Skip to content
Read PDF Question Answers
Riyazi

9

ٹرگنو میٹری کے کچھ استعمال

SOME APPLICATION OF TRIGNOMENTRY

9.1تعارف 

پچھلے باب میں آپ نے ٹرگنو میٹرک نسبتوں کے بارے میں پڑھا ۔اس باب میں آپ اپنے گردو نواح میں ہونے والے ٹرگنو میٹری کے استعمال کے بارے میں پڑھیں گے ۔ٹرگنو میٹری تمام دنیا میں پڑھے جانے والے مضمونوں میں سب سے قدیم مضمونوں میں سے ایک ہے ۔جیسا کہ ہم نے باب 8میں کہا تھا کہ ٹرگنو میٹری کی ایجاد اس لئے ہوئی تھی کیونکہ اس کی ضرورت علم فلکیات میں تھی جب سے ہی ماہر فلکیات اس کا استعمال کر رہے ہیں۔ مثال کے طور پر زمین کا سیاروں اور ستاروں سے فاصلہ معلوم کرنا۔ ٹرگنو میٹری کا استعمال جغرافیہ اور جہاز رانی میں بھی کثرت سے ہوتا ہے ،ٹرگنو میٹری کے علم کا استعمال نقشہ بنانے اور طول البلد اور عرض البلد سے تعلق ہے جزیروں کا مقام معلوم کرنے میں ۔
theowlaide

تھیوڈو لائٹ

(سروے کا آلہ جس کی بنیاد ٹرگنومیٹری کے اصولوں پر ہے اور گردش کرنے والا ٹیلی اسکوپ کی مدد زاویوں کی پیمائش میں استعمال ہوتا ہے )

سروے کرنے والے ٹرگنو میٹری کا استعمال صدیوں سے کر رہے ہیں 19ویں صدی میں برٹش انڈیا کے ذریعے عظیم ٹرگنومیٹرک سروے ایک بڑا سروے پروجیکٹ شروع کیا تھا جس کے لئے اس وقت جس کے لئے اس وقت تک سب سے بڑے دو theodolitesبنائے گئے۔ 1852کے ایک سروے کے دوران دنیا کے سب سے اونچے پہاڑ کی دریافت ہوئی۔160کلومیٹر سے زیادہ فاصلہ پر موجود چھ مختلف اسٹیشنوں سے چوٹی کا مشاہدہ کیا گیا ۔1856میں اس چوٹی کا نام سر جارج ایوریسٹ کے نام پر رکھا گیا جس نے سب سے پہلے اس عظیم تھیو ڈولائٹسکااستعمال کیا تھا ۔ (متصل شکل کو دیکھئے )یہتھیوڈو لائٹاب عام لوگوں کے دیکھنے کے لئے دہرادون میں واقع سروے آف انڈیا کے میوزیم میں رکھے ہوئے ہیں ۔
اس باب میں ہم دیکھیں گے کہ ٹرگنو میٹری کس طرح سے مختلف اشیاء کی بلندیاں اور فاصلہ بغیر پیمائش کئے ہوئے معلوم کرنے میں استعمال ہوتی ہے ۔

9.2بلندیاں اور فاصلہ

آئیے پچھلے باب کی شکل8.1پر غور کیجئے جو کہ شکل9.1 میں دوبارہ بنائی گئی ہے ۔
1
افقی خط افقی خط

شکل9.1

اس شکل میں خطACجو طالب علم کی آنکھ سے مینار کی چوٹی تک کھینچا گیا ہے ۔خطِ بصیرت کہلاتا ہے ۔طالب علم مینار کی چوٹی کو دیکھ رہا ہے ۔خطِ بصیرت سے افقی خط پر بنا زاویہ BACہے طالب علم کی آنکھ سے مینار کی چوٹی کا زاویہ ارتفاع کہلاتا ہے ۔
اس طرح سے خطِ بصیرت وہ ہے جو کسی مشاہد کی آنکھ سے کسی شہ جس کو مشاہد دیکھ رہا ہے ،تک کھینچا جاتا ہے ۔دیکھے جانے والے نقطہ کا زاویہ ارتفاع وہ زاویہ ہے جو خطِ بصیرت ،اُفقی خط سے بناتا ہے جب کہ بصیرت کا نقطہ افقی لیول کے اوپر ہوتا ہے یعنی ایسی حالت جب ہم کسی چیز کو دیکھنے کے لئے اوپر کی طرف دیکھتے ہیں ۔
اب شکل 9.2 میں دی گئی صورت حال پر غور کیجئے ۔بالکنی میں بیٹھی ہوئی ایک لڑکی سڑک کے دوسری طرف موجود ایک مندر کی سیڑھیوں پر رکھے ایک پھولوں کے گملہ کو دیکھ رہے ہیں ۔اس حالت میں خطِ بصیرت افقی لیول سے نیچے ہے ۔اس حالت خط بصیرت سے افقی خط پر بنے زاویہ ہے جب کہ وہ نقطہ افقی خط ہے نیچے ہو یعنی ایسی حالت جس میں ہمیں کسی چیز وک دیکھنے
2

شکل 9.2

کے لئے اپنی گردن کو نیچے کی طرف جھکانا پڑتا ہے (شکل9.3دیکھئے )
اب آپ شکل9.3میں آسانی سے خطِ بصیرت اور اس سے بنے زاویہ کی شناخت کر سکتے ہیں ،کیا یہ زاویہ جھکاؤ ہے یا زاویہ ارتفاع؟
آئیے دوبارہ شکل 9.1پر غور کرتے ہیں ۔اگر بغیر پیمائش کئے ہوئے آپ کو مینار CDکی اونچائی معلوم کرنا چاہتے ہیں ۔ تب آپ کوکن کن چیزوں کی ضرورت ہوگی ؟ آپ کو مندرجہ ذیل چیزوں کی ضرورت ہوگی ۔

افقی خط
PH-452



(i)طالب علم مینار کے پائے سے جس فاصلہ پر کھڑا ہے یعنیDE
(ii) مینار کی چوٹی کا زاویہ ارتفاع D ABC
(iii) طالب علم کی hight(اونچائی) AE
یہ فرض کرتے ہوئے اوپر دی گئی تینوں باتیں معلوم ہیں ۔آپ مینار کی اونچائی کس طرح معلوم کریں گے ـ ؟
شکل میں CD = CB + BDیہاںBD = AEجو کے طالب علم کی اونچائی ہے ۔
BCمعلوم کرنے کے لئے ہم BACs24یا As24کی ٹرگنو میٹرک نسبتوں کا استعمال کریں گے ۔
مثلثABCمیں ضلع
<A'BC
کے مقابل ضلع ہے ۔اب ہم کو ن سی ٹرگنو میٹرک نسبت ہم استعمال کر سکتے ہیں؟ ان میں سے کونسی ایسی نسبت ہے جس کے دوقدریں ہمیں معلوم ہیں اور ایک کو ہمیں معلوم کرنا ہے ؟ ایسی نسبتیں ہیں یا توtan Aیا cot A کیونکہ ان نسبتوں میںABاورBCملوث ہیں ۔
s1
پر ،ہمیں BCملتا ہے ۔
AEکوBCمیں جمع کرنے پر آپ کو مینار کی اونچائی مل جائے گی ۔
اوپر بحث کئے گئے عمل کو تشریح ہم کچھ مثالوں کو حل کر کے کرتے ہیں ۔
مثال1:ایک ٹاورانتصابی طو رپر گراؤنڈ پرکھڑا ہے ۔گراؤنڈ پر کسی نقطہ سے جو ٹاور کے پایہ سے 1.5cmکے فاصلہ پر ہے ٹاور کی چوٹی کازاویہ ارتفاع 60ºہے ۔ٹاور کی اونچائی معلوم کیجئے ۔
حل:سب سے پہلے ہم اس مسئلہ کو ظاہر کرنے کے لئے ایک سادہ سا ڈائی گرام بناتے ہیں (شکل9.4دیکھئے) یہاں AB ٹاور کو ظاہر کرتا ہے ۔ CBٹاور سے اس نقطہ کا فاصلہ ہے اور ACBs24زاویہ ارتفاع ،ہمیں ٹاور کی اونچائی یعنی ABمعلوم کرنی ہے۔ مزیدACBایک مثلث ہے جو Bپر قائم ہے۔
4

شکل9.4

s2
مثال2:ایک الیکٹرانک مشین کو 5میٹر اونچے بجلی کے ایک کھمبے میں ہوئی کسی خرابی کو دورکرنا ہے اس کام کو انجام دینے کے لئے اس کو کھمبے کے اوپری حصہ سینٹی میٹر 1.3نیچے پہونچتا ہے (شکل9.5 دیکھئے )اس سیڑھی کی لمبائی کیا ہونی چاہیے جو افقی خط سے 60ºکا زاویہ بنائے ہوئے اسے مطلوبہ مقام تک پہونچادے ۔مزید یہ بھی معلوم کیجئے کہ وہ کھمبے کے پایہ سے سیڑھی کا پایہ کتنی دوری پر رکھے s3لے سکتے ہیں ۔
5

شکل9.5

حل:شکل9.5میں الیکٹریشن کو کھمبے ADکے نقطہBپر پہونچا ہے ۔
اس لئے3.7 میٹر=میٹر
BD = AD – AB = (5 – 1.3)
یہاں BCسیڑھی کو ظاہر کرتا ہے ،ہمیں اس کی لمبائی معلوم کرنی ہے یعنی قائم مثلث BDCکا وتر۔
اب کیا آپ سوچ سکتے ہیں کہ کون سی ٹرگنو میٹرک نسبت پر غور کیا جائے ؟
یہsin 60ºہونا چاہیے ۔
PH-453
یعنی سیڑھی کی لمبائی4.28سینٹی میٹر ہے۔
PH-454
اس لئے وہ سیڑھی کے پائے کو کھمبے سے2.14میٹرکے فاصلہ پر رکھے ۔
مثال3: 1.5میٹراونچائی میٹر ایک ایک چمنی ہے 28.5میٹرکے فاصلہ پر ہے اس کی آنکھ سے چمنی کے اوپری حصہ کازاویہ ارتفاع 45ºہے ۔چمنی کی اونچائی معلوم کیجئے ؟
6

شکل9.6

حل:          یہاںABایک چمنی ہے،CDمشاہد اورADEs24زاویہ ارتفاع(شکل9.6دیکھئے)
ہمارے پاس ہے : AB = AE + BE = AE + 1.5
اور میٹر DE = CB = 28.5
AEمعلوم کرنے کے لئے ہم ایسی ٹرگنو میٹرک نسبت کو چنتے ہیں جس میں AEاورDEدونوں شامل ہوں ۔آئیے زاویہ ارتفاع کے tangentکو چنتے ہیں ۔
s5
اس لئے چمنی کی اونچائی میٹر =30میٹر (AB) = (28.5 + 1.5)ہے۔
مثال4:    زمین پر ایک نقطہ Pسے 10میٹر اونچی ایک بلڈنگ کا زاویہ ارتفاع 30ºہے بلڈنگ کی چھت پر جھنڈے کاایک پول لگایا گیا ۔جھنڈے کے پول کے اوپری سرے کا نقطہ Pسے زاویہ ارتفاع45ºہے جھنڈے کے پول کی اونچائی اور بلڈنگ کا نقطہ Pسے فاصلہ معلوم کیجئے (آپs3لے سکتے ہیں ) ۔
حل:    شکل9.7میںABبلڈنگ کی اونچائی ،BDجھنڈے کے پول کی اونچائی کو ظاہر کرتا ہے ۔اورPزمین پر دیا گیا نقطہ ہے۔ نوٹ کیجئے کہ یہاں دو قائم مثلث ہیں PAB اورPADجس میں جھنڈے کے پول کی اونچائی معلوم کرنی ہے یعنی DBاور بلڈنگ کا نقطہ Pسے فاصلہ بھی معلوم کرنا ہے یعنی PA۔
کیونکہ ہم جانتے ہیں کہ بلڈنگ کی اونچائی ABہے اس لئے پہلے ہم قائم مثلث PABپر غور کرتے ہیں ۔
7
s6
اس لئے جھنڈ ے کے پول کی اونچائی 7.32میٹرہے ۔
مثال5:        ایک مسطح زمین پر کھڑے ایک ٹاور کی پرچھائی 40میٹر لمبی ہو جاتی ہے جب سورج کاارتفاع 60ºسے30ºہو جاتا ہے ۔ ٹاور کی اونچائی معلوم کیجئے ۔
حل:        شکل9.8میں ABٹاور کو اورBCٹاور کی پرچھائی کی لمبائی کو ظاہر کرتا ہے جب سورج کا ارتفاع 60ºہوتا ہے یعنی پرچھائی کی ٹپ سے ٹاور کی چوٹی کا زاویہ ارتفاع 60ºہے اورDB پرچھائی وہ لمبائی ہے جب زاویہ ارتفاع 30ºہے ۔
8

