7.1تعارف:

نویں کلاس میں آپ پڑھ چکے ہیں کہ ایک مستوی میں کسی نقطے کو تلاش کرنے کے لئے ہمیں مختص محوروں کی ضرورت ہوتی ہے کسی نقطہ کا y–محور سے فاصلہ x–مختص یا طولی مختص کہلاتاہےاور کسی نقطہ کا x–محور سے فاصلہ y–مختص یا عرضی مختص کہلاتا ہےx–محور پر موجود کسی نقطہ کے مختصات (x.0)کی شکل کے ہوتے ہیں اورy–محور پر کسی نقطے کے مختصات (0,y)شکل کے ہوتے ہیں ۔

یہاں آپ کے لئے ایک کھیل ہے ایک گراف پیپر پر عمودی محوروں کا ایک جوڑا بنائیے ۔اب مندجہ ذیل نقطے اس پر پلاٹ کیجئے اور ان کو بتا ئے گئے طریقے کے مطابق ملائیے یعنی نقطے (A(4,8کو (B(3,9سے Bکو (C(3,8سے ،Cکو (D(1,6 سے، Eکو(F(3,3سے ،Fکو (G(6.3سے Gکو (H(8,5سے، Hکو (I(8,6سے Iکو (J(6,8سے ، Jکو (K(6,9سے ، Kکو L(5,8) سے اور Aسے ملائیے۔ اس کے بعد نقطوں P(3.5, 7),Q(3, 6)اورR(4, 6)کو جوڑ کر ایک مثلث بنائیے۔ اور نقطے X(5.5, 7),Y(5,6)اور(Z(6,6کو ملاکر مثلث بنائیے۔ اب (S(4, 5), (4.5, 4اور(U(5, 5)کو ملث بنائیے۔ اور آخر میں نقطہ Sکو نقطوں (0, 5)اور(0, 6)سے ملائیے اور نقطہ U کو نقطوی (9, 5)اور(9, 6)سے ملائیے۔ آپ کو کسی طرح کی تصویر حاصل ہونی چاہئے۔

آپ یہ بھی دیکھ چکے ہیں کہ دو متغیروں والی ax +by + c = 0۔۔(b,aاورcایک ساتھ صفر نہیں ہو سکے) ،شکل کی خطی مساوات کو جب گراف کی مدد سے ظاہر کیا جاتا ہے تو ایک خط مستقیم حاصل ہوتا ہے ۔مزید باب2میں آپ دیکھ چکے ہیں کہکا گراف ایک مکافی ہے ۔در حقیقت مختص جیومیٹری کی ایک الجبری اوزار کے طور پر دریافت جیومیٹری کی اشکال کا مطالعہ کرنے کے لئے ہوئی ہے ۔یہ ہماری مدد الجبرے کے استعمال سے جیومیٹری کا مطالعہ کرنے میں کرتی ہے اور الجبرے کو جیومیٹری کے استعمال سے سمجھنے میں مدد کرتی ہے یہی وجہ ہے کہ مختص جیومیٹری کا استعمال مختلف میدانوں جیسے فزکس انجینئرنگ ، جہاز رانی زلزلے پیما سے متعلق اور آرٹ میں ہوتا ہے ۔

اس باب میں آپ سیکھیں گے کہ آپ ان دو نقاط ،جن کے مختصات دئے ہوئے ہوں ،کے درمیان فاصلہ کس طرح معلوم کریں گے ۔اور اس کے ساتھ دئے ہوئے تین نقطوں سے بنے مثلث کا رقبہ کس طرح معلوم کریں گے ۔آپ یہ بھی مطالعہ کریں گے کہ اس نقطے کے مختصات کیسے معلوم کئے جائیں جو دو نقطوں کو ملانے والے قطع خط کو دی ہوئی نسبت میں منقسم کرتا ہے۔

7.2فاصلہ فارمولہ

آئیے مندرجہ ذیل صورت حال پر غور کرتے ہیں

ایک شہر B،شہرAسے 36کلومیٹر مشرق کی طرف واقع ہے ۔آپ بغیر ناپے دونوں شہروں کے درمیان فاصلہ کس طرح معلوم کریں گے ۔ آئیے دیکھتے ہیں ،اس صورت حال کو گراف کے طور پر شکل7.1میں دکھایاگیا ہے ۔آپ یہ فاصلہ معلوم کرنے کے لئے فیثا غورث کے مسئلہ کا استعمال کر سکتے ہیں ۔

