5
حسابی تصاعد
ARITHMETIC PROGRESSION
5.1تعارف
آپ نے کائنات میں مشاہدہ کیا ہوگا کہ بہت سی چیزیں ایک مخصوص پیٹرن پر بنی ہوتی ہیں جیسے سورج مکھی کے پھول شہد کی مکھّی کے چھتّے کے سوراخ ،مکئی کے بھٹا پر دانہ، اننّاس کے spiralاور مخروط وغیرہ ۔
(i) رینا نے ایک سروس کے لئے عرضی دی اورچن لی گئی ۔اس کو ایک ایسا کام دیا گیا جس کی شروعاتی تنخواہ8000روپے تھی اور اس میں 500 روپے کی سالانہ بڑھوتری ۔اس کی پہلے ،دوسرے ،تیسرے ۔۔۔۔ سالوں میں تنخواہ (روپوں میں ) باالترتیب
8000,8500, 9000......
تھی ۔
شکل 5.1
(ii) ایک سیٹرھی میں نیچے سے اوپر تک لگے ڈنڈوں میں 2سینٹی میٹر کا فرق ہے ،یعنی سب سے نیچے کا ڈنڈا سب سے بڑا اس سے اوپر کا اس سے 2 سینٹی میٹرچھوٹا اور اس سے اوپر کا اس سے 2سینٹی میٹرچھوٹا جیسا کے (شکل 5.1میں دکھایا گیا ہے ) سب نیچے لگے ڈنڈے کی لمبائی 45 سینٹی میٹرہے اس طرح سے نیچے سے اوپر تک لگے ڈنڈوں کی باالترتیب لمبائیاں ہیں ۔45,43,4139,37,35,33,31
(iii) ایک بچت اسکیم میں ایک رقم 3سال بعد خود کی
گنا ہو جاتی ہے ۔8000روپے کی سرمایہ کاری کرنے پر 9,6,3 اور12سال بعد میعاد پوری ہونے پر بالترتیب رقم (روپوں میں)ملے گی:
گنا ہو جاتی ہے ۔8000روپے کی سرمایہ کاری کرنے پر 9,6,3 اور12سال بعد میعاد پوری ہونے پر بالترتیب رقم (روپوں میں)ملے گی:10000 12500 15625 19531.25
(iv) ۔1مربع جن کے اضلاع 3,2,1۔۔۔۔اکائیوں کے ہیں ،میں اکائی مربعوں کی تعداد شکل 5.2میں دیکھیے باالترتیب ہے :
شکل 5.2
(v) شکیلہ نے ایک سال عمر کی اپنی بیٹی کے پرس میں 100روپے رکھے اور ہر سال وہ اس پرس میں 50روپے بڑھاتی رہی اس کی بیٹی کی پہلی ،دوسری ،تیسری، اور چوتھی یوم پیدائش پر اس کے پرس میں رقم باالترتیب
250 200, 150, 100,تھی
(vi) خرگوشوں کا ایک جوڑا اتنا چھوٹا تھا کہ وہ پہلے مہینہ میں اپنی نسل کو آگے نہیں بڑھاپائے لیکن اگلے آنے والے ہر ایک مہینہ میں انھوں نے ایک نئے جوڑے کو جنم دیا ۔اور ہر نئے جوڑے نے دوسرے مہینہ میں ایک نئے جوڑے کو جنم دیا۔ (شکل 5.3دیکھئے ) یہ مانتے ہوئے کہ درمیان میں کسی بھی خرگوش کی موت نہیں ہوئی ۔پہلے ،دوسرے ،تیسرے ۔۔۔۔۔۔۔۔۔چھٹے مہینہ کی شروعات میں جوڑوں کی تعداد باالترتیب ہوگی
1,1,2,3,5,8
شکل 5.3
مذکورہ بالا مثالوں میں ہم نے کچھ پیٹرن کا مشاہدہ کیا ۔کچھ میں ہم نے پایا کہ اگلی رکن پچھلے رکن میں کوئی متعین عدد جمع کر کے حاصل کیا جا سکتا ہے اور کچھ میں متعین عدد سے ضرب کرکے اور کچھ میں ہم نے پایا کہ وہ لگاتار (مسلسل) اعداد کے مربع ہیں ۔ اسی طرح سے آگے بھی ۔
اس باب میں ہم ان میں سے ایک پیٹرن کا مطالعہ کریں گے جس میں اگلے ارکان کو پچھلے رکن میں کسی متعین عدد کو جمع کرکے حاصل کیا جا سکتا ہے ۔ہم یہ بھی سیکھیں گے کہ ایسے سلسلوں کا نواں رکن اور nلگاتار ارکان حاصل جمع کیا ہوگا اور اس علم کو روزمرہ کے مسائل کو حل کرنے میں استعمال کریں گے ۔
5.2حسابی تصاعد
مندرجہ ذیل اعداد کی فہرست پر غور کیجئے ۔
1, 2, 3, 4, . . . (i)
100, 70, 40, 10, . . . (ii)
–3, –2, –1, 0, . . . (iii)
3, 3, 3, 3, . . . (iv)
–1.0, –1.5, –2.0, –2.5, . . . (v)
اس فہرست میں ہر ایک عدد ایک رکن کہلاتا ہے ۔
اگر مندرجہ بالا فہرست میں سے کوئی ایک رکن دیا ہوا ہو تو کیا آپ اس کا اگلا رکن معلوم کر سکتے ہیں ؟ اگر ہاں تو آپ اسے کس طرح لکھیں گے ؟ شاید مندرجہ ذیل پیٹرن یا قاعدہ سے ۔اس لئے مشاہدہ کرتے ہیں اور قاعدہ کو تحریر کرتے ہیں ۔
(i) میں ہر ایک رکن پچھلے رکن سے 1زیادہ ہے
(ii) میں ہر ایک رکن پچھلے رکن سے 30کم ہے ۔
(iii) میں ہر ایک رکن پچھلے رکن میں 1جمع کر کے حاصل کیا جا سکتا ہے
(iv) میں ہر رکن 3سے یعنی ہر ایک رکن اس کے پچھلے رکن میں 0جمع کر کے حاصل کیا جا سکتا ہے ۔
(v) میں ہر ایک رکن کو اس کے پچھلے رکن میں –0.5جمع کر کے (یا 0.5گھٹاکر) حاصل کیا جا سکتا ہے ۔
مذکورہ بالا فہرست میں آپ نے دیکھا کہ ہر اگلے رکن کو پچھلے رکن میں کوئی متعین عدد جمع کر کے حاصل کیا جا سکتا ہے ۔ اعداد کی ایسی فہرست حسابی تصاعد (A.P.)کہلاتی ہے ۔
اس طرح سے حسابی تصاعد ایسے اعداد کی فہرست ہے جس میں ہر ایک رکن اس کے پچھلے رکن میں کوئی متعین عدد جمع کر کر حاصل کیا جا سکتا ہے سوائے پہلے رکن کے ۔
یہ متعین عدد A.P.کا مشترک فرق کہلاتا ہے ،یاد رکھئے یہ فرق ،مثبت ،منفی یا صفر بھی ہو سکتا ہے ۔
آئیے ایک A.p.کے پہلے رکن کو a1سے دوسرے رکن کوa2 سے اور nویں رکن کوan سے ظاہر کرتے ہیں اور مشترک فرق کو dسے ۔تب APہو جاتی ہے۔
,a3a1,a2,,,,an
APکی کچھ اور مثالیں ہیں ۔
(a) صبح کی اسمبلی کی لائن میں کھڑے اسکول کے طلبا کی اونچائیاں (سینٹی میٹرمیں)ہیں 157....,147,148,149
(b) کسی شہر میں جنوری کے مہینہ میں ایک ہفتہ کے ریکارڈ کئے گئے کم سے کم درجۂ حرارت (ڈگری سلسیس میں) بڑھتی ہوئی ترتیب میں لکھے گئے ہیں ۔
– 3.1, – 3.0, – 2.9, – 2.8, – 2.7, – 2.6, – 2.5
(c)
1000روپے کے قرض پر کل کا %5ادا کرنے کے بعد ہر مہینہ کی بقایا رقم ہے ۔
950, 900, 850, 800, . . ., 50.
