6.1تعارف

پچھلی کلاسوں میں آپ مثلثوں اور ان کی بہت سی خصوصیات سے پہلے ہی واقف ہو چکے ہیں ۔نویں کلاس میں آپ نے مثلثوں کی مماثلت کے بارے میں تفصیل سے مطالعہ کیا ۔یاد کیجئے کہ دو اشکال متماثل ہوتی ہیں ۔اگر ان کی شکل (Shape)اور پیمائش (Size)یکساں ہوں ۔اس باب میں ہم ان اشکال کے بارے میں پڑھیں گے جن کی شکل (Shape)ایک سی ہو لیکن ضروری نہیں کے سائز بھی ایک ہی ہو ۔دواشکال جن کا ایک ہی شکلہو (ضروری نہیں کے سائز بھی ایک ہو) مشابہ اشکال کہلاتی ہیں ۔مخصوص طورپر ہم مثلثوں کی مشابہت کے بارے میں پڑھیں گے اور اس علم کا استعمال پہلے سے معلوم فیثاغورث کے مسئلے کو ثابت کرنے میں کریں گے ۔

کیا آپ اندازہ لگا سکتے ہیں کہ پہاڑوں (جسے ماؤنٹ ایوریسٹ)کی اونچائی بتائی یا ایسی اشیا کے فاصلے جو کافی دوری پر واقع ہیں (جیسے چاند) کس طرح معلوم کئے جاتے ہیں ؟ کیا آپ سوچ سکتے ہیں کہ ان کو کسی ناپنے والے ٹیپ سے سیدھا ناپا جا سکتا ہے ؟ در حقیقت ایسی تمام اونچائیاں اور فاصلہ پیمائش کے غیر درست طریقے سے معلوم کئے جاتے ہیں ،جس کی بنیاد اشکال کی مشابہت کے اصول پر ہے (مشق 6.3کی مثال 7) سوال نمبر 15اور اسی کتاب کا باب نمبر 8اور9دیکھئے )

6.2مشابہ اشکال

نویں جماعت میں آپ نے دیکھا کہ تمام دائرے جن کے نصف قطربرابر ہوں متماثل ہوتے ہیں ۔تمام مربعے جن کے اضلاع کی لمبائیاں مساوی ہوں متماثل ہوتے ہیں اور تمام مساوی ضلعی مثلث جس کے ضلع کے لمبائیاں مساوی ہوں متماثل ہوتے ہیں ۔

اب دو یا دو سے زیادہ دائروں پر غور کیجئے (شکل 6 (i)کو دیکھئے ) کیا یہ متماثل نہیں ہیں ؟ نوٹ کیجئے کہ کچھ متماثل ہیں اور کچھ نہیں لیکن تمام دائروں کی شکل ایک سی ہے ضروری نہیں ہے کے سائز بھی ایک سے ہوں اس لئے تمام دائرے مشابہ ہوتے ہیں۔ دو(یا دو سے زیادہ) مربعے یا (دو یا دو سے زیادہ) مساوی ضلعی مثلثوں کے بارے میں کیا خیال ہے [شکل 6.1 (ii)اور(iii)کو دیکھئے ]؟ جیسا ہم نے دائروں کے سلسلہ میں مشاہد ہ کیا تھا یہاں بھی تمام مربعے اور تمام مساوی ضلعی مثلث مشابہ ہیں ۔

شکل 6.1

شکل 6.2

مذکورہ بالا باتوں سے ہم یہ نتیجہ نکال سکتے ہیں کہ تمام متماثل اشکال مشابہ ہوتی ہیں لیکن مشابہ اشکال ضروری نہیں کہ مشابہ ہوں ۔

کیا ایک دائرہ اور مربع مشابہ ہو سکتا ہے ؟ کیا ایک مثلث اور مربع مشابہ ہو سکتا ہے ؟ ان سوالوں کا جواب ہم صرف اشکال کو دیکھ کر دے سکتے ہیں (اشکال6.1 دیکھئے) یقینی طور پر یہ اشکال مشابہ نہیں ہے (کیوں؟)

شکل 6.3

دو چار ضلعی ABCDاورPQRSکے بارے میں آپ کہہ سکتے ہیں ؟ (شکل6.2دیکھئے) کیا یہ مشابہ ہیں ۔یہ اشکال بظاہر تو مشابہ نظر آتی ہیں لیکن ضروری نہیں ہے کہ یہ مشابہ ہوں ۔اس لئے ہمارے پاس اشکال کی مشابہت کی کوئی تعریف ہونی چاہیے تاکہ اس تعریف اور کچھ اصولوں کی بنیاد پر ہم یہ طے کر سکیں کہ دو دی ہوئی اشکال مشابہ ہیں یا نہیں۔ ان کے لئے شکل6.3میں دئے گئے فوٹو گراف کو غور سے دیکھئے ۔

آپ اس کو دیکھ کر فوراً کہہ سکتے ہیں کہ یہ ایک یادگار (تاج محل ) کے فوٹو گراف ہیں ۔لیکن ان کے سائز مختلف ہیں ،کیا آپ کہہ سکتے ہیں کہ یہ تینوں فوٹو گراف مشابہ ہیں؟ ہاں یہ ہیں ۔

آپ ایک ہی شخص کے 10سال کی عمر میں لئے گئے ایک فوٹو گراف اور 40سال کی عمر میں لئے گئے اس ہی سائز کے فوٹوگراف کے بارے میں کیاکہہ سکتے ہیں ؟ کیا یہ دونوں فوٹوگراف مشابہ ہیں ؟ یہ دونوں فوٹوگراف ایک ہی سائز کے ہیں لیکن یقینا ان کی شکل (Shape)ایک سی نہیں ہے ۔اس لئے یہ مشابہ نہیں ہیں ۔

ایک فوٹو گراف جب ایک ہی Negativeسے مختلف سائز کے فوٹو گراف کے پرنٹ نکالتا ہے تو وہ کیا کرتا ہے ؟ آپ نے اسٹیمپ سائز،پاسپورٹ سائز اور پوسٹ کارڈ سائز کے فوٹو گراف کے بارے میں سنا ہے ۔عموی طور پر وہ ایک چھوٹے سائز کی فلم پر فوٹو گراف لیتا ہے ،جیسے 35ملی میٹرکا سائز ،اور پھر اس کو بڑے سائز میں تبدیل کردیتا ہے یعنی 45ملی میٹر (یا55ملی میٹر)۔ اس طرح سے اگر ہم کسی قطع خط کے ایک چھوٹا فوٹو گراف (شکل) ،پر غور کریں اور اس کا نظیری قطع خط بڑے فوٹو گراف میں (شکل ) اس قطع خط کاہوگا ۔

اس کا مطلب یہ ہوا کہ چھوٹے فوٹو گراف کا ہر قطع خط 35:45(یا 35:55) کی نسبت میں بڑھا دیاگیا ہے ۔یہ بھی کہا جا سکتا ہے کہ بڑے فوٹو گراف کا ہر قطع خط 35:45(یا 35:55) کی نسبت میںکم کردیا گیا۔ یہ مزید اگر آپ مختلف سائزوں والے دو فوٹوگراف کے نظیری قطعات خط کے جوڑوں کے درمیان جھکاؤ (یازاویوں) پر غور کریں ۔تو آپ دیکھیں گے کہ یہ جھکاؤ (یا زاویہ) ہمیشہ برابر ہوں گے ۔یہ دواشکال خاص طور سے دو کثیر ضلعی کی مشابہت کی ضروری شرط ہے ۔ہم کہتے ہیں کہ :

