11
عمل بناوٹ (تشکیل)
Construction
11.1تعارف)
نویں کلاس میں آپ نے پرکار اورفٹے یا پیمانے کی مدد سے کچھ جیومیٹری کی شکلیں بنائی ہیں۔ مثال کے طور پر، زاویہ کی تنصیف ، ایک قطع خط کا عمودی ناصف ، اور کچھ مثلثوں کی شکلیں وغیرہ اور ان کا جواز بھی پیش کیاہے۔ اس باب میں سابقہ کئے گئے کام کے علم کی مدد سے کچھ اور تشکیلات کا مطالعہ کریں گے۔ آپ سے یہ بھی توقع کی جاتی ہے کہ آپ ان تمام تشکیلات کے سلسلہ میں ریاضیاتی استدلال بھی پیش کریں۔
11.2ایک قطعہ خط کی تقسیم
مان لیجئے آپ کو ایک خط دیا ہوا ہے اور آپ کو اسے دی ہوئی نسبت مان لیجئے۔ 3:2میں تقسیم کرنا ہے۔ آپ اس کو آسانی سے اس طرح کرسکتے ہیں کہ اس دئے ہو قطع خط کی پیمائش کریں اور اس پر ایک نقطہ ایسا لگائیں کہ وہ اس قطعہ خط کو دی ہوئی نسبت میں تقسیم کرتا ہو ۔فرض کیجئے آپ کے آس پاس اس کی پیمائش کا کوئی آلہ یا طریقہ نہیں ہے ۔ تو پھر آپ وہ نقطہ کس طرح معلوم کریں گے؟ ہم مندرجہ ذیل میں ایسے دو طریقے بیان کرتے ہیں ۔
تشکیل 11.1 : دئے ہوئے قطع خط کو دی ہوئی نسبت میں تقسیم کرنا ۔
ایک قطع خط ABدیا ہوا ہے ہم اس کو m:nکی نسبت میں تقسیم کرنا چاہتے ہیں جہاں دونوں mاور nمثبت صحیح اعداد ہیں۔ اس کو سمجھنے میں اس کی مدد کرنے کے لئے ہم m=3اورn=2لیتے ہیں۔
تشکیل کے اقدام
1. ایک شعاعAXاس طرح بنائیے کہ وہ ABکے ساتھ ایک حادہ زاویہ بنائیے
شکل :11.1
کے برابر زاویہ بناتے ہوئے)A³(پر کھینچیں جو ABکو نقطہ Cپرقطع کرے (شکل 11.1دیکھئے)
ٍ تب AC : CB = 3 : 2
آئیے دیکھتے ہیں کہ کیا یہ طریقہ مطلوبہ تقسیم دیتا ہے،
(متناسبت کا بنیاد ی مسئلہ)
اس سے پتہ چلتا ہے کہ AB,Cکو 3:2کی نسبت میں تقسیم کرتا ہے
شکل11.2
متبادل طریقہ :
تشکیل کے اقدامات:
1. ABسے حادہ زاویہ بناتی ہوئی ایک شعاع AXکھینچئے :
2. AXکے متوازی ایک شعاع BYاس طرح کھینچئے کہ ABY
کے برابر ہو BAXہو۔
کے برابر ہو BAXہو۔
4. 
کو ملائیے، مان لیجئے یہ ABکو نقطہ Cپر قطع کرتا ہے (شکل 11.2دیکھئے)
کو ملائیے، مان لیجئے یہ ABکو نقطہ Cپر قطع کرتا ہے (شکل 11.2دیکھئے)تب AC : CB = 3 : 2۔یہ طریقہ کیوں کام کرتا ہے ؟ آئیے دیکھتے ہیں
در حقیقت مذکورہ بالا طریقہ دئے ہوئے خط کو کسی بھی نسبت میں تقسیم کرنے کے لئے کارگر ہے۔
اب ہم مذکورہ بالا تشکیل کہ طریقہ کو ایک مثلث جس کے اضلا ع دوسرے مثلث کے نظیری اضلاع کی دی ہوئی نسبت میں ہوں دوسرے مثلث کو مشابہ بنانے میں استعمال کریں گے۔
تشکیل 11.2 :دئے ہوئے Scale factorپر ایک مثلث کے مشابہ مثلث بنانا۔
اس تشکیل میں دو مختلف صورت حال ہیں۔ ایک میں بنایا جانے والا مثلث دئے ہوئے مثلث سے چھوٹا ہو۔ اوردوسری صورت حال میں پڑا ہو۔ یہاں Scale factorکا مطلب ہے بنائے جانے والے مثلث کے اضلاع کی دئے ہوئے مثلث کی نظیری اضلاع کی نسبت کو باب 6دیکھئے) ۔ آئیے اس تشکیل کو سمجھنے کے لئے مندرجہ ذیل مثالیں لیتے ہیں۔ یہی طریقہ عمومی حالت میں بھی استعمال ہوگا۔
مثال 1:ABCدیا ہوا ہے۔ ہمیں ایک ایسا مثلث ABCبنانا ہے جب کہ اس کے اضلاع مثلث ABCکے نظیری اضلاع کا 
ہوں (یعنیScale factorہے)
حل :ہوں (یعنیScale factorہے)
دیا ہوا ہے۔ ہمیں ایک ایسا مثلث بنا نا ہے جس اضلاع مثلث ABCکے نظیری اضلا ع کا ہوں۔
تشکیل کے اقدامات
1. ضلع BCسے حارہ زاویہ راس Aکی دوسری جانب بناتے ہوئے ایک شعاع BXکھینچئے۔
سے ایک خط
کے متوازی کھینچیں جوBCکو 'C پر قطع کرے۔
کے متوازی کھینچیں جوBCکو 'C پر قطع کرے۔4. 'Cسے CAکے متوازی خط کھینچیں جو BAکو A'پر قطع کرے (شکل 11.3دیکھئے)
پس
'مطلوبہ مثلث ہے۔
'مطلوبہ مثلث ہے۔آئیے دیکھتے ہیں کہ یہ تشکیل کس طرح سے مطلوبہ مثلث دیتی ہے۔
مثال 2:ایک مثلث دئے ہوئے مثلث کے مشابہ بنائیے جس کے اضلاع مثلث ABCکے نظیری اضلاع کا (یعنی اسکیل فیکٹر کا 
)
)
حل :
دیا ہوا ہے ایک اپنا مثلث بنا نا ہے جس کے اضلاع مثلث ABCکے نظیری اضلاع کا ، ہوں۔
دیا ہوا ہے ایک اپنا مثلث بنا نا ہے جس کے اضلاع مثلث ABCکے نظیری اضلاع کا ، ہوں۔تشکیل کے اقدام
1. ضلع BCسے حادہ زاویہ راس Aکی دوسری جانب بناتے ہوئے ایک شعاع BXکھینچئے۔
3 .B³ (تیسرا نقطہ،جو:5اور3میںجو چھوٹا ہو)کوC سے ملائیےB³ سے B³Cکے متوازی کھینچیں جو قطع خط BC کو پڑھانے پر،'C پر قطع کرے۔
4. C'سے CAکے متوازی ایک خط کھینچیں جو BAکو بڑھانے پر، 'Aپر قطع کرے شکل 11.4دیکھئے
پس'مطلوبہ مثلث ہے
'مطلوبہ مثلث ہےتشکیل کے جواز کے لئے نوٹ کیجئے کہ'ΔABC-ΔA'BC'کیوں؟)
.شکل :11.4
ریمارک :مثال 1اور 2میں آپ ABیا ACسے حارہ زاویہ بناتی ہوئی ایک شعاع لے سکتے ہیں اور اسی طرح آگے بڑھ سکتے ہیں۔
مشق11.1
مندرجہ ذیل ہر ایک میں تشکیل کا جواز بھی پیش کیجئے۔
1. 7.5سینٹی میٹرلمبائی کا ایک قطع خط کھینچئے اوراس کو 5:8کی نسبت میں تقسیم کیجئے ۔ دونوں حصوں کی پیمائیش بھی کیجئے۔
2. ایک مثلث بنائیے جس کے اضلاع کی لمبائیاں4سینٹی میٹر، 5سینٹی میٹراور 6سینٹی میٹرہوں اور پھر اس کے مشابہ ایک مثلث بنائیے جس کے اضلاع پہلے مثلث کی نظیری اضلاع کا 
ہوں۔
ہوں۔3. ایک مثلث بنائیے جس کے اضلاع کی لمبائیاں بالترتیب 5سینٹی میٹر 6,سینٹی میٹراور 7سینٹی میٹرہوں اور پھر اس کے مشابہ دوسرا مثلث بنائے جسے اضلاع پہلے مثلث کے نظیری اضلاع کا 
ہوں۔
ہوں۔4. ایک مساوی الساقین مثلث بنائیے جس کا قاعدہ 8سینٹی میٹراورارتفاع 4 سینٹی میٹرہو اور پھر اس کے مشابہ ایک دوسرا مثلث بنائے جس کے اضلاع پہلے مثلث کے نظیری اضلاع کا 
ہوں۔
ہوں۔5. مثلث ABCبنائیے جس میں ضلع 5سینٹی میٹر
سینٹی میٹرBC= اور ABC=60°پھر اس کے مشابہ ایک دوسرا مثلث بنائیے جس کے اضلاع ΔABCکے نظیری اضلاع کا ہوں۔
سینٹی میٹرBC= اور ABC=60°پھر اس کے مشابہ ایک دوسرا مثلث بنائیے جس کے اضلاع ΔABCکے نظیری اضلاع کا ہوں۔6. مثلث ABCبنائیے جس میںB=45°,A=105° اورضلع 7سینٹی میٹر=BCپھر ایک دوسرا مثلث بنائیے جس کے اضلاع کے نظیری اضلاعΔABCکا گنا ہوں۔
A=105° اورضلع 7سینٹی میٹر=BCپھر ایک دوسرا مثلث بنائیے جس کے اضلاع کے نظیری اضلاعΔABCکا گنا ہوں۔7. ایک قائم مثلث بنائیے جس میں اضلاع(وتر کے علاوہ) بالترتیب سینٹی میٹر 4اور3سینٹی میٹرلمبے ہیں۔ اور پھر ایک دوسرا مثلث بنائیے۔ جس کے اضلاع دئے ہوئے مثلث کے نظیری اضلاع کے 
گنا ہو۔
گنا ہو۔11.3دائرہ کے مماسوں کی تشکیل
آپ پچھلے باب میں مطالعہ کر چکے ہیں کہ اگر ایک نقطہ دائرہ کے اندر ہو تو اس سے دائرہ پر کوئی مماس نہیں کھینچا جا سکتا ۔ لیکن اگر کوئی نقطہ دائرہ پر واقع ہو تو اس نقطہ پر ایک اور صرف ایک ہی مماس کھینچا جا سکتا ہے جو اس نقطہ سے گذرنے والے نصف قطر پر عمود ہوگا۔ اس لئے اگر آپ کو دائرہ کے کسی نقطہ پر مماس بنانا ہے تو آپ اس نقطہ سے نصف قطر بنائیے اور اس نقطے سے گذرنا ہوا نصف قطر پر عمود کھینچئے۔ تب یہی مطلوبہ مماس ہوگا۔
یہ بھی دیکھ چکے ہیں کہ اگر نقطہ دائرہ کے باہر ہو تو اس نقطہ سے دائرہ پر دو مماس کھینچے جا سکتے ہیں۔
اب دیکھیں گے کہ ایسے مماس کس طرح کھینچے جا سکتے ہیں۔
تشکیل 11.3:دائرہ کے باہر دئے گئے ایک نقطہ سے دائرہ پر عمود کھینچئے۔
ہمیں مرکزOکا ایک دائرہ دیا ہوا ہے اور ایک نقطہ Pجو اس کے باہر ہے۔ ہم Pسے دائرہ پر دو عمود بناتے ہیں۔
تشکیل کے اقدام
- POکو ملائیے اور اس کی تنصیف کیجیے۔ مان لیجئے PO,Mکا وسطی نقطہ ہے ۔
- Mکو مرکز مان کر اور MOنصف قطر لے کر ایک دائرہ بنائیے : مان لیجئے یہ دئے ہوئے دائرہ کو Qاور Rپر قطع کرتا ہے ۔
- PQاور PRکو ملائیے۔
پس PQاور PRدو مطلوبہ مماس ہیں۔ (شکل 11.5دیکھئے)
شکل :11.5
اس لئے اب دیکھتے ہیں کہ یہ تشکیل کس طرح کام کرتی ہے ۔
OQکو ملائیے تب PQO ، نصف دائرہ میں ایک زاویہ ہے۔
، نصف دائرہ میں ایک زاویہ ہے۔PQO=90°
کیا کہہ سکتے ہیں کہ PQ
OQ؟
OQ؟کیونکہ OQہوئے دائرہ کا نصف قطر ہے، PQکو دائرہ کا مماس ہونا چاہیے۔ اسی طرح سے PRبھی دائرہ مماس کیا ہے ۔
نوٹ : اگر دائرہ کا مرکز نہیں دیا ہواہو۔ تو پھر آپ پہلے اس کا مرکز معلوم کیجئے۔ اس کے لئے اب پہلے غیر متوازی وتر لیجئے اور ان کے عمودی ناصفوں کا نقطہ تقاطع معلوم کیجئے۔ اور پھر اسی طرح آگے بڑھئے جیسے اوپر دیا گیا ہے۔
مشق 11.2
مندرجہ ذیل میں اورایک تشکیل کا جواز بھی پیش کیجئے۔
- 6سینٹی میٹرنصف قطرکا ایک دائرہ بنائیے۔اس کے مرکز سے 10سینٹی میٹردور ایک نقطہ سے دائرہ کے مماسوں کا جوڑا بنائیے اور ان کی لمبائیوں کو ناپئے۔
- 4سینٹی میٹرنصف قطر والے ایک دائرہ پر اس کے ہم مرکز ایک دائرہ جس کا نصف قطر 6سینٹی میٹرہے۔ کے نقطہ سے مماس کھینچئے اور اس کی لمبائی کی پیمائش کیجئے۔
- 3
سینٹی میٹرنصف قطر کا ایک دائرہ بنائیے۔ اس کے ایک بڑھے ہوئے قطر پر دو نقطے Pاور Qلیجئے جو اس کے مرکز سے 7سینٹی میٹرکے فاصلہ پر ہیں۔ - 5سینٹی میٹرنصف قطر والے ایک دائرہ پر مماس کے جوڑے بناتے جن کے درمیان کا زاویہ °60۔
- 8سینٹی میٹرلمبائی کا ایک قطع خط ABکھینچئے۔ Aکو مرکز مان کر4سینٹی میٹرنصف قطر کا ایک دائرہ کھینچئے اور Bکو مرکز مان کر 3 سینٹی میٹرنصف قطر کا دوسرا دائرہ کھینچئے۔ ہر ایک دائرہ پر دوسرے دائرہ کے مرکز سے مماس کھینچئے۔
7. ایک چوڑی کی مدد سے ایک دائرہ بنائیے۔ دائرہ کے باہر ایک نقطہ لیجئے۔ اس نقطہ سے دائرہ پر مماسوں کا جوڑا بنائیے۔
11.4 لئے خلاصہ
اس باب میں آپ نے سیکھا کہ مندرجہ ذیل تشکیلات کیسے کی جاتی ہیں
- دئے ہوئے قطعہ خط کو دی ہوئی نسبت میں تقسیم کرنا۔
- دئے ہوئے Scalefactorکے مطابق ایک دئے ہوئے مثلث کے مشابہ بنانا۔Scale factorسے چھوٹا یا 1سے بڑا بھی ہو سکتا ہے۔
- دائرہ کے ایک باہری نقطہ سے دائرہ پر مماس تشکیل کرنا۔
قارئین کے لئے نوٹ
ایک دئے ہوئے Scale factorکے مطابق ایک چار ضلعی (یا کثیر ضلعی کے مشابہ چار ضلعی (یا کثیر ضلعی کی تشکیل شبھی اسی طرح سے ہو سکتی ہے جس طرح سے تشکیل 11.2کی مثالیں 1اور 2کی ہوئی۔