باب 3

خط مستقیم میں حرکت

(MOTION IN A STRAIGHT LINE)

3.1 تعارف
3.2 مقام، راہ کی لمبائی اورنقل
3.3 اوسط رفتار اور اوسط چال
3.4 ساعتی رفتار اور چال
3.5 اسراع
3.6 یکساں اسراع سے متحرک شے کی
مجردحرکیاتی مساواتیں
3.7 نسبتی رفتار
خلاصہ
قابل غور نکات
مشق
اضافی مشق

3.1 تعارف (INTRODUCTION)

کائنات کی ہر شے راہِ راست بالواسطہ طورپر متحرک رہتی ہے۔ ہمارا چلنا، دوڑنا، سائیکل کی سواری وغیرہ روز مرہ کی زندگی میں دکھائی دینے والے عمل حرکت کی کچھ مثالیں ہیں۔ یہاں تک کہ نیند کی حالت میں بھی ہمارے پھیپھڑوں میں ہوا کے داخل ہونے اوراس کے اخراج کا عمل اور ہماری شریانوں اور وریدوں میں خون کا بہاؤ ہوتا رہتا ہے۔ ہم پیڑوں سے گرتے ہوئے پتوں کو اور باندھ سے بہتے ہوئے پانی کو دیکھتے ہیں۔ موٹرگاڑی اور ہوائی جہاز مسافروں کو ایک جگہ سے دوسری جگہ لے جاتے ہیں۔ زمین 24 گھنٹے میں ایک بار گردش کرتی ہے اور سال میں ایک بار سورج کے گرد طواف پورا کرتی ہے۔ سورج اپنے سیاروں کے ساتھ ساتھ خود ہماری کہکشاں (آکاش گنگا– (Milky Way میں حرکت کرتاہے، اورجو خود اپنے گیلیکسیوں کے مقامی گروپ میں حرکت کرتی ہے۔

اس طرح وقت کے ساتھ شے کے مقام میں تبدیلی کو حرکت کہتے ہیں۔ وقت کے ساتھ مقام میں کیسے تبدیلی واقع ہوتی ہے؟ اس باب میں ہم حرکت کو بیان کرناسیکھیں گے۔ اس کے لیے ہمیں رفتار اور اسراع کے تصور کو سمجھنا ہوگا۔ اس سبق میں ہم اپنا مطالعہ اشیا کی خط مستقیم میں حرکت تک ہی محدود رکھیں گے۔ اسے مستقیم حرکت (rectilinear motion)بھی کہتے ہیں۔ یکساں اسراع کے ساتھ مستقیم حرکت کے لیے کچھ سادہ مساوات حاصل کی جاسکتی ہیں۔ آخر میں حرکت کی نسبتی فطرت کو سمجھنے کے لیے ہم نسبتی رفتار کا تصور پیش کریں گے۔

اس مطالعہ میں ہم متحرک اشیا کو نقطہ اشیا کے طورپر سمجھیں گے۔ یہ تقریبی صورتیں تب تک درست سمجھی جاسکتی ہیں جب تک شے کا سائز ایک قابلِ لحاظ دوران وقت میں شے کے ذریعے طے کی گئی دوری کی نسبت کافی کم ہے۔ حقیقی زندگی میں بہت سی حالتوں میں اشیا کے سائز کو نظرانداز کیا جاسکتا ہے اور بغیر کثیر غلطی کے انھیں ایک نقطہ شے مانا جاسکتا ہے۔

مجرد حرکیات (Kinematics) میں ہم شے کی حرکت کے اسباب پر توجہ نہ دے کر صرف اس کی حرکت کا ہی مطالعہ کرتے ہیں۔ اس باب میں اور اگلے باب میں مختلف قسم کی حرکات کو بیان کیا گیا ہے۔ ان حرکات کے اسباب کا مطالعہ ہم پانچویں باب میں کریں گے۔

3.2 مقام، راہ کی لمبائی اورنقل

(POSITION PATH LENGTH AND DISPLACEMENT)

آپ پہلے ہی سیکھ چکے ہیں کہ حرکت کسی شے کے مقام میں وقت کے ساتھ تبدیلی کو کہتے ہیں۔مقام کا تعین کرنے کے لیے ہمیں ایک حوالہ نقطہ (reference point) اور محوروں (axes) کے ایک سیٹ کی ضرورت ہوتی ہے۔ سہولت اس میں ہے کہ ہم ایک مستطیل نما مختص نظام (rectangularcoordinate system) منتخب کریں، جو تین باہم عمودی(mutually perpendicular)محوروں پر مشتمل ہوتا ہے۔ان محوروں کو -x،-yاور -z– لیبل کیا جاتا ہے۔ان تینوں محوروں کا نقطہ تقاطع (point of intersection) مبدا (origin) O) کہلاتا ہے، جو حوالہ نقطہ کے بہ طور استعمال ہوتا ہے۔ایک شے کے کوآرڈی نیٹس (x,y,z–)، اِس کوآرڈی نیٹ نظام کی مناسبت سے، اس کے مقام کو بیان کرتے ہیں۔وقت کی پیمائش کے لیے، ہم اِس نظام میں ایک گھڑی شامل کرتے ہیں۔یہ کوآرڈی نیٹ نظام بہ شمولیت گھڑی، ایک حوالہ جاتی فریم (reference frame)کی تشکیل کرتا ہے۔

اگروقت کے ساتھ کسی شے کا ایک یا اس کے ایک سے زیادہ کوآرڈی نیٹ تبدیل ہوتے ہیں، تو ہم کہتے ہیں کہ شے حرکت کررہی ہے۔ورنہ شے، اپنے حوالہ جاتی فریم کے مطابق حالتِ سکون میں کہلاتی ہے۔

کسی حوالہ جاتی فریم میں محوروں کا انتخاب حالت پر منحصر ہے۔مثلاً یک بعد (one dimension) میں حرکت کو بیان کرنے کے لیے ہمیں صرف-x محور چاہیے۔لیکن دو⁄تین ابعاد میں حرکت کو بیان کرنے کے لیے دوتین محوروں کا سیٹ چاہیے ہوگا۔

کسی واقعہ کا بیان، بیان کے لیے منتخب کیے گئے حوالہ جاتی فریم کے تابع ہوتا ہے۔مثلاً جب آپ کہتے ہیں کہ ایک موٹرسڑک پر چل رہی (حرکت کررہی) ہے تو آپ اس حوالہ جاتی فریم کی مناسبت سے موٹرکو بیان کررہے ہیں جو خود آپ سے یا زمین سے منسلک ہے۔لیکن اسی موٹر میں بیٹھے ہوئے ایک شخص سے منسلک حوالہ جاتی فریم کی مناسبت سے موٹر حالتِ سکون میں ہے۔

ایک حظِ مستقیم پر حرکت کو بیان کرنے کے لیے، ہم کوئی ایک محور، فرض کیا -x محور، منتخب کرسکتے ہیں، اس طرح کہ وہ شے کی راہ پر منطبق ہو۔ اس پرہم شے کے مقام کی پیمائش اپنی سہولت کے مطابق منتخب کیے گئے کسی مبدا (شکل 3.1 میں دکھائے گئے نقطے0) کے حوالے سے کرتے ہیں۔ نقطہ 0 کے دائیں جانب کے مقامات کو مثبت اور 0 کے بائیں جانب کو منفی کے طورپر لیتے ہیں۔ اس طریقے کے مطابق شکل 3.1 میں P اور Q کے مقام کوآرڈنیٹ (postion co-ordinates) علی الترتیب

اور

ہیں۔ اسی طرح نقطہ R کا مقام کوآرڈی نیٹ

ہے۔

راہ کی لمبائی(Path length)

تصورکیجیے کہ کوئی موٹرکار ایک خط مستقیم پر حرکت کررہی ہے۔ ہم -x محور اس طرح منتخب کرتے ہیں کہ موٹرکی حرکت کی راہ کے ساتھ یہ منطبق ہو اورمحور کا مبدا وہ نقطہ لیتے ہیں جہاں سے کار چلنا شروع کرتی ہے، یعنی وقت t = O پرموٹرمقام Oپر تھی (شکل 3.1)۔ مان لیجیے کہ الگ الگ ساعتوں پرموٹر کے مقام P، Q اور R سے ظاہر ہوتے ہیں۔ یہاں ہم حرکت کے دو واقعات پر غور کریں گے۔ پہلے واقعہ میں موٹر O سے P تک جاتی ہے۔ لہٰذا کار کے ذریعے چلے گئے راستے کی دوری OP=+360 m ہے۔ اس دوری کو کار کے ذریعے طے کیے گئے راستے کی لمبائی (راہ کی لمبائی) کہتے ہیں۔ دوسرے واقعہ میں کارپہلے O سے P تک جاتی ہے اور پھر P سے Q پر واپس ہوجاتی ہے۔ اس حرکت کے دوران کار کے ذریعے طے کی

شکل 3.1 محور، مبدا اور مختلف اوقات پر موٹر کے مقام

گئی دوری

.OP + PQ = + 360 m + (+120 m) = + 480 m

ہوگی۔ کیونکہ راہ کی لمبائی میں صرف عددی قدر ہوتی ہے سمت نہیں، لہٰذا یہ ایک غیر سمتی )عددیہ (scalar مقدار ہے۔ (باب4دیکھیے)

نقل (Displacement)

یہاں ایک دوسری طبعی مقدار ’نقل‘کو اشیا کے مقام میں تبدیلی کی شکل میں متعارف کرنا مفید ہے۔تصورکیجیے کہ وقت t1 اور t2 پر شے کے مقام بالترتیب x1 اور x2 ہیں۔ تب Δt =(t2 - t1) وقت میں اس کا نقل جسے ہمΔx سے ظاہر کرتے ہیں، اختتامی اور ابتدائی مقاموں کے فرق کے ذریعے ظاہر کیا جاتاہے:

Δx = x2 _ x1

(ہم گریک حرف ڈیلٹا(Δ) کا استعمال کسی مقدار میں تبدیلی کو ظاہر کرنے کے لیے کرتے ہیں۔

اگر x2>x1 تو Δx مثبت ہوگا، لیکن اگر x2<x1 تو Δx منفی ہوگا۔

شکل 3.2 مقام ۔ وقت گراف، جب (a) شے ساکن ہے، اور(b) جب شے یکساں حرکت سے چل رہی ہے۔

شکل 3.3 ایک کار کا مقام۔ وقت گراف

نقل میں عددی قدر اور سمت دونوں ہوتے ہیں۔ ایسی مقداروں کو سمتیہ (vector) کے ذریعے ظاہر کیا جاتا ہے۔ آپ سمتیوں کے بارے میں اگلے باب میں پڑھیں گے۔ اس باب میں ہم ایک خط مستقیم پر حرکت (جسے مستقیم حرکت بھی کہا جاتا ہے) کے بارے میں پڑھیں گے۔ ایک ابعادی حرکت میں دوہی سمتیں ہوتی ہیں (پچھلی سمت اور اگلی سمت، اوپری سمت اور نچلی سمت) جن میں شے حرکت کرتی ہے۔ ان دونوں سمتوں کو ہم آسانی کے لیے + اور_ علامتوں سے ظاہر کرسکتے ہیں۔ مثال کے لیے اگر موٹر مقام O سے P پر پہنچتی ہے تو اس کا نقل (ہٹاؤ) ہے:

Δx = x2 _ x1 = (+360 m) _ 0 m = + 360 m

اس نقل کی عددی قدر

ہے اور اس کی سمت x کی مثبت سمت میں ہے جسے +علامت کے ذریعے ظاہر کیا جاتا ہے۔ اس طرح موٹر کا P سے Q تک کا نقل:

ہے۔

منفی نشان نقل کی سمت کو ظاہر کرتا ہے۔لہٰذا، شے کی ایک ابعادی حرکت بیان کرنے کے لیے سمتی نشان کا استعمال ضروری نہیں ہوتا۔

نقل کی عددی قدر کسی شے کے ذریعے طے کی گئی راہ لمبائی کے برابر بھی ہوسکتی ہے اور نہیں بھی ہوسکتی ہے۔

مثال کے لیے اگر موٹر مقام Oسے چل کرP پر پہنچ جائے تو (راہ لمبائی

(+360m=

اور نقل

+360m=

ہوگا۔یہاں نقل کی عددی قدر

(360 m)

راہ کی لمبائی

(360 m)

کے برابر ہے۔ لیکن اگر کار O سے چل کر P تک جائے اور Q پر واپس آجائے

راہ کی لمبائی ہوگا لیکن نقل

ہوگی۔اس بار نقل کی قدر (240m) موٹرکے ذریعے چلی گئی راہ لمبائی (480m )کے برابر نہیں ہے (درحقیقت کم ہے)۔

