ذرّات کے نظام کے لیے قوت گردشہ اور زاویائی میعارِ حرکت

(Torque and angular momentum for a system of particles)

(a 28۔7)

سائیکل پہیہ پر ایک تجربہ

ایک سائیکل پہیہ لیجیے اور اسکی دھوری کو دونوں طرف بڑھائیے۔دونوں کنارے Aاور B پرایک ایک دھاگہ باندھئے۔ دونوں دھاگوں کو ایک ساتھ ایک ہاتھ سے اس طرح پکڑیں کہ پہیہ سیدھا کھڑا ہو۔اگرآپ دھاگہ چھوڑیں گے تو پہیہ جھک جائے گا۔ ایک ہاتھ سے دونوں دھاگے پکڑکرپہیہ کو سیدھا کھڑا رکھیں اور دوسرے ہاتھ سے خوب زور سے پہیہ کو دھوری کے گرد دوسرے ہاتھ سے گھمائیں۔ اب ایک دھاگہ مانا Bکو چھوڑ دیجیے اور مشاہدہ کیجیے کہ کیا ہوتا ہے۔

پہیہ عمودی سطح میں گھومتا رہتا ہے اور گردشی مستوی دھاگہ Aکے گردجھک جاتا ہے جسے آپ نے پکڑرکھا ہے۔ہم کہتے ہیں کہ پہیہ کا گردشی محور یا اسکا زاویائی تحرک دھاگہ Aکے گرد ہے۔

گھومتا ہوا پہیہ زاویائی معیارِحرکت پیدا کرتا ہے۔اس زاویائی معیارِحرکت کی سمت معلوم کریں۔جب آپ نے گھومتے ہوئے پہیہ کو دھاگہ Aسے پکڑرکھا ہے اس حالت میں ایک قوت گردشہ پیدا ہوتا ہے (اب ہم اسے آپکے لیے چھوڑتے ہیں کہ قوت گردشہ کس طرح پیدا ہوتا ہے اور اس کی سمت کیا ہوتی ہے)۔قوت گردشہ کا اثر زاویائی تحرک پر یہ ہوتا ہے کہ قوت گردشہ اور زاویائی معیارِحرکت پر یہ ہوتا ہے کہ وہ اسے ایک ایسے محور کے گرد جھوما دیتا ہے جو محور زاویائی معیارِرحرکت اور قوت گردشہ دونوں پر عمودہے۔اُن تمام بیانات کی تصدیق کیجیے۔

چونکہ مساوات (a7.28 سے

(7۔28 b)   

اس لیے کسی نقطہ کے گرد ذرّات کے نظام کے کل زاویائی میعارِ حرکت کی شرح وقت(حوالہ فریم کے مبدے کو مبدا مانا گیا ہے) اسی نقطہ کے گرد نظام پرلگ رہے تمام بیرونی قوت گردشہ کے حاصل جمع کے برابر ہوتی ہے۔مساوات (7.28 b) مساوات (7.23) کی ہی ایک توسیع ہے۔یہ خیال رہے کہ اگر صرف ایک ہی ذرّہ ہے تو کوئی داخلی قوت یاداخلی قوت گردشہ نہیں ہوگی۔مساوات (7.28 b) درج ذیل کی گردشی مماثل ہے

(17۔7)  

یہ خیال رہے کہ مساوات (7.17) کی طرح، مساوات (7.28 b) بھی ذرّات کے کسی بھی نظام کے لیے لاگو ہوتی ہے خواہ وہ استوار جسم ہو یا اس کے انفرادی ذرّات میں ہر طرح کی داخلی حرکت ہو۔

زاویائی میعارِ حرکت کی بقا

 (Conservation of angular momentum)

اگرtext = 0 ہے تو مساوات (7.28 b)اس طرح ہوگی

یا

(7.29 a)                          مستقلہ قدر=L 

اس لیے اگر ذرّات کے نظام کا کل بیرونی قوت گردشہ صفر ہے تو اس حالت میں نظام کا کل زاویائی میعارِ حرکت مستقلہ ہوگا۔مساوات (7.29 a)تین غیرسمتی مساواتوں کے مساوی ہے۔