شکل7.1

اب مان لیجئے دو نقطے x–محور پر واقع ہیں ہم ان کے درمیان کا فاصلہ معلوم کر سکتے ہیں ۔مثال کے طور پر دو نقطے (A(4,0اور(B(6,0پر غور کیجئے (شکل7.2)نقطہ AاورB –xمحورپر واقع ہیں ۔شکل میں آپ دیکھ سکتے ہیں کہ OA = 4 اور 6=OBاکائیاں ہیں ۔

شکل7.2

اس لئے Bکا Aسے فاصلہ ہے یعنی 2اکائیاں AB = OB – 6 –4= 2

اس لئے اگر گراف دو نقطے – xمحور پر واقع ہوں تو ہم آسانی سے ان کے درمیان کا فاصلہ معلوم کر سکتے ہیں۔اور(C(0,3 اور D(0,8) –yمحور پر ہوں ۔اسی طرح ہم اکائیاںCD=8–3=5 (شکل7.2 دیکھئے)

کیا آپ AاورCکے درمیان(شکل7.2)کا فاصلہ بھی معلوم کرسکتے ہیں ۔کیونکہ 14 = OAاکائیاں اور13 = OC اکائیاں اس لئے Aکا Cسے فاصلہ یعنیاکائیاں اسی طرح سے آپ Bکا Dسے فاصلہ معلوم کر سکتے ہیں 10=DBاکائیاں ۔

آئیے اب ایسے دو نقطوں پر غور کرتے ہیں جو مختص محوروں پر واقع نہیں ہیں ۔کیا ان کے درمیان فاصلہ معلوم کیا جاسکتا ہے؟ ہاں !ایسا کرنے کے لئے ہم فیثا غورث کے مسئلے کا استعمال کرتے ہیں ۔آئیے ایک مثال پر غور کرتے ہیں ۔

شکل7.3

شکل7.3میں نقاط (P(4,6اور(Q(6,8ہلے ربع میں ہیں ۔ان کے درمیان فاصلہ معلوم کرنے کے لئے ہم فیثاغورث کے مسئلہ کا استعمال کریں گے؟ آئیے PاورQسے باالترتیب x–محور پر عمود PRاورQSڈالیں ۔

Pسے QSپر بھی عمود ڈالیں جوQSسے Tپر ملے ۔تب RاورSکے مختصات ہیں باالترتیب (4,0)اور(6,0)اس لئے اکائیاں ،اوراکائیاں ۔اس لئے اکائیاں اوراکائیاں ۔

اب فیثا غورث کے مسئلہ کو استعمال کرتے ہوئے ہمارے پاس ہے ۔

آپ دو مختلف ربعات میںموجود نقطوں کے درمیان فاصلہ کس طرح معلوم کریں گے ؟

نقاط (P(6,4اور(Q(–5,–3(شکل7.4)غور کیجئے ۔QSکے– x محور پر عمود ڈالئے ۔اورنقطہ Pسے QS(بڑھانے پر ) پر PTعمود ڈالئے جو –yمحور کو نقطہ Rپر ملے ۔

قائم مثلث PTQمیں فیثا غورث کے مسئلہ کا استعمال کرنے پر ہمیں ملتا ہے اکائیاں

آئیے اب کوئی سے دو نقطوں کے درمیان فاصلہ معلوم کرتے ہیں ۔PRاورx QS–محور پر عمود ڈالیں نقطہ Pسے ایک عمود کھینچا گیا جو ایک نقطہTپر ملتا ہے (شکل7.5دیکھئے)۔

شکل 7.4

اب مثلث PTQمیں فیثا غورث کے مسلہ کا استعمال کرنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے ۔

شکل 7.5

نوٹ کیجئے کیونکہ فاصلہ ہمیشہ غیر منفی ہے اس لئے ہم ہمیشہ مثبت جذرالمربع لیتے ہیں ۔اس لئےنقاطاورکے درمیان فاصلہ ہے ۔