شکل9.8

اب مان لیجئے AB be h mاورBC be x mہے سوال کے مطابق DB،BCسے 40میٹر لمبا ہے ۔
اس لئے DB = (40 + x)m
اب ہمارے پاس دوقائم مثلث ABCاورABDہیں ۔
s7
شکل(1)سے ہمارے پاس ہے PH-455     
اس قدر کو (2)میں رکھنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہےPH-456
یعنی PH-457
اس لیے PH-458
اس لیے ٹاور کی اونچائیPH-459ہے
مثال6: 8mاونچی ایک (عمارت )بلڈنگ کی چھت اور پایہ کا ایک کثیر منزلہ عمارت سے زاویہ جھکاؤ باالترتیب 30ºاور45ºہے کثیر منزلہ عمارت کی اونچائی اور دونوں عمارتوں کے درمیان فاصلہ معلوم کیجئے ۔
حل:        شکل9.9میں PCکثیر منزلہ عمارت کوAB،8میٹر اونچی بلڈنگ کو ظاہر کرتا ہے ہماری دلچسپی کثیر منزلہ عمارت کی اونچائی معلوم کرنی ہے یعنی PCکی اور دونوں عمارتوں کے درمیان فاصلہ یعنی ACمعلوم کرنا ہے ۔شکل کو 1محور سے دیکھئے ۔ مشاہدہ کیجئےکہPB ایک قاطع ہے جو متوازی خطوطPQاوBDکو قطع کرتا ہے اس لئے QPBs24اورPBDs24متبادل زاویہ ہیں اور اس لئے مساوی ہیں اس لئے PBD=30ºs24اسی طرحs24PAC=45ºقائم مثلث PBD، ہمارے پاس ہے ۔
9

شکل9.9

PH-460
قائم مثلثPACمیں ہمارے پاس ہے
PH-461
یعنی PC=AC
مزید PC=PD+DC اس لیےPD+DC=AC
کیونکہ AC = BDاور8میٹرDC = AB =ہمیں حاصل ہوتا ہے PH-462کیوں؟) 
s10
مثال7:        دریا کے اوپر سے پل پر ایک نقطہ سے دریا کے دو کناروں کا زاویہ جھکاؤ باالترتیب 30ºاور45ºہے ۔اگر پل کی کناروں سے اونچائی 3میٹرہے تو دریا کی چوڑائی معلوم کیجئے ۔
حل:        شکل9.10میںAاورBدریاکے مقابل کناروں پر موجود نقطوں کو ظاہر کرتے ہیں اس لئے ABدریا کی چوڑائی ہے ۔P پل کے اوپر 3میٹر کی اونچائی پر ایک نقطہ ہے یعنی 3میٹر DP=ہماری دلچسپی دریا کی چوڑائی معلوم کرنے میں ہے جو کہ مثلث APB کے ضلع ABکی لمبائی ہے ۔
10

شکل9.10

اب AB = AD + DB
قائم مثلث APDمیںA = 30ºs24
s11

مشق9.1

1۔ سرکس کا ایک آرٹسٹ 20میٹر لمبی ایک رسی پر چڑھ گیا ہے جو کہ ایک انتصابی پول کے اوپری سرے اور نیچے گرائونڈ سے اس طرح بندھی ہے کہ جس میں کوئی جھول نہیں ہے ۔پول کی اونچائی معلوم کیجئے اگر رسی کے ذریعے زمین پر بنا زاویہ 30ºہے (شکل9.11دیکھئے)
s12

شکل9.11

2۔ طوفان کی وجہ سے ایک درخت ٹوٹ گیا اور اس کا ٹوٹا ہوا حصہ اس طرح جھکا کے اس کا اوپری حصہ زمین سے چھوکر 30º کا زاویہ بناتا ہے ۔درخت کے نچلے حصہ سے اس نقطہ کا فاصلہ جہاں درخت کا اوپری حصہ زمین کو چھوتا ہے ۔8میٹرہے تو درخت کی اونچائی معلوم کیجئے ۔
3۔ ایک کنٹریکٹر نے بچوں کے لئے ایک پارک میں دو سلائڈروں کے لگانے کا منصوبہ بنایا ۔5سال سے کم عمر کے بچوں کے لئے اس نے اس سلائڈرکو فوقیت دی جس کی اونچائی 1.5میٹراونچی ہے اور وہ زمین سے 30ºکا زاویہ بناتی ہے جب کہ بڑے بچوں کے لئے 3سینٹی میٹراونچی ایک سیڑھی والی سلائڈرچاہتی ہے جو زمین سے 60º کا زاویہ بناتی ہے۔دونوں سلائڈروں کی لمبائی معلوم کیجئے ۔
4۔ زمین پر ایک نقطہ ،جو ٹاور کے پایہ سے 30سینٹی میٹرکے فاصلہ پر ہے ،زمین سے ٹاور کی چوٹی کا زاویہ ارتفاع 30ºہے ۔ٹاور کی اونچائی معلوم کیجئے ۔
5۔ ایک پتنگ زمین سے 60میٹر اونچائی پر اڑ رہی ہے ۔پتنگ سے جڑی ڈور عارضی طور پر زمین پر ایک نقطہ سے باندھ دی گئی ہے ڈور کا زمین پر جھکاؤ 60ºہے ڈور کی لمبائی معلوم کیجئے ۔یہ مانتے ہوئے کہ ڈور میں کوئی جھول نہیں ہے ۔
6۔ 1.5میٹراونچائی کا ایک لڑکا 30میٹراونچی ایک عمارت سے کچھ فاصلہ پر کھڑا ہے ۔جیسے جیسے وہ عمارت کی طرف بڑھتا ہے اس کی آنکھ کا عمارت کی چھت سے زاویہ ارتفاع 30ºسے بڑھ کر 60ºہو جاتا ہے ۔اس کے ذریعے عمارت تک طے کیا گیا فاصلہ معلوم کیجئے ۔
7۔ زمین پر موجود ایک نقطہ سے 20میٹر اونچی ایک عمارت کے اوپر لگے نشریات کے ایک ٹاور کے نچلے سرے اور اوپری سرے کا زاویہ ارتفاع باالترتیب 45ºاور60ºہے ۔ٹاور کی اونچائی معلوم کیجئے ۔
8۔ 1.6میٹراونچا ایک مجسمہ ایک پایے کی اوپری چوٹی پرکھڑا ہے ۔زمین پر موجود ایک نقطہ سے مجسمہ کے اوپری سرے کا زاویہ ارتفاع 60ºاور اس نقطہ سے پایہ کے اوپری سے کا زاویہ ارتفاع 45ºہے پایہ کی اونچائی معلوم کیجئے ۔
9۔ ایک عمارت کی چھت کا ایک ٹاور کے پایہ سے زاویہ ارتفاع 30ºہے اور عمارت کے پایہ سے ٹاور کی چوٹی کا زاویہ ارتفاع 60ºہے ۔اگر ٹاور کی اونچائی 50میٹر ہو تو عمارت کی اونچائی معلوم کیجئے ۔
10۔ مساوی اونچائیوں والے دوپول ایک سڑک کے دونوں طرف کھڑے ہیں ،جو 80میٹر چوڑی ہے ،سڑک کے بیچ وبیچ میں ایک نقطہ سے دونوں پول کا زاویہ ارتفاع 60ºاور30º ہے دونوں پول کی اونچائی اور اس نقطہ کا پول سے فاصلہ معلوم کیجئے ۔
11۔ T.V.کا ایک ٹاور ایک نہرکے کنارے پر کھڑا ہے۔ دوسرے کنارے پر ایک نقطہ جو ٹاور کے بالکل مخالف سمت میں ہے ٹاور کی چوٹی کا زاویہ ارتفاع 60ºہے اس نقطہ اور ٹاور کے پایہ کو ملانے والے خط پر ایک اور نقطہ جو پہلے نقطہ سے20میٹرکے فاصلہ پر ہے ۔ٹاور کی چوٹی کا زاویہ ارتفاع 30ºہے (شکل 9.12دیکھئے ) ٹاور کی اونچائی اورنہرکی چوڑائی معلوم کیجئے ۔
12

