3.1تعارف (INTRODUCTION)

آپ کا سا بقہ ذیل میں دی گئی صورت حال سے ضرور ہوا ہوگا :

کیا ہم مساواتوں کے اس جوڑے کا حل معلوم کر سکتے ہیں ؟ اس کو معلوم کرنے کے بہت سے طریقے ہیں جو ہم اس باب میں پڑھیں گے ۔

3.2دو متغیر والی خطی مساواتوں کے جوڑے                

آپ یہ بھی جانتے ہیں کہ ایک مساوات جس کو ax + by + c = 0کی شکل میں لکھا جاسکے جہاں b, aاور c حقیقی اعداد ہیں اورaاور bدونوں صفر نہیں ہیں ،دو متغیر xاورyکی خطی مساوات کہلاتی ہے ۔(ہم اکثر شرطaاورbدونوں صفر نہ ہو کر سے ظاہر کرتے ہیں ۔)آپ یہ بھی پڑھ چکے ہیں کہ ایسی مساوات کا حل قدروں کا ایک جوڑا ہوتاہے ایک xکے لئے اوردوسرا yکے لئے جو مساوات کی دونوں جانب کو برابر بنا دیتا ہے ۔

مثال کے طو رپر ،آئیے مساوات 2x +3y = 5 کی LHSمیںx = 1اورy = 5رکھیے ۔تب                

LHS = 2(1) = 2+3(1) = 2 + 3 = 5                

جو RHSکے برابر ہے ۔اس لئے x = 1اورy = 1مساوات 2x + 3y = 5کا حل ہے                

آئیے اب مساوات 2x+3y = 5 میں x = 1اورy = 7رکھیے                

LHS=2(1)+3(7)=2+21=23

جو RHSکے برابر نہیں ہے ۔

اس لئے x =1 اورy = 7مساوات کا حل نہیں ہے ۔

جیومیٹریائی طور پر اس کا مطلب کیا ہے ؟ اس کا مطلب ہے کہ نقطہ (1,1)مساوات2x + 3y = 5پر ظاہر کرنے والے خط پر واقع ہے اورنقطہ (1,7)اس پر واقع نہیں ہے ۔اس لئے مساوات کا ہر ایک حل اس کو ظاہر کرنے والے خط پر واقع ایک نقطہ ہے ۔

در حقیقت یہ کسی بھی خطی مساوات کے لئے درست ہے ۔یعنی دو متغیر والی خطی مساوات ax + by + c = 0کا ہر ایک حل (x,y)اس مساوات کو ظاہر کرنے والے خط کا ایک نقطہ ہے اور یونہی اس کے بر عکس بھی اب اوپر دی گئی (1)اور(2) مساواتوں پرغور کیجئے ۔یہ مساواتیں ایک ساتھ لینے پر میلے میں عقیلہ نے جو کیا اس کو ظاہر کرتی ہیں۔یہ دو خطی مساواتیں متغیر xاور yمیں ہیں ۔ایسی مساواتیں دو متغیر والی خطی مساواتوں کا جو ڑا کہلاتی ہیں ۔

آئیے دیکھتے ہیں کہ ایسے جوڑے الجبری طو رپر کیسے نظر آتے ہیں ۔

دو متغیروں xاور yمیں خطی مساواتوں کے جوڑوں کی عمومی شکل ہے ۔

اور

                                                                                                                                                                                                                       

دو متغیر والی خطی مساواتوں کے جوڑوں کی کچھ مثالیں ہیں ۔

                 ax – 2y + 8 = 0                 اور2x + 3y –7 = 0

– 7x + 2y + 3 = 0اور5x = y

17 = y اورx + y = 7                

کیا آپ جانتے ہیں کہ یہ جیومیٹری کے طور پر کیسی نظر آتی ہے ؟                

یا د کیجئے کہ آپ نے نویں کلاس میں پڑھا تھا کہ دو متغیر والی خطی مساواتوں کا جیومیٹریائی (یعنی گراف) اظہار ایک خطِ مستقیم ہے ۔کیاآپ بتا سکتے ہیں کہ دو متغیر والی خطی مساواتوں کے جوڑے جیومیٹریائی طو ر پر کیسے نظر آئیں گے ؟ یہ دو خط مستقیم ہوں گے ان پر ایک ساتھ غور کیا جائے گا ۔

نویں کلاس میں آپ پڑھ چکے ہیں کہ مستوی میں دیے ہوئے دو خطوط کے ساتھ مندرجہ ذیل تین باتوں میں سے صرف ایک بات صحیح ہوگی ۔

(i)                 دونوں خطوط ایک ہی نقطہ پر قطع نہیں کریں گے ۔

(ii)                 دونوں خطوط قطع نہیں کریں گے یعنی متوازی ہوں گے ۔

(iii)دونوں خطوط منطبق ہوں گے ۔

یہ تمام ممکنہ باتیں ہم شکل 3.1میں دکھاتے ہیں ۔

شکل

3.1(a)

یہ قطع کرتے ہیں

شکل

3.1(b)

میں یہ متوازی ہیں اور شکل شکل

3.1(c)

یہ قطع کرتے ہیںیہ منطبق ہیں

شکل 3.1

ہم خطی مساواتوں کے جوڑوں کو ظاہر کرنے کے دونوں طریقوں جیومیٹریائی اور الجبری کو ایک ساتھ لیتے ہیں ۔آئیے کچھ مثالوں پر غور کرتے ہیں ۔

مثال 1: آئیے سیکشن 3.1میں دی گئی اکھیلا کی مثال لیتے ہیں ۔جس میں اکھیلا ایک میلہ میں جاتی ہے اور20روپے خرچ کرتی ہے جھولہ جھولنے اور ہوپلا کا کھیل کھیلنے میں ،اس صورت حال کو الجبری اور جیومیٹریائی طور پر ظاہر کیجئے ۔

حل :مساواتوں کا جو ڑ ابنے گا وہ ہے :

                                                                                                                      

جدول3.1

4	20 — 3	0	x
2	0	5	20—3x —=y 4

2	0	x
1	0	x —=y 2

یاد کریں نویں کلاس میں آپ نے سیکھا ہے کہ ہر خطی مساوات کے لامحدود حل ہوتے ہیں تو ہر ایک مساوات کے لئے آپ مختلف دو قدریں چنئے کیا آپ اندازہ کر سکتے ہیں کہ آپ نے کیوں x=0،پہلی اور دوسری مساوات کے لئے کیوں چنا ؟ جب متغیروں میں سے ایک صفر ہو جاتا ہے تو خطی مساوات ،ایک متغیر والی مساوات بن جاتی ہے ۔جس کو ہم آسانی سے حل کر سکتے ہیں مثال کے طور پر (2)مساوات میں x=0رکھنے پر ہمیں ملتا ہے xy =20یعنی y=5اسی طریقہ سے مساوات (2)میں y=0رکھنے پر ہمیں ملتا ہے 3x=20یعنی  لیکن کیونکہ     صحیح عدد نہیں ہے اس لئے اس کو صحیح طریقہ سے گراف پر پلاٹ نہیں کیا جا سکتا اس لئے ہم y=2لیتے ہیں جس سے x=4ملتا ہے جو ایک صحیح عدد ہے                

نقاطجو جدول 3.1مساواتوں کے نظیر ی حل ہیں ،کو پلاٹ کیجئے اب مساواتوں x–2y = 0اور3x + 4y = 20کو ظاہر کرنے والے خطوط ABاورPQکھینچئے ۔جیسا کہ شکل 3.2میں دکھایا گیا ہے ۔

شکل 3.2میں مشاہدہ کیجئے کہ دو مساواتوں کو ظاہر کرنے والے خطوط نقطہ (4,2)پر ایک دوسرے کو قطع کر رہے ہیں ۔اس کا مطلب کیا ہے اس کا مطالعہ ہم اگلے سیکشن میں کریں گے ۔