   (7.29 b)          Lz = K3    اور    Lx = K1, Ly = K2

یہاں K2،K1 اورK3  مستقلہ قدریں ہیں۔Ly  ،Lx اورLz کل زاویائی میعارِ حرکتLکے بالترتیبx ،  y اور zمحوروں پراجزاء ہیں۔ اس قول کاکہ کل زاویائی میعارِحرکت کی بقا ہوتی ہے مطلب یہ ہے کہ ان تینوں اجزاء میں سے ہر ایک کی بقا ہوتی ہے۔

مساوات (7.29 a)مساوات (7.18 a) کا گردشی مماثل ہے جو کہ ذرّات کے نظام کے لیے کل خطی میعارِ حرکت کے بقا کا قانون   ہے۔مساوات (7.18 a)کی طرح یہ بھی کئی حالات میں استعمال ہوتا ہے۔ اس باب کے آخر میں ہم اس کے کچھ دلچسپ  استعمالات بھی سیکھیں گے۔

مثال 7.5  مبدا  کے گرد ایک قوت 7i^+3j^–5k^ کا قوت گردشہ معلوم کریں۔قوت جس ذرّہ پر لگ رہی ہے، اس کا مقام سمتیہ i^–j^+k^ ہے۔

جواب  یہاں        r = i^- j^ + k^ 

اور                 F = 7i^+3j^–5k^

قوت گردشہ t = r × F  معلوم کرنے کے لیے ہمیں ڈِٹرمننٹ طریقہ کا استعمال کرنا چاہئے۔

مثال 7.6  یہ دکھاہئے کہ ایک ایسے ذرے کا زاویائی معیارِحرکت جو متعین رفتار سے چل رہا ہے کسی بھی نقطے کے گرد پوری حرکت میں ایک مستقلہ رہتا ہے۔

جواب  مانا کہ ذرّہ جس کی رفتار vہے کسی لمحہtپر نقطہ Pپر ہے۔ہم ذرّہ کا زاویائی میعارِ حرکت کسی نقطہ Oکے گرد معلوم کرنا چاہتے ہیں۔

شکل  7.19

زاویائی میعارِ حرکت l = r × mv ہے۔اس کی عددی قدر mvr sinø ہے۔ جہاں r،ø اور vکے درمیان کا زاویہ ہے (شکل  7.19)۔گرچہ ذرّہ وقت کے ساتھ مقام تبدیل کرتا ہے مگر v کا سمتی خط وہی رہتا ہے۔اس لیے OM=rsinø ایک مستقلہ ہے۔

lکی سمت  rاور vکے مستوی پر عمود ہے۔یہ شکل میں صفحہ کے اندر کے طرف ہے۔یہ سمت وقت کے ساتھ تبدیل نہیں ہوتی۔

اس طرح lکی عددی قدر اور سمت یکساں رہتی ہے۔ اس لیے اس کی بقا ہوتی ہے۔کیا کوئی بیرونی قوت گردشہ ذرہ پر لگ رہا ہے؟

7.8 استوارِ جسم کا توازن    (EQUILIBRIUM OF A RIGID BODY)

اب ہم ذرّات کے عمومی نظاموں کی حرکت کے بجائے استوار جسم کی حرکت پر غورکرتے ہیں۔

آیئے دہرائیں کہ استوارجسم پر بیرونی قوتیں کیا اثرڈالتی ہیں (اب آگے ہم لفظ ’بیرونی‘ استعمال نہیں کریں گے ۔ جب تک مخصوص طور پر کہا نہ جائے، ہم صرف بیرونی قوتوں اور بیرونی قوت گردشہ کا ہی مطالعہ کریں گے)۔قوتیںاستوار جسم کی خطی انتقالی حرکت کی حالت کو تبدیل کرتی ہیں۔ یعنی یہ کل خطی میعارِ حرکت کو مساوات (7.17)کے مطابق تبدیل کرتی ہیں۔لیکن قوتوں کا صرف یہی اثر نہیں ہوتا۔ جسم پر لگی کل قوت گردشہ ہوسکتا  ہے صفر نہیں ہو۔اس طرح کی قوت گردشہ، استوارجسم کی گردشی حالت کو بدل دیتی ہے۔یعنی یہ کل زاویائی میعارِ حرکت کو مساوات (7.28 b) کے مطابق، تبدیل کردیتی ہے۔

