NCERT Chapter jumh108

8 ٹرگنو میٹری کا تعارف

(INTORDUCTION TO TRIGNOMENTRY)

شاید ایسی کوئی چیز نہیں جو ریاضی میں وہ مرکزی اہمیت رکھتی ہو جو ٹرگنو میٹری کی ہے ۔

جے۔ایف۔ہربرٹ(1980)

8.1تعارف

آپ سابقہ کلاسوں میں مثلثوں اور خاص طور سے قائم مثلثوں کے بارے میں پڑھ چکے ہیں ۔آئیے اپنے گردونواح سے کچھ ایسی مثالیں لیں جہاں قائم مثلثوں کو تصور کیا جا سکتا ہو۔مثال کے طور پر :

1۔ مان لیجئے اسکو ل کے کچھ طلباء قطب مینار گھومنے گئے ،اگر کوئی طالب علم مینار کے اوپری حصہ کو دیکھتا ہے ،تو ایک قائم مثلث کا تصور ابھر کر سامنے آتا ہے ۔جیسا کہ شکل 8.1میں دکھایا گیا ہے ۔کیا وہ طالب علم بغیر پیمائش کئے ہوئے مینار کی اونچائی معلوم کر سکتا ہے ۔

شکل 8.1

2۔ فرض کیجئے ایک لڑکی دریا کے کنارے پر واقع اپنے مکان کی بالکنی میں بیٹھی ہوئی ہے ۔وہ نیچے کی طرف ایک پھولوں کے گملے کو دیکھ رہی ہے جو دریا کے دوسرے کنارے پر واقع ایک مندر کی سیڑھیوں پر رکھا ہوا ہے اس صورت حال میں بھی قائم مثلث کی تشکیل تصور کی جا سکتی ہے جیسا کے شکل 8.2میں دکھایا گیا ہے ۔ اگر آپ وہ اونچائی جانتے ہوں جہاں پر وہ لڑکی بیٹھی ہے توکیاآپ دریا کی چوڑائی معلوم کر سکتے ہیں ۔

شکل 8.2

3۔ مان لیجئے گرم ہوا والا غبارہ ہوا میں اڑرہا ہے ایک لڑکی اس غبارہ کو آسمان میں دیکھتی ہے اور اپنی ماں کے پاس دوڑ کر جاتی ہے اوراسکو اس کے بارے میں بتاتی ہے ۔اس کی ماں بھی تیزی سے مکان کے باہر آکر اس غبارے کو دیکھتی ہے ،جب لڑکی پہلے اس کو دیکھتی ہے تو وہ نقطہ Aپر تھا جب وہ اپنی ماں کے ساتھ باہر آکر اس کو دیکھتی ہے تووہ اڑتا ہوا نقطہ Bپر پہنچ جاتا ہے ۔کیا آپ Bکا زمین سے ارتفاع معلوم کر سکتے ہیں ؟

شکل 8.3

اوپر دی گئی تمام صورت حال میں فاصلہ اور بلندیاں کسی ریاضی کی تکنیک سے معلوم کئے جا سکتے ہیں جو ریاضی کی ایک شاخ کے تحت آتی ہے جسے ٹرگنو میٹری کہتے ہیں ۔لفظ ٹرگنو میٹری ایک یونانی لفظ ٹری (جس کا مطلب تین ہے) اورگون (جس کا مطلب اضلاع) اور میٹری (جس کا مطلب پیمائش) ۔در حقیقت ٹرگنو میٹری مثلث کے اضلاع اور زاویوں کے تعلق کے مطالعہ کا نام ہے۔ٹرگنو میٹری کے سلسلہ میں سب سے پہلے کام مصر اور بیبلونیا میں ہوا۔ماہر فلکیات نے اس کا استعمال زمین سے سیاروں اور ستاروں کے درمیان فاصلہ معلوم کرنے کے لئے کیا ۔اور آج بھی انجیئرنگ ،فزیکل سائنس میں استعمال ہونے والے زیادہ تر تکنیکی طور پر جدید طریقوں کی بنیاد ٹرگنو میٹری کا تصور ہے ۔

