باب 10
سیدھے خطوط
(STRAIGHT LINES)
جیومیٹری ، ایک منطقی نظام کی طرح ا یک ذریعہ ہے اوریہاں تک کہ یہ سب سے زیادہ طاقت ور ذریعہ ہے جو بچوں کو انسانی جوش کی طاقت کا H. FREUDENHALاندازہ کرانے کے لیے کہ یہ ان کااپنا ہی جو ش ہے۔
10.1تعارف (Introduction)
ہم اپنی پچھلی جماعتوں سے دو ابعادی مختص جیو میٹری سے پہلے ہی سے واقف ہیں۔ خاص طور پر یہ الجبرا جیومیٹری کا اجتماع ہے۔ الجبرا کا استعمال کر کے جیومیٹر کی منظم تعلیم سب سے پہلے فرانس کے فلاسفر اور ریاضی داں رینے ڈیسکار ٹیز (Rene Descartes)نے اپنی کتاب لا جیومیٹری ( La Geometry)میں کی ہے جو 1637ء میں شائع ہوئی تھی۔ اس کتاب نے منحنی کی مساوات کا تعارف علامت سے کرایا اور جیومیٹر ی کی تعلیم میں تجزیاتی طریقوں سے رشتہ قائم کرا یا۔ تجزیہ اور جیومیٹری کے نتیجتاً اجتماع کو آج تجزیاتی جیومیٹری کہا جاتا ہے۔ پچھلی جماعتوںمیں ہم نے مختص (Co-ordinate) جیومیٹری پڑھی ہے، جہاں ہم نے مختص محاور، مختص مستوی نقاط کو مستوی میں دکھانا دو نقطوں کے درمیان فاصلہ، تراش فارمولہ(Section formula)وغیرہ کے بارے میں پڑھا ہے۔
رینے ڈیسکارٹیز
(1650-1596)
ہم پچھلی جماعتوں میں پڑھی گئی مختص جیومیٹری کے بارے میں ذرا دھیان دیتے ہیں اور تھوڑا سوچتے ہیں۔ اعادہ کرنے پر نقاط (4,-6)اور(3,4)
کی جگہxy مستوی میں شکل 10.1میں دکھائی گئی ہے۔
ہم یہ نوٹ کر سکتے ہیں کہ نقطہ (4,-6)Y-axis سے '6'اکائی فاصلے پر ہے جب اسے X-axisکی ve+طرف ناپا جاتا ہے اور X-axisسے '4'اکائی فاصلے پر ہے جب اسے Y-axisکی ve-طرف ناپا جاتا ہے۔ اسی طرح نقطہ(3,0) Y-axisسے '3'اکائی فاصلے پر ہے جب اسےX-axisکےve+طرف ناپا جائے اور X-axisسے 'O'فاصلے پر ہے۔
وہاں ہم نے درج ذیل خاص فارمولوں کو بھی پڑھا ہے:
I. نقاط(
اور
کے درمیان فاصلہ
مثا ل کے طور پر، نقاط(6,-4)اور(3,0)کے درمیان فاصلہ
(اکائیاں)
II. اس نقطے کے مختص جو اس قلع خط کو اندرونی کاٹتا ہے جو نقاط 
اور
سے مل کر بنا ہے اور جن کی نسبت
m:n
ہیں
مثال کے طور پر اس نقطے کے مختص اس قطعہ کو اندرونی کاٹتا ہے جو نقاط A(1,-3)اورB۔ (3,9-)سے مل کر بنی ہے جس کی نسبت 3:1ہے ، یہ ہیں۔
اور
III. خاص طور پر اگر m=nہو تو اس قطعہ خط کا درمیانی نطقہ جو نقاط
اور
سے مل کر بنا ہے یہ ہیں۔
IV. اس مثلث کا رقبہ جس کے راس 15,
,
اور
ہیں یہ ہیں۔
مثال کے طور پر اس مثلث کا رقبہ جس کے راس (4,4)، (3,-2)اور (-3-16)ہیں، یہ ہیں۔
ریمارک
اگر ایک مثلث ABCکا رقبہ ’صفر‘ ہے،تب تینوں نقاط B،AاورCایک ہی خط پر واقع ہوتے ہیں۔ یعنی یہ خط نقطے کہلاتے ہیں۔
ہم اس موجود ہ سبق میں مختص جیومیٹری کی پڑھائی کو اورآگے بڑھائیں گے تاکہ سب سے آسان ترین جیومیٹری کی شکل کی خاصیتوں کا مطالعہ کیا جا سکے—سیدھی لائین یا سیدھا خط۔ اس کی سادگی کے بر عکس خط، جیومیٹری میں ایک بہت اہم تصور ہے اور ہماری روز مرہ کی زندگی میں بہت سے تجربوں اور مختلف دلچسپ طریقوں میں بیش قیمتی طور پر استعمال ہوتا ہے، ہمارا خاص دھیان ہے کہ خط کو الجبری طور پر پیش کرنا، جس کے لیے اس کا سلوپ (Slope)سب سے زیادہ اہمیت کا حامل ہے۔
10.2ایک خط کا سلوپ (ڈھال) (Slope of a Line)
ایک خط مختص مستوی میں x-axisکے ساتھ دو زاویے بناتی ہے۔ جو تکمیلی (Supplementary)ہوتے ہیں۔ زاویہ (مان لیا
خط lسے x-axisکی مثبت سمت میں اور گھڑی کی سمت سے الٹا ناپا گیا ، خط کا جھکاؤ کہلاتا ہے۔ صاف طو ر پر0º≤θ≤180º
(شکل : 10.2)
ہم دیکھتے ہیں کہx-axisکے متوازی خطوط ، یا x-axisسے ملتے ہوئے خطوط،
ا جھکاؤ رکھتے ہیں ۔ ایک راسی خط کاجھکاؤ (y-axisکے متوازی یا ملتا ہے)
ہوتا ہے۔
تعریف1
اگر خط lکا چڑھاؤہے تو tanخط lکا ڈھال
(Slope)یا تعمیم شدہ ڈھال (gradient)کہلاتا ہے۔
ایک لائین کا سلوپ جس کا چڑھاؤ ہے بیان نہیں کیا گیا ہے۔
لائین (خط) کا سلوپ mسے ظاہر کیا جاتا ہے۔
اس لیےm=tanθ,θ≠90º
اس پر غور کیا جا سکتا ہے کہ x-axisکا سلوپ '0'ہے اور y-axisکا بیان نہیں کیا گیا ہے۔
10.2.1ایک خط کا سلوپ جب کہ خط پر کہیں دو نقطوں کے مختص دیئے گئے ہوں
Slope of a line when coordinates of any two points on the line are given
ہم جانتے ہیں کہ ہم ایک خط کو اس وقت مکمل دکھا سکتے ہیں جب ہمیں اس پر دو نقطے دیئے گئے ہوں۔ اس لیے ہم ایک خط کا سلوپ نکالنے کے لیے آگے بڑھتے ہیں دو نقطوں کے مختص کے ارکان کے طو رپر۔
مان لیجئے(P(x1,y1 اور(Q(x2,y2دو نقطے ایک غیر راسی خطlپر ہیں جس کا چڑھاؤθہے۔ صاف طور پرx1≠,x2 ،ورنہ x-axisپر عمودد ہو جائے گا ور پھر اس کا سلوپ بھی defineنہیں کیا جا سکے گا۔ خط lکا چڑھاؤ حادۃ(acute)یا منفرجہ(obtuse)ہوگا ۔ ہمیں یہ دو حالتیں(کیس )لینے چاہئے ۔