نقل کی عددی قدر حرکت کے دوران کسی مدت کے لیے صفر بھی ہوسکتی ہے جب کہ اس کے مطابق راہ کی لمبائی صفر نہیں ہے۔ مثال کے لیے شکل 3.1 میں اگر موٹر O سے چل کر P تک جائے اور پھر O پر واپس آجائے تو موٹر کا آخری مقام ابتدائی مقام پر منطبق ہوجاتا ہے اورنقل صفر ہوجاتا ہے۔ لیکن کار کے اس پورے سفر کے لیے کل راہ لمبائی

OP + PO = + 360 m + 360 m = + 720 m ہوگی۔

جیسا کہ آپ پہلے پڑھ چکے ہیں کہ کسی بھی شے کی حرکت کو مقام۔ وقت گراف کے ذریعے ظاہر کیا جاسکتا ہے۔ اس طرح کے گراف ایسے طاقت ور ذرائع ہوتے ہیں جن سے شے کی حرکت کے مختلف پہلوؤں کا اظہار اور تجزیہ آسانی سے کیا جاسکتا ہے۔ کسی خط مستقیم (جیسے x−محور) کے ساتھ کسی شے کی حرکت کے لیے وقت کے ساتھ صرف x− کوآرڈی نیٹ ہی تبدیل ہوتا ہے۔ اس طرح ہمیں x−t گراف حاصل ہوتا ہے۔ہم سب سے پہلے ایک سادہ معاملے پر غور کریں گے، جس میں ایک شے ساکن ہے، مثال کے لیے، ایک موٹر

x = 40 m پر واقع ہے۔ایسی شے کی لیے مقام۔وقت

(x-t)گراف وقت۔محور کے متوازی ایک خط مستقیم ہوتاہے جیسا کہ شکل

3.2(a)

میں دکھایا گیا ہے۔

اگر کوئی شے یکساں وقفۂ وقت میں یکساں دوری طے کرتی ہے، تو اس شے کی حرکت یکساں حرکت کہلاتی ہے۔ اس طرح کی حرکت کا مقام۔ وقت گراف شکل

3.2(b)

میں دکھایا گیا ہے۔

اب ہم اس موٹر کی حرکت پر غور کریں گے جو مبدا O سے t = 0 s پر ساکن حالت سے چلنا شروع کرتی ہے۔اس کی چال بتدریج t = 10 s تک بڑھتی جاتی ہے۔اس کے بعد وہ t = 18 s تک یکساں چال سے چلتی ہے۔ ٹھیک اسی وقت اس میں بریک لگایا جاتا ہے جس کے نتیجے میں وہ t = 20 s پر اور x = 296 m پر رک جاتی ہے۔ ایسی موٹر کا مقام۔ وقت گراف تصویر 3.3 میں دکھایا گیا ہے۔ ہم اس گراف کی بات اسی باب میں آگے آنے والے حصہ میں دوبارہ کریں گے۔

3.3 اوسط رفتار اور اوسط چال

(Average Velocity and Average Speed)

جب کوئی شے حرکت میں ہوتی ہے تو وقت کے ساتھ ساتھ اس کے مقام میں تبدیلی ہوتی ہے۔ سوال پیدا ہوتا ہے کہ وقت کے ساتھ کتنی تیزی سے شے کے مقام میں تبدیلی ہوتی ہے اور یہ تبدیلی کس سمت میں واقع ہوتی ہے؟ اس کو بیان کرنے کے لیے ایک مقدار کی تعریف کرتے ہیں جسے اوسط رفتار کہا جاتاہے۔ کسی شے کے مقام میں تبدیلی یا نقل (Δx) کو وقفۂ وقت (Δt) کے، جس میں وہ نقل ہوا ہے، ذریعے تقسیم کرنے پراوسط رفتار حاصل ہوتی ہے۔ اسے V سے ظاہر کرتے ہیں۔

یہاں x1، وقت t1 پر اور x2، وقت t2 پر، شے کے مقامات کو ظاہر کرتے ہیں۔ یہاں رفتار کی علامت

کے اوپر لگایا گیا خط، رفتار کی اوسط قدر کو ظاہر کرتا ہے۔ کسی مقدار کی اوسط قدر کو دکھانے کا یہ ایک معیاری طریقہ ہے۔ رفتار کی SI اکائی m/s یا ms-1 ہے ،اگرچہ روز مرہ کے استعمال میں اس کے لیے km h-1 کا بھی استعمال ہوتاہے۔

نقل کی طرح اوسط رفتار بھی سمتیہ(vector) مقدار ہے۔ اس میں سمت اور مقدار دونوں شامل ہیں۔ لیکن جیسا کہ ہم پہلے واضح کرچکے ہیں، اگر شے ایک خط مستقیم میں حرکت کررہی ہے تو اس کے سمتی پہلو کو + یا - نشانوں کے ذریعے ظاہر کرسکتے ہیں۔ اس لیے اس باب میں رفتار کے لیے سمتیہ نشانات کا استعمال کرنے کی ضرورت نہیں ہے۔

شکل 3.4 اوسط چال خط P2 P1 کا ڈھلان ہے۔

شکل 3.3 میں دکھائی گئی موٹر کی حرکت ملاحظہ کریں۔ x-tگراف میں t = 0 s اور t = 8 s کے درمیان کے حصے کو بڑا کرکے شکل 3.4 میں دکھایا گیا ہے۔ جیسا کہ گرافی ترسیم(plot) سے ظاہر ہے t = 5s اور t = 7s کے درمیان وقفہ وقت میں کار کی اوسط رفتار ہوگی؛

جیومیٹریائی اعتبارسے یہ، آغازی مقام P1 کو اختتامی مقام P2 سے ملانے والے خطP1P2 کا ڈھلان (slope) ہے، جیسا کہ شکل 3.4 میں دکھایا گیا ہے۔

اوسط رفتار x مثبت یا منفی ہوسکتی ہے جو نقل کی علامت پر منحصر ہے۔ اگر نقل صفر ہوگا تو اوسط رفتار کی قدر بھی صفر ہوگی۔ مثبت اور منفی رفتار سے چلتی ہوئی شے کے لیے x-tگراف علی الترتیب شکل

3.5(a)

اور شکل

3.5(b)

گراف شکل x-t میں دکھائے گئے ہیں اور ساکن شے کے لیے

3.5(c)

میں دکھایاگیاہے۔

شکل 3.5 مقام۔ وقت گراف اس شے کے لیے جو (a) مثبت رفتار سے حرکت کررہی ہے۔ (b) منفی رفتار سے حرکت کررہی ہے اور (c) حالتِ سکون میں ہے۔

جس طور پر اوپراوسط رفتار کی تعریف کی گئی ہے، اس میں صرف شے کا نقل شامل ہے۔ ہم یہ دیکھ چکے ہیں کہ نقل کی عددی قدر حقیقی راہ لمبائی سے مختلف ہوسکتی ہے۔ حقیقی راہ پر شے کی حرکت کی شرح بیان کرنے کے لیے ہم ایک دوسری مقدار کو متعارف کرتے ہیں جسے اوسط چال (average speed) کہتے ہیں۔

شے کے ذریعے سفر کی مدت میں طے کی گئی کل راہ کی لمبائی اور اس میں لگے وقت کے حاصل تقسیم کو اوسط چال کہتے ہیں۔

کل راہ کی لمبائی

(3.2) ——____—— =اوسط چال

کل وقفہ وقت

اوسط چال کی وہی اکائی (m s-1) ہوتی ہے جو رفتار کی ہوتی ہے۔ لیکن اوسط چال سے یہ پتہ نہیں چل پاتا کہ شے کس سمت میں حرکت کررہی ہے۔ اس لیے اوسط چال ہمیشہ مثبت ہی ہوتی ہے (جب کہ اوسط رفتار مثبت یا منفی کچھ بھی ہوسکتی ہے)۔ اگر شے ایک خط مستقیم پر حرکت کررہی ہے اور صرف ایک ہی سمت میں چلتی ہے تو نقل کی عددی مقدار کل راہ کی لمبائی کے برابر ہوگی۔ایسے حالات میں شے کی اوسط رفتار کی عددی اس کی اوسط چال کے برابر ہوگی۔لیکن یہ بات ہمیشہ صحیح نہیں ہوگی۔یہ آپ مثال3.1میں دیکھیں گے۔

مثال 3.1 ایک موٹر خط مستقیم (مان لیجیے شکل 3.1 میں خط OP) پر حرکت کررہی ہے۔ کار O سے چل کر18s میں P تک پہنچتی ہے، پھر 6s میں مقام Pسے مقام Q پر واپس ہوجاتی ہے۔ موٹر کی اوسط رفتار اور اوسط چال کا حساب لگائیے: جب (a) موٹر O سے P تک جاتی ہے، اور (b) جب وہ O سے Pتک جاکر پھر Q پر واپس آجاتی ہے۔

جواب:

لہٰذا اس حالت میں اوسط چال کی قدر اوسط رفتار کی عددی قدر کے برابر ہے۔

اس صورت میں

اس طرح اس معاملے میں اوسط چال، اوسط رفتار کی عددی قدر کے برابر نہیں ہے۔ اس کی وجہ موٹر کی حرکت کے دوران حرکت کی سمت میں تبدیلی ہے جس کے نتیجے میں راہ کی لمبائی نقل کی عددی قدر سے زیادہ ہے۔ اس سے ظاہرہوتا ہے کہ

شے کی چال عام طورپر رفتار کی عددی قدر سے زیادہ ہوتی ہے۔

اگر مثال 3.1 میں کار مقام O سے P نقطے تک جائے اور یکساں وقفہ وقت میں یہ O مقام پر واپس آجائے تو کار کی اوسط چال

ہوگی لیکن اس کی اوسط رفتار صفر ہوگی۔

3.4 ساعتی رفتار اور چال

(INSTANTANEOUS VELOCITYAND SPEED)

اوسط رفتار سے ہمیں یہ پتہ چلتا ہے کہ کوئی شے کسی دیے گئے وقفۂ وقت میں کتنی تیز حرکت کررہی ہے، لیکن ا س سے یہ پتہ نہیں چل پاتا کہ اس وقفۂ وقت کی مختلف ساعتوں پر کتنی تیز حرکت کررہی ہے۔لہٰذا کسی ساعت t پر رفتار کے لیے ہم ساعتی رفتار یا صرف رفتار v کی تعریف کرتے ہیں۔

ایک ساعت پر رفتار (ساعتی رفتار) کی تعریف اس طرح کی جاتی ہے کہ یہ اوسط رفتار کی وہ حد ہے جب وقفہ وقت Dt لا انتہاخفیف (infinitesimally small) ہو۔دوسرے الفاظ میں

یہاں علامت

سے مراد اس عمل سے ہے کہ اس کے دائیں جانب واقع مقدار (جیسے

کی وہ حد(limit)لی جائے جو Δt کی قدر کو صفر کی طرف (Δt→0 ) لینے سے حاصل ہوتی ہے۔ تفرقی احصاء کی زبان میں مساوات (3.3a) میں دائیں طرف کی مقدار xکا t کی نسبت تفرقی ضربیہ (differential coefficient) ہے اور جس کو

سے ظاہر کرتے ہیں۔(ضمیمہ 3.1 دیکھیے)یہ اس ساعت پر، وقت کی نسبت سے، شے کے مقام کی تبدیلی کی شرح ہے۔

کسی ساعت پر شے کی رفتار حاصل کرنے کے لیے ہم مساوات (3.3a)کا استعمال کرسکتے ہیں۔ ایسا گرافی یا عددی طریقے سے کیا جاسکتا ہے۔ مان لیجیے کہ ہم موٹرکی حرکت، جو کہ شکل (3.3) میں پیش کی گئی ہے، کے لیے t = 4s (نقطہ P) پرگرافی طریقے سے رفتار حاصل کرنا چاہتے ہیں۔ حساب کی آسانی کے لیے اس شکل کو شکل 3.6 میں الگ پیمانہ منتخب کرکے دوبارہ کھینچا گیاہے۔ پہلے ہم t = 4 s کو مرکز میں رکھ کر Δtکو 2 s لیں۔

شکل3.6 مقام ۔وقت گراف سے رفتار معلوم کرنا۔ t = 4 s پر رفتار اس ساعت پر گراف کا خط مماس (tangent) ساعتی رفتار کو ظاہر کرتا ہے۔

