باب 16

احتمال

  (Probability)

ریاضی کے استدلال ہوتے ہوئے کسی اور ذریعہ کا استعمال بالکل ایسا ہی ہے جیسے ہاتھ میں چراغ ہوتے ہوئے کسی شئے کو تاریکی میں ٹٹولنا۔جون آربیوتھ ناٹ

(JOHN ARBUTHNOT)

  16.1تعارف  (Introduction)

گزشتہ جماعتوں میں ہم نے احتمال کے تصور کا مطالعہ مختلف معاملوں میں غیر یقینی صورتحال کی پیمائش کے طور پر کیا ہے۔ ہم نے کسی پانسے کو پھینکنے پر ایک جفت عدد کے حاصل ہونے کا احتمال پایا تھا۔ یہاں کل ممکنہ نتائج (outcomes) 1، 2، 3، 4، 5 اور 6 ہیں (جن کی تعداد چھ ہے)۔ واقعہ ایک جفت عدد حاصل کرنا، کے مواقع نتائج 2، 4، 6 (یعنی تین اعداد) ہیں۔ عمومی طور پر کسی واقعہ کا احتمال معلوم کرنے کے لئے ہم واقعہ کے موافق نتائج کی تعداد کی کل نتائج کی تعداد کے ساتھ نسبت معلوم کرتے ہیں۔ احتمال کے اس اصول کو احتمال کا کلاسیکی اصول (Classical Theory of Probability) کہتے ہیں۔

نویں جماعت میں ہم نے احتمال کو مشاہدات اور جمع شدہ اعداد و شمار کی بنیاد پر معلوم کرنا سیکھا ہے۔ اسے احتمال کی شماریاتی طرز رسائی (Statistical Approach) کہتے ہیں۔

ان دونوں اصولوں میں کچھ سنجیدہ مسئلے بھی شامل ہیں۔ مثال کے طور پر ان اصولوں کا اطلاق ان سرگرمیوں /تجربات پر نہیں کیا جاسکتا جہاں ممکنہ نتائج کی تعدادلامتناہی ہو۔ کلاسیکی اصول میں ہم سبھی ممکنہ نتائج کی برآمدگی مساوی تصور کرتے ہیں۔ یاد کیجیے کہ نتائج کی برآمدگی کو اس وقت مساوی کہا جاتا ہے جب ہمارے پاس اس بات پر یقین کرنے کی کوئی وجہ نہ ہو کہ ایک نتیجے کے برآمد ہونے کا امکان دوسرے سے زیادہ ہے۔ بالفاظ دیگر ہم یہ مانتے ہیں کہ سبھی نتائج کے برآمد ہونے کا امکان (احتمال) مساوی ہے۔ لہٰذا ہم نے احتمال کی تعریف کرنے کے لیے مساوی طور پر آمد ہونے والے یا مساوی ممکنہ نتائج کا استعمال کیا ہے۔ منطقی اعتبار سے یہ تعریف درست نہیں ہے۔ اس لیے روس کے ریاضی داں A.N.Kolmogorove نے احتمال کے ایک اور اصول پیش کیا۔ انہوں نے 1933 میں شائع ہونے والی اپنی کتاب احتمال کی بنیاد (Faundation of Probability) میں احتمال کی ترجمانی کے لیے کچھ بدیہات (axioms) متعین کیے۔ اس باب میں ہم احتمال کے اسی بدیہی نظریے (axiomatic approach of probability) کا مطالعہ کریں گے۔ اس نظریے کو سمجھنے کے لیے کچھ بنیادی اصطلاحات کو جاننا ضروری ہے مثلاً بلامنصوبہ تجربات (random experimant)، سیمپل اسپیس، واقعات (events) وغیرہ۔ آئیے ذیل میں ان کا مطالعہ کرتے ہیں۔

16.2  بلامنصوبہ تجربات  (Random Experiments)

روزمرہ کی زندگی میں ہم ایسی کئی سرگرمیاں انجام دیتے ہیں جن کے نتائج ہمیشہ ایک ہی ہوتے ہیں بھلے ہی انہیں کتنی مرتبہ کیوں نہ دوہرایا جائے۔ مثال کے طور پر کسی دیے ہوئے مثلث کے زاویوں کی قدر نہ جانتے ہوئے بھی ہم یقین کے ساتھ کہہ سکتے ہیں کہ زاویں کا حاصل جمع180º ہوگا۔

ہم اس قسم کی بھی کئی تجرباتی سرگرمیاں انجام دیتے ہیں جنہیں یکساں حالات میں دوہرانے پر بھی ایک جیسے نتائج برآمد نہیں ہوتے۔ مثال کے طور پر جب ایک سکے کو اچھالا جاتا ہے تو ہیڈ (head) آسکتا ہے یا ٹیل (tail) آسکتا ہے۔ لیکن ہم یہ یقین کے ساتھ نہیں کہہ سکتے کہ اصل نتیجہ ان دونوں میں سے کیا ہوگا؟ اس قسم کے تجربات کو بلامنصوبہ تجربات کہا جاتا ہے۔ لہٰذا ایک تجربہ اس وقت بلامنصوبہ تجربہ کہلاتا ہے جب یہ مندرجہ ذیل دو شرائط کو مطمئن کرتا ہو۔

(i)   اس کے ایک سے زیادہ ممکنہ نتائج ہوں

(ii)   تجربہ مکمل ہونے سے پہلے نتیجے کی پیشن گوئی ممکن نہ ہو

جانچ کیجیے کہ پانسہ پھینکنے کا تجربہ بلامنصوبہ تجربہ ہے یا نہیں؟

اس باب میں ہم بلامنصوبہ تجربے کو صرف تجربہ کہیں گے جب تک کہ کہا نہ جائے۔ 

16.2.1  نتائج اور سیمپل اسپیس-  کسی بلامنصوبہ تجربے کے کسی ممکنہ حاصل کو نتیجہ کہتے ہیں

ایک پانسہ پھینکنے کے تجربے پر غور کیجیے۔ اگر ہم اس کے بالائی رخ پر درج شدہ نقطوں کی تعداد میں دلچسپی رکھتے ہیں تو تجربہ کے نتائج 1، 2، 3، 4، 5 یا 6 ہیں۔ سبھی نتائج کا سیٹ {1,2,3,4,5,6{ اس تجربہ کا سیمپل اسپیس (Sample Space) کہلاتا ہے۔

لہٰذا کسی بلامنصوبہ تجربہ کے سبھی ممکنہ نتائج کا سیٹ اس تجربہ کا سیمپل اسپیس کہلاتا ہے۔ سیمپل اسپیس کو علامت S سے ظاہر کرتے ہیں۔

سیمپل اسپیس کا ہر ایک عنصر سیمپل پوائنٹ (Sample Point) کہلاتا ہے۔ بالفاظ دیگر، بلامنصوبہ تجربہ کا ہر ایک نتیجہ بھی سیمپل پوائنٹ کہلاتا ہے۔

آئیے کچھ مثالوں پر غور کرتے ہیں۔

مثال 1 دوسکوں (ایک 1روپے کا اور دوسرا 2 روپے کا) کو ایک مرتبہ اچھالا گیا ہے۔ سیمپل اسپیس معلوم کیجیے۔

حل   صاف ہے کہ سکے اس معنیٰ میں ایک دوسرے سے مختلف ہیں کہ ہم انہیں پہلا سکہ اور دوسرا سکہ کہہ سکتے ہیں۔ کیونکہ دونوں سکوں میں سے کسی پر بھی ہیڈ (H) یا ٹیل (T) ظاہر ہوسکتے ہیں۔ اس لیے ممکنہ نتائج مندرجہ ذیل ہوسکتے ہیں۔

دونوں سکوں پر ہیڈ =  H,H)=HH)

پہلے سکے پر ہیڈ اور دوسرے سکے پر ٹیل = H,T)=HT)

پہلے سکے پر ٹیل اور دوسرے سکے پر ہیڈ=   T,H)=TH)

دونوں سکوں پر ٹیل= T,T)=TT)

اس طرح، سیمپل اسپیس مندرجہ ذیل ہوگا {S={HH,HT,TH,TT

تجربے کے نتائجH اور T کے ترتیبی جوڑے ہیں۔ آسانی کے لیے ترتیبی جوڑوں میں سے Commas ہٹادیے گیے ہیں۔

