ریاضی میں لفظ تواتر لگ بھگ اسی طرح استعمال ہوتا ہے جیسا کہ عام انگریزی میں۔ جب ہم یہ کہتے ہیں کہ اشیاء کا مجموعہ ایک تواتر میں رکھا گیا ہے، تو عام طور پر ہمارا یہ مطلب ہوتا ہے کہ مجموعہ ایک خاص انداز میں اس طرح رکھا گیا ہے کہ پہچانا ہوا پہلا عدد، دوسرا عدد، تیسرا عدد اور وغیرہ وغیرہ۔ مثال کے طور پر انسانوں یا بیکٹیریا کی آبادی مختلف اوقات پر ایک تواتر بناتی ہے۔ بینک میں جمع کی گئی رقم، پانچ سال سے زیادہ کے لئے ایک تواتر بناتی ہے۔ اشیاء کی گھٹتی ہوئی قیمتیں ایک تواتر میں واقع ہوتی ہیں۔ تواترات بہت سے انسانی حلقوں کی کارکردگی میں اہم کردار (اطلاق) ادا کرتی ہیں۔

فلبوناکی

(1175-1250)

جو تواترات ایک خاص پیٹرن (نمونے) کے حساب سے (زیر) کام کرتی ہیں انہیں تصاعد (Progression) کہا جاتا ہے۔ ہم نے پچھلی کلاس میں حسابی تصاعد (Arithmetic Progression A.P) کے بارے میں پڑھا ہے۔ اس سبق میں ہم (A.P) پر اور زیادہ بات چیت کرنے کے علاوہ، حسابی درمیانہ (Arithmetic Mean A.M)، جیومیٹری درمیانہ (Geometric Mean G.M)، A.M اور G.M میں تعلقات، لگاتار n طبعی اعداد کے ارکان کی خاص سلسلئی، طبعی اعداد کے n ارکان کے مربعوں کا جوڑ، طبعی اعداد کے n ارکان کے مکعبوں (Cubes) کا جوڑ کا بھی مطالعہ کریں گے۔

ہمیں ذیل مثالوں پر غور کرنا چاہئے:

مان لیجئے ایک پیڑھی کا فرق 30 سال ہے۔ ہم سے یہ کہا گیا ہے کہ اپنے بزرگوں کی تعداد معلوم کیجئے جن میں ماں باپ، دادا دادی، پردادا پردادی وغیرہ شامل ہیں وغیرہ وغیرہ اور وہ لوگ جن کی عمر تقریباً 300 سال سے زیادہ ہو۔

یہاں پیڑھیوں کی کل تعداد

بزرگوں کی تعداد پہلی، دوسری، تیسری، ۔۔۔۔۔۔۔ اور دسویں پیڑھیوں میں2,4,8,16,32اور1024ممبر ہیں۔ ممبر کے اس سلسلے کو ہم تواتر کہتے ہیں۔

لگاتار خارج قسمت پر غور کیجئے کہ جو ہم 10 کو 3 سے تقسیم کرنے پر مختلف اقدام لیتے ہیں۔ اس عمل میں ہمیں 3, 3.3, 3.33, 3.333....... وغیرہ وغیرہ حاصل ہوتے ہیں۔ یہ خارج قسمت بھی ایک تواتر بناتے ہیں۔ تواتر میں مختلف واقع ہونے والے اعداد ارکان کہلاتے ہیں۔ ہم تواتر کے ارکان کو

 a1,a2,a3,...,an...,

سے ظاہر کرتے ہیں۔ زیر نوشتے (Subseripts) رکن کی جگہ بتاتے ہیں۔ nthرکن nth جگہ پر تواتر کا عدد ہے اور یہ an سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ nth رکن کو تواتر کاعام رکن بھی کہا جاتا ہے۔

اس لئے آباواجداد کے لوگوں کے تواتر کے ارکان جو اوپر دیے ہوئے ہیں یہ ہیں:

a1=2,a2=4,a3=,...,a10=1024

اسی طرح لگاتار خارج قسمت کی مثال ہیں

a1=3,a2=3.3,a3=3.33,...,a6=3.3333,

وہ تواتر جس میں ارکان کی تعداد محدود ہو محدود تواتر کہلاتی ہے۔ مثال کے طور پر آباواجداد کی تواتر ایک محدود تواتر کہلاتی ہے کیونکہ اس میں 10 ارکان ہیں۔ ( ایک محدود نمبر)

ایک تواتر اس وقت لامحدود کہلاتی ہے جب یہ محدود تواتر نہ ہو۔ مثال کے طور پر لگاتار خارج قسمت کی تواتر جو اوپر دیا گیا ہے لامحدود تواتر کہلاتاہے، لامحدود اس طرح کہ یہ کبھی ختم نہیں ہوتا۔ کبھی کبھی اس طرح کے اصول کو بتانا بھی ممکن ہوتا ہے جو تواتر کے ارکان کو الجبری فارمولے کی شکل میں دکھائے۔ ایک لمحہ کے لئے جفت طبعی اعداد کی تواتر 2,4,6,... پر غور کیجئے۔

a1=2=2x1 a1=42x2

a3=6=2x3 a4=8=2x4

... ... ... ... ... ...

