باب 4

ریاضی ایک سوچ میں معلوماتی وجوہات کا بہت بڑا ہاتھ ہے، ایک غیر اصولی اور معلوماتی وجوہات کی مثال سائنسی سوچ کے مطالعہ سے لی گئی ہیں، جو ایک دلیل (Argument) تین بیانوں میں دی گئی ہے ۔ 

(a) سقراطSocratesایک آدمی ہے ۔

(b) سبھی آدمیوں کو مرنا ہے، اسلئے 

(c) سقراط کو بھی مرنا ہے۔

اگر بیانات (a) اور (b) درست ہیں، تو (c) کی سچائی ثابت ہوتی ہے، اس معمولی مثال کو ریاضیاتی بنانے کیلئے ہم اس طرح لکھ سکتے ہیں۔

(i)

8، 2 سے تقسیم ہوتا ہے۔

(ii) کوئی بھی عدد جو 2 سے تقسیم ہوتا ہے جفت عدد ہے۔ اسلئے 

(iii)

 8 ایک جفت عدد ہے۔

اس لئے کھوج کو ایک خاص انداز میں اس طرح بھی کہتے ہیں: ایک بیان کو دیکر اسے ثابت کرنا انداز لگانا یا ریاضی میں ایک تھیورم (Theorem)کہلاتی ہے۔ کھوج کے صحیح اقدام اٹھائے جاتے ہیں اور ایکProof یاتو مل جاتا ہے یا نہیں۔ اس طرح معلوماتی طریقہ ایک عام مسئلہ سے خاص مسئلہ کی طرف لے جاتاہے۔

معلومات کے برعکس امالی سوچ ہر مسئلہ پر مبنی ہوتی ہے اور پھر پر ایک مسئلہ کے بارے میں غور و فکر کر کے ایک اندازہ لگا یا جاتا ہے۔ ریاضی میں اس کا استعمال بہت زیادہ ہے اور سائنسی سوچ میں ایک اہم کردار ادا کرتی ہے۔ جہاں data کو جمع کیا اور توڑا جانا ہے۔ اسلئے آسان زبان میں ہم یہ کہہ سکتے ہیں کہ امالہ کا مطلب ہے خاص مسئلہ یا اصلیت سے عام کی طرف بڑھنا۔ 

الجبرا یا ریاضی کی دوسری شاخوں میں بہت سے ایسے نتائج یا بیانات ہیں جنھیں ہم 'n' کا استعمال کر کے لکھتے ہیں جہاں n' 'ایک مثبت صحیح عدد ہے۔ اس طرح کے بیانات کو ثابت کرنے کیلئے ایک اچھا اور موزوں اصول جو یہاں استعمال کیا گیا ہے ، ایک خاص طریقہ پر مبنی ہے جسے ہم ریاضی کی امالی اصول کہتے ہیں۔

ریاضی میں ہم ایک مکمل امالہ کی شکل کا استعمال کرتے ہیں جسے ہم ریاضی کا امالہ کہتے ہیں۔ ریاضی کے امالہ کا بنیادی اصول سمجھنے کے لیے مان لیجئے مستطیل پتلے ٹائیلوں کا ایک سیٹ ایک طرف رکھا ہے جیسا کہ شکل 4.1 میں دکھا یا گیا ہے۔

شکل 4.1 

جب ہم پہلے ٹائیل کو ایک خاص طرف دھکیلتے ہیں تو سبھی ٹائیل گرجاتے ہیں، مکمل طریقے سے یقین دہانی کیلئے کہ سبھی ٹائیل گرجائیں گے، یہ جاننا ضروری ہے کہ

 (a) پہلا ٹائیل گر گیا ، اور 

(b) اس وقوع (event) میں کہ کوئی بھی ٹائیل گرتا ہے تو اس کے بعد کا بھی ہر حال میں گرے گا۔

یہ ریاضی کی امالہ کا  underlying Principle ہے۔

ہم یہ جانتے ہیں کہ طبعی اعداد کا سیٹ ، حقیقی اعداد کا ایک خاص مرتب ذیلی سیٹ ہے۔ اصلیت میں R'N کا سب سے چھوٹا ذیلی سیٹ ہے جو ایک امالی سیٹ ہے۔ اس سے یہ پتا چلتا ہے کہ R کوئی بھی ماتحت سیٹ جو کہ ایک امالی سیٹ ہے N اس میں موجود ہے۔

مان لیجئے ہم مثبت صحیح اعداد 3،2،1،..... ،nجوڑ کا فار مولہ معلوم کرنا چاہتے ہیں۔ اس کا مطلب ہے وہ فار مولہ جو 1+2+3 کی قیمت دے جب n=3 ہو ، قیمت1+2+3+4 جبn=4 ہو اور اسی طرح آگے بڑھے اور مان لیجئے ہمیں کسی طرح سے یہ یقین ہوجائے کہ 

فارمولہ صحیح فار مولہ ہے۔

حقیقت میں یہ فار مولہ کس طرح ثابت ہوا؟ اصلیت میں ہم اس بیان کی جانچn کی مثبت صحیح قیمتیں لے کر کریں گے جتنی ہم چائیں گے، لیکن اس طریقہ سے n کی تمام قیمتیں ثابت نہیں کی جاسکتی ہیں۔ یہاں یہ درکار ہے کہ کسی طرح کازنجیری تعامل (chain reaction) ہو جس کا یہ نتیجہ ہو کہ اگر یہ فارمولہ ایک خاص مثبت صحیح عدد کیلئے ثابت ہو گیا ہے تو یہ اس سے اگلے مثبت صحیح عدد کیلئے بھی ہوگا۔ اور اس سے اگلے مثبت صحیح عدد کیلئے بھی ہوگا اور automatically یہ فارمو لہ لامحدود اعداد کیلئے بھی ہوگا۔

مان لیجئے کوئی بیان (P(nدیا گیا ہے جو طبعی عدد n پر مبنی ہے اس طرح

(i)   بیان n=1 کیلئے صحیح ہے  (i.e  P(1 صحیح ہے اور 

 (ii)  اگر بیان n = k کیلئے صحیح ہے ( جہاں کو ئی مثبت صحیح عدد ہے)  اس طرح بیان n = k + 1 کیلئے بھی درست ہے

.P(k)i.e کی سچائی کا مطلب ہے (P(k + 1 کی سچائی

اس لئے (P(n تمام صحیح اعداد کے لئے درست ہے۔

حقیقت میں(i) ایک معمولی بیان ہے، کچھ اس طریقہ کے حالات بھی ہوں گے جب ۔۔n>=4 کیلئے بیان درست ہوگا۔ اگر اقدام n=4 (i)سے شروع ہو اور ہم اس نتیجہ کو n = 4 رکھ کر ثابت کریں P(4). i.e.

پراپرٹی(ii) حالات پر مبنی پراپرٹی ہے، اس سے یہ ظاہر نہیں ہوتا کہ دیا ہوا بیان n = kکے لئے درست ہے، تب یہ n=k+1 کیلئے بھی درست ہوگا۔ تو یہ ثابت کر نے کیلئے کہ یہ پراپرٹی صحیح ہے ہمیں صرف Conditional proposition کو ثابت کرنا ہوگا۔

’’ اگر بیان n = k کیلئے درست ہے، تو یہ n = k = 1 کیلئے بھی درست ہوگا۔

اسے کبھی کبھی امالہ کا قدم بھی کہا جاتا ہے۔ امالہ کے قدم میں یہ مان لینا کہ یہ بیان  n = k  کے لئے درست ہے امالہ کا مفروضہ (Inductive hypotesis) کہلاتا ہے ۔

مثال کے طور پر ریاضی میں لگاتار اس فارمولے کی کھوج کی جاتی ہے جو اس طریقہ میں موزوں ہو۔

یہ بات نوٹ کرنے کی ہے کہ پہلے دو طبعی طاق اعداد کا جوڑ دوسرے طبعی عدد کے مربع کے برابر ہے، پہلے تین طبعی طاق اعداد کا جوڑ، تیسرے طبعی عدد کے مربع کے برابر ہے وغیرہ، اس طرح اس طریقہ سے ہمیں ملتا ہے

اس طرح پہلے ’n‘  طبعی طاق اعداد کا جوڑ ’n‘ کے مربع کے برابر ہے۔

ہمیں لکھنا ہے

ہم یہ ثابت کرنا چاہتے ہیں کہ P(n) سبھی nکیلئے درست ہے۔

ریاضی کے امالہ (Mathematical Induction)میں اسے ثابت کرنے کیلئے سب سے پہلا قدمP(1)کو صحیح ثابت کرنا ہے۔ اس قدم کو بنیادی قدم کہتے ہیںعام طور پر اس کا مطلب P(I) صحیح ہے۔ دوسرے قدم کو Inductive Step کہتے ہیں یہاںہم یہ مان لیتے ہیں کہ (P(k کسی مثبت صحیح عدد 'K' کیلئے درست ہے اور ہمیں اس کی ضرورت ہوتی ہے کہ ہم(P(k + 1 کو بھی صحیح ثابت کریں۔

کیونکہ( P(k صحیح ہے ۔ ہمارے پاس ہے۔

(1)کا استعمال کرنے پر)

اس لئے (P(k+1 صحیح ہے اور Inductive proof اب مکمل ہے ۔

اس لئے (P(n تمام طبعی اعداد 'n'کیلئے درست ہے۔

 سبھی ثابت کیجئے۔

  مان لیا دیا ہوا بیان (P(n ہے۔اس لئے،

مان لیجئے (P(kکسی مثبت صحیح عدد ’k‘ کیلئے درست ہے۔

اب ہم یہ ثابت کر سکتے ہیں کہ P(k + 1) بھی درست ہے۔ اب ہمارے پاس ہے

اس لئے (P(k + 1صحیح ہے، جبکہ P(k) درست ہو۔ 

اس لئے ریاضی کے امالی اصول سے بیان (P(n تمام طبعی اعداد N کیلئے درست ہے۔

 ثابت کیجئے کہ تمام مثبت صحیح اعداد ’n‘ کیلئے2n>n

   مان لیجئے P(n):2">n" 

مان لیجئے (P(k تمام مثبت صحیح اعداد kکیلئے درست ہے 

اب ہم یہ ثابت کریں گے (P(k + 1 درست ہے جبکہ (P(k درست ہے 

(i) کو دو نوں طرف 2 سے ضرب کرنے پر ، ہمیں حاصل ہوتا ہے۔

اس لئے (P(k + 1درست ہے جبکہ (P(k درست ہے۔ اسلئے ریاضی کے امالی اصول سے بیان (P(n سبھی طبعی اعداد 'n' کیلئے درست ہے۔

 تمام n≥1 کیلئے ثابت کیجئے

ہم یہ نوٹ کرتے ہیں کہ: جو صحیح ہے ، اسلئے n = 1 کیلئے (P(n درست ہے۔

مان لیجئے کسی بھی طبعی اعداد k کیلئے (P(k درست ہے 

اس سے ملتا ہے 

ہمیں یہ ثابت کرنے کی ضرورت ہے (P(k + 1 درست ہے جب کہ (P(k بھی درست ہو۔ہمارے پاس ہے

اس لئے (P(k + 1 درست ہے جبکہ (P(k درست ہے، اس لئے ریاضی کی امالی اصول سے (P(n تمام طبعی اعداد کے لئے درست ہے۔

تمام مثبت صحیح اعداد’n‘ کیلئے ثابت کیجئے کہسے تقسیم ہوتاہے۔

    ہم لکھتے ہیں  سے تقسیم ہوتا ہے 

ہم نوٹ کرتے ہیں کہ

 جو کہ 4 سے تقسیم ہوتا ہے۔ اسلئے n = 1 کیلئے (P(n درست ہے۔ 

مان لیجئے کسی طبعی عدد k  کیلئے (P(k درست ہے۔ 

اب ہماری یہ خواہش ہے کہ ہم یہ ثابت کریں کہ (P(k + 1 درست ہے جبکہ (P(k درست ہے 

ہم آخری لائن سے یہ دیکھتے ہیں کہ  سے تقسیم ہوتا ہے۔ اس لئے (P(k + 1 درست ہے، جبکہ (P(k درست ہے۔ اس لئے ریاضی کے امالی اصول کا بیان تمام مثبت صحیح اعداد کیلئے درست ہے۔

  تمام طبعی اعداد’n‘ کیلئے ثابت کیجئے

  مان لیا (P(nایک دیا ہوا بیان ہے۔

ہم یہ نوٹ کرلیں کہ n = 1 کیلئے (P(n درست ہے۔ کیونکہ  کیلئے

مان لیجئےصحیح ہے۔

ہم یہ ثابت کرنا چاہتے ہیں کہ (P(k + 1صحیح ہے x>-1کیلئے جہاں (P(k صحیح ہے۔(2)...     

تماثل کو دیکھئے 

دیا ہوا ہےکو استعمال کر کے ہمارے پاس ہے۔

یہاںk ایک طبعی عدد ہے اور x2≥0  اس لئے  x2≥0اس لئے

 

اور اس طرح ہمیں ملتا ہے

اس لئے بیان (2)  وجود میں آگیا ہے۔ اس طرح تمام طبعی اعداد کیلئے (P(n درست ہے ، ریاضی کے امالی اصول کی وجہ سے۔

ثابت کیجئے  سے تقسیم ہوتا ہے تمام n≥1کیلئے 

    مان لیجئے، بیان (P(n اس طرح defineہوتا ہے۔

سے تقسیم ہوتا ہے۔

ہم یہ نوٹ کرلیں کہ (P(n)یح ہے n = 1 کیلئے کیونکہ

 جو کہ 24 سے تقسیم ہوتا ہے۔

مان لیجئے (P(kدرست ہے

اب ہماری یہ خواہش ہے کہ ہم یہ ثابت کریں کہ (P(k + 1 صحیح ہے جب کہ (P(k صحیح ہے۔

ہمارے پاس ہے

[(کیوں؟)4 کا ضرب ہے

rکوئی طبعی عدد ہے 

دی ہوئی (expression q(2کی دائیں طرفسے تقسیم ہوتی ہے۔اس لئے (P(k + 1 درست ہی جبکہ (P(k درست ہو۔

اس لئے ریاضی کی امالی اصول کی روح سے (P(n تمام∋N کیلئے درست ہے 

   ثابت کیجئے کہ

        مان لیجئے (P(n دیا ہوا بیان ہے 

ہم یہ نوٹ کرلیں کہ n = 1کیلئے  (P(nدرست ہے کیونکہ 

مان لیجئے کہ (P(k صحیح ہے 

اب ہم یہ ثابت کریں گے کہ (P(k + 1 درست ہے جبکہ (P(k درست ہے 

ہمارے پاس ہے 

اس لئے (P (k + 1بھی صحیح ہے جبکہ (P(k صحیح ہو۔ اس لئے ریاضی کے امالی اصول کی روح سے تمام n∈N کیلئے(P(n درست ہے۔

 ریاضی کے امالی اصول کی روح سے قوت نما کا اصول ثابت کیجئے۔

مان لیجئے(P(n دیا ہوا بیان ہے۔

ہم یہ نوٹ کرلیں کہ n=1 کیلئے (P(n درست ہے۔ کیونکہ 

مان لیجئے (P(k درست ہے

ہم اب یہ ثابت کریں گے کہ (P(k + 1درست ہے جبکہ (P(k درست ہو 

اب ہمارے پاس ہے

اس لئے (P(k + 1بھی درست ہے جبکہ (P(k درست ہے۔ اس لئے ریاضی کے امالی اصول کی روح سے تمام n∈N   کیلئے (P(n درست ہے۔

تمام n∈N کیلئے مندرجہ ذیل کو ریاضی کے امالی اصول کا استعمال کرکے ثابت کیجئے۔