حل  مان لیجیے کہ نیلے رنگ کے پانسے پر 1 اور سرخ رنگ کے پانسے پر 2 ظاہر ہوتا ہے۔ ہم اس نتیجے کو ترتیبی جوڑے (1,2) سے ظاہر کرتے ہیں۔ اسی طرح اگر نیلے پانسے پر 3 اور سرخ پانسے پر 5 ظاہر ہوتا ہے تو اس نتیجے کو (3,5) سے ظاہر کرتے ہیں۔

عمومی شکل میں ہر ایک نتیجے کو ترتیبی جوڑے (x,y) سے ظاہر کیا جاسکتا ہے جہاں x نیلے رنگ کے پانسے پر اور y  سرخ رنگ کے پانسے پر ظاہر ہونے والا عدد ہے۔ لہٰذا سیمپل اسپیس مندرجہ ذیل ہے:

{ x نیلے پانسے پر ظاہر ہوانے والا عدد ہے اور y سرخ پانسے پر ظاہر ہونے والا عدد ہے:

 S={(x,y) 

اس سیمپل اسپیس کے عناصر کی تعداد 36=6x6xہے اور سیمپل اسپیس مندرجہ ذیل ہے۔

{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6),

(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6),

(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}

مثال3 مندرجہ ذیل ہر ایک تجربے کے لیے مناسب سیمپل اسپیس بتائیے:

(i) ایک لڑکے کی جیب میں ایک 1 روپیہ، ایک 2 روپے اور ایک 5 روپے کا سکہ ہے۔ وہ اپنی جیب سے ایک کے

بعد ایک دو سکے نکالتا ہے۔

(ii)  کوئی شخص کسی مصروف شاہراہ پر ایک سال میں ہونے والے حادثات کی تعداد نوٹ کرتا ہے۔

حل  (i) مان لیجیے Q ایک روپیہ کے سکے کو، H  2 روپے کے سکے کو اور R  5 روپے کے سکے کو ظاہر کرتے ہیں۔ اس کے ذریعہ جیب سے نکالا گیا پہلا سکہ تین سکوں میں سے کوئی بھی ایک سکہ Q، H یا R ہوسکتا ہے۔ پہلے سکے Q کے نظیری دوسری مرتبہ نکالا گیا سکہ H یا R ہوسکتا ہے۔ لہٰذا دو سکے نکالنے کے نتیجہ QH یا QR ہوسکتا ہے۔ اسی طرح H کے نظیری دوسری مرتبہ نکالا گیا سکہ Q یا R ہوسکتا ہے، اس لیے نتیجہ HQ یا HR ہوسکتا ہے۔ بالآخر R کے نظیری دوسری مرتبہ نکالا گیا سکہ H یا Q ہوسکتا ہے اس لیے نتیجہ RH یا RQ ہوگا۔

اس طرح سیمپل اسپیس

S={QH,QR,HQ,HR,RH,RQ}

(ii)  کسی مصروف شاہراہ پر حادثات کی تعداد 0 (جب کوئی بھی حادثہ نہ ہو) یا 1 یا 2 یا کوئی بھی مثبت صحیح عدد ہوسکتی ہے۔

لہٰذا اس تجربے کے لیے سیمپل اسپیس

S={0,1,2,...}

مثال 4 ایک سکہ اچھالا جاتا ہے۔ اگر اس پر ہیڈ نظر آئے تو ہم ایک تھیلی، جس میں 3 نیلی اور 4 سفید گیندیں ہیں، میں سے ایک گیند نکالتے ہیں۔ اگر سکے پر ٹیل نظر آئے تو ہم ایک پانسہ پھینکتے ہیں۔ اس تجربے کا سیمپل اسپیس بیان کیجیے۔

حل  مان لیجیے ہم نیلی گیندوں کو B3،B2، B1، اور اور سفید گیندوں کوW3،W2، W1، اور W4 ے ظاہر کرتے ہیں۔ اس تجربے کا سیمپل اسپیس

S={HB1, HB2, HB3, HW1,HW2,HW3, T1, T2, T3, T4, T5, T6}

یہاں HB1 کا مطلب ہے کہ سکے پر ہیڈ ہے اور گیندB1 نکالی گئی ہے۔HW1 کا مطلب ہے کہ سکے پر ہیڈ ہے اور گیندW1نکالی گئی ہے۔ اسی طرح TI کا مطلب ہے کہ سکے پر ٹیل ہے اور پانسے پر عدد 1 ظاہر ہوا ہے۔

مثال5  ایک ایسے تجربے پر غور کیجیے جس میں کسی سکے کو بار بار اس وقت تک اچھالا جاتا ہے جب تک کہ اس پر ہیڈ ظاہر نہ ہوجائے۔ سیمپل اسپیس بیان کیجیے:

حل  اس تجربے میں ہیڈ پہلے اچھال یا دوسرے اچھال یا تیسرے اچھال وغیرہ میں سے کسی میں بھی ظاہر ہوسکتا ہے۔ لہٰذا مطلوبہ سیمپل اسپیس

S={H,TH,TTH,TTTH,TTTTH,...}

مشق 16.1

مندرجہ ذیل سوال 1تا7 میں ہر ایک کا سیمپل اسپیس معلوم کیجئے:

1. ایک سکے کو تین مرتبہ اچھالا جاتا ہے۔

2. ایک پانسے کو دو مرتبہ پھینکا گیا ہے۔

3. ایک سکہ چار مرتبہ اچھالا گیا ہے۔

4. ایک سکہ اچھالا گیا ہے۔

5. ایک سکہ اچھالا جاتا ہے اور صرف اس وقت جب سکے پر ہیڈ ظاہر ہوتا ہے تو ایک پانسہ پھینکا جاتا ہے۔

6. کمرہ Xمیں 2لڑکے اور 2لڑکیا ں ہیں۔ کمرہ]Yمیں 1لڑکا اور 3لڑکیاں ہیں اس تجربے کا سیمپل اسپیس معلوم کیجئے جس میں پہلے ایک کمرہ منتخب کیا جاتا ہے اور پھر ایک بچہ منتخب کیا جاتا ہے۔

7. ایک پانسہ سرخ رنگ گا ، ایک سفید رنگ کا اور ایک نیلے رنگ کا ایک تھیلے میں رکھے ہوئے ہیں۔ ایک پانسہ بلا منصوبہ منتخب کیا گیا اور اسے پھینکا گیا ہے۔پانسے کا رنگ اور اس کے رخ پر ظاہر ہونے والے عدد کو لکھا گیا ہے۔ سیمپل اسپیس معلوم کیجئے۔

8. ایک تجربے میں 2بچوں والی فیملی میں سے ہر ایک میں لڑکے۔ لڑکیوں کی تعداد کو لکھا جاتا ہے۔

(i) اگر ہماری دلچسپی کسی فیملی میں لڑکیوں کی تعداد جاننے میں ہے تو سیمپل اسپیس معلوم کیجئے۔

(ii) اگر ہماری دلچسپی کسی فیملی میں لڑکیوں کی تعداد جاننے میں ہے تو سیمپل اسپیس معلوم کیجئے۔

9. کسی ڈبے میں ایک سرخ اور ایک جیسی 3سفید گیندیں رکھی ہوئی ہیں دو گیند ین یکے بعد دیگرے (in succession)تبدیل کیے بغیربلا منصوبہ نکالی جاتی ہے۔ اس تجربے کا سیمپل اسپیس معلوم کیجئے ۔

10. ایک تجربے میں کسی سکے کو اچھالا جاتا ہے اور اگر اس پر ہیڈ ظاہر ہوتا ہے تو اسے دوبارہ اچھالا جاتا ہے۔ اگر پہلی مرتبہ اچھالنے پر ٹیل ظاہر ہوتا ہے تو ایک پانسہ پھینکا جاتا ہے۔ سیمپل اسپیس معلوم کیجئے۔

11. مان لیجئے کہ بلبلوں کے ایک ڈھیر میں سے 3بلب بلا منصوبہ نکالے جاتے ہیں ہر ایک بلب کی جانچ کی جاتی ہے اور اسے خراب (D) یا صحیح(N)میں درجہ بند کیا جاتا ہے۔ اس تجربے کا سیمپل اسپیس معلوم کیجئے ۔

12. ایک سکہ اچھالا جاتا ہے۔ اگر نتیجہ ہید ہو تو ایک پانسہ پھینکا جاتا ہے۔ اگر پانسے پر ایک جفت عدد ظاہر ہوتا ہے تو پانسے کو دوبارہ پھینکا جاتا ہے۔ اس تجربے کاسیمپل اسپیس معلوم کیجئے۔

