باب 15 

شماریات

Statistics

’’شماریات کو صحیح طور پر اوسط اور تخمینہ کی سائنس کہا جاتا ہے۔‘‘

A.L. BOWLEY & A. L. BODDINGTON

15.1تعارف (Introduction)

ہم جانتے ہیں کہ شماریات کا استعمال کسی خاص مقصد کے لیے آنکڑوں کو اکھٹا کرنے میں کیا جاتا ہے۔ آنکڑوں کے تجزیہ اور ترجمہ کرکے ہم ان کے بارے میں فیصلے لے سکتے ہیں  ۔ پچھلی جماعتوں میں آنکڑوں کو گراف کے ذریعہ ظاہر کرنا اور جدولی شکل میں لکھنے کے بارے میں پڑھ چکے ہیں ۔ آنکڑوں کی یہ نمائندگی کچھ خاص خدوخال کا انکشاف کرتی ہے یا آنکڑوں کی خصوصیات کا ۔ ہم پہلے ہی آنکڑوں کی نمائندگی کی قدر کو معلوم کرنے کے طریقوں کے بارے میں مطالعہ کر چکے ہیں۔ یہ قدر مرکزی ملان کو ناپنے کا طریقہ کہلاتی ہے۔ درمیانہ کو یاد کیجئے (ریاضیاتی درمیانہ) ، وسطانیہ (median) اور بہتاتیہ (Mode)مرکزی ملان کو ناپنے کے تین طریقے ہیں۔ مرکزی ملان کو ناپنے سے ہمیں ناممکن صورت کا اندازہ ہو جاتا ہے جہاں آنکڑوں کے نقاط مرکز پر وہتے ہیں۔ لیکن آنکڑوں سے بہتر ترجمانی کرنے کے لیے ہمارے پاس ایک ایسا تصور ہونا چاہیے کہ کس طرح آنکڑے پھیلے ہوئے ہیں یا وہ ناپ کے مرکزی ملان کے ارد گرد کس طرح گچھوں میں موجود ہیں۔

کالر پیرسن

(18557-1936)

اب دو بلے بازوں کے ذریعے ان کے آخری دس میچوں میں بنائے گئے رنوں پر غور کیجئے جو اس طرح ہیں۔

بلے باز A :۔

30, 91, 0, 64, 42, 80, 30, 5, 117, 71

بلے بازB :۔

53, 46, 48, 50, 53, 53, 58, 60, 57, 52

بلّے بازA بلے باز B 

درمیانہ 53 53

وسطانیہ 53 53

اس بات کو یاد کیجئے کہ ہم آنکڑوں کے درمیانہ (جسے سے ظاہر کیا جاتا ہے )مشاہدوں کے مجموعہ کومشاہدوں کے تعداد سے تقسیم کر کے حاصل کرتے ہیں یعنی؛

ساتھ ہی، ہم وسطانیہ کو معلوم کرنے کے لیے پہلے آنکڑوں کو بڑھتی ہوئی ترتیب یا گھٹتی ہوئی ترتیب میں رکھتے ہیں اور ذیل اصول کا استعمال کرتے ہیں۔

اگر شاہدوں کی تعداد طاق ہے، تب وسطانیہ مشاہدہ ہے۔ 

اگر مشاہدوں کی تعداد جفت ہے، تب وسطانیہ مشاہدوں کا درمیانہ ہے۔

ہم نے دیکھا کہ دونوں بلے باز  Aاور B کے ذریعے بنائے گئے رنوں کا درمیانہ اور وسطانیہ یکساں ہے یعنی 53 ۔ کیا ہم یہ کہہ سکتے ہیں کہ دونوں کھلاڑیوں کی کارکردگی یکساں ہے؟ صاف طور پر نہیں، کیونکہ بلے باز 'A'کے اسکور کا اتار چڑھاؤ 0سے (کم سے کم )117(زیادہ سے زیادہ) تک ہے۔ جب کہ ، بلے باز Bکے بنائے گئے رنوں کے اسکور کی وسعت(range)46 سے 60تک ہے۔

اب ہم اوپر دیئے ہوئے اسکور کو ایک عددی خط پر نقطوں کے ذریعے خاکہ تیار کرتے ہیں۔

بلے باز A کے لیے

ہم یہ دیکھ سکتے ہیں کہ بلے باز Bکے مطابق نقاط ایک دوسرے کے قریب ہیں اور مرکزی ملان کی ناپ کے اردگرد جمع ہو رہے ہیں (درمیانہ اور وسطانیہ) جب کہ بلے باز  Aکے مطابق پھیلے ہوئے ہیں اور زیادہ پھیلے ہیں ۔

اس طرح مرکز ملان کی ناپ دیئے ہوئے آنکڑوں کی مکمل جانکاری دینے کے لیے ناکافی ہے۔ تغیر(انتشار) ایک دوسراعنصر ہے جس کے مطالعہ کی شماریات میں ضرورت ہے۔ ’’مرکز ملان کو ناپنے کی طرح‘‘ ہم ایک اکیلا عدد چاہتے ہیں جو انتشار کو بیان کرنے کے لیے ہو۔ اس اکیلے عدد کو ’’انتشار کی ناپ‘‘کہا جاتا ہے۔ اس سبق میں ہم کچھ خاص انتشاار کی ناپ کے بارے میں با جماعت اور بے جماعت آنکڑوں کے لیے پڑھیں گے۔

15.2  انتشار کی ناپ (Measures of Dispersion)

انتشار یا آنکڑوں میں پھیلاپن مشاہدوں کی بنیاد پرمعلوم کیاجاتا ہے اور اس جگہ استعمال کے لیے مرکزِ ملان کی ناپ کے طریقے پر۔ یہاں ذیل انتشار کی ناپ دی گئی ہیں:

(i)  وسعت (ii)  چوتھائی انحراف (iii)  درمیانہ انحراف (iv)  معیاری انحراف

اس سبق میں ہم تمام انتشار ناپ کے بارے میں پڑھیں گے تین چوتھائی انحراف کو چھوڑ کر ۔

15.3  وسعت (Range)

یادکیجئے کہ اس مثال میں ، جہاں دو بلے بازوں کے ذریعے بنائے گئے رن تھے ، ہمیں ہر ایک سلسلیٔ میں کم سے کم اور زیادہ سے زیادہ رنوں کی بنیاد پر کچھ تغیر کا تصور اسکورس میں ملا تھا۔ اس کے لیے ایک اکیلا عدد حاصل کرنے کے لیے، ہم زیادہ سے زیادہ اور کم سے کم قدروں کا فرق ہر ایک سلسلی کے لیے معلوم کرتے ہیں۔ یہ فرق آنکڑوں کا ’وسعت‘ کہلاتا ہے۔

بلے باز Aکے کیس میں وسعت=117=0=117اور بلے باز Bکے لیے،و سعت=46–46=14 صاف طور پر Bکی وسعت > Aکی وسعت۔اس لیے کیس Aمیں اسکور پھیلے ہوئے یا انتشار میں ہیں جب کہ Bمیں نہ ایک دوسرے کے قریب ہیں۔