ایک استوارجسم کو ہم میکانکی توازن میں اس وقت کہہ سکتے ہیں جب اس کے کل خطی میعارِ حرکت اور زاویائی میعارِ حرکت وقت کے ساتھ تبدیل نہیں ہوتے، یا اسی کے مساوی ،جسم میں نہ تو خطی اسراع ہے اور نہ ہی زاویائی - اس کا مطلب ہے

(1) خطی توازن  (translational equilibrium) کے لیے جسم پر عمل پذیر سبھی قوتوں کا سمتیہ حاصل جمع صفر ہونا چاہئے۔

F1+F2+...+Fn=   (7.30 a)

اگر جسم پر لگ رہی کل قوت صفر ہے توجسم کا کل خطّی میعارِ حرکت، وقت کے    ساتھ تبدیل نہیںہوگا۔مساوات (730a)جسم کے خطّی انتقالی توازن کی شرط ہے۔جسم پر لگ رہی کل قوتِ گردشہ ، یعنی کہ جسم پر لگ رہی ہر قوتِ گردشہ کا سمتیہ حاصلِ جمع، صفر ہے۔

اگراستوارجسم پر کل قوت گردشہ صفر ہے تو جسم کا کل زاویائی میعارِحرکت وقت کے ساتھ تبدیل نہیں ہوگا۔مساوات (7.30 b) جسم کے گردشی توازن کی شرط بتاتی ہے۔

کوئی یہ سوال کرسکتا ہے کہ کیا گردشی توازن کی شرط یا (مساوات7.30 (b) )برقرار رہ سکتی ہے اگروہ مبدا جس کی نسبت سے قوت گردشہ لیا گیا ہے اسے تبدیل کردیا جائے۔یہ ثابت کیا جا سکتا ہے کہ اگر خطی انتقالی توازن کی شرط (مساوات 7.30 (a) )استوارجسم کے لیے صحیح ہے تو مبدا کی تبدیلی سے کوئی فرق نہیں پڑے گا یعنی گردشی توازن شرط، قوت گردشہ جس کے گرد لیا گیا ہے اس مبدے کے طابع نہیں ہے اور مبدے کی تبدیلی  سے فرق نہیں پڑتا۔ مثال 7.7سے ایک خاص صورت میں، ایک جفت(Couple)،کے لیے، اس کی تصدیق ہوجاتی ہے۔ یعنی کہ، اس صوت میں جبکہ دو قوتیں استوار جسم پر لگ رہی ہوں اور خطی توازن برقرار ہو۔nقوتوں کے لیے، اس کی عموی صورت میں تصدیق آپ کے لیے بہ طور مشق چھوڑی جارہی ہے۔

مساوات (7.30 a)اور مساوات(7.30 b) دونوں سمتیہ مساواتیں ہیں۔ ان میں سے ہر ایک تین غیرسمتی مساواتوں کے برابرہے۔مساوات (7.30 a)مماثل ہے:

جہاںFty،Ftx  اورFtzبالترتیب قوت  Fi کے y, x اورz جز ہیں۔اسی طرح مساوات(7.30 b) تین غیرسمتی مساواتوں کے برابرہے

جہاںrty,rix اورtizبالترتیب قوت گردشہti کے y،xاورzاجزاء ہیں۔

مساوات (7.31a)اور(7.31 b)استوارجسم کے میکانکی توازن کے لیے چھ ایسی شرطیں ہیں، جو ایک دوسرے کے تابع نہیں ہیں۔ بہت سارے سوالوں میں ایک جو جسم پر لگ رہی تمام قوتیںہم مستوی (coplanar)  بھی ہوسکتی ہیں ۔ایسی صورت میں میکانیکی توازن کے لیے صرف3شرطوں کو ہی مطمئن کرنا کافی ہوتا ہے۔ ان میں سے دو شرطیں خطّی انتقالی توازن سے متعلق  ہیں، یعنی کہ، مستوی میں کن ہی دو عموی محوروں کی سمت میں، قوتوں کے اجزاء کاحاصل جمع صفر ہونا لازمی ہے۔اور تیسری شرط گردشی توازن سے متعلق ہے، یعنی کہ، قوتوں کے مستوی پر عمود، کسی محور کے گرد لگ رہے تمام قوت گردشہ کے اجزاء کا حاصل جمع صفر ہونا لازمی ہے۔