(d) پہلی کلاس سے لے کر بارہویں کلاس تک اول نمبر لانے والے طلبا کو اسکول کی طرف سے دئے گئے نقد انعام (روپیوں میں ) باالترتیب ہیں ۔
200, 250, 300, 350, . . ., 750
(e) ۔10مہینوں تک ہر مہینہ کی کل بچت جب ہر مہینہ 50روپے بچائے جاتے ہوں ۔
50, 100, 150, 200, 250, 300, 350, 400, 450, 500
قارئین کے لئے یہ ایک مشق ہے کہ بتائے مذکورہ بالا ہر فہرست A.P.کی ایک مثال ہے ۔
آپ دیکھ سکتے ہیں
a, a + d, a + 2d, a + 3d, . . .
ایک .A.Pکو ظاہر کرتی ہے جہاں aپہلارکن اور dمشترک فرق یہ .A.Pکی عمومی شکل ہے ۔
نوٹ کیجئے اوپر دی گئی مثال (a)سے (e)میں ارکان کی تعداد محدود ہے ۔ایسی .A.Pمتناہی .A.Pکہلاتی ہے مزید نوٹ کیجئے ان میں سے ہر ایک .A.Pکا آخری رکن دیا ہوا ہے اس سیکشن کی مثال (i)سے (vi)میں .A.Pمتناہی نہیں ہے اس لئے یہ لامتناہی حسابی تصاعد کہلاتا ہے ۔ایسی .A.Pکاآخری رکن نہیں ہوتا ۔
اب کسی .A.Pکے بارے میں جاننے کے لئے کم سے کم کتنی باتوں کا معلوم ہونا ضروری ہے ؟ کیا صرف پہلا رکن جاننا کافی ہے ؟ یا صرف مشترک فرق جاننا کافی ہے ؟ آپ یہ پائیں گے کہ دونوں کا معلوم ہونا ضروری ہے ۔پہلا رکن aاورمشترک فرقd
مثال کے طور پر اگر پہلا رکن 6 , aہے اور مشترک فرقd،3ہے ۔تب .A.Pہے ۔
6, 9,12, 15, . . .
اور اگر 6 ,aہے اور d،–3ہے تب .A.P. ہے ۔
6, 3, 0, –3, . . .
اسی طرح جب :۔
اس لئے جب آپ جانتے ہیں کہ aاور dکیا ہیں تو .A.Pبنا سکتے ہیں ۔اگر اس کے بر عکس ہو تو کیا ہوگا؟ یعنی اگر آپ کو اعداد کی فہرست دی ہوئی ہو تو کیا آپ بتا سکتے ہیں کہ یہ .A.P.ہے اور ہے تو اس کے aاورdکیا ہیں ۔کیونکہ aپہلا رکن ہے اس لئے یہ آسانی سے لکھا جا سکتا ہے ،ہم یہ جانتے ہیں کہ ایک .A.P.میں ہر اگلا رکن پچھلے رکن میںdجمع کرنے پر حاصل ہو سکتاہے ۔ اس لئے dکو ہم کسی بھی اگلے رکن میں سے پچھلا رکن گھٹا کر معلوم کیا جاسکتا ہے ۔اور یہ پوری.A.P.کے لئے یکساں ہوگا ۔
مثال کے طور پر اعداد کی فہرست کے لئے
یہاں کسی دو لگاتار ارکان کا فرق 3ہے تو دی ہوئی فہرست ایک .A.P.ہے جس کا پہلا رکن 6 ,aہے اور مشترک فرق3ہے
اسی طرح سے یہ بھی ایک .A.P.ہے جس کا پہلا رکن 6اور مشترک فرق–3ہے ۔
عمومی طور پر ایک .AP
کے لئے ہمارے پاس ہے
کے لئے ہمارے پاس ہے
جہاں
باالترتیب (k +1)واں رکن اور kواں رکن ہے ۔
باالترتیب (k +1)واں رکن اور kواں رکن ہے ۔ایک دی ہوئی APمیں ہمیں تمام 
معلوم کرنے کی ضرورت نہیں ہے ۔یہ کافی ہے کہ ان میں سے صرف ایک معلوم ہو ۔
معلوم کرنے کی ضرورت نہیں ہے ۔یہ کافی ہے کہ ان میں سے صرف ایک معلوم ہو ۔اعداد . . . .3,5, 2, 1, 1, پر غو ر کیجئے ۔ان کو دیکھنے سے ہی آپ یہ بتا سکتے ہیں کہ دو لگاتار ارکان کا فرق ہر جگہ مساوی نہیں ہے ۔اس لئے یہ APنہیں ہے ۔
نوٹ کیجئے کہ
میں آپ نے 6کو 3میں سے گھٹایا ہے نہ کے 3کو 6میں سے یعنی ہم kویں رکن کو (k +1)ویں رکن میںسے گھٹاتے ہیں چاہے (k +1)واں رکن چھوٹا بھی ہو۔
میں آپ نے 6کو 3میں سے گھٹایا ہے نہ کے 3کو 6میں سے یعنی ہم kویں رکن کو (k +1)ویں رکن میںسے گھٹاتے ہیں چاہے (k +1)واں رکن چھوٹا بھی ہو۔آئیے اس تصور کو مثالوں کی مدد سے مزید واضح کرتے ہیں ۔
مثال1: AP
کے لئے پہلا رکن aاور مشترک فرق dمعلوم کیجئے ۔
کے لئے پہلا رکن aاور مشترک فرق dمعلوم کیجئے ۔حل: یہاں