دو کثیر ضلعی جن کے اضلاع کی تعداد یکساں ہو،مشابہ ہوتے ہیں اگر (i)ان کے نظیری زاویہ مساوی ہوں اور (ii)ان کے نظیری اضلاع کی نسبت یکساں ہوں (یا متناسب ہوں) ۔

نوٹ کیجئے کہ نظیری اضلاع کی یکساں نسبت کا مطلب ہے کثیر ضلعی کا Scale factor(یا ظاہر کرنے والی کسر) آپ نے ضرور سنا ہوگا کے دنیا کے نقشہ (یا global maps) او ربلڈنگوں کی تعمیر کے لئے Blue Printکو مناسب Scale factorاور مخصوص روائج (Conventions)کو ذہن میں رکھتے ہوئے بنائے جاتے ہیں ۔

واضح طورپر اشکال کی مشابہت کو سمجھنے کے لئے ہم مندرجہ ذیل مشغلہ انجام دیتے ہیں ۔

سرگرمی1: اپنے کلاس روم کی چھت کے ایک نقطہ Oپر ایک جلتا ہوا بلب لگائیں اور اس کے ٹھیک نیچے ایک میز رکھیں۔ایک کثیر ضلعی ،مان لیجئے ایک چار ضلعی ABCD ایک گتّے سے کاٹ کر زمین کے متوازی اس بلب اور میز کے درمیان رکھیں ۔تب ABCDکی پرچھائیں میز پر پڑے گی ۔اس پرچھائی کی Outlineکو A'B'C'D'مارک کیجئے (شکل 6.4دیکھئے )۔

شکل 6.4

نوٹ کیجئے کہ چار ضلعی A'B'C'D'،چار ضلعی ABCD کی بڑھی ہوئی شکل ہے ۔یہ روشنی کی خصوصیت کی وجہ سے ہے کیونکہ روشنی ہمیشہ ایک خط مستقیم میں چلتی ہے ۔ آپ یہ بھی نوٹ کر سکتے ہیں A'کرن OAپر ،B'کرن OBپر اورC'، OCپر اورD'،ODپر واقع ہے ۔اس لئے چار ضلعی A'B'C'D'اورABCDایک ہی شکل اور مختلف سائز کے ہیں۔

اس لئے چار ضلعی A'B'C'D'چار ضلعی ABCDکے مشابہ ہیں ۔ہم یہ بھی کہہ سکتے ہیں کہ چار ضلعی ABCDچار ضلعی A'B'C'D'کے مشابہ ہیں ۔

اس لئے چار ضلعی A'B'C'D'چار ضلعی ABCDکے مشابہ ہیں ۔ہم یہ بھی کہہ سکتے ہیں کہ چار ضلعی ABCDچار ضلعی A'B'C'D'کے مشابہ ہیں ۔

یہاں آپ یہ بھی نوٹ کر سکتے ہیں کہ راس A'،راسAکا نظیرراس ہے راسB'،Bکا اورC'،Cکا D'،Dکا نظیری راس ہے ۔علامتی طور پر اس مطابقت کو ہم ظاہر کر سکتے ہیںکا نظیری راس ہے۔ درحقیقت دونوں چار ضلعی کے زاویوں اور اضلاع کی پیمائش سے آپ تصدیق کر سکتے ہیں کہ

اس سے اس بات کو مزید تقویت ملتی ہے کہ دو کثیر ضلعی جن کے اضلاع کی تعداد یکساں ہے ۔مشابہ ہوں گے اگر (i) تمام نظیری زاویہ برابر ہو(ii)تمام نظیری اضلاع ایک ہی نسبت میںہو (یا متناسب ہوں )

مذکورہ بالا بیان کی رو سے آپ آسانی سے یہ کہہ سکتے ہیں کہ چار ضلعی ABCDاورPQRSمشابہ ہیں شکل 6.5دیکھئے ۔

شکل6.5

ریمارک :آپ تصدیق کر سکتے ہیں کہ اگرا یک کثیر ضلعی دوسری کثیر ضلعی کے مشابہ ہے اور دوسرا کثیر ضلعی تیسرے کثیر ضلعی کے مشابہ ہے تو پہلا کثیر ضلعی تیسرے کے مشابہ ہوگی ۔

شکل 6.6

آپ نوٹ کر سکتے ہیں کہ دو چار ضلعی کے (مربع اور مستطیل) شکل 6.6میں نظیر ی زاویہ برابر ہیں لیکن ان کے نظیری اضلاع ایک ہی نسبت میں نہیں ہیں ۔

اس لئے دو چار ضلعی مشابہ نہیں ہیں اسی طرح سے آپ نوٹ کر سکتے ہیں کہ شکل 6.7کے دو چار ضلعی (مربع اور مستطیل) میں نظیر اضلاع ایک ہی نسبت میں ہیں (لیکن ان کے نظیری زاویہ برابر نہیں ہیں اس لئے یہ دونوں چار ضلعی (کثیر ضلعی ) کے مشابہ نہیں ہیں ۔

شکل 6.7

اس طرح سے مندرجہ بالا میں مشابہت کی کوئی سی بھی دو شرطیں (i)اور(ii)ان کی مشابہت کے لئے کافی نہیں ہیں ۔

مشق6.1

1۔ بریکٹ میں دئے گئے صحیح الفاظ سے مندرجہ ذیل خالی جگہوں کو پر کیجئے ۔

(i) تمام دائر ے–––––(متماثل ،مشابہ) ہوتے ہیں ۔

(ii) تمام مربعے –––––ہوتے ہیں (متماثل،مشابہ)

(iii) تمام –––––مثلث مشابہ ہوتے ہیں (مساوی الساقین ،مساوی ضلعی )

(iv) دو کثیر ضلعی جن کے اضلاع کی تعداد یکساں ہے ۔مشابہ ہوں گی اگر (a)ان کے نظیر ی زاویہ ––––– ہوں اور (b) ان کے نظیری ضلع ––––– ہیں (مساوی ،متناسب)

2۔ دومختلف مثالیں دیجئے ۔

(i) مشابہ اشکال کے جوڑوں کی (ii) غیر مشابہ اشکال کے جوڑوں کی

3۔ بیان کیجئے کہ مندرجہ ذیل چار ضلعی مشابہ ہیں یا نہیں :

شکل 6.8

6.3مثلثوں کی مشابہت

آپ دو مثلثوں کی مشابہت کے بارے میں کیا کہہ سکتے ہیں ؟

آپ دہرا سکتے ہیں کہ مثلث بھی ایک کثیر ضلعی ہے اس لئے ہم مثلثوں کی مشابہت کے لئے بھی وہی شرطیں بیان کر سکتے ہیں جو ہیں :

دو مثلث مشابہ ہیں اگر

(i) ان کے نظیری زاویہ برابر ہوں

(ii) ان کے نظیر اضلاع کی نسبت برابر ہو (متناسب ہوں )