جو فاصلہ فارمولہ کہلاتا ہے ۔

ریمارک:

1۔ مخصوص طور پر نقطہ (P(x,yکا مبدا سے فاصلہ (O(0,0ہوگا ۔

مثال1: کیا نقاط(3,2) (–2,–3) اور(2,3)ایک مثلث بناتے ہیں ؟ اگر ہاں تو مثلث کی قسم معلوم کیجئے ۔

حل: آئیے QR, PQاورPRفاصلے معلوم کرنے کے لئے فاصلہ فارمولہ کا استعمال کرتے ہیں جہاں (Q( –2, –3), P(3,2اور(R(2,3دئے ہوئے نقاط ہیں ۔ہمارے پاس ہے ۔

کیونکہ ان میں کن ہی دو فاصلوں کا حاصل جمع تیسرے سے بڑا ہے اس لئے نقاط Q,PاورRایک مثلث بنائیںگے ۔

مزید فیثا غورث کے مسئلہ کے معکوس کے مطابق ہمیں

اس لئے PQRایک قائم مثلث ہے

مثال2: دکھائیے کہ نقاط(1,7) (4,2), ( 1–,1–)اور(4,4–)ایک مربع کے راس ہیں ۔

حل: مان لیجئےدئے ہوئے نقطے ہیں ۔ABCDکو مربع دکھانے کا ایک طریقہ یہ ہے کہ چاراضلاع کو اور دونوں وتروں کو برابر دکھادیں ۔اس لئے ،

متبادل حل:ہم چاراضلاع اور ایک وتر معلوم کرتے ہیں جیسا کہ اوپر دکھایا گیا ہے ۔یہاںاس لئے فیثا غورث کے مسلہ کے معکوس کے مطابق D = 90ºکا ہوگا ۔اس لئے ایسا چار ضلعی جس کے چار اضلاع مساوی ہوں اور ایک زاویہ 90ºکا ہو وہ مربع ہوتا ہے ۔

کیونکہتو ہم کہہ سکتے ہیں کہ نقاط B,AاورCہم خط ہیں ۔اس لئے وہ ایک ہی لائن میں بیٹھی ہوئی ہیں ۔

مثال4:xاورyمیں ایک تعلق معلوم کیجئے جب کہ نقطہ (x,y)نقاط (7,1)اور(3,5)سے برابر فاصلہ پر واقع ہے ۔

حل: مان لیجئے (P(x,y)نقاط (A(7,1)اور(B(3,5سے مساوی فاصلہ پر ہے ۔

جو کہ مطلوبہ تعلق ہے ۔

ریمارک: نوٹ کیجئے کہ مساوات x – y = 2کا گراف ایک خط ہے آپ نے ایسے سابقہ مطالعہ سے یہ جانتے ہیں کہ ایک نقطہ جو AاورBسے مساوی فاصلہ پر ہوتا ہے ABکے عمودی ناصف پر واقع ہوتا ہے اس لئے x–y=2کا گراف کا عمودی ناصف ہے۔

شکل7.7

مثال5:y–محور پر ایک نقطہ معلوم کیجئے جو نقاط (A (6,5اور(B (–4,3سے مساوی فاصلہ پر ہے ۔

حل: ہم جانتے ہیں کہ y–محور پر کوئی نقطہ

0,y

کی شکل میں ہوتا ہے ۔اس لئے مان لیجئے نقطہ P(0,y) AاورBسے مساوی فاصلہ پر ہے ۔تب

اس لئے مطلوبہ نقطہ ہے (0,9)۔

آئیے اپنے جواب کی جانچ کریں :

نوٹ :مندرجہ بالا ریمارک کو استعمال کرتے ہوئے ہم دیکھتے ہیں کہ (y (0,9–محور اور ABکے عمودی ناصف کا تقاطع ہے ۔

(–3, 5), (3, 1), (0, 3), (–1, – 4) (ii)

(4, 5), (7, 6), (4, 3), (1, 2) (iii)

7۔ x–محور پر وہ نقطہ معلوم کیجئے جو (2, –5)اور(2,9–)سے مساوی فاصلہ پر ہو ۔

8۔ yکی وہ قدر معلوم کیجئے جس کے لئے نقاط (P(2, –3 اور (Q(10,y کے درمیان فاصلہ 10اکائیاں ہیں ۔