اوسط رفتار کی تعریف کے مطابق خط مستقیم P1P2 (شکل 3.6) کی ڈھلان 3s سے 5s وقفے میں شے کی اوسط رفتار کو ظاہر کرے گی۔ اب ہم Δtکی قدر 2 s سے گھٹا کر 1sکردیتے ہیں توP1P2 خط Q1Q2ہوجاتا ہے اور اس کی ڈھلان 3.5sسے 4.5sکے وقفہ میں اوسط رفتار کی قدر فراہم کرے گی۔ آخرکارحدΔt→0 میں خطP1P2مقام وقت منحنی کے نقطہ P پرمماس (tangent) ہوجاتا ہے۔اوراس طرح

t = 4 s

ساعت پر موٹر کی رفتار اس نقطے پر کھینچے گئے مماس کی ڈھلان کے برابر ہوگی۔

حالانکہ گرافک طریقے سے اسے پیش کرنا کچھ مشکل ہے تاہم اگر اس کے لیے ہم عددی طریقے کا استعمال کریں تو حدی عمل آسانی سے سمجھا جاسکتا ہے۔

شکل 3.6 میں کھینچے گئے گراف کے لیے x = 0.08t3 ہے۔جدول3.1 میں t = 4 sکو مرکز میں رکھ کر، Δt = 2.0 s, 1.0s, 0.5s, 0.1s, 0.01s کے لیے Δx/Δt کی قدروں کو دکھایا گیا ہے۔

دوسرے اور تیسرے کالم میں بالترتیب

اور

چوتھے اورپانچویں کالم میں ان کی x کے موافق قدروں یعنی

کو دکھایا گیا ہے۔ چھٹے کالم میں فرق Δx = x (t2)-x (t1)کو اور آخری کالم میں Δx اور Δt کے تناسب کو ظاہر کیا گیا ہے۔ یہ تناسب پہلے کالم میں درج Δt کی الگ الگ قدروں کے متطابق اوسط رفتار کی قدر ہے۔

جدول3.1 سے ظاہر ہے کہ جیسے جیسے ہم Δtکی قدر 2.0s سے گھٹاتے گھٹاتے 0.01s کرتے ہیں تواوسط رفتار آخر کار حدی قدر

کے برابر ہوجاتی ہے جو t = 4 s پر موٹرکی رفتار ہے یعنی

t = 4s

پر

کی قدر۔ اس طرح شکل 3.3 میں دکھائی گئی حرکت کے لیے ہم ہرساعت پر موٹر کی رفتار نکال سکتے ہیں۔ اس مثال کے لیے وقت کے ساتھ رفتار میں تبدیلی شکل 3.7 میں دکھائی گئی ہے۔

شکل3.7 شکل 3.3 میں دکھائی گئی شے کی حرکت متطابق رفتار۔ وقت گراف

یہاں یہ بات غور کرنے کی ہے کہ شے کی ساعتی رفتار نکالنے کے لیے گرافی طریقہ ہمیشہ سہل نہیں ہوتا۔اس طریقے (گرافی طریقہ) میں ہم متحرک شے کے مقام−وقت گراف کو احتیاط سے کھینچتے ہیں اورΔtکوبتدریج کم کرتے ہوئے شے کی اوسط رفتار(V)کا حساب لگاتےجاتے ہیں۔الگ الگ ساعتوں پر شے کی رفتارنکالناتب بہت آسان ہوجاتا ہےجب مختلف اوقات پرہمارے پاس شے کے مقام کے کافی اعداد وشمار دستیاب ہوں یاشے کے مقام کے بہ طوروقت کے تفاعل کے لیے ہمارے پاس قطعی درست ریاضیاتی عبارت موجودہو۔ایسی حالت میں دستیاب اعدادوشمارکااستعمال کرتے ہوئےوقفہ وقتΔtکوعلی الترتیب گھٹاتے ہوئے

Δx/Δt کی قدر نکالتے جائیں گے اورآخر کارجدول3.1میں دکھائے گئے طریقے کے مطابقΔx/Δt کی انہائی قدرحاصل کرلیں گے یا دی گئی ریاضیاتی عبارت کے لیے تفرقی احصا کا استعمال کرکے حرکت کرتی ہوئی شے کی الگ الگ ساعتوں کے لیے

کی تحسیب کرلیں گے ،جیسا کہ مثال 3.2 میں بتایا گیا ہے۔

جدول 3.1 t = 4 s کے لیے Δx/Δt کی انتہائی قدریں

Δt	t1	t2	(x(t1	(x(t2	x	Δx ⁄ Δt
(s)	(s)	(s)	(m)	(m)	(m)	(m s-1)
2.0	3	5	2.16	10.0	7.84	3.92
1.0	3.5	4.5	3.43	7.29	3.68	3.86
0.5	3.75	4.25	4.21875	6.14125	1.9225	3.845
0.1	3.95	4.05	4.93039	5.31441	0.38402	3.8402
0.01	3.995	4.005	5.100824	5.139224	0.0384	3.8400

مثال 3.2-xمحورپرمتحرک شے کا مقام درج ذیل ریاضیاتی عبارت سے ظاہرکیا جاتا ہے:x =a +b t2 یہاںa = 8.5 m, b = 2.5 ms2اوروقت کو سیکنڈ میں ظاہرکیا گیا ہے۔ t = 0 s اور t = 2 s ساعتوں پر شے کی رفتار کیا ہوگی؟ t = 2 s اور t = 4 s کے درمیان کے وقفہ وقت میں شے کی اوسط رفتار کیا ہوگی؟

جواب تفرقی احصا کی علامتوں میں، رفتار ہے۔

t=0sساعت کے لیے v = 0 m s–1اور t=2sساعت کے لیے

v = 10 m s–1

= 6× 2.5 = 15.0 m s–1

شکل 3.7 سے یہ ظاہر ہے کہ t =10 s سے t =18 s کے درمیان رفتار مستقل رہتی ہے۔ t =18s سے t =20 s کے درمیان یہ یکساں طورپرکم ہوتی جاتی ہے جب کہ t =0 s سے t =10 s کے درمیان یہ بڑھتی جاتی ہے۔

غورکیجیے کہ یکساں حرکت میں ہر وقت (ساعتی) رفتار کی وہی قدر ہوتی ہے جو اوسط رفتار کی ہوتی ہے۔ساعتی چال

یا صرف چال حرکت کرتی ہوئی شے کی رفتار کی عددی قدر ہے۔ مثال کے لیے رفتار

دونوں سے منسلک چال

ہوگی۔ یہاں اس بات کو ذہن میں رکھنا ہے کہ جہاں کسی منتہائی (Finite) وقفۂ وقت میں شے کی اوسط چال اس کی اوسط رفتار کی عددی قدر کے یا تو برابر ہوتی ہے یا اس سے زیادہ ہوتی ہے، وہیں کسی ساعت پر شے کی ساعتی چال اس ساعت پر اس کی ساعتی رفتار کی عددی قدر کے برابر ہوتی ہے۔ ایسا کیوں ہوتا ہے؟

3.5 اسراع (ACCELERATION)

عمومی طورپر شے کی حرکت کے دوران اس کی رفتار میں تبدیلی ہوتی رہتی ہے۔ رفتار میں ہورہی اس تبدیلی کو کیسے ظاہر کریں؟ کیا رفتار میں ہورہی اس تبدیلی کو رفتار میں شرح تبدیلی بہ نسبت دوری یا بہ نسبت وقت ظاہر کر یں ؟یہ مسئلہ گیلیلیو کے زمانے میں بھی تھا۔ گیلیلیو نے پہلے سوچا کہ رفتار میں ہورہی تبدیلی کی اس شرح کو دوری کے بہ نسبت ظاہر کیا جاسکتا ہے، لیکن جب انھوں نے آزادانہ طور سے گرتی ہوئی اور مائل مستوی (inclined plane) پر متحرک اشیا کی حرکت کا باقاعدہ مشاہدہ کیا تو انھوں نے پایا کہ وقت کی بہ نسبت رفتار کی تبدیلی شرح کی قدر آزادانہ گرتی ہوئی اشیاکے لیے حرکت کے دوران مستقل رہتی ہے جب کہ دوری کی بہ نسبت شے کی رفتار کی تبدیلیِ مستقل نہیں رہتی بلکہ جیسے جیسے گرتی ہوئی شے کی دوری بڑھتی جاتی ہے ویسے ویسے یہ قدر گھٹتی جاتی ہے۔ اس مطالعہ نے اسراع کے موجودہ تصور کو پیدا کیا جس کے مطابق اسراع کو وقت کی مناسبت سے رفتار کی شرحِ تبدیلی کی شکل میں متعارف کرتے ہیں۔

جب کسی شے کی رفتار وقت کے ساتھ بدلتی ہے تو ہم کہتے ہیں کہ اس میں اسراع ہورہا ہے۔ رفتار میں تبدیلی اور اس کے متطابق وقفۂ وقت کی نسبت کو ہم اوسط اسراع کہتے ہیں۔ اسے a سے ظاہر کرتے ہیں۔

یہاں t1، t2 ساعتوں پر شے کی ساعتی رفتاریا رفتار علی الترتیب v1 اور v2 ہے۔ یہ اکائی وقت میں رفتار میں اوسط تبدیلی ہوتی ہے۔ اسراع کی SI اکائی ms-2 ہے۔

رفتار۔ وقت (v-t)گراف میں اوسط اسراع اس خط مستقیم کے ڈھلان کے برابر ہوتا ہے جو نقطہ (v2, t2) کونقطہ (v1,t1) سے جوڑتی ہے۔ نیچے کی مثال میں شکل 3.7 میں دکھائی گئی حرکت کے الگ الگ وقفۂ وقت میں شے کا اوسط اسراع نکالاگیا ہے۔

شکل3.8شکل 3.3 میں دکھائی گئی حرکت کے لیے، وقت کے تفاعل کی شکل میں شے کا اسراع

ساعتی اسراع :جس طرح ہم نے پہلے ساعتی رفتار کی تعریف کی ہے، اسی طرح ہم ساعتی اسراع کی بھی تعریف کرتے ہیں۔ شے کے ساعتی اسراع کو a سے ظاہر کرتے ہیں یعنی

کسی ساعت پر اسراع اس ساعت پرv-t منحنی پر کھینچے گئے مماس کے ڈھلان کے برابر ہوتا ہے۔ شکل 3.7 میں دکھائے گئے v-t منحنی میں ہر ایک ساعت کے لیے اسراع حاصل کرسکتے ہیں۔نتیجتاً دستیاب a-t منحنی شکل 3.8 میں دکھایا گیا ہے۔ شکل سے ظاہر ہے کہ 0s سے 10s کی مدت میں اسراع غیر یکساں ہے۔ 10s-18 s کے درمیان یہ صفر ہے جب کہ 18s اور20s کے درمیان یہ مستقل ہے اور ا س کی قدر

ہے۔ جب اسراع یکساں ہوتا ہے تو یہ ظاہر ہے کہ وہ اس مدت میں اوسط اسراع کے برابر ہوتا ہے۔

چونکہ رفتار ایک سمتی مقدار ہے جس میں سمت اور عددی قدر دونوں ہوتے ہیں اس لیے رفتار کی تبدیلی میں ان میں سے کوئی ایک یا دونوں عوامل شامل ہوسکتے ہیں۔ لہٰذا اسراع یا تو چال (عددی قدر) میں تبدیلی، سمت میں تبدیلی یا ان دونوں میں تبدیلی سے واقع ہوتا ہے۔ رفتار کی طرح ہی اسراع بھی مثبت، منفی یا صفر ہوسکتا ہے۔ اسی طرح کے اسراع سے متعلق−مقام وقت گرافوں کو شکلوں

میں دکھایا گیا ہے۔ شکلوں سے ظاہر ہے کہ مثبت اسراع کے لیے x=tگراف فرازی(upward)ہے لیکن منفی اسراع کے لیے گراف نشیبی (downward) ہے۔صفر اسراع کے لیے x - t گراف ایک خط مستقیم ہے۔ مشق کے لیے شکل 3.3 میں دکھائے گئے منحنی کے ان تینوں حصوں کو پہچانیے جن کے لیے اسراع مثبت،منفی یا صفر ہے۔

اگرچہ اسراع وقت کے ساتھ ساتھ بدل سکتا ہے، لیکن آسانی کے لیے اس باب میں حرکت سے متعلق ہمارامطالعہ محض مستقل اسراع تک ہی محدود رہے گا۔ ایسی حالت میں اوسط اسراع aکی قدر حرکت کی مدت میں مستقل اسراع کی قدر کے برابر ہوگی۔ اگر ساعت t =0 پر شے کی رفتارvo اور tساعت پر اس کی رفتار vہو،تو اسراع

شکل 3.9 ایسی حرکت کے لیے مقام ۔ وقت گراف جس کے لیے (a)اسراع مثبت ہے، (b) اسراع منفی ہے، اور (c) اسراع صفر ہے۔

