بین الاقوامی نظام (International System of Units) کا فرانسیسی ترجمہ اور اس کا مخفف SIہے۔اس SIنظام کو علامتوں، اکائیوں اورمخففوں کے ساتھ 1971میں بین الاقوامی بیورو برائے وزن پیمائش(Buereu international dospoids it measures) کے ذریعے فروغ دیا گیا تھا جس پر حال ہی میں نومبر 2018میں منعقد ہونے والی عمومی کانفرنس برائے وزن و پیمائش‘‘ میں نظر ثانی کی گئی۔اور اس کانفرنس نے پوری دنیا میں سائنسی، تکنیکی صنعتی اور کاروباری کام میں اس کے استعمال کی فرمائش کی۔کیونکہ SI اکائیوں میں اعشاریہ نظام استعمال کیا گیا ہے، اس لیے اس نظام میں ایک اکائی سے دوسری اکائی (جیسے میٹرسے سینٹی میٹر یا اس کے برعکس) میں تبدیل کرنا، بہت سادہ اور سہل ہے۔ہم اس کتاب میں SIاکائیاں ہی استعمال کریں گے۔

جدول 2.5وقفہ وقت کی سِعت

آپ ایک خط کی لمبائی کیسے معلوم کریں گے؟

(How will you measure the length of a line?)

کیسا مہمل سوال ہے؟ہوسکتا ہے آپ اب یہ کہیں۔ لیکن اگر خط، خطِ مستقیم (straight line) نہ ہو تو؟ ایک ٹیرھا میڑھا خط اپنی کاپی یا تختہ سیاہ پر کھینچے۔ جی ہاں، اب بھی کوئی بڑی مشکل بات نہیں ہے۔آپ ایک دھاگہ لے کر اسے خط پر اس طرح رکھیے کہ وہ خط کو پوری طرح ڈھک لے، پھر دھاگہ کو کھولیے اور اسکی لمبائی ناپ لیجیے۔

      اب تصور کیجیے کہ آپ ایک قوی شاہ راہ کی لمبائی ناپنا چاہتے ہیں یا ایک دریا کی یا دو اسٹیشنوں کے درمیان بچھی ہوئی ریل کی پٹری کی یا دو صوبوں یا ملکوں کے درمیان سرحد کی لمبائی ناپنا چاہتے ہیں۔ اب اگر آپ ایک میٹر یا سومیٹر لمبا دھاگہ،رسّی لیں، اسے خط پر رکھیں، پھر جہاں اس کا اگلا سرا تھا وہاں پچھلا سرا رکھیں اور اس طرح دھاگے کے مقام کو بدلتے جائیں تو اس کام کے لیے جتنے گھنٹوں کی محنت درکار ہوگی اور جتنا خرچ آئے گا، اس کے مقابلے میں حاصل بہت چھوٹی سی بات ہوگی۔مزید یہ کہ اس اتنے لمبے کام میں غلطیاں ہونے کے امکان تقریباً یقینی ہیں۔اس کے بارے میں ایک دلچسپ حقیقی واقعہ ہے۔ فرانس اور بیلجیم کی ایک مشترکہ بین الاقوامی سرحد ہے، جس کی  دونوں ملکوں کی سرکاری دستاویزوں میں درج لمبائی میں قابلِ لحاظ فرق ہے۔

      ایک قدم آگے بڑھیے اور اس ساحلی خط کا تصور کیجیے جہاں زمین، سمندر سے ملتی ہے۔سڑکوں اور دریاؤں میں ساحلی خط کے مقابلے میں بہت کم گہرے موڑ ہوتے ہیں۔تب بھی تمام دستاویزوں میں، جن میں ہماری درسی کتابیں بھی شامل ہیں، گجرات یا آندھرا پردیش کے ساحلِ سمندر یا دو صوبوں کی مشترکہ سرحد وغیرہ کی لمبائی کے مطعلق معلومات شامل ہوتی ہے۔ریل کے ٹکٹوں پر دو اسٹیشنوں کا درمیانی فاصلہ چھپا ہوتا ہے۔سڑک کے کنارے کنارے ہر جگہ میل کے پتھر لگے ہوتے ہیں جو مختلف بستیوں کے فاصلوں کی نشاندہی کرتے ہیں۔پھر یہ کیسے کیا جاتا ہے؟

      ہمیں یہ  فیصلہ کرنا ہوتا ہے کہ ہم کس حدتک پیمائش میں سہو (error) برداشت کریں گے اور پھر یہ دیکھنا ہوتا ہے کہ کم ازکم خرچ کیسے آئے گا۔اس کے لیے اعلیٰ ٹکنالوجی اور بڑا خرچ درکار ہے۔یہ کہنا کافی ہوگا کہ اس کے لیے اچھی خاصی اعلیٰ درجہ کی طبیعات، ریاضی انجینیرنگ اور ٹکنالوجی درکار ہوگی۔ یہ فریکٹلس (Fractals) سے متعلق ہے جو حال ہی میں نظریاتی قبولیت اختیار کرنے والی طبیعات کی شاخ ہے۔پھربھی ہم یہ نہیں جان سکتے کہ جو اعداد ہمارے سامنے آئے ہیں وہ کس حد تک قابلِ بھروسہ ہیں، جیسا کہ فرانس اور بیلجیم کے قصّے سے ظاہر ہوتا ہے۔آپ کی دلچسپی کے لیے یہ بتادیں کہ فرانس اور بیلجیم کے درمیان لمبائی کی پیمائش کا یہ تناقص (Discrepancy) ، فریکٹلس اور بے نظمی (chaos) کے موضوع پر طبیعات کی ایک اعلیٰ نصاب کی کتاب کے پہلے صفحے پر درج کیا گیا ہے۔

(Errors of a product or a quotient)  

 جب دو مقداروں کو ضرب یا تقسیم کیا جاتا ہے تو نتیجے میں کسری سہو، ضاربوں میں کسری غلطیوں کی جمع کے برابر ہوتا ہے۔

(c) پیمائش کی گئی مقدار کی قوت کے سبب سہو(Eror in case of a measured quantity raised to power)

2.7     بامعنی اعداد(SIGNIFICANT FIGURES)   

 کسی پیمائش میں مختلف اکائیوں کے انتخاب سے بھی بامعنی ہندسوں کی تعداد تبدیل نہیں ہوتی ۔

 یہ اہم تبصرہ درج اصولوں کی وضاحت کرتا ہے۔

       (3)  بامعنی ہندسوں کے اعداد کے تعین میں اوپر بتائے گئے ابہام کو دور کرنے کا سب سے بہتر طریقہ ہے کہ ہر ایک پیمائش کو سائنسی ترقیم (10 کی قوت) میں لکھا جائے۔ اس ترقیم میں ہر ایک عدد کو a× 10b کے طورپر ظاہر کیا جاتا ہے جہاں

1،a

سے 10 کے درمیان کوئی عدد ہے اور

10,b

کا کوئی بھی مثبت یا منفی قوت نما (exponent) ہے۔عدد کاایک تقربی تصور حاصل کرنے کے لیے، ہم عدد aکو 1(a<5 کے لیے) یا 

10 (10›a<5)

 کی تقریبی شکل میں ظاہر کرتے ہیں۔اس طرح عدد کو تقریبی شکل میں  10b کی صورت میں ظاہر کیا جاسکتا ہے، جس میں 10 کا قوت نما b،اس طبعی مقدار کا، عددی قدر کا درجہ (order of magnitude)کہلاتا ہے۔ جب صرف ایک تخمینہ درکار ہوتا ہے تو ہم کہتے ہیں کہ مقدار 10b کے درجہ کی ہے۔ مثلاً، زمین کا قطر

(107m،(1.28×107m)

کے درجہ کاہے، جس میں عددی قدر کا درجہ7ہے۔ ہائیڈروجن ایٹم کا قطر(1.06×10-10m)، 10-10m کے درجہ کاہے، جس میں عددی قدر کا درجہ –10ہے۔ زمین کا قطر، ہائیڈرجن ایٹم کے قطر سے 17عددی قدر کے درجے زیادہ ہے۔

4.700 m = 4.700 × 102 cm = 4.700 × 103 mm

= 4.700 × 10-3 km  

       (6)  ضرب تقسیم کرنے والے ایسے جزء ضربی جو نہ تو تقریبی عدد ہیں اورنہ ہی پیمائش کی گئی قدروں کو ظاہر کرنے والے عدد ہیں، قطعی (بالکل درست) ہوتے ہیں اور ان کے بامعنی ہندسوں کی تعداد لامتناہی ہے۔مثلاً، r=d/2 یاs=2r  میں، جزء ضربی 2ایک قطعی عدد (exact number)ہے اور اسے‘ ضرورت کے مطابق‘

 یا  2.0000 لکھا جاسکتا ہے۔اسی طرحمیں، nایک قطعی عدد ہے۔

            کسی تحسیب کا نتیجہ جس میں مقداروں کی تقریبی پیمائش کی گئی قدریں شامل ہیں (یعنی وہ قدر جن میں بامعنی ہندسوں کے اعداد محدود ہیں) اسے اصلیت میں پیمائش کی گئی قدروں کی عدم یقینی دکھانی چاہیے۔ یہ تحسیبی نتیجہ پیمائش کی گئی ان قدروں سے جن پر نتیجہ مبنی ہے، زیادہ درست نہیں ہوسکتا ہے۔ لہٰذا کسی بھی نتیجے میں بامعنی ہندسوں کی تعداد، بنیادی اعدادوشمار جن سے یہ حاصل کیا گیا ہے، سے زیادہ نہیں ہونا چاہیے۔ اگر کسی شے کی پیمائش کی گئی کمیت، مان لیا کہ 4.237g (چار بامعنی ہندسے) اور اس کے پیمائش کیے گئے حجم کی قد2.51cm3رہو تو محض حسابی تقسیم کے ذریعہ اس کی کثافت1.68804780876g⁄cm3ہوگی۔ یہاں کثافت کی اس قدرکو اتنی دقیق شکل میں (precision) لکھنا پوری طرح غیر متعلق یا بے محل ہوگاکیونکہ پیمائشیں جن پر کثافت کی قدر مبنی ہے، وہ اس کے مقابلے میں بہت کم دقیق ہیں۔ با معنی ہندسوں کے ساتھ حسابی عمل کے لیے مندرجہ ذیل اصول اس بات کو یقینی بناتے ہیں کہ کسی تحسیب کا آخری نتیجہ اتنا ہی دقیق ہو جتنی درآمد (input) دقیق ہیں، یعنی کہ، دونوں میں ہم آہنگی ہو۔

(1)   اعداد کے ضرب یا تقسیم کرنے سے حاصل نتیجے میں صرف اتنے ہی با معنی ہندسے رکھنے چاہییں جتنے کہ سب سے کم بامعنی اعداد والے بنیادی عدد میں ہیں۔

لہٰذا مذکورہ بالا مثال میں کثافت کو تین بامعنی ہندسوں تک ہی لکھا جانا چاہیے۔

 کثافت

اسی طرح اگر روشنی کی چال

 3×108m⁄s

  (ایک با معنیٰ ہند سے)

 اور ایک سال

میں 

(پانچ ہند سے) ہیں تو ایک نوری سال میں 

(تین با معنیٰ ہند سے) ہونگے۔

(2)  اعداد کے جوڑنے یا تفریق کرنے سے حاصل آخری نتیجے میں اعشاریہ کے بعد اتنے ہی بامعنی ہندسے رکھنے چاہیئں جتنے کہ جوڑی یا تفریق کی جانے والی مقداروں سے اس عدد میں ہوں جس میں اعشاریہ کے سب سے کم مقام ہیں۔

مثال کے طور پر اعداد 436.32 g   227.2 g, اور 0.301 g کا حاصل جمع 663.821 g ہے۔ لیکن کم سے کم دقیق پیمائش (227.2 g) اعشاریہ کے صرف ایک مقام تک ہی درست ہے۔ لہٰذا آخری نتیجے کو 663.8 g تک پورا درج کیا جانا چاہیے۔

اسی طرح لمبائیوں میں فرق کو درج ذیل طرح سے ظاہر کرسکتے ہیں۔

0.307 m - 0.304 m = 0.003 m = 3 × 10-3 m

خیال رہے کہ ہمیں اصول (1) جو ضرب اور تقسیم کے لیے لاگو ہوتا ہے اسے جمع کی مثال میں استعمال کرکے 

664g

 اور تفریق کی مثال میں بھی 

3.00×10-3m

نہیں لکھنا چاہیے۔ 

 یہ پیمائش کتنی دقیق ہے اسے ٹھیک طر ح سے ظاہر نہیں کرتے ہیں۔ جوڑنے اور تفریق کرنے کے لیے اصول اعشاریہ کے مقام کی اصطلاح میں ظاہر کیاجاتا ہے۔

2.7.2  غیر یقینی ہندسوں کی قریبی قدر لینا

(Rounding off the Uncertain Digits)

اعداد، جن میں ایک سے زیادہ غیر یقینی ہندسے ہوتے ہیں، کی تحسیب کے نتیجہ کو قریب تر کیا جانا چاہیے۔ اعداد کے موزوں با معنی ہندسوں تک قریب تر کرنے کے لیے اصول زیادہ ترحالات میں واضح ہیں۔ عدد 2.746 کو تین بامعنی ہندسوں تک قریب ترکرکے 2.75 لکھتے ہیں جب کہ عدد 2.743 کو 2.74 لکھا جائے گا۔ قراردادکے مطابق اصول یہ ہے۔

اگر بے معنی ہندسے (اس معاملے میں کشیدہ خط ہندسہ) 5 سے زیادہ ہے تو اس سے پہلے والے ہندسے میں 1 کا اضافہ کردیا جاتا ہے اور اگر بے معنی ہندسے 5 سے کم ہوتے ہیں تو پیش رو ہندسہ غیر تبدیل رکھا جاتا ہے۔

لیکن اگر کسی عدد جیسے 2.745 میں بے معنی ہندسہ 5 ہے، تو روایت کے مطابق 

اگر پیش رو ہندسہ جفت (even)ہے تو بے معنی ہندسے کو چھوڑ دیا جاتا ہے اور اگر یہ طاق(odd)  ہے تو پیش رو ہندسے میں 1 کا اضافہ کردیتے ہیں۔

تب عدد 2.745 کو تین بامعنی ہندسوں تک قریب تر کرنے پر 2.74 حاصل ہوگا۔ دوسری طرف عدد 2.735کوتین بامعنی ہندسوں تک قریب ترکرنے کے بعد 2.74 حاصل ہوتا ہے کیونکہ پیش رو ہندسہ طاق ہے۔

         کسی بھی کثیراقدامات پرمشتمل پیچیدہ تحسیب میں، درمیانی اقدامات میں بامعنی ہندسوں سے ایک زیادہ  ہندسہ رکھنا چاہیے اورتحسیب کے آخر میں مناسب بامعنی ہندسوں تک قریب ترکردینا چاہیے۔ اسی طرح روشنی کی خلا میں چال جوکئی بامعنی ہندسوں تک معلوم ہے-

جیسے

2.99792458×108m⁄s

کو ایک تقریبی قدر

3×108m⁄s

 تک قریب کردیتے ہیں جسے اکثر تحسیب میں استعمال کرتے ہیں۔ آخر میں خیال رکھیں کہ فارمولوں میں جو قطعی اعداد(exact numbers) آتے ہیں جیسے میںبامعنی ہندسوں کی تعداد بہت زیادہ (لامتناہی) ہے۔کی قدر

(3.1415926...)

 لامحدود بامعنی ہندسوں تک معلوم ہے لیکن ہم پیمائش کی گئی مقدار میں بامعنی ہندسوں کی بنیاد پر  کی قدر 3.142 یا 3.14 بھی لے سکتے ہیں۔

مثال 2.13کسی  مکعب  کے  ہر  ایک  بازو  کی  پیمائش 7.203mکی گئی ہے۔ موزوں بامعنی ہندسوں تک مکعب کا کل سطح رقبہ اور حجم کیا ہے؟

جواب پیمائش کی گئی لمبائی میں بامعنی ہندسوں کی تعداد 4ہے۔ اس لیے تحسیب کیے گئے رقبے اور حجم کی قدر کو بھی 4بامعنی ہندسوں تک قریب تر کردیا جانا چاہیے۔

مکعب کاسطح رقبہ

مکعب کاحجم

مثال 2.14کسی شے کے 5.74gکا حجم1.2cm3ہے۔اس کی کثافت کو بامعنی ہندسوں کو ذہن میں رکھتے ہوئے ظاہر کیجیے۔

جواب کمیت میں 3بامعنی ہندسے ہیں جب کہ حجم میں صرف 2بامعنی ہندسے ہیں۔ اس لیے کثافت کو صرف 2بامعنی ہندسوں تک ظاہر کیا جانا چاہیے۔

 = 5.74/1.2 g cm-3  کثافت 

= 4.8 g cm-3          

2.7.3 حسابی عملیات کے نتائج میں عدم یقینی کے تعین کے لیے اصول

(Rules for determining the uncertainty in the results of Arithmetic operations)

 حسابی عملیات میں اعداد کی عدم یقینی کے تعین کے اصول مندرجہ ذیل مثالوں سے سمجھے جاسکتے ہیں۔

 (1)  اگر کسی پتلی مستطیل نما شیٹ کی لمبائی اور چوڑائی  بالترتیب اورپیمائش کی گئی ہے جس میں ہر ایک پیمائش میں تین بامعنی ہندسے ہیں۔ اس کا مطلب ہے کہ حقیقی لمبائی lاور چوڑائی bکو مندرجہ ذیل طریقے سے لکھا جاسکتا ہے۔

l = 16.2 + 0.1 cm

             = 16.2 cm + 0.6%            

       

اسی طرح چوڑائی bکو لکھا جاسکتا ہے:

b = 10.1 + 0.1cm

                  = 10.1 cm + 1%              

دو (یادو سے زیادہ) تجرباتی قدروں کے حاصل ضرب میں سہو، سہوکے اجتماع کا قاعدہ استعمال کرتے ہوئے، ہوگا 

l b = 163.62 cm2 + 1.6%

= 163.62 cm2 + 2.6% cm2 

لہٰذا آخری نتیجہ ہوگا

lb = 164 + 3 cm2             

یہاں،مستطیل نما شیٹ کے رقبے کے تخمینہ میں عدم یقینی یا سہو ہے۔

(2)   اگر کسی تجرباتی اعداد وشمار کے مجموعے میں n بامعنی ہندسے متعین ہیں تو اعدادوشمار کے اجتماع سے حاصل نتیجہ بھی n با معنی ہندسوں تک جائز ہوگا۔

تاہم، اگر اعداد نفی کیے جاتے ہیں تو بامعنی ہندسوں کی تعداد کم ہوسکتی ہے۔

 مثال کے لیے، دونوں تین بامعنی ہندسوں تک مخصوص ہیں لیکن ان کے فرق کونہیں لکھا جاسکتا بلکہ صرفلکھا جاسکتا ہے کیونکہ تفریق یا جوڑنے میں عدم یقینی کا اجتماع مختلف طریقے سے ہوتا ہے (کسی جمع کیے جانے والے یا تفریق کیے جانے والے اعداد میں کم سے کم بامعنی ہندسوں کی تعداد کی جگہ  ان میں اعشاریہ کے بعد کم سے کم بامعنی ہندسوں کی تعداد کی بنیاد پر)۔

(3)  ایک عدد، جس میں بامعنی ہندسوں کی تعداد 'n'متعین ہو، اس کا نسبتی سہو نہ صرف nکے بلکہ خود عدد کے بھی تابع ہوتا ہے۔

مثال کے لیے،1.02g کی کمیت کی پیمائش میں درستگیg10.0+کی ہے جب کہ دوسری پیمائش 9.89g بھی +0.01g تک درست ہے۔

لہٰذا میں کسری سہو ہے:

=  (+ 0.01/1.02) × 100%

=  + 1%                                         

دوسری طرف 9.89g میں کسری سہو ہے:

=  (+ 0.005/9.89) × 100%

= + 0.1%                                        

آخر میں خیال رہے کہ متعددا قدام ہرمشتمل تحسیب میں درمیانی نتائج کی تحسیب اس میں شامل پیمانوں میں کم سے کم دقیق پیمائشی ہندسوں کی تعداد کی نسبت ایک زائد بامعنی ہندسے تک کی جانی چاہیے۔ پہلے یہ آنکڑوں کے ذریعہ توجیہہ کرلی جانی چاہیے اور تب ہی حسابی عملیات کو پورا کرسکتے ہیں ورنہ قریبی سہو (rounding error)ہوسکتا ہے۔ مثال کے لیے، 9.58 کے مقلوب کی اگر یکساں (اس صورت میں تین)بامعنی ہندسوں تک تحسیب کی جائے اور پھر تقریبی عدد حاصل کیا جائے تو وہ عدد 0.104ہے۔ لیکن تین بامعنی ہندسوں تک تحسیب کیا گیا 0.104کا مقلوب 9.62ہے۔لیکن اگر ہم نےلکھا  ہوتا اور پھر0.1044 کا مقلوب تین بامعنی ہندسوں تک تحسیب کرتے تو ہمیں اصل قدر9.58دوبارہ حاصل ہوجاتی۔

مذکورہ بالا مثال پیچیدہ متعددقدم پرمشتمل تحسیب میں درمیانی قدموں میں ایک زاید ہندسہ(کم سے کم دقیق پیمائش میں ہندسوں کی تعدادکی نسبت)رکھنے کے تصور کا جوازپیش کرتی ہے جس سے کہ اعداد کوقریب ترکرنے کے عمل میں اس مزیدسہو سے بچا جاسکے۔

2.8  طبیعی مقداروں کے ابعاد  

  (DIMENSIONS OFPHYSICAL QUANTITIES) 

کسی بھی طبیعی مقدار کی طبع کوبیان کرنے کے لیے اس کے ابعاد کی ضرورت پڑتی ہے۔ ماخوذ اکائیوں کے ذریعے ظاہر کی جانے والی سب ہی طبعی مقداریں سات بنیادی یا اساسی مقداروں کے کسی اجتماع کی شکل میں ظاہر کی جاسکتی ہیں۔ ہم ان سات طبیعی مقداروں کو طبیعی دنیا کے سات ابعاد کہتے ہیں، جنہیں مربع بریکٹ [    ] میں ظاہر کرتے ہیں۔ اس طرح لمبائی کا بعُد[L]،کمیت کا[M]  ، وقت کا [T]، برقی رو کا [A]، حرحرکیاتی درجۂ حرارت کا[K] ، درخشانی شدت کا [cd] اور شے کی مقدارکا [mol] ہیں۔ 

کسی طبیعی مقدار کے ابعاد ان  قوت نماؤں کو کہتے ہیں جنہیں اس مقدار کی اکائی کو ظاہر کرنے کے لیے بنیادی مقداروں پر چڑھاتے ہیں۔

غور کیجیے کہ کسی مقدار کو مربع بریکٹ [    ] میں رکھنے سے مراد ہے کہ ہم اس مقدار کے ابعاد سے متعلق عمل کررہے ہیں۔

       میکانیات میں سبھی طبیعی مقداروں کے ابعاد [M] ،  [L]،  اور [T] کی اصطلاح میں ظاہر کیے جاسکتے ہیں۔ مثال کے لیے کسی شے کے ذریعہ گھیرے گئے حجم کو اس کی لمبائی، چوڑائی اور اونچائی یا تین لمبائیوں کے حاصل ضرب کی شکل میں ظاہر کیا جاتا ہے۔ لہٰذا حجم کے ابعاد [L] x [L] x [L] = [L]3 = [L3] ہیں۔ چونکہ حجم، کمیت اور وقت پر منحصر نہیں ہوتا ہے-

 لہٰذا یہ کہاجاسکتاہے کہ اس کی کمیت،کا بعد صفر:[Mo]، اس کے وقت کا بُعد صفر:[To]اور لمبائی کے ابعاد تین [L3] ہیں۔

 اس طرح، قوت، جو کمیت اور اسراع (acceleration)کا حاصل ضرب ہے، کے ابعاد کو اس طرح حاصل کیا جاسکتا ہے۔

اسراع×کمیت= قوت 

قوت کے ابعاد ہیں: 

اس طرح قوت میں کمیت کا 1 بعد، لمبائی کا 1بعد اور وقت کے (_2) ابعاد ہیں۔ دیگر سبھی بنیادی مقداروں کے ابعاد صفر ہیں۔

        غور کریں کہ اس طرح کے اظہار میں مقداروں کی عددی قدروں کو شامل نہیں کیا جاتا۔ اس میں طبیعی مقدار کی خاصیت کی قسم کو شامل کیا جاتا ہے۔ لہٰذا اس ضمن میں رفتار میں تبدیلی، ابتدائی رفتار، اوسط رفتار، آخری رفتار اور چال سبھی مترادف ہیں۔ کیونکہ یہ سبھی مقداریںکی اصطلاح میں ظاہر کی جاسکتی ہیں، لہٰذا ان کے ابعادہیں۔

2.9    ابعادی فارمولے اور ابعادی مساواتیں

(DIMENSIONAL FORMULAE AND DIMENSIONAL EQUATIONS)

کسی دی ہوئی طبیعی مقدار کا    ابعادی فارمولا  (dimensional  formula) وہ اظہار ہے جو یہ دکھاتا ہے کہ کسی طبیعی مقدار کے ابعاد کی کون کون سی بنیادی مقداریں اور کس طرح نمائندگی کررہی ہیں۔ مثال کے لیے حجم ،چال یا رفتار، اسراع اور کمیت– کثافت کے ابعادی فارمولے بالترتیب [M1 L-3 To],[Mo LT-2],[Mo LT-2],[Mo L3 To] ہیں۔

       وہ مساوات جو طبیعی مقدار کو اس کے ابعادی فارمولے سے مساوی کرنے پر حاصل ہوتی ہے اس طبیعی مقدار کی ابعادی مساوات (dimensional equation)کہلاتی ہے۔ لہٰذا ابعادی مساوات وہ مساوات ہیں جو کسی طبیعی مقدار کے ابعاد کو بنیادی مقداروں کی شکل میں ظاہرکرتی ہیں۔ مثال کے لیے، حجم [V] ،چال [v] ،قوت [F] اور کمیت کثافت [ρ] کی ابعادی مساواتیں درج ذیل طور پر ظاہر کی جاسکتی ہیں۔

[V]  =  [Mo L3 To]

    [v]  =  [Mo LT-1] 

           [F]  =  [MLT-2]

    [ρ]  =  [M L-3 To]

           ابعادی مساوات طبیعی مقداروں کے درمیان رشتوں کی نمائندگی کرنے والی مساوات سے حاصل کی جاسکتی ہے۔ بہت ساری اور طرح طرح کی طبیعی مقداروں کے ابعادی فارمولے جو دیگر مقداروں کے درمیان رشتوں کی نمائندگی کرنے والی مساواتوں سے اخذ کیے گئے ہیں اور بنیادی مقداروں کی اصطلاح میں ظاہر کیے گئے ہیں، آپ کی رہنمائی اور فوری حوالے کے لیے ضمیمہ 9 میں دیے گئے ہیں۔

2.10    ابعادی تجزیہ اور اس کا اطلاق (استعمال)

(DIMENSIONAL ANALYSIS AND ITS APPLICATIONS)

ابعاد کے تصورات کو پہچاننا جو ابعاد کے طبیعی برتاؤ کے بیان کی رہنمائی کرتا ہے، بنیادی اہمیت کا حامل ہے کیونکہ یہ بتاتا ہے کہ صرف ایک یکساں ابعاد  والی طبیعی مقداریں جمع یا نفی کی جاسکتی ہیں۔ ابعادی تجزیہ کا تفصیلی علم بعض طبیعی مقداروں کے درمیان متعین رشتوں کے استخراج (deducing) میں مدد کرتا ہے اور مختلف حسابی عبارتوں کے اشتقاق، صحت و درستی اور ابعادی ہم اہنگی یا متجانس ہونے کی جانچ کرنے میں مدد گار ہے۔ جب دو یا زیادہ طبیعی مقداروں کی عددی قدروں کو ضرب کیا جاتا ہے تو ان کی اکائیوں کو عام الجبرا کی علامتوں کی طرح استعمال کیا جانا چاہیے۔ ہم شمار کنندہ اور نسب نما میں مماثل اکائیوں کو رد کرسکتے ہیں۔ یہ اصول کسی طبیعی مقدار کی ابعادوں کے لیے بھی صحیح ہے۔ اسی طرح کسی ریاضیاتی مساوات کے دونوں جانب علامتوں کے ذریعہ نمائندگی کی گئی طبیعی مقداروں کے ابعاد یکساں ہونا چاہیں۔

 2.10.1   مساواتوں کی ابعادی ہم آہنگی کی جانچ

(Checking the Dimensional Consistency of  Equations)

کسی بھی طبیعی مقداروں کی قدریں تبھی جمع یا تفریق کی جاسکتی ہیں اگر ان کے ابعاد یکساں ہوں۔ یعنی ہم صرف یکساں طبیعی مقداروں کو ہی جمع یا نفی کر سکتے ہیں۔ اس طرح رفتار کو قوت کے ساتھ یا برقی رو کو درجہ حرارت سے جوڑا یا نفی  نہیں کیا جاسکتا۔ اس سہل اصول کو ابعاد کی متجانسیت کا اصول (the principle of homogeneity of dimensions)کہا جاتاہے۔ لہٰذا کسی مساوات کی درستگی کی جانچ کے لیے اس مساوات میں ابعاد کی متجانسیت کا اصول نہایت مفید ہے۔اگر کسی مساوات میں سارے ارکان (terms) یکساں ابعاد کے نہیں ہیں تو مساوات غلط ہے۔ لہٰذااس طرح جب ہم کسی شے کی لمبائی (یا دوری) کی عبارت اخذکرتے ہیں تو ریاضی کے شروعاتی رشتے میں آنے والی علامتوں کو ذہن میں رکھے بغیر، جب سبھی ابعادکو سادہ بنایا جاتا ہے توسہل کرنے  کے بعد حاصل ابعاد ، لمبائی کے ابعاد ہی ہونا چاہئیے۔ اسی طرح اگر ہم چال (speed) کی مساوات اخذ کرتے ہیں تو مساوات کے دونوں جانب کی ابعاد سہل کرنے  کے بعد، ہی ہونا چاہئیں۔

          اگر کسی مساوات کے صحیح ہونے میں شبہہ ہوتو ابعادی طریقہ (dimensional method) اس مساوات کی ہم آہنگی کی جانچ کے لیے ایک ابتدائی جانچ ہے لیکن ابعادی ہم آہنگی کسی مساوات کے صحیح ہونے کی ضمانت نہیں دیتی۔ یہ غیر ابعادی مقداروں یا تفاعلوں کی حدتک غیر یقینی ہے۔ ٹرگنومیٹریائی(trigonometric)، لوگارتمی اور قوت نمائی (exponential) وغیرہ جیسے مخصوص تفاعلات (functions) کے حامل زاویہ یقینی طورپرغیرابعادی ہونے چاہیے۔ اسی طرح خالص عدد ،یکساں طبیعی مقداروں کی نسبت جیسے زاویے، تناسب (لمبائی/ لمبائی)، انعطاف اشاریہ(:refractive index) وغیرہ غیر ابعادی ہیں۔

آئیے ہم درج ذیل مساوات کی ابعادی ہم آہنگی یا متجانسیت کی جانچ کریں-

         جہاں کسی شے یا ذرے کے ذریعہ t وقت میں چلی گئی دوری x ہے جو t = o وقت پرx0  کے مقام سے ابتدائی رفتار v0 سے حرکت کی سمت میں یکساں اسراعa سے چلنا شروع کرتی ہے۔دونوں جانب کے رکن کے ابعاد اس طرح ہیں۔

[x] = [L]         

[x0 ] = [L]           

[v0 t] = [L T-1]  [T] 

                     = [L]                  

     [1/2 a t2] = [L T-2] [T2] 

                     = [L]                

کیونکہ اس مساوات میں دائیں جانب کے رکن کے ابعاد لمبائی کے ابعاد ہیں جو بائیں جانب کے رکن کے ابعادہیں لہٰذا ابعادی طورپر یہ مساوات صحیح ہے۔

         یہاں یہ غور کرنے کی بات ہے کہ ابعاد کی ہم آہنگی کی جانچ اکائیوں کی ہم آہنگی جانچ کے علاوہ کچھ نہیں بتاتی ہے لیکن اس کا فائدہ یہ ہے کہ ہم کسی مخصوص اکائی کے انتخاب کے لیے مجبور نہیں ہیں اور نہ ہمیں اکائیوں کے اضعاف اور اجزائے ضربی (factor multiple)  کے درمیان بدل کی فکر کرنے کی ضرورت ہے۔ یہاں یہ بھی غور کرنے کی بات ہے کہ

 اگر کوئی مساوات اس ہم آہنگی کی جانچ میں کھری نہیں اُترتی ہے تو وہ غلط ثابت ہوجاتی ہے، لیکن اگر وہ جانچ میں کھری اُترتی ہے تو اس سے وہ صحیح ثابت نہیں ہوجاتی ہے۔ لہٰذا کوئی ابعادی طورپر صحیح مساوات لازمی طورپر درست مساوات نہیں ہوتی جب کہ ابعادی طورپر غیر ہم آہنگ مساوات غلط ہوتی ہے۔

    مثال 2.15  اس مساوات پر غور کرتے ہیں                                                                                                                      جہاںmشے کی کمیت ہے،vاس کی رفتارہے،gارضی کشش کےسبب اسراع ہے اورhاونچائی ہے۔یہ پتہ لگائیےکہ کیا یہ مساوات ابعادی طورپردرست ہے۔

جواب   LHS (بائیں جانب) کے ابعاد ہیں

[M] [LT-1]2 [L]= [M][L2 T-2]

= [ML2 T-2]   

RHS (دائیں جانب) کے ابعاد ہیں                    

[M] [LT-2] [L] = [M][L2 T-2]

= [ML2 T-2]   

دونوں جانب کی ابعاد یکساں ہیں اور اس لیے ابعادی طورپر مساوات صحیح ہے۔

مثال2.16توانائی کی SI اکائی J = kg m2 s-2،چالvکms-1اوراسراع α کیms-2 ہے۔نیچے دیے  گئے حرکی توانائی(K.E)کے فارمولوں میں سے آپکس کوابعادی دلیلوں کے ذریعہ غلط بتائیں گے (m شے کی کمیت ہے)؟ a)                K = m2 v3) b)                K = (1/2) mv2) c)                K = m a) d)                K = (3/16) mv2) e)               K = (1/2) mv2 + m a)

جواب  

ہر صحیح فارمولے یا مساوات کے دونوں جانب کے ابعادیکساں ہونے چاہئیں اور پھر صرف انہیں مقداروں کو جوڑا یا نفی کیاجاسکتا ہے جن کے طبیعی ابعاد یکساں ہوتے ہیں۔ دائیں جانب کی مقدار کے ابعاد (a) کے لیے [M2 L3 T-3]، (b) اور (d) کے لیے [ML2 T-2]، (c) کے لیے [MLT-2] ہیں۔ مساوات (e) کے دائیں جانب کے کوئی مناسب ابعاد نہیں ہیں کیونکہ اس میں مختلف ابعاد کی دو مقداروں کو جوڑا گیا ہے۔ چونکہ K کے ابعاد ہیں [ML2 T-2] اس لیے فارمولا (a)، (c) اور (e) غلط ہیں۔

یہ نوٹ کیجیے کہ ابعادی دلیلوں سے یہ پتہ نہیں لگتا کہ (b) یا (d) میں کون سا فارمولا صحیح ہے۔ اس کے لیے حرکی توانائی کی حقیقی تعریف کو دیکھنا پڑے گا (باب 6 دیکھیں) ۔ حرکی توانائی کے لیے صحیح فارمولا (b) میں دیا گیا ہے۔

2.10.2  طبیعی مقداروں کے درمیان رشتہ اخذ کرنا

(Deducing Relation among the Physical Quantities)

کبھی کبھی ابعادی طریقہ طبیعی مقداروں کے درمیان رشتہ اخذ کرنے کے لیے بھی استعمال کیا جاسکتا ہے۔ اس کے لیے ہمیں یہ معلوم ہونا چاہیے کہ دی ہوئی طبیعی مقدار کن کن مقداروں کے تابع ہے۔ آئیے، ہم درج ذیل مثال پر غور کریں۔

مثال 2.17 کسی سادہ پینڈولم پر غور کیجیے۔ فرض کیجیے کہ سادہ پینڈولم کے اہتزاز کا دوراس کی لمبائی ، باب کی کمیت اور ارضی کشش کے اسراع کے تابع ہوتا ہے۔ اس کے اہتزاز کے دورکے لیے ریاضیائی عبارت، ابعاد کا طریقہ استعمال کرتے ہوئے، حاصل کیجیے

جواب 

اگردوری وقت Tکےg ،1 اور mکے حاصل ضرب کے تابع ہونے کو مندرجہ ذیل طور پر لکھا جاسکتا ہے:

T = k lx gy mz

جہاں kایک غیرابعادی مستقلہ ہے اور x،yاور– z قوت نما ہیں۔ دونوں طرف ابعاد ملاحظہ کرتے ہوئے، ہمیں حاصل ہوتا ہے:

[Lo Mo T1] = [L1]x [LT-2]y [M1]2

= Lx+y T-2y  M–z

دونوں طرف ابعاد مساوی کرتے ہوئے؛ ہمیں حاصل ہوتا ہے:

اس طرح 

                          

                                   اور

                                 z = o

تب،

                           

                                   یا

                              

نوٹ کریں کہ، مستقلہ kکی قدر ابعادی طریقے سے حاصل نہیں کی جاسکتی۔اگر اس فارمولے کی دائیں سمت کو کسی بھی عدد سے ضرب کردیا جائے تو یہاں کوئی فرق نہیں پڑے گا، کیونکہ اس سے ابعاد متاثر نہیں ہوتے۔دراصل،

ایسی طبعی مقداریں، جو ایک دوسرے کے تابع ہوں، ان کے درمیان رشتہ حاصل کرنے کے لیے ابعادی طریقہ ایک کارآمد ذریعہ ہے۔لیکن اس طریقے سے غیرابعادی مستقلے نہیں حاصل کیے جاسکتے۔ ابعادی طریقہ مساوات میں صرف ابعادی درستی کی جانچ کرسکتا ہے لیکن اس کے ذریعے مساوات میں شامل طبیعی مقداروں کا قطعی رشتہ نہیں حاصل کیا جاسکتا۔ یہ یکساں ابعاد والی طبیعی مقداروں میں فرق نہیں کرسکتا۔

اس باب کے آخر میں دیے گئے کئی مشقی سوالات، ابعادی تجزیہ میں مہارت پیدا کرنے میں آپ کی مدد کریں گے۔

خلاصہ

1۔ علم طبیعیات، طبیعی مقداروں کی پیمائش پر مبنی ایک مقداری سائنس ہے۔ کچھ مخصوص طبیعی مقداروں کو  [لمبائی، کمیت، وقت، برقی رو،حرحرکیاتی درجہ حرارت، شے کی مقدار اور درخشاں شدت (luminous intensity) ]بنیادی یا اساسی مقداروں کے بہ طورمنتخب کیا گیاہے۔

2۔ ہر ایک بنیادی مقدار کی تعریف کسی بنیادی معیاری حوالہ کی اصطلاح میں کی گئی ہے۔ جسے اختیاری طورپر منتخب لیکن مناسب طورپر معیار بند کیا گیا ہے۔ یہ معیاری حوالہ اکائی ہوتی ہیں (جیسے میٹر، کلوگرام، سیکنڈ، ایمپیر، کیلون، مول اور کینڈیلا)۔ بنیادی مقداروں کے لیے منتخب کی گئی اکائیوں کو بنیادی اکائی کہا جاتا ہے۔ 

3۔ بنیادی مقداروں سے ماخوذ دیگر طبیعی مقداروں کو بنیادی اکائیوں کے مجموعے کے طورپر ظاہر کرسکتے ہیں جنہیں ماخوذ اکائی کہا جاتا ہے۔ بنیادی اور ماخوذ دونوں اکائیوں کے مکمل سیٹ کو اکائیوں کا نظام کہا جاتا ہے۔

4۔ سات بنیادی اکائیوں پر مبنی اکائیوں کا بین الاقوامی نظام (SI) آج کل بین الاقوامی سطح پر منظور شدہ نظام ہے۔ یہ نظام پوری دنیا میں بڑے پیمانے پر استعمال کیا جاتاہے۔

5۔ بنیادی مقداروں اور ماخوذ مقداروں سے حاصل سبھی طبیعی پیمائشوں میں SI اکائیوں کا استعمال کیا جاتا ہے۔ کچھ ماخوذ اکائیوں کو SI اکائیوں کے ذریعے خصوصی ناموں (جیسے جول، نیوٹن، واٹ وغیرہ) سے بھی ظاہر کیا جاتا ہے۔

6۔ SI اکائیوں کی معین (well defined)اور بین الاقوامی سطح پر تسلیم شدہ اکائی علامات ہیں جیسے میٹر کے لیے m، کلوگرام کے لیے kg، سیکنڈکے لیے s، ایمپیر کے لیے A، نیوٹن کے لیے N وغیرہ۔

7۔ اکثر چھوٹی وبڑی مقداروں کی طبیعی پیمائشوں کو سائنسی ترقیم میں 10 کی قوت کی شکل میں ظاہر کیا جاتا ہے۔ پیمائش کی علامتوں اور ہندسی تحسیب کی آسانی کے لیے سائنسی  علامتوں اور سابقوں (prefixes) کا

  استعمال کیا جاتا ہے، جن سے یہ نشاندہی بھی ہوتی ہے کہ اعداد کتنے دقیق ہیں۔

8۔ طبیعی مقداروں کی ترقیم، SI اکائیوں اور کچھ دیگر اکائیوں کے استعمال ،طبیعی مقداروں اور پیمائشوں کو مناسب طورپر ظاہر کرنے میں سابقوں کے استعمال کے لیے کچھ عام اصولوں اور ہدایات کی پابندی کرنی چاہیے۔

9۔ کسی بھی طبیعی مقدار کی تحسیب میں اس کی مطلوبہ اکائیوں کو حاصل کرنے کے لیے شامل ماخوذ مقداروں کی اکائیوں کو الجبری مقداروں کی طرح سمجھنا چاہیے۔

10۔ طبیعی مقداروں کی پیمائش کے لیے براہ راست اوربالواسطہ دونوں طریقوں کا استعمال کیا جاسکتا ہے۔ پیمائش کی گئی مقداروں کے نتیجے کے اظہار مندرجہ ذیل باتوں کا بھی خیال رکھا جانا چاہیے: پیمائش کے آلات کی درستی صحت (Accuracy) (ii)  پیمائش کتنی دقیق(Precise) ہے (iii)  پیمائش میں ہونے والے سہو

11۔ پیمائش کی گئی اورتحسیب کی گئی مقداروں میں صرف مناسب بامعنی ہندسوں کو ہی رکھنا چاہیے۔ کسی بھی عدد میں بامعنی ہندسوں کی تعداد کا تعین، ان سے حسابی فعل (arithmetic operation) اور غیر یقینی ہندسوں کو قریب تر کرنے کے اصولوں کی پابندی کرنی چاہیے۔

12۔ بنیادی مقداروں کے ابعاد اور ان ابعادوں کے مجموعے طبیعی مقداروں کی فطرت بیان کرتے ہیں۔ مساوات کی ابعادی ہم آہنگی جانچ اور طبیعی مقداروں میں رشتہ قائم کرنے کے لیے ابعادی تجزیہ کا استعمال کرناچاہیے۔ کوئی ابعادی طورپر ہم آہنگ مساوات حقیقت میں صحیح ہو، ضروری نہیں ہے لیکن ابعادی طورپر غلط یا غیر ہم آہنگ مساوات غلط ہی ہوگی۔

مشق

نوٹ  :  عددی جوابات لکھتے وقت، بامعنی ہندسوں کا خیال رکھیے

2.1 خالی جگہوں کو بھرئیے:

2.3 حرارت (بہتی ہوئی توانائی) کی اکائی کیلوری ہے اور تقریباًکے برابر ہے جہاں 1J = 1 kgm2 s-2۔  مان لیجیے ہم اکائیوں کے کسی ایسے نظام کا استعمال کرتے ہیں جس میں کمیت کی اکائی a kg کے برابر ہے، لمبائی کی اکائی β m کے برابر ہے، وقت کی اکائی ϒ s کے برابر ہے۔ یہ ظاہر کیجیے کہ نئی اکائیوں کی بنیاد پر کیلوری کی عددی قدر  ہے۔

2.4 اس بیان کی واضح تشریح کیجیے: 

’’موازنہ کے لیے معیار کی صراحت کے بغیرکسی ابعادی مقدار کو ’بڑا ‘ یا ’چھوٹا‘ کہنا بے معنی ہے۔‘‘ اسے ذہن میں رکھتے ہوئے نیچے دئیے گئے بیانوں کو جہاں کہیں بھی ضروری ہو، دوسرے لفظوں میں ظاہر کیجیے:

(a) ایٹم بہت چھوٹی شے ہوتی ہے۔

(b) جیٹ ہوائی جہاز نہایت تیز رفتار ہے۔

(c) مشتری (Jupiter) کی کمیت بہت زیادہ ہے۔

(d) اس کمرے کے اندر ہوا میں سالموں کی تعداد بہت زیادہ ہے۔

(e) الیکٹران کے مقابلے پروٹان بہت بھاری ہوتا ہے۔

(f) آواز کی  رفتار روشنی کی رفتار سے بہت ہی کم ہوتی ہے۔

2.5 لمبائی کی کوئی نئی اکائی منتخب کی گئی ہے تاکہ خلامیں روشنی کی چال کی قدر1(ایک اکائی) ہو۔نئی اکائی کی بنیادپر سورج اورزمین کے درمیان فاصلہ کتنا ہوگا،اگرروشنی اس فاصلے کوطے کرنے میں8منٹاور20سیکنڈ لگائے؟

2.6 لمبائی کی پیمائش کے لیے درج ذیل میں سے کون سا سب سے زیادہ دقیق (Precise)ہے

(a) ایک ورنیر کیلیپرس جس کے ورنیرپیمانے پر 20 نشان ہیں۔

(b) ایک اسکرو گیج جس کی چوڑی فصل 1 mm (pitch) اور دائری پیمانے پر 100 نشان ہیں۔

(c) کوئی نوری آلہ جو لمبائی کی پیمائش روشنی کی طول لہر کی حد تک کرسکتا ہے۔

2.7 کوئی طالب علم 100 تکبیر (magnification) کے ایک مائیکرواسکوپ (خوردبین) کے ذریعہ دیکھ کر انسان کے بال کی موٹائی کی پیمائش کرتا ہے۔ وہ 20 بار مشاہدہ کرتا ہے اور اسے معلوم ہوتا ہے کہ خوردبین کے نظر خطہ (field view)میں بال کی اوسط موٹائی 3.5 mm ہے۔ بال کی موٹائی  کے بارے میں کیا تخمینہ ہے؟

2.8 درج ذیل کے جواب دیجیے:

(a) آپ کو ایک دھاگہ اور میٹر پیمانہ دیا جاتا ہے۔ آپ دھاگے کے قطر کا تخمینہ کس طرح لگائیں گے؟

(b) ایک اسکرو گیج کی چوڑی فصل 1.00 mm ہے اور اس کے دائری پیمانے پر 200 نشان ہیں۔ کیا آپ یہ سوچتے ہیں کہ 

دائری پیمانے پر نشانوں کی تعداداختیاری طورپر بڑھادینے پر اسکروگیج کی درستگی میں کتنا بھی اضافہ کرنا ممکن ہے؟

    (c)ورنیر کیلیپرس کے ذریعہ پیتل کی کسی پتلی چھڑ کے اوسط قطر کی پیمائش کی جانی ہے۔ صرف 5 پیمائشوں کے سیٹ کے مقابلے 

میں قطر(diameter)کی 100 پیمائشوں کے سیٹ کے ذریعہ زیادہ معتبر اندازہ حاصل ہونے کا امکان کیوں ہے؟

کسی مکان کا فوٹو گراف 35 mm سلائیڈ پر 1.75 cm2 کا رقبہ گھیرتا ہے۔ سلائیڈ کو کسی اسکرین پر پروجکٹ کیا جاتا ہے اور 

اسکرین پر مکان کا رقبہ 1.55 m2 ہے۔ پروجکٹر-اسکرین بندوبست کی خطی تکبیر (linear magnification)کیا ہے؟

2.10 درج ذیل میں با معنی ہندسوں کی تعداد بتائیے :

(a) 0.007 m2

(b) 2.64 ´ 1024 kg

(c) 0.2370 g cm-3

(d) 6.320 J

(e) 6.032 N m-2

(f) 0.0006032 m2

2.11 دھات کی کسی مستطیل چادر کی لمبائی، چوڑائی وموٹائی  بالترتیب 4.234 m، 1.005 m اور 2.01 cm ہیں۔ صحیح با معنی ہندسوں تک چادر کا رقبہ اور حجم معلوم کیجیے۔

2.12 پنساری کی ترازو کے ذریعہ پیمائش کیے گئے ڈبے کی کمیت 2.3 kg ہے۔ سونے کے دو ٹکڑے جن کی کمیت  20.15 g اور 20.17g ہے، ڈبے میں ڈال دیئے جاتے ہیں۔ (a) ڈبے کی کل کمیت کتنی ہے، (b) صحیح بامعنی ہندسوں تک ٹکڑوں کی کمیتوں میں کتنا فرق ہے؟

2.13 ایک طبیعی مقدار P، کاچار قابل مشاہدہ مقداروں a   c, b,  اور d سے رشتہ ہے:

                 

, b,a  اورd کی پیمائش میں فی صد سہو بالترتیب %1، %3، %4، اور %2ہیں۔ مقدار P میں فی صد سہو کتنا ہے؟  

مذکورہ  بالا رشتہ کا استعمال کرکے P کی قیمت  3.763 نکلتی ہے تو آپ نتیجے کو کس قدر تک قریب تر (round off)کریں گے؟ 

2.14 کسی کتاب میں جس میں چھپائی کی متعدد غلطیاں ہیں، ایک دوری حرکت (periodic motion)کررہے ذرے کے نقل کے لیے چار مختلف فارمولے دئیے گئے ہیں:

(a) y = a sin 2p t/T

(b) y = a sin vt

(c) y = (a/T) sin t/a

(d)

(= a ذرے کا زیادہ سے زیادہ نقل (منتقلی)،  = v ذرے کی چال، = T حرکت کا دوری وقت)۔ ابعادی بنیاد پر غلط فارمولوں کو نکال دیجیے۔

2.15 طبیعیات میں ایک مشہور رشتہ کسی ذرے کی ’متحرک کمیت‘  (moving mass, m)  ’سکونی کمیت‘   (rest mass,m0)  اس کی چال  v، روشنی کی چال  c کے درمیان ہے۔ (یہ رشتہ سب سے پہلے البرٹ آئنسٹائن کے خصوصی اضافیت کے نظرئیے کے نتیجے کے طورپر حاصل ہوا) کوئی طالب علم اس تعلق کو تقریباً صحیح یاد کرتا ہے لیکن مستقلہ cکو لگانا بھول جاتا ہے۔ وہ لکھتا ہے: قیاس کیجیے کہ c کہاں لگے گا۔

2.16 ایٹمی پیمانے پرلمبائی کی آسان اکائی اینگسٹرام ہے اوراسےAo کے ذریعہ ظاہرکیا جاتا ہے1Ao =10-10 m:۔ہائیڈروجن کے ایٹم کا سائزتقریباً 0.5oA ہے۔

 ہائیڈروجن کے ایک مول ایٹموں کا m3 میں کل ایٹمی حجم کتنا ہوگا؟

2.17 کسی مثالی گیس کا ایک مول (جوہری گرام) معیاری درجہ حرارت اور دباؤ پر 22.4 L حجم (مولر حجم) گھیرتا ہے۔ ہائیڈروجن کے ایک مول کے مولر حجم اور اس کے ایک مول کے ایٹمی حجم کا تناسب کیاہے؟

 (ہائیڈروجن کے ایٹم کے سائز کو تقریباً 1Ao مانیے)۔ یہ تناسب اتنا زیادہ کیوں ہے؟

2.18 اس عام مشاہدہ کی صاف طورپر تشریح کیجیے: اگر آپ تیز جارہی کسی ریل گاڑی کی کھڑکی سے باہر دیکھیں تو قریب کے پیڑ، مکان وغیرہ ریل گاڑی کی حرکت کی مخالف سمت میں تیزی کے ساتھ حرکت کرتے

 دکھائی دیتے ہیں لیکن دور کی اشیا (پہاڑی،چاند،تارے) وغیرہ ساکن لگتے ہیں۔(درحقیقت،چونکہ آپ کو معلوم ہے کہ آپ چل رہے ہیں اس لیے یہ دورکی اشیاآپ کو اپنے ساتھ چلتی ہوئی دکھائی دیتی ہیں)۔

2.19 نہایت دور کے تاروں کی دوریاں معلوم کرنے کے لیے سیکشن 2.3.1 میں دیے گئے ’اختلاف منظر ‘(parallax)کے اصول کا استعمال کیا جاتا ہے۔ سورج کے گرد اپنے مدار میں چھ مہینوں کے وقفے پر زمین کے دو مقامات کو ملانے والے خط کو بنیادی خط (base line) کہتے ہیں یعنی بنیادی خط زمین کے مدار کے قطر= کے تقریباًبرابر ہے۔ لیکن، چونکہ قریب ترین تارے بھی اتنی دور ہیں کہ اتنا طویل بنیادی خط ہونے پر بھی ان کے اختلاف منظر کا  درجہ قوس کے1" (سکنڈ) کے لگ بھگ ہوتا ہے۔ فلکیاتی پیمانے پر لمبائی کی سہل اکائی پارسیک (parsec) ہے۔ یہ کسی شے کی وہ دوری ہے جو زمین سے سورج تک کی دوری کے برابر لمبائی کے بنیادی خط کے دو مخالف کناروں سے قوس کے "1 اختلاف منظر ظاہر کرتی ہے۔ میٹروں کی اصطلاح میں ایک پارسیک کتنا ہے؟

2.20 ہمارے نظام شمسی سے قریب ترین تارا  4.29 نوری سال دور ہے۔ پارسیک کی اصطلاح میں یہ دوری کتنی ہے؟ یہ تارا ]الفا سنٹوری(Alpha Centauri) نام کا[ تب کتنا اختلاف منظر ظاہر کرے گا جب اسے سورج کے گرد اپنے مدار میں زمین کے دو مقامات سے جو چھ مہینے کے وقفے پر ہیں، دیکھا جاتا ہے؟

2.21 سائنس کی ضرورت ہے کہ طبیعی مقداروں کی دقیق پیمائش کی جائے۔ مثال کے لیے کسی جہاز کی چال کا پتہ لگانے کا کوئی ایسا بالکل درست طریقہ ہونا چاہیے جس سے دو نہایت ہی قلیل مدت کے وقفہ پر جہاز کے مقامات (position) کا تعین کیا جا سکے۔ دوسری عالمی جنگ میں رڈار کی دریافت کے پس پردہ حقیقی مقصد یہی تھا۔ جدید سائنس کی ان مختلف مثالوں کے بارے میں سوچیے جن میں لمبائی، وقت، کمیت وغیرہ کی دقیق پیمائش کی ضرورت ہوتی ہے۔جہاں آپ بتا سکتے ہوں وہاں یہ بھی بتائیے کہ پیمائش کس حد تک دقیق (تقریباً عددی قدر) ہونا چاہیے۔

2.22 جیسے سائنس میں بہتر دقیق کی ضرورت ہوتی ہے، اسی طرح ابتدائی تصورات اور عام مشاہدات کا استعمال کرتے ہوئے مقداروں کے موٹے طورپر تخمینہ لگانے کا اہل ہونا بھی ضروری ہے۔ ان طریقوں کو سوچیے جن کے ذریعے آپ درج ذیل کا اندازہ لگاسکتے ہیں: (جہاں تخمینہ لگانا مشکل ہے، وہاں مقدار کی اوپری حد (upper bound) کا پتہ لگانے کی کوشش کیجیے)

(a) مانسون کے دوران  ہندوستان کے اوپر چھائے ہوئے بارش والے بادلوں کی کل کمیت

(b) کسی ہاتھی کی کمیت

(c) کسی طوفان کے دوران ہواکی چال

(d) آپ کے سرکے بالوں کی تعداد

(e) آپ کی کلاس کے کمرے میں ہوا کے سالموں کی تعداد

2.23 سورج گرم پلازما(آئن شدہ مادہ)ہے جس کے اندرونی قالب(core)کادرجہ حرارت107Kسے زیادہ اوربیرونی سطح کا درجہ حرارت تقریباً 6000Kہے۔اتنے زیادہ درجہ حرارت پر کوئی بھی مادہ ٹھوس یا مائع شکل میں نہیں رہ سکتا۔ سورج کی کمیت–کثافت کے کس رینج میں ہونے کی آپ کو توقع ہے؟ کیا یہ ٹھوسوں کی کثافت کے رینج میں ہے یا مائع یا گیسوں کی؟ اپنے اندازے کی درستگی کی جانچ آپ درج ذیل اعداد وشمار کی بنیادپر کیجیے: سورج کی کمیتسورج کا قطر=

جب سیارہ مشتری زمین سے 8.24.7 ملین (دس لاکھ) کلو میٹر دور ہوتا ہے تو اس کے زاویائی قطر کی پیمائش ایک قوس کا "35.72ہے۔مشتری کے قطرکا حساب لگائیے۔

اضافی مشق

2.25 ایک شخص بارش میں تیز چال vکے ساتھ چلا جارہاہے۔ اسے پانی سے بچنے کے لیے اپنے چھاتے کو ٹیڑھا کرکے عمود کیساتھθزاوریہ بنانا پڑتا ہے۔ایک طالب علم θ اور vکے درمیان درجِ ذیل رشتہ اخذ کرتا ہے : v=tanθ اور جانچ کرتا ہے کہ اس رشتہ کی حد درست ہے: جب v→0 تو θ→0 جیسی کہ امید تھی۔ (ہم فرض کررہے ہیں کہ تیز ہوا نہیں چل رہی ہے اور ایک ساکن شخص کے لیے بارش عمودی طور پر پڑرہی ہے۔) کیا آپ سوچتے ہیں کہ یہ رشتہ درست ہوسکتا ہے؟ اگر نہیں، تو درست رشتہ کا اندازہ لگائیے۔

2.26 یہ دعویٰ کیا جاتا ہے کہ اگر بغیر کسی رکاوٹ کے 100 سالوں تک دوسیزیم گھڑیوں کو چلنے دیا جائے تو ان کے وقت میں صرف 0.02s  کا فرق ہوسکتا ے۔ معیاری سیزیم گھڑی کے ذریعہ 1s کے وقفہ وقت کی پیمائش میں درستگی کے لیے اس کا کیا مطلب ہے؟

2.27 ایک سوڈیم ایٹم کا سائز تقریباً 2.5Ao مانتے ہوئے اس کے ا وسط کمیت –کثافت کا اندازہ لگائیے۔ (سوڈیم کی ایٹمی کمیت اور آوگاڈرو کے عدد کی معلوم قیمت کا استعمال کیجیے)۔ کرسٹل کی حالت میں سوڈیم کی کمیت کثافت

 970 kg m-3 

کے ساتھ اس کا موازنہ کیجیے۔ کیا ان دونوں کثافتوں کی مقدار ایک ہی درجہ (order)کی ہے؟ اگر ہاں، تو کیوں؟

2.28 نیوکلیر پیمانے پر لمبائی کی موزوں اکائی فرمی ہے:

(1 f = 10-15m)  

نیوکلیر سائز درج ذیل آزمائشی رشتے(emperical relation) کی موٹے طورپر تعمیل کرتے ہیں:

                                                     

      جہاں r نیوکلئس کا نصف قطر، A اس کا کمیت عدد اور r0کوئی مستقلہ ہے جو تقریباً 1.2 f  کے برابر ہے۔ یہ ثابت کیجیے کہ اس اصول سے مراد ہے کہ مختلف نیوکلیس کے لیے نیوکلیائی کمیت – کثافت تقریباً مستقل ہے۔ سوڈیم نیوکلیس کی کمیت –کثافت (mass density)کا اندازہ لگائیے۔ سوال 2.27 میں معلوم کیے گئے سوڈیم ایٹم کی اوسط کمیت–کثافت کے ساتھ اس کا موازنہ کیجیے۔

2.29 لیزر(LASER) روشنی کی نہایت شدید، یک رنگی اور یک سمتی شعاع کا ذریعہ ہے۔ لیزر کی ان خوبیوں کا استعمال لمبی دوریوں کی پیمائش میں کیا جاسکتا ہے۔ لیزر کو روشنی کے ذریعہ کے طورپر استعمال کرتے ہوئے پہلے ہی چاند کی زمین سے دوری دقیق طورپر معلوم کی جاچکی ہے۔ کوئی لیزرشعاع چاند کی سطح سے منعکس ہوکر2.56sمیں واپس آجاتی ہے۔ زمین کے گرد چاند کے مدار کا نصف قطر کتنا ہے؟

2.30 پانی کے نیچے کی اشیا کو ڈھونڈنے اوران کے مقام کا پتہ لگانے کے لیے سونار(sound navigation and ranging,SONAR)میں بالا صوتی لہروں (ultrasonic waves)کا استعمال ہوتا ہے۔ کوئی آبدوز کشتی سونار (صوتی جہازرانی اور رینجنگ) سے لیس ہے۔ اس کے ذریعے پیدا ہوئی تحقیقی لہریں اور دشمن کی آبدوز کشتی سے منعکس اس کی بازگشت (echo) کے وصول ہونے کے درمیان وقت تاخیرپایا گیا ہے۔ دشمن کی آبدوز کشتی (پن ڈبی) کتنی دور ہے؟ (پانی میں آواز کی چال

2.31 ہماری کائنات میں جدید ماہرین فلکیات کے ذریعہ دریافت کی گئی سب سے دور کی اشیا اتنی دور ہیں کہ ان کے ذریعہ خارج کی گئی روشنی کو زمین تک پہنچنے میں اربوں سال لگتے ہیں۔ ان اشیا ]جنہیں کواسار(quasar) کہا جاتا ہے[ کی پراسرار خصوصیات ہیں، جن کی ابھی تک اطمینان بخش تشریح نہیں کی جاسکی ہے۔ کسی ایسے کواسار کی km میں دوری معلوم کیجیے جس سے خارج روشنی کو ہم تک پہنچنے میں 300 کروڑ سال لگتے ہوں۔

2.32یہ ایک معروف حقیقت ہے کہ مکمل سورج گرہن کے دوران چاندکی ڈسک سورج کی ڈسک کو پوری طرح ڈھک لیتی ہے۔اس حقیقت اور مثال 2.1اور 2.2 سے جمع معلومات کی بنیادپرچاندکے قطر(تقریباً) کاتعین کیجیے۔

2.33 اس صدی کے ایک عظیم طبیعیات داں (پی۔اے۔ایم۔ڈیریک) فطرت کے بنیادی مستقلوں (fundamental constants of nature) کے ہندسوں کی قیمتوں کے ساتھ کھیلنے میں لطف اندوز ہوتے تھے۔ اس سے انہوں نے ایک بہت ہی دلچسپ مشاہدہ کیا۔ ایٹمی فزکس کے بنیادی مستقلوں (c ،e ، الیکٹران کی کمیت، پروٹون کی کمیت )اور قوت مادی کشش مستقلہ G سے انہیں پتہ لگا کہ وہ ایک ایسے عدد پر پہنچ گئے ہیں جس کے ابعاد وقت کے ابعاد ہیں۔ یہ ایک بہت بڑا عدد ہے جس کی قدر کائنات کی عمر کے موجودہ تخمینے (15 ~کروڑ سال) کے قریب ہے۔ اس کتاب میں دئیے گئے بنیادی مستقلہ کے جدول میں دیکھیے کہ کیا آپ بھی اس عدد (یا اور کوئی عدد جسے آپ سوچ سکتے ہیں) کو بناسکتے ہیں۔ اگر کائنات کی عمر سے اس کا انطباق ہونا بامعنی ہے تو بنیادی مستقلوں کی ہم آہنگی کے لیے اس سے کیا اشارہ ملتا ہے؟