2
کثیررکنیاںPOLYNOMIALS
2.1تعارف
نویں کلاس میں آپ نے ایک متغیر والی کثیر رکنیوں اور ان کے درجہ کے بارے میں پڑھا تھا ،یاد کیجئے اگر (p،x،(xمیں کو ئی کثیر رکنی ہے تو (p(xکی سب سے بڑی قوت کثیر رکنی (p (xکا درجہ کہلاتی ہے ۔
متغیر xمیں ایک کثیر رکنی ہے جس کا درجہ 1ہے ۔
متغیر yمیں ایک کثیر رکنی ہے جس کا درجہ 2ہے 
متغیر xمیں ایک کثیر رکنی ہے جس کا درجہ 3ہے 
متغیر uمیں ایک کثیر رکنی ہے جس کا درجہ 6ہے۔ 
دو درجی کثیر رکنیوں کی کچھ مثالیں ہیں (جن کے ضریب حقیقی اعداد ہیں ) مجموعی طور پرn میں کوئی بھی دو درجی کثیر رکنی
شکل کی ہوتی ہے ،جہاں a،bاورcحقیقی اعداد ہیں اور
،ایک کثیر رکنی جس کا درجہ 3ہوتا ہے کعبی کثیر رکنی کہلاتی ہے ۔کعبی کثیر رکنی کی کچھ مثالیں ہیں ۔
در حقیقت کعبی کثیر رکنی کی عمومی شکل ہے ۔
شکل کی ہوتی ہے ،جہاں a،bاورcحقیقی اعداد ہیں اور،ایک کثیر رکنی جس کا درجہ 3ہوتا ہے کعبی کثیر رکنی کہلاتی ہے ۔کعبی کثیر رکنی کی کچھ مثالیں ہیں ۔در حقیقت کعبی کثیر رکنی کی عمومی شکل ہے ۔
جہاں a، b،cاورdحقیقی اعداد ہیں اور
آئیے اب کثیر
رکنی پر غور کر تے ہیں ۔ا س کثیر رکنی میں 
رکھتے ہیں اس سے ہمیں حاصل ہوتا ہے
،کثیر رکنی
میں x کی جگہ 2رکھنے سے جو ہمیں قدر –6ملتی ہے وہ 
کی قدر ہے ۔اسی طرح سے
پر قدر ہے جو 4-ہے ۔
رکنی پر غور کر تے ہیں ۔ا س کثیر رکنی میں رکھتے ہیں اس سے ہمیں حاصل ہوتا ہے ،کثیر رکنی میں x کی جگہ 2رکھنے سے جو ہمیں قدر –6ملتی ہے وہ کی قدر ہے ۔اسی طرح سےپر قدر ہے جو 4-ہے ۔ اگر (p (xیہ ،xمیں کوئی کثیر رکنی ہے اور اگر Kکوئی حقیقی عدد ہے تب (p (xمیں xکی جگہ kرکھنے سے جو قدر حاصل ہوتی ہے وہ (p (xکی x = kپر قدر ہوتی ہے ۔اور اس کو ہم(p (kسے ظاہر کرتے ہیں ۔
پر قدر کیا ہے ؟ ہمارے پاس ہے :مزید نوٹ کیجئے 
کیونکہ
اس لئے –1اور4دو درجی کثیر رکنی
کے صفر کہلاتے ہیں ۔
اس لئے –1اور4دو درجی کثیر رکنی کے صفر کہلاتے ہیں ۔مجموعی طور پر k یہ کثیر رکنی (p(x) کا صفر کہلائے گا جب p(k)=0
نویں کلاس میں آپ پہلے ہی پڑھ چکے ہیں کہ کسی خطی کثیر رکنی کے صفر کیسے معلوم کئے جاتے ہیں ۔مثال کے طور پر اگر 
کا صفر ہے تب p(k)=0سے ہمیں ملتا ہے 2k+3=0یعنی 
کا صفر ہے تب p(k)=0سے ہمیں ملتا ہے 2k+3=0یعنی 
اس طرح خطی کثیر رکنیوں کا صفر ان کے ضریب سے متعلق ہوتا ہے ،کیا ایسا دوسری کثیر رکنیوں کے ساتھ بھی ہے ؟ مثال کے طور پر کیا دو درجی کثیر رکنیوں کے صفر بھی ان کے ضریبوں سے متعلق ہیں ؟
اس باب میں ہم ان سوالوں کے جواب دینے کی کوشش کریں گے ۔ہم کثیر رکنیوں کے تقسیمی الگورتھم کا بھی مطالعہ کریں گے ۔