یاد کیجئے کہ ہم دو لگاتار ارکان کو استعمال کر کے dمعلوم کر سکتے ہیں ۔بس ایک بار ہمیں APکے ارکان معلوم ہو جائیں ۔
مثال2: مندرجہ ذیل اعداد کی کون سی فہرست ایک APکی تشکیل کرتی ہیں ؟ اگر یہ APہیں تو ان کے اگلے 2ارکان لکھیں:
یعنی
ہر جگہ یکساں ہے ۔
ہر جگہ یکساں ہے ۔اس لئے دی گئی اعداد فہرست APجس مشترک فرق d =6
یعنی ہر جگہ یکساں ہے ۔
ہر جگہ یکساں ہے ۔اس لئے اعداد کی دی گئی فہرست APجس کا مشترک فرق – 2ہے
اگلے دو رکن ہیں
کیونکہ
اس لئے دی گئی اعداد کی فہرست APنہیں ہے ۔
اس لئے دی گئی اعداد کی فہرست APنہیں ہے ۔
یہاں
اس لئے دی گئی اعداد کی فہرست APنہیں ہے ۔
اس لئے دی گئی اعداد کی فہرست APنہیں ہے ۔مشق5.1
1 ۔ مندرجہ ذیل کون سی صورت حال میں اعداد کی فہرست ایک APہے اور کیوں ؟
(i) ہر ایک کلومیٹر کے لئے ٹیکسی کا کرایہ جب کے پہلے کلومیٹر کے لئے کرایہ 15روپے اور 8روپے ہر ایک زائد کلو میٹر کے لئے
(ii) جب ایک ہوا نکالنے والا پمپ سلنڈر میں سے ہر مرتبہ بچی ہوئی ہوا کا
نکالتا ہے ،تو سلنڈرمیں موجود ہوا کی مقدار
نکالتا ہے ،تو سلنڈرمیں موجود ہوا کی مقدار (iii) ایک کنویں کوکھودنے کا کل خرچ جب کے ہر پہلے میٹر کھودنے کا خرچ 150روپے اور اگلے ہر ایک میٹر کا خرچ 50روپے ہے ۔
(iv) ایک اکائونٹ میں ہر سال موجود رقم جب 10,000روپے ہے %8سالانہ سود مرکب کی شرح سے جمع کئے گئے ہو ں ۔
2۔ APکے پہلے چارارکان لکھئے پہلا رکن aاورمشترک فرق dذیل میں دیا گیا ہے ۔
3۔ مندرجہ ذیل APsمیں پہلا رکن اور مشترک فرق معلوم کیجئے ۔
4۔ مندرجہ ذیل میں کون سی APsہیں ؟ اگر یہ APہیں تو ان کا مشترک فرق dمعلوم کیجئے اور تین ارکان لکھئے ۔
5.3 APکاnواں رکن
آئیے سیکشن 5.1میں دی ہوئی صورت حال پر دوبارہ غور کیجئے جس میں رینا نے ایک نوکری کے لئے عرضی دی تھی اور اس کا انتخاب ہو گیا تھا ۔اس ایک ایسے نوکری کی پیش کش ہوئی تھی جہاں شروعاتی ماہانہ تنخواہ 8000روپے ہے اور سالانہ بڑھوتری 500روپے کی ہے ۔پانچویں سال میں اس کی ماہانہ تنخواہ کیا ہوگی ؟
اس کا جواب دینے کے لئے پہلے ہم دیکھتے ہیں کہ دوسرے سال میں اس کی تنخواہ کیا ہوگی ۔
یہ (500 + 8000) =8500 روپے ہوگی اسی طرح سے ہم تیسرے ،چوتھے اور پانچویں سال کی تنخواہ پچھلے سال کی تنخواہیں 500روپے جمع کر کے کر معلوم کر سکتے ہیں ۔اس لئےتیسرے سال کی تنخواہ ہے =(500 + 8500) روپے
مشاہدہ کیجئے کہ ہم کو مندرجہ ذیل اعداد کی فہرست مل رہی ہے ۔
8000, 8500, 9000, 9500, 10000, . . .
یہ اعداد APمیں ہیں ۔(کیوں؟)
اب ہم مذکورہ پیٹرن کو دیکھتے ہیں ۔کیا آپ چھٹے سال کی تنخواہ کے بارے میں بتا سکتے ہیں ؟ 15ویںسال کی تنخواہ ؟ یہ فرض کرتے ہوئے کہ وہ مستقل اس نوکری پر کام کررہی ہے تو 25ویں (25th)سال کی ماہانہ تنخواہ کیا ہوگی ؟ آپ اس کو آسانی سے ہر پچھلے سال کی تنخواہ میں 500روپے جمع کر کے معلوم کر سکتے ہیں ۔کیا ہم اس عمل کو مختصر بنا سکتے ہیں ؟ اس لئے دیکھتے ہیں ،جس طرح سے ہم نے اوپر تنخواہ حاصل کی ہے اس سے آپ کو اندازہ تو ہو ہی گیا ہوگا ۔
15ویںسال کی تنخواہ ہے
=14ویں سال کی تنخواہ+500روپے
سالانہ بڑھوتری +(1 – 15)+پہلی تنخواہ
اسی طریقہ سے 25سال میں اس کی ماہانہ تنخواہ ہوگی
سالانہ بڑھوتری + (1 – 25)+پہلی تنخواہ
اس مثال سے آپ کو اندازہ ہو گیا ہوگا کہ کس طرح سے آپ APکا 15واں رکن یا 25واں رکن اور مجموعی طور پر nواں رکن کیسے معلوم کریں گے ۔
........
........
اس پیٹرن کو دیکھتے ہی ہم کہہ سکتے ہیں کہ nواں رکن ہوگا 
اس لئے ایک APجس کا پہلا رکن aمشترک فرقdہو تو اس کا nواں رکن یعنی 
ہوگا
ہوگا
کا عمومی رکن بھی کہلاتا ہے ۔اگر کسی APمیں mارکان ہیں تب 
اس کا آخری رکن ہوگا جس کو اکثر ہم lسے ظاہر کرتے ہیں ۔آئیے کچھ مثالوں پر غور کرتے ہیں ۔
مثال3
...,2,7,12
اسAPکادسواںرکن معلوم کیجئے ۔
حل: یہاںd=7–2=5 a=2 اورn=10
اس لئے APکا 10th رکن 47ہے
مثال4: APکا کون سا رکن – 81ہے اگر APہے
21, 18, 15 . . .?
یہ بھی بتائیے کہ کوئی سا رکن صفر بھی ہے ؟ ایسے جواب کی وجوہات بھی لکھئے ۔
اس لئے دی ہوئی APکا 25واںرکن 81–ہے ۔
آگے ہم یہ جاننا چاہتے ہیں کہ کسی ایسے nکا وجود ہے جس کے لئے 
اگر ایسا nہے تب
اگر ایسا nہے تب
اس لئے 8واں رکن صفر ہے ۔
مثال5: APمعلوم کیجئے جس کاتیسرا رکن 5ہے اور7واں رکن 9ہے ۔
حل : ہمارے پاس ہے
خطی مساواتوں (1)اور(2)کو حل کرنے پر ہمیں ملتا ہے ۔
a = 3, d = 1
اس طرح سے مطلوبہ APہے
3, 4, 5, 6, 7, . . .
مثال6: جانچ کیجئے آیا اعداد ....,23,17,11, 5 کی فہرست میں کوئی رکن 301ہے ۔
حل : ہمارے پاس ہے
کیونکہ
یکساں ہے ،k = 1,2,3کے لئے اس لئے دی ہوئی اعداد کی فہرست APہے ۔
یکساں ہے ،k = 1,2,3کے لئے اس لئے دی ہوئی اعداد کی فہرست APہے ۔اب a = 5اورd = 6
مان لیجئے اس APکا nواںرکن 301ہے
ہم جانتے ہیں کہ
لیکن nکو مثبت صحیح عدد ہونا چاہیے (کیوں؟) اس لئے 301دی ہوئی اعداد کی فہرست کا رکن نہیں ہے ۔
مثال7: ایسے کتنے دو ہندسی اعداد ہیں جو 3سے تقسیم ہو جاتے ہیں ۔
حل : 3سے تقسیم ہونے والے دو ہندسی اعداد کی فہرست ہے :
12, 15, 18, . . .,99
اس لئے ایسے 30ہندسی اعداد ہیں جو 3سے تقسیم ہوں گے ۔
مثال 8
10,74,...–62, AP
کے آخری رکن سے (پہلے رکن کی طرف) 11واں رکن معلوم کیجئے ۔
حل: یہاں ہے ،a = 10, d = 7 – 10 = – 3, l = – 62
جہاں l = a + (n – 1)d
آخر سے 11واں رکن معلوم کرنے کے لئے ہمیں APکے کل ارکان معلوم کرنے ہیں ۔
اس لئے اس APمیں 25ارکان ہیں ۔
آخری رکن سے 11واں رکن 15واں رکن (نوٹ کیجئے کہ 14واں رکن نہیں ہوگا) ہوگا ۔
اس لئے
یعنی آخری سے 11واں رکن 32–ہے ۔
متبادل حل :
اگر ہم APکو معکوسی طریقہ سے لکھیں تو a = –62اورd = 3(کیوں؟) اس لئے اب سوال یہ ہو جاتا ہے ہمیں 11واں رکن معلوم کرنا ہے جس کے aاورdمعلوم ہیں ۔
اس لئے
اس لئے 11واں رکن جواب مطلوبہ رکن ہے 32–
مثال9: 1000روپے کی رقم %8سالانہ کی شرح سے سود مفرد پر لگائی گئی ۔ہر ایک سال کے بعد سود کی تحسیب کیجئے ۔کیا یہ سود APہے ؟ اگر ایسا ہے تو اس حقیقت کا استعمال کرتے ہوئے 30سال کے آخر میں حاصل ہونے والے سود کی تحسیب کیجئے ۔
حل: ہم سودمفرد معلوم کرنے کا فارمولہ جانتے ہیں ۔
اسی طرح سے ہم 4ویں سال اور5ویں سال اوراسی طرح سے آگے سالوں کے آخر کا سود حاصل کر سکتے ہیں ۔
اس لئے پہلے، دوسرے ،تیسرے، ۔۔۔۔سالوں کا باالترتیب سود ہے ۔
80, 160, 240
یہ ایک APہے کیونکہ دو لگاتار ارکان کافرق 80ہے یعنی d = 80اور a=80ہی ہے ۔
اس لئے 30سال کے آخر میںسود معلوم کرنے کے لئے ہمیں
معلوم کرنا ہے ۔
معلوم کرنا ہے ۔ اب 
اس لئے 30سال کے آخر میں سود ہوگا 2400روپے
مثال10: پھولوں کی ایک کیاری کی پہلی قطار میں گلاب کے 23پودے دوسری قطار میں 21اور تیسری قطار میں 19اور اسی طرح سے آگے بھی ۔آخری قطار میں گلاب کے 5پودے ہیں ،کیاری میں ایسی کتنی قطاریں ہیں ۔
حل: پہلی ،دوسری ،تیسری ،۔۔۔۔قطار میں گلاب کے پودوں کی تعداد
23, 21, 19, ...., 5
یہ ایک APہے (کیوں؟) مان لیجئے پھولوں کی کیاری میں nقطاریں ہیں ۔
اس لئے پھولوں کی کیاری میں کل 10قطاریں ہوں گی ۔
مشق5.2
1۔ مندرجہ ذیل جدول میں خالی جگہ کو پر کیجئے اگر APکا کا پہلا رکن aاور مشترک فرقdاورnواں رکن 
ہے ۔
ہے ۔| a | d | n | an | |
| (i) | 7 | 3 | 8 | ... |
| (ii) | 18– |
... | 10 | 0 |
| (iii) | ... | 3– | 18 | 5– |
| (iv) | 18.9– | 2.5 | ... | 3.6 |