ا س باب میں ہم قائم مثلث اس کے حادہ زاویوں اور اضلاع کی کچھ نسبتوں کے بارے میں پڑھیں گے جو زاویوں کی ٹرگنو میٹری نسبتیں کہلاتی ہیں ۔ہم اپنے مطالعہ کو صرف حادہ زاویوں تک محدود رکھیں گے ۔حالانکہ ان نسبتوں کی توسیع دوسرے زاویوں تک بھی ہو سکتی ہے ۔ہم 90ºاور0ºکی پیمائش کے زاویوں کی ٹرگنو میٹری نسبتوں کی تعریف بھی بیان کریں گے ہم کچھ مخصوص زاویوں کی ٹرگنو میٹری نسبتیں معلوم کریں گے اور ان نسبتوں پر مبنی کچھ تماثلات معلوم کریں گے جن کو ٹرگنو میٹری تماثلات کہتے ہیں ۔

8.2ٹرگنو میٹرک نسبتیں

سیکشن 8.1میں آپ نے مختلف صورت حال میں تصور کئے گئے قائم مثلثوں کو دیکھا ۔

آئیے ایک قائم مثلث ABCلیجئے جیسا کہ شکل8.4

میں دکھایا گیا ہے ۔

شکل8.4

یہاں CAB

(یامختصراً زاویہA)ایک حادہ زاویہ ہے ۔ زاویہAکی مناسبت سے ضلع BCکا مقام نوٹ کیجئے ۔یہ DAکے سامنے ہے ہم اس کو Aکے مقابل ضلع کہتے ہیں ۔ACقائم مثلث کا وتر ہے ۔اور ضلع AB،کا ایک بازو ہے۔ اس لئے ہم اس کو A

کا متصل ضلع کہتے ہیں ۔

نوٹ کیجئے کہ اضلاع کا مقام تبدیل ہو جاتا ہے جبA

کی جگہ C

پر غور کرتے ہیں (شکل8.5)

شکل8.5

آپ اپنے سابقہ کلاسوں میں نسبت کے تصور کے بارے میں پڑھا ہے ۔اب ہم مخصوص نسبتوں جن میں قائم زاویہ مثلث کے اضلاع ملوث ہوں،کی تعریف بیان کریں گے اور ان کو ٹرگنو میٹرک نسبتوں کا نام دیں گے ۔

ٹرگنو میٹرک کی نسبتیں ایک قائم مثلث ABCکے زاویہAکی ٹرگنو میٹرک نسبتیں مندرجہ میں معرف ہیں ۔

اس طرح سے قائم زاوی مثلث میں ایک حادہ زاویہ کی ٹرگنو میٹرک نسبتیں زاویہ اور اس کے اضلاع کے درمیان ایک تعلق کوظاہر کرتی ہیں ۔

آپ قائم زاوی مثلث میں زاویہ Cکی ٹرگنو میٹرک نسبتوں کی تعریف بیان کرنے کی کوشش کیوں نہیں کرتے ؟ (شکل8.5دیکھئے)

اریہ بھٹ

450-476 A.D

جس طریقہ سے ‘sine’کا استعمال اب ہم کرتے ہیں سب سے اس کا اسی طریقہ سے استعمال آریہ بھٹ کی تصنیف اریہ بھٹیم میں 500عیسوی میں کیا گیا ہے ۔اریہ بھٹ نے نصف وتر کے لئے لفظ اردھا ۔جیااستعمال کیا ہے جو آگے چل کر مختصراً جیا اور جیوا ہو گیا جب آریہ بھٹیم کا ترجمہ عربی میں ہوا تو جیوا کا جیوا ہی ترجمہ کیا گیا ۔جب عربی کے ترجمہ کو لاطینی زبان میں ترجمہ کیا گیا تو جیوا کو sineکہا گیا ۔اور جلد ہی sin; sinusکے طور پر استعمال ہونے لگا ۔اور یوروپ میں ہر جگہ ریاضی کی کتابوں میں sineہی استعمال ہونے لگا، انگلینڈ کے ایک ماہر فلکیات کے پروفیسر(Edmund Guter) (1581-1626) نے سب سے پہلے اس کی مختصر شکلsinکو استعمال کیا ۔