جس طرح شکل(a)۔10.3اور(b)۔10.3میں دکھایا گیا ہے عمود
QR،x-aixsپر PMعود پر کھینچئے ۔
کیس1جبθزاویہ حادہ ہو:
شکل (i)۔10.3میں ، MPQ=θ>
اس لیے خط lکا سلوپ m=tanθ> ۔۔۔۔(1)
لیکن 
میں ہمارے پاس ہے۔
۔۔۔۔(2)
مساوات(1)اور(2)سے ہمارے پاس ہے۔
کیسIIجب کہ زاویہ منفرجہ ہے۔
شکل (ii)۔10.3میں ہمارے پاس ہے۔
MPQ=180ºθ>
اس لیے θ=180º–<MPQ
اب خط lکا سلوپ:
m=tanθ
= – tan(180º–<MPQ)
= –tan<MPQ
اسی طرح ہم نے(Consequently) دیکھا کہ دونوں کیسوں میں خط lکا سلوپ دونوں نقطوںاور کے ذریعے دیا گیا ہے
ہے۔
10.2.2خطوط کے متوازی ہونے اور عمودی ہونے کی شرط ان کے سلوپ (ڈھال) کی شکل میں
Conditions for parallelism and perpendicularity of lines in terms of their slopes
ایک مختص مستوی میں، مان لیجئے کہ غیر راسی خطوط
اور
کے سلوپ بالترتیب m1اور m2ہیں۔مان لیجئے ان کے ڈھلاؤ بالترتیب aاور bہیں۔
اگر خط خطکے متوازی ہے، (شکل :10.4)تب ان کے ڈھلاؤ
بھی برابر ہوں گے۔
a=B اور اس طرحtan α= tanβ
اس لیے 
، یعنی ان کے سلوپ بھی برابر ہیں۔
شکل 10.4
اس کے بر عکس ، اگر دو خطوط اور کے سلوپ برابر ہیں۔
تب tan α= tanβ
tanفنکشن کی خاصیت سے(اور
کے درمیان)
اس لیے ، خطوط متوازی ہیں۔اس طرح، غیر عمودی خطوطاورمتوازی ہیں
اگر صرف اور صرف ان کے سلوپ بھی برابر ہیں۔ اگر خطوط اورعمودی ہیں(شکل :10.5) تبβ=α+90º
اس لیے
(β=tan (α+90º
اس کے برعکس اگر
i.e.,tan α tan β = – 1
شکل 10.5
ہم درجہ ذیل مثالوں پر غور کرتے ہیں:
مثال1ــ
ان خطوط کا سلوپ معلوم کیجئے:
(a) جو نقاط (2,-3)اور (1,4-)سے گزر رہے ہیں۔
(b) جو نقاط (2,-3)اور (2,-7)سے گزر رہے ہیں۔
(c) جو نقاط (2,-3)اور (3,4)سے گزر رہے ہیں۔
(d)۔ x-axis کی مثبت سمت کے
کا ڈھال بنا رہے ہیں۔
حل
(a) نقاط (3-,2)اور (1,4-)کو ملانے والے خط کا سلوپ
(b) نقاط(3,-2)اور (7,-2)کو ملانے والے خط کا سلوپ
(c) نقاط (3,-2)اور (3,4)کو ملانے والے خط کا سلوپ
جو کہ defineنہیں ہے
(d)یہاں خط کا ڈھال
α=60º
ہے، اس لیے خط سلوپ ہے۔
10.2.3دو خطوط کے درمیان زاویہ(Angle between two lines)
جب ہم ایک مستوی میں ایک سے زیادہ خط کے بارے میں سوچتے ہیں تو ہم دیکھتے ہیں کہ یاتو یہ آپس میں کاٹتے رہی ہیں یا ایک دوسرے کے متوازی ہیں۔ یہاں ہم دو خطوط کے درمیان زاویہ پر بات چیت کریں گے ان کے سلوپ کی شکل میں۔
مان لیجئے L1اورL2دو غیر راسی خطوط ہیں جن کے سلوپ بالترتیب
اور
ہیں۔ اگرa1اورa2بالترتیبL1اورL2کے ڈھلاؤ ہیں، تب
m1 = tan α1اور m2 = tan m2 = tan α2
ہم جانتے ہیں کہ جب دو خطوط ایک دوسرے کو کاٹتے ہیں تو وہ متقابل راسی زاویوں (Vertically opposite angles) کے دو جوڑے بناتے ہیں تاکہ دو متصل زاویوں(adjacent angles)کا جوڑہو جائے۔ مان لیجئےL1اورL2کے درمیانθاور
متصل زاویے ہیں شکل): (10.6تب
θ=α2–α1اور a1, a2≠90º
اس لیے
اب دو Casesپیدا ہوتے ہیں۔
کیس I
اگر
مثبت ہے، تب tanبھی مثبت ہوگا اورtanمنفی ہوگا جس کا مطلب ہےθ حادہ ہوگا منفرجہ ہوگا۔
کیس II
اگرمنفی ہے، تب tanبھی منفی ہوگا اورtanمثبت ہوگا جس کا مطلب ہے منفرجہ ہوگا اورحادّہ ہوگا۔
اس طرح، زاویہ حادّہ (مان لیا )خطوط L1اورL2کے درمیان جن کے سلوپ بالترتیب m1اورm2اس کے ذریعہ دیئے گئے ہیں۔
۔۔۔(1)
منفرد زاویہ(مانا)
کو استعمال کر کےمعلوم کیا جا سکتا ہے۔
مثال2
اگر دو خطوط کے درمیان زاویہ
ہےاور خطوط میں سے کسی ایک کا سلوپ
ہے تو دوسرے خط کا سلوپ معلوم کیجئے۔
حل
ہم جانتے ہیں کہ دو خطوط جن کے سلوپ بالترتیبm
1 اورm2 ہیں ان کے درمیان زاویہ حادہ اس طرح ہوتا ہے۔
....1
مان لیجئے
ہے۔
اب ان قدروںکو (1)میں رکھنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے۔
اس لیے
اس لیے دوسرے خط کا سلوپ 3یا
ہے۔ 10.7میں دی گئی شکل ان دو جوابات کی وجہ کی وضاحت کر تی ہے۔
مثال3
(2,6-)اور (4,8)نقاط سے گزر نے والا خط (8,12)اور (x,24)نقاط سے گزرنے والے خط پر عمود ہے۔ xکی قدر معلوم کیجئے۔
حل
(2,6-)اور (4,8)نقاط سے گزرنے والے خط کا سلوپ ہے۔
نقاط (8,12)اور (x,24)نقاط سے گزرنے والے خط کا سلوپ ہے۔
چونکہ دونوں خطوط ایک دوسرے پر عمود ہیں۔ اس لیے
جو دیتا ہے۔
شکل 10.7
10.2.4تین نقاط کا ہم خط ہونا(Collinearity of three points)
ہم جانتے ہیں کہ دو متوازی خطوط کا سلوپ برابر ہوتا ہے۔ اگر دو خطوط جن کے سلوپ یکساں ہیں ایک مشترک نقطہ سے گزر رہے ہیں۔ تب دونوں خطوط متفق ہو جائیں گے۔ اس طرح ایک مستوی xyمیں تین نقطے A،Bاور Cہیں۔ تب وہ ایک ہی خط پر واقع ہوں گے اس کا مطلب تینوں نقطے ہم خط ہیں (شکل 10.8)
مثال 4
تین نقطے
R(x2,y2)اورP(h,k), Q(x1,y1)
ایک خط پر موجود ہیں۔ دکھایئے کہ
(h-x1) (y2–y2) = (k-y1) (x2-x)
حل کیونکہ تینوں نقطہ Q،Pاور Rہم خط نقاط ہیں، ہمارے پاس ہے۔
QRکا سلوپ=PQ کا سلوپ
یا
یا
(h–x1) (y2–y2) = (k-y1) (x2-x1)
مثال5
شکل 10.9میں، ایک خطی حرکت کا وقت اور فاصلہ کا گراف دیا گیا ہے۔ وقت اور فاصلہ کی دو حالتیں ریکارڈ کی گئی ہیں جب کہ D=2، T=0 اورD=8،T=3ہو۔ سلوپ کے تصور کا استعمال کرتے ہوئے ، حرکت کا قانون معلوم کیجئے اس کا مطلب یہ ہے کہ فاصلہ کس طرح وقت پر انحصار کرتا ہے۔
شکل 10.9
حل
مان لیجئے (T,D)خط پر کوئی بھی نقطہ ہے، جہاں Dفاصلہ
کو ظاہر کرتا ہےTوقت پر اس لیے نقطے (0,2)، (3,8)
اور(T,D)ہم خط نقطے ہیں۔ تاکہ
جو مطلوبہ رشتہ ہے۔
مشق:10.1
1. کار تیزی مستوی میں ایک چار ضلعی بنایئے، جس کے راس (4,5-)،(0,7)،(5,-5)اور (4-,2-)ہیں۔ ساتھ ہی
اس کا رقبہ بھی معلوم کیجئے۔
2. ایک مساوی ضلع مثلث (Equilateral Tringle)جس کا اساس (base)۔2aضلع کے ساتھ y-axisکے
ساتھ واقع ہے تاکہ اساس کا درمیانی نقطہ مبدہ پر ہو۔ مثلث کے راس معلوم کیجئے۔
3.
(x1,y1)
PاورQ(x2,y2)zکے درمیان فاصلہ معلوم کیجئے جب کہ (i)۔,PQ،y-axisکے متوازی ہو، (ii)۔PQ، x-axisکے متوازی ہو۔
4. x-axisپر ایک نقطہ معلوم کیجئے ، جو کہ (7,6)اور(3,4)سے برابر کے فاصلہ پر ہو۔
5. ایک خط کا سلوپ معلوم کیجئے جو مبدا سے گزر رہا ہو، اور قطعہ خط کا درمیانی نقطہ جو نقاط (4-.0)Pاور (8,0)Bکے مل نے سے بنا ہو۔
6. بغیر فیثا غورث کے مسئلہ (Pythagoran theorem)کا استعمال کئے ہوئے ، دکھایئے کہ نقاط (4,4)،(3,5)اور (-1,1)ایک قائم زاوی مثلث کے راس ہیں۔
7. اس خط کا سلوپ معلوم کیجئے جو y-axisکی مثبت سمت کے ساتھ
زاویہ بناتی ہے اور جو کہ anticlock wiseمیں ماپا جاتا ہے۔
8. xکی وہ قدر معلوم کیجئے جس کے لیے نقاط(x,1)، (2,1)اور (4,5)ہم خط نقطہ ہیں۔
9. بغیر فاصلے کے فارمولے کا استعمال کئے ہوئے دکھایئے کہ نقاط(-2,1-)،(4,0)، (3,3)اور (3,2-)ایک متوازی الاضلاع (Parallelogram) کے راس ہیں۔
10. x-axisاور اس خط کے درمیان زاویہ معلوم کیجئے جو نقاط(3-,1)اور (2-,4)سے مل کر بنا ہے۔
11. ایک خط کا سلوپ دوسرے خط کے سلوپ کا دوگنا ہے۔ اگران کے درمیان کے زاویے کا tangent،ہے تو خطوط کا سلوپ معلوم کیجئے۔
12. ایک خط(X1,y1) اور (h,k)سے ہو کر گزر رہا ہے۔ اگر خط کا سلوپ mہے تو دکھایئے کہ
k–y1=m (h–x1)
k–y1=m (h–x1)
13. اگر تین نقاط (h,0)۔(a,b)اور (0,k)ایک خط پر واقع ہیں تو دکھایئے کہ
14. درجہ ذیل آبادی اور سالانہ گراف پر غور کیجئے(شکل:10.10)، خط ABکا سلوپ معلوم کیجئے اور اس کا استعمال کر کے معلوم کیجئے کہ 2010میں آبادی کتنی ہوگی۔
شکل 10.10
10.3ایک خط کی مساوات کی مختلف قسمیں(Various Forms of the Equation of a Line)
ہم جانتے ہیں کہ ایک مستوی میں ایک خط پر لا محدود نقطے ہوتے ہیں۔ یہ خط اور نقاط کے بیچ رشتہ ہمیں ذیل مسئلہ حل کرنے کی طرف لے جاتا ہے۔
ہم یہ کیسے کہہ سکتے ہیں کہ ایک دیا ہوا نقطہ ایک دیئے ہوئے خط پر واقع ہے؟ اس کا جواب یہ ہو سکتا ہے کہ ایک دیئے خط کے لیے واضح شرط ہونی چاہئے۔ نقطوں کے خط پر واقع ہونے کی۔ مان لیجئے (x,y)۔Pمستویxyمیں ایک اختیاری نقطہ ہے اور Lایک دیا ہوا نقطہ ہے۔ Lکی مساوات کے لیے ہماری یہ خواہش ہے کہ ہم ایک بیان یا شرط تیار کریں، نقطہPکے لیے جو صحیح ہے، جب کہ P،Lپر واقع ہے، ورنہ غلط ہے۔ حالانکہ بیان صرف ایک الجبری مساوات جس میںxاورyمتغیرات (Variables)ہیں۔ اب ہم ایک خط کی مساوات پرمختلف شرائط پر بات چیت کریں گے۔
10.3.1افقی) (Horizentalاور راسی (Vertical)خطوط Horizental and Vetical Line
اگر ایک افقی خط 'L'۔ x-axisسے aدوری پر ہے تب ہر خط کا عرضی مختص (Ordinate)جو خط پر واقع ہے یاتو 'a'ہے یا 'a-'[شکل :(a)۔ 10.11]۔ اس لیے ، خط 'L'کی مساوات یاتو y=aیا x=–aہے نشانوں کا انتخاب خط کی جگہ پر مختصر ہے جیسا کہ Y-axisکے اوپر ہے یا نیچے۔ اسی طرح، راسی خط کی مساوات y-axisسے فاصلہ bیا تو x=bہے یا x=–bہے [شکل:(b)۔10.11 ]
شکل(10.11) (b)(a)
مثال6
ان خطوط کی مساوات معلوم کیجئے جو -aixsکے متوازی ہیں اور (2,3-)سے گزرگی ہیں۔
شکل 10.12
حل
خطوط کی جگہ شکل10.12میں دکھایا گیا ہے۔ -yمختص ہر نقطہ کا متوازی خط پر X-axisسے 3ہے۔ اس لیے ،اس خط کی مساوات جو x-axisکے متوازی ہے اور (2,3-)سے گزر رہی ہے y = 3ہے۔ اسی طرح اس خط کی مساوات جو y-axisکے متوازی ہے اور (2,3-)سے گزر رہی ہے x = -2ہے۔
10.3.2نقطہ ۔سلوپ شکل
مان لیجئے
P0(x1,y0)
ایک مقرر نقطہ ہے غیر راسی خط Lپر جس کا سلوپ mہے۔ مان لیجئے (x,y)۔Pایک اختیاری نقطہ ہے L پر (شکل:10.13)
اس طرح تعریف سے، Lکا سلوپ دیا گیا ہے۔
....(1)
کیونکہ نقطہ
Pتمام نقطوں (x,y)کے ساتھ 'L'پر (i)کو مطمئن کرتا ہے اور اس کے علاوہ کوئی اور دوسرا نقطہ مستوی میں (i)کو مطمئن نہیں کرتا ۔ اصلیت میں مساوات (i)ہی خط Lکے لیے مساوات ہے۔
اس طرح ، نقطہ (x,y)خط پر واقع ہے جس کا سلوپ mہے ایک مقرر نقطہ(x0,y0)
کے ذریعہ اگر اور صرف اگر اس کے مختص ذیل مساوات کو مطمئن کرتے ہیں۔
(y–y0=m(x–x0
مثال7
اس خط کی مساوات معلوم کیجئے جو (2,3-)سے گزرتا ہے اور جس کا سلوپ (4-)ہے ۔
حل یہاں m=-4ہے اور دیا ہوا نقطہ(x0,y0)
، (2,3-)ہے۔
سلوپ ۔ مقطوعہ(Slope-intercept)شکل اور اوپر فارمولہ (i)سے، دیئے ہوئے خط کی مساوات ہے۔
y -3 = -4 (x+2) or 4x +y+5=0 جو کہ مطلوبہ مساوات ہے۔
10.3.3دونقطہ شکل
مان لیجئے کہ خط Lدو نقطوں
P2v(x2,y2) اورP1 (x1,y1)
سے گزر رہا ہے۔ مان لیجئے (x,y)۔Pخط Lپر ایک عام نقطہ ہے۔(شکل: 10.14)
تینوں نقطے ہم خط نقطے ہیں ،اس لیے ہمارے پاس ہے۔P1P2 کا سلوپ=P1P2 کا سلوپ
اس طرح اس خط کی مساوات جو نقاط(X1,y1)اور(X2,y2)سے گزر رہا ہے اس طرح دی گئی ہے۔
مثال 8
نقاط (1-,1)اور( 3,5)سے گزرنے والے خط کی مساوات لکھئے۔
حل یہاںx2=3,y1= -,x1=1 اورy2=5ہے۔ دو نقطہ شکل(2)اوپر سے استعمال کرنے پر خط کی مساوات کے لیے ہمارے پاس ہے۔
یا 3x +y +4=0-جو کہ مطلوبہ مساوات ہے۔
10.3.4سلوپ۔ مقطوعہ شکل
کبھی کبھی ہمیں ایک خط اس کے سلوپ اور ایک مقطوعہ کسی بھی axesپر سے جانا جاتا ہے۔ اب ہم اس طرح کے خطوط کی مساوات معلوم کریں گے۔
کیسI مان لیجئے ایک خط Lجس کا سلوپmہے y-axisکو مبدہ سے Cفاصلے پر کاٹتا ہے( شکل: 10.15)فاصلہCخط Lکا y-intercept کہلاتا ہے۔ صاف طور پر ، نقطہ کے مختص جہاں خط Y-axisسے ملتا ہے (o,c)ہیں۔ اس طرح Lکا سلوپ mہے اور مقرر نقطہ (o,c)سے گزرتا ہے۔
اس لیے نقطہ ۔ سلوپ شکل سے Lکی مساوات یہ ہے۔
y = m x +cیا (y - c = m (x-0
اس طرح نقطہ (x,y)جس کا سلوپmاور y-intecept ۔'C'ایک خط پر واقع ہوتے ہیں صرف اور صرف
y = mx +c ۔۔۔۔(3)
یہ نوٹ کر لیجئے کہ cکی قدر مثبت یا منفی ہوگی جس طرح بالترتیب y- axis interceptکے مثبت یا منفی طرف ہوں گے۔
کیسII
مان لیجئے خط Lجس کا سلوپ mہے x-intercep dبناتی ہے۔ 'L'کی مساوات ہے ۔
(y = m (x -d ۔۔۔۔ (4)
طلباء یہ مساوات خود نکال سکتے ہیں اسی طریقہ سے جیسا کہ Iکیس میں دیا گیا ہے۔
مثال9
ان خطوط کی مساوات لکھئے جن کے لیے
، جہاں
خط کا ڈھلاؤ ہے اور (i)۔
=y-incept
(ii)۔4= x-incept
حل
(i)یہاں ہمارے پاس خط کا سلوپ mہے۔
=mاور
=c۔ y-inceptاس لیے اوپری دی ہوئی Slope intercept مساوات (3)سے، خط کی مساوات ہے۔
جو کہ مطلوبہ مساوات ہے۔
(ii)یہاں، ہمارے پاس ہے
=mاور d = 4اس لیے اوپری Slope-intercept شکل (4)سے، خط کی مساوات ہے۔
جو کہ مطلوبہ مساوات ہے۔
10.3.5مقطوعہ شکل Intercept-form
مان لیاجائے ایک خط axes L(محاور)پر x-intercept پر aاور y-intercept پر bمقطوعہ بناتا ہے۔ صاف طور پر 'L' ۔ x-axisپر نقطہ(a,0)پر ملتا ہے اور y-axisپر نقطہ (b,0)پر ملتا ہے۔
(شکل: 10.16)
ایک خط کی دو نقطے مساوات کی شکل سے، ہمارے پاس ہے
یعنی،
اس طرح اس خط کی مساوات بالترتیب جوaاور b
مقطوعہ x-axisکے ساتھ بناتی ہیں۔ یہ ہے۔
مثال10ـ اس خط کی مساوات معلوم کیجئے جو x-axisاور y-axisکے ساتھ بالترتیب -3اور 2کے مقطوعہ(intercept)بنائے۔
حل
یہاںa=-3اور b=2ہے۔ مقطوعہ شکل(5)اوپر سے خط کی مساوات ہے۔
10.3.6نارمل شکل (Normal Form)
مان لیجئے ایک غیر راسی خط(nonVertical Line)ہمارے علم میں ہے جس کے آنکڑے اس طرح ہیں:
(i)نارمل (عمود)کی لمبائی مبدا (origin)سے خط تک۔
(ii)وہ زاویہ جو نارمل x-axisکی مثبت سمت کے ساتھ بناتا ہے۔
مان لیجئے Lوہ خط ہے ، جس کا عمودی فاصلہ مبداOسےp=OAہے اور مثبت x-axisاور OAکے درمیان زاویہ ہے۔
=XOA>کارتیز ی مستوی میں خط Lکی ممکن جگہ شکل 10.17میں دکھائی گئی ہے۔ اب ہمارا مقصد Lکا سلوپ معلوم کرنا اور اس پر ایک نقطہ x-aixsپر عمود AMکھینچئے۔
ہرکیس میں ہمارے پاس ہے
OM=pcos اور
MA=p sin
اس لیے نقطہ Aکے مختص (Coordinates)ہیں
(p cos
, p sin
اس کے آگے خط L، OAپر عمود ہے۔
اس طرح خط Lکا سلوپ
ہے اور نقطہ
(p cos
, p sin
A
اس پر موجود ہے۔ اس لیے نقطہ ۔ سلوپ شکل سے، خط Lکی مساوات ہے۔x cos
+ y sin
= p
اس طرح، اس خط کی مساوات جس کا مبدا سے نارمل فاصلہ pہے اور زاویہ
جو نارمل x-axisکی مثبت سمت کے ساتھ بناتی ہے اس طرح دی ہوئی ہے۔
xcos
+ysin
=p
....
(6)
مثال11
اس خط کی مساوات معلوم کیجئے جس کا مبدا عمودی فاصلہ 4اکائی ہے اور زاویہ
کا ہے ۔
(کیوں؟)
اوپر دی ہوئی نارمل شکل؛(6)سے، خط کی مساوات ہے۔
یہ مطلوبہ مساوات ہے۔
مثال12
فارن ہائیٹ درجہ حرارت Fاور مطلق درجہ حرارت Kایک خطی مساوات کو مطمئن کرتے ہیں۔ دیا ہوا ہے K=273جب F=373جب F=212۔ Kکو Fکی شکل میں لکھئے اور Fکی قدر معلوم کیجئے جب کہ K=0ہو۔
حل
فرض کیجئےF۔،x-aixsکے ساتھ ہے اور K۔،y-axisکے ساتھ ہمارے پاس دو نقطے (32,273)اور (212,373)XYمستوی میں ہیں۔ دو نقطے۔ شکل سے، نقطہ (F,K)مساوات کو مطمئن کرتا ہے۔
جب K=0ہے، مساوات(1)دیتی ہے۔
متبادل طریقہ
ہم جانتے ہیں کہ مساوات کی سب سے آسان شکلy=mx+cہے۔
دوبارہ غور کرنے پر کہ ،x-axis F کے ساتھ ہے اور ،y-axis Kکے ساتھ ہے۔ ہم مساوات کو اس شکل میں لے سکتے ہیں۔
(1)... k=m F+c
مساوات(1) (32,273) اور(212,373) سےمطمئن ہے۔ اس لیے
(2)... 722,373)=32m+c
(3)... 373=212m+c اور
(2)اور (3)کو حل کرنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے
mاورcکی
قدریں (1)میں رکھنے ہر ہمیں حاصل ہوتا ہے۔
جو کہ مطلوبہ رشتہ ہے۔ جب کہ K=0،۔ (4)سے حاصل ہوتا ہے F=459.4
 ہم جانتے ہیں کہ مساوات y=mx+cمیں دو مستقل ہیں جن کے نام mاور cہیں۔ ان دو مستقل کو معلوم کرنے کے لیے ہمیں دو شرطوں کی ضرورت ہے جس خط کی مساوات سے مطمئن ہوں۔ مندرجہ بالا تمام مثالوں میں ،ہمیں دوشرطیں خط کی مساوات معلوم کرنے کے لیے دی ہوئی ہیں-
|
مشق:10.2
1تا 8 مشقوں میں، خط کی مساوات معلوم کیجئے، جو دی ہوئی شرطوں کی مطمئن کرتی ہے۔
1. xاورy-axesکے لیے مساواتیں لکھئے۔
2 .
جو نقطہ(4,3-)سے گزرتی ہو اور سلوپ
ہو۔
3 . نقطہ (0,0)سے گزرتی ہو اور سلوپmہو۔
4 .
نقطہ
سے گزرتی ہو اور x-axisپر
کے زاویہ ڈھال ہو۔
5 . x-axisکو3اکائی فاصلہ پر کاٹتی ہو مبدا کے بائیں طرف اور جس کا سلوپ 2-ہو۔
6 .
مبدا کے اوپر y-axisکو 2اکائی فاصلے پر کاٹتی ہو اور x-axisکی مثبت سمت کے ساتھ
کا زاویہ بناتی ہے۔
7 . نقاط (-1,1)اور (2,-4)سے گزرتی ہو۔
8 .
ایک خط کی مساوات معلوم کیجئے جس کا مبدا سے عمود ی فاصلہ 5اکائی ہے اور عمود سے مثبت x-axis کے ساتھ بنایا گیا زاویہ
و۔
9 . مثلث PQRکے راس (2,1)P، (-2,3)Qاور (4,5)Rہیں۔ راس Rسے گزرنے والے وسطانیہ (median)کی مساوات معلوم کیجئے۔
10 . اس خط کی مساوات معلوم کیجئے جو نقطہ (3,5-)سے گزر رہا ہے اور اس خط پر عمود ہے جو نقاط (2,5)اور (3,6-)سے گزر رہا ہے۔
11 . ایک خط جو نقاط(1,0اور (2,3)سے بننے والے قطعہ خط پر عمود ہے اس قطعہ خط کو 1:nنسبت میں کاٹتا ہے۔ خط کی مساوات معلوم کیجئے۔
12 . اس خط کی مساوات معلوم کیجئے جو مختص axesپر برابر کے مقطوعہ کاٹتا ہے اور نقطہ(2,3)سے گزرتا ہے۔
13 . اس خط کی مساوات معلوم کیجئے جو نقطہ(2,2)سے گزر رہا ہو اور axisپر مقطوعہ (Intercepts)کاٹتا ہو اور جن کا مجموعہ 9ہے۔
14 .
اس خط کی مساوات معلوم کیجئے جو نقطہ(0,2)سے گزر تا ہو اور مثبت x-axisکے ساتھ
کا زاویہ بناتا ہو۔ ساتھ ، اس خط کی مساوات معلوم کیجئے جو اس کے متوازی ہو اور Y-axisکو مبدا کے نیچے 2اکائی فاصلے پر اسے کاٹ رہا ہو۔
15 . مبدا سے خط پر عمود نقطہ (-2,9)پرملتا ہے ، خط کی مساوات معلوم کیجئے۔
16. ایک تا نبہ کی سلائی کی لمبائی L (سینٹی میٹر میں)اپنے سیلس درجہ حرارت Cکی خطی تفاعل ہے۔ ایک تجربہ میں ،اگر
L=124.942جب کہ C=20اورL= 125.134ہے جب C=110ہیک۔ L کو Cکی شکل میں دکھایئے۔
17 . ایک دودھ کے اسٹور کے دوکاندار کو معلوم ہے کہ وہ980لیٹر دودھ ہفتہ میں 14روپے فی لیٹر کے حساب سے اور 1220لیٹر دودھ ہر ہفتہ 16روپے فی لیٹر کے حساب سے بیچ سکتا ہے۔ قیمت فروخت اور مانگ کے درمیان ایک خطی رشتہ مان لیجئے تو بتا یئے کہ وہ17روپے فی لیٹر کے حساب سے ایک ہفتہ میں کتنا دودھ فروخت کر سکتا ہے۔
18.
(a,b)P، axesکے درمیان قطعہ خط کو axesکے درمیان 1:2نسبت میں تقسیم کرتا ہے، خط کی مساوات معلوم کیجئے۔
19. نقطہ(h,k)Rایک قطعہ خط کو axesکے درمیان 1:2نسبت میں تقسیم کرتا ہے۔ خط کی مساوات معلوم کیجئے۔
20. ایک خط کی مساوات کے تصور کا استعمال کر کے، ثابت کیجئے کہ تین نقاط (3,0)،(2-,-2)اور (8,2)ہم خط نقطہ ہیں۔
10.4 ایک خط کی عام مساوات (General Equation of a Line)
ہم پچھلی جماعتوں میں پہلے درجہ کی عام مساوات دو متغیرمیں پڑھ چکے ہیں (Ax+By+(C=0جہاں B،Aاور Cحقیقی مستقل ہیں تاکہ Aاور Bہم وقت غیر صفر ہیں۔ہمیشہ مساوات Ax+By+C=0کا گراف ایک سیدھا خط ہوتا ہے۔اس لیے کوئی بھی مساوات Ax+By+C=0کی شکل کی جہاں بیک وقت Aاور Bغیر صفر ہیں ایک خط کی عام خطی مساوات یا عام مساوات کہلاتی ہے۔
10.4.1 Ax+By+C=0کی مختلف قسمیں
ایک خط کی عام مساوات کو مساوات کی مختلف قسموں میں تحویل (reduce)کیا جاسکتا ہے ذیل طریقوں کے ذریعہ
(a)سلوپ۔مقطوعہ شکل
اگر
تبAx+By+C=0کو اس طرح بھی لکھا جا سکتا ہے۔
ہم جانتے ہیں کہ مساوات(1)ایک خط کی سلوپ۔ مقطوعہ شکل ہے ایک مساوات جس کا سلوپ
ہے اورy-intercept،
ہے۔
اگرB=0، تب
جو کے ایک راسی خط ہے جس کا سلوپdefineنہیں کیا گیا ہے۔ اور x-intercept،
ہے۔
(b)مقطوعہ۔شکل Intercept form
اگر
کو اس طرح بھی لکھا جا سکتا ہے۔
ہم جانتے ہیں کہ مساوات(1)ایک خط کی مقطوعہ ۔ شکل جس کا intercept
ہے اورintercept
ہے۔
اگر C=0، تب Ax+By+C=0کو اس طرح بھی لکھا جا سکتا ہے۔Ax+By=0،جو کہ ایک خط ہے جو مبدا سے گزر رہا ہے اور اس لیے axesپر اس کا مقطوعہ صفر ہے۔
(c)نارمل شکل
مان لیجئے
دیئے ہوئے خط کی نارمل شکل ہے جس کی مساوات Ax+By+C=0یا Ax+By=-Cہے۔ اس لیے دونوں
مساوات ایک جیسی ہیں اور اس لیے
نشانوں کا واجب انتخاب کیا گیا ہے تاکہ pمثبت ہو۔
مثال13
ایک خط کی مساوات 3x=4y+10=0ہے۔ اس کا ( i)سلوپ(ii)۔xاور Y-interceptمعلوم کیجئے۔
حل دی ہوئی مساوات 3x-4y+10=0کو اس طرح بھی لکھا جا سکتا ہے۔
(i)کا y=mx+cکے ساتھ موازنہ کرنے پر، ہمارے پاس دیئے ہوئے خط کا سلوپ ہے۔
(ii)مساوات 3x-4y+10=0کو اس طرح بھی لکھا جا سکتا ہے۔
(2)کا
کے ساتھ موازنہ کرنے پر ، ہمارے پاس x-interceptہے جیسے
اور
y-interceptہے جیسے
مثال14مساوات
کو نارمل شکل میں چھوٹا کر و اور pاور
معلوم کرو۔
حل دی ہوئی مساوات ہے۔
(2)کو موازنہ
=py sin
+x cos
سے کرنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے۔p=4اورd=30ºاس طرح عمود کی مبدا ہے خط تک کی لمبائی ہے۔ نارمل اور مثبت x-axisکے درمیان کا زاویہ30ºہے۔
مثال15
خطوط
کا درمیانی زاویہ معلوم کیجئے۔
حل دیئے ہوئے خط خطوط ہیں۔
خط(1)کا سلوپ
ہے اور خط(2)کا سلوپ
ہے زاویہ حادہ (مان لیجئے
)دو خطوط کے درمیان دیا گیا ہے۔
حل دیئے ہوئے دو خطوط اس طرح لکھے جا سکتے ہیں۔
خطوط (1)اور(2)کے سلوپ بالترتیب
ہیں اب
مثال17
ایک خط کی مساوات معلوم کیجئے جو خط x-2y+3=0پر عمود ہے اور نقطہ (1,-2)سے گزر رہا ہے۔
حل
دیاہوا خط x-2y+3=0اس طرح بھی لکھا جا سکتا ہے۔
خط (1)کا سلوپ
ہے۔ اس لیے اس خط کا سلوپ جو خط (1)پر عمود ہے۔
اس خط کی مساوات جس کا سلوپ '-2'ہے اور نقطہ (1,-2)سے گزر رہا ہے۔
جو کہ مطلوبہ مساوات ہے۔
10.5ایک نقطے کا ایک خط سے فاصلہ (Distance of a Point From a Line)
ایک نقطے سے ایک خط کا فاصلہ وہ لمبائی ہے۔ جو نقط سے خط پر عمود کھینچا جائے ۔ مان لیجئے L:Ax+By+C=0ایک خط ہے جس کا نقطہ
Pسے فاصلہ dہے۔ نقطہ Pسے خط'L'پر عمود PMکھینچئے (شکل:10.19)۔
اگر خط xاورy-axisسے بالترتیب نقاط Q،Pاور Rپر ملتا ہے۔ تب نقاط کے مختص ہیں۔
ہمارے پاس مثلث PQRکا رقبہ اس طرح ہے۔
رقبہ اور QR کی قدریں(1) میں رکھنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے۔
اس طرح، خط Ax+By+C=0کا نقطہ
سے عمودی فاصلہ (d)اس طرح دیا گیا ہے۔
10.5.1دو متوازی خطوط کے درمیان فاصلہDistance between two parallel lines
ہم جانتے ہیں کہ دو متوازی خطوط کے سلوپ برابر ہیں۔ اس لیے دو متوازی خطوط اس شکل میں لکھے جا سکتے ہیں۔
خط (1)x-axisکو نقطہ
پر کاٹتا ہے جیسا کہ شکل 10.20میں دکھایا گیا ہے۔
دو خطوط کے درمیان فاصلہ عمود کی لمبائی نقطہ Aسے خط(2)کے برابر۔ اس لیے خطوط (1)اور (2)کے درمیان فاصلہ یہ ہے۔
اس طرح، دو متوازی خطوط
کے درمیان فاصلہ (d)دیا گیا ہے۔
اگر خطوط عام شکل میں دیئے گئے ہیں یعنی
، تب مندرجہ ذیل بالا فارمولہ یہ شکل لے گا
طلباء اسے خود حل کرسکتے ہیں۔
مثال18
نقطہ (3,-5)کا فاصلہ خط
سے معلوم کیجئے۔
حل دیا ہوا خط ہے۔
(1)کاموازنہ خط
کی عام مساوات سے کرنے پر ہمیں
حاصل ہوتا ہے۔
دیا ہوانقطہ ہے
=(3-,5)دیئے ہوئے نقطے کا دیئے ہوئے خط سے فاصلہ ہے۔
اکائیاں
مثال19
متوازی خطوط
کے درمیان فاصلہ معلوم کیجئے۔
حل
یہاں ہے
۔ اس لیے مطلوبہ فاصلہ ہے۔
(اکائیاں)
مشق10.3
1. ذیل مساوات کو سلوپ۔ مقطوعہ(intercep)شکل میں مختصر کیجئے اور ان کے سلوپ اورy-intercepts معلوم کیجئے۔
2. ذیل مساوات کو مقطوعہ شکل میں لکھئے اور ان کے مقطوعہ axesپر دریافت کیجئے۔
3. ذیل مساوات کو نارمل شکل میں لکھئے ۔ ان کا مبدا سے عمودی فاصلہ معلوم کیجئے اور عمود اور مثبت x-axisکے درمیان زاویہ معلوم کیجئے۔
4.
نقطہ(1,1-)کا فاصلہ خط
سے معلوم کیجئے۔
5.
x-aixsپر وہ نقاط معلوم کیجئے جن کا خط
سے فاصلہ 4اکائی ہے۔
6. متوازی خطوط کے درمیان فاصلہ معلوم کیجئے۔
7.
اس خط کی مساوات معلوم کرو جو خط
کے متوازی ہے اور نقطہ (2،3-)سے گزررہا ہے۔
8.
اس خط کی مساوات معلوم کرو جو خط
پر عمود ہے اور جس x-intercept ،3ہے۔
9.
خطوط
کے درمیان زاویہ معلوم کیجئے۔
.10 نقاط (h,3)اور (4,3)سے گزرنے والا خط ، خط 7x-9y-19=0کو زاویہ قائمہ پر کاٹتا ہے۔hکی قدر معلوم کیجئے۔
11.
ثابت کیجئے کہ نقطہ
سے گزرنے والا خط اور خط Ax+By+C=0کے متوازی یہ ہے۔
�12.
نقطہ(2,3)سے گزرنے والے دو خطوط ایک دوسرے کو
کے زاویہ پر کاٹتے ہیں۔ اگر ایک خط کا سلوپ 2ہے تو دوسرے خط کے مساوات معلوم کیجئے۔
13. نقاط (3,4)اور (1,2-)سے بننے والے قطعہ خط کے عمودی ناصف کی مساوات معلوم کیجئے۔
14.
عمود کے پیر کے مختص معلوم کیجئے جو نقطہ(1,3-)سے خط
پر ہے۔
15. مبدا سے عمود خط y= mx +c پر نقطہ(1,2-)پر ملتا ہے۔ mاور cکی قدریں معلوم کیجئے۔
16. اگر pاور qعمودوں کی لمبائیاں بالترتیب مبدا سے خطوط
x secθ+ y cosecθ=k اور x cosθ-ysinθ= k cos 2θ
ہیں تو ثابت کیجئے کہ
P2+4q2=k2ہے۔
17. ایک مثلث ABCمیں جس کے راس A(2,3)،B(4,-1)اور C(1,2)ہیں۔ Aسے ارتقاع (attituded)کی لمبائی اور مساوات معلوم کیجئے۔
18 .
اگرpعمود کی لمبائی مبدا سے اس خط تک ہے جس کے axesسےintercepts aاور bہیں تو دکھایئے کہ
متفرق مثالیں
مثال20
Kکی قدر معلوم کیجئے تاکہ خطوط
ہم نقطہ ہوں۔
حل تین خطوط اس وقت ہم نقطہ کہلاتے ہیں جب وہ ایک ہی مشترکہ نقطہ سے گزریں۔ اس کا مطلب ہے دو خطوط کا ایک دوسرے کو کاٹنے والا نقطہ، تیسرے خط پر واقع ہوتا ہے۔ یہاں دیئے ہوئے خطوط ہیں۔
1... 3x+y–3=0
2... 5x+ky–3=0
3... 3x–y–2=0
(1)اور (3)کو مخلوط یا کراس ضربی عمل سے حل کرنے پر ،ہمیں حاصل ہوتا ہے۔
اس لیے دوخطوط کو کاٹنے والا نقطہ ہے(1,1)کیونکہ مندرجہ بالا تینوں خطوط ہم نقطہ ہیں، نقطہ (1,1)مساوات (3)کو مطمئن کرے گا تاکہ:
5.1+k.1-3=0 یا k=-2
مثال 21
خط4x-y=0کا نقطہ (4,1)P سے فاصلہ معلوم کیجئے جو کہ مثبت X-aixsکے ساتھ
کا زاویہ بناتا ہے۔
حل دیا ہوا خط ہے۔
1.... 4x–y=0
خط (1)کا نقطہ (4,1)Pسے فاصلہ معلوم کرنے کی ترتیب ایک دوسرے خط کے ساتھ، ہمیں دونوں خطوط کا نقطہ تقاطع معلوم کرنا ہوگا۔ اس کے لیے ہم سب سے پہلے دوسرے خط کی مساوات معلوم کریں گے(شکل 10.21)۔ دوسرے خط کا سلوپ ہے 1-=
tanاس خط کی مساوات جس کا سلوپ -1اور نقطہ (4,1)Pسے گزر رہا ہے۔
2... y–1= ––1(n-4) یا n+y–5=0
(1)اور(2)کو حل کرنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے۔ x=1اور y=4تا کہ دونوں خطوط کا نقطہ تقاطع (1,4)Qہے۔ اب خط(1)کا فاصلہ نقطہ (4,1)Pسے خط (2)کے ساتھ۔
=نقاط (4,1)Pاور (1,4)Qکے درمیان کا فاصلہ
اکائیاں
مثال22یہ مان لیجئے کہ سیدھے خطوط ایک نقطے کے لیے سیدھے آئینہ کا کام کرتے ہیں، نقطہ (1,2)کا عکس خط
x-3y+4=0میں نکالیئے۔
حل مان لیجئے نقطہ (1,2)Pکا عکس خط میں نقطہ (h,k)Qہے۔
اس لیے خط(1)قطعہ خط PQکا عمودی ناصف ہے(شکل:10.22)
اس لیے خط PQکا سلوپ مساوات
کا سلوپ
تاکہ
اورPQکا درمیانی نقطہ یعنی
جو کہ مساوات (1)کو مطمئن کرے گاتاکہ
(2)اور(3)کو حل کرنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے
اس لئے نقطہ (1,2) کا عکس خط (1) میں ہے
مثال23
دکھائیے کہ مثلث کا رقبہ جو مساوات
x=0 اور y=m2x+c2,y=m1x+c1
سے بنا ہے
ہے۔
حل
دیے ہوئے خطوط ہیں
(1) y=m1x+c1
(2)y=m2x+c2
(3)x=0
ہم جانتے ہیں کہ خط
(y-axis) سے نقطہ (0,c) پر ملتا ہے۔اس لیے
مثلث کے دو راس جو خط (1) اور (3) سے بنے ہیں
(شکل 10.23)
تیسرا راس مساوات (1) اور (2) کو حل کرنے سے ملے گا۔ (1) اور (2) کو حل کرنے پر ہمیں ملتا ہے
اس لیے مثلث کا تیسرا راس R ہے
اب مثلث کا رقبہ
مثال24
ایک خط اس طرح ہے کہ اس کا قطعہ، خطوط
3x+4y-4=0 اور 5x-y+4=0
کے درمیان نقط (1,5) پر ناصف کیا گیا ہے۔ اس کی مساوات معلوم کیجیے۔
حل
دیے ہوئے خطوط ہیں
(1)... 5x-y+4=0
(2)... 3x+y-4=0
مان لیجیے مطلوبہ خط، خطوط (1) اور (2) کو نقاط (α1,β2 اورα2,β2)پر بالترتیب کاٹتے ہیں۔ (شکل:10.24)اس لئے
3α2 + 4β1-4= 0 اور α1-β1+4=0
ہمیں دیا ہوا ہے کہ مطلوبہ خط کے قطعہ کا درمیانی نقطہ
(a2,β2) اور (a1,β1)
کے درمیان (1,5) ہے۔ اس لیے
(3).... 20a1 -3a2=20اورa1+a2=2 یا
مساوات (3) کوa1 اورa2 کے لیے حل کرنے پر ہمیں حاصل ہوتاہے
مطلوبہ خط کی مساوات جو(1,5) (اورa1,β1) سےگزررہی ہے
یا 107x-3y-92=0
جو کہ مطلوبہ مساوات ہے۔
مثال25
دکھائیے کہ ایک چلتے ہوئے نقطہ کا راستہ، تاکہ اس کا فاصلہ دو خطوط
3x-2y-2y=5 اور3x+2y=5سے برابر ہو، ایک خط ہے۔
حل دیے ہوئے خطوط ہیں
(1)... 3x-2y=5
(2)... 3x+2y=5
مان لیجیے کوئی بھی نقطہ (h,k) ہے جس کا فاصلہ خطوط (1) اور (2) سے برابر ہے۔ اس لیے
جو دیتا ہے،
–(3h–2k–5)=3h+2k–5
یا
3h–2k–5=3h+2k–5
ان دونوں رشتوں کو حل کرنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے،
۔ اس طرح نقطہ (h,k) مساوات 0=y ۔یا
کو مطمئن کرتا ہے، جو سیدھے خطوط کو دکھاتا ہے۔ اس لیے دونوں خطوط (1) اور (2) کا راستہ نقطے سے برابر دوری (فاصلہ پر) ایک سیدھا خط ہے۔
متفرق مشق
.1 kکی وہ قیمتیں معلوم کیجیے جن کے لیے خط
(k–3)x–(4–k2)y+k2–7k+6=0
(a)
x-axis کے متوازی ہے ۔
(b)
y-axis کے متوازی ہے۔
(c) مبدا سے گزر رہا ہے۔
2. θاور p کی قدریں معلوم کیجیے، اگر مساوات
کی نارمل شکل ہے۔
3. ان خطوط کی مساوات معلوم کیجیے جو axes پر برابر مقطوعہ (intercepts) کاٹتی ہیں جن کا مجموعہ اور حاصل ضرب بالترتیب 1 اور 6 -ہے۔
4.
y-axis پر وہ کون سے نقطے ہیں جن کا فاصلہ خط
4 اکائی ہے۔
5. اس خط کا عمودی فاصلہ مبداسے معلوم کیجیے جو نقطوں
(cosΦ, sinΦ) اور (cosθ,sinθ)
کے ملانے سے بنتا ہے۔
6. اس خط کی مساوات معلوم کیجیے جو y-axis کے متوازی ہے اور خطوط
3x+y=0 اور x-7y+5=0
کے نقطہ تقاطع سے کھینچا گیا ہے۔
7.
اس خط کی مساوات معلوم کیجیے جو خط
کا عمودی ہے اور اس نقطہ سے جہاں یہ y-axis پر ملتا ہے۔
8 . مثلث کا رقبہ معلوم کیجیے جو خطوط x-k=0اور x+y=0,y-x=0
سے مل کر بنا ہے۔
9. P کی قیمت معلوم کیجیے تاکہ خطوط
2x-y-3=0اورpx+2y-3=0,3x+y-2=0
ایک نقطہ پر کاٹ سکیں۔
10. اگر تین خطوط، جن کی مساواتیں
y=m3x+c3 اور y=m2x+c2,y=m1x+c1
ہیں، ہم نقطہ خطوط ہیں، تو دکھائیے کہ
m1(c2-c3)+m2(c3-c1)+m3(c1-c2)=0
11. ان خطوط کی مساواتیں معلوم کیجیے جو نقطہ (3,2) سے گزر رہے ہیں اور خط
x-2y=3 کے ساتھ45º کا زاویہ بناتے ہیں۔
12. اس خط کی مساوات معلوم کیجیے جو خطوط
2x-3y+1=0
اور
4x+7y+-3=0
کے نقطہ تقاطع سے گزر رہے ہیں، اورجن کے axes پر برابر مقطوعہ (intercepts) ہیں۔
13.
دکھائیے کہ مساوات جو مبدا سے گزر رہی ہے اور خط
کے ساتھ زاویہΦبنا رہی ہے وہ ہے
14 . وہ نسبت معلوم کیجیے جس میں نقاط (1,1-) اور (5,7) سے بننے والا خط، خط
x+y=4سے تقسیم ہوتا ہے؟
15. خط
4x+7y+5=0 کا فاصلہ نقط (1,2) سے معلوم کیجیے جو اسی خط
2x-y=0
کے ساتھ ہے۔
16. وہ سمت معلوم کیجیے جس میں سیدھا خط نقطہ (1,2-) سے کھینچا جائے تاکہ اس کا نقطہ تقاطع خطx+y=4 سے 3 اکائی کے فاصلے پر ہو۔
17. ایک قائمہ مثلث کے وتر کے سرے نقاط (1,3) اور (-4,1) ہیں۔ مثلث کے ٹانگوں (عمودی ضلع) کی مساوات معلوم کیجیے۔
18 . نقطہ (3,8) کا عکس معلوم کیجیے، خطx+3y=7کے حوالے سے یہ مان کر کہ خط ایک مستوی آئینہ ہے۔
19. m کی قدر معلوم کیجیے، اگر خطوط
y=mx+4خط
2y=x+3 اور
y=3x+1
پر برابر کے ڈھلاؤ ہوں۔
20. اگر متـغیر نقطہ P (x,y) کے عمودی فاصلے مساوات
x+y-5=0 اور3x-2y+7=0
سے ہمیشہ 10 ہیں۔ تو دکھائیے کہ P خط پر چلتا ہے۔
21 . اس خط کی مساوات معلوم کیجیے جو متوازی خطوط
3x-2y+7=0اورx+y-5=0
کے بیچ راستے میں ہے۔
22. روشنی کی ایک شعاع نقطہ (1,2) سے ہو کر گزر رہی ہے، x-axis پر نقطہ A سے منعکس ہوتی ہے اور منعکس شعاع نقطہ (5,3) سے ہوکر گزرتی ہے۔ نقطہ A کے مختص (Co-ordinates) معلوم کیجیے۔
23 .
ثابت کیجیے کہ عمودی لمبائیوں کا حاصل ضرب جو نقاط
سے خط
ہے۔
24. ایک انسان دو سیدھے راستوں کے جنکشن پر کھڑا ہے جن راستوں کی مساوات2x-3y+4=0 اور3x+y-5=0
اس راستے پر جانا چاہتا ہے جس کی مساوات
6x–7y+8=0کم سے کم وقت میں۔ اس راستے کی مساوات معلوم کیجیے جس پر وہ چلے۔
ہے۔
سے