9۔ اگر سے مساوی فاصلہ پر ہوتو xکی قدر معلوم کیجئے اورQRاورPRکے فاصلہ بھی معلوم کیجئے ۔

10۔ xاورyکے درمیان رشتہ معلوم کیجئے جب کہ نقطہ (x,y)نقاط (3,6) اور(3,4–)سے مساوی فاصلہ پر ہے ۔

7.3سیکشن فارمولہ

آئیے سیکشن 7.2میں دی گئی صورت حال کو دہراتے ہیں ۔ٹیلیفون کی ایک کمپنی AاورBکے درمیان ایک نشریات ٹاورPپراس طرح قائم کرنا چاہتی ہے کہ ٹاورPکا Bسے فاصلہ ٹاورPکا Aسے فاصلہ کا دگنا ہو۔اگرAB, Pپر واقع ہے تو یہABکو 1:2کی نسبت میں بانٹے گا ۔(شکل7.9دیکھئے)اگر ہم Aکو مبدا Oکے طور پر لے لیں ،1کلو میٹر کو دونوں محوروں پر ایک اکائی کے طور پر لیں،توBکے مختصات ہوںگے (36,15):ٹاور کا مقام معلوم کرنے کے لئے ہمیں نقطہPکے مختصات معلوم کرنا ضروری ہے۔ ہم یہ مختصات کیسے معلوم کریں گے ۔

شکل7.9

مان لیجئے Pکے مختصات (x,y)ہیں ۔PاورBسے –xمحور ہر عمود کھینچیں جو باالترتیب DاورEنقطہ پر ملتے ہوں، BE, PC پر عمود ڈالیں تب مشابہت کی AAشرط کے مطابق جو آپ نے باب 6میں پڑھی ہے ،D PODاورD BPCمشابہ ہوں گے ۔

ان مساواتوں سے x = 12اورy = 5حاصل ہوتا ہے ۔ آپ جانچ کر سکتے ہیں کہ (P(12,5 شرطOP : PB=1 : 2 کو مطمئن کرتا ہے ۔

اس مثال سے جو آپ نے سمجھا ہے اس کو استعمال کرتے ہوئے ہم ایک عمومی فاصلہ معلوم کرنے کی کوشش کرتے ہیں۔

کوئی دو نقطے پر غور کیجئے اور فرض کیجئے کی نسبت میں بانٹتا ہے یعنی(شکل7.10دیکھئے)

شکل7.10

PS, ARاور x ,BT–محور پر عمود ڈالئے ،AQاورx ,PC–محور کے متوازی کھینچئے۔ تب مشابہت کی AAشرط کے مطابق

ان قدروںکو (1)میں رکھنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے ۔

یہ سیکشن فارمولہ کہلاتا ہے ۔

اس کو ہم P , AاورBسےy–محور پر عمود ڈال کر بھی پہلے ہی کی طرح اخذ کر سکتے ہیں ۔

اگر وہ نسبت جس میں AB, Pکو بانٹتا ہے ،k : 1لیے تب نقطہ Pکے مختصات ہوں گے ۔

مخصوص حالت: ایک قطع خط کا وسطی نقطہ ،قطع خط کو 1 : 1کی نسبت میں بانٹتا ہے ،اس لئے نقاطاور

آئیے اس فارمولہ پر منحصر چند مثالوں کو غور کرتے ہیں ۔

مثال6: اس نقطہ کے مختصات معلوم کیجئے جو نقاط (4, – 3)اور(8, 5)کو ملانے والے قطع خط کو داخلی طور پر 3 : 1کی نسبت میں تقسیم کرتا ہے ۔

حل: مان لیجئے (P(x,yمطلوبہ نقطہ ہے ،سیکشن فارمولہ کو استعمال کرنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے ۔

اس لئے (7,3)مطلوبہ نقطہ ہے ۔

اب تصدیق کرسکتے ہیں کہ نسبتy–مختص کو بھی مطمئن کرے گی ۔

آپy–مختص کے لئے بھی جانچ کر سکتے ہیں ۔

اس لئے نقطہ( –4,6)نقاط(A(–6,10اور(B(3,–8کو ملانے والے قطع خط کو 2 : 7کی نسبت میں تقسیم کرتا ہے