اب ہم یہ دیکھیں گے کہ کچھ سادہ مثالوں میں رفتار۔ وقت گراف کیسا دکھائی دیتا ہے۔ شکل 3.10 میں مستقل اسراع کے لیے چار الگ الگ صورتوں میں v۔tگراف دکھائے گئے ہیں :

شکل 3.10 مستقل اسراع کے ساتھ حرکت کے رفتار۔ وقت گراف (a) مثبت اسراع سے مثبت سمت میں حرکت، (b) منفی اسراع سے مثبت سمت میں حرکت، (c) منفی اسراع سے منفی سمت میں حرکت، (d) منفی اسراع کے ساتھ شے کی حرکت جو وقت t1 پر سمت بدلتی ہے۔ 0 سے t1 وقفۂ وقت میں یہ مثبت x سمت میں حرکت کرتی ہے جب کہ t1 اور t2 کے درمیان وہ مخالف سمت میں متحرک ہے۔

(a) کوئی شے مثبت سمت میں مثبت اسراع سے متحرک ہے۔ مثال کے لیے شکل 3.3 میں t = 0 s سے

t = 10 s کے درمیان کی مدت میں کار کی حرکت۔

(b) کوئی شے مثبت سمت میں منفی اسراع سے متحرک ہے۔ مثال کے لیے، شکل 3.3 میں t = 18 s سے t = 20 s کے درمیان کی مدت میں کار کی حرکت۔

(d) کوئی شے پہلے t1 وقت تک مثبت سمت میں چلتی ہے اور پھرواپس مڑتی ہے اور منفی سمت میں یکساں منفی اسراع کے ساتھ متحرک ہے۔ مثال کے لیے شکل 3.1 میں موٹر کا t1 وقت تک O سے نقطہ Q تک گھٹتی ہوئی رفتار کے ساتھ جانا، پھر مڑ کر اسی منفی اسراع کے ساتھ t2 وقت تک چلتے رہنا ۔

کسی متحرک شے کے رفتار۔ وقت گراف کی ایک اہم خصوصیت ہے کہ v - t گراف کے تحت آنے والا رقبہ متعین وقفۂ وقت میں شے کے نقل کو ظاہر کرتاہے۔ اس بیان کے عمومی ثبوت کے لیے تفرقی احصا کی ضرورت پڑتی ہے۔ تاہم ایک سادہ صورت کے لیے جس میں شے مستقل رفتار u سے حرکت کررہی ہوہم اسے ثابت کرسکتے ہیں۔ اس شے کا رفتار–وقت گراف شکل 3.11 میں دکھایا گیا ہے۔

شکل 3.11 v_t گراف کے تحت آنے والا رقبہ شے کے ذریعے متعین وقفے میں نقل کو ظاہر کرتا ہے۔

شکل میں v _tمنحنی، وقت -محور کے متوازی ایک خط مستقیم ہے، اور t = 0 سے t = T کے درمیان اس خط کے تحت آنے والا رقبہ اس مستطیل کے رقبے کے برابر ہے جس کی اونچائی u اور قاعدہ T ہے۔لہٰذا u+T = uT = رقبہ، جو اس وقت میں شے کا نقل ہے۔ کوئی رقبہ دوری کے برابر کیسے ہوسکتا ہے؟ غورکیجیے! دونوں محوروں کے ساتھ جو مقداریں دی گئی ہیں اگر آپ ان کے ابعاد(dimensions) پر غور کریں گے تو آپ کو اس کا جواب مل جائے گا۔

غورکیجیے کہ اس باب میں متعدد مقامات پر کھینچے گئے۔ x - t, x - t اور a - t گرافوں میں کچھ نقاط پر تیزبَل (موڑ) ہیں۔ اس سے مراد یہ ہے کہ دیے گئے تفاعل ان نقاط پر تفرق پذیرنہیں ہیں لیکن کسی حقیقی صورتِ حال میں سبھی گراف ہموارمنحنی (smooth curve) ہوں گے اور ان کے سبھی نقاط پر تفاعل تفرق پذیر ہوگا۔

طبیعی طور پراس کا مطلب ہے کہ اسراع اور رفتار کی قدریں کسی لمحہ ایک لخت نہیں تبدیل ہوسکتیں۔تبدیلیاں ہمیشہ لگاتارہوں گی۔

3.6 یکساں اسراع سے متحرک شے کی مجرد حرکیاتی مساواتیں(KINEMATIC EQUATIONS FOR UNIFORMLY ACCELERATED MOTION)

اب ہم یکساں اسراع 'a' سے متحرک شے کے لیے کچھ سادہ مساواتیں اخذ کرسکتے ہیں جو پانچوں مقداروں کو کسی طرح سے ایک دوسرے سے جوڑتی ہیں۔یہ مقداریں ہیں: نقل(x)، لیا گیا وقت

وقت پر شے کی ابتدائی رفتار (v0) ، اختتامی رفتار (v)، اور اسراع (a)۔ ہم پہلے ہی v0 اور v کے درمیان ایک مساوات (3.6) حاصل کرچکے ہیں جس میں یکساں اسراع a اور وقت t شامل ہیں۔یہ مساوات ہے:

v = vo + at

اس تعلق کو شکل 3.12 میں گرافی طور پرپیش کیا گیا ہے۔

شکل 3.12 یکساں اسراع سے متحرک شے کے لیے v_t منحنی کے تحت آنے والا رقبہ

اس منحنی کے تحت آنے والا رقبہ:

مثلث کا رقب ABC کا رقبہ + مستطیل OACD کا رقبہ =0تا t وقت کے درمیان کا رقبہ

جیسا کہ پچھلے حصّے میں واضح کیاجاچکا ہے،v۔t گراف کے تحت آنے والا رقبہ شے کا نقل ہوتا ہے، لہٰذا شے کا نقل x ہوگا:

مساوات (3.7) درج ذیل طورپر لکھی جاسکتی ہے

مساوات (3.9a) اور (3.9b) سے مراد ہے کہ شے میں نقل x،اوسط رفتار v سے ہوا ہے جو ابتدائی اور اختتامی رفتاروں کے حسابی اوسط کے برابر ہوتی ہے۔

مساوات (3.6) سے: t = (v_v0)/a،یہ قدر مساوات (3.9a) میں رکھنے پر

اگر ہم مساوات (3.6) سے t کی قدر مساوات (3.8) میں رکھ دیں تو بھی درج بالا مساوات کو حاصل کیا جاسکتا ہے۔ اس طرح ہم نے پانچ مقداروں v0 , v, a, t اور x کے درمیان رشتہ قائم کرنے والی تین اہم مساواتیں حاصل کی ہیں۔

یہ سبھی مستقل اسراع والی مستقیم حرکت کی مجرد حرکیاتی مساوات ہیں۔

مساواتوں کے سیٹ (3.11a) میں جو مساواتیں دی گئی ہیں، ان کو اخذ کرنے کے لیے ہم نے مانا ہے کہ ساعت t = 0 پر شے کا مقام 0 ہے، یعنی (x = 0) لیکن اگر ہم یہ مان لیں کہ ساعت

t = 0 پر شے کا مقام صفر نہ ہو بلکہ غیر صفر، یعنی x0 ہوتو مساوات (3.11a) درج ذیل ترمیم شدہ مساوات میں منتقل ہوجائے گی (اگر ہم x کے مقام پر x –x0 لکھیں) :

مثال 3.3 یکساں اسراع کے لئے حرکیاتی مساوات بذریعہ احصاء (calculas) معلوم کیجیے۔

جواب: اسراع کی تعریف سے لکھ سکتے ہیں

دونوں جانب تکمل کرنے پر

یہ طریقہ یوں بھی اہمیت کا حامل ہے کہ اس کو غیریکساں اسراع والی حرکت میں بھی استعمال کیا جاسکتا ہے۔

اب ہم درج بالا مساوات کا استعمال کچھ اہم مثالوں میں کریں گے۔

مثال 3.4 کسی کثیر منزلہ عمارت کی اوپری چھت سے کوئی گیند 20 m s-1 کی رفتار سے اوپر کی جانب عمودی طورپر اچھالی گئی ہے۔ جس نقطے سے گیند پھینکی گئی ہے زمین سے اس کی اونچائی 25.0m ہے۔ (a) گیند کتنی اوپر جائے گی؟ اور (b) گیند زمین سے ٹکرانے سے پہلے کتنا وقت لے گی؟ g =10 m s-2 لیجیے۔

جواب(a) محور y-کو جیسا شکل 3.13 میں دکھایا گیا ہے، عمودی سمت میں اوپر کی طرف اس طرح منتخب کرتے ہیں کہ محور کا صفر زمین پر ہو۔

اب v0 = + 20 m s-1

a = – g

= -10 m s-2

v = 0 m s-1

اگرپھینکے گئے نقطے سے گیند h اونچائی تک جاتی ہے تو مساوات (v2 = v20 + 2 (y–y0) سے ہمیں درج ذیل نتیجہ حاصل ہوگا:

0 = (20)2 + 2 (_10) (y–y0)

حل کرنے پر

y–y0) = 20 m)

(b) اس حصے کاجواب ہم دو طرح سے حاصل کرسکتے ہیں۔

ان دونوں طریقوں کو دھیان سے سمجھیں۔

شکل : 3.13

پہلاطریقہ: اس میں ہم گیند کے راستے کو دوحصوں میں تقسیم کرتے ہیں:اوپر کی طرف حرکت (A تا B) اور نیچے کی طرف حرکت (B تا C) اور ان کے مطابق وقت t1 اور t2 نکال لیتے ہیں۔ چونکہ B پر رفتار صفر ہے اس لیے

اس وقت میں گیند نقطہ A سے B پر پہنچتی ہے۔ B، یعنی ازحد اونچائی سے گیندکششِ ارضی کے سبب اسراع کے تحت آزادانہ طورپر نیچے کی طرف گرتی ہے۔ چونکہ گیند y کی منفی سمت میں چلتی ہے، اس لیے درج ذیل مساوات کا استعمال کرکے ہم t2 کی قدر نکال لیتے ہیں:

اس لیے زمین پر ٹکرانے سے پہلے گیند کے ذریعے لیا گیا کل وقت t1+t2 = 2 s + 3 s = 5 s ہوگا۔

دوسرا طریقہ: بنیادی نقطے کے ساتھ گیند کے ابتدائی اور آخری مقامات کے کوارڈی نیٹس کو درج ذیل مساوات میں استعمال کرکے ہم گیند کے ذریعے لیے گئے کل وقت کا حساب کرسکتے ہیں:

t کے لیے اگر اس دو درجی مساوات کو حل کریں توt = 5 s

غورکیجیے کہ دوسرا طریقہ پہلے سے بہتر ہے کیونکہ اس میں ہمیں حرکت کی راہ کی فکر نہیں کرنی ہے کیونکہ شے مستقل اسراع سے متحرک ہے۔

مثال 3.5 آزادنہ گرنا: آزادی سے نیچے کی طرف گرتی ہوئی شے کی حرکت بیان کیجیے۔ ہوا کی مزاحمت کو نظرانداز کیجیے۔

جواب

اگر زمین کی سطح سے تھوڑی اونچائی پر سے کوئی شے چھوڑ دی جائے تو وہ ارضی کشش کے سبب زمین کی طرف اسراع کرے گی۔ اس طرح کی قوت کے بارے میں ہم آٹھویں باب میں تفصیل سے پڑھیں گے۔سادی کشش اسراع (کشش ارضی کے سبب اسراع) کو ہم g سے ظاہر کرتے ہیں۔ اگر شے پر ہوا کی مزاحمت کو نظرانداز کریں تو ہم کہیں گے کہ شے کا گرنا آزادانہ ہورہا ہے۔ اگر گرتی ہوئی شے کے ذریعے طے کی گئی دوری زمین کے نصف قطر کے مقابلے میں بہت کم ہے تو ہم g کی قدر مستقل، یعنی

لے سکتے ہیں۔ اس طرح آزادانہ گرنا یکساں اسراع والی حرکت کی ایک مثال ہے۔

ہم فرض کرتے ہیں کہ حرکت کی سمت yہے زیادہ درست ہوگا اگرہم یہ مانیں کہ شے کی حرکت (y-) سمت میں ہے، کیونکہ اوپر کی سمت کو ہم مثبت مانتے ہیں۔مادی کشش اسراع کی سمت ہمیشہ نیچے کی جانب ہوتی ہے، اس لیے اسے ہم منفی سمت میں لیتے ہیں۔

لہٰذا، a = _g = – 9.8 m s-2

شے کو y = 0 پر حالت ِ سکون سے چھوڑا گیا ہے۔ اس لیے v0 = 0 اور حرکت کی مساواتیں ہوجاتی ہیں:

v = 0 – gt = – 9.8t m s-1

y = 0 – (1/2)gt-2 = – 4.9y m

v2= 0 – 2gy = – 19.6y m2 s-2

یہ مساواتیں شے کی رفتار، اور اس کے ذریعے طے کی گئی دوری کو وقت کے تفاعل کے طورپر اور دوری کے لحاظ سے اس کی رفتار میں تغیر کو ظاہر کرتی ہیں۔ وقت کے مطابق اسراع، رفتار اور دوری کے تغیر کو شکل 3.4 (a) ،(b) اور (c) میں دکھایا گیا ہے۔

شکل 3.14 آزادانہ گرنے میں شے کی حرکت (a) وقت کے ساتھ شے کے اسراع میں تبدیلی، (b) وقت کے ساتھ شے کی رفتار میں تبدیلی، (c) وقت کے ساتھ شے کے مقام میں تبدیلی۔

مثال 3.6 گیلیلیو کا طاق اعداد کا قانون: اس قانون کے مطابق کی حالت ِسکون سے گرتی ہوئی کسی شے کے ذریعے یکساں وقفۂ وقت میں طے کی گئی دوریاں ایک دوسرے سے اسی نسبت میں ہوتی ہیں جس نسبت میں ایک سے شروع ہونے والے طاق اعداد۔ [یعنی ....,7 :5 :3 :1] اس بیان کو ثابت کیجیے۔

جواب

ہم حالت ِ سکون سے گرتی ہوئی کسی شے کے وقفہ وقت کو بہت سے یکساں وقفۂ وقت t میں تقسیم کرلیتے ہیں اور علی الترتیب ان وقفہ وقت میں شے کے ذریعے طے کی گئی دوری نکالتے جاتے ہیں۔ اس حالت میں شے کی ابتدائی رفتار صفر ہے، لہٰذا

اس مساوات کی مدد سے ہم مختلف وقفہ وقت

میں شے کے مقامات کا حساب لگاسکتے ہیں جنہیں جدول 3.2 کے دوسرے کالم میں دکھایا گیا ہے۔ اگر پہلے وقفہ وقت t پر شے کا مقام–کوآرڈی نیٹ y0 لیں yo = (_1/2) gt2 تو آگے کے وقفہ وقت کے بعد شے کے مقامات کو y0کی اکائی میں کالم تین میں دیے گئے طریقے سے ظاہر کرسکتے ہیں۔ متواتر وقفہ وقت (ہر ایک t) میں طے کی گئی دوریوں کو کالم چارمیں ظاہر کیا گیا ہے۔ ظاہر ہے کہ علی الترتیب وقفہ وقت میں شے کے ذریعے طے کی گئی دوریاں ..1:3:5:7:9:11سادہ نسبت میں ہیں جیسا کہ آخری کالم میں دکھایا گیا ہے۔اس قانون کو سب سے پہلے گیلیلیو گیلیلی (1564 تا 1642) نے وضع کیا تھا جنھوں نے آزادانہ گرتی ہوئی شے کا پہلی بار باقاعدہ مقداری مطالعہ کیا تھا۔

مثال 3.7 گاڑیوں کی رُکنے کی دوری: جب متحرک گاڑی میں بریک کا لگایا جاتاہے تو بریک لگانے کے بعد رکنے سے پہلے اس کے ذریعے طے کی گئی دوری کو رکنے کی دوری کہتے ہیں۔ سڑک پر حفاظت کے سلسلے میں یہ ایک اہم بات ہے اور یہ دوری ابتدائی رفتار (v0) پر اور بریک لگانے کی صلاحیت یا بریک لگائے جانے کے نتیجے میں گاڑی میں پیدا ہونے والے منفی اسراع یا رفتار کی کمی (_a) پر منحصر ہوتی ہے۔ کسی گاڑی کی رکنے کی دوری کےلیے v0 اور a کی اصطلاح میں عبارت اخذکیجیے۔

جواب مان لیجیے گاڑی بریک لگانے کے بعد رکنے سے پہلے ds دوری طے کرچکی ہے۔ حرکت کی مساوات v2 = v02 + 2ax میں اختتامی رفتار v = 0 ہوتو رُکنے کی دوری

جدول 3.2

t	y	y کی قدر، y0 کے درجوں میں، y0 (=(_1/2) gt2)	متواتر وقفوں میں طے کی گئی دوری	طے کی گئی دوری کی نسبت
0	0	0
t	-(1/2) gt2	yo	yo	1
2t	-4(1/2) gt2	9yo	5yo	3
3t	-9(1/2( gt2	9yo	5yo	5
4t	-16(1/2( gt2	16yo	7yo	7
5t	-25(1/2( gt2	25yo	9yo	9
6t	-36(1/2( gt2	36yo	11yo	11

ہوگی۔ لہٰذا رکنے کی دُوری گاڑی کی ابتدائی رفتار کے مربع کے متناسب ہوتی ہے۔ اگر ابتدائی رفتار کو دوگنا کردیا جائے تو اسی ابطا رُکنے کی دوری چار گنی ہوجائے گی۔(اسی منفی اسراع کے لیے)

کار کے ایک خصوصی ماڈل کے لیے مختلف رفتاروں11، 15، 20 اور 25ms-1 کے متطابق رکنے کی دوری 34m,20 m,10m اور 50m پائی گئی ہے جو مذکورہ بالا فارمولے سے حاصل قدروں سے تقریباً ہم آہنگ ہے۔

کچھ جگہوں، جیسے کسی اسکول کے قریب، گاڑیوں کی چال کی حد کے تعین میں رُکنے کی دوری ایک اہم جُز ہوتا ہے۔

مثال 3.8 ردِّعمل وقفہ: کبھی کبھی ہمارے سامنے ایسے حالات پیدا ہوجاتے ہیں کہ ہم سے فوری کاروائی کی توقع کی جاتی ہے لیکن ہمارے اصل جوابی عمل سے پہلے کچھ وقت لگ جاتا ہے۔ کسی شخص کو مشاہدہ کرنے، اس کے بارے میں سوچنے اور کارروائی کرنے میں لگنے والا وقت ردِّعمل وقفہ ہے۔مثال کے لئے، مان لیجیے کہ کوئی شخص سڑک پر گاڑی چلارہا ہے اور اچانک راستے میں ایک لڑکا سامنے آجاتا ہے تو کار میں تیزی سے بریک لگانے سے پہلے اُس شخص کو جو وقت لگ جاتا ہے، اسے ردِّعمل وقفہ کہیں گے۔ردِّعمل وقفہ حالات کی پیچیدگی اور فرد خاص پر منحصر ہوتا ہے۔
آپ اپنے ردِّعمل وقفہ کی پیمائش ایک سادہ تجربے کے ذریعے کرسکتے ہیں۔آپ ایک دوست کو ایک پیمانہ (رولر) دیں اور اس سے کہیں کہ وہ آپ کے ہاتھ کے انگوٹھے اور انگشت شہادت کے درمیان کی خالی جگہ سے اس پیمانہ کو عمودی سمت میں گرادے (شکل 3.15)۔جیسے ہی پیمانہ کو چھوڑا جائے آپ اسے پکڑلیں۔ان دونوں واقعات (پیمانہ کو چھوڑنے اور آپ کے ذریعے پکڑنے) کے درمیان پیمانہ کے ذریعے طے کی گئی دوری d کی پیمائش کرلیں۔کسی خاص مثال میں پایا گیا :d=21.0 cm تو ردِّعمل وقفہ کا شمار کیجیے۔

دوست کا ہاتھ،پیمانہ،آپ کاہاتھ

شکل 3.15 ردعمل وقفہ کی پیمائش

جواب پیمانہ آزادانہ طورپر گرتاہے، لہٰذا ،v0 = 0, g = _ 9.8 ms-2 رد عمل دور tr اور طے کی گئی دوری (d) میں رشتہ ہے:

3.7 نسبتی رفتار(RELATIVE VELOCITY)

آپ کو ریل گاڑی میں سفر کرنے اور سفر کے دوران یہ دیکھنے کا موقع ملا ہوگا کہ ایک دوسری ریل گاڑی جو آپ کی گاڑی کی ہی سمت میں متحرک ہے، آپ کی گاڑی سے آگے نکل جاتی ہے۔ چونکہ یہ ریل گاڑی آپ سے آگے نکل جاتی ہے اس لیے یہ آپ کی ریل گاڑی سے یقینا زیادہ تیز چل رہی ہے۔ لیکن ایک شخص جو زمین پر کھڑا دونوں ریل گاڑیوں کو چلتا دیکھ رہا ہے وہ اس سے آگے نکل جانے والی گاڑی کو جتنا تیز چلتا محسوس کرے گا، آپ اس کے مقابلے میں اسے آہستہ چلتا ہوا محسوس کریں گے۔ اگر زمین کی نسبت دونوں ریل گاڑیوں کی رفتار یکساں ہے توآپ کو ایسا لگے گا کہ دوسری گاڑی بالکل بھی نہیں چل رہی ہے۔ ان تجربات کو سمجھنے کے لیے اب ہم نسبتی رفتار کے تصور کو پیش کرتے ہیں۔

ایسی دو اشیاA اور B پر غورکیجیے جو ایک بعُد (dimension) (مان لیجیے کہ -x محور) میں یکساں اوسط رفتاروں vA اور vB سے حرکت کررہی ہیں۔ (جب تک خاص طورپر وضاحت نہ کی گئی ہو اس باب میں رفتاروں کی زمین کے حوالے سے پیمائش کی گئی ہے)۔ اگر t = 0 ساعت پر شے A اور B کے مقامات علی الترتیب xA (0) اور xB (0) ہوں تو کسی دیگر ساعت t پر یہ مقام درج ذیل ہوں گے:

حصّہ 3.1 میں دی گئی تعریف کے مطابق شے A اور شے B کے درمیان نقل ہوگا۔

مساوات (3.13) کی ہم آسانی سے تشریح کرسکتے ہیں۔ اس مساوات سے یہ معلوم ہوتا ہے کہ جب شے A سے دیکھتے ہیں تو شے B کی رفتارvB-vA ہوتی ہے کیونکہ A تا B نقل ہر اکائی وقت میں vB _ vA کی مقدار سے مستقل بدلتا جاتاہے۔لہٰذا ہم یہ کہتے ہیں کہ شے B کی رفتار شے A کی نسبت vB - vA ہے۔

VBA =VB - VA (3.14c)

اسی طرح شے A کی رفتار شے B کی نسبت

VAB = VA - VB (3.14a)

ہوگی۔ اس سے یہ نتیجہ نکلتاہے کہ

VBA = - VAB (3.14c)

شکل 3.16 مساوی رفتار سے متحرک اشیاA اور B کے لیے مقام۔وقت گراف

اب ہم کچھ خاص مثالوں پر غور کریں گے:

(a) اگر vB - vA = 0 ، VB = VA تو مساوات (3.13) سے (xB (t) - xA(t) = xB (0) - xA(0، اس کا مطلب یہ ہے دونوں اشیاایک دوسرے سے ہمیشہ مستقل دوری (xB(0) - xA (0) پر ہیں اور ان کے مقام۔ وقت گراف باہمی طورپر متوازی مستقیم خطوط ہوتے ہیں، جیسا کہ شکل 3.16 میں دکھایا گیاہے۔ اس مثال میں نسبتی رفتار vAB یا vBA صفر ہیں۔

شکل 3.17 غیرمساوی رفتاروں سے متحرک اشیاکے مقام۔ وقت گراف جس میں ان کے ملنے کا وقت دکھایا گیا ہے

(b) اگر vB_ vA ,vA> vB منفی ہے، ایک شے کے گراف کی ڈھلان دوسری شے کے گراف کی ڈھلان کی نسبت زیادہ ہے۔ دونوں گراف ایک مشترک نقطے پر ملتے ہیں۔ مثال کے طورپر اگر vA = 20 m s-1 اور xA(0) = 10 m؛ اور vB = 10 m s-1 اور xB(0) = 40 m تو جس ساعت پر دونوں شے ایک دوسرے سے ملتی ہیں وہ t = 3 s ہوگی (شکل3.17)۔ اس ساعت پر وہ دونوں اشیاxA(t) = xB(t) = 70 m پر ہوں گی۔ اس طرح اس ساعت پر شے A، شے Bسے آگے نکل جائے گی۔ اس مثال میں

شکل 3.18 ایک دوسرے کی مختلف سمت میں متحرک دو اشیاکے مقام –وقت گراف جس میں دونوں کے ملنے کا وقت دکھایا گیاہے۔

(c) مان لیجیے کہ vA اور vBمخالف ہیں۔ مثال کے لیے درج بالامثال میں اگر شے A مقام xA(0) = 10 m سے 20 m s-1 کی رفتار سے اور شے B مقام xB(0) = 40 m سے _ 10 m s-1 رفتار سے چلنا شروع کرتی ہیں تو وہ t =1 s (شکل 3.18) پر ملتی ہیں۔