2.2کثیر رکنی کے صفر کا جیومیٹریائی مفہوم
آپ جانتے ہیں کہ حقیقی عدد kکثیر رکنی (p(x)کا صفر ہوتا ہے اگر p(k)=0۔لیکن سوال یہ پیدا ہوتا ہے کہ کثیر رکنیوں کے صفر کی اتنی اہمیت کیوں ہے ؟ اس کا جواب دینے کے لئے پہلے ہم خطی اور دو درجی کثیر رکنیوں کا جیو میٹریائی اظہار اوران کے صفروں کا جیومیٹریائی مفہوم (مطلب) سمجھیں گے ۔
شکل :2.1
پہلے آپ خطی کثیر رکنی ax+b, a¹0. پر غور کیجئے۔ آپ نویں کلاس میں پڑھ چکے ہیں کہ y=ax+bکا گراف ایک خط مستقیم ہے ۔مثال کے طور پر y=2x+3 کا گرا ف ایک خط مستقیم ہے جو (–2,1–)اور(2, 7)نقطوں سے ہو کر گزرتا ہے
شکل 2.1میں آپ دیکھ سکتے ہیں کہ y = 2x+3 کا گراف x–محور کو x = – 1اورx = –2کے درمیان قطع کرتا ہے یعنی نقطہ 
پر آپ یہ بھی جانتے ہیں کہ 2x + 3کا صفر
ہے ۔اس طرح سے کثیر رکنی 2x + 3کا صفر اس نقطہ کا x–محور کو قطع کرتا ہے ۔
پر آپ یہ بھی جانتے ہیں کہ 2x + 3کا صفر ہے ۔اس طرح سے کثیر رکنی 2x + 3کا صفر اس نقطہ کا x–محور کو قطع کرتا ہے ۔عمومی طور پر ایک خطی کثیر رکنی ax + b,جس میں
کے لئے y = ax + bکا گراف ایک خط مستقیم ہے جو x–محور کو صرف ایک نقطہ 
پر قطع کرتا ہے ۔اس لئے خطی کثیر رکنی 
کا صفر ایک صفر ہے اور اس نقطہ کا x–مختص ہے جہاں y = ax + bکا گراف x–محور کو قطع کرتا ہے ۔
کے لئے y = ax + bکا گراف ایک خط مستقیم ہے جو x–محور کو صرف ایک نقطہ پر قطع کرتا ہے ۔اس لئے خطی کثیر رکنی کا صفر ایک صفر ہے اور اس نقطہ کا x–مختص ہے جہاں y = ax + bکا گراف x–محور کو قطع کرتا ہے ۔آئیے اب ہم ایک دود رجی کثیر رکنی کے صفر کا جیومیٹریائی مفہوم (مطلب) پر غور کرتے ہیں دود رجی کثیر رکنی 
کا گراف کیسا نظر آتا ہے ،آئیے کچھ قدروں کے لئے
کی کچھ قدریں معلوم کرتے ہیں جیسا کہ جدول 2.1میں دی گئی ہے ۔
کا گراف کیسا نظر آتا ہے ،آئیے کچھ قدروں کے لئے کی کچھ قدریں معلوم کرتے ہیں جیسا کہ جدول 2.1میں دی گئی ہے ۔شکل :2.2
* دو درجی اور سہ درجی رکنیوں کی گراف سازی نہ تو طلبا سے کرائی جانی ہے اور نہ ہی جانچی جانی ہے۔
اگر ہم مندرجہ بالا نقطوںکو گراف پر پلاٹ کر گراف بنائیں یہ بالکل ایسا ہی نظر آئے گا جیسا کے شکل 2.2میںدکھایا گیا ہے۔
شکل :2.2
در حقیقت کسی بھی دو درجی کثیر رکنی 
کے لئے اس کی متعلقہ (نظیری ) مساوات 
کے گراف دو شکلوں میں ایک ہوگا یا تو اوپر کی طرف کھلا ہوا 
یا نیچے کی طرف کھلا ہوا
اور یہ اس بات پر منحصر ہے کہ آیا وہ a > 0یا a < 0(یہ منحنیاں مکافی (parabolas)کہلاتی ہیں ۔