نوٹ: آپ اس نسبت کو PAاورPBکو معلوم کرکے اور ان کی نسبت لے کر معلوم کر سکتے ہیں ۔یہ جب ہی ممکن ہے جب P,AاورBہم خط ہوں

مثال:8 اس قطع خط کے نقطہ تثلیث (trisection)(نقطہ جو قطع خط کو تین مساوی حصوں میں تقسیم کرتے ہیں) کے مختصات معلوم کیجئے جس کے سرے کے نقطے

(A(2, –2)اور(B(–7,4ہوں۔

حل: مان لیجئے PاورQ،ABکے نقطہ تثلیث ہیں یعنی AP =PQ=QB(شکل 7.11دیکھئے)

شکل7.11

اس لئے P، ABکو داخلی طور پر 1 : 2کی نسبت میں تقسیم کرتا ہے ۔اس لئے Pکے مختصات ،سیکشن فارمولہ کو استعمال کرنے پر ہیں ،

ابQبھی ABکو داخلی طور پر 2 : 1کی نسبت میںتقسیم کرتا ہے ۔اس لئے Qکے مختصات ہیں ۔

اس لئے نقاط AاورBکو ملانے والے قطع خط کے نقطہ تثلیث کے مختصات ہیں (–1,0)اور(4,2–)

نوٹ: ہم QکوPBکے وسطی نقطہ کے طورپر حاصل کر سکتے ہیں اور پھر ہم وسطی نقطہ کے فارمولہ کو استعمال کر کے اس کے مختصات معلوم کر سکتے ہیں ۔

مثال9:وہ نسبت معلوم کیجئے جس میں y–محور نقاط (6–,5)اور(4–,1–)کو ملانے والے قطع خط کو تقسیم کرتا ہے ۔نقطہ تقاطع بھی معلوم کیجئے ۔

حل: مان لیجئے کی نسبk : 1ہے تب سیکشن فارمولہ کی رو سے اس نقطہ کے مختصات جو ABکو k : 1کی نسبت میں تقسیم کرتا ہے ہیں

یہ نقطہ y–محور پر واقع ہے اور ہم جانتے ہیں کہ –yمحور ہر طولی مختص abscissa) 0)ہے ۔

اس لئے k = 5

یعنی نسبت5 : 1ہے ،k = 5قدر رکھنے پر ہمیں نقطہ تقاطع ملتا ہے1

مثال10:

اگر نقاط

A(6,1)،B (8,2)،C(9,4)اورD(p, 3)

متوازی الاضلاع کے راس ہیں ،pکی قدر معلوم کیجئے۔

حل:

ہم جانتے ہیں کہ متوازی الاضلاع کے وتر ایک دوسرے کی تنصیف کرتے ہیں ۔

اس لئے ACکے وسطی نقطہ کے مختصات ہیں BD =کے وسطی نقطہ کے مختصات

1۔ اس نقطہ کے مختصات معلوم کیجئے جو نقاط

(1,7–)اور(4,–3)کو ملانے والے قطع خط کو2 : 3کی نسبت میں تقسیم کرتا ہے ۔

2۔ان نقاط کے مختص معلوم کیجئے جو(4,–1)اور(3,–2–)سے ملانے والے قطعہ کو تین برابر حصوں میں تقسیم کرتے ہوں۔

3۔ مستطیل کی شکل والے ایک اسکول کے میدان ABCDمیںکھیل کی سرگرمیوں کو چلانے کے لئے کرنے کے لئے ۔1میٹر کے فاصلہ پر چاک کے پوڈر سے لائنیں بنائی گئیں۔ خطADکے ہمراہ1میٹرکے فاصلہ پر 100گملے رکھے گئے جیسا کہ شکل7.12میں دکھایا گیا ہے نہاریکا دوسری لائن میں فاصلہADکا s3 دوڑتی ہے اورایک ہرا جھنڈا لگادیتی ہے ۔پریت ADفاصلہ کا s4 دوڑتی ہے اورآٹھویں لائن میں ایک لال جھنڈا گاڑدیتی ہے۔ دونوں جھنڈوں کے درمیان فاصلہ معلوم کیجئے ؟اگر رشمی کو دونوں جھنڈوں کو ملانے والے قطع خط کے بالکل بیچ میں نیلا جھنڈا گاڑنا ہوتو وہ اپنا جھنڈا کہاں گاڑے گی ۔

