باب 13

حدود اور مشتقات

 (LIMIST AND DERIVATIVES)

∴(Calculus)احصا کو ایک چابی مان کر قدرت کے روشن طریق کو سمجھانے کے لئے ریاضی کو کامیاب طریقے سے استعمال کیا جاسکتا ہے۔ وائٹ ہیڈ(White Head)∴

13.1تعارف Introduction

یہ سبق احصا (Calculus)کا تعارف ہے کیکولس ریاضی کی وہ شاخ ہے جو خاص طورپر فنکشن کی قدر کی جانکاری کی تبدیلی سے تعلق رکھتی ہے جس طرح نقاط علاقہ (Domain)میں بدلتے ہیں۔ ہم سب سے پہلے بغیر تعریف بیان کئے گئے مشتق (Derivative)کا تصور(Idea)دیتے ہیں۔ (دراصل بغیر تعریف بیان کیے ہوئے ) ۔ پھر ہم انتہاء (Limit)کی ایک سادہ (Naive)تعریف بتاتے ہیں اور کچھ حدود کے الجبرے کے بارے میں پڑھتے ہیں۔ پھر ہم واپس مشتق کی تعریف کی طرف آتے ہیں اور مشتقات کے کچھ الجبرے کے بارے میں پڑھتے ہیں۔ ساتھ ہی ہم کچھ معیاری تفاعلات کے مشتق حاصل کرتے ہیں۔ 

سرآئزک نیوٹون

(1642-1727)

13.2  مشتقات کا بغیر تعریف بیان کئے گئے تصور  Intutive Idea of Derivatives

طبعیاتی تجربات نے یہ تصدیق کردی ہے کہ اگر کسی شئے یاچیز کو ایک بہت اونچی چٹان (Cliff)سے پھینکا جائے تو یہ 't'سیکنڈ میں4.9t² میٹر کا فاصلہ طے کرتی ہے۔ یعنی Sفاصلہ جو اس شئے نے طے کیا ہے tکا تفاعل ہے۔اور اس طرح دیا گیا ہےs=4.9t²

قریب میں موجود جدول 13.1مختلف وقفوں کو Secondsمیں اور طے کئے گئے فاصلوں کو میٹر میں دکھا رہا ہے جبکہ ایک شئے کو کھڑی اور لمبی چٹان سے پھینکا گیا ہے۔ ان آنکڑوں سے ہمارا مقصدشئے کی رفتار کو Seconds۔t=2 پر معلوم کرنا ہے۔ 

اس مسئلہ کی طرف بڑھنے کے لئے ایک راستہ یہ ہے کہ مختلف وقفوں کے لئے اوسط رفتار معلوم کی جائے جس میں Seconds۔t=2 پر ختم ہورہا ہو اور امید ہے کہ یہ Seconds۔t=2 پر رفتار پر کچھ روشنی ڈلے گا۔

اوسط رفتارt=t¹اورt=t²کے درمیان برابر ہے طے کیا گیا فاصلہt=t¹اورt=t²کے درمیان جو کہt=t¹اور(t²–t¹)سے تقسیم کیا گیا ہو۔ اس طر ح پہلے دوسیکنڈس میں اوسط رفتار

اسی طرح ہمt¹کی مختلف قدروں کے لئےt=t¹اورt=t²

کے لئے اوسط رفتار معلوم کرتے ہیں۔ ذیل جدول 13.2اوسط رفتار (v)دیتا ہےt=t¹سیکنڈس اور t=2 سیکنڈس۔

جدول 13.2

ہم جدول 13.2سے یہ مشاہدہ کرتے ہیں کہ اوسط رفتار آہستہ آہستہ بڑھ رہی ہے۔ جب ہم اوقات وقفہ کوt=2کو کم کرکے ختم کرتے ہیں ، تب ہم دیکھتے ہیں کہ رفتارt=2کے لئے اچھا تصور ہے۔ یہ امید کرتے ہوئے کہ حیقت میں کوئی بہت بڑا اتار چڑھاؤ نہ آئے 1.99سیکنڈس اور 2سیکنڈس کے درمیان ہم اس نتیجے پر پہنچتے ہیں کہ اوسط رفتار t=2سیکنڈ پر ایک دم 1.9551m/sکے اوپر ہے۔ 

اس نتیجے کو ذیل تحاسب (Computation)کے سیٹ سے مزید تقویت ملتی ہے۔مختلف اوقات کے وقفوں کے لئے اوسط رفتار معلوم کیجئے۔t=2secsسے شروع کرکے ’’جیسا کہ پہلے اوسط رفتار t=2 secs'V'اور  secsکے لئے معلوم کی تھی ‘‘اسی طرح:

       2سیکنڈس اورt²سیکنڈس کے درمیان طے کیا گیا فاصلہV=

2–t2

2سیکنڈس میں طے کیا گیا فاصلہ t2میں طے کیا گیا فاصلہ =

2–t2

      19.6 t2سیکنڈ میں طے کیا گیا فاصلہ =

2–t2

نیچے دئے گئے جدول 13.3میں اوسط رفتار "V"میٹر فی سیکنڈ t=2 ۔اور سیکنڈ  t=t2کے درمیان دی گئی ہے ۔

                                       جدول     13.3

یہاں ہم پھر ایک بات نوٹ کرتے ہیںکہ اگر ہم کم تر وقت کے وقفے لیں t=2secsسے شروع کرتے ہوئے تو ہمیں

 t=2secsپر رفتار کا بہتر تصسور حاصل ہوتا ہے۔

کمپیوٹیشن کے پہلے سیٹ میں ہم نے اوسط رفتاریں اوقات کے وقفوں کی بڑھتی ہوئی ترتیب میں معلوم کیںجو   t=2پر ختم ہوئی اور اس امید پر کہ  t=2سے ذرا قبل کوئی غیر معمولی تبدیلی نہیں ہوگی۔کمپیوٹیشن کے دوسرے سیٹ میں ہم نے اوسط رفتاریں اوقات کے وقفوں کی گھٹتی ہوئی ترتیب میں معلوم کیں جو  t=2پر ختم ہوئی اور اس امید پر کہ  t=2کے ذرا بعد کوئی غیر معمولی تبدیلی نہیں ہوگی۔محض طبعی بنیادوں پر یہ دونوں اوسط رفتاروں کے تسلسل(Sequances) لازمی طور پر ایک مشترک حد تک پہنچیں گی۔ہم بآسانی یہ نتیجہ اخذ کر سکتے ہیں کہ t=2پر اس شئے کی رفتار 19.551 m/sاور19.649  m/sکے درمیان ہوگی۔تکنیکی اعتبار سے ہم کہہ سکتے ہیں کہ  t=2پر فی الفور رفتار 19.551  m/s اور19.649  m/sکے درمیان ہے۔ہم جانتے ہیں کہ رفتار کسی شئے کے فاصلہ بدلنے کی شرح ہوتی ہے ۔اس طرح ہم جو کچھ مکمل کر پائے ہیں وہ یہ ہے کہ فوری طور پر مختلف اوقات پر دئے ہوئے آنکڑوں سے ہم نے فاصلوں کی شرح کا دئے گئے اوقات پر فی الفور اندازہ لگایا ہے۔ہم کہہ سکتے ہیں کہ فاصلہ تفاعل(Distance function)

s=49t²مشتقt=2پر 19.551اور19.649کے درمیان ہے۔

اس حدی طریقہ کار کا بطور مطالعہ کے لئے ایک متبادل شکل 13.1میں دکھایا گیا ہے۔یہ ایک شئے کا چٹان کی چوٹی سے فاصلہ 'S'بالمقابل گذرنے والے وقت tکا ایک نقشہ (Plot)ہے ۔انتہا(Limit)میں جیسے جیسے اوقات کے وقفوں کا تسلسل........,o'h1,h2,h3' صفر کی طرف بڑھ رہا ہے اوسط رفتار کا تسلسل اسی انتہا (Limit)کی طرف بڑھ رہاہے جیسا کہ درج ذیل نسبتوں کا تسلسل بڑھ رہا ہے۔