تھیلیز

(640-546قبل مسیح)

ایک مشہور یونانی ریاضی داں نے دو مساوی زوای مثلث سے متعلق ایک اہم حقیقت سے آگاہ کیا ہے دو مساوی زاوی مثلثوں کے نظیری اضلاع کی نسبت ہمیشہ برابر ہوتی ہے ۔ایسا مانا جاتا ہے کہ اس نے ایک نتیجہ جو متناسب کا بنیادی مسلہ (جواب تھیلز کا مسئلہ جاناجاتا ہے ) کا استعمال کیا جاتا ہے ۔

متناسب کے بنیادی مسئلہ کو سمجھنے کے لئے ہم اسے ایک عملی کام کریں

شکل 6.9

عملی کام (مشغلہ)2:

 کوئی زاویہ XAYبنائیے اور اس کے ایک بازو AXپر نقاط (مان لیجئے5نقطہ) P,Q,D,R,اور اس طرح سے مارک کریں کے

AP= PQ = QD = DR = RB

اب Bسے گذرتا ہوا کوئی خط جو بازو AYکو Cبر قطع کرتا ہے کھینچئے (شکل 6.9دیکھئے )

اور Dسے گذرتا ہوابھی ایک کھینچئے جو BCکے متوازی ہو اورAاورACکو Eپر قطع کرے۔ کیا آپ اپنی بناوٹ سے مشاہدہ کرتے ہیں کہ؟AEورECکی پیمائش کیجئے ۔کے بارے میں کیا خیال ہے ؟ مشاہد ہ کیجئے کہبھیکے مساوی ہے ۔اس طرح سے آپ دیکھ سکتے ہیں کہ D ABCمیں DE || BCاورکیا یہ ایک اتفاق ہے؟ نہیں یہ مندرجہ ذیل مسئلہ کی وجہ سے ہے (جو متناسب کا بنیادی مسئلہ کہلاتاہے ) ۔

مسئلہ6.1: اگر مثلث کے ایک ضلع کے متوازی کوئی خط کھینچا جائے تو وہ باقی دو اضلاع کو مختلف نقطوں پر قطع کرتا ہے اور وہ دو اضلاع ایک ہی نسبت میں منقسم ہوتے ہیں ۔

ثبوت: ہمیں مثلثABCدیا ہوا ہے جس میں ایک خط BCکے متوازی ہے جو باقی دو اضلاع ABاورACکو باالترتیب DاورEپر قطع کرتا ہے (شکل 6.10دیکھئے )

شکل 6.10

ہمیں ثابت کرنا ہے کہ

آئیے0 BEاورCDکو ملائیں اور پھرکھینچیں۔

یاد کیجئے کہ آپ نے نویں کلاس میں پڑھا تھا کہکے رقبہ کو ہم (ar(ADEسے ظاہر کرتے ہیں ۔

نوٹ کیجئے کہاورDECایک قاعدہ DEاور متوازی خطوط BCاورDEکے درمیان میں ہے۔

اس لئے (3) (ar(BDE) = ar(DEC

اسلئے (1)اور(2)اور(3)ہمیں ملتا ہے

کیا اس مسئلہ کا معکوس بھی درست ہے (معکوس کے مفہوم کے لئے ضمیمہ 1دیکھئے )

اس کی جانچ کرنے کے لئے آئیے مندرجہ ذیل مشغلہ کرتے ہیں

سرگرمی3:

اپنی کاپی پر ایک زاویہ XAYبنائیے اور شعاع AXپر نقطےاورBمارک کیجئے

اسی طرح سے شعاع AYپر نقطے مارک کیجئے جبکہ

کو ملائیے (شکل 6.11دیکھئے ) ۔

(1)،(2)،(3)،اور(4)یہ مشاہدہ کیا جا سکتا ہے کہ اگر ایک خط مثلث کے دواضلاع کو ایک نسبت میں منقسم کرتا ہے تب خط تیسرے اضلاع کے متوازی ہوگا ۔

اس مشغلے کو ہم کو ایک ایسے زاویہ XAYبنا کر دہرا سکتے ہیں جن کی پیمائش مختلف ہے اور اس کے بازو AXاورAYکے مساوی حصہ بنے ہوں ۔ہر مرتبہ آپ کو ایک ہی نتیجہ ملے گا ۔اس طرح سے ہمیں مندرجہ ذیل مسئلہ حاصل ہوگا جو مسئلہ 6.1کا معکوس ہے ۔

مسئلہ 6.2: اگر ایک خط مثلث کسی دو اضلاع کو یکساں نسبت میں تقسیم کرتا ہے ،تب یہ خط تیسرے ضلع کے متوازی ہوگا ۔

اس مسئلہ کو ہم اس طرح سے ثابت کر سکتے ہیں ،ایک DEاس طرح لیجئے کہ اور یہ فرض کرتے ہوئے کہ BC،DE کے متوازی نہیں ہے ۔(شکل 6.12دیکھئے )

شکل6.12

اگر BC,DEکے متوازی نہیں ہے ،توDE'،BCکے متوازی کیجئے ۔

مذکورہ بالا مساوات میں دونوں طرف1جمع کرنے پر آپ دیکھ سکتے ہیں اورEاورE'منطبق ہیں (کیوں؟)

مذکورہ بالا مسئلوں کی مزید وضاحت کے لئے آئیے کچھ مثالوں کو لیتے ہیں ۔

مثال1:اگر ایک خط مثلث ABCکے اضلاع ABاورACکو باالترتیب DاورEپر قطع کرتا ہے ۔اورBCکے متوازی ہے تو ثابت کیجئے کہ(شکل 6.13دیکھئے)

شکل6.13

مثال2: ABCDایک منحرف ہے جس میں AB|| DC، EاورFدو غیرمتوازی اضلاع باالترتیب ADاورBCپر نقطے ہیں جب کہ EF || AB(شکل 6.14دیکھئے )

شکل6.14

دکھائیے کہ

حل: آئیے ACکو ملائیں جو EFکوGپر قطع کرے (شکل6.15دیکھئے )

AB || DCاورEF || AB(دیا ہواہے)

شکل6.15

اس لئے EF || DC(خطوط جو ایک ہی خط کے متوازی ہوں آپس میں بھی متوازی ہوں گے ۔

اب,میں

شکل6.16

مزید یہ دیا ہوا ہے کہ

مشق6.2

1۔ شکل6.17 (i)اور(ii)میں DE || BC۔(i)میںECاور(ii)میں ADمعلوم کیجئے ۔

شکل 6.17

2۔ EاورFباالترتیب مثلث PQRکے اضلاع PQاورPRپر دو نقطے ہیں ۔ مندرجہ ذیل ہر ایک حالت کے لئے بیان کیجئے کہ EF || QR

شکل6.18

3۔ شکل6.18میں اگر LM || CBاورLN || CDثابت کیجئے کہ

شکل6.19

4۔ 6.19میں DE || ACاورDF || AEثابت کیجئے کہ

5۔ شکل6.20میں DE || OQاورDF || ORدکھائیے کہ EF || QR

6۔ شکل6.21میں A, BاورCباالترتیب OQ, OPاورORپر نقطے ہیں جب کہ AB || PQاورAC || PRدکھائیے کہ BC || QR۔

