مان لیجئے آپ کے پاس ایک سوٹ کیس ہے جس میں نمبر والا تالہ ہے۔نمبر والے تالے میں 10ہند سے جو 0سے 9تک ہیں۔ تالا اس وقت کھولا جا سکتا ہے جب چار خاص ہند سے ایک خاص اور الگ انداز میں ایک تواتر میں ہوں۔کسی طرح آپ اس ہند سوں کے خاص تواتر کو بھول جا تے ہیں۔ آپ کو صرف پہلا ہندسیہ یاد رہتا ہے جو7ہے ۔ تالے کو کھولنے کیلئے آپ کسی تین ہندسوں والے تواتر کی جانچ کریں گے۔ اسکاجواب دینے کیلئے آپ فوراًباقی 9اعداد کولے کر تمام ممکن ترتیبوں کی فہرست بنانا شرو ع کر دیں گے جہاں تین ہندسے ایک ساتھ ہوں۔ لیکن یہ طریقہ بہت ہی پریشانی والا اور مشکل ہے کیونکہ تواتروں کی ممکن تعداد بہت زیادہ ہو سکتی ہے۔ یہاں اس سبق میں ہم گننے کے کچھ بنیادی طریقے دیکھیں گے جو ہمیں اس سوال کا جواب دینے میں مدد کریں گے۔ دراصل یہ طریقہ نمبروں کو مختلف انداز میں لگانے اور چننے میں بغیر فہرست بنائے ہماری مدد کریں گے۔ پہلے اقدام کے طور پر ہم ایک اصول کی جانچ کر تے ہیں جو ان طریقوں کو سیکھنے میں سب سے بنیادی ہے۔ 

جیکب برنولی

(1654-1705)

ہم ذیل مسئلہ پر غور کرتے ہیں : موہن کے پاس 3 پتلونیں اور 2قمیص ہیں۔ وہ کتنے مختلف جوڑوں میں پتلو ن اور قمیص پہن سکتا ہے۔ پتلون چننے کے تین طریقہ ہیں کیونکہ اس کے پاس 3پتلون موجود ہیں۔ اسی طرح ایک قمیص بھی دو طریقوں سے چنی جا سکتی ہے۔ پتلون کی ہر ایک پسند کیلئے ، قمیص کی دو پسندیں ہیں اسلئے پتلون اور قمیض کے جوڑے ہیں۔

ہم پتلون کوP3,P2,P1کا نام دیتے ہیں اور دو قمیصو ں کو S1اور S2 کا تب یہ چھ ممکنات کو ذیل شکل(تصویر)کے ذریے دکھایا جا سکتاہے۔تصویر7.1 ہمیں اس طرح کے دوسرے مسئلہ پر غور کرنا چاہیے۔

شبنم کے پاس 2اسکول بیگ(تھیلے)،3کھانے کے ڈبے اور 2پانی کی بوتلیں ہیں۔کتنے طریقہ سے وہ ان اشیاء کو لے جا سکتی ہے(ہر ایک میں سے ایک چن کر)

 ایک اسکول بیگ دو مختلف طریقوں سے چنا جا سکتا ہے۔ اسکول بیگ چننے کے بعد،ایک کھانے کا ڈبہ تین مختلف طریقوں سے چنا جاسکتا ہے۔یہاں اسکول بیگ اور کھانے کے ڈبے کے جوڑے ہیں۔ ان میں سے ہر ایک جوڑے کے لیے ایک پانی کی بوتل’2‘مختلف طریقوں سے چنی جاسکتی ہے۔ یہاں مختلف طریقے ہیں جن کے ذریعے شبنم ان اشیاء کو اسکول لے جاسکتی ہے۔اگر ہم اسکول بیگوں کا نامB1اورB2 رکھیں۔ تین کھانے کے ڈبوں کاT3,T2,T1اور دو پانی کی بوتلیں W2،W1یہ ممکنات ذیل تصویر کے ذریعے دکھائی اور سمجھائی جاسکتی ہیں۔

دراصل مندرجہ بالا دئے گئے مسائل درج ذیل میں دئے گئے اصول نافذ کرکے حل کئے جاتے ہیں جسے ہم گنتی کا بنیادی اصول کہتے ہیں، یا سادہ طورپر ضرب کا  اصول، جو یہ کہتا ہے۔

 اگر ایک وقوعہ mمختلف طریقوں میں واقع ہوتا ہے، اس کے بعد دوسرا وقوعہ nمختلف طریقوں میں واقع ہوتا ہے، تو وقوعوں کے واقع ہونے کی کل تعداد دی گئی ترتیبm x n ہے۔

 مندرجہ بالااصول کسی بھی محدود عدد کے وقوعوں کے لئے اصول کلیہ کی حیثیت رکھتا ہے ۔مثال کے طور ‘3 وقوعوں کیلئے اصول اسطرح ہے :

اگر ایک وقوعہ mمختلف طریقوں میں واقع ہوسکتا ہے، اس کے بعد دوسرا وقوعہ n مختلف طریقوں میں واقع ہو سکتا ہے، اس کے بعد تیسرا وقوعہp مختلف طریقوں میں واقع ہو سکتا ہے تو وقوعوں کے واقع ہو نیکی کل تعداددی گئی ترتیب میںm x n x p ہے ‘‘

پہلے مسئلہ میں، ایک پتلون اور ایک قمیص کو پہننے کے مطلوبہ طریقے ذیل ہیں وقوعہ کی جانشینی کے مختلف طریقوں کی تعداد سے واقع ہونا تھا  

 (i)  ایک پتلون انتخاب کرنے کا وقوعہ   

(ii) ایک قمیص انتخاب کرنے کا وقوعہ 

دوسرا مسئلہ میں، مطلوبہ طریقوں کی تعداد، ذیل وقوعوں کی جانشینی کے واقع ہونے کے مختلف طریقوں کی تعداد تھی:

(i)   ایک اسکول بیگ انتخاب کرنے کا وقوعہ 

ii) ( ایک کھانے کا ڈبہ انتخاب کرنے کا وقوعہ 

(iii)یک پانی کی بوتل انتخاب کرنے کا وقوعہ 

یہاں دونوں مسئلوں (کیسوں )  میں ‘  وقوعہ ہر ایک مسئلہ (Problem)  میں بہت سی ممکن ترتیب میں مل سکتے ہیں۔ لیکن ہمیں کوئی بھی ایک ممکن ترتیب چننی ہے اور وقوعوں کے واقع ہونے کے مختلف طریقوں کی تعداد کی گنتی کرنی ہے۔

چار حروفی الفاظ کی تعداد معلوم کیجئے خواہ بامعنی ہو یا بے معنی جو لفظ ROSE کے حروف کو استعمال کرکے بنائے جائیں جہاں حروف کے دوہرانے کی اجازت نہیں ہے۔ 

 یہاں اتنے حروف ہیں جتنے 4خالی جگہوں کو بھرنے کے طریقے  4  الفاظ سے، اس بات کو دھیان میں رکھتے ہوئے کہ الفاظ کو دہرانے کی اجازت نہیں ہے۔پہلی جگہ چار (4)مختلف طریقوں سے کوئی بھی چار الفاظ RٗO ٗS ٗE لیکر بھری جاسکتی ہے۔ اسکے بعد دوسری جگہ بچے ہوئے 3 الفاظ سے 3 مختلف طریقوں سے بھری جاسکتی ہے۔ اسکے بعد تیسری جگہ 2 مختلف طریقوں سے بھری جاسکتی ہے ۔اسکے بعد چوتھی جگہ صرف ایک طریقہ سے بھری جا سکتی ہے اسطرح 4  جگہوں کو بھرنے کے طریقوں کی تعداد ضر ب کے اصول سے  ہے اس لئے الفاظ کی مطلوبہ تعداد 24ہے۔ 

 

     4جھنڈے مختلف رنگوں کے دیئے ہوئے ہیں ‘  اگر ایک اشارے (Signal) میں دو جھنڈے درکار ہوں جس میں ایک دوسرے کے نیچے ہو تو  بتائیے اس سے کتنے اشارہ بن سکتے ہیں؟

  اتنے ہی اشارے ہوں گے جتنے کہ دو خالی جگہوں کو بھرنے کے طریقے ہیں چار مختلف رنگوں کے جھنڈوں کی جانشینی۔ اوپری خالی جگہ کو 4 میں سے ایک جھنڈے سے چار مختلف طریقوں سے بھرا جا سکتا ہے۔ اسکے بعد نیچے کی خالی جگہ باقی مختلف 3  جھنڈوں سے 3 مختلف طریقوں سے بھری جا سکتی ہے۔ اسلئے ضرب کے اصول سے اشاروں کی مطلوبہ تعداد  

 اعداد5،4،3،2،1سے کتنے دو اعداد والے جفت اعداد بنائے جاسکتے ہیں اگر اعداد کو دہرایا جائے؟

دو خالی جگہوں کو جانشینی میں بھرنے کے اتنے ہی طریقے ہوں گے جتنے کے 5 دیئے ہوئے اعداد کے، یہاں ہم اکائی کی جگہ سے بھرنا شروع کرتے ہیں کیونکہ اس جگہ کے لئے ہم صرف 2 اور 4 میں سے انتخاب کر سکتے ہیں اور یہ صرف دو طریقے سے ہو سکتا ہے ‘  اس کے بعد دہائی والی جگہ کسی بھی 5 مختلف طریقوں سے 5 اعداد سے بھری جا سکتی ہے کیونکہ اعداد کو دہرایا جا سکتا ہے۔ اس لئے ضرب کے اصول سے مطلوبہ دو اعداد والا مثبت عدد ہے 

مختلف نشانوں کی تعداد معلوم کیجئے جو کم سے کم دو جھنڈوں سے بنائے جاسکتے ہیں اور جو اس طریقے کہ ( ایک دوسرے کے نیچے ہو) ایک سیدھے ڈنڈے پر اگر 5 مختلف جھنڈے موجود ہیں۔

ایک نشان 2 جھنڈوں ‘3 جھنڈوں ،4 جھنڈوں یا 5  جھنڈوں سے بن سکتا ہے۔اب ہم ان ممکن نشانوں کی گنتی کرتے ہیں جن میں 2  جھنڈے 3  جھنڈے ‘ 4  جھنڈے اور 5  جھنڈے موجود ہوں اور پھر اس تعداد کو جمع کرتے ہیں۔ 

دو نشانے والے اتنے ہی جھنڈے ہوں گے جتنے کہ 2 خالی جگہوں کو بھرنے کے طریقے 5موجود جھنڈوں سے ضرب کے اصول سے طریقوں کی  تعداد 

اسی طرح 3 جھنڈوں والے نشان کی تعداد بھی اتنی ہی ہوگی جتنے کہ 3 خالی جگہوں کو جانشینی میں 5 جھنڈوں سے بھرنے کے طریقے

 طریقوں کی تعداد   ہے

 اسی طرح گنتے ہوئے ہمیں ملتا ہے 

 1.  4،3،2،1اور 5سے تین ہندسوں والے کتنے اعداد بن سکتے ہیں۔ اگر مان لیا جائے کہ 

(i)  ہندسوں کو دہرانے کی اجازت ہے؟ 

(ii)  ہندسوں کے دہرانے کی اجازت نہیں ہے؟

2.   6،5،4،3،2،1سے کتنے دو ہندسوں والے مثبت اعداد بنائے جاسکتے ہیں اگر کوئی ہندسہ کو دہرایا نہ جا سکے ؟   

3. انگریزی کے پہلے دس حروف استعمال کر کے 4 حروف والے کتنے ضابطہ بنائے جاسکتے ہیں، اگر کوئی حرف دوبارہ استعمال نہ کیا جائے؟

 4. 0 سے9 تک ہندسوں کا استعمال کرکے 5 ہندسوں والے کتنے ٹیلیفون نمبر بنائے جاسکتے ہیں اگر ہر نمبر 67 سے شروع ہوا ور کوئی بھی ہندسہ ایک بار سے زیادہ نہ دکھائی دے؟

5 ۔ ایک سکہ کو تین بار اچھالاگیا اور نتیجہ کو محفوظ کر لیا گیا۔ یہاں کتنے ممکن نتیجہ ہو سکتے ہیں؟ 

6 ۔ 5 جھنڈے مختلف رنگوں کے دیئے ہوئے ہیں، کتنے مختلف نشان بنائے جاسکتے ہیں اگر ہر نشان میں دو جھنڈے درکار ہیں، ایک دوسرے کے نیچے ہے؟

پچھلے سیکشن کی مثال 1 میں، ہم حقیقت میں مختلف ممکن حروف مثال کے طور پر Rose کی ترتیبوں کو شمار کررہے ہیں وغیرہ وغیر ہ۔ یہاں اس فہرست میں ہر ترتیب دوسرے سے الگ ہے۔ دوسرے الفاظ میں حروفوں کے لکھنے کی ترتیب اہم ہے۔ ہر ترتیب4 مختلف حروف کو ایک وقت میں لیکر ایک مبادلہ کہلاتا ہے۔ اگر اب ہمیں تین الفاظ والے حروف کی تعداد معلوم کرنی ہے۔ معنی یا بے معنی والے جو لفظ Number کے حروف سے بنتا ہے۔ جہاں حروف کا دہرانا ممکن نہیں ہے۔ ( یا اجازت نہیں ہے )یا ہمیںNUMٗNMUٗMUNٗNUB کی ترتیب(انتظام) گننے کی ضرورت ہے وغیرہ وغیرہ۔ یہاں ہم چھ مختلف حروف کو ایک ساتھ لیکر مبادلوں کی گنتی کر رہے ہیں۔ مطلوبہ الفاظ کی تعداد(ضرب کا اصول استعمال کر کے)

اگر حروف کو دوہرانے کی اجازت دے دی جائے تو الفاظ کے مطلوبہ نمبر 6x6x6=216 ہوں گے۔

 اشیاء کی تعداد میں سے کچھ یا ساری اشیاء کی ایک خاص ترتیب مبادلہ کہلاتی ہے

                                  یاMissing Trasnlation

مبادلہ دی ہوئی اشیاء میں سے سب یا کچھ کا ایک مرتب مجموعہ ہوتا ہے۔

  n.مختلف اشیاء کے مبادلوں کی تعداد ایک ساتھr  اشیاء لینے پر جہاں اور جب اشیاء دہرائی نہیں جاتیں n(n-1)(n-2)......(n-r+1) ہے جسےnPr سے ظاہر کرتے ہیں۔

یہاں اتنے ہی مبادلے ہوں گے جتنے کہ rخالی جگہوں میںکو n اشیاء سے بھرنے کے طریقے ہیں ۔پہلی جگہnطریقوں سے بھری جاسکتی ہے اس کے بعد دوسری جگہ (n–1) طریقوں سے بھری جاسکتی ہے۔ اسکے بعد تیسری جگہ (n-2) طریقوں سے بھری جاسکتی ہے،۔۔۔۔۔،rth جگہ[n-r+1] طریقوں سے بھری جا سکتی ہے r خالی جگہوں کوسلسلہ وار بھرنے کے کل طریقے ہیں

یہ عبارت ,P"کیلئے بے ڈھنگی یا بھدی (Cumbersome) ہے اور ہمیں ایک علامتی اظہار چاہئے جو اس عبارت کی لمبائی کو چھوٹا کرسکے علامت n! ( جسے ہم n ضربیہ یا ضربیہn پڑھیں گے) ہمارے بچاؤ میں آئی ہے ۔اب ہم پڑھیں گے کہn! کا حقیقت میں کیا مطلب ہے۔

علامت n!پہلے n طبعی اعداد کی ضرب کو ظاہر کرتی ہے۔ اس کا مطلب  کی ضرب n!سے ظاہر کی جاتی ہے۔ ہم اس علامت کو n ضربیہ سے ظاہر کرتے ہیں۔ اس لئے

ہم بتاتے ہیں! 1=0

ہم لکھ سکتے ہیں!

صاف طور پر ,n طبعی اعداد کیلئے 

اور اس کے آگے

حل     ہمیں حل کرنا ہے۔

1 . قیمت نکالئے

اب ہمیں پیچھے کی طرف چلنا چاہئے جہاں ہم نے ذیل فارمولہ نکالا تھا

شمار کنندہ اور نسب نماں کوسے ضرب کرنے پر ہمیں ملتا ہے 

ْ

یہ پچھلی عبارت سےnPrکیلئے  بہت زیادہ آسان ہے.

خاص طور پر جب 

مبادلہ کو گننا صرف ان طریقوں کی تعداد گننا ہے جن میں کچھ یا ساری اشیاء کو بیک وقت از سر نو ترتیب دی جائے۔ صاف طور پر بغیر اشیاء کے ترتیب دینا ایسا ہی ہے جیسا کہ تمام اشیاء کو پیچھے چھوڑنا اور ہم جانتے ہیں کہ ایسا کرنے کا صرف ایک ہی راستہ ہے۔ اسلئے ہمارے پاس ہو سکتا ہے ہم رکھ سکتے ہیں

مسئلہ2   n  مختلف اشیاء کیلئے جبکہ r بیک وقت لی جائیں۔ مبادلوں کی تعداد nr ہے، جہاں دہرانے کی اجازت ہے۔

ثبوت تقریبا مسئلہ Iجیسا ہے اور یہ پڑھنے والے کیلئے چھوڑا جا رہا ہے کہ وہ اسے حل کرے۔

یہاں ہم کچھ مسئلہ پچھلے سیکشن کے فارمولہ nPrکا استعمال کر کے حل کررہے ہیں تاکہ اس کی اہمیت کا اندازہ لگایا جاسکے۔

مثال 1 مطلوبہ لفظوں کی تعداد یہاں دہرانے کی اجازت نہیں ہے اگر دہرانے کی اجازت ہو تو مطلوبہ الفاظ کی تعدادہوگی۔ 

تین حروف والے الفاظ کی تعداد جو کہ لفظ  Number کے حروف سے بنا ہے  یہاں اس کیس میں بھی دہرانے کی اجازت نہیں ہے۔ اگر دہرانے کی اجازت دے دی جائے تو مطلوبہ الفاظ کی تعدادوگی۔

12  لوگوں کے جب ایک گروپ سے ایک چیر مین یا وائس چیر مین چنا جائے اور یہ مان لیا جائے کہ ایک آدمی ایک پوزیشن سے زیادہ پر قابض نہیں ہوسکتا تو ان طریقوں کی تعداد صاف طور پر

(are not distincts objectsمان لیجئے ہمیں لفظ Root کے حروف کو ازسر نو ترتیب دیکر ہمیں ان طریقوں کی تعداد معلوم کر نی ہے۔ اس کیس میں لفظ کے حروف سارے مختلف نہیں ہیں ، 'Os' دوہیں جو ایک ہی طرح کے ہیں۔ عارضی طور پر ہم 2ٗ  Os کو مختلف مان لیں، مان لیا O1 اورO2 اس کیس میں 4 مختلف حروف کی مبادلوں کی تعداد جبکہ سب ایک ساتھ لئے گئے ہوں 4!= ان میں سے ایک مبادلہRO1O2T پر غور کیجئے۔ اس مبادلہ کے مطابق ہمارے پاس !2مبادلہ RO1O2T  اورRO2O1T   ہیں جو حقیقت میں وہ مبادلہ ہوں گے اگرO1 اورO2کو ایک نہ سمجھا جائے اس کا مطلب اگرO1 اور O2 ایک ہی 0 ہیں۔

 اس لئے،مبادلوں کی مطلوبہ تعداد

مبادلے جبO1اورO2 ایک ہی 0ہیں                   مبادلے جب O2,O1 الگ ہیں 

اب ہمیں لفظ INSTITUTE  کے حروف کو ازسرنو ترتیب دینے کے طریقوں کی تعداد معلوم کرنی چاہئے۔ اس صورت میں 9  الفاظ ہیں جن میں I دوبار آیا ہے اورT تین بار ہے۔

عارضی طور پر ہم ان حروف کو الگ سمجھتے ہیں اور انہیںT3'T2' T1'T2'T1کا نام دیتے ہیں۔

اس کیس میں9 مختلف حروف کے مبادلوں کی تعداد جب سب ایک ساتھ لئے جائیں تو 9! ہے 

اسی طرح کے ایک مبادلہ پر غور کیجئے مان لیا  یہاں اگرI1 اورI2 ایک ہیں اورایک ہیں اسلئے I1اور12 کو 2! طریقہ سے ترتیب دی جاسکتی ہے اور کو 3!طریقے سے اسلئے مبادلہ  بالکل ایسا ہی مبادلہ ہوگا جومبادلہ کے بطابق چنا گیا  ہے۔ اس لیے مختلف مبادلوں کی تعداد   ہوگی۔

ہم ذیل مسئلوں کو (بغیر ثبوت کے)  بیان کر سکتے ہیں۔  

مسئلہ 3    nاشیاء کے مبادلوں کی تعداد ‘ جہاں p اشیاء بالکل ایک طرح کی ہیں اور باقی سب الگ ہیں

حقیقت میں ‘  ہمارے پاس زیادہ عام مسئلہ ہیں۔

مسئلہ 4   nاشیاء کے مبادلوں کی تعداد ‘  جہاںP1اشیاء ایک طرح کی ہیںP2 دوسری طرح کی ہیں ۔۔۔Pk  اشیاء Kth۔ طرح کی اور باقی الگ ۔اگر ان میں سے ایک بھی مختلف قسم کی ہے 

 مثال9    لفظ  ALLAHABAD  میں حروف کے مبادلوں کی تعداد معلوم کیجئے۔

حل   یہاں 9  اشیاء (حروف ) ہیں جن میں سےاور باقی سب الگ ہیں ۔

 اس لئے مبادلوں کی مطلوبہ تعداد

مثال 10  1سے 9 تک کے ہندسہ استعمال کر کے چار ہندسوں والے کتنے اعداد بنائے جاسکتے ہیں اگر ہندسوں کو دہرانے کی اجازت نہ ہو؟ 

حل   یہاں ترتیب اہم رول ادا کرتی ہے مثال کے طور پر 1234 اور 1324دو مختلف نمبر ہیں ۔اسلئے یہاں اتنے ہی 4 ہندسوں والے نمبر ہوں گے جتنے کے9  مختلف ہندسوں سے بننے والا مبادلہ جبکہ 4 الگ الگ ہندسوں کو ایک ساتھ لیا جائے

 اس لئے مطلوبہ 4 ہندسوں والے اعداد  

مثال  11 100اور 1000 کے بیچ کتنے اعداد موجود ہیں جو 5,4,3,2,1,0 ہندسوں سے بنتے ہیں اگر ہندسوں کے دہرانے کی اجازت نہ ہو ؟

حل  100 اور1000 کے بیچ (درمیان ) میں ہر نمبر تین ہندسوں کا ہے ہمیں پہلے 6 ہندسوں والے مبادلوں کو گنتا ہے جب 3 ہندسوں کو ایک ساتھ لیا جائے یہ تعداد 6P3 ہوگی لیکن ان مبادلوں میں وہ اعداد بھی شامل ہوں گے جہاں’0ٗ100',  جگہ ہے۔ مثال کے طور پر 092،042،۔۔۔ وغیرہ  اس طرح کے اعداد ہیں جو حقیقت میں 2 ہندسوں والے اعداد ہیں اور اس طرح کے نمبروں کی تعداد6P3سے نفی کرنی ( گھٹانی ) ہوگی مطلوبہ نمبر حاصل کرنے کیلئے۔ اس طرح کے نمبروں کی تعداد معلوم کرنے کیلئے ہم 0کو  سیکڑے ( سوویں) 100۔۔۔۔  جگہ رکھتے ہیں اور بچے ہوئے 5 ہندسوں کو ازسرنو ترتیب دیکر 2کو ایک ساتھ لیتے ہیں ۔یہ5P2ہے اسلئے، 

مثال 12  nکی قیمت معلوم کیجئے تاکہ 

کیونکہ n>4 so  n(n-1)(n-2)>0اسلئے دونو ں طرف  (n(n-1)(n-2  سے تقسیم کرنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے: 

(n-3)(n-4)=42)

کیونکہ n منفی نہیں ہو سکتا۔ اسلئے n=10

مثال 14 لفظ DAUGHTER سے بننے والے 8 حروف والے تمام مختلف مبادلوں کی تعداد معلوم کیجئے تاکہ 

(i)  تمام (Vowels) حروف ایک ساتھ ہوں (ii) تمام (Vowels) ایک ساتھ نہ ہوں 

حل  (i) لفظ DAUGHTER  میں 8 مختلف حروف ہیں جن میں Vowels 3  ہیں جن کے نام ہیں U,Aاور E کیونکہ Vowels ایک ساتھ آتے ہیں، ہم فی الحال اس صورت حال میں ہم ان اشیاء (AUE)کو ایک ساتھ سمجھتے ہیں۔ یہ اکیلی اشیاء (حرف) 5 باقی حروف (اشیاء ) کے ساتھ 6 اشیاء گنا جائے گا پھر ہم ان سب اشیاء کو ایک ساتھ لیکر مبادلوں کی گنتی کریں گے۔ یہ تعداد!6=6P6 ہوگئی۔اس میں سے ہر ایک مبادلہ کے مطابق ہمارے پاس 3! مبادلہ ہوں گے جو تین  A,U,E Vowels کو ایک ساتھ لیکر بنتے ہیں 

(ii) اگر ہمیں وہ مبادلے گننے ہوں جس میں تمام Vowels کبھی بھی ایک ساتھ نہ ہوں تو ہمیں سب سے پہلے وہ تمام ممکن انتظامات معلوم کرنے ہوں گے جن میں 8 حروف کو ایک ساتھ لیا گیا ہے جو8! طریقوں سے کیا جا سکتا ہے۔ پھر ہمیں اس نمبر سے اس مبادلہ کی تعداد کو گھٹانا ہوگا جن میں Vowels ایک ساتھ ہیں۔ 

مثال 15   کتنے طریقے سے 4 لعل 3 پہلی اور 2 ہری ٹکیوں ( قرضdiscs) کو ایک قطار میں ترتیب دی جاسکتی ہے تاکہ ایک رنگ کی ٹکیوں کی پہچان نہ ہو سکے؟ 

حل  ٹکیوں کی کل تعداد ٹکیوں میں سے پہلی طرح کی ہیں (لعل) 3 دوسری طرح کی ہیں (پہلی ) اور 2 تیسری طرح کی ہیں (ہری )اسلئے 

ترتیب (انتظامات ) کی تعداد

مثال 16   لفظ INDEPENDENCE کے حروف کی ترتیب کی تعداد معلوم کیجئے اس ترتیب میں کتنے :

(i) لفظ P سے شروع ہوتے ہیں؟

(ii) کیا تمام Vowels ایک ساتھ نمایاں ہوتے ہیں؟

(iii) کیا Vowels کبھی بھی ایک ساتھ نمایاں نہیں ہوتے ؟

(iv) کیا لفظ I سے شروع ہوتے ہیں اور P پر ختم ہوتے ہیں 

حل   یہاں 12  حروف ہیں جن میں 3 N بار آیا ہے E چار بار آیا ہے ٗ  Dدو بار آیا ہے اور باقی سبھی مختلف ہیں اسلئے مطلوبہ

ترتیب ( انتظامات ) کی تعداد 

(i) مان لیجئے ہم Pکو انتہائی بائیں طرف مقرر کرتے ہیں، ہم تب باقی 11 حروف کی ترتیب کو گنتے ہیں اسلئے لفظوں کی 

مطلوبہ تعداد جو pسے شروع ہوتی ہے

(ii)دیئے ہوئے لفظ میں Vowels 5 ہیں جن میں 4E's میں اور I کیونکہ انہیں ہمیشہ ایک ساتھ واقع ہونا ہے،  اسلئے ہم انہیں وقتی طور پر ایک شے EEEEI مانتے ہیں ۔۔۔ یہ اکیلی اشیاء دوسری  باقی 7 اشیاء کے ساتھ ملکر 8 اشیاء بناتی ہے یہ

8 اشیاء ( حروف ) جن میں 3Ns ہیں اور DS 2 ہیں ازسر نو ترتیب سے طریقہ میں رکھی جاسکتی ہے۔ ان میں سے ہر ایک ترتیب کے مطابق ‘E,E,E,E,Vowels 5  اور I کو ازسرنو ترتیب سے  طریقہ میں لکھا جا سکتاہے۔ اس لئے ضرب کے اصول سے مطلوبہ ترتیبوں کی تعداد

(iii)  مطلوبہ انتظاموں ( ترتیبوں ) کی تعداد 

= انتظاموں کی کل تعداد ( بغیر کسی روک ٹوک کے ) انتظاموں کی وہ تعداد جہاں تمام Vowels ایک ساتھ واقع  ہوتے ہیں ۔

  (iv) مان لیجئے ہم I اور P انتہائی آخری سروں پر مقرر کرتے ہیں (Iبائیں طرف والے سرے پر اور P دائیں طرف والے سرے پر ) ہمارے پاس 10حروف بچے ہیں ۔

اس لئے مطلوبہ انتظاموں کی تعداد

1.   1 تا9 ہندسہ استعمال کرکے 3 ہندسوں والے کتنے اعداد بن سکتے ہیں اگر کوئی بھی ہندسہ دہرایا نہ جائے؟ 

2.    چار ہندسوں والے کتنے اعداد ہیں جبکہ کوئی ہندسہ دہرایا نہ جائے؟

 3.    ہندسوں کو استعمال کرکے 3 ہندسوں والے کتنے جفت اعداد بنائے جا سکتے ہیں؟

4. چار ہندسوںوالے اعداد کی تعداد معلوم کیجئے جوہندسوں  سے بنتے ہیں اگر کوئی ہندسہ دہرایا نہ جائے ان میں سے کتنے جفت ہوں گے ؟

5. 8لوگوں کی کمیٹی سے ہم کتنے طریقے سے ایک چیرمین اور ایک وائس چیرمین چن سکتے ہیں یہ مانتے ہوئے کہ ایک آدمی ایک سے زیادہ مقام حاصل نہیں کر سکتا؟ 

8. کتنے الفاظ معنی یابغیر معنی کے لفظ EQUATIONکے حروف کو استعمال کر کے بنائے جاسکتے ہیں ہر حرف کا صرف ایک باراستعمال کیا جائے؟

9. کتنے الفاظ ‘ معنی یابغیر معنی کے لفظ MONDAY کے حروف کو استعمال کر کے بنائے جا سکتے ہیں یہ مانتے ہوئے کہ کوئی حرف دہرایا نہ جائے اگر

(i)

 4  حروف کا ایک ساتھ استعمال کیا جائے؟ 

(ii) تمام حروف کا ایک ساتھ (بیک وقت ) استعمال کیا جائے؟ 

(iii) تمام حروف استعمال کیے جائیں لیکن پہلا حرف ایک Vowel ہے 

10. لفظMISSISSIPPI کے حروف میں کتنے مختلف مبادے ہوں گے جہاں چار I's ایک ساتھ نہیں آئیں گے؟ 

11.  لفظ PERMUTATIONS کے حروف کتنے طریقوں سے ترتیب دیئے جاسکتے ہیں اگر (i) لفظ Pسے شروع ہو اور Sپر ختم ہو(ii) تمام Vowels ایک ساتھ 

(iii)

 P اورSکے درمیان ہمیشہ 4 حروف ہوں 

اب ہم یہ مانتے ہیں کہ 3لان ٹینس (Lawn tennis)کھلاڑیوں  کا ایک گروپ ہے دو کھلاڑیوں پر مشتمل ایک ٹیم بنانی ہے یہ ہم کتنے طریقوں سے کر سکتے ہیں کیا Xاور Y کھلاڑیوں کی ٹیم Y اورX کھلاڑیوں سے الگ ہے یہاں ترتیب کی اہمیت نہیں ہے حقیقت میں صرف تین ممکن طریقے ہیں جن سے ٹیم بنائی جا سکتی ہے یہxyٗyz اورzx  ہیں۔

یہاں ہر انتخاب 3 مختلف اشیاء جن میں 2 بیک وقت لی گئی ہوں اجتماع کہلاتاہے اجتماع میں ترتیب کی اہمیت نہیں ہے 

اب کچھ اور مثالوں پر غور کرتے ہیں ۔

12 آدمی (لوگ) ایک کمرہ میں ملتے ہیں اور ایک ۔ایک دوسرے سے ہاتھ ملاتاہے ہم کس طرح ہاتھ ملانے کی تعداد معلوم کر سکتے ہیں ۔xٗy سے ہاتھ ملا رہاہے اورyٗx سے دو الگ ہاتھ ملاتا نہیں ہے یہاں ترتیب کی اہمیت نہیں ہے یہاں اتنے ہی ہاتھ ملیں گے جتنے کہ12  مختلف اشیاء کے اجتماع جب کہ 2 کو بیک وقت لیا جائے ۔

 7 نقاط ایک دائرہ پر واقع ہیں۔ان نقاط کو جوڑوں میں ملا کر کتنے قوسی وتر کھینچے جائیں گے؟ اتنے ہی قوسی وتر ہوں گے جتنے کہ 7 مختلف اشیاء کے اجتماع 2 کو بیک وقت لیا جائے۔

 اب ہم n مختلف اشیاء کے لیے جبکہ r کو بیک وقت لیا جائے ایک فار مولہ حاصل کرتے ہیں جسکے ذریعہ اجتماع کی تعداد معلوم کی جائے گی،  جسے nCr سے ظاہر کیا جائے گا۔

مان لیجئے ہمارے پاس 4 مختلف اشیاء  AٗB  اور C اورDہیں۔  2کو بیک وقت لیکر اگر ہمیں اجتماع بنانا ہے تو یہہوں گے یہاں AB اورBAایک ہی طرح کے اجتماع ہیں کیونکہ ترتیب اجتماع کو نہیں بدلتی اس وجہ سے ہم نے  کو اس فہرست میں شامل نہیں کیا ہے۔ یہاں 6 اجتماع ہونگے جو4 مختلف اشیاء میں سے 2 کو بیک وقت لیتے ہیں یعنی۔

فہرست میں ہر ایک اجتماع کے مطابق ہم 2! مبادلوں پر آسکتے ہیں کیونکیہ ہر اجتماع میں2 اشیاء کو 2! طریقوں سے از سر نو ترتیب دی جا سکتی ہے اسلئے مبادلوں کی تعداد 

دوسری طرف4 مختلف اشیاء کے اجتماع کی تعداد جبکہ 2 کو ایک ساتھ لیا جائے 

اب ہم یہ مانتے ہیں کہ ہمارے پاس 5 مختلف اشیاء موجود ہیں۔اگر تین کو ایک ساتھ لیکر ہمیں ایک اجتماع بنانا ہے تو وہ یہ ہونگے  ان میں سے ہر ایک اجتماع کے مطابق 3! اجتماع ہیں، کیونکہ ہر ایک اجتماع میں اشیاء کو 3! طریقہ سے ازسرنوترتیب دیا جا سکتا ہے اسلئے اجتماعوں کی کل تعداد ص

یہ مثالیں یہ بتاتی ہیں کہ ذیل مبادلہ اور اجتماع کے درمیان رشتہ بتاتا ہے مسئلہ5

مسئلہ5

ثبوت nCr کے ہر اجتماع کے مطابق ہمارے پاس r!اجتماع ہیں، کیونکہ r اشیاء ہر ایک اجتماع میں !r طریقوں سے رکھی جاسکتی ہیں۔

اس لئے n مختلف اشیاء کے جبکہ r بیک وقت لی جاسکیں اجتماع کی کل تعداد ہے

 

2 ۔ ہمnCo=1 کی تعریف بیان کرتے ہیں اس کا مطلب ہے n مختلف اشیاء جن میں سے کچھ لیا جائے اجتماع کی تعداد ہے اجتماعوں کو گننا ایسا ہی ہے جیسا کہ ان طریقوں کی تعداد کا گننا جن میں کچھ یا ساری اشیاء کو ایک ساتھ منتخب کر لیا جائے، کسی کو نہ چننے کا مطلب ہے سب اشیاء کو چھوڑدیا جائے اور ہم جانتے ہیں کہ ایسا کرنے کا صرف ایک ہی طریقہ ہے اس طریقہ کہ ہم کہتے ہیںnCo

یعنی  n اشیاء میں سے r اشیاء کو چننا ایسا ہی ہے جیسا کہ (n-r) اشیاء کو چھوڑدینا

حل   ہمارے پاس ہے 

مثال 18    2مرد اور 3 عورتوں سے 3 لوگوں کی ایک کمیٹی بننی ہے ۔ یہ کتنے طریقہ سے بن سکتی ہے؟ ان میں سے کتنی کمیٹیوں میں ایک آدمی اور 2عورتیں ہوں گی؟

حل  یہاں ترتیب معنی نہیں رکھتی ۔ اسلئے ہمیں اجتماعوں کی تعداد معلوم کرنے کی ضرورت ہے۔ کمیٹیوں کی اتنی ہی تعداد ہوگی جتنا کہ5 مختلف کولوگوں کے جن میں3کو ایک بار چنا جائے اجتماعوں کی تعداد اسلیے مطلوبہ طریقوں کی تعداد ۔

اب 1  آدمی 2 آدمیوں میں سے ،2C1  طریقہ سے چنا جاسکتاہے دو عورتیں تین عورتوں میں سے 3C2 طریقہ سے چنی جاسکتی ہیں اسلیے کمیٹیوں کی مطلوبہ تعداد 

مثال 19  کھلنے والی ایک گڈی کے 52 پتوں میں سے 4 پّتوں کو چننے کے کتنے طریقہ ہیں ان میں سے کیسے 

(i)

  4  پتے ایک ہی طرح کے ہوں گے؟ 

(ii)

  4  پّتے 4 الگ الگ طرح کے ہوں؟

(iii) تصویر اوالے پتے

(iv) دوکا لے پتے (کارڈس) ہوں اور 2 لال کارڈ س (پتے ) ہوں۔ 

(v) تمام پتے ایک رنگ کے ہوں 

حل  52  پتوں میں سے 4 پتوں کو چننے کے اتنے ہی طریقے ہونگے جتنے کہ52 مختلف اشیاء کے اجتماع سے جبکہ 4، کو ایک ساتھ لیا جائے اسلئے  مطلوبہ طریقوں کی تعداد

270725=

(i) تا ش(پتے)کی چار قسمیںہیں۔اینٹ،حکم، چڑیا، پان اور ہر طرح کے 13پتے ہیں۔ اسلئے 4اینٹ چننے کے13C4طریقے ہیں۔اسی طرح 4حکم کے پتے چننے13C4 طریقے ہیں۔ 4چڑیا چننے کے 13C4طریقے ہیںاور چار پان چننے کے 13C4طریقے ہیں

(ii) ہر جوڑے میں 13پتے ہیں یا ہر طریقے کے 13 پتے ہیں۔

اسلئے اینٹ کے 13 پتوںمیں سے ایک پتّا چننے کے 13C1 طریقے ہیں ، پان کے 13 پتّوں میں سے ایک کارڈ چننے کے 13C1طریقے ہیں حکم کے 13پتّوںمیں سے ایک کارڈ چننے کے 13C1طریقے ہیں چڑیا کے 13 پتّوں میں سے ایک پتّا چننے کے 13C1طریقے ہیں۔ اسلئے ضرب کے اصول سے مطلوبہ طریقوں کی تعداد

 

(iii) تصویر والے (چہرے والے ) 12پتّے ہیں اور 12پتّوں میں سے4 پتّے چننے ہیں یہ12c4طریقوں سے ہو سکتا ہے اس لیے مطلوبہ طریقوں کی تعداد

(iv) 

26پتّے (کارڈ) لال ہیں اور 26پتّے کالے ہیں۔اسلئے مطلوبہ طریقوں کی تعداد

(v)

  26  لال پتّوں میں سے 4 لال پتّے 26C4طریقوں سے چنے جا سکتے ہیں۔26 کالے پتّوں میں سے 4 کالے پتّے26C4 طریقوں سے چنے جا سکتے ہیں۔

 

1۔ اگرمعلوم کیجئے 

2 ۔ nمعلوم کیجئے اگر

3 ۔ ایک دائرہ پر موجود 21نقاط سے کتنے قوسی وتر کھینچے جا سکتے ہیں ۔

4 ۔ 5 لڑکے اور 4 لڑکیوں میں سے3 لڑکے اور 3 لڑکیوں کی ٹیم کتنے طریقے سے چنی جا سکتی ہے؟ 

5 ۔ 6  سرخ گیندوں ‘5 سفید گیندوں اور 5 نیلی گیندوں میں سے 9 گیندیں چننے کے کتنے طریقے ہیں اگر ہر چناؤ میں 3 گیندیں ہر رنگ کی ہیں 

6 ۔ 52 پتّوں کی ایک گڈی سے 5پتّوں کے اجتماع کے کتنے طریقے ہیں اگر ہر ایک اجتماع میں بالکل ’1‘ایکہ ہو؟ 

7 ۔ 17 کھلاڑیوں میں سے 11 کھلاڑیوں پر مشتمل کرکٹ کتنے طریقے سے چنی جا سکتی ہے جس میں صرف 5 کھلاڑی بال کر سکتے ہیں اگر کرکٹ کی 11 کھلاڑیوں کی ٹیم میں بالکل 4 بالر س ہوں؟ 

8 ۔ ایک تھیلے میں 5 کالی اور 6 سرخ گیندیں ہیں۔ان طریقوں کی تعداد معلوم کریں جن میں 2 کالی اور تین سرخ گیندیں چنی جا سکیں 

9 ۔ ایک طالب علم کتنے طریقوں سے 5 کورسوں والا پروگرام چن سکتا ہے اگر 9 کورس موجود ہوں اور دو خاص کورس ہر طالب علم کے لیے ضروری ہیں۔

  لفظ INVOLUTEکے حروف سے Vowels 3اور 2 بغیر Vowels والے ٗ جن کا مطلب نکل سکے یا نہ نکل سکے کتنے الفاظ بن سکتے ہیں؟

لفظ INVOLUTEمیں Vowels 4ہیںU,E,O,Iاور 4 غیر VowelsہےL,V,NاورT  ۔

4 میں سے Vowels 3چننے کے طریقے 

4میں سے non vowels 2چننے کے طریقے 

اسلیے Vowels 3 غیرVowelsچننے کے اجتماع کی تعداد 

اب 24 اجتماع میں سے ہر ایک میں 5 حروف ہیں جو آپس میں 5! طریقوں سے ترتیب دئے جا سکتے ہیں۔اس لیے مختلف

 مطلوبہ الفاظ کی تعداد

مثال  21ایک گروپ 4لڑکیو ںاور 7لڑکوں پر مشتمل ہے۔ کتنے طریقوں سے ایک 5ممبروں کی ٹیم چنی جا سکتی ہے اگر ٹیم میں (i) کوئی لڑکی نہ ہو؟(ii)کم سے کم ایک لڑکا اور ایک لڑکی ہو؟(iii) کم سے کم تین لڑکیاں ہوں۔

حل (i) کیونکہ ٹیم میں کوئی لڑکی نہیں ہوگی، اسلئے صرف لڑکے چننے ہیں۔5لڑکے 7لڑکوں میں سے7C5طریقے سے چنے جا سکتے ہیں۔اس لئے مطلوبہ طریقوں کی تعداد

(ii) کیونکہ ہر ٹیم میں کم سے کم 1لڑکا اور 1لڑکی ہو۔ اسلئے ٹیم میں یہ موجود ہو سکتے ہیں۔

(iii) کیونکہ ٹیم میں کم سے کم 3کڑکیاں ہونی چاہئیں،اسلیے ٹیم میں یہ ہونا چاہیے۔

یہ بات نوٹ کرلیجئے کہ ٹیم میں 5لڑکیاں نہیں ہو سکتی ہیں۔ کیونکہ گروپ میں صرف چار لڑکیاں ہیں۔

لفظ AGAINکے حروف کا استعمال کر کے کتنے الفاظ بنائے جاسکتے ہیں جن کا مطلب نکلے یا نہ نکلے۔اگر ان

 الفاظ کو لغت میں لکھا جائے۔ تو 50واں لفظ کیا ہوگا؟

حل   لفظ AGAINامیں 5حروف میں جن میں Aدو بارآنا ہے۔اسلئے مطلوبہ الفاظ کی تعدادووہ الفاظ حا صل کرنے کیلئے جو Aسے شروع ہوتے ہیں۔ ہم حروف Aکو انتہاں بائیں طرف لکھتے ہیں۔ پھر ہم بچے ہوئے 4حروف کو ازسرنو ترتیب دیتے ہیں۔ ان 4حروف کو بیک وقت4بارلیکر اتنے ہی انتظامات ہوں گے جتنے کہ 4مختلف اشیاء 4بار بیک وقت لیکر اجتماع کی تعداد ۔ اسلئے ان لفظوں کی تعدادجو Aسے شروع ہوتے ہیں-24=4!=پھر Gسے شروع ہونے والے الفاظ جیسا کہ Gکو انتہائی بائیں طرف رکھنے پر۔ اب ہمارے پاس حروف I,A,AاورNبچے ہیں۔اسطرح اگلے حرف Iسے شروع کرکے 12الفاظ بنیں گے۔ابھی تک حاصل کیے گئے الفاظ کی کل تعداد

49واں لفظ NAAGIہے۔ 50واں لفظNAAIGہے۔

مثال 1,2,0,2,4,2,2   23ہندسوں کو استعمال کرکے 1000000سے زیادہ کتنے اعدادبنائے جاسکتے ہیں؟

حل  کیونکہ ہندسوںوالا عدد ہے اور جو ہندسے استعمال کرنے میں ان کی تعداد بھی 7ہے اسلئے جونمبر بنے گا وہ بھی صرف 7ہندسوں کا ہوگا۔ساتھ ہی اعداد 1000000سے بڑے ہونے چاہئیں۔ اسلئے وہ کسی ایک 1،2یا4سے شروع ہونے چاہیے۔

ان اعداد کی تعدادجو '1'شروع ہوتے ہیںجبکہ '1'انتہائی بائیں طرف رکھا ہوا ہے باقی ہندسے جوازسرنو ترتیب دینے ہیں0‘2‘2‘2‘4 ‘4جن میں 3بار2ہے اور 2بار 4ہے۔

کل تعداد جو 2سے شروع ہو رہے ہیں

اور 4سے شروع ہونے والے اعداد کی کل تعداد 

اسلئے مطلوبہ اعداد کی تعداد

صاف طور پر 7ہندسوں والے انتظاموں کی تعدادلیکن ان میں وہ اعداد بھی شامل ہیں جن میں ’0‘انتہائی بائیں طرف ہے۔ ہر انتظاموں کی تعداد (جن میں ’0‘کو انتہائی بائیں طرف رکھا گیا ہے) 60=اس لئے اعداد کی مطلوبہ تعداد 

 نوٹ کا ترجمہ نہیں کیا ہوا ہے ؟؟؟؟

Translation Missing

مثال  5  24لڑکیوں اور 3لڑکوں کو کس طرح بیٹھا یا جائے تاکہ 2لڑکے ایک ساتھ نہ بیٹھیں۔ 

حل ہمیں سب سے پہلے 5لڑکیوں کو بیٹھانا ہے  اور یہ 51طریقوں سے ممکن ہے۔ ان میں سے ہر ایک انتظام کے لیے، تین لڑکے ’X‘ مارک پر بیٹھ سکتے ہیں

یہاں 6’X‘مارک جگہیں ہیں اور 3لڑکےpC3طریقے سے بیٹھ سکتے ہیں۔ اس لیے، ضرب کے اصول سے طریقوں کی کل تعداد

خلاصہ(Summary) • گنتی کا بنیادی اصول: اگر ایک وقوعہ mمختلف طریقوں سے واقعہ ہوتا ہے، اس کے اور دوسرا وقوعہnمختلف طریقوں سے واقع ہوتا ہے۔ وقوعہ کے واقع  ہونے کی کل تعداد کی mxnہے۔ • nمختلف اشیاء کے مبادلوں کی تعداد جب کہ اشیاء کو rبار لیا جائے اور ساتھ ہی دہرانے کی اجازت نہ ہو nPr سے ظاہر کیا جاتا ہے اور • nمختلف اشیاء کے مبادلوں کی تعداد جب کہ اشیاء کو rبار لیا جائے اور دہرانے کی اجازت ہوnr ہے۔ •   nاشیاء کے مبادلوں کی تعداد جب سب اشیاء کو ایک ساتھ لیا جائے، جہاںP1 اشیاء پہلی طرح کی ہیں، P2 اشیاء دوسری طرح کی،......، pk اشیاء Kطرح کی اور اگر کوئی باقی ہیں اور تمام مختلف ہیں یہ ہے • مختلف اشیاء کی اجتماع کی تعداد جنھیں rبار لیا جائے nCrسے ظاہر کیا جاتا ہے۔ اور nCrیہ  ہے۔

تاریخ کے اوراق سے  Historical Note

مبادلہ اور اجتماع کی سوچ کو زمانہ قدیم سے نکالا جاسکتا ہے جب ہندوستان میں جینی مذہب(Jainism)آیا تھا اور ممکن ہے اس سے پہلے سے۔ لیکن اس کا سہرا  جینیوں کے سر بندھتا ہے جنھوں نے اس کے Subject matterکو ایک خود کفیل عنوان ریاضی میں دیا جس کا نام ویکل پا(Vikalpa)تھا۔ 
ہندوستان کے باہر، مبادلہ اور اجتماع کا Subject matterاپنی مؤدبانہ شروعات چین میں مشہور کتابI-King (بدلاؤ کی کتاب) کے ذریعہ کرچکاتھا۔ اس کا م کا تقریبا وقت بتانا تو مشکل ہے۔ کیونکہ 213، بی سی میں بادشاہ نے حکم دیا تھا کہ تمام کتابوں اور manuscriptsجو بھی ملک میں موجود ہیں جلادیا جائے جو کہ قسمت سے مکمل نہیں ہوسکا Greeksاور بعد میں Latinمصنفوں نے کچھ بکھرا ہوا کام مبادلہ اور اجتماع پر کیا۔
کچھ عربی اور Hebrewمصنف مبادلہ اور اجتماع کی سوچ کو اجرام فلکیastronomyکے مطالع میں استعمال کرتے ہیں۔ ربیعہ بن عذار(Rabbi ben Ezra)نے جن سیاروں کو جانا جاتا تھا انکے اجتماع کی تعداد معلوم کی جبکہ دو کو ایک ساتھ لیا جائے۔ تین ایک ساتھ لیا جائے وغیرہ وغیرہ۔ یہ 140ADکے اریب قریب تھا۔ ایسا لگتا ہے کہ ر بیعہ بن عذار فارمولہ nCr  نہیں جانتا تھا حالانکہ وہ یہ جانتا تھا کہnCr=nCn-r  کی کچھ خاص قیمتوں کے 1321 A.D لیوی بین جرسن(Levi Ben Gerson)ایک دوسرا Hebrewمصنف نے فارمولہnPn,nPrکے لیے دیئے۔
پہلی مکمل کتاب جس نے مبادلہ اور اجتماع کوsubject matter کو مکمل تسلیم کیا وہ (Ars Conjectandi)ارس کنجک ٹنڈی کتاب ہے جسے سوئزرلینڈکے جیکب برنولی(1654-1705AD)(Jacob Bernuli)نے لکھا ہے اور 1713ADمیں اس کے انتقال کے بعد(Posthumously) شائع ہوئی ہے۔ اس کتاب میں مبادلہ اور اجتماع کی ضروری تھیوری ہے جو آج جانی جاتی ہے۔