ایک استوار جسم کے توازن کی شرائط کا مقابلہ ایک ذرہ کے توازن کی شرائط سے، جنھیں ہم پچھلے ابواب میں پڑھ چکے ہیں، کیا جاسکتا ہے۔ کیونکہ گردشی حرکت کا اطلاق ایک واحد ذرہ پر نہیں کیا جاسکتا، اس لیے ایک واحد ذرے کے توازن کے لیے صرف خطی انتقالی توازن کی شرائط ہی لاگو ہوتی ہیں۔ اس لیے، ایک واحد ذرے کے توازن کے لیے، اس پر لگ رہی تمام قوتوں کا سمتیہ حاصلِ جمع صفر ہونا لازمی ہے۔ کیونکہ یہ تمام قوتیں ایک واحد ذرے پرلگ رہی ہیں، اس لیے یہ یقیناً ہم نقطہ (Concurrent)ہوںگی۔ ہم نقطہ قوتوں کے تحت توازن سے پچھلے ابواب میں بحث کی جاچکی ہے۔

ایک جسم جزوی توازن (Partial quitibrium)میں بھی ہوسکتا ہے۔ یعنی کہ جسم خطی انتقالی توازن میں تو ہو مگر گردشی توازن میں نہ ہو یا گردشی توازن میں ہو اور خطّی انتقالی توازن میں نہ ہو۔

 ایک ہلکی چھڑ(جسکی کمیت نظراندازکی جاسکتی ہو)ABلیجئے۔اس کے دونوں سروں AاورBپر دومتوازی یکساں عددی قدر کی قوتیں،جو یکساں سمت میں کام کر رہی ہوں،چھڑ کی عمودی سمت میں لگائیں (شکل 7.20 (a)۔

شکل (a) 7.20 

مان لیجئے AB.Cکا وسطی نقطہ ہے یعنی CA=CB=a۔AاورB پر لگ رہی قوتوں کے میعارِ اثر کی عددی قدریں(af)مساوی ہوں گی لیکن سمتیں مخالف ہوںگی۔ چھڑپرکل میعارِاثر صفر ہوگا۔نظام گردشی توازن میں تو ہوگا مگرخطی انتقالی توازن میں نہیں ہوگا، اگر

شکل (b) 7.20 

شکل 7.20(b) میں Bپر لگی قوت شکل 7.20 (a) کے مقابلے میں مخالف سمت میں ہے۔اس طرح اب اسی چھڑ پر دو مساوی اور مخالف سمتوں میں قوتیں لگ رہی ہیں جن کی سمت چھڑ کی عمودی سمت میں ہے ۔ایک قوت نقطہAپر اور دوسری نقطہ B پر لگ رہی ہے۔ یہاں دونوں قوتوں کے میعارِاثر برابر ہیں مگر مخالف سمت میں نہیں ہیں۔دونوں میعارِ اثر گھڑی کی سوئیوں کی حرکت کی سمت کے لحاظ سے ایک ہی سمت میں ہیں اور چھڑ کو گھڑی کی سوئیوں کی حرکت کرنے کی سمت کی مخالف سمت میں گردش دیتے ہیں۔ جسم پر لگی کل قوت صفرہے۔اس لیے جسم خطی انتقالی توازن میں ہوگا جب کہ یہ گردشی توازن میں نہیں ہے۔حالانکہ چھڑکو کہیں بھی جَڑا نہیں گیا ہے پھربھی اس میں خالص گردشی حرکت (بغیرخطی انتقالی حرکت کے) ہوگی۔

ایسی مخالف سمتوں میں اور مساوی قوتوں کا جوڑا،جن کے کام کرنے کے خطوط الگ الگ ہوں جفت (couple)کہلاتا ہے۔ایک جفت خطّی انتقال کے بغیر گردش پیدا کرتا ہے۔

جب ہم بوتل کے ڈھکن کو گھماکر کھولتے ہیں ہماری انگلیاں ڈھکن پر جفت فراہم کرتی ہیں (شکل 7.2 (a))۔دوسری مثال زمین کے مقناطیس میدان میں رکھّے قطب نما(Compass needle) کی ہے (شکل 7.21 (b))۔شمالی اور جنوب قطب پر زمین کا مقناطیسی میدان یکساں قوت لگاتی ہے۔قطب شمال پر لگی قوت شمال کی جانب ہوتی ہے اور قطب جنوب پر لگی قوت جنوب کی جانب ہوتی ہے۔جب سوئی شمال–جنوب سمت میں ہوتی ہے توصرف اس وقت ہی دونوں قوتیں ایک ہی خط پر لگ رہی ہوتیں ہیں، ورنہ ہمیشہ دونوں قوتیں الگ الگ خطوط پر لگی ہیں۔س لیے سوئی پر زمینی مقناطیسی میدان کے باعث جفت پیدا ہوتا ہے۔

شکل 7.21 (a) ہماری انگلیاں ڈھکن کو گھمانے پر جفت فراہم کرتی ہیں۔

شکل  7.21 (b) کمپاس سوئی کے قطب پر زمینی مقناطیسی میدان مخالف اور مساوی قوت لگاتی ہے۔یہ دونوں قوتیں جفت بناتی ہیں۔

مثال 7.7  دکھائیے کہ جفت کا گردشہ اس نقطہ پر منحصر نہیں کرتا جس نقطہ کے گرد گردشہ (moment)لیا جاتا ہے۔

جواب

شکل  7.22

مان لیجیے جفت ایک استوارجسم پر لگ رہی ہے (شکل 7.22)۔قوت Fاور (–F)بالترتیب نقطہ Bاور Aپر لگ رہا ہے۔لفظوں کے مقام سمتیے مبدا سے r¹اور r²ہیں۔اب اگر ہم قوت کا گردشہ مبدا کے گرد لیں۔

جفت کا گردشہ   =  دوقوتوں کے گردشہ کا جوڑ جو جفت بناتا ہے

r1 × (–F) + r2 × F=

r2 × F – r1 × F =

(r2–r1) × F =

لیکن

اور، اس لیے

اس  لیے جفت کا گردشہ  AB×F  ہوگا۔

صاف طور پر یہ کہا جاسکتا ہے کہ یہ مبدا کے تابع نہیں ہے۔مبدا وہ نقطہ ہے جس کے گرد ہم نے قوت کا گردشہ لیا ہے۔

7.8.1   گردشہ کا اصول  (Principle of moments) 

ایک مثالی لیور عام طورپر ہلکی (نظراندازکی جاسکنے والی کمیت) ڈنڈی کا بنا ہوتا ہے جو لمبائی کے ایک نقطہ پر جڑی ہوتی ہے۔اس نقطہ کو ٹیک (fulcurm) کہتے ہیں۔بچوں کے کھیل کے میدان میں سی سا(see-saw) لیور کی ایک عمدہ مثال ہے۔دو قوتیںF1اور F2آپس میں متوازی ہوتی ہیں اورعام طور پر لیور کے عمودی سمت میں ہوتی ہیں۔ یہ قوتیں ٹیک سے بالترتیب  دوری d1اور d2بناتی پر لگ رہی ہیں۔ (شکل 7.23)۔

شکل  7.23

لیور، میکانکی توازن میں ایک نظام ہے۔مان لیں کہ Rٹیک پر سہارے کا ردِّعمل ہے۔Rکی سمت، قوتF1اور F2کے مخالف ہے۔خطی توازن کے لیے

R – F1–F2= 0 (i)

گردشی توازن کے لیے ہم ٹیک کے گرد گردشہ لیتے ہیں۔ گردشہ کا حاصل جوڑصفرہونی چاہیے

d1F1– d2 F2= 0 (ii)