مثال 2: رومیلا ایک اسٹیشنری کی دکان پر گئی اور اس نے 9روپیہ میں 2پنسل اور3ربڑ خریدے اس کی دوست سونالی نے جب رومیلا کے پاس نئے قسم کی پنسل اور ربڑ دیکھی تو اس نے بھی اسی قسم کی 4پنسل اور6ربڑ 18روپے میں خریدیں ۔اس صورت حال کو الجبری اور جیومیڑیائی (گراف کے) طو ر پر ظاہر کیجئے ۔

حل : مان لیجئے ایک پنسل کی قیمت xروپے اور ایک ربڑ کی قیمت yروپے ہے تب اس سوال ک الجبری اظہار مندرجہ ذیل مساواتوں سے ہوگا ۔

(2x+3y=9                                       (1

(4x+6y=18                                   (2

جدول 3.2

3	0	x
1	3	18-4x —=y 6

(ii)

4.5	0	x
5	3	9-2x —=y 3

(i)

اس کے معادل جیومیٹریائی اظہار حاصل کرنے کے لئے ہر ایک مساوات کو ظاہر کرنے والے خط پر ہم دو نقطے معلوم کرتے ہیں ۔یعنی ہم ہر مساوات کے دو حل معلوم کرتے ہیں ۔

شکل 3.3

یہ حل مندرجہ ذیل جدول 3.2میں دئے گئے ہیں ۔

ہم ان نقطوں کو گراف پیپر پر پلاٹ کرتے ہیں اور خطوط کھینچتے ہیں ۔ہم پاتے ہیں کہ دونوں خطوط منطبق ہیں (شکل 3.3دیکھئے) یہ اس لئے ہے کہ دونوں مساواتیں معادل ہیں یعنی ایک کو دوسرے سے اخذ کیا جا سکتا ہے ۔

مثال3 :دو ریل کی پٹریاںمساواتوں x + 2y – 4 = 0اور 2x + 4y – 12 = 0کو ظاہر کرتی ہیں اس صورت حال کو جیومیڑیائی طور پر ظاہر کیجئے ۔

حل : ہر ایک مساوات                

(x+2y–4=0                                  (1

(2x+4y 12=0                                                    (2

کے دو حل مندرجہ ذیل جدول 3.3میں دئے گئے ہیں ۔

جدول 3.3

6	0	x
0	3	12-2x —=y 4

(ii)

4	0	x
0	2	4-x —=y 2

(i)

شکل 3.2میں آپ نے نوٹ کیا تھا ۔اس صورت حال کو ظاہر کرنے والی مساواتوں کو جیومیٹریائی طور پر دو قاطع خطوط کے طور پر دکھایا گیا تھا جو نقطہ (4,2)پر قطع کرتے ہیں اس لئے نقطہ (4,2)ان دونوں خطوط پر واقع ہے جو مساواتوں x–2y=0 اور 3x+4y=20کو ظاہر کرتے ہیں ۔

آئیے الجبری طور پر اس بات کی تصدیق کرتے ہیں کہ x=4اورy=2دی ہوئی مساواتوں کے جوڑوں کے حل ہیں یا نہیں۔مساواتوں میں xاورyکی قدر رکھنے پر ہمیں ملتا ہے

                4–2×2=0

اور                

                3(4)+4(2)=20

اس لئے ہم نے تصدیق کر لی کہ y=2, x=4دونوں مساواتوں کا حل ہے ۔کیونکہ (4,2)دونوں خطوط کا واحد مشترک نقطہ ہے اس لئے اس دو متغیر والی خطی مساواتوں کے جوڑے کا ایک اور صرف ایک حل ہے                

اس طرح سے اکھیلا نے جھولے میں 4چکر لگائے اورہوپلہ کا کھیل 2مرتبہ کھیلا ۔

(ii)                  خطوط متوازی ہو سکتے ہیں ۔اس حالت میں مساواتوں کا کوئی حل نہیں ہوگا (غیر ہم آہنگ مساواتوں کا جوڑا)                

(iii)                 خطوط منطبق ہو سکتے ہیں ۔اس حالت میں مساواتوں کے لامحدود حل ہوں گے [تابع (ہم آہنگ) مساواتوں کا جوڑا]

آئیے پھر مثال 2,1اور3میں بنے خطی مساواتوں کے جوڑوں پر دوبارہ غو رکیجئے اور بتائیے کے جیومیٹریائی طور پر یہ کس قسم کے جوڑے ہیں ۔

آئیے اب ہم تینوں مثالوں میں                                کی قدروں کو لکھتے ہیں اور ان کا موازنہ کرتے ہیں ۔

یہاںمعیاری شکل دی گئی خطی مساواتوں کے ضریب میں جو سیکشن 3.2میں دی گئی ہیں ۔

جدول3.4

نمبر شمار	خطوط کا جوڑا	a¹ — b²	a¹ — b²	c¹ — c²	نسبتوں کا موازنہ	گرافی اظہار	الجبری ترجمانی
1		1 — 3	2- — 4	0 — 20-		قاطع خطوط	یکتا حل (صرف ایک حل)
2		2 — 4	3 — 6	9- — 18-		منطبق خطوط	لا محدود حل
3		1 — 2	2 — 4	4- — 12-		متوازی خطوط	کوئی حل نہیں

مذکورہ بالا جدول سے آپ مشاہدہ کر سکتے ہیں کہ اگر خطوط کو مساواتوں                

اور                

جدول3.5

3	0	x
2-	4-	2x–12 —=y 3

6	0	x
0	2

نقاط                                کو گراف پیپر پر پلاٹ کیجئے ۔اور ان نقاط کو ملا کر خطوط ABاورPQکھینچئے جیساکہ شکل 3.5میں دکھایا گیا ہے۔ہم مشاہدہ کرتے ہیں کہ گراف                میں                ایک نقطہ (B(6,0ہے جو دونوں خطوط ABاورPQمیں مشترک ہے اس لئے مساواتوں کے جوڑے کاحل x=6 اور y=0ہے یعنی دی ہوئی مساواتیں ہم آہنگ ہیں ۔

حل : مساوات (2)کو                                سے ضرب کرنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے ۔

5x – 8y + 1 = 0                 

لیکن یہ مساوات ایسی ہی ہے جیسی مساوات (1)اس لئے مساوات(1)اور(2)سے ظاہر ہونے والے خطوط منطبق ہیں ۔ اس لئے مساوات(1)اور(2)کے لامحدود حل ہیں ۔

گراف پر کچھ نقطے پلاٹ کر کے آپ خود اس کی تصدیق کریں ۔

مثال6: چمپا کچھ پینٹ اور اسکرٹ خریدنے ایک ’’Sale‘‘میں گئی ۔جب اس کی دوست نے پوچھا کہ اس نے دونوں چیزیں کتنی کتنی خریدیں ۔اس نے جواب دیا کہ خریدی گئیں اسکرٹ کی تعداد خریدی گئیں پینٹ کی تعداد کے دگنے سے دو کم ہیں۔ مزید اسکرٹ کی تعداد پینٹ کی تعداد کے چار گنے سے 4کم ہے ۔یہ معلوم کرنے میں اس کی دوست کی مدد کیجئے کہ چمپا نے کتنی پینٹ اور کتنی اسکرٹ خریدیں ۔

حل : مان لیجئے اس نے xپینٹ اورyاسکرٹ خریدیں ۔تب مساواتیں ہوں گی ۔

آئیے مساواتوں (1)اور(2)کے گراف کھینچتے ہیں ۔اس کے لئے ہر ایک مساوات کے دو حل معلوم کیجئے ۔یہ جدول 3.6میں دئے گئے ہیں ۔

