باب 12

سہ ابعادی جیومیٹری کا تعارف

 (INTRODUCTION TO THREE DIMENSIONAL GEOMETRY)

ریاضی تمام سائنس کی ملکہ اور ہاتھ سے کام کرنے والی نوکرانی ہے۔ E.T.BELL

12.1  تعارف(Introduction)

تم مستوی میں ایک نقطہ کی جگہ دیکھنے کے لئے دو دلچسپ باہمی عمودی خطوں کو دوبارہ مستوی میں یاد کرسکتے ہو۔ یہ خطوط مختص محاور کہلاتے ہیں اور دو اعداد نقطے کے مختص محاور کے ساتھ کہلاتے ہیں۔ ہم اصلی زندگی میں ہمیں ان نقاط کے ساتھ معاہدہ نہیں کرنا ہے جو صرف مستوی میں واقع ہوں۔ مثال کے طور پر اس گیند کی پوزیشن (حالت) پر غور کیجئے جسے خلاء میں وقت کے مختلف نقاط پر پھینکا گیا ہو یا ہوائی جہازحا لت جب وہ وقت کے ساتھ ایک اسٹیشن (جگہ) سے دوسرے اسٹیشن (جگہ) جارہا ہو مختلف اوقات میں اپنی پرواز کے درمیان۔

لیونہارڈایولر

(1707-1783)

اسی طرح، اگر ہمیں ایک برقی بلب کی نچلی سطح (کنارہ) دیکھنی ہوتی جب وہ ایک کمرے کی چھت سے لٹکا ہوا تھا باہمیں چھت کے پنکھے کی درمیانی نوک (کنارہ) کی پوزیشن ایک کمرے میں، ہمیں نہ صرف اس نقطے کی عمودی فاصلہ دونوں دیواروں کے عمود سے معلوم کرنے کی ضروری ہے بلکہ اس نقط کی کمرے کے فرش اونچائی کی بھی ضرورت ہے۔ اس لئے ہمیں نہ صرف دو  بلکہ تین اعداد کی ضرورت ہے جو تین باہم عمودی مستویوں کے حوالے سے۔ اس طرح،  مستوی میں ایک نقطے کے تین مختص ہوتے ہیں۔ اس سبق میں ہم جیومیٹری کے بنیادی سوچ پر سہ ابعادی خلاء(Three Dimension Space) کامطالعہ کریں گے۔

12.2  سہ ابعادی خلاء میں مختص محاور اور مختص مستوئیں 

Co-ordinate Axes & Co-ordinate Planes in Three  Dimensional    Space

شکل 12.2 میں دکھائی گئی ان تینوں مستویوں کو جو نقطہ 'O' پر کاٹ رہی ہیںغور کریں کہ یہ تینوں مستوئیں ایک دوسرے پر باہمی عمود (Perpendiculer)ہیں۔یہ تینوں ایک دوسرے کو خطوط  X'OX، Y'OY  اور Z'OZپر کاٹ رہی ہیں جو بالترتیب  x، y اور z -محاور کہلات ہیں۔خاص بات یہ ہے کہ یہ تینوں خطوط باہمی ایک دوسرے پر عمود (Perpendiculer) ہیں یہی تینوں خطوط مستطیل مختص نظام کو وجود دیتے ہیں۔مستویاں  XOY YOZ,اورZOXجنکو بالترتیب ,-XYمستوی ،-YZمستوی اور-ZX،مستوی کا نام دیا جاتا ہے تینوں مختص مستویاں ہیں ۔اگر ہم XOYمستوی کوایک کاغذ کی مستوی کے طور پر تصور کریں اور خط Z'OZ کو مستوی XOY پر عمود کے طور پر۔ اگر کاغذ کی مستوی کو افقی (Horizontal)تصور کریں تو خطZ'OZ  راسی (Vertical) ہوگا۔ XY -مستوی سے اوپر OZکی سمت میں ناپا جانے والا فاصلہ مثبت (positive)ہوگا۔ اس کے برعکس نیچے OZکی سمت میں ناپا جانے والا فاصلہ منفی (negative)ہوگا ۔اسی طرح -ZXمستوی سے داہنی جا نب OY کی سمت میں ناپا جانے والا فاصلہمثبت (positive)اور بائیں جانب  OYکی سمت میں ناپا جانے والا فاصلہ منفی (negative) ہو گا ۔-YZمستوی کے سامنے OXکی سمت میں ناپا جانے والافاصلہ مثبت (positive)اور پیچھے OXکی سمت میں ناپا جانے والا فاصلہ  منفی (negative)ہوگا۔نقطہ Oمختص نظام کا مبدا کہلاتا ہے۔ یہ تینوں مختص مستویاں خلاء کو آٹھ (8)حصوں میں بانٹتی ہیں جن کو Octantsکہتے ہیں۔انOctantsکو  XOYZ، X'OYZ، XOY'Z، X'OY'Z، XOYZ'، X'OYZ'، XOY'Z' اور X'OY'Z' کے نام دئے گئے ہیں ان کو بالترتیب I، ۔II، ۔III،..... ۔VIII۔ سے ظاہر کیا گیا ہے۔

12.3خلاء میں ایک نقطہ کی مختص مستوئیںCoordinates of a Point in Space

خلا میں ایک جامد مختص نظام ( جو مختص محاور، مختص مستویوں اور مبدا پر مبنی ہے) کو منتخب کر کے ہم آپ کو واضح کرتے ہیں کہ خلا میں کسی دیے ہوے نقطہ کو کس طرح تین مختص(x,y,z) سے وابستہ کرتے ہیں اور اس کے بر عکس ایک دیے ہوئے تین رکنی اعداد(x,y,z)کے مقام کی خلا میں کسی طرح نشان دہی کرتے ہیں۔

خلاء میں ایک نقطہ P  دیا گیا ہے، ہم XY مستوی پر ایک PM عمود کھینچتے ہیں جس میں M عمود کا پیر ہے (شکل 12.2) اس کے بعد نقطہ M سے x-axis پر عمود ML کھینچتے ہیں جو اسے 'L' پر ملتا ہے۔ مان لیجئے  'OL' x ہے، LM  y  ہے اور MP  z ہے۔ تب z'y'x بالترتیب x'y اور z خلاء میں نقطہ P کے مختص کہلاتے ہیں۔ شکل 12.2 میں ہم یہ نوٹ کرسکتے ہیں کہ نقطہ P۔ (x,y,z) دائرہ کے  حصہ xoyz میں واقع ہے اور اس طرح x,y,z مثبت ہیں۔ اگر P کسی اور Dctant میں ہوتا تو y'x اور z کی علامتیں اسی طرح بدل جاتیں۔ اس طرح خلاء میں ہر نقطے P کے لئے اس کے مطابق ایک مرتب سہ گانہ (x,y,z) حقیقی اعداد کا ہوگا۔

اس کے برعکس کوئی بھی سہ گانہ (x,y,z) دیا گیا ہے۔ ہم سب سے پہلے نقطہ 'L' کو x-asix پر مقرر کریں گے۔ x کے مطابق اس کے بعد مستوی xy میں ایک نقطہ 'M' تلاش کریں گے تاکہ مستوی xy میں نقطہ M کے مختص (x,y) ہوں۔ یہ بات نوٹ کرلیجئے کہ یا تو LM، x-asix پر عمود ہے یا پھر y-axis کے متوازی ہے۔ نقطہ 'M' پر پہنچنے کے بعد ہم مستوی xy پر MP عمود ڈالتے ہیں اور اس پر z کے مطابق نقطہ P تلاش کرتے ہیں۔ اس طرح حاصل کیا گیا نقطہ 'P' مختص (x,y,z) رکھتا ہے۔ اس طرح خلاء میں حقیقی اعداد کے مرتب سہ گانے (x,y,z) اور نقطوں کے درمیان ایک ایک مطابقت ہے۔

اس کے متبادل ہم خلاء میں نقطہ P سے ہم مختصی مستوی کے متوازی تین مستویں کھینچتے ہیں جو x-axis، y-axis اور z-axis کو بالترتیب نقاط A، B اور ــC پر ملتی ہیں (شکل 12.3)۔ مان لیجئے OA = x ، OB = y   اور  OZ = z ہیں۔ تب نقطہ P کے مختص x,y اور z ہوں گے اور ہم لکھیں گے P(x,y,z)۔ اس کے برعکس دیا ہوا ہے x,y اور z۔ ہم تین نقطوں A,B اور C کی تلاش تین مختص محاور پر کرتے ہیں۔ ہم تین نقطوں A,B اور C سے مستوئیں کھینچتے ہیں جو بالترتیب zyمستوی، zxمستوی اور xy مستوی کے متوازی ہیں۔ ان تینوں مستویں ADPF، BDPE اور CEPF کا نقطہ کاٹ مرتب سہ گانہ (x,y,z) کے مطابق 'P' ہے۔ ہم یہ دیکھتے ہیں کہ اگر P۔(x,y,z) خلاء میں کئی نقطہ ہے، تب x,y اور z بالترتیب مستویں zx,yz  اور xy سے عمودی فاصلے ہیں۔

  مبدا  'O' کے مختص (0,0,0) ہیں۔ x-axis پر کسی بھی نقطہ کے مختص (x,0,0) ہوں گے اور yz مستوی میں کسی بھی نقطہ کے مختص (024) ہوں گے۔

ریمارک  ایک نقطے کے مختص کا نشان octant کو معلوم کرتا ہے جس میں نقطہ آتا ہے۔ ذیل جدول آٹھوں آکٹینٹ میں مختص کے نشانات کو دکھاتی ہے۔

جدول12.1

مثال1 شکل 12.3 میں آکر P۔(245) ہے  تو F کے مختص معلوم کیجئے۔

حل نقطہF کے لئے OY پر ناپا گیا فاصلہ صفر ہے۔ اس لئے F کے مختص(2،0،5) ہیں۔

مثال 2 وہ آکٹینٹ(Octant) بتای جن میں نقاط(3,1,2-)اور(3،1،2-) واقع ہوں ۔

حل جدول 12.1 کے مطابق نقطہ(3،1،2-) دوسرے اکٹینٹ میں اورنقطہ(025چھٹے اکٹینٹ میں واقع ہے۔

مشق: 12.1

1.   ایک نقطہ x-axis پر موجود ہے۔ اس کے y مختص اور z مختص کیا ہیں؟

2.   ایک نقطہ XZ مستوی میں ہے۔ آپ اس کے yمختص کے بارے میں کیا کہہ سکتے ہیں؟

3. اس octant کا نام معلوم کیجئے جس میں ذیل نقاط آتے ہیں۔

(1,2,3)،  (4,-2,3)،  (4,-2,-5)،  (4,2,-5) ،  (-4,2,-5)،  (-4,2,5)،  (-3,-1,6)  (2,-4,-7)

4.   خالی جگہیں بھرئے:

(i)۔   x-axis اور y-axis کو ایک ساتھ مستوی معلوم کیجئے جسے کہا جاتا ہے ۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔

(ii)   مستوی xy میں نقاط کے مختص اس شکل کے ہیں ۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔

(iii)  مختص مستوئیں خلاء کو ۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔۔ octants بانٹتی ہیں۔

12.4  دونقاط کے درمیان فاصلہ  Distance between Two Points

ہم دو نقاط کے درمیان فاصلے کے بارے میں دو ابعادی مختص نظام میں پڑھ چکے ہیں۔ اب ہمیں اس مطالعہ کو سہ ابعادی نظام تک بڑھانا چاہئے۔

مان لیجئے08 دو نقاط ہیں جو حوالہ دیتے ہیں ایک مستطیلی محاورکے سیٹ کا OX، OY اورOZ۔ P اور Q نقاط سے مختص مستویوں کے متوازی مستوئیں کھینچئے تاکہ ایک مستطیلی متوازی السطوح (rectangular parallelopiped) جس میں ایک وتر PQ ہے۔ (شکل 12.4)

اب کیونکہPAQ>ایک قائسمہ زاویہ ہے، اس لئے مثلث PAQ میں

(1)... PQ²=PA²+AQ²

ساتھ ہی ANQ ایک قایم زاوی مثلث ہے، جس میں028ایک زاویہ قائمہ ہے۔

اس لیے

(2)... AQ²=AN²+NQ²

(1) اور (2) سے ہمارے پاس ہے

(1)... PQ²=PA²+AN²+NQ²

اب

ٖNQ=z²-z¹ اورAN=x²–x–'PA=y²–y¹

یہ ہمیں دو نقاط

(x²,y²,z²)اور(x¹,y¹,z¹)

کے درمیان فاصلہ دیتا ہے۔

خاص طور پر اگرx¹=¹y¹=z¹=0نقطہ PمبداOہے، تب 

جو مبدا اور کسی بھی نقطہ (Q(x²,y²,z²کے درمیان فاصلہ دیتا ہے۔

مثال 3   نقاط (1,-3,4)۔P۔  اور  (-4,1,2)۔Q۔  کے درمیان فاصلہ معلوم کیجئے۔

حل نقاط P(1,-3,4)۔  اور  Q۔(-4,1,2)  کے درمیان فاصلہ PQ ہے

مثال4   دکھائیے کہ نقاط P(-2,3,5)،  Q۔(1,2,3)  اور  R۔(7,0,-1)  ہم خط نقاط ہیں۔

حل  ہم جانتے ہیں کہ نقاط کو اس وقت ہم خط نقطہ کہتے ہیں جب وہ ایک ہی خط پرواقع ہوں۔

اس طرح PQ+QR=PR     اس لئے  P، Q  اور  R ہم خط نقطہ ہیں۔

مثال  5 کیا نقاط A۔(3,6,9)،  B۔(10,20,30)  اور  C۔(25,-41,5)  ایک قایم زاوی مثلث کے راس ہیں۔

حل  فاصلے کے فارمولے سے، ہمارے پاس ہے

AB² =(10-3)²+(20-6)²+(30–9)²

=49+196+441=686

BC²=(25-10)²+(–41–20)²+(5–30)²

=225+3721+625=451

CA²=(3-25)²+(6+41)²+(9-5)²

=484+2209+16=2709

CA²+AB²≠BC²ہم نے دریافت کیا ہے کہ  

اس طرح مثلث ABC ایک قایم زاوی مثلث نہیں ہے۔

مثال 6 P نقاط کے سیٹ کی مساوات معلوم کیجئے تاکہ

 PA²+PB²=2k²

ہو، جہاں A اور B نقاط بالترتیب (3,4,5) اور

(–1,3,–7)

 ہوں۔

حل  مان لیجئے نقط P کے مختص (x,y,z) ہیں۔

یہاں PA² = (x–3)2+(y–4)2+(z–5) 2

PB² = (x+12) +(y–3) 2+(z+7)²

دی ہوئی شرط کے مطابق،PA²+PB=2k²

(x-3)²+ (y-4)²+ (z-5)²+(x+1)²+(y-3)²(z+7)2+=2k²

2x²+2y²+2z²-4x-14y+4z=2k²-109

مشق 12.2

1۔   ذیل نقاط کے جوڑوں کے درمیان فاصلہ معلوم کیجئے:

(i)  ۔(2,3,5)  اور  (4,3,1)

(ii)  

(3,7,2–)  اور  (1,–4,-2)

(iii)

(–1,3,-4)

  اور

(1,–3,4)

(iv)

 (2,–1,3)

 (اور

(–2,1,3)

2۔   دکھائیے کہ نقاط  (2,3,5-)،  (1,2,3)  اور

  (7,0,-1)

 ہم خط نقطہ ہیں۔

3۔   ذیل کی تصدیق کیجئے:

(i) ۔

(1,6,6)'(0,7,-10)

(4,9,-6) اور

  ایک مساوی الساقین مثلث کے راس ہیں۔

(ii)

(0,7,10) '(1,6,6-)

اور  (-4,9,6)  ایک قائم زاویہ مثلث کے راس ہیں۔

(iii)

(4,-7,8)، (1,-2,5)،(-1,2,1)

(3,2,-1)اور

سے برابری کی دوری پر ہیں۔   

4۔   ان نقاط کے سیٹ کی مساوات معلوم کیجئے جو نقاط (1,2,3)  اور

(3,2-1)  سے برابر کی دوری پر ہیں۔

5۔   نقاط  P  کے سیٹ کی مساوات معلوم کیجئے جس کے فاصلوں کا جوڑ

 (4,0,0)A  اور  (-4,0,0)B  سے 10 کے برابر ہیں۔

12.5 سیکشن فارمولہ

دو ابعادی جیومیٹری میں ہم نے پڑھا ہے کہ ایک نقطے کے مختص کس طرح معلوم کئے جاتے ہیں، جوایک قطعہ خط کو دی ہوئی نسبت میں اندرونی تقسیم کرے۔ اب ہم اسے تین ابعادی جیومیٹری تک ذیل طرح سے بڑھاتے ہیں۔

مان لیجئے دو نقاط(P(x¹,y¹اور(Q(x²,y² ہیں۔ مان لیجئے نقطہ R(x,y,z) ،  PQ کو  m:n نسبت میں اندرونی تقسیم کرتا ہے۔ xy مستوی پر عمود PL،  QM اور RN کھینچئے۔ ان عمودوں کے پیر xy مستوی میں موجود ہوتے ہیں اور سب ہی متوازی ہوتے ہیں۔ نقاط L، M اور N ایک خط پر پڑیں گے جو کہ مستوی کا قاطع ہے جس میں PL، RN اور QM،  xy مستوی کے ساتھ موجود ہوتے ہیں۔ R سے ایک خط SRT،  LMN کے متوازی کھینچئے۔ خط LMN مستوی میں موجود ہوتا ہے جو کھینچے گئے عمود پر اور اس طرح یہ خط LP کو باہری (بیرونی) نقطہ پر کاٹے گا اور خط MQ کو T پر جیسا کہ شکل 12.5 میں دکھایا گیا ہے۔

ساتھ ہی یہ بھی نوٹ کیجئے کہ LNRS اور NMTR متوازی اضلاع ہیں۔

مثلث PSR اور QTR مشابہ ہیں۔ اس لئے

اس طرح XZ اور YZ مستویوں پر عمود کھینچنے سے ہمیں حاصل ہوتا ہے

اس لئے نقطہ R کے مختص کو جو قطعہ خط کو نقاط(P(x¹,y¹,z¹ اور(Q(x²,y²,z²کو اندرونی نسبت m:n میں کاٹتا ہے۔ یہ ہیں

اگر نقطہ R،  PQ کو بیرونی نسبت m:n میں کاٹتا ہے، تب اس کے مختص n کو  -n  سے تبدیل کرنے پر تاکہ نقطہ R کے مختص ہوں گے

کیس1  درمیانی نقطے کے مختص:  اگر R،۔  PQ کا درمیانی نقطہ ہو، تب 

یہ نقاط(P(x¹,y¹,z¹ اور(Q(x²,y²,z²  سے بننے والا قطعہ خط کے درمیانی نقطہ کے مختص ہیں۔

کیس2  نقطہ R کے مختص جو PQ کو k:1 نسبت میں تقسیم کرتے ہیں حاصل ہوتے ہیں لینے پر اور جو نیچے دئیے گئے ہیں۔

عام طور پر یہ نتیجہ ان مسئلوں کو حل کرنے میں استعمال ہوتا ہے جن مسئلوں میں ایک عام نقطہ دو دیے ہوئے نقطوں سے گزرنے والے خط پر موجود ہوتا ہے۔(نسبت K:1معلوم نہ ہو)

مثال 7  اس نقطے کے مختص نکالئیے جو نقاط (2,3-,1)اور(5-,3,4) سے بننے والے قطعہ خط کو 2:3 نسبت میں تقسیم کرتا ہے (i) اندرونی اور (ii) بیرونی۔

حل  (i)   مان لیجئے (P(x,y,z  ایک نقطہ ہے جو(A(1,-2,3اور (B(3,4,-5سے مل کر بننے والے قطعہ خط کو اندرونی 2:3 نسبت میں تب کاٹتا ہے۔

(ii)   مان لیجئے (P(x,y,z وہ نقطہ ہے جو(A(1,-2,3اور(B(3,4,-5سے مل کر بننے والے قطعہ خط کو 2:3 نسبت میں تب کاٹتا ہے

اس لئے مطلوبہ نقطہ ہے (,14,19,-3) 

مثال8  سیکشن فارمولے کا استعمال کرکے ثابت کیجئے کہ تین نقاط

(2,4,6),(-4,6,10)

(14,0,-2)اور

ہم خطہ نقطہ ہیں۔

حل  مان لیجئے(A(–4,6,10

'(B(2,4,6اور(C(14,0,–2

دئیے ہوئے نقاط ہیں۔ مان لیجئے P،  AB کو  k:1 نسبت میں تقسیم کرتا ہے۔ تب نقطہ P کے مختص ہیں۔

اب ہم یہ جانچ کرتے ہیں کہ کیاkکی کسی قدر کے لیے نقطہPنقطہCکے ساتھ متفق ہے۔

اس لئے (C(14,0,-2  ایک نقطہ ہے جو AB کو بیرونی 3:2 نسبت میں تقسیم کرتا ہے اور یہ بالکل C کی طرح ہے۔

اس لئے A، B، C ہم خط نقطہ ہیں۔

مثال9 ایک مثلث کے وسطانی مرکز (centriod) کے مختص معلوم کیجئے جس کے راس

(x¹,y¹,z¹)،

(x²,y²,z) اور(y³,y³,z³)ہیں۔

حل مان لیجئے ABC ایک مثلث ہے۔ مان لیجئے راس A،  B،  C  کے مختص بالترتیب  (x¹,y¹,z¹)،(x²,y²,z²)ہیں۔

مان لیجئے D،  BC کا درمیانی نقطہ ہے۔

اس طرح D کے مختص ہیں۔

مان لیجئے  G  مثلث کا وسطانی مرکز ہے۔ اس لئے یہ وسطانیہ (median)  AD کو 2:1 نسبت میں تقسیم کرتا ہے۔ اس طرح G کے مختص ہیں۔

مثال10  وہ نسبت معلوم کیجئے جس میں قطعہ خط نقاط (4,8,10)  اور  (6,10,-8)  سے بننے والا yz ستوی سے تقسیم ہوتا ہے۔

حل  مان لیجئے yz ستوی قطعہ خط جو (A(4,8,10 اور  (B(6,10,-8 کے ملنے سے بنتا ہے، کو نقطہ (P(x,y,z پر نسبت k:1 کو تقسیم کرتا ہے۔ تب P کے مختص ہیں۔

اس لئے yzستوی AB کو 2:3 نسبت میں بیرونی تقسیم کرتی ہے۔

مشق 12.3

1۔   اس نقطے کے مختص معلوم کیجئے جو نقاط (-2,3,5)  اور  (1,-4,6)  سے بننے والے قطعہ خط کو تقسیم کرکے (i)۔  2:3  نسبت میں اندرونی  (ii)۔  2:3 نسبت میں بیرونی۔

2۔   دیا ہوا ہے  (P(3,2,-4)،  Q(5,4,-6)  اور  R(9,8,-10)  ہم خط نقطہ ہیں۔ وہ نسبت معلوم کیجئے جس میں 'Q'  PR کو تقسیم کرتا ہے۔

3۔   وہ نسبت معلوم کیجئے جس میں yzستوی نقاط (-2,4,7)  اور  (3،-8،5)  سے بننے والے قطعہ خط کو تقسیم کرتی ہے۔

4۔   سیکشن فارمولے کا استعمال کرکے دکھائیے کہ نقاط  (2,-3,4)،  A۔B(-1,2,1 اور    ہم خط نقطہ ہیں۔

5۔   ان نقطوں کے مختص معلوم کیجئے جو نقاط  (P(4,2,-6 اور  (Q(10,-16,6  سے بننے والے قطعہ خط کو تین برابر حصوں میں بانٹئے ہیں۔

متفرق مثالیں

مثالII  دکھائیے کہ نقاط

C(2,3,2),B–1,–2,–3), A(1,2,3)

D(4,7,6)اور

متوازی الاضلاع کے راس ہیں، لیکن یہ مستطیل نہیں ہے۔

حل  ABCD کو ایک متوازی الاضلاع دکھانے کے لئے ہمیں یہ دیکھنا ہوگا کہ مخالف اضلاع برابر ہیں۔

کیونکہ AB=CD  اور  BC=AD ہے۔ اس لئے ABCD ایک متوازی الاضلاع ہے۔

اب یہ ثابت کرنا درکار ہے کہ ABCD ایک مستطیل نہیں ہے۔ اس کے لئے ہم دکھائیں گے کہ وتر AC اور BD برابر نہیں ہیں۔ ہمارے پاس ہے،

کیونکہAC≠BD،  

ABCDایک مستطیل نہیں ہے۔

ہم یہ بھی دکھا سکتے ہیں کہ ABCD ایک متوازی الاضلاع ہے۔ اس خاصیت کا استعمال کرکے کہAC اور  BD ایک دوسرے کو برابر کاٹتے ہیں۔

مثال12  ان نقاط کے سیٹ کی مساوات معلوم کیجئے جنکا فاصلہ نقاط( A(3,4,-5 اور (B(-2,1,4 سے برابر ہو۔

حل  اگر ( P(x,y,zکوئی بھی نقطہ ہے تاکہ PA=PB

اس کا  مطلب ہے10x+6y–18z–29=0

مثال13  ایک مثلثABCکا وسطانی مرکز نقطہ(1,1,1)پر ہے۔ اگرAاورBکے مختص بالترتیب (5,7–,3) اور(6-,1,7–)

  ہوں تو نقطہ C کے مختص معلوم کیجئے۔

حل  مان لیجئے C کا مختص (x,y,z) ہے اور وسطانی مرکز 'G' کا مختص ہے (1,1,1)۔ تب

اس طرح C کے مختص ہیں (1,1,2)

متفرق مشق

1۔ متوازی الاضلاع ABCD کے تین راس

  B(1,2,4) 'A3,1,2)

ہیں۔ چوتھے راس کے مختص معلوم کیجئے۔ C(1,1,2)اور

2۔   ایک مثلث کے وسطانیوں کی لمبائی معلوم کیجئے جس کے راس

(B(0,4,0) 'A0,0,6 اور(C(6,0,0 ہیں۔

3۔   اگرمبدا ایک مثلث PQR کا وسطانی مرکز ہے جس کے راس(Q(–4,3b,–10) 'P(2a,2,6 اور(R(8,14,2cہیں، تب a,b,c کی قدریں معلوم کیجئے۔

4۔  y-محور  پر ایک نقطے کے مختص معلوم کیجئے جو نقطہ P(3,-2,5) سے (P(3,–2,5سے کی دوری پر ہیں۔

5۔   ایک نقطہ R جس کا xمختص 4 ہے ایک قطعہ خط پر واقع ہے جو نقاط (P(2,-3,4اور (Q(8,0,10 کے ملنے سے بنتا ہے۔ نقطہ R کے مختصیں معلوم کیجئے۔

اشارہ  مان لیجئے PQ کو R،  k:1 نسبت میں تقسیم کرتا ہے۔ نقطہ R کے مختص دیے گئے ہیں  

6۔   اگر A اور B بالترتیب نقطے (3,4,5) اور  ہیں۔ نقاط P کے سیٹوں کی مساوات معلوم کیجئے تاکہ

PA²+PB²=k² جہاں 'k'  ایک مستقل ہے۔

خلاصہ(Summary) • سہ ابعادی (3-dimension) میں، ایک مستطیلی کار تیزی مختصی نظام کے مختص محاور تین باہمی عمودی خطوط ہوں گے۔ یہ محاور -Z,Y,Xمحاور کہلاتے ہیں۔ • تین مستوئیں جو محاور کے جوڑوں سے دریافت کی گئی ہیں مختصی مستوئیں XY، YZ اور ZX مستویں کہلاتی ہیں۔تینوں مختص مستویںخلاء کو آٹھ (8)حصوں میں بانٹتے ہیں یہOctantsکے نام سے جانے جاتے ہیں۔ • سہ ابعادی جومیٹری میں نقطہ P کے مختص ہمیشہ اس سہ گانہ (x,y,z) کی شکل میں لکھے جاتے ہیں۔ یہاں x,y اور z بالترتیب مستویوں YZ، ZX اور XY سے فاصلے ہیں- • (i)  x-axis پر کوئی بھی نقطہ (x,0,0) کی شکل کا ہوگا۔ (ii)۔  x-axis پر کوئی بھی نقطہ (,y,0،0) کی شکل کا ہوگا۔ (iii)۔  x-axis  پر کوئی بھی نقطہ (0,0,z) کی شکل کا ہوگا۔ • دونقطوں (P(x¹,y¹,z¹ اور(Q(x²,y²,z² کےدرمیان کافاصلہ دیا گیا ہے۔ • نقطہ R کے مختص جو نقاط (P(x¹,y¹,z¹ اور(Q(x²,y²,z² کے میل سے بننے والے قطعہ خط کو اندرونی اور باہری m:n نسبت میں تقسیم کرتے ہیں وہ بالترتیب ہیں۔ • قطعہ خط جو نقاط (P(x¹,y¹,z¹ اور(Q(x²,y²,z²   کے ملنے سے بنا ہے اس کے درمیانی نقطے کے مختص ہیں •  جس مثلث کے راس (x²,y²,z²) ,(x¹,y¹,z¹) اور(x³,y³,z³)   ہیں۔ اس کے وسطانی مرکز کے مختص ہیں