باب 6

خطی نامساواتیںLINEAR INEQUALITIES

∴ریاضی وہ فن ہے جو بہت سی اشیاء کو بہت سے الگ الگ طریقوں سے بیان کرتی ہے۔MAXWELL∴

6.1 تعارف (Introduction)

پچھلی جماعتوںمیں ہم نے ایک متغیر اور دو متغیر والی مساواتوں کے بارے میں پڑھ چکے ہیں اور ساتھ ہی کچھ عبارتی مسئلہ بھی مساوات کی شکل میں ترجمہ کر کے حل کئے ہیں اب ایک فطری سوال پیدا ہوتا ہے کہ ’’ کیا ایک بیانی مسئلہ کو ہمیشہ مساواتی شکل میں لکھا جا سکتا ہے؟ مثال کے طور پر آپ کی کلاس میں تمام طلباء کا قد 160 سم سے کم ہے۔ آپ کے کلاس روم میں زیادہ سے زیادہ 60 میزیں یا کرسیاں یا دونو ں آ سکتی ہیں۔ یہاں بھی کچھ بیانات میں ایک نشان ملتا ہے' ≥' (اس سے کم ) '≤'(اس سے زیادہ ) ' ≥' (اس سے کم یا برابر ) اور'≤'(اس سے زیادہ یا برابر) جو نامساواتیں کہلاتی ہیں۔

اس سبق میں ہم ایک متغیر اور دو متغیر والی مساداتیں پڑھیں گے۔ نامساواتوں کی پڑھائی سائنس، ریاضی، شماریات (Statistics) پر امید مسئلہ،معاشیات،علم نفسیات کے میدانوں مسئلوں کو حل کرنے میں اہم رول ادا کرتی ہے۔

6.2 نا مساوات (Inequalities)

ہمیں مندرجہ ذیل صورت حال پر غور کرنا چاہئے

(i) روی200 روپئے لیکر بازار چاول خریدنے جاتا ہے جو کہ ایک کلو گرام میں پیکٹ میں موجود ہیں ایک پیکٹ چاول کی قیمت 30 روپئے ہے۔ اگر چاول کے پیکٹ کی تعداد x ہے جو وہ خریدتا ہے تو اس کے ذریعے خرچ کی جانے والی کل رقم Rs 30x ہے کیونکہ اسے چاول صرف پیکیٹوں میں ہی خریدنے ہیں اس لیے وہ پوری رقم 200روپئے خرچ نہیں کر پائے گا (کیوں ؟)اس لیے

صاف طور پر بیان (1) ایک مساوات نہیں ہے کیونکہ اس میں برابری کا نشان موجود نہیں ہے (ii) ریشماں کے پاس 120 روپئے ہیں اور وہ کچھ رجسٹر اور پین خریدنا چاہتی ہے ۔ ایک رجسٹر کی قیمت 40روپئے ہے اور ایک پین کی قیمت 20 روپئے ہے اگر اس صورت حال میں x رجسٹر کی تعداداور y پینوںکی تعداد کو ظاہر کرتے ہیں جو ریشما خریدتی ہے تو اس نے کل (40x + 20y)روپئے خرچ کیے اور ہمارے پاس ہے

کیونکہ اس صورت حال میں کل خرچ کیا گیا روپیہ 120روپے تک ہو سکتا ہے یہ بات نوٹ کر لیجئے کہ بیان (2)میں دو بیان موجود ہیں۔

بیان (3) ایک مساوات نہیں ہے i.e ایک نا مساوات جبکہ بیان (4) ایک مساوات ہے ۔

تعریف 1

دو حقیقی اعداد یا دو الجبری عبارتیں علامات

نا مساوا ت سے وابستہ ہیں ۔

اوپر دئے ہوئے بیانات (1) ،(2)اور(3) نا مساواتیں ہیں۔

عددی نا مساواتوں کی مثالیں ہیں جبکہ

حروف بحروف نامساواتوں کی مثالیں ہیں۔

7>5>3 (اسطرح پڑھا یاجاتا ہے کہ 5 بڑا ہے 3 اور چھوٹا ہے 7سے)

( اس طرح پڑھایا جاتا ہے کہ x بڑا ہے یا برابر ہے 3 کے اور چھوٹاہے 5 سے ) اور

دوہری نامساواتوں کی مثالیں ہیں ۔

نا مساواتوں کی کچھ اور مثالیں یہ ہیں :

نا مساواتیں (5،(6) (9) (10) اور (14) واضع نا مساواتیں ہیں جبکہ نا مساواتیں (7) (8) (11) اور سست (کاہل ) نا مساواتیں ہیں نامساواتیں (5) سے (8) تک ایک متغیر x ہیں خطی نا مساواتیں ہیں جہاں

