع مثلث اور قائم زاویہ مثلث۔

کیا آپ نے مثلث کی کسی اور قسم کو دیکھا؟

اضلاع کی برابری کی بنیاد پر کی جانے والی درجہ بندی میں مساوی الاضلاع مثلث ، مساوی الساقین مثلث ، آتے ہیں۔

7.5 مثلث کی اقسام

مثلث کے مطالعہ میں، ہم نے مثلث کی درج ذیل اقسام کے بارے میں جانا۔ مساوی الاضلاع مثلث، مساوی الساقین مثلث، مختلف الاضلاع مثلث اور قائم زاویہ مثلث

کیا آپ نے مثلث کی کسی اور قسم کو دیکھا؟

اضلاع کی برابری کی بنیاد پر کی جانے والی درجہ بندی میں مساوی الاضلاع مثلث ، مساوی الساقین مثلث، آتے ہیں۔

مساوی الاضلاع مثلث کے سبھی اضلاع کی لمبائی برابر ہوتی ہے، مساوی الساقین مثلث کے کسی دو اضلاع کی لمبائی برابر ہوتی ہے۔ مختلف الاضلاع مثلث میں تینوں ضلعوں کی لمبائیاں الگ الگ ہوتی ہیں۔

کیا مثلث کی درجہ بندی زاویوں کی برابری کے اعتبار سے کر سکتے ہیں؟ کیا ان دونوں درجہ بندیوں میں کوئی تعلق ہے؟

ان سوالات کا جواب ہم بعد کے باب میں دیں گے۔

ہم نے زاویوں کی پیمائش کا استعمال اس وقت کیا جب ہم نے مثلث کو قائم زاویہ مثلث کے طور پر درجہ بند کیا۔

زاویہ کی پیمائش پر مبنی مثلث کی دوسری اقسام کیا ہیں؟

ان کے زاویہ کی بنیاد پر مثلث کی درجہ بندی، حاده زاویه مثلث، قائم زاویه مثلث اور منفرجہ زاویہ مثلث ہے۔ ہم پہلے ہی دیکھ چکے ہیں کہ قائم زاویہ مثلث کیا ہوتا ہے۔ یہ ایک ایسا مثلث ہے جس کا ایک زاویہ ، زاویہ قائمہ ہوتا ہے۔

اسی طرح، ایک منفرجہ زاویہ مثلث میں ایک زاویہ ، زاویہ منفرجہ ہوتا ہے۔

ایک حادہ زاویہ مثلث کیا ہو سکتا ہے ؟ کیا ہم اسے ایک مثلث جس کا ایک زاویہ، زاویہ حادہ ہو، مثلث کے طور پر بیان کر سکتے ہیں؟ کیوں نہیں؟

ایک حادہ زاویہ (Acute-angled) مثلث میں، تینوں زاویے زاویہ حادہ ہوتے ہیں۔

معلوم کیجیے

ایک مثلث ABC بنائیے جس میں 5 سینٹی میٹر = BC، 6 سینٹی میٹر = AB، 5 سینٹی میٹر = CA ہو۔

A سے BC پر ایک ارتفاع بنائیے۔

2 ایک مثلث TRY بنائیے جس میں 4 سینٹی میٹر = RY، 7 سینٹی میٹر = R=140° ،TR ہو۔

سے RY پر ایک ارتفاع بنائیے۔

ایک قائم زاویہ مثلث AABC بنائیے جس میں 900=B اور 5 سینٹی میٹر = AC ہو ۔ ان پیمائشوں کے ساتھ

کتنے مختلف مثلث بن سکتے ہیں۔

اشارہ خیال رہے کہ دوسری پیمائشیں کوئی بھی قدر اختیار کر سکتی ہیں۔ AC کو قاعدہ مان لیجیے۔ LA اور C کن قدروں کو اختیار کریں کہ دوسر از او یہ 900 ہو ۔]

4. تعمیر کے ذریعے یہ دریافت کیجیے کہ کیا ایک مساوی الاضلاع مثلث بناناممکن ہے جو کہ (i) زاویہ قائمہ (Right-angled) (ii) زاویہ منفرجه (Obtuse angled) ہو ۔ ایک ایسا مساوی الساقین مثلث بنائیے جو (1) زاویہ قائمہ

(ii) زاویہ منفرجہ ہو۔