جدول 3.6

0	2	x
2-	2	y=2x-2

1	0	x
0	4-	y=4x-4

شکل 3.6

نقطوں کو پلاٹ کیجئے اور ان سے گزرتے ہوئے مساواتوں کو ظاہر کرنے والے خطوط کھینچئے جیسا کہ شکل 3.6میں دکھایا گیا ہے ۔

دونوں خطوط ایک دوسرے کے نقطے (1,0)پر قطع کرتے ہیں ،اس لئے y = 0,x = 1خطی مساواتوں کے جوڑوں کا مطلوبہ حل ہے ۔،یعنی اس نے 1پینٹ خریدی اور اور کوئی اسکرٹ نہیں خریدی ۔

اپنے جواب کی تصدیق کے لئے آپ یہ جانچ کر سکتے ہیں کہ یہ دی ہوئی مساواتوں کو مطمئن کرتا ہے یا نہیں ۔

مشق3.2

1۔ مندرجہ ذیل سوالوں میں مساواتوں کے جوڑے بنائیے اور گرافی طور پر ان کے حل معلوم کیجئے ۔

(i) دسویں کلاس کے 10طلبا نے ریاضی کے ایک کوئز میں حصہ لیا ۔اگر لڑکیوںکی تعداد لڑکوں کی تعداد سے 4زیادہ ہے۔ تو اس کوئز میں حصہ لینے والے لڑکے اور لڑکیوںکی تعداد معلوم کیجئے ۔

(ii)                 ۔5 پنسلوں اور7پینوں کی کل قیمت 50روپے ہے ۔جب کہ 7پنسل اور5پینوں کی کل قیمت46روپے ۔ایک پنسل اورایک پین کی قیمت معلوم کیجئے ۔

  2۔ نسبتوں                 کا موازنہ کرتے ہوئے معلوم کیجئے کہ مندرجہ خطی مساواتوں کے جوڑوں کو ظاہر کرنے والے خطوط ایک نقطے پر قطع کرتے ہیں ،متوازی ہیں یا منطبق ہیں۔                

    3۔ نسبتوں                                کا موازنہ کرتے ہوئے معلوم کیجئے کہ مندرجہ ذیل خطی مساواتوں کے جوڑے ہم آہنگ ہیں یا غیر ہم آہنگ ۔

4۔ مندرجہ ذیل میں کون سی خطی مساواتیں ہم آہنگ ہیں اور کون سی غیر ہم آہنگ ۔اگر ہم آہنگ ہیں تو ان کو گراف کی مدد سے حل کیجئے :

5۔ ایک مستطیل باغ سے جس کی لمبائی اس کی چوڑائی سے نصف احاطہ 36سم ہے۔ 4میٹرزیادہ باغ کی ابعاد معلوم کیجئے۔

6۔ ایک خطی مساوات 2x+3y–8=0دی ہوئی ہے ۔ایک دوسری دو متغیر والی ایسی خطی مساوات لکھئے جبکہ ان مساواتوں کے جوڑوں کا جیومیٹریائی اظہار                

(i)خطوط قاطع ہو                

(ii)خطوط متوازی ہو                

(iii) خطوط منطبق ہو                

7۔ مساواتوں x–y+1=0اور3x+2y–12=0کا گراف بنائیے ۔ان دونوں خطوط اور–xمحور سے بنے مثلث کے دو راسوں کے مختصات بھی معلوم کیجئے اور مثلثی خطہ کو شیڈ کیجئے۔

3.4خطی مساواتوں کے جوڑوں کو حل کرنے کے الجبری طریقے                

پہلے سیکشن میں ہم نے مساواتوں کو گراف کی مدد سے حل کرنے کا طریقہ سیکھا ،ایسی شکل میں گراف کا طریقہ مناسب نہیں ہے جب خطی مساواتوں کاحل غیر صحیح اعداد ہے                وغیرہ ہوں ۔کیونکہ اس طرح کے مختصات پڑھنے میں غلطی کے امکان بہت زیادہ ہیں ۔کیاحل معلوم کرنے کا کوئی متبادل طریقہ بھی ہے ؟ ایسے بہت سے الجبری طریقے ہیں ۔جن کا مطالعہ ہم اس سیکشن میں کریں گے ۔

3.4.1بدل کا طریقہ (Substitution Method)بدل کے طریقہ کی تشریح کرنے کے لئے ہم کچھ مثالیں لیتے ہیں ۔

مثال 7: مندرجہ ذیل مساواتوں کے جوڑے کو بدل کے طریقہ سے حل کیجئے ۔

(1) 7x – 15y = 2

(2) x + 2y = 3                

حل :                

قدم 1: ہم دونوں میں سے کسی ایک مساوات کو چنتے ہیں اور ایک متغیر کو دوسرے کی شکل میں لکھتے ہیں ۔آئیے مساوات (2)کو لیتے ہیں ۔

x + 2y = 3

اور اس کو اس طرح لکھتے ہیں                 x = 3 – 2y ۔(3)

قدم 2: xکی قدر مساوات (1)میں رکھنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے ۔

7(3 – 2y) – 15y = 2                

یعنی 21 – 14y – 15y = 2                

یعنی                 29y = –19–

اس لئے

قدم 3:                 yکی اس قدر کو مساوات (3)میں رکھنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے ۔

اس لئے حل ہے

تصدیق:رکھنے پر آپ تصدیق کر سکتے ہیں کہ دونوں مساواتیں (1)اور(2)مطمئن ہو جائیں گی۔                

بدل (substuition)کے طریقہ کو اچھی طرح سمجھنے کے لئے آئیے اس کو قدم بہ قدم لیتے ہیں ۔

قدم1:کسی بھی ایک متغیر y(مان لیجئے) کی قدر دوسرے متغیر xکی شکل میں معلوم کیجئے۔

قدم 2: yکی اس قدر کو دوسری مساوات میں رکھئے اور اس مساوات کو ایک متغیر والی مساوات میںبدل دیجئے یعنی xمیں ، جس کو آسانی سے حل کیا جا سکتا ہے ۔کبھی کبھی جیسے کے ذیل میں مثال 9اور10میں ہے ۔آپ کو اپنا بیان ملے گا جس میں کوئی متغیر نہیں ہوگا اگر یہ بیان درست ہے تو آپ یہ نتیجہ نکا ل سکتے ہیں کہ قطعی مساواتوں کے جوڑے کے لا محدود حل ہوں گے ۔اگر بیان درست نہیں ہے تو تب خطی مساواتوں کا جوڑا غیر ہم آہنگ ہوگا ۔

قدم 3: قدم (2)میں ملی (x)(یاy)کی قدر کو قدم 1میں استعمال ہوئی مساوات میں رکھئے اس سے آپ کو دوسرے متغیر کی قدر حاصل ہوجائے گی ۔

ریمارک: خطی مساواتوں کے جوڑے حل کرنے کے لئے ہم اس متغیر کی قدر مساوات میں رکھی جس کو دوسرے متغیر کی شکل میںظاہر کیا گیا تھا ۔اس لئے یہ طریقہ بدل کا طریقہ کہلاتا ہے ۔

مثال 8: مشق 3.1کے سوال نمبر 1کو بدل کے طریقہ سے حل کیجئے ۔

حل : مان لیجئے sاورtباالترتیب آفتاب اور اس کی بیٹی کی عمر میں ہیں تب خطی مساواتوں کا وہ جوڑا جو اس صورت حال کو ظاہر کرتا ہے ۔

                                (1)                                                  s–7t+42 = 0 یعنیs – 7 = 7 (t – 7)                 

اور                                 (2)                  s – 3t = 6 یعنی                                  s + 3 = 3(t + 3)

مساوات (2)کو استعمال کرنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے s =3t + 6

sکی اس قدر کو مساوات(1)میں رکھنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے ۔

