Skip to content
Read PDF Question Answers
Riyazi

13

سطحی رقبہ اورحجم

Surface Areas and Volumese

13.1تعارف (INTRODUCTION)

نویں کلاس میں آپ کچھ ٹھوس جیسے، مکعب نما، مخروط، استوانہ اور کرّہ (شکل 13.1دیکھئے) سے واقف ہو چکے ہیں آپ یہ بھی سیکھ چکے ہیں کہ ان کے رقبہ اور حجم کیسے معلوم کئے جاتے ہیں۔

روز مرہ کی زندگی میں ہمارا واسطہ بہت سی ایسی ٹھوس اشیاء سے پڑتا ہے جو دو دیا دو سے زیادہ بنیادی ٹھوس اشیاء سے مل کر بنے ہوے ہیں جیسے اوپر دکھائے گئے ہیں۔

1

شکل 13.1

آپ نے ایک ٹرک ضرور دیکھا ہوگا جس کے پیچھے مضروفجڑا ہوا ہوتا ہے ۔ (شکل 13.2دیکھئے) جو اس میں تیل یا پانی ایک جگہ سے دوسری جگہ منتقل کرتا ہے۔ کیا اس کی شکل مذکورہ بالا چار بنیادی ٹھوس اشیاء کی شکل میں سے ایک ہے ؟ اب اندازہ کرسکتے ہیں کہ یہ ایک ایسے استوانہ کی شکل کا ہے جس کے سرے نصف کرّوی ہیں۔

2

شکل 13.2

کبھی آپ نے ایسی شے دیکھی ہوگی جیسے شکل 13.3میں دکھائی گئی ہے۔ کیا آپ اس کا نام بتا سکتے ہیں؟ ایک ٹیسٹ ٹیوب ہے! آپ اس کو اپنی سائنس کی لیباریٹری میں استعمال کر تے ہیں۔ یہ ٹیوب بھی استوانہ اور نصف کرہ کے اتحاد کا نتیجہ ہے۔ اسی طرح سے سفر کرتے ہوئے آپ نے بہت سی ایسی عمارتیں اور تاریخی یادگار یں دیکھی ہوںگی جو مذکورہ بالا بنیادی ٹھوس شکلوں سے مل کر بنی ہوتی ہیں۔

3

شکل 13.3

اگر کسی وجہ سے آپ کو ان کا حجم یا سطحی رقبہ معلوم کرنا ہویا گنجائش معلوم کرنی ہو تو یہ آپ کیسے کریں گے ہم ان کی درجہ بندی پہلے سے پڑھے گئے کسی ٹھوس کے ساتھ نہیں کر سکتے۔

اس باب میں آپ پڑھیں گے کہ تمام شکلوں کاسطحی رقبہ اور حجم کیسے معلوم کئے جاتے ہیں۔

13.2ٹھوسوں کے اجماع ) (Combinationکے سطحی رقبہ

آئیے شکل 13.2میں دکھائے گئے مضروفپر غور کرتے ہیں۔ ایسے ٹھوسوں کا سطحی رقبہ ہم کیسے معلوم کرتے ہیں؟ جب جب ہمارے سامنے ایسا کوئی نیا مسئلہ آتا ہے ہم اس کو پہلے چھوٹے چھوٹے ایسے مسئلے میں توڑ لیتے ہیں جن کو ہم پہلے ہی حل کر چکے ہیں۔ہم دیکھ سکتے ہیں کہ یہ ٹھوس ایک ایسااستوانہ ہے جس کے سرے نصف کروی شکل کے ہیں۔ جب ہم اس کے تمام ٹکڑوں کو ملا کر رکھیں تو یہ ایسا ہی نظر آئے گا جیسا کہ شکل 13.4میں دکھایا گیا ہے۔

4

شکل 13.4

اگر ہم نئے بنے ہوئے ٹھوس کی سطح پر غور کرتے ہیں ہمیں صرف دو نصف کروں کی خمیدہ سطح اور استوانہ کی خمیدہ سطح نظر آتی ہے۔

اس لئے نئے ٹھوس کا کل سطحی رقبہ ہر انفرادی حصہ کی خمیدہ سطح کے رقبوں کا حل جمع ہے۔ اس سے ہمیں ملتا ہے۔

نئے ٹھوس کل سطح رقبہ TSA = پہلے نصف کرہ کی خمیدہ سطح کا رقبہ CAS+ استوانہ کی خمیدہ سطح کا رقبہ +دوسرے نصف کرہ کی خمیدہ سطح کا رقبہ سایہ -CAS

جہاں TSAاور CSAبالترتیب کل سطحی رقبہ اور خمیدہ سطح کے رقبہ کو ظاہر کرتے ہیں۔

آئیے ہم ایک دوسری صورت حال پر غور کرتے ہیں۔فرض کیجئے کہ ہم ایک مخروط اورایک نصف کرّہ کو ایک ساتھ رکھ کر ایک کھلونا بناتے ہیں اب ہمیں کون کون سے قدم اٹھانے ہوں گے۔

پہلے ہم ایک مخروط اور نصف کرہ کو لیتے ہیں اور ان سطح رخوں کو ایک ساتھ رکھیں گے۔ یقیناایسا کرنے کے لئے ہمیں مخروط کے ساتھ کا نصف قطر، نصف کرہ کے نصف قطر کے برابر لیا ہوگا تاکہ کھلونہ کی سطح مسطح ہو۔ اس لئے اس میں استعمال ہوئے اقدامات شکل 13.5میں دکھائے گئے ہیں۔
5

شکل 13.5

اپنی اس کوشش کے بعد ہمیں ایک خوبصورت کھلونہ ملتا ہے جس کا نچلہ حصہ گول ہے۔ اب ہم اگر یہ معلوم کرنا چاہتے ہوں گے اس کے چاروں طرف رنگ کرانے کا خرچ کتنا ہوگا۔ تو ہمیں کیاجاننے کی ضرورت ہے؟ ہمیں کھلونہ کے سطحی رقبہ معلوم کرنے کی ضرورت ہے جو کہ نصف کرہ کا CSAاور مخروط کا CSAہے۔

اس لئے ہم کہہ سکتے ہیں۔

کھلونہ TSA=نصف کرہ کا CSA+مخروط کا CSA

آئیے اب کچھ مثالیں لیتے ہیں۔

مثال 1:رشید کو اس کے یوم پیدائش پر ایک لٹو تحفہ میں ملا۔اتفاقاً کہ اس پر رنگ نہیں ہوا تھا۔ وہ اپنے مومیا رنگوں سے اس کو رنگنا چاہتا ہو۔ لٹو ایک ایسے مخروط کی شکل کا ہے جس کا اوپری حصہ نصف کروی شکل کا ہے۔ (شکل13.6دیکھئے)۔ پورے لٹو کی اونچائی 5سینٹی میٹراور اس کا نصف قطر 3.5سینٹی میٹرہے۔ وہ رقبہ معلوم کیجئے جس پر اس کو رنگ کرنا ہے۔ (22.7= π لیجئے)
حل :لٹو بالکل اس ہی شکل کا ہے جیسا ہم شکل 13.5میں دیکھ چکے ہیں۔ تو ہم اسی نتیجہ کو استعمال کر سکتے ہیں جو ہم نے اوپر اخذ کیا تھا۔ یعنی
مخروط کا CSA+ نصف کرّہ کا CSA=لٹو کا TSA
7
شکل 13.6
= ½ (4πr²) = 2 π r²
اب نصف کرہ کا CSA
سینٹی میٹر (Capture 32
مزید نصف کروی حصہ کی اونچائی (نصف قطر) ۔ لٹو کی اونچائی = مخروط کی اونچائی ہے۔
سینٹی میٹر 3.25= سینٹی میٹر Capture 33
تقریباً سینٹی میٹر 3.7= سینٹی میٹر  Capture 34  = اس لیے مخروط کی ترچھی اونچائی
اس لیے مربع سینٹی میٹرCapture 35   مخروط کا CSA
اس سے لٹوکا سطحی رقبہ معلوم ہوتا ہے۔
مربع سینٹی میٹر Capture 36+ مربع سینٹی میٹر Capture 37=
تقریباً مربع سینٹی میٹر Capture 38
مربع سینٹی میٹر39.6 =  مربع سینٹی میٹر Capture 40

آپ یہ بات نوٹ کر سکتے ہیں کہ لٹو کا کل سطحی رقبہ مخروط اور نصف کرہ کے کل سطحی رقبہ کے حاصل جمع کے برابر نہیں ہے ۔
مثال 2:                                                                                                                               ایک سجاوٹی بلاک جیسا کے شکل 13.7میں دکھا گیا ہے دو ٹھوسوں سے مل کر بنا ہے ایک مکعب اور ایک نصف کرہ ، بلاک کا قاعدہ 5 سینٹی میٹرضلع والا ایک مکعب ہے اور اس کے اوپر فکس ہوئے نصف کرہ کا قطر 4.2سینٹی میٹرہے۔ بلاک کا کل سطحی رقبہ معلوم کیجئے (  22/7= π لیجئے)
6

شکل 13.7

حل : مربع سینٹی میٹر160=مربع سینٹی میٹر5×5×6= 2²(ضلع) ×6= مکعب کا TSA

نوٹ کیجئے کہ مکعب کا وہ حصہ جہاں پر نصف کرہ جڑا ہوا ہے، سطحی رقبہ میں شامل نہیں ہوگا اس لئے نصف کرہ کے قاعدہ کا رقبہ –مکعب کا TSA = بلاک کا سطحی رقبہ +نصف کرہ کا CS

مربع سینٹی میٹر
+(150 - πr² )
مربع سینٹی میٹر
=(150 + πr² ) 
مربع سینٹی میٹر Capture 41 مربع سینٹی میٹر 150=
=(150+13.86) مربع سینٹی میٹر
=163.86مربع سینٹی میٹر

مثال 3:                                                                                                                                ایک لکڑی کا بنا ہوا کھلونہ راکٹ ایک ایسے استوانہ کی شکل کا ہے جس کا اوپری حصہ مخروطی ہے جیسا کہ شکل 13.8میں دکھایا گیا ہے پورے راکٹ کی اونچائی 26سینٹی میٹرہے۔ جب کہ مخروطی حصہ کی اونچائی 6سینٹی میٹرہے مخروطی حصہ کے قاعدہ کا قطر 5سینٹی میٹرہے جب کہ استوانہ کے قاعدہ کا قطر 3سینٹی میٹر ہے اگر مخروطی حصہ کو نارنگی رنگ کرنا ہے اور استوانی حصہ کو پیلا تو وہ رقبہ معلوم کیجئے جہاں یہ دونوں رنگ ہوتے ہیں۔

8

شکل 13.8

حل :مخروط کے نصف قطر کو rترچھی اونچائی کوP سے مخروط کی اونچائی کو hسے، استوانہ کے نصف قطر کو rاور استوانہ اکی اونچائی کو h سے ظاہر کیجئے۔
تب سینٹی میٹر  h' = 26 - 6 = 20 ، سینٹی میٹر1.5 = r'  سینٹی میٹر  h=6 سینٹی میٹر 2.5  = r  اور 

سینٹی میٹر 6.5 =  سینٹی میٹر Capture 42
 یہاں مخروطی حصہ کا دائری قاعدہ ہے جو استوانہ پر رکھا ہوا ہے۔ لیکن مخروط کا قاعدہ استوانہ کے قاعدہ سے بڑا ہے۔ اس لئے مخروط کے قاعدہ کا کچھ حصہ ہی رنگ کرنا ہے۔

اس لئے فاصلہ بڑھائیں استوانہ کے قاعدہ کا رقبہ–مخروط کے قاعدہ کا رقبہ +مخروط کا CSA =جہاں نارنگی رنگ ہونا ہے وہ رقبہ
=πxI + pr ² × π (r¹)²
=π [(2.5 × 6.5) + (2.5)² − (1.5)² ]  مربع سینٹی میٹر 
= π [20.25] cm² = 3.14 ×20.25  مربع سینٹی میٹر 
= 63.585 cm²

اب استوانہ کے ایک قاعدہ کا رقبہ+ استوانہ کا CSA =وہ رقبہ جہاں پیلا رنگ ہونا ہے
= 2 π r 'h' + π (r') ²
= πr' (2h' + r')
مربع سینٹی میٹر 
= (3.14 × 1.5) (2×20 + 1.5)
مربع سینٹی میٹر 41.5 × 4.71 =
مربع سینٹی میٹر   195.465 =

مثال 4:مینک نے اپنے باغ کے لئے ایک ایسا چڑیوں کے نہانے کا تالاببنایا جو استوانہ کی شکل کا ہے جس کے ایک سرے پر نصف کروی ڈھال ہے۔ (شکل 13.9دیکھئے) استوانہ کی اونچائی 1.45سینٹی میٹرہے اور اس کا نصف قطر 30سینٹی میٹرہے۔ چڑیوں کے نہانے کا تالاب کا کل سطحی رقبہ معلوم کیجئے۔ ( 22/7=  π لیجئے)

9

شکل 13.9

حل : مان لیجئے استوانہ کی اونچائی اور استوانہ اور نصف کرہ کا مشترک نصف قطر rہے تب

نصف کرہ کا CSA+ استوانہ کا CSA= چڑیوں کے نہانے کا تالاب کا کل سطحی رقبہ TSA
=2 πrh + 2πr² = 2πr (h+r)
مربع سینٹی میٹر
= 2 × 22/7 × 30 (145 + 30)
مربع سینٹی میٹر 
= 33000 cm² = 3.3

مشق  13.1

جب تک کچھ اور نہ کہا جائے 22/7 = π لیجئے

1۔ دو مکعب جن میں ہر ایک کا حجم 64سینٹی میٹرہے۔، سروں سے ملا دئے گئے ہیں۔ نتیجہ میں ملے مکعب نما کا سطحی رقبہ معلوم کیجئے۔

2۔ ایک برتن ایک کھوکھلے نصف کرہ کی شکل کا ہے جس کے اوپر ایک کھوکھلا استوانہ رکھا ہوا ہے۔ نصف کرہ کا قطر 14سینٹی میٹر اور پورے برتن کی اونچائی 13سینٹی میٹرہے۔ برتن کی اندرونی سطح کا رقبہ معلوم کیجئے۔

3۔ ایک کھلونہ مخروط کی شکل کا ہے جس کا اوپری حصہ نصف کروی ہے جس کا نصف قطر وہی ہے جو مخروط کا ہے۔ اگر مخروط کا نصف قطر 3.5سینٹی میٹر ہو اور کھلونہ کی کل اونچائی 15.5سینٹی میٹرہو تو کھلونہ کی کل سطحی رقبہ معلوم کیجئے۔

4۔ 7سینٹی میٹرضلع والے ایک مکعبی بلاک کا اوپری حصہ نصف کروی شکل ہے۔ نصف کرہ کا بڑے قطر کیا ہوسکتا ہے؟ ٹھوس کا سطحی رقبہ معلوم کیجئے۔

5۔ ایک مکعبی لکڑی کے بلاک کے ایک سطح میں سے ایک نصف کروی ڈھال کاٹ لیا گیا ہے۔ اگر نصف کرہ کا قطر مکعب کے ضلع کے برابر ہو تو باقی بچے ٹھوس کا سطحی رقبہ معلوم کیجئے۔

6۔ دوا ئی کا ایک کیپسول ایک ایسے استوانہ کی شکل کا ہے جن کے دونوں سرے نصف کروی شکل کے ہیں۔(شکل 13.10دیکھئے) پورے کیپسول کی لمبائی 14ملی میٹرہے اور کیپسول کا قطر 5ملی میٹرتواس کا سطحی رقبہ معلوم کیجئے۔
10

شکل 13.10

7۔ ایک ٹینٹ استوانہ کی شکل کا ہے جس کا اوپری حصہ مخروطی ہے۔ اگر استوانہ والے حصہ کی اونچائی اور قطر بالترتیب 2.1سینٹی میٹراور 4سینٹی میٹرہے اور مخروطی حصہ کی ترچھی اونچا ئی 2.8ہے تو ٹینٹ کو بنانے میں استعمال ہونے والے کینوس کا رقبہ معلوم کیجئے اور 500روپے فی مربع میٹر کی شرح سے کینوس کا خرچ بھی معلوم کیجئے ۔

نوٹ کیجئے کہ ٹینٹ کے قاعدہ پر کینوس نہیں لگا ہوتا)

8۔ ایک ٹھوس استوانہ جس کی اونچائی 2.4سینٹی میٹراور قطر 1.4سینٹی میٹرمیں سے اس اونچائی اور قطر کا ایک مخروطی خلاء نکا لا گیا ہے۔ باقی بچے ٹھوس کا کل سطحی رقبہ نزدیکی مربع سینٹی میٹرمیں معلوم کیجئے۔

9۔ لکڑی کی ایک شے ٹھوس استوانہ کے سروں میں نصف کرے نکال کر بنائی گئی ہے جیسا کہ شکل 13.11میں دکھا یا گیا۔ اگر استوانہ کی اونچائی 10سیٹی میٹراور اس کے قاعدہ کا نصف قطر 3.5سینٹی میٹر۔ تواس شے کا کل سطحی رقبہ معلوم کیجئے۔
11

شکل 13.11

13.3ٹھوس اشیاء کے اجماع کا حجم

پچھلے سیکشن میں ہم نے یہ بحث کی کہ دو بنیادی ٹھوس اشیاء کے اجماع سے بنے ٹھوس کاسطحی رقبہ کیسے معلوم کیا جا سکتا ہے۔ یہاں ہم دیکھیں گے کہ ان کاحجم کیسے معلوم کیا جائے گا۔ یہ بات نوٹ کی ہوگی کہ سطحی رقبہ معلوم کرتے وقت ہم نے دونوں ٹھوس اشیاء کے سطحی رقبہ کو جمع نہیں کیاتھا۔ کیونکہ ان کو ملاتے وقت سطحی رقبہ کا کچھ حصہ غائب ہو گیا تھا۔ لیکن جب ہم ان کا حجم معلوم کریں گے تو ایسا نہیں ہوگا۔ دو بنیا دی ٹھوس اشیاء کو ملا کر بنے ٹھوس کا حجم اصل ان دونوں کا ٹھوس اشیاء کے حجم کے حاصل جمع کے برابر ہوگا۔ جیسے کہ ہم مندرجہ ذیل مثال میں دیکھتے ہیں۔

مثال 5: شانتا ایک انڈسٹری چلاتی ہے جو ایک ایسے شیڈ کے اندر ہے جس کی شکل ایک ایسے مکعب نما کی ہے۔ جس کا اوپری حصہ نصف استوانہ شکل ہے (شکل 13.12دیکھئے)۔ اگر شیڈ کے قاعدہ کے ابعاد15سینٹی میٹر ×7 سینٹی میٹرہیں اور کعب نما والے حصہ کی اونچا ئی 8سینٹی میٹرہے۔ تو اس شیڈ میں جتنی ہوا ہو سکتی ہے اس کا حجم معلوم کیجئے۔ مزید فرض کیجئے اس شیڈ کے اندر لگی مشینری 300مکعب میٹرجگہ گھیرتی ہے اور وہاں 20کا رکن ہیں اور ان میں سے ہر شخص 0.08معکب میٹر جگہ گھیر تا ہے تب شیڈ میں کتنی ہوا ہوگی۔

 ( 22/7 = π لیجئے)

12

شکل 13.12

حل :شیڈ کہ اندر وا کا حجم (جب وہاں کوئی ملازم اور مشینری نہ ہو)کعب نما کے اندر موجود ہوا اور نصف استوانہ میں موجود ہوا کا حاصل جمع ہے۔

اب کعب نما کی لمبائی ، چوڑائی اور اونچائی بالترتیب 15سینٹی میٹر، 7سینٹی میٹراور 8سینٹی میٹرہے ۔ مزید نصف استوانہ کا قطر 7 سینٹی میٹرہے۔ اور اس کی اونچائی 15سینٹی میٹر۔

مسئلہ مطلوبہ حجم ہے کعب نما کا حجم + استوانہ کا حجم × ½

مکعب میٹر 1128.75 مکعب میٹر Capture 43=
 آگے مشینری کے ذریعے گھیری گئی کل جگہ مکعب میٹر300

اور 20ملازموں کے ذریعے گھیری گئی کل جگہ مکعب میٹر
0.08 ×20=1.6 
معکب میٹر
اس لئے ہواکا حجم جب وہاں مشینری اور ملازم ہوں معکب میٹر
 827.15 = (1.60+ 300.00)− 1128.75=

مثال 6:ایک جوس فروش اپنے گاہکوں کو شکل 13.13میں دکھائے گئے گلاسوں میں جوس دیتا ہے۔ استوانہ گلاس کا اندرونی قطر5سینٹی میٹرہے۔ لیکن گلاس کے نچلے حصہ میں نصف کروی شکل میںاٹھا ہوا ہے۔ جس کی وجہ سے گلا س کی گنجائش کم ہو جاتی ہے۔ اگر گلاس کی اونچائی 10سینٹی میٹر تھی تو اس کی بہ ظاہر ی اور اصل گنجائش معلوم کیجئے۔ (3.14=s2لیجئے)

13

شکل13.13

حل :کیونکہ گلاس کا اندرونی قطر =5سینٹی میٹراور اونچائی 10سینٹی میٹر

تو یہ ظاہر گلاس کی گنجائش=  s9

مکعب سینٹی میٹر 196.25 =مکعب میٹر 10×2.5 × 2.5×3.14=

لیکن گلا س کی اصل گنجائش کم ہوگی کیونکہ اس کے قاعدہ میں ایک نصف کرہ اٹھا ہوا ہے

یعنی یہ πr³ ⅔ کم ہوگی مکعب میٹر 32.71=مکعب میٹر  2.5× 2.5 × 2.5 ×3.14× ⅔ =F

اس لئے فاصلہ بڑھائیں نصف کرہ کا حجم –گلاس کی یہ ظاہر ی گنجا ئش = گلاس کی اصل گنجائش
مکعب میٹر  ( 32.71 − 196.25)=

مثال 7:ایک ٹھوس کھلونہ کی شکل کا ہے جس کا نچلا حصۃ نصف کروی شکل کا ہے۔ مخروط کی اونچائی 2سینٹی میٹرہے اور قاعدہ کا قطر 4سیٹی میٹرہے۔ کھلونہ کا حجم معلوم کیجئے اگر ایک قائم دائر کا استوانہ اس کھلونے کو محصور کرتا ہے۔ کھلونہ اور استوانہ کے حجم کا فرق معلوم کیجئے۔ (3.14=s2لیجئے)

حل :مان لیجئے BPCایک نصف کرہ ہے اور ABCایک مخروط جو نصف کرہ کے قاعدہ پر کھڑا ہوا ہے ۔(13.14دیکھئے)

14

شکل 13.14

کرہ (اور مخروط ) نصف قطر OD میٹر 2=4 سینٹی میٹر 4 ×  ½=
اس لیے
= ⅔ π r³ + ⅓ πr²h
کھلونا کا حجم
 - 25.12مکعب سینٹی میٹر 
Capture 44  مکعب سینٹی میٹر 

اب مان لیجئے قائم دائری استوانہ EFGHدئے ہوئے ٹھوس کو محصورکرتا ہے۔تو قائم داری استوانہ کے قاعدہ کا نصف قطر ہے۔ سینٹی میٹر HP=BO=2= اور اس کی اونچائی ہے۔

سینٹی میٹر4=سینٹی میٹر(EH+AD+OP=(2+2)
اس لئے کھلونہ کا حجم –قائم دائری کا استوانہ کا حجم =مطلوبہ حجم ہے
مکعب سینٹی میٹر=25.12 مکعب سینٹی میٹر   (25.12 - 4 × 2² × 3.14) = 
اس طرح سے مطلوبہ حجموں میں فرق مکعب سینٹی میٹر =25.12

مشق 13.2

جب تک کچھ اور نہ کہا جائےs15

1۔ ایک ٹھوس ایسے مخروط کی شکل کا ہے جو نصف کرہ پر کھڑا ہے۔ دونوں کے نصف قطر 1سینٹی میٹرکے برابر ہے۔ اور مخروط کی اونچائی اس کے نصف قطر کے برابر ہے۔ s2کی شکل میں ٹھوس کا حجم معلوم کیجئے۔

2۔ انجینئرنگ کے ایک طالب علم راحیل سے ایک ایسا موڈل بنانے کو کہا گیا جو استوانہ کی شکل کا ہے جس کے دونوں سروں پر المونیم کی پتلی شیٹ کے مخروط جڑے ہوتے ہیں۔ اس موڈل کا قطر 3سینٹی میٹراور لمبائی 12سینٹی میٹرہے۔ اگر ہر ایک مخروط کی اونچائی 2سینٹی میٹرہے۔ تو راحیل کے ذریعے بنے اس موڈل میں ہوا کا حجم معلوم کیجئے (یہ مانتے ہوئے کہ موڈل کی اندرونی اور باہری ابعاد تقریباً یکساں ہیں)۔

3۔ ایک گلاب جامن میں اس کے حجم کا %30چینی کا شیرہ ہوتا ہے۔ معلوم کیجئے کہ45گلاب جامن میں تقریباً کتنا شیرہ ہوگا۔ جب کہ اس میں ہر ایک کی شکل ایک استوانہ جن کے سرے نصف کرہ شکل کے ہیں، کی شکل کی جس کی لمبائی5سینٹی میٹراورقطر2.8سینٹی میٹرشکل لکڑی کا 13.15دیکھئے)۔
15

شکل 13.15

4۔ ایک لکڑی کا پین اسٹینڈ کعب نما کی شکل کا ہے جس میں مخروطی شکل کے 4خول ہیں جو پینوں کی گرفت کرتے ہیں۔ کعب نما کے ابعادسینٹی میٹر15×سینٹی میٹر15×سینٹی میٹر3.5ہیں اور ہر ایک خول(سوراخ) کا نصف قطر 0.5سینٹی میٹراور گہرائی 1.4سینٹی میٹرہے۔ پورے اسٹینڈ میں لگی ہوئی لکڑی کاحجم معلوم کیجئے۔(شکل 13.16دیکھئے)۔
16

شکل 13.16

5۔ ایک برتن الٹے مخروط کی طرح ہے۔ اس کی اونچائی 8سینٹی میٹراور اوپر Topکا نصف قطر، جو کھلا ہوا ہے، 5سینٹی میٹرہے۔ یہ کنارے تک پانی سے بھرا ہوا ہے۔ جب سیسہ کی گولیاں جو کرہ کی شکل کی ہیں جس میں ہر ایک کا نصف قطر 0.5سینٹی میٹرہے۔ برتن میں ڈالی جاتی ہیں توایک چوتھائی پانی بہہ جاتا ہے۔ اس میں ڈالی گئی سیسہ کی گولیوں کی تعداد معلوم کیجئے۔

6۔ ایک ٹھوس لوہے کا کھمبا 20سینٹی میٹراونچائی تک ایک استوانہ کی شکل کا ہے جس قاعدہ rکا قطر 24سینٹی میٹرہے۔اس کے اوپر ایک اور استوانہ رکھا ہوا ہے جس کی اونچائی 60سینٹی میٹراور نصف قطر 8سینٹی میٹرہے۔ کھمبے کی کمیت معلوم کیجئے۔ اگر مکعب سینٹی میٹر1لوہے کی تقریباً کمیت 8گرام ہے۔ (3.14ٓٓ=s2لیجئے )

7۔ ایک ٹھوس جس میں 120سینٹی میٹراونچائی کا ایک قائم دائری مخروط ہے جس کا نصف قطر 60سینٹی میٹرہے جو60سینٹی میٹر نصف قطر والے ایک کرہ پر کھڑا ہے۔ کو قائم زاویہ پر ایک قام دائری استوانہ، جو پانی سے بھرا ہوا، میں اس طرح رکھا جاتا ہے کہ یہ اس کے نچلے حصہ کو چھوتا ہے۔ استوانہ میں باقی بچے پانی کا حجم معلوم کیجئے۔ اگراستوانہ کا نصف قطر60سینٹی میٹر اور اونچائی 180 سینٹی میٹرہو۔

8۔ ایک کروی شیشے کے برتن کی گردن استوانہ کی شکل کی ہے۔ جس لمبائی 8سینٹی میٹراور قطر2سینٹی میٹرہے۔ کروی حصہ کا قطر 8.5سینٹی میٹرہے۔ اس میں جتنا پانی آسکتا اس کی پیمائش کر کے ایک بچہ اس کا حجم 345مکعب سینٹی میٹربتاتا ہے جانچ کیجئے کہ آیا وہ بچہ سچ بول رہا ہے ۔ اوپر کی پیمائش برتن کے اندر کی لی جائے۔(s16)

13.4ٹھوس اشیاء کا ایک شکل سے دوسری شکل میں تبدیل ہونا

ہمیں یقین ہے کہ آپ نے موم بتی ضرور دیکھی ہوگی۔ عمومی طور پر استوانہ کی شکل کی ہوتی ہیں۔ آپ نے یہ بھی دیکھا ہوگا کہ موم بتیاںجانور کی شکل کی بھی ہوتی ہیں۔(13.17دیکھئے)
17

شکل 13.17

یہ کس طرح بنائی جاتی ہیں؟ اگر آپ کو کسی شکل کی موم بتی چاہئے تو آپ موم کو کسی دھات کے برتن میں گر م کیجئے۔ جب تک کہ یہ پوری پوری طرح سے سیال نہ بن جائے۔ پھر آپ اس کو اس برتنمیں ڈال دیں جس کی شکل ویسی ہو جیسی آپ موم بتی بنانا چاہتے ہیں۔ مثال کے طو پر : ٹھوس استوانہ کی شکل کی ایک موم بتی لیجئے ، اس کو پگھلائیے اور پگھلے ہوئے موم کو ایک خرگوش کی شکل والے سانچے میں ڈال دیں ٹھنڈا کرنے پر آپ کو خرگوش کی شکل میں ایک موم بتی ملے گی۔ نئی موم بتی کا حجم وہی ہوگا جو پہلی موم بتی کا تھا۔ یہی بات ہے جو ہمیں یاد رکھنا ہے جب ہم کس شے کو دوسرے شکل کی شے میں تبدیل کرتے ہیں۔ یا جب کسی سیال کو جو کسی خاص شکل کے برتنمیں سے اس کو دوسری شکل والے برتن میں ڈالا جاتا ہے۔ جیسے آپ شکل 13.18میں دیکھ سکتے ہیں جس پربحث کی گئی اس کو سمجھنے کے لئے آئیے کچھ مثالیں حل کرتے ہیں ۔

18

شکل 13.18

مثال 8:ایک مخروط جس کی اونچائی 24سینٹی میٹرہے اور قاعدہ کا نصف قطر 6سینٹی میٹرچکنی مٹی سے بنا ہے ۔ ایک بچہ اس کو ایک کرہ کی شکل دے دیتا ہے : کرہ کا نصف قطر معلوم کیجئے۔
حل: مکعب سینٹی میٹر  24 × 6× 6×π×⅓ = مخروط کا حجم 
اگر کرہ کا نصف قطر r ہے تب اس کا حجم  =  4/3πr³ 

کیونکہ مٹی کا حجم مخروط اور کرہ کی شکل میں یکساں رہتا ہے اس لئے ہمارے پاس ہے

s18

اس لئے کرہ کا نصف قطر ہے 6سینٹی میٹر

مثال 9:سیلوی کے گھر پر استوانہ کی شکل کا ایک ٹینک ہے۔ اس کو ایک Sump(زیر زمین ٹینک)جس کی شکل کعب نما کی ہے، میں پانی پمپکر کے بھرا جاتا ہے۔ جو Sumpکی ابعاد سینٹی میٹر99×1.44میٹر×1.57میٹرہیں۔اوپر والے ٹینک کا نصف قطر 60سینٹی میٹراور اونچائی 95سینٹی میٹرہے۔ Sumpمیںبچے ہوئے پانی کی اونچائی کتنی ہوگی اگر اوپر والا ٹینک پوری طرح پھر گیا ہو اور Sumpپہلے کنارے تک بھرا ہوا تھا۔ ٹینک کی اور Sumpکی گنجائش کا موازنہ بھی کیجئے۔

حل :اوپر رکھے ہوئے ٹینک کے پانی کا حجم برابر ہے Sump میں سے نکالے گئے پانی کے حجم کے برابر

اب اوپر رکھے ہوئے ٹینک میں پانی کا حجم (استوانہ کا حجم )=s9
مکعب میٹر 0.95 ×0.6×0.6×3.14 =
مکعب میٹر
0.95 × 1.44×1.57= h×b×I= Sump
جب پوری طرح بھرا ہوا تھا تواس کا حجم تھا 
اوپروالے ٹینک کو بھرنے کے بعد Sump میں باقی بچے پانی کا حجم 
مکعب میٹر  
=[(1.57 ×1.44 ×0.95)  — (3.14 × 0.6 ×0.6×0.95)] m¹ = (1.57 ×0.6 × 0.6×0.95 ×2) 
ِِSump میں باقی بچے پانی کا حجم =  اس لیے Sump میں باقی بچے پانی کی اونچائی ہے
میٹر Capture 45
سینٹی میٹر
= 0.14 m =  47. 5
 ٹینک کی گنجائشCapture 46
Sump کی گنجائش
اس لیے ٹینک کی گنجائش ،Sump کی گنجائش کی آدھی ہے۔

مثال 10 : 1سینٹی میٹرقطر والی تانبہ کی ایک چھڑ کی لمبائی 8سینٹی میٹرہے۔ اس کو پگھلا کر یکساں موٹائی کا ایک 18سینٹی میٹرلمبا تار بنایا گیا۔ تار کی موٹا ئی معلوم کیجئے۔
حل: مکعب میٹر 
= 2π
چھڑکا حجم= π× (½)²×مکعب مٹر 
  ،  = 1800سینٹی میٹر 
   = 18 سینٹی میٹر 
اسی حجم کے تار کی نئی لمبائی 
اگر r، تار کے ترچھی کاٹ کا نصف قطر ہے تب اس کا حجم مکعب سینٹی میٹر  
π ×r² × 1800
اس لئے 
πr² × 1800 = 2π
Capture 47  یعنی 
اس لئے تارکے ترچھی کاٹ کا نصف قطر ہے تب اس کا حجم ہے ۔s21یعنی 0.67سینٹی میٹرتقریباً۔

مثال 11:ایک نصف کروی ٹینک جو پانی سے بھرا ہوا ہے اس کو ایک پائپ سےs22فی سیکنڈ کی شرح سے خالی کیا جاتا ہے۔ آدھے ٹینک کو خالی کرنے میں اس کوکتنا وقت لگے گا اگر اس کا قطر 3میٹرکا ہے ۔ (s15لیجئے)

حل:  نصف کروی ٹینک کا نصف قطر

=3/2m 
 مکعب میٹر 99/14 = مکعب میٹر   Capture 48    ٹینک کا حجم

اس لیے لیٹر 1000 × 99/28 = مکعب میٹر Capture 49= خالی کئے جو اپنے پانی کا حجم 

لیٹر  99000/28 = کیونکہ 25/7 = π لیٹر پانی ایک سکینڈ میں خالی ہوتا ہے، اس لیے 99000/28 لیٹر پانی خالی ہوگا۔ 

7/25 × 99000/28  سیکنڈ یعنی 16.5 منٹ میں۔

 مشق 13.3

(s15لیجئے جب تک کے کچھ اور نہ کہا جائے)۔
1۔ دھات کے ایک کرہ کا نصف قطر 4.2سینٹی میٹرہے۔ اس کو پگھلا کر 6سینٹی میٹرنصف قطر کا ایک استوانہ دبارہ ڈھالاگیا استوانہ کی اونچائی معلوم کیجئے۔
2۔ 6سینٹی میٹر8, سینٹی میٹراور 10سینٹی میٹرنصف قطر والے تین دھات کے کروں کو پگھلا کر ایک ٹھوس کرہ بنایا گیا۔ نتیجہ میں ملے کرہ کا نصف قطر معلوم کیجئے۔
3۔ 20سینٹی میٹرگہرے ایک کنویں کو، جس کا قطر 7سینٹی میٹرہے کھودا گیا۔ اس میں سے نکلی مٹی کو اس کے چاروں طرف پھیلا کر14میٹر 22×میٹرکاایک پلیٹ فارم بنایا گیا۔ پلیٹ فارم کی اونچائی معلوم کیجئے۔
4۔ ایک کنواں جس کا قطر 3میٹرہے۔14میٹرکی گہرائی تک کھودا گیا۔ اس کے اندر سے نکلی مٹی کو اس کے چاروں طرف پھیلاکر 14میٹراونچی گول مینڈ بنائی گئی مینڈ کی اونچائی معلوم کیجئے۔
5۔ ایک قائم دائری استوانہ کی شکل کے ایک مضروف کا قطر 12سینٹی میٹراور اونچائی 15سینٹی میٹرہے۔ آئس کریم سے بھرا ہوا ہے، آئس کریم کو 12سینٹی میٹراونچائی اور 6سینٹی میٹرقطروالے مخروط جن کا اوپر حصہ نصف کرہ کی شکل کا ہے۔ جس میں بھرا جاتا ہے۔ ایسے مخروط کی تعداد بتائیے جو آئس کریم سے بھرے ہوئے ہوں۔
6۔ 1.75سینٹی میٹرقطراور 2ملی میٹرموٹائی والے چاندی کے کتنے سکوں کو پگھلا کر سینٹی میٹر3.5×سینٹی میٹر10×15.5ابعاد والے کعب نما کو بنایا جا سکتا ہے ۔
7۔ ایک استوانہ نما بالٹی جس کی اونچائی32سیٹی میٹراور قاعدہ کا نصف قطر 18سینٹی میٹرہے۔ ریت سے بھری ہوئی ہے۔ اس بالٹی کو ریت کو زمین پر ڈال کر ایک مخروطی ڈھیر بنا دیا جاتاہ ے۔ اگر مخروطی ڈھیر کی اونچائی 24سینٹی میٹرہے تو ڈھیر کا نصف قطراور ترچھی اونچائی معلوم کیجئے۔
8۔ 6میٹرچوڑائی اور 1.5میٹرگہری ایک کینال میں پانی 10کلومیٹر فی گھنٹہ کی رفتار سے بہہ رہا ہے۔ 30منٹ میں یہ کتنے رقبہ کی سینچائی کرے گا اگر اس کے لئے 8سینٹی میٹراونچائی تک پانی ہونا ضروری ہو۔
9۔ ایک کسان ، ایک پائپ، جس کا اندرونی قطر 20سینٹی میٹرہے، کو نہر اور ایک استوانہ شکل کے ٹینک ، جو اس کے کھیت میں ہے، سے منسلک کر دیتا ہے، ٹینک کا قطر10میٹراور گہرائی 2میٹرہے۔ اگر پانی پائپ سے 3کلومیٹر فی گھنٹہ کی شرح سے بہتا ہے تو وہ ٹینک کو کتنے وقت میں پورا بھرے گا۔

13.5مخروط کا فرسٹم

سیکشن 13.2میں ہم نے ایسی اشیاء کہ مشاہدہ کیا تھا جو دوبنیادی ٹھوسوں سے مل کر وجود میں آئیں تھیں آئیے اب کچھ مختلف کرتے ہیں۔ ہم ایک قائم دائری مخروط لیتے ہیں اور اس کا ایک حصہ اس سے الگ کر دیتے ہیں بہت سے طریقوں سےہم ایسا کر سکتے ہیں۔ لیکن ایک مخصوص طریقہ یہ ہے کہ کسی مستوی سے دئے ہوئے مخروط کے قاعدہ کے متوازی کاٹ کر ایک چھوٹا مخروط الگ کریں۔آپ نے مشاہدہ کیا ہوگا کہ پانی پینے کے گلا س یا بالٹی اسی شکل کی ہوتی ہے (شکل 13.19دیکھئے)۔
19

شکل 13.19

مشغلہ 1:

مٹی یا اس سے ملتا جلتا کچھ مٹریل (جسے پلاسٹک وغیرہ) لیجئے اور ایک مخروط بنائیے۔ اس کو ایک چاقو سے اس کے قاعدہ کے متوازی کاٹئے۔ چھوٹے مخروط کو الگ کر دیجئے۔ آپ کے پاس کیا بچتا ہے ؟ آپ کے پاس ایک ٹھوس بچتا ہے جسے مخروط کا فرسٹم کہتے ہیں۔ آپ دیکھ سکتے ہیں کہ اس کے دو دائری سرے ہوتے ہیں۔ جن کے نصف قطر مختلف ہوتے ہیں۔ اس لئے اگر کسی دئے ہوئے مخروط کو کسی چاقو سے اس کے قاعدہ کے متوازی کا ٹا جاتا ہے(شکل 13.20دیکھئے)۔ اوراس کے ایک طرف بنے چھوٹے مخروط کو الگ کر دیا جا تا ہے۔ تو باقی بچے حصہ کو مخروط کا فرسٹم کہتے ہیں۔
20
مخروط کا فرسٹم        دوالگ حصے قاعدے کے متوازی مخروط

شکل 13.20

ہم کسی مخروط کے فرسٹم کا سطحی رقبہ اور حجم کیسے معلوم کر سکتے ہیں؟ آئیے اس کی ایک مثال سے سمجھنے کی کوشش کرتے ہیں ۔
مثال 12: 45میٹراونچے مخروط کے فرسٹم کے سروں کے نصف قطر 28 میٹراور 7سینٹی میٹرہیں(شکل 13.21دیکھئے)
اس کا حجم، خمیدہ سطح کا رقبہ اور کل سطح کا رقبہ معلوم کیجئے(s15لیجئے)

حل :   ایک فرسٹم کو دو قائم دائری مخروطوں OABاور OCDکے فرق کے طور پر دیکھ سکتے ہیں (شکل 13.21دیکھئے) مان لیجئے مخروط OABکی اونچائی (سینٹی میٹر میں)  h1 اور اس کی ترچھی اونچائی I1 یعنی  OP=h1     اور OA = OB=I1

مان لیجئے مخروط OCD کی اونچائی b2 اور ترچھی اونچائی I2 ہے، ہمارے پاس ہے سینٹی میٹر  7=r1        

18  = r1

اور فرسٹم کی اونچائی سینٹی میٹر 45 = h, مزید ، h1 = 45 + h2 

(1)

سب سے پہلے ہمیں مخروط  OAB اور OCD  کی اونچائیاں h1  اور h2  معلوم کرنی ہیں۔

کیونکہ OPB  اور OQD مشابہ ہیں (کیونکہ؟) ہمارے پاس 

Capture 50

(1) اور (2) سے ہمیں ملتا ہے 15 = h2 اور 60 = h1

اب فرسٹم کا حجم  = مخروط کا OCD  کا حجم – مخروط  OAB کا حجم

21مثال 10 :

شکل 13.21

مکعب سینٹی میٹر48510 =مکعب سینٹی میٹر Capture 51
مخروطوں OCDاور OABکی بالترتیب اونچائیاں I1اورI2ہیں
(تقریباً)سینٹی میٹرCapture 52
سینٹی میٹرCapture 53
اس طرح سے فرسٹم کی خمیدہ سطح کا رقبہ (CSA)ہے=Capture 54
مربع سینٹی میٹرCapture 55

اب فرسٹم کا کل سطحی رقبہ (TSA)ہے

Capture 56
مربع سینٹی میٹرCapture 57
مربع سینٹی میٹرCapture 58

مان لیجئے مخروط کے فرسٹم کی اونچائی h1، ترچھی اونچائی l اور r1 اور r2۔ اس کے سروں کے نصف قطر ہیں (r1 <r2)۔ تب ہم نیچے دئے گئے فارمولوں سے سیدھے اس کا حجم اور مکمل سطحی رقبہ معلوم کر سکتے ہیں۔

(i) مخروط کے فرسٹم کا حجم Capture 59

(ii) مخروط کے فرسٹم کی خمیدہ سطح کا رقبہ Capture 60جہاںCapture 61

(iii) مخروط کے فرسٹم کا کل سطحی رقبہ= Capture 62  جہاںCapture 63۔

ان فارمولوں کو ہم مثلث کی مشابہت سے اخذ کر سکتے ہیں لیکن ہم یہاں اس کواخذ نہیں کر رہے 

آئیے مثال 12کو فارمولہ کی مدد سے حل کرتے ہیں۔
(i)Capture 64فرسٹم کا حجم
سینٹی میٹرCapture 65
    مکعب سینٹی میٹر418510=

(ii) ہمارے پاس ہے مربع سینٹی میٹرCapture 66

سینٹی میٹر Capture 67

اس لئے فرسٹم کی خمید سطح کا رقبہ ہے 

مربع سینٹی میٹرCapture 68
(iii) فرسٹم کاکل سطحی رقبہ Capture 69

مربع سینٹی میٹر8079.5=2سینٹی میٹرCapture 70

آئیے کچھ مثالوں میں ان فارمولوں کا استعمال کرتے ہیں۔

مثال 13:      ہنو مپا اور اس کی بیوی گنگاگنے کے رس سے گڑبنا رہی ہیں انہوں نے گنے کے رس کوگرم کر کے راب بنائی۔ اور اس کو فرسٹم کے سانچہ میں ڈال دیا جن کے دو دائری سروں کے قطر 30سینٹی میٹراور 35سینٹی میٹرہیں اور سانچہ کی اونچائی 14سینٹی میٹر(شکل 13.22دیکھئے) اگر ہر مکعب سینٹی میٹرراب کی کمیت 1.2گرام ہے تو سانچہ میں ڈالی گئی راب کی کمیت معلوم کیجئے(s15لیجئے)
22

شکل 13.22

حل :    کیونکہ سانچہ مخروط کے فرسٹم کی شکل کا ہے تو اس میں ڈالے گئے راب کا حجم (مقدار) ہےs29s31چھوٹے قاعدہ کا نصف قطر ہے۔

مکعب سینٹی میٹر11641.7=مکعب سینٹی میٹرs30

یہ دیا ہوا ہے کہ 1مکعب سینٹی میٹرراب کی کمیت 1.2gہے اس لئے راب جس کو سانچے میں ڈالا گیا۔ اس کی کمیت ہے =گرام(1.2×11641.7)

(تقریباً) 14کلوگرام=13.97 کلوگرام=13970.04 گرام

مثال 14:   ایک کھلی بالٹی مخروط کے فرسٹم کی شکل کی ہے۔ جو ایک دھات کی شیٹ کے بنے استوانہ قاعدہ پر ٹکی ہوئی ہے (شکل13.23دیکھئے) بالٹی کے دائری سروں کے نصف قطر بالترتیب45سینٹی میٹراور 25سینٹی میٹرہیں اور بالٹی کی کل انتصابی اونچائی 40سینٹی میٹرہے۔ اور استوانہ قاعدہ کی اونچائی کی بالٹی کو بنانے میں استعمال ہونے والی شیٹ کا رقبہ معلوم کیجئے اگر اس ہینڈل کو اس میں شامل نہ کیا جائے بالٹی کے اندر جتنا پانی آتا ہے اس کا حجم بھی معلوم کیجئے۔(s15لیجئے)
23

شکل13.23

حل :   بالٹی کی کل اونچائی40=سینٹی میٹرجس میں قاعدہ کی اونچائی بھی شامل ہے اس لئے مخروط کے فرسٹم کی اونچائی سینٹی میٹر
(40-6)=34 سینٹی میٹر، اس لئے
Capture 71فرسٹم کی ترچھی اونچائی 
جہاں 12.5 = r²سینٹی میٹر،22.5 = r¹ اورسینٹی میٹرh=34
اس لئے سینٹی میٹرCapture 72سینٹی میٹرCapture 73
دھات کی شیٹ کا کل رقبہ =مخروط کے فرسٹم کا CSA + دائری قاعدہ کا رقبہ + استوانہ قاعدہ کا CSA
مربع سینٹی میٹرCapture 74
مربع سینٹی میٹر      Capture 75
مربع سینٹی میٹر=4860.9

بالٹی میں آنے والے پانی کا حجم (جو بالٹی کی گنجائش بھی کہلاتی ہے )Capture 76

مکب سینٹی میٹر Capture 77
  (تقریباً)لیٹر=33.62 مکعب سینٹی میٹرCapture 78
  
مشق 13.4
جب تک کچھ اور نہ کہا جائےs15لیجئے۔

1۔ ایک پانی پینے کا گلاس مخروط کے فرسٹ کی شکل کا ہے جس کی اونچائی 14 سینٹی میٹرہے اس کے دائری سروں کے قطر 4سینٹی میٹراور 2سینٹی میٹر ہیں۔ گلاس کی گنجائش معلوم کیجئے۔

2۔ مخروط فرسٹم کی ترچھی اونچائی 4سینٹی میٹراور اس کے دائری سروں کے محیط 18سینٹی میٹراور 6سینٹی میٹرہیں فرسٹم کی خمیدہ سطح کا رقبہ معلوم کیجئے۔

3۔ ایک ترکی ٹوپی مخروط کے فرسٹم کی شکل کی ہے (شکل 13.24 دیکھئے) اگر اس کے کھلے ہوئے حصہ کا نصف قطر10سینٹی میٹراور اوپری قاعدہ کا نصف قطر 4سینٹی میٹراور ترچھی اونچائی 14سینٹی میٹر ہے۔ اس ٹوپی کو بنانے میں استعمال ہونے والے میٹریل کا رقبہ معلوم کیجئے۔
24

شکل13.24

4۔ ایک مضروف (برتن)جو اوپر سے کھلا ہوا ہے دھات کی ایک شیٹ سے بنا ہوا ہے اور جو مخروط کے فرسٹم کی شکل کا ہے جس کی اونچائی 16سینٹی میٹراورنچلے اور اوپری سروں کے نصف قطر بالترتیب 8سینٹی میٹراور 20سینٹی میٹرہیں 20روپے فیلیٹر کی شرح سےاس مضروف (برتن)میں آنے والے دودھ کا خرچ معلوم کیجئے۔ جب کہ وہ پوری طرح سے دودھ سے بھرا ہوا ہو۔8روپے فی 100مکعب سینٹی میٹرکی شرح سے اس مضروف (برتن)کو بنانے میں استعمال ہوئی شیٹ کا خرچ بھی معلوم کیجئے۔(s16لیجئے)

5۔ دھات کے لئے ایک قائم دائری مخروط جس کی اونچائی 20سینٹی میٹرہے اور اس کا انتصابی زاویہ °60ہے، کو ٹھیک اس کی اونچائی کے وسط سے اس کے قاعدہ کے متوازی ایک مستوی کاٹ کر دو حصوں میں منقسم کردیا گیا ۔ اس طرح سے ملے فرسٹم کو پگھلا کرs34سینٹی میٹرقطر کا ایک تار بنایا گیا۔ تار کی لمبائی معلوم کیجئے۔

مشق13.5(اختیاری)

1۔ ایک استوانہ، جس کی لمبائی 12سینٹی میٹراور قطر10سینٹی میٹرکی خمیدہ سطح کو پوری طرح سے ڈھکنے کے لئے اس پر 3ملی میٹر قطر والا تانبہ کا ایک تار لپیٹا گیا۔ تار کی لمبائی اور کمیت معلوم کیجئے یہ مانتے ہوئے کہ تانبہ کی کشافت 8.88گرام فی مکعب سینٹی میٹرہے۔

2۔ ایک قائم مثلث جس کے اضلاع (وتر کے علاوہ) 3سینٹی میٹراور 4سینٹی میٹرہیں، کو اس کے وتر کے گرد گھما یا گیا اس طرح سے بنے دوہرے مخروط کا حجم اور سطحی رقبہ معلوم کیجئے(جو مناسب لگے pکہ وہی قدر لیجئے)۔

3۔ ایک ٹنکی جس کی داخلی (اندرونی) پیمائش 110سینٹی میٹر ×120سینٹی میٹر×150سینٹی میٹرہے۔ اس میں 129600مکعب سینٹی میٹرپانی ہے۔ اس کے اندر پورس کی اینٹیں جب تک رکھی گئیں جب تک کہ پانی کی ٹنکی میں کنارے تک نہیں آجاتا۔ہراینٹاپنےحجم کاs35پانی جذب کر لیتی ہے۔ اس میں کل کتنی اینٹیںرکھی جائیں کہ پانی اوپر تک بھرے نہ ہو۔ جب کہ ہر ایک اینٹ کی پیمائش سینٹی میٹر6.5×سینٹی میٹر7.5×سینٹی میٹر22.5؟

4۔ دئے ہوئے مہینہ کے15دنوں میں ایک ایک ندی کی واد ی میں10سینٹی میٹر بارش ہو۔(اگروادی) کا رقبہ 97280مربع کلو میٹرہے۔ دکھائے کہ اس وادی میں کل بارش تین دریاؤں جن میں ہر ایک 1075کلومیٹرلمبا 75میٹرچوڑا اور 3میٹرگہرا ہے میں موجود پانی کے حاصل جمع کے معادل ہے۔

5۔ تیل کا ایک قیف ٹن شیٹ کا بنا ہوا ہے۔ جس کا ایک حصہ استوانہ شکل کا ہے جس کی لمبائی 10سینٹی میٹرہے اور جو ایک مخروط کے فرسٹم سے جڑا ہوا ہے۔ اگر اس کی کل اونچائی 22سینٹی میٹراور استوانہ کا قطر8سینٹی میٹر اورقیف کے اوپری حصہ کا قطر 18سینٹی میٹر ہو تو اس کو بنانے میں استعمال ہوئی ٹن شیٹ کا رقبہ معلوم کیجئے (شکل 13.25دیکھئے)۔
25

شکل 13.25

6۔ سیکشن 13.5میں دئے گئے مخروط کے فرسٹم کے کل سطح کے رقبہ اور خمیدہ سطح کے رقبہ کے فارمولہ کو اخذکیجئے، اس میں علامتیں وہی ہونی چاہئیں جو اس میں دی گئی ہیں۔ یعنیs36وغیرہ۔

7۔ سیکشن 13.5میں دئے گئے مخروط کے فرسٹم کے حجم کا فارمولہ بتا ئیے۔ انہیں علامتوں کے ساتھ جو اس میں دی گئی ہیں۔ یعنیs36وغیرہ۔

13.6خلاصہ (Summary)

اس باب میں آپ نے مندرجہ ذیل باتیں سیکھیں

1۔ دوبنیادی ٹھوسوں جیسے، مکعب نما ، مخروط، اسطوانہ ، کرہ اور نصف کرہ سے ملا کر بنی نئی اشیاء کا رقبہ معلوم کرنا۔
2۔ دو بنیادی ٹھوسوں،مکعب نما، مخروط، استوانی کرہ، نصف کرہ سے ملا کر بنے ٹھوسوں کا حجم معلوم کرنا ۔
3۔ ایک قائم دائری مخروط دیا ہواہے۔ جس ایک مستوی سے اس کے قاعدہ کے متوازی کاٹا جاتا ہے۔ جب اس پر سے ایک چھوٹے مخروط کو علیحدہ کر دیا جاتا ہے تو نتیجہ میں ملا ٹھوس قائم دائری مخروط کا فرسٹم کہلاتا ہے۔
4۔ مخروط کے فرسٹم کے متعلق فارمولے ۔
(i) مخروط کے فرسٹم کا حجم=Capture 79
(ii) مخروط کے فرسٹم کی خمیدہ سطح کا رقبہCapture 80 جہاںCapture 81
(iii) مخروط کے فرسٹم کا کل سطحی رقبہ =Capture 82جہاں hفرسٹم کی انتصابی اونچائی lفرسٹم کی ترچھی اونچائی، r1اور r2فرسٹم کے دو قاعدوں کے نصف قطرہیں۔