جبکہ C¹B¹=s¹–sºوہ فاصلہ ہے جو یہ شئے h¹=AC¹وقفہ میں طے کیا ہے وغیرہ وغیرہ۔شکل 13.1سے بآسانی اخذ کیا جا سکتا ہے کہ بعد والا تسلسل منحنی (Curve)پر نقطہ Aپر خط مماس کے سلوپ کی طرف پہونچ رہا ہے بہ الفاظ دگر وقت t=2پر اس شئے کی فی الفور رفتار ("V(t"منحنیS=4.9t²کے خط مماس (Tangent)کے سلوپ کے برابر ہے۔

13.3  انتہاء  Limits

اوپر کی گئی بات چیت اس حقیقت کی طرف صاف طوپر نشان دہی کرتی ہے کہ ہمیں حدّی طریقہ کار کو زیادہ صاف طریقے سے سمجھنا ہوگا۔ ہم کچھ ایسی مثالوں کے بارے میں پڑھیں گے جہاں مثالیں دے کر حدّی طریقہ کارکے تصور سے روشناس کرایا گیا ہے۔ 

مان لیجئے فنکشنƒ(x)=x2مشاہدہ کیجئے xصفر ' 0 'کے بہت قریب کی قدریں حاصل کرتا ہے ، (x)f  کی قدر بھی  ' 0 'کی طرف بڑھتی ہے (سبق 2کی شکل 2.10دیکھئے)۔ہم کہتے ہیں۔

(جسے اس طرح پڑھاجاتا ہے کہ (ƒ(xکی انتہاء صفر کے برابر ہوتی ہے جب کہx صفر کی طرف بڑھتا ہے)۔(ƒ(xکی انتہا جبکہ xصفر کی طرف بڑھتا ہے کو اس طرح سوچنا چاہئے کہ(ƒ(x کی قدر کوx=0پر مان لینا چاہئے۔

عام طورپر جیسے ہی/تبƒ(x)→/,x→a

ƒ(x)کو فنکشن

  کی انتہا کہاجاتا ہے جسے علامت کے طورپر اس طرح لکھا جاتا ہے، 

ذیل فنکشنg(x)=|x|,x≠0

پر غور کیجئے۔ مشاہدہ کیجئے کہ(g(oکی تعریف بیان نہیں کی گئی ہے۔ (g(xکی قدروں کو تمامx  کی قدروں کے جو صفر کے بہت قریب ہیں محسوب کرنے Computingپر ہم دیکھتے ہیں کہg (x)کی قدر '0' کے قریب بڑھتی ہے۔ اس طرح

y=|x|for x≠0کے گراف سے وجدانی

(Intutivety)طورپر صاف ہے دیکھئے سبق 2، شکل 2.13۔

ذیل فنکشن پر غور کیجئے

(h(xکی اقدار محسوب کیجئے  xکی ان اقدار پر جو 2سے بہت نزدیک تر ہوں (مگر2پر نہیں )۔اب آپ ذہن نشین کرلیجئے کہ یہ ساری اقدار '4'کے نزدیک ہیں شکل 13.2میں(y=h(xکے گراف کو غور کرنے پر اس کو کچھ اور تقویت ملتی ہے۔

 ان تمام تشریحات میں تفاعل کسی دئے ہوئے نقطہ x=aپر جو قدر اختیار کرتا ہے حقیقتاً وہ اس پر منحصر نہیں ہے کہ عددxکس طرح aکی طرف پہونچ رہا ہے ۔نوٹ کیجئے کہ aکی جانب xکے پہونچنے کے صرف دو ہی طریقے ہیں یا تو بائیں جانب سے یا داہنی جانب سے۔یعنی xکی تمام اقدار یا تو aسے کم ہونگی یاaسے زیادہ ہونگی۔ظاہر ہے یہ ہماری دو حدود کی جانب رہنمائی کرتا ہے ۔دائیں ہاتھ والی حد یا بائیں ہاتھ والی حد ۔کسی تفاعل f(x)کی دائیں ہاتھ والی حد  f(x)کی وہ قدر ہے جو xکو aکی دائیں جانب سے پہونچنے پر درج کرائی جاتی ہے اسی طرح سے معاملہ بائیں ہاتھ والی حد کا ہے ۔اس کی تشریح کے لئے درج ذیل تفاعل پر غور کریں۔

اس تفاعل کا گراف شکل 13.3میں دکھایا گیا ہے۔ظاہر ہے کہ fکی قدر 'o'اورf(x)کی درج شدہ اقدارx≤0 پر '1'ہے۔یعنی(f(x)کی بائیں ہاتھ والی 'o'پرحدہے۔

اسی طرح ' f ' کی'o'پر قدر (f(x کی (x<0'f(x پر درج شدہ اقدار  '2'کے برابر ہیں ۔ یعنی f(x)کی داہنے ہاتھ والی 'o'پر حد ہے 

اس کیس میں بائیں اورداہنی حدود مختلف ہیں۔پس ہم کہہ سکتے ہیں کہ  (f(xکی حد کا وجود ہی نہیں ہے جبکہ 'x'  'o'کی طرف بڑھتا ہے (حتی کہ تفاعل'o'پر definedہے)

خلاصہ Summary

ہم کہتے ہیں کہ تفاعل ' f 'کی x = aپرمتوقع قدر ہے جو xکے قریب a کی بائیں جانب ' f ' کی دی ہوئی اقدار ہیں۔یہ قدر ' f 'کی طرف ہیں۔ یہ قدر ' f 'کی aپر بائیں ہاتھ والی حد کہلاتی ہے ۔

ہم کہتے ہیں کہ تفاعل'f ' کی x = 2پرمتوقع قدر ہے جو xکے قریبaکی داہنی جانب 'f '  کی دی ہوئی اقدارہیں ۔یہ قدر 'f ' کی  aپر دائیں ہاتھ والی حد کہلاتی ہے۔

اگر دائیں ہاتھ والی حد اور بائیں ہاتھ والی حدیکساں ہوں تہ یہ یکساں مشترک قدرx = aپر(f(xکی حد کہلاتی ہے۔ہم اس کو اس طرح ظاہر کرتے ہیں 

تشریح 1   فنکشن f (x) = x + 10 پر غور کیجئے ۔ ہم اس فنکشن کی انتہاء (حد) x = 5پر معلوم کرنا چاہتے ہیں۔ فنکشن (f(xکی قدر کو ہم نکالنا چاہتے ہیں جس میں5'x کے بہت قریب ہو۔ کچھ نقاط 5کے قریب بائیں طرف 4.9،4.95،4.99،4.995، وغیرہ وغیرہ ہیں ۔فنکشن کی قدریں ان نقاط پر نیچے جدول میں دی گئی ہیں۔ اسی طرح ، حقیقی اعداد 5.001،5.01،5.1بھی 5کے قریب دائیں طرف نقاط ہیں۔ اس فنکشن کی قدریں ان نقاط پر بھی جدول 13.4میں۔

جدول13.4

جدول 13.4سے ہم نے یہ نکالا ہے کہ (ƒ(xکی قدرx=5پر 14.995سے بڑی ہونی چاہئے اور اور 15.001سے کم یہ مانتے ہوئے کہ کوئی بہت بڑی تبدیلی نہ آئے x=4.995اور 5.001کے درمیان۔ یہ ماننا قابلِ قبول ہے کہ کی قدرx=5 پر جیسا کہ اعداد نے درج کرایا ہے 5کے بائیں طرف 15ہے۔

یعنی

اسی طرح، جب   xدائیں طرف سے 5پر پہنچتا ہے۔(ƒ(xکی قدر 15ہوجاتی ہے۔

یعنی

اس لئے یہ ممکن ہے کہ(ƒ(xکی بائیں ہاتھ کی انتہاء اور دائیں ہاتھ کی انتہاء دونوں 15کے برابر ہیں۔ اس طرح،

یہ نتیجہ انتہاء کے لئے کہ یہ 15کے برابر ہے اور واضح ہوجاتا ہے جب اس فنکشن کا گراف جو شکل 2.16میں باب 2دیکھا جاتا ہے۔ اس شکل میں ہم نوٹ کرتے ہیں کہ5xتک پہنچتا ہے ۔دائیں اور بائیں دونوں طرف سے، فنکشن ƒ(x)=x+10

کا گراف نقطہ،(5, 15)کی طرف بڑھ جاتا ہے۔ ہم یہ مشاہدہ کرتے ہیں کہ فنکشن کی قدر x = 2 پر بھی 12کے برابر ہوجاتی ہے۔

تشریح 2 فنکشنƒ(x)=x3 پر غور کیجئے۔ ہمیں اس فنکشن کی انتہاء x=1پر معلوم کرنے کی کوشش کرنی چاہئے پچھلے کیس کی طرح آگے بڑھتے ہوئے، ہم (ƒ(xکی قدر کا جدول بناتے ہیں x پر جو '1'کے قریب ہے۔ یہ جدول 13.5میں دیا گیا ہے۔

جدول13.5

اس جدول سے ، ہم یہ نکالتے ہیں کہ(ƒ(xکی قدر x=1 پر0.997002999سے بڑی اور 1.003003001 سے کم ہونی چاہئے یہ مانتے ہوئے کہ کوئی بہت بڑی تبدیلی x=0.999اور 1.001کے درمیان نہیں ہونی چأہئے۔ یہ ماننا قابلِ قبول ہے کہ (ƒ(xکی قدرx=1پر جیسا کہ اعداد نے درج کرایا ہے'1'کے بائیں طرف 1ہے، یعنی 

اسی طرح ، جب ہم دائیں سے '1'کی طرف جاتے ہیں، (ƒ(xکی قدر 1ہونی چاہئے، یعنی

اس لئے ، یہ ممکن ہے کہ(ƒ(xکی بائیں ہاتھ کی انتہاء اور(ƒ(xکی دائیں ہاتھ کی انتہاء دونوں '1'ہیں، اس طرح

یہ نتیجہ جس میں انتہاء '1'کے برابر ہے اور تقویت دیتا ہے جب اس فنکشن کا گراف جو کہ شکل 2.11، سبق 2میں ہے کو دیکھا جاتا ہے۔ اس شکل میں یہ دیکھتے ہیں کہ (نوٹ کرتے ہیں) کہ جس طرح  xکسی بھی بائیں یاداہنی طرف '1'پر پہنچتا ہے، فنکشن 3=(ƒ(xفنکشن کا گراف نقطہ(1,1) پر پہنچتا ہے ۔

ہم دوبارہ مشاہدہ کرتے ہیں کہ ، فنکشن کی قدرx=1پر بھی '1'کے برابر ہوجاتی ہے۔

تشریح 3 فنکشن 3=(ƒ(xپر غور کیجئے۔ ہمیں اس فنکشن کی قدرx=2پر معلوم کرنے کی کوشش کرنی چاہئے ۔ ذیل جدول 13.6اپنا جواب خود دے رہی ہے۔

جدول13.6

جیسا کہ ہم نے پہلے مشاہدہ کیا ہے کہ جس طرح x ، 2کی طرف بڑھ رہا ہے بائیں یاداہنی طرف سے ،(ƒ(xکی قدر '6'کی طرف بڑھتی ہوئی دکھائی دیتی ہے ۔ ہم اسے اس طرح ریکارڈ کرتے کرتے ہیں۔

اس کا گراف شکل 13.4 میں دکھایا گا ہے جو اس حقیقت کو اور تقویت دیتا ہے۔یہاں ہم پھر دوبارہ نوٹ کرتے ہیں کہ فنکشن کی قدر x=2 پر انتہا سے ملتی ہے جب کہ x=2 ہو۔

تشریح 4  مستقل فنکشن 3=(ƒ(xپر غور کیجیے۔ ہم اس کی انتہا x=2 پر معلوم کرنے کی کوشش کرتے ہیں۔ کیونکہ یہ فنکشن مستقل فنکشن ہے۔ اس لیے اس کی یکساں قدریں ہوتی ہیں (3 اس کیس میں) ہر جگہ یعنی اس کی قدر ان نقطوں پر جو 2 کے قریب ہیں 3 ہے۔ اس طرح 

3=(ƒ(x کا گراف x-axis کے متوازی کسی بھی خط پر (0,3) سے ہوکر گزر رہا ہے اور یہ شکل 2.9، باب 2 میں دکھایا گیا ہے۔ اس سے یہ بھی صاف ہے کہ مطلوبہ انتہا 3 ہے۔ حقیقت میں اس کا آسانی سے مشاہدہ کیا جاسکتا ہے کہ کسی بھی حقیقی عدد 'a'  کے لیے

تشریح 5  فنکشنƒ(x)=x2+x

پر غور کیجیے۔ ہم انتہا معلوم کرنا چاہتے ہیں۔ ہم(ƒ(x کی قدروں کوx=1 کے نزدیک جدول کی شکل میں لکھتے ہیں (جدول 13.7)

جدول13.7

اس سے یہ معلوم کرنا مناسب ہے 

فنکشنƒ(x)=x2+xکے گراف سے جیسا کہ شکل 13.5 میں دکھایا گیا ہے کہ جس طرح x،  1 کی طرف بڑھتا ہے، گراف (1,2) کی طرف بڑھ جاتا ہے۔

یہاں ہم دوبارہ یہ مشاہدہ کرتے ہیں کہ 

اب یہاں ذیل تین حقیقتوں سے اپنے آپ کو مطمئن کرلیجیے۔

تشریح 6  فنکشنƒ(x)=sin x پر غور کیجیے۔ ہماری دلچسپی  میں ہے، جہاں زاویہ کو ریڈین میں ناپا گیا ہے۔

یہاں ہم کے نزدیک (جدول 13.8) میں فہرستی شکل (تقریباً) میں لکھتے ہیں۔ ہم اس سے یہ نکال سکتے ہیں 

اس کے آگے اس گراف کوƒ(x)=sin xکی مدد حاصل ہے جو کہ شکل 3.8 میں دیا گیا ہے۔ اس کیس میں بھی، ہم مشاہدہ کرتے ہیں کہ 

جدول13.8

				x
0.9950	0.9999	0.9999	0.9950	ƒ(x)

تشریح 7   فنکشنƒ(x)=x+cos x پر غور کیجئے۔ ہم(ƒ(xمعلوم کرنا چاہتے ہیں۔

یہاں ہم (ƒ(x کی قدر کی 0کے قریب (جدول 13.9) میں دی گئی فہرست (تقریباً) بناتے ہیں۔

جدول13.9

جدول 13.9 سے ہم یہ معلوم کرسکتے ہیں۔

اس کیس میں بھی ہم یہ مشاہدہ کرتے ہیں کہ 

کیا اب، آپ اپنے آپ کو سمجھا سکتے ہیں کہ

 یہ حقیقت میں صحیح ہے۔

تشریح 8  فنکشن  درفتات کرنا چاہتے ہیں۔

یہاں ہم یہ مشاہدہ کرتے ہیں کہ فنکشن کا علاقہ تمام مثبت حقیقی اعداد دیا ہوا ہے۔ اس طرح جب ہم (ƒ(xکی قدروں کی فہرست بناتے ہیں، اس سے کوئی مطلب نہیں نکلتا کہ 'x'  بائیں طرف سے صفر کی طرف بڑھ رہا ہے۔ نیچے ہم فنکشن کی قدریں فہرست کی شکل میں مثبت x کے لیے جو صفر کے قریب ہے (اس جدول میں x کی بھی مثبت صحیح عدد کو ظاہر کرتا ہے)۔

ذیل میں دیے گئے جدول 13.10 سے ہم دیکھتے ہیں کہ جس طرح x،  0 کی طرف بڑھتا ہے،(ƒ(x بڑا اور بڑا ہوتا جاتا ہے۔ہمارا یہاں کیا مطلب ہے کہ(ƒ(x کی قدر کو کسی بھی دیے ہوئے عدد سے بڑا بنایا جاسکتا ہے۔

جدول13.10

ریاضیاتی طور پر ہم کہتے ہیں

ہم یہاں یہ بھی ریمارک لکھتے ہیں کہ اس کورس میں ہمارے پاس اس طرح کی انتہا (limits) نہیں آئیں گی۔

تشریح 9 

ہم ہمیشہ کی طرح x کے لیے جدول بناتے ہیں صفر کے قریب اور(ƒ(xکے ساتھ۔ اس کا مشاہدہ کیجیے کہ منفی قدروں x کے لیے ہمیں x-2کو معلوم کرنے کی ضرورت ہے، اور مثبت قدروں کے لیے ہمیںx+2 کو معلوم کرنے کی ضرورت ہے۔

جدول13.11

جدول 13.11 کی پہلے تین اندراج (entries) سے ہم یہ نکالتے ہیں کہ فنکشن کی قدر –2 تک کم ہو رہی ہے اور اس طرح 

جدول کے آخری تین اندراج سے ہم یہ نتیجہ نکالتے ہیں کہ فنکشن کی قدر 2 سے بڑھ رہی ہے اور اس طرح 

کیونکہ دائیں اور بائیں ہاتھ ی انتہائیں (limits) 0 پر نہیں ملتیں۔ ہم کہتے ہیں کہ فنکشن کی انتہا 0 پر وجود میں نہیں ہے۔

اس فنکشن کا گراف شکل 13.6 میں دیا گیا ہے۔ یہاں ہم یہ ریمارک لکھتے ہیں کہ x=0 پر فنکشن کی قدر بخوبی بیان کی گئی ہے اور اصلیت میں یہ 0 کے برابر ہے، لیکن فنکشن کی انتہاx=0 پر بیان نہیں کی گئی ہے۔

تشریح 10  آخری تصور کے طور پر ہم  دریافت کرتے ہیں جہاں

جدول13.12

ہمیشہ کی طرح ہم(ƒ(x کی قدروں کی فہرست بناتے ہیں 1 کے قریب x کے لیے۔(ƒ(xکی قدروں سے 1 سے کم x کے لیے، ایسا لگتا ہے کہ فنکشن کی قیمت x=1 پر 3 ہوجائے گی اس کا مطلب

اسی طرح  کی قدر بھی 3 ہوگئی جیسا کہ(ƒ(x کی قدر حکم دیتی ہے جہاں x، 1 سے بڑا ہے۔

لیکن تب دائیں اور بائیں ہاتھ کی انتہائیں (limits) مل جاتی ہیں اور اس طرح

فنکشن کا گراف شکل 13.7 میں دیا گیا ہے جو ہماری معلو کی گئی انتہا کو تقویت دیتا ہے۔ یہاں ہم یہ نوٹ کرتے ہیں۔اس طرح عام طور پر ایک دیے ہوئے نقطے پر فنکشن کی قدر اور اس کی انتہا مختلف ہوسکتی ہے (اور جب کہ دونوں کی ہی تعریف بیان کی گئی ہو)۔

13.3.1  حدودکا الجبرا  (Algebra of Limits)اوپر دیے ہوئے تصورات میں ہم نے یہ مشاہدہ کیا ہے کہ حدودکے طریقے، جمع، تفریق، ضرب اور تقسیم کے طریقوں کا لحاظ کرتے ہیں، جہاں تک حدوداور فنکشن جو قابل غور ہیں انہیں اچھی طرح definedکیا گیا ہے۔ یہ ایک اتفاق نہیں ہے۔ حقیقت میں نیچے ہم انہیں ایک مسئلہ کی طرح فارمولے کی شکل میں لکھتے ہیں بغیرثابت کیے۔

مسئلہ 1 مان لیجیے f  اور g دو فنکشن ہیں اس طرح کہ  موجود ہیں۔

(i)   دو فنکشنوں کی حدود کا جوڑ فنکشن کے حدودکے جوڑ کے برابر ہے، یعنی

(ii)   دو فنکشنوں کی حدود کافرق دو فنکشن کی حدودکے فرق کے برابر ہے، یعنی

(iii)   دو فنکشنوں کی حدود کاحاصل ضرب دو فنکشن کی حدودکےحاصل ضرب کے برابر ہے، یعنی

(iv) دو فنکشنوں کے خارج قسمت کی حددو فنکشنوں کی حدودکے خارج قسمت کے برابر ہے (جہاں نسب نما ایک غیر صفر ہے)

خاص طور پر (iii) کے ایک معیاری کیس کی طرح جہاں g ایک مستقل فنکشن ہے تاکہx)=λ) کسی بھی حقیقی عددλکے لیے ہمارے پاس ہے

اگلے دو آنے والے سیکشن میں، ہم یہ تصور کریں گے کہ خاص طرح کے فنکشنوں کی حدوں کو معلوم کرنے کے لیے اس مسئلہ سے کس طرح استفادہ کیا جا سکتا ہے۔

13.3.2  کثیر رکنیوں کی حدود اور ناطق تقافل (Limits of polynomials and rational functions)

کثیر رکنی فنکشن کہا جاتا ہے اگر 

ƒ(x)=αº+a¹x+a²x²+...+anxnہےƒ(x)=0.

جہاںa,sحقیقی اعداد ہیں اورan≠0کسی طبعی عدد n کے لیے۔

n کے استقراء مالہ (induction) میں ایک آسان مشق ہمیں بتاتا ہے کہ

 اب مان لیجئےƒ(x)=aº+a¹+a¹x+a²x²+...anxn

ایک کثیر رکنی فنکشن ہے۔ہر ایکaº+a¹+x+a²x²+...anxn کے بارے میں فنکشن کی طرح سوچنے پر ہمارے پاس ہے

=ƒ(a)

(اس بات کو ذہن نشین کرلیجیے کہ اوپر دیے ہوئے ہر قدم کے جواز (justification) کو آپ سمجھتے ہیں)

ایک فنکشن  f کو اس وقت ناطق فنکشن کہا جاتا ہے، اگر   ہو، جہاں(g(x اور(h(x کثیر رکنیں ہوں اور0≠(h(x  تب۔

حالانکہ، اگر0=(h(a، یہاں دو عبارتیں (scenarios) ہیں۔ (i) جب0≠(g(a اور(ii) جب0=(g(a۔ پہلے کیس میں ہم کہتے ہیں کہ انتہا وجود میں نہیں ہے۔ بعد کے کیس میں ہم لکھ سکتے ہیں کہ

g(x) اور(x-a),kجہاں،g(x)=(x-a)kg¹(x)

 میں سب سے زیادہ طاقت ہے۔ اسی طرح،

 ہمارے پاس ہےg(x) اورk≥/اب اگر ،h(x)=(x-a)¹h¹(k)as h (a)=0

اگر

،k</

انتہا کی تعریف بیان نہیں کی گئی ہے

حل مطلوبہ حد کچھ کثیر رکنی فنکشنوں کی حدودہیں

مثال 2 حدود معلوم کیجیے:

حل جن فنکشن کا مشاہدہ کیا جارہا ہے وہ تمام ناطق فنکشن ہیں۔ اس لیے ہم پہلے ان فنکشن کو دیے ہوئے نقاط پر نکالیں گے۔ اگر یہ کی شکل کا ہے، ہم کوشش کریں گے کہ ان اجزائے ضربی کو نکال کر فنکشن کو دوبارہ لکھیں جن کی وجہ سے انتہا کی شکل ہوجاتی ہے۔

(i)  پاس ہے

(ii) فنکشن کی قیمت کا اندازہ نقطہ2 پر لگائیں گے،جو یہ کی شکل کا ہے۔ اس لیے

(iii) فنکشن کی قیمت 2 پر معلوم کرنے میں ہمیں  کی شکل کا حاصل ہوتا ہے۔ اس لئے

جس کی تعریف بیان نہیں کی گئی ہے۔

(iv) فنکشن کی قیمت نقطہ 2 پر دریافت کرنے پر ہم یہ  کی شکل کا ملتا ہے۔ اس لئے

(v)   پہلے ہم فنکشن کو دوبارہ ناطق فنکشن کے طور پر لکھتے ہیں۔

فنکشن کی قیمت کا 1 پر اندازہ لگانے پر ہمیں یہ  کی شکل کا ملتا ہے۔ اس لئے

ہم یہ ریمارک دیتے ہیں کہ ہم رکن (x–1) کو مندرجہ بالا قیمت کا اندازہ لگانے میں ختم کرسکتے ہیں کیونکہx≠1

ایک اہم انتہا کا معلوم کرنا جو کہ تواتر میں استعمال کی گئی ہے نیچے ایک مسئلہ کی طرح دی گئی ہے۔

مسئلہ 2

کسی بھی مثبت صحیح عدد  n  کے لئے

ریمارک

اوپر دیے ہوئے مسئلہ میں عبارت انتہا کے لئے د رست ہے اگر چہ  n کوئی بھی ناطق عدد ہے اور aمثبت عدد ہے۔

ثبوت

(xn-an) کو(x-a) سے تقسیم کرنے پر ہم دیکھتے ہیں کہ

مثال 3 قیمت کا اندازہ لگائیے

حل

(i) ہمارے پاس ہے

(y=1+ x (ii  رکھیے، تاکہ y→1 as x→0۔ تب

13.4  ترگنو میٹریائی فنکشن کی حدود (Limits of Trigonometric Functions)

ذیل حقیقتیں (جنہیں مسئلہ کے طور پر بیان کیا گیا ہے) عام طور پر فنکشن کے بارے میں ناکافی ہیں کچھ ٹرگنومیٹریائی فنکشن کی انتہا معلوم کرنے میں۔

مسئلہ 3 مان لیجیےƒ  اور  g  دو حقیقی قیمت والے فنکشن ہیں جن کا علاقہ یکساں ہے تاکہ(ƒ(x)≤g(x تمام x کے لئے جو کہ علاقہ میں ہیں تعریف کی روح سے، کسی a کے لئے، اگر دونوں انتہا  وجود میں ہیں، تب ۔ اسے شکل 13.8 میں سمجھایا گیا ہے۔

مسئلہ 4  سینڈوچ مسئلہ (Sandwich Theorem):  مان لیجیے کہ f، g اور h حقیقی فنکشن ہیں تاکہ

ƒ(x)≤g(x)≤h(x)

تمام  x کے لئے جو کہ علاقہ کی تعریف میں ہیں۔ حقیقی اعداد a کے لئے،

۔   اسے شکل 13.9 میں سمجھایا گیا ہے۔

نیچے ایک بہت خوبصورت جیومیٹریائی ثبوت دیا گیا ہے۔ ذیل خاص نامساوتوں کا جوکہ ٹرگنومیٹریائی فنکشن میں رشتہ قائم کر رہی ہیں۔

ثبوت

 ہم جانتے ہیں کہcos (-x) = cos x اور sin (-x) = - sin x.

ہوتا ہے۔اس لئے اس نامساوات کو  کے لئے ثابت کرنا کافی ہے۔

شکل 13.10 میں O اکائی دائرہ کا مرکز ہے تاکہ زاویہ AOC،۔ x ریڈین ہو اور ۔ تقاطعہ خطوط BA اور CD، OA پر عمود ہیں۔ اس کے آگے AC کو جوڑیے، تب 

ΔOAB کار رقبہ> سیکٹرOAC کا رقبہ>ΔOACکا رقبہ

یعنی CD<x.OA<AB

ΔOCDسے

اوراس لیےAB=OA tan x۔

اس طرح OA sin x >OA.x<OA. tan x

کیونکہ لمبائی OAمثبت ہے، ہمارے پاس ہے

sin x<x< tan x

کیونکہ مثبت ہے اور اس طرح ہر ایک کو sin x سے تقسیم کرنے پر ہمارے پاس ہے

ہر ایک کا مقلوب لینے پر ہمارے پاس ہے

جو ثبوت کو مکمل کرتا ہے۔

قضیہ (5Theorem)

   ذیل دو خاص حدودہیں۔

ثبوت(i)  نامساوات (*) میں کہتی ہے کہ فنکشن ، فنکشن cos x اور مستقل فنکشن جس کی قیمت 1 ہے کے درمیان موجود ہے۔

اس کے آگے، کیونکہ ، ہم دیکھتے ہیں کہ مسئلہ کا (i) کا ثبوت سینڈوچ مسئلہ سے مکمل ہے۔

(ii)  کو ثابت کرنے کے لیے، ہم ٹرگنومیٹریائی اکائی کو دہراتے ہیں 

مشاہدہ کیجیے کہ ہم نے حقیقتx→0 کا مطلب ہے  کا بھرپور استعمال کیا ہے۔ اس کی وضاحت کے برابر رکھ کر کی جاسکتی ہے۔

جب ہم انتہا کی قیمت کا اندازہ لگائیں اس وقت ہمیں یہ عام اصول دھیان میں رکھنا ہوگا جو کہ ذیل ہے۔ کہیے کہ دیا ہوا ہے انتہاموجود ہے اور ہم اس کی قیمت کا اندازہ لگانا چاہتے ہیں۔ پہلے ہم(a)

ƒاور(g(aکی قدر کی جانچ پڑتال کریں گے۔ اگر دونوں 0 ہیں تب ہم دیکھتے ہیں کہ اگر ہم وہ اجزائے ضربی معلوم کرسکتے ہیں جو ارکان کو ختم کرنے کی وجہ بنا ہوا ہے، یعنی دیکھئے اگر ہم (ƒ(x)=ƒ¹(x)ƒ²(x لکھ سکتے ہیں تاکہƒ¹(a)=0 اورƒ²(a)≠0 ہم(g(x)=g¹(x)g²(x لکھ سکتے ہیں جہاںg¹(a)=0 اورƒ(x)-g2(a)≠0 اور(g(x (اگر ممکن ہو) سے مشترک اجزائے ضربی کو ختم کردیجیے اور لکھئے

مشق 13.1

ذیل مشق میں1 تا 22 میں حدود کی قیمت معلوم کیجئے۔

اور اگرکی ممکن قدریں کیا ہے؟

29. مان لیجئےa¹,a²,...,anمستقل حقیقی اعداد ہیں اور ایک فنکشن کی تعریف بیان کرتے ہیں

ƒ(x)=(x-a¹) (x-a²)...(x-an)

1.3.5  مشتقات (Derivatves)

ہم سیکشن 13.2 میں د یکھ چکے ہیں کہ مختلف اوقات کے درمیان ایک شئے کی پوزیشن جانتے ہوئے ہم یہ معلوم کر سکتے ہیں کہ کس شرح سے شئے کی پوزیشن بدل رہی ہے۔ یہ بہت ہی عام دلچسپی کی بات ہے کہ کچھ پیرامیٹر (Parameter)کو مختلف اوقات پر معلوم کرنے کے لیے اور یہ معلوم کرنا کہ یہ کس شرح پر بدل رہا ہے۔ حقیقی زندگی میں بہت سے مواقع ہوتے ہیں جہاں ایسا طریقہ کار کرنا لازم ہوتا ہے مثال کے طور پر لوگوں کے پاس پانی کا ایک خزانہ ہے اور یہ جاننا چاہتے ہیں کہ پانی کب اس تالاب سے باہر نکل جائے گا یہ جانتے ہوئے کہ مختلف لمحات میں پانی کی گہرائی کیا ہے، راکٹ سائنس دانوں کوصحیح رفتار نکالنے کی ضرورت جس کے ذریعہ راکٹ سے سیٹلائیٹ کو مارنے کی ضرورت ہے یہ جانتے ہوئے کہ مختلف اوقات پر راکٹ کی کیا اونچائی ہے۔مالیاتی اداروں کی یہ ذمے داری ہے کہ وہ ایک خاص اسٹاک کی قدر میں تبدیلی کے بارے میں کوئی پیش گوئی کریں، یہ جانتے ہوئے کہ اس کی موجودہ قدر کیا ہے۔ان میں، اور دوسرے بہت سے مرحلوں میں یہ جاننا ضروری ہے ایک خاص پیرا میٹر دوسرے کسی اور پیرا میٹر کے ساتھ کس طرح بدل رہا ہے۔ اس موضوع کا لب لباب یہ ہے کہ کسی فنکشن کا مشتق لازمی طور پر اس کے معرّف(Defined)علاقہ(Domain)کے ہی کسی دئے ہوئے نقطہ پر ہوتا ہے۔

تعریف 1  مان لیجئے f ایک حقیقی قدر والا فنکشن ہے اور 'a' اس کے معرّف کے علاقے میں ایک نقطہ ہے fکے مشتق کی تعریف نقطہ  aپر اس طرح  difineکی گئی ہے۔

بشرطیکہ یہ انتہا وجود میں ہو۔ f۔ (x) کا مشتق نقطہ 'a' پر  (a) ۔f سے ظاہر کیا جاتا ہے اس بات کا مشاہدہ کیجئے کہ  f '(a)، f ۔(x) کی تبدیلی کو   aپر xکے ساتھ مقدار دیتا ہے ۔ 

مثال  5 فنکشن f (x) = 3 x کا مشتق  x = 2  پر معلوم کیجئے۔

حل ہمارے پاس ہے

فنکشن 3x کا x = 2   پر مشتق 3ہے۔

مثال6فنکشنƒ(x)=2x²+3x-5 کاx= -1پر مشتق معلوم کیجئے ساتھ ہی یہ بھی ثابت کیجئے کہ 

ƒ'(0)+3ƒ'(-1)=0

ہے

حل ہم پہلے(ƒ(x کا مشتقx=1پرx=0پر معلوم کرتے ہیں۔ ہمارے پاس ہے۔

ریمارک اس وقت یہ نوٹ کر لیجئے کہ مشتق کا ایک نقطہ پر قیمت کا اندازہ لگانے میں مختلف اصولوں کا اثر دار استعمال ہے۔ انتہا بھی اسی پر مبنی ہے۔ ذیل اسے بخوبی بیان کر رہے ہیں۔

مثال7  sin x کا  x = 0   پر مشتق معلوم کیجئے۔

حل مان لیجئے

مثال 8

x=3اور x=0 کا ƒ(x)=3

پر مشتق معلوم کیجئے۔

حل  کیونکہ مشتق فنکشن میں بدلاؤ کو نا پتا ہے، وجدانی طو ر پر (intuitively)پر یہ صاف ہے کہ مستقل فنکشن کا مشتق لازمی طور پر ہر نقطے پر صفر ہونا چاہیے ۔ حقیقت میں اسے ذیل حسابی حل سے قوت ملی ہے۔

اب ہم ایک فنکشن کا ایک نقطہ پر مشتق کا جیومیٹریائی ترجمانی/تعبیر پیش کریں گے۔ مان لیجئے (y=ƒ(xایک فنکشن ہے اور مان لیجئے

P=(a,ƒ(a))

اور

Q=(a+h,ƒ(a+h))

آپس میں دو قریبی نقطے میں اس فنکشن کے گراف پر۔ شکل :13.11 بخود اس بات کی وضاحت کر رہی ہے۔

ہم جانتے ہیں کہ

مثلثPQR سے یہ صاف ہے کہ اس انتہا کی نسبت جسے ہم an(PQR) کے باضابطہ برابر لے رہے ہیں جو کہ قوسی وترPQکا سلوپ ہے۔ انتہا کے عمل میں 'o' hکی طرف بڑھتا ہے۔نقطہ Q،P کی طرف بڑھتا ہے اور ہمارے پاس ہے۔

یہ اس حقیقت کے برابر ہے کہ قوسی وتر PQ، نقطہ Pپر مماس (tangent)کی طرف بڑھتا ہے منحنیاس لیے انتہا مماس کے سلوپ کے برابر ہو جائے گی۔ اس لیے

دیئے ہوئے فنکشن کے لیے ہم ہر نقطے پر مشتق دریافت کر سکتے ہیں ۔ اگر ہر نقطے پر مشتق موجود ہے، یہ ایک نئے فنکشن کی تعریف بیان کرتا ہے جیسے ہم 'f ' کا مشتق کہتے ہیں۔ رسمی طور پر ہم فنکشن کے مشتق کو ذیل طرح سے بیان کرتے ہیں۔

تعریف 2  مان لیجئے 'f 'ایک حقیقی قدر والا فنکشن ہے، فنکشن کی تعریف اس طرح بیان کی گئی ہے۔

جہاں جہاں انتہا موجودہے اسے xکا مشتق کہتے ہیں اور اسے(ƒ'(xسے ظاہر کیا جاتا ہے۔ مشتق کی اس تعریف کو مشتق کا پہلا اصول (First Principle of derivative)بھی کہا جاتا ہے۔

اس طرح

صاف طور پر(ƒ'(xکی تعریف کا علاقہ وہ جگہ ہے جہاں جہاں انتہاموجود ہے۔فنکشن کے مشتق کے لیے مختلف علامات ہیں۔ کئی بارسے ظاہر کیا جاتا ہے۔ اسے(ƒ'(xیا yکے مشتق کے طور پر ظاہر کیا جاتا ہے xکی مطابقت کے طور پر۔ اسےسے بھی ظاہر کیا جاتا ہے۔ اس کے آگے ، f کے مشتق کو اس طرح بھی ظاہر کیا جاتا ہے۔

مثال9 ƒ(x)=10x کا مشتق معلوم کیجئے۔

مثال10

ƒ(x)=10x²

کا مشتق معلوم کیجئے۔

مثال11 مستقل فنکشƒ(x)=aکا مشتق معلوم کیجئےکسی مقرر حقیقی عددaکے لیے۔

13.5.1 تفاعلات کے مشتق کا الجبرا(Algebra of derivative of functions)

کیونکہ مشتق کی ہر تعریف میں انتہا براہ راست فیشن میں شامل ہے، ہم مشتق کے اصولوں پر حدودکے قریب عمل کی امید کرتے ہیں۔ ہم انہیں ذیل مسئلہ میں اکھٹا کرتے ہیں۔

مسئلہ5 مان لیجئے f اور g  دو فنکشن ہیں تاکہ ان کے مشتق یکساں حدود میں بیان کیے جا سکیں ۔ تب

( i) دو فنکشن کے جوڑکا مشتق فنکشنوں کے مشتق کے جوڑ کے برابر ہے۔

(iv)  دو فنکشنوں کے خارج قسمت کا مشتق ذیل خارج قسمت کے اصول سے دیا گیا ہے ( جب کہ نسب نماں غیر صفر ہے)

ان کے ثبوت ضروری طور پر مماثل مسئلہ (analogous theorem)کے پیچھے ہیں جو انتہا کے لیے ہے۔ جیسا کہ انہتا کے کیس میں ہے یہ مسئلہ ہمیں بتاتا ہے کہ کس طرح کچھ خاص قسم کے مشتق کا حساب لگایا جاتا ہے۔ مسئلہ میں آخری دو بیانات کو ذیل فیشن میں دوبارہ اس طرح بیان کیا جاتا ہے جس کی مدد سے دوبارہ اسے آسانی سے یاد کیا جا سکتا ہے۔

مان لیجئے

(u=ƒ(x اور(V=g(x) تب

'uv)'=u'v+uv)

اب، ہم کچھ معیاری فنکشوں کے مشتق کو سلجھاتے ہیں۔

یہ دیکھنا آسان ہے کہ فنکشنƒ(x)=xکا مشتق مستقل فنکشن '1'ہے۔

ہم اس کا اور اوپر دیئے ہوئے مسئلہ کا استعمال (دس ارکانƒ(x)=10x=x+...+x

کے مشتق کا حساب لگانے کے لیے کرتے ہیں۔ اوپر دیئے ہوئے مسئلہ کے (1) سے

اب ہم یہ نوٹ کرتے ہیں کہ اس انتہا کا قیمت کا اندازہ ضربی اصول کے استعمال سے بھی کیا جاسکتا ہے۔ لکھئےƒ(x)=10x=uv، جہاں 'u'ایک مستقل فنکشن ہے جس کی ہر جگہ قدر 10ہے اورv(x)=xہاںƒ(x)=10x=uvہم جانتے ہیں کہ uکا مشتق 0کے برابر ہے۔ ساتھ ہیv(x)=xکا مشتق '1'ہے اس طرح ضربی اصول سے ہمارے پاس ہے۔

ƒ'(x)=(10x)'=(uv)'=u'v+uv'=0.x+10.1=10

اس طرحƒ(x)=x2کے مشتق کی بھی قیمت کا اندازہ لگایا جا سکتا ہے۔ ہمارے پاس ہے ƒ(x)=x2=x.xاور اس لیے۔

زیادہ عام طور پر، ہمارے پاس ذیل مسئلہ ہیں۔

مسئلہ 6  ƒ(x)=xnکا مشتقxxn-1 ہے کسی بھی مثبت صحیح عدد nکے لیے۔

ثبوت مشتق فنکشن کے لیے ہمارے پاس ہے۔

متبادل طور پر ، اسے ہم استقراء امالہ (induction)بھی ثابت کر سکتے ہیں n پر اور ضربی اصول سے جیسا کہ دیا ہوا ہے ۔ نتیجہ n = 1کے لیے صحیح ہے، جو کہ پہلے ثابت کیا جا چکا ہے۔ ہمارے پاس ہے۔

ریمارک اوپر دیا ہوا مسئلہ xکی تمام طاقتوں کے لیے درست ہے یعنی nکوئی بھی حقیقی عدد ہو سکتا ہے (لیکن اسے ہم یہاں ثابت نہیں کریں گے۔)

13.4.2کثیر رکنی ار ترگنو میٹر یائی فنکشنوں کے مشتق(Derivative of polynomials and trigonometric functions)

ہم ذیل مسئلہ سے شروع کرتے ہیں جو ہمیں کثیر رکنی کے مشتق کو بتاتی ہے۔

مسئلہ 7

مان لیجئے ƒ(x)=anxn+an-1xn-1+....+a1x+a0

 ایک کثیر رکنی فنکشن ہے، جہاں تما مa¹s

حقیقی اعداد ہیں ۔ تب مشتق فنکشن اس سے دیا گیا ہے۔

اس مسئلہ کا ثبوت صرف مسئلہ 5کے حصہ (i) اور مسئلہ 6کو ساتھ رکھنے سے مل جاتا ہے۔

مثال13 6x100-x55+xکے مشتق کا حساب لگائیے۔

حل اس مسئلہ کا سیدھا استعمال ہمیں بتاتا ہے کہ اوپر دیئے ہوئے فنکشن کا مشتق

600x99-55x54+1 ہے

مثال14  ƒ(x)=1+x+2+x3+...x50کا مشتقx=1پر معلوم کیجئے۔

حل  اوپر دیئے ہوئے مسئلہ 7کا سیدھا استعمال بتاتا ہے کہ اوپر دیئے ہوئے فنکشن کا مشتق

1+2+3x2...50x49¹

x-ہے

ہx = 1  

پر اس فنکشن کی قدر برابر ہے۔

حلـصاف طور پر یہ فنکشن defineکیا گیا ہےx=0کے علاوہ ہم خارج قسمت کا اصول استعمال کرتے ہیں جس میںاس طر ح

مثال16  sin xکے مشتق معلوم کیجئے۔

مثال17  tan x کے مشتق معلوم کیجئے۔

حل مان لیجئے  تب

مثال 18

ƒ(x)=sin2x کے مشتق معلوم کیجئے۔

حل ہمارے پاس اس کی قیمت کا اندازہ لگانے کے لیے لیبنیر کا ضرب کا اصول ہے۔

مشق 13.2

.4 ذیل فنکشنوں کا مشتق اصول اوّل (first principle) سے معلوم کیجیے۔

.7 کچھ مستقل  a اور b کے لیے ذیل کا مشتق معلوم کیجیے۔

.8  کا مشتق کسی مستقل عدد a کے لیے معلوم کیجیے۔

.9 ذیل کا مشتق معلوم کیجیے۔

.10 cos x کا مشتق اصول اوّل سے معلوم کیجیے۔

.11 ذیل فنکشنوں کا مشتق معلوم کیجیے۔

متفرق مثالیں

مثال 19  f' ' کا مشتق اصول اول سے معلوم کیجیے، جہاں ' 'f  اس طرح دیا گیا ہے۔

حل (i)  یہ نوٹ کرلیجیے کہ فنکشنx=2 پر define نہیں ہے۔ لیکن ہمارے پاس ہے

دوبارہ نوٹ کرلیجیے کہ فنکشن'x=2,ƒ پر بھی define نہیں ہے۔

(ii)۔  x=0 پر define نہیں ہے۔ لیکن ہمارے پاس ہے

دوبارہ یہ نوٹ کرلیجیے کہ'x=0ƒ پر define نہیں ہے۔

مثال 20  (ƒ(xکا مشتق اصولِ اول سے معلوم کیجیے، جہاں(ƒ(xہے

مثال 21  مشتق معلوم کیجئے 

i) ƒ(x)=sin2x)

ii) g(x)=cot x)

حل

(i) ٹرگنو میٹر یہ فارمولہsin2x=2sinx cos x کو یاد کیجئے۔ اس طرح

(ii)   تعریف کی رو سے ۔ اس فنکشن کے لیے ہم خارج قسمت کا اصول استعمال

اس کے متبادل، اس کا حساب اس طرح سے بھی لگایا جاسکتا ہے کہ یہ نوٹ کرلیں کہ۔ یہاں ہم اس حقیقت کا استعمال کریں گے کہtan x کا مشتق  ہے جو کہ ہم نے مثال 17 میں دیکھا ہے اور ساتھ ہی مستقل فنکشن کا مشتق '0' ہے۔

مثال 22  ذیل کے مشتق معلوم کیجیے

حل(i)  مان لیجیے۔ اس مشتق پر ہم خارج قسمت کا اصول استعمال کریں گے جہاں جہاں اس کی تعریف بیان کی گئی ہے۔

(ii)  اس فنکشن  پر ہم خارج قسمت کے اصول کا استعمال کریں گے جہاں جہاں اس کی تعریف بیان کی گئی ہے۔

باب 13 پر متفرق مشق

.1 ذیل فنکشنوں کا اصول اول سے مشتق معلوم کیجیے۔

ذیل فنکشنوں کا مشتق معلوم کیجیے۔ (یہ سمجھ لینا چاہیے کہ a، b، c، d، p، q، r اور s  مقرر غیر صفر مستقل ہیں اور m اور n صحیح اعداد ہیں)

Summaryخلاصہ • فنکشن کی ممکن قدر جیسا کہ نقاط نے درج کرایا ہے نقطے کے بائیں طرف اس نقطے پر فنکشن کی بائیں ہاتھ کی انتہا (left hand limit) کہلاتی ہے۔ اسی طرح دائیں ہاتھ کی انتہا (right hand limit) • ایک نقطے پر ایک فنکشن کی انتہا دائیں ہاتھ اور بائیں ہاتھ کی انتہا کی مشترک قدر ہے، اگر وہ آپس میں ملتے ہیں۔ • ایک فنکشن f اور ایک حقیقی عدد a کے لیے، 270 ممکن ہے یکساں نہ ہوں (حقیقت میں ایک کی تعریف بیان کی جاسکتی ہے اور دوسرے کی نہیں) • فنکشن  f  اور  g  کے لیے ذیل کا اطلاق ہوتا ہے: • ذیل کچھ معیاری حدود ہیں۔  • فنکشن f کا نقطہ a پرمشتق اس طرح define کیا گیا ہے • فنکشن f کسی نقطہ xپر مشتق اس طرح define کیا گیا ہے • فنکشن u اور v کے لیے ذیل کا اطلاق ہوتا ہے ۔ • مندرجہ ذیل کچھ معیاری مشتقات ہیں

Historical Noteتاریخ کے اوراق سے ریاضی کی تاریخ میں دو نام سرفہرست ہیں جنہیں آپس میں احصا (calculus) کی ایجاد کا شرف حاصل ہے، اسحاق نیوٹن (Issac Newton) (1642–1727) اور جی۔ ڈبلیو۔ لیبنیز (G.W.Leibnitz) (1646–1717) ۔ دونوں نے احصا کو آزادانہ طور پر سترہویں صدی میں ایجاد کیا تھا۔ احصا کی ایجاد کے بعد بہت سے ریاضی دانوں نے احصا کی آگے فلاح و بہبود کے لیے بہت کام کیا ہے۔ ریاضی داں اے۔ایل۔کوشی (A.L.Cauchy)، جے۔ایل۔لیگرانجی (J.L.Lagrange) اور کارل ویس ٹراس (Karl Weierstrass) نے خاص طور پر سختی سے اس کا تصور کیا ہے۔ کوشی نے احصا کا اساس دیا ہے جیسا کہ ہم عام طور پر اپنی کتابوں میں تسلیم کرچکے ہیں۔ کوشی نے ڈی-المبرٹس (D' Alembert's) انتہا کے تصور کا استعمال کیا ہے۔ ایک فنکشن کے مشتق کو define کرنے کے لیے۔ انتہا کی تعریف سے شروع کرکے، کوشی نے مثالیں دیں۔ مثال کے طور پر کی انتہا کی کسی a=0 کے لیے۔ اس نے لکھا اورi→0کے لیے انتہا کہا گیا۔ ’’فنکشن نکالا گیا ƒ'(x),y',eے لیے۔‘‘  A.D۔1900 سے پہلے یہ خیال تھا کہ احصا کا پڑھانا کافی مشکل ہے۔ اس لیے احصا نوجوانوں کی پہنچ سے باہر ہوگا۔ لیکن ٹھیکA.D۔1900  میں جون پیری (John Perry) اور دوسروں نے انگلینڈ میں یہ پروپیگنڈا کرنا شروع کردیا کہ احصا کے ضروری خیالات اور طریقے آسان تھے اور انہیں اسکول میں بھی پڑھایا جاسکتا ہے۔ ایف۔ایل۔گریفن (F.L.Griffin) نے احصا کو پہلے سال کے طلبا کو احصا پڑھانا شروع کردیا۔ ان دنوں یہ سب سے زیادہ ہمت والا عمل تھا۔ آج یہ صرف ریاضی میں ہی نہیں بلکہ دوسرے اور مضامین میں جیسے فزکس (Physics)، کیمسٹری (Chemistry)، اکونومکس (Economics) اور بائیلوجیکل سائنس (Biological Sciences) وغیرہ احصا کے استعمال سے بخوبی لطف اندوز ہو رہے ہیں۔