ارکان cosinاورtangetکی ابتدا بہت میں ہوئی ،تمتی زاویہ کا sineمعلوم کرنے کے سلسلہ میںcosinتفاعل کا وجود ہوا۔ اریہ بھٹ نے اسے kotijiyaکہا اورEdmmdنے اسے cosimکا نام دیا۔ 1974میں سب سے پہلے انگریز ریاضی داں سر جان موری(Sir Jones Moore)اس کو اس کی مختصر ترین شکل cosمیں استعمال کیا ۔

ریمارک:

نوٹ کیجئے کہ علامت sinA،زاویہAکے sineکی مختصر شکل ہے ۔sinکا Aسے علیحدہ کوئی مطلب نہیں ہے۔ Sin SinAاورAکا حاصل ضرب نہیں ہے اسی طرح cos , COAاورAکا حاصل ضرب نہیں ہے ۔یہی ترجمانی باقی تمام ٹرگنو میٹرک نسبتوں کے لئے ہے ۔

اب اگر ہم ایک قائم مثلث کے وتر ACپرایک نقطہ Pلیں یا ACکو بڑھانے پر اس پر نقطہ Qلیں اورAB ,PMپر اورQNبڑھتے ہوئے ABپر عمود ڈالیں (شکل8.6دیکھیں) تو PAM

میں

Aکی ٹرگنو میٹرک نسبتیں کس طرح مختلف ہوں گی ۔CABم

یںA

کی یاQAN

میںA

کی نسبتوں سے ؟

شکل8.6

اس کا جواب دینے کے لئے سب سے پہلے ان مثلثوں کو دیکھئے ،کیاPAM،

CAB

کے مشابہ ہے ؟ یا دکیجئے آپ نے باب 6میںAAمشابہت کی شرط کے بارے میں پڑھا تھا ۔آپ دیکھیں گے کہ مثلث PAMاورCABمشابہ ہیں۔ اس لئے مشابہ مثلثوں کی خصوصیت کے مطابق ،مثلثوں کے نظیری اضلاع متناسب ہوں گے ۔

اس سے ہمیں پتہ چلتا ہے کہPAM

میں زاویہ Aکی ٹرگنو میٹرک نسبتیں مثلثCAB

میں زاویہ Aکی نسبتوں سے مختلف نہیں ہیں ۔

اسی طرح سے آپ جانچ کر سکتے ہیں کہ sin Aکی قدر (اوردوسری ٹرگنو میٹری نسبتیں بھی)QAN

میں بھی یکساں ہیں۔

اپنے مشاہدہ سے یہ واضح ہو گیا کہ مثلث کے زاویہ (حادہ) کی ٹرگنو میٹرک نسبتوں کی قدر اس کے اضلاع کی لمبائیوں کے ساتھ تبدیل نہیں ہوتیں ۔اگر زاویہ وہی ہے ۔

آئندہ کلاسوں میں پڑھیں گے ،یہی بات باقی تمام ٹرگنو میٹرک نسبتوں کے لئے درست ہے ہم حادہ زاویہ کی چھ ٹرگنو میٹرک نسبتوں کی تعریف کی ۔اگر ہمیں ان میں سے ایک کا علم ہو تو کیا ہم دوسری نسبتیں معلوم کر سکتے ہیں ؟ آئیے دیکھتے ہیں ۔

اگر ایک قائم مثلث ABCمیں

تب اس کا مطلب ہے

یعنی مثلث ABCکے اضلاع

k,BC

کے برابر ہو تو

3k,AC

ہوگا ،جہاں kکوئی مثبت عدد ہے۔زاویہ Aکی دوسری ٹرگنو میٹرک نسبت معلوم کرنے کے لئے ہمیں تیسرے ضلعABکی لمبائی معلوم

کرنا ہوگی ۔کیا آپ کو فیثا غورث کا مسئلہ یاد ہے ؟آئیے اس کا استعمال کر کے مطلوبہ ABکی لمبائی معلوم کرتے ہیں ۔

شکل8.7

اسی طرح سے آپ زاویہAکی دوسری ٹرگنو میٹرک نسبتیں معلوم کر سکتے ہیں ۔

ریمارک:

کیونکہ ایک قائم مثلث میں وتر سب سے بڑا ضلع ہوتا ہے اس لئے sinAاورcosAکی قدر ہمیشہ1سے کم ہوتی ہے (یا ،مخصوص حالت میں 1کے برابر)

آئیے کچھ مثالوں پر غور کرتے ہیں

مثال1:

دیا ہوا ہے ۔زاویہAکی باقی ٹرگنو میٹرک نسبتیں معلوم کیجئے ۔

حل:

سب سے پہلے ایک قائم زاوی مثلث ABCبنائیے (دیکھئے شکل8.8)

اب ہم جانتے ہیں کہ

اس لئے اگر BC = 4kتبAB = 3kجہاں kایک مثبت عدد ہے ۔

اب فیثا غورث کے مسئلہ کے مطابق ہمارے پاس ہے ۔

اب ہم باقی ٹرگنو میٹرک نسبتوں کو ان کی تعریف استعمال کر کے لکھ سکتے ہیں ۔

شکل8.8

مثال2:

اگر B>اورQ>حادہ زاویہ ہیں جب کہ sinB = sinQتب ثابت کیجئے کہ

حل:

دو قائم مثلثیں ABCاورPQRپر غور کریں جہاں sinB = sinQ (شکل8.9دیکھئے)

شکل8.9

ہمارے پاس ہے

حل:DABCمیں ہمارے پاس ہے

مثال5: Δ OPQمیںجو Pپر قائم زاویہ ہے 7سینٹی میٹرOP =اور1سینٹی میٹر=OO–PQ (شکل8.12دیکھئے)۔ sinQ اور cosQکی قدر معلوم کیجئے ۔

حل: Δ OPQمیں ہمارے پاس ہے

مشق8.1

1۔ قائمΔ ABCمیں جوBزاویہ پر قائم ہے ۔24سینٹی میٹر

7,AB =

سینٹی میٹر=BC معلوم کیجئے ۔

10۔ ΔPQRجوQپر قائم زاویہ ہے ،میں PR+QR=25cmاورPQ=5cmتوsinP, cos Pاورtan Pکی قدر معلوم کیجئے ۔

11۔ بیان کیجئے کہ مندرجہ ذیل صحیح ہیں یا غلط ۔اپنے جواب کا جواز بھی پیش کیجئے ۔

8.3کچھ مخصوص زاویوں کی ٹرگنو میٹرک نسبتیں

جیومیٹری میں آپ زاویوں 30º،45º،60ºاور90ºکی تشکیل سے آپ پہلے ہی واقف ہیں ۔اس سیکشن میں آپ ان تمام زاویوں کی ٹرگنو میٹرک نسبتوں کی قدر معلوم کریں گے اس کے علاوہ 0ºکی بھی

45ºکی ٹرگنو میٹرک نسبتیں

ABC

جو Bپر قائم ہے ۔اگر ایک زاویہ 45ºہے تب دوسرا زاویہ بھی45ºکا ہوگا یعنیA=

C=45º

(شکل 8.14 دیکھئے )

اس لئے BC = AB(کیوں؟)

اب فرض کیجئے

BC = AB = a

30ºاور60ºکی ٹرگنو میٹرک نسبتیں

آئیے اب 30ºاور60ºکی ٹرگنو میٹرک نسبتیں معلوم کرتے ہیں ۔ایک مساوی ضلعی مثلث ABCپر غورکیجئے ۔کیونکہ اس کا ہر ایک زاویہ 60ºکا ہے اس لئے ،A=

C = 60°

ABD

یک قائم مثلث ہے جوDپر قائم ہے جس میںBAD = 30º

اورABD = 60º

(شکل 8.15دیکھئے)

جیسا کہ آپ جانتے ہیں کہ ٹرگنو میٹرک نسبتیں معلوم کرنے کے لئے ہمیں مثلث کے اضلاع کی لمبائیاں معلوم کرنے کی ضرورت ہے ۔اس لئے اب فرض کیجئے کہ AB = 2a۔

0ºاور90ºکی ٹرگنو میٹرک نسبتیں

شکل8.16

آئیے اب دیکھتے ہیں کہ کسی قائم مثلث ABCمیں زاویہ Aکی ٹرگنو میٹرک نسبتوں پر کیا اثر پڑتا ہے جب ان کو چھوٹے سے چھوٹا کیا جائے جب تک یہ صفر نہ ہوجائیں ۔کیونکہA

چھوٹے سے چھوٹا ہو رہا ہے اس لئے BCکی لمبائی گھٹے گی ۔اورنقطہC،نقطہBکی نزدیک ہوگا ،اورآخر میں جب 0º

Aکے بہت قریب ہو جائے گا ۔تو ACتقریباً ABکے برابر ہو جائے گا۔(شکل8.17دیکھئے)

شکل8.17

جب 0º

Aکے کافی نزدیک ہو تو BC،O کے نزدیک ہو جائے گا اس لئے

کی قدر Oکے بہت قریب ہو جائی گی ۔مزید جبA ،0º

کے نزدیک ہو توACتقریباً ABکے برابر ہوگا اور اس لئے

کی قدر1 کے کافی نزدیک ہوگی۔

اس سے ہمیں مدد ملتی ہے کہ ہم کس طرح sin Aاورcos Aکی قدروں کی تعریف بیان کریں جب A = 0ºہم تعریف کرتے ہیںsin 0º = 0اورcos 0º = 1

ان کو استعمال کرنے پر ہمارے پاس ہے :

اب دیکھئے کہA

کی ٹرگنو میٹرک نسبتوں کا کیا ہوتا ہے جب یہ زاویہABC

میں بڑے سے بڑا کر دیا جاتا ہے جب تک کہ یہ 90ºکے برابر نہ ہوجائے ۔جبA

بڑے سے بڑا ہوتا ہے ۔C

اتنا ہی چھوٹے سے چھوٹا ہوجاتا ہے ۔اس لئے ایسی حالت میں ضلع ABکی لمبائی گھٹادیتی ہے ۔نقطہA،نقطہBکے نزدیک آتا رہتا ہے ۔اورآخر میں A

جب 90ºکے بہت نزدیک ہو جاتا ہے توC،0º

کے نزدیک ہو جاتا ہے ۔اور ضلعACتقریباً ضلعBCپر منطبق ہوجاتا ہے ۔(شکل8.18دیکھئے ) ۔

شکل8.18

جب

کے کافی نزدیک ہو تو 90º

Aکے کافی نزدیک ہوگا ۔ضلعACتقریباً BCکے برابر ہو جائے گی اور اس لئے

1 sin A

کے کافی نزدیک ہو جائے گا ۔جبA،90º

کے بہت نزدیک ہو توC،0º

کے بہت نزدیک ہوگا ، اورضلعAB تقریباً صفر ہو جائے گا ا۔اس لئے cos Aصفر کے بہت نزدیک ہوگا ۔

اس لئے ہم تعریف بیان کرتے ہیں :sin 90º = 1اورcos 90º = 0

آپ اب 90ºکی باقی ٹرگنو میٹرک نسبتوں کو کیوں نہیں معلوم کرتے؟

اب ہم حوالہ کے لئے جدول8.1میں

0°, 30°, 45°, 60°

کی تمام ٹرگنو میٹرک نسبتوں کی قدر دیتے ہیں ۔

جدول8.1

90°	60°	45°	30°	0°	A>
1 0 معروف 1 معروف 0				0 1 0 معروف 1 معروف	simA sosA tanA cosecA secAcotA

ریمارک:

مذکورہ بالا جدول سے آپ مشاہدہ کر سکتے ہیں کہ جب0º

Aسے 90ºکی طرف بڑھتا ہے تب

0°sin A

سے 1کی طرف بڑھتا ہے اور I cos A سے0کی طرف گھٹتا ہے ۔

آئیے اوپر دی گئی قدروں کے استعمال کی وضاحت کچھ مثالوں سے کرتے ہیں ۔

مثال6:

ABC

جوBزاویے پر قائم ہے ،میں5سینٹی میٹر=ABاور ACB=30º

(شکل8.19دیکھئے)۔اضلاع BCاورACکی لمبائیاں معلوم کیجئے ۔

شکل8.19

حل:

ضلع BCکی لمبائی معلوم کرنے کے لئے ہم اس ٹرگنو میٹرک نسبت کو لیں گے ۔جس میں BCاوردیا ہوا ضلعABشامل ہو ۔ کیونکہ BCزاویہ کا متصل ضلع ہے اورAB،زاویہ Cکا مقابل ضلع ہے ،اس لئے

ضلعACکی لمبائی معلوم کرنے کے لئے ہم غور کرتے ہیں ۔

نوٹ کیجئے کہ ہم متبادل طریقہ کے طور پر ہم مذکورہ بالا مثال میں تیسراضلع معلوم کرنے کے لئے فیثاغورث کے مسئلہ کا استعمال کر سکتے تھے ،

شکل8.20

آپ نوٹ کر سکتے ہیں کہ قائم مثلث کے کسی دوسرے حصہ (یا تو حادہ زاویہ یا کوئی ضلع) کا ایک ضلع معلوم ہو تو مثلث کے باقی اضلاع اور زاویہ معلوم کئے جا سکتے ہیں ۔

مشق8.2

1۔مندرجہ ذیل کی قدر معلوم کیجئے ۔

2-صحیح جواب کو چنئے اور اپنے انتخاب کاجواز پیش کیجیے۔

4۔بیان کیجئے کہ مندرجہ ذیل صحیح ہیں یا غلط ۔آئیے جواب کا جواز پیش کیجئے ۔

8.4تحتی زاویوں کے لئے ٹرگنو میٹرک نسبتیں

یاد کیجئے کہ دو زاویہ تکمیل کہلاتے ہیں اگر ان کا حاصل جمع90ºہو ،ABC

میں جوBزاویے پر قائم ہے،کیاآپ تکمیلی زاویوں کے جوڑوں کو دیکھ سکتے ہیں (شکل8.21کو دیکھئے )

کیونکہA +

C = 90°

،اس لئے یہ ایسے جوڑے میں ،ہمارے پاس ہے ۔

شکل8.21

آئیے ابC = 90° –

کی ٹرگنو میٹرک نسبتیں لکھتے ہیں ۔

آسانی کے لئے ہ 90º – Aلکھتے ہیں ،زاویہ90º – Aکے مقابل اور متصل اضلاع کو بنے ہوں گے ؟ آپ دیکھیں گے کہ 90º – Aکا مقابل ضلعABاورمتصل ضلع BCہوگا۔اس لئے ،

اب(1)اور(2)میں دی گئی نسبتوں کا موازنہ کیجئے ،مشاہدہ کیجئے کہ :

0° اور90ºکے درمیان زاویہ Aکی تمام قدروں کے لئے جانچ کیجئے کہ آیا A = 0ºیاA = 90ºکے درست ہیں یا نہیں ۔

نوٹ:

tan 0° = 0 = cot 90°, sec 0° = 1 = cosec 90°اورsec 90°, cosec 0°, tan 90°اورcot 0°

معرف نہیں ہیں ۔

آئیے کچھ مثالوں پر غور کرتے ہیں ۔

مثال9:

قدر معلوم کیجئے

مثال10:

اگر(sin 3A = cos (A – 26°،جہاں 3Aایک حادہ زاویہ ہے توAکی قدر معلوم کیجئے ۔

حل:

ہمیں دیا ہوا ہے کہ

sin 3A = cos (A – 26º) (1)

کیونکہ

sin 3A = cos (90° – 3A)

اس لئے ہم(1)کو لکھ سکتے ہیں

cos (90° – 3A) = cos (A – 26°)

کیونکہ °90 – 3AاورA – 26ºدونوں حادہ زاویہ ہیں اس لئے

90° – 3A = A – 26°

جس سے ہمیں ملتا ہے

A = 29º

مثال 11:

cot 85º + cos 75ºکو0ºاور45ºکے درمیان کی ٹرگنو میٹرک قیمتوں میں ظاہر کیجئے ۔

حل:

cot 85° + cos 75° = cot (90° – 5°) + cos (90° – 15°)

= tan 5° + sin 15°

مشق8.3

1۔ قدر معلوم کیجئے :

2۔ دکھائیے کہ :

(i)

tan 48° tan 23° tan 42° tan 67° = 1

(ii)

cos 38° cos 52° – sin 38° sin 52° = 0

3۔ اگرtan 2A = cot (A – 18°)،جہاں 2Aایک حادہ زاویہ ہے ،توAکی قدر معلوم کیجئے ۔

4۔ tan A = cot Bتوثابت کیجئے کہ A + B = 90º۔

5۔ اگرsec 4A = cosec (A – 20°)،جہاں4Aایک حارہ زاویہ ہے ،توAکی قدر معلوم کیجئے ۔

6۔ اگر A،BاورCمثلث ABCکے داخلی زاویہ ہیں تو دکھائیے

7۔ sin 67° + cos 75° کو0ºاور45ºکے درمیان زاویوں کی ٹرگنو میٹرک نسبتوں میں ظاہر کیجئے ۔

8.5ٹرگنو میٹرک تماثلات(Trigonometric Identities)

آپ یاد کیجئے کہ ایک مساوات تماثلہ کہلاتی ہے اگر وہ اس میں موجود متغیر کی تمام قدروں کے لئے درست ہو اسی طرح سے مساوات جس میں ٹرگنو میٹرک نسبتیں شامل ہوتی ہیں ٹرگنو میٹرک تماثل کہلاتی ہے اگر اس میں ملوث تمام زاویوں کے لئے درست ہو ۔

اس سیکشن میں ہم ایک ٹرگنو میٹری کا تماثل ثابت کریں گے اور اس کا استعمال باقی دوسری مفید ٹرگنو میٹری کے تماثلات کو ثابت کرنے میں کریں گے ۔

ABC

میں ،جو Bپر قائم ہے (شکل8.22دیکھئے) ہمارے پاس ہے :

شکل8.22

یہAکی تمام قدروں کے لئے درست ہے جب کہ

اس لئے یہ ٹرگنو میٹرک تماثل ہے ۔

آئیے (1) کو دونوں طرف

تقسیم کرنے پر ہمیں ملتا ہے

کیا یہ مساوات A = 0ºکے لئے درست ہے ؟ ہاں،یہ ہے A = 90ºکے بارے کیا خیال ہے ۔ہم جانتے ہیں کہ A=90ºکے لئے AورAمعرف نہیں ہیں اس لئے(3)درست ہے تمام Aکے لئے

آئیے دیکھتے ہیں کہ ہم(1)

سے تقسیم کرنے پر ہمیں ملتا ہے

نوٹ کیجئے کہ A = 0ºکے لئے cosec Aاورcot Aمعرف نہیں ہیں اس لئے (4)تمامAکے درست ہے جب کہ

ان تماثلات کا استعمال کر کے ہم ہر ٹرگنو میٹرک نسبت کو دوسری نسبت کی شکل میں بدل سکتے ہیں یعنی اگر کوئی سی نسبت ایک نسبت آپ کو معلوم ہے تو ہم دوسری ٹرگنو میٹرک نسبتوں کی قدر معلوم کر سکتے ہیں ۔

آئیے دیکھتے ہیں کہ ہم ان تماثلات کو استعمال کر کے ایسا کس طرح کر سکتے ہیں ۔فرض کیجئے ہم جانتے ہیں کہ