کے لئے اس کی متعلقہ (نظیری ) مساوات کے گراف دو شکلوں میں ایک ہوگا یا تو اوپر کی طرف کھلا ہوا یا نیچے کی طرف کھلا ہوا اور یہ اس بات پر منحصر ہے کہ آیا وہ a > 0یا a < 0(یہ منحنیاں مکافی (parabolas)کہلاتی ہیں ۔جدول 2.1سے آپ دیکھ سکتے ہیں کہ1 – دو درجی کثیر رکنیکے صفر ہیں ۔شکل 2.2سے مزید نوٹ کیجئے کہ 1 –اور4ان نقطوں کے x –مختص ہیں جہاں
کا گراف x– محور کو قطع کرتا ہے ۔اس طرح سے دو درجی کثیر رکنی
ے صفر ان نقطوں کےx – مختصات ہیں جہاںا گراف x –محور کو قطع کرتا ہے ۔
کا گراف x– محور کو قطع کرتا ہے ۔اس طرح سے دو درجی کثیر رکنیے صفر ان نقطوں کےx – مختصات ہیں جہاںا گراف x –محور کو قطع کرتا ہے ۔یہ حقیقت کسی بھی دودرجی کثیر رکنی کے لئے درست ہے یعنی دو درجی کثیر رکنی
کے صفر ان نقطوں کے – xمختصات ہیں جہاں
کو ظاہر کرنے والا مکافی Parabola) x–محور کو قطع کرتا ہے ۔
کے صفر ان نقطوں کے – xمختصات ہیں جہاں کو ظاہر کرنے والا مکافی Parabola) x–محور کو قطع کرتا ہے ۔مندرجہ بالاکے گراف کی شکل سے متعلق 3حالتیں ظاہر ہوتی ہیں ۔
کے گراف کی شکل سے متعلق 3حالتیں ظاہر ہوتی ہیں ۔حالت (i)یہاں گراف x–محور کو دو مختلف نقاط Aاور’Aپر قطع کرتا ہے Aاور’Aکے x–مختصات دو درجی کثیر رکنی 
کے صفر اس حالت کے لئے شکل 2.3دیکھئے ۔
کے صفر اس حالت کے لئے شکل 2.3دیکھئے ۔
شکل 2.3
حالت (ii) یہاں گراف x– محور کو صرف ایک نقطہ پر قطع کرتا ہے یعنی دو منطبق نقطوں پر اس لئے حالت (i)کے دو نقطے Aاور'Aیہاں منطبق ہو کر ایک نقطہ Aبن جاتا ہے (شکل2.4دیکھئے )
شکل 2.4
Aکا x– مختص دو درجی کثیر رکنی 
کا واحد صفر ہے ۔
کا واحد صفر ہے ۔حالت (iii):یہاں یا تو گراف پورا کا پورا xمحور کے اوپر کی طرف ہے یا نیچے کی طرف ہے ۔اس لئے یہx –محور کو کسی بھی نقطہ پر قطع نہیں کرے گا (شکل 2.5دیکھئے ) ۔
شکل 2.5
اس لئے اس حالت میں دو درجی کثیر رکنی کا کوئی اثر نہیں ہے ۔
کا کوئی اثر نہیں ہے ۔تو جیومیٹریائی طو پر اب دیکھ سکتے ہیں کہ دو درجی کثیر رکنی کے یا تو مختلف صفر یا دو مساوی صفر (یعنی ایک صفر ) یا کوئی صفر نہیں ہوتے ۔اس کا مطلب یہ ہے کہ دو درجی کثیر رکنی کے زیادہ سے زیادہ د وصفر ہو سکتے ہیں ۔
کسی مکعبی کثیر رکنی کے صفر کی جیومیٹریائی مفہوم سے آپ کیا توقع رکھتے ہیں ؟ اسے معلوم کرتے ہیں ،کبھی کثیر رکنی
پر غور کیجئے ۔یہ جاننے کے لئے کہ
کا گراف کیسا نظر آتا ہے xکے نظیری yکی کچھ قدریں فہرست تیار کیجئے جیسا کہ جدول 2.2میں دکھایا گیا ہے ۔
پر غور کیجئے ۔یہ جاننے کے لئے کہکا گراف کیسا نظر آتا ہے xکے نظیری yکی کچھ قدریں فہرست تیار کیجئے جیسا کہ جدول 2.2میں دکھایا گیا ہے ۔جدول2.4
جدول میں دئے گئے نقطوں کو گراف پر پلاٹ کرنے اور گراف بنانے سے ہم دیکھتے ہیں کا گراف دراصل شکل 2.6کی طرح نظر آتا ہے ۔