| (v) | 3.5 | 0 | 105 | ... |
2۔ مندرجہ ذیل میں صحیح جواب کو چنئے اور اس کا جواز پیش کیجئے ۔
3۔ مندرجہ ذیل APsمیں باکس میں گمشدہ رکن بھرئیے ۔
4۔ . . .,AP: 3, 8, 13, 18, کا کون سا رکن 78ہے ۔
5۔ مندرجہ ذیل ہر ایک APمیں ارکان کی تعداد معلوم کیجئے ۔
7۔ ایک APکا 11واں رکن 38ہے اور16واں رکن 73ہے تو اس کا 31واں رکن معلوم کیجئے ۔
8۔ ایک APمیں 150ارکان ہیں جس کا تیسرا رکن 12اورآخری رکن 106ہے تو 29واں رکن معلوم کیجئے ۔
9۔ اگر ایک APکا تیسرا اور نواں رکن باالترتیب 4اور–8ہے تو APکا کون سا رکن صفر ہوگا ۔
10۔ ایک APکا 17واں رکن اس کے 10ویں رکن سے 7زیادہ ہے ۔مشترک فرق معلوم کیجئے ۔
11۔...,AP: 3, 15, 27, 39
کا کون سارکن اس کے 54ویں رکن سے 132زیادہ ہے ۔
12۔ دو APsکا مشترک فرق ایک ہی ہے ان کے 100ویں ارکان میں 100کا فرق ہے ۔تو ان کے 1000ویں ارکان میں کیا فرق ہوگا ۔
13۔ تین ہندسوں کے کتنے عدد 7سے تقسیم ہوسکتے ہیں ۔
14۔ 10اور250کے درمیان میں 4کے کتنے اضعاف ہیں ۔
15۔ nکی کس قدر کے لیے دو
کے nویںرکن مساوی ہوگا؟
کے nویںرکن مساوی ہوگا؟ 16۔ APمعلوم کیجئے جس کا تیسر ارکن 16ہے اور ساتواں رکن پانچویں رکن سے 12زیادہ ہے ۔
18۔ ایک APچوتھے اور آٹھویں ارکان کا حاصل جمع 24ہے اور 6ویں اور 10ویں ارکان کا حاصل جمع 44ہے ۔APکے تین ارکان معلوم کیجئے ۔
19۔ سُبّا راؤ نے 1995میں ایک نوکری5000روپے کی سالانہ تنخواہ پر شروع کی اور ہر سال اس کو 200روپے کا ایک اضافی رقم ملا ۔کو نئے سال میں اس کی آمدنی 7000روپے ہوگی ؟
20۔ رام کلی نے سال کے پہلے ہفتہ میں5روپے کی بچت کی اور پھر اس نے اپنی ہفت وار بچت 1.75روپے سے بڑھا دیا ۔ اورnویں ہفتہ میں اس کی ہفتہ وار بچت 20.75روپے ہوگئی تو nمعلوم کیجئے ۔
5.4 AP کے پہلے nارکان کا حاصل جمع
سیکشن 5.1میںدی گئی صورت حال پر دوبارہ غور کیجئے ،جس میں شکیلا نے اپنی بیٹی کے پرس میں100روپے رکھے تھے جب اس کی عمر ایک سال کی تھی ۔150روپے اس کے دوسرے یوم پیدائش پر اور200روپے اس کے تیسرے یوم پیدائش پر اور اسی طرح سے اگلے یوم پیدائش پر بھی ۔جب اس کی بیٹی 21سال کی ہوگئی تو اس کے پرس میں کل کتنے روپے تھے ۔یہاں پہلے،دوسرے ، تیسرے ،چوتھے یوم پیدائش پر اس کے پرس میں رکھے گئے روپیوں کی تعداد باالترتیب
ہے ۔ 21ویںیوم پیدائش تک اس کے 21ویں یوم پیدائش پر جمع کل رقم معلوم کرنے کے لئے ہم اوپر دی گئی تمام رقم کو (21اعدادکو) جمع کریں گے ۔کیا آپ کو ایسا نہیں لگتا کے گننے کا یہ عمل کچھ پیچیدہ اور دیر طلب ہے ؟ کیا ہم اس عمل کو مزید مختصر اور چھوٹا نہیں بنا سکتے ۔یہ ممکن ہے اگر ہم حاصل جمع معلوم کرنے کا ایک طریقہ دریافت کریں ۔آئیے دیکھتے ہیں ۔
ہے ۔ 21ویںیوم پیدائش تک اس کے 21ویں یوم پیدائش پر جمع کل رقم معلوم کرنے کے لئے ہم اوپر دی گئی تمام رقم کو (21اعدادکو) جمع کریں گے ۔کیا آپ کو ایسا نہیں لگتا کے گننے کا یہ عمل کچھ پیچیدہ اور دیر طلب ہے ؟ کیا ہم اس عمل کو مزید مختصر اور چھوٹا نہیں بنا سکتے ۔یہ ممکن ہے اگر ہم حاصل جمع معلوم کرنے کا ایک طریقہ دریافت کریں ۔آئیے دیکھتے ہیں ۔
اب ہم Gaussکو دئے گئے ایک مسئلے پر غور کریں (جس کے بارے میں آپ نے باب 1میں پڑھاتھا ) جو اس کو حل کرنے کے لئے جب دیا گیا تھا جب وہ 10سال کی عمر کا تھا ۔اس سے کہا گیا تھا کہ اسے 100تک کے مثبت صحیح اعداد کا حاصل جمع معلوم کیجئے ۔اس نے فوراً جواب دیا تھا 5050۔کیا آپ اندازہ کر سکتے ہیں اس نے ایسا کیسے کیا ؟ اس نے لکھا تھا :
S = 1 + 2 + 3 + . . .+ 99 + 100
اور غیر اعداد کو معکوس طریقے سے لکھیں
S = 100 + 99 + . . .+3 + 2 + 1
ان دونوں کو جمع کرنے پر اس نے پایا
2S = (100 + 1) + (99 + 2) + . . .+(3 + 98) +(2 + 99) + (1 + 100)
(100مرتبہ)
= 101 + 101 + . . .+ 101+ 101
اس لئے 
اب ہم APکے پہلے nارکان کا حاصل جمع معلوم کرنے کے لئے اسی تکنیک کا استعمال کریں گے ۔
a, a + d, a + 2d, . . .
اس APکا nواں رکن a + (n – 1)dہے۔ مان لیجئے S،اس APکے پہلے nارکان کا حاصل جمع کو ظاہر کرتا ہے ۔ ہمارے پاس ہے ۔
S= a + (a + d) + (a + 2d) + . . .+ [a + (n – 1) d] (1)
ان ارکان کو معکوس طریقے سے دوبارہ لکھنے پر
S = [a + ( n – 1) d] + [a + (n – 2) d] + . . . + (a + d) + a (2)
(1)اور(2)کو جمع کرنے پر
nمرتبہ
یا (کیونکہ ارکان کی تعداد nہے ) [2S = n [2a + n – 1)d
یا 
اس لئے کسی APکے پہلے nارکان کا حاصل جمع
اب اگر کسی APمیں صرف nارکان ہیں تب
یعنی آخری رکن جو(3)سے ہمیں ملتا ہے ۔
یعنی آخری رکن جو(3)سے ہمیں ملتا ہے ۔
نتیجہ کی یہ شکل کافی مفید ہوتی ہے جب کسی APکا پہلا اورآخری رکن دیا ہوا ہو اور مشترک فرق نہ دیا ہوا ہو ،اب ہم اپنے اس سوال کی طرف واپس جاتے ہیں جو شروع میں ہم نے اٹھایا تھا۔یعنی شکیلہ کی بیٹی کے پرس میں اس کے پہلے ،دوسرے، تیسرے اور چوتھے یوم پیدائش پر رقم باالترتیب
100, 150, 200, 250, . . .,
یہ ایک APہے اور ہمیں معلوم کرنا ہے کہ اس کے 21thیوم پیدائش پر کل کتنی رقم اس کے پرس میں ہوگی ۔یعنی اس APکے پہلے 21ارکان کا حاصل جمع
یہاں d = 50, a = 100اورn = 21فارمولہ کا استعمال کرنے پر
اس لئے اس کے 21ویں یوم پیدائش پر کل رقم 12600روپے ہے ۔کیا فارمولے کے استعمال نے اسے آسان نہیں بنادیا؟ ہم APکے پہلے nارکان کے حاصل جمع Sکی جگہ 
بھی لکھ سکتے ہیں ہم APکے پہلے 20ارکان کے حاصل جمع کو 520سے ظاہر کرتے ہیں ۔حاصل جمع معلوم کرنے کے فارمولہ میں چار مقداریں شامل ہیں ۔d, a, Sاورn۔اگر ہم ان میں سے کسی تین کے بارے میں معلوم ہے تو ہم چوتھی معلوم کرسکتے ہیں ۔
بھی لکھ سکتے ہیں ہم APکے پہلے 20ارکان کے حاصل جمع کو 520سے ظاہر کرتے ہیں ۔حاصل جمع معلوم کرنے کے فارمولہ میں چار مقداریں شامل ہیں ۔d, a, Sاورn۔اگر ہم ان میں سے کسی تین کے بارے میں معلوم ہے تو ہم چوتھی معلوم کرسکتے ہیں ۔ریمارک : اگرکسی APکا nواں رکن اس کے پہلے nارکان کے حاصل جمع اور پہلے (n –1)ارکان کے حاصل جمع کے فرق کے برابر ہوتا ہے یعنی 
آئیے کچھ مثالوں پر غور کرتے ہیں ۔
مثال11:
....,AP 8, 3, –2کے پہلے 22ارکان کا حاصل جمع معلوم کیجئے ۔
ہم جانتے ہیں کہ
اس لئے پہلے22ارکان کا حاصل جمع 979–ہے ۔
مثال12: اگر کسیAPکے پہلے 14ارکان حاصل جمع 1050ہے اور اس کا پہلا رکن 10ہے تو 20واں رکن معلوم کیجئے ۔
مثال13:
کے کتنے ارکان کو لیا جائے کہ ان کاحاصل جمع 78ہو ۔
کے کتنے ارکان کو لیا جائے کہ ان کاحاصل جمع 78ہو ۔
nکی دو نوں ہی قدریں صحیح ہیں ،ارکان کی تعداد یا تو 4ہے یا 13
ریمارک:
1۔ اس حالت میں 78=پہلے 13ارکان کا حاصل جمع =پہلے 4ارکان کا حاصل جمع ہے ۔
2۔ یہ دوجواب اس لئے ممکن ہیں کیونکہ 5ویں رکن سے 13ویں رکن تک کے ارکان کا حاصل جمع صفر ہے یہ اس لئے ہے کیونکہ aمثبت ہے اورdمنفی ۔اسلئے کچھ ارکان مثبت ہوں گی اور کچھ منفی جس ایک دوسرے سے کینسل ہوجائیں گی ۔
مثال14: حاصل جمع معلوم کیجئے :
(i) پہلے 1000مثبت صحیح اعداد کا (ii) پہلے nمثبت صحیح اعداد کا ۔
حل :
اس لئے پہلے 1000مثبت صحیح اعداد کا حاصل جمع 500500ہے ۔
(ii) مان لیجئے
یہاں a = 1اور آخری رکن n , lہے ۔
اس لئے پہلے nمثبت صحیح اعداد کا حاصل جمع
مثال15: اعداد کی اس فہرست کے پہلے 24ارکان کا حاصل جمع معلوم کیجئے جن کا nواں رکن دیا ہواہے ۔
an=3+2n
حل
اعداد کی فہرست ہو جاتی ہے
5, 7, 9, 11. . . .