شکل7.12

4۔ وہ نسبت معلوم کیجئے جس میں نقاط (3,10–)اور(8–,6)کو ملانے والے قطع خط،(6–,1)سے منقسم ہوتا ہے ۔

5۔ وہ نسبت معلو کیجئے جس میں x–محور نقاط

(A (1,–5اور(B(–4,5کو ملانے والے قطع خط کو منقسم کرتا ہے ۔نقطہ تقسیم کے مختصات بھی معلوم کیجئے۔

6۔ اگرترتیب میں لئے گئے متوازی الاضلاع کے راسوں کے مختصات ہیں توxاورyکی قدر معلوم کیجئے۔

7۔ نقطہAکے مختصات معلوم کیجئے جس میں x–محور نقاط(A(1,–5اور(B(–4,5کو ملانے والے قطع خط کو منقسم کرتا ہے نقطہ کے تقسیم کے مختصات بھی معلوم کیجئے۔

8۔ اگرAاورBباالترتیب(2,–2–)اور(3–,2)ہیں توPکے مختصات معلوم کیجئے جب کہ اورPقطع خط ABپر واقع ہے ۔

9۔ ان نقطوں کے مختصات معلوم کیجئے جو نقاط(A(–2,2اور(B(2,8کو ملانے والے قطع خط کو چار مساوی حصوں میں تقسیم کرتے ہیں ۔

10۔ ایک معین کا رقبہ معلوم کیجئے جس کے راس اگر ترتیب میں لئے جائیں توہیںاور(2–,1–)

[اشارہ:معین کا رقبہ اس کے وتروں کا حاصل ضرب]

7.4مثلث کا رقبہ

سابقہ کلاسوں میں آپ نے یہ سیکھا ہے کہ کسی مثلث کا اگر قاعدہ اوراونچائی (ارتفاع) دی ہوئی ہو تو اس کا رقبہ کیسے معلوم کیا جاتا ہے ۔

مثلث کا رقبہ×قاعدہ ×اونچائی

نویں کلاس میں اپنے مثلث کا رقبہ معلوم کرنے کے لئے ہیرون کا فارمولہ استعمال کیا تھا ۔اب اگر کسی مثلث کے راس کے مختصات دئے ہوئے ہوں تو کیا آپ اس کا رقبہ معلوم کر سکتے ہیں ؟ ہاں آپ اس کے تینوں اضلاع کی لمبائیاں فاصلہ فارمولہ سے معلو کر کے ہیرون فارمولہ استعمال کر سکتے ہیں۔ لیکن یہ کافی پیچیدہ ہے کیونکہ اس کے اضلاع کی لمبائیاں اکثر غیر ناطق اعداد ہوتے ہیں ۔لیکن یہ کافی پیچیدہ ہے کیونکہ اس کے اضلاع کی لمبائیاں اکثر غیر ناطق اعداد ہوتے ہیں۔ آئیے دیکھتے ہیں کہ کوئی آسان طریقہ بھی ہے جس سے آپ مثلث کا رقبہ معلوم کرسکیں۔

مان لیجئے ABCایک مثلث ہے جس کے راس ہیںمحور پر A,BاورCسے باالترتیب عمود BP,APاورCRعمود ڈالیں صاف ظاہر ہے APRC, ABQPاورBQRCتما م منحرف ہیں (شکل7.13دیکھئے)

شکل7.13

اب شکل7.13سے یہ صاف ظاہر ہے

ΔABCکا رقبہ =منحرفABQP +منحرفAPRCکا رقبہ- BQRC کا رقبہ آپ یہ بھی جانتے ہیں کہ

منحرف کا رقبہ (متوازی اضلاع کا حاصل جمع) (ان کے درمیان فاصلہ 

اس لیے

اس طرح سےΔ ABCکا رقبہ عبارت

آئیے کچھ مثالوں پر غور کرتے ہیں جن میں ہم اس کا فارمولہ استعمال کریں گے ۔

مثال11:

مثلث کا رقبہ معلو کیجئے اگر اس کے راس(1 –,1)،(–4,6–)اور(5–,3–)ہیں ۔

حل: فارمولہ کو استعمال کرے پر راسوںسے بنے مثلث کا رقبہ یہ

اس لئے مثلث کا رقبہ 24مربع اکائیاں ہے ۔

مثال12:

مثلث کا رقبہ معلوم کیجئے راسہیں ۔

حل:

راسوںسے بنے مثلث کا رقبہ ہے ۔

کیونکہ رقبہ کی پیمائش منفی نہیں ہو سکتی اس لئے ہم 2– کی عددی قیمت لیں گے یعنی.2اس لئے مثلث کا رقبہ =2مربع اکائیاں ہیں ۔

مثال13:

مثلث کا رقبہ معلو کیجئے جس کے راسہیں ۔

حل:

دئے ہوئے نقطوں سے بنے مثلث کا رقبہ ہے ۔

کیا کوئی ایسا مثلث ہو سکتا ہے جس کا رقبہ 0ہو؟ اس کا کیا مطلب ہے ؟

اس کا مطلب ہے اگر مثلث کا رقبہ 0ہو تو اس کے راس ہم خط ہوں گے ۔

مثال14:

kکی قدر معلو کیجئے جس کے لئے نقاط ہم خط ہوں

حل:

کیونکہ دئے ہوئے نقطے ہم خط ہیں اس ان کے ذریعے بنے مثلث کا رقبہ 0ہوگایعنی

اس لئے آئیے اپنے جواب کی تصدیق کر تے ہیں

مثال15:

اگر

ایک چار ضلعی کے راس ہیں تو چار ضلعی ABCDکا رقبہ معلوم کیجئے ۔

حل:

BکوDسے ملانے پر آپ کو دو مثلث ملیں گے۔ABDاورBCD

�اس لیےچار ضلعیABCDکا رقبہ ہے مربع اکائی

53+19=72

نوٹ:

 کسی کثیر ضلعی کا رقبہ معلوم کرنے کے لئے ہم اس کو مثلثی خطہ میں تقسیم کر دیتے ہیں جن کا مشترک رقبہ نہیں ہوتا اور ان خطوں کے رقبہ کو جمع کر دیتے ہیں ۔

مشق7.3

1۔ مثلث کا رقبہ معلوم کیجئے جن کے راس ہیں ۔

(i) (2, 3), (–1, 0), (2, – 4) (ii) (–5, –1), (3, –5), (5, 2)

2۔ مندرجہ ذیل ہر ایک سوال میں kکی قدر معلوم کیجئے جس کے لئے نقطے ہم خط ہیں ۔

(i) (7, –2), (5, 1), (3, k) (ii) (8, 1), (k, – 4), (2, –5)

3۔ اس مثلث کا رقبہ معلوم کیجئے جو اس مثلث کے اضلاع کے وسطی نقاط سے ملکر بنا ہو جس کے راس

(0, –1)،(2,1)اور(0,3)ہوں اس مثلث اور دئے ہوئے مثلث کے رقبہ کی نسبت بھی معلوم کیجئے ۔

4۔ چار ضلعی کا رقبہ معلوم کیجئے جس کے راس ترتیب میں لینے پر

(– 4, – 2), (– 3, – 5), (3, – 2)

5۔ نویں کلاس میں (باب9کی مثال3)آپ پڑھ چکے ہیں کہ مثلث کا وسطانیہ اس کو مساوی رقبوں والے دو

 مثلثوں میں تقسیم کرتا ہے ۔اس نتیجہ کی تصدیق ABCکے لئے کیجئے جس کے راس

(B (3,2), A(4,–6)اور(C(5,2میں

مشق7.4(اختیاری)

1۔ وہ نسبت معلوم کیجئے جس میں خط2x + y–4 = 0نقاط(A(2,–2اور(B(3,7کو ملانے والے قطع خط کو تقسیم کرتاہے ۔