شکل6.20

7۔ مسئلہ 6.1کو استعمال کرتے ہوئے ثابت کیجئے کہ مثلث کے ایک ضلع کے وسطی نقطہ سے گذر نے والا خط دوسرے ضلع کے متوازی ہو تو وہ تیسرے ضلع کی تنصیف کرے گا ۔(یاد کیجئے کہ آپ اس کو نویں جماعت میں ثابت کر چکے ہیں )

8۔ مسئلہ 6.2کو استعمال کرتے ہوئے ثابت کیجئے کہ مثلث کے دو اضلاع کے وسطی نقطوں کو ملانے والا خط تیسرے اضلاع کے متوازی ہوتا ہے (یاد کیجئے کہ آپ اس کو نویں جماعت میں ثابت کر چکے ہیں )

شکل6.21

9۔ ABCDایک منحرف ہے جس میں AB || DCاور اس کے وتر ایک دوسرے نقطہ Oپر قطع کرتے ہیں دکھائیے کہ

10۔ ایک چار ضلعی ABCDکے وتر ایک دوسرے نقطہOپر قطع کرتے ہیں جب کہ دکھائیے کہ چار ضلعی ABCDایک منحرف ہے ۔

6.4مثلثوں کی مشابہت کی شرطیں

پچھلے سیکشن میں ہم نے بیان کیا کہ دو مثلث مشابہ ہوتے ہیں اگر (i)ان کے نظیری زاویہ برابر ہوں (ii)ان کے نظیری اضلاع کی نسبت برابر (متناسب ہوں) ہو ۔

شکل 6.22

یہاں آپ دیکھ سکتے ہیں کہ Aکا نظیر ی D, Bکا نظیریEاورCکا نظیری Fہے ۔علامتی طور پر ہم ان دو مثلثوں کی مشابہت کولکھتے ہیں اور پڑھتے ہیں کہ مثلث ABCمثلثDEFکے مشابہ ہے ۔علامت '~'کے مشابہ ہیں ، کو ظاہر کرتی ہے ،یاد کیجئے آپ نے نویں کلاس میں علامتکو متماثل ہے ،کے لئے استعمال کیا تھا ۔

اس کو ضرور یاد رکھنا چاہیے کہ جیسے کے دو مثلثوں کی متماثلت میں کیا گیا ،مثلثوں کی مشابہت کو بھی علامتی طور پر ظاہر کیاجائے۔ ان کے راسوں کی صحیح مطابقت کو استعمال کرے ۔مثال کے طور پر شکل6.22کے مثلثوں ABCاورΔFE کے لئے ہم ΔABC~ΔEDFیا ΔABC~ΔFEDنہیں لکھ سکتے ہیں ۔لیکن ہم ΔBAC~ΔEDFلکھ سکتے ہیں۔

اب قدرتی طورپر یہ سوال پیداہوتا ہے : دو مثلثوں ABCاورDEFکی مشابہت کی جانچ کرنے کے لئے ،کیا ہم ہمیشہ ان کے نظیری زاویوں کی برابریاور ان کے نظیری اضلاع کی نسبت کی برابریپر غور کرتے ہیں ؟آئیے جانچ کرتے ہیں ۔یاد کیجئے کہ آپ نے نویں کلاس میں دو مثلثوں کی متماثلت سے متعلق کچھ شرطیں حاصل کی تھیں ،جن میں صرف تین نظیر حصوں کے جوڑے ملوث کیجئے ۔یہاں بھی آئیے ہم ایک کوشش کریں دو مثلثوں کی مشابہت کی شرطیں حاصل کرنے کی جس میں دو مثلثوں کے نظیری حصوں کے چھ جوڑوں کے بجائے کم نظیری حصوں کے جوڑوں کا استعمال کر کے مثلثوں کو مشابہ ثابت کردیں ۔اس کے لئے ہم مندرجہ ذیل مشغلہ (عملی کام)کرتے ہیں ۔

سرگرمی 4: دو مختلف لمبائیوں ،مان لیجئے 3سینٹی میٹراور5سینٹی میٹر،والے قطعات خط باالترتیب BCاورEFکھینچیں ۔تب نقطہ Bاور Cپر باالترتیب زاویہPBCاورQCBبنائیے جن کی پیمائش مان لیجئے 60ºاور40ºہو ۔مزید نقطہ EاورFپر باالترتیب زاویہ REFاورSEF ،60ºاور40ºکے بنائیں ۔(شکل 6.23دیکھئے)

شکل6.23

مان لیجئے شعائیںBPاورCQایک دوسرے کو Aپر اورERاورFSایک دوسرے کو Dپر قطع کریں دومثلثوں ABCاورDEFمیں آپ دیکھ سکتے ہیں کہبھی ان دونوں مثلثوں کے نظیری زاویے برابر ہیں ۔آپ ان کے نظیری اضلاع کے بارے میں کیا کہہ سکتے ہیں ؟ نوٹ کیجئے کہاورکے بارے میں آپ کا خیال ہے AB, DE, CAاورFDکی پیمائش کرنے پر آپ پائیں گے کہبھی 0.6 کے برابر ہیں (یا نزدیکی طور پر0.6کے قریب ہیں ۔اگر پیمائش میں کچھ غلطی ہوگئی ہو تو) اس طرح سےآپ اس عمل کو ایسے دوسرے بہت سے مثلثوں کے جوڑے بناکر دہرا سکتے ہیں جن کے نظیری زاویے مساوی ہوں ہر مرتبہ آپ پائیں گے کہ ان کے نظیری اضلاع کی نسبت برابر ہے (یا متناسب ہیں ) اس مشغلہ سے ہمیں دو مثلثوں کی مشابہت کی مندرجہ ذیل شرط حاصل ہوتی ہے ۔

مسئلہ6.3: اگر دو مثلثوں میں نظیری زاویہ برابر ہوں ۔تب ان کے نظیری اضلاع کی نسبت برابر ہوتی ہے (یا متناسب) اور اس لئے دونوں مثلث مشابہ ہوں گے ۔

اس مشابہت کی شرط کو ہم د و مثلثوں کی مشابہت AAA(زاویہ–زاویہ–زاویہ) شرط کہتے ہیں اس مسئلہ کو ہم دو مثلثوں ABC اورDEFکو لے کر کر سکتے ہیں جب کہ

   اور(شکل 6.24دیکھئے) 

شکل6.24

اگرDP=AB اورDQ = ACکاٹئے اور PQملائیے 

اس لیے

رائے زنی (ریمارک) : اگر ایک مثلث کے دو زاویے دوسرے مثلث کے دو زوایوں کے برابر ہوں تب مثلث کے زاویوں کی جمعی خصوصیت سے ان کا تیسرا زاویہ بھی مساوی ہوگا ۔اس لئے AAAمشابہت کی شرط کو ہم اس طرح بیان کر سکتے ہیں ۔

اگر ایک مثلث کے دو زاویے باالترتیب دوسرے مثلث کے دوزاویوں کے برابر ہوں تو دو مثلث مشابہ ہوتے ہیں۔