... ... ... ... ... ...

a23=46=2x23 a24=48=2x24

  دراصل ہم یہ دیکھتے ہیں کہ اس تواتر کی nth رکن کو an=2n، جہاں n ایک طبعی عدد ہے، بھی لکھا جاسکتا ہے۔ اسی طرح طاق طبعی اعداد کی تواتر 1,3,5,... کی nth رکن کو فارمولہ an=2n-1 جہاں n ایک طبعی عدد ہے سے ظاہر کیا جاتا ہے۔

کچھ صورت حال میں اعداد کا اظہار مثال کے طور پر 1,1,2,3,5,8,... کا کوئی خاص نمونہ (پیٹرن) نہیں ہوتا۔ لیکن تواتر کو متواتر رشتہ سے نکالا جاتا ہے۔ جیسا کہ دیا گیا ہے۔

a1=a2=1

a3=a1+a2

an=a-n-2+a-n1,n>2

اس تواتر کو Fibonacci sequence  کہا جاتا ہے۔

مفرد اعداد 2,3,5,7,..., (Primes nos) کی تواتر میں ہم نے نکالا ہے کہ nth مفرد عدد کے لئے کوئی فارمولہ نہیں ہے۔ اس طرح کی تواتر کو صرف زبانی طریقے سے سمجھا جاسکتا ہے۔

ہر ایک تواتر میں ہمیں یہ امید نہیں رکھنی چاہئے کہ اس کے ارکان کسی خاص فارمولے کی مدد سے دیئے جائیں گے۔ حالانکہ ہمیں ایک نظری اسکیم کی امید ہے یا ایک اصول جس کے ذریعہ ارکان

a1,a2,a3,...,an...

کو لگاتار پیدا کیا جائے۔

مان لیا

a1,a2,a3,...,an

 ایک دی ہوئی تواتر ہے۔ تب وہ عبارت

ایک سلسلئی کہلاتی ہے جو دی ہوئی تواتر کے ساتھ منسلک ہے۔ سلسلئی محدود یا لامحدود ہوگی۔ جیسا کہ دی ہوئی تواتر محدود یا لامحدود ہے۔ سلسلئی زیادہ تر حیت (Compact) شکل میں ظاہر کی جاتی ہیں جسے ہم سگما (Sigma) سے ظاہر کرتے ہیں اور اس ∑ (Sigma) گریک "Greek" حرف کا مطلب ہے جمع سازی (Summation)۔ اس لئے سلسلئیمیں مختصر کیا جاتا ہے۔

جب سلسلئی استعمال کی جاتی ہے تو اس کا مطلب ہے دکھایا ہوا جوڑ (sum) تاکہ اس کا اپنا جوڑ مثال کے طور پر 1+3+5+7 ایک محدود سلسلئی ہے جس میں چار ارکان ہیں۔ جب ہم ایک چھوٹا جملہ (phrase) ’’سلسلی کا جوڑ‘‘ کا استعمال کرتے ہیں۔ ہمارا مطلب ہوتا ہے ارکان کا جوڑ، اس سلسلی کا جوڑ 16 ہے۔

اب ہم کچھ مثالوں پر غور کریں گے۔

  نیچے دی گئی ہر ایک تواترات کے پہلے تین ارکان لکھئے جو کہ ذیل طریقے سے واضح کی گئی ہیں۔

n=1,2,3 رکھنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے

مثال 2 تواتر

an=(n-1)(2-n)(3+n)

کا20واں رکن ہوگا؟

حل

رکھنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہےn=20

a20=(20-1) (2-20) (3+20)

=19x(-18)x(23)x(23=-866

مثال 3مال لیجئے تواترanذیل کی طرحDefineکی گئی ہے

a1=1,an=an-1+2for n ≤2

پہلے پانچ ارکان نکالیئے اور اس کے مطابق سلسلئی بنائیے۔

حل  ہمارے پاس ہے،

a1=1, a2=a1+2=1+2=3,= a3=a2=3+2=5,

a4=a3+2=5+2=7,a5=a4+2=7+2=9

اس لئے تواتر کے پہلے پانچ ارکان 1,3,5,7 اور 9 ہیں۔ اس کے مطابق سلسلئی

1+3+5+9+...

 ہے

مشق 1 تا 6 تک تواترات کے پہلے 5 ارکان معلوم کیجئے جن کی nth رکن اس طرح ہیں۔

مشق 7 تا 10 تواترات میں دکھائے گئے ارکان معلوم کیجئے جن کی nth رکن یہ ہیں۔

مشق 11 تا 13تواترات کے پہلے پانچ ارکان معلوم کیجیے اور ان کے مطابق سلسلئی معلوم کیجیے۔

ہم پچھلے پڑھے کچھ فار مولوں اور خاصیتوں کا اعادہ کرتے ہیں۔

تواتر 

a1,a2,a3,...an,...

اس وقت حسابی تواتر یا خابی تعاعدد کہلائے گی اگر

an+1=an+d, n ∈N,

 ہو a1 پہلا رکن کہلائے گا اور مستقل رکن 'A.P'dکا یکساں فرق کہلائے گا۔ 

ہم ایکA.P(اپنی اصل شکل میں) پر غور کرتے ہیں جس کا پہلا رکنaاور یکساں فرق dہے یعنی

ہم A.Pکی ذیل خصوصیات کی تصدیق کرسکتے ہیں۔

(i) اگرA.P کے ہر رکن میں ایک مستقل (Constant) کو جمع کیا جائے۔‘‘ تو نتیجتاً تواتر بھی ایک A.Pہوگی۔

(ii) اگر ایک مستقل کو A.Pکی ہر تواتر سے گھٹایا جائے .، تو نتیجتاً تواتر بھی ایکA.P ہوگی۔

(iii)  اگرA.P کے ہر رکن کو ایک مستقل سے ضرب کیا جائے تو نتیجتاً تواتر بھی ایکA.Pہوگی۔

(iv)  اگرA.Pکے ہر رکن کو ایک غیر صفر مستقل سے تقسیم کیا جائے تب نتیجتاً تواتر بھی ایک A.Pہوگی۔

یہاں ہم ذیل علامتی اظہار کا استعمال حسابی تصاعد میں کریں گے۔

پہلی رکنa=‘ آخری رکنl=‘یکساں فرقJ=‘ارکان کی تعدادn=

تب،A.P کےnارکان کا جوڑSn

مان لیجیے

a,a+d,a+2d,...,a+(n-1)d

کو ایکA.Pہے۔ تب

ہم یہ بھی لکھ سکتے ہیں

ہم اب کچھ مثالوں پر غور کرتے ہیں۔

مثال  4   اگر ایک A.P میں mth رکن n ہے اور nth رکن m ہے جہاں m≠n، تب Pth رکن معلوم کیجئے۔

حل ہمارے پاس ہے

(1) ...  am=a+(m-I)d=n

اور

(2) ... an=a+(n-I)d=m

(1)اور (2) کو حل کرنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے

(3) ... d=_1 یا (m-n)d=n-m

اور

(4) ... a=n+m-1

ap=a+(p-1)d اس لیے

=n+m-1+(p-1) (-1)=n+m-p

ہے۔n+m-pرکن pth

مثال  5  اگر ایک A.P کے  ہے جہاں P اور Q مستقل ہیں تو یکساں فرق معلوم کیجئے۔

حل  مان لیجئےa1,a2,...an دی ہوئی A.P ہے۔

اس لیے

s1=a1=P,S2=a1+a2=2P+Q

کہ

a2=S2-S1=P+Q

اس لیے یکساں فرق

d=a2-a1=(P+Q)-P=Q

مثال  6 دو حسابی تصاعد کے n ارکان کا جوڑ(3n+8):(7n+15)

کی نسبت میں ہے۔ ان کے بارہویں ارکان کی نسبت معلوم کیجئے۔

حل  مان لیجئےa1,a2اور

d1,d2

دو پہلے ارکان اور یکساں فرق ہیں۔ بالترتیب پہلے اور دوسرے حسابی تصاعد کے دیے ہوئے حالات کے مطابق ہمارے پاس ہے

اس لئے مطلوبہ نسبت 7:16 ہے۔

مثال  7 ایک آدمی کی پہلے سال کی آمدنی 3,00,000- روپئے ہے اور اسے اگلے 19 سال تک کے لئے 10,000/- روپے سالانہ بڑھی ہوئی رقم ملتی ہے۔ بتائیے وہ 20 سال میں کل کتنی رقم حاصل کرے گا۔

حل  یہاں ہمارے پاس ایک A.P ہے جس میںd=10,000'a=3,00,000اورn-20ہے

جوڑ والا فارمولا استعمال کرنے پر ملتا ہے

اس لئے آدمی کو 20 سال کے آخر میں کل -/79,00,000 روپے ملیں گے۔

دو اعداد a اور b دیئے گئے ہیں۔ ہم ان کے بیچ میں ایک نمبر A ڈال سکتے ہیں تاکہ a,A,b ایک A.P ہوجائے۔اس طرح عدد A اعداد a اور b کا حسابی درمیانہ (A.M) ہے۔ یہ اس کیس میں نوٹ کرلیجئے، ہمارے پاس ہے

ہم A.M کی وضاحت دو اعداد a اور b کے درمیان اس طرح بھی کرسکتے ہیں کہ یہ ان کا درمیانی عدد ہے یعنی ۔

  مثال کے طور پر دو اعداد 4 اور 16 کا A.M 10  ہے۔ اس طرح ہم نے ایک A.P  4,10,16 بناتی ہے 10 کو 4 اور 6 کے درمیان دو یا دو سے زیادہ اعداد ڈال سکتے ہیں تاکہ نتیجتاً تواتر ایک A.P بن جائے؟ دیکھئے کہ دو اعداد 8 اور 12،  4 اور 16 کے درمیان ڈالے جاسکتے ہیں تاکہ نتیجتاً تواتر 4,8,12,16 ایک A.P بن جائے۔

اور زیادہ عام طور پر دئیے ہوئے دو اعداد a اور b کے درمیان ہم جتنے چاہیں اعداد ڈال سکتے ہیں اور نتیجتاً تواتر ایک A.P ہوگی۔

مان لیجئے a A1,A2,A3,...An اورbکے درن n اعداد ہیں تاکہ

a,A1,A2, A3,...An,b ایک A.P ہو۔

اس طرح a اور b کے درمیان n اعداد ذیل طرح سے ہیں

مثال8 3  اور 24 کے درمیان 6 اعداد لکھئے تاکہ نتیجتاً تواتر ایک A.Pہو۔

حل مان لیجئے 3 اور 24 کے درمیان چھ اعدادA1, A2, A3,A4, A5 اورA6 ہیں تاکہ

A.P 3, A1, A2, A3, A4, A5, A6, 24

میں ہو۔ یہاں

n=8'b=24'a=3 

ہے

اس لیے

24=3+(8-1)d,so that d=3

A1 = a+d=3+3=6; A2=a+2d=3+2x=9;

A3=a+3d=3+3x3=12; A4=a+4d=3+4x3=15;

A5=a+5d=3+5x3=18; A6=a+6d=3+6x3=21.

اس طرح 3اور24کے  درمیان 6اعداد

18‘15‘12‘9‘6

ہیں۔

1.   1 تا 100 تک کے طاق صحیح اعداد کا جوڑ معلوم کیجئے۔

2.   100  اور  1000 کے درمیان آنے والے ایسے طبعی اعداد کا جوڑ معلوم کیجئے جو 5 کے ضعف ہوں۔

3.  ایک A.P میں پہلا رکن 2 ہے اور پہلے 5 ارکان کا جوڑ اگلے پانچ ارکان کے جوڑ کا ایک چوتھائی ہے ۔ تو دکھائیے کہ بیسواں رکن (-112) ہے۔

4. ایک   میں کتنے ارکان کی ضرورت ہے تاکہ جوڑ -25 ہوجائے؟

5.   ایک A.P میں اگر ہو، تو ثابت کیجئے کہ پہلے pq ارکان کا جوڑ  ہے، جہاں p≠q کے۔

6.   اگر A.P۔۔۔۔۔ 25، 22، 19 کے کچھ اعداد کا جوڑ 116 ہے تو آخری رکن معلوم کیجئے۔

7.   اس A.P کے n ارکان کا جوڑ معلوم کیجئے جس کا kth رکن 5k+1 ہے۔

8.   اگر ایک A.P کے n ارکان کا جوڑ  ہے، جہاں p اور q مستقل ہیں، تو یکساں فرق معلوم کیجئے۔

9 .   دو حسابی تصاعد کے n ارکان کا جوڑ  کی نسبت میں ہے، ان کے 18ویں ارکان کی نسبت معلوم کیجئے۔

10.  اگر ایک A.P کے پہلے p ارکان کا جوڑ پہلے q ارکان کے جوڑ کے برابر ہو تو پہلے (p+q) ارکان کا جوڑ معلوم کیجئے۔

11.  ایک A.P کے پہلے p، q اور r ارکان کا جوڑ بالترتیب a، b اور c ہے۔ تو ثابت کیجئے کہ 

12. ایک A.P میں m اور n ارکان کے جوڑوں کی نسبت  ہے، تو دکھائیے کہ mth اور nth رکن کی نسبت  ہے۔

13.  اگر ایک A.P کے n ارکان کا جوڑرکن 164 ہے۔ تو m کی قیمت معلوم کیجئے۔

14.  8 اور 26 کے درمیان پانچ اعداد لکھئے تاکہ نتیجتاً تواتر ایک A.P ہو۔

15.  اگر ،  a  اور  b کے درمیان A.M ہے، تو n کی قیمت معلوم کیجئے۔

16.  1  اور 31 کے درمیان m اعداد اس طرح داخل کیے گئے ہیں تاکہ  اعداد کی نسبت 5:9 ہو، تو m کی قیمت معلوم کیجئے۔

17.  ایک آدمی اپنا قرض واپس کرنے میں پہلی قسط 100 روپے دیتا ہے، اگر وہ ہر مہینے اپنی قسط 5 روپے بڑھاتا ہے تو وہ تیسویں قسط میں کتنی رقم دے گا۔

18.  دو لگاتار کثیر ضلعی کے اندرونی زاویوں کا فرق °5 ہے۔ اگر سب سے چھوٹا زاویہ °120 کا ہو، تو کثیر ضلعی کے ضلعوں کی تعداد معلوم کیجئے۔

ہم ذیل تواترات پر غور کرتے ہیں۔

ان سب ہی تواترات میں ان کے ارکان کیسے آگے بڑھتے ہیں؟ ہم یہ نوٹ کرتے ہیں کہ پہلے رکن کے علاوہ ہر رکن ایک خاص ترتیب میں آگے بڑھتا ہے۔

اسی طرح (iii) میں کس طرح ارکان آگے بڑھتے ہیں؟ یہ دیکھا گیا ہے کہ ہر کیس میں پہلے رکن کے علاوہ ہر رکن میں ایک مستقل نسبت ہوتی ہے اپنے سے بالکل پہلے رکن کے ساتھ۔(i) میں یہ مستقل نسبت 2 ہے (ii) میں یہ  ہے اور (iii) میں مستقبل نسبت 0.01 ہے۔ اس طرح کی تواترات کو جیومیٹریائی تواترات یا جیومیٹریائی تصاعد کہتے ہیں اور جسے GP سے ظاہر کیا جاتا ہے۔

تواتر ...,a1,a2,a3,...an ایک جیومیٹریائی تصاعد کہلاتا ہے اگر ہر رکن غیر صفر ہو اور (مستقل)  کے لئے۔

a1=aماننے پر ہمیں,...,a,ar,ar2,ar3

جیومیٹریائی تصاعد ملتا ہے جہاں a پہلی رکن کہلاتا ہے اور r،  G.P کی یکساں نسبت کہلاتی ہے۔ اوپر (i)، (ii) اور (iii) میں جیومیٹریائی تصاعدمیں یکساں نسبت بالترتیب اور 0.01 ہے۔

جس طرح حسابی تصاعدمیں nth رکن یا n ارکان کا جوڑ معلوم کرنے کا مسئلہ ایک جیومیٹری آئی تصاعد جس میں ارکان بہت زیادہ ہوں ایک مشکل عمل ہے۔ بغیر فارمولہ استعمال کئے جسے ہم اگلے سیکشن میں نکالیں گے۔ ہم ان فارمولوں میں ذیل علامات کا استعمال کریں گے۔

a=پہلا رکن، r= یکساں نسبت، l=آخری رکن، n=ارکان کی تعداد

ہم ایک G.P پر غور کرتے ہیں جس میں پہلا غیر صفر رکن a اور یکساں نسبت r ہے۔ اس کے کچھ ارکان لکھئے۔ دوسرا رکن a اور r سے ضرب کرنے پر ملتا ہے۔ اس لئےa2=ar، اسی طرح تیسرا رکن a2 کو r سے ضرب کرنے پر حاصل ہوتا ہے۔ اس لئےa3=a2r=ar2 اور اسی طرح آگے بھی۔ 

ہم نیچے انہیں اور کچھ اور ارکان کو لکھتے ہیں۔

پہلا رکنa1=a=ar1-1، دوسرا رکن a2=ar=ar2-1، تیسرا رکن a3=ar2=ar3-1

 

کیا آپ نے ایک نمونہ (Pattern) دیکھا؟ سولہواں رکن کیا ہوگا؟

a16= ar16-1=ar15

اس لئے پیٹرن یہ بتاتا ہے کہ G.P کاnthرکنan=arn-1سے دیا گیا ہے۔

 اس طرح G.P کو اس طرح بھی لکھا جاسکتا ہے۔ 

a,ar,ar2,ar3,...arn-1;a,ar,ar2,...,arn-1...;

 جیسا کہ G.P بالترتیب محدود ہو۔

سلسلئیa+ar+ar2+...arn-1یا+a+ar+ar2+...+arn1بالترتیب محدود یا لامحدود جیومیٹریائی سلسلئی کہلاتی ہیں۔

مان لیجئے G.P کا پہلا رکن a اور یکساں نسبت r ہے۔ ہم G.P کے پہلے n  ارکان کا جوڑ sn سے ظاہر کرتے ہیں۔ تب

(1)... Sn=a+ar+ar2+...+arn-1

(2) کو (1) سے تفریق کرنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے 

(I-r) Sn =a-arn=a(1-rn)

مثال  9 5,25,125,...  G.P کی دسویں nth رکن معلوم کرو۔

حل یہاں a=5اورr=5ہے، اس لیے

a10=5 (5) 10-1=5 (5)9=10

an=arn-1=5(5)n-1=5n

مثال  10

G.P،

  2,8,32,...

 کی n رکن تک کون سا رکن 131072 ہے؟

حل مان لیجئے 131072 دی ہوئی G.P کی nth رکن ہے۔

مثال  11ہے ایک G.P میں تیسرا رکن 24  اور چھٹا رکن 192 ہے۔ دسواں رکن معلوم کیجئے۔

حل یہاں

(1)... a3-ar2-24

(2)... a6=ar5=192 اور

(2) کو (1) سے تقسیم کرنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہےمیں رکھنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے a=6

اس لئے

مثال  12  جیومیٹرک سلسلئی  کے n ارکان کا جوڑ اور پہلے 5 ارکان کا جوڑ معلوم کیجئے۔

مثال  13  G.P    جوڑ دینے کے لئے درکار ہیں؟

حل  مان لیجئے n ارکان کی ضرورت ہے۔ دیا ہوا ہے 

مثال  14  G.P کے پہلے تین ارکان کا جوڑ ہے اور ان کا حاصل ضرب -1 ہے۔ ارکان کی یکساں نسبت معلوم کیجئے۔

حل   مان لیجئے کے پہلے تین ارکان ہیں۔ تب،

ہمیں (2) سے حاصل ہوتا ہے a3=-1 اس کا مطلب a--1 (صرف حقیقی جذر لینے پر)

(1)میں a=-1 رکھنے پر ہمارے پاس ہے

یہ r میں دو درجی ہے۔ حل کرنے پر ہمیں ملتا ہے

اس لئے G.P کے تین ارکان ہیں

مثال  15  ذیل تواتر کا n ارکان کا جوڑ معلوم کیجئے7,77,777,7777,...

حل  یہ G.P نہیں ہے، حالانکہ ہم اس کا G.P سے موازنہ کر سکتے ہیں، ارکان کو اس طرح لکھ کر

مثال  16  ایک انسان کے دو ماں باپ ہیں، 4 دادا، دادی، نانا، نانی ہیں، 8 پرداد، پردادی، پرنانا پرنانی ہیں اور اس طرح آگے بھی۔ اس کے آباؤ اجداد کی تعداد 10 پیڑھیوں تک اس سے پہلی پیڑھیوں کی معلوم کیجئے۔

اس طرح اس سے پہلے پیڑھیوں کے انسانوں کی تعداد 2046 ہے

9.5.3 جیومیٹریائی درمیانہ  (Geometric Mean) (G.M)دو مثبت اعداد a اور b کا جیومیٹریائی درمیانہ ab√ عدد ہے۔ اس لئے 2 اور 8 کا جیومیٹردرمیانہ 4 ہے۔ ہم یہ دیکھتے ہیں کہ تین اعداد 2، 4، 8  G.P کے لگاتار ارکان ہیں۔ یہ ہمیں دو اعداد کے درمیانہ کو عام سوچ کی طرف لے جاتا ہے۔دو مثبت اعداد a اور b کے درمیان ہم جتنے چاہیں اعداد ڈال سکتے ہیں تاکہ نتیجتاً تواتر ایک G.P بن جائے۔

مان لیجئے مثبت اعداد a اور b کے درمیان G1,G2,...,Gn کو n اعداد میں تاکہ a,G1,G2,G3...,Gn,b ایک G.P ہو۔ اس لئےرکن ہے، ہمارے پاس ہے

مثال  17  1  اور 256 کے درمیان تین اعداد لکھئے تاکہ نتیجتاً تواتر ایک G.P ہو۔

حل  مان لیجئے'I' G1, G2, G3'اور 256 کے درمیان تین اعداد ہیں۔ تب I,G1,G2,G3,256ایک G.P ہے۔

اس لئے256=r4 جو r=+4 دیتا ہے۔ (صرف حقیقی جزر لینے پر)

r=4کے لئے ہمارے پاس ہے

G1=ar=4,G2=ar2=16,G3=64

اسی طرح r=-4اعداد ہیں -4، 16، -64 کو '1' اور '256' کے درمیان لکھ سکتے ہیں تاکہ نتیجتاً تواترات G.P 

میں ہوں۔

مان لیجئے A اور G دو دئے ہوئے مثبت اعداد a اور b کے بالترتیب A.M اور G.M ہیں۔

تب

اس لئے ہمارے پاس ہے

(1) سے ہم A≥G کا رشتہ حاصل کیا ہے۔

مثال  18 اگر دو مثبت اعداد a اور b کے A.M اورG.M.بالترتیب 10 اور 8 ہیں۔ اعداد معلوم کیجئے

(1) اور (2) سے ہمیں حاصل ہوتا ہے

(3)... a+b=20

(4)... ab=64

(3) اور (4) سے a اور b کی قیمتیں اکائی

(a-b)2 = (a+b)2-4ab

میں رکھنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے

(a-b)2=400-256=144

(5)... a-b=+12 یا

(3) اور (5) کو حل کرنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے

a=4,b=16

یا

a=16, b=4

اس لئے اعداد a اور b بالترتیب 4، 16 ہیں یا 16، 4 ہیں۔

1۔   G.P   کے 20th اورnthارکان معلوم کیجئے۔

2۔   اس G.P کا 12th رکن معلوم کیجئے جس کا 8th رکن 192 اور یکساں نسبت 2 ہے۔

3۔   G.P کے8th, 5thاور 11th ارکان بالترتیب p، q اور s ہیں۔ دکھائیے 

4۔   G.P کا 7th رکن دوسرے رکن کا مربع ہے اور پہلا رکن -3 ہے۔ 7th رکن معلوم کیجئے۔

5۔   تواتر کا کون سا رکن

6۔   x کی کس قیمت کے لیے اعداد  میں ہیں؟

ذیل جیومیٹریائی تصاعد میں دکھائے گئے اعداد کے ارکان کا جوڑ معلوم کیجئے۔

12۔  G.P کے پہلے تین ارکان کا جوڑ  ہے اور ان کا حاصل ضرب 1 ہے۔ یکساں نسبت اور ارکان معلوم کیجئے۔

13۔  G.P   کے کتنے ارکان کی ضرورت ہے تاکہ جوڑ 120 ہوجائے؟

14۔  G.P کے پہلے تین ارکان کا جوڑ 16 ہے اور اس سے اگلے تین اعداد کا جوڑ 128 ہے۔ پہلا رکن، یکساں نسبت اور G.P کے n ارکان کا جوڑ معلوم کیجئے۔

15۔  ایک دی ہوئی G.P میں  معلوم کیجئے؟

16۔  ایک G.P معلوم کیجئے جس میں پہلے دو ارکان کا جوڑ -4 ہے اور پانچواں رکن تیسرے رکن کا چارگنا ہے۔

17۔  اگر ایک G.P کے 10th,4thاور 16th ارکان بالترتیب x، y اور z ہیں۔ تو ثابت کیجئے کہ y، x اور   G.Pz میں ہیں۔

18۔  تواتر

19۔  تواتراتکے مطابق ارکان کا حاصل ضرب کا جوڑ معلوم کیجئے۔

20۔  دکھائیے کہ تواترات  کے مطابق ارکان کا حاصل ضرب ایک G.P بناتا ہے اور اس کا یکساں نسبت معلوم کیجئے۔

21۔  ایکجیومیٹریائی تصاعد کو بنانے کے لئے چار اعداد معلوم کیجئے جن میں تیسرا رکن پہلے رکن سے 9 زیادہ ہے اور دوسرا رکن 4th رکن سے 18 زیادہ ہے۔

22۔  اگر ایک G.P کے qth,Pthاور rth ارکان بالترتیب a، b اور c ہیں۔ تو ثابت کیجئے کہaq-rbr-pcp-q=1

23۔  اگر ایک G.P کے پہلے اور nthرکن بالترتیب a اور b ہیں اور P، n ارکان کا حاصل ضرب ہے تو ثابت کیجئے کہ

P2=(ab)n

24۔  ثابت کیجئے کہ G.P کے پہلے n ارکان کی کے جوڑ اورn+1)th)سے لے کر2n)th)تک ارکان کے جوڑ کی نسبت  ہے۔

25۔  اگر a، b، c اور d  G.P میں ہیں تو دکھائیے کہ

(a2+b2+c2) (b2+c2+d2) =(ab+bc+cd)2

26۔  3 اور 81 کے درمیان دو اعداد بھرئیے (لکھئے) تاکہ نتیجتاً تواتر ایک G.P ہو۔

27۔  n کی قیمت معلوم کیجئے تاکہ ،  a اور b کے درمیان ایک جیومیٹریائی درمیانہ بن سکے۔

28۔  دو اعداد کا جوڑ اپنے جیومیٹریائی  درمیانہ کا 6 گنا ہے۔ تو دکھائیے کہ اعداد  کی نسبت میں ہیں۔

29۔  اگر دو مثبت اعداد کے درمیان A اور G بالترتیب A.M اور G.M ہیں، تو ثابت کیجئے کہ اعداد یں۔

30۔  بیکٹیریاؤں کی تعداد کسی خاص کلچر میں ہر گھنٹے دوگنی ہو رہی ہے۔ اگر ابتدا میں کسی کلچر میں 30 بیکٹیریا موجود تھے، تو بتائیے4th,2nd اورnthگھنٹوں میں کتنے بیکٹیریا ہوں گے؟

31۔  500 روپے بینک میں دس سال میں کتنے ہو جائیں گے جب کہ بینک 10 فیصدی شرح سالانہ سے سود دیتا ہے؟

32۔  اگر ایک دو درجی مساوات کے جزر کےA.M اور G.M  بالترتیب 8 اور5 ہیں تو دو درجی مساوات معلوم کیجئے۔

اب ہم کچھ خاص سلسلئی کے پہلے n ارکان کا جوڑ نکالیں گے جو یہ ہیں۔

(پہلے n طبعی اعداد کا جوڑ)

(پہلے n طبعی اعداد کے مربعوں کا جوڑ)

(پہلے n طبعی اعداد کے کعب کا جوڑ)

ہم انہیں ایک ایک کرکے لیتے ہیں۔

ہم اس مماثلت پر غور کرتے ہیں   

 ایک کے بعد ایکK کی قیمت 1,2,3,.....  رکھنے پر ہمیں ملتا ہے 

13-03=3(1)2-3(1)+1

23-13=3(2)2-3(2)+1

33-23=(3)2-3(3)+1

........................................

........................................

........................................

n3-(n-1)3=(n)2-3(n)+1

دو طرف کا جوڑ کرنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے

n3–03=3(12+22+32+...+n2)–3(1+2+3+...+n)+n

(iii)  یہاں 

Sn=13+23+...+n3

ہم

(k+1)4-k4=4k3+6k2+4k+1

 مماثلت پر غور کرتے ہیں۔

k=1,2,3...nرکھنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے۔

24–14=4(1)3+6(1)2+4(1)+1

34–24=4(2)3+6(6)2+4(2)+1

44–34=4(3)3+6(3)2+4(3)+1

...................................................

...................................................

...................................................

(n–1)4–(n–2)4=(n–2)3+6(n–2)2+4(n–2)+1

n4–(n–1)4=4(n–1)3+6(n–1)2+(n–1)+1

(n+1)4–n4=4n3+6n2+4n+1

دونوں طرف کا جوڑ کرنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے۔

(n+1)4-14=4(13+23+33+...+n3)+6(12+32+...+n2)+4(1+2+3+...+n)+n

(i) اور (ii) سے ہم جانتے ہیں کہ

ان قیمتوں کو مساوات (1) میں رکھنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے

مثال  19  سلسلئی 

5+11+19+29+41..

کے n ارکان کا جوڑ معلوم کیجئے۔

حل ہم لکھتے ہیں

Sn=5+11+19+29+...+a-1+an

Sn=5+11+19+...+an-2+an-1+an یا

تفریق کرنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے

مثال20  اس سلسلئی کے n ارکان کا جوڑ معلوم کیجیے جس کا nth رکن(n(n+3 ہے۔

حل   دیا ہوا ہے

an=n(n+3)=n2+3n

اس لیے n ارکان کا جوڑ اس طرح دیا گیا ہے

ذیل سلسلئی کا جوڑ n ارکان کا مشق 1 سے 7تک میں معلوم کیجئے

1.

1x2+2x3+3x4+4x5+...

.2

1x2x3+2x3x4+3x4+5....

ذیل میں دی گئی سلسلئی کے n ارکان کا جوڑ معلوم کیجیے جن کے nth رکن دیے گئے ہیں

.8

n(n+1)(n+4)

.9

n2+2n

.10

(2n-1)2

مثال21  اگر ایک A.P کےrth,qth,pthاورsth ارکان G.P میں ہوں تو دیکھائیے کہ(q-r),(p-q)

(r-s)بھی G.P میں ہوں گے۔

حل یہاں

(1)... ap=a+(p-1)d

(2)... aq=a+(q-1)d

(3)... ar=a+(r-1)d

(4)... a8=a+(s-1)d

مثال  22  اگر a,b,c   G.P میں ہوں اور  ہو، تو ثابت کیجیے کہ x,y,z   A.P میں ہیں۔

کیونکہ a,b,c  G.P میں ہیں، اس لیے

(2).... b2=ac

(1) اور (2) کا استعمال کرنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے

اس لیے x،  y  اور  z  A.P میں ہیں۔

مثال23  اگر a، b، c، d اور p مختلف حقیقی اعداد ہیں تاکہ

(a2+b2+c2)P2-2 (ab+bc+cd)p+(b2+c2+d2)≤0

تو ثابت کیجیے کہ a، b، c اور d  G.P میں ہیں۔

حل  دیا ہوا ہے

(1)....(a2+b2+c2)p2-2(ab+bc+cd)p+(b2+c2+d2)≤0

لیکن  L.H.S.

=(a2p2-2abp+b2)+(b2p2-2bcp+c2)+c2p2-2cdp+d2),

جو دیتا ہے

(ap-b)2+(bp-c)2+(cp-d)2≥0

کیونکہ حقیقی اعداد کے مربعوں کا جوڑ غیر صفر ہے۔ اس لیے (1) اور (2) سے ہمارے پاس ہے

اس طرح a، b، c اور d  G.P میں ہیں۔

مثال  24  اگر p، q،r   G.P میں ہیں اور مساوتوں

px2+2qx+r-0 اورdx2+2ex+f=0

 کا یکساں جذر ہے، تو دکھائیے کہ   A.P میں ہیں۔

حل مساوات px2+2qx+r=0

کے جذر المربع اس طرح دیے گئے ہیں

کیونکہ G.P    r,q,,pمیں ہیں۔ اس لئے ۔  اس سے یہ نکلتا ہے کہ   لیکن  کا جذر ہے (کیوں؟)

اس لیے

(1) کوpq2سے تقسیم کرنے پر اور =q2کا استعمال کرنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے

1۔   دکھائیے کہ ایک A.P کے ارکان 

m 1n) th)  اورm n)th) اورm th

رکن سے دوگنا ہے۔

2۔   اگر ایک A.P کے تین ارکان کا جوڑ 24 ہے اور ان کا حاصل ضرب 440 ہے تو اعداد معلوم کیجیے۔

3۔   مان لیجیے ایک A.P کے n، 2n، 3n ارکان کا جوڑ بالترتیبS2, S1 اور S3ے، تو دکھائیے کہ 

4۔   200 اور 400 کے درمیان ان تمام اعداد کا جوڑ معلوم کیجیے جو 7 سے تقسیم ہوتے ہیں۔

5۔   1 تا  100  تک آنے والے ان سبھی صحیح اعداد کا جوڑ معلوم کیجیے جو 2 یا 5 سے تقسیم ہوتے ہیں۔

6۔   ان سب ہی دوہندسی اعداد کا جوڑ معلوم کیجیے جنہیں 4 سے تقسیم کرنے پر ہمیشہ 1 بچتا ہے۔

7۔   اگر  f فنکشن  تمام  x,y∈Nمیں ہیں کو مطمئن کرتا ہے تاکہ 3=(1) اور  تو  n کی قیمت معلوم کیجیے۔

8۔   ایک G.P کے کچھ ارکان کا جوڑ 315 ہے جس کا پہلا رکن اور یکساں نسبت بالترتیب 5 اور 2 ہیں۔ اس کے آخری رکن اور کل ارکان معلوم کیجیے۔

9۔    ایک G.P کا پہلا رکن 1 ہے۔ تیسرے اور پانچویں رکن کا جوڑ 90 ہے۔ G.P کی یکساں نسبت معلوم کیجئے۔

10۔  ایک G.P میں تین ارکان کا جوڑ 56 ہے۔ اگر ہم ان ارکان سے 1، 7، 21  کو اسی ترتیب میں گھٹائیں تو ہمیں ایک حسابی تصاعد ملتا ہے۔ اعداد معلوم کیجیے۔

11۔  ایک G.P میں ارکان کی تعداد جفت ہے۔ اگر تمام ارکان کا جوڑ طاق جگہ پر آنے والے ارکان کے جوڑ کا پانچ گنا ہے تو اس کی یکساں نسبت معلوم کیجیے۔

12۔  ایک A.P کے پہلے چار ارکان کا جوڑ 56 ہے۔ بعد کے چار ارکان کا جوڑ 112 ہے۔ اگر اس کا پہلا رکن 11 ہے تو ارکان کی تعداد معلوم کیجیے۔

13۔  اگر ، تو دکھائیے کہ a، b،c اور d  G.P میں ہیں۔

14۔  مان لیجیے ایک G.P میں n ارکان کا جوڑ S ہے، P حاصل ضرب ہے اور R  n ارکان کے جوڑ کا الٹا ہے۔ تو ثابت کیجیے کہ  

15۔  ایک A.Pکے   ارکان بالترتیب a، b، c اور d  G.P میں ہیں۔ تو دکھائیے کہ

16۔  اگر ایک A.P میں ہے تو ثابت کیجیے کہ a,b,c  A.P میں ہیں۔

17۔  اگر a، b،c  A.P  میں ہیں تو ثابت کیجیے کہ   G.P میں ہیں۔

18۔ اگر  کے جذر a اور b ہیں اورکے جذر ہیں، جہاں a، b، c، d ایک G.P بناتے ہیں۔ تو ثابت کیجیے کہ 

19۔  دو مثبت اعداد a اور b کے A.M اور G.M کی نسبت m:n ہے۔ دکھائیے کہ

20۔ اگر a، b، c،   A.P میں ہیں؛  b، c، d  G.P میں ہیں اور میں ہیں۔ ثابت کیجیے کہ میں ہیں۔

21۔  ذیل سلسلئی کا جوڑ n ارکان تک معلوم کیجئے۔

(i)

5+55+555+...

(ii)

.6+.66+.666+...

24۔  اگر پہلے n طبعی اعداد کا جوڑ ان کے مربع کا جوڑ اور کعب کا جوڑ بالترتیب ہے، تو دکھائیے کہ

 

25۔  ذیل سلسلئی کے n ارکان کا جوڑ معلوم کیجیے

26۔  دکھائیے کہ 

27۔  ایک کسان ایک ٹریکٹر 12000 روپے میں خریدتا ہے۔ اس وقت وہ 6000 روپے دینے کو تیار ہوجاتا ہے اور باقی رقم 500 روپے کی سالانہ قسط اور ساتھ ہی بچی ہوئی رقم پر 12%شرح سالانہ سود دیتا ہے۔ بتائیے کسان کو ٹریکٹر کتنے کا پڑا؟

28۔  شمشاد علی ایک اسکوٹر 22000 میں خریدتا ہے۔ وہ 4000 روپے نقد دیتا ہے اور باقی رقم کو 1000 روپے کی سالانہ قسط اور 10% شرح سالانہ سے بچی ہوئی رقم سود دیتا ہے۔ بتائیے اسے اسکوٹر کتنی رقم کا پڑا۔

29۔  ایک انسان اپنے چار دوستوں کو خط لکھتا ہے۔ وہ ان میں ہر ایک سے کہتا ہے کہ اس کی نقل کرکے وہ آگے چار کو بھیج دیں اور یہ تاکید کرتا ہے کہ یہ سلسلہ اسی طرح آگے چلتا رہے۔ اگر ہم یہ مان لیں کہ سلسلہ نہیں ٹوٹا ہے اور ہر خط بھیجنے میں 50 پیسے لگتے ہیں تو خط و کتابت پر خرچ معلوم کیجیے جب کہ 8واں سیٹ خطوط کا پوسٹ کیا گیا ہو۔

30۔  ایک آدمی بینک میں 10,000 روپے جمع کرتا ہے جس پر 5% شرح سالانہ سے سود مفرد ملتا ہے۔ 15 سال بعد اسے ملنے والی کل رقم بتائیے اور ساتھ ہی بتائیے 20 سال میں کل کتنی رقم بنے گی۔

31۔  ایک صنعت کار یہ بتاتا ہے کہ ایک مشین کی قیمت جو اسے 15625 روپے میں ملتی ہے ہر سال اس کی قیمت 20% کم ہوجاتی ہے۔ 5 سال بعد اس کی قیمت معلوم کیجیے۔

32۔  150 مزدور ایک کام کو کچھ دنوں میں مکمل کرنے کے لیے کام پر لگائے گئے۔ 4 مزدور دوسرے دن نکال دیے گئے، 4 اور تیسرے دن نکال دیے گئے اور اسی طرح آگے بھی۔ کام ختم کرنے میں 8 دن اور زیادہ لگے۔ کل دنوں کی تعداد معلوم کیجیے جن میں کام ختم ہوا۔