13. کاغذ کی چارپر چیوں پر اعداد1، 2،3اور 4علیحدہ علیحدہ لکھے ہوئے ہیں ان پر چپوں کو ایک ڈبے میں رکھ کر اچھی طرح سے ملا یا گیا ہے۔ ایک شخص ڈبے میں سے دو پر چیاں ایک کے بعد دوسرے بغیر تبدیل کیے ہوئے نکالتا ہے۔ اس تجربے کا سیمپل اسپیس معلوم کیجئے۔

14. کسی تجربے میں ایک پانسہ پھینکا جاتا ہے۔ اگر پانسے پر ظاہر ہونے والا عدد جفت ہے تو ایک سکہ ایک مرتبہ اچھالا گیا ہے اگر پانسے ہونے والا عدد طاق ہے تو سکے کو دو مرتبہ اچھالتے ہیں۔سیمپل اسپیس معلوم کیجئے۔

15. ایک سکہ اچھالا گیا۔ اگر اس پر ٹیل آتا ہے تو ایک ڈبے میں سے جس میں جو سرخ اور 3کالی گیندیں رکھی ہیں۔ ایک گیند نکالتے ہیں۔ اگر سکے پر ہیڈ آتا ہے تو ایک پانسہ پھینکا جاتا ہے۔ اس تجربے کا سیمپل اسپیس معلوم کیجئے۔

16. ایک پانسہ بار بار اس وقت تک پھینکا جاتا ہے جب تک اس پر 6ظاہر نہ جائے۔ اس تجربے کا سیمپل اسپیس معلوم کیجئے۔

16.3  واقعہ (Event)

ہم نے بلا منصوبہ تجربہ اور اس کے سیمپل اسپیس کا مطالعہ کیا ہے۔ کسی تجربے کا سیمپل اسپیس اس تجربے سے متعلق سبھی سوالات کے لیے آفاقی سیٹ (Universal Set)ہوتا ہے۔

ایک سکے کو دو مرتبہ داچھالنے کے تجربے پر غور کیجئے ۔ متعلقہ سیمپل اسپیس  {HH,HT,TH,TT}  ہے۔

اب مان لیجئے کہ ہماری دلچسپی ان نتائج میں ہے جو ایک ہیڈ ظاہرنے ہونے کے نظیری ہیں۔ ہم دیکھتے ہیں کہ اس واقع کے ہونے کے نظیری Sکے عناصر صرف HTاور THہیں۔ یہ دو عناصر ایک سیٹ {HT,TH}تشکیل دیتے ہیں۔ 

ہم جانتے ہیں کہ سیٹ Eسیمپل اسپیس Sکا ذیلی سیٹ ہے۔ اسی طرح ہم دیکھتے ہیں کہ مختلف واقعات اور Sکے ذیلی سیٹ مندرجہ ذیل طریقے سے ایک دوسرے کے نظیری ہیں۔

واقعہ کا بیان 'S'کا نظیری ذیلی سیٹ

ٹیل کی تعداد ٹھیک2ہے۔ {TT}

ٹیل کی تعدادکم سے کم 1ہے۔ {HT,TH,TT}

ہیڈ کی تعداد زیادہ سے زیادہ 1ہے۔ {HT,TH,TT}

دوسرے اچھال میں ہیڈ نہیں ہے۔ {HT,TT}

ٹیل کی تعداد زیادہ زیادہ 2ہے۔ {HH,HT,TH,TT}

ٹیل کی تعداد 2سے زیادہ ہے۔

مذکورہ بالا سیٹ سے یہ بات واضح ہو جاتی ہے کہ سیمپل اسپیس کے کسی ذیلی سیٹ کے نظیری ایک واقعہ ہوتا ہے اور کسی واقعہ کے نظیری سیمپل اسپیس کا ایک ذیلی سیٹ ہوتا ہے۔ اس تناظر میں ایک واقعہ کی تعریف مندرجہ ذیل طریقے سے کی جاتی ہے۔

تعریف سیمپل اسپیس S کا کوئی ذیلی سیٹ ایک واقعہ (event )کہلاتا ہے۔

16.3.1  واقعہ پیش آنا (Occurrence of an event)

ایک پانسہ پھینکنے کے تجربے پر غور کیجئے۔ مان لیجئے کہ ایک واقعہ ’پانسے پر 4سے چھوٹا عدد ظاہر ہونا‘کو Eسے ظاہر کیا جاتا ہے۔ اگر پانسے پر حقیقت میں '1'ظاہر ہوتا ہے تو ہم کہہ سکتے ہیں کہ واقعہEپیش آیا ہے۔اگر نتیجہ 2یا 3ہے تو ہم کہتے ہیں کہ واقعہ Eپیش آیا ہے۔

لہٰذا کسی تجربے کے سیمپل اسپیس Sکا واقعہ Eپیش آیا ہے، کہا جاتا ہے اگر تجربے کا نتیجہ اس طرح ہے کہ اگر نتیجہ اس طرح ہے کہ توہم کہتے ہیں کہ واقعہ Eپیش نہیں آیا ہے۔

16.3.2  واقعات کی اقسام (Types of events)

واقعات کی ان کے عناصر کی بنیاد پر مختلف اقسام میں درجہ بندی کی گئی ہے۔ 

1.  ناممکن اور یقینی واقعات (Impossible and sure Events)

خالی سیٹ  ∅  اور سیمپل اسپیس Sبھی واقعات کو ظاہر کرتے ہیں۔ در حقیقت ∅کو ناممکن واقعہ اور Sیعنی مکمل سیمپل اسپیس کو یقینی واقعہ کہتے ہیں۔

انھیں سمجھنے کے لیے آیئے پانسے پھینکے کے تجربے پر غور کرتے ہیں۔ اس تجربے کا سیمپل اسپیس

{S={1,2,3,4,5,6

 ہے۔

مان لیجئےE،واقعہ ’پانسے پر ظاہر ہونے والے عدد 7کا ضعف ہے‘ کو ظاہر کرتا ہے۔ کیا آپ واقعہ Eکے نطیری ذیلی سیٹ لکھ سکتے ہیں؟

ظاہر ہے تجربے کو کوئی بھی نتیجہ واقعہ Eکی شرط کو مطمئن نہیں کرتا ہے یعنی سیمپل اسپیس کا کوئی بھی عنصر واقعہ Eکے پیش آنے تیقن نہیں ہے۔ لہٰذا ہم کہہ سکتے ہیں کہ صرف خالی سیٹ ہی واقعہ Eکے نظیری سیٹ ہے۔ بالفاظ دیگر ہم کہہ سکتے ہیں کہ پانسے کے اوپر ی رخ پر 7کے ضعف کا ظاہر ہونا ناممکن ہے۔اس طرح واقعہ E=∅ایک نا ممکن واقعہ ہے۔

آیئے اب ہم ایک اور واقعہ F’پانسے پر آنے والا عدد یا تو جفت ہے یا طاق پر غور کرتے ہیں۔ واضح ہے 

F={1,2,3,4,5,6}=S

یعنی تمام نتائج واقعہ F کے پیش آنے کا تیقن کرتے ہیں۔ لہٰذا F=Sایک یقینی واقعہ ہے۔

2. سادہ واقعہ (Simple Event)

اگر کسی واقعہ Eمیں صرف ایک ہی سیمپل نقطہ ہو تو واقعہ Eکو سادہ (یا ابتدائی) واقعہ کہتے ہیں۔ 

nواضح عناصر پر مشتمل سیمپل اسپیس میں،nسادہ واقعات موجود ہوتے ہیں مثال کے طور پر ایک سکے کے دو اچھال والے تجربے کا سیمپل اسپیس  {HH,HT,TH,TT} ہے۔

یہاں اس سیمپل اسپیس کے نظیری چار سادہ واقعات ہیں جو مندرجہ ذیل ہیں۔

E1={HH},E2= {HT} E3 {TH},E4{TT}

3.  مرکب واقعات (Compound Events)

اگر کسی واقعہ میں ایک سے زیادہ سیمپل نقطے ہوتے ہیں تو اسے مرکب واقعہ کہتے ہیں۔

 مثا ل کے طور پر ایک سکے کے تین اچھال والے تجربے میں مندرجہ ذیل واقعات مرکب واقعات ہیں۔

صرف اور صرف ایک ہیڈ آتا ہے۔ :E

کم سے کم ایک ہیڈآتا ہے۔ :F

زیادہ سے زیادہ ایک ہیڈ آتا ہے۔ :G

ان واقعات کے نظیری Sکے ذیلی سیٹ مندرجہ ذیل ہیں۔

{E={HTT,THT,TTH

{F={HTT,THT, TTH, HHT, HTH, THH, HHH

     {G= {TTT, THT, HTT, TTH

مذکورہ بالا ہر ایک ذیلی سیٹ میں ایک سے زیادہ سیمپل نقطے ہیں اس لیے یہ سب مرکب واقعات ہیں۔

