جہاں ہم یہ مان کر چلتے ہیں کہ نتائجمساوی امکانی ہیں ،ہم تھیوریٹکل احتمال کو مختصراً احتمال لکھیں گے ۔احتمال کی تعریف 1795میں Pierre Simon Laplaceنے 

احتمال کے نظریہ کی شروعات 16ویں صدی میں ہوئی جب ایک اطالوی ریاضی داں J.Cardanنے اس مضمون پر ایک کتاب لکھی ،امکان کے کھیل پر کتاب ،جب سے یہ (احتمال) وجود میں آیا ،احتمال کے مطالعہ نے اپنے زمانے کے عظیم ریاضی دانوں James Bernoulli (1654–1705), A. de Moivre (1667–1754)اورPierre Simon Laplace ان میں کچھ ایسے نام ہیں جنھوں نے اس میدان میں بہت کچھ تعاون کیا 1812کی Theorie Analytique des Probabilités, 1812 احتمال کے نظریہ کے سلسلہ میں کسی ایک شخص کا سب سے عظیم تعاونسمجھا جاتا ہے ۔موجودہ سالوں میں احتمال کثر ت سے استعمال ،حیاتیات ،معاشیات، جینیات ، طبیعیات اورسماجیات میں ہونا ہے ۔

احتمال کے نظریہ کی شروعات 16ویں صدی میں ہوئی جب ایک اطالوی ریاضی داں J.Cardanنے اس مضمون پر ایک کتاب لکھی ،امکان کے کھیل پر کتاب ،جب سے یہ (احتمال) وجود میں آیا ،احتمال کے مطالعہ نے اپنے زمانے کے عظیم ریاضی دانوں James Bernoulli (1654–1705), A. de Moivre (1667–1754)اورPierre Simon Laplace ان میں کچھ ایسے نام ہیں جنھوں نے اس میدان میں بہت کچھ تعاون کیا 1812کی Theorie Analytique des Probabilités, 1812 احتمال کے نظریہ کے سلسلہ میں کسی ایک شخص کا سب سے عظیم تعاون سمجھا جاتا ہے ۔موجودہ سالوں میں احتمال کثرت سے استعمال ،حیاتیات ،معاشیات، جینیات ، طبیعیات اورسماجیات میں ہونا ہے۔

آئیے ان تجربات سے جڑے وقوعات کا احتمال معلوم کرتے ہیں ،جو جن کے نتائجمساوی امکانی ہیں ۔

مثال1:جب ایک سکہ کو ایک بار اچھالا جاتا ہے تو ہیڈ آنے کا احتمال معلوم کیجئے ۔ٹیل آنے کا احتمال بھی معلوم کیجئے ۔

حل:سکہ کے اچھالنے کے تجربہ میں ممکنہ نتائج کی تعداد2ہے ۔ہیڈHاورٹیلTمان لیجئے E،ہیڈ آنے کا وقوعہ ہے ، Eہیڈ آنے کا وقوعہ ہے ،Eکے موافق نتائج(یعنی ہیڈکا آنا) 1ہے اس لئے 

 

اسی طرح سے Fٹیل کے آنے کی وقوعہ ہے ؛تب

(کیوں؟)=(ٹیل) P (F) = P

مثال2: ایک بیگ میں ایک لال گیند ،ایک نیلی گیند اور ایک پیلی گیند ہے ،تمام گیندیں ایک ہی سائز کی ہیں ۔کرتیکا اس بیگ کے اندر دیکھے بغیر ایک گیند باہر نکالتی ہے ۔احتمال معلوم کیجئے ۔کہ اس 

(i) پیلی گیند نکالی (ii)لال گیند نکالی (iii) نیلی گیند نکالی 

حل: کارتک نے بیگ کے اندر دیکھے بغیر ایک گیند نکالی ہے ،تو اس لئے بہ مساوی امکانی ہے کے کسی بھی رنگ کی گیند نکالی گئی ہو ۔

مان لیجئے Yایک وقوعہ ہے ،پہلی گیند باہر نکالنے کا ،Bوقوعہ ہے نیلی گیند باہر نکالنے کا ،Rوقوعہ ہے لال بال نکالنے کا 

اب ممکنہ نتائج کی تعداد=3

(i)وقوعہ Yکے موافق نتائج =1

اس لئے  

اسی طرح سے  

ریمارک : 

1۔ایک ایسا وقوعہ جس کا تجربہ میں صرف ایک نتائج ہو بنیادی وقوعہ کہلاتا ہے مثال 1میں دونوں وقوعات  EاورFبنیادی وقوعات میں ہے ۔اسی طرح سے مثال 2میں تمام وقوعات B ,YاورRبنیادی وقوعات ہیں 

2۔مثال(1)میں ہم نوٹ کرتے ہیں کہ : P(E) + P(F) = 1

مثال2میں ہم نوٹ کرتے ہیں :P(Y) + P(R) + P(B) = 1

مشاہدہ کیجئے کہ ایک تجربہ کے تمام بنیادی وقوعات کے احتمال کا حاصل جمع 1ہوتا ہے یہ عمومی طور پر بھی صحیح ہے ۔