اس شرط کو ہم AAدو مثلث کی مشابہت کی شرط کہتے ہیں ۔

اوپر آپ دیکھ چکے ہیں اگر کسی مثلث کے تین زاویے باالترتیب دوسرے مثلث کے تین زاویوں کے برابرہیں تو ان کے نظیری اضلاع متناسب ہوں گے (یا ان کی نسبت برابر ہوگی ) اس بیان کے معکوس کے بارے میں کیا خیال ہے ؟ کیا اس کا معکوس درست ہے ؟ دوسرے لفظوں میں اگر ایک مثلث کے اضلاع باالترتیب دوسرے مثلث کے اضلاع کے متناسب ہیں، تو کیا یہ صحیح ہے کہ ان کے نظیری زاویہ بھی برابر ہوں ؟ آئیے اس کو ایک مشغلے کے ذریعے جانچیں ۔

سرگرمی5: دو مثلث ABCاورDEFاس طرح بنائیں کہ 3سینٹی میٹرسینٹی میٹر=BCاور8سینٹی میٹرCA = ،4.5سینٹی میٹرDE = 9 سینٹی میٹر =EF اور12سینٹی میٹر=FD (شکل 6.25دیکھئے) 

اس لئے آپ کے پاس ہے (ہر ایک کے برابر ہیں ) 

شکل6.25

ابکی پیمائش کیجئے آپ مشاہدہ کر یں گے کہاوریعنی دونوں مشغلوں کے نظیری زاویے برابر ہیں ۔

اس مشغلے کو آپ دوسرے اسی طرح کے مثلثوں کو بنا کر (جن کے اضلاع کی نسبت برابرہو) دہرا سکتے ہیں ۔ہر مرتبہ آپ پائیں گے کہ ان کے نظیری زاویے برابر ہوں گے۔ یہ مثلثوں کی مشابہت کی مندرجہ ذیل شرط کی وجہ سے ہے۔

مسئلہ 6.4: اگر دو مثلثوں میں ،ایک مثلث کے اضلاع دوسرے مثلث کے اضلاع کے متناسب ہوں ( یا ان کی نسبت برابرہو)تب ان کے نظیری زاویے برابر ہونگے اور اس طرح سے دونوں مثلث مشابہ ہوتے ہیں۔

دو مثلثوں کی مشابہت کی اس شرط کو ہم SSS(ضلع ۔ضلع۔ضلع) شرط کہتے ہیں ۔

اس مسئلے کو ہم دو مثلث ABCاورDEFلے کر ثابت کر سکتے ہیں جبکہشکل 6.26دیکھئے:

شکل6.26

DP = ABاورDQ = ACکاٹئے اورPQکو ملائیے ۔

اس لئے        (کیوں؟) 

ریمارک:

 آپ یاد کیجئے کہ دونوں شرطیں (i)نظیری زاویہ برابر ہیں (ii)نظیری اضلاع کی نسبت برابر ہے دو کثیر ضلعی کے مشابہ ہونے کے لئے کافی نہیں ہیں ۔لیکن مسئلہ 6.3اور6.4کی بنیاد پر اب آپ کہہ سکتے ہیں کہ دو مثلثوں کی مشابہت کے سلسلے میں دونوں شرطوں کی جانچ کرنا ضروری نہیں ہے ۔ایک شرط دوسری شرط اپنے آپ پوری ہوجاتی ہے ۔

آئیے اب نویں کلاس میں مثلثوں کی متماثلت کی مختلف شرطوں کو دہرائیے ۔آپ یہ مشاہدہ کریں گے کہ مشابہت کی SSS شرط کا موازنہ متماثلت کی SSSشرط سے کیا جا سکتا ہے ۔اس بات سے ہمیں تقویت ملتی ہے کہ ہم دیکھیں مثلثوں کی متماثلت کی SASشرط کا موازنہ مشابہت کی شرط سے کیا جا سکتا ہے یا نہیں ،اس کے لئے ہم مندرجہ ذیل عملی کام کرتے ہیں ۔

یہاں آپ مشاہدہ کر سکتے ہیں کہ کے برابرہے ) اورDA(ضلعABاورACکے درمیان بنازاویہ)برابر ہے ÐD(اضلاع DEاورDFکے درمیان بنے زاوایے )کے ۔یعنی مثلث کا ایک زاویہ دوسرے مثلث کے ایک زاویے دوسرے مثلث کے ایک زاویہ کے برابر ہے اور ان زاویوں کے حامل اضلاع کی نسبت برابر ہو(یعنی متناسب) آئیے ابکی پیمائش کیجئے ۔

شکل6.27

آپ پائیں گے کےاس لئے مشابہت کی AAAشرط کے مطابقآپ اس مشغلے مثلثوں کے بہت سے ایسے جوڑے بنا کر کر سکتے ہیں جس میں مثلث کا ایک زاویہ دوسرے مثلث کے ایک زاویہ کے برابر ہو اوران زاویوں کے حامل اضلاع کی نسبت برابر ہو (متناسب ہو)۔ ہر مرتبہ آپ پائیں گے کہ مثلث مشابہ ہیں یہ مثلثوں کی مشابہت کی مندرجہ ذیل شرط کی وجہ سے ہے ۔

مسئلہ 6.5: اگر کسی مثلث کا ایک زاویہ دوسرے مثلث کے ایک زاوایہ کے برابرہو اور ان زاویوں کے حامل اضلاع متناسب ہوں ،تو دونوں مثلث مشابہ ہوں گے ۔

اس شرط کو ہم مثلثوں کی مشابہت کی SAS(ضلع۔زوایہ۔ضلع) شرط سے جانتے ہیں۔

جیسا ہم نے پہلے کیا ہے ،اس مسئلے کو بھی ہم دو مثلثوں ABCاورDEFلے کر ثابت کر سکتے ہیں جب کہ

شکل6.28

اس شرط کے استعمال کی مزید وضاحت کے لئے ہم کچھ مثالیں لیتے ہیں 

مثال4: شکل6.29میں اگر PQ || RSثابت کیجئے کہ

شکل6.29

مثال5: شکل6.30کا مشاہدہ کیجئے اورمعلوم کیجئے ۔

شکل6.30

مثال6: شکل6.31میں

شکل6.31

مثال7:90سینٹی میٹرقد کی ایک لڑکی 1.2منٹ فی سیکنڈکی رفتار سے ایک لیمپ پوسٹ کے قاعدہ سے دور جارہی ہے۔ اگر لیمپ زمین سے 3.6میٹراونچائی پر واقع ہے تو 4سیکنڈ بعد اس کی پرچھائی کی لمبائی معلوم کیجئے ۔

شکل6.32

حل: ماناABلیمپ پوسٹ کو ظاہر کرتا ہے اورCD 4سیکنڈ چلنے کے بعد لڑکی کو ظاہر کرنا ہے (شکل6.32دیکھئے) شکل میں آپ دیکھ سکتے ہیں کہ DFلڑکی کی پرچھائی ہے ۔مان لیجئے DE xمیٹر ہے ۔

اب، میٹر4.8=4×میٹر2.1=BD

نوٹ کیجیےΔABE اورΔCDE'

(ہر ایک°90کا ہے کیونکہ لیمپ پوسٹ اور لڑکی دونوں زمین پر انتصابی طورپر کھڑے ہیں)