کا گراف دراصل شکل 2.6کی طرح نظر آتا ہے ۔جدول سے ہمیں پتہ چلتا ہے کہ2–،0 اور2 کبھی کثیر رکنی 
کے صفر ہیں مشاہدہ کیجئے کہ 2,0–اور2در اصل ان نقطوں کے x–مختص ہیں جہاں
کا گراف x–محور کو قطع کرتا ہے۔ کیونکہ منحنی x–محور کو صرف ان تین نقطوں پر قطع کرتی ہے اس لئے ان کےx– مختصات کثیر رکنی صفر ہیں ۔
کے صفر ہیں مشاہدہ کیجئے کہ 2,0–اور2در اصل ان نقطوں کے x–مختص ہیں جہاں کا گراف x–محور کو قطع کرتا ہے۔ کیونکہ منحنی x–محور کو صرف ان تین نقطوں پر قطع کرتی ہے اس لئے ان کےx– مختصات کثیر رکنی صفر ہیں ۔
شکل 2.6
آئیے کچھ اور مثالیں لیتے ہیں۔کعبی کثیر رکنیوں
پر غور کیجئے ۔ہم 
اور
کا گراف باالترتیب شکل 2.7 اورشکل 2.8میں دکھاتے ہیں ۔
پر غور کیجئے ۔ہم اور کا گراف باالترتیب شکل 2.7 اورشکل 2.8میں دکھاتے ہیں ۔
شکل 2.8 شکل 2.7
نوٹ کیجئے کہ0کثیر رکنی
کا واحد صفر ہے ۔مزید شکل 2.7میں آپ دیکھ سکتے ہیں کہ 0اس واحد نقطے کا x–مختص ہے جہاں
کا گراف x–محور کو قطع کرتا ہے ۔اسی طرح سے کیونکہ
0اور1کثیر رکنی
کے واحد صفر ہیں ۔مزید شکل 2.8سے ،x–مختصات کی یہ قدریں وہ نقطے ہیں جہاں
کا گراف ہے x–محورکو قطع کرتا ہے ۔
کا واحد صفر ہے ۔مزید شکل 2.7میں آپ دیکھ سکتے ہیں کہ 0اس واحد نقطے کا x–مختص ہے جہاں کا گراف x–محور کو قطع کرتا ہے ۔اسی طرح سے کیونکہ0اور1کثیر رکنی کے واحد صفر ہیں ۔مزید شکل 2.8سے ،x–مختصات کی یہ قدریں وہ نقطے ہیں جہاں کا گراف ہے x–محورکو قطع کرتا ہے ۔مذکورہ بالا مثالوں سے ہم دیکھتے ہیں کے ایک کعبی کثیر رکنی کے زیادہ سے زیادہ 3صفر ہوتے ہیں ۔دوسرے لفظوں میں درجہ3کی کثیر رکنی کے زیادہ سے زیادہ 3صفر ہوتے ہیں ۔
ریمارک : عمومی طور پر ،nدرجہ کی ایک کثیر رکنی (p(x)دی ہوتی ہے ۔(y = p(xکا گراف nمحور کو nنقطوں پر قطع کرے گا۔ اس لئے nدرجہ والی کثیر رکنی کے زیادہ سے زیادہ 3صفر ہوں گے ۔
مثال 1:نیچے دئے گئے شکل 2.9کے گراف کو دیکھئے ۔ہرا یک (y = p(xکا گراف ہے جہاں (p(xایک کثیر رکنی ہے۔ ہر ایک گراف کے لئے (p(xکے صفر کی تعداد معلوم کیجئے ۔
شکل 2.9
حل :
(i) صفر کی تعداد 1ہے کیونکہ گراف x–محور کو صرف ایک نقطہ پر قطع کرتا ہے ۔
(ii) صفر کی تعداد 2ہے کیونکہ گراف x–محور کو دو نقطوں پر قطع کرتا ہے ۔
(iii) صفر کی تعداد 3ہے (کیوں؟)
(iv) صفر کی تعداد 1ہے (کیوں؟)
(v) صفر کی تعداد1ہے (کیوں؟)
(vi) صفر کی تعداد4ہے (کیوں؟)
مشق 2.1
1۔ نیچے شکل 2.10میں کسی کثیر رکنی (y=p(x کا گراف دیا ہوا ہے ۔ہر ایک کے لئے (p(xکے صفر کی تعداد معلوم کیجئے ۔
شکل 2.10
2.3کثیر رکنی کے صفر اور ضریبوں کے درمیان تعلق