A کی نسبت B کی رفتار vBA = [_10_(20)] m s-1 = _ 30 m s-1=_vAB ہوگی۔ اس مثال میں vAB یا vBA کی عددی قدر (=30 m s-1) شے A یا B کی رفتار کی عددی قدر سے زیادہ ہے۔ اگر زیر غور اشیادوریل گاڑیاں ہیں تو اس شخص کے لیے جو کسی ایک ریل گاڑی میں بیٹھا ہے، دوسری ریل گاڑی بہت تیز چلتی ہوئی دکھائی پڑتی ہے۔

غورکریں کہ مساواتیں (3.14) تب بھی صحیح ہوں گی جب vA اور vB ساعتی رفتاروں کو ظاہر کرتے ہیں۔

مثال 3.9 دو متوازی ریل پٹریاں شمال۔ جنوب سمت میں ہیں۔ ایک ریل گاڑی A شمالی سمت میں

54 km /h-1

کی چال سے حرکت کررہی ہے اور دوسری ریل گاڑی B جنوبی سمت میں

90 km/h

کی چال سے چل رہی ہے۔

(A (a کے لحاظ سے B کی نسبتی رفتار نکالیے۔
(B (b کے لحاظ سے زمین کی نسبتی رفتار نکالیے۔
(c) ریل گاڑی A کی چھت پر حرکت کی مخالف سمت میں (ریل گاڑی A کے لحاظ سے

18 kmh-1

کی رفتارسے) دوڑتے ہوئے اس بندر کی رفتارتحسیب کیجیے جو زمین پر کھڑے ایک شخص کے ذریعے دیکھاجارہا ہے؟

جواب (a) محورx- کی مثبت سمت کو جنوب سے شمال کی جانب چنیے۔ تب

vA = + 54 km h-1 = 15 m s—1

vB = – 90 km h—1 = - 25 m s—1

A کے لحاظ سےB کی نسبتی رفتار :

vB – vA = – 40 m s—1

ہوگی۔ اس کامطلب یہ ہے کہ ریل گاڑی B ریل گاڑی A کی نسبت شمال سے جنوب سمت میں

40 m s-1

کی چال سے چلتی دکھائی دے گی۔

(b) B کے لحاظ سے زمین کی نسبتی رفتار 0–vB = 25 m s—1 ہے۔

(c) میں مان لیجیے کہ زمین کے لحاظ سے بندر کی رفتار vM ہے۔اس لیےAکے لحاظ سے بندرکی رفتار vM —vA = —18km h-1 = —5 m s-1 نتیجتاً vM = (15 — 5) m s-1 = 1Μ s-1

خلاصہ

1۔ اگر کسی شے کا مقام وقت کے ساتھ بدلتا ہے تو ہم کہتے ہیں کہ شے حرکت میں ہے۔ شے کے مقام کا تعین آسانی کے ساتھ چنے گئے کسی مبدا (بنیادی نقطے) کے حوالے سے کیا جاسکتا ہے۔ خط مستقیم میں حرکت کے لیے بنیادی نقطے کے داہنی طرف کے مقامات کو مثبت اور بائیں طرف کے مقامات کو منفی کہا جاتا ہے۔

2۔ کسی شے کے ذریعے طے کی دوری کی گئی لمبائی کو راہ کی لمبائی (path length)کے طورپر معرف کرتے ہیں۔

3۔ کسی شے کے مقام کی تبدیلی کو ہم نقل (displacement) کہتے ہیں اور Dx سے ظاہر کرتے ہیں۔

Δx = x2 _ x1

x1 اور x2 شےکے علی الترتیب ابتدائی اور آخری مقامات ہیں۔

راہ کی لمبائی انہیں دو نقاط کے درمیان نقل کی عددی قدر کے برابر یا اس سے زیادہ ہوسکتی ہے۔

4۔ ایک شے کو خطِ مستقیم میں یکساں حرکت کرتے ہوئے اس وقت کہا جاتا ہے جب مساوی وقفہ وقت میں اس کا نقل مساوی ہو۔ورنہ حرکت کو غیریکساں حرکت کہتے ہیں۔

5۔ نقل کے دوران لگے وقفہ وقت کے ذریعے نقل کو تقسیم کرنے پر جو مقدار حاصل ہوتی ہے اسے اوسط رفتار (average velocity) کہتے ہیں اور اسے –v کے ذریعے ظاہر کرتے ہیں۔

x-t گراف میں کسی دیے گئے وقفے کی مدت میں اوسط رفتار اس خط مستقیم کی ڈھلان(slope) ہے جو وقفۂ وقت کے ابتدائی اور آخری مقام کو جوڑتا ہے۔

6۔ شے کے سفر کی مدت میں طے کی گئی کل راہ لمبائی اور اس میں لگے وقفہ وقت کے تناسب کو اوسط چال (average speed)کہتے ہیں۔ کسی شے کی اوسط چال کسی دیے گئے وقفہ وقت میں اس کی اوسط رفتار کی عددی قدر کے برابر یا اس سے زیادہ ہوتی ہے۔

7۔ جب وقفہ وقت Δt لا انتہا خفیف ہوتو شے کی اوسط رفتار کی حدی قدر کو ساعتی رفتار(instantaneous velocity) یا صرف رفتار کہتے ہیں۔

کسی مخصوص وقت پر شے کی رفتار اس ساعت پر، مقام ۔وقت گراف پر کھینچے گئے مماس کی ڈھلان کے برابر ہوتی ہے۔

8۔ شے کی رفتار میں تبدیلی کو وقفہ وقت جس کے دوران تبدیلی واقع ہوتی ہے، کے ذریعے تقسیم کرنے پر جو مقدار حاصل ہوتی ہے اسے اوسط اسراع(average acceleration) کہتے ہیں۔

9۔ جب وقفہ وقت Dt صفر کی جانب مائل ہوتو شے کی اوسط اسراع کی حدی قدر کو ساعتی اسراع (instantaneous acceleration)کہا جاتا ہے۔

کسی ساعت پر شے کا اسراع اس ساعت پر رفتار– وقت گراف کی ڈھلان کے برابر ہوتاہے۔ یکساں حرکت کے لیے اسراع صفر ہوتا ہے اور x—t گراف وقت محور کی جانب جھکا ہو ایک خط مستقیم ہوتا ہے۔ اسی طرح یکساں حرکت کے لیے v—t گراف وقت محور کے متوازی خط مستقیم ہوتا ہے۔ یکساں اسراع کے لیے x—t گراف مکاف (parabola) ہوتا ہے جب کہ v — t گراف وقت محور کی طرف جھکا ہوا ایک خط مستقیم ہوتا ہے۔

.10 کن ہی دو وقتوں t1 اور t2 کے درمیان کھینچے گئے رفتار وقت منحنی کے تحت آنے والا رقبہ شے کے نقل کے برابر ہوتا ہے۔

.11 یکساں اسراع سے خطی حرکت کرتی ہوئی شے کے لیے کچھ سادہ مساواتوں کا ایک سیٹ ہوتا ہے جس سے پانچ مقداریں ؛ نقل x ، اس سے متعلق وقت t ، ابتدائی رفتار v0، آخری رفتار v اور اسراع a ایک دوسرے سے منسلک ہوتے ہیں۔ ان مساواتوں کو شے کی مجرد حرکیاتی مساواتوں (kinematic equations of motion)کے نام سے جاناجاتاہے۔

ان مساوات میں وقت t = 0 پر شے کا مقام x = 0 لیا گیا ہے۔ لیکن شے x = xo سے چلنا شروع کرے تو درج بالا مساوات میں x کے بجائے (x —xo) لکھیں گے۔

طبیعی مقدار علامت ابعاد اکائی تبصرہ
مقدار

راہ کی لمبائی		[L]	m
نقل	Δx	[L]	m	= x2 - x1 ایک بعد میں اس کی علامت، سمت ظاہر کرتی ہے۔
رفتار اوسط ساعتی	− v v	[LT-1]	m s-1	ایک کے بُعد میں اس کی علامت سمت ظاہر کرتی ہے۔
چال اوسط ساعتی		[LT-1]	m s-1
اسراع اوسط ساعتی	- a a	[LT-2]		ایک کے بُعد میں اس کی علامت سمت کی نشادہی کعتی ہے۔

قابل غورنکات

1۔ عمومی طورپر دو نقاط کے درمیان کسی شے کے ذریعے چلی گئی راہ لمبائی نقل کی قدر کی برابر نہیں ہوتی۔ نقل سرے کے نقاط پر منحصر کرتا ہے جب کہ راہ لمبائی (جیسا کہ نام سے پتہ چلتا ہے) حقیقی راہ پر منحصر ہوتی ہے۔ ایک بعُد(dimension) میں دونوں مقداریں تبھی برابر ہوتی ہیں جب شے حرکت کے دوران اپنی سمت نہیں بدلتی۔ دیگر سبھی مثالوں میں راہ لمبائی نقل کی عددی قدر سے زیادہ ہوتی ہے۔

2۔ درج بالا نقطہ 1 کے مطابق کسی دیے گئے وقفہ وقت کے لیے شے کی اوسط چال کی قدر یا تو اوسط رفتار کی عددی قدر کے برابر یا اس سے زیادہ ہوگی۔یہ دونوں برابر ہوں گی اگر راہ کی لمبائی اورنقل کی عددی قدر برابر ہوں۔

3۔ مُبدااور کسی محور کی مثبت سمت کا انتخاب اپنا اختیار ہے۔ آپ کو سب سے پہلے اس انتخاب کا تعین کردینا چاہیے اور اس کے بعد نقل، رفتار اور اسراع جیسی مقداروں کی علامتوں کا تعین کرنا چاہیے۔

4۔ اگر کسی شے کی چال بڑھتی جارہی ہے تو اسراع رفتار کی سمت میں ہوگا لیکن اگر چال گھٹتی جاتی ہے تو اسراع رفتار کی مخالف سمت میں ہوگا۔ یہ بیان مُبدا اور محور کے انتخاب کے تابع نہیں ہے۔

5۔ اسراع کی علامت سے ہمیں یہ پتہ نہیں چلتا کہ شے کی چال بڑھ رہی ہے یا گھٹ رہی ہے۔اسراع کی علامت (جیسا کہ درج بالا نقطہ 3 میں بتایا گیا ہے) محور کی مثبت سمت کے انتخاب پر منحصر ہے۔ مثال کے لیے اگر اُوپر کی طرف عمودی سمت کو محور کی مثبت سمت مانا جائے تو مادی کشش اسراع منفی ہوگا۔ اگر کوئی شے ارضی کشش کے سبب نیچے کی طرف گررہی ہے تو شے کی چال بڑھتی جائے گی تاہم اسراع کی قدر منفی ہے۔ شے اوپر کی سمت میں پھینکی جائے تو اسی منفی (مادی کشش کے سبب) اسراع کے سبب شے کی چال میں کمی آتی جائے گی۔

6۔ اگر کسی ساعت پر شے کی رفتار صفر ہے تو یہ ضروری نہیں ہے کہ اس ساعت پر اس کا اسراع بھی صفر ہوگا۔ کوئی شے وقتی طورپرسکون کی حالت میں ہوسکتی ہے تاہم اس ساعت پر اس کا اسراع صفر نہیں بھی ہوسکتاہے ۔ مثال کے لیے اگر کسی شے کو اوپر کی طرف پھینکا جائے تو انتہائی اوپری نقطے پر اس کی رفتار تو صفر ہوگی لیکن اس موقع پر اس کا اسراع مادی کشش کے سبب اسراع ہی رہے گا۔

7۔ حرکت کی مجرد حرکیاتی مساواتوں ]مساوات [(3.11) میں شامل مختلف مقداریں الجبریائی ہیں، یعنی وہ مثبت یا منفی ہوسکتی ہیں۔ یہ مساوات سبھی حالتوں (مستقل اسراع کے ساتھ ایک بعُدی حرکت) کے لیے موزوں ہوتی ہیں، شرط یہ ہے کہ مساواتوں میں مختلف مقداروں کی قدریں مناسب علامتوں کے ساتھ رکھی جائیں۔

8۔ ساعتی رفتار اور اسراع کی تعریف ]مساوات (3.3) اور مساوات [(3.5) قطعی درست ہیں اور ہمیشہ درست ہیں جب کہ مجرد حرکی مساوات ]مساوات [(3.11) انھیں حرکتوں کے لیے قطعی درست ہیں جن میں حرکت کی مدت میں اسراع کی قدر اور سمت مستقل رہتی ہے۔