یہاں
7 – 5 = 9 – 7 = 11 – 9 = 2
اس لئے ایک APہے جس کا مشترک فرقd = 2
معلوم کرنے کے لئے ہمارے پاس ہے d = 2, a = 5, n = 24
اس لئے 
اس لئے پہلے 24ارکان کا حاصل جمع 672ہے ۔
مثال16: ایک ٹی وی کی کمپنی تیسرے سال میں 600 ٹی وی سیٹ اور700سیٹ ساتویں سال میں بناتی ہے یہ مانتے ہوئے کہ ہر سال ٹی وی کے تیار ہونے کی تعداد ایک متعین عدد سے بڑھتی ہے ۔تو معلوم کیجئے ۔
(i) پہلے سال میں بنائے گئے ٹی وی سیٹوں کی تعداد
(ii) ۔ 10ویں سال میں تیار کئے گئے سیٹ
(iii) پہلے 7سال میں تیار کئے گئے کل سیٹ
حل : (i) کیونکہ ٹی وی میں ہر سال ایک متعین تعداد سے زیادہ ہو رہی ہے تو پہلے ،دوسرے اور تیسرے سال ۔ ۔ ۔،میں بنائے گئے ٹی وی کی تعداد ایک APہوگی ۔آئیے ہم nویں سال میں تیار کئے گئے ٹی وی کی تعداد کو a,nسے ظاہر کرتے ہیں ۔
تب 
یا 
اور 
ان مساواتوں کو حل کرنے پر ہمیں ملتا ہے a = 550اورd = 25
اس لئے پہلے سال میں تیار کئے گئے TVسیٹ کی کل تعداد 550ہے ۔
اس لئے دسویں سال میں تیار کئے گئے TVسیٹ کی کل تعداد 775ہے ۔
اس طرح سے پہلے 7سالوں میں تیار کئے گئے کل TV سیٹ ہیں 4375۔
مشق 5.3
1۔ مندرجہ ذیل APsکا حاصل جمع معلوم کیجئے ۔
2۔ نیچے دئے گئے حاصل جمع معلوم کیجئے ۔
3۔ ایک APمیں دیا ہوا:
4۔ 
کے کتنے ارکان لئے جائیں کہ حاصل جمع 636ہو جائے ۔
کے کتنے ارکان لئے جائیں کہ حاصل جمع 636ہو جائے ۔5۔ APکا پہلا رکن 5اور آخری رکن 45اور حاصل جمع 400ہے ۔ارکان کی تعداد اور مشترک فرق معلوم کیجئے ۔
6۔ ایک APکا پہلا اور آخری رکن باالترتیب 17اور350ہے ۔اگر مشترک فرق 9ہے توارکان کی کل تعداد حاصل جمع معلوم کیجئے ۔
7۔ ایک APکے 22ارکان کا حاصل جمع معلوم کیجئے جس میں a = 7اور22واں رکن 149ہے ۔
8۔ ایک APکے پہلے ارکان کا حاصل جمع معلوم کیجئے جس کادوسرا اور تیسرا رکن باالترتیب 14اور18ہے ۔
9۔ اگر کسی APکے پہلے 7ارکان کا حاصل جمع 49ہے اور17ارکان کا حاصل جمع 289ہے ۔تو پہلے nارکان کا حاصل جمع معلوم کیجئے ۔
10۔ دکھائیے کہ
کو ذیل میں معروف کیا گیا ہے ۔
کو ذیل میں معروف کیا گیا ہے ۔
اور ہر ایک حالت کے لئے پہلے 15ارکان کا حاصل جمع بھی معلوم کیجئے ۔
11۔ اگر APکے پہلے nارکان کا حاصل جمع 
ہے تو پہلارکن کیا ہے (یعنی 
)؟ پہلے دو ارکان کا حاصل جمع کیا ہے ؟ دوسرا رکن کیا ہے ؟ اسی طرح سے تیسرا ،دسواں اور nواں رکن معلوم کیجئے ۔
ہے تو پہلارکن کیا ہے (یعنی )؟ پہلے دو ارکان کا حاصل جمع کیا ہے ؟ دوسرا رکن کیا ہے ؟ اسی طرح سے تیسرا ،دسواں اور nواں رکن معلوم کیجئے ۔12۔ پہلے 40مثبت صحیح اعداد کا حاصل جمع معلوم کیجئے جو 6سے تقسیم ہوجائیں ۔
13۔ dکے پہلے 14اضعاف کا حاصل جمع معلوم کیجئے ۔
14۔ 0اور50کے درمیان تمام طاق اعداد کا حاصل جمع معلوم کیجئے ۔
15۔ تعمیر کے کام کے ایک معاہد ہ میں یہ بات صاف طور پر لکھی جاتی ہے کہ کسی کام کو اس کی دی گئی تاریخ کے بعد مکمل کیا جاتا ہے تو جر مانہ اس طرح سے ہوگا ۔تاخیر کے پہلے دن 200روپے دوسرے دن250روپے ،تیسرے دن 300روپے وغیرہ ۔ جرمانہ کی رقم ہر آنے والے دن میں 50روپے بڑھ جائے گی ۔اگرا یک کنٹریکٹر ایک کام کو 30دن تاخیر سے کرتا ہے تو اس کو کل کتنا جرمانہ دینا پڑیگا ۔
16۔ ایک اسکول میں طلباء کی سال بھر کی بہترین کارکردگی کے لئے 700روپیہ کی رقم کو سات نقد انعام کی شکل میں طلباء کو دیا جاتا ہے ۔اگر ہر انعام پچھلے انعام سے 20روپے کم ہے تو ہر انعام کی قیمت معلوم کیجئے ۔
17۔ ایک اسکول میں ہوائی آلودگی کو کم کرنے کے لئے طلباء نے اسکول کے چاروں طرف پودے لگانے کے بارے میں سوچایہ طے کیا گیا کہ ہر کلاس کا ہر سیکشن اتنے ہی پیڑ لگائے گا جس کلا س میں وہ پڑھتے ہیں ۔مثال کے طور پر پہلی کلاس کے طلباء 1،دوسری کلاس کے طلباء 2،تیسرے کلاس کے طلباء3اور اسی طرح سے XIIکے طلباء 12پیڑ لگائیں گے ہر کلاس کے تین سیکشن ہیں ۔طلباء کے ذریعے لگائے گئے پیڑوں کی تعداد معلوم کیجئے ۔
18۔ ایک Spiral،مسلسل نصف دائروں سے بنائیے جن کے مراکز متبادل طورپر AاورBہیں ۔مرکز Aسے شروع کرتے ہوئے ان کے نصف قطر ہیں ۔0.5سینٹی میٹر،1.0سینٹی میٹر،1.5سینٹی میٹر،2.0 سینٹی میٹر،جیسا کے شکل 5.4میں دکھایا گیا ہے ۔ایسے Spiralکی کل لمبائی معلوم کیجئے جو 13لگاتار نصف دائروں سے مل کر بنا ہے 