اس لئے 4سیکنڈ چلنے کے بعد لڑکی کی پرچھائی کی لمبائی 1.6میٹر

شکل6.33

[نوٹ کیجئے :آپ(iii)کو اسی طریقہ سے ثابت کر سکتے ہیں جس سے (i)ثابت ہواہے ۔

مشق6.3

1۔ بیان کیجئے کہ شکل 6.34کو کون سے مثلثوں کے جوڑے مشابہ ہیں ۔اس سوال کا جواب دینے کے لئے استعمال ہوئی مشابہت کی شرط لکھنے اور مشابہ مثلثوں کو علامتی شکل میں لکھئے ۔

شکل6.34

شکل6.35

3۔ ایک منحرف ABCDجس میں AB || DCکے وتر ACاور BDایک دوسرے کو نقطہ .Oپر قطع کرتے ہیں ۔دو مثلثوں کی مشابہت کی شرط کو استعمال کرتے ہوئے دکھائیے ،کہ

شکل6.36

شکل6.37

7۔ شکل38.6میںDABCکے ارتفاعات ADاورCEایک دوسرے کو نقطہ Pپر قطع کرتے ہوںتودکھائیے کہ

8۔ متوازی الاضلاع ABCDکے بڑھے ہوئے ضلع ADپر کوئی نقطہ Eہے اورCD,BEکو Fپر قطع کرتا ہے ۔ دکھائیے کہ

شکل6.38

9 ۔ شکل39.6میں ،ABCاورAMPدو قائم مثلثیں ہیں جو باالترتیب BاورMپر قائم ہیں :ثابت کیجئے کہ

10۔ CDاورGHباالترتیبکے ناصف ہیں جب کہ DاورHباالترتیبکے اضلاع ABاورFEپر واقع ہیں اگردکھائیے کہ

شکل6.39

11۔ شکل6.40میںEمساوی الساقین مثلث ABC جس میںAB = AC،کے بڑھتے ہوئے ضلع CB پر ایک نقطہ Eہے اگرثابت کیجئے ،کہ

12۔ مثلث ABCکے اضلاع ABاورBCاور وسطانیہ ADباالترتیب ABCکے اضلاع QR , PQاور وسطانیہPM کے متناسب ہیں (شکل6.41دیکھئے) دکھائیے کہ۔

شکل6.40

13۔ ABCکے ضلعBCپر Dایک نقطہ ہے جبکہدکھائیے کہ

14۔ مثلث ABCکے اضلاع ABاورACاور وسطانیہ ADباالترتیب DPQRکے اضلاع PQاورPRاور وسطانیہ PMکے تناسب میں ہیں ۔ دکھائیے کہ

15۔ 6میٹرلمبے ایک انتصابی پول کی گرائونڈ پر 4میٹرلمبی پر چھائی بنتی ہے اسی لمحہ ایک ٹاور کی پرچھائی 28میٹرلمبی بنتی ہے ٹاور کی اونچائی معلوم کیجئے ۔

16۔ اگرADاورPMباالترتیب مثلثABCاورPQR کے وسطانیہ ہیں جہاںثابت کیجئے کہ

6.5مشابہ مثلثوں کا رقبہ

آپ سیکھ چکے ہیں کہ دو مشابہ مثلثوں میں ان کے نظیری اضلاع کی نسبت برابر ہوتی ہے ۔کیا آپ سوچتے ہیں کہ دو مشابہ مثلثوں کے رقبوں اوراضلاع میں کوئی تعلق ہے ؟ آپ جانتے ہیں کہ رقبہ کی پیمائش مربع اکائیوں میں ہوتی ہے ۔اس لئے آپ توقع کرسکتے ہیں کہ یہ نسبت ان کے نظیری اضلاع کے مربعوں کی نسبت ہوگی ۔در حقیقت یہ صحیح ہے ۔اور اس کو ہم مندرجہ ذیل مسئلے میں ثابت کریں گے ۔

مسئلہ 6.6:دومشابہ مثلثوں کے رقبوں کی نسبت ان کے نظیری اضلاع کے مربعوں کی نسبت کے برابر ہوتی ہے

شکل6.42

ثبوت: ہمیں دو مثلث ABCاورPQRدیے ہوئے ہیں جب کہ(شکل6.42دیکھئے)

دونوں مثلثوں کا رقبہ معلوم کرنے کے لئے ہم مثلثوں کے ارتفاعات AMاورPMبناتے ہیں۔

ابΔABMاورΔٖPQNمیں

اب(3)کواستعمال کرنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے ۔

شکل6.43

مثال9: شکل6.43میں قطع خطکے ضلع ACکے متوازی ہے ۔اور یہ مثلث کو مساوی رقبہ والے دو حصوں میں منقسم کرتاہے ۔نسبتمعلوم کیجئے ۔

مشق6.4

1۔ مان لیجئےاوران کے رقبہ باالترتیب64سینٹی میٹر مربع اور121سینٹی میٹر مربع ہیں اگر EF=15.4 توBC معلوم کیجئے ۔

2۔ ایک منحرف ABCDجس میں AB || DCکے وتر ایک دوسرے کو نقطہ O.پر قطع کرتے ہیں ۔اگر AB = 2CD تو مثلث AOBاورCODکے رقبوں کی نسبت معلوم کیجئے ۔

3۔ شکل6.44میں ایک ہی قاعدہ BCپر بنے دو مثلث ABC اورDBCہیں اگر BC,ADکو نقطہ.Oپر قطع کرتا ہے تو دکھائیے

شکل 6.44

4۔اگر دو مشابہ مثلثوں کے رقبہ برابر ہیں تو ثابت کیجئے کہ یہ متماثل ہوں گے ۔

5۔ E,DاورFباالترتیب مثلث ABCکے اضلاع BC ABاورCAکے وسطیٰ نقطے ہیںکے رقبوں کی نسبت معلوم کیجئے ۔

6۔ ثابت کیجئے کہ دو مشابہ مثلثوں کے رقبوں کی نسبت ان کے نظیر وسطانیوں کے مربعوں کی نسبت کے برابرہے ۔

7۔ ثابت کیجئے کہ کسی مربع کے ایک ضلع پر بنے مساوی ضلعی مثلث کا رقبہ اس کے وتر پر بنے مساوی ضلعی مثلث کے رقبہ کانصف ہے ۔

صحیح جواب پر صحیح کا نشان لگائیے اور جواز پیش کیجئے ۔

8۔ ABCاورBDFدو مساوی ضلعی مثلث ہیں جب کہ Dکا وسطی نقطہ ہے ۔مثلثوں ABCاورBDFکی نسبت ہے۔

9۔ دومشابہ مثلثوں کے اضلاع 4 : 9کی نسبت میںہیں ان مثلثوں کے رقبوں کی نسبت ہے ۔

6.6فیثا غورث کا مسئلہ

آپ اپنی سابقہ کلاسوں میں فیثاغورث کے مسئلہ سے اچھی طرح واقف ہو چکے ہیں ۔آپ نے اس مسلہ کی تصدیق کئی عملی کام کر کے اور اس کا استعمال بہت سے مسلوں کو حل کرنے میں کیا۔ آپ نے اس مسلہ کا ثبوت نویں کلاس میں بھی کیا ۔

شکل 6.45

اب ہم مشابہ مثلثوں کے تصور کو استعمال کر کے اس کو ثابت کریں گے ۔ اس طرح سے ثابت کرنے میں ہم ان دو مشابہ مثلثوں سے متعلق ایک نتیجہ کا استعمال کریں گے ۔جو ہے ایک قائم مثلث قائم زاویہ والے راس سے اس کے وتر پر عمود ڈالنے سے بنتے ہیں آئیے ایک قائم مثلثABCلیتے ہیں جو Bپر قائم ہے ۔مان لیجئے BDوتر ACپر عمود ہے ۔(شکل6.45دیکھئے)

آپ نوٹ کرسکتے ہیں کہΔADB اورΔABC

اس لئے (1)اور(2)سے یہ نتیجہ سامنے آتا ہے کہ عمودBDکے دونوں طرف بنے مثلث اصل مثلث ABCکے مشابہ ہیں

مزید،کیونکہ ΔADB~ΔABC

اور ΔABD~ΔABC

اس لیے ΔADB~ΔBDC

(سیکشن6.2کے ریمارک سے) 

مذکورہ بالا بحث سے ہمیں مندرجہ ذیل مسئلہ حاصل ہو تا ہے ۔

مسئلہ6.7: اگر کسی قائم زاوی مثلث کے قائم زاویہ والے راس سے ایک عمود اس کے وتر پر ڈالا جائے تو عمود کے دونوں طرف بنے مثلث اصل مثلث کے اور آپس میں مشابہ ہوں گے ۔

آئیے اس مسئلہ کو ہم فیثا غورث کے مسئلہ کو ثابت کرنے میں استعمال کریں ۔

فیثا غورث

(569-479)قبل مسیح

مسئلہ6.8: ایک قائم مثلث میں ،وتر کا مربع باقی دو اضلاع کے مربعوں کے حاصل جمع کے برابر ہوتا ہے ۔

شکل6.46

ثبوت: ہمیں ایک قائم ABCدیاہوا ہے جو Bپر قائم ہے ہمیں ثابت کرنا ہےکہ

(1)اور(2)کو ملانے سے

مذکورہ بالا مسئلہ کو سب سے پہلے ایک قدیم ہندوستانی ریاضی داں بودھائن(تقریباً800ق۔م)نے مندرجہ ذیل شکل میں بیان کیا تھا ۔

مستطیل کا وتر خود کے ساتھ وہی رقبہ دیتا ہے جو اس کے دونوں اضلاع (لمبائی اور چوڑائی) دیتے ہیں ۔اس وجہ سے کبھی کبھی یہ مسئلہ بودھائن کے مسئلہ کے نام سے بھی جاناجاتا ہے ۔

فیثا غورث کے مسلہ کے معکوس کے بارے میں کیا خیال ہے ؟ آپ سابقہ کلاسوں میں اس کی تصدیق کر چکے ہیں کہ یہ صحیح ہے ۔اب ہم اس کو ایک مسئلہ کے طور پر ثابت کریں گے ۔

مسئلہ6.9: 

ایک مثلث میں اگر ایک ضلع کا مربع باقی دو اضلاع کے مربعوں کے حاصل جمع کے برابر ہے۔تو پہلے ضلع کے سامنے والا زاویہ قائمہ ہوگا ۔

ثبوت: 

یہاں ہمیں دیا ہوا ہے کہ ایک مثلث ABCمیں

شکل 4.47

ابΔABC اورΔPQR

نوٹ : اس مسئلہ کو دوسرے ثبوت کے لئے ضمیمہ 1دیکھئے ۔

آئیے اس مسئلہ کو استعمال کی مزید وضاحت کے لئے کچھ مثالیں لیجئے۔

شکل6.48

مثال11: ایک سیڑھی دیوار سے اس طرح لگی کھڑی ہے کہ اس کا پایہ دیوار سے 2.5میٹرکے فاصلہ پر اور اس کا اوپری حصہ ایک6میٹراونچی کھڑکی تک پہنچ رہا ہے ۔سیڑھی کی لمبائی معلوم کیجئے۔

شکل6.49

حل: مان لیجئے ABسیڑھی کو ظاہر کرتا ہے اورCAدیوار کو جس میں Aکھڑکی کو (شکل6.49دیکھئے)

اس طرح سے سیڑھی کی لمبائی 6.5میٹرہے ۔

شکل4.50

مثال13:BLاورCMایک قائم مثلث ،جو Aپر قائم ہے کے وسطانئے ہیں ۔ثابت کیجئے کہ

شکل4.51

(2)اور(3)کو جمع کرنے پر ہمارے پاس ہے

یعنی

مثال14:مستطیلABCDکے اندر ایک نقطہOہے (شکل6.52) دیکھیے)

حل:Oسے گذرتا ہواPQ II BC اس طرح کھینچیے کہ,PAB اورDC,Qپر واقع ہو

مشق6.5

1۔ مثلثوں کے اضلاع مندرجہ ذیل میں دئے گئے ہیں ۔معلوم کیجئے کہ ان میں کون سے قائم مثلث ہیں ۔اگر مثلث قائم ہوں توان کے وتر کی لمبائی معلوم کیجئے ۔

شکل 6.53

2۔ PQRایک مثلث ہے جو Pپر قائم ہے اورQR, Mپر ایک نقطہ ہے

جب کہ.PM⊥QRدکھائیے کہPM²=QM.MR

3-شکل6.53میںABDایک مثلث ہے جوAپر قائم ہےAC⊥BDدکھائیے کہ

4۔ABCایک مساوی الساقین قائم مثلث ہے جو Cپر قائم ہے ثابت کیجیے کہ

5۔ABCایک مساوی الساقین مثلث ہے جس میںAC=BC،اگر تو ثابت کیجیے کہABCایک قائم مثلث ہے۔

6۔ ABCایک مساوی ضلعی مثلث ہے جن کا ہر ایک 2aہے ۔اس کا ہر ایک ارتفاع معلوم کیجئے۔

7۔ ثابت کیجئے کہ معین کے اضلاع کے مربعوں کا حاصل جمع اس کے وتروں کے مربع کے حاصل جمع کے برابر ہے ۔

شکل6.54

9۔ 10میٹر لمبی ایک سیڑھی زمین سے 8میٹر اونچائی پر موجود ایک کھڑکی تک پہنچتی ہے سیڑھی کے نچلے سرے کا دیوار کے قاعدہ سے فاصلہ معلوم کیجئے ۔

10۔ ایک تارجس کی لمبائی 24میٹر ہے 18سینٹی میٹراونچے ایک انتصابی پول سے جڑا ہوا ہے اور اس کا دوسرا سرا ایک کھونٹیسے منسلک ہے پول کے قاعدہ سے کھونٹے کو کتنی دوری تک لے جایا جائے کہ تار بالکل تن جائے ۔

11۔ ایک ہوائی جہاز ایئر پورٹ سے اڑکر 1000کلومیٹر فی گھنٹہ کی رفتار سے شمال کی طرف پرواز کرتا ہے ۔اسی وقت ایک دوسر ا جہاز ائیرپورٹ سے اڑکر 1200کلومیٹر فی گھنٹہ کی رفتار سے مغرب کی طرف جاتا ہے ۔گھنٹے بعد دونوں ہوائی جہازوں کے درمیان کتنا فاصلہ ہے ۔