، جبکہ نا مساواتیں (9) سے (12) تک دو متغیر xاور yْ میں خطی

نا مساواتیں ہیں جہاں

نا مساواتیں (13) اور (14) خطی نہیں ہیں ( در حقیقت میں یہ ایک متغیر ہیں دو درجی نامساواتیں ہیں جبکہ

اس سبق میں ہم صرف ایک اور دو متغیر والی خطی نامساواتوں کے بارے میں پڑھیں گے۔

6.3 ایک متغیر والی خطی نا مساواتوں کے الجبری حل اور انہیں گراف کے ذریعے دکھانا

Algebraic Solution of Linear Inequalities in One Variable and their Graphical Representation

ہم سیکشن 6.2 کی نا مساوات (i) پر غور کر تے ہیں ۔مطلب 30x<200

یہ نوٹ کر لیجئے کہ یہاں x چاولوں کے پیکٹ کی تعداد کو بتاتا ہے۔

ظاہر ی طور پر x ایک منفی صحیح عدد یا ٹکڑا نہیں ہو سکتا ۔ اس نا مساوات کی 30x,L.H.Sہے اور 200, R.H.Sہے اسلئے ہمارے پاس ہے

اوپری صورت حال میں ہمیں xکی وہ قیمتیں میں ہی جو نا مساوات کو ایک صحیح بیان دیتی ہیں اور وہ 6,5,4,3,2,1,0 ہیں ۔ xکی یہ قیمتیں جو اوپری نامساوات کو صحیح بیان بناتی ہیں نامساوات کے حل کہلاتی ہیں اور سیٹ {0,1,2,3,4,5,6} اسکا حل سیٹ کہلاتا ہے ۔

اس لیے ایک نا مساوات کا کوئی بھی حل ایک متغیرمیں متغیر کی قیمت ہے جو اسے صحیح بیان بنادیتاہے ۔

ہم نے اوپر نا مساوات ہے حل بار بار کرنا اور غلطی نکالنے (trial and error method) والے طریقے سے نکالے ہیں جو زیادہ اثر انداز نہیں ہے ۔ ظاہر ہے اس طریقہ میں بہت زیادہ وقت لگتا ہے اور کئی بار نا ممکن ہے ہمارے پاس نا مساواتوں کو حل کرنے کیلئے کچھ اچھے یا نظامی طریقہ ہونے چاہئے ۔اس سے پہلے ہمیں عدی نا مساواتوں کے بارے میں بہتر جانکاری ہونی چاہئے اور انہیں اصول کی شکل میں ماننا چاہئے جب ہم نا مساواتوں کو حل کریں گے۔

ہمیں وہ خطی مساواتوں کو حل کرتے وقت یاد رکھنے ہوں گے ،آپ مندرجہ ذیل اصول اپنائیں گے :

اصول 1

ایک مساوات کے دونو ں طرف برابر اعداد کو جمع کیا ( یا گھٹایا ) جا سکتا ہے ۔

اصول 2

ایک مساوات کے دونوں طرف ایک غیر صفر عدد سے ضرب یا (تقسیم ) کیا جا سکتا ہے ۔

نا مساواتوں کو حل کرنے میں بھی ہم یہی اصول اپنا تے ہیں صرف اس میں اصول 2 میں یہ فرق ہوتا ہے کہ نا مساوات کا نشان پلٹ جاتا ہے (یعنی>،< ہو جاتا ہے≥ا نشان≤ (ہو جاتا ہے وغیرہ ) جب کبھی بھی ہم نامساوات کے دونوں طرف کسی منفی عدد سے ضرب یا (تقسیم ) کرتے ہیں اس اصول سے یہ صاف ظاہر ہے کہ

2<3جبکہ 2->3-

اسلئے ،ہم نا مساوات کے حل کرنے کیلئے مندرجہ ذیل اصول بیان کرتے ہیں ۔

اصول3

ایک نا مساوات کے دونوں طرف برابر نمبر جمع یا (گھٹائے ) جا سکتے ہیں جس سے نامساوات کے نشان ہر کوئی اثر نہیں پڑے گا۔

اصول4

نامساوات کو دونوں طرف کسی بھی یکساں مثبت عدد سے ضرب یا (تقسیم ) کیا جا سکتا ہے ۔لیکن جب دونوں طرف کسی بھی منفی عدد سے ضرب یا تقسیم کیاجاتا ہے تو نامساوات کا نشان بدل جاتاہے۔

اب ہمیں کچھ مثالیں پر غور کرنا چاہئے ۔

مثال1

3x<200 کو حل کیجئے جبکہ

حل

ہم دیا ہواہے 30x<200

(i) جب x ایک طبعی عددہے اس کیس میں x کئی مندرجہ ذیل قسمیں بیان کو صحیح قرار دیتی ہیں ۔

1,2,3,4,5,6

نا مساوات کا حل سیٹ {1,2,3,4,5,6} ہے

(ii) جب xایک صحیح عدد ہے، اس کیس میں دی ہوئی نامساوات کے حل

ہیں نامساوات کا حل سیٹ ہے۔

مثال 2 کو حل کیجئے، جبکہ

(i) جب xایک صحیح عدد ہے تو دی ہوئی نا مساوات کے حل ہیں۔

(ii) جب xایک حقیقی عدد ہے، تو دی ہوئی نامساوات کی حلx>2سے دیے گئے ہیں اس کا مطلب ہے وہ تمام حقیقی اعداد جو 2سے کم ہیں۔ اس لیے نامساوات کا حل سیٹ ہے

ہم نے نامساواتوں کے حل طبعی اعداد کے سیٹ، صحیح اعداد کے سیٹ اور حقیقی اعداد کے سیٹ میں غور کیے ہیں۔ اب جب تک کے بیان نہ دیاجائے ہم اس سبق میں نامساواتوں کو حقیقی اعداد کے سیٹ میں ہی حل کریں گے یعنی ہمارا علاقہ حقیقی اعداد ہوگا جب تک بتایا نہ جائے۔

یعنی اس کا مطلب ہے وہ تمام حقیقی اعداد جو 2 –سے بڑے ہیں دی ہوئی نامساوات کے حل ہیں اس لیے اس کا حل سیٹ

ہے۔

حل ہمارے پاس ہے۔

یعنی وہ تمام حقیقی اعداد xجو بڑے ہیں یا برابر ہیں 8 کے دی ہوئی نامساوات کے حل ہیں یعنی

مثال5

کو حل کیجئے ، حلوں کے گراف کو عددی خط پر دکھا ئیے۔

حل ہمارے پاس ہے

حلوں کا گرافی اظہار شکل6.1 میں دیا گیا ہے ۔

مثال 6 کو حل کیجئے ۔ حلوں کا گراف عددی خط پر دکھایئے ۔

حل

ہمارے پاس ہے

حلوں کا گرافی اظہار شکل 6.2 میں دیا گیا ہے ۔

مثال 7 ایک گیارویں کلاس کے طالب علم نے پہلے اور دوسرے ٹرمینل امتحان میں بالترتیب 62 اور48 نمبر حاصل کیے۔ سالانہ امتحان میں وہ کم سے کم کتنے نمبر حاصل کرے تاکہ اوسطاً اس کے 60 نمبر ہوں ۔

حل مان لیا سالا نہ امتحان میں طالب علم X نمبر حاصل کرتا ہے ، تب

اس لئے، طالب علم کو کم سے کم 70 نمبر حاصل کرنے ہوں گے تا کہ اوسطاً نمبر60 ہوں ۔

مثال8 لگاتار طاق طبعی اعداد کے وہ تمام جوڑے معلوم کیجئے جو 10 سے زیادہ ہیں تا کہ ان کا جوڑ 40 سے کم ہو۔

حل ما ن لیجئے x دو لگاتار طاق طبعی اعداد میں چھوٹا ہے تا کہ دوسرا x+2 ہو ، تب ہمارے پاس ہوگا ۔

(2) کو حل کرنے پر ہمیں حاصل ہوتاہے ۔

(1) اور (3 ) سے ہمیں حاصل ہوتا ہے ۔

کیونکہ x ایک طاق عدد ہے اس لئے x کی قیمتیں11،13،15اور17 ہو سکتی ہیں ۔ اس لئے درکار ممکن جوڑے (11,13)،(13,15)، (15,17)اور(19,17) ہوں گے۔

مشق 6.1

1۔ 24x<100 کو حل کیجئے جب کہ

حقیقی اعداد x کیلئے ذیل کے نا مساوات 5تا16 حل کیجئے

17 سے 20 تک کی نامساواتوں کو حل کیجئے اور ان میں سے ہر ایک کے حل کے گراف عددی خط پر دکھایئے۔

21 ۔ پہلے دو وحدانیہ unit ٹیسٹوں میں روی نے 70 اور 75 نمبر حاصل کئے۔ تیسرے ٹیسٹ میں وہ کم سے کم کتنے نمبر حاصل کرے تاکہ اس کا اوسط 60 نمبر ہو۔

22 . کسی کو رس میں A گریڈ (درجہ) حاصل کرنے کیلئے اوسطاً 90 یا اس سے زیادہ نمبر 5 امتحانوں ہر ایک 100 نمبر کا ہے میں درکار ہیں ۔ اگر سنیتا کے چار امتحانوں میں 94,92,87 اور 95 نمبر ہیں ، تو سنیتا پانچویں امتحان میں کم سے کم کتنے نمبر حاصل کرے تاکہ اسے کورس میں A گریڈ حاصل ہوجائے ۔

23. لگاتار طاق مثبت صحیح اعداد کے وہ تمام جوڑے معلوم کیجئے جو دونوں 10 سے کم ہیں اور ان کا جوڑ 11سے زیادہ ہے ۔

24. گأتار جفت مثبت صحیح اعداد کے وہ تمام جوڑے معلوم کیجئے جو دونوں 5سے بڑے ہوں اور ان کا جوڑ 23 سے کم ہو۔

25. ایک مثلث کا سب سے بڑا ضلع سب سے چھوٹے ضلع کا تین گناہے ۔ اور سب سے بڑا ضلع تیسرے ضلع سے 2سم زیادہ ہے۔ اگر مثلث کا احاطہ کم سے کم 61سم ہے ۔ سب سے چھوٹے ضلع کی کم سے کم لمبائی معلوم کیجئے ۔

26. ایک آدمی ایک بورڈ جسکی لمبائی 91 سم ہے سے تین ٹکڑے (لمبائیاں) کاٹنا چاہتا ہے ۔ دوسری لمبائی سب سے چھوٹی لمبائی سے 3 سم زیادہ اور تیسری لمبائی سب سے چھوٹی لمبائی سے دو گنی ، سب سے چھوٹے بورڈ کی ممکن لمبائیاں کیا ہوں گی اگر تیسرا ٹکڑا دوسرے ٹکڑے سے کم سے کم 5 سم لمبا ہو؟

[اشارہ: اگر سب سے چھوٹے بورڈ کی لمبائیxہو تب دوسرے اور تیسرے ٹکڑے کی لمبائیاں بالترتیب (x+3 ) اور2xہوں گی ۔ اس لیئے

6.4 د و متغیروں میں خطی نامساواتوں کا گرافی حل:

Graphical Solution of Linear Inequalities in Two Variables.

پچھلے سیکشن میں ہم یہ دیکھ چکے ہیں کہ ایک متغیر والی نامساوات کا گراف ایک دکھائی دینے والا اظہار ہے اور نامساوات کے حل کو ظاہر کرنے کا آسان طریقہ ہے۔ اب ہم دو متغیروں والی نامساوات کے گراف پر بحث و مباحثہ کریں گے۔

ہم یہ جانتے ہیں کہ ایک خط کار تیزی مستوی کو دو حصوں میں بانٹا ہے۔ ہر ایک حصہ آدھی مستوی کہلاتا ہے۔ ایک راسی(vertical)خط مستوی کو بائیں اور دائیں آدھی مستوی میں باٹیں گے اور غیر راسی خط مستوی کو نچلے اور اوپری آدھی مستوی میں بانٹیں گے (شکل 6.3اور 6.4)

کار تیزی مستوی میں ایک نقطہ یا تو خط پر ہوگا یا پھر دونوں آدھی مستوی IیاIIپر ہوگا۔ اب ہم مستوی میں نقاط اور نامساواتوں ax+by<c یا ax+by>cکے بیچ اگر کوئی رشتہ ہے تو اس کی جانچ کریں گے۔

اب ہم اس خط کو لیتے ہیں۔

یہاں تین ممکنات ہیں

(ax+by<c (iii) ax+by>c (ii) ax+by=c (i

کیس(i)میں صاف طورپر تمام نقطے (x,y)جو (i)کو مطمئن کرتے ہیں اس خط پر ہیں جو یہ اظہار (دکھاتے) ہیں اور اس کے برعکس کیس (ii)پرغور کیجئے، ہم پہلے مانتے ہیں کہ b>0 ایک نقطہ

پر لیجئے۔ تاکہ

ایک اختیاری (arbitrary) نقطہ

آدھی مستوی iiمیں لیجئے (شکل6.5)

اب شکل 6.5سے ہم یہ ترجمانی کرتے ہیں۔

y<β (کیوں؟)

یا by<bβ

یا aa+by<aa+bβ (کیوں؟)

یا aa+by>cیعنی اس کا مطلب ہے (Q(a,y نا مساوات ax+by>c کو مطمئن کرتا ہے۔

اس طرح اگرکوئی بھی نقطہ آدھی مستوی IIمیں موجود ہےax+by>c کو مطمئن کرتا ہے، اور اس کے برعکس کوئی بھی نقطہ جو نامساوات ax+by>c کو مطمئن کرتا ہے آدھی مستوی IIمیں واقع ہے۔

اگر b<0 ہے تو اس حالت میں یکساں طورپر ہم یہ ثابت کرسکتے ہیں کہ کوئی نقطہ جو ax+by<c کو مطمئن کرتا ہے آدھی مستوی Iمیں واقع ہے اور اس کے برعکس۔

اس طرح ہم اس نتیجے پر پہنچے ہیں کہ وہ تمام نقاط جو ax+by>c کو مطمئن کرتے ہیں آدھی مستوی IیاIIمیں واقع ہیں اور b>0 یا b<0 پر مبنی ہے اور اس برعکس۔

اس طرح نا مساوات ax+by>0 کا گراف ایک آدھی مستوی ہوگا (جسے ہم حل کی حد کہیں گے) اور اس کا اظہار ہم مطلوبہ آدھی مستوی میں شیئر کرکے کریں گے۔

نوٹ 1وہ خطہ (علاقہ)جن میں نامساوات کے تمام حل موجود ہوں خطہ حل کہلاتا ہے۔
2. نامساوات کے اظہار کے ذریعہ آدھی مستوی کی شناخت کے لیے یہ کافی ہے کہ کوئی بھی نقطہ (a,b)لیجئے (جو خط پر نہیں ہو)اور یہ جانچ کیجئے کہ کیا یہ نامساوات کو مطمئن کرتا ہے یا نہیں۔ اگر یہ مطمئن کرتا ہے تب نامساوات آدھی مستوی کا اظہارکرتی ہے اور اس خطہ کو شیئر کردیجئے جس میں نقطہ واقع ہے ورنہ نامساوات اس آدھی مستوی کا اظہار کرے گی جس میں نقطہ موجود نہیں ہے۔ آسانی کے لیے نقطہ (o,o)کو ترجیح دی گئی ہے۔
3. اگرکوئی نامساوات ax+by≥cیاax+by≤cکی طرح کی ہے، تب خط ax+by=cپر موجود نقاط خطہ حل میں بھی شامل ہیں۔ اس لیے خطہ حل میں ایک گہری لائین (خط) کھینچئے۔
4 . اگر کوئی نامساوات ax+by>cیاax+by<cشکل کی ہے، تب خط ax+byپر موجود نقاط خطہ حل میں شامل نہیں ہیں۔ اس لیے خطہ حل میں ٹوٹی ہوئی لائین یا بندی لائین (خط) کھینچئے

سیکسن(حصہ)6.2میں ہمیں ذیل خطی نا مساواتیں حاصل ہوئیں ہیں جو xاور yدو متغیر یں ہیں:

40x+20y≤120 ۔۔۔۔(I)

جب ہم ریشما کے ذریعے خریدے گئے رجسٹرس اور پینوں کے لفظی مسئلہ کا ترجمہ کرتے ہیں۔

اب ہم یہ دھیان میں رکھتے ہوئے کہ xاور yصرف مکمل اعداد ہوسکتے ہیں اس نامساوات کو حل کرتے ہیں، کیونکہ کسی بھی اشیاء کی تعداد نہ تو کسر میں ہوسکتی ہے اور نہ ہی منفی اعداد میں۔اس حالت میں ہم x اورy کے جوڑوں کی قیمتیں نکالتے ہیں جو بیان (1) کو درست بنادیتاہے ۔حقیقت میں اسطرح کے جوڑوں کا سیٹ نامساوات (1)کا حل ہوگا ۔

اس سے شروع کرنے کیلئے ما ن لیجئے x=0تب (i) کی L.H.Sہے

40x+20y = 40(0) +20y =20y

اس لیے ہمارے پاس ہے

x=0کے مطابق y کی قیمتیں صرف 6,5,4,3,2,1,0 ہو سکتی ہیں

اس حالت میں (i) کے حل

مشابہت کے طور پر اگر x=1,2,3ہے تو (i) کے دوسرے حل ہیں

یہ شکل 6.6میں دیکھایا گیا ہے ۔

اب ہمیں x اور y کا حلقہ مکمل اعداد سے حقیقی اعداد تک بڑھانا چاہئے اور یہ دیکھنا چاہئے کہ اس کیس میں (i)کے حل کیا ہوں گے آپ یہ دیکھں گے کہ حل کرنے کا گرافی طریقہ اس کیس میں بہت مدد گار ثابت ہوگا ۔ اس کام کیلئے ہمیں (اس کے مطابق ) مساوات پر غور کرنا چاہیے اور اس کا گراف کھینچنا چاہئے۔

40x+20y=120 ۔۔۔۔(3) نا مساوات (i) کا گراف بنانے کے سلسلے میں ہم آدھی مستوی I میں ایک نقطہ (0,0)(مان لیجئے)۔لیتے ہیں اور یہ جانچ کرتے ہیں کہ کیا x اور y کی قدریں نامساوات کو مطمئن کرتی ہیں یانہیں ۔

ہم نے یہ دیکھاکہ y=0, x=0 نا مساوات کو مطمئن کرتے ہیں ۔اس لیے ہم کہتے ہیں کہ آدھی مستوی نامساوات (مشکل 6.7 میں دیکھایا گیا ہے ) کا گراف ہے کیونکہ خط پر موجود نقاط اوپر نامساوات (i) کو بھی مطمئن کرتے ہیں ، خط بھی گراف کا ایک حصّہ ہے۔

اس لیے دی ہوئی نامساوات کا گراف آدھی مستوی I مع خود خط کے ہے۔ صاف طور پر آدھی مستوی IIگراف کا حصّیہ نہیں ہے اسلئے ، نامساوات (i) کے حل میں اسکے تمام نقطہ جو گراف میں ہیں شامل ہیں (آدھی مستوی I خط کے ساتھ )

اب ہم دومتغیر والی خطی مساواتوں کو حل کرنے کے طریقے پرکچھ مثالوں کو لے کر غور کریں گے

مثال 9

3x+2y<6 کو گراف کے ذریعے حل کیجئے ۔

حل

3x+2y=6کا گراف ایک نقاط والے خط کی شکل میں تصویر 6.8 میں دیا گیا ہے ۔

یہ خط -xy مستوی کو دوبرابر آدمی سویوں IاورII میں باٹتاہے ،،ہم یہ نقطہ چنتے ہیں (جو خط پر نہں ہے )مان لیجئے(0,0)جو ایک آدھی مستوی میں واقع ہے (شکل 6.8) اور یہ معلوم کرتے ہیں کہ کیا یہ نقطہ دی ہوئی نامساوات کو مطمئن کرتاہے ،ہم یہ نوٹ کرتے ہیں کہ

3(0)+2(0)>6

یا 0>6 جوکہ غلط ہے

اس لیے آدھی مستوی I دی ہوئی نامساوات کا حل نہیں ہے ۔ صاف طور پر خط پر موجود کوئی بھی نقطہ دی ہوئی نامساوات کو سختی سے مطمئن نہیں کرتا۔ دوسرے الفاظ میں سایہ دار آدھی مستوی II نامساوات کاخطہ حل ہے جس میں خط پر موجود نقاط نہیں ہیں ۔

مثال10 3x-6≥0کو گراف کے ذریعہ پیمائش والی مستوی میں حل کیجئے ۔

حل 3x-6=0کا گراف شکل 6.9 میں دیا گیا ہے ۔

مان لیا (0,0)ہم ایک نقطہ چنتے ہیں اور دی ہوئی نامساوات میں اسکا مقام بدل کر رکھتے ہیں ہم دیکھتے ہیں کہ

جوکہ غلط ہے ۔

اس لئے حل کا خّطہ x=2کی سیدھے ہاتھ کی طرف سایہ دار خطہ ہے

مثال11 >yکوگراف کے ذریعہ حل کیجئے ۔

حل y=2 کا گراف شکل6.10 میں دیاگیاہے ۔

ہمیں ایک نقطہ (0,0) نیچی آدھی مستوی I میں چننا چاہئے اورy=0 دی ہوئی نامساوات میں دکھنے پرہم دیکھتے ہیں کہ 1*0<2 یا 0<2جو کہ درست ہے ۔

اس لیے خطہ حل خط y=2 کے نیچے سایہ دار خطہ ہے اس لیے ،خطہ کے نیچے ہر نقطہ (خط کے تمام نقطوں کو چھوڑکر ) دی ہوئی نامساوات کا حل نکالتے ہیں ۔

مشق 6.2

ذیل میں دی ہوئی مساواتوں کو گراف کے ذریعہ دو پیمائش والی مستوی میں حل کیجئے

6.5 دو متغیر وں میں خطی نامساواتوں کے نظام کا حل

(Solution of System of Linear Inequalities in Two Variables)

پچھلے سیکشن میں تم نے پڑھاہوگا کہ کسطرح خطی نامساوات کو ایک یا دو متغیر میں گراف کے ذریعے حل کیا جاتاہے ۔ اب ہم کچھ مثالوں کے ذریعے یہ دکھائیں گے کہ کس طرح دو متغیر والی خطی نامساواتوں کے نظام گراف کے ذریعے حل کیا جا تا ہے ۔

مثال 12

ذیل خطی نامساواتوں کے نظام کو گراف کے ذریعے حل کیجئے ۔

حل

خطی مساوات x+y=5 کا گراف شکل 6.11 میں کھینچا گیا ہے ۔

ہم نوٹ کرتے ہیں کہ نامساوات (1)کا حل سایہ دار خطہ سے خطہ x+y=5 کے اوپر دیکھا یا گیا ہے جس میں خط پر موجود نقاط بھی شامل ہیں ۔

محاور(axis) کے اسی سیٹ پر ہم مساوات x-y=3کا گراف کھیچتے ہیں جیسا کہ شکل 6.11 میں دیکھایا گیا ہے ۔پھر ہم یہ نوٹ کرتے ہیں کہ نامساوات (2) سایہ دارخطہ x-y=3 کے اوپر اظہار کرتی ہے جس میں خط پر موجود نقاط بھی شامل ہیں ۔صاف طور پر دوہراسایہ خّطہ اوپر دیتے ہوئے دونوں سایئے والے خطوں میں شامل ہے یہ دی ہوئی نا مساواتوں کے نظام کا مطلوبہ حل ہے۔

مثال 13

ذیل میں دی ہوئی نامساواتوں کو گراف کے ذریعہ حل کیجئے ۔

حل

ہم پہلے خطوں 5x+4y=40،x=2اورy=3 کے گراف کھینچتے ہیں ۔

پھر ہم یہ نوٹ کرتے ہیں کہ نا مساوات (1) خط

5x+4y=40

کے نیچے سایہ دار خطہ کا اظہار کرتی ہے اور نا مساوات (2)خط y=2 کے دائیں طرف سایہ دار خطے کا اظہار کرتی ہے لیکن نامساوات (3)خط y=3 کے اوپر سایہ دار خطہ کا اظہار کرتی ہے ۔ اس لئے سایہ دار خطہ (شکل6.12) جس میں خطوں کے اوپر تمام نقطہ شامل ہیں ۔دی ہوئی نا مساواتوں کے حل ہیں۔

بہت سے تجرباتی حالات میں جن میں نامساواتوں کے نظام شامل ہیں متغیر x اور y عام طور پر مقداروں کا اظہار کرتے ہیں جن کی منفی قدریں نہیں ہوتی مثال کے طور پر حاصل شدہ اکائیوں کی تعداد، خریدی گئی اشیاء کی تعداد ، کتنے گھنٹے کام کیا گیا وغیرہ صاف طور پر اسطرح کے کیسوں میںx≥0,y≥0اور خطہ حل صرف پہلے ربع میں ہے۔

مثال 14

ذیل میں دیئے گئے نا مساواتوں کی نظام کو حل کیجئے ۔

حل ہم خط 8x+3y=100 کا گراف کھینچتے ہیں۔

نا مساوات

لائن کے نیچے سایہ دار خطہ کا اظہار کرتی ہے ،جس میں لائن 8x+3y=100 پر موجودنقطے بھی شامل ہیں (شکل 6.13 )

کیونکہ

ہر نقط، سایہ دار خطہ اور پہلی ربع میں ‘ جس میں خط اور محاور پر موجود نقطہ شامل ہیں ،دی ہونا مساواتوں کے حل کو ظاہر کرتے ہیں۔

مثال 15 ذیل میں دیئے گئے نامساواتوں کے نظام کو گراف کے ذریعہ حل کیجئے

حل ہم خطوط x+2y=8 اور 2x+y=8 کے گراف کھینچتے ہیں نامساوات (1)اور(2) دو خطوط کے نیچے کا خطہ اظہار کرتی ہیں جن میں خطوں پر موجود نقطہ بھی شامل ہیں ۔

کیونکہ سایہ دا ر خطہ میں موجود ہر نقطہ جو پہلے ربع میں ہے دی ہوئی نامساواتوں کے نظام کے حل کوظاہر کرتا ہے۔ (شکل6.14 )

مشق 6.3

ذیل میں دی گئی نا مساواتوں کے نظام کو گراف کے ذریعے حل کیجئے ۔

متفرق مثالیں

مثال16

کو حل کیجئے ۔

حل اس کیس میں ہمارے پاس دونا مساواتیں ہیں ۔

ہیں جو ہم ساتھ ساتھ حل کریں گے ہمارے پاس ہے ۔

جو ا س طرح بھی لکھا جا سکتاہے

مثال18 نامساواتوں کے نظام کو حل کیجئے :

اور حل کو عددی خط پر ظاہر کیجئے۔

حل نامساوات(1) سے، ہمارے پاس ہے

3x-7<5+x

یا x<6 ۔۔۔(3)

ساتھ ہی نامساوات( 2) سے ،ہمارے پاس ہے

11-5x≤-10

یا 5x≤-10-یعنیx≥2 ۔۔۔(4)

اگر ہم نامساواتوں (3 ) اور(4 ) گراف عددی خط پر کھینچنے ہم دیکھتے ہیں کہx کی قیمتیں جو دونوں میں موجود ہیں ۔انہیں موٹے خط سے شکل6.16 میں دیکھاگیاہے ۔

اس لیے حل کا نظام حقیقی اعداد xہیں جو2اور 6کے درمیان ہے جس میں 2 بھی شامل ہے ۔اسکامطلب

مثال19 ایک تجربہ ہیں نمک کے تیزاب کے حل کو°30 اور°35سلیس کے درمیان رکھناہے ۔درجہ حرارت کا خطہ فارن ہائیٹ درجہ میں کیا ہوگا اگر بدلنے کا ضابطہ

کے ذریعے دیا گیاہے ۔جہاںC اور F درجہ حرارت سلیس اور درجہ فارن ہائیٹ کو ظاہر کرتے ہیں۔

حل یہ دیاہوا ہے کہ

رکھنے پر ‘ ہمیں حاصل ہوتا ہے

اس لیے درجہ حرارت کا درکار خطہ

کے درمیان ہے۔

مثال20 ایک صنعت کار کے پاس تیزاب کے %12 حل کی مقدار 600 لیٹر ہیں۔ اس میں%30تیزاب کا حل کتنا ملا یا جائے تا کہ نتیجتاً آمیزہ میں تیزاب کی مقدار 15%سے زیادہ اور %30 سے کم ہو؟

حل مان %30 تیزاب کا مطلوبہ حل x لیٹر ہے جو ملاناہے ۔ تب

کل آمیزہ (x+600)= لیٹر

اس لیے تیزاب کا %30 حل120 لیٹر سے زیادہ اور 300 لیٹر سے کم ہونا چاہئے ۔

متفرق مشق

نامساواتیں مشق 1سے 6 حل کیجئے .

نا مساواتیں مشق 7 تا11 حل کیجئے اور حل گراف کے ذریعے عددی خطاپر ظاہر کیجئے۔

11۔ ایک حل

کے درمیان رکھناہے ۔اس کا خطہ درجہ حرارت میں درجہ سلیس (c)میں کیا ہوگا اگر سلیس /فارن ہائٹ (F) کی تبدیلی کاضابطہ

سے دیا گیا ہے

12۔ ایک %8بورک ایسڈ کا حل %2 بورک ایسڈ کا حل ڈال کر پتلا کرنا ہے ۔نتیجتاً آمیزہ %4سے زیادہ اور %6سے کم بورک ایسڈ ہونا چاہئے اگر

ہمارے پاس 640 لیٹر %8 حل ہو توبتایئے %2حل کا کتنے لیٹر ملانا پڑے گا۔

13۔ 1125 لیٹر %45 حل کے تیزاب میں کتنے لیٹر پانی ملاناپڑے گا تاکہ نتیجتاً آمیزہ میں %25 سے زیادہ اور %30سے کم تیزاب موجود ہو؟

14۔ ایک انسان کی IQ اس ضابطے سے دی گئی ہے

جہاں MAدماغی (زہنی) عمر سے اور CA تواریخ کے مطابق (اصل) عمرہے ۔اگر

سال کے بچوں کے گروپ کیلئے تو ان کی دماغی عمر کا خطہ (سمت ) معلوم کیجئے ۔

خلاصہ (Summary)

• دو حقیقی اعداد یا دو الجبری عبارتیں جو>،<،≥،≤یا علامتوں سے جڑی ہوں ایک نامساوات بناتی ہیں ۔

• نامساوات کے دونوں طرف یکساں(برابر) اعداد کو جوڑا(یاگھٹایا) جا سکتاہے ۔

• نامساوات کو دونوں طرف سے ضرب (یا تقسیم ) یکساں برابر کے مثبت عدد سے کیا جاسکتا ہے لیکن جب دوطرف کو ضرب (یا تقسیم ) کسی منفی عدد سے کی جائے گی تو نامساوات کا نشان پلٹ جائے گا ۔

• Xکی قدر جو نامساوات کو ایک درست بیان بنادے ، نامساوات کے حل کہلاتے ہیں ۔

• x <a (یاX<a)کو ا یک عددی خط پر دیکھانے کیلئے عدد aپر دائرہ کھینچئے اور عدد aکے بائیں ( یادائیں ) طرف خط کوگہرا (dark)کر دیجئے۔

• x≤a(یاx≥a)کو ایک عددی خط پر دیکھانے کے لیے عدد a پر دائرہ کھینچواور عدد کے بائیں (یادائیں ) طرف خط کو گہرا(dark) دیجئے ۔

• اگر ایک نامساوات میں علامت≥یا≤ موجود ہے تب خط پر موجود نقاطی بھی نامساوات کے حل میں شامل ہیں اور نامساوات کا گراف بائیں (نیچے ) یا دائیں (اوپر ) برابری کے گراف پر آتا ہے جسے گہرے خط سے دکھایا جاتاہے جو اس حصہّ میں اختیاری نقط کو مطمئن کرتا ہے ۔

• اگر ایک نامساوات میں علامت <یا> ہے تک خط پر موجود نقاط حل میں شامل نہیں ہونگے اور نامساوات کا گراف دائیں (نیچے) یا دائیں(اوپر) ہوگا اور مساوات کے گراف مطابق dotted lineہے دکھایاجائے گا جو ایک اختیاری نقطہ arbitary point) (کو اس حصہ میں مطمئن کرتاہے ۔

• نامساواتوں کے نظام کاحل کا علاقہ(خطہ) وہ خطہ ہے جو تمام دی گئی مساواتوں کو مطمئن کرتا ہے بیک وقت نظام میں ۔

Explore exams

Menu