لیجئے )
لیجئے )
شکل5.4
[اشارہ : لگاتار نصف دائروں کی لمبائیاں ہیں
جن کے مراکز باالترتیب A,B, A,B,ہیں ۔۔۔
جن کے مراکز باالترتیب A,B, A,B,ہیں ۔۔۔ 19۔ 200لکڑی کے لٹھے مندرجہ ذیل طریقہ سے اکٹھا کئے گئے ہیں ۔سب سے نچلی قطار میں 20لٹّھے اس سے اگلی قطار میں 19اور18اس سے اگلی قطار میں اور اسی طرح سے آگے بھی (شکل 5.5دیکھئے ) کتنی قطاروں میں 200لٹّھوں و دکھا گیا اور سب سے اوپر کی قطار میں کتنے لٹھے ہوں گے ۔
شکل5.5
20۔ آلو کی ریس میں شروعاتی نقطہ پر ایک بالٹی رکھ دی گئی جو پہلے آلو سے 5میٹر کے فاصلہ پر ہے اور دوسرے آلو خط مستقیم میں 3میٹر کے درمیانی فاصلہ پر رکھے گئے ہیں ۔اس خط پر کل دس آلو ہیں (شکل6.5دیکھئے )
شکل5.6
ایک شخص اس بالٹی سے شروع کرتے ہوئے سب سے نزدیک رکھے ہوئے آلو کو اٹھاتا ہے اور دوڑکر واپس آتا ہے اور اس کو بالٹی میں ڈال کر پھر واپس اگلے رکھے ہوئے آلو کی طرف دوڑتا ہے اس کو اٹھاتا ہے اور واپس اس بالٹی کی طرف دوڑتا ہے اس کو بالٹی میں ڈال کر وہ اگلے آلو کی طرف دوڑتا ہے یہ سلسلہ جب تک جاری رہتا ہے جب تک کے تمام آلو اس بالٹی میں نہیں آجاتے اس شخص کے ذریعے دوڑا گیا کل فاصلہ معلوم کیجئے ۔
[اشارہ : پہلے اور دوسرے آلو کو اٹھانے میں اس شخص کے ذریعے طے کیا گیا کل فاصلہ ہے ۔(2 × 5) + 2 ×5+3)]
مشق5.4(اختیاری) *
1۔ 
کا کون سا رکن اس کا پہلا منفی رکن ہوگا ؟
کا کون سا رکن اس کا پہلا منفی رکن ہوگا ؟[اشارہ: nمعلوم کیجئے 
کے لئے ]
کے لئے ]*یہ مشقیں امتحان کے نقطہ نظر سے نہیں ہیں۔
2۔ ایک APکی تیسری اور ساتویں رکن کا حاصل جمع 6ہے اور ان کا حاصل ضرب8ہے ۔تو پہلے 16ارکان کا حاصل جمع معلوم کیجئے ۔
olor:olor:olor:olor:شکل 5.7
3۔ ایک سیڑھی میں 25سینٹی میٹرکے فاصلہ پر ڈنڈے لگے ہوئے ہیں (شکل 5.7دیکھئے ) ڈنڈوں کی لمبائی یکساں طور پرگھٹ رہی ہے سب سے نیچے والا ڈنڈا 45سینٹی میٹرلمبا اور سب سے اوپر والا ڈنڈا 25سینٹی میٹرلمبا اگر سب سے اوپر ی ڈنڈے اور سب سے نیچے والے ڈنڈے کے درمیان کا فاصلہ 
میٹرہے ۔تو ڈنڈوں میں استعمال ہونے والی مطلوبہ لکڑی کی لمبائی معلوم کیجئے ۔
میٹرہے ۔تو ڈنڈوں میں استعمال ہونے والی مطلوبہ لکڑی کی لمبائی معلوم کیجئے ۔[اشارہ: ڈنڈوں کی تعداد
4۔ کسی ایک قطار میں مکانوں پر 1olor:olor:سے 49تک کے نمبر لکھے ہوئے ہیں ۔دکھائیے کہ xکی ایک ایسی قدر ہے جس کے لئے اس گھر جس کا مکان نمبر xہے ،اس سے پہلے تمام مکانوں کی تعداد کا حاصل جمع اس مکان کے بعد والے مکانوں کی تعداد کے حاصل جمع کے برابر ہے ۔xکی قدر معلوم کیجئے ۔
[اشارہ :
]
] 5۔ فٹ بال کے ایک میدان کے ایک چھوٹے سے چھجے جس میں 50میٹر لمبی 15سیڑھیاں ہیں جس ٹھوس کنکریٹ کی بنی ہیں۔ہر سیڑھی کی اونچائی 
اور چوڑائی(جس پر بیٹھا جاتا ہے )
میٹر ہے (شکل 5.8 دیکھئے) چھجے کو بنانے میںمطلوب کنکریٹ کا کل حجم معلوم کیجئے ۔
اور چوڑائی(جس پر بیٹھا جاتا ہے )میٹر ہے (شکل 5.8 دیکھئے) چھجے کو بنانے میںمطلوب کنکریٹ کا کل حجم معلوم کیجئے ۔[اشارہ: پہلی سیڑھی بنانے میں مطلوب کنکریٹ کا حجم
]
]
شکل 5.8
5.5خلاصہ :
اس باب میں آپ نے مندرجہ ذیل باتیں سیکھیں
1۔ حسابی تصاعد (AP)اعداد کی وہ فہرست ہے جس میں ہر رکن کو ،پہلے رکن کے علاوہ ،اس کے پچھلے رکن میں ایک متعین عددdکو جمع کرکے حاصل کیا جا سکتا ہے ۔متعین عدد d،مشترک فرق کہلاتا ہے ۔
ایک APکی عمومی شکل ہے
a, a+d, a+2d, a+3d, . . .
2۔ اعداد
کی دی گئی فہرست ایک APہے اگر
سے ایک قدر حاصل ہو۔ یعنی اگر
کی قدر kکی مختلف قدروں کے لئے ایک ہی ہو۔
کی دی گئی فہرست ایک APہے اگرسے ایک قدر حاصل ہو۔ یعنی اگرکی قدر kکی مختلف قدروں کے لئے ایک ہی ہو۔ 3۔ ایک APمیں جس کا پہلا رکن aہو اور مشترک فرق dہو اس کا nواں رکن (یا عمومی رکن ) ہے ۔
4۔ ایک APکے پہلے nارکان کا حاصل جمع ہوتا ہے ۔
5۔ اگر کسی APکا آخری رکنlہے ،یعنیnthرکن تبAPکے ارکان کا حاصل جمع ہوگا ۔
قارئین کے لئے نوٹ
اگر a, b, c APمیں ہیں تب 
اورa, bاورcolor:کا حسابی اوسط کہلاتا ہے ۔
اورa, bاورcolor:کا حسابی اوسط کہلاتا ہے ۔