(3t + 6) – 7t + 42 = 0

یعنی 4t = 48جس سے t = 12حاصل ہوتا ہے ۔

tکی اس قدر کو مساوات(2)میں رکھنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے ۔

s = 3 (12) + 6 = 42                

اس لئے آفتاب اور اس کی بیٹی باالترتیب 42اور12سال کے ہیں ۔

اس جواب کی تصدیق آپ اس کو دونوں مساواتوں میں رکھ کر کر سکتے ہیں اگر یہ دونوں مساواتوں کو مطمئن کرے ۔

مثال 9: آئیے سیکشن 3.3کی مثال 2پر غور کیجئے یعنی 2پنسل اور3ربڑ کی کل قیمت 9روپے ہے اور4پنسل اور6ربڑ کی قیمت 18روپے لیے تو پنسل اورربڑ کی قیمت معلوم کیجئے ۔

حل: بنا ہو ا خطی مساواتوں کا جوڑا تھا ۔

(1) 2x + 3y = 9

(2) 4x + 6y = 18

پہلے ہم مساوات 2x + 3y = 9میں سے xکی قدر کو yکی شکل میں ظاہر کرتے ہیں جس سے ہمیں ملتا ہے ۔

اب xکی اس قدر کو مساوات (2)میں رکھتے ہیں ،اس سے ہمیں ملتا ہے ۔

یہ بیان یعنی yکی تمام قدروں کے لئے درست ہے ۔لیکن ہمیں حل کے طور پر yکی کوئی مخصوص قدر نہیں ملتی اس لئے ہمیں xکی بھی کوئی مخصوص قدر نہیں ملتی ۔یہ صورت حال اس لئے پیدا ہوئی کے دونوں مساواتیں معادل ہیں ۔اس لئے مساوات (1)اور(2)کے لامحدود حل ہوں گے ۔مشاہدہ کیجئے کہ گرافی طور پر حل کرنے میں بھی ہمیں یہی حل ملا تھا (شکل 3.3،سیکشن 3.2میں دیکھئے ) ہمیں پنسل اور ربڑ کی ایک یکتا قیمت نہیں ملے گی ،کیونکہ یہاں بہت سے مشترک حل ہیں ۔

مثال10: آئیے سیکشن 3.2میں دی گئی مثال 3پر غور کیجئے ۔کیا ریل ایک دوسرے کو کراس کریںگی ۔

حل : اس صورت حال میں خطی مساواتوں کا جوڑ اتھا ۔

(1) x + 2y – 4 = 0                

(2) 2x + 4y – = 0

اب ہم مساوات (1)میں ،xکوyکی شکل میں رکھتے ہیں جس سے ہمیں ملتا ہے ۔

x = 4 – 2y                

اب ہم xکی اس قدر کو مساوات (2)میں رکھتے ہیں ،اس سے ہمیں ملتا ہے ۔

2(4– 2y) + 4y – 12 = 0

8 – 12 = 0                

– 4 = 0

جو کے ایک غلط بیان ہے۔                

اس لئے ان مساواتوں کا مشترک حل نہیں ہے ۔اس لئے دونوں ریل ایک دوسرے کو کراس نہیں کریں گی ۔

مشق3.3

                                 1۔ مندرجہ ذیل خطی مساواتوں کے جوڑوں کو بدل کے طریقہ سے حل کیجئے ۔

   2۔ 2x + 3y = 11اور2x – 4y =– 24کو حل کیجئے اور پھر ‘m’کی وہ قدر معلوم کیجئے جس کے لئے y = mx + 3

                                 3۔ مندرجہ ذیل مسئلوں کے خطی مساواتوں کو جوڑے بنائیے اور بدل کے طریقہ سے ان کا حل معلوم کیجئے ۔

(i)                 دو اعداد کا فرق26ہے ان میں سے ایک عدد دوسرے کا تین گنا ہے ۔اعداد معلوم کیجئے ۔

(ii)                  تتمی زاویوں کا بڑا زاویہ چھوٹے زاویہ سے18ڈگری زیادہ ہے ۔زاویہ بتائیے ۔

(iii)                 کرکٹ ٹیم کے کوچ نے 7بیٹ اور6گیندیں3800روپے میں خریدیں ۔بعد میں اس نے 3بیٹ اور 5 گیندیں 1750روپے میں خریدیں ۔بیٹ اور گیند کی قیمت معلوم کیجئے ۔

(iv)                  کسی شہر میں ٹیکسی کے کرایہ میں ایک تو متعین کرایہ ہوتاہے اور اس کے ساتھ جتنا فاصلہ طے کیا جاتا ہے اس کا کرایہ ہوتا ہے ۔10کلو میٹر کے فاصلہ کے دیا گیا کل کرایہ 105روپے اور15کلو میٹر کے فاصلہ کے لئے کل کرایہ 155روپیہ ہے ۔تو متعین کرایہ اور فی کلومیٹر کرایہ معلوم کیجئے ؟ 25کلو میٹر کا فاصلہ طے کر نے کے لئے کسی شخص کو کتنا کرایہ دینا پڑے گا؟                

(v)                 اگر کسی کسر کے شمار کنندہ اور نسب نما میں 2جمع کر دیا جائے تو کسرہو جاتی ہے اگر شمار کنندہ اور نسب نما دونوں میں 3جمع کر دیا جائے تو کسر  ہو جاتی کسر معلوم کیجئے ۔

(vi)                

                5 سال بعد جیکب کی عمر اس کے بیٹے کی عمر کی تین گنا ہو گی ۔پانچ سال پہلے جیکب کی عمر اس کے بیٹے کی عمر کی 7گنا تھی ۔ان کی موجودہ عمر یں معلوم کیجئے ۔

3.4.2اخراج کا طریقہ                

آئیے ایک اور طریقہ پر غور کرتے ہیں جس میں ایک متغیر کا اخراج کیا جاتا ہے ۔کبھی کبھی یہ طریقہ بدل کے طریقہ سے زیادہ مناسب ہوتا ہے ۔آئیے دیکھتے ہیں یہ طریقہ کس طرح عمل پیرا ہوتا ہے ۔

مثال11: دو اشخاص کی آمدنی کی نسبت9:7اور خرچ کی نسبت4:3ہے اگر دونوں میں سے ہر ایک 2000روپے مہینہ بچاتا ہے تو ان کی ماہانہ آمدنی معلوم کیجئے ۔

حل : مانا دونوں اشخاص کی آمدنی 9xاور7xہے اور ان کے اخراجات باالترتیب 4yاور3yہیں ،تو اس صورت حال میں مساواتیں ہوں گی ۔

(1) 9x – 4y = 2000

(2) 7x – 3y = 2000

قدم 1: مساوات (1)کو 3سے اور(2)کو 4سے ضرب کر کے yکے ضریبوں کویکساں بنا لیجئے تب ہمارے پاس مساواتیں ہوتی ہیں ۔

(3) 27x – 12y = 6000

(4)                 اور 28x – 12y = 8000

قدم 2: yکا اخراج کر نے کے لئے مساوات(3)کو (4)میں سے گھٹائیے ۔کیونکہ yکے ضریب یکساں ہیں ۔اس لئے ہمیں حاصل ہوتا ہے ۔

(28x – 27x) – (12y – 12y) = 8000 – 6000

یعنی x = 2000

قدم 3: xکی اس قدر کو (1)میں رکھ کر ہمیں حاصل ہوتا ہے ۔

9(2000) – 4y = 2000                                 

یعنی                  y = 4000

اس لئے مساواتوں کاحل ہے y = 4000 , x = 2000اس لئے اشخاص کی ماہانہ آمدنی ہے باالترتیب 18000 روپے اورRs.14000روپے ۔

تصدیق :

                18000 : 14000 = 9:7

اوران کے اخراجات کی نسبت

                18000 – 2000 : 14000 – 2000 = 16000 : 12000 = 4 : 3                

ریمارک :                

1۔ مذکورہ بالا مثال کو حل کرنے                 میں استعمال ہوا طریقہ اخراج کا طریقہ کہلاتا ہے ۔کیونکہ پہلے ہم ایک متغیر کو خارج کرتے ہیں جس سے ہمیں ایک متغیر والی مساوات مل جاتی ہے ۔مذکورہ بالا مثال میں ہم نے yکو خارج کیا ۔ہم xکو بھی خارج کر سکتے تھے ۔اس طرح کر کے بھی سوال کو حل کیجئے ۔

(2) اس سوال کو حل کرنے کے لئے آپ گراف اور بدل کے طریقہ بھی استعمال کر سکتے تھے ۔ایسا کیجئے اور دیکھئے کہ کو ن سا طریقہ زیادہ مفید ہے :                

                                  آئیے اخراج کے طریقہ میں استعمال ہوئے اقدا م کو نوٹ کرتے ہیں :                

قدم 1: سب سے پہلے ہم دونوں مساواتوں کو ایک مناسب غیر صفر مستقلہ سے ضرب کرتے ہیں تاکہ کسی ایک متغیر (xیا y)کے ضریب عدد ی طور پر یکساں ہو جائیں ۔

قدم 2: پھر ایک مساوات کو دوسری مساوات میں جمع یا گھٹا کر کیجئے تاکہ ایک متغیر خارج ہو جائے ۔اگر آپ کو ایک متغیر میں مساوات حاصل ہو جائے تو قدم 3کی طرف آگے بڑھئے ۔

اگر قدم 2میں متغیر والا کوئی غلط بیان ملتا ہے تب ان مساواتوں کا کوئی حل نہیں ہوگا ۔یہ غیر ہم آہنگ ہوگی ۔

قدم3: قدم 2سے ملی ایک متغیر (xیاy)کی مساوات کو حل کیجئے ۔اوراس کی قدر معلو م کیجئے ۔

قدم 4: (xیا y) کی اس قدر کو اصل مساواتوں میں سے کسی ایک مساوات میں رکھ کر دوسرے متغیر کی قدر معلوم کیجئے ۔

اس کی مزید وضاحت کے لئے ہم کچھ اور مساواتوں کو حل کرتے ہیں ۔                

مثال 12: اخراج کے طریقہ سے مندرجہ ذیل خطی مساواتوں کے جوڑوں کے تمام ممکنہ حل معلوم کیجئے ۔

(1) 2x + 3y = 8

(2) 4x + 6y = 7

حل :                

قدم 1: xکے ضریب کو یکساں بنانے کے لئے مساوات(1)کو 2سے اور(2)کو 1سے ضرب کیجئے ۔تب ہمیں مساواتیں ملتی ہیں وہ اس طرح ہیں :                

(3) 4x + 6y = 16                

(4) 4x + 6y = 7                

قدم2:مساوات(4)کو(3)میں سے گھٹانے پر                

= 16 – 7                 (4x – 4x) + (6y – 6y)                                  

یعنی 0 = 9جو کے ایک غلط بیان ہے ۔

اس لئے مساواتوں کے جوڑوں کاکوئی حل نہیں ہے ۔

مثال 13: ایک دو ہندسی عدد اور ہندسوں کی جگہ تبدیل ہونے سے بننے والے عدد کا حاصل جمع 66ہے اگر عدد کے ہندسوں میں فرق2کا ہوتو عدد معلوم کیجئے ۔ایسے کل کتنے عدد ہیں ۔

حل : مان لیجئے پہلے عدد کا دہائی کا اور اکائی کا ہندسہ باالترتیب xاورyہے ۔اس لئے پہلا عدد پھیلی ہوئی شکل میں ہے 10x + y (مثال کے طور پر 56 = 10 (6) + 5)                

جب ہندسوں کی جگہ تبدیل کر دی جائے تب xاکائی کا ہندسہ اورyکا دہائی کا ہندسہ بن جاتا ہے ۔اس لئے پھیلی ہوئی شکل میں یہ عدد ہوگا 10y+x(مثا ل کے طور پر جب 56کے ہندسوں کی جگہ تبدیل کر دی جائے تو65=10 (6)+5حاصل ہوتا ہے )                

دی ہوئی شرط کے مطابق                

(10x + y) + (10y + x) = 66

یعنی 11(x + y) = 66

یعنی (1) x + y = 6

ہمیں یہ بھی دیا ہوا ہے کہ ہندسوں میں 2کا فرق ہے اس لئے                

یا تو (2) x – y = 2

یا                  (3) y – x = 2

اگر x – y = 2ہے تو (1)اور(2)کو حل کرنے پر (اخراج کے طریقہ سے ) ہمیں x = 4اورy = 2ملتا ہے اس حالت میں عدد 42ہوگا ۔

اگر y – x = 2تب اخراج کے طریقہ سے (1)اور(3)کو حل کرنے پر ہمیں x =2اورy = 4ملتا ہے اس حالت میں عدد24ہوگا ۔اس طرح سے ایسے دو عدد ہیں 42اور24

تصدیق: یہاں

42 + 24 = 66

اور

4 – 2 = 2

اور

24 + 42 = 66

اور

4 –2 =2                

مشق3.4

                                 1۔ مندرجہ ذیل خطی مساواتوں کے جوڑوں کو اخراج اور بدل کے طریقوں سے حل کیجئے ۔

                                 2۔ مندرجہ ذیل سوالوں میں خطی مساواتوں کے جوڑوں کی تشکیل کیجئے اور اخراج کے طریقہ سے ان کے حل معلوم کیجئے ۔ (اگر حل ہوں )                

                                                  (i) اگر ہم کسی کسر کے شمار کنندہ میں 1جمع کریں اور نسب نما میں سے 1گھٹا دیں تو کسر1ہوجاتی ہے ۔اگر ہم اس کسر کے صرف نسب نما میں 1جمع کریں تو کسر                ہو جاتی ہے ۔کسر معلوم کیجئے ؟                

                                  (ii) پانچ سال پہلے نوری کی عمر سونو کی عمر کا تین گنا تھی ۔دس سال بعد نوری کی عمر سونو کی عمر کی دگنی ہوگئی نوری اور سونو کی موجودہ عمر کیا ہے ؟                

                                 (iii) ایک دو ہندسی عدد کے ہندسوں کا حاصل جمع 9ہے ۔اور اس عدد کا نو گنا ہندسوں کی جگہ تبدیل کر کے ملنے والے عدد کے دوگنے برابر ہے ۔عدد معلوم کیجئے ۔

                                 (iv) مینا2000روپے نکالنے کے لئے بینک گئی اس نے کیشئر سے صرف 50روپے اور100روپے کے نوٹ مانگے مینا کو کل 25نوٹ ملے ۔معلوم کیجئے اس کو 50روپے اور100روپے والے کتنے نوٹ ملے ۔

                                 (v) ایک لائبریری کا پہلے تین دن تک ایک متعین چارج ہے اور اس کے بعد ہر ایک دن کا ایک اضافی چارج ہے ۔سریتا ایک کتاب کو 7دن تک اپنے پاس رکھتی ہے اور27روپئے ادا کرتی ہے جبکہ سوزی اس کتاب کو 5دن تک رکھتی ہے اور21روپئے ادا کرتی ہے ۔متعین چارج اورہر ایک دن کا اضافی چارج معلوم کیجئے ۔

3.4.3ترچھی ضرب کا طریقہ                

اب تک آپ نے سیکھا ہے کہ دو متغیر والی خطی مساواتوں کے جوڑوں کو کس طرح سے بدل کے گراف اور اخراج کے طریقہ سے حل کیا جاتا ہے ۔یہاں ایک دوسرے الجبری طریقہ سے آپ کو متعارف کرا رہے ہیں جس سے آپ ان مساواتوں کو حل کر سکتے ہیں ۔کئی وجوہات کی بنا پر مساواتوں کو حل کرنے کا یہ طریقہ بہت مفید ہے ۔اس سے پہلے کے ہم آگے بڑھیں ۔ آئیے پہلے ہم مندرجہ ذیل صورتِ حال پر غور کرتے ہیں ۔