12۔ دوپول جن کی لمبائیاں6میٹراور11میٹرہیں ایک مسطح گرائونڈ پرکھڑے ہیں اگر ان کے نچلے سروں کے درمیان فاصلہ12میٹرکا ہے تو ان کے اوپری سروں کے درمیان کا فاصلہ معلوم کیجئے ۔

شکل 6.55

13۔ ABCکے اضلاع CAاورCBپر باالترتیب دو نقطے Dاور Eہیں۔اگر مثلث Cپر قائم ہے تو ثابت کیجئے کہ

14۔ DABCکے ضلع BCپرAسے ڈالا گیا عمود BCکو Dپر اس طرح قطع کرتا ہے کہ

DB = 3CD(شکل 6.55 دیکھئے) ثابت کیجئے کہ

16۔ ایک مساوی ضلعی مثلث ہیں ثابت کیجئے کہ اس کے ایک ضلع کے مربع کا 3گنا اس کے ایک ارتفاع کے مربع کے 4گنا کے برابر ہے ۔

مشق6.6(اختیاری)*

فٹ ناٹ

*یہ مشقیں امتحان کے نقطہ نظر سے نہیں ہیں۔

6۔ ثابت کیجئے کہ متوازی الاضلاع کے وتروں کے مربعوں کا حاصل جمع اس کے اضلاع کے مربعوں کے حاصل جمع کے برابر ہے ۔

7۔ شکل6.61میں دائرہ کے دووترABاورCDایک دوسرے کو نقطہ Pپر قطع کرتے ہیں ۔ثابت کیجئے کہ

8۔ شکل6.62میں دائرے کے دووترABاورCDایک دوسرے کو نقطہ Pپر قطع کرتے ہیں (بڑھانے پر) دائرہ کے باہر ثابت کیجئے

شکل6.63

9۔ شکل6.63میںکے ضلع BCپرایک نقطہ ہے جب کہثابت کیجئے کہکا ناصف ہے۔

10۔ ناظمہ پانی میں مچھلی کا شکار کررہی ہے ۔اس کی مچھلی پکڑنے والی چھڑی کا سراپانی کی سطح سے 1.8میٹر اوپر ہے ۔اورکانٹے مچھلی پکڑنے کی ڈور کے سرے پر پانی پر 3.6میٹرکی دوری پر ہے اور اس مچھلی پکڑنے والی چھڑی کی سراکی ٹھیک نیچے سے 2.4 میٹرکے فاصلہ پر یہ مانتے ہوئے کہ روڈ(چھڑکے ٹپ سے اوپر تک) پوری طرح تنی ہوئی ہے اس کے پاس کتنی ڈور ہے (شکل6.64دیکھئے) اگر وہ ڈور کو 5سینٹی میٹرفی سیکنڈ کی شرح سے کھینچے تو 12سیکنڈ بعدکانٹے کا اس سے افقی فاصلہ کتنا ہوگا ۔

شکل6.64

6.7خلاصہ

اس باب میں آپ نے مندرجہ ذیل باتیں سیکھیں ۔مسئلہ

1۔ دو اشکال جن کی شکل یکساں ہو لیکن ضروری نہیں سائز بھی ایک ہو تو وہ مشابہ اشکال کہلاتی ہیں ۔

2۔ تمام متماثل اشکال مشابہ ہوتی ہیں لیکن اس کا معکوس درست نہیں ہے ۔

3۔ دو کثیر ضلعی جن کے اضلاع کی تعداد مساوی ہے مشابہ ہوں گے اگر (i)ان کے نظیری زاویہ برابرہوں (2)ان کے نظیر اضلاع کی نسبت برابر ہو(یعنی متناسب ہو)

4۔ اگر مثلث کے ایک ضلع کے متوازی ایک قطر کھینچا جائے جو باقی دونوں اضلاع کو مختلف نقطوں پر قطع کرے تو تب دونوں اضلاع ایک ہی نسبت میں منقسم ہوتے ہیں۔

5۔ اگر کوئی خط مثلث کے دو اضلاع کو مساوی نسبت میں منقسم کرے تو وہ خط تیسرے ضلع کے متوازی ہوتا ہے۔

6۔ دو مثلثوں میں اگر نظیری زاویے مساوی ہوں تب ان کے نظیری اضلاع کی نسبت بھی برابر ہوگی اور اس طرح دونوں مثلث مشابہ ہوں گے (AAAمشابہت کی شرط)

7۔ دو مثلثوں میں اگر ایک مثلث کے دو زاویہ دوسرے مثلث کے دو زاویوں کے برابرہوں تب دو مثلث مشابہ ہوں گے (AAAمشابہت کی شرط)

8۔ اگر دو مثلثوں میں نظیری اضلاع کی نسبت برابر ہو تب ان کے نظیر زاویہ برابر ہوں گے اور اس طرح سے دونوں مثلث مشابہ ہوں گے ۔(SSSمشابہت کی شرط)

9۔ اگر ایک مثلث کا ایک زوایہ دوسرے مثلث کے ایک زاویہ کے برابرہو اوران کے زاویوں کے حامل اضلاع بھی متناسب ہوں تو دونوں مثلث مشابہ ہوں گے ۔(SASمشابہت کی شرط)

10۔ دو مشابہ مثلثوں کی رقبوں کی نسبت ان کے نظیری اضلاع کے مربعوں کی نسبت کے برابرہوتی ہے ۔

11۔ اگرایک قائم زاوی مثلث کے قائم زاویہ سے ایک عمود وترپر ڈالا جائے تب اس عمود کے دونوں طرف بنے مثلث اصل مثلث اور آپس میں مشابہ ہوں گے ۔

12۔ ایک قائم مثلث میں وتر کا مربع باقی دو اضلاع کے مربعوں کے حاصل جمع کے برابر ہے (فیثا غورث کا مسلہ)

13۔ اگر ایک مثلث میں ،ایک ضلع کا مربع باقی دو اضلاع کے مربعوں کے حاصل جمع کے برابر ہو تو پہلے ضلع کے سامنے کا زاویہ قائمہ ہوتا ہے ۔

قارئین کے لئے نوٹ

اگر دوقائم مثلثوں میں ایک مثلث کاوتر اور ایک ضلع دوسرے مثلث کے وتر اور ضلع کے متناسب ہو تو دو مثلث مشابہ ہوں گے۔ اس کو ہم مشابہت کی RHSشرط کہتے ہیں ۔اگر آپ اس شرط کو باب 8کی مثال 2میں استعمال کریں تو ثبوت بہت آسان ہو جائے گا ۔

اگر دوقائم مثلثوں میں ایک مثلث کاوتر اور ایک ضلع دوسرے مثلث کے وتر اور ضلع کے متناسب ہو تو دو مثلث مشابہ ہوں گے۔ اس کو ہم مشابہت کی RHSشرط کہتے ہیں ۔اگر آپ اس شرط کو باب 8کی مثال 2میں استعمال کریں تو ثبوت بہت آسان ہو جائے گا ۔