Skip to content
Read PDF Question Answers
Riyazee-001


باب 3

ٹرگنو میڑک تفاعلات

(TRIGONOMETRIC FUNCTIONS)

◊ایک ریاضی دان جانتا ہے کہ مسئلہ کا حل کس طرح کیا جا تاہے، وہ اسے کرنہیں سکتا۔ 

"MILNE"◊

3.1تعارف (Introduction)

لفظ ٹرگنو میڑی۔ گریک الفاظ ــ"trigon"اور "metron"سے لیا گیا ہے اور اسکا مطلب ہے مثلث کے اضلاع کی پیمائش کرنا ابتدا میں مضمون مثلثوں کے جیو میٹرک مسئلہ کو حل کرنے کے لیے بنایا گیا تھا۔ اس کا مطالعہ جہاز رانی کے سمندری کے کپتانوں، نئی زینوں کے نقشے بنانے والے سرویرز surveyorاور انجینیرز میں engineersوغیر ہ کرچکے تھے۔ آجکل ٹرگنو میٹری کا استعمال بہت سے حلقوں میں کیا جاتاہے جیسے زلزلہ کی وجوہات جا ننے، برقی سرکٹ کے ڈیزائن بنانے ، ایٹم کی حالت کو بتانے ، سمندر میں لہروں کی اونچائی کی پیش گوئی کرنے ، موسیقی کی دھن کو الگ الگ بتانے اور بہت سی دوسری جگہ کیا جاتاہے۔ 
PH_1


ہم پچھلی جماعتوں میں پہلے ہی زاویہ حادہ کی ٹرگنو میٹرک نسبتیں بحیثیت قائم زادی مثلث (right angled triangle)کے ضلعوں کے بیچ نسبت کی حیثیت سے پڑھ چکے ہیں، ہم پہلے ہی ٹرگنو میڑک اکائی اور انکا استعمال ان مسئلوں کے حل کے لیئے کر چکے ہیں جن میں اونچائی اور فاصلہ پر مبنی سوالات ہوں۔ اس سبق میں ہم ٹرگنو میڑک نسبتوں کے مفہوم کو عام کرکے ٹرگنو میٹرک تفاعلات اور اس کی خصوصیات کا مطالعہ کریں گے۔ 

3.2  زاویے (Angles)

کسی شعاع(Rayکی نقطہ آغاز کے گرد گھومنے کی مقدار زاویہ(Angle)کہلاتی ہے۔اصلی شعاع زاویہ کا ابتدائی ضلع(Initial arm)اور گھومنے کے بعد کی حالت میں وہ شعاع زاویہ کا اختتامی ضلع کہلاتاہے جس نقطہ کے گرد گھماؤ ہوا ہے اسے نقطہ راس(Vertex) کہتے ہیں۔اگر گھومنے کی سمت anti-clock wiseہو تو زاویہ مثبت زاویہ کہلا تاہے اور اگر گھومنے کی سمت clock wiseہو تو زاویہ منفی ہوگا ۔
PH_2

زاویہ کی پیمائش (ناپ)وہ ہے جو ابتدائی ضلع سے اختتامی ضلع تک گھومنے سے حاصل ہوتاہے زاویوں کو نا پنے کے بہت سے پیمانے ہیں۔ زاویہ کی تعریف ایک اکائی بتاتی ہے۔ جس کا مطلب ہے ابتدائی ضلع کی جگہ سے ایک مکمل چکر جیسا کہ شکل 3.2میں دکھا یا گیا۔ 
PH_3
عام طور پر یہ بڑے زاویوں کے لیے (موزوں )ہے۔ مثال کے طور پر ہم یہ کہہ سکتے ہیں کہ ایک پہیہ تیزی سے گھومتاہوا 15چکر فی سیکنڈ کے حساب سے ایک زاویہ بنارہا ہے۔ ہمیں زاویہ کی پیمائش کی دو اور اکائیاں بتانی ہیں جو سب سے زیادہ استعمال ہوتی ہیں مطلب ہے درجہ پیمائش (Degree measure)اور (readian measure)ریڈین پیمائش۔ 

3.2.1  درجہ پیمائش (Degree measure)

اگر گھماؤیا گردش ابتدائی ضلع سے اختامی ضلع تک PH_4چکر ہے تو زاویہ کی پیمائش 1درجہ ہے جو°1لکھا جاتاہے۔ ایک درجہ منٹوں میں بانٹا جا تا ہے اور ایک منٹ سیکنڈوں میں بانٹا جا تاہے۔ درجہ کا ایک ساٹھواں حصہ منٹ کہلا تاہے جسے '1لکھا جا تاہے اور ایک منٹ کا ایک۔ ساٹھواں حصہ ایک سیکنڈ کہلا تاہے اور "1لکھا جاتاہے ۔
اس لئے ،PH_5
کچھ زاویے جن کی ماپ (ناپ) PH_6شکل 3.3میں
 دکھا ئے گئے ہیں۔ 
PH_7

 3.2.2  ریڈین پیمائش (Radian mearsure)

زاویہ کی پیمائش کی ایک دوسری اکائی ریڈین پیمائش ہے۔ ایک اکائی کی لمبائی والے قوس سے مرکز پر جو زاویہ بنتاہے جسکو ایک اکائی دائرہ (وہ دائرہ جسکا نصف قطر 1اکائی ہے) کہتے ہیں جسکی پیمائش 1ریڈین ہے۔ شکل میں (i)3.4۔Oaابتدائی ضلع ہے اور OBاختتامی ضلع ہے یہ شکلیں وہ زاویہ دکھائی ہیں جنکی پیمائش (ناپ) ریڈین، 1ریڈین1-ریڈین، PH_8ریڈین ہیں۔ 
ہم جانتے ہیں کہ 1اکائی نصف قطر والے دائرہ کا محیط 2ñہے۔ اسلئے ابتدائی ضلع کا ایک مکمل چکر 2ñریڈین کا زاویہ بناتاہے۔ 
PH_9
شکل 3.4  (i) سے (iv)

PH_10

اور زیادہ عام طورپر۔ r نصف قطروالے دائرہ میں، r لمبائی ولا قوس 1ریڈین کا زاویہ بنا تاہے۔ یہ بخوبی جانا جاتاہے کہ دائرہ کے برابر ے قوس مر کز پر برابر کے زاویہ بناتے ہیں۔ کیونکہ rنصف قطروالے دائرہ میں، ایک قوس جسکی لمبائی rہے ایک زاویہ بناتی ہے جسکی پیمائش 1ریڈین ہے، اس لیے ایک قوس جسکی لمبائی 1ہے ایک زاویہ بنائے گا جسکی پیمائشPH_11 ریڈین ہے۔ اس لیے اگر ایک rنصف قطروالے دائرہ میں ، ایک قوس جسکی لمبائی 1ہے مرکز پر ایک زاویہ θبناتاہے تو ہمارے پاس ہے۔ 
PH_12

3.2.3 ریڈین اور حقیقی اعدادکے بیچ میں رشتہ (تعلق)(Relation between radian and real

 numbers)ایک اکائی دائرہ کا تصور کیجئے جسکا مر کز 0ہے۔مان لیجئے دائرہ پر Aکوئی نقطہ ہے۔ 0Aکو زاویہ کا ابتدائی ضلع مان لیجئے۔ تب دائرہ کے ایک قوس کی لمبائی زاویہ کی ریڈین ماپ دے گا جو قوس دائرہ کے مرکز پر بناتاہے۔ خط PAQکا تصور کیجئے جودائرہ میں نقطہ Aپر مماس ہے مان لیجئے نقط Aحقیقی عدد صفر کو دکھاتاہے۔ APمثبت حقیقی عدد کو ظاہر کر تاہے اور AQمنفی حقیقی اعداد کا ظاہر کرتاہے (شکل 3.5)اگر ہم خط APکو دائرہ کی anti-clock wiseسمت میں گھمائیں اور خط AQکو clock wise سمت میں گھمائیں تو پر حقیقی عدد ایک ریڈین پیمانہ کے مطابق ہوگا اور اسکے بر عکس۔ اسلئے ریڈین پیمائش اور حقیقی اعداد کو ایک سمجھا جاسکتاہے۔ 
PH_13

3.2.4  درجہ اور ریڈین کے درمیان تعلق (رشتہ)(Relation between degree and radian)

کیونکہ دائرہ مرکز پر ایک زاویہ بناتاہے جسکی ریڈین پیمائش 2ñہے اور اس کی درجہ پیمائش °260ہے۔ اس سے یہ ملتاہے۔
PH_14
اوپر دیا ہوا رشتہ ہمیں ریڈین پیمائش کو درجہ پیمائش میں ظاہر کرنے میں مدد کر تاہے اور درجہ پیمائش کو ریڈین پیمائش میں۔ ñکی تقریباً قدر PH_15استعمال کرنے پر ہمارے پاس ہے
تقریباًPH_16
ساتھ ہیPH_17 
کچھ زاویوں کا درجہ پیائش اور ریڈین پیمائش کے بیچ رشتہ مندرجہ ذیل جدول میں دیا گیا ہے۔ 

350º 270º 180º 90º 60º 45º 30º Degree
2n
3n
2
 n
n
2
m
3
n
4
n
6
 Radian


خیالی معاہدہ(سمجھوتہ) National convention

کیونکہ زاویے درجہ با ریڈین میں نا پے جاتے ہیں، ہم خیالی معاہدہ کو اپنا تے ہیں کہ جب بھی ہم زاویہ °θلکھیں۔ ہمارا مطلب ہے وہ زاویہ جسکی پیمائش θہے اور جب کبھی ہم زاویہ βلکھیں، ہمارا مطلب ہو وہ زاویہ جسکی ریڈین پیمائش βہے۔ 
یہ بات نوٹ کر لیجئے جب کوئی زاویہ ریڈین میں ظاہر کیا جائے۔ لفظ ریڈین کو زیاوہ تر ہٹادیں۔ اس لیے °ñ=180اور PH_19اس سمجھ کے ساتھ لکھے گئے ہیں کہ PH_20ریڈین پیمائش میں۔ اسطرح ہم کہہ سکتے ہیں کہ 
ریڈین پیمائش PH_21درجہ پیمائش
درجہ پیمائشPH_22ریڈین پیمائش

مثال 1

'40°20کو ریڈین پیمائش میں بدلنے۔

حل 

 ہم جانتے ہیں کہ PH_23ریڈین 
PH_24

مثال  2

 6ریڈیں کو درجہ پیمائش میں بدلئے۔

حل 

 ہم جانتے ہیں کہ ñریڈین =°180
PH_25
مثال 3دائرہ کا نصف قطر معلوم کیجئے جس میں °60کا مر کزی زاویہ ایک قوس کو کاٹتاہے جس کی لمبا 37.4سم ہے        
(PH_26کا استعمال کریں)
حل یہاںPH_27ہے۔
اس طرح PH_28کا استعمال کر کے ہمارے پاس ہے۔
PH_29

مثال 4  

ایک گھٹری کی منٹ والی سوئی کی لمبائی 1.5سم ہے۔ یہ 40منٹ میں کتنا آگے بڑھے گی؟PH_30 کا استعمال کیجئے۔ 

حل

 60منٹ میں، منٹ والی سوئی گھٹری کا ایک چکر لگائی ہے۔ اس لیے 40منٹ میں منٹ والی سوئی PH_31چکر لگائے گی۔ اس لیےPH_32ریڈین یہاں طے کیا گیا۔ 
PH_33

مثال 5

   اگر دو برابر لمبائی والے قوس دائروں کے مر کز پر بالترتیب °65اور °110کے زاویہ بناتے ہیں تو انکے نصف
 قطروں کی نسبت معلوم کیجئے۔

حل  مان لیجئےr¹اور r²دو دائروں کے نصف قطر ہیں۔  دیا ہوا ہے

PH_34

مشق 13.1

1.  ذیل میں دی گئی درجہ پیمائش کے مطابق ریڈین پیمائش معلوم کیجئے۔ 
PH_35
2.   ذیل میں دی گئی ریڈین پیمائش کے مطابق درجہ پیمائش معلوم کیجئے۔ (PH_36 کا استعمال کیجئے)
PH_37
3. ایک پہیہ ایک منٹ میں 360چکر لگاتاہے۔ ایک سیکنڈ میں یہ کتنے ریڈین گھومتاہے؟
4.  ایک قوس جسکی لمبائی 22سم ہے ایک دائرہ کے مر کزی پر جسکا نصف قطر 100سم ہے زاویہ بناتاہے اسکی درجہ پیمائش معلوم کیجئے۔ (PH_36کا استعمال کیجئے)
5.  ایک 40سم قطر والے دائرہ میں دتر کی لمبائی 20سم ہے۔ وتر کے چھوٹے قوس کی لمبائی معلوم کیجئے؟
6.  اگر دو دائروں میں برابر لمبائی والے قوس مرکز پر °60اور °75کے زاویہ بناتے ہیں تو ان کے نصف قطر کی نسبت معلوم کیجئے۔ 
7.   ایک 75سم لمبا پنڈولم (لنگر) جھول رہاہے۔ اسکا سرا ذیل لمبائی والے قوس بنا تاہے۔
PH_38
ریڈین میں ان زاویوں کی پیمائش معلوم کیجئے؟

 3.3  ٹرگنو میڑ یکل تفاعلات (Trigonometric Functions)

پچھلی جماعتوں میں حادہ زاویوں کی ٹرگنوں میٹری نسبتیں قائمی زاوی مثلث (Right angle trangle) کے اضلاع کی نسبتوں کی حیثیت سے پڑھ چکے ہیں اب ہم ٹرگنو میٹری نسبت کی تعریف کو کسی بھی زاویے کی ریڈین پیمائش تک بڑھا کر ٹرگنو میٹری تفاعلات کی حیثیت سے مطالع کریں گے۔ 
مختص محاور (Co-ordinate aes)پرایک اکائی دائرہ جسکا مر کز مبدہ پر ہو لیجئے۔ مان لیجئے (P(a,bدائرہ پر کوئی نقطہ ہے جس میں زاویہ AOP=xریڈین i.e., قوس APکی لمبائیx = (شکل 3.6)
PH_39
ہم بیان کرتے ہیں cos x=aاور 
 sin x=b کیونکہ ΔOMPایک قائم
 مثلث ہے ہمارے پاس ہے۔
PH_40
اس لیے اکائی دائرہ پر ہر نقطے کے لیے ۔ ہمارے پاس ہے۔
PH_41
کیونکہ ایک پورا چکر مر کز پر 2ñریڈین کا زاویہ بناتاہے،PH_42وہ زاویے جو PH_43کے مضروب (Multiples)میں ربعی زاویے(Quandrantal angles)کہلاتے ہیں۔ نقطات A، B، Cاور Dکے مختص بالتر تیب (1,0)،  (0,1)،  (-1,0) اور (1,-0)ہیں۔ اس لیے
PH_44
اگر اب ہم نقطPسے ایک مکمل چکر لیں ہم دو بارہ پھر اسی نقطہ Pپر آجائیں گے۔ اس لیے اب ہم یہ دیکھتے ہیں کہ اگر x بڑھتاہے (یا گھٹتا ہے) 2ñکے تکملہ ضریب سے توe sinاورcosineتفاعل کی قدر نہیں بدلتی۔  اس لیے
PH_45 
جب x  ایک ñکا تکملہ ضریب ہو۔
PH_46
اس کا مطلب cos xختم ہو جاتا ہے جبکہ x، PH_47کا طاق ضریب ہو۔ اس لیے
PH_48
اب ہم دوسرے ٹر گنو میٹری تفاعل sine  اور  cosine تفاعل کی شکل میں بیان کریں گے۔ 
(nایک صحیح عدد ہے)
PH_49
PH_50
ہم تمام حقیقی  x  کے لیے یہ دکھا چکے ہیں
PH_51
اس سے یہ ملتاہے۔ 
PH_52
ہم اپنی پچھلی جماعتوں میں ٹر گنو میٹری نسبت کی قدر یںPH_53کے بارے میں بحث و مباحثہ کر چکے ہیں۔ٹر گنو میٹری تفاعل کی قدر یں ان زاویوں کے لیے وہی ہیں جو ٹرگنومیٹر ی نسبت کی پچھلی جماعتوں میں پڑھی میں ۔ اس لیے ہمارے پاس مندرجہ ذیل جدول ہے:

2n
n3
2
 n
n
2
n
3
n
4
n
6
 0
0
1-
 0
1
3√
2
2√
1
2
 0 sin
1
0
 1-
0
1
2
1
2√
3√
2
 1 cos
0
not defined
 0
not defined
3√
1
1
3√
 0 tan


scc x,coscc x اور cot x کی قدریں cos x'sin x اور tan xکے بالتر تیب مقلو ب ہیں۔ 

 3.3.1ٹرگنو میٹرک تفاعل کے نشانات  (Signs of trignometric functions)

مان لیجئے (P(a,bاکائی دائرہ پر جسکا مرکز مبدہ پر ہے کوئی نقطہ ہے تاکہPH_55ہو تو نقطہ Qکے مختص (a,-b)ہوں گے (شکل 3.7)۔اس لیے 
PH_56

PH_57
کیونکہ کسی بھی اکائی دائرہ پر نقطہ (P(a,bکے لیےPH_58ہمارے پاس ہے اورPH_59تمامxکے  لئے۔ ہم اپنی پچھلی جماعتوں سے جا نتے ہیں کہ پہلے ربع میں PH_60اورb دونوں مثبت ہیںدوسرے ربعPH_61 میں aمنفی ہے اور bمثبت تیسرے ربع میںPH_62aاورbدونوں منفی ہیں اورچوتھے ربع میںPH_63aمثبت ہے اور bمنفی۔ اس لیے PH_64کے لیے مثبت ہے اورPH_65کے لیے منفی (اسی طرح ) مشابہ کے طورپرPH_67کے لیے cosxمثبت ہے اورPH_68کے لیے منفی اورPH_69کے مثبت ۔ اسی طرح ہم دوسرے ٹرگنو میٹرک تفاعل کے لیے نشانات نکال سکتے ہیں مختلف ربعات میں۔ حقیقت میں ہمارے پاس ذیل جدول موجود ہے:


IV III II I
— — + + sin x
+ — — + cos x
— + — + tan x
— — + + cosec x
+ — — + sec x
— + — + cot x



 3.2.2  ٹرگنو میٹرک تفاعلات کا علاقہ اورو سعت(Domain and range of trigonometri (functions

 sineاور cosineتفاعلات کی تعریف سے ہم نے یہ دیکھا کہ وہ حقیقی اعداد کے لیے دکھائے گئے ہیں اسکے بعد ہم نے یہ دیکھا کہ تمام حقیقی اعداد xکے لیے،
PH_71
اس لیے yکا علاقہ sinxاور cosx،yتمام حقیقی اعداد کا سیٹ ہے اور اسکی وسعت ایک وقفہ[1,1-]ہے۔یعنی PH_72
PH_73
مزید ہم یہ دیکھتے ہیں کہ پہلے ربع میں جیسے PH_74بڑھتا ہے۔ PH_75بڑھ جاتاہے،جیسے PH_76بڑھ جاتا ہے1sin x,سے 0گھٹتا ہے۔ تیسرے ربع میں جیسے ñ,x،ےPH_77بڑھتاہے تو sinx0سے -1کی طرف گھٹ جاتاہے۔ اور آخیر میں جو تھے ربع میں sinx۔ -1سے0کی طرف بڑھتاہے جبکہ PH_77سے2nتک بڑھتاہے


IV quadrant III quadrant II quadrant I quadrant
increases from -1 to 0 decreases from 0 to -1 decreases from 1 to 0 increases from 0 to 1 sin
increases from 0 to 1 increases from -1 to 0 decreases from 0 to -1 decreased from 1 to 0  cos
increases from -∞ to 0 ∞ increases from 0 to  inceases from -∞  to 0 ∞ increases from 0 to  tan
∞ decreases from 0 to - decreases from  ∞to 0 ∞decreases from 0 to - decreases from ∞ to 0 cot
decreases from  ∞to 1 ∞ decreases from -1 to  increases from - to -1 ∞ increases from 1 to  sec
∞ ecreases from -1 to - increases from -∞ to -1 ∞ increases from 1 to  decreases from ∞ to1 cosec


اسی طرح ہم دوسرے ٹرگنو میٹرک تفاعلات کے رویہ کے بارے میں بحث و مباحثہ کر سکتے ہیں۔ درحقیقت ہمارے پاس مندرجہ ذیل جدول موجود ہے۔

ریمارک

 اوپر دئیے ہوئے جدول میں، اس طرح کا بیان کہtanx،0سے(in finity)کی طرف بڑھتاہے، PH_79کے لیے ۔ اس کا آسان مطلب یہ ہے کہ tanxبڑھتاہے جبکہ xبڑھتاہے PH_80کے لیے اور بڑی مثبت اختیاری قدرون کو مانئے جبکہPH_81کی طرف بڑھتاہے۔ اسی طرح یہ کہنا کہPH_82(minus unfinty)کی طرف گھٹتا ہے چوتھے ربع میں کا مطلب ہے PH_83کے لیے گھٹتا ہے۔ علامتیں ∞اور∞-سادہ پر کچھ تفاعلات اور تغیر کے رویہ کو خاص طورپر بتاتے ہیں۔ 
ہم پہلے ہی دیکھ چکے ہیں کہ sin xاور cos xکی قدر یں 2nوقفہ کے بعد دہرائی جاتی ہے۔ اس لیے coseexاور secxکی قدریں 2nوقفہ کے بعد بھی دہرائی جا ئیں گی۔ ہم اگلے سیکشن میں دیکھیں گےPH_84اس لئے tan xکی قدریں nوقفہ کے بعد دہرائی جائیں گی کیونکہ x cotاور tan xکا مقلوب ہے اس کی قدر بھی وقفہnکے بعد دہرائی جائے گی۔ اس جا نکاری اور ٹر گنو میٹرک تفاعلات کے رویہ کا استعمال کر کے ہم ان تفاعلات کے گراف بنا سکتے  (کھینچ سکتے) ہیں۔ ان تفاعلات کے گراف نیچے دیئے گئے ہیں۔ 
PH_85
PH_86


مثال 6 

اگرPH_87 تیسرے ربع میں  ہے ، دوسرے پانچ ( 5)ٹرگنو میٹرک تفاعلات کی قیمتیں معلوم کیجئے۔ 

PH_89

کیونکہ xتیسرے ربع میں موجود ہے۔ sin xایک منفی ہے۔ اس لیے
PH_90
جو یہ بھی دیتاہے
PH_91
اس کے آگے، ہمارے پاس ہے 
PH_92

مثال 7

اگر PH_93، xدوسرے ربع میں واقع ہے، دوسرے پانچ تر گنو میٹر ک تفاعلات کی قسمیں معلوم کیجئے۔ 
PH_94
کیونکہ xدوسرے ربع میں واقع ہے۔ اسلیے secxمنفی ہوگا۔ 
اس لیے PH_95
آگے ہمارے پاس ہے 
PH_96
مثال 8 PH_97کی قیمت (قدر) معلوم کیجئے۔
حل ہم جانتے ہیں کہ sin x کی قدریں وقفہ 2nکے بعد دہرائی جاتی ہیں۔ 
اس لیے PH_98
مثال 9 PH_99کی قیمت معلوم کیجئے۔
حل ہم جانتے ہیںکہ cosxکی قدر2nیا'360 کے وقفہ کے بعد دہرائی جاتی ہیں۔ 
PH_100

مشق 3.2

دوسرے پانچ ٹرگنو میٹرک تفاعلات کی قیمتیں معلوم کیجئے۔
PH_101
ذیل میں دیئے  ٹر گنو میٹر ک تفاعلات کی قدریں معلوم کیجئے۔
PH_102

 3.4  دو زاویوں کے جوڑ اور فرق کے  ٹرگنو میٹرک تفاعلات

 (Trigonometric Functions of Sum and Difference of Two Angles)

اس حصہ (سیکشن)میں ہم دو اعداد (زاویوں)کے جوڑ اور فرق اور ان سے ملتی جلتی (مبنی)عبارتوں کے لیے ٹرگنو میٹر ک تفاعلات کے لیے عبارتیں نکالیں گے۔ اس بابت میں بنیادی نتیجوں کو ٹرگنو میٹرک مماثلت کہا جا تاہے۔ ہم دیکھ چکے ہیں کہ ۔
PH_103اب ہم کچھ اور نتائج ثابت کریں گے:
PH_104
ایک اکائی دائرہ لیجئے جس کا مرکز مبداپر واقع ہو۔ مان لیجئے زاویہ PH_105زاویہ PH_106ہے ساتھ ہی مان لیجئے PH_107کے مختص PH_108 ہونگے ۔ (شکل 3.14)
PH_109

مثلثPH_110پر غور کیجئے ۔ دونوں متماثل ہیں (کیوں ؟)۔اس لیےPH_111برابر ہیں۔ فاصلہ کافارمولہ (ضابطہ)استعمال کرنے پر ہمیں حاصل ہوتاہے۔
PH_112

مماثلت 3مین yکو -yسے تبدیل کرنے پر ہمیں حاصل ہوتاہے۔

PH_113
اگر ہم xکی جگہ PH_114رکھیں اور yکی جگہ xاکائی (4)میں تو ہمیں حاصل ہوتاہے 
PH_115
6۔ PH_116
مماثلت 5استعمال کرنے پر ہمارے پاس ہے۔
PH_117
اگر ہم مماثلت 7میں yکو y-سے تبدیل کردیں تو ، ہمیں نتیجہ مل جا تاہے۔ 
9۔ متما ثلات 7,4,3,اور 8میں xکی مناسب قدریں (قیمتیں) لینے پر ہم ذیل نتیجوں پر پہنچتے ہیں۔ 
PH_118
sin xاور cos xکے نتیجوں سے ہم tan x،  cot x،  sec xاور  cosec xکے مشابہ نتائج نکال سکتے ہیں۔ 
10.  اگر x،yاور (x+y) میں سے کوئی سابھی زاویہ PH_114کا طاق ضریب نہیں ہے، تو 
PH_119
کیونکہ x، yاور (x+y) میں سے کوئی بھی PH_43کا طاق ضریب نہیں ہے۔ اس سے حاصل ہوتا ہے کہ cos y، cos xاور
PH_120صفر نہیں ہیں۔ اب 
PH_121
شمار کنندہ اور نسبت نماں دونوں کو  cos x، cos yسے تقسیم کرنے پر 
PH_122
اگر ہم متماثل 10میں yکو y-سے تبدیل کریں تو ہمیں حاصل ہوتاہے 
PH_123
12.  اگر کوئی بھی زاویہPH_124کا ضریب نہیں ہے، تو
PH_125
کیونکہ x، yاور (x+y)میں سے کوئی بھی nکا ضریب نہیں ہے، ہم یہ نکال تے ہیں کہ sin x، sin y اور (x+y)sinغیر صفر ہیں ۔ اب
PH_126
شمار کنندہ اور نسبت نماں کو sin x sin yسے تقسیم کرنے پر ہمارے پاس ہے 
PH_127
اگر متماثل 12میں ہم yکی -yرکھیں تو ہم نتیجہ پر پہنچ جاتے ہیں۔ 
PH_128
ہر ایک رکن کو cos2xسے تقسیم کرنے پر ہمیں حاصل ہوتاہے
PH_129
ہم جانتے ہیں کہPH_130
yکی جگہ xرکھنے پر ہمیں حاصل ہوتاہے۔ 
PH_131
ہمارے پاس ہے۔ 
PH_132
yکی جگہ xرکھنے پر ہمیں حاصل ہوتاہے۔ 
PH_133
ہر رکن کو cos2 xسے تقسیم کرنے پر ہمیں حاصل ہوتاہے
PH_134
yکی جگہ xرکھنے پر ہمیں حاصل ہوتاہے۔
PH_135
ہمارے پاس ہے
PH_136
PH_137
ہمارے پاس ہے(tan3x =tan(2x+x)
PH_138
ہم جانتے ہیں کہ 
(1) اور (2) کو PH_139جمع کرنے اور گھٹانے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے
PH_140
PH_141
 (5)اور(6)جمع کرنے اور گھٹانے پر ہمیں حاصل ہوتاہے۔
PH_142
PH_143
xاور yکی قیمتیں (3) ، (4)، (7)،(8)، میں رکھنے پر ہمیں حاصل ہوتاہے۔ 
PH_144
کیونکہ θاورPH_145کی کوئی بھی حقیقی قدر یں ہو سکتی ہیں اس لئے ہم 0کی جگہ xاور PH_145 کی جگہ yلکھ سکتے ہیں۔ 
اس لیے ہمیں حاصل ہوتا ہے
PH_146
ریمارک   متماثلات 20میں دیئے گئے حصہ کے طورپر ہم نے مندرجہ ذیل نتیجے ثابت کیے ہیں۔ 
PH_147
مثال 10ثابت کیجئے کہ 
PH_148
حل   ہمارے پاس ہے 
PH_149
مثال 11 sin15°کی قدر معلوم کیجئے۔
حل ہمارے پاس ہے
PH_150
مثال 12PH_151کی قدر معلوم کیجئے۔
حل ہمارے پاس ہے
PH_152
مثال 13 ثابت کیجئے
PH_153
حل ہمارے پاس ہے 
PH_154
شمار کنندہ اور نسب نماں کوcos x، cos yسے تقسیم کرنے پر ہمیں حاصل ہوتاہے 
PH_155
مثال 14ثابت کیجئے
PH_156
حل ہم جانتے ہیں کہ3x=2x+x
PH_157
حل
اکائی (i)
20استعمال کرنے پر ،ہمارے پاس ہے۔ 
PH_158
مثال 16ثابت کیجئے کہ PH_159
حل
اکائی(i)
20اور (iv)20استعمال کرنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے۔
PH_160
مثال 17  ثابت کیجئے کہ PH_161
حل   ہمارے پاس ہے 
PH_162

مشق 3.3

ثابت کیجئے کہ :
PH_163
PH_164
5۔ قدر معلوم کیجئے:
PH_166
 6 ۔ مندرجہ ذیل کو ثابت کیجئے :
PH_165
PH_167

3.5  ٹرگنو میٹر یائی مساواتیں(Trigonometric Equations)

ایسی مساواتیں جن میںمتغیر(variable)کے ٹر گنو میٹریائی تفاعل شامل ہوں ٹر گنو نیٹریائی بائی مساواتیں کہلا تی ہیں۔ اس سیکشن میں ہم اسطرح کی مساوات کا حل معلوم کریں گے۔ ہم پہلے ہی پڑھ چکے ہیں کہ sin xاور cos xکی قدریں وقفہ2nکے بعد دہرائی جاتی ہیں اور tan xکی قدر وقفہ n کے بعد دہرائی جاتی ہے۔ مساوات کے حل PH_168کے لیے پرنسپل حل کہلاتے ہیں۔ جو عبارت صحیح عدد nپر مبنی ہوا ورٹر گنو میٹریائی مساوات کے تمام حل دے اسے عمومی حل(general solution)کہتے ہیں ہم لفظ Zکا استعمال صحیح اعداد کے لیے کریں گے۔ 
مندرجہ ذیل مساواتیں ٹر گنو میٹریائی مساواتوں کو حل کرنے میں سود گار ثابت ہوں گی۔ 
مثال 18مساوات PH_169کے پرنسپل حل معلوم کے لیے۔
حل   ہم جانتے ہیں کہ PH_170
اس لیے PH_171اس مساوات کے پرنسپل حل ہیں۔
مثال 19 مساوات PH_172کے پرنسپل حل معلوم کیجئے۔
PH_173
اب ہم ٹرگنومیٹریائی مساواتوں کا عام حل معلوم کریں گے۔ ہم پہلے ہی دیکھ چکے ہیں کہ :
PH_174
اب ہم مندرجہ ذیل نتائج کو ثابت کریں گے۔
مسئلہ 1 کوئی بھی xاور yحقیقی اعداد کے لیے۔
PH_175
ان دونوں نتائج کو ساتھ ملانے پر ہمیں حاصل ہوتاہے 
PH_176
PH_177
PH_178

Pic-8xکی ایک ایسی قدر جس کے لیےPic-9 -=sin xہے۔ -x کی ایک دوسری قدر بھی لی جاسکتی ہے جس کے لیےPic-9 -=sin x  و۔ اس طرح حاصل ہوئے حل یکساں ہوں گے جب کہ یہ دکھائی دینے میں الگ الگ ہیں۔



PH_180
حل مساوات کو اسطرح لکھا جا سکتاہے:
PH_181
PH_182
PH_183
حل مساوات کو اسطرح بھی لکھا جا سکتاہے۔
PH_184

مشق   3.4

ذیل مساواتوں کے صدر (Principal) اور عمومی (General)حل معلوم کیجئے۔
PH_185
ذیل میں دی گئی ہر ایک مساواتوں کے مجموعی حل معلوم کیجئے۔
PH_186
PH_187متفرق مثالیں
مثال 25 اگرPH_188جہاں xاور yدونوں دوسرے ربع میں واقع ہیں(sin(x+y کی قدر معلوم کیجئے۔ 
حل ہم جانتے ہیں کہ 
PH_189
کیونکہ xدوسرے ربع میں ہے اس لیے cos xمنفی ہے۔
PH_190
کیونکہ yدوسرے ربع میں موجود ہے،  siny مثبت ہے۔ اس لیےPH_191اور cosy کی قیمتیں مساوات (i)میں رکھنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے 
PH_192
مثال 26ثابت کیجئے کہ 
PH_193
حل ہمارے پا س ہے۔
PH_194
مثال 27  PH_195کی قیمت معلوم کیجئے۔

PH_196
PH_197
PH_198
مثال 29  ثابت کیجئے کہPH_199

PH_200

متفرق مشق باب 3

ثابت کیجئے کہ: 
PH_201
PH_202

خلاصہSummary
• اگر ایک قوس جس کی لمبائی 1 ہے ایک دائرہ میں جس کا نصف قطرrہےθریڈین کا زاویہ بناتا ہے۔ تو I=rθ
•ریڈین پیمائش Pic-10 ڈگری پیمائش
 ڈگری پیمائش Pic-10ریڈین پیمائش 
Pic-11
Pic-12
Pic-13


تاریخ کے اوراق سے 
ٹرگنو میٹری کی تعلیم پہلے ہندوستان میں شروع ہوئی تھی۔ قدیمی ہندوستانی ریاضی داں آریہ بھٹ (476)برہم گپتا (598AD) بھاسکر (600AD)اور بھاسکرII(1114 AD)کو اہم نتائج ملے۔یہ تمام معلومات پہلے ہندوستان سے مدیھہ ایشیا اور پھر وہاں سے یورپ کی طرف گئی۔ یونانی بھی ٹر گنو میٹری کی تعلیم شروع کر چکے تھے لیکن ان کا راستہ اناڑی پن (بغیر سوچ سمجھے آگے بڑھنے) کا تھا کہ جب ہندوستانی کھوج سب کو معلوم ہوئی، تب ہی دنیا میں سب نے اسے اپنا لیا۔
ہندوستان میں جدید ٹر گنو میٹریائی تفاعل کاپیش رو جو زاویہ کےe sinکہلا تے تھے اور Sineتفاعل (Sine function)کاآغاز اجرام فلکی کے لئے ایک عظیم دین ہے اور ریاضی کی تاریخ ہے۔ 

بھا سکر I، (600ADکے قریب)نے سائن تفاعل کی قیمتیں معلوم کرنے کے لیے ضابطہ (Formulas)دئیے جہاں زاویہ °90سے زیادہ ہوں۔ سولھویں صدی میں Malaylamکام جو Yuktibhasaکہلاتا ہے میں (A+B)،sine)کے پھیلاؤ کا ثبوت ہے۔ Sines اور Cosinesکی درست عبارتPH_206وغیرہ بھا سکر IIنے دی ہے۔
cos-1 x,sin-1x وغیرہ کی علامتیں قوس Sinx وغیرہ کے ماہر فلکیات Sir John G.W تجویز کیں۔Thalesکا نام (B.C 600 کے قریب) مستقبل (یکساں) طور پر اونچائی اور فاصلے کے مسائل کے ساتھ جڑا ہے۔  اسے اس بات کا شرف حاصل ہے اس نے مصر کے حرم(Pysamid)کی اونچائی حرم کے عکس کے اونچائی کی مدد سے معلوم کی جو ایک امدادی عملہ (Staff) جسکی اونچائی پہلے سے ہی معلوم تھی ان دونوں کی نسبت کا موازنہ کیا۔ 
Pic-14
(سورج کی شعاعوں کا سطح سمندر سے زاویہ)=tan
کہا جاتاہے کہ Thalesنے ایک کشتی کا فاصلہ سطح سمندر پر نکا لاتھا جو اس نے یکساں مثلثوں کے ضلعوں کی نسبت کا استعمال کر کے کیا۔ یکساں خصوصیت کا استعمال اونچائی اور فاصلہ کے مسئلہ پر قدیم ہندوستانی کا موں میں پایا جا تاہے۔