1.1تعارف (INTRODUCTION)

1.2سیٹس اور انکے اظہار(Sets and their Representations)

ہم روز مرہ کی زندگی میں ایک خاص قسم کے اشیاء کے مجموعہ جیسے تاش کی گڈی، لوگوں کی بھیڑ، کرکٹ ٹیم وغیرہ کے بارے میں باتیں کرتے ہیں۔ ریاضی میں بھی ہمیں بہت سے مجموعوں سے سابقہ پڑ تاہے۔ مثال کے طور پر طبعی اعداد، نقاط مفرد اعداد وغیرہ۔ خاص طور پر ہم درج ذیل مجموعوں (Collections)کی جانچ کرتے ہیں۔ 

(1)   10سے چھوٹے طاق طبعی اعدا د یعنی 1,3,5,7,9,

(ii)  ہندوستان کے دریا

(iii)  انگریزی حروف کے حروف علت (vowels)یعنی a,e,i,o,u

(iv)  مختلف اقسام کے مثلث۔

(v)  

210کے تمام مفرد اجزائے ضربی جیسے 5,3,2,اور 7وغیرہ۔

(vi)  دو درجی مساوات :x2–5x+6=0کے حل 2اور3ہیں۔

(v) 

 210کے تمام مفرد اجزائے ضربی جیسے 5,3,2,اور 7وغیرہ۔

(vi)  دو درجی مساوات :x2–5x+6=0

کے حل 2اور3ہیں۔ 

درج بالا تمام مجموعے (Collections)با معنی (Well defined)مجموعے ہیں کیونکہ ہم قطعی طور پر بتا سکتے ہیں کہ آیا ایک مخصوص چیزجو دئیے   ہوئے مجموعے سے تعلق رکھتی ہے یا نہیں۔ مثال کے طور پر ہم کہہ سکتے ہیں کہ دریائے نیل ہندوستان کے دریاروں سے تعلق نہیں رکھتا ۔ جبکہ دریائے گنگا اس مجموعے سے تعلق رکھتاہے۔ 

ہم نیچے کچھ اور مثالیں دے رہے ہیں جو خاص طور پر ریاضی میں استعمال ہوتی ہیں۔ 

N:  طبعی اعداد کا سیٹ

Z:  صحیح اعداد کا سیٹ

Q:  ناطق اعداد کا سیٹ

R:  حقیقی اعداد کا سیٹ

+Z:  مثبت صحیح اعداد کا سیٹ

+Q:  مثبت ناطق اعداد کا سیٹ اور 

+R:  مثبت حقیقی اعداد کا سیٹ۔

  مندرجہ بلا علامت خصوصی سیٹوں کیلئے اس کتاب میں استعمال کی جائیں گی۔ 

دنیا کے پانچ مشہور و معروف(نامور) ماہر ریاضی کا مجموعہ (Collection)ایک با معنی (Well defined)مجموعہ نہیں ہے کیونکہ سب سے مشہور معروف ریاضی داں چننے کی کسوٹی پر شخصیت کے لیے علیحدہ ہے۔ اسلئے یہ ایک با معنی (Well defined)مجموعہ نہیں ہے۔ 

اس طرح ہم کہہ سکتے ہیں کہ سیٹ اشیاء کا بامعنی (Well defined)مجموعہ ہے۔ 

درج ذیل باتیں نوٹ کرنے کی ہیں۔ 

(i) ایک سیٹ کی اشیاء عناصر اور ممبر ہم معنی ہیں۔ 

(ii) سیٹ کو اکثر ہم انگریزی کے بڑے حروف Y'X'C'B'Aاور Zوغیرہ سے ظاہر کرتے ہیں۔ 

(iii)سیٹ کے عناصر کو ہم عام طور پر چھوٹے حروف y'x'c'b'cاور zوغیرہ سے ظاہر کر تے ہیں۔ 

اگر a'سیٹ Aکاعنصر ہے تو ہم کہتے ہیں کہ A aسے تعلق رکھتاہے۔ جملہ تعلق رکھتا ہے۔ کے لیے ایک یونانی علامت استعمال کرتے ہیں، اس طرح ہم لکھتے ہیں کہa €Aاگر bسیٹ Aکا عنصر نہیں ہے تو ہم اسکو پڑھتے ہیں Abسے تعلق نہیں رکھتاہے اور علامتی طورپر ہم لکھتے ہیں کہ 

اس طرح سے انگریزی حروف علت کے سیٹ میں، ؒٗلیکن کے مفرد اجزائے ضربی کے سیٹ Pمیں لیکن   سیٹ کو ظاہر کرنے کے دو طریقے ہیں۔ 

(i)فہرستی طریقہ (Roster)یا جدول شکل (Tabular form)

(ii)سیٹ ساز شکل (Set builder form)

(i) فہرستی طریقہ میں سیٹ کے تمام عناصر ایک منجھلے بریکٹ  میں درج رہتے ہیں اورہر عنصر کے بعد ایک کومہ ’’،  ‘‘لگا ہوتاہے۔ مثال کے طور پر 7سے چھوٹے تمام جفت مثبت صحیح اعداد کے سیٹ کو ہم فہرستی شکل لکھتے ہیں۔ درج ذیل میں فہرستی شکل کی کچھ اور مثالیں دی ہوئی ہیں۔ 

(a) ان طبعی اعاد کا سیٹ جو 42کو تقسیم کرتے ہیں{1,2,3,6,7,14,21,42}-

: یہ بات نوٹ کرنے کی ہے کہ سیٹ کی فہرستی شکل میں عناصر کی ترتیب کی اہمیت نہیں ہے۔ اس لیے ہم درج بالا سیٹ کو{1,2,3,6,7,14,21,42} اس طرح بھی لکھ سکتے ہیں۔

(b)انگریزی کے حروف کے تمام حروف علت کا سیٹ ہے{a,e,i,o,u}

(c)طاق طبعی اعداد کے سیٹ کو ہم{...1,3,5}لکھ سکتے ہیں۔ نقاطہ یہ ظاہر کرتے ہیں کہ سیٹ لا محدود ہے۔ 

یہ بات نوٹ کرنے کی ہے کہ فہرستی شکل میں عام طورپر کوئی بھی عنصر دوھرایا نہیں جاتا ۔تما م عناصر مختلف ہوتے ہیں۔ مثال کے طور پرلفظ Schoolکے تمام حروف کا سیٹ{S,C,H,O,L} یا {H,O,L,CS}ہے۔ یہاں عناصر کی ترتیب بے اثر ہوتی ہے۔

(ii) سیٹ ساز شکل تمام عناصر کی ایک مشترک خاصیت ہوتی ہے جو کہ سیٹ کے باہر کسی عنصر میں نہیں ہوتی۔ مثال کے طورپر سیٹ (a,e,i,o,u)کے تمام عناصر کی ایک مشترک خاصیت ہے کہ یہ انگریزی حروف کے Vowelہیں اور کسی حروف میں یہ خاصیت نہیں ہے۔ اس سیٹ کو ہم V سے ظاہر کرتے ہیں اور لکھتے ہیں

{:x انگریزی حروف کا واول ہے:V={x

یہاں یہ دیکھا جا سکتاہے کہ ہم نے سیٹ کے عنصر کو xسے ظاہر کیاہے۔ (کوئی دوسری علامت جیسے z'yوغیرہ بھی استعمال کی جا سکتی ہے)جس سے پہلے کولن :لگایا جاتاہے کولن (colon)کے نشان کے بعد ہم سیٹ کے عناصر کی خصوصیت لکھتے ہیں اور پھر اسکو منجھلے بریکٹ سے بند کر دیتے ہیں۔ درج بالا سیٹ Vکو ہم پڑھتے ہیں، تمامxکا سیٹ جبکہxیک انگریزی کا حرف علت ہے۔ اس حلیہ میں بریکٹ تمام کا سیٹ کیلیے اور کولن جبکہ کیلے استعمال ہوتاہے۔ مثال کے طورپر درج ذیل سیٹ کو

3<x<1C}

 اور xایک طبعی عدد ہے

A={x:

کو ہم اسطرح پڑھتے ہیں ان تمام xکا سیٹ جبکہ xایک طبعی عدد ہے

  اور 3اور10کے درمیان ہے اس طرح 4،5،6،7،8اور9سیٹ Aکے عناصر ہیں۔ 

اگر ہم درج بالا(a)،(b)اور(c)میں بیان کئے گئے فہرستی شکل میں سیٹو ں کو BAاورسے ظاہر کریں تو A،BاورCکو ہم سیٹ سازشکل میں درج ذیل طریقے سے لکھتے ہیں۔ 

{xایک ایسا طبعی عدد ہے جو 42کو تقسیم کرتاہےA=}x

{Yانگریزی ایک حرف علت ہے

B={y:

{zایک طاق طبعی عدد ہے

C={z:

مثال1  مساوات

X2+X-2=0

کا حل فہرستی شکل میں لکھئے۔

حل دی ہوئی مساوات کو اسطرح لکھا جا سکتاہے۔

(X-1)(X+2)=0یعنیX=1,-2

اس طرح, دی ہوئی مساوات کاحل سیٹ فہرستی شکل میں ہے{1,2}

مثال 2 دئیے ہوئے سیٹ{xایک مثبت صحیح عدد ہے ،اور {x:x2<40}کو فہرستی شکل میں لکھئے ۔

حل1,2,3,4,.5,6مطلوبہ عناصر ہیں ۔ اس لے دیئے ہوئے سیٹ کی فہرستی شکل  

{1,2,3,4,5,6}ہے۔

مثال :3سیٹ{1,4,9,16,25}=Aکو سیٹ ساز شکل میں لکھئے۔

حل ہم سیٹ Aکو اسطرح لکھ سکتے ہیں۔ 

xØایک طبعی عدد کا مربع ہے{1.2}

دوسرے طریقے سے ہم اس طرح لکھ سکتے ہیں۔ 

A={1,2}

جہاں nایک طبعی عود ہے

A={x:x=n2

مثال4  سیٹ کو سیٹ ساز شکل میں لکھئے۔

حل دیے ہوئے سیٹ میں ہر عدد کا نسب نما شمار کندہ سے ایک زیادہ ہے۔ مزید شمار کندہ اسے شروع ہوتے ہیں اور 6 پر ختم ہو جاتے ہیں۔ اس طرح سے سیٹ ساز شکل میں سیٹ ہے۔ 

جبکہ nایک طبعی عدد ہے 

مثال 5 درج ذیل میں بائیں طرف فہرستی شکل اور دائیں جانب سیٹ ساز شکل میں دئیے ہوئے پر ایک سیٹ کو ملا ئیے:

(a) {P,R,I,N,C,A,L) (i)

{x: یک مثبت صحیح عدد ہے اور 18کا قاسم ہےx}

حل کیونکہ (d)میں لفظ PRINCIPALمیں 9حروف ہیں اوردو حروف pاورIدوہرائے گئے ہیں اس لیے یہ (i)اور(d)مہج کھا تے ہیں اسی طرح (ii)(c)سے مہیج کھا تا ہے کیونکہ x+1=1کا مطلب ہے x=0اسی طرح 18,9,6,3,2,1تمام 18تمام 18کے قاسم ہیں اس لیے (iii)سے ملے کھاتاہے۔ اور آخر میںx2-9=0 کا مطلب ہے x=3,-3اس لیے (iv)bسے میل کھاتاہے۔ 

1. درج ذیل میں کون سے سیٹ میں ؟ اپنے جواب کی تصدیق کیجئے۔

(i) حرف J سے شروع ہونے والے سال کے تمام مہینوں کا مجموعہ 

(ii) ہندوستان کے 10سب سے زیادہ دانشور مصنفوں کا مجموعہ

(iii)      دنیا کے 11سب سے اچھے بلے بازوں کی کرکٹ ٹیم

(iv)  آپ کی جماعت کے تمام لڑکوں کا مجموعہ

(v)     100 سے چھوٹے تمام طبعی اعداد کا مجموعہ

(vi)      مصنف پریم چند کے لکھے ہوئے تمام ناولوں کا مجموعہ

(vii)      تمام جفت صحیح اعداد کا مجموعہ

(viii)     اس سبق کے سوالوں کا مجموعہ

(ix) دنیا کے سب خطرناک جانوروں کا مجموعہ

2. مان لیجئے

A={1,2,3,4,5,6)

ہو تو درج ذیل خالی جگہوں میں مناسب علامت∋اور∌بھرئیے۔

3. درج ذیل سیٹوں کو فہرستی شکل میں لکھئے۔

(i)

{xایک صحیح عدد ہے اورA={x:-3≤x<7

(ii)یک 6سے چھوٹا صحیح عدد ہے ۔B={x

(iii)

{xایک دوہندسی طبعی عددہے جبکہ اسکے ہندسوں کا مجموعہ8ہےC={x:

(iv)

D={x: ایک مفرد عدد ہے جو 60کا قاسم ہےx}

(v)لفظ  TRIGONOMETRYکے حروف کا سیٹE=

(vi)لفظ BETTERکے حروف کا سیٹF=

4. درج ذیل سیٹوں کو سیٹ ساز شکل میں لکھئے۔

5. درج ذیل تمام سیٹوں کے عناصر کی فہرست بنائیے۔

(i)

{xایک طاق طبعی عدد ہے:A={x

(ii)

{x ایک صحیح عدد ہے :B={x

(iii)

{ ایک صحیح عدد ہے اورC={x:x2≤4

(iv)

{xلفظ "LOYAL"کا ایک حرف ہے:D={x

(v)

{x سال کا ایک مہینہ ہے جس میں 31دن نہیں ہوتے ہیں:E={x

(vi)

{xایک Consonantہے جو انگریزی حروف تہجی میں Kسے پہلے آتا ہے:F={x

 6 . درج ذیل سے سیٹ بائیں طرف فہرستی شکل میں اور دائیں طرف سیٹ ساز شکل میں دیئے ہوئے ہیں۔ ہر ایک سیٹ کو ملائیے۔ 

(i)

{1,2,3,6}

(a)

{x:x ایک مفرد عدد ہے اور ناکام قاسم ہے}

(ii)

{2,3}

(b)

{x.xایک 10سے چھوٹا طاق طبعی عدد ہے}

(iii)

{M,A,T,H,E,I,C,S}

(c) {ایک طبعی عدد ہے اور 6کا قاسم ہے}

(vi)

{1,3,7,9}

(d)

{ MATHEMATICSx:x کا حرف ہے}

1.3خالی سیٹ (Empty set)

درج ذیل سیٹ پر غور کیجئے

(b)

{x ایک xiجماعت کا طالب علم ہے جو اسوقت زیر تعلیم ہے:A={x

ہم اسکول میں جاسکتے ہیں اور xiکلا س میں زیر تعلیم طلبا کی گنتی کر سکتے ہیں۔ اس طرح سیٹ Aکے عناصر محدود ہیں۔ 

اب ہم ایک اور سیٹ Bاس طرح لکھتے ہیں۔

{xایک طالب علم ہے جو اس وقت XاورXIجماعت میں پڑھ رہا ہے :B={x

ہم جانتے ہیں کہ ایک طا لب علم ایک ساتھ XاورXIجماعت میں نہیں پڑھ سکتا ۔ اس طرح سے Bسیٹ میں کوئی عنصر نہیں ہے۔ 

تعریف 1   ایک سیٹ جس میں کوئی بھی عنصر موجود نہیں ہوتا خالی سیٹ عدیم سیٹ (Null Set)کہلاتا ہے۔ 

تعریف کے مطابق Bایک خالی سیٹ ہے جبکہ Aخالی نہیں ہے۔ خالی سیٹ کو ہم علامتØیا{}سے ظاہر کرتے ہیں۔ 

ہم درج ذیل میں خالی سیٹوں کی کچھ مثالیں دے رہے ہیں۔ 

(i) مان لیجئے{x ایک طبعی عدد ہے اورA={x:1<x<2,x-

توAایک خالی سیٹ ہے کیونکہ 1اور2کے درمیان کوئی طبع عدد نہیں ہے۔ 

(ii) مان لیجئے{xایک نا طق عدد ہے اورB={x:x2-2=0

تو Bایک خالی سیٹ ہے کیونکہ مساواتx2–2=0 کا ناطق عدد میں حل نہیں ہے۔ 

(iii)مان لیجئے{xایک 2سے بڑا جفت مفرد عدد ہے :C={x تو اسرح Cایک خالی سیٹ ہے کیونکہ 2ایک واحد جفت مفرد عدد ہے۔ 

(iv)

{xایک طاق عدد ہے اورD={x;x2=4اسطرح Dایک خالی سیٹ ہے کیونکہ مساواتx2=4کسی بھی طاق عدد کی قیمت کو مطمئن نہیں کرتی ۔

1.4متنا ہی اور لا متنا ہی سیٹ(Finite and Infinite Sets)

مان لیجئے

B={a,b,c,d,g} ,A={1,2,3,4,5)}

اور{ دنیا کے مختلف حصوں میں رہ رہے انسان}C=ہم جانتے ہیں کہAمیں پانچ اور Bمیں 6عناصر ہیں Cمیں کتنے عناصر ہیں ؟ کیونکہ ہم صحیح نہیں جانتے ہیں کہ Cمیں کتنے عناصر ہیں لیکن یہ جانتے ہیں کہ یہ ایک بہت بڑا طبعی عدد ہے۔ سیٹ میں عناصر کی تعداد کا مطلب سیٹ میں مختلف اعداد کی تعداد ہے اور اس کو ہم n(S) سے ظاہر کرتے ہیں۔ اگرn(S)ایک طبعی عددہے تب Sایک محدود سیٹ ہے جو خالی نہیں ہے۔ 

سیٹ Nطبعی اعداد کے سیٹ پر غور کیجئے۔ ہم جانتے ہیں کہ طبعی اعداد کے عناصر محدود نہیں ہیں کیونکہ طبعی اعداد میں لا محدود عناصر ہیں مندرجہ بالا سیٹ B,AاورC سے محدودسیٹ ہیں۔ n(B)=6،n(a)=5اور (n(C=کچھ محدود اعداد۔

تعریف2

  ایک سیٹ جو یاتو خالی ہو یا عناصر کی تعدادہو، متنا ہی کہلا تا ہے نہیں تو لا متنا ہی کہلا تاہے۔ 

کچھ مثالوں پر غور کیجئے۔

(i)مان لیجئے Wہفتہ کو دنوں کا سیٹ ۔ تب Wمتنا ہی ہے۔ 

(ii)مان لیجئے سیٹSمساواتx2-16=0کے حل ہیں تبSمتنا ہی ہے۔ 

(iii)مان لیجئے Gایک خط کے تمام نقاط کا سیٹ ہے تب Gلا متناہی ہے۔ 

جب ہم ایک سیٹ کو فہرستی شکل میں لکھتے ہیں تب ہم سیٹ کے تمام عناصر کو بریکٹ {}میں رکھتے ہیں۔ ایک لا متناہی سیٹ کے تمام عناصر کو{} میں رکھنا ممکن نہیں ہے کیونکہ اس میں عناصر کی تعداد لا محدود ہوتی ہے لیکن ہم کچھ لا منتاہی سیٹوں کو فہرستی شکل میں لکھتے ہیں۔ اس سیٹ کے کچھ عناصر لکھنے کے بعد ہم اسکے آگے تین نقطے لگادیتے ہیں۔ جس کا مطلب ہے نہ ختم ہونے والا۔ 

مثال کے طورپر{...,1,2,3,4}طبعی اعداد کا سیٹ ہے{...,1,3,5,7}تمام طاق طبعی اعداد کا سیٹ ہے اور

{...,-3,-2,-1,0,-1,2,3...}

صحیح اعداد کا سیٹ ہے ۔ یہ تمام لا منتاہی سیٹ ہیں ۔

تمام لا متناہی سیٹ فہرستی شکل میں نہیں بیان کیجئے جا سکتے ہیں۔ مثال کے طور پر حقیقی اعداد کا سیٹ اس شکل میں نہیں بیان کیا جا سکتا کیونکہ  اس سیٹ کے عناصر کا کوئی خاص نمونہ نہیں ہوتا-

مثال6  ذیل میں دیئے گئے سیٹوں میں متناہی اور لا متناہی سیٹ بیان کیجئے۔ 

(x-1(x-2)=0} (i)

اور xایک طبعی عدد ہےx: }

(ii)

x2=4} (ii)

ایک طبعی عدد ہے:x}

(iii)

{2x-1=0 اور xایک طبعی عدد ہے :x}

(iv)

{xایک مفرد عدد اور xایک طبعی عدد ہے :x}

(v)

{xایک طاق عدد ہے اور xایک طبعی عدد ہے:x}

حل: (i) دیا ہوا سیٹ ہے ={1,2}،اس لئیے یہ متناہی ہے۔ 

(ii)دیا ہوا سیٹ ہے={2}،اس لیئے یہ متناہی ہے۔ 

(iii) دیا ہوا سیٹ اس لیے یہ متناہی ہے۔

(iv)دیا ہوا سیٹ تمام مفرد اعداد کا سیٹ ہے چوں کہ مفرد اعداد لا متناہی ہیں اسلئے یہ سیٹ لا متناہی ہے۔ 

(v)کیونکہ طاق اعداد لا متناہی ہیں اس لیئے دیا ہوا سیٹ لا متناہی ہے۔ 

1.5مساوی سیٹس (Equal Sets)

دوسیٹس Aاور Bدیئے ہوئے ہیں اگر Aکا ہر ایک عنصر Bکا عنصر ہے اور Bکا ہر ایک عنصر Aکا عنصر ہے تو سیٹ Aاور Bمساوی سیٹ کہلاتے ہیں۔ اس سے یہ ظاہر ہوتاہے کہ دونوں سیٹوں کے ایک ہی عناصر ہیں۔ 

تعریف 3  

دو سیٹ AاورBمساوی ہوتے ہیں اگر ان میں یکساں عناصر ہوں اور ہم ان کو A=Bلکھتے ہیں اگر ایسانہ ہو تو سیٹ غیر مساوی کہلاتے ہیں اور ہم ان کو لکھتے ہیں۔A≠B 

ہم درج ذیل مثالوں پر غور کرتے ہیں۔ 

(i)مان لیجئے

 اورA={1,2,3,4}

A=Bہو توB={3,1,42} 

(ii)مان لیجئے A،6سے چھوٹے تمام مفرد اعداد کا سیٹ ہے اور P،30کے تمام مفرد اجزائے ضربی کا سیٹ ہے تو سیٹ Aاور Pمساوی ہیں کیونکہ 30کے مفرد اجزائے ضربی ضرف 2,3,5ہی ہیں اور6سے چھوٹے ہیں۔ 

: ایک سیٹ اس وست نہیں بدلتا جب ان میں موجود ایک یا ایک سے زیادہ عناصر دوبارہ سیٹ میں لکھے جائیں۔ مثال کے طور پر {A={1,2,3 اور{B={2,2,1,3,3 مساوی ہیں کیونکہ A کا ہر عنصر B میں ہے اورB کا ہے۔

ہیں۔ اسی وجہ سے ہم سیٹ لکھنے میں عناصر کو دوبارہ نہیں دہراتے ہیں۔

 مثال7  درج ذیل میں مساوی سیٹوں کے جوڑے معلوم کیجئے (اگر ہیں تو) اور وجوبات بھی بتائیے۔ 

{xمساواتx2-2x15=0 کا مثبت جذر ہےE={x

  حل کیونکہ

EاورD,C,B,0اور0∈A

اور0، B ،C،Dاور  E کسی بھی سیٹ میں شامل نہیں ہے۔ اس لیےA≠B,

A≠E,A≠D,A≠C

کیونکہB=Øہے اور دوسرا کوئی بھی سیٹ خالی نہیں ہے۔ اس لیےB≠D,B≠CاورB≠E۔

{5} =C لیکن

-5∋D

اس لیےC≠D

کیونکہE={5}اورD={-5,5},C=E,E={5)اس لئے

مساوی سیٹوں کا صرف ایک ہی جو ڑا ہے Cاور E۔ 

مثال 8 درج ذیل میں کون سے سیٹوں کے جوڑے مساوی ہیں؟ اپنے جواب کی تصدیق کیجئے۔

(i)Aلفظ Alloyمیں موجود حروف کا سیٹ ہے اور Bلفظ Loyalمیں موجود حروف کا ۔

B={n:x∈Rاورx2-3x+2=0}'A={n:n∈zاورn2≤4} (ii)

A={A,L,L,O,Y} ,A={A,L,L,O,Y} (i) حل

 جب AاورBمساوی سیٹ ہیں کیونکہ عناصر کے دوبارہ آنے سے سیٹ میں تبدیلی نہیں ہوتی اس لیے،

A={A,L,O,Y}=B

o≠Bاورo∈AچونکہB={1,2}'A={-2-1,0,1,2) (ii)

 اس لیےAاورBمساوی سیٹ نہیں ہیں۔ 

مشق 1.2

1. درج ذیل میں کون سی مثالیں عدیم سیٹ (Null Set)کی ہیں۔

(i)

2)سے تقسیم ہونے والے تمام طاق طبعی اعداد کا سیٹ۔

(ii)جفت مفرد اعداد کا سیٹ۔

(iii)

{x  ایک طبعی عدد ہے اورx>7اورساتھ ساتھx:x<5}

(iv){دومتوازی خطوط میں ایک مشترکہ نقطہ ہےy:}

2. درج ذیل میں کون سے سیٹ متناہی اور کون سے سیٹ لا متناہی ہیں؟

(i) سال کے تمام مہینوں کا سیٹ۔

{1,2,3,...} (ii)

{1,2,3,...99,100} (iii)

.99(v)

سے بڑے تمام مثبت صحیح اعداد کا سیٹ۔

(v) 99سے چھوٹے تما م مفرد اعداد کا سیٹ۔

3. درج ذیل میں کون سے سیٹ متناہی اور کون سے سیٹ لا متناہی ہیں؟

(i) xمحور کے متوازی تمام خطوط کا سیٹ 

(ii) انگریزی کے تمام حروف کا سیٹ

(iii)اس نمبر کا سیٹ جو 5کا اضعاف ہو ں

(iv) زبیں پر رہنے والے تمام جانوروں کاسیٹ

(v) ایک مستوی میں مبدا (0,0)سے گزرتے ہوئے تمام دائروں کا سیٹ۔

4. درج ذیل میں بتائیے کہ آیا A = Bہے یا نہیں۔ 

B={d,c,b,a} A={a,b,c,d} (i)

B={8,4,16,18} A={4,8,12,16} (ii)

A={2,4,6,8,10} (iii)

B={x:x≤ایک مثبت جفت عدد ہے اور

x:x}

(iv)

{x کا ایک جفت ہے

B={10,15,20,25,30,...} A={x:10

5. کیا درج ذیل سیٹوں کے جوڑے مساوی ہیں ؟ وجوہات بتائیے۔

B={x:کا ایک حل ہےx25n+6=0مساوتx}A={2,3}  (i)

(x}(ii،لفظ FOLLOWکا ایک حرف ہے:A={x

{yلفظWOLF کا ایک حرف ہے:B={y

6. درج ذیل میں مساوی سیٹ کا انتخاب کیجئے۔

1.6ذیلی سیٹ (Sub Sets)

درج ذیل سیٹوں پر غور کیجئے:=Xآپکے اسکول کے تمام طلباء کا سیٹ =Yآپ کی کلاس کے تمام طلباء کا سیٹ ۔

ہم یہ بات نوٹ کر سکتے ہیں کہ سیٹ Yکا ہرممبر سیٹXکاممبر ہے۔ ہم یہ کہہ سکتے ہیں کہ سیٹYسیٹ Xکا ذیلی سیٹ ہے (Sub Sets)ہم اسے علامتY⊂Xسے ظاہر کرتے ہیں۔ علامت"⊃"ا مطلب ہے ذیلی سیٹ (Sub Set)یا اس کا حصہ ہے۔ 

تعریف 4

 اگر سیٹ Aکا ہر عنصر Bکا بھی عنصر ہو تو سیٹ Aسیٹ Bکا ذیلی سیٹ (Sub Set)کہلاتاہے ۔ 

دوسرے الفاظ میں

"⇒"نشان-a∈Bتوa∈AاگرA⊂B

کا استعمال زیادہ بہتر ہے ۔ جس کا مطلب ہے’’ اس سے ملتاہے۔‘‘ اس نشان کا استعمال کر کے ہم ذیلی سیٹ کی تعریف اس طرح بھی بیان کر تے ہیں۔ 

-A∈A←a∈BاگرA⊂B

ہم اوپر دیے ہوئے بیان کو اسطرح بھی پڑھتے ہیں ’’A،Bکا ذیلی سیٹ ہے اگر کوئی بھی عنصر سیٹ Aمیں ہو تو یہ سیٹ Bکا بھی عنصر ہے اگر A،Bکا ذیلی سیٹ نہیں ہے تو  ہم یہ لکھتے ہیں

A⊄B

ہم یہ بات نوٹ کرتے ہیں کہ Aکو Bکا ذیلی سیٹ ہونے کیلئے  یہ ضروری ہے کہ Aکے تمام عناصر Bکے عناصر بھی ہوں ۔ یہ بھی ممکن ہے کہ Bکے تمام عناصرA میں ہوں تو ہم کہتے ہیں کہA⊂Bاس حالت ہیں AاورBایک ہی سیٹ ہوتے ہیں 

ّA⊂BیاB⊂Aجس کا مطلب

(⇔)جہاںA=B(⇔)

نشان دو طرفہ معاملات کو ظاہر کر تا ہے اور اسے اسطرح پڑھا جا تاہے (یہ اور ضر بہ)یا مختصر طورپر (iff)

ہم ذیلی سیٹ کی تعریف سے یہ نتیجہ نکالتے ہیں کہ ہر سیٹ اپنے آپ کا ذیلی سیٹ ہے یعنی A⊂Aکیونکہ خالی سیٹ Ø میں کوئی عنصر نہیں ہوتا ۔ ہم اس بات پر متن ہیں کہØ ہر سیٹ کا ذیلی سیٹ ہے اب ہم کچھ مثالوں پر غور کرتے ہیں۔ 

(i) ناطق اعداد کا سیٹØ حقیقی اعداد Rکا ذیلی سیٹ ہے اور ہم لکھتے ہیں QCR۔

(ii) اگر A،54کے تمام قاسموں کا سیٹ ہے اور56,Bکے تمام مفرد قاسموں کا سیٹ ہے تو Bسیٹ Aکا ذیلی سیٹ ہے ہم لکھتے ہیں۔ ACA۔

(iii) مان لیجئے

6'x}اورA={1,3,5}

سے چھوٹا ایک طاق طبعی عدد ہے

B⊂Aاور یعنیA⊂BتبB={x:

(iv) مان لیجئے

B,AتبB={a,b,c,d} 'A={a,e,i,o,u}

 ذیلی سیٹ نہیں ہے اورA B کا ذیلی سیٹ نہیں ہے۔ہم لکھتے ہیں

B⊄AاورA⊄B

تعریف : واجب ذیلی سیٹ (Proper Sub set) :مان لیجئے AاورBدوسیٹس ہیں۔ اگر

A≠BاورA⊂B

تب B,Aکا واجب ذیلی سیٹ ہے اور A.B کا (Super Set) کہلاتا ہے ۔مثال کے طور پر

A={1,2,3}

سیٹ

B={1,2,3,4}

ا واجب ذیلی سیٹ ہے۔ 

تعریف: واحدی عنصری (Singleton Set):اگر ایک سیٹ Aہے اور اس میں ایک ہی عنصر ہے تو ہم اسکو واحدی عنصری (Singleton Set)کہتے ہیں ۔ اس لیے{a}ایک واحدی عنصری سیٹ ہے۔ 

مثال 9  ذیل کے سیٹوں پر غور کیجئے۔

نیچے دیئے ہوئے سیٹوں کے جوڑوں کے درمیان علامت کا استعمال کیجئے۔

حل (i)

Ø⊂BکیونکہØہر سیٹ کا ذیلی سیٹ ہے۔ 

(ii)

A⊄B کیونکہ

3∈Aاور

3∈A

(iii)

کیونکہA⊂C

1,3,∈A

اوران کا تعلق Cسے بھی ہے۔

B⊂C (iv)

کیونکہ Bکا پر مبرCکا بھی سمبر ہے۔

مثال 10مان لیجئے

B,Aہے۔کیاB={a,b,c,d} اورA={a,e,i,o,u}

 کا ذیلی سیٹ ہے اگر نہیں (کیوں؟)کا A، B کا ذیلی سیٹ ہے؟ اگر نہیں (کیوں؟) 

مثال 11مان لیجئے A،Bاور Cتین سیٹ ہیں اگر

B⊂C اورA∈B

کیا یہ صحیح کہ

؟A⊂C

اگر نہیں تو ایک مثال دیجئے۔

حل نہیں مان لیجئے

C⊂CاورA={1}کیونکہA∈BیہاںC={1},2,3}اورB={1},2}'A={1}

1⊄Cاور

1∈A کیونکہA⊄Cلیکن

یہ بات نوٹ کیجئے کہ ایک سیٹ کا کوئی عنصر اس کا ذیلی سیٹ نہیں ہو سکتا۔ 

1.6.1حقیقی اعداد کے سیٹ کے ذیلی سیٹ (Subsets of Set of real numbers)

جیسا کہ ہم نے 1.6میں دکھایا ہے حقیقی سیٹ کے بہت سے خاص ذیلی سیٹ ہیں ہم نے ذیل میں ان ذیلی سیٹ کے نام دئے ہیں۔ 

طبعی اعداد کا سیٹ

N={1,2,34,5...}

   صحیح اعداد کا سیٹ

Z-{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}

ناطق اعداد کا سیٹ 

جسے ہم اس طرح پڑھتے ہیں’’Qان سب xاعداد کا سیٹ ہے اورجہاں pاورqدونوں صحیح اعداد ہیں اورq،oکے برابر نہیں ہے۔‘‘ Q میں-5شامل ہے )جسے ہم اس طرح دکھا سکتے ہیںجسے ہم لکھ سکتے ہیںاور

غیر ناطق اعداد کا سیٹ جو کہ دوسرے حقیقی اعداد سے بنا ہے۔

اس لئے={xایک حقیقی عدد ہے اور xناطق عدد نہیں ہے:T=}x یا

T-{x:x∈ R and x∉ Q} =R-Q

اس کا مطلب وہ تمام حقیقی اعداد جو نا طق نہیں ہیں Tکے عناصر ہیںاوران ذیلی سیٹ کے کچھ رشتہ نیچے دے گئے ہیں۔

N⊂Z⊂Q,Q⊂R,T⊂R,N⊄T

1.6.2وقفے بحیثیت حقیقی سیٹ کے ذیلی سیٹس (Intervals as Subsets of R )

مان لیجئےa,b∋Rاورa<bتب حقیقی اعداد کا سیٹ{y:a<yb}ایک کھلا ہوا وقفہ کہلا تا ہے اور ہم اسے (a,b)سے ظاہر کرتے ہیں aاورbکے درمیان تما م نقطہ کھلے ہوئے وقفہ (a,b)میں شامل ہیں لیکن aاورbاس وقفہ میں شامل نہیں ہے۔ 

وہ وقفہ جس میں یہ دونوں نقطہ aاور bشامل ہیں بند وقفہ (Closed Interval)کہلاتاہے ۔ اور اسے [a,b]سے ظاہر کیا جا تا ہے اس طرح: 

[a,b)={x:a≤x>b}

ہمارے پاس اس طرح کے وقفہ بھی ہو سکتے ہیں جو ایک ہی ساتھ ایک طرف سے کھلے اور ایک طرف سے بند ہوں یہ ایک کھلا ہوا وقفہ ہے جو aسےb کی طرف ہے ۔ اور جس میں

a{a,b)={x:a≤x<b}

شامل ہے اور bنہیں۔

یہ ایک کھلا ہوا وقفہ ہے جوaسے bکی طرف ہے اور جس میںb شامل ہے aنہیں

{a,b)={x:a≤x<b)یہ علامتی اظہار حقیقی اعداد کے سیٹ کے ذیلی سیٹ کو دکھانے کادوسرا طریقہ ہے۔ مثال کے طور اگر

0,∞سیٹA⊂Bہو توB=(-7,9)اورA-(-3,5)

 مثبت حقیقی اعداد کی تعریف بیان کرتا ہے۔جبکہ(∞,0-) جبکہ(∞,∞-) منفی حقیقی اعداد کی تعریف بیان کر تاہے۔ سیٹ[∞,∞-]  حقیقی اعداد اور ایک خط کے رشتے کو ظاہر کر تاہے جو[∞سے∞تک بڑھ رہی ہے۔ 

حقیقی اعداد والے خط پر بہت سے وقفہ جو مندرجہ بالا حقیقی سیٹ کے ذیلی سیٹ ہیں نیچے شکل1.1 میں دکھائی گئے ہیں۔ 

یہاں، ہم یہ دیکھتے ہیں کہ ایک دقفہ میں لا محدود نقاط ہیں۔ 

مثال کے طورپر سیٹ{x:x∈R,-5<x≤7}

جو سیٹ ساز شکل میں ہے وقفہ کے شکل میں اس طرح لکھا جاسکتا ہے [-5,7]اور وقفہ [-3,5]کو سیٹ ساز شکل میں اس طرح لکھتے ہیں

-{x:-2-3≤x<5}

اعداد(b,-a)کسی بھی وقفہ (a,b)،[a,b]،[a,b)،یا(a,b]کی لمبائی ہے۔ 

1.7قوت سیٹ (Power Set)

سیٹ {1,2}پر غور کیجئے ہم اب {1,2}کے تمام ذیلی سیٹ لکھتے ہیں ہم جانتے ہیں کہØہر سیٹ کا ذیلی سیٹ ہے۔ اس لیے Øسیٹ{1,2} کا ذیلی سیٹ ہے{1}اور{2}بھی سیٹ {1,2}کے ذیلی سیٹ ہم یہ بھی جانتے ہیں کہ ہر سیٹ خود کا ذیلی سیٹ ہوتاہے۔ اس لیے Øسیٹ {1,2}کا ذیلی سیٹ ہے۔ اس طرح سیٹ{1,2}کے چار ذیلی سیٹ کے سیٹ کو قوت سیٹ (Power Set)کہتے ہیں۔

تعریف 5 سیٹ کے تمام ذیلی سیٹوں کے مجموعہ کو Aکا قوت سیٹ کہتے ہیں ۔ اس کو ہم P(A)سے ظاہرکرتے ہیں P(A)کاہر عنصر ایک سیٹ ہوتاہے۔ 

اس لیے جیسا اوپر ہے اگر{A={1,2تو

P(A){Ø,{1},{2},{1,2}}

یہ بات بھی نوٹ کر لیجئے کہ

n[P(A)]=4=2

عام طورپر اگر Aکوئی سیٹ ہے جس میں n(A)=mتو دکھا یا جاسکتاہے کہ

n[P(A)=2m

1.8: آفاقی سیٹ (Universal Set)

عام طورپر کسی بھی سیاق و سیاق میں ہمارے ذہن میں بنیادی سیٹ کے عنصر اور ذیلی سیٹ ہوتے ہیں جو ایک خاص قسم کا رشتہ رکھتے ہیں۔ مثال کے طورپر جب ہم اعداد کے نظام کا مطالعہ کرتے ہیں۔ تو ہماری دلچسپی طبعی اعداد اور ان کے ذیلی سیٹ میں ہوتی ہیں۔ جیسے تمام مفرد اعداد کاسیٹ ، تما جفت اعداد کا سیٹ وغیرہ وغیرہ۔ یہ بنیا دی سیٹ آفاقی سیٹ کہلاتا ہے۔ اور اسے عموماً Uسے ظاہر کرتے ہیں۔ اور اسکے تمام ذیلی سیٹ کو  A،BاورCوغیرہ سے ۔

مثال کے طورپر تمام صحیح اعداد کے سیٹZکے لئے ناطق اعداد کا سیٹ Qباحقیقی اعداد کا سیٹ Rآفاقی سیٹ ہوتا ہے۔ دوسری مثال کے طورپر انسانوں کی آبادی کے سلسلے میں دنیا میں موجود تمام لوگوں کا سیٹ آفاقی سیٹ ہے۔ 

مشق1.3

1. خالی جگہوں میں مناسب علامات سے اور ⊃یا⊄بھر کر درج ذیل بیا نات کو درست کیجئے۔ 

{a,b,c} ...{b,c,d} (ii) {2,3,4}...{1,2,3,4,5)

آپ کے اسکول کا ایک طالب علم ہےآپ کے اسکولی xiجماعت کا ایک طالب علم ہے 

نصف قطر والا ایک دائرہ ہےمستوی میں ایک دائرہ ہےx:

مستوی میں ایک مستطیل ہےمستوی میں ایک مثلث ہے

مستوی میں ایک مثلث ہےمستوی میں ایک مساوی ضلعی مثلث ہے

یک صحیح عدد ہےایک جفت طبعی عدد ہے

2.  جانچ کیجئے کہ درج ذیل بیانات آیادرست ہیں یا غلط۔

{a,b}⊄{b,c,a} (i)

{xانگریزی حروف کا ایک حرف علت ہے

{a,e}⊂{x:

{a} ⊂{a,b,c} (iv) {1,2,3}⊂{1,3,5} (iii)

{a}∈{a,b,c} (v)

(x}(viایک طبعی عدد ہے جو 36کو تقسیم کر تاہے

x} {⊂x:

ایک جفت طبعی عدد ہے جو 6کو تقسیم کرتاہے

:x}

3.  مان لیجئے 

A={1,2,{3,4},5}

ہو تو درجہ ذیل میں کون سے بیانات غلط ہیں اور کیوں؟

4.  نیچے دیے گئے تمام سیٹوں کے ذیلی سیٹ لکھئے

Φ(iv) {1,2,3(iii) {a,b} (ii) {a}(i)

5. کے کتنے عناصر ہیں اگرA=Øہو؟

6. مندرجہ ذیل سیٹوں کو وقفہ کے طور پر لکھئے۔

{x:x∈R,-12<x≤-10} (ii) {x:x∈R,-<x≤6}(i)

{x:x∈R,3≤x≤4} (iv) (iv) {x:x∈R,0≤x<7} (iii)

7. مندرجہ ذیل وقفوں کو سیٹ ساز شکل میں لکھئے:

(i)  (-3,0) (ii)  [6,12] (iii)  (6,12] (iv)  [-23,5)

8۔ نیچے دیئے گئے سیٹوں کے لیے آپ کو ن سا آفاقی سیٹ تجویز کریں گے؟

(i)زاویہ قائمہ کے سیٹ کے لیے (ii)مساوی الساقین مثلث کے سیٹ

9 . دئے گئے سیٹ

Cاور{0,2,4,6

B={2,4,6}' A={1,3,6}A={1,3,5}

کے لیے نیچے دیا گیا۔ 

کون سا آفاقی سیٹ ہو گا جو کہ A،Bاور Cتینوں  کے لیے ہو۔

{0,1,2,3,4,5,6} (i)

Ø (ii)

{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} (iii)

{1,2,3,4,5,6,7,8} (vi)

 

1.9دین ڈأیگرام (Venn Diagrams)

سیٹ کے درمیان بیشتر رشتوں کا اظہار ہم ڈأیگرام سے کر سکتے ہیں جسے ہم دین ڈأیگرام کہتے ہیں۔اسکا نام ایک بر طانوی جان دین (1834-1883)کے نام پر رکھا گیا۔ یہ ڈأیگرام مستطیل اور مخمنی بند زیادہ تردائروں پر مبنی ہے۔ اس ڈأیگرام میں آفاقی سیٹ کو مستطیل کے اندرون سے ظاہر کرتے ہیں اور دوسرے سیٹوں کو دائروں کے اندرون سے ظاہر کرتے ہیں۔ 

دین ڈأیگرام میں سیٹ کے عنصر اپنے خاص سیٹوں کی شکل میں لکھے جاتے ہیں(شکل 1.2اور1.3)

تشریح1شکل 1.2میں

{U={1,2,3...10ایک آفاقی سیٹ ہے جسکا اورایک ذیلی سیٹ ہے۔ 

تشریح2 شکل1.3 میں {U={1,2,3...10 ایک آفاقی سیٹ ہے جسکے

B={2,6} اورA={2,4,6,8,10}

ذیلی سیٹ ہیں اور

B⊃A

جب ہم اجماع (union)تقاطع (Intersection)اور سیؤں کے فرق پر بحث و مباحثہ کریں گے تو آپ اس درمیان دین ڈأیگرام کا بھر پور استعمال دیکھیں گے۔ 

1.10 سیٹوں پر عملیات (Operations on Sets)

ہم نے سابقہ جماعتوں میں اعداد پر جمع گھٹا (تفریق)، ضرب اور تقسیم پر عمل کئے ہیں۔ ہر عمل میں دو اعداد سے ایک نیا عدد ملتاتھا۔ مثال کے طور پر جب ہم 5اور 13کو جمع کرتے ہیں تو ہمیں 18حاصل ہوتاہے۔ اگر ہم 5اور 13کیساتھ ضرب کا عمل کرتے ہیں تو ہمیں 65حاصل ہوتاہے اسی طرح کچھ عملیات ایسے ہیں جو اگر دوسیٹوں پر کیئے جائیں تو ہمیں ایک نیا سیٹ ملتاہے۔ اب ہم سیٹوں پر کچھ عملیات بیان کریں گے اور ساتھ ہی ان کی خصوصیات کو بھی دیکھیں گے۔ اس طرح تمام سیٹ آفاقی سیٹ کے ذیلی سیٹ ہوں گے۔ 

1.10.1اتحادی سیٹ (Union of Sets)

مان لیجئےA،Bدوسیٹ ہیں AاورBکا اتحاد سیٹ وہ سیٹ ہوتاہے جس میں A،Bکے تمام عنصر موجود ہوتے ہیں مشتر کہ عناصر کو ایک مرتبہ لکھتے ہیں۔ اس کے لئے علامت ’U‘کا استعمال ہوتاہے۔ علامتی طورپ پر اسےAUB سے ظاہر کیا جا تاہے اور پڑھتے ہیں AاتحادB

مثال  12مان لیجئے 

A∪Bہو توB={6,8,10,12}, A={2,4,6,8)

معلوم کیجئے۔

حل  ہمارے پاس ہے

AUB={2,4,68,10,12}

یہ بات نوٹ کرنے کی ہے کہ مشترکہ عناصر 6اور8کوA∪B لکھنے میں صرف ایک ہی مرتبہ لیا گیاہے۔

مثال 13مان لیجئے

 ہے=AA∪B دکھائےB={a,i,u}اورA={a,e,i,o,u}

حل ہمارے پاس ہے

AUB={a,e,i,o,u}=A

درج بلا مثال سے معلوم ہوتاہے کہ سیٹ Aاور اس کے ذیلی سیٹ Bکا اتحادی سیٹ خود A ہی ہوتا ہے ۔بعد اگر

1. B⊂Aہو توAUB=A

مثال 14مان لیجئے{رام گیتا،اکبر}X=،XIجماعت کے ان طلباء کا سیٹ ہے جوا سکول کی ہاکی ٹیم میں ہیں۔ مان لیجئے {گیتا، ڈیوڈ اشوک} Y=جماعت کے ان طلباء کا سب ہے جو اسکول کی فٹ بال ٹیم میں شامل ہیںXUY

معلوم کیجئے اور سیٹ کی ترجمانی کریں۔ 

حل ہمارے پاس ہے}رام گنا ۔ اکبر، ڈیوڈ ،اشوک

={XuY

جماعت کے ان طلباء کا سیٹ ہے جو باتو اسکول کی ہا کی ٹیم میں ہیں یا فٹ بال ٹیم میں یا دونوں میں ہیں۔

ہم دوسٹ کے اتحاد کی تعریف اس طرح بیان کرتے ہیں۔

تعریف6دوسیٹوں Aاور Bکا اتحادی سیٹ سے وہ سیٹ ہے جس میں وہ تمام عناصر ہوتے ہیں جو یاتو Aمیں ہوتے ہیں یا Bمیں (اور جو دونوں میں مشترک ہوتے ہیں)

علامتی طورپر ہم لکھتے ہیں

AUB={x:x∈Aor x∈B}

دو سیٹوں کے اتحاد کو ہم درج ذیل وین ڈأیگرام سے ظاہر کرتے ہیں۔ 

شکل1.4میں شیڈ کیا گیا حصہ کو ظاہر کرتاہے۔

اتحادی عملیات کی کچھ خصوصیات (Some Properties of the opration of union)

(AUB)=AUB  (i)

(تقلیبی قانون)

(AUB)  UC=AU (BUC)  (ii)

(تلازمی قانون)

(AUØ=A   (iii

(تماثلی قانون Øاتحاد کا تماثلہ ہے)

(AuA=A (iv

(کلیہ ہماں قوت قانون)

(UuA=U  (v

(تماثلی قانون)

1.10.2سیٹوں کا تقاطع (Inter section of Sets)

دوسیٹوں Aاور Bکا تقاطع وہ سیٹ ہوتاہے جس میں Aاور Bکے مشترک عناصر ہوتے ہیں۔ علامت'∩'تقاطع کے لیے ظاہر کرتے ہیں ہیں۔دوسیٹ Aاور Bکا تقاطع وہ سیٹ ہے جس کے عناصر دونو ں سیٹوں میں موجود ہوتے ہیں۔ علامتی طورپر ہم لکھتے ہیں

A∩B={ x:x ∈Aاور  x∈B}

مثال15مثال 12کے سٹ A،Bکو لیجئے اورA∩Bمعلوم کیجئے۔ 

حل  ہم شاہدہ کرتے ہیں کہ 6اور8دونوں میں مشترک ہیں اس لئے

{A∩B={6,8

مثال 16 مثال 14کے سیٹ XاورYلیجئے اور X∩Yمعلوم کیجئے۔

حل ہم دیکھتے ہیں کہ عنصر ’’گیتا‘‘ واحد عنصر ہے جو دونون میں مشترک ہے ۔اس لیے {گیتا}=XUY

مثال17مان لیجئے

A∩BہےB={2,3,4,5,7}اورB={2,3,4,5,7}اورA={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)

 معلوم کیجئے اورتصدیق کیجئے کہ

A∩B=B

 حل ہمارے پاس ہے

A∩B={2,3,5}=B

ہم نوٹ کر تے ہیں کہ اگر

A∩B=B ہو توB⊂A

تعریف 7دو سیٹ Aاور Bکا تقاطع سیٹ وہ سیٹ ہے جن کے عناصر دونوں سیٹوں میں موجود ہوتے ہیں۔علامتی طورپر ہم لکھتے ہیں

A∩B={x:x∈Aاور  x∈B}

شکل 1.5میں شیڈ کیا گیا حصہ کو ظاہر کرتاہے  

  

اگر A،Bدوسیٹ اس طرح ہوں کہA∩B=Ø توA,Bغیر

 مشترک سیٹ کہلا تے ہیں مثال کے طورپر{A={2,4,6,8

اورB={1,3,5,7}تو A،Bغیر مشترک سیٹ (Disgoint Sets) کہلاتے ہیں کیونکہ ان دونوں میں کوئی بھی عنصر مشترک نہیں ہے ۔ غیر مشترک سیٹوں کو ہم دین ڈائیگرام کے درج ذیل شکل 1.6میں دکھاتے ہیں۔مندرجہ بالا ڈائیگرام میںA،Bو غیر مشترک سیٹ ہیں۔ 

تقاطع عملیات کی کچھ خوصیات (Some properties of operation of intersection)

A∩B=B∩A (i)

(تقلیبی قانون )

(A∩B)∩C=(B∩C) (ii)

(تلازمی قانون)

U کا قانون)Ø)Ø∩A-Ø,U∩A-A (iii)

اورU کا قانون)

A∩A=A (iv)

(کلیہ ہماں قوت قانون)

A∩ (BUC)=(A∩B) U (A∩C) (v)

(تقاطع کا تقسیمی قانون) 

اس سے ملتا ہے ∩تقیمی ہے Uپر

ان قوائین کی تصدیق دین ڈأیگرام [1.7(i)-(v)]سے کی جا سکتی ہے ۔(v)۔(i)1.7شکل

1.10.3سیٹوں کی تفریق (Difference of Sets )

سیٹ Aاور سیٹ Bکی تفریق وہ سیٹ ہے جس کے عناصر Aسے تعلق رکھتے ہیں لیکن B Xسے تعلق نہیں رکھتے ۔ علامتی طور پر ہم لکھتے ہیں کہ A-Bاور پڑھتے ہیںAفرقB

مثال18ماناکہ

B-AاورA-B-B= {2,4,6,8}, A={1,2,3,4,5,6}

 معلوم کیجئے۔

حل ہمارے پاس ہےA-B={1,3,5}

کیونکہ 1،3اور5ایسے عناصر ہیں جو Aمیں ہیں اور Bمیں نہیں ہیں۔ اسی طرح

{B-A={8کیونکہ عنصر 8،Bمیں موجود ہے Aمیں نہیں۔

ہم نو ٹ کر تے ہیں کہB-A≠B-A

مثال19ماناکہ

B={a,i,1,u} 'V={a,e,i,o,u}

توV-Bاور B-V معلوم کیجئے۔

حل  ہمارے پاس ہے{V-B={e,o

کیونکہeاورoہی دواسے عناصر ہیں جو B میں نہیں ہیں اورVمیں موجود ہیں۔ اور اسی طرح{B-V={k کیونکہ kعنصر Bمیں ہے اورV میں نہیں ہے۔ 

ہم یہ دیکھتے ہیں کہV-B≠B-Vسیٹ ساز علامت کا استعمال کرکے ہم سیٹوں کی تفریق کی تعریف اس طرح لکھ سکتے ہیں۔ 

A-B={x:x∈Aاورx∉}

دوسیٹوں Aاور Bکی تفریق کو دین ڈأیگرام کے ذریعہ شکل 1.8میں دکھا یا گیا ہے۔ 

دو سیٹوں Aاور Bکی کا فرق شکل میں دیئے گئے شیڈ سے دکھا یا گیا ہے۔ 

ریمارک سیٹ

B-AاورA∩B'A-B

با ہم گیر مشترک ہیں (mutually disgoint)اس طرح دوسیٹوں کا تقاطع ایک خالی سیٹ ہے جیسا کہ شکل 1.9میں دکھا یا گیا ہے۔

مشق 1.4

1. درج ذیل ہر ایک سیٹ کے جوڑوں کا اتحاد معلوم کیجئے۔

Y={1,2,3} X={1,3,5} (i)

B-{a,b,c} A- {a,e,i,o,u} (ii)

(iii){ایک طبعی عدد ہے اور 3کا صف ہےA={x

{xایک طبعی عدد ہے اور 6سے چھوٹاسے B={x

(iv)

{xایک طبعی عدد ہے اور 

1<x≤6

A={x:ہے

{xایک طبعی عددہے اور

B={x:6<x≤10

B=Φ ,A={1,2,3) (v)

2. مانا کہ

کیا ہے۔A∪Bکیا ہے؟ A⊂B,B={a,b,c} اور A={a,b)

3. اگر AاورBدو سیٹ ہیں اس طرح کہ A⊂BتبA∪B کیا ہوگا؟

4. اگر

D={7,8,9,10}اورC={5,6,7,8},B={3,4,5,6}, A={1,2,3,4}

تو معلوم کیجئے۔

B∪D (iv) B∪C (iii) A∩C (ii) A∪B (i)

B∪C∪D (vii) A∪B∪D (vi) A∪B (i)

5. درج بالا سوال نمبرا کے تمام سیٹوں کے جوڑوں کے تقاطع معلوم کیجئے۔

6. اگر

D-{15,1}اورC-{11.13.15}, B-{7,9,11,13} ,A-{3,5,7,9,11)

درج ذیل معلوم کیجئے۔

A∩C (iv) A∩C∩D (iii) B∩C (ii) A∩B (i)

A∩(B∪D) (viii) A∩D(vii) A∩(B∪C) (vi) B∪D (v)

(A∪D) ∩(B∪C) (x) (A∩D)∩(B∪C) (ix)

7. مانا کہ

x}A={x:

ایک طبعی عدد ہے:x}A={xایک طبعی جفت عدد ہے

:x}A={x ایک طاق طبعی عددہے

:C={x

مفرد عدد ہے{x ایک مفرد عدد ہے:D={xتو معلوم کیجئے۔

B∩D (v) B∩C(iv) A∩C(iii) A∩C(ii) A∩B (i)

C∩D(vi)

8 . درج ذیل میں کون سے سیٹوں کے جوڑ غیر مشترک ہیں۔

{1,2,3,4,} (i)

x}اور

ایک طبعی عدد ہے اور

{x:4≤x< 6

{c,d,e,f}اور{a,e,i,o,u} (ii)

(x{(iiiایک طاق صحیح عدد ہے

:x}اورx{ ایک مثبت صحیح عدد ہے x}

9 . مانا کہ

C={2,4,6,8,10,12,14,16} ,B={4,8,12,16,20},A={3,6,12,15,18,21}

اور

D={5,10,15,20}

تو معلوم کیجئے۔

(i)A-B(ii)A-C (iii)A-D (iv)B-A (v)C-B (vi)D-A (vii)B-C (viii)B-D (ix)C- B (x) D-B (xi)C-D 

(xii)D-C 

10. اگر

Y={f,b,d,g}اورX={a,b,c,d}

تو معلوم کیجئے۔

X∩Y(iii) Y-X(ii) X-Y(i)

11. اگر Rحقیقی اعداد کا سیٹ ہے اور Qناطق اعداد کا سیٹ ہے تو R-Qمعلوم کیجئے؟

12.  بیان کیجئے کہ آیا درج زیل بیانات درست ہیں یا غلط ۔ اپنے جواب کی تصدیق کیجئے۔ 

 غیر مشترک سیٹ ہیں۔

{2,3,4,5} (i)

 اور

{3,6)

غیر مشترک سیٹ ہیں۔ 

(ii)

{a,e,i,o,u}

اور

{a,b,c,d}

غیر مشترک سیٹ ہیں۔ 

(2,6,10,14} (iii)

اور

{3,7,11,15}

غیر مشترک سیٹ ہیں۔ 

(iv)

{2,6,10}

اور

{3,7,11)

غیر مشترک سیٹ ہیں۔

1.11سیٹ کا تکملہ (Complement of a Set)

مان لیجئے آفاقی سیٹ Uتمام مفرد اعداد کا سیٹ ہے۔ ماناکہ A،Uکا ذیلی سیٹ ہے جس کے اندر وہ تمام مفر د اعداد ہیں جو 42کے قاسم نہیں ہیں۔ اس لیےکا قسم نہیں ہے اورہم دیکھتے ہیں کہلیکنکیونکہ42'2 کا قاسم ہے اسی طرح اب 2،3اور7آفاقی سیٹ کے وہ عناصر ہیں جوA  میں نہیں ہیں۔ ان تین مفرد اعداد کا سیٹ بھی کی مناسبت میں کا تکملہ کہلا تاہے اور اس کو ہم'Aسے ظاہر کرتے ہیں۔ 

اسطرح ہمارے پاس ہے اور ہم دیکھتے ہیں کہصاف طور پرہم دیکھتے ہیں کہ سیٹ Aکے تکمہ کو اسطرح بھی کہا جا سکتاہے کہ یہ آفاقی سیٹ اور سیٹ Aکی تفریقی ہے۔ ہم دیکھتے ہیں کہ سیٹ A کی تفریق ہے۔ 

مثال 20  مان لیجئے 

A'توA={1,3,5,7,9}اورU={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

معلوم کیجئے

 حل ہم نوٹ کر تے ہیں کہ U 2,4,6,8,10کے وہ عناصر ہیں جو Aمیں موجود نہیں ہیں اس لیے

A'={2,4,6,8,10}

مثال21 مان لیجئے'XI 'U جماعت کے ان تام طلباء کا آفاقی سیٹ ہے جو کسی اسکول میں تعلیم پارہے ہیں جہاں مخلوط تعلیم رائج ہے -X1'A

 (Co-Educational school) جماعت کی تمام لڑکیوں کا سیٹ ہے تو'Aمعلوم کیجئے۔

حل  کیونکہ Aتمام XIکلا س کی لڑکیوں کا سیٹ ہے اس لیے'A تمام لڑکوں کا سیٹ ہوگا۔ 

اگر Aآفاقی سیٹ Uکا ماتحت سیٹ ہے تو اس کا تکمہ 'A بھی Uکا ذیلی (ماتحت)سیٹ ہو گا۔ {A'={2,4,6,8,10 دو بارہ اگر ہم مندرجہ بلا مثال نمبر 20پر غور کر یں تو ہم دیکھتے ہیں۔

یہ تکمیہ کی تعریف سے صاف ہو جا تاہے کہ آفاقی سیٹ کے کسی بھی ذیلی سیٹ کے لیے ہمارے پاس ہے

(A')=A

اب ہمA'NB'اور(A∪B)'

کے نتائج مندرجہ ذیل مثال میں معلوم کریں گے۔ 

مثال 22 مان لیجئے

B={3,4,5}اورA={2,3}, U={1,2,3,4,5,6)

تو معلوم کیجئےA∪B ,A'∩B',B',A

اور پھر ثابت کیجئے کہ 

حل صاف طورپر

A'∩B'={1,6}ہے۔ اس لیےB'={1,2,6},A'{1,4,5,6}

اسی طرح

(A∪B)'= {1,6} =A'∩B'اور(A∪B)'={1,6}اس لیے-A∪B={2,3,4,5}

یہ دکھایا جا سکتاہے کہ اوپر دیا ہوا نتیجہ سب کیلے صحیح ہے اگر A اور Bکسی بھی آفاقی سیٹ کے ذیلی سیٹ ہیں 

تب

(A∪B)'=A∩B'

اسی طرح

(A∩B)'=A∪B'

(A∪B)'=A’∩B'

یہ دو نتائج الفاظ میں اس طرح بیان کئے جا سکتے ہیں 

دو اتحادی سیٹ کا تکملہ ان کے تکملہ کا تقاطع ہے اور دو تقاطع سیٹ کا تکملہ ان کے تکملہ کا اتحادی ہے۔ انہیں ڈی مار گن کا قانون (De  Margan's laws)کہا جا تاہے۔ یہ اس ریاضی دان کے نام کے بعد دئے گئے ہیں ۔

سیٹ Aکا تکملہ Aوین ڈائیگرام کے ذریعہ ذیل شکل میں دکھایا گیا ہے۔

سیٹ A کا تکملہ تصویر میں شیڈ سے دکھایا گیا ے۔

تکملہ کی کچھ خصوصیات (Some Properties of complements)

1.تکملہ کے قانون 

2. ڈی مارکن کا قانون

3 .قاعدہ در پیچ 

4 . قانون تکملہ

ان قانون کی ہم وین ڈائیگرام کے ذریعہ بھی تصدیق کر سکتے ہیں۔ 

مشق 1.5

1. مان لیا

تومعلوم کیجئے 

2. اگر ہوتو مندرجہ ذیل سیٹوں کے تکملی معلوم کیجئے۔

3. طبعی اعداد سیٹ کو آفاقی سیٹ مان کر مندرجہ ذیل سیٹوں کے تکملے معلوم کیجئے۔

ایک طبعی طاق عددہےایک طبعی جفت عدد ہے

ایک مفرد اعداد ہےکا جفت ضریب ہے

ایک کامل مربع ہےسے تقسیم ہوتاہے

ایک کا مل کعب عدد

4.تو تصدیق کیجئے کہ: 

5 . ذیل میں ہر ایک کے لیے مناسب دین ڈائیگرام بنا ئیے۔

6 . مانا کہ Uمستوی تمام مثلثوں کا سیٹ ہے۔ اگر Aمثلثوں کا وہ سیٹ ہے جن میں کم از کم ایک زاویہ سے مختلف ہوتو

معلوم کیجئے Aکیا ہے۔ 

7 . ذیل میں خالی جگہوں کو اس طرح بھر ئیے تاکہ ہر بیان درست ہو ۔

1.12۔ دو سیٹوں کے اتحاد اور تقاتع پر عملی مسئلہ

 (Practical Problems on Union and intersection of two Sets)

پچھلے سیکشن میں ہم نے دوسیٹوں کے اتحاد، تقاطع اور تفریق کے بارے میں پڑھاہے اس سیکشن میں ہم روز مرہ کی زندگی میں درپیش مسائل کا مطالعہ کریں گے ۔ اس باب میں حاصل شدہ فارمولا آنے والے باب 16-احتمالی میں بھی استعمال ہوگا۔

مان لیا کہ AاورBمحدود سیٹ ہیں۔ اگرہوتو

میں موجود عناصر باتو Aمیں ہیں یا Bمیں موجود ہیں لیکن دونوں سیٹوں میں موجود نہیں ہیں کیونکہ ہے جس سے کی تصدیق ہوتی ہے۔ 

عام طور پر اگر AاورBمحدود سیٹ ہیں۔ تو

یہ بات نوٹ کر لیجئے کہ سیٹ غیر مشترک ہیں اور ان کا اتحاد ہے شکل(1.11)اس لیے

  جو '2' کو ثابت کرتی ہے

(iii)  اگرB,A اور Cمحدود سیٹس ہیں تو 

 

دراصل میں ہمارے پاس ہے 

[by (2)]

[by (2)]

اس لیے ہمیں ملتاہے۔

اس لئے

اس سے 3ثابت ہوتاہے۔

مثال 23اگر Xاور Yدو ایسے سیٹ ہیں کہ

ہو تومعلوم کیجئے۔

حل دیاہواہے

درج ذیل فارمولہ استعمال کرنے پر 

اس سے ہم کو ملتاہے

متبادل طریقے سے اگر مان لیجئے تو

(شکل 1.12دین ڈائیگرام سے)

اس ہمیں حاصل ہوتاہے۔ 

 

اس لیے  

مثال 24 ایک اسکول میں 20اساتذہ میں جو یا تو ریاضی پڑھاتے ہیں یا طبعیات اس میں سے 12ریاضی پڑھاتے ہیں اور 4طبیعات اور ریاضی دونوں۔ تو معلوم کیجئے کتنے اساتذہ طبعیات پڑھاتے ہیں

حل  مانا کہ mاساتذہ ریاضی پڑھاتے ہیں اور اساتذہ پڑھاتے ہیں۔ مسلئہ کے بیان میں لفظ یا اتحاد کی طرف اشارہ کر تاہے اور لفظ ’’اور‘‘ تقاطع کی طرف۔ 

اس لیے ہمارے پاس ہے

ہمیں n(P)معلوم کرنا ہے۔ 

نتیجہ استعمال کر کے ہمیں حاصل ہوتاہے

اس لیے

اس لئے 12اساتذہ طبعیات پڑھاتے ہیں۔ 

مثال 25  35طلباء کی ایک کلاس میں 24کر کٹ کھیلنا پسند کرتے ہیں اور 16فٹ بال ۔ ساتھ ہی ہر طالب علم کم سے کم ایک کھیل کھیلنا پسند کر تاہے۔ کتنے طلب علم ایسے ہیں جو دونوں فٹ بال اور کر کٹ کھیلنا پسند کرتے ہیں۔ 

حل  مانا کہ 'X'طلباء کا وہ سیٹ ہے جو کر کٹ کھیلنا پسند کرتے ہیں۔ اور Yطلباء کا وہ سیٹ ہے جو فٹ بال کھیلنا پسند کرتے ہیں۔ اس لیے طلباء کا وہ سیٹ ہے جو کم سے کم ایک کھیل کھیلنا پسند کرتا ہے۔ اورطلباء کا وہ سیٹ ہ جو دونوں کھیل کھیلنا پسند کرتاہے۔ 

دیا ہوا ہے 

فارمولے کا استعمال کر کے ہیں

حاصل ہوتاہے

اس لیے 

اس سے ظاہر ہوتاہے کہ 5طلباء دونوں کھیل کھیلنا پسند کرتے ہیں۔ 

مثال 26 400طالب علموں کے اسکول کے ایک سروے میں 100طلباء سیب کا جوس پیتے ہیں۔ 150سنترے کا اور 75طلباء دونوں طرح کا سیب اور سنترے کاجوس پیتے ہیں۔ تو معلوم کیجئے کتنے طلباء دونوں میں سے کوئی سا جوس نہیں پیتے؟

حل مان کہ Uان طلباء کا سیٹ ہے جن کا سروے ہوا ہے۔ Aان طلباء کو ظاہر کرتاہے جو سیب کا جوس پیتے ہیں۔

  اور Bان طلباء کو ظاہر کر تاہے جو سنترے کا جوس پیتے ہیں۔ 

تب 

اب

 

اس طرح 225طلباء نہ تو سیب اور نہ  ہی سنترے کا جوس پیتے ہیں۔ 

مثال 27  200لوگوں کو جلد کی بیماری ہے۔جن میں120 لوگوں کا کیمیا سے50کا علاج کیمیاسے اور 30

کاکیمیاسے علاج کرایا گیاہے۔  وہ تعداد معلوم کر و جو ۔

(i)کیمیا سے علاج ہوا اورسے نہیں۔

(ii)کیمیاسے علاج ہوا اورسے نہیں۔

      (iii)کیمیا سے علاج ہوا۔ 

حل مان لیا Uآفاقی سیٹ ان لوگوں کو ظاہر کر تاہے جن کو جلد کی بیماری ہے Aان لوگوں کا سیٹ ہے جنہیں کیمیاسے علاج کرایا گیا ہے اور جن کا علاج کیمیاسے علاج کرایا گیا ہے۔یہاں

(i)نیچے دی گئی وین ڈائیگرام سے شکل 1.13میں ہمیں ملتاہے۔ 

 کیونکہ (A-B)اورغیر مشترک ہیں ۔

یا

اس طرح 90لوگوں کا علاج کیمیاسے کرایا گیا اور

سے نہیں۔ 

(ii)شکل 1.13اسے ہمارے پاس ہے

اور اس لیے

(کیونکہ B-Aاورغیر مشترک ہیں۔)

یا 

=50-30=20

اس لیے 20لوگوں کا علاج کیمیا سے کرایا گیا اورسے  نہیں۔  

(iii)وہ لوگ جن کا علاج کیمیا سے کرایا گیا یاکیمیاسے 

یعنی 

=120+50–30=140

مشق 1.6

1 .   اگرXاورYدوسیٹ اسطر ح ہیں کہمعلوم کیجئے۔

2 . اگر Xاور Yدوسیٹ اسطرح ہیں کہ کے 18عناصر ہیں Xکے 8عناصر ہیں اورYکے 15عناصر ہیں تومیں کتنے عناصر ہوں گے۔ 

3 .  400لوگوں کے ایک گروپ میں 250لوگ ہندی بول سکتے ہیں اور 200لوگ انگریزی بول سکتے  ہیں۔ تو معلوم کیجئے کتنے لوگ انگریزی اور ہندی بول سکتے ہیں۔ 

4. اگرSاورTدو اسے سیٹ ہیں کہ Sکے 21عناصر ،Tکے 32عناصر اورکے 11عناصر ہیں تو معلوم کیجئے کہ میں کتنے عناصر ہوں گے؟

5 . اگرXاورYدوسیٹ ہیں اورXکے 40عناصر ہیں ،کے 60عناصر ہیں اورکے 10عناصر ہیں تو معلوم کیجئے کہ y کے کتنے عنا صر ہوں گے؟۔

6. 70لوگوں کے ایک گروپ میں 37کا فی پسند کرتے ہیں 52لو گ جائے پسند کرتے ہیں اور ہر شخص کم از کم ایک چیز پسند کر تاہے۔ تو معلوم کیجئے کہ کتنے لوگ دونوں چیزیں کافی اور جائے پسند کرتے ہیں۔ 

7. 65لوگوں کے ایک گروپ میں 40کرکٹ پسند کرتے ہیں، 10کر کٹ اور تئیں دونوں پسند کر تے ہیں۔ تو معلوم کیجئے کہ کتنے لوگ صرف ٹینس پسند کر تے ہیں کرکٹ نہیں؟ اور کتنے لوگ ٹینس پسند کرتے ہیں۔ 

8. 50لوگوں کی ایک کمیٹی میں 20لو گ فرانیسی زبان بولتے ہیں اور 10لوگ فراسنسیسی اور اسپینی دونوں بولتے ہیں۔ تو معلوم کیجئے کہ کتنے لوگ دونوں میں سے کم از کم ایک زبان بولتے ہیں؟۔

متفرق مثالیں: Miscellaneous Examples

مثال 28دکھا ئے کہ لفظ CATARACTکی ہجا کرنے میں ضروری حروف کا سیٹ اور لفظ tract کی ہّجا کرنے کے لیے ضروری حروف کا سیٹ مسای ہے۔ 

حل  مان لیجئے Xلفظ "CATARACT"کے حروف کاسیٹ ہے۔ 

تبہوگا مان لیجئے Yلفظ "TRACT"کے حروف کا سیٹ ہے 

توونکہ Xکا ہر حرف Yمیں ہے اورYکا ہر حرف Xمیں ہے اس لیے X=Y

مثال29سیٹ  کے تمام ذیلی سیٹ لکھے۔

حل مانا کہایک ذیلی سیٹ Øہے جو خالی ہے۔Aکے دو ذیلی سیٹ جن میں صرف ایک عنصر ہے  ہیں Aکے ذیلی سیٹ جن میں دو عنصر ہیں وہ تین عناصر ہیں وہ Aخود ہے۔ اس لیے Aکے تمام ذیلی سیٹ ہیں۔

مثال30ثابت کیجئے کہ

حل مان لیجئےاس کا مطلب ہے 

چونکہ 

اس لیے اسی طرح اس کا مطلب ہے۔ 

تب اس طرحA=B

مثال 31کسی بھی سیٹ AاورBکے لیے ثابت کیجئے کہ 

حل  مان لیجئے اورجس کا مطلب ہے اس سے 

ملتا ہے۔

مان لیجئے 

مثال 32   1000خریداری کے ایک سروے میں 720خریداروں نے پرو ڈکٹ Aکو پسند کیا اور 450نے پروڈکٹ Bکو پسند کیا خریدروں کی وہ کم از کم تعداد بتائے جنہوں نے دونوں پر وڈکٹ کو پسند کیا؟

حل   مان لیا Uخریداروںکا سیٹ ہے ۔ Sان خریداروں کا سیٹ ہے جنہوںنے پروڈکٹ Aکو پسند کیا اور Tان خریداروں کا سیٹ ہے جنہوں نے پر وکٹ B کو پسند کیا۔ 

دیا ہوا ہے

اس لیے

اس لئے جب سب سے زیادہ ہو توسب سے کم ہوگا۔ 

لیکن ہے اس کا مطلب کی ۔اس لئے سب سے زیادہ قیمت 1000ہے اور اسی طرح کی سب سے کم قیمت 170ہے۔ اس لیے 170وہ لوگ ہیں جو کم از کم ایک پورڈکٹ پسند کرتے ہیں۔ 

مثال 33  500 کار مالکوں کا سروے کیا گیا۔ 400لوگ کا ر Aرکھتے ہیں اور 200لوگ کار Bرکھتے ہیں۔ 50لوگA اور Bدونوں کاریں رکھتے ہیں کیا یہ آنکڑے صحیح ہیں۔ 

حل  مان لیجئے Uتمام کار مالکوں کا سیٹ  ہے۔ Mان کارمالکوں کا سیٹ ہے جو کار Aرکھتے ہیں، اورSان کارمالکوں کا سیٹ ہے جو کار Bرکھتے ہیں۔ 

دیا ہوا ہے

تب 

لیکن

یہاں تضاد ہے۔اس لئے دیا ہوا ڈیٹا صحیح نہیں ہے۔ 

مثال 34  ایک اسکول فٹ بال میں 38میڈل انعام میں دیتاہے۔ 15با سکٹ بال میں اور 20کرکٹ میں ۔اگر یہ تمال میڈل کل 58آدمیوں کو ملے ہیں۔ اور صرف تین آدمی تینوں کھیلوں میں میڈل لیتے ہیں تو معلوم کیجئے کہ کتنے لوگ تین میں سے دو کھیلوں میں میڈل حاصل کرتے ہیں؟

حل مان لیجئے B,Fاور Cان آدمیوں کے سیٹ کو ظاہر کرتے ہیں جنہوں نے با لترتیب فٹ بال ، با سکٹ بال اور کر کٹ میں میڈل جیتے تب 

متبادل ، شکل 1.14میں دیے گئے وین ڈائیگرام پر غور کیجئے۔ 

یہاں aان آدمیوں کی تعداد کوصرف ظاہر کرتاہے جن کو فٹ بال اور باسکٹ بال میں میڈل ملے ہیں اور bان آدمیوں کی تعداد کو ظاہر کرتاہے جن کو صرف فٹ بال اور کرکٹ میں میڈل ملے ہیں اور cان آدمیوں کی تعداد کو ظاہر کر تاہے جو کو صرف باسکٹ بال اور کرکٹ میں میڈل ملے ہیں اور dان آدمیوں کی تعداد کو ظاہر کرتاہے جنہوں نے تینوں کھیلوں میں میڈل جیتے ہیں۔ اس لئے۔

یہ ان آدمیوں کی تعداد ہے جنہوں نے تین میں سے دو کھیلوں میں میڈل حاصل کئے ہیں۔ 

متفرق مشق باب 1

1.    بتائے درج ذیل میں کون سے سیٹ کس کے ذیلی سیٹ ہیں۔

2 . درج ذیل میں دئیے گئے بیانات میں کو ن سے درست ہیں اور کون سے غلط ۔ اگر یہ صحیح میں تو ثابت کیجئے اور اگر غلط ہیں تو مثالیں دیجئے۔ 

3 . مان لیجئے B,AاورC Xسیٹ ہیں اس طرح کہ  

4 . دکھایئے کہ درج ذیل چار حالتیں معادل ہیں۔ 

5. دکھائے اگر

6. فرض کیجئے کہ

7 . کیا کہیں دوسیٹAاور Bکیلئے یہ صحیح ہے ،اپنے جواب کی تصدیق کیجئے۔ 

8 . کہیں دوسیٹ Aاور Bکے لیے ثابت کیجئے۔

9. سیٹوں کی خصوصیات کا استعمال کرتے ہوئے ثابت کئے کہ 

10. ثابت کیجئے کہ

A∩B=A∩C

اس کا مطلب یہ ضروری نہیں ہے کہ B=C

11 .   مان لیجئے Aاور Bسیٹ ہیں اگرکسی بھی سیٹ X کے لئے ثابت کیجئے کہ A=B

(اشارہ: اور تقسمی قانون استعمال کریں۔)

12 . سیٹB,Aاور Cمعلوم کیجئے جبکہ غیر خالی سیٹ ہیں اور 

13 . 600طلباء کے ایک سروے میں 150طلبا چائے پینا پسند کرتے ہیں اور225کافی پینا پسند کرتے ہیں۔ ان میں سے 100دونوں چائے اور کافی پینا پسند کر تے ہیں۔ تو بتائے کہ کتنے طلبا دونوں میں سے ایک بھی پینا پسند نہیں کرتے ؟

14 . طلباء کے ایک گروپ میں 100طلباء ہندی جا نتے ہیں0 5انگریزی جانتے ہیں۔ 25دونوں جانتے ہیں۔ 

ہر ایک طالب علم انگریزی یاہندی میں سے ایک زبان جا نتا ہے۔ تو معلوم کیجئے کہ اس گروپ میں کتنے طلباء ہیں؟

15 . 60لوگوں کے ایک سروے میں پا یا گیا کہ 20لوگ اخبار Hپڑھتے ہیں، 26لوگ اخبار Tپڑھتے ہیں اور26لوگ اخبار Iپڑھتے ہیں۔ 9لوگ H، Iدونوں پڑھتے ہیں 11لوگ اخبار HاورTپڑھتے ہیں، 8لو اخبارTاور Iپڑھتے ہیں اور 3

لو گ تینوں اخبار پڑھتے ہیں معلوم کیجئے۔

(i)ان لوگوں کی تعداد جو کم از کم ایک اخبار پڑھتے ہیں۔ 

(ii)ان لوگوں کی تعداد جو صرف ایک ہی اخبار پڑھتے ہیں۔ 

16. ایک سروے میں پایا گیا کہ 21لوگ پروڈکٹ Aپسند کرتے ہیں، 26پروڈکٹ Bاور 29پروڈکٹ سے پسند کرتے ہیں۔ اگر 14لوگ دونوں پروڈکٹ AاورBپسند کرتے ہیں، 12لوگ پروڈکٹ Cاور Aپسند کرتے ہیں 14لوگ پروڈکٹ BاورCپسند کرتے ہیں اور 8لوگ تینوں پروڈکٹ پسند کرتے ہیں۔ تو معلوم کیجئے کہ کتنے لوک صرف پروڈکٹ Cپسند کرتے ہیں۔ 

خلاصہ(Summary)

اس باب میں سیٹ سے متعلق تعریفیں اور ان پر ہونے والے عوامل کا مطالعہ کیا ہے۔ یہاں ہم اس کا خلاصہ اس طرح کررہے ہیں۔ 
• ایک سیٹ واضح اشیاء کا مجموعہ ہوتا ہے ۔
  • جس سیٹ میں کوئی بھی عنصر نہ ہو اسے خالی سیٹ کہتے ہیں۔ 
 • جس سیٹ کے عناصر کسی خاص تعداد میں ہوں تو اس سیٹ کو متناہی سیٹ کہتے ہیں ورنہ وہ لا متناہی سیٹ کہلاتا ہے۔
 • اگر کسی بھی دو سیٹ Aاور Bمیں بالکل ایک جیسے عناصر ہوں تو وہ مساوی (برابر) کہلاتے ہیں۔
• سیٹ Aسیٹ Bکا ذیلی سیٹ کہلاتا ہے اگر Aکے قوت سیٹ کو (A) Pسے ظاہر کیا جاتا ہے۔
 • کسی بھی دو سیٹ Aاور Bکا اتحاد ایک سیٹ ہوتا ہے جس کے عناصر یا تو Aمیں ہوتے ہیں یا Bمیں ہوتے ہیں۔
• کسی بھی دوسیٹ Aاور Bکا تقاطع ایک سیٹ ہوتا ہے جس کے عناصر Aاور Bمیں مشترک ہوتے ہیں۔ دوسیٹAاور Bکی تفریق اسی ترتیب میں ایک سیٹ ہوتا ہے جس کے عناصر Aسے تو تعلق رکھتے ہیں مگر Bسے تعلق نہیں رکھتے ہیں۔
 •آفاقی سیٹ Uکے کسی بھی ذیلی سیٹ Aکا تکملہ ایک سیٹ ہوتا ہے جس کے عناصر Uسے تعلق رکھتے مگرAسے تعلق نہیں رکھتے ہیں۔
 •اگر Aاور Bکوئی بھی دوسیٹ ہیں تو 
i)
'AUB)'=A'∩B)
ii)
'AUB)'=A'∪B)
 •اگر Aاور Bدو متناہی(Fioite Sets)اس طرح ہو کہAUB=Øتو
n(AUB) = n (A) + n (B) 
اور اگرA∩B+Øتب