آپ پہلے ہی دیکھ چکے ہیں کہ خطی کثیر رکنی ax + bکا
صفر ہے ۔اب ہم سیکشن 2.1اٹھائے گئے سوال کا جواب دینے کی کوشش کریں گے ۔یعنی دو درجی کثیر رکنی کے صفر اور ضریبوں کے درمیان تعلق کے بارے میں اس مقصد کے لیے ایک دو درجی مساوات 
کو لیتے ہیں ۔نویں کلاس میں آپ پڑھ چکے ہیں کہ کس طرح دو درجی کثیر رکنی کے وسطیٰ کو منقسم کر کے اس کے اجزائے ضربی بناتے ہیں ۔اس لئے یہاں ہمیں وسطیٰ رکن ’ 8x–‘کو منقسم کرنا ہے دو ارکان کے حاصل جمع میں جن کا حاصل ضرب
ہے اس لئے ہم لکھتے ہیں ۔
صفر ہے ۔اب ہم سیکشن 2.1اٹھائے گئے سوال کا جواب دینے کی کوشش کریں گے ۔یعنی دو درجی کثیر رکنی کے صفر اور ضریبوں کے درمیان تعلق کے بارے میں اس مقصد کے لیے ایک دو درجی مساوات کو لیتے ہیں ۔نویں کلاس میں آپ پڑھ چکے ہیں کہ کس طرح دو درجی کثیر رکنی کے وسطیٰ کو منقسم کر کے اس کے اجزائے ضربی بناتے ہیں ۔اس لئے یہاں ہمیں وسطیٰ رکن ’ 8x–‘کو منقسم کرنا ہے دو ارکان کے حاصل جمع میں جن کا حاصل ضرب ہے اس لئے ہم لکھتے ہیں ۔
اس لئے 
کی قدر صفر ہے ۔جہاں x – 1= 0 یا x – 3 = 0 یعنی جب x = 1یا x = 3اس لئے
کے صفر 1اورتین ہیں مشاہدہ کیجئے کہ
کی قدر صفر ہے ۔جہاں x – 1= 0 یا x – 3 = 0 یعنی جب x = 1یا x = 3اس لئے کے صفر 1اورتین ہیں مشاہدہ کیجئے کہ 
آئیے ایک اور دو درجی کثیر رکنی لیتے ہیں مان لیجئے 
وسطیٰ رکن کو منقسم کرنے کے طریقہ سے ہمیں ملتا ہے
وسطیٰ رکن کو منقسم کرنے کے طریقہ سے ہمیں ملتا ہے 
مشاہدہ کیجئے کہ
عمومی طور پر ،اگر
کثیر رکنی 
کے صفر ہیں تب آپ یہ جانتے ہیں کہ
کے اجزائے ضربی ہیں اسلئے
کثیر رکنی کے صفر ہیں تب آپ یہ جانتے ہیں کہکے اجزائے ضربی ہیں اسلئے 
اور منتقلہ کے ضریبوں کا دونوں طرف موازنہ کرنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے ۔
آئیے کچھ مثالوں پر غور کرتے ہیں ۔
مثال 2: دو درجی کثیر رکنی 
کے صفر معلوم کیجئے اور صفر اور ضریبوں کے درمیان تعلق کی تصدیق کیجئے ۔
کے صفر معلوم کیجئے اور صفر اور ضریبوں کے درمیان تعلق کی تصدیق کیجئے ۔حل : ہمارے پاس ہے
اس لئےکی قدر 0 ہوگی جب x + 2 = 0 یا x + 5 = 0 یعنی جب x = – 2یا x = – 5، اس لئے کے صفر 2–اور 5–ہیں ۔اب
کی قدر 0 ہوگی جب x + 2 = 0 یا x + 5 = 0 یعنی جب x = – 2یا x = – 5، اس لئے کے صفر 2–اور 5–ہیں ۔اب 
مثال 3: کثیر رکنی 
کے صفر معلوم کیجئے اور اس کے صفر اور ضریبوں کے درمیان تعلق کی تصدیق کیجئے ۔
کے صفر معلوم کیجئے اور اس کے صفر اور ضریبوں کے درمیان تعلق کی تصدیق کیجئے ۔
مثال4: دو درجی کثیر رکنی معلوم کیجئے اگر اس کے صفر کا حاصل جمع اور حاصل ضرب باالترتیب – 3اور2ہے
اگر a = 1تب b = 3اورc = 2
اس لئے ایسی دو درجی کثیر رکنی جو ان شرطوں کو پوری کرتی ہے وہ 
آپ جانچ کر سکتے ہیں کوئی دوسری دو درجی کثیر رکنی جو ان شرطوں کو پورا کر سکتی ہے وہ 
کی شکل کی ہوگی جہاں kحقیقی عدد ہے ۔
کی شکل کی ہوگی جہاں kحقیقی عدد ہے ۔آئیے اب کعبی کثیر رکنیوں پر غور کرتے ہیں ۔کیا آپ سوچتے ہیں کہ کبھی کثیر رکنیوں کے صفر اور ضریبوں کے درمیان یہی تعلق درست ہے ؟
لیکن یہاں ایک اور تعلق نظر آتا ہے ۔دو صفر وںکو ایک ساتھ لے کر ان کے حاصل ضربوں کا حاصل جمع پر غور کیجئے ۔
آئیے کچھ مثالوں پر غور کرتے ہیں
مثال 5: تصدیق کیجئے کہ 1 ,3– اور
کعبی کثیررکنی 
کے صفر ہیں اور پھر صفروں اور اس کے ضریبوں کے درمیان تعلق کی تصدیق کیجئے ۔
کعبی کثیررکنی کے صفر ہیں اور پھر صفروں اور اس کے ضریبوں کے درمیان تعلق کی تصدیق کیجئے ۔
مشق 2.2
1۔ مندرجہ ذیل کثیر رکنیوں کے صفر معلوم کیجئے اورا ن کے صفر اور ضریبوں کے درمیان تعلق کی تصدیق کیجئے ۔
2۔ دو درجی کثیر رکنی معلوم کیجئے جن کے صفر وںکے حاصل جمع اور حاصل ضرب باالترتیب مندرجہ ذیل ہیں ۔
2.4کثیر رکنیوں کا تقسیمی الگورتھم
آپ جانتے ہیں کہ کعبی کثیر رکنی کے زیادہ سے زیادہ تین صفر ہیں ۔لیکن اگر آپ کو صرف ایک صفر دیا ہوا ہو تو کیا آپ دوسرے دو صفر معلوم کر سکتے ہیں ؟ ایسا کرنے کے لئے آئیے کعبی کثیر رکنی 
پر غور کرتے ہیں ۔اگر ہم آپ کو بتائیں کہ اس کا ایک صفر 1ہے تب آپ یہ جانتے ہیں کہ (x –1)،کا جزوِضربی ہو گا ۔اس لئے آپکو x –1سے تقسیم کر سکتے ہیں جیسا کہ آپ نویں کلاس میں سیکھ چکے ہیں ،ایسا کرنے سے آپ کو خارج قسمت
کے وسطیٰ رکن کو منقسم کر کے دوسرے اجزائے ضربی 
حاصل کر سکتے ہیں ۔اس سے آپ کو ملے گا ۔
پر غور کرتے ہیں ۔اگر ہم آپ کو بتائیں کہ اس کا ایک صفر 1ہے تب آپ یہ جانتے ہیں کہ (x –1)،کا جزوِضربی ہو گا ۔اس لئے آپکو x –1سے تقسیم کر سکتے ہیں جیسا کہ آپ نویں کلاس میں سیکھ چکے ہیں ،ایسا کرنے سے آپ کو خارج قسمت کے وسطیٰ رکن کو منقسم کر کے دوسرے اجزائے ضربی حاصل کر سکتے ہیں ۔اس سے آپ کو ملے گا ۔
اس طرح اب آپ کو کعبی کثیر رکنی کے تینوں صفر معلوم ہیں جو ہیں ،3 , 1– , 1
آئیے تفصیل سے ہم ایک کثیر رکنی کو دوسری کثیر رکنی سے تقسیم کرنے کے طریقہ پر غور کرتے ہیں ۔اقدام کو رسمی طور پر نوٹ کرنے سے پہلے ایک مثال پر غور کرتے ہیں ۔
اس لئے مقسوم=قاسم ×خارج قسمت+باقی
اس لئے اس عمل کی توسیع ہم ایک کثیر رکنی کودودرجی کثیر رکنی سے تقسیم کرنے کے لئے کرتے ہیں ۔
مثال 7:
سے تقسیم کیجئے ۔
سے تقسیم کیجئے ۔
حل: سب سے پہلے ہم مقسوم اور مقسوم علیہ کے ارکان کو درجہ کے حساب سے گھٹتی ہوئی ترتیب میں رکھتے ہیں ۔یا د کیجئے کہ اس طرح کثیر رکنی کے ارکان کو ترتیب میں رکھنے کا مطلب کثیر رکنی کو معیاری شکل میں لکھنا ہے۔ اس مثال میں مقسوم پہلے ہی معیاری شکل میں لکھا ہوا ہے اور قاسم کی معیاری شکل 
قدم 1: خارج قسمت کا پہلا رکن حاصل کرنے کے لئے مقسوم کی اعظم درجہ کے رکن (یعنی
)کو قاسم کے اعظم درجہ کے رکن ( یعنی
) سے تقسیم کیجئے ۔یہ 3xہے پر تقسیم کا عمل کیجئے ۔
)کو قاسم کے اعظم درجہ کے رکن ( یعنی) سے تقسیم کیجئے ۔یہ 3xہے پر تقسیم کا عمل کیجئے ۔جو باقی بچتا ہے وہ ہے 
پر دہرائیے ۔
پر دہرائیے ۔قدم 2: اب خارج قسمت کے دوسرے رکن کو حاصل کرنے کے لئے نئے مقسوم کے اعظم درجہ کے رکن (یعنی
)کو قاسم کے اعظم درجہ کے رکن (یعنی )سے تقسیم کیجئے ۔اس سے – 5ملتا ہے دوبارہ تقسیم کے عمل کو پر دہرائیے ۔
)کو قاسم کے اعظم درجہ کے رکن (یعنی )سے تقسیم کیجئے ۔اس سے – 5ملتا ہے دوبارہ تقسیم کے عمل کو پر دہرائیے ۔قدم 3: جو باقی بچتا ہے وہ 9x + 10ہے اب 9x + 10کا درجہ قاسم 
کے درجہ سے کم ہے ۔اس لئے تقسیم کا عمل آگے جاری نہیں رکھ سکتے ۔
کے درجہ سے کم ہے ۔اس لئے تقسیم کا عمل آگے جاری نہیں رکھ سکتے ۔اس لئے اب خارج قسمت (3x – 5)ہے اور باقی 9x + 10مزید
یہاں دوبارہ ہم دیکھتے ہیں کہ
مقسوم = قاسمxخارج قسمت+باقی
یہاں جو تصور ہم استعمال کر رہے ہیں وہ الگورتھم ہے جو اقلیدس کے تقسیم کے الگورتھم کے مشابہ ہے جس کو آپ نے باب 1 میں پڑھا ہے ۔
اس کے مطابق
اگر (p(x)اور(g(x)دو کثیر رکنیاں ہیں جہاں 
تب ہم کثیر رکنیاں q(x)اورr(x)معلوم کر سکتے ہیں جبکہ
(p(x) = g(x) × q(x) + r(x)
جہاں r(x) = 0یا (g(x)کادرجہ>(r (xکا درجہ
یہ نتیجہ کثیر رکنیوں کا تقسیمی الگورتھم کہلاتا ہے ۔
اس کے استعمال کو واضح کر نے کے لئے آئیے کچھ مثالیں لیتے ہیں ۔
مثال8:
سے تقسیم کیجئے اور تقسیمی الگورتھم کی تصدیق کیجئے ۔
سے تقسیم کیجئے اور تقسیمی الگورتھم کی تصدیق کیجئے ۔
حل : نوٹ کیجئے کہ دی ہوئی کثیر رکنیاں معیاری شکل میں نہیں ہیں تقسیم کرنے کے لئے پہلے ان کو یعنی مقسوم اور قاسم کو معیاری شکل میں لکھئے۔ یعنی ان کے درجوں کے حساب سے گھٹتی ہوئی ترتیب میں تقسیم کا عمل بائیں طرف دکھایا گیا ہے ۔
ہم یہیں رک جاتے ہیں کیونکہ (3)کا درجہ 0ہے جو 2سے چھوٹا ہے 
کے درجہ سے ۔
کے درجہ سے ۔اس لئے خارج قسمت x – 2باقی = 3ہے ۔
اب
قاسم ×خارج قسمت +باقی
اس طرح سے تقسیمی الگورتھم کی تصدیق ہو گئی ۔
اس لیے 
اب 3x –کو منقسم کرنے پر ہم 
کے اجزائے ضربی (2x–1)(x–1)معلوم کرتے ہیں ۔اس لئے اس کے صفر ہیں
اورx =1اس لئے دی ہوئی کثیر رکنی کے صفر ہیں،
اور1۔
کے اجزائے ضربی (2x–1)(x–1)معلوم کرتے ہیں ۔اس لئے اس کے صفر ہیںاورx =1اس لئے دی ہوئی کثیر رکنی کے صفر ہیں، اور1۔مشق 2.3
1۔ کثیر رکنی (p(xکو کثیر رکنی (g(xسے تقسیم کیجئے اور مندرجہ ذیل میں ہر ایک کا خارج قسمت اور باقی معلوم کیجئے ۔
2۔ دوسری کثیر رکنی کو پہلی کثیر رکنی سے تقسیم کرکے جانچ کیجئے کہ آیا پہلی کثیر رکنی دوسری کثیر رکنی کا جزو ضربی ہے ۔
3۔ اگر 
ہیں تو باقی صفر معلوم کیجئے ۔
ہیں تو باقی صفر معلوم کیجئے ۔ 4۔
کو کثیر رکنی (g(xسے تقسیم کرنے پر خارج قسمت اور باقی باالترتیب (x–2)اور 2x+4–ہیں۔ (g(xمعلوم کیجئے ۔
کو کثیر رکنی (g(xسے تقسیم کرنے پر خارج قسمت اور باقی باالترتیب (x–2)اور 2x+4–ہیں۔ (g(xمعلوم کیجئے ۔ 5۔ کثیر رکنیاں (q(x),g(x),p(x)اورr(x)کی مثالیں دیجئے جو تقسیمی الگورتھم کو مطمئن کریں اور
مشق2.4(اختیاری )*
1۔ تصدیق کیجئے کہ مندرجہ کعبی کثیر رکنیوں کے ساتھ دئے گئے اعداد اان کے صفر ہیں ۔ہر ایک کے لئے صفر اور ضریبوں کے درمیان تعلق کی تصدیق بھی کیجئے ۔
2۔ ایک کعبی کثیر رکنی معلوم کیجئے جن کے صفروں کا حاصل جمع اور دو صفر ایک ساتھ لینے پر حاصل ضربوں کا حاصل جمع اور صفر کا حاصل ضرب باالترتیب 2, 7–،14ہے ۔
3۔ اگر کثیر رکنی
کے صفر a ,a–bاورa +bہیں تو a اورbمعلوم کیجئے ۔
کے صفر a ,a–bاورa +bہیں تو a اورbمعلوم کیجئے ۔ 4۔ اگر کثیر رکنی 
ہیں تو دوسرے صفر معلوم کیجئے ۔
ہیں تو دوسرے صفر معلوم کیجئے ۔ 5۔ اگر کثیر رکنی و ایک دوسری کثیر رکنی سے
سے تقسیم کیا جاتا ہے تو باقی x + aآتا ہے kاورaکی قدر معلوم کیجئے ۔
و ایک دوسری کثیر رکنی سےسے تقسیم کیا جاتا ہے تو باقی x + aآتا ہے kاورaکی قدر معلوم کیجئے ۔2.5خلاصہ
اس باب میں آپ نے مندرجہ ذیل باتیں (نقطے ) سیکھیں
1۔ درجہ 2,1اور3کی کثیر رکنیاں باالترتیب خطی ،دو درجی اور کعبی کثیر رکنیاں کہلاتی ہیں ۔
2۔ xمیں حقیقی اعداد کے ضریبوں کے ساتھ کثیر رکنی 
کی شکل کی ہوتی ہے ۔جہاں b,aاورcحقیقی اعدادہیں جس میں
کی شکل کی ہوتی ہے ۔جہاں b,aاورcحقیقی اعدادہیں جس میں 3۔ کثیر رکنی (p(xکے صفر ان نقطوں کے –xمختصات ہیں جہاں(y = p(xکا گراف x–محور کو قطع کرتا ہے ۔
4۔ ایک دودرجی کثیر رکنی کے زیادہ سے زیادہ 2اور کعبی کثیر رکنی کے زیادہ سے زیادہ 3صفر ہوتے ہیں ۔
5۔ اگر b , aدودرجی کثیر رکنیکے صفر ہیں تب
کے صفر ہیں تب 
6۔ اگر a , b ,gکعبی کثیر رکنی
کے صفر ہیں تب
کے صفر ہیں تب 
7۔ تقسیمی الگورتھم کے مطابق دی ہوئی کوئی کثیر رکنی(p(xاور ایک غیر صفر کثیر رکنی (g(xکے لئے کثیر رکنیاں (q(xاور(r(xاس طر ح ہیں کہ ۔
(p(x) = g(x) q(x) + r(x
جہاں r(x)=0یا (g(x)کا درجہ >(r(xکا درجہ ۔