2۔ xاورyمیں تعلق معلوم کیجئے اگر نقاطہم خط ہیں۔

3۔ نقاط سے گذرنے والے دائرہ کا مرکز معلوم کیجئے ۔

4۔ ایک مربع کے مخالف راس(–1,2)اور(3,2)

ہیں اس کے باقی دو راسوں کے مختصات معلوم کیجئے ۔

5۔ باغبانی کے کام کے لئے کرشنا نگر کے ایک اسکول کے 10ویں کلاس کے طلباء کو زمین کا ایک مستطیل نما پلاٹ دیاگیا ۔ اس کی باؤنڈری کے فاصلے پر گل مہر کے پودے لگائے گئے جس میں پر پودے کے درمیان کا فاصلہ1میٹر ہے پلاٹ میں گھاس کا ایکمثلث کی شکل کا ایک lawn (میدان)بھی ہے جیسا کہ شکل7.14میں دکھایاگیا ہے ۔پلاٹ کے باقی حصہ پر طلباء کو پھولوں والے پودوں کے بیج بونے ہیں ۔

شکل7.14

(A(i

کو مبد ا لے کر مثلث کے راسوں کے مختصات معلوم کیجئے ۔

(ii) اگرCمبدا ہو تو ΔPQRکےراسوں کے مختصات کیا ہوں گے ۔

ان حالتوں میں مثلثوں کا رقبہ بھی معلوم کیجئے ۔آپ کیا مشاہدہ کرتے ہیں ۔

6۔ مثلثΔABCکے راس ہیں(B(1,5),A(4,6اور(C(7,2 ایک خط کھینچا گیا جو اضلاعABاورACکو باالترتیب DاورEپر قطع کرتا ہے ۔جب کہ

s14مثلث ADEکا رقبہ معلو کیجئے اور اس کا موازنہ ΔDABCکے رقبہ سے کیا جائے (مسئلہ 6.2اور6.6کو یاد کیجئے)

7۔ مان لیجئے(B(6,5), A(4,2اور(C (1,4مثلث ABCکے راس ہیں ۔

(i)

Aسے کھنیچا گیا وسطانیہ BCسے Dپر ملتا ہے Dکے مختصات معلوم کیجئے ۔

(ii)

AD پر نقطہPکے مختصات معلو کیجئے جب کہ

AP : PD = 2 : 1

(iii) وسطانیوںBEورCEکے باالترتیب نقطوںQاورRکے مختصات معلوم کیجئے جب کہ

AB:QE=2:1

اور

CR RF=2:1

(iv)آپ کیا مشاہدہ کرتے ہیں ؟

[نوٹ: وہ نقطہ جو تینوں وسطانیوں میں مشترک ہوتا ہے مرکز ثقل کہلاتا ہے اور ہر ایک وسطانیہ کو 2:1کی نسبت میں تقسیم کرتا ہے ]

(v) اگر

s15مثلث ABCکے راس ہیں تو مثلث کے مرکز ثقل کے مختصات معلوم کیجئے ۔

8۔ ABCDایک مستطیل ہے جو نقاطسے مل کر بنا ہے R, Q, PاورS باالترتیب اضلاع CD, BC, ABاورDAکے وسطی نقاط ہیں ۔ کیا چار ضلعی PQRSایک مربع ہے ؟ ایک مستطیل ہے؟ یا ایک معین ہے ؟ اپنے جواب کے جواز پیش کیجئے ۔

7.5خلاصہ

اس باب میں آپ نے مندرجہ ذیل باتیں سیکھیں ۔

5۔نقاطکو ملانے سےبنے مثلث کا رقبہ مندرجہ ذیل عبارت کی عددی قدر ہے۔

قارئین کے لئے نوٹ

سیکشن 7.3میں آپ نے نقطہ Pکے مختصات (x,y)کے سیکشن فارمولہ کے بارے میں بحث کی جو نقاط

باہر تب ہم کہتے ہیں کہ Pنقاط AاورBکو ملانے والے قطع خط خارجی طور پر تقسیم کرتا ہے ۔ایسی حالت کے لئے سیکشن فارمولہ کے بارے میں آپ اگلی کلاسوں میںپڑھیں گے ۔