14
شماریات (STATISTICS)
14.1تعارف (INTRODUCTION)
نویں کلاس میں آپ نے اعداد شمار کی غیر مرتب تعددی بٹاؤ میں درجہ بندی کرنا سیکھا آپ نے اعداد و شمار کا مختلف گراف جیسے ہسٹوگرام (جس میں متغیر چوڑائی والے بھی شامل بارگراف تعدد کثیرضلعی کا تصویری اظہار بھی سیکھا بلکہ آپ ایک قدم آگے بڑھ گئے کیونکہ آپ نے غیرم مرتب اعداد شمار کے عددی اظہار کا مطالعہ بھی کیا جسے مرکزی رجحان کی پیمائش کہتے ہیں جیسے درمیانہ، وسطانیہ اور موڈ۔ اس باب میں ہم ان تین پیمائشوں کی توسیع غیر مرتب اعداد شمار سے مرتب اعداد اور شمار تک کریں گے ہم مجموعی تعدد (cumulative frequency)، مجموعی تعدی بٹاؤ اور مجموعی تعددی منحنی جسے اوجائیو(Ogives)بھی کہتے ہیں، کو کس طرح بنایا جاتا ہے، کے تصور کا مطالعہ کریں گے۔
14.2مرتب اعداد شمار کا درمیانہ
مشاہدات کا درمیانہ (یا اوسط)جیسا کہ ہم جانتے ہیں، تمام مشاہدات کے حاصل جمع کو مشاہدات کی کل تعداد سے تقسیم کرنے پر حاصل ہوتا ہے۔ یاد کیجئے آپ نے نویں کلاس میں بڑھا تھا اگر 
مشاہدات ہیں اور
ان کے متعلقہ تعدد ہیں۔ اتب درمیانہ مشاہدہ
بار
بار واقع ہوتا ہے۔
اب مشاہدات کا حاصل جمع =
ور مشاہدات کی تعداد =
اس لئے دئے ہوئے اعداد و شمار کا درمیانہ ہے۔
یاد کیجئے ہم یونانی علامت ∑(سگما)کا استعمال کر کے اس کو مختصر شکل میں لکھ سکتے ہیں
جس کو مزید مختصر کرنے پر لکھا جاتا ہے۔
، یہ بات ظاہر کہ i،
1سے nتک کی قدر دیتا ہے۔آئیے اس فارمولہ کو مندرجہ ذیل مثال میں درمیانہ معلوم کرنے میں کرتے ہیں۔
مثال 1: ایک اسکول کی دسویں کلا س کے 30طلباء کے ذریعے حاصل کردہ ریاضی میں 100نمبروں میں سے حاصل کردہ نمبر مندرجہ ذیل جدول میں دئے گئے ہیں۔ طلباء کے ذریعے حاصل کئے گئے نمبروں کا درمیانہ معلوم کیجئے۔
حاصل کردہ نمبر( ) |
10 | 20 | 36 | 40 | 50 | 56 | 60 | 70 | 72 | 80 | 88 | 92 | 95 |
طلبا کی تعداد( ) |
1 | 1 | 3 | 4 | 2 | 2 | 4 | 4 | 1 | 1 | 2 | 3 | 1 |
کا اس کے نظیریسے اصل ضرب درکار ہے۔ آئیے پہلے اس کو کالموں میں رکھتے ہیں جیسا شکل 14.1میں دکھا یا گیا ہے۔| ()حاصل کرہ نمبر |
()طلباء کی تعداد |
|
| 10 20 36 40 50 56 60 70 72 80 88 92 95 |
1 1 3 4 3 2 4 4 1 1 2 3 1 |
10
20
108
160
150
112
240
280
72
80
176
276
95
|
| کل |  =30 |
=1779 |
اس لئے حاصل کردہ نمبروں کا درمیانہ ہے =59.3
روز مرّہ کی زندگی کی صورت حال میں زیادہ تر یہ ہوتا ہے کہ اعداد و شمار عام طور پر اتنے زیادہ ہوتے ہیں کہ ان کے معنی خیز مطالعہ کے لئے ان کو مرتب اعداد وشمار میں یکجاکیا جائے۔ اس لئے ہمیں غیر مرتب اعداد و شمار کو مرتب اعداد و شمار میں بدلنے کی ضرورت ہے اورایک ایسا طریقہ معلوم کریں جس سے ان کا درمیانہ معلو م کیاجا سکے۔
آئیے مثال 1میں دیئے گئے غیر مرتب اعداد وشمار15کو چوڑائی والے کلاس وقفہ لے کر مرتب اعداد وشمار میں تبدیل کرتے ہیں۔ یاد کیجئے کہ ہر کلاس وقفہ کا تعدد لکھتے وقت ، طلباجو بالائی کلاس حد میں آئے۔ ان کو اگلی کلاس میںشامل کرتے ہیںمثال کے طور پر 4طلبا جنہوں نے 40نمبرحاصل کئے ہیں ان کو کلاس وقفہ 55-40میں شامل کریں گے۔ 40-25میں نہیں۔ اس بات کو ذہن میں رکھتے ہوئے آئیے مرتب تعددی بناوٹ جدول بناتے ہیں(جدول 14.2دیکھئے)
جدول 14.2
| کلاس وقفہ | 10-25 | 25-40 | 40-55 | 55-70 | 70-85 | 85-100 |
| طلباء کی تعداد | 2 | 3 | 7 | 6 | 6 | 6 |
اب ہمیں ہرکلاس وقفہ کے لئے ایک ایسا نقطہ چاہیے جو پوری کلاس کی نمائندگی کرے۔ ایسا مانا جاتا ہے ہر کلاس وقفہ کی تعدد اس کے وسطیٰ نقطہ کے ارد گرد مرکوز ہوتی ہے۔ اس لئے ہرکلاس وقفہ کا وسطیٰ نقطہ (کلاس مارک) اس کلاس میں آنے والے مشاہدات کی نمائندگی کے لئے چنا جاتا ہے۔ یاد کیجئے کہ ہم کسی کلاس کا وسطی نقطہ (یا کلاس مارک)اس کی بالائی اور زیریں حد کی اوسط معلوم کر کے نکالتے ہیں: یعنی
جسے جدول 14.2میں کلاس 25-10کے کلاس مارک
یعنی 17.5ہیں
اسی طرح سے ہم باقی کلاس وقفوں کے کلاس مارکس آسانی سے نکال سکتے ہیں۔ ان مارکس کو ہم
تصور کرتے ہیں اب عمومی طور پرiویںکلاس وقفہ کے لئے تعدد
ہے اور اس کا نظیری کلاس مارک
ہے۔ اب ہم اسی طریقہ سے درمیانہ معلوم کریں گے جیساکہ مثال1میں کیا گیا ہے۔
جدول 14.3
| کلاس وقفہ | طلباء کی تعداد | کلاس مارک | |
10-25
25-40
40-55
55-70
70-05
85-100
|
2
3
7
6
6
6
|
17.15
32.5
47.5
62.5
77.5
92.5
|
35-0
97-5
332.5
375.5
465.0
555.0
|
| کل | =30 |
=1860.0 |
آخری کالم میں ملا قدروں کا حل جمع ہمیں
دیتا ہے اس لئے دئے ہوئے اعداد و شمار کا درمیانہ
ہے ۔
درمیانہ معلوم کرنے کے اس نئے طریقہ کو راست طریقہ کہتے ہیں درمیانہ معلوم کرنے کا ہم نے یہ مشاہدہ کیا جدول 14.1اور 14.3میں ایک ہی اعداد و شمار کو استعمال کیا گیا اور درمیانہ معلوم کرنے کا ایک ہی فارمولہ لگایا گیا لیکن نتیجہ مختلف آیا۔ کیا آپ سوچ سکتے ہیں کہ ایسا کیوں ہوا، اور ان میں سے کون سا طریقہ زیادہ صحیح ہے؟ دو قددروں میں یہ فرق جدول 14.2میں لئے گئے وسطی کی وجہ سے ہے، 59.3صحیح درمیانہ ہے جب کہ 2تقریبی۔
کبھی جباور کے عددی قدر بہت بڑی ہوتی ہے تباور کاحاصل ضرب معلوم کرنا کافی مشکل اور پیچیدہ ہوجاتا ہے۔ ایسی صورت حال کے لئے کوئی ایسا طریقہ سوچئے جس سے تحسیبات میں کافی آسانی ہو جائے۔
کے ساتھ کچھ بھی نہیں کر سکتے لیکن ہمکو ایک چھوٹے عدد میں بدل سکتے ہیں۔
تاکہ تحسیبات مختصر اور آسان ہو جائیں۔ آپ ایسا کیسے کریں ۔ ایک متعین عدد کو میں سے گھٹانے کے بارے میں آپ کا خیال ہے ۔ آئیے اس طریقہ کو استعمال کرنے کی کوشش کرتے ہیں۔
سب سے پہلا قدم یہ ہے کہ
میں ایک درمیانہ فرض کیجئے اوراس کو’a‘سے ظاہر کیجئے ۔ اپنے تحسیبات کو مزید آسان بنانے کے لئے ہم وہ فرض کرتے ہیں جو
کے وسط میں ہے اس لئے ہم a=47.5یا a=62.5چن سکتے ہیں، آئیے a=47.5چنئے
سے انحراف یعنی 
بہتر اقدام اور 
کا حاصل ضرب معلوم کرنا ہے اورتمامکا حاصل جمع معلوم کرنے سے یہ تحسیب مندرجہ ذیل جدول 14.4میں دکھائی گئی ہے۔
جدول 14.4
| کلاس وقفہ | ()طلباء کی تعداد |
()کلاس مارکس |
=-47.5 |
. |
10-25
25-40
40-55
55-70
70-85
85-100
|
2
7
7
6
6
6
|
17.5
32.5
47.5
62.5
77.5
92.5
|
-30
15
0
15
30
45
|
-60
-45
0
90
180
270
|
| کل | =30 |
=435 |
اس لئے جدول 14.4سے انحرافوں کا درمیانہ
اب
اور 
کے درمیان تعلق کو معلوم کیجئے۔
کیونکہ حاصل کرنے کے لئے ہم ، (a)کو ہر ایک x گھٹانے اس لئے درمیانہ حاصل کرنے کے لئے ہمیںمیں aکو جمع کرنے کی ضرورت ہے۔ اس کو ریاضیاتی طور پر ہم لکھتے ہیں۔
انحراف کا درمیانہ
اس لئے 
اس لیے 
یعنی 
اور کی قدریں رکھنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے ۔
اس لئے حاصل کردہ نمبروں کا درمیانہ 62ہے۔
اوپر جس طریقہ پر بحث کی گئی ہے اسے فرض کئے گئے درمیانہ کا طریقہ
سرگرمی1: جدول 14.3سے(یعنی 17.5, ،35.5 اور اسی طرح آگے بھی) کو aکے طور پرلے کر درمیانہ معلوم کیجئے آپ کیا مشاہدہ کرتے ہیں۔ آپ دیکھتے ہیں کہ ہر ایک حالت میں نکالا گیا درمیانہ ایک ہی ہے یعنی 62۔(کیوں)
اس لئے ہم کہہ سکتے ہیں کہ درمیانہ کی قدر aکے انتخاب پر منحصر نہیں ہے۔
جدول 14.4میں مشاہدہ کیجئے کالم کی تمام قدریں 15کے اضعاف ہیں۔ اس لئے اگر کالم کے تمام قدروں کو ہم 15سے تقسیم کریں تو ہمیں بہت سے چھوٹے عدد ملیں گے جن کو سے ضرب کرنا ہوگا۔
(یہاں 15ہر ایک کلاس کا سائز ہے)
اس لئے مان لیجئے 
، جہاں فرض کیا گیا درمیانہ aاور hکلاس کا سائز ہے۔ اب ہم اس طرح سے معلوم کریں اور
پھر ) h=15لے کر۔ آئیے جدول 14.5بناتے ہیں۔
جدول 14.5
| کلاس وقفہ | |
|
=-a |
|
 |
| 10-25 25-40 40-55 55-70 7085 85-100 |
2 3 7 6 6 6 |
17.5 32.5 47.5 62.5 77.5 92.5 |
-30 -15 0 15 30 45 |
-2 -1 0 1 2 3 |
-4 -3 0 6 12 18 |
| کل |  |
=29 |
مان لیجئے
یہاں، دوبارہ، آئے اور
کے درمیان تعلق معلوم کرتے ہیں۔
ہمارے پاس ہے 
اس لئے 
یعنی 
اب جدول 14.5سے قدریں a،h،اور، رکھنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے
=47.5+14.5=62
اس طرح سے طالب علم کے ذریعے حاصل کردہ نمبروں کا درمیانہ 62ہے
اوپر بحث کیا گیا طریقہ حرکت انحراف طریقہ کہلاتا ہے
ہم نوٹ کرتے ہیں کہ
• حرکت انحراف استعمال کرنے میں آسان ہوگا اگر میں کوئی مشترک جزو ضربی ہوں
• تینوں طریقوں سے نکالا گیا درمیانہ ایک ہی ہے
• فرض کیا گیا درمیانہ اور حرکت انحراف طریقہ، راست طریقہ کی مختصر شکل ہے۔
•λ فارمولہ
پھر بھی صحیح ہے اوراستعمال ہوگا اگر aاورhایسے دئے ہوئے نہیں ہوں جیسے اوپر دئے گئے ہیں لیکن کوئی غیر صفر اعداد ہوں جبکہ 
آئیے ان طریقوں کو دوسری مثالوں میں حل کرتے ہیں
مثال 2: نیچے دئے گئے جدول میں ہندوستان کے مختلف صوبوں اور مرکز کے زیر انتظام علامتوں کے دیہاتی علاقوں کے پرائمری اسکول کی خاتون ٹیچر کافی صد بٹاؤ دیا ہوا ہے۔ خاتون ٹیچرس کا دریانہ فیصد مذکورہ بالا تینوں طریقوں سے معلوم کیجئے۔
| خاتون ٹیچر کا فی صد | 15-25 | 25-35 | 35-45 | 45-55 | 55-65 | 65-75 | 75-85 |
| صوبوںU.T/کی تعداد | 6 | 11 | 7 | 4 | 4 | 2 | 1 |
(ذرائع : این سی ای آر ٹی کے ذریعے کئے گئے ساتواں کل ہند اسکولی تعلیم سے متعلق کا سروے کے مطابق)
حل : لیجئے اس لئے پہلے ہرایک لاس کے کلاس مارکس معلوم کرتے ہیں۔ اور ان کو کالموں میں رکھتے ہیں (دیکھئے جدول 14.6)
جدول 14.6
| خاتون ٹیچرس کا فی صد | صوبوں کی تعداد | |
15-25
25-35
35-45
45-55
55-65
65-75
75-85
|
6
11
7
4
4
2
1
|
20
30
40
50
60
70
80
|
یہاں ہمh=10, a=50 لیتے ہیں تب 
اور 
اب ہم اور 
معلوم کریں گے اور ان کو جدول 14.7میں رکھیں گے۔
جدول 14.7
| خاتون ٹیچرس کا فی صد | صوبوںUT/کی تعداد | |
|
|
|
|
|
15-25
25-35
35-45
45-55
55-65
65-75
75-85
|
6
11
7
4
4
2
1
|
20
30
40
50
60
70
80
|
-30
-20
-10
0
10
20
30
|
-3
-2
-1
0
1
2
3
|
120
330
280
200
240
140
80
|
-180
-220
-70
0
40
40
30
|
-18
-22
-7
0
4
4
3
|
| کل | 35 | 1390 | -360 | -36 |
اوپر دئے گئے جدول سے ہمیں ملتا ہے
راست طریقہ کو استعمال کرنے پر
حرکت انحراف طریقہ اپنانے پر
اس لئے دیہاتی علاقوںکے پرائمری اسکول کے خاتون ٹیچر س کا فیصد درمیانہ 39.71ہے۔
ریمارک: تینوں طریقوں سے نتیجہ ایک ہی آیا۔ اس لئے استعمال کئے گئے طریقہ کے انتخاب اور کی عددی قدروں پر ہوتا ہے اگر اور کافی چھوٹے ہیں تب راست طریقہ کافی مناسب ہے۔ اگر اورعددی طور پر کافی بڑے ہیں تب ہم درمیانہ یا حرکت انحراف طریقہ کا استعمال کرتے ہیں۔اگر کلاس کے سائز غیر مساوی ہیں تب بھی ہم حرکت انحراف کا طریقہ استعمال کریں گے اس کے لئے ہم hکو ایک مناسب قاسم کے طورپر لیا ہوگا۔
| وکٹوں کی تعداد | 20-60 | 60-100 | 100-150 | 150-250 | 250-350 | 350-450 |
| بولروں کی تعداد | 7 | 5 | 16 | 12 | 2 | 3 |
حل : یہاں کلاس کا سائز بدلتا ہے اوربڑے ہیں، اس لئے ہم حرکت انحراف طریقہ کو استعمال کریں گے جس میں a=200اور h=20لے کر تب ہمیں جدول 14.8کے اعداد و شمار ملیں گے۔
 |
 |
=-200 |
|
بولروں کی تعداد | لی گئی وکٹ کی تعداد |
| -56 -30 -60 0 10 30 |
-8 -6 -3.75 0 5 10 |
-160
-120
-75
0
100
200
|
40 80 120 200 300 400 |
7 5 16 12 2 3 |
20-60 60-100 100-150 150-250 250-350 350-450 |
| -106 | 45 | کل |
اس لئے 
اس سے پتہ چلتا ہے کہ اوسطاً 45بولروں کے ذریعے ایک دن کی کرکٹ میں لی گئی وکٹوں کی تعداد 152.89ہے۔ اسے ہم دیکھتے ہیں کہ کس طرح ہم اس سیکشن میں پڑھے گئے تصورات کا اچھی طرح استعمال کریں گے۔
سرگرمی752: اپنی کلاس کے طلباء کو 3گروپوں میں بانٹئے اور ہر ایک گروپ سے مندرجہ ذیل عملی کام کرنے کے لئے کہیں
مشق 14.1
1۔ طلباء کے ایک گروپ–2 ماحول سے آگاہی کے پروگرام کے ایک جز کی حیثیت سے ایک سروے کیا۔ جس میں انہوں نے علاقہ کے 20گھروں میں لگے ہوئے پودوں کی تعداد سے متعلق اعداد و شمار کو اکٹھا کیا، ایک مکان میں لگے پودوں کا درمیان معلوم کیجئے۔
| 12-14 | 10-12 | 8-10 | 6-8 | 4-6 | 2-4 | 0-2 | پودوں کی تعداد |
| 3 | 2 | 6 | 5 | 1 | 2 | 1 | مکانوں کی تعداد |
| 580-600 | 560-580 | 540-560 | 520-540 | 500-520 |
روزانہ ملنے والی اجرت (رپیوں میں) |
| 10 | 6 | 8 | 14 | 12 | ملازموں کی تعداد |
| 23-25 | 21-23 | 17-19 | 17-19 | 15-17 | 13-15 | 11-13 | روزانہ جیب خرچ روپیوں میں |
| 4 | 5 | f | 13 | 9 | 6 | 7 | بچوں کی تعداد |
| 83-86 | 80-83 | 77-80 | 74-77 | 71-74 | 68-71 | 65-68 | فی منٹ دل کی دھڑکن |
| 2 | 4 | 7 | 8 | 3 | 4 | 2 | عورتوں کی تعداد |
5۔ ایک پھٹکر مارکیٹ میں پھل فروش پیکنگ بوکس میں رکھے ہوئے آموں کے بیچتے ہیں ان بکسوں میں آموں کی تعداد مختلف ہوتی ہے۔ مندرجہ ذیل میں آموں کا بکسوں کی تعداد کے مطابق بٹاؤ دیا ہوا ہے۔
| 62-64 | 59-61 | 56-58 | 53-55 | 50-52 | آموں کی تعداد |
| 25 | 115 | 135 | 110 | 15 | بکسوں کی تعداد |
6۔ مندرجہ ذیل جدول ایک علاقہ کے 25گھروں کا کھانے پر ہو روزانہ کا خرچ دیکھا گیا ہے۔
| 300-350 | 250-300 | 200-250 | 150-200 | 100-150 | روز خرچ(روپیوںمیں) |
| 2 | 2 | 12 | 5 | 4 | گھروں کی تعداد |
کھانے پر ہونے والے روزانہ کے خرچ کا درمیانہ معلوم کیجئے، اس کے لئے آپ کوئی بھی مناسب طریقہ استعمال کر سکتے ہیں۔
7۔ ہوا میں 502کا concentration(ارتکاز) معلوم کیجئے(P.P.M)ایک شہر کے 30علاقوںسے اکٹھے کئے گئے اعداد و شمار نیچے دئے گئے ہیں۔
| تعداد | SO2کا ارتکاز(in PPm) |
| 4 9 9 2 4 2 |
0.00-0.04 0.04-0.08 0.08-0.12 0.12-0.16 0.16-0.18 0.18-0.24 |
ہوامیںSO2 کا درمیانہ ارتکازمعلوم کیجئے۔
8۔ ایک کلاس ٹیچر کے پاس مندرجہ ذیل 40طلباء کا پورے سال کا غیر حاضری کاریکارڈ ہے۔ طلباء جتنے دن غیر حاضر رہیں۔ اس کا درمیانہ معلوم کیجئے۔
| دنوں کی تعداد | 0-6 | 6-10 | 10-14 | 14-20 | 20-28 | 28-38 | 38-40 |
| طلباء کی تعداد |
11 | 10 | 7 | 4 | 4 | 3 | 1 |
9۔ ذیل میں شہروں کی خواندگی (فی صدمیں) کی شرح دی گئی ہے۔ خواندگی کی درمیانہ شرح معلوم کیجئے۔
| (%میں) خواندگی کی شرح | 45-55 | 55-65 | 65-75 | 75-85 | 85-95 |
| شہروں کی تعداد |
3 | 10 | 11 | 8 | 3 |
14.3مرتب اعداد و شمار کا موڈ
آئیے یاد کرتے ہیں کہ ہم نے غیر مرتب اعداد شمار کا موڈ کس طرح معلوم کیا تھا مندرجہ ذیل مثال پرغور کیجئے۔
مثال 5:ایک بولرکے ذریعے 10میچوں میں لئے جانے والے وکٹوں کی تعداد ذیل میں دی گئی۔
| وکٹوں کی تعداد |
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| میچوں کی تعداد |
1 | 1 | 3 | 2 | 1 | 1 | 1 |
صاف ظاہر ہے ، 2، وکٹوں کی وہ تعداد ہے جو بولر نے سب سے زیادہ لی ہیں(یعنی3)اس لئے ان اعداد شمار کا موڈ 2ہے۔
مرتب تعدد بٹاؤ میں یہ ممکن نہیں کہ اب صرف تعدد کودیکھ کر ہی موڈمیں بانٹ دیں، یہاں ہم پہلے اس کلاس کو تلاش کریں جس کا تعدد سب سے زیادہ rہے، جو موڈل کلاس کہلاتی ہے۔ یہ موڈ اس موڈل کلاس میں کہیں ہوگااور اس کو ہم مندرجہ ذیل فارمولہ سے معلوم کریں گے۔
موڈجہاں I=موڈل کلاس کی نچلی حد
اس فارمولہ کے استعمال کی وضاحت کے لئے آئیے مندرجہ ذیل مثالوں پر غور کرتے ہیں
| کنبہ کا سائز |
1-3 | 3-5 | 5-7 | 7-9 | 9-11 |
| کنبوں کی تعداد | 7 | 8 | 2 | 2 | 1 |
موڈل کلاس سے پہلے کا تعدد 
اس لئے اب ان قدروں کوفارمولہ میں رکھتے ہیں
موڈ
اس طرح سے مذکورہ بالا اعداد و شمار کا موڈ 3.28ہے۔
مثال 6:ریاضی کے ایک امتحان میں 30طلباء کے ذریعے حاصل کردہ نمبروں کا بٹاؤ مثال 1کے جدول 14.3میں دیا گیاہے۔ اس اعداد و شمار کا موڈ معلوم کیجئے۔ درمیانہ اور موڈ کا موازنہ کریں اور ان کی ترجمانی کریں۔
موڈ
موڈاس لئے نمبروں کا موڈ52ہے۔
ریمارک :
| عمر (سالوں میں) |
5-15 | 15-25 | 25-35 | 35-45 | 45-55 | 55-65 |
| مریضوں کی تعداد |
6 | 11 | 21 | 23 | 14 | 5 |
| (گھنٹوں میں ) زندگی کا وقت |
0-20 | 20-40 | 40-60 | 60-80 | 80-100 | 100-120 |
| تعدد |
10 | 35 | 52 | 61 | 38 | 29 |
| کنبوں کی تعداد |
خرچ (روپیوں میں) |
29
40
33
28
30
22
16
7
|
1000-1500
1500-2000
2000-2500
2500-3000
3000-3500
3500-4000
4000-4500
4500-5000
|
| صوبوں/UT | طلباء کی تعداد فی استاد |
| 3 8 9 10 3 0 0 2 |
15-20 20-25 25-30 30-35 35-40 40-45 45-50 50-55 |
| بلے بازوں کی تعداد |
اسکور کئے گئے رن |
| 4 18 9 7 6 3 1 1 |
3000-4000 4000-5000 5000-6000 6000-7000 7000-8000 8000-9000 9000-10000 10000-11000 |
| کاروں کی تعداد |
0-10 | 10-20 | 20-30 | 30-40 | 40-50 | 50-60 | 60-70 | 70-80 |
| تعدد |
7 | 14 | 13 | 12 | 20 | 11 | 15 | 8 |
مشاہدات درمیانہ اور اگر n جفت ہوتو
مشاہدہ کا اوسط 100 طالب علموں کے ایک مثبت میں 50 میں حاصل کئے گئے نمبر دکھائے گئے ہیں ۔| حاصل کردہ نمبر |
20 | 29 | 28 | 33 | 42 | 38 | 43 | 25 |
| طلبا کی تعداد |
6 | 28 | 24 | 15 | 2 | 4 | 1 | 20 |
| حاصل کردہ نمبر |
طلبا کی تعداد |
| 6 20 24 28 15 4 2 1 |
20 25 28 29 33 38 42 43 |
| 100 |
کل |
اور 
مشاہدہ کا اوسط ہوگا بھی 50th ویں اور 51th ویں اور مشاہدہ ان مشاہدوں کو معلوم کرنے کے لیے ہم مندرجہ ذیل طریقوں سے آگے بڑھتے ہیں ۔ | طلبا کی تعداد |
حاصل کردہ اعداد |
| 6 6+20=26
26+24=25
50+28=78
78+15=93
93+4=97
97+2=99
99+1=100
|
20 25تک 28تک 29تک 33تک 38تک 42تک 43تک |
اب اس اطلاع کو تعدد جدول میں دکھانے کے لیے ہم ایک اور کالم اس میں جوڑتے ہیں جسے مجموعی تعدد کالم کہتے ہیں ۔
جدول 14.11
| مجموعی تعدد |
طلبا کی تعداد |
حاصل کردہ نمبر |
| 6 26 50 78 93 97 99 100 |
6 20 24 28 15 4 2 1 |
20 25 28 29 33 38 42 43 |
ریمارک : جدول 14.11 کا حصہ جس میں کالم 1 اور 3 ہیں ۔ مجموعی تعدد کہلاتا ہے ۔ نمبروں کا وسطانیہ 28.5 سے پتہ چلتا ہے کہ %50 طلبا کے نمبر28.5 سے کم اور %50 طلبا کے نمبر 28.5 سے زیادہ ہیں ۔
آئیے اب دیکھتے ہیں کہ مرتب اعداد و شمار کا وسطانیہ کیسے معلوم کیا جاتا ہے ۔ اس کے لئے ہم مندرجہ ذیل صورت حال پر غور کرتے ہیں ۔
| نمبر |
طلباء کی تعداد |
| 5 3 4 3 3 4 7 9 7 8 |
0-10 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100 |
اس جدول کو دیکھ کر مندرجہ ذیل سوالوں کے جواب دیجیے
کتنے طلبا نے 10 سے کم نمبر حاصل کئے ؟ اس کا جواب واضح ہے کہ 5 ہے ۔ کتنے طلباء نے 20 نمبر وں سے کم نمبر حاصل کئے ان طلبا کی تعداد میں جنہوں نے 20 سے کم نمبر حاصل کیے ہیں وہ طلبا بھی شامل ہیں جنہوں 10-0 کے درمیان حاصل کیے ہیں ۔
اور وہ طلبا بھی جنہوں نے 20-10کے درمیان نمبر حاصل کئے ہیں اس لئے طلباء جنہوں نے 20 سے کم نمبر حاصل کئے ہیں اس کی تعداد ہے 3+5یعنی 8 اس لئے ہم کہتے ہیں کہ کلاس 20-10 کا مجموعی تعدد8 ہے۔
اسی طرح سے ہم دوسری کلاسوں کی مجموعی تعداد بھی معلوم کرسکتے ہیں یعنی ان طلبا کی تعداد جن کے نمبر30 سے کم 40 سے کم 100 سے کم ۔ہم ان کو جدول 14.13 میں دیکھیں گے ۔
| طلبا کی تعداد |
حاصل کردہ نمبر |
| 5 5+3=8
8+4=12
12+3=15
15+3=18
18+4=22
22+7=29
29+9=38
38+7=45
45+8=53
|
10 سےکم 20سےکم 30سےکم 40سےکم 50 سےکم 60 سےکم 70 سےکم 80 سےکم 90 سےکم 100 سےکم |
مذکورہ بٹاؤ (سے کم ) مجموعی تعدد بٹاؤ کہلاتا ہے ۔ یہاں30,20,10.....,100 ترتیب وار کلاسوں کی بالائی حدود ہیں ۔ ہم اسی طرح سے ان طلباء کی تعداد جدول بناسکتے ہیں جنہوں نے 0 سے زیادہ یا برابر ،10 سے زیادہ یا برابر 20 سے زیادہ یا برابر نمبر حاصل کئے ہوں جدول 14.12 سے مشاہدہ کرتے ہیں کہ تمام 53 طلباء نے 0 سے زیادہ یا برابر نمبر حاصل کئے ہیں ۔ کیونکہ ایسے 5 طلبا نے 10 یا 10 سے زیادہ نمبر حاصل کئے ہیں ۔ اسی طرح سے جاری رکھتے ہیں ہمیں ان طلباء کی تعداد معلوم ہوجائے گی جنہوں نے 20 یا 20 سے زیادہ نمبر حاصل کئے ہیں یعنی 3-48=45 طلباء اور 30 سے یا 30 سے زیادہ 4-45=41 طلباء اور آگے تک جیسا کہ جدول 14.14 میں دکھایا گیا ہے ۔
| طلبا ء کی تعداد ( مجموعی تعدد ) |
حاصل کردہ نمبر |
| 53 53-5=48
48-3=45
45-4=41
41-3=38
38-3=35
35-4=34
31-7=24
24-9=15
15-7=8
|
0 کے برابر یا زیادہ 10 کے برابر یا زیادہ 20کے برابر یا زیادہ 30کے برابر یا زیادہ 40کے برابر یا زیادہ 50کے برابر یا زیادہ 60کے برابر یا زیادہ 70 کے برابر یا زیادہ 80 کے برابر یا زیادہ 90 کے برابر یا زیادہ |
مندرجہ بالا جدول سے زیادہ قسم کا مجموعی تعددجدول ہے ۔ یہاں 20,10,0,.....90 مناظر کلاس وقفوں کے نچلی (زیریں ) حد کہلاتی ہے۔اس لیے مرتب اعداد و شمار کا وسطانیہ معلوم کرنے کے اس میں سے کسی ایک مجموعی تعدد جدول کا استعمال کرسکتے ہیں ۔
| نمبر |
طلبا کی تعداد(f) |
مجموعی تعدد (cf) |
| 0-10 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100 |
5 3 4 3 3 4 7 9 7 8 |
5 8 12 15 18 22 29 38 45 53 |
اب مرتب اعداد و شمار میں ہم مجموعی تعدد کو دیکھ کر وسطی مشاہدہ نہیں معلوم کرسکتے کیونکہ وسطی قدر کلاس وقفہ میں کہیں ہوگی ۔ اس لئے یہ ضروری ہے کہ یہ قدر اس کلاس کے اندر تلاش کی جائے جو تعددی بٹاؤ کو دو نصف میں تقسیم کردے ۔ لیکن یہ کلاس کون سی ہوگی ؟
اور ۔(اور اسے نزدیک سے بڑا ہو۔)اب سے بڑا ( اور نزدیک ) ہے یعنی 26.5۔اس لئے 70-60 وسطانیہ کلاس ہے
وسطانیہ وسطانیہ کہ نچلی حد =I
وسطانیہ کلاس کی تعداد =f
کلاس سائز (یہ مانتے ہوئے کہ کلاس سائز یکسا ں ہوں ) =h
فارمولہ میں رکھنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے 
وسطانیہ 
اس طرح سے تقریباً آدھے طلبا ء نے 66.4 سے زیادہ نمبر حاصل کئے ۔
| لڑکیوں کی تعداد |
اونچائی (cm میں ) |
| 4 11 29 40 46 51 |
140 سے کم 145سے کم 150سے کم 155 سے کم 160 سے کم 165 سے کم |
وسطانیہ اونچائی معلوم کیجیے
حل: وسطانیہ اونچائی معلوم کرنے کے لیے ہمیں کلاس وقفہ اور ان کا نظیر ی تعدد معلوم کرنے میں دیا ہوا تعددی بٹاؤ کم سے کم کا ہے 150,145,140,.....165 نظیری کلاس وقفوں کی بالائی حدیں ہیں ۔ اس لئے کلاس 140 سے کم ہے :
مشاہدہ کیجیے کہ دئے ہوئے بٹاؤ سے ہم پاتے کہ 4 لڑکیا ں ایسی ہیں جن کی اونچائی 140 سے کم ہے یعنی 140 سے کم کے کلاس وقفوں کا تعدد4 ہے ۔ 11 لڑکیاں ایسی ہیں جن کی اونچائی 145 سے کم ہے اور 4 ایسی ہیں جن کی 140 سے کم ہے اس لیے ان لڑکیوں کی تعداد انچائی قفہ 145-140 ہے ۔ (4-11)یعنی 7اسی طرح سے 150-145 کا تعدد(11-29)یعنی 18 ہے اور 155-150 کا تعدد (29-40)یعنی 11 ہے اور آگے تک ۔ اس لئے ہمارا تعددی بٹاؤ جدول مجموعی تعدد کے ساتھ ہوگا ۔
| مجموعی تعدد |
تعدد |
کلاس کا وقفہ |
| 4 11 29 40 46 51 |
4 7 18 11 6 5 |
140 سے کم 140-145 145-150 150-155 155-160 160-165 |
اب 51=n اس لئے 
یہ مشاہدہ (150-145) کے درمیان واقع ہے
وسطانیہ 
وسطانیہ
اس لئے لڑکیوں کے وسطانیہ اونچائی 149.03 سینٹی میٹر ہے۔
اس کا مطلب ہے کہ %50 لڑکیوں کی اونچائی اس اونچائی سے کم اور %50 کی اس اونچائی سے زیادہ ہے ۔
| تعدد |
کلاس وقفہ |
| 2 5 x 12 17 20 y 9 7 4 |
0-100 100-200 200-300 300-400 400-500 500-600 600-700 700-800 800-900 900-1000 |
| مجموعی تعدد |
تعدد |
کلاس کا وقفہ |
| 2 7 7+x 19+x 36+x 56+x 56+x+y 65+x+y 72+x+y 76+x+y |
2 5 x 12 17 20 y 9 7 4 |
0-100 100-200 200+300 300+400 400+500 500+600 600+700 700+800 800+900 900+1000 |
یہ دیا ہوا ہے کہ 100=n، اس لئے
76+x+y=100
وسطانیہ
اب آپ نے تینوں مرکزی رجحان کے پیمائشوں کے بارے میں پڑھ لیا ۔ آئیے اب بحث کرتے ہیں کہ کون سی پیمائش کسی خاص ضرورت کے لئے سب سے بہتر ہے ۔
درمیانہ سب سے زیادہ استعمال ہونے والی مرکزی رجحان کی پیمائش ہے کیونکہ اس میں ہم تمام مشاہدات کو شامل کرتے ہیں اور یہ سب سے بڑے اور سب سے چھوٹے مشاہدہ کے درمیان ہوتا ہے ۔ یہ ہمیں دو یا دو سے زیادہ بٹاؤ کا موازنہ کرنے میں بھی مدد دیتا ہے ۔ مثال کے طور پر کسی خاص امتحان میں مختلف اسکولوں میں طلباء کے نتائج کا موازنہ کرنے سے ہمیں پتہ چلتا ہے کہ کس اسکول کی کارکردگی سب سے بہتر ہے ۔ جب کہ اعداد و شمار کی انتہائی قدریں (سب سے چھوٹی اور سب سے بڑی ) درمیانہ پر اثر انداز ہوتی ہیں ۔ مثال کے طور پر کم یا زیادہ تعدد کی کلاسوں کا درمیانہ اعداد و شمار کی صحیح نمائندگی کرتا ہے ۔ لیکن اگر ایک کلاس کا تعدد مان لیجیے 2 ہے اور 5 دوسری کلاسوں کا تعدد 15,21,20,25,20 تب درمیانہ اعداد و شمار کی صحیح عکاسی نہیں کرے گا ۔
ایسے مسئلوں میں جہاں انفرادی مشاہدات کی کوئی اہمیت نہیں ہوتی اور ہمیں ایک اشارتی مشاہدہ معلوم کرنا ہوتا ہے ، ایسی حالت میں وسطانیہ سب سے زیادہ مناسب معلوم ہوتا ہے مثال کے طور پر ملک کے ملازمین کا اوسط اجرت
ملازمین کے ذریعے مخصوص پیداوار کی شرح وغیرہ معلوم کر اجرت وغیرہ ۔ یہ ایسی صورت حال ہیں جہاں انتہائی قدریں ہوتی ہیں اس لئے ان حالتوں کے درمیانہ کے بجائے وسطانیہ بہتر مرکزی رجحان کی پیمائش ہے ۔
ریمارک:
مشق 14.3
| لوگوں کی تعداد |
ماہانہ خرچ |
| 4 5 13 20 14 8 4 |
65-85 85-105 105-125 125-145 145-165 165-185 185-205 |
اگرمندرجہ ذیل بٹاؤ کا وسطانیہ 28.5 ہے xتو y کی قدریں معلوم کیجیے ۔
| تعدد |
کلاس کا وقفہ |
| 5 x 20 15 y 5 |
0-10 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 |
| 60 | کل |
3۔ ایک LIC ایجنٹ نے 100 پالیسی رکھنے والے لوگوں کی عمروں کے بٹاؤ کے اعدادو شمار مندرجہ ذیل دئے ہیں ۔ وسطانیہ عمر معلوم کیجئے جب کہ پالیسی صرف ان لوگوں کو دی جاتی ہے جن کی عمر 18سال سے 60 سال کے درمیان ہو۔
| پولیسی رکھنے والوں کی تعداد |
عمر (سالوں میں) |
| 2 6 24 45 78 89 92 98 100 |
20 سے کم 25 سے کم 30 سے کم 35 سے کم 40 سے کم 45 سے کم 50 سے کم 55 سے کم 60 سے کم |
4۔ ایک پودے کی 40 پتیوں کی لمبائیاں نزدیکی میٹر تک پیمائش کی گئیں ہیں اور حاصل کردہ اعدادو شمار کو مندرجہ ذیل جدول میں دکھایا گیا ہے ۔
| پتیوں کی تعداد |
لمبائی (ملی میٹر میں) |
| 3 5 9 12 5 4 2 |
118-126 127-135 136-144 145-153 154-162 163-172 172-180 |
پتیوں کی وسطانیہ لمبائی معلوم کیجیے (اشارہ : وسطانیہ معلوم کرنے کے لئے اعداد و شمار کو مسلسل کلاسوں میں تبدیل کیجئے ۔ کیونکہ فارمولہ مسلسل کلاسوں کے لیے ۔ کلاس میں اس طرح سے بدل کر ہوجائیں گے ۔
5۔ مندرجہ ذیل بٹاؤ جدول 400 نییاے لیمپوں کے عمر کی مدت کار (زندگی کا وقت ) دکھاتا ہے ۔ لیمپ کی وسطانیہ عمر کی مدت کار معلوم کیجئے ۔
| لیموں کی تعداد | Lifetiem (گھنٹوں میں ) |
| 14 56 60 86 74 62 48 |
1500-2000 2000-2500 2500-3000 3000-3500 3500-4000 4000-4500 4500-5000 |
6. ایک ٹیلیفون مقامی ڈائریکٹری 100 سر خاندانی چنے گئے ۔ ہر سر نیم میں موجود انگریزی کے حروف کی تعداد کا تعددی بٹاؤ ذیل میں دیا گیا ہے ۔
| حروف کی تعداد |
1-4 | 4-7 | 7-10 | 10-13 | 13-16 | 16-19 |
| (surname) کی تعداد |
6 | 30 | 40 | 16 | 4 | 4 |
خاندانی کے حروف کا وسطانیہ معلوم کیجئے ، سرنیم کے حروف کی تعداد کا درمیانہ بھی معلوم کیجئے ؟ سر نیم کا موڈل سائز بھی معلوم کیجئے ۔
| وزن (کلو گرام) |
40-45 | 45-50 | 50-55 | 55-60 | 60-65 | 65-70 | 70-75 |
| طلباء کی تعداد | 2 | 3 | 8 | 6 | 6 | 3 | 2 |
14.5 ۔ مجموعی تعداد کا گرافی اظہار
جیسا کہ ہم سب جانتے ہیں کہ تصویریں الفاظ سے زیادہ اور بہتر بولتی ہیں ۔ گرافی اظہار ہمیں کسی بھی اعداد وشمار کو سمجھنے میں مدد کرتا ہے ۔ نویں کلاس میں ہم نے اعداد و شمار کو بار گراف ، ہسٹو گرام اور تعدد کثیر ضلعی سے ظاہر کیا ۔ آئیے اب مجموعی تعدد بٹاؤ کو گراف کے ذریعے ظاہر کرتے ہیں ۔
مثا ل کے طور پر جدول 14.17 میں دئے گئے مجموعی بٹاؤ پڑ غور کرتے ہیں ۔
یا د کیجئے کہ قدریں 30,20,10,.....100 مناظر کلاسوں کی ترتیب وار بالائی حدود ہیں ۔ اس اعداد و شمار کو گرافی طور پر ظاہر کرنے کے لئے ہم کلاس وقفوں کی بالائی حدود کو افقی محو ر ( x- محور ) پر نشان زد کرتے ہیں اور ان کی نظیری مجموعی تعدد کو انتخابی محوروں پر ضروری نہیں کہ یکساں ہو ۔ آئیے اب نظیری مرتب جوڑوں کی (بالائی حد اور نظیری عمومی تعدد ) کو پلاٹ کیجئے یعنی
(10.5),(20.8),(3.12),(4015),)(50.18),)(60.22),(70.29)(80.38)(90.45),(100.53)
کو ، گراف پیپر پر پلاٹ کیجئے اور Free hand ، منحنی سے ملا دیجئے ۔ اس طرح سے ملی منحنی مجموعی تعدد منحنی یا اوجیو (سے کم قسم کی ، ) شکل 14.1 دیکھیے ۔
آگے ہم دو بارہ جدول 14.14 میں دئے گئے مجموعی تعدد بٹاؤ پر غور کرتے ہیں اور ایک اوجیو (سے زیادہ قسم کا ) بناتے ہیں ۔
یاد کیجئے کہ یہاں
20,10,......90-10 , 0-10
نظیری کلاس وقفوں10-0, 20-10, ,.....90-100 کی نچلی حدیں ہیں ، سے زیادہ قسم کو گرافی طور پر ظاہر کرنے کے لئے ہم ذیلی (نچلی ) حد کوx- محور پر اور نظیری مجموعی تعدد کو y- محور پر لیتے ہیں اور پھر ہم نقاط (نچلی حد، اور اس کی نظیری مجموعی تعدد ) یعنی
کو گراف پیپر پر پلاٹ کرتے ہیں اور پھر اس کو free hand منحنی سے جوڑ دیتے ہیں ۔اس طر ح سے حاصل منحنی مجموعی تعددی منحنی یا اوجیو کہلاتی ہے (سے زیادہ قسم کی) شکل 14.2 دیکھیے ۔
ریمارک:
کو locate کیجئے ۔ اس نقطہ سے x- محور کے متوازی خط کھینچئے ۔ جو منحنی کوایک نقطہ پر قطعی کرے ۔ اس نقطہ سے x-محور پر ایک عمود ڈالئے ۔ عمود x- محور کا نقطہ تقاطع اعدادوشمار کا وسطانیہ ہوتا ہے شکل 14.3 دیکھئے ایک دوسرے طریقے سے وسطانیہ حاصل کرنے کا عمل مندرجہ ذیل ہے ۔
مثال 9: ایک علاقہ کے ایک Shopping Complex کی 30 دکانوں کا سالانہ منافع مندرجہ ذیل بٹاؤ میں دکھایا گیا ہے ۔
| دکانوں کی تعداد(تعدد) | منافع (لاکھوں روپیوں میں) |
| 30 28 16 14 10 7 3 |
5 سے زیادہ یا برابر 10 سے زیادہ یا برابر 15 سے زیادہ یا برابر 20 سے زیادہ یا برابر 25 سے زیادہ یا برابر 30 سے زیادہ یا برابر 35 سے زیادہ یا برابر |
ان اعداد وشمار کا اوجیو بنائے، پھر وسطانیہ منافع معلوم کیجئے۔
حل: سب سے پہلے ہم مختص محور بناتے ہیں اور منافع کی نچلی حد کو افقی محور پر اور عمودی تعدد کی انتصابی محور کے ہمراہ لیتے ہیں اور پھر ہم نقاط
آئیے اب اوپر دئے گئے جدول سے کلاسیں اور ان کا تعدد لیتے ہیں۔
| کلاس | 5-10 | 10-15 | 15-20 | 20-25 | 25-30 | 30-35 | 35-40 |
| دکانوں کی تعداد | 2 | 12 | 2 | 4 | 3 | 4 | 3 |
| مجموعی تعدد | 2 | 14 | 16 | 20 | 23 | 27 | 03 |
ان قدروں کا استعمال کرتے ہوئے ہم نقاط (10.2)،(15.4)،(20.16)،(25.20)،30.23)،35.27) اور (40.30) کو انہیں محوروں پر پلاٹ کرتے ہیں جیسے کہ شکل 14.5 میں دکھایا گیا ہے ۔ جس سے ہمیں کم قسم کا اوجیو ملے گا جیسا کہ شکل 14.5 میں دکھایا گیا ہے۔
ان کے نقطہ نقاطع کو طولی مختص (abcissa) تقریبا 17.5 ہے جو وسطانیہ ہے۔ اس کی تصدیق فارمولہ کو استعمال کرکے کرسکتے ہیں، اس طرح سے منافع کا وسطانیہ(لاکھوں میں) 17.5 ہے۔
مذکورہ بالا مثال میں یہ بات نوٹ کرنے کی ہے کہ کلاس میں وقفہ مسلسل ہیں ۔ اوجیو بنانے کے لئے یہ بات یقینی ہونی چاہئے کہ کلاس وقفہ مسلسل ہوں (نویں جماعت میں ہسٹو گرام کی تشکیل دیکھئے)
1۔ مندرجہ ذیل بٹاؤ ایک فیکٹری کے 50 ملازموں کی روزانہ آمدنی کو دکھاتا ہے ۔
| روزانہ آمدنی (روپیوں میں) | 100-120 | 120-140 | 140-160 | 160-180 | 180-200 |
| ملازموں کی تعداد | 12 | 14 | 8 | 6 | 10 |
مذکورہ بالا بٹاؤ کو، سے کم قسم کے مجموعی تعدد بٹاؤ میں بدلئے اور اوجیو بنائیے۔
2۔ ایک کلاس 35 طلبا کے میڈیکل جانچ کے دوران ریکارڈ کئے گئے ان کے وزن مندرجہ ذیل ہیں ۔
| طلبا کی تعداد | وزن کلو گرام میں |
| 0 3 5 9 14 28 32 35 |
38 سے کم 40 سے کم 42 سے کم 44 سے کم 46 سے کم 48 سے کم 50 سے کم 52 سے کم |
3۔ مندرجہ ذیل میں ایک دیہات کے 100 کھیتوں میں گیہوں کی فی ہیکٹئیر پیداوار کو دکھایا گیا ہے۔
| پیدا وار فی کلو گرام فی ہیکٹئیر |
50-55 | 50-60 | 60-65 | 65-70 | 70-75 | 75-80 |
| کھیتوں کی تعداد |
2 | 8 | 12 | 24 | 38 | 16 |
اس بٹاؤ کو ، سے زیادہ قسم کے بٹاؤ میں تبدیل کیجیے اور اس کا اوجیو بنائیے۔
14.6 خلاصہ
اس باب میں آپ نے مندرجہ ذیل باتیں سیکھیں۔
step diviation (iii کا طریقہ 
اس مفروضہ کے ساتھ کہ کسی کلاس کا تعدد اس کے وسطی نقطہ کے گرد مرکوز ہے۔ جو کلاس مارک کہلاتا ہے ۔
2۔ مرتب اعداد و شمار کا وسطانیہ مندرجہ فارمولہ استعمال کرکے معلوم کیا جاتا ہے۔
موڈجہاں علامتیں،عام مفہوم میں ہیں
3۔ کسی کلاس کا مجموعی تعدد وہ تعدد ہے جو تمام کلاسوں کے تعدد کو ان کے پچھلے تعدد میں جمع کرکے حاصل کیا جاتا ہے۔
4۔ مرتب اعداد و شمار کا وسطانیہ مندرجہ ذیل فارمولہ استعمال کرکے معلوم کیا جاتا ہے۔
وسطانیہجہاں علامتیں عام مفہوم میں ہیں
5۔ مجموعی تعدد بٹاؤکو گرافی طور پر مجموعی تعددمنحنی یا کم قسم سے زیادہ قسم کے اوجیو سے ظاہر کرنا ہے۔
قارئین کے لئے نوٹ
مرتب اعداد و شمار کا وسطانیہ اور موڈ معلوم کرنے کے لئے یہ ضروری ہے کہ فارمولہ استعمال کرنے سے پہلے یہ یقینی کرلیا جائے کہ کلاس وقفہ مسلسل ہوں۔ یہی شرط اوجیو بنانے کے لئے بھی ضروری ہے ۔ مزید اوجیو کے سلسلہ میں دونوں محوروں کا پیمانہ یکساں ہونا ضروری نہیں ہے ۔