مثال3:فرض کیجئے ہم ایک پانسہ کو ایک مرتبہ پھینکتے ہیں (i) 4سے بڑے عدد آنے کا احتمال کیا ہے ؟ (ii) 4سے چھوٹے یا برابر کے عدد آنے کا احتمال کیا ہے ۔

حل: یہاں E،4سے بڑے عدد آنے کا وقوعہ ہے ،ممکنہ نتائج کی تعداد ہے 1,2,3,4,5,6اورEکے موافق نتائج ہیں 5اور6۔اس لئے Eکے موافق نتائج کی تعدادہے 2۔اس لئے 

(4سے بڑے عدد)P(E) = P

(ii)مان لیجئے F،4کے برابر یا چھوٹے عدد آنے کا وقوعہ ہے 

ممکنہ نتائج =6 

وقوعہ Fکے موافق نتائج   1,2,3,4

اس لئے Fکے موافق نتائج کی تعداد4ہے 

اس لئے 

کیا مذکورہ بالا مثال میں وقوعات EاورFبنیادی وقوعات ہیں ؟ نہیں یہ نہیں ہیں کیونکہ Fکے 2نتائج ہیں اورFکے  4نتائج ہیں ۔

ریمارک: مثال(i)سے ہم نوٹ کرتے ہیں کہ 

جہاں E،ہیڈ آنے کا وقوعہ ہے اورFٹیل آنے کا وقوعہ ہے مثال3کے (i)اور(ii)سے ہمیں ملتا ہے ۔

نوٹ کیجئے کہ ایسا عدد حاصل کرنا جو4سے بڑا نہیں ہے ،ایسا ہی جیسے 4سے چھوٹا یا اس کے برابر پر عدد حاصل کرنا اور اس کا بر عکس بھی 

اوپر (1)اور(2)میں F،Eنہیں ،کے جیسا نہیں ہے 9ہاں یہ ٹھیک ہے ہم وقوعہ Eنہیں ہے کوËسے ظاہر کرتے ہیں 

عمومی طور پر یہ صحیح ہے کہ ایک وقوعہ Eکے لئے 

تب وقوعہ ،جو notEکو ظاہر کرتا ہے وقوعہ Eکا تتمہ کہلاتا ہے 

ہم یہ بھی کہتے ہیں کہ Eاورایک دوسرے کے تتمی وقوعات میںCompleementary 

آگے بڑھنے سے پہلے آئیے مندرجہ ذیل سوالوں کے جواب معلوم کریں 

(i) پانسہ کے ایک بار پھینکے جانے پر 7سے کم عدد کے آنے کا احتمال کیا ہے ۔

اس لئے (i)کا جواب دیتے ہیں 

ہم جانتے ہیں کہ پانسہ کو ایک بار پھینکنے پر صرف چھ ممکنہ نتائج ہیں ۔یہ نتائج ہیں 1,2,3,4,5اور6کیونکہ پانسہ کے کسی رخ پر بھی 8مارک نہیں ہے اس لئے8کے موافق کوئی بھی نتائج نہیں ہے یعنی ایسے نتائج کی تعداد صفر ہے ،دوسرے لفظوں میں پانسے کے ایک بار پھینکے جانے پر 8کا آنا نا ممکن ہے ۔

اس لئے (8آنے کا)P

یعنی ایسا وقوعہ کا احتمال جس کا واقع ہونا نا ممکن ہے ۔صفر ہوتا ہے اور ایسا وقوعہ نا ممکن وقوعہ کہلاتا ہے ۔

آئیے(ii)کا جواب دیں 

کیونکہ پانسہ کے ہر رخ پر 7سے چھوٹا عدد مارک ہے ۔اس لئے پانسہ کے ایک بار پھینکے جانے پر یقینی ہے کہ 7سے چھوٹا عددآئے ،اس لئے موافق نتائج کی تعداد وہی ہے جو تمام ممکنہ نتائجکی جو6ہے ۔

اس لئے (7سے چھوٹا عددآنے کا )P(E) = P

اس لئے ایسا وقوعہ کا احتمال جو یقینی ہو ،1ہوتا ہے ۔اور ایسا وقوعہ یقینی کہلاتا ہے ۔

نوٹ: احتمال (P(Eکی تعریف سے ہم یہ نتیجہ نکالتے ہیں کہ شمار کنندہ (وقوعہEکے موافق نتائج کی تعداد) ہمیشہ نسب نما (تمام ممکنہ نتائج کی تعداد) سے چھوٹا یا برابر ہوتا ہے ۔

اس لئے

آئیے اب تاش کے پتوں سے متعلق کچھ مثالیں لیتے ہیں ،کیا آپ نے تاش کے پتوں دیکھی ہے ؟ اس میں 52پتہ ہوتے ہیں جو4قسم کے ہوتے ہیں (suit)ہر سوٹ کے 13پتہ ہوتے ہیں ۔حکم،پان،اینٹ،اور چڑی یا پھول چڑی اور حکم کالے اور پان اوراینٹ لال رنگ کے ہوتے ہیں ہر ایک سوٹ میں تاش ہوتے ہیں ،اِکّا ،بادشاہ ،بیگم، غلام،1,2,3,4,5,6,7,8,9,10بادشاہ بیگم ،غلام،face cardsکہلاتے ہیں ۔