مشق

3.1 نیچے دی گئی حرکت کی مثالوں میں کس میں شے کو تقریباً نقطہ شے مانا جاسکتا ہے:

(a) دو اسٹیشنوں کے درمیان بغیر کسی جھٹکے کے چل رہی کوئی ریل گاڑی۔

(b) کسی دائری راہ پر سائیکل چلا رہے کسی شخص کے اوپر بیٹھا کوئی بندر۔

(d) کسی میز کے کنارے سے پھسل کر گرا کوئی بیکر۔

3.2 دو بچے A اور B اپنے اسکول O سے واپس ہوکر اپنے اپنے گھر علی الترتیب P اور Q کو جارہے ہیں۔ ان کے مقام۔ وقت (x_t) گراف شکل 3.19 میں دکھائے گئے ہیں۔ نیچے لکھے بریکٹوں میں صحیح اندراج کو منتخب کیجیے:

(B/A) ( a)کے مقابلے (A/B) اسکول سے قریب رہتا ہے۔

(B/A) (b )کے مقابلے (A/B) اسکول سے پہلے چلتا ہے۔

(B/A) (c) کے مقابلے (A/B) تیز چلتا ہے۔

(A (d اور B گھر (ایک ہی/ مختلف) وقت پر پہنچتے ہیں۔

(A/B (c سڑک پر B/A سے (ایک بار/دوبار) آگے ہوجاتا ہے۔

شکل 3.19

3.3 ایک خاتون اپنے گھر سے صبح 9.00 بجے 2.5 کلو میٹر دور اپنے دفتر کے لیے سیدھی سڑک پر

5 km h-1

چال سے چلتی ہیں۔ وہاں وہ شام 5.00 بجے تک رہتی ہیں اور

کی چال سے چل رہے کسی آٹو رکشہ کے ذریعے اپنے گھر واپس آتی ہیں۔ کوئی مناسب پیمانہ چنیے اور ان کی حرکت کا x—t گراف کھینچیے۔

3.4 کوئی شرابی کسی تنگ گلی میں 5قدم آگے بڑھاتا ہے اور 3 قدم پیچھے آتاہے۔ اس کے بعد پھر 5 قدم آگے بڑھاتا ہے اور 3 قدم پیچھے آتا ہے اور اسی طرح چلتا رہتاہے۔ اس کا ہر قدم 1m لمباہے اور 1s وقت لیتاہے۔ اس کی حرکت کا x–t گراف کھینچیے۔ گراف سے یا کسی دیگر طریقے سے یہ معلوم کیجیے کہ وہ جہاں سے چلنا شروع کرتاہے وہاں سے 13m دور ایک گڑھے میں وہ کتنے وقت کے بعد گرتا ہے۔

3.5 کوئی جیٹ ہوائی جہاز

500 km h-1

کی چال سے چل رہا ہے اور جیٹ جہاز کی نسبت

1 500 km h-1

کی چال سے اپنے ماحصل احتراق (products of combusion) کو باہر نکالتا ہے۔ زمین پرکھڑے کسی مشاہد کے لحاظ سے اس ماحصل احتراق کی چال کیا ہوگی؟

3.6 سیدھی قومی شاہراہ پر کوئی کار

126 km h-1

کی چال سے چل رہی ہے۔ اسے 200m کی دوری پر روک دیا جاتاہے۔ کار کے منفی اسراع کو یکساں مانیے اور اس کی قدر نکالیے۔ کار کو رکنے میں کتنا وقت لگا؟

3.7 دو ریل گاڑیاں A اور Bدو متوازی پٹریوں پر

72 km h-1

کی یکساں چال سے ایک ہی سمت میں چل رہی ہیں۔ ہر ایک گاڑی 400سے آگے نکلنا چاہتا ہے اور

1 m s-2

سے اسراع کرتا ہے۔

اگر 50 s کے بعد B کا گارڈ A کے ڈرائیور سے آگے ہوجاتاہے تو دونوں کے درمیان ابتدائی دوری کتنی تھی؟

3.8 دو لین والی کسی سڑک پر کار

36 km h-1

کی چال سے چل رہی ہے۔ ایک دوسرے کی مخالف سمتوں سے چلتی دو کاریں B اور C جن میں سے ہر ایک کی چال

54 km h-1

ہے، کار A تک پہنچنا چاہتی ہیں۔ کسی ساعت پر جب دوری AB ،دوری AC کے برابر ہے اور دونوں 1km

کے برابرہیں، کار B کاڈرائیور یہ فیصلہ کرتاہے کہ کار C کے کار A تک پہنچنے سے پہلے ہی وہ کار A سے آگے نکل جائے۔ کسی حادثے سے بچنے کے لیے کار B کا کتنا کم ترین اسراع ضروری ہے؟

3.9 دو شہر A اور B باقاعدہ بس سروس کے ذریعے ایک دوسرے سے جڑے ہیں اور ہر T منٹ کے بعد دونوں طرف بسیں چلتی ہیں۔ کوئی شخص سائیکل سے

20 km h-1

کی چال سے A سے B کی طرف جارہا ہے اور یہ نوٹ کرتا ہے کہ ہر ایک 18 منٹ کے بعد ایک بس اس کی حرکت کی سمت میں اور ہر ایک 6 منٹ بعد اس کی مخالف سمت میں گزرتی ہے۔ بس سروس کی مدت T کتنی ہے اور بسیں سڑک پر کس چال (مستقل مانیے) سے چلتی ہیں؟

3.10 کوئی کھلاڑی ایک گیند کو اوپر کی طرف ابتدائی چال

29.4 m s-1

سے پھینکتاہے۔

(a) گیند کی اوپر کی طرف حرکت کے دوران اسراع کی سمت کیا ہوگی؟

(b) اس کی حرکت کے انتہائی اونچے نقطے پر گیند کی رفتار اور اسراع کی قدریں کیا ہوں گی؟

(c) گیند کے انتہائی اونچے نقطے پر مقام اور وقت کو x = 0 اور t = 0 چنیے، عمودی طورپر نیچے کی جانب کی سمت کو -x کی مثبت سمت مانیے۔ گیند کے اوپر اور نیچے کی طرف حرکت کے دوران مقام، رفتار اور اسراع کی علامتیں بتائیے۔

(d) کس اونچائی تک گیند اوپر جاتی ہے اور کتنی دیر کے بعد گیند کھلاڑی کے ہاتھوں میں آجاتی ہے؟

[g = 9.8 m s-2 اور ہوا کی مزاحمت کو نظر انداز کیجیے]۔

3.11 نیچے دیے گئے بیانات کو غور سے پڑھیے اور وجوہات بتاتے ہوئے اورمثال دیتے ہوئے بتائیے کہ وہ صحیح ہیں یا غلط، (:یکساں حرکت (uniform motion) میں کسی ذرّے کی:

(a) کسی ساعت پرچال صفر ہونے پر بھی اس کا اسراع غیر صفر ہوسکتا ہے۔

(b) چال صفر ہونے پر بھی اس کی رفتار غیر صفر ہوسکتی ہے۔

(d) چال لازمی طور سے بڑھتی رہی گی، اگر اس کا اسراع مثبت ہو۔

3.12 دومقداریں ہیں:کسی گیند کو

90 m

کی اونچائی سے فرش پر گرایا جاتاہے۔ فرش کے ساتھ ہر ایک ٹکرمیں گیند کی چال 1/10 کم ہوجاتی ہے۔ اس کی حرکت کا t = 0 تا 12s کے درمیان چال۔ وقت گراف کھینچیے۔

3.13 مثالوں کے ساتھ درج ذیل کے درمیان کے فرق کو واضح کیجیے۔

(a) کسی وقفہ وقت میں نقل کی عددی قدر (جسے کبھی کبھی دوری بھی کہا جاتا ہے) اور کسی ذرے کے ذریعے اسی وقفے کے دوران طے کی گئی راہ کی کل لمبائی۔

(b) کسی وقفہ وقت میں اوسط رفتار کی عددی قدر اور اسی وقفے میں اوسط چال (کسی وقفہ وقت میں کسی ذرے کی اوسط چال کی تعریف ہے: وقفہ وقت کے ذریعے تقسیم کی گئی کل راہ لمبائی )۔ ظاہرکیجیے کہ (a) اور (b) دونوں میں دوسری مقدار پہلے سے زیادہ یا اس کے برابر ہے۔ مساوات کی علامت کب صحیح ہوتی ہے؟ (آسانی کے لیے صرف یک۔بُعدی حرکت پر غورکیجیے)۔

3.14 کوئی شخص اپنے گھر سے سیدھی سڑک پر

5 km h-1

کی چال سے

2.5 km

دور بازار تک پیدل چلتا ہے۔ لیکن بازار بند دیکھ کر وہ اسی وقت واپس مڑ جاتاہے اور

7.5 km h-1

کی چال سے گھر واپس ہوتاہے۔

(a) شخص کی اوسط رفتار کی عددی قدر کتنی ہے؟ اور

(b) وقفہ وقت

منٹ کی مدت میں اس شخص کی اوسط چال کیا ہے؟

[نوٹ: آپ اس مثال سے سمجھ سکیں گے کہ اوسط چال کو اوسط رفتار کی عددی قدر کی شکل میں بیان کرنے کی نسبت وقت کے ذریعے تقسیم کی گئی کل راہ لمبائی کے طورپر بیان کرنا زیادہ اچھا کیوں ہے۔ آپ تھک کر گھر واپس ہوئے اس شخص کو یہ شاید نہیں بتانا چاہیں کہ اس کی اوسط چال صفر تھی]۔

3.15 ہم نے 3.13 اور 3.14 میں اوسط چال اور اوسط رفتار کی عددی قدر کے درمیان کے فرق کو ظاہر کیا ہے۔ اگر ہم ساعتی چال اور ساعتی رفتار کی عددی قدر پر غور کرتے ہیں تو اس طرح کا فرق کرنا ضروری نہیں ہوتا۔ ساعتی چال ہمیشہ ساعتی رفتار کی عددی قدرکے برابر ہوتی ہے۔ کیوں؟

3.16 شکل 3.20 میں (a) تا (d) کے گرافوں کو غور سے دیکھیے اور دیکھ کر بتائیے کہ ان میں سے کون سے گراف یک ابعادی حرکت کو غالباً نہیں دکھا سکتے ہیں۔ وجہ بھی بتائیے۔

شکل3.20

3.17 شکل 3.21 میں کسی ذرے کی ایک بعُدی حرکت کے لیے x - t گراف دکھایا گیا ہے۔ گراف سے کیا یہ کہنا درست ہوگا کہ یہ ذرہ t < 0 کے لیے کسی خط مستقیم میں اور t > 0 کے لیے کسی مکافی (parabolic) راہ میں حرکت کرتا ہے؟ اگر نہیں تو گراف کے موافق کوئی موزوں طبیعی حوالہ کی تجویز پیش کیجیے۔

شکل 3.21

3.18 کسی قومی شاہراہ پر پولیس کی کوئی گاڑی

کی چال سے چل رہی ہے اور پولیس اسی سمت میں

192 km/h

کی چال سے جارہی کسی چور کی کار پر گولی چلاتی ہے۔ اگر گولی کی نالی کے منہ سے نکلتے وقت چال

150 m s-1

ہے تو چور کی کار کو گولی کس چال کے ساتھ لگے گی؟ (نوٹ: اس چال کو معلوم کیجیے جو کار کو نقصان پہنچانے میں موزوں ہو)۔

3.19 شکل 3.22 میں دکھائے گئے ہر گراف کے لیے کسی مناسب طبیعی صورتِ حال کی تجویز پیش کیجیے۔

شکل 3.22

3.20 شکل 3.23 میں کسی ذرے کی ایک بعُدی سادہ ہارمونی حرکت کے لیے x - t گراف دکھایا گیاہے۔ (اس حرکت کے بارے میں آپ باب 14 میں پڑھیں گے) ۔ وقت

پر ذرے کے مقام، رفتار اور اسراع کی علامتیں کیا ہوں گی؟

شکل 3.23

3.21 شکل 3.24 کسی ذرے کی ایک بعُدی حرکت کا x-t گراف ظاہر کرتی ہے۔

اس میں تین یکساں وقفے دکھائے گئے ہیں۔ کس وقفے میں اوسط چال بیش ترین ہے اور کس میں کم ترین ہے؟ ہر ایک وقفے کے لیے اوسط رفتار کی علامت بتائیے۔

3.22 شکل 3.25 میں کسی مستقل سمت میں چل رہے ذرے کا چال۔ وقت گراف دکھایا گیا ہے۔ اس میں تین یکساں وقفہ وقت دکھائے گئے ہیں۔ کس وقفہ میں اوسط اسراع کی عددی قدر بیش ترین ہوگی؟ کس وقفے میں اوسط چال بیش ترین ہوگی؟ مثبت سمت کو حرکت کی مستقل سمت چنتے ہوئے تینوں وقفوں میں v اور aکی علامتیں بتائیے۔ A,B,C اور D نقاط پر اسراع کی قدریں کیا ہوں گی؟

اضافی مشق

3.23 کوئی تین پہیے والا اسکوٹر اپنی حالتِ سکون سے حرکت کرتاہے پھر 10s تک کسی سیدھی سڑک پر

کے یکساں اسراع سے چلتا ہے۔ اس کے بعد وہ یکساں رفتار سے چلتا ہے۔ اسکوٹر کے ذریعےn ویں سیکنڈ

میں طے کی گئی دوری کو n کے مقابل پلاٹ کیجیے۔ آپ کیا توقع کرتے ہیں کہ اسراعی حرکت کے دوران یہ گراف کوئی خط مستقیم یا کوئی مکاف (پیرابولا) ہوگا؟

3.24 کسی ساکن لفٹ میں (جو اوپر سے کھلی ہے) کوئی لڑکا کھڑا ہے۔ وہ اپنی پوری طاقت سے ایک گیند اوپر کی طرف پھینکتا ہے جس کی ابتدائی چال

49 m s-1

ہے۔ اس کے ہاتھوں میں گیند کے واپس آنے میں کتنا وقت لگے گا؟ اگر لفٹ اوپر کی طرف

5 m s-1

کی یکساں چال سے حرکت کرنا شروع کردے اور وہ لڑکا پھر گیند کو اپنے پورے زور سے پھینکتا ہے تو کتنی دیر میں گیند اس کے ہاتھوں میں واپس آئے گی؟

3.25 افقی طورپر متحرک ایک لمبی بیلٹ (شکل 3.26) پر ایک لڑکا (بیلٹ کی مناسبت سے)

9 km/h

کی چال سے کبھی آگے کبھی پیچھے اپنے والد اور والدہ کے بیچ دوڑ رہا ہے۔ ماں اور باپ کے درمیان 50m کی دوری ہے۔ باہر کسی ساکن پلیٹ فارم پر کھڑے ایک مشاہد کے لیے، درج ذیل کی قدر حاصل کیجیے۔ بیلٹ

4 km h-1

کی چال سے حرکت کررہی ہے۔

(a) بیلٹ کی حرکت کی سمت میں دوڑ رہے لڑکے کی چال،

(b) بیلٹ کی حرکت کی سمت کے مخالف دوڑ رہے لڑکے کی چال،

اگر لڑکے کی حرکت کا مشاہدہ اس کے والد یا والدہ میں سے کوئی کرے تو کون سا جواب بدل جائے گا؟

شکل 3.26

3.26 کسی 200m اونچی کھڑی چٹان کے کنارے سے دو پتھروں کو ایک ساتھ اوپر کی جانب

کی ابتدائی چال سے پھینکا جاتا ہے۔ اس کی تصدیق کیجیے کہ نیچے دکھایا گیا گراف (شکل 3.27) پہلے پتھر کے لحاظ سے دوسرے پتھر کی نسبتی حالت کا وقت کے ساتھ تبدیلی کو ظاہر کرتاہے۔ ہوا کی مزاحمت کو نظر انداز کریے اور یہ مانیے کہ زمین سے ٹکرانے کے بعد پتھر اوپر کی طرف اُچھلتے نہیں۔ مان لیجیے g = 10 m s-2۔ گراف کے خطی اور منحنی حصوں کے لیے مساوات لکھیے۔

شکل 3.27

3.27 کسی متعین سمت میں حرکت کررہے کسی ذرے کا چال وقت گراف شکل 3.28 میں دکھایا گیا ہے۔ ذرے کے ذریعے

کے درمیان دوری معلوم کیجیے۔

شکل 3.28

(a) اور (b) میں دیے گئے وقفوں کی مدت میں ذرے کی اوسط چال معلوم کیجیے؟

3.28 ایک بعُدی حرکت میں کسی ذرے کا رفتار وقت گراف نیچے شکل 3.29 میں دکھایا گیا ہے۔

شکل 3.29

نیچے دیے گئے فارمولوں میں t1 سے t2 تک کے وقفہ وقت کی مدت میں ذرے کی حرکت کا بیان کرنے کے لیے کون سے فارمولے صحیح ہیں:

(f) = x (t2) _ x (t1) محور - t اور دکھائے گئے نقطہ دار خط کے ذریعے مقید،v-t منحنی کے تحت آنے والا رقبہ۔

ضمیمہ 3.1: احصا کے جز (Elements of Culculus)

تفرقی ضریب یا مشتق (Differential coefficient or derivative) کے تصور کو استعمال کرتے ہوئے ہم ’رفتار‘ اور اسراع کی بہ آسانی تعریف کرسکتے ہیں۔حالانکہ مشتق کے بارے میں آپ ریاضی میں تفصیل سے سیکھیں گے، ہم اس ضمیمہ میں آپ کو اِس تصور سے متعارف کرارہے ہیں تاکہ حرکت میں شامل طبیعی مقداروں کو بیان کرنے میں آپ کو یہ تصور استعمال کرنے میں سہولت ہو۔

فرض کیجیے کہ ایک مقدار yہے، جس کی قدر واحد متغیرہ xکے تابع ہے؛ اور اسے ایک ایسی مساوات کے ذریعے ظاہر کیا جاتا ہے، جس میں yکی تعریف x کے کسی مخصوص تفاعل کی شکل میں کی جاتی ہے۔اس کو ایسے ظاہر کیا جاتا ہے:

(y = f (x) (1

اس رشتہ کو تصور کرنے کے لیے ہم تفاعل (y = f (x :کا ایک گراف کھینچ سکتے ہیں، جس میں yاور xکو کارتیزی مختصات (کارتیزی کوآرڈی نیٹ cartesian coordinates) مانا جائے، جیسا کہ شکل 3.30 (a)میں دکھایا گیا ہے۔

شکل 3.30

منحنی (y = f (x پر، ایک نقطہ Pلیں، جس کے کوآرڈی نیٹ (x,y)ہیں، اور ایک دوسرا نقطہQلیں، جس کے کوآرڈی نیٹ (x+Δx, y+Δy) ہیں۔ Pاور Qکو ملانے والے خط کا ڈھلان (slope)دیا جاتا ہے:

اب فرض کیجیے کہ نقطہ Q،منحنی پر، نقطہPکی سمت میں حرکت کرتا ہے۔اس عمل میں Δx اورΔy کی قدر کم ہوجاتی ہے،یہاں تک کہ صفر کے نزدیک ہوجاتی ہے، حالانکہ ان کی نسبتضروری نہیں ہے کہ صفر ہوجائے،جب:Δy→ 0, Δx→ تو خط PQ کا کیا ہوتا ہے؟

آپ دیکھ سکتے ہیں کہ یہ منحنی پر نقطہ Pپر مماس ہوجاتا ہے، جیسا کہ شکل 3.30 (b) میں دکھایا گیا ہے۔ اس کا مطلب ہوا کہP، tan θ پر مماس کے ڈھلان کے نزدیک تر ہوجاتا ہے، جسے mسے ظاہر کرتے ہیں

جب Δx ‘ صفر کے نزدیک تر ہوتا جاتا ہے، تو نسبت

کی حد کو xکی مناسبت سے yکا مشتق (derivative)کہتے ہیں اور اسے

لکھتے ہیں۔ یہ نقطہ (x,y)پر، منحنی y = f (x) کے مماسی خط (Tangent line)کے ڈھلان کوظاہر کرتا ہے کیونکہ

نیچے تفاعلات کے مشتقوں (derivates)کے لیے کچھ فارمولے دیے گئے ہیں۔ان میں

کے کسی بھی منتخب کیے گئے تفاعل کو ظاہر کرتے ہیں اور aاور b مستقلہ مقداروں کی نمائندگی کرتے ہیں، جو کہ xکے تابع نہیں ہیں۔کچھ عام تفاعلات کے مشتق بھی فہرست میں شامل ہیں:

مشتقوں کی شکل میں، ساعتی رفتار(instantanious velocity) اور اسراع کی تعریف کی جاتی ہے:

تکمُلی احصا (inteqral calculus)

آپ رقبہ کے تصور سے واقف ہیں۔ آپ سادہ جیومیٹریائی شکلوں کے رقبوں کے فارمولے بھی جانتے ہیں۔مثلاً، ایک مستطیل کا رقبہ لمبائی ضرب چوڑائی ہوتا ہے اور ایک مثلث کا رقبہ اس کے قاعدے اور اونچائی کے حاصلِ ضرب کا آدھا ہوتا ہے۔لیکن ایک غیرہموار شکل (irregular figure)کا رقبہ کیسے معلوم کریں؟ ایسے مسئلوں کے حل کے لیے تکملی احصا (integral calculus)کا ریاضیاتی تصور ضروری ہے۔

ایک ٹھوس مثال لیتے ہیں۔فرض کیجیے کہ ایک متغیرہ قوت f (x)ایک ایسے ذرّے پر لگ رہی ہے جو -xمحور پر x=a سے x=b تک حرکت کررہا ہے۔ہمارا مسئلہ یہ ہے کہ ہم معلوم کرنا چاہتے ہیں کہ اس حرکت کے دوران قوت کے ذریعے ذرّہ پر کیا گیا کام wکتنا ہے۔

اس مسئلہ سے باب6میں بحث کی گئی ہے۔

شکل (3.31) میں x کے ساتھ (F(x کی تبدیلی دکھائی گئی ہے۔اگر قوت مستقلہ ہوتی تو کام، رقبہ (F(b–aہوتا، جیسا کہ شکل 3.31(i) میں دکھایا گیا ہے۔لیکن عمومی صورت میں، قوت، متغیرہ ہے۔

شکل 3.31

جہاں xi، پٹّی کی چوڑائی ہے، اور ہم نے ہر پٹّی کی چوڑائی یکساں مانی ہے۔آپ ہوسکتا ہے، سوچ رہے ہوں کہ ہمیں مندرجہ بالا ریاضیاتی عبارت میں (F(xi-1) رکھنا چاہیے یا (F(xi) اور (F(xi-1) کی اوسط قدر۔ اگر ہم Nکو بہت بڑا لے ہیں (N→ a)، تواس سے دراصل کوئی فرق نہیں پڑتا، کیونکہ پٹّی اب اتنی پتلی ہے کہ(F(xi) اور(F(xi-1)میں فرق تقریباً صفر ہے۔اب منحنی کے اندر کا کل رقبہ ہے:

جب N→ a تو اس حاصل جمع کی حد، a سے bتک xپر (F(x) کا تکملہ (integral) کہلاتی ہے۔اسے ایک مخصوص علامت دی گئی ہے، جیسا کہ ذیل میں دکھایا گیا ہے۔

تکملہ علامت∫ایک لمبےsجیسی معلوم ہوتی ہے جو ہمیں یاد دلاتی ہے کہ یہ بنیادی طور پر ارکان کی لامتناہی تعداد کا حاصلِ جمع ہے۔

ایک اہم ترین ریاضیاتی حقیقت یہ ہے کہ ایک معنی میں‘ تکمل (intergration)تفرق(differentiation) کا معکوس (inverse)ہے۔

فرض کیجیے، ہمارے پاس ایک تفاعل (g(x ہے، جس کا مشتق (derivative)، f (x) ہے۔یعنی کہ :

تفاعل

کا غیرمعین تکملہ (indefinite integral)کہلاتاہے، اور اسے ظاہر کرتے ہیں:

ایک تکملہ جس میں اوپری اور نچلی حدیں ہوں، ایک معین تکملہ (definite integral) کہلاتا ہے۔یہ ایک عدد ہے۔غیرمعین تکملہ کی کوئی حدیں نہیں ہوتیں، یہ ایک تفاعل ہے۔

ریاضی کے ایک بنیادی مسئلہ (theorem)کا بیان ہے:

مثال کے لیے، فرض کیجیے: f(x) = x2 اور ہم معین تکملہ کی، x =1 سے x = 2 تک، قدر معلوم کرنا چاہتے ہیں۔وہ تفاعل ('g(xجس کا مشتق x2 ہے ،

۔اس لیے

ظاہر ہے کہ معین تکملوں کی قدر معلوم کرنے کے لیے، ہمیں ان کے متطابق غیرمعین تکملے معلوم ہونا چاہیے۔کچھ عام غیرمعین تکملے ہیں:

تفرقی اور تکملی احصاء کا یہ تعارف باضابطہ نہیں ہے اور اس کا مقصد آپ کو احصاء کے بنیادی تصورات سے واقف کرانا ہے۔