5سنتروں اور 3سیبوں کی قیمت 35روپے ہے 2سنتروں اور4سیبوں کی قیمت 28روپے ہے ۔ایک سنترے اور ایک سیب کی قیمت معلوم کیجئے ۔

مان لیجئے ایک سنترے کی قیمت xروپے اور ایک سیب کی قیمت yروپے ہے ۔اس لئے اس صورت حال کی مساواتیں ہوں گی ۔

(1) 5x + 3y = 35یعنی 5x + 3y – 35 = 0                

(2) 2x + 4y = 28یعنی 2x + 4y – 28 = 0                

آئیے اخراج کے طریقہ سے اس کو حل کرتے ہیں                

مساوات (1)کو 4سے اورمساوات(2)کو3سے ضرب کرنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے ۔

مساوات (4)کو مساوات(3)سے گھٹانے پر ہمیں ملتا ہے ۔

مساوات (5)کو مختصر کرنے پر ہمیں ملتا ہے                

اس لئے x = 4اورy = 5دی ہوئی مساواتوں کا حل ہے ۔

اس لئے ایک سنترے کی قیمت 4روپئے اور ایک سیب کی قیمت 5روپے ہوگی ۔

تصدیق :3سیبوں کی قیمت + 5سنتروں کی قیمت                 =15روپے،+20روپے=35روپے

اسی طرح سے28روپے=20روپے +8روپے=4سیبوں کی قیمت+2سنتروں کی قیمت

اس لئے ہم دیکھتے ہیں کہ کسی بھی خطی مساواتوں کے جوڑوں کے لئے یہ طریقہ کس طرح کام کرتا ہے ۔

xاورyکی قدر معلوم کرنے کے لئے جیسا کے اوپر دکھایا گیا ہے ۔ہم مندرجہ ذیل اقدام اٹھاتے ہیں ۔

قدم1: ہم مساوات(1)کوسے ضرب کرتے ہیں ۔

قدم 2: (4)کو (3)میں سے گھٹانے پر                

قدم3: xکی اس قدر کو (1)یا(2)میں رکھنے پر ہمیں ملتا ہے                

اب دوحالتیں پیدا ہوتی ہیں                

حالت1:                تب خطی مساواتوں کے جوڑوں کا یکتا حل ہوگا ۔

حالت2:                

aاورbکی قدریں مساوات(1)میں رکھنے پر ہمیں ملتا ہے                

یہ مشاہدہ کیا جا سکتا ہے کہ دونوں مساواتیں (7)اور(2)مطمئن ہو سکتی ہیں اگر

اگر تو مساوات(2)کا کوئی بھی حل مساوات(1)کو مطمئن کرے گا ۔اور یونہی اس کے بر عکس بھی ۔اس لئے اگر                تب (1)اور(2)میں دی گئی خطی مساواتوں کے جوڑوں کے لامحدود حل ہوں گے ۔

اگر تب مساوات(1)کا کوئی بھی حل مساوات (1)کو مطمئن نہیں کرے گا اور یوں ہی اس کے بر عکس ۔اس لئے جوڑے کا کوئی حل نہیں ہوگا ۔

ہم مذکورہ بالا (1)اور(2)میں دئے گئے خطی مساواتوں کے جوڑوں پر ہوئی بحث کا خلاصہ ذیل میں کرتے ہیں ۔

نوٹ کیجئے کہ آپ مساواتوں (3)اور(6)کے ذریعے دئے گئے حلوں کو مندرجہ ذیل طریقہ سے لکھ سکتے ہیں ۔

مذکورہ بالا فارمولہ کو یاد رکھنے کے لئے مندرجہ ذیل ڈائیگرام کافی مفید ہوگا ۔

دو اعداد کے درمیان تیروں کا مطلب ہے کہ ان کو ضرب کیجئے اور دوسرے حاصل ضرب کو پہلے میں سے گھٹا دیجئے خطی مساواتوں کے جوڑوں کو اس طریقہ سے حل کرنے کے لئے ہم مندرجہ ذیل اقدام اٹھائیں گے ۔

قدم1قدم1: دی ہوئی مساواتوں کو (1)اور(2)کی شکل میں لکھئے ۔

قدم2: اوپر دئے گئے ڈائی گرام کی مدد لے کر مساواتوں کو اس طرح لکھئے جیسا (8)میں دکھایا گیا ہے ۔

قدم 3:        xاورyمعلوم کیجئے اگرقدم2سے ہمیں اندازہ ہوتا ہے کہ کیوں یہ طریقہ ترچھی ضرب کا طریقہ کہلاتا ہے۔

مثال14: بنگلور کے ایک بس اسٹینڈ سے اگر ہم 2ٹکٹ مالیشورم اور3ٹکٹ یشونت پور کے خریدیں تو ہمیں کل 46روپے ادا کرنے پڑیں گے اور اگر ہم 3ٹکٹ مالیشورم اور5ٹکٹ یشونت پورکے خریدیں تو 74روپے دینے پڑتے ہیں۔ بس اسٹینڈ سے مالیشورم اور یشونت پور کا کرایہ معلوم کیجئے ۔

حل : مان لیجئے بس اسٹینڈ سے مالیشورم تک کا کرایہ xروپے اوریشونت پورکا کرایہ yروپے ہے تو سوال کے مطابق ہمارے پاس ؛

(1)                  2x + 3y – 46 = 0یعنی                 2x + 3y = 46                

(2)                 3x + 5y – 74 = 0یعنی                 3x + 5y = 74                

مساواتوں کو ترچھی ضرب کے ذرائع حل کرنے کے لئے ہم ذیل میں پہلے مذکورہ بالا ڈائی گرام بناتے ہیں ۔

اس لئے بنگلور کے بس اسٹینڈ سے مالیشورم کا کرایہ 8روپے اوریشونت پور کا کرایہ 10روپے ہوتا ہے ۔

تصدیق : آپ اپنے جواب کی جانچ ان قدروں کو مساواتوں میں رکھ کر کر سکتے ہیں                

مثال15: pکی کس قدر کے لئے مندرجہ ذیل خطی مساواتوں کے جوڑوں کا یکتا حل ہوگا؟                

                                4x + py + 8 = 0                

                                                                                   2x + 2y + = 0                

حل: یہاں

اب ہم جانتے ہیں کہ دئے ہوئے جوڑے کے یکتا حل ہوں گے اگر :

اس لئے pکی4کے علاوہ تمام قدروں کے لئے دی ہوئی مساواتوں کے جوڑوں کے یکتاحل ہوں گے ۔

مثال16: kکی کس قدر کے لئے مندرجہ ذیل خطی مساواتوں کے جوڑوں کے لامحدود حل ہوں گے ۔

kx + 3y – (k – 3) = 0                

12x + ky – k = 0                

حل : یہاں ،

ہم جانتے ہیں کہ خطی مساواتوں کے جوڑوں کے لا محدود حل ہوتے ہیں اگر

جس سے ہمیں ملتا ہے جس کا مطلب ہے k = 0یا k = 6

اس لئے kکی وہ قدر جو دونوں شرطوں کو مطمئن کرتی ہے وہ ہےk,k=6کی اس قدر کے لئے دئے گئے خطی مساواتوں کے جوڑوں کے لا محدود حل ہوں گے ۔

مشق3.5

                                 1۔ مندرجہ ذیل میں کون سے خطی مساواتوں کے جوڑوں کے یکتا لا محدود حل یا کوئی حل نہیں ہے ۔اگر ان کا یکتا حل ہے تواسے ترچھی ضر ب کے طریقہ سے معلوم کیجئے ۔

                                 2۔ (a، ( iاورbکی کن قدروں کے لئے مندرجہ ذیل خطی مساواتوں کے جوڑوں کے لا محدود حل ہوں گے ۔