16.3.3  واقعات کا الجبرا (Algebra of Events)

سیٹ کے باب میں ہم نے دو یا دو سے زیادہ سیٹ کے اتحاد کے مختلف طریقوں کا مطالعہ کیا تھا جیسے یونین (Uion)تقاطع(Intersection)، فرق (difference)، سیٹ کا تکملہ (Complement of a set)وغیرہ کے بارے میں پڑھا تھا۔ اسی طرح ہم دو یا زیادہ واقعات کا اتحاد مشابہ سیٹ علامتوں کی مدد سے کر سکتے ہیں ۔

مان لیجئے A،Bاور Cایسے تجربے سے وابستہ واقعات ہیں جس کا سیمپل اسپیس Sہے۔

 1. تکملی واقعہ (Complementary Event)

ہر ایک واقعہ Aکے نظیری ایک اور واقعہ 'A'ہوتا ہے جسے واقعہ Aکا تکملی واقعہ کہتے ہیں۔'A'کو واقعہ A'نہیں ، بھی کہا جاتا ہے۔

مثال کے طور پر ایک سکے کی تین اچھالوں پر غور کیجئے۔ اس کا سیمپل اسپیس 

S = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}

 ہے۔

مان لیجئے

 A={HTH, HHT, THH}

واقعہ ’صرف ایک ٹیل کا ظاہر ہونا،کو ظاہر کرتا ہے۔ نتیجہ HTT کے ہونے پر واقعہ Aپیش نہیں آیا۔ لیکن ہم کہہ سکتے ہیں کہ واقعہA'نہیں ، پیش آتا ہے۔ اس طرح ہر ایک نتیجے کے لیے جو کہ Aمیں نہیں ہے ہم کہتے ہیں کہ Aنہیں، پیش آیا ہے۔ اس طرح واقعہAکے لیے تکملی واقعہ -A'نہیں، یعنی

A' = {HHH, HTT, THT, TTH, TTT}

2.  واقعہ Aیا B ۔(Event A or B)

یاد کیجئے کہ دو سیٹ Aاور Bکا اتحاد(Union) سے ظاہر کیا جاتا ہے جس میں وہ تمام عناصر شامل ہوتے ہیں جو یا تو Aمیں ہیں یا Bمیں ہیں یا دونوں میں ہیں۔

جب سیٹ AاورBکسی سیمپل اسپیس سے وابستہ دو واقعات ہوں تو واقعہ AاورBیا دونوں کو ظاہر کرتا ہے۔ واقعہکو Aیا B، بھی کہا جاتا ہے۔

اس لیے واقعہ  =  B'  یا 'A

3.واقعہ Aاور B ۔(Event A and B)

ہم جانتے ہیں کہ دوسیٹ کا تقاطع A ∪Bوہ سیٹ ہوتا ہے جس میں وہ عناصر ہوتے ہیں جو Aاور Bدونوں میں مشترک ہوتے ہیں یعنی جو Aاور Bدونوں میں ہوتے ہیں ۔

اگر AاورBدو واقعات ہوں تو سیٹA ∪Bواقعہ A'اورB، کو ظاہر کرتا ہے۔

اس طرح

مثا ل کے طور پر ایک پانسے کو دو مرتبہ پھینکنے کے تجربے میں مان لیجئے واقعہ Aپہلی مرتبہ پھینکنے میں عدد 6ظاہر ہوتا ہے، اور واقعہ B’دو مرتبہ پھینکنے پر ظاہر ہونے والے اعداد کا حاصل جمع کم سے کم 11ہوتا ہے‘کو ظاہر کر تے ہیں، تو 

A =  {(6,1), (6,2}, (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}, and  B = {(5,6), (6,5), (6,6)}

اس لیے {(6,5), (6,6)}=A∩B

نوٹ کیجئے کہ سیٹ {(6,6), (6,5)} =A∩Bواقعہ ، پہلی مرتبہ پھینکنے پر6ظاہر ہوتا ہے دونوں مرتبہ پھینکنے پر ظاہر ہونے والے عدد کا کم سے کم حاصل جمع 11ہے، کو ظاہر کرتا ہے۔ 

.4   واقعہ A'لیکن Bنہیں (Event A but not B)

ہم جانتے ہیں کہ A-Bان سبھی عناصر کا سیٹ ہوتا ہے جو Aمیں تو ہیں لیکن Bمیں نہیں ہیں۔ اس لیے، سیٹA –B واقعہ Aلیکن Bنہیں، کو ظاہر کرتا ہے۔ ہم جانتے ہیں کہA-B=A∩B

مثال6 ایک پانسے کو پھینکنے کے تجربے پر غور کیجئے ۔ واقعہ’ ایک مفرد عدد حاصل ہوناـ‘ کوAسے اور واقعہ ’ایک طاق عدد حاصل ہونا‘ کو Bکو ظاہر کیا گیا ہے۔ مندرجہ ذیل واقعات (i)۔ AیاB    (ii)  AاورB   (iii)  Aلیکن Bنہیں   

(iv)۔  -Aنہیں کو ظاہر کرنے والے سیٹ لکھیے۔

.16.3.4  باہمی مستثنیٰ واقعات   (Mutually Exclusive events)

پانسہ پھینکنے کے تجربے کا سیمپل اسپیس{S = {1, 2, 3, 4, 5, 6ہے۔ مان لیجئے 'Aایک طاق عدد کا ظاہر ہونا، اور Bایک جفت عدد کا ظاہر ہونا، کو ظاہر کرتے ہیں۔

ظاہر ہے واقعہA، واقعہ Bکو خارج کر رہا ہے اور اس کے برعکس بھی درست ہے۔ بالفاظ دیگر ، ایسا کوئی نتیجہ نہیں ہے جو واقعہ Aاور Bکے ایک ساتھ پیش آنے کا تیقن کرتا ہے یہاں

{A = {1, 3, 5  اور {B = {2, 4, 6

واضح ہےB=Φ∩یعنی AاورBغیر اتحادی (disjoint) سیٹ میں عمومی طور پر دو واقعات AاورBباہمی مستثنی کہلاتے ہیں اگر ان میں سے کسی ایک کا واقع ہونا دوسرے کے وقوع کو خارج کرتا ہے یعنی وہ ایک ساتھ واقع نہیں ہو سکتے ۔ اس صورت میں AاورBغیر اتحاد ی ہوتے ہیں۔

دوبارہ ، کسی پانسے کو پھینکنے کے تجربے میں واقعہ A’ایک طاق عدد کا ظاہر ہونا‘ اور واقعہ B،4سے چھوٹا عدد ظاہر ہونا‘ پر غور کیجئے۔

صاف ہے {A = {1, 3, 5 اور {B = {1, 2, 3

اب نیز

لہٰذا AاورBباہمی مستثنیٰ نہیں ہیں۔

ریمارک سیمپل اسپیس کے سادہ واقعات ہمیشہ باہمی مستثنی ہوتے ہیں۔

16.3.5 ( Exhaustive events)

پانسے پھینکنے کے ایک تجربے پر غورکیجئے ہم دیکھتے ہیں کہ{ S = {1, 2, 3, 4, 5, 6

آیئے مندرجہ ذیل واقعات کی تعریف بیان کرتے ہیں۔

A:۔ 4'سے چھوٹا عدد ظاہر ہونا‘

B:۔ ’2سے بڑا لیکن 5سے چھوٹا عدد ظاہر ہونا‘

اور C:۔ ’4سے بڑا عدد ظاہر ہونا‘

 اب {B={3,4} 'A={1,2,3 اور {C={5,6

ہم دیکھتے ہیں کہ

A ∪ B  ∪ C= {1,2,3}∪{3,4}∪{5,6}=S.