شکل 9.12

12۔ 7میٹراونچی ایک عمارت سے ایک کیبل ٹاور کی چوٹی کا زاویہ ارتفاع 60ºاور اس کے پایہ کا زاویہ جھکاؤ 45ºہے ۔ ٹاور کی اونچائی معلو م کیجئے ۔
13۔ سمندر سے 75میٹراونچائی پرواقع ایک لائٹ ہاؤس کی چھت سے دوپانی کے جہازوں کا زاویہ جھکاؤ باالترتیب 30ºاور45ºہے ۔اگر ایک جہاز بالکل دوسرے جہاز کے پیچھے ہے اور دونوں لائٹ ہاؤس کے ایک ہی طرف ہیں تو دونوں کے درمیان فاصلہ معلوم کیجئے ۔
14۔ 1.2میٹراونچی ایک لڑکی اڑتا ہوا غبارہ دیکھا جو ہوا کے ساتھ افقی طور پر ایک خط میں حرکت کر رہا ہے اور زمین سے 88.2میٹرکی اونچائی پر ہے ،کسی لمحہ اس غبارہ کا لڑکی کی آنکھ سے زاویہ ارتفاع 60ºہے اور کچھ وقت بعد زاویہ ارتفاعگھٹ کر 30º کا ہو جاتا ہے (شکل9.13دیکھئے) وقفہ کے دوران غبارہ کے ذریعے طے کیا گیا فاصلہ معلوم کیجئے۔
13

شکل9.13

15۔ ایک قومی شاہراہ سیدھا ایک ٹاور پر جا کر ختم ہوتی ہے ٹاور کی چوٹی پر کھڑا ہوا ایک شخص 30ºکے زاویہ جھکاؤ پر ایک کار کا مشاہدہ کرتا ہے جو یکساں رفتارسے اس ٹاور کی طرف بڑھتی چلی آرہی ہے ،چھ سیکنڈ کے بعد کا ر کا زاویہ جھکاؤ 60ºہو جاتا ہے ۔ اس نقطہ سے ٹاور کے پایہ تک پہنچنے میں کار کے ذریعے لیا گیا وقت معلوم کیجئے ۔
16۔ ٹاور کی چوٹی کا دو نقطوں سے جو ٹاور کے پایہ سے ایک ہی خط مستقیم میں باالترتیب 4میٹراور9میٹرکے فاصلہ پر ہیں ، زاویہ ارتفاع تکمیلی ہیں ۔ثابت کیجئے کہ ٹاور کی اونچائی 6میٹرہے ۔
9.3خلاصہ
اس باب میں آپ نے مندرجہ ذیل باتیں سیکھیں :
1۔(i) خط بصیرت وہ خط ہے جو مشاہد کی آنکھ سے اس کے ذریعے دیکھے جانے والی شی ٔ کے درمیان کھینچا جاتا ہے۔
(ii) زاویہ ارتفاع کسی شے کا جس کو دیکھنا ہے وہ زاویہ ہے جو خط بصیرت افقی خط کے ساتھ بناتا ہے جب یہ افقی لیول کے اوپر کی طرف ہوتا ہے یعنی اسے جب ہم کسی چیز کو دیکھنے کے لئے اپنے سر کو اوپر کی طرف اٹھاتے ہیں ۔
(iii) کشی شے کا زاویہ جھکاؤ ،جس کودیکھنا ہے ،وہ زاویہ ہے جو خط بصیرت افقی خط کے ساتھ بناتا ہے جب یہ افقی لیول کے نیچے کی طرف بڑھتا ہے یعنی اس حالت میں کسی شے کو دیکھنے کے لئے ہم اپنے سر کو جھکاتے ہیں ۔
2۔ کسی شے کی اونچائی اور لمبائی یا وہ بہت دوری پر موجود اشیاء کے درمیان فاصلوں کو ٹرگنو میٹرک نسبتوں کی مدد سے معلوم کیا جا سکتا ہے ۔