10
دائرے
(CIRCLES)
10.1تعارف
نویں کلاس میں آپ پڑھ چکے ہیں کہ دائرہ مستوی میں ایسے نقاط کا مجموعہ ہے جو ایک متعین نقطہ(مرکز) سے مستقل فاصلہ (نصف قطر) پر واقع ہو ں۔ آپ نے بہت سے ارکان جو دائرہ سے متعلق ہیں ۔ان کے بارے میں بھی پڑھا ہے جسے دائرہ کا وتر ،قطع اورسیکٹر وغیرہ ۔آئیے ایسی مختلف صورت حال پر غور کرتے ہیں جو جب پیدا ہوتی ہیں جب مستوی میں ایک دائرہ اور ایک خط دیا ہوا ہو ۔
اس لئے آئیے ایک دائرہ اور ایک خط PQپر غور کرتے ہیں ۔شکل10.1جو ذیل میں دی گئی ہے ،میں تین باتیں ممکن ہیں۔
شکل 10.1
شکل10.1میں خطPQاور دائرہ میں کوئی نقطہ مشترک نہیں ہے ۔اس حالت میں PQدائرہ کے تعلق سے غیر قاطع خط کہلاتا ہے ۔شکل10.1 (ii)میں خط PQاور دائرہ میں دو مشترک نقطہ AاورBہیں ۔اس حالت میں ہم خط PQکو دائرہ کا قاطع (Sceant)کہتے ہیں ۔شکل10.11 (iii)میں صرف ایک نقطہ Aہے جو خط اور دائرہ میں مشترک ہے۔ اس حالت میں خط دائرہ کا مماس (tangent)کہلاتا ہے۔
آپ نے کنویں کے اوپر لگی ہوئی ایک پلی ضرور دیکھی ہوگی جس کا استعمال ہم کنویں سے پانی نکالنے میں کرتے ہیں شکل10.2کو دیکھئے ۔یہاں رسی جو پلی کے دونوں طرف ہوتی ہے ،کو ایک شعاع مانا جائے تو یہ دائرہ کے مماس کی طرح ہے اگر پلی دائرہ کو ظاہر کرتی ہے ۔
شکل10.2
کیا دائرہ کے تعلق سے خط کا ،اوپر دئے گئے مقاموں کے علاوہ بھی کوئی مقام ہو سکتا ہے ؟ آپ دیکھ سکتے ہیں کے دائرہ مناسبت سے خط کوئی بھی مقام نہیں ہو سکتا ہے ۔اس باب میں ہم مماس کے وجود اور اس کی کچھ خصوصیات کا مطالعہ کریں گے ۔
10.2دائرہ کا مماس
پچھلے سیکشن میں آپ دیکھ چکے ہیں کہ دائرے کامماس وہ خط ہے جو دائرہ کو صرف ایک نقطہ پر قطع (یا چھوتا ہے ) کرتا ہے۔ دائرہ کے کئی نقطہ پر مماس کو سمجھنے کے لئے آئیے کچھ سرگرمیاں کرتے ہیں ۔
شکل10.3
سرگرمی 1: ایک دائرہ کی شکل کا تار لیجئے اورا سکے ایک نقطہ Pپر ایک سیدھا تار ABاس طرح جوڑیں کہ یہ مستوی میں نقطہ Pکے ارد گرد گردش کرے ۔اس پورے سسٹم کو آہستہ سے میز پر رکھیں اور تارABکوPکے اردگرد گھمائیں ۔اس طرح سے ہمیں سیدھے تار ABکے مختلف مقام حاصل ہوں گے (شکل10.3 (i)دیکھئے)
مختلف حالتوںمیں تار دائری تار کو Pاوردوسرے نقاط
یا
وغیرہ پر قطع کرتا ہے ۔ان میں سے ایک حالت آپ دیکھیں گے کہ یہ دائرہ کو صرف ایک جگہ قطع کرتا ہے یعنی Pپر ('A'Bکی Aحالت دیکھئے)۔ اس سے پتہ چلتا ہے کہ دائرہ کے ایک نقطہ Pپر مماس کا وجود ہے اس کو مزید گھمانے پر آپ یہ مشاہدہ کریں گے کہ تمام حالتوں میں ABدائرہ کو Pکے علاوہ اور دوسرے نقطوں پر بھی قطع کرتا ہے جیسے
وغیرہ ۔
یاوغیرہ پر قطع کرتا ہے ۔ان میں سے ایک حالت آپ دیکھیں گے کہ یہ دائرہ کو صرف ایک جگہ قطع کرتا ہے یعنی Pپر ('A'Bکی Aحالت دیکھئے)۔ اس سے پتہ چلتا ہے کہ دائرہ کے ایک نقطہ Pپر مماس کا وجود ہے اس کو مزید گھمانے پر آپ یہ مشاہدہ کریں گے کہ تمام حالتوں میں ABدائرہ کو Pکے علاوہ اور دوسرے نقطوں پر بھی قطع کرتا ہے جیسےوغیرہ ۔ اس لئے آپ مشاہدہ کر سکتے ہیں کہ دائرہ کے ایک نقطہ پر ایک ہی مماس ہوتا ہے ۔
مندرجہ بالا مشغلہ کرتے وقت آپ نے یہ مشاہدہ کیا ہوگا جیسے جیسے AB،AB'کی طرف حرکت ہے ۔خط اور دائرہ کا مشترک نقطہ
آہستہ آہستہ مشترک نقطہ Pکے قریب تر ہوتا جاتا ہے اور آخر میں یہPپرمنطبق ہو جاتا ہے ۔مزید نوٹ کیجئے کہ کیا ہوگا اگر ABکو Pکے گرد دائیں طرف گھمایا جائے؟ مشترک نقطہ
آہستہ آہستہ Pکے قریب ہوتا رہتاہے اور آخر میں Pپر منطبق ہوجاتا ہے ،اس لئے ہم کیا دیکھتے ہیں ۔
آہستہ آہستہ مشترک نقطہ Pکے قریب تر ہوتا جاتا ہے اور آخر میں یہPپرمنطبق ہو جاتا ہے ۔مزید نوٹ کیجئے کہ کیا ہوگا اگر ABکو Pکے گرد دائیں طرف گھمایا جائے؟ مشترک نقطہآہستہ آہستہ Pکے قریب ہوتا رہتاہے اور آخر میں Pپر منطبق ہوجاتا ہے ،اس لئے ہم کیا دیکھتے ہیں ۔دائرہ کا مماس دائرہ کے قاطع کی ایک مخصوص شکل ہے جب اس کے نظیری وتر کے دوسرے کے نقطے منطبق ہو جاتے ہیں ۔
شکل10.3
اس مشغلہ سے بھی یہی پتہ چلتا ہے کے مماس وہ قاطع ہے جب اس کے نظیری وتر کے دوسرے کے نقطے منطبق ہوجائیں جیسا کہ پہلے مشغلہ میں ہوا تھا ۔
دائرہ اور مماس کا مشترک نقطہ مماس کہلاتا ہے (شکل10.1 (iii)میں نقطہA) اور مماس دائرہ کو اس مشترک نقطہ پر چھوتا ہے ۔
*لفظ tangentایک لاطینی لفظtangerسے اخذ کیا گیا ہے جس کا مطلب ہوتا ہے چھونا اور جس کا تعارف ایک ڈنیش ریاضی داں Thomas Finekeنے 1583میں دیا ۔
اب اپنے ارد گرد نواح میں دیکھئے ۔کیا آپ نے ایک سائیکل اور بیل گاڑی کے پہیہ کو گھومتے ہوئے دیکھا ہے اب آپ اس پہیہ کو دیکھئے جب یہ زمین پر حرکت کرتا ہے ۔کیا آپ کو کہیں کو ئی مماس نظر آتا ہے ؟ (شکل10.4 دیکھئے ) در حقیقت پہیہ ایک خط کے ہمراہ حرکت کرتا ہے جو کے اس دائرہ کا مماس جس کو پہیہ ظاہر کرتاہے ۔یہ بھی نوٹ کیجئے کے تمام حالتوں میں نصف قطر گرائونڈ کے نقطہ ِمماس پر (tangent)مماس پر عمود ہوتا ہے۔ اب ہم مماس کی اس خصوصیت کو ثابت کریں گے ۔
شکل10.4
مسئلہ10.1:دائرہ کا نصف قطر اس کے مماس کے نقطہ مماس پر عمود ہوتا ہے ۔
شکل10.5
ثبوت:
شکل10.5
ہمیں Oمرکز کا ایک دائرہ اور اس کے نقطہ Pپر ایک مماس XYدیا ہوا ہے ۔ہمیں یہ ثابت کرنا ہے کہ OP،XYپر عمود ہے ۔
XYپرPکے علاوہ کوئی نقطہQلیجئے اورOQکو ملا دیجئے (شکل10.5دیکھئے)
نقطہQدائرہ کے باہر میں ہونا چاہیے (کیوں؟) نوٹ کیجئے کہ اگرQدائرہ کے اندر ہوگا توXYایک قاطع بن جائے گا دائرہ کا مماس نہیں رہے گا ۔اس لئے OR، نصف قطر OPسے بڑا ہے ،
OQ > OP
کیونکہ یہXYپر موجود ہر ایک نقطہ سوائے P ،کے لئے درست ہے ۔اس لئے OP،Oسے XYپر کھینچے جانے والے تمام قطع میں سب سے چھوٹا ہے ۔اس لئے OP،XYپر عمود ہے (جیسا مسئلہ A1.7میں دکھایا گیا ہے )
ریمارک:1۔ مذکورہ بالا مسئلہ سے آپ یہ نتیجہ بھی اخذ کر سکتے ہیں کہ دائرہ کے کسی نقطہ پر صرف اور صرف ایک ہی خطِ مماس ہوتا ہے ۔
2۔نقطہ مماس سے گذرتا ہو اخط جس میں نصف قطر شامل ہوتا ہے ،کبھی کبھی دائرہ کا اس نقطہ پرNormal ’عماد‘ بھی کہلاتا ہے ۔
مشق10.1
1۔ ایک دائرہ کے کتنے مماس ہوتے ہیں ؟
2۔ خالی جگہوں کو پُر کیجئے ۔
(i) دائرہ کا مماس دائرہ کو ––––––––نقطہ پر قطع کرتا ہے ۔
(ii) ایک خط جو دائرہ کو دو نقطوں پر قطع کرتا ہے ––––––––کہلاتا ہے ۔
(iii) ایک دائرہ میں زیادہ سے زیادہ ––––––––متوازی مماس ہو سکتے ہیں ۔
(iv) دائرہ کے مماس اور دائرہ کا مشترک نقطہ ––––––––کہلاتا ہے ۔
3۔ 5سینٹی میٹرنصف قطر والے دائرہ کے نقطہPپر مماس PQ،مرکزOسے گذرتے ہوئے ایک خط سے نقطہPپر ملتا ہے جبکہ 12سینٹی میٹرOQ = ،PQکی لمبائی ہے ۔
4۔ ایک دائرہ اور دوخطوط بنائیے جو ایک دئے ہوئے خظ کے متوازی ہوں جن میں ایک مماس اور دوسرا دائرہ کا قاطع ہو۔
10.3دائرہ پر ایک نقطہ سے مماسوں کی تعداد
دائرہ کے ایک نقطہ سے کھینچے جانے والے مماسوں کی تعداد کے بارے میں جاننے کے لئے آئیے مندرجہ ذیل عملی کام کرتے ہیں ۔
سرگرمی 3:
پیپر پر ایک دائرہ بنائیے ۔اس کے اندرون میں ایک نقطہ Pلیجئے ۔کیا آپ اس نقطہ سے دائرہ کا مماس کھینچ سکتے ہیں ؟ آپ دیکھیں گے کہ اس نقطے سے گذرنے والا ہر خط دائرہ کو دو نقطوں پر قطع کرے گا۔ اس لئے یہ ممکن نہیں کہ دائرہ کے اندرون میں کسی نقطہ سے دائرہ پر مماس کھینچا جاسکے ۔[شکل10.6(i)]
آگے اب دائرہ پر ایک نقطہ لیجئے ۔آپ پہلے ہی مشاہد کر چکے ہیں کہ ایسے نقطہ سے صرف اور صرف ایک مماس دائرہ پر کھینچا جاسکتا ہے [شکل10.6(ii)دیکھئے]
شکل 10.6
اور آخر میں دائرہ کے باہر ایک نقطہ Pلیجئے اور یہاں سے دائرہ پر مماس بنائیے آپ مشاہدہ کریں گے کہ دائرہ پر صرف دو مماس کھینچے جا سکتے ہیں [شکل10.6(iii)دیکھئے )
شکل 10.6
ان حقیقتوں کا خلاصہ ہم ذیل میں کرتے ہیں ۔
حالت 1:دائرہ کے اندر موجود کسی نقطہ سے دائرہ پر کوئی مماس نہیں کھینچا جاسکتا ہے۔
حالت2:دائرہ پر موجود کسی نقطہ سے ایک اور صرف ایک مماس کھینچا جا سکتا ہے ۔
حالت3:دائرہ کے باہر کسی نقطہ سے دائرہ پر 2اورصرف 2مماس کھینچے جا سکتے ہیں ۔
شکل10.6(iii)میں
اور
مماس
اور
کے باالترتیب نقطہ مماس ہیں ۔
اورمماساورکے باالترتیب نقطہ مماس ہیں ۔دائرہ کے کسی باہری نقطہ Pسے مماس کی لمبائی ،نقطہPسے نقطہ مماس کے فاصلہ کو مماس کی لمبائی کہتے ہیں ۔
نوٹ کیجئے کہ شکل10.6(iii)اوردائرہ پر نقطہ Pسے کھینچے گئے مماسوں کی لمبائی ہے ۔لمبائیوںاورکی ایک مشترک خصوصیت ہے ۔کیا آپ اس کو معلوم کر سکتے ہیں ؟اورکی پیمائش کیجئے ،کیا یہ مساوی ہیں؟ در حقیقت یہ ہمیشہ برابر ہوتی ہیں ۔آئیے اس حقیقت کا ثبوت ہم مندرجہ ذیل مسئلہ میں دیتے ہیں ۔
اوردائرہ پر نقطہ Pسے کھینچے گئے مماسوں کی لمبائی ہے ۔لمبائیوںاورکی ایک مشترک خصوصیت ہے ۔کیا آپ اس کو معلوم کر سکتے ہیں ؟اورکی پیمائش کیجئے ،کیا یہ مساوی ہیں؟ در حقیقت یہ ہمیشہ برابر ہوتی ہیں ۔آئیے اس حقیقت کا ثبوت ہم مندرجہ ذیل مسئلہ میں دیتے ہیں ۔
شکل10.7
مسئلہ10.2:دائرہ کے کسی باہری نقطہ سے کھینچے جانے والے مماسوں کی لمبائیاں برابر ہوتی ہیں ۔
ثبوت:ہمیں مرکزOکا ایک دائرہ دیا ہوا ہے ۔نقطہPدائرہ کے باہر ہے اورPسے دائرہ پر دو مماس PQاورPRہیں ۔ (شکل10.7دیکھئے ) ہمیں ثابت کرنا ہے کہ PQ = PR
اس کے لئے ہم OQ،OPاورORکو ملاتے ہیں تب
قائم مثلث ہیں کیونکہ یہ نصف قطر اور مماسوں کے درمیان کے زاویہ ہیں ،اور مسئلہ 10.1کی رو سے یہ قائمہ زاویہ ہیں اب قائم مثلثوں OQPاورORPمیں
قائم مثلث ہیں کیونکہ یہ نصف قطر اور مماسوں کے درمیان کے زاویہ ہیں ،اور مسئلہ 10.1کی رو سے یہ قائمہ زاویہ ہیں اب قائم مثلثوں OQPاورORPمیں OQ = OR (ایک ہی دائرہ کے نصف قطر)
OP = OP (مشترک)
ریمارک:
1۔اس مسئلہ کو ہم فیثا غورث کے مسئلہ کا استعمال کر کے بھی ثابت کر سکتے ہیں ،جو مندرجہ ذیل میں دیا گیا ہے ۔
درمیان بنے زاویہ کے ناصف پر واقع ہے ۔
آئیے کچھ مثالوں پر غور کرتے ہیں۔
مثال1:دوہم مرکز دائروں میں ثابت کیجئے کہ بڑے دائرہ کا وتر جو چھوٹے دائرہ کو ایک نقطہ پر چھوتا ہے اس نقطہ پر اس کی تنصیف ہوتی ہے ۔
حل:
شکل 10.8
ہمیں دو ہم مرکزی زاویہ دئے ہوئے ہیں جو
اور
ہیں اور جن کا مرکز Oہے بڑے دائرہ کا وتر ABجو چھوٹے دائرہ کو نقطہ Pپر چھوتا ہے (شکل10.8دیکھئے) ہمیں ثابت کرنا ہے کہ AP = BP۔آئیے OPکو ملائیں تب AB,کے نقطہPپر مماس ہے اورOPاس کا نصف قطر اس لئے مسئلہ10.1کی روسے
اورہیں اور جن کا مرکز Oہے بڑے دائرہ کا وتر ABجو چھوٹے دائرہ کو نقطہ Pپر چھوتا ہے (شکل10.8دیکھئے) ہمیں ثابت کرنا ہے کہ AP = BP۔آئیے OPکو ملائیں تب AB,کے نقطہPپر مماس ہے اورOPاس کا نصف قطر اس لئے مسئلہ10.1کی روسے OP 
AB
ABاب ABدائرہکا وتر ہے اورOPAB،اس لئے OP،وتر ABکا ناصف ہے ،کیونکہ دائرہ کے مرکز سے وتر پر ڈالا جانے والا عمود وتر کی تنصیف کرتا ہے ۔
کا وتر ہے اورOPAB،اس لئے OP،وتر ABکا ناصف ہے ،کیونکہ دائرہ کے مرکز سے وتر پر ڈالا جانے والا عمود وتر کی تنصیف کرتا ہے ۔یعنی AP = BP
مثال2:ایک باہری نقطہ Tسے مرکز Oوالے ایک دائرہ پر دو مماس TPاورTQکھینچے گئے ثابت کیجئے کہ
۔
۔حل:ہمیں ایک دائرہ دیا ہوا ہے جس کا مرکز Oہے ایک باہری نقطہTاوردائرہ پر اس نقطے سے کھینچے گئے دومماس TPاورTQجہاں PاورQنقطہ مماس ہیں (شکل10.9دیکھئے)
شکل10.9
مان لیجیے 
اب مسئلہ10.2کے مطابقTP=TQ
اس لیےTPQایک مساوی الساقین مثلث ہے۔
اس لیے 
مزید مسئلہ10.1کی رو سے 
اس لیے 
اس سے ہمیں ملتا ہے۔
مثال3:5سینٹی میٹرنصف قطر والے ایک دائرہ کے ایک وتر PQکی لمبائی 8cmہے PاورQپر بنے مماس نقطہ Tپر قطع کرتے ہیں۔ (شکل10.10دیکھئے) TPکی لمبائی معلوم کیجئے ۔
شکل10.10
حل:
OTکو ملائیے ۔مان لیجئے یہPQکو نقطہRپر قطع کرتا ہے تب
مساوی الساقین ہے اورTQ،زاویہ
کا ناصف ہے۔ اس لئے OTPQاوراس لئے OT،PQکی تنصیف کرے گا جس سے 4سینٹی میٹر = PR = RQ حاصل ہوگا ۔
مساوی الساقین ہے اورTQ،زاویہکا ناصف ہے۔ اس لئے OTPQاوراس لئے OT،PQکی تنصیف کرے گا جس سے 4سینٹی میٹر = PR = RQ حاصل ہوگا ۔
اس لیے قائم مثلثTRPمثلثPRO کے مشابہ ہیں، مشابہت کیAAشرط کے مطابق۔
اس سے ہمیں ملتا ہے۔
نوٹ:TPکو ہم فیثا غورث کے مسئلہ کو استعمال کر کے بھی معلوم کر سکتے ہیں، جو ذیل میں ہیں ۔
مان لیجئے TP = xاورTR = yتب
مشق10.2
سوال نمبر1سے3میں صحیح جواب چنئے اور جواز پیش کیجئے ۔
1۔ ایک نقطہQسے،دائرہ کے مماس کی لمبائی 24سینٹی میٹرہے ۔اور مرکز سےQکا فاصلہ 25سینٹی میٹرہے دائرہ کا نصف قطرہے ۔
2۔ شکل10.11میں اگر TPاورTQدائرہ جس مرکزOہے ،کے جزومماس ہیں ،جب کہ = 110º 
برابر ہے ۔
برابر ہے ۔(A) 60° (B) 70°
(C) 80° (D) 90°
شکل10.11
3۔ اگر ایک نقطہ Pسے دائرہ جس کا مرکز Oہے ،پر دو مماس PAاورPBاس طرح ہیں کہ ایک دوسرے کے ساتھ80ºکا زاویہ بناتے ہیں تب
برابر ہے
برابر ہے (A) 50° (B) 60°
(C) 70° (D) 80°
4۔ ثابت کیجئے کہ دائرہ کے قطر کے سرے کے نقطوں پر بنے دو مماس متوازی ہیں ۔
5۔ ثابت کیجئے کہ دائرہ کے مماس کے نقطہ مماس پر ڈالا جانے والا عمود مرکز سے گذرتا ہے ۔
6۔ دائرہ کے مرکز سے 5سینٹی میٹرفاصلہ پر موجود نقطہAسے مماس کی لمبائی 4سینٹی میٹرہے ۔دائرہ کا نصف قطرمعلوم کیجئے۔
7۔ دوہم مرکزی دائرہ ہیں جن کے نصف قطر 5سینٹی میٹراور3سینٹی میٹرہیں بڑے دائرہ کے وتر کی لمبائی معلوم کیجئے جو چھوٹے دائرہ کو چھوتا ہے ۔
8۔ ایک چار ضلعی ABCDاس طرح بنایا گیاہے کہ اس کا ہر ضلع اس کے اندر موجود دائرہ کو چھو کر گذرتا ہے (شکل10.12 دیکھئے) ثابت کیجئے کہ AB + CD = AD + BC
9۔ شکل10.13میں XYاورX'Y'،مرکز Oوالے ایک دائرہ کے دو متوازی مماس ہیں ایک دوسرا مماس ABجس کا نقطہ مماس ہے XYکوAپر اورX'Y'کو Bپر قطع کرتا ہے ۔ثابت کیجئے کہ AOB = 90°
10۔ ثابت کیجئے کہ دائرہ کے باہری نقطہ سے اس پر کھینچے جانے والے مماسوں کے درمیان بنا زاویہ اور ان کے نقطہ مماس کو مرکز سے ملانے والے قطع خط کے ذریعے مرکز پر بنے زاویے تمتی(supplementary)ہیں۔
11۔ ثابت کیجئے کہ متوازی الاضلاع جس کے اندر ایک دائرہ اس طرح ہے کہ اس کا ہر ضلع اس کو چھو کر گذرتا ہے ،متعین ہے ۔
12۔ 4سینٹی میٹرنصف قطر کا ایک داخلی دائرہ جو ایک DABCکے اندر اس طرح ہے کہ قطعات خط BDاورDCجو نقطہ مماسDکے ذریعے BCپر اس طرح بنے ہیں کہ ان کی لمبائیاں باا لترتیب 8 سینٹی میٹراور6سینٹی میٹرہیں (شکل10.14دیکھئے) اضلاع AB اور AC معلوم کیجئے ۔
شکل10.14
13۔ ثابت کیجئے کہ ایک چار ضلعی کے مقابل اضلاع ،اس کے اندر موجوددائرہ کے مرکز پر تمتی زاویہ بناتے ہیں ۔
10.4خلاصہ
اس باب میں آپ نے مندرجہ ذیل باتیں سیکھیں ۔
1۔ دائرہ کے مماس کے معنی اور مفہوم
2۔ دائرہ کا نصف قطر دائرہ کے مماس کے نقطہ مماس پر عمود ہوتا ہے ۔
3۔ دائرہ کے باہری نقطے سے اس پر کھینچے گئے مماسوں کی لمبائیاں برابر ہوتی ہیں ۔