                                                  2x + 3y = 7                

                                                  (a – b) x + (a + b) y = 3a + b – 2                

(k                 ،(iکی کس قدر کے مندرجہ ذیل خطی مساواتوں کے جوڑے کا کوئی حل نہیں ہے ۔

                                                   3x + y = 1

(2k – 1) x + (k – 1)y = 2k + 1                

                                 3۔ مندرجہ ذیل خطی مساواتوں کو بدل اور ترچھی ضرب کے طریقوں سے حل کیجئے ۔

                                 8x + 5y = 9                

                                 3x + 2y = 4                

                                 4۔ مندرجہ ذیل مسئلوں کے خطی مساواتی جوڑے بنائیے اور ان کے حل (اگر موجود ہوں) کسی بھی الجبری طریقہ سے معلوم کیجئے ۔:

(i) کسی ہوسٹل کے ماہانہ کرایہ کا ایک حصہ متعین ہے اور باقی کا حصہ اس بات پر منحصر ہے کہ کوئی طالب علم کتنے دن وہاں کے میسسے کھانا لیتا ہے ۔جب کوئی طالب علم Aوہاں سے 20دن تک کھا نا لیتا ہے تو اسے ہاسٹل کے کرایہ کے طو ر پر 1000روپے دینے پڑتے ہیں ۔جب کے ایک طالب علم Bجو 26دن تک کھانا لیتا ہے اسے 1180روپے ہاسٹل کا کرایہ دینا پڑتا ہے ۔متعین کرایہ اور فی دن کھانے کا خرچ معلوم کیجئے ۔

(ii)                 ایک کسر کے شمار کنندہ میں سے جب 1گھٹاتے ہیں تو وہہو جاتی ہے اور جب اس کے نسب نما میں جب 8جمع کرتے ہیں تو یہ  ہو جاتی ہے ،کسر معلوم کیجئے ۔

(iii) یش نے ایک ٹسٹ میں 40نمبر حاصل کئے ۔جو نمبر صحیح جواب کے لئے اس کو ملے اور غلط جواب کے لئے اس کا ایک نمبر کم ہو گیا ۔اگر یش کو 4نمبر صحیح جواب کے لئے ملتے اور غلط جواب کے لئے اس کے 2نمبر کٹے تو اس کو کل 50نمبر ملتے ،اس ٹسٹ میں کل کتنے سوال تھے ۔

(iv) ایک ہائی وے پر دو مقام AاورB 100 کلو میٹر کے فاصلہ پر ہیں ،ایک ہی وقت میں ایک کا ر مقام Aسے اور دوسری مقام Bسے روانہ ہوتی ہے ۔اگر دونوں کا ریں مختلف رفتار سے ایک ہی سمت میں چلتی ہیں تو وہ 5گھنٹہ میں ملتی ہیں ۔اگر وہ دونوں ایک دوسرے کے طرف آتی ہیں تو1گھنٹہ میں ملتی ہیں ،دونوں کاروں کی رفتاریں معلوم کیجئے ۔

(v) ایک مستطیل کا رقبہ 9مربع اکائیاں کم ہو جاتا ہے اگر اس کی لمبائی 5اکائیاں کم اور چوڑائی 3اکائیاں کم کردی جائے تو اس کا رقبہ 67مربع اکائیاں بڑھ جاتا ہے ۔مستطیل کی لمبائی اور چوڑائی معلوم کیجئے ۔

3.5دو متغیر والی خطی مساواتوں کے جوڑوں میں تحلیل ہونے والی مساواتیں                

مثال17: مساواتوں کے جوڑوں کو حل کیجئے ۔

حل : آئیے مندرجہ بالا مساواتوں کو ہم لکھتے ہیں ۔

یہ مساواتیں ax+by+c=0کی شکل میں نہیں ہیں لیکن اگر ہم مساواتوں (1)اور(2)میں                                 رکھ دیں تو ہمیں ملتا ہے ،

(3) 2p + 3q = 13

(4) 5p – 4q = – 2

اس طرح سے ہم نے دی ہوئی مساواتوں کو خطی مساواتوں کے جوڑوں میں تبدیل کر دیا ہے ۔اب آپ ان مساواتوں کو حل کرنے کے لئے کوئی سا بھی طریقہ استعمال کر سکتے ہیں اور p = 2, q = 3حاصل کر سکتے ہیں ۔

آپ جانتے ہیں کہ

pاور qکی قدریں رکھنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے                

تصدیق :دی ہوئی مساواتوں میںارکھنے پر ہم دیکھتے ہیں کہ دونوں مساواتیں مطمئن ہوجاتی ہیں ۔

مثال18: مندرجہ ذیل مساواتوں کے جوڑوں کو خطی مساواتوں کے جوڑوں میں تحلیل کر کے حل کیجئے :

حل : آئیے                                 رکھئے ۔تب دی ہوئی مساواتیں                

مساواتیں (3)اور(4)عمومی شکل کی خطی مساواتوں کا جوڑا ہیں ۔اب آپ اس کو کسی بھی طریقہ سے حل کر سکتے ہیں اور  رکھنے پر ہمارے پاس ہے                

اسی طرح سے qکی جگہ رکھنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے                

اس طرح سے x = 4اور y = 5دی ہوئی خطی مساواتوں کے جوڑوں کا مطلوبہ حل ہے ۔

تصدیق : x = 4اور

(1) y=5                

اور (2)میں رکھ کر آپ جانچ کر سکتے ہیں کہ یہ ان مساواتوں کو مطمئن کرتے ہیں یا نہیں ۔

مثال 19: ایک ناؤ بہاؤ کے خلاف 30کلومیٹر اور بہاؤ کے ساتھ44کلو میٹر کل10گھنٹہ میں جاتی ہے13 گھنٹوںمیں یہ40کلو میٹر بہاؤ کے خلاف اور55 کلومیٹر بہاؤ کے ساتھ جا سکتی ہے ۔ناؤکی ٹھہری ہوئی پانی کی رفتار اور پانی کی رفتار معلوم کیجئے                

حل : مان لیجئے ناؤ کی ٹھہرے ہوئے پانی میں رفتار x کلومیٹر فی گھنٹہ اور پانی کی رفتار کلومیٹر فی گھنٹہyہے ۔

تب ناؤ کی بہاؤں کے ساتھ رفتارکلومیٹر (x+y)                

اور وقت = فاصلہ /رفتار                

پہلی حالت میں جب ناؤ 30کلومیٹر بہاؤ کے خلاف جاتی ہے ۔مان لیجئے بہاؤ کے خلاف وہ وقت لیتا ہے                                تب                

مان لیجئے ناؤبہاؤ کے ساتھ 44کلو میٹر کا فاصلہ طے کرنے میں وقت لیتی ہے کل لیا گیا وقت                گھنٹے ہے ۔اس لئے ہمیں مساوات ملتی ہے ۔

دوسری حالت میں 13گھنٹوں میں یہ 40کلومیٹر بہاؤ کے خلاف اور55کلومیٹر بہاؤ کے ساتھ ،ہمیں مساوات ملتی ہے ۔

                                                                                                    

ان قدروں کو (1)اور(2)مساواتوں میں رکھنے کے بعد ہمیں مندرجہ ذیل خطی مساواتوں کے جوڑے ملتے ہیں ۔

(4) 30u + 44v – 10 = 0 یا 30u + 44v = 10                

(5) 40u + 55v – 13 = 0یا 40u + 55v = 13                

ترچھی ضرب کے طریقے کو استعمال کرنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے ۔

اب uاورvکی ان قدروں کومساوات (3)میں رکھئے ،ہمیں حاصل ہوتا ہے                

یعنی                  (6) x + y = 11اورx – y = 5                

ان مساواتوں کو جمع کرنے پر ہمیں ملتا ہے                

2x = 16

یعنی                                                   x = 8                

(6)کی مساواتوں کو گھٹانے پر                

2y = 6                

یعنی                                                   y = 3                

اس طرح سے ناؤ کی ٹھہرے ہوئے پانی میں رفتار ہے 8کلو میٹر فی گھنٹہ اور پانی کی رفتار ہے 3کلو میٹر فی گھنٹہ

تصدیق: ان حلوں کو مساواتوں میں رکھ کر مطمئن کر سکتے ہیں ۔

مشق 3.6

                                 1۔ مندرجہ ذیل مساواتوں کے جوڑوں کو خطی مساواتوں کے جوڑوں میں تحلیل کر کے حل کیجئے ۔

                                 2۔ مندرجہ ذیل مسائل کو مساواتوں میں بدلئے اور پھر ان کو حل کیجئے ۔

(i) ریتو ایک کشتی کو 2گھنٹے میں 20کلو میٹر بہاؤ کے ساتھ چلا سکتی ہے اور2گھنٹوں میں 4کلومیٹر بہاؤ کے خلاف اس کی ٹھہرے ہوئے پانی میں رفتار اور کرنٹ (پانی کا بہاؤ) کی رفتار معلوم کیجئے ۔

(ii) دوعورتیں اور5آدمی کشیدہ کاری کے ایک کام کو ملکر 4دن میں پورا کرتے ہیں جبکہ 3عورتیں اور6آدمی مل کر اسی کام کو 5دن میں ختم کر تے ہیں معلوم کیجئے ایک اکیلی عورت اس کو کتنے وقت میں پورا کرے گی اورایک مرد اکیلا اس کام کو کتنے وقت میں پورا کرے گا ۔

(iii) روحی اپنے گھر کا300کلو میٹر کا سفر جزوی طور سے ٹرین سے اور جزوی طور سے بس سے پورا کرتی ہے۔ وہ4گھنٹہ میں سفر پورا کرتی ہے اگر وہ 60کلو میٹر ٹرین سے اور باقی بس سے سفر کرلے اگر وہ 100کلو میٹرٹرین سے سفر کرے اور باقی بس سے تو اسے 10منٹ زیادہ لگتے ہیں ،ٹرین اور بس کی رفتاریں الگ الگ معلوم کیجئے ۔

مشق3.7(اختیاری ) *

                 1۔ دودوست ،انل اور بیجو کی عمر میں 3سالوں کا فرق ہے ۔انل کے والد دھرم کی عمر انل سے دگنی ہے اور بیجو کی عمر اس کی بہن کیتھی کی دگنی ہے ۔کیتھی اور دھرم کی عمروں میں 30سال کا فرق ہے۔ انل اور بیجو کی عمریں معلوم کیجئے ۔

2۔ کوئی اپنے دوست سے کہتا ہے کہ تم مجھے 100روپے دو تو میں تم سے دوگنا مالدا ر ہوجاؤں گا ۔دوست جواب دیتا ہے کہ اگر تم مجھے 10دے دو تو میں تم سے6گنا مالدار ہوجاؤں گا ۔بتائیے ان کے پاس کل کتنی رقم تھی (بھاسکر 11کتاب کی بیجا گنیتا ہے )                

[اشارہ :

                x + 100 = 2(y – 100)،y + 10 = 6 ( x – 10)                

3۔ ایک ٹرین کچھ فاصلہ یکساں رفتار سے طے کرتی ہے ۔اگر ٹرین 10کلومیٹر فی گھنٹہ کی رفتار سے تیز چلتی ہے تو شیڈول وقت سے 2گھنٹے کم لیتی ۔اگر ٹرین 10کلومیٹر فی گھنٹہ کی رفتار سے ہلکی چلتی تو شیڈول وقت سے 3گھنٹہ زیادہ لیتی۔ٹرین کے ذریعے طے کیا گیا فاصلہ معلوم کیجئے ۔

4۔ ایک کلاس کے طلباء کو قطار میں کھڑا کیا جاتا ہے ۔اگر قطار میں 3طلباء فالتو ہوں تو قطاروں کی تعداد کم ہوجاتی ہے اور اگر ہر قطار میں 3طلباء کم ہوں تو دو قطار یں بڑھ جاتی ہیں ۔کلاس میں طلباء کی تعداد معلوم کیجئے ۔

                 5۔                                                 تینوں زاویہ معلوم کیجئے ۔

                 6۔ مساواتوں 5x – y = 5 اور3x – y = 3 کا گراف بنائیے ۔اور ان خطوط اورyمحور سے بنے مثلث کے راسوں کے مختصات بھی معلوم کیجئے۔

شکل 3.7

                 7۔ مندرجہ ذیل خطی مساواتوں کے جوڑوں کو حل کیجئے ۔

8۔ ABCDایک دائری چار ضلعی ہے (شکل 3.7دیکھئے ) 

*یہ مشقیں امتحان کے نقطہ نظر سے نہیں ہیں۔

دائری چار ضلعی کے زاویہ معلوم کیجئے ۔

3.6خلاصہ                

اس باب میں آپ نے مندرجہ ذیل چیزیں سیکھیں                

1۔ ایک ہی قسم کے دو متغیروں کی خطی مساواتوں دو متغیر والی خطی مساواتیں کا جوڑا کہلاتی ہیں ۔خطی مساواتوں کے جوڑے عموی شکل ہے ۔

جہاںحقیقی اعداد ہیں جب کہ

2۔ دو متغیر والی خطی مساواتوں کے جوڑوں کو مندرجہ ذیل طریقوں سے ظاہر اور حل کر سکتے ہیں ۔

(i) گراف کا طریقہ (ii) الجبری طریقہ

3۔ مساواتوں کا جوڑا گراف کے ذریعہ دو خطوں سے ظاہر کیا جاتا ہے۔                

 (i) اگرخطوط ایک نقطہ پر قطع کرتے ہیں تو وہ نقطہ تقاطع دونوں مساواتوں کا یکتا حل ہوتا ہے اس حالت میں مساواتوں کا جوڑا ہم آہنگ کہلاتا ہے۔

(ii) اگر خطوط منطبق ہوتے ہیں تو حل لا محدود ہوتے ہیں ۔اور خط پر موجود ہر ایک نقطہ دونوں مساواتوں کا حل ہوتا ہے۔ اس حالت میں مساوات تابع (ہم آہنگ) ہوتی ہیں۔

(iii) اگر خطوط متوازی ہوں تو مساواتوں کے جوڑے کا کوئی حل نہیں ہوتا ۔اس حالت میں مساواتیں غیر ہم آہنگ کہلاتی ہیں ۔

4۔ الجبری طریقہ :خطی مساواتوں کے جوڑوں کو حل کرنے کے لئے ہم نے مندرجہ ذیل طریقوںکو سیکھا ۔

(i)بدل(Substitution Method)کا طریقہ                

(ii) اخراج (Elimination Method)کا طریقہ                

(iii)ترچھی ضرب(Cross-multiplication Method)کا طریقہ                

 5۔ اگر خطی مساواتوں کاجوڑا کی شکل کا ہو تو مندرجہ ذیل باتیں ممکن ہوتی ہیں :

(i)                 اس حالت میں خطی مساواتوں کا جوڑا ہم آہنگ ہوتا ہے ۔

(ii) اس حالت میں خطی مساواتوں کا جوڑا غیر ہم آہنگ ہوتا ہے ۔

(iii) اس حالت میں خطی مساواتوں کا جوڑا تابع اور ہم آہنگ ہوتا ہے ۔

                6۔ ایسی بہت سی صورتِ حال ہوتی ہیں جن کو ریاضیاتی طور پر شروع میں دو خطی مساواتوں میں ظاہر نہیں کیا جا سکتا ۔لیکن بعد میں ہم ان کو بد ل کے طریقہ سے خطی مساواتوں کے جوڑوں میں تحلیل کرلیتے ہیں ۔