عام طور پر گھڑی کی سوئیوں کی حرکت کی مخالف سمت والے معیارِحرکت کو ہم مثبت مانتے ہیںے اور گھڑی کی سوئیوں کی حرکت کی سمت والے معیارِاثر کو منفی۔یہ خیال رہے کہ R، ٹیک پر لگتا ہے اور ٹیک کے گرد صفرگردشہ دیتا ہے۔

عام طور پر لیور قوت میں F1 میں کچھ وزن اٹھایا جانا ہے۔ یہ بار (Load) کہلاتا ہے اور اس کی ٹیک سے دوری d1 کو باربازو (load arm) کہتے ہیں۔قوت F2 بار اٹھانے کے لیے لگائی گئی کوشش (effort) ہے۔ٹیک سے کوشش کی دوری d2 کو کوشش بازو(effort arm) کہتے ہیں۔

مساوات  (ii) کو ہم لکھ سکتے ہیں

d1F1 = d2F2    (7.32 a)

یا

کوشش  × کوشش بازو   =   بار  × بار بازو 

درج بالا مساوات لیور کے لیے معیارِاثر کا اصول ظاہر کرتی ہے۔تناسب کو میکانکی فائدہ (Mechanical advantage, MA) کہتے ہیں۔

اگر کوشش بازو d2، باز بازو سے زیادہ ہے تو میکانکی فائدہ ایک سے زیادہ ہوگا۔میکانکی فائدہ کے ایک سے زیادہ ہونے کا مطلب ہے کہ بہت تھوڑی کوشش پر زیادہ بار اٹھاسکتے ہیں۔آپ کے گردلیور کی بہت ساری مثالیں سی سا کے علاوہ بھی ہیں۔ترازو کی بیم (beam)بھی ایک لیور ہے۔اس طرح کی بہت ساری مثالیں پتہ لگائیں اور ٹیک، کوشش اورکوشش بازو، بار اور باربازو کو پہچاننے کی کوشش کریں۔

آپ اس طرح دکھا سکتے ہیں کہ گردشہ کا اصول اس وقت بھی لاگو ہوتا ہے جب قوت F1اورF2 دونوں عمود سمت میںنہیں ہیں لیکن لیور پر کوئی زاویہ بنا رہا ہے۔

7.8.2  مادی کشش مرکز   (Centre of gravity) 

آپ میں سے بہت ساروں کو ایک انگلی کے نوک پر اپنی کاپی کو متوازن حالت میں رکھنے کا تجربہ ہوسکتا ہے۔

شکل 7.24 ایک ایسا ہی تجربہ بتاتی ہے جسے آپ بآسانی کرکے دیکھ سکتے ہیں۔آپ بے قاعدہ شکل کا ایک کارڈ بورڈ اورپتلی نوک والی پنسل لیں۔ آپ ایک نقطہ Gایسا معلوم کرسکتے ہیں جہاں اگر پنسل کی نوک رکھی جائے تو یہ کارڈ بورڈ متوازی حالت میں ہوگا۔یہی نقطہ جس پر کارڈ بورڈ حالت توازن میں ہے کارڈ بورڈ کا مادی کشش مرکز (CG)کہلاتا ہے۔ پنسل کی نوک اوپر کی جانب ایک قوت لگاتی ہے جس سے کارڈ بورڈ میکانیکی توازن  ہوتا ہے (شکل 7.24)۔نوک کا ردِّعمل کارڈ بورڈ کے کل وزن (کارڈ بورڈ پر لگ رہی کل مادی کشش قوت) Mg کے مساوی اور مخالف ہے۔ا س لیے کارڈ بورڈ خطی انتقالی توازن میں ہوگا۔ یہ گردشی توازن میں بھی ہے۔اگر ایسا نہ ہو تو غیرمتوازن قوت گردشہ کی وجہ سے ایک طرف جھک کر نیچے گر جائیگا۔ کارڈ بورڈ جن ذرّات سے بنا ہے، ان میں ہر ذرّے پر مادی کشش قوتیں :m2g ، m1g  لگ رہی ہیں اور اس لیے کارڈ بورڈ کے ہر نقطہ پر قوتِ گردشہ وغیرہ کے ذریعہ قوت گردشہ (Torques)لگیں گے۔

شکل  7.24 پنسل کی نوک پر کارڈ بورڈ کی متوازن حالت۔ٹیک نقطہ G مادی کشش مرکز ہے۔

کارڈ بورڈ کا مادی کشش مرکزایسے مقام پر ہے جہاں قوتوںm2g ، m1g وغیرہ کی وجہ سے لگ رہا کل قوتِ گردشہ صفر ہے۔

اگرایک توسیعی جسم کے ithذرہ کا، اس کے CG کی مناسبت سے، مقام سمتیہ �riہے تب اس ذرّہ پر لگ رہی مادی کشش قوت کی وجہ سے CGکے گرد اس ذرّہ پر لگ رہا قوت گردشہ ہے :ti = ri × mi g  ہوگا۔ CGکے گرد کل ثقلی قوت گردشہ صفرہے۔یعنی

اس لیے ہم جسم کے CGکی تعریف اس طرح کرسکتے ہیں کہ وہ نقطہ جہاں جسم پر کل ثقلی قوت گردشہ صفر ہو۔

ہم یہ دیکھتے ہیں کہ مساوات (7.33) میں gسارے ہی ذرّات کے لیے یکساں ہے۔اس لیے اسے تجمع (summation)سے باہر کیا جاسکتا ہے۔اس لیے ہوگا چونکہ gغیرصفرعدد ہے۔یہ خیال رہے کہ مقام سمتیےri ،CGکی مناسبت سے لیے گئے ہیں۔حصہ (7.2)میں مساوات (7.4 a)کے نیچے دی گئی دلیل کی بنیاد پر، اگر حاصلِ جمع صفر ہے، تو مبدا لازمی طور پر جسم کا کمیت مرکز ہوگا۔اس لیے جسم کا مادی کشش مرکز،جسم کے کمیت مرکز پر منطبق ہوتا ہے۔ہم دیکھتے ہیں کہ یہ اس لیے صحیح ہے کیونکہ جسم چھوٹا ہے اور gکی قدر جسم کے اندر ایک نقطہ سے دوسرے نقطہ تک تبدیل نہیں ہوتی۔اگر یہی جسم اتنی بڑی ہوکر gکی قدر ایک نقطہ سے دوسرے نقطہ کی طرف تبدیل ہوجاتی ہو تب مادی کشش مرکز، کمیت مرکزپر منطبق نہیں ہوگا۔بنیادی طور پر یہ دونوں مختلف تصورات ہیں۔کمیت مرکزکا مادی کشش سے کوئی تعلق نہیں ہے۔یہ صرف جسم میں کمیت کی تقسیم کے تابع ہے۔

حصّہ7.2 میں ہم نے کئی قاعدہ(regular)، ہم قسم (homogeneous) اشکال میں کمیت مرکز کا مقام معلوم کیا ہے۔وہاں استعمال کیے گئے طریقے سے ان اجسام کا مادی کشش مرکز بھی حاصل کیا جاسکتا ہے، بشرطیکہ اجسام چھوٹے ہوں۔

شکل 25۔7 بے قاعدہ شکل کے اجسام کشش معلوم کرنا -مادی کشش مرکز G,جسم میں نقطہ A پر لٹکا ہے،اس سے گذرے تنصیبی خط پر ہے۔

جواب

شکل 7.25 میں باقاعدہ جسم جیسے کارڈبورڈ کے مادی کشش مرکز معلوم کرنے کا دوسرا طریقہ بتایا ہے۔اگر آپ جسم کو کسی ایک نقطہ جیسے Aسے لٹکائیں تو Aسے گذرنے والا انتصابی خط CGسے ہوکر گذرے گا۔ہم AA1کا انتصابی خط کھینچتے ہیں۔اب ہم جسم کو کچھ دوسرے نقطوں Bاور Cپر لٹکاتے ہیں۔ان نقطوں سے گذر رہے انتصابی خطوط کا تقاطع (intersection)’مادی کