پچھلی جماعتوں میں ہم یہ سیکھ چکے ہیں کہ دو رکنیوں جیسے a+b اور a+b کے مربع اور کعب کیسے معلوم کئے جاتے ہیں۔ ان کااستعمال کرکے ہم اعداد کی عددی قدریں معلوم کر سکتے ہیں جیسے2(2-100)=2(198),3(1-1000)=3(999)

 وغیرہ۔ حالانکہ اونچی طاقت جیسے5(98),6(101)وغیرہ کا حساب لگانا مشکل ہو جاتا ہے اس ضرب کے دہرانے سے ۔دو رکنی مسئلہ کا استعمال کرکے اس پریشانی کے اوپر قابو پالیا گیا تھا۔ یہa+b)n)کھولنے کا آسان طریقہ دیتی ہے جہاں n ایک صحیح عدد ہے یا ناطق عدد ہے۔ اس سبق میں ہم دورکنی مسئلہ کو صرف مثبت صحیح قوت نما کے لئے پڑھیں گے۔

آئیے ہم پہلے کی گئی مماثلتوں پر غور کریں

1=0(a+b≠0 (a+b

a+b)1=a+b)

(a+b)2=a2+2ab+b2)

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

ان سب کے پھیلاؤ میں دیکھتے ہیں کہ :

(i)  پھیلاؤ میں رکنوں کی تعداد قوت نما سے ایک زیادہ ہے۔ مثال کے طور پر a+b)2)کے پھیلاؤ میں رکنوں کی تعداد3 ہے جبکہ  a+b)2) کا قوت نما 2 ہے۔

(ii)  پہلی رقم' 'aکی طاقت متواترایک ایک کم ہوتی جاتی ہے جبکہ دوسری مقدار b کی طاقت متواتر ایک ایک بڑھتی جاتی ہے متواتر رکنیوں کی۔

 (iii)پھیلاؤ کی ہر ایک رکن میں a اور b کے قوت نماؤں کا جوڑایک جیسااور  a+b)) کے قوت نماکے برابر ہے۔

ان سب پھیلاؤ میں ضریب کو ہم اس طرح ترتیب دیتے ہیں جیسا کہ ذیل میں دیا گیا ہے۔

Index Coefficients

شکل8.1

کیا ہمیں اس جدول میں کوئی نمونہ دکھائی دیتا ہے جو ہماری اگلی قطار لکھنے میں مدد کرے گا؟ہاں، ہمیں دکھائی دیتا ہے، یہ دیکھا جا سکتا ہے کہ قوت نما کی قطار میں1'5 جمع کرنے پر ہمیں 2 ملتا ہے جو اگلی قطار 2میں قوت نما 2 کیلئے ہے۔ 1،2 اور 2 کے جمع کرنے پر 1 قطارمیں 2 قوت نما کیلئے 3 دیتا ہے اور 3 قطار میں قوت نما3 کیلئے اور اس کے آگے ساتھ ہی 1 قطار کے شروع اور آخیر میں موجود ہے۔ یہ جب تک جاری رہ سکتا ہے جب تک ہمارا پسندیدہ قوت نما نہ آجائے۔ 

ہم یہ نمونہ آگے بڑھا تے ہیں کچھ اور قطار یں لکھ کر، اس مشاہدہ کا استعمال کر کے جیسا کہ شکل 8.2 میں دکھایا گیا ہے۔

شکل8.2

شکل 8.2میں دی گئی ساخت ایک مثلث جیسی لگتی ہے ساتھ ہی ’1‘ اس کے top پر اور 2 ترچھے سے نیچے کی طرف آتے ہوئے۔ یہ اعداد کی صف بندی پا سکل کا مثلث(pascals triangle)کہلاتا ہے، فرانسیسی ریاضی داں بلائیس پاسکل (Blaise Pascal) کے نام کے بعد اسے Meru Prastara بھی کہتے ہیں جو Pingla نے کہا تھا۔

دو رکنیوں کا پھیلاؤ زیادہ طاقتوں کیلئے Pascals triangle' 'سے بھی ممکن ہے۔ ہمیں  کو پاسکل کا مثلث استعمال کرکے واضح کرنا چاہئے۔  5 قوت نما کیلئے قطار ہے

1 5 10 10 5 1

اس قطار اور اپنے شاہدوں کا استعمال کرکے ہمیں حاصل ہوتا ہے ۔

5(2x+3y)

=(2x)5+5(2x)4(3y)+10(2x)3+(3y)2+10(2x)2(3y)3+5(2x)(3y)4+(3y)5

اب اگر ہم12(2x+3y)کا پھیلاؤ معلوم کرنا چاہتے ہیں، تو ہمیں پہلے 12 قوت نما کیلئے قطار معلوم کرنی ہوگی۔ یہ تھوڑا لمبا طریقہ ہے، یہ طریقہ جیساکہ آپ دیکھ رہے ہیں، اور مشکل ہوجائے گا، اگر ہمیں اور زیادہ طاقت والی termsکو کھولنا ہوگا۔

اب ہم ایک ایسا اصول معلوم کرنے کی کوشش کرتے ہیں جس سے دورکنیوں کا پھیلاؤ کسی بھی طاقت کیلئے بغیر پوری پاسکل کے مثلث کی قطاریں لکھے اور مطلوبہ قوت نما کی قطار سے پہلے حل کر سکے۔ 

اس کے لئے ہم پہلے پڑھے اجتماع کی سوچ کا استعمال کریں گے، پاسکل کے مثلث میں دوبارہ اعداد لکھنے کیلئے، ہم جانتے ہیں کہ اور nایک غیر منفی صحیح عدد ہے۔ساتھ ہی

پاسکل کا مثلث اب اس طرح لکھا جا سکتا ہے جیسا کہ شکل 8.3

اس نمونے کو دیکھنے کے بعد ہم پاسکل کی مثلث کی قطاریں کسی بھی قوت نما کیلئے بغیر پچھلی قطاریں لکھے لکھ سکتے ہیں۔ مثال کے طور پر قوت نما 7 کیلئے قطاریں یہ ہوں گی

7C0 7C1 7C2 7C3 7C4 7C5 7C6 7C7

دو رکنی کا کسی بھی صحیح قوت نما مان لیجئے nکیلئے پھیلاؤ کو ان سوچ ( خیال) (Observation) کا استعمال کر کے دیکھا جا سکتا ہے۔ اب ہم اس حالت میں ہیں کہ دورکنی کا کسی بھی صحیح قوت نما کیلئے پھیلاؤ لکھ سکتے ہیں۔

(a+b)n=nC0an+nC1an-1b+nC2an-2+...+nCn-1a.bn-1+nCnbn

ثبوت    ریاضی کا امالہ کا اصول استعمال کرکے ثبوت حاصل کیا گیا ہے۔

مان لیا دیا ہوا بیان ہے۔

P(n):(a+b)n=nC0an+nC1an-1b+nC2an-2b2+...+nCn-1a.bn-1+nCnbn

n=1کے لیے ہمارے پاس ہے۔

P(n):(a+b)1=1C0a1+1C1b1=a+b

اس لئے  (P(1درست ہے۔

مان لیجئے  (P (kکسی مثبت صحیح عدد k کیلئے صحیح ہے ,(اس کا مطلب) 

ہم یہ ثابت کریں گے کہ(P(k+1بھی صحیح ہے،( اس کا مطلب) 

(حقیقی ضرب سے)

اس لئے، یہ ثابت ہوچکا ہے (P(+1کیلئے بھی درست ہے جب بھی (P(k کیلئے درست ہے ۔ اس لئے ریاضی کے امالہ کے اصول سے (P(nدرست ہے تمام مثبت صحیح اعداد  n کیلئے۔

  ہم یہ مسئلہ x+2)6) واضح کرکے سمجھاتے ہیں۔ 

    

اس لیے  

اس طرح مسئلہ کو اس طرح بھی بیان کیا جا سکتا ہے 

2.   ضریب nCr جو دو رکنی مسئلہ میں واقع ہو رہا ہے دو رکنی ضریب کہلاتا ہے۔ 

3.  a+b)n) کے پھیلاؤ میں (n+1)ارکان ہیں اس کا مطلب قوت نما ایک سے زیادہ۔

4.  ارکان کے لگارتا ر پھیلاؤ میںa کے قوت نما میں ’1‘ کی کمی (گھٹ جا نا) ہوتی جاتی ہیں۔ اگر یہ پہلے رکن میں nہے تو دوسرے رکن میں n+1) ہوگا اور اس طرح آخری رکن میں ’0‘ ہوگا، اسی وقت’b‘کا قوت نما ’1‘ سے بڑھتا جاتا ہے جو کہ پہلے رکن میں’0‘ہے،  دوسرے رکن میں ’1‘ اور اسطرح آخری رکن میں n ہوگا۔

.5 a+b)n)کے پھیلاؤ میں a اورb کی قوت نما ؤں کا جوڑ n+0=n ہے پہلے رکن ہیں،n-1)+1=n) دوسرے رکن میں اور اسی طرحآخری رکن میں، اس طرح، یہ دیکھا جاسکتاہے کہ قوت نماؤں a اور b کا جوڑ ہر رکن کے پھیلاؤ میں nہے۔

اس کا استعمال کرکے، ہمارے پاس ہے

خاص طور پر، x=1 کے لیے ہمارے پاس ہے

مثال 1  کو پھیلاؤ کی شکل میں لکھئے جہاں 0≠xہو

حل دور کنی مسئلہ کا استعمال کرنے پر، ہمارے پاس ہے۔

مثال2  5(98)کی قیمت معلوم کیجئے 

حل ہم 98 کو دو نمبروں کے جوڑ یا فرق میں ظاہر کرتے ہیں جن کی طاقتوں کی قیمت معلوم کرنا آسان ہے اور اس کے بعد دو رکنی مسئلہ کا استعمال کریں۔

98=100-2

کےبرابر لکھئے۔

اس لیے

(98)5=(100-2)2

=5C0(100)5-5C1(1004.2+5C2(100)322

-5C3(100)2 (2)3+5C4(100)(2)4-5C5(2)5

=10000000000-5x 100000000x 2+10x1000000

x4-10x10000x8+5x100x16-32

=10040008000-1000800032=90399207968

3مثال

 (1.01) 1000000

یا

10,000

میں کون بڑا ہے۔

حل 1.01 کو توڑنے اور دو رکنی مسئلہ کا استعمال کرنے پر پہلے کچھ رکن لکھنے پر ہمارے پاس ہے 

دوسرے مثبت رکن

=(1000000C0+1000000C1(0.01)+

دوسرے مثبت رکن

=1+1000000x0.01+

دوسرے مثبت رکن

=1+10000+

>10000

(1.01) 1000000>10000اس لیے

مثال  4  دو ر کنی مسئلہ کا استعمال کرکے، ثابت کیجئے کہ  کو 25 سے تقسیم کرنے پر ہمیشہ 1 بچتا ہے۔

حل  a  اور  b  دو اعداد کیلئے اگرہم دو اعداد  r   اور  q  معلوم کر سکیں تاکہa=bq+rتب ہم کہتے ہیں کہ a'  b  کو qکیساتھ تقسیم کرتا ہے اور r باقی ہے اس طرح یہ دیکھانے کیلئے کہ جب 6n-5n کو 25تقسیم کرتا ہے اور ’1‘ باقی بچتا ہے، ہم ثابت کرتے ہیں6n-5n=25k+1جہاں  k کوئی طبعی اعداد ہے۔

ہمارے پاس ہے

(1+a)n=nC+nC1a+nC2a2+...+nC0an

a=5کیلئے ، ہمیں حاصل ہوتا ہے۔

(1+5)n= nC0+ nC15+nC252+...+nC05n

(6)n= 1+ 5n+52nC2+53nC3+...+5n

یعنی

مشق میں دی گئی 1 تا 5 عبارتوں کو پھیلاؤ کی شکل میں لکھئے 

دو رکنی مسئلہ کا استعمال کرکے ذیل میں ہر ایک کی قیمت معلوم کیجئے ۔

10.   دو رکنی مسئلہ کا استعمال کر کے بتائیے( دکھائیے ) کون سا عدد   بڑاہے۔

1. a+b)n)کیلئے دو رکنی پھیلاؤ میں ہم دیکھتے ہیں کہ پہلا رکن nC0an ہے، دوسرا رکن nC1na-1b ہے ، تیسرا رکن  nC2an-rbr ہے اور اسی طرح آگے ہے، ان ارکان کے لگاتا ر نمونے کو دیکھتے ہوئے ہم کہہ سکتے ہیں کہ رکن رکن )a+b)n کے پھیلاؤ میں عام رکن کہلاتا ہے ۔ یہTr+1 سے دکھا یا جاتا ہے ۔ اس طرح 

2. درمیانی رکن کے مطابق a+b)n) کے پھیلاؤ میں ہمارے پاس ہے۔

(i)  اگر n جفت ہے ، تب پھیلاؤ میں ارکان کی تعداد n+1 ہوگی۔ جیسے n جفت ہے پس n+1 طاق ہے۔اسلئے،

 

(ii)  اگر n طاق ہے تب n+1 جفت ہے ، اس طرح پھیلاؤمیں دو درمیانی ارکان ہوں گے  رکن اور

  رکن، اس طرح  2x-y)7) کے پھیلاؤ میں، درمیائی ارکان ہیں  چوتھے اور

   یعنی پانچویں رکن۔

3.  جہاں x≠0 کے پھیلاؤ میں درمیانی رکن ہے

یعنی n+1)th) رکن، کیونکہ 2nمثبت ہے۔

یہ  (مستقل) سے دیا گیاہے۔

یہ رکن x سے آزاد رکن کہلاتا ہے یا مستقل رکن۔

مثال  5  aمعلوم کیجئے اگر 17 ویں اور 18ویں ارکان کے پھیلاؤ میں برابر ہوں ۔

حل  کے پھیلاؤ میںسے دیا گیا ہے۔

17 ویں رکن کے لئے، ہمارے پاس ہے 

مثال  6 دکھائیے کہ درمیانی رکنہے جہاں nایک مثبت صحیح عدد ہے۔

حل  جیسے 2n جفت ہے ، کے پھیلاؤ میں درمیانی رکن ہے، یعنی  رکن جو کہ

 دیا گیا ہے،

مثال  7 کے پھیلاؤ میں کا ضریب معلوم کیجئے۔

حل  مان لیجئےکے پھیلاؤ میں رکن میں واقع ہوتا ہے۔

اب  

x6y3 میں xاورy کے قوت نماؤں کا مقابلہ کرنے پر اور Tr+1 میں ،ہمیں حاصل ہوتا ہے r=3 

اس طرح،  x6y3 کا ضریب ہے 

مثال  8  x+a)n)کے دو رکنی پھیلاؤ میں دوسرے، تیسرے اور چوتھے ارکان بالترتیب 240، 720اور1080ہیں۔ x،  a اورn معلوم کیجئے۔

حل  دیا ہوا ہے کہ دوسرا رکن 

 (2) کو (1) سے تقسیم کرنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے،

(3) کو (2) سے تقسیم کرنے پر ہمارے پاس آتاہے۔

ان مساوات کو aاورx کیلئے حل کرنے پر ہمیں x=2 اورa=3 حاصل ہوتا ہے۔ 

مثال  9  I+a)n)کے پھیلاؤ میں تین لگاتار ارکان کے ضر یب نسبت میں 7:1 42:ہے ۔n معلوم کیجئے۔

حل مان لیجئے I+a)n)کے پھیلاؤ میں تین لگاتار ارکان رکن ہے اور اس کا ضریب ہے ۔ اسی طرحکے ارکان کے ضریب  ہیں۔

کیونکہ ضریب !:42:7 میں ہیں،اس طرح ہمارے پاس ہے

مساوات (1) اور (2) کو حل کرنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے، n=55

ان کے ضریب معلوم کیجئے ۔

 

ذیل کے پھیلاؤ میں عام رکن معلوم کرو۔

ذیل کے پھیلاؤ میں درمیانی ارکان معلوم کیجئے ۔

10.   x+a)m+n)کے پھیلاؤ میں ارکان کے ضریب 5:3:1 نسبت میں ہیں ۔n اور r معلوم کیجئے۔

11.   ثابت کیجئے کہ a+x)2n)کے پھیلاؤ میںxn کا ضریب

(1+x)2n-1

کے پھیلاؤ میںxn کے ضریب کا دوگنا ہے۔

m  .12 کی ایک مثبت قدر معلوم کیجئے جس کے لئے کے پھیلاؤ میں x2 کا ضریب 6 ہے۔ 

مثال  10  کے پھیلاؤ میں وہ رکن معلوم کیجئے جو x سے آزاد ہو۔

رکن x سے آزاد ہوگا اگر xکا قوت نما صفر ہو یعنی اس طرح r=4 ،اس لئے5 واں ارکا نx سے آزاد ہے اور دیا گیا ہے

مثال 11  اگرar-1اورar کے ضریب کے پھیلاؤ میں حسابی تصاعد Arithmetic Progression) ) میں ہیں تو ثابت کیجئے کہ 

حل  پھیلاؤ میں  ہے۔ اس طرح یہ دیکھا جا سکتا ہے کہ رکن میں واقع ہوتا ہے اور اس کا ضریب nCrہے اس لئے کے ضریب موجود ہے ہیں، کیونکہ ایک ضریب حسابی تصاعد میں ہیں اس طرح ہمارے پاس ہے 

مثال 12  ثابت کیجئے کہ کے پھیلاؤ میں درمیانی رکن کا ضریب کے پھیلاؤ دو درمیانی ارکان کے ضریب کے جوڑ کے برابر ہے۔

حل جیساکہ2n جفت ہے اس طرح۔ کے پھیلاؤ میں صرف ایک درمیانی رکن ہے جو کہہے یعنی ہے۔ اسی طرح کیونکہ(2n-1)طاق ہے۔ 

دوسرے پھیلاؤ میں دو ارکان موجود ہیں 

 ان ارکان کے ضریبnthاورn+1)th)ہیں

اس طرح 2n-1Cn-1اور.2n-1Cn

اب

2n-1Cn-1+2n-1Cn=2nCn

[nCr-1+nCr=n+1Cr,]

جو کہ مطلوب ہے

مثال13

کا ضریب معلوم کیجئے۔

حل      ہم پہلے دیئے ہوئے حاصل ضرب کے ہر ٹکڑے کو دو رکنی مسئلہ کا استعمال کر کے پھیلاؤ کی شکل میں لکھیں۔

دو نوں بریکٹوں کی مکمل ضرب کرنے کی ضرورت نہیں ہے۔ ہم صرف ان ارکان کو لکھتے ہیں جن میںa4 شامل ہے، یہ اس وقت ہو سکتا ہے جب ہم یہ نوٹ کر لیں جن ارکان میںa4 شامل ہے وہ یہ ہیں۔

اس a4 کا ضریب دیئے ہوئے حاصل ضرب میں 438ہے۔

مثال 14  کے سرے سے rth رکن معلوم کیجئے ۔

حل   ارکان ہیں۔ ارکان کا مشاہدہ کر کے ہم یہ کہہ سکتے ہیں کہ سرے سے پہلا رکن آخری رکن ہے یعنی پھیلاؤ میںسرے سے دوسرا رکن پھیلاؤ کیnth رکن ہے، اورسرے سے تیسرا رکن پھیلاؤ کی n-1)th)رکن ہے اور

  اور اسی طرح آگے بھی۔ اس طرح سرے سے کے پھیلاؤ کی رکنی عدد ہوگی۔ اورہے۔

مثال 15 ، کے پھیلاؤ میں x سے آزاد رکن معلوم کیجئے۔

کیونکہ ہمیں وہ رکن معلوم کرنا ہے جو x سے آزاد ہو، اس کا مطلب وہ رکن جس میں x نہیں ہو، اس طرح لیجئے 

مثال 16  ایک طبعی عدد ہے ۔ کے پھیلاؤ میں پہلے تین ارکان کے ضریب کا حاصل جمع 559 ہے۔ پھیلاؤ میں وہ رکن معلوم کیجئے جس میںx2 ہو۔ 

حل   کے پھیلاؤ میں پہلے تین ارکان کے ضریب ہیں۔اس لئے سوال کے مطابق

جو m=12 دیتا ہے ( کیونکہ m طبعی عدد ہے)

کیونکہ ہمیں ان رکن کی ضرورت ہے جس میں x3 ہواس لئے رکھیئے

اس لئے مطلوبہ رکن

مثال 17  اگرارکان کے ضریب برابر ہوں تو r معلوم کیجئے۔

حل r-5)34)کے پھیلاؤ میں ارکان کے ضریب بالترتیب ہیں کیونکہ وہ برابر ہیں اس طرح

اس لئے یا تو

یہ حقیقت (اصول) استعمال کرنے پر کہ اگر ۔۔۔ تب یا تو r=pیاr=n=pہوگا۔ 

اس طرح ہمیں حاصل ہوتا ہے r=-4یاr=14،کیونکہ r ایک طبعی عدد ہے ،اس لئے r=4ممکن نہیں ہے۔ 

اس طرحr=14

1. a+b)n)کے پھیلاؤ میں a، اورn کی قیمت معلوم کیجئے اگر پھیلاؤ کے پہلے تین ارکان بالترتیب 729،729 اور30375ہوں۔

2.  کے ضریب برابر ہوں تو a کی قیمت معلوم کیجئے۔

3. کے پھیلاؤ کے حاصل ضرب میںx5کا ضریب معلوم کیجئے ۔

4.  اگرaاورb مختلف صحیح اعداد ہیں ، تو ثابت کیجئے کہ  کا جزو  ضربی ہے جبکہ n ایک مثبت صحیح عدد ہے ۔

[اشارہکو لکھئے اور پھیلاؤ کی شکل میں لکھئے]

7. کے پھیلاؤ کے پہلے تین ارکان استعمال کرکے اس کی تقریبا قیمت نکالیے۔

8. nکی قیمت معلوم کیجئے اگر شروع سے پانچویں رکن اور سرے سے پانچویں رکن کی نسبت ْ6:1کے پھیلاؤ میں ہو۔

9. کو دو رکنی مسئلہ استعمال کرکے پھیلا یئے۔

10.  کا پھیلا دو رکنی مسئلہ استعمال کرکے کیجئے۔