اس طرح، ایک سلسلیٔ کی و سعت =کم سے کم قدر –زیادہ سے زیادہ قدر 

آنکڑوں کی و سعت ہمیں تغیر یا پھیلاؤکی نا مکمل صورت دے دیتی ہے لیکن آنکڑوں کے انتشار کے بارے میں کچھ مرکز ملان کی رو سے نہیں بتاتی۔ اس مسئلہ کے لیے ہمیں کچھ اور متغیر کی ناپ کی ضرورت ہوگی۔ صاف طو ر پر ، اس طرح کے پیمانے مرکز ملان کی قدروں میں فرق یا انحراف پر منحصر ہیں۔

انتشار کا حاصل پیمانہ، جو مرکز ملان سے مشاہدوں کے انحراف پر مبنی ہے درمیانہ  انحراف اور معیاری  انحراف ہیں۔ ہمیں ان پر تفصیل سے بات چیت کر نی چاہیے۔

15.4  درمیانہ انحراف (Mean Deviation)

اسے دو بارہ یا دکیجئے کہ ایک اعدادوشمار xکا  انحراف ایک مقرر قدر'a'سےx-aفرق ہے قدرxکا مرکز قدر'a'سے انتشار معلوم کرنے کی ترتیب میں، ہم aپر جھکاؤ معلو کرتے ہیں۔ انتشار کی ایک مطلق ناپ ان جھکاؤ کا درمیان ہے۔ درمیانہ معلوم کرنے کے لیے، ہمیں ان جھکاؤ کا حاصل جمع معلوم کرنا ہوگا۔ لیکن ہم یہ جانتے ہیں کہ مرکزِ ملان کا پیمانہ اعداد وشمار کے سیٹ کے لیے زیادہ سے زیادہ اور کم سے کم قدروں کے درمیان واقع ہے۔ اس لیے کچھ جھکاؤ منفی ہوں گے۔ اور کچھ مثبت ۔ اس طرح جھکاؤ کا مجموعہ ختم ہو سکتا ہے۔ اور مزید یہ کہ انحراف کا مجموعہ درمیانہ سے صفر ہوتاہے۔

ساتھ ہی

اس طرح ، درمیانہ سے درمیانہ جھکاؤ معلوم کرنا ہمارے لیے کسی کام کا نہیں ہے، جہاں تک  انتشار کے ناپ کی بات ہے۔

یاد کیجئے کہ انتشار کا موزوں پیمانہ معلوم کرنے کے لیے ، ہمیں مرکزی ملان یا ایک مقرر عدد 'a'کی ہر قدر کا فاصلہ معلوم کرنا ہے۔ دہرایئے کہ دو اعداد کی مطلق قدر کا فرق اعداد کے درمیان فاصلہ دیتا ہے جب انہیں عددی خط پر ظاہر کیا جاتا ہے ۔ اس لیے ایک مقرر نقطہ'a'  سے انتشار کی باپ معلوم کرنے کے لیے ہم مطلق قدروں کا درمیانہ مرکزی قدر کے انحراف سے لے سکتے ہیں۔ اس درمیانہ کو ’’درمیانی انحراف ‘‘ کہتے ہیں۔ اس لیے ایک مرکز ی قدر'a'کے نزدیک درمیانہ انحراف مطلق قدروں کے مشاہدوں کا انحراف کا درمیانہ کہلاتا ہے۔ 'a'سے درمیانہ جھکاؤ M. D. سے ظاہر کیا جاتا ہے۔(a) اس لیے 

(a) سے مطلق قدروں کے مجموعہ کا انحراف

.a)M.D)= ————————————

مشاہدوں کی تعداد

ریمارک

درمیانہ انحراف کسی بھی مرکز ملان کے ناپ سے حاصل کیا جا سکتا ہے۔ حالانکہ درمیانہ انحراف ، درمیانہ سے اور وسطانیہ سے عام طور پر شماریات کے مطالعہ میں استعمال کیا جاتا ہے۔

اب ہم یہ معلوم کرتے ہیں کہ کس طرح درمیانہ انحراف  ، درمیانہ سے اور درمیانہ ، وسطانیہ سے مختلف آنکڑوں کے لیے معلوم کیا جاتا ہے۔

15.4.1 درمیانہ انحراف غیر جماعتی آنکڑوں کے لیے (Mean Deviation for ungrouped data)

مان لیجئے nمشاہدے x1,x2,x3,...xnہیں۔ ذیل اقدامات درمیانہ انحراف  ، درمیانہ سے یا وسطانیہ سے نکالنے میں ملوث ہیں۔

قدم1 مرکزی ملان کا پیمانہ /کی ناپ معلوم کیجئے جس سے ہمیں درمیانہ انحراف معلوم کرنا ہے۔

مان لیجئے یہ 'a'ہے۔

قد م2 ہر ایکx1جھکاؤ a سے معلوم کیجئے یعنیx1–a,–x2–a,x3–a,...xn–a

قدم3  انحراف  کی قدر مطلق معلوم کیجئے ، یعنی نفی(–)کے نشان کو ہٹا دیجئے اگر موجود ہے

 یعنی |x1-a|,|x2-a|,|x3-a|,...,|xn-a| 

قدم4 انحراف  قدر مطلق کا درمیانہ معلوم کیجئے۔ اس کا مطلب ہے درمیانہ انحرافa سے یعنی،

اس باب میں ہم علامت M کا استعمال وسطانیہ کو ظاہر کرنے کے لیے کریں گے جب تک کے تبایا نہ جائے ۔ اب ہمیں ذیل مثالوں میں اوپر دیئے ہوئے طریقے کے اقدامات کا تصور کریں گے۔

مثال 1 مندرجہ ذیل آنکڑوں کے لیے درمیانہ سے درمیانہ انحراف معلوم کیجئے:

6, 7, 10, 12, 13, 4, 8, 12

حل ہم ایک کے بعد ایک قدم بڑھائیں گے اور ذیل حاصل کریں گے۔:

قدم1 دیئے ہوئے آنکڑوں کے درمیانہ ہے:

قدم2 متعلقہ مشاہدوں کا درمیانہ سے انحراف یعنی -x1ہیں۔

6—9,7—9,10—9,12—9,13—9,4—9,8—9,12—9

—3,—2,1,3,4,—5,—1,3 یا

قدم3 جھکاؤ کی مطلق قدریں یعنی ہیں ۔

3,2,1,3,4,5,1,3

قدم4 مطلوبہ درمیانہ  انحراف درمیانہ سے ہے۔

ہر بار اقدامات لکھنے کی بجائے ہم حساب کریں گے، ترتیب میں بغیر اقدامات لکھے ہوئے ۔

مثال2

ذیل آنکڑوں کے درمیانہ سے درمیانہ انحراف معلوم کیجئے:

حل

  ہمیں دیئے ہوئے آنکڑوں کا درمیانہمعلوم کرنا ہے۔

انحراف کے درمیانہ سے متعلقہ مطلق قدریں یعنی|x1—¯x|ہیں

مثال3 ذیل آنکڑوں کے لیے درمیانہ انحراف وسطانیہ سے معلو م کیجئے۔

3,9,5,3,12,10,18,4,7,19,21

حل یہاں مشاہدوں کی تعداد11ہے جو کہ طاق ہے۔ آنکڑوں کو بڑھتی ہوئی ترتیب میں رکھنے پر ، ہمارے پاس ہے۔

3,3,4,5,7,9,10,12,18,19,21

وسطانیہ سے مطلق قدروں کی مطلق قدریں یعنیx1—Mہیں۔

6,6,5,4,2,0,1,3,9,10,12

15.4.2جماعتی آنکڑوں کے لیے درمیانہ انحراف(Mean Deviation for grouped data)

ہم جانتے ہیں کہ جماعتی آنکڑوں کودو طریقوں سے رکھا جا سکتا ہے:

(a)  غیر مسلسل تواتر تقسیم Discrete frequency destribution

(b)  مسلسل تواترتقسیم Continuous frequency distribution

ہمیں دونوں طرح آنکڑوں کا درمیانہ انحراف (فرق) معلوم کرنے کے طریقے پر بات چیت کرنی چاہیے۔

a) ( تعداد کی الگ تقسیم (Discrete frequency distribution)

مان لیجئے دیئے ہوئے آنکڑوں میںnمختلف قدریںx1,x2,...,xnبالترتیبƒ1,ƒ2,...,ƒnباتواترکے ساتھ واقع ہو رہی ہیں۔ ان آنکڑوں کو جدولی شکل میں ظاہر کیا جا سکتا ہے جیسا کہ نیچے دیا گیا ہے، اور غیر مسلسل تواتر تقسیم کہا جاتا ہے۔

xn....x3 x2 x:x1

ƒn.... ƒ3 ƒ2 ƒ:ƒ1

دیئے ہوئے آنکڑوں کے لیے فارمولہ استعمال کر کے سب پہلے ہم درمیانہ معلوم کرتے ہیں۔

جہاں مشاہدوں کے ان کے متعلقہ تواتر کے ساتھ حاصل ضرب کے مجموعہ کو ظاہر کرتا ہے اور تعداد کا جوڑا ہے۔

تب ہم،x1مشاہدوں کا درمیانہ سے فرق معلوم کرتے ہیں اور ان کی مطلق قدریں لیتے ہیں یعنی|x1—¯x|تمامi=1,2,...,nکے لیے۔

اس کے بعد ، فرق کی تمام مطلق قدروں کا درمیانہ معلوم کیجئے جو کہ درمیانہ کا مطلوبہ درمیانہ سے فرق ہے۔اس طرح

(ii)  درمیانہ انحراف وسطانیہ سے (Mean deviation about mean)

وسطانیہ سے درمیانہ فرق معلوم کرنے کے لیے ہم دیئے ہوئے تواتر تقسیم کا وسطانیہ معلوم کرتے ہیں۔ اس کے لیے مشاہدات کو بڑھتی ہوئی ترتیب میں رکھا جاتاہے۔ اس کے بعد مجموعی تواتر (Cumutative frequencies)کو حاصل کیا جاتا ہے۔ تب ہم ان مشاہدات کی پہچان کرتے ہیں جن کا تعداد مجموعی تواتر یا تو کے برابر ہو یا بڑا ہو۔ جہاں Nتواتر کا مجموعہ ہے۔ یہ مشاہدوں کی قدر آنکڑوں کے درمیان میں واقع ہے ، اس لیے یہ مطلوبہ وسطانیہ ہے۔وسطانیہ معلوم کرنے کے بعد ، ہمیں وسطانیہ سے مطلق قدروں کے فرق کا درمیانہ حاصل ہوتا ہے۔ 

اس طرح

مثال4 ذیل آنکڑوں کے لیے درمیانہ سے درمیانہ انحراف معلوم کیجئے۔

  2 5 6 8 10 12 x¹

2 8         10 7  8  5 ƒ¹

حل ہمیں دیئے ہوئے آنکڑوں کا جدول 15.1بنانا چاہیے اور دوسرے کالم حساب لگانے کے بعد بنانے چاہیں۔

جدول 15.1

مثال5 ذیل آنکڑوں کے لیے وسطانیہ سے درمیانہ انحراف معلوم کیجئے۔

حل  دیئے مشاہدات پہلے ہی بڑھتی ہوئی ترتیب میں ہیں۔ دیئے ہوئے آنکڑوں میں ایک قطار نظیری مجموعی تواتر میں جمع کرنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے۔ (جدول15.2 )

اب  N=30، جو کہ جفت ہے۔

وسطانیہ 15 ویں اور 16ویں مشاہدات کا درمیانہ ہے۔ یہ دونوں مشاہدات مجموعی تواتر 18ویں میں واقع ہیں، جس کے لیے نظیری (Corresponding)مشاہدہ 13ہے۔

اب وسطانیہ سے مطلق قدروں کا فرق، یعنی|xi—M| جدول15.3 میں دکھائے گئے ہیں۔

جدول15.3

(b)  مسلسل تواتر تقسیم (Continuous frequency distribution)

تواترکی لگاتار تقسیم ایک سلسلیٔ ہے جس میں آنکڑوں کو مختلف کلاس، وقفہ میں بانٹا گیا ہے بغیر فاصلے کے اپنی متعلقہ تواتر کے ساتھ۔

مثال کے طور پر ،100طلبا کے ذریعے حاصل کئے گئے نمبر ایک مسلسل تواتر تقسیم میں ظاہر کیے گئے ہیں جیسا کہ نیچے دیئے گیا ہے:

(i)  درمیانہ سے درمیانہ انحراف (Mean deviation from Mean)

جب درمیانہ سے ایک تعداد کی لگاتار تقسیم کا حساب لگا یا جا تا ہے، ہم نے یہ مانا کہ ہر جماعت میں تعداد درمیانی نقطے پر مرکز ہے۔ یہاں بھی یہ ہر جماعت کا درمیانی نقطہ لکھتے ہیں اور آگے بڑھتے ہیں جیسا کہ تعداد کی الگ تقسیم کے لیے کیا جاتا ہے درمیانہ فرق معلوم کرنے کے لیے۔

ہم ذیل مثال لیتے ہیں ۔

مثال6

ذیل آنکڑوں کے لیے درمیانہ کے قریب درمیانہ انحراف معلوم کیجئے۔

حل

دیئے ہوئے آنکڑوں سے ہم ذیل جدول15.4 بناتے ہیں۔

درمیانہ سے مختصر طریقے سے درمیانہ انحراف کاحساب لگانا

(Shortcut method for calculating mean deviation about mean)

ہم کا حساب لگانے کے لیے اکتادینے والے طریقے سے بچ سکتے ہیں ذیل Step deviationکا طریقہ استعمال کر کے۔ یاد کیجئے کے اس طریقے میں ہم ایک فرضی درمیانہ(assumed mean) لیتے ہیں جو کہ آنکڑوں میں درمیانی یا اس کے قریب ہوتا ہے۔ تب مشاہدات کا فرق ( یا جماعتوں کے درمیانی نقطے)اور مانے ہوئے درمیانہ سے لیتے ہیں ۔ یہ کچھ نہیں ہے بلکہ عددی خط پر صفر سے مانے ہوئے درمیان تک مبدا کو بدلنا ہے، جیسا کہ شکل15.3میں دیا گیا ہے۔

اگر تمام انحرافات کا ایک مشترک اجزائے ضربی ہے ہم انحرافات کو مختصر کرنے کے لیے اسے مشترکہ اجزائے ضربی سے

 تقسیم کرتے ہیں۔ انھیں Step deviationsکہاجاتا ہے۔s Step deviationلینے کا طریقہ عددی خط پر اسکیل بدلنا ہے جیسا کہ شکل15.4میں دکھایا گیا ہے۔

فرق اور Step deviation مشاہدات کے سائز کو چھوٹا کر دیتے ہیں، تاکہ حساب لگانا مطلب حاصل ضرب، وغیرہ

 آسان ہو جاتا ہے۔ مان لیجئے، نیا متغیر سے ظاہر کیا جاتا ہے جہاں 'a'مانا ہوا درمیانہ ہے اور hمشترکہ اجزائے ضربی۔

تب درمیانہ ، Step deviation طریقے کے ذریعے اس سے دیا گیا ہے۔

ہم مثال6کے آنکڑے لیتے ہیں اور Step deviation کے طریقے کا استعمال کر کے درمیانہ انحراف معلوم کرتے ہیں۔

مان لیا کہ درمیانہ a=45اور h=10لیجئے اور ذیل جدول 15.5ہے۔

جدول15.5

Step deviation کا طریقہ x¯ کا حساب لگانے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے۔ باقی سب کارکردگی کا طریقہ وہی ہے

(ii)  وسطانیہ سے درمیانہ انحراف (Mean deviation about medain)

وسطانیہ سے درمیانہ انحراف ایک مسلسل تواتر تقسیم سے معلوم کر نے کا طریقہ کار بالکل ایسا ہی ہے جیسا کہ ہم نے درمیانہ سے درمیانہ انحراف معلوم کرنے کے لیے کیا ہے۔ اس ردوبدل میں صرف ایک ہی فرق ہے جو کہ درمیانہ کو وسطانیہ سے بدلنے میں جب فرق لیاجاتا ہے۔

 ہمیں اس طریقے کو دہرانا چاہیے جہاں مسلسل تواتر تقسیم کے لیے استعمال کیا جاتا ہے۔ پہلے آنکڑوں کو بڑھتی ہوئی ترتیب میں لکھا جاتا ہے۔ تب پہلے اس جماعت کی نشاندہی کرتے ہیں جہاں وسطانیہ واقع ہے۔( وسطانیہ جماعت) اور پھر مسلسل تواتر تقسیم حاصل ہوتی ہے اور پھر ضابطہ (Formula)کا استعمال کرتے ہیں۔ 

جہاں وسطانیہ جماعت ،جماعت کا وقفہ جس کی مجموعی تعداد زراسے بڑی ہے یا برابر ہے۔Nتواتر کا مجموعہ ہے، l،f،hاورCبالترتیب نچلی انتہا ، تواتر، وسطانیہ جماعت کی چوڑائی (width)اورCجماعت سے بالکل پہلے کی وسطانیہ کلاس کی مجموعی تواتر ہے۔ وسطانیہ نکالنے کے بعد درمیانی نقطہ xiکے فرق کی مطلق قیمتیں ہر جماعت کے لیے وسطانیہ سے یعنی|xi—M|سے حاصل کی جاتی ہے۔

طریقہ کی ذیل مثال میں تشریح بیان کی گئی ہے۔

مثال7  ذیل آنکڑوں کے لیے وسطانیہ سے درمیانہ انحراف معلوم کیجئے۔

حل دیئے ہوئے آنکڑوں سے ذیل جدول15.6 تیار کیجئے۔

جدول15.6

وہ کلاس وقفہ جس میںاندراج ہے 20-30ہے۔ اس لیے 20-30وسطانیہ کلاس ہے۔ ہم جانتے ہیں کہ 

یہاں 

 1=20,C=13,f,=15,h=10

اور N=50

اس طرح وسطانیہ درمیانہ اس طرح دیاگیا ہے۔

مشق15.1

1تا2مشقں میں آنکڑوں کے لیے درمیانہ انحراف درمیانہ سے معلوم کیجئے۔

.1

4, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 17

2.

38, 70, 48, 40, 42, 55, 63, 46, 54, 44

3تا4مشقوں میں آنکڑوں کے لیے درمیانہ انحراف، وسطانیہ کے سے معلوم کیجئے۔

3.

13, 17, 16, 14, 11, 13, 10, 16, 11, 18, 12, 17

4.

36, 72, 46, 42, 60, 45, 53, 46, 51, 49

5تا6مشقوں میں آنکڑوں کے لیے درمیانہ انحراف، درمیانہ سے معلوم کیجئے۔

7تا 8 مشقوں میں آنکڑوں کے لیے درمیانہ انحراف، وسطانیہ سے معلوم کیجئے۔

9تا 10 مشقوں میں آنکڑوں کے لیے درمیانہ انحراف، درمیانہ کے سے معلوم کیجئے۔

9.  روزآنہ کی آمدنی

0-100 100-200 200-300 300-400 400-500 500-600 600-700 700-800

انسانوں کی تعداد   3         4 5  7  0 1       9          8     4

10. اونچائی سینٹی میٹر میں

95-105 105-115       115-125 125-135      135-145 145-155

لڑکوں کی تعداد 9    13     26                30             12         10

11. ذیل آنکڑوں کے لیے درمیانہ انحراف وسطانیہ سے معلوم کیجئے۔

نمبر

0-10 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60

لڑکیوں کی تعداد 6 8 14 16 4 2

12. نیچے دیئے گئے 100انسانوں کی عمر کی تقسیم کے لیے درمیانہ انحراف وسطانیہ سے معلوم کیجیے۔

عمر

16-20 21-25 26-30 31-35 36-40 41-45 46-50 51-55

تعداد 5 6 12 14 26 12 16 9

[اشارہ دیئے ہوئے آنکڑوں میں سے 0.5 کو نچلی انہتا میں سے تفریق کرنے اور 0.5 اوپری انتہا میں جمع کرنے پرمسلسل تواتر تقسیم ہر ایک کلاس وقفہ میں ]

15.4.3درمیانہ انحراف کی احاطہ بندی (پابندی) (Limitations of mean deviation)

کسی سلسلی ٔمیں جہاں تغیر کا درجہ بہت بلند ہے، وسطانیہ مرکزی ملان کا نمائندہ نہیں ہے۔اس لیے وسطانیہ سے درمیانہ انحراف کا حل اس طرح کی سلسلی ٔ کے لیے مکمل طور پر قابلِ اعتبار نہیں ہے۔

درمیانہ سے انحراف کا جوڑ (منفی نشان کو نظر انداز کرتے ہوئے)وسطانیہ سے انحراف کے جوڑ سے زیادہ ہے۔ اس لیے درمیانہ انحراف درمیانہ سے بہت زیادہ سائن ٹیفک نہیں ہے۔ اس طرح بہت سے کیسس میں ممکن ہے درمیانہ فرق غیر مطمئن نتیجے دے سکتا ہے۔ ساتھ ہی درمیانہ انحراف فرق کی مطلق قدروں کی بنیاد پر نکالاجاتا ہے۔ اور اس لیے ، الجبری عمل کے لیے کیا جا سکتا ، اس کا مطلب یہ کہ ہمارے پاس کچھ اور دوسرے انتشار معلوم کرنے کے پیمانے ہو نے چاہیں ۔ معیاری انحراف اس طرح کا ایک انتشاری پیمانہ ہے۔

15.5عدم مطابقت اور معیاری انحراف (Variance and Standard Deviation)

یاد کیجئے کہ جب درمیانہ انحراف درمیانہ یا وسطانیہ سے نکالا جاتا ہے، فرق کی مطلق قدریں لی گئیں تھیں۔ درمیانہ انحراف بامعنی بنانے کے لیے مطلق قدریں لی گئیں تھیں ، ورنہ انحرافات آپس میں مسنوخ ہو جائیں گے۔

اس پریشانی پر فتح حاصل کرنے کے لیے جو انحرافات کی علامت کی وجہ سے ہوتی ہے، دوسرا طریقہ یہ ہے کہ تمام انحرافات کے مربعے کیے جائیں۔ صاف طور پر ان فرق کے تمام مربع غیر منفی ہیں ۔مان لیجئےx1,x2,x3,....,xnمشاہدے ہیں اورx¯ انکا درمیانہ ہے۔ تب 

اگر یہ مجموعہ صفر ہے، تب ہر ایک (xi— ¯x)کو صفر ہونا گا۔ اس کا مطلب ہے کہ ابھی ایسا کوئی انتشار نہیں ہے کہ تمام مشاہدات درمیانہ کے برابر ہیں۔

اگر چھوٹا ہے، یہ ظاہر کرتا ہے کہ مشاہدے x1,x2,x3,....,xnدرمیانہکے قریب ہیں اور اس لیے انتشار کا درجہ چھوٹا ہے۔ اس کے برعکس، اگر یہ مجموعہ بڑا ہے ، مشاہدوں کا انتشار کا درجہ درمیانہسے بڑا۔ اس لیے کیا ہم کہہ سکتے ہیں کہ مجموعہ ایک قابلِ قبول انتشار کا یا انحراف کا مقدار نما (indecator) ہے؟

ہم چھ مشاہدات 55, 45, 35, 25, 15, 5کے سیٹ Aکو لیتے ہیں۔ ان مشاہدوں کا درمیانہ 30=ہے۔ اس سیٹ کے 30سے لیے گیے انحرافات کے مربعوں کا جوڑ ہے۔

=625+225+25+25+225+625=1750

اب ہم ایک دوسرا سیٹ B  31مشاہدوں

15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27

, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45

لیتے ہیں۔ ان مشاہدات کا درمیانہ ہے۔ یہ نوٹ کر لیجئے کہ مشاہدات کے سیٹA اور B کا درمیانہ 30ہے۔

اب، سیٹ B کے لیے درمیانہ سے مشاہدوں کے فرق کے مربعوں کا جوڑ دیا گیا ہے۔

=(15)2+ (-14)2+...+ (-1)2+ 02+12+22+32+142+152

=2[152+142+...+12]

(کیونکہ xطبعی اعداد کے مربعوں کا جوڑ

اگرآسانی سے ہمارے انتشار کا پیمانہ ہے یا درمیانہ کے قریب پھیلا ہوا ہے، ہم یہ کہنے پر مجبور ہوں گے کہ6مشاہدوں والا سیٹ Aکم انتشار رکھتا ہے درمیانہ کے قریب 31مشاہدوں والے سیٹ Bہے، حالانکہ سیٹAمیں مشاہدوں سے زیادہ پھیلے ہوئے ہیں۔(فرق کا دائرہ) -25سے25تک ہے) بجائے سیٹB کے(جہاں فرق کا دائرہ –15سے15تک ہے)

یہ ذیل اشکال سے بھی صاف ہے۔

سیٹA کے لیے ہمارے پاس ہے۔

اس طرح، ہم کہہ سکتے ہیں کہ درمیانہ سے فرق کے مربعوںکا جوڑ انتشار کا صحیح پیمانہ نہیں ہے۔ اس پریشانی پر عبور حاصل کرنے کے لیے ہم فرق کے مربعوں کا درمیانہ لیتے ہیں یعنی، ہم لیتے ہیں۔سیٹA کے کیس میں، ہمارے پاس درمیانہ ہے اور سیٹB کیس ملیں یہہے یہ ظاہرکرنا ہے کہ بکھرا ہوا یا انتشار سیٹA میں سیٹB سے زیادہ ہے۔ جس کی تفریق دونوں سیٹ کے جیومیٹریائی اظہار سے ہوتی ہے۔

اس طرح، ہم اسے مقدار کے طور پر لے سکتے ہیں جو انتشار کی صحیح ناپ کے طرف لے جاتا ہے۔ یہ عدد یعنی درمیانہ سے لیے گیے انحراف کے مربعوں کا درمیانہ عدم مطابقت(Variance)کہلاتا ہے ۔اس کوسے ظاہر کرتے ہیں جسے( سگما مربع) (Sigma Square)پڑھتے ہیں۔ اس لیے ،nمشاہدوں x1, x2, x3,...,xnکی عدم مطابقت کو سے ظاہر کیا جاتا ہے۔

 15.5.1  میعاری انحراف(Standard Deviation)

عدم مطابقت کو حل کرنے میں، ہم نے یہ حل نکالا ہے کہ انفرادی مشاہدات xiکی اکائیاںاور ان کی اکائی کا درمیانہانحراف سے مختلف ہے، کیونکہ انحراف میں (xi-¯x)

کے مربعوںکا مجموعہ ملوث ہے۔ اس وجہ کے لیے انتشار کا صحیح پیمانہ  ایک مشاہدات کے سیٹ کے درمیانہ سے عدم مطابقت مثبت جرز المربع ہے اور اسے معیاری انحراف کہا جاتا ہے۔ اس لیے معیاری انتشار کو'σ' سے ظاہر کیا جاتا ہے اور اسے اس طرح دیا گیا ہے۔

ہم عدم مطابقت کے حل کی تشریح کرنے کے لیے ذیل مثال لیتے ہیں اور اس طرح، غیر جماتی آنکڑوں کا معیار ی انحراف ۔

مثال 8 مندرجہ ذیل آنکڑوں کی عدم مطابقت (Variance)معلوم کیجئے۔

6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24

حل دیئے ہوئے آنکڑوں سے ہم ذیل جدول 15.7 بنا سکتے ہیں Step deviation طریقے سے 14کو درمیانہ مان کر درمیانہ حل کیا گیا ہے۔مشاہدوں کی تعداد 10 = n ہے۔

 جدول15.7

Xi		Deviation from mean (Xi- ¯x)	(Xi ¯X)
6 8 12 12 14 16 18 20 22 24	—4 —3 —2 —1 0 1 2 3 4 5	—9 —7 —5 —3 —1 1 3 5 7 9	81 49 25 9 1 1 9 25 49 81
	5		330

15.5.2  غیر مسلسل تواترتقسیم کا معیاری انحراف (Standard Deviation of discrete frequency distribution)

مان لیجئے، دی ہوئی غیر مسلسل تواتر تقسیم ہے۔

x: xi, x2, x3 ,..., xn

y: ƒ¹, ƒ², ƒ³ ,...,ƒn

اس کیس میں معیاری انحراف

ہمیں مندرجہ ذیل مثال لینی چاہیے۔

مثال9 مندرجہ ذیل آنکڑوں کی عدم مطابقت (Variance)اور معیاری انحراف (Standard deviation)معلوم کیجئے۔

حل آنکڑوکو جدول شکل15.8 میں ظاہر کرنے پر، ہمیں حاصل ہوتا ہے۔

جدول15.8

15.5.3  مسلسل تواتر تقسیم کا معیاری انحراف(Standard Deviation of a Continuous frequency distribution)

دی ہوئی مسلسل تواتر تقسیم غیر مسلسل تواترتقسیم میں ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ ہر کلاس کو اس کے درمیانی نقطے سے تبدیل کر کے۔ تب معیاری انحراف کو اس عمل سے حل کیا جا سکتا ہے جو کہ غیر مسلسل تواتر تقسیم میں استعمال کیا گیا ہے۔

اگر ایک تواتر تقسیم nکلاسوں کا ہے جس کی ہر کلاس اس کے درمیانی نقطے سے defineکی گئی ہے تواتر کے ساتھ، معیاری انحراف ذیل فارمولے کی مدد سے حاصل کیا جائے گا۔

معیاری انحراف کے لیے ایک دوسرا فارمولہ (Another formula for standard deviation)

 ہم جانتے ہیں کہ:

مثال10 مندرجہ ذیل تقسیم کے لیے درمیانہ، عدم مطابقت اور معیاری انحراف معلوم کیجئے۔

کلاس

30-40 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100

تعداد 3 7 12 15 8 3 2

حل دیئے ہوئے آنکڑوں سے ہم نے مندرجہ ذیل جدول15.9 تیار کیا ہے۔

مثال11 مندرجہ ذیل آنکڑوں کے لیے معیاری انحراف معلوم کیجئے:

حل ہمیں مندرجہ ذیل جدول15.10 بنانا چاہیے۔

اب فارمولہ(3) سے، ہمارے پاس ہے۔

15.5.4عدم مطابقت اور معیاری انحراف معلوم کرنے کا مختصر طریقہ

بعض اوقات مسلسل تقسیم میںکی قدریں یا مختلف کلاسوں کا درمیانہ نقطہ’‘ مسلسل تقسیم میں کافی بڑے ہوتے ہیں اور اس لیے درمیانہ اور عدم مطابقت کاحساب لگانا اکتا دینے والا اور زیادہ وقت لینے والا ہوجاتا ہے۔s Step deviationکے طریقے کا استعمال کرکے عمل کو آسان کیا جانا ممکن  ہے۔

مان لیجئے مانا ہوا درمیانہ 'A'ہے اور اسکیلگناچھوٹا کر لیا جائے۔ (hکلاس وقفہ کی چوڑائی ہے)

مان لیجئے Step deviationیا نئی قدر ہے۔

فارمولہ (5)کو استعمال کرکے ہم مثال (11)کو مختصرطریقے سے حل کرسکتے ہیں۔

مثال12  مندرجہ ذیل تقسیم کے لئے درمیانہ،عدم مطابقت اور معیاری انحراف معلوم کیجئے۔

90–100  80–90  70–80  60–70  50–60  40–50  30–40 Classes

2                3          8         15        12          7          3 Frequency

حل  مان لیجئے مانا ہوا درمیانہ.65=Aیہاں10=h

دئے ہوئے آنکڑوں سے ہم نے مندرجہ ذیل جدول 15.11حاصل کیا ہے۔

                       مشق15.2                                            

مشق1 تا5 میں ہر ایک آنکڑے کے لئے درمیانہ اور عدم مطابقت معلوم کیجئے

 .1 ۔

    6, 7, 10, 12, 13, 4, 8, 12  

.2پہلے n طبعی اعداد کیلئے

.3پہلے 3،10 کے اضعاف کے لئے

.4

.6مختصر طریقہ کا استعمال کرکے درمیانہ اور معیاری انحراف معلوم کیجئے۔

68 67 66 65 64 63 62 61 60

5 4 10 12 25 29 12 1 2

.7مشق 7 اور8 میں مندرجہ ذیل تواتر تقسیم کے لئے درمیانہ اور عدم مطابقت معلوم کیجئے۔

180-210 150-180 120-150 90-120 60-90 30-60 0-30  Classes

2 5 3 10 5 3 2 Frequencis

.8

40-50 30-40 20-30 10-20  0-10 Classes

6 16 15 8 5 Frequencies

.9مختصر طریقہ کا استعمال کرکے درمیانہ،عدم مطاقت اور معیاری انحراف معلوم کیجئے۔

110-115 105-110 100-105 95-100 90-95 85-90 80-85 75-80 70–75 H in

3 6 6 9 15 7 7 4 3 No.ch

.10نیچے ایک ڈیزائن میں کھینچے گئے دائروں کے قطر(mmمیں)دئے گئے ہیں۔

49-52 45-48 41-44 37-40 33-36 Diameters

25 22 21 17 15 No of circl.

دائروں کا درمیانہ قطر اور معیاری انحراف معلوم کیجئے۔

]اشارہ پہلے آنکڑوں کو لگاتار بنایئے اسطرح کلاس بنا کر

 32.5–36.5,36.5–40.5,40.5–44.5,44.5–48.5,48.5–52.5   

        اور پھر آگے بڑھیں[     

15.6تواتر تقسیم کاتجزیہ  (Analysis and Frequency Distributions)  

پچھلے سیکشن میں ہم انتشار کو ناپنے کے کچھ طریقوں کے بارے میں پڑھ چکے ہیں۔درمیانہ انحراف اور معیاری انحراف کی یکساں اکائیاں ہیں جن میں دئے ہوئے آنکڑے ہیں۔ہم جب بھی دو سلسلئی کی یکساں درمیانہ کے ساتھ متغیر کا موازنہ کرنا چاہتے ہیں،جو کہ مختلف اکائیوں میں سے ناپا جاتا ہے،ہم صرف انتشار کی پیمائش کو ہی نہیں نکالتے بلکہ ہمیں وہ پیمانے درکار ہیں جن میں اکائیاں نہیں ہوتیں۔متغیر کی وہ پیمائش جو اکائیوں سے مبرّا ہے عدم مطابقت کا ضریب کہلاتا ہے (جسے cvسے ظاہر کیا جاتا ہے)

عدم مطابقت کے ضریب کو اس طرح بیان کر تے ہیں۔

جہاںآنکڑوں کے معیاری انحراف اور درمیانہ ہیں۔

دو سلسلئی کے متغیر یا انتشار کا موازنہ کرنے کے لئے،ہم ہر سلسلئی کے لئے عدم مطابقت کا ضریب (Coefficient of Variance) حل کرتے ہی۔جس سلسلئی کا  C.V.بڑا ہوتا ہے،کہا جاتا ہے کہ وہ دوسروں سے زیادہ تغیر پذیر ہوتی ہے۔جس سلسلئی کا  C.V.چھوٹا ہوتا ہے کہا جاتا ہے کہ وہ دوسروں سے زیادہ استقلال پذیر (Consistant) ہوتی ہے۔

15.6.1 مساوی درمیانہ والے دو تواتر تقسیموں کا موازنہ (Comparison of two frequency distributions with same mean)

  مان لیجئےپہلی تقسیم کے درمیانہ اورمعیاری انحراف ہیں، اوردوسری تقسیم کے درمیانہ اور معیاری انحراف ہیں۔

(1)اور(2)سے یہ صاف ہے کہ صرفاورکی قدروں کی بنیادپر دوc.v'sکاموازنہ کیا جا سکتا ہے اسطرح ہم کہتے ہیں کہ دو برابر درمیانہ والی سلسلئی،جس سلسلئی کا معیاری انحراف (یا عدم مطابقت)بڑا ہے زیادہ تغیر پذیر ہے یا انتشار حاصل کئے ہوئے ہے اورساتھ ہی جس سلسلئی کے معیاری انحراف(یا عدم مطابقت )کی قدر کم ہے دوسری سلسلئی سے زیادہ استقلال پذیر ہے۔

ہمیں مندرجہ ذیل مثالیں لینی چاہئیں:

مثال13ایک فیکٹری کے دو پلانٹ Aاور Bاپنے مزدوروں کی تعداد اور انہیں دی گئی تنخواہوں کے ذیل نتیجے دکھاتے ہیں 

               B                     A       

        6000                    5000                       مزدوروںکی تعداد

        Rs 2500           Rs 2500                         اوسط مہینے وار تنخواہیں

         100                        81                             تنخواہوں کی تقسیم کی عدم مطابقت

کس پلانٹ میںAیا Bمیں انفرادی تنخواہوں میں زیادہ تغیر ہے؟

حل پلانٹ Aمیں تنخواہوں کی تقسیم میں عدم مطابقت 

اس لئے پلانٹ Aمیں تنخواہوںکی تقسیم میں معیاری انحراف 

ساتھ ہی پلانٹBمیں تنخواہوں کی تقسیم میں انحراف

اسلئے پلانٹAمیں تنخواہوںکی تقسیم میں معیاری انحراف 

کیونکہ دونوں پلانٹ میں اوسطاً مہینہ وار تنخواہیں برابر ہیں یعنی 2500روپیے،اس لئے ،وہ پلانٹ جس میں معیاری فرق زیادہ ہے متغیر (Varibility) بھی زیادہ ہو گی۔

اس طرح، پلانٹ Bانفرادی تنخواہوں کے نظریئے سے زیادہ تغیر پذیر ہے۔

مثال14  دو تقسیم کے عدم مطابقت کے ضریب 60اور70ہے اور ان کے معیاری انحراف بالترتیب 21اور16ہیں۔ ان کے حسابی درمیانہ کیا ہیں؟

حل دیا ہوا ہے۔

( پہلی تقسیم ) C.V.

(دوسری تقسیم ) C.V.

مان لیجئے پہلی اور دوسری تقسیم کے درمیانہ بالترتیب ہیں تب 

مثال15  گیارویں کلاس کے ایک سیکشن کے متعلقہ طلباء کی اونچائی اور وزن کے حساب کی قدریں مندرجہ ذیل ہیں۔

وزن اونچائی

کیا ہم کہہ سکتے ہیں کہ وزن اونچائی سے زیادہ تغیر پذیر ہیں ؟

حل تغیر کا موازنہ کرنے کے لیے ہمیں ان کے عدم مطابقت کے ضریب کا حساب لگانا ہے۔

دیا ہوا ہے اونچائی کی عدم مطابقت =    

اس لیے اونچائی کا معیاری انحراف=  

ساتھ ہی وزن کی عدم مطابقت =  

اس لیے وزن معیاری انحراف =  

اب، فرق کے ضریب (C. V.)دیئے گئے ہیں۔

100×معیاری انحراف

        درمیانہ =  اونچائی میں (C.V.)

صاف طور پر وزن میںC.V.بڑاہے اونچائی میں C.V.سے۔ 

اس لیے ، ہم کہہ سکتے ہیں کہ وزن زیادہ تغیر پذیر ہے اونچائی سے۔

مشق 15.3 

.1 نیچے دیئے ہوئے آنکڑوں سے دکھایئے کہ کون سا گروپ AیاBزیادہ تغیر پذیر ہے؟

70-80 60-70 50-60 40-50 30-40 20-30 10-20 Marks

9 10 40 33 32 17 9 Group A

7 15 43 25 30 20 10 Group B

.2 نیچے دیئے گئے حصے (Shares) xاورyکی قیمتوں سے معلوم کیجئے کہ قدریں کون زیادہ بھروسے مند ہے۔

49 51 50 52 58 56 53 52 54 35 X

101 104 103 104 107 106 105 105 107 108 Y

.3   دو فرم AاورBکے مزدوروں کی ماہانہ تنخواہ کی تحلیل (توڑا گیا) کی گئی ، جو ایک ہی ضعت کے ہیں۔ مندرجہ ذیل نتائج دیتے ہیں۔

فرمA فرمB

تنخواہ پانے والوں کی تعداد 586 648

ماہانہ تنخواہوں کا درمیانہ Rs 5253 Rs 5253

تنخواہوں کی عدم مطابقت 100 121

(i)کون سی فرم Aیا Bماہانہ تنخواہوں کے لیے زیادہ پیسہ دیتی ہے؟

(ii) کون سی فرمAیا Bانفرادی تنخواہوں میں زیادہ تغیر (Variability) دکھاتی ہے؟

.4 ٹیم Aکے ذریعے ایک فٹ بال اجلاس (Session)میں اکسور کیئے گئے لوگوں کے ریکارڈ مندرجہ ذیل ہیں۔

4 3 2 1 0 اسکور کیئے گئے لوگوں کی تعداد

3 5 7 9 1 میچوں کی تعداد

ٹیمB کے لیے، ایک میچ میں اسکور کیئے گئے گولوں کا درمیانہ 2،اور معیاری انحراف1.2گول تھا۔ معلوم کیجئے کہ کون سی ٹیم کو زیادہ قابلِ اعتبار سمجھا جانا چاہیے؟

.5   پودوں کی پیداوار میں50پودوں لمبائی x(سینٹی میٹرمیں) اور وزنy(گرام میں ) کے مجموعے اور مربعوں کے مجموعے کے بالترتیب نیچے دیئے گئے ہیں:

کون زیادہ تغیر پذیر ہے، لمبائی یا وزن میں؟

متفرق مثالیں

مثال16  20مشاہدات کی عدم مطابقت 5ہے۔ اگر ہر مشاہدے کو 2سے ضرب کیا گیا ہو، نتیجتاّ مشاہدات کی نئی عدم مطابقت (Variance) معلوم کیجئے۔

حل مان لیجئے مشاہدے ہیں اور انکا درمیانہ ہے۔ دیا ہوا ہے عدم مطابقت= 5اور20  =  n ۔ ہم جانتے ہیں کہ

نوٹ پڑھنے والے کو یہ نوٹ کر لینا چاہیے کہ اگر ہر ایک مشاہدے کو ایک مستقل 'k'سے ضرب کیا جائے نتیجتا مشاہدوں کیعدم مطابقت (Variance) اصل تبدیی کامرتبہ ہو جائے گا۔

مثال17  5مشاہدوں کا درمیانہ 14.4 ہے اور ان کی عدم مطابقت8.24 ہے۔ اگر تین مشاہدے 1،2اور6ہیں، دوسرے دو مشاہدے معلوم کیجئے۔

حل  مان لیجئے دو مشاہدےxاور yہیں۔

اس لیے سلسلی ٔ  ہے۔

(2) اور(3) سے، ہمارے پاس ہے۔

(4) کو (2) سے تفریق کرنے پر، ہمیں حاصل ہوتا ہے۔

اس لیے، (1) اور (5) سے ہمیں حاصل ہوتا ہے۔

اس لیے بقیہ مشاہدے 4اور 9 ہیں۔

مثال18 اگر ہر ایک مشاہدےکو'a'سے بڑھا یا جائے جہاں'a'منفی یا مثبت عدد ہے، دکھایئے کہ عدم مطابقت(Variance)بغیر تبدیلی ہوئے رہ جاتی ہے۔

حل مان لیجئے ہے۔ تب عدم مطابقت(Variance)اسی طرح دی گئی ہے۔

اگر ہر ایک مشاہدے میں 'a'جمع کیا جائے ، نئے مشاہدے ہوں گے۔

مان لیجئے نئے مشاہدوں کا درمیانہ ہے۔ تب 

اس لیے نئے مشاہدوں کی عدم مطابقت (Variance)

اس طرح، نئے مشاہدوںکی تبدیلی اسل مشاہدوں کیعدم مطابقت جیسی ہے۔

نوٹ ہم یہ نوٹ کر سکتے ہیں جمع کرنا ( یا گھٹانا) ایک مثبت عدد کا( یا سے) ایک گروپ کے ہر مشاہدے میں تبدیلی بے اثر نہیں ڈالتا ۔

مثال19  100مشاہدات کا درمیانہ اور معیاری انحراف حساب لگانے پر بالترتیب 40اور5.1 ہے ایک طالب علم کے ذریعے جس نے غلطی سے ایک مشاہدہ40 کی بجائے 50لے لیا بتائیے۔ صحیح درمیانہ اور معیاری انحراف کیا ہیں؟

حل  دیا ہو ا ہے کہ مشاہدوں کی تعداد (n)۔ = 100 

غلط درمیانہ =   40 

یعنی مشاہدوں کا غلط جوڑ  =    4000 

اس طرح مشاہدوں کا صحیح مجموعہ =  40  +   50-    غلط مجموعہ

4000  –50+40 =3990

اس لیے، صحیح درمیانہ   

اس لیے صحیح معیاری انحراف

 باب15پر متفرق مشق

.1 آٹھ مشاہدات کا درمیانہ اور عدم مطابقت بالتریب 9اور9.25 ہیں۔ اگر چھ مشاہدے 8،7،6، 10 ،12،12اور13ہیں، باقی دو مشاہدے معلوم کیجئے۔

.2 7مشاہدات کا درمیانہ اورعدم مطابقت بالترتیب8 اور16ہیں۔ا گر پانچ مشاہدے 12,10,4,2اور14ہیں۔ باقی دو مشاہدات معلوم کیجئے۔

.3 چھ مشاہدات کا درمیانہ اور معیاری انحراف بالترتیب 18اور4ہیں اگرہر مشاہدے کو 3سے ضرب کیا جائے ، نتیجتا مشاہدات کا نیا درمیانہ اور معیاری انحراف معلوم کیجئے۔

.4 nمشاہدات کا درمیانہ اور عدم مطابقت دی ہوئی ہے۔ ثابت کیجئے کہ مشاہداتکا درمیانہ اور عدم مطابقت بالترتیب 

.5 20مشاہدوں کا درمیانہ اور معیاری انحراف بالترتیب 10اور 2حاصل ہوا ہے۔ دوبارہ جانچ کرنے پر، یہ حاصل ہوا کہ ایک مشاہدہ 8غلط تھا۔ ذیل ہر ایک کیس میں صحیح درمیانہ اور معیاری انحراف کا حساب لگایئے۔

(i)اگر غلط چیز نکال دی جائے (ii) اگر اسے12سے بدل دیا جائے۔

.6 تین مضمون ریاضی ، فزکس اور کیمسٹری میں ایک کلاس میں50طلباء کے ذریعے حاصل شدہ نمبروں کے درمیانہ اور معیاری

 فرق نتیجے دیئے گئے ہیں۔

مضمون ریاضی فزکس کیمسٹری

درمیانہ 42 32 40.9

معیاری فرق 20 15 20

تینوں مضمونوں میں کون سا مضمون نمبروں میں سب سے زیادہ تغیر پذیر ہے اور کون سب سے کم تغیر پذیر ہے؟

.7 100مشاہدات کا درمیانہ اور معیاری انحراف بالترتیب 20اور3ہے ۔ بعد میں یہ پایا گیا کہ تین مشاہدے غلط ہیں، 

جو کہ 21،21اور 18پائے گئے۔ اگر غلط مشاہدات کو نکال دیا جائے تو درمیانہ اور معیاری فرق معلوم کیجئے۔