مثال4: اچھی طرح پھینٹے گئے تاش کے 52پتوں میں سے ایک کارڈ نکالا جاتا ہے احتمال معلوم کیجئے کہ پتہ(Cards)

(i) اکا ہے 

(ii) اکا نہیں ہے 

حل: اچھی طرح پھینٹنے کا مطلب ہے مساوی امکانی نتائج

(i) تاش کی ایک گڈی میں 4اکے ہوتے ہیں ۔مان لیجئے E،اکا آنے کا وقوعہ ہے 

Eکے موافق نتائج ہیں =4

ممکنہ نتائج کی تعداد ہے =52 (کیوں؟) 

اس لئے

(ii)مانF،نکالا گیا پتہ اکا نہیں ہے ،آنے کا وقوعہ ہے 

وقوعہ Fکے موافقنتائج کی تعداد ہے =4–52=48 (کیوں؟) 

ممکنہ نتائج کی تعداد=52

اس لئے

ریمارک: نوٹ کیجئے Fوہی جوہے اس لئے ہم (P(Fکی تحسیب اس طرح بھی کر سکتے ہیں 

مثال5: دو کھلاڑی ،سنگیتا اور ریشما ایک ٹینس میچ کھیلتی ہیں ۔ایسا مانا جاتا ہے کہ سنگیتا کے میچ جیتنے کا احتمال 0.62ہے۔ ریشما کے جیتنے کا احتمال معلوم کیجئے ۔

حل: مان لیجئے SاورRباالترتیب سنگیتا کے جیتنے ،ریشما کے جیتنے کے وقوعات ہیں 

(دیا ہوا ہے ) P(S) = 0.62 =سنگیتا کے جیتنے کا احتما ل ہے ۔

 (P (R) = 1 – P(S= ریشما کے جیتنے کا احتمال ہے 

کیونکہ وقوعات SاورRتتمی ہیں ۔

   = 1 – 0.62 = 0.38

مثال6:سویتا اور حمیدہ آپس میں دوست ہیں ۔احتمال معلوم کیجئے کہ دونوں کی یوم پیدائش (i)مختلف ہوگی (ii)ایک ہی ہوگی ؟ (لیپ کے سال کو نظر انداز کرتے ہوئے ) 

حل: دونوں دوستوں میں سے ایک لڑکی ،مان لیجئے سویتا کا یوم پیدائش سال کا کوئی سا بھی دن ہو سکتا ہے اور حمیدہ کا یوم پیدائش 365,دنوں میں سے کوئی سا بھی دن ہو سکتا ہے ۔

ہم یہ فرض کرتے ہیں کہ یہ 365 نتائج مساوی امکانی ہیں ۔

(i) اگر حمیدہ کا یوم پیدائشسویتا سے مختلف ہے ،تب اس کے یوم پیدائش کے موافق نتائج کی تعداد ہے۔ 365=1–365 

اس لئے (حمیدہ کا یوم پیدائش سویتا کے یوم پیدائش سے مختلف ہے )P

(ii)( دونوں کے یوم پیدائش مختلف ہوں)(حمیدہ اور سویتا کا ایک ہی یوم پیدائش ہو) P

مثال7: ایک اسکول کی 10ویں کلاس میں 40طلباء ہیں جن میں 25لڑکیاں اور15لڑکے ہیں ،کلاس کے نمائندے کی حیثیت سے کلاس ٹیچر کو ان میں سے ایک کا انتخاب کرنا ہے ۔وہ ہر ایک طالب علم کا نام یکساں قسم کے کارڈس پر لکھتا ہے ۔پھر وہ ان کارڈس کو ایک تھیلہ میں رکھ کر اچھی طرح ہلا دیتی ہے پھر وہ اس تھیلہ میں سے ایک کارڈ باہر نکالتی ہے احتمال معلوم کیجئے کہ کارڈ پر لکھا ہوا نام (i)ایک لڑکی کا ہے ؟(ii)ایک لڑکے کا 

حل: 40طلباء ہیں اور صرف ایک کارڈ (جس پر نام لکھا ہوا ہے ) کا انتخاب ہونا ہے ۔

(i) تمام ممکنہ نتائج کی تعداد=40

کارڈ جس پر لڑکی کا نام لکھا ہو اس کے موافق نتائج کی تعداد=25(کیوں؟) 

اس لیے(کارڈ جس پر لڑکا کا نام لکھا ہوا ہے اس کے آنے)P

(ii)کارڈ جس پر لڑکے کا نام لکھا ہواس کے موافق نتائج کی تعداد=15(کیوں؟)

اس لئے (کارڈ جس پر لڑکا کا نام لکھا ہوا)P

نوٹ: ہم (لڑکا)Pکو اس طرح بھی معلوم کر سکتے ہیں ۔

مثال8:ایک بیگ میں 3نیلے ،2سفیداور4لال کنچے(Marble)ہیں ۔اگر ایک کنچہ بلا منصوبہ نکالا جاتا ہے ۔احتمال معلوم کیجئے کہ یہ ہوگا۔

(i) سفید کنچہ؟ (ii) نیلا کنچہ؟ (iii)لال کنچہ

حل: تمام کنچوں کا نکالا جانا مساوی امکانی ہے کہنے کے بجائے یہ زیادہ آسان ہے کہ کہا جائے کہ کنچے بلا منصوبے نکالے گئے ۔

ممکنہ نتائج کی تعداد=  4 + 2 + 3 = 9(کیوں؟) 

مان لیجئے W،کنچہ سفید ہے ،آنے کا وقوعہ اورBنیلے کنچہ کے آنے کا وقوعہ اورRکنچہ لال ہے ۔آنے کا وقوعہ کو ظاہر کرتے ہیں ۔

(i)وقوعہWکے موافق نتائج کی تعداد=2

مثال9:ہرپریت دو مختلف سکہ ایک ساتھ اچھالتی ہے (مان لیجئے 1ایک روپیہ کا اور دوسرا2روپیہ کا سکہ ہے ) احتمال معلوم کیجئے کہ کم سے کم ایک ہیڈ آئے ۔

حل: ہم ہیڈ کے لئے Hاورٹیل کے لئےTلکھتے ہیں جب دو سکہ ایک ساتھ اچھالے جاتے ہیں تو ممکنہ نتائج ہیں (H, H), (H, T), (T, H), (T, T),جو کے تمام مساوی امکانی ہیں  ،یہاں (H,H)کا مطلب ہے پہلے سکے پر ہیڈ(یعنی1 روپئے کے سکہ پر)اور دوسرے سکہ پر ہیڈ(یعنی 2روپیہ کے سکے پر )اسی طرح سے (H,T)کا مطلب ہے پہلے سکہ پر ہیڈ اور دوسرے پر ٹیل اور اسی طرح باقی سبھی ۔

وقوعہEکم سے کم ایک ہیڈ کے موافق نتائج ہیں (H, H), (H, T) اور(T,H)(کیوں؟) 

اس لئےEکے موافق نتائج کی تعدادہے جو 3ہے ۔

اس لئے=(P(E)

یعنی ہر پریت کا کم سے کم ایک ہیڈ آنے کا احتمالہے ۔

نوٹ: آپ (P(Eایسے بھی معلوم کر سکتے ہیں 

کیا آپ نے مشاہد کیا ،کہ اب تک جتنی بھی مثالیں ہم نے دیکھی : تمہیں ایک تجربہ کے نتائج متناہی ہیں ؟ اگر نہیں تو جانچ کیجئے ؟ 

بہت سے ایسے تجربات بھی ہیں جن میں نتائج دو دئے ہوئے نمبروں میں سے ایک ہوتا ہے ۔یا جس میں دائرہ یا مستطیل کے اندر کوئی نقطہ ہوتا ہے وغیرہ ،کیا اب آپ تمام ممکنہ نتائج کی تعداد کو گن سکتے ہیں ؟ جیسے کہ آپ جانتے ہیں ۔ یہ ممکن نہیں کیونکہ دودئے ہوئے اعداد کے درمیان لا محدود اعداد ہوتے ہیں اسی طرح دائرہ کے اندر لا محدود نقطے ہوتے ہیں ۔ اس لئے اب تک آپ نے کلاسیکل احتمال کی جو تعریف پڑھی ہے وہ اس شکل میں استعمال نہیں ہو سکتی ؟ تو پھر اس کا حل کیا ہے؟ اس کا جواب دینے کے لئے ہم مندرجہ مثال پر غور کرتے ہیں ۔

مثال10: میوزیکل کرسی کے ایک کھیل میں ،اس شخص کو ،جو میوزک بجا رہا ہے یہ نصیحت کی جاتی ہے کہ وہ کھیل شروع کے دو منٹ کے اندر ہی اندر میوزک بجانا بند کردے ۔احتمال معلوم کیجئے کہ کھیل شروع ہونے کے بعد پہلے ہی آدھے منٹ میں میوزک رک جاتا ہے ۔

حل: یہاں ممکنہ نتائج 0 اور2کے درمیانہ تمام اعداد ہیں ،یہ عودی خط میں 0اور2کے درمیانہ کا حصہ ہے (شکل15.1دیکھئے) 

مان لیجئے E،میوزک پہلے آدھے منٹ میں رک جاتا ہے ،کا وقوعہ ہے 

اس لئے Eکی موافقت میں نتائج ،عددی خط 0سے تک کے اعداد ہیں ۔

0سے 2کا فاصلہ ہے 2،اور 0سے تک ہے ۔

کیونکہ تمام نتائج مساوی امکانی ہیں ،ہم بحث کرسکتے ہیں کہ کل فاصلہ 2ہے اور وقوعہEکے موافق فاصلہہے ۔

ا س لئے

کیا اب ہم مثال10میں نکالے گئے احتمال کے Idiaکی توسیع موافق رقبہ (علاقہ) کی نسبت کے طور پر کر سکتے ہیں ؟ 

مثال11*: یہ رپورٹ کیا گیا کہ ایک گم شدہ ہیلی کاپٹر شکل15.2میں دکھائے گئے ایک مستطیل خطہ میں کسی جگہ تباہ ہو گیا۔ احتمال معلوم کیجئے کہ یہ شکل میں دکھائی گئی جھیل کے اندر Crashہوا ہے ۔

حل:ہیلی کاپٹر کے خطہ میں کسی جگہ بھی تباہ ہونا مساوی امکانی ہے ۔اس پورے خطہ کا رقبہ جہاں ہیلی کاپٹر تباہ ہو سکتا ہے ۔

6کلومیٹر

جھیل

2کلو میٹر

4.5کلو میٹر

9کلو میٹر

شکل 15.2

جھیل کا رقبہ 

اس لئے (ہیلی کاپٹر جھیل میں تباہ ہوا)P

مثال12:ایک کارٹن کے اندر 100شرٹیں ہیں جن میں 88شرٹیں اچھی ہیں ،8شرٹوں میں معمولی نقص ہے اور4شرٹوں میں کوئی بڑا نقص ہے ۔جمی ایک ایسا تاجر ہے صرف اچھی ہی شرٹیں لینا پسند کرتا ہے لیکن ایک اور تاجر ہ سجاتا صرف ان شرٹوں کو نہیں قبول کرتی جن میں کوئی بڑا نقص ہے ۔کارٹن میں سے بلا منصوبہ ایک شرٹ نکالی جاتی ہے ۔احتمال معلوم کیجئے کہ 

(i) یہ شرٹ جمی کے لئے قابل قبول ہوگی ؟

(ii) یہ سجاتا کو قابل قبول ہوگی ؟

حل: 100شرٹوں کے کارٹن میں ایک شرٹ بلامنصوبہ نکالی گئی ہے ۔اس لئے یہاں 100مساوی امکانی نتائج ہیں ۔

(i) جمی کے موافق (یعنی قابل قبول) نتائج کی تعداد=88 (کیوں؟) 

اس لئے (جمی کے لئے قابل قبول شرٹ)P

(ii) سجاتا کے موافق نتائج کی تعداد96 = 8 + 88=(کیوں؟) 

اس لئے (سجاتا کے لئے قابل قبول شرٹ)P

مثال13: دوپانسہ ،ایک نیلااور ایک سلیٹی ایک ہی وقت میں پھینکے گئے ۔تمام ممکنہ نتائج لکھئے ۔احتمال معلوم کیجئے کہ پانسوں کی اوپری سطح پر ظاہر ہونے والے دو اعداد کا حاصل جمع 

کے برابر یا اس سے کم ہوگا؟

حل: جب نیلا پانسہ 1دکھائے گا و سلیٹیرنگ کا پانسہ ان اعداد 1,2,3,4,5اور6میں سے ایک دکھا سکتا ہے ۔یہی بات جب بھی صحیح ہوگی جب نیلا پانسہ دکھائیے گا ۔اس تجربہ کے تمام ممکنہ نتائج مندرجہ جدول میں دکھائے گئے ہیں ۔ہر ایک مرتب کوجوڑے ہیں ۔پہلا عدد نیلے پانسے پر ظاہر ہونے والے عدد کو ظاہر کرتا ہے اور دوسرے اعداد سلیٹیپانسہ پر ظاہر ہونے والے عدد کو ۔

نوٹ کیجئے کہ جو مرتب جوڑا (1,4)،(4,1)سے مختلف(کیوں؟)

اس لئے ممکنہ نتائجکی تعداد ہے 6 × 6 = 36

(i)وقوعہEدو اعداد کا حاصل جمع 8ہے ،کے موافق نتائج ہیں ۔

شکل15.3

 (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)

یعنی Eکے موافق نتائج کی تعدادE = 5

اس لئے

(ii) جیسا کہ آپ شکل15.3میں دیکھ رہے ہیں کہ ایک کوئی ممکنہ نتائج نہیں ہے جو  وقوعF یعنی دو اعداد کا حاصل جمع 13ہے کے موافق نہیں ہے اس لیے

(iii) جیسا کہ آپ شکل15.3میں دیکھ سکتے ہیں وقوعہGدواعداد کے حاصل جمع 12سے کم یا برابر ہے12≥کے موافق نتائج ہیں 36

اس لئے

مشق15.1

   1۔ مندرجہ ذیل بیانات کو مکمل کیجئے :

(i)ایک وقوعہ Eکا احتمال+وقوعہ 'notE'کا احتمال = ––––––۔

(ii) اس وقوعہ کا احتمال جو واقع نہیں ہو سکتا––––––ایسا وقوعہ ––––––کہلاتا ہے ۔

(iii) اس وقوعہ کا احتمال جس کا واقع ہونا یقینی ہے ––––––ایسا وقوعہ ––––––کہلاتا ہے ۔

(iv) ایک تجربہ میں تمام بنیادی وقوعات کے احتمال کا حاصل جمع ––––––ہوتا ہے ۔

(v) کسی وقوعہ کا احتمال ––––––سے بڑا یا برابر ہوتا ہے اور––––––سے چھوٹا یا برابر ہوتا ہے ۔

   2۔ مندرجہ ذیل کون سے تجربات میں مساوی امکان نتائج ہیں ؟ تشریح کیجئے ۔

(i) ایک ڈرائیور کار کو اسٹارٹ کرنے کی کوشش کرتا ہے ۔کاراسٹارٹ ہوگی یا نہیں ہوگی ۔

(ii) ایک کھلاڑی باسکٹ بال کوباسکٹ میں ڈالنے کی کوشش کرتا ہے وہ باسکٹ میں ڈال پاتی ہے یا نہیں پاتی کرے گا /کریگی یا مس کریگا /کریگی 

(iii) صحیح -یا غلط کے ایک سوال کے جواب دینے کی کوشش کی گئی ۔جواب صحیح یا غلط ہے ۔

(iv) ایک بچے پیدا ہوا ۔یہ ایک لڑکا ہے یا لڑکی 

   3۔ ایک فٹ بال کے میچ میں یہ طے کرنے کے لئے کہ کس ٹیم کو شروع میں بال ملے گی ٹاس کرنا کیوں صحیحمانا جاتا ہے ؟

   4۔ مندرجہ ذیل سے کون سا جواب کسی وقوعہ کا احتمال نہیں ہو سکتا؟ 

   5۔ اگرکا احتمال کیا ہے ؟ 

   6۔ ایک بیگ میں صرف لیموں کی مہک والی ٹوفیاں ہیں ۔مالینی بیگ کے اندر دیکھے بغیر ایک ٹافی نکالتی ہے ۔ احتمال معلوم کیجئے ۔اس 

(i)سنترے کی مہک والی کینڈی نکالتی ہے ؟

(ii) لیمو کی مہک والی کینڈی نکالی ہے ؟ 

   7۔ یہ دیا ہوا ہے کہ 3طلباء کے ایک گروپ میںدو طلباء کا ایک ہی یوم پیدائش نہ ہونے کا احتمال 0.992ہے ۔احتمال معلوم کیجئے کہ دو طلباء کا ایک ہی یو م پیدائش ہوگا ؟ 

   8۔ ایک بیگ میں 3لال گیندیں اور5کالی گیندیں ہیں ۔بیگ میں سے ایک گیند بلا منصوبہ نکالی جاتی ہے ۔احتمال معلوم کیجئے کہ نکالی گئی گیند (i)لال؟(ii)سفید ہے ؟

   9۔ ایک بکس میں 5لال ،8سفید اور4ہرے کنچے ہیں ۔بکس میں سے ایک کنچہ بلا منصوبہ نکالا جاتا ہے ۔احتمال معلو کیجئے کہ نکالا جانے والا کنچہ (i)لال ہے ؟(ii) سفید ہے ؟(iii) ہرا نہیں ہے ۔

  10۔ ایک گولک میں سو،50پیسے کے سکے ہیں ،50روپیہ کے اور20دو دو روپے کے سکے اور10پانچ پانچ روپے کے سکے اور20روپیہ کے اور2روپیہ کا سکہ ہیں۔ اگر گولک کوالٹ دیا جائے تو اس بات کا امکان مساوی ہیں کہ ان میں سے کوئی سکہ نیچے گرے گا۔ احتمال معلوم کیجیے کہ سکہ

(i)

(50)پیسہ کا ہوگا؟

 (ii)

5روپیہ کا سکہ نہیں ہوگا ۔

  11۔ گوپی نے اپنے ایکورئم کے لئے ایک دکان سے مچھلی خریدی دکاندار نے بلا منصوبہ ایک ٹینک سے جس میں5،نر مچھلیاں 8مادی مچھلیاں ہیں  (شکل15.4دیکھئے) ایک مچھلی نکالی احتمال معلوم کیجئے ۔نکالی گئی مچھلی نر ہے ۔

شکل15.4

  12۔ چانس کے ایک کھیل میں گھومتا ہوا ایک تیر ہوتا ہے جو رکنے کے بعد ایک عدد کی طرف نشاندہی کرتا ہے ۔وہ عدد 1,2,3,4, 5,6,7,8میں سے کوئی ایک ہوتا ہے (شکل15.5دیکھئے) اور یہ مساوی امکانی نتائج ہیں ۔احتمال معلوم کیجئے کہ یہ نشاندہی کرے گا 

شکل15.5

(i) 

8کی طرف؟

(ii) ایک طاق عدد کی ؟

(iii)

2بڑے عدد کی طرف ؟

(iv)

9سے چھوٹے عدد کی طرف ؟

  13۔ ایک پانسہ کو ایک بارپھینکا گیا ۔احتمال معلوم کیجئے 

(i) ایک مفرد عدد آنے کا

(ii)

 2اور6کے درمیانہ عدد آنے کا (iii) طاق عدد آنے کا 

  14۔ اچھی طرح پھینٹی گئی تاش کی 52پتیوں کی گڈی سے ایک کارڈ نکالا گیا ۔احتمال معلوم کیجئے ؟

(i) لال رنگ کے بادشاہ کا (ii) ایک فیس کارڈ یعنی تصویر والا پتہ کاہے(iii)  ایک لال رنگ کی تصویر والا پتہ کارڈ کا (iv)  پان کے غلام کا   (v) ایک حکم کے پتہ کا (vi) اینٹ کی بیگم کا 

  15۔ اینٹ کے پانچ پتوں 10،غلام ،بیگم بادشاہ اور اکا کو اچھی طرح پھینٹا گیا ان کے چہروں کو نیچے کی طرف کر کے اور پھر بلا منصوبہ ایک پتہ نکالا گیا ۔

(i)احتمال معلوم کیجئے کہ پتہ بیگم ہے ۔

(ii) اگر بیگم نکالی گئی تو اس کو ایک طرف رکھ دیجئے ۔اور پھر ایک دوسرا پتہ باقی پتیوں میں سے نکالئے ۔اور احتمال بتائیے کہ یہ پتہ (a)اکا ہے ؟(b)بیگم ہے ؟

  16۔ 12خراب پین غلطی سے 32اچھے پنوں میں مکس ہوگئے ۔پین کو صرف دیکھ کر اب اندازہ نہیں کر سکتے کہ یہ خراب ہے یا صحیح ۔ان پنوں میں سے ایک پین بلا منصوبہ نکالا گیا ۔احتمال معلوم کیجئے کہ نکالا گیا پین صحیح ہے ۔

  17۔ (i)

20بلبوں کے ایک ڈھیر میں 4بلب خراب ہیں ۔اس ڈھیر میں سے بلا منصوبہ ایک بلب نکالا گیا ۔احتمال معلوم کیجئے کہ نکالا گیا بلب خراب ہے ؟ 

(ii) فرض کیجئے ایک بلب نکالا گیا اور یہ خراب نہیں تھا اس لئے اس کو دوبارہ اس میں واپس نہیں رکھا گیا اب باقی بچے بلبوں میں سے ایک او ربلب بلا منصوبہ نکالا گیا ۔احتمال معلوم کیجئے کہ بلب خراب نہیں ہے؟ 

  18۔ ایک بوکس میں 90ڈسک ہیں جس پر 1سے لے کر 90تک کے نمبر لکھئے ہوئے ہیں اگر بوکس میں سے ایک ڈسک بلا منصوبہ نکالی جاتی ہے احتمال معلوم کیجئے کہ اس ڈسک پر (i)دوہندسی عدد لکھا ہوگا (ii) ایک کامل مربع ہوگا (iii)    

5سے تقسیم ہونے والا عدد ہوگا ۔

  19۔ ایک بچہ کے پاس ایک پانسہ ہے جس کے چھ رخ پر مندرجہ ذیل حروف لکھے ہوئے ہیں ۔

A B C D E A

پانسہ کو ایک بار پھینکا جاتا ہے ۔احتمال معلوم کیجئےکا؟ کا؟

  20*۔فرض کیجئے آپ ایک پانسہ کو بلا منصوبہ شکل15.6میں دکھائے گئے ایک مستطیل خطہ میں پھینکے ہیں احتمال معلوم کیجئے کہ یہ 1میٹرقطر والے دائرہ میں گرے گا ۔

  21۔ ایک ڈھیر میں 144بال پین ہیں جن میں 20پین خراب ہیں اور باقی اچھے ہیں ۔نوری پین تب ہی خریدے گی جب یہ اچاہوگا ۔اگر خراب ہوگا تو یہ نہیں خریدے گی دکاندار ایک پین بغیر منصوبہ اٹھاتا ہے اور اس کو دے دیتا ہے ۔احتمال معلوم کیجئے کہ ۔

(i) وہ اس کو خریدے گی ؟

(ii) وہ اس کو نہیں خریدے گی ؟ 

  22۔ مثال13کو دیکھئے (i) مندرجہ ذیل جدول کو مکمل کیجئے ۔

12	11	10	9	8	7	6	5	4	3	2	وقوعہ دو پانسوں پر حاصل جمع اقتسابی
1 — 36			5 — 36						1 — 36

 

(ii) ایک طالب علم بحث کرتا ہے کہ 11ممکنہ نتائج ہیں

 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11

اور12،اس لئے ان میں سے ہر ایک کا احتمال ہے ۔کیا آپ اس دلیل سے اتفاق رکھتے ہیں ؟ 

  23۔ ایک کھیل میں ایک روپے کے سکہ کو 3مرتبہ اچھالا جاتا ہے اور ہر مرتبہ اس کے نتائج کو نوٹ کیا جاتا ہے ۔حنیف جیتے گا اگر تمام ٹوس کا نتیجہ ایک ہی ہو یعنی تین ہیڈ یا تین ٹیل ہیں تو وہ ہار جائیگا ۔احتمال معلوم کیجئے کہ حنیف کھیل ہارے گا۔ 

  24۔ ایک پانسہ کا دومرتبہ پھینکا گیا احتمال معلوم کیجئے کہ 

(i) کسی مرتبہ بھی 5نہیں رہیگا

(ii)

  5کم سے کم ایک مرتبہ آئے گا ؟

[اشارہ : پانسہ کو دوبار اچھالا جائے یا دو پانسوں کو ایک ساتھ اچھالا جائے ایک ہی تجزیہ کہلاتا ہے ]

  25۔ مندرجہ ذیل میں کون سی دلیلیں صحیح ہیں اور کون سی صحیح نہیں ہیں ؟ اپنے جواب کی وجہ بھی بتائیے ۔

(i) اگر دوسکوں کو ایک ساتھ اچھالا جائے تو تین ممکنہ نتائج ہوتے ہیں ۔دو ہیڈ ،دوٹیل یا دونوں ایک ایک۔ اس لئے اس میں ہرا یک نتائج کے لئے احتمال ہے ۔

(ii) اگرا یک پانسہ پھینکا جاتا ہے تو اس کے دو ممکنہ نتائج ہوتے ہیں ۔ایک طاق عدد یا ایک جفت عدد اس لئے اگر ایک طاق عدد آنے کا احتمال ہے ۔

مشق15.2(اختیاری) *

   1۔ دو گاہک شیام اور ایکتا ایک ہفتہ میں (منگل سے ہفتہ تک) ایک مخصوص دکان پر جاتی ہیں ۔دونوں میں سے ہر ایک کے اس دکان پر کسی نہ کسی دن جانے کے مساوی امکان ہیں ۔احتمال معلوم کیجئے کہ دونوں اس دکان پر (i) ایک ہی دن جائیں گی ؟  (ii)  لگاتار دودن (جیسے منگل ،بدھ ،جمعرات وغیرہ؟)مختلف دنوں میں ؟ 

   2۔ ایک پانسہ پر اس طرح سے نمبر لکھے ہوئے ہیں کہ اس کے رخ جو عدد دکھاتے ہیں وہ ہیں 1,2,3,4,5,6اس کو دو مرتبہ پھینکا گیا اور دونوں بار پھینکے جانے پر  کل اسکو ر نوٹ کر لئے گئے مندرجہ ذیل جدول کو مکمل کیجئے جس میں دو نوں بار پھیکنے کے بعد میں آنے والے کل اسکو ر کی کچھ قدریں دی گئی ہیں 

پہلی بار پھیکنے میں عدد 

+ 1 2 2 3 3 6

1 2 3 3 4 4 7

2 3 4 4 5 5 8

2 5

3 5 9

6 7 8 8 9 9 12

دوسری بار پھیکنے میں عدد 

احتمال معلوم کیجئے کہ کل اسکور ہے 

(i)  جفت عدد ہے

(ii)

 6 ہیں (iii)  کم سے کم 6ہیں

   3۔ ایک بیگ میں 5لال گیند یں اور کچھ نیلی گیندیں ہیں ۔اگر ایک نیلی گیند کے نکالے جانے کا احتمال ،لال گیند نکالے جانے کے احتمال کا دگنا ہے ۔تو بتائیے کہ بیگ میں کل کتنی گیندیں نیلی ہوں گی ۔

   4۔ ایک بیگ میں 12گیندیں ہیں جن میں سے xگیندیں کالی ہیں اگر بیگ میں ایک گیند بلا منصوبہ نکالی جائے ،تواحتمال معلوم کیجئے کہ یہ ایک کالی گیند ہوگی ؟ 

اور اس بیگ میں 6کالی گیندیں اور ڈال دی جائیں تو کالی گیند نکالے جانے کا احتمال پہلے والے احتمال کا دگنا ہوگا۔

*یہ مشق امتحان کے نقطۂ نگاہ سے نہیں ہے ۔

xمعلوم کیجئے ۔

   5۔ ایک جار میں 24کنچے ہیں کچھ ہرے ہیں اور کچھ نیلے ۔اگر ایک کنچہ جار میں سے بلا منصوبہ نکالا جاتا ہے تو یہ ہرا ہے اس کا احتمال ہے ۔جار میں نیلے کنچوں کی تعداد معلوم کیجئے ۔

15.7خلاصہ 

اس باب میں مندرجہ ذیل باتیں سیکھیں 

   1۔ تجرباتی اور تھیوریٹکل احتمالوں کے درمیان فرق 

   2۔ ایک وقوعہ E کلاسیکل احتمال کو ہم (P(Eلکھتے ہیں اور اس کی تعریف اس طرح بیان کر تے ہیں ۔

وقوعہEکے موافق نتائج کی تعداد

P(E)=

تجربہ کے تنائج کی تعداد

جہاں ہم یہ مان کر چلتے ہیں کہ تجربہ کے نتائج مساوی امکانی ہیں ۔

   3۔ ایک یقینی وقوعہ کا احتمال 1ہے ۔

   4۔ ایک نا ممکنہ وقوعہ کا احتمال 0ہے ۔

   5۔ ایک وقوعہ Eکا احتمال ایک عدد (P(Eہے جب کہ 

0≤P(E)≤1

   6۔ ایک وقوعہ جس میںصرف ایک نتائج(بنیادی) وقوعہ کہلاتا ہے ۔کسی تجربہ کے تمام بنیادی وقوعات کے احتمالوں کا حاصل جمع 1ہے ۔

   7۔ کسی بھی وقوعہ Eکے لئے 1 = ()P(E) + P(جہاں ‘notE’کو ظاہر کرتا ہے ، Eاور E'تتمی وقوعات کہلاتے ہیں۔

قارئین کے لئے نوٹ  کسی وقوعہ کے تجرباتی یا علمی احتمال کے بنیاد اس پر ہے جو اصل میں واقع ہوا ہے ۔جبکہ کسی وقوعہ کا تھیوریٹکل احتمال کچھ مفروضوں کی بنیاد پر یہ کوشش کرتا ہے کہ کیا ہوگا ۔جیسے جیسے کسی تجربہ میں (کوششیں ) کی تعداد بڑھتی جاتی ہے تجرباتی اور تھیوریٹکل احتمال تقریباً ایک سے ہوتے جاتے ہیں