B،Aاور Cجیسے واقعات Exhaustive events کہلاتے ہیں۔

مجموعی طور پر اگرE1, E2,...,Enکسی سیمپل اسپیس Sکے nواقعات ہیں اور اگر

E1∪E2∪E3∪...En=   Ei=S 

تو E1,E2,...En کو exhaustive events کہاجاتا ہے۔ بالفاظ دیگر واقعاتE1,E2,...En

exhaustive eventsکہلاتے ہیں اگر تجربہ کیئے جانے پر ان میں سے کم از کم واقعہ ضرور پیش آئے۔

مزیدیہ کہ اگر  ہو توواقعات 

 E1,E2,...En

باہمی مستثنی ٰ اور exhaustive eventsکہلاتے ہیں۔

آیئے اب کچھ مثالوں پر غور کرتے ہیں۔

مثال 7 دو پانسے پھینکے جاتے ہیں اور پانسوں پر ظاہر ہونے والے اعداد کا حاصل جمع نوٹ کر لیا جاتا ہے۔ آیئے اس تجربے سے متعلق مندرجہ ذیل واقعات پر غور کرتے ہیں۔

A:   ’حاصل جمع جفت ہے‘

B:   ’حاصل جمع 3کا صفت ہے‘

C:   ’حاصل جمع 4سے کم ہے‘

D:   ’حاصل جمع 11سے زیادہ ہے‘

ان میں سے واقعات کے کون سے جوڑے باہمی مستثنیٰ ہیں۔

حل  سیمپل اسپیس S = {(x, y):  x, y = 1, 2, 3, 4, {5, 6میں 36عناصر ہیں۔

اب

A = {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (4,2),(4, 4),

(4, 6), (5, 1), (5, 3), (5, 5), (6, 2), (6, 4), (6, 6)}

B ={(1,2), (2,1), (1,5), (5,1), (3,3), (2,4), (4,2), (3,6), (6,3), (4,5), (5,4), (6,6)}

 C = {(1, 1), (2, 1), (1, 2)} 

 او ر 

  D = {(6, 6)} 

ہمیں حاصل ہوتا ہے۔

A∩B={1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1), (6,6)}≠Φ

اسی طرح A اورBباہمی مستثنیٰ نہیں ہیں۔

اسی طرحA∩C≠Φ,Φ∩D≠Φ,B∩C≠ΦاورB∩D≠Φ

اسی طرح(B,D)، (A,D)، (A,C)باہمی مستثنیٰ نہیں ہیں۔

نیز

C∩D=Φ

 اس لیے CاورDباہمی مستثنیٰ واقعات ہیں۔

مثال8 کسی سکے کو تین مرتبہ اچھالا جاتا ہے۔ مندرجہ ذیل واقعات پر غور کیجئے 

A:  ’کوئی ہیڈ ظاہر نہیں ہوتا‘،  B:  ’صرف ایک ہیڈ ظاہر ہوتا ہے‘ اور C:  ’کم از کم دو ہیڈ ظاہرہوتے ہیں‘

کیا باہمی مستثنیٰ اور exhaustive eventsکا سیٹ تشکیل دیتے ہیں۔

حل نتیجے کا سیمپل اسپیس 

S = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}

A = {TTT}،  B = {HTT, THT, TTH}  

  اور

 C = {HHT, HTH, THH, HHH}

اب 

A∪B∪C={TTT,HTT,THT,TTH,HHT,HTH,THH,HHH}=S

اس لیے، A، B اورC  exhaustive eventsہیں۔

ساتھ ہی

A∩B=Φ,A∩C=Φ

اور

B∩C=Φ

لہٰذا یہ واقعات جوڑے وار غیر اتحادی ہیں یعنی وہ باہمی مستثنیٰ ہیں۔

اس طرح A،B اور Cباہمی مستثنیٰ اور exhaustive eventsکا سیٹ تشکیل دیتے ہیں۔

مشق :   16.2

1. ایک پانسہ پھینکا جاتا ہے۔ مان لیجئے واقعہ E’پانسے پر عدد4کے ظاہر ہونے ، اور واقعہ F’پانسے پر جفت عدد کے ظاہر ہونے ‘کو ظاہر کرتا ہے۔ کیاEاور Fباہمی مستثنیٰ ہیں؟

2. ایک پانسہ پھینکا جاتا ہے۔ مندرجہ ذیل واقعات کو بیان کیجئے۔

(i)۔   A:  عدد 7سے کم ہے۔ (ii)۔  B:  عدد7سے بڑا ہے۔

(iii)۔  C:  عدد3کا ضعف ہے۔ (iv)۔  D:  عدد 4سے کم ہے۔

(v)۔  E:  جفت عد جو کہ4سے بڑا ہے۔ (vi)۔  F:  عدد3  سے کم نہیں ہے

A∪B,A∩B,E∪F, D∩E,A–C,D–E,F',E∩F',

بھی معلوم کیجئے۔

3. کسی تجربے میں پانسے کا ایک جوڑا پھینکا جاتا ہے اور ان پر ظاہر ہونے والے اعداد کو نوٹ کیا جاتا ہے۔ مندرجہ ذیل واقعات کو بیان کیجئے۔

A:   ظاہر ہونے والے اعداد کا حاصل جمع 8 سے زیادہ ہے۔

B:  دونوں پانسوں پر عدد2 ظاہر ہوتا ہے۔

C:  ظاہر ہونے والے اعدادکا حاصل جمع کم سے کم 7 ہے اور 3کا ضعف ہے۔ان میں سے واقعات کے کون کون سے جوڑے باہمیں مستثنیٰ ہیں؟

4. تین سکوں کو ایک مرتبہ اچھالا جاتا ہے۔ مان لیجئے کہ واقع ’تین ہیڈ ظاہر ہونا، کوAسے، واقعہ ، دو ہیڈ اور ایک ٹیل ظاہر ہونا، کوBسے واقع تین ٹیل کوCسے اوراور واقع ’پہلے سکے پر ہیڈ ظاہر ہونا‘ کو Dسے ظاہر کرتے ہیں۔ بتایئے ان میں سے کون سے واقعات (i) باہمی مستثنیٰ ہیں (ii) سادہ واقعات ہیں (iii)  مرکب ہیں۔

5. تین سکے ایک مرتبہ اچھالے جاتے ہیں ۔بیان کیجئے۔

(i)  دو واقعات جو کہ باہمی مستثنیٰ ہیں۔

(ii)  تین واقعات جو باہمی مستثنیٰ اور exhaustive events ہیں۔

(iii)  دو واقعات جو باہمی مستثنیٰ نہیں ہیں۔

(iv)  دو واقعات جو باہمیں مستثنیٰ ہیں لیکن exhaustive نہیں ہیں۔

(v)  تین واقعات جو باہمی مستثنیٰ ہیں لیکن exhaustive نہیں ہیں۔

6. دو پانسے پھینکے جاتے ہیں۔ واقعہA، B اور Cمندرجہ ذیل میں:

A:   پہلے پانسے پر جفت عدد حاصل ہونا

B:   پہلے پانسے پر طاق عدد حاصل ہونا

C:   پانسوں پر ظاہر ہونے والے اعداد کو حاصل جمع  ہو نا

مندرجہ ذیل واقعات کو بیان کیجئے

7. مذکورہ بالا سوال نمبر6دیکھئے اور مندرجہ ذیل میں صحیح اور غلط کی نشاندہی کیجئے۔

(i)۔  Aاور Bباہمی مستثنیٰ ہیں

(ii)۔  Aاور B باہمیں مستثنیٰ اور exhastive ہیں۔

(iii)۔  A = B'

(iv)۔  Aاور Cباہمیں مستثنیٰ ہیں۔

(v)۔  Aاور B'باہمی مستثنی ٰ ہیں۔

(vi)۔  A'، B' ،  C باہمی مستثنیٰ اور exhaustive ہیں۔

16.4   احتمال کا بدیہی نظریہ (Axiomatic Approach to probability)

اس باب کے پہلے سیکشنوں میں ہم نے بلا منصوبہ تجربہ، سیمپل اسپیس اور ان تجربات سے وابستہ واقعات پر غور کیا ہے۔ ہم اپنی روز مرہ کی زندگی میں کسی واقعہ کے پیش آنے کے امکان کے لیے متعدد الفاظ کا استعمال کرتے ہیں ۔ نظریہ احتمال کسی واقعے کے ہونے یا نہ ہونے کے امکان کا مقدار عطا کرنے کی کوشش ہے۔

گزشتہ جماعتوں میں ہم نے کسی تجربے میں کل ممکنہ نتائج کی تعداد معلوم ہونے پر کسی واقعے کا احتمال معلوم کرنے کے کچھ طریقوں کا مطالعہ کیا ہے۔

مان لیجئے کہ کسی بلا منصوبہ تجربے کا سیمپل اسپیس Sہے۔ احتمال Pایک حقیقی قدر والا تفاعل (real valued function)ہے جس کا ڈومین (domain) Sکا پاور سیٹ (power Set)ہے اور رینج وقفہ [0,1]ہے جو مندرجہ ذیل بدیہات کو مطمئن کرتا ہے۔

