باب 2

رشتے اور تفاعلات

RELATIONS AND FUNCTIONS

◊ ریاضی تمام طبعی تحقیق (research)میں ایک ضروری آلہ ہے

(برتھی لوٹ( BERTHELOT ◊

2.1 تعارف

زیادہ تر ریاضی داں اشیاء کے درمیان تبدیلی کے طریقہ کو معلوم کرنے کی کھوج میں لگے ہوئے ہیں روز مرہ کی زندگی میں ہم بہت سے رشتوں کا سامنا کرتے ہیں۔ جیسے باپ بیٹے کا رشتہ، بہن بھائی، استاد اور طالب علم کا رشتہ وغیرہ ۔ ریاضی میں بھی ہمیں بہت سے رشتوں کا سامنا کرنا پڑتاہے جیسے عدد m عدد nسے چھوٹا ہے خطlخط mکے متوازی ہے، سیٹAسیٹ Bکا ذیلی سیٹ ہے۔ ان تمام میں ہم نوٹ کرتے ہیں کہ رشتوں میں اشیاء کا جوڑا ہوتاہے جو کسی خاص تربیت میں ہوتاہے۔ اس باب میں ہم پڑھیں گے کہ کس طرح دوسیٹوں کے اشیاء کے جوڑوں کو ملا یا جا تاہے اور پھر ان میں کسطرح رشتہ پیدا کیا جا تاہے۔ آخیر میں ہم کچھ خاص رشتوں کے بارے میں بڑھیں گے جو تفا علات کو بتائیں گے۔ ریاضی میں تفاعلات کی سوچ بہت ضروری ہے کیونکہ یہ دواشیاء کے درمیان ریاضیاتی تعلقات کو پید ا کرتی ہے۔

جی۔ ڈبلیو۔ لبنینز

(1646-1716

2.2سیٹوں کا کار تیزی حاصل ضرب (Car tesian praduct of sets)

مان لیجئے Aدورنگوں کا سیٹ ہے اور ہمیں

چیزوں کا سیٹ ہے۔

اس لئے{لال، نیلا{اورB={b,c,s}

جہاں

ایک خاص قسم کے تھیلے کو ظاہر کرتے ہیں، کوٹ اور قسمیں ان دو سیٹوں سے رنگین چیزوں کے کتنے سیٹ بن سکتے ہیں؟ ایک خاص قسم کے طریقے سے ہم دیکھ سکتے ہیں کہ اس میں 6مختلف جوڑے ہیں جو نیچے دئیے گے ہیں ۔

(لال،b)، (لال، c)، (لال،s)، (نیلا،b)، (نیلا، c)، (نیلا،s)

اس طرح ہمیں 6مختلف اشیا ملتی ہیں (شکل 2.1)

ہم نے جیسا کہ پچھلی جماعتوں میں پڑھا ہے کہ اگر دو سیٹ PاورQسے عناصر کا ایک مرتب جوڑا لیا جائے تو اسے چھوٹے بریکٹ میں ایک خاص انداز میں جوڑا بنایا جائے اس لیے

یہ مندرجہ ذیل تعریف کی طرف لے جاتاہے۔

تعریف 1

PاورQدوغیر خالی سیٹ دیئے ہوئے یہاں ۔کار تیزی حاصل ضربP×Qایک سیٹ ہوتا جس کے عناصرPxQسے حاصل شدہ تمام مرتب جوڑے ہوتے ہیں۔

اس طرح

اگر Pیا Qخالی سیٹ ہے توPxQبھی خالی سیٹ ہوگا اس طرح

او پر دی ہوئی مثال سے ہم نوٹ کرتے ہیں۔

{(s،نیلا)،(c،نیلا)،(b،نیلا)،(s،لال)،(c،لال),(b،لال)}= AxB

دوبارہ دوسیٹ لیجئے{A={DL,MP,KAجہاں KA,MP,DLدہلی مدھیہ پردیش اور کرنا ٹک کو ظاہر کرتے ہیں اور{B={01,02,03وہ کوڈ میں جوان شہروں کی لا ئسینس(Licence) پلیٹ کو ظاہر کرتے ہیں جو DL،PMاورKAسے شائع ہوتی ہیں۔

اگر تین راجیہ (states)دہلی۔ مدھیا پردیش اور کر نا ٹک گاڑیوں کی لا ئسنس پلیٹ کے لئیے کو ڈ بنا رہے تھے جس کے ساتھ یہ بندش ہے کہ کو ڈ سیٹ Aکے ایک عنصر سے شروع ہو۔ جو جوڑے ان سیٹ سے دستیاب ہیں اور اس طرح کے کتنے جوڑے ہوں گے۔

دستیاب جوڑے یہ ہیں(KA,03),(KA,02),(KA,01),(MP,03),(MP,01),(DL,03,(DL,02),(DL,01) سیٹ Aاور سیٹB کے ضریب اس طرح ہے :

}AxB=

(DL,01)،(DL,02)،(DL,03)،(MP,01)،(MP,02)،(MP,03)، (KA,01)، (KA,02)، (KA,03)

یہ آسانی سے دیکھا جا سکتاہے کہ کار تیزی حاصل ضرب میں اس طرح کے 9جوڑے ہیں، کیونکہ سیٹ Aاور سیٹ Bدونوں میں 3-3عناصر ہیں۔ یہ ہمیں 9ممکن کوڈ دیتے ہیں یہ نوٹ کر لیجئے کہ جس طرح ان جوڑوں کو مرتب کیا گیا ہے یہ بہت ہی اہم ہے۔ مثال کے طور پر کو ڈDL,01 اور 01,DLیکساں نہیں ہے۔

آخری تصویری مثال اسطرح ہے ۔ مان لیا دوسیٹ

اس طرح مستوی میں 8مرتب جوڑے نقطوں کی نشان دہی کرتے ہیں اگرAاورB حقیقی اعاد کے سیٹ کے ذیلی سیٹ ہوں گے اور یہ بھی واقع ہے کہ نقاط

کی جگہیں الگ ہیں۔

ریمارک

(i) دو مرتب جوڑے مساوی (برابر)ہوں گے، اگر اور صرف اگر جوڑون کے پہلے عناصر اور دوسرے عناصرآپس

میں برابر ہوں۔

(ii) اگر Aمیں pعناصر ہوں اور Bمیں qہوں تو AxBمیںpqعناصر ہوں گے۔

اس طرح اگر n(A)=p اورn(B)=q ہو توn(AxB)=pq

(iii) اگر Aاور Bدوغیر خالی سیٹ ہیں اورAیاBایک لا محدود سیٹ ہے۔ تب اس طرح AxBبھی لامحدودہوگا۔

(iv)

کو مرتب ٹکڑی کہیں گے۔

مثال1

اگر

کی قیمت معلوم کیجئے۔

حل

کیونکہ مرتب جوڑے مساوی (برابر) ہوتے ہیں، اس لیے میل رکھنے والے عناصر بی برابر ہوں گے۔

اس لیے X+1=3اورy-2=1

حل کرنے پر ہمیں حاصل ہوتاہےx=2اورy=3

مثال2

اگر{P={a,b,cاور {Q={rتو سیٹPxQ اورQxPبنائیں کیا دونوں ضریب برابر ہیں؟

حل

کار تیزی حاصل ضرب کی تعریف ہے۔

مرتب جو ڑوں کی برابری کی تعریف سے ہمیں ملتاہے کہ(a,r)اور(r,a)جوڑے برابر نہیں ہیں تو ہم اس نتیجہ پر پہنچتے ہیں کہ

PxQ≠QxPحالانکہ دونوں سیٹوں مین عناصر کی تعداد برابر ہوگی۔

مثال 3

مانا کہ

تو معلوم کیجئے کہ :

حل (i) تقاطع سیٹوں ی تعریف سے

اس لئے ہمارے پاس ہے۔

مثال 4

اگر{P={1,2تو PxPxPسیٹ بنائیے

حل

ہمارے پاس ہے

مثال 5

اگر Rتمام حقیقی اعداد کا سیٹ ہے توRxRاورRxRxRکا کار تیزی حاصل ضرب کیا ہوگا؟

حل

RxR کا کار تیزی حاصل ضرب

سیٹ کو دکھا تاہے۔

جو دو (Dimensional space)بعد جگہ کے مختص کو دکھاتی ہے۔

کے سیٹ کو دکھاتاہے۔ جو تین بعد جگہ

(Three dimensional space)کے مختص کو دکھاتی ہے۔

مثال 6

اگر

تو AاورBمعلوم کیجئے۔

حل

=A پہلے عناصر کا سیٹ={p,m}

=Bدوسرے عناصر کا سیٹ={q,r}

مشق 2.1

1. اگر

ہو تو xاورyکی قیمت معلوم کیجئے۔

2. اگر سیٹ A میں تین عناصڑ ہوں اور سیٹ{B={3,4,5 تو(AxB)میں عناصر کی تعداد معلوم کیجئے۔

3. اگر

معلوم کیجئے۔

4. بتائے کہ ذیل میں دئیے گئے بیاناتے درست ہیں با غلط اگر بیانات غلط ہیں تو انہیں صحیح کرکے دوبارہ لکھے۔

(i) اگر

(ii) اگر AاورBدوغیر خالی سیٹ ہیںتب AxBمرتب جوڑوں کا ایک غیر خالی سیٹ ہوگا

جبکہ (x,y)

(iii) اگر

5. اگر

معلوم کیجئے۔

6. اگر

تبAاورB معلوم کیجئے۔

7. اگر

تو تصدیق کیجئے کہ

8. مان لیا {A={1,2اور{AxB-B{3,4لکھئے AxBکے کتنے ماتحت سیٹ ہوں گے ان کی فہرست بنائیے۔

9. مان لیاAاورBدوسیٹ ہیں جبکہ

میں موجود ہوں توAاورBمعلوم کیجئے جہاں x،yاورzغیر مشترک عناصر ہیں۔

10. کا رتیزی حاصل ضرب AxBمیں 9عناصر ہیں۔ جس میں (-1,0)اور(0,1موجود ہیں توسیٹ AاورAxB کے باقی عناصر معلوم کیجئے۔

2.3رشتے (Relations)

مان لیجئے دوسیٹ

اور{علی، بھانو،بینائے ،چندرا،دویا} Q=۔PاورQ کا کار تیزی حاصل ضرب میں 15مرتب جوڑے ہیں جنہیں اس طرح لکھا جا سکتاہے }(دویا،c)،۔۔۔۔(بینائے،b)،(بھانو،a)،(علی،a){ =

اب ہم مرتب جوڑے (x,y)کے پہلے عنصر x اور دوسرے عنصر yمیں ایک رشتہ Rقائم کرکے PxQکا ایک ذیلی سیٹ حاصل کر سکتے ہیں جیسے۔

{(چندرا،c)،(بینائے ،b)،(بھانو،b)،(علی،a){ = Rاس طرح اس رشتہ Rکو شکل 2.4(جسے تیر والی شکل کہتے ہیں) بخوبی دکھایا گیا ہے۔

تعریف2

ایک رشتہ R ایک غیر خالی سیٹ A سے دوسرے غیر خالی سیٹ میں کا رتیزی حاصل ضرب AxBکا ذیلی سیٹ ہے۔ ذیلی سیٹ اسطرح بنایا جا تا ہے جس میں مرتب جوڑےAxBمیں پہلے اور دوسرے عنصر میں ایک رشتہ ہوتا ہے۔ دوسرے عنصر کو پہلے عنصر کا عکس (image)کہتے ہیں۔

تعریف 3

مرتب جوڑے کے تمام پہلے عناصر کے سیٹ رشتہ R میں سیٹ AسےBتک کورشتہ R کا علاقہ کہتے ہیں۔

تعریف 4

رشتہ Rمیں تمام دوسرے عناصر کے سیٹ کو سیٹ Aسے سیٹ Bتک کو رشتہ R کی وسعت کہتے ہیں۔ مکمل سیٹ Bرشتہ R کا ہم علاقہ (Codomain)کہلاتاہے۔ یہ بات نوٹ کر لیجئے کہ ہم علاقہ⊇ وسعت یعنی وسعت ہم علاقہ کا ذیلی سیٹ ہوتا ہے۔

ریمار

(i) رشتہ کوہم الجبری کے طور پر فہرستی شکل باسیٹ ساز شکل میں لکھ سکتے ہیں۔

(ii) تیر والی شکل رشتہ کا دکھائی دینے والاانداز ہے۔

مثال7

مان لیا

ایک رشتہRکوAسےAمیں

کے ذریعہ معیّن کیجئے۔

(i) اس رشتے کو تیر والی شکل (arrow diagram)کے ذریعہ دکھا ئے۔

(ii) Rکے علاقہ کے ساتھ ہم علاقہ اور وسعت لکھئے ۔

حل

(i)رشتہ کی تعریف سے

کے مطابق بنی شکل (2.5)اسکی تیروالی شکل ہے ۔

(ii)ہم یہ دیکھ سکتے ہیں کہ علاقہ={1,2,3,4,5}

اسی طرح سعت={2,3,4,5,6}

اورہم علاقہ={1,2,3,4,5,6}

مثال 8

شکل 2.6میں سیٹ Pاور Qکے درمیان ایک رشتہ دکھا یا گیا ہے اس رشتہ کو ۔

(i)سیٹ ساز شکل میں لکھئے

(ii)فہرستی شکل میں لکھئے اسکا علا قہ اور وسعت کیا ہے؟

حل

یہ صاف طور پر ظاہر ہے کہ رشتہRمیں" x،yکا مربع ہے۔ "

(i)سیٹ ساز شکل میں{ x،yکا مربع ہے اور

(ii)فہرستی شکل میں

{4,9,25}اس رشتہ کا حلقہ ہے۔

اس رشتہ کی وسعت{5,5-,3,3-,2,2-}ہے۔

یہ بات نوٹ کر لیجئے کہ عنصرا سیٹ Pکے کسی بھی عنصر سے نہیں جڑا ہوا ہے۔

سیٹ Qاس رشتہ کا ہم علاقہ ہے۔

نوٹ AسےB تک قائم ہونے والے تمام رشتوں کی کل تعدادAxB کے ممکن ذیلی سیٹس کی تعداد ہوتی ہے۔ اگر

اور رشتوں کی تعداد2pqہے۔

مثال9

فرض کیا {A={1,2}اور {A .B={3,4سےBکے درمیان رشتوں کی تعداد معلوم کیجئے۔

حل ہم بناتے ہیں۔

{(A×B={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4

چونکہ n(A×B) = 4اس لئے (A×B)کے ذیلی سیٹ کی تعداد 24 ہے ۔اس لئے Aسے Bتک رشتوں کی تعداد 24ہوگی۔

مشق2.2

1. مان لیجئے{AA={1,2,3,...,14سےAمیں رشتہ Rاس طرح بتائیے کہ

جہاں

اس کا علاقہ قریبی علاقہ اور وسعت لکھئے۔

2. ایک رشتہ R طبعی اعداد کے سیٹ N پر {xایک طبعی عدد ہے اور 4سے چھوٹاہے۔

اس کا علاقہ اور وسعت کے ذریعہ قائم کیجئے۔ اس رشتہ کو فہرستی طریقہ

سے دکھائیے۔

ہے۔ AسےBمیں ایک رشتہ X}RاورYکا فرق طاق ہے اور

کے ذریعہ قائم کیجئےRکو فہرستی شکل میں لکھئے۔

4. شکل 2.7میں سیٹ Pاور سیٹ Qمیں رشتہ دکھا یا

گیا ہے۔ اس رشتہ کو

(i)سیٹ ساز شکل میں

(ii)فہرستی شکل میں لکھئے: اس کا علاقہ اور

وسعت معلوم کیجئے؟

5. مان لیا

۔رشتہR،A

پر اسطرح ہے کہ {a,bسے بالکل تقسیم ہوتاہے

(i)

Rکو فہرستی شکل میں لکھئے۔

(ii)

Rکا علاقہ معلوم کیجئے۔

(iii))

Rکی وسعت معلوم کیجئے۔

6. رشتہ Rجس کی تعریف

سے بیان کی گئی ہے اسکا علاقہ اور وسعت معلوم کیجئے۔

7. رشتہ Rکے لئے جہاں{Xایک مفرد عدد ہے اور

فہرستی شکل میں لکھئے۔

8. مان لیا

۔AسےBمیں کتنے رشتے ہیں معلوم کیجئے۔

9. مان لیا رشتہ R،Zپر اس طرح ہے کہ {a-bایک صحیح عدد ہے

کی وسعت اور علاقہ معلوم کیجئے۔

2.4 تفاعلات (Functions)

اس سیکشن میں ہم خاص رشتوں کے بارے میں پڑھیں گے جنھیں تفاعل (Function)کہا جاتاہے یہ ریاضی میں ایک اہم تصور ہے۔ ہم تفاعل کو ایک اصول کے طور پر دیکھتے ہیں جو دئیے ہوئے عناصر سے ایک نئے عناصر نکالتا ہے۔ بہت سی اصطلاحات ہیں جیسے نقشہ یا نقاشی جو تفاعل کو ظاہر کرنے کے لئے استعمال ہوتی ہیں۔

تعریف 5

ایک رشتہ f ایک سیٹ Aسے دوسرے سیٹ Bمیں تفاعل کہلاتا ہے اگر سیٹ A کا ہر ایک عنصر کی سیٹ B میں ایک اور صرف ایک ہی عکس یا نقش رکھتا ہو۔

دوسرے الفاظ میں تفاعل f ایک غیر خالی سیٹ A سے ایک غیر خالی سیٹ Bمیں وہ رشتہ ہے جبکہ fکا علاقہ Aہوا ورfکے کسی بھی دو مختلف مرتب جوڑوں میں پہلے اجزاء یکساں نہ ہوں۔

اگر fایک تفاعل ہے سیٹAسےBمیں اور

تب f (a)=b جہاں f کے ماتحت aکاbعکس ہے اورa،fکے ماتحت b کی ماقبل (Preimage)وسعت ہے۔

تفاعل fکو AسےBمیں اسطرح ظاہر کرتے ہیںf:A→B

اگر ہم پچھلی مثالوں پر غور کریں تو ہم باآسانی یہ دیکھ سکتے ہیں کہ مثال 7میں دیا گیا رشتہ تفاعل نہیں ہے کیونکہ عنصر 6کی کوئی وسعت نہیں ہے۔

دبارہ مثال 8 میں دیا گیا رشتہ بھی تفاعل نہیں ہے کیونکہ علاقہ میں موجود عنصر ایک سے زیادہ عکس سے جڑے ہوئے ہیں۔ اسی طرح مثال 9میں بھی رشتہ ایک تفاعل نہیں ہے (کیوں؟)نیچے دی گئی مثالوں میں ہم دیکھیں گے کہ کچھ اور رشتے ہیں جو تفاعل ہیں اور کچھ نہیں ہیں ۔

مثال 10

مان لیجئے Nطبعی اعداد کا سیٹ ہے اور رشتہ Rسیٹ Nپر اسطرح دیکھا یا گیاہے کہ

اس کا علاقہ کیا ہے۔ ہم علاقہ اور Rکی وسعت کیا ہے؟ کیا یہ رشتہ ایک تفاعل ہے۔

حل

R کا علاقہ طبعی اعداد کا سیٹ Nہے ساتھی علاقہ بھی Nہے وسعت جفت طبعی اعداد کا سیٹ ہے۔ کیونکہ ہر طبعی اعداد n کا ایک اور صرف ایک عکس ہے۔ اسلئے یہ رشتہ ایک تفاعل ہے۔

مثال 11

نیچے دیئے گئے ہر رشتہ کی جانچ کیجئے اور بتائیے کہ ہر ایک میں کیا یہ تفاعل ہے یا نہیں؟

حل

(i)کیونکہ2،3،4 Rکے علاقہ کے عناصر میں جن کا عکس یکتا (Unique)ہے یہ رشتہ Rایک تفاعل ہے۔

(ii)کیونکہ یکساں پہلا عنصر 2دو مختلف نقوش 2اور4سے مطابقت رکھتا ہے۔ اس لئے یہ رشتہ تفاعل نہیں ہے

(iii)کیونکہ ہر عنصر کا صرف اور صرف ایک عکس ہے، اس لئے یہ رشتہ ایک تفاعل ہے۔

تعریف6

ایک تفاعل جس کی وسعت حقیقی اعداد کا سیٹ R یا اس کا ذیلی سیٹ ہوتا ہے وہ حقیقی قیمت تفاعل (real valued function) کہلاتاہے۔ مزید اگر اس کا علاقہ بھی Rیا Rکا ذیلی سیٹ ہوتا ہے تو یہ حقیقی تفاعل (Real function)کہلاتاہے۔

مثال 12

مان لیجئے Nایک طبعی اعداد کا سیٹ ہے ایک (Real valued function) کو

کی طرح Defineکیا گیا ہے۔ اس تعریف کا استعمال کر کے ذیل Tableکو پورا کیجئے۔

7	6	5	4	3	2	1	x
...=(7)f	...=(6)f	...=(5)f	...=(4)f	...=(3)f	...=(2)f	...=(1)f	y

حل مکمل کی گئی Table نیچے دی گئی ہے۔

7	6	5	4	3	2	1	x
15...=(7)f	13...=(6)f	11...=(5)f	9...=(4)f	7...=(3)f	5...=(2)f	3...=(1)f	y

2.4.1کچھ تفاعلات اور ان کے گرافSome Functions and their graphs

(i) (تماثل تفاعل)Identity function مان لیا Rحقیقی اعداد کا ایک سیٹ ہے۔

(Real valued function)کو اسطرح Defineکیجئے کہ

اس طرح کے تفاعل کو تماثل تفاعل (identity function)کہتے ہیں یہا ں کا علاقہ اورسعت Rہے۔ گراف ایک خط مستقیم ہے (شکل 2.8)یہ مبدا (Origin)سے گزرتی ہے۔

(ii) مستقل تفاعل (Constant function) تفاعل fکو اسطرح define کیجئے

جہاں c ایک مستقل ہے اور ہر ایک x∈Rیہاں کا حلقہ Rہے اور اسکی وسعت{c}

اس کا گراف x-axisکے متوازی خط ہے مثال کے طورپر اگر

ہر ایک x∈Rکے ہو تب اسکا گراف ایک خط ہوگا جیسا کہ شکل 2.9میں دکھایا گیا ہے۔

(iii) کیذر رکنی تفاعل (Poly nomial function) ایکfتفاعل f:R→Rکو کثیر رکنی تفاعل کہیں گے اگر ہر ایک x in R کیلئے

جہاںnمثبت صحیح عدد ہے اور

تفاعلhجو

سے Defineکیا گیا ہے کثیر رکنی تفاعل نہیں ہے (کیوں ؟)

مثال 13

تفاعل

سے بیان کیا گیا ہے۔ اس تعریف کو استعمال کرے مندرجہ ذیل Table کو مکمل کیجئے اس تفاعل کا علاقہ اور وسعت کیا ہے؟ fکا گراف کھینچیے۔

4	3	2	1	0	1-	2-	3-	4-	n
									y=f(x)=x2

حل مکمل کئی گئی Table نیچے دی گئی ہے:

4	3	2	1	0	1-	2-	3-	4-	n
16	9	4	1	0	1	4	9	16	y=f(x)=x2

مثال 14

تفاعل

سے defineکیا گیا ہے کا گراف بنا ئیے

حل

(iv) ناطق تفاعل (Rational Functions)

کی طرح کے تفاعل ہوتے ہیں،جہاںf (x) اور g (x) (Polynomial functions) ہیں۔ اور ان کا حلقہ define کیا گیا ہے جہاں

مثا ل 15

حقیقی قیمت تفاعل fاس طرحDefine کیا گیا ہے

جہاں

اس تعریف کا استعمال کرتے ہوئے مندرجہ ذیل Tableکو مکمل کیجئے۔ اس تفاعل کی کا علاقہ اور وسعت کیا ہے؟

2	1.5	1	0.5	0.25	0.5-	1-	1.5-	2-	x

حل

مکمل کی گئی جدول اس طرح ہے۔

2	1.5	1	0.5	0.25	0.5-	1-	1.5-	2-	x
0.5	0.67	1	2	4	2-	1-	0.67-	0.5-

اس کا علاقہ صفر کے علاوہ تمام حقیقی اعداد ہیں اور اسکی وسعت بھی صفر '0'کے علاوہ تمام حقیقی اعداد کا سیٹ ہے۔ fکا گراف شکل 2.12میں دکھا یا گیاہے۔

(v) مِقباس تفاعل(The Modulus function) تفاعل

کے لئے Deine لے ایک مقباس تفاعل کہلا تاہے۔x کی ہر مثبت قدر کے لیے

کے برابر ہے لیکن xکی منفی قدر کے لیے۔کی قدر کی منفی ہوگی۔اس طرح

مقباس تفاعل کا گراف شکل 2.13میں دیاگیا ہے۔

(vi) Signum fuction تفاعل f:R→Rجس کو

واضح کیا جاتا ہے۔

اسےSignumتفاعل کہتے ہیں۔ Signumتفاعل کا علاقہRاور اسکی جو وسعت

ہے۔Signum تفاعل کا گراف شکل 2.14میں دکھایا گیا ہے۔

(vii) سب سے بڑے صحیح اعداد کا تفاعل (Greatest Integer)تفاعل f:R→Rجو Define کیا گیا ہے

سب سے بڑے صحیح عدد جو چھوٹا ہے یا برا بر xکے اس طرح کے تفاعل کو سب بڑے صحیح اعداد کا تفاعل کہاجاتاہے۔

[x]کی تعریف سے ہم یہ دیکھ سکتے ہیں کہ

تفاعل کا گراف شکل 2.15میں دیکھا یا گیاہے۔

2.4.2حقیقی تفا علات کا الجبرا (Algebra of Real functions)

اس سکیشن میں ہم پڑھیں گے کہ کسطرح دو حقیقی تفاعلات کو جمع کیا جاتاہے۔ ایک حقیقی تفاعل کو دوسرے حقیقی تفاعل سے کس طرح کھٹا یا جاتاہے۔ ایک حقیقی تفا عل کو ایک عدد یہ (Sealar)سے کس طرح ضرب کیا جا تاہے (Scalavکا مطلب ہے ایک حقیقی نمبر)در حقیقی تفاعلات کی صرف اور ایک جفتی تفاعل کو دوسرے حقیقی تفاعل سے کس طرح تعلیم کیا جا تاہے۔

(i) دو حقیقی تفاعلات کا جوڑا (Addition of two real functions)مان لیجئےf:X→Rاور

g:X→Rحقیقی تفاعلات ہیں جہاںX⊂Rتب

(ii) ایک حقیقی تفاعل کو دوسرے حقیقی تفاعل سے تفریق کرنا (Subtraction of a real function from another) مان لیا

دو حیقیقی تفاعلات ہیں جہاں X⊂Rتب

(iii) ایک عدد یہ سے ضرب کرنا (Multiplication by a Scalav)مان لیاf:X→R ایک حقیقی قدر والا تفاعل ہے اور α ایک عددیہ ہے۔ یہاں ہمارے عددیہ سے مطلب ہے ایک حقیقی عدد۔ تب αfکی ضرب ایکX→R تک تفاعل ہوگا جسے ہم اسطرح Defineکرتے ہیں۔

(iv)دو حقیقی تفاعلات کی ضرب(Multiplication of two real function) دو حقیقی تفاعلات f:X→Rاورg:X→Rکی ضرب ایک تفاعل fg:X→Rہوگا جہاں

سے بیان کیا جائے۔

(v) دو حقیقی تفلاعلات کی خارج قیمی (Uotient of two real function)مان لیجئے fاور gدو حقیقی تفاعلات ہیں جوX→Rسے defineکے گئے ہیں اورf،X⊂Rاورg کا خارج قسمت

سے ظاہر کیا جاتاہے جو ایک تفاعل ہے اس طرح PHO-119

مثال 16

مان لیا

دو حقیقی تفاعلات ہیں ۔

معلوم کیجئے PHO-121

مثال17

مان لیا

دو تفاعلات ہیں اور جنہیں حقیقی مثبت اعداد پر Defineکیا گیا ہے۔ معلوم کیجئے PHO-124

حل

ہمارے پاس ہے

مشق 2.3

1۔ مندرجہ ذیل رشتوں میں کون سے تفاعل ہیں؟ وجوہات بتا ئیے ۔ اگر تفاعل ہوں تو ان کے علاقہ اور وسعت معلوم کیجئے۔

2۔ در ج ذیل حقیقی تفاعلات کی وسعت اور علاقہ معلوم کیجئے۔

3۔ ایک تفاعل

سے defineکیا گیا ہے۔ ان کی قدر لکھئے۔

4۔ ایک تفاعل ہے جو درجہ حرارت celsusکو درجہ حرارت Fahrenheitمیں mapکرتاہے

سے defineکیا گیاہے۔

معلوم کیجئے

کی قیمت

جہاں

5۔ مندرجہ ذیل تفاعلات کی وسعت معلوم کیجئے۔

متفرق مثالیں

مثال 18

مان لیجئے Rحقیقی اعداد کا ایک سیٹ ہے۔ حقیقی تفاعل کو اس طرح بیان کیا گیا۔

اس تفاعل کا

گراف کھینچے۔

حل یہاں

وغیرہ وغیرہ ہے اور

ہے اور اسی طرح آگے بڑھ رہاہے۔

اس لیے دئیے ہوئے تفاعل کے گراف کی جو شکل بنتی ہے نیچے

دی گئی ہے۔ شکل 1.16

ریمارک

اس تفاعل کو خطی تفاعل یا سیدھا خط تفاعل کہتے ہیں۔

مثال19

مانا کہ R،QسےQمیں ایک رشتہ ہے جو کہ

پر مصروف ہے۔

تو دکھا ئیے کہ :

(i)تمام a∈Qکیلئے

(ii)

کا مطلب ہے

(iii)

کا مطلب ہے کہ

حل

(i)چونکہ

اس سے ہمیں حاصل ہوتاہے کہ تمام

ہے۔

مثال 20

مانا کہ

میں ایک خطی تفاعل ہے۔

(f(nمعلوم کیجئے۔

حل

کیونکہfایک خطی تفاعل ہے اس لیے

ساتھ ہی کیونکہ

اس سے ملتاہے

مثال 21

تفاعل

کا علاقہ معلوم کیجئے۔

حل کیونکہ

اس تفاعل fسبھی حقیقی اعداد کے لئے مصروف ہوگا ضرفx=4 اورx=1کو چھوڑ کر۔ اس لیےf کا علاقہ

مثال 22

تفاعل fکو اس طرح defineکیا گیاہے۔

حل یہاں

جس سے حاصل ہوتاہے۔ -

اس طرح fکا گراف شکل 1.17میں دیکھا یا گیاہے۔

متفرق مشق

1 . رشتہ fاس طرح define کیا گیا ہے۔

رشتہ gاس طرح defineکیا گیا ہے PHO-165

دکھا ئیے fایک تفاعل ہے اور gایک تفاعل نہیں ہے۔

2. اگر

معلوم کیجئے۔

3. تفاعل

کا حلقہ معلوم کیجئے۔

4. حقیقی تفاعلfجو

defineکیا گیا ہے اس کا حلقہ اور وسعت معلوم کیجئے۔

5. حقیقی تفاعل

سےdefineکیا گیا ہے۔ اس کا حلقہ اور وسعت معلوم کیجئے۔

6. مانا کہ PHO-170

ایک RسےRمیں ایک تفاعل ہےfکی وسعت معلوم کیجئے۔

7. مان لیجئے کہ

سے مصرف ہے اور بالترتیب

معلوم کیجئے۔

8. مان لیجئے

،Zسے Zمیں ایک تفاعل ہے جسکا مفرف

سے دکھا یا گیاہے a،bدو صحیح اعداد ہیںa،bمعلوم کیجئے۔

9. مان لیجئے Nسے Nمیں Rایک رشتہ ہے جو

سے معرف ہے۔ کیا مندرجہ ذیل صحیح ہیں۔

پر Care میں اپنے جواب وضاحت کیجئے۔

10 . مان لیجئے

اور

کیا ذیل صحیح ہیں۔

(i)

A، FسےBمیں ایک رشتہ ہے۔

(ii)

A،Fسے B میں ایک تفاعل ہے۔

ہر کیس (Case)میں اپنے جواب کی وضاحت کیجئے۔

11. مان لیا ZxZ'fکا ذیلی سیٹ ہے جو معرف ہے

ہے ۔ کیا f،ZسےZتک تفاعل ہے؟ اپنے جواب کی وصاحت کیجئے۔

12. مان لیجئے

کو nکاسب سے بڑا مفرد اجزائے خرجیfسے defineکیا گیا ہے

کی وسعت معلوم کیجئے۔

خلاصہ(Summary)

اس باب میں ہم نے رشتوں اور تفاعلات کامطالعہ کیاہے۔ اس باب کےاہم پہلو یہ ہیں:
• مرتب جوڑا:(Ordered Pair)عناصر کا ایک جوڑا جو ایک خاص ترتیب میں رکھا ہو۔
• دوسیٹس AاورB کا کار تیزی حاصل ضرب اس طرح دیاجاتا ہے۔
Pic-6

• AسےB کا ایک رشتہR کار تیزی حاصل ضرب AxB کا ایک ذیلی سیٹ ہوتا ہے جو AxB کے مرتب جوڑے کے پہلےعنصرyکے درمیان ایک رشتہ بیان کرکے حاصل کیاجاتا ہے۔
• رشتہRکے تحت کسی عنصرx کا عکس یا نقش yہوتا ہے جب کہ x,y)∈R)
• رشتہRکا علاقہ یا حلقہ (R(Domainکے تمام مرتب جوڑوں کے پہلے عناصر کاسیٹ ہوتا ہے۔
• رشتہRکی وسعت (R(Range کے تمام مرتب جوڑوں کےدوسرےعناصر کاسیٹ ہوتا ہے۔
• تفاعل:سیٹAسے سیٹB کاتفاعلf ایک مخصوص قسم کا رشتہ ہے جس میں سیٹA کے ہر عنصرxکا ایک اور صرف ایک نقش سیٹA میں y ہوتا ہے۔ اس کو اس طرح لکھا جاتا ہے f:A→B جبکہf (x)=y
• Aتفاعلf کاعلاقہ اور B اس کا ہم علاوہ کہلاتا ہے۔
• تفاعل کی وسعت اور اس کےتمام نقوش کاسیٹ ہوتا ہے۔
• حقیقی تفاعل میں حقیقی اعداد کاسیٹR یا اس کا ذیلی سیٹ یا دونوں اس کا علاوہ یا وسعت ہوتے ہیں۔
•تفاعلات کا الجبر: تفاعلf:X→R اور تفاعلg:X→R کے لیے الجبرا اس طرح دیا جاتا ہے۔
Pic-7

تاریخ کے اوراق سے

لفظ FUNCTION سب سے پہلے گوٹفریڈولہم لیبنز (1616-1746)کی1673 میں لکھی لاطینی دستاویز "Methodus tangentium inversa, seu de fuctionibus" میں پایا گیا۔ اس نے تفاعل کو ریاضیاتی فعل اورمنحنی کو محض کار گزار کے طور پر تصور کیا۔
5؍جولائی1698کو جون برنولی نے پہلی بار لیبنؒؒٹز کو ایک خط لکھ کر تفاعل کیااصطلاح کو قصداً تجزیاتی معنی میں خاص طور پر استعمال کرنے کی ہدایت کی۔ اسی ماہ کے آخر میں لبینٹز نے اپنےجواب میں اس کی منظوری کا اظہار کردیا۔
انگریزی کے1779کے چیمبرس سایلوپیڈیا میں فنکشنFUNCTION ملتاہے۔ تجزیاتی عبارات میں’’جو کسی طریقہ سے ایک متغیر مقدار اور اعداد یا مستقلہ مقداروں سے مرتب کی گئی ہوں‘‘ کے لیے الجبرے میں اس اصطلاح (تفاعل) کا استعمال ہوتا ہے۔