5.2  پیچیدہ اعداد (Complex Numbers)

(a+ib) کی شکل کا نمبر جہاں a اور b حقیقی اعداد میں پیچیدہ عدد کہلاتا ہے۔مثال کے طور پر پیچیدہ اعداد ہیں۔

پیچیدہ عدد z=a+ibمیں a حقیقی حصہ کہلاتا ہے اور اسے Re z  سے ظاہر کیا جاتا ہے اور b تصوری (خیالی)حصہ کہلاتا ہے اور اسے Im z  سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ مثال کے طور پر اگر ہوگا۔

دو پیچیدہ اعداد  اس وقت برابر ہوں گے جبa=c اور b=d ہوگا۔

مثال1

اگرحقیقی اعداد ہیں تو x اور y کی قیمت معلوم کرو۔

حل 

 ہمارے پاس ہے 

حقیقی اور خیالی حصوں کو برابر کرنے پرہمیں ملتا ہے

جس کو حل کرنے پر ہمیں ملتا ہے

5.3  پیچیدہ اعداد کا الجبرا  (Algebra of Complex Numbers)

5.3.1  دو پیچیدہ اعداد کا جوڑ  (Addition of two complex number)

مان لیجئے  اور  کوئی دو پیچیدہ اعداد ہیں۔ تب  کا جوڑ اس طرح دکھایا جائے گا۔ جو کہ پھر ایک پیچیدہ عدد ہے۔

مثال کے طور پر 

(i) بندشی قانون (Closure law)  دو پیچیدہ اعداد کا جوڑ ایک پیچیدہ عدد ہے ایک پیچیدہ عدد ہے تمام z2، z1 پیچیدہ اعداد کے لئے۔

 

(iv)  جمعی تماثلی کا وجود (The existence of additive identity)   ایک پیچیدہ عدد  (جسے 0 سے ظاہر کرتے ہیں) موجود۔ جسے ہم جمعی تماثلی کہتے ہیں یا صفر پیچیدہ عدد۔ اس طرح ہر پیچیدہ عدد z کے لئے 

z=a+ibے لئے ہمارے پاس پیچیدہ عدد موجود ہے جسے ہم (z-) سے ظاہر کرتے ہیں،

  جمعی معکوس یا z کا منفی کہلاتا ہے۔ ہم یہ دیکھتے ہیں کہ  (جمعی تماثل)

5.3.2  (Difference of two complex numbers)

دو دیے ہوئے پیچیدہ اعداد z2-z1کے لیے فرق z1-z2 کو ا س طرح define کیا جاتا ہے۔

5.3.3  دو پیچیدہ اعداد کی ضرب  (Multiplication of two complex numbers)

مان لیجئےکو بھی دو پیچیدہ اعداد ہیں۔ تب z1 اور z2ی ضرب اس طرح بیان کی جائے گی۔

 (1 سے ظاہر ہوتا ہے) وجود میں آتا ہے، ضربی تماثلی کہلاتا ہے، اس طرح z1=z پر پیچیدہ عدد  z  

 کے لئے، ہمارے پاس پیچیدہ عدد ہے  سے ظاہر 

ہوتا ہے) کا ضربی معکوس کہلاتا ہے۔ اس طرح  (ضربی تماثلی)

5.3.4  دو پیچیدہ اعداد کی تقسیم  (Division of two complex numbers)

دیے ہوئے دو پیچیدہ اعداد z1 اور z2 کے لیے جہاں z2≠0 خارج قسمت (the quotient)  اس طرح define کیا گیا ہے

5.3.5  iکی قوت  (Power of i)

5.3.6  منفی حقیقی عدد کے جزر  (The square roots of a negative real number)

اب ہم یہ دیکھ سکتے ہیں کہi اور i- دونوں مساوات کے حل ہیں۔

دوبارہ ،علامت 3- √ مطلب ہے صرف

عام طور پر اگر a ایک مثبت حقیقی عدد ہے،

ہم پہلے سے ہی جانتے ہیں کہ  تمام مثبت حقیقی اعداد a اور b کے لیے۔ یہ نتیجہ اس وقت بھی 

صحیح ہے جب یا تو ہمیں جانچ کرنی چاہئے۔

اس لیے اگر دونوں a اور b منفی حقیقی اعداد ہیں تو 

اس لیے آگے، اگرa اور b صفر ہیں تو صاف طور پر 

5.3.7  تماثلات  (Identities)

، تمام پیچیدہ اعداد z1 اور z2 کے لئے۔

5.4  ایک پیچیدہ عدد کا مقیاس اور زوجی

 (The modulus and the conjugate of a complex number) 

مان لیجئے ایک پیچیدہ عدد ہے۔ تب zکا مقیاس (modules)جسےظاہر کیا جاتا ہے اسے غیر منفی حقیقی عدد  اورzکا زوجی (Conjugate)جسے  سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ a-ibپیچیدہ ہے۔

مثال 5

حل

 

مثال6 

مشق 5.1

5.5  آرگنڈ مستوی اور قطبی تعبیر (اظہار)  (Argand Plane and Polar Representation)

کچھ پیچیدہ اعداد جیسے  اور مرتب جوڑےاور کے مطابق بالترتیب مطابق ہیں جیومیٹری کلی نقطہ E' D' C' B' A اور Fسے دکھا یا گیا ہے شکل 5.1 میں ۔

حالانکہ، آرگنڈمستوی میں پیچیدہ عدد کا مقیاس (modulus) نقطہP(x,y) اورO(0,0) کے درمیان فاصلہ ہے ۔ شکل 5.2 دیکھئے، x-axis پر نقطہ پیچیدہ اعدادa+i0کے مطابق میں اور y-axis پر نقطہ پیچیدہ اعداد شکل0Iibکے مطابق ہیں ۔ آرگنڈمستوی میں x-axisاور y-axis کو بالترتیب حقیقی محور (Real axis) اور خیالی محور (Imagenary axis) کہا جاتا ہے۔

5.5.1  ایک پیچیدہ عدد کا قطبی اظہار (Polar representation of a complex number)

مان لیجئے ایک نقطہ  Pغیرصفر پیچیدہ عدد z=x+iyکو ظاہر کرتا ہے۔ مان لیجئے سمتی قطعہ خط OP کی لمبائی r  ہے اور یہ x-axis کی مثبت سمت کے ساتھ زاویہ θبنا تا ہے۔شکل5.4

ہمارے پاس ہےاور اسلئے  بعد والا پیچیدہ عدد کی قطبی شکل کہلا تا ہے۔ یہاں  کا مقیاس (modules)ہے اورθجسے ہم zکا argument یا دلیل (amplitude)کہتے ہیں، اور اسے arg z سے ظاہر کرتے ہیں۔

کسی بھی پیچیدہ  عددz≠0 کیلئے "θ"کی صرف ایک قیمت ہوتی ہے جہاںہو ۔ حلانکہ کوئی بھی دوسرا وقفہ جس کی لمبائی 2n ہو، مثال کے طور پراس طرح کا ایک وقفہ ہو سکتا ہے۔ ہم θ کی ایسی قیمت لیں گے تاکہ ، اسے z کا  Principal argument کہا جاتا ہے اور arg z سے ظاہر کیا جاتا ہے جب تک دوسری طرح سے واضح نہ کیا جائے۔ ( شکل 5.5 اور5.6 دیکھئے)

مثال 7 

حل

  مان لیا

مشق 5.2 

5.6  دو درجی مساوات  (Quadratic equations)

  ساتھ ہی ہم مانتے ہیں کہ

اس وقت کچھ لوگ اس بات کو جاننے میں دلچسپی رکھتے ہوں گے کہ ایک مساوات کے کتنے جز ہوں گے؟ اس سلسلے میں ذیل میں دیا گیا الجبرے پر مبنی بنیادی مسئلہ (Fundamental theorem of Algebra)اس طرح ہے ( بغیر ثبوت کے ) -

مشق5.3 

متفرق مثالیں

متفرق مشق

.

خلاصہ (Summary) • a+ibکی شکل کا عدد، جہاں  a اور bحقیقی اعداد ہیں پیچیدہ عدد کہلاتا ہے۔ اس پیچیدہ عدد کاaحقیقی حصہ کہلاتا ہے اور bخیالی ہے۔جسے یاz-1 سےظاہر کیاجاتا ہے ۔zکا ضربی معکوس کہلاتا ہے۔تاکہ • n درجہ والی کثیررکنی مساوات کےnجذر ہوتے ہیں۔

تاریخ کے اوراق سے یہ حقیقت کہ حقیقی اعداد کے نظام میں ایک منفی عدد کا جذر المربع نہیں ہوتا یونان کی دین ہے، لیکن اس کاسہرا ہندوستانی ریاضی داں مہاویرا(850عیسوی)کے سر بندھتا ہے جس نے سب سے پہلے اس شکل کو صاف طور پر بیان کیا۔ وہ اپنی تصنیف  Ganitsasaraمیں بیان کرتا ہے کہ چیزوں کی قدرت میں ایک منفی (مقدار) ایک مربع (مقدار) نہیں ہوتی، یعنی اس کا کوئی جذر المربع نہیں ہوتا۔ ایک دوسرا ریاضی داں بھاسکر اپنی تصنیف Bigaganitaجو 1150عیسوی میں لکھی گئی ہیں، لکھتا ہے کہ منفی مقدار کا کوئی جذر المربع نہیں ہوتا کیونکہ یہ ایک مربع نہیں ہے۔ کارڈن(Cardan)نے (1545)میں درج ذیل مسئلہ کے حل پر غور کیا۔ xy=40,x+y=10 اس نے حل کیا درج بالا مثال کے حل کے طور پر جس کو اس نے یہ کہہ کر رد کردیا ہے یہ اعداد بیکار ہیں۔ البرٹ گرارڈ(Albert Grirad)(1625عیسوی)نے منفی اعداد کے جذر المربع کو قبول کرلیا اور کہا کہ اس سے ہم مساوات کے اتنے ہی جذر معلوم کرسکتے ہیں جتنا اس کا درجہ ہوتا ہے۔ یولر(Euler) پہلا شخص تھا جس نے علامت سے متعارف کرایا اور ڈبلیو۔ آر۔ ہمیلٹن(W.R. Hamilton)نے 1830عیسوی)پیچیدہ عدد a+ibکو حقیقی عدد کے ایک مرتب جوڑ (a,b)سے متعلق کیا۔ اسطرح اس نے ایک خالص ریاضی کی تعریف دی اور تصوراتی اعداد کے استعمال کو ختم کیا۔