(i)  کسی واقعہ E ، کے لیے0≤(P(E

(ii)۔   P (S) = 1

(iii)  اگر EاورF باہمی مستثنیٰ واقعات ہیں تو

P(E∪F)=P(E)+P(F)

بدیہہ (iii)  سے یہ معلوم ہوت ہے کہP(Φ)=0 ۔ اسے ثابت کرنے کے لیے ہمF=Φلیتے ہیں اور دیکھتے ہیں کہ EاورΦباہمی مستثنیٰ واقعات ہیں۔ اس لیے بدیہہ (iii) ہمیں معلوم ہوتا ہے کہ:

P(E)= P(E)+ P (Φ) یا P(E∪Φ)=P(E)+P(Φ)

  P(Φ)=0 یعنی

مان لیجئے کہn,...,²,¹

  سیمپل اسپیس Sکے نتائج ہیں ۔

 یعنی 

احتمال کی بدیہی تعریف سے یہ نتیجہ نکلتا ہے کہ

غور کیجئے کہ واحد سیٹ {1} کو سادہ واقعہ کہتے ہیں اور علامت کی سہولت کے لیے ({1})و (1P)لکھتے ہیں۔

مثال کے طور پر ایک سکے کو اچھالنے کے تجربے میں ہم ہر ایک نتیجہ HاورTکے ساتھ متعین کر سکتے ہیں۔

یعنی

ظاہر ہے یہ تعین دونوں شرائط کو مطمئن کرتا ہے یعنی ہر ایک عدد نہ تو صفر سے چھوٹا ہے اور نہ ہے 1سے بڑا ہے۔

اور

اسی طرح اس صورت میں ہم کہہ سکتے ہیں کہ 

کیا یہ تعین بدیہی نظریے کی شرائط کو مطمئن کرتا ہے؟

جی ہاں، اس معاملے میںHکا احتمال 

ہم دیکھتے ہیں کہ دونوں احتمالی تعین (1) اور (2)  HاورT کے احتمال کے لیے درست ہیں۔

در حقیقت دونوں نتائج کے لیے اعداد pاور(1–p)متعین کرسکتے ہیں ، جبکہ 

0≤p≤1

اور 

P(H) + P(T) = p + (1 –  p) = 1

یہ احتمالی تعین بھی بدیہی نظریے کی شرائط کو مطمئن کرتا ہے۔ لہٰذا ہم کہہ سکتے ہیں کہ کسی تجربے کے نتائج کے ساتھ احتمال کا تعین متعدد طریقوں (اگر لا انتہا کہا جائے تو تو زیادہ بہتر ہوگا) سے کیا جا سکتا ہے۔

آیئے اب کچھ مثالوں پر غور کرتے ہیں۔

مثال9

مان لیجئے کہ ایک سیمپل اسپیس{S={1,2,...6

ہے ۔ مندرجہ ذیل میں سے ہر ایک نتیجے کے لیے کون احتمال تعین درست ہیں۔

حل شرط   (1) :  ہر ایک عدد  P مثبت ہے اور ایک سے کم ہے 

 شرط  (ii)     احتمال کا حاصل جمع

لہٰذا یہ احتمال تعین درست ہے۔

(b) شرط (i) ہر ایک عدد(P(i

 یا تو صفر ہے یا 1ہے۔

شرط (ii)   احتمال کا حاصل جمع

= 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 1

لہٰذا یہ تعین درست ہے۔

(c)  شرط(i) دو احتمال  اور منفی ہیں۔ اس لیے یہ تعین درست نہیں ہے۔

(d)کیونکہ ، اس لیے یہ تعین درست نہیں ہے۔

(e)   کیونکہ احتمال کا حاصل جمع 

0.1+0.2+0.3+0.4+0.5+0.6=2.1

ہے۔

اس لیے یہ تعین درست نہیں ہے۔

16.4.1 واقعہ احتمال (Probability of an event)

ایک مشین کے ذریعے تیار کیے گئے پین کا تجربہ انھیں اچھے (non-defective) اور خراب (defective) کے زمروں میں رکھنے کے لیے کیا گیا ہے۔ مان لیجئے کہ اس تجربے کا سیمپل اسپیس S ہے۔ اس تجربے کے نتیجے میں ہمیں 0،1،2یا 3پین خراب مل سکتے ہیں۔

اس تجربے سے وابستہ سیمپل اسپیس

  {S = {BBB, BBG, BGB, GBB, BGG, GBG, GGB, GGGہے۔

جہاں Bکسی خراب پین کو اورGاچھے پین کو ظاہر کرتا ہے۔

مان لیجئے کہ نتائج کے لیے مندرجہ ذیل احتمال متعین کیے گیے ہیں۔

سیمپل نقطہ :

سیمپل نقطہ:GGG GGB GBG BGG GBB BGB BBG BBB

 احتمال نقطہ:

مان لیجئے کہ واقعہ A’صرف اور صرف1خراب پین اور واقعہ B:کم سے کم دو خراب پین

ظاہر ہے کہ  {A = {BGG, GBG, GGB

اور   {B = {BBG, BGB, GBB, BBB

آیئے کسی سکے کو دو مرتبہ اچھالنے کے ایک اور تجربے پر غور کرتے ہیں۔

اس تجربے کا سیمپل اسپیس  {S = {HH, HT, TH, TTہے۔

مان لیجئے کہ مختلف نتائج کے لیے مندرجہ ذیل احتمال متعین کیے گئے ہیں۔

ظاہر ہے کہ یہ احتمال تعین بدیہی نظریے کی شرائط کو مطمئن کرتا ہے۔ آیئے اب ہم واقعہEدونوں اچھالوں میں ایک جیسا نتیجہ ہے، کا احتمال معلوم کرتے ہیں۔ 

یہاں {E = {HH, TT

اب سبھی E∋کے لیے

واقعہ F: ’صرف اور صرف 2ہیڈ‘ کے لیے ہم پاتے ہیں  {F = {HH

اور

 16.4.2 مساوی ممکنہ نتائج کا احتمال (Probability of equally likely out comes)

مان لیجئے کہ ایک تجربے کا سیمپل اسپیس  

S = {1,2,...,n}

ہے۔

مان لیجئے کہ سبھی نتائج ممکنہ مساوی ہیں یعنی ہر ایک سادہ واقعہ کے پیش آنے کا امکان مساوی ہے۔

مان لیجئے کہ سیمپل اسپیس Sکا کوئی ایک واقعہ E، اس طرح ہے کہ n(S) = nاور n(E) = m۔ اگر ہر ایک نتیجہ مساوی ممکنہ ہے تو یہ نتیجہ نکلتا ہے کہ 

16.4.3  واقعہ A'یا B' کا احتمال (Probability of the event A' or B')

آیئے A'یا B'کا احتمال یعنیA∪B

معلوم کرتے ہیں۔

مان لیجیے{ A = {HHT, HTH, THH  اور {B = {HTH, THH, HHH  ایک سکے کے تین اچھالوں کے تجربے کے دو واقعات ہیں۔

صاف ظاہر ہے   = {HHT, HTH, THH, HHH}

اب 

P=A∪B=P(HHT)+ P(HTH)+P(THH)+P(HHH)

اگر یہ سبھی نتائح مساوی ممکنہ ہوں تو

ساتھ ہی    P(A) = P(HHT) + P(HTH) + P(THH) = 

اور       P(B) = P(HTH) + P(THH) + P(HHH) = 

اس لیے  

یہ صاف ہے کہ 

P(A∪B)≠P (A)+P(B)

نقاط  HTH  اور  THH،  A اور B میں مشترکہ عناصر ہیں۔ (P(A)+P(B) کی تحسیب میں HTH  اور  THH (یعنی (A∪B) کے عناصر) کے احتمال کو دومرتبہ شامل کیا گیا ہے۔ لہٰذا(A∪B) معلوم کرنے کے لیے ہمیں

 (A∪B) کے سیمپل نقاط کے احتمال کو (P(A)+P(B میں سے گھٹانا ہوگا۔

یعنی

P(A∪B)=P(A)+P(B)-∑P(i),∀i∈A∩B

=P(A)+P(B)-P(A∩B)

لہٰذا

ٖٖP(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)

عمومی طور پر اگر A اور B کسی بلامنصوبہ تجربے سے وابستہ کوئی دو واقعات ہیں تو کسی واقعہ کے احتمال کی تعریف کے مطابق ہمیں حاصل ہوتا ہے کہ 

P(A∪B)= ∑P(i),∀i ∈A∪B

کیونکہ

 اس لیےA∪B)=(A-B)∪(A∩B)∪(B-A)

P(A∪B)=[∑P(i)∀i ∈(A-B] +[∑Pi∀i∈A∩B]+[∑P(i)∀i∈B–A]

کیونکہ

باہم

B-AاورA-B,A∩B

مستثنیٰ ہیں ...(1)

مزید کہ

 P(A)+P(B)=[∑pi)∀i ∈A]+[∑P(i)∀i∈B]

=[∑P(i)∀i ∈(A-B)∪(A∩B)]+[∑Pi∈(B-A)∪(B∩A)]

=[∑P(i)∀i ∈(A-B)]+[∑P(i)∀i∈(A∩B)]+[∑P(i∀i ∈(A-B)]+

[∑P(Pi)∀Pi ∈(A∩B)]

 =P(A∪B)+P(B)=[∑pi)∀∈A∩B]

 =P(A∪B)+P(A∩B)

اس لیے

 P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)

متبادل طور پر اسے مندرجہ ذیل طریقے سے بھی ثابت کیا جاسکتا ہے:

اورA∩B

جہاںA∩B

 باہمی مستثنیٰ ہیںA∪B=A∪(B–A)

احتمال کے بدیہہ (iii) کے استعمال سے ہمیں حاصل ہوتا ہے کہ

(2)... P(A∪B)= P(A)+P(B–A)

(2)... P(B)= P(A∩B)+P(B–A)

(2)میں سے(3)گھٹانے پر

P(A∪B)— P(B)=P(A)–P(A∩B)

P(A∪B)= P(A)+P(B)–P(A∩B)

یا

مذکورہ بالا نتیجہ کے وین ڈائیگرام (شکل 16.1) کا مشاہدہ کرکے بھی دوبارہ تصدیق کی جاسکتی ہے۔

اگر A اور B غیر اتحادی سیٹ ہوں یعنی یہ دونوں باہمی مستثنیٰ واقعات ہوں تو

A∩B=Φ

اس لیےP(A∩B)=(Φ)=0

لہٰذا باہمی مستثنیٰ واقعات A اور B کے لیے ہمیں حاصل ہوتا ہے

P(A∩B)=P(A)+P(B)

جو کہ احتمال کا بدیہہ (iii) ہی ہے۔

16.4.4  واقعہ  ’A-نہیں‘  کا احتمال  (Probability of event 'not A')

1سے 10 پتوں، جن پر 1 سے 10 تک کے اعداد درج ہیں، کی گڈی میں سے ایک پتہ نکالنے کے تجربے سے وابستہ واقعہ {A={2,4,6,8 پر غور کیجیے۔ واضح ہے کہ سیمپل اسپیس {S={1,2,3,...,10 ہے۔

اگر سبھی نتائج 2,10,...,1  کو مساوی ممکنہ تصور کرلیں تو ہر ایک نتیجے کا احتمال ہوگا۔

اب

P(A)=P(2)+P(4)+P(6)+P(8)

مزید یہ کہ واقع’A-نہیں’= {A'={1,3,5,7,9,10

اب

P(A')=P(1)+P(3)+P(5)+P(7)+P(10)

اس طرح

ہم یہ بھی جانتے ہیں کہ'A اور A باہمی مستثنی اور exhaustive واقعات

لہٰذا

A∪A'=SاورA∩A'=Φ

یا

P(A∪A')=P(S)

اب

P(A)+P(A')=P(S)

بدیہات (ii)اور(iii)کے استعمال سے

یا

(A)=-P(A)

نہیں P(A')=p

آئیے ہم مساوی ممکنہ نتائج والے تجربات کے لیے کچھ سوالات اور مثالوں پر غور کرتے ہیں جب تک کہ کچھ اور کہا نہ جائے۔

مثال 10  تاش کے 52 پتوں کی ایک اچھی طرح پھینٹی ہوئی گڈی میں سے ایک پتہ نکالا گیا ہے۔ نکالے گئے پتے کا احتمال معلوم کیجیے۔ اگر

(i)    پتہ اینٹ کا ہے (ii)  پتہ اکا نہیں ہے

(iii)  پتہ کالے رنگ کا ہے (یعنی چڑی یا حکم کا)

(iv)  پتہ اینٹ کا نہیں ہے (v)  پتہ کالے رنگ کا نہیں ہے

حل جب 52 پتوں کی اچھی طرح پھینٹی ہوئی گڈی میں سے اے پتہ نکالا جاتا ہے تو ممکنہ نتائج کی تعداد 52 ہے۔

(i) مان لیجیے واقعہ  ’نکالا گیا پتہ اینٹ کا ہے‘ کو A سے ظاہر کیا گیا ہے۔

واضح ہے کہ A میں عناصر کی تعداد 13 ہے

اس لیے  

یعنی ایک اینٹ کا پتہ نکالنے کا احتمال 

(ii) مان لیجیے کہ واقعہ ’نکالا گیا پتہ اکا ہے‘ کو B سے ظاہر کیا جاتا ہے۔

اس لیے ’نکالا گیا پتہ اکا نہیں ہے‘ کو  سے ظاہر کیا جائے گا۔

اب

(iii) مان لیجیے واقعہ ’نکالا گیا پتہ کالے رنگ کا ہے‘ کو C سے ظاہر کرتے ہیں

اس لیے سیٹ C میں عناصر کی تعداد 26=

یعنی

اس طرح کالے رنگ کا پتہ نکالنے کا احتمال 

(iv) ہم نے مذکورہ بالا (i) میں یہ مانا ہے کہ واقعہ ’نکالا گیا پتہ اینٹ کا ہے‘ کو Aسے ظاہر کرتے ہیں اس لیے واقعہ ’نکالا گیا  پتہ اینٹ کا نہیں ہے‘ کو 'A یا ’A-نہیں‘ سے ظاہر کیا جائے گا۔

اب

(v) واقعہ ’نکالا گیا پتہ کالے رنگ کا نہیں ہے‘ کو 'C یا ’C-نہیں‘ سے دکھایا جاسکتا ہے۔ اب ہمیں معلوم ہے کہ

اس لئے پتہ کالے رنگ کا نہ ہونے کا احتمال 

مثال 11  ایک تھیلے میں 9 ڈسک ہیں جن میں سے 4 سرخ رنگ کی، 3 نیلے رنگ کی اور 2 پیلے رنگ کی ہیں۔ ڈسک سائز اور شکل کے اعتبار سے یکساں ہیں۔ تھیلے میں سے ایک ڈسک بلامنصوبہ نکالی جاتی ہے۔ احتمال معلوم کیجیے کہ نکالی گئی ڈسک (i)سرخ رنگ کی ہے، (ii)پیلے رنگ کی ہے، (iii)نیلے رنگ کی ہے، (iv)نیلے رنگ کی نہیں ہے، (v)سرخ رنگ کی ہے یا پیلے رنگ کی ہے۔

حل ڈسک کی کل تعداد 9 ہے اس لیے ممکنہ نتائج کی کل تعداد 9 ہوئی

مان لیجیے واقعات A، B اور C کی اس طرح تعریف کی جاتی ہے کہ

A: نکالی گئی ڈسک سرخ رنگ کی ہے

B: نکالی گئی ڈسک پیلے رنگ کی ہے

C: نکالی گئی ڈسک نیلے رنگ کی ہے

(i) سرخ رنگ کی ڈسک کی تعداد 4=  یعنیn(A)=4

لہٰذا

(ii) پیلے رنگ کی ڈسک کی تعداد 2=   یعنی n(B)=2

اس لیے

(iii) نیلے رنگ کی ڈسک کی تعداد 3=   یعنیn(C)=3

اس لیے

(iv) ظاہر ہے واقعہ ’ڈسک نیلے رنگ کی نہیں ہے‘  ’C-نہیں‘ ہی ہے۔ ہم جانتے ہیں کہ

 =1–P(C)

(C-نہیں)P

اس لیے

(v) واقعہ سرخ رنگ کی ڈسک یا نیلے رنگ کی ڈسک، کا سیٹ A یا C سے ظاہر کیا جاسکتا ہے۔ کیونکہ A اور C باہمی مستثنیٰ واقعات ہیں اس لیے

مثال 12  دو طالب علم انِل اور آشیما نے ایک امتحان میں شرکت کی۔ انل کے امتحان میں پاس ہونے کے احتمال 0.05 ہے اور آشیما کے امتحان میں پاس ہونے کا احتمال 0.10 ہے۔ دونوں کے امتحان میں پاس ہونے کا احتمال 0.02 ہے۔ احتمال معلوم کیجیے کہ

(a)   انل اور آشیما دونوں ہی امتحان میں پاس نہیں ہو پائیں گے

(b)   دونوں میں سے کم سے کم ایک امتحان میں پاس نہیں ہوگا

(c)   دونوں میں سے صرف ایک امتحان میں پاس ہوگا

حل مان لیجیے E اور F واقعات ’انل امتحان میں پاس ہوجائے گا‘ اور ’آشیما امتحان میں پاس ہوجائے گی‘ کو بالترتیب ظاہر کرتے ہیں۔

اس لیے

P(E∩F)=0.02اورP(F)=0.10 ,P(E)=0.05

تب

(a)   واقعہ  ’دونوںامتحان میں پاس نہیں ہوں گے‘ کو'E' ∩Fسے دکھایا جاسکتا ہے کیونکہ'E واقعہ ’E-نہیں‘ یعنی ’انل امتحان میں پاس نہیں ہوگا‘ اور' F واقعہ ’F-نہیں‘ یعنی ’آشیما امتحان میں پاس نہیں ہوگی‘ کو ظاہر کرتا ہے۔

مزید یہ کہ '(E' ∩F'=(E' ∪F (ڈی مارگن کے کلیے کے مطابق) 

P(E∪F)=P(E)+P(F)-P(E∩F) اب

P(E∪F)=0.05+0.10-0.02=0.13 یا

P(E'∩F')=P(E∪F)=1-0.13=0.87 اس لیے

(b) (دونوں میں سے کم از کم 1 پاس نہیں ہوگا)P

(دونوں پاس ہونگے)

=1-P

=1-0.02=0.98

(c) واقعہ  ’دونوں میں سے صرف ایک پاس ہوگا‘  مندرجہ ذیل واقعہ کے مشابہ ہے (انل پاس ہوگا اور آشیما پاس نہیں ہوگی) یا (انل پاس نہیں ہوگا اور آشیما پاس ہوگی) یعنی 

E'∩FاورE∩FجہاںE''∩Fیا∩F'i

 باہمی مستثنیٰ ہیں

اس لیے (دونوں میں سے صرف ایک کے پاس ہوگا)P

P=(E∩F'یاE'∩F)

P=(E∩F')+PE'∩F)=p(E)-P(E∩F)+P(F)-P(E∩F)

=0.05-0.02+0.10-0.02=0.11

مثال 13  دو مرد اور دو عورتوں کے گروپ میں سے دو افراد کی ایک کمیٹی تشکیل دی گئی ہے۔ احتمال معلوم کیجیے کہ کمیٹی (a) میں کوئی مرد نہ ہو (b) ایک مرد ہو (c) دونوں ہی مرد ہوں۔

حل گروپ میں افراد کی کل تعداد  4=2+2،  ان چاروں افراد میں سے دو کو 4C2 طریقے سے منتخب کیا جاسکتا ہے۔

(a) کمیٹی میں کوئی مرد نہ ہونے کا مطلب ہے کہ کمیٹی میں دو عورتیں ہیں۔ دو عورتوں میں سے دونوں کے منتخب ہونے کا طریقہ1=2C2 ہے۔

اس طرح (کوئی مرد نہیں)P

(b) کمیٹی میں ایک مرد ہونے کا مطلب ہے کہ اس میں ایک عورت ہے۔ 2 مردوں میں سے ایک مرد منتخب ہونے کا طریقہ  4C2  ہے اور دو عورتوں میں سے ایک کو منتخب کرنے کا طریقہ بھی C12C1ہے۔ دونوں انتخابات کو ایک ساتھ کرنے کے 2C1x2C1طریقے ہیں۔

اس لیے (ایک مرد)ٖP

(c) دو مردوں کو2C2 طریقے سے منتخب کیا جاسکتا ہے۔

لہٰذا (دومرد)P

مشق  16.3

1.سیمپل اسپیس

S={1,2,3,4,5,6,7}

کے نتائج کے لیے مندرجہ ذیل میں سے کون سے احتمالی تعین درست نہیں ہیں:

2. ایک سکہ دو مرتبہ اچھالا جاتا ہے۔ کم سے کم 1 ٹیل ظاہر ہونے کا احتمال کیا ہے؟

3. ایک پانسہ پھینکا جاتا ہے۔ مندرجہ ذیل واقعات کا احتمال معلوم کیجیے:

(i)    ایک مفرد عدد ظاہر ہونا

(ii)۔   3 یا 3 سے بڑا عدد ظاہر ہونا

(iii)۔  1 یا 1 سے چھوٹا عدد ظاہر ہونا

(iv)۔   6 سے بڑا عدد ظاہر ہونا

(v)۔   6 سے چھوٹا عدد ظاہر ہونا

4. تاش کی ایک گڈی کے 52 پتوں میں سے ایک پتہ بلا منصوبہ نکالا گیا ہے۔

(a)   سیمپل اسپیس میں کتنے نقطے ہیں؟

(b)   پتے کا حکم کا اکا ہونے کا احتمال کیا ہے؟

(c)   احتمال معلوم کیجیے کہ پتہ (i) اکا ہے (ii) کالے رنگ کا ہے۔

5. ایک unbiased سکہ جس کے ایک رخ پر 1 اور دوسرے رخ پر 6 درج ہے، اور ایک unbiased پانسہ دونوں کو اچھالا جاتا ہے۔ احتمال معلوم کیجیے کہ ظاہر ہونے والے اعداد کا حاصل جمع (i) 3) ہے  (ii) 12) ہے۔

6. شہری کونسل میں 4 مرد اور 6 عورتیں ہیں۔ اگر ایک کمیٹی کے لیے بلامنصوبہ ایک کونسل ممبر کو منتخب کیا گیا ہے تو عورت کے منتخب ہونے کا احتمال کیا ہے؟

7. ایک unbiased سکے کو چار مرتبہ اچھالا جاتا ہے اور ایک شخص ہر ایک ہیڈ پر 1 روپیہ جیت لیتا ہے جب کہ ہر ایک ٹیل پر 1.50 روپیہ ہار جاتا ہے۔ اس تجربے کے سیمپل اسپیس سے معلوم کیجیے کہ آپ چار اچھالوں میں کتنی مختلف رقومات حاصل کرسکتے ہیں ساتھ ہی ان رقومات میں سے ہر ایک کا احتمال بھی معلوم کیجیے؟

8. تین سکے ایک مرتبہ اچھالے جاتے ہیں۔ مندرجہ ذیل کا احتمال معلوم کیجیے:

(i)۔   3  ہیڈ ظاہر ہونا (ii)۔   2  ہیڈ ظاہر ہونا

(iii)  کم از کم 2 ہیڈ ظاہر ہونا (iv)  زیادہ سے زیادہ 2 ہیڈ ظاہر ہونا

(v)   ایک بھی ہیڈ نہ ہو (vi)۔  3 ٹیل ہوں

(vii) صرف اور صرف 2 ٹیل ظاہر ہونا (viii) کوئی بھی ٹیل نہ ہو

(ix)  زیادہ سے زیادہ 2 ٹیل ظاہر ہونا

9. اگر کسی واقعہ A کا احتمال  ہے تو واقعہ  ’A-نہیں‘ کا احتمال معلوم کیجیے۔

10. لفظ (ASSASSINATION) میں سے ایک حرف بلامنصوبہ منتخب کیا جاتا ہے۔ احتمال معلوم کیجیے کہ منتخب کیا گیا حرف (i) vowel ہے    (ii)  consonant  ہے۔

11. کسی لاٹری میں ایک شخص 1 سے 20 تک کے اعداد میں سے 6 مختلف اعداد بلامنصوبہ منتخب کرتا ہے اور اگر منتخب کیے گئے یہ 6 اعداد ان 6 اعداد سے میل کھاتے ہیں، جنہیں لاٹری کمیٹی نے پہلے سے متعین کر رکھا ہے، تو وہ شخص انعام جیت لیتا یہ۔ لاٹری کے کھیل میں انعام جیتنے کا احتمال کیا ہے؟  (اشارہ: اعداد کے حاصل ہونے کی ترتیب کی اہمیت نہیں ہے)

12. جانچ کیجیے کہ مندرجہ ذیل احتمال P)A)  اور P)B)  واضع طور پر معروف ہیں

P(A ∩B)=0.6,P(B)=0.7,P(A)=0.5 (i)

P(A∪B)=0.8,P(B)=0.4P(A)=0.5 (ii)

13. مندرجہ ذیل جدول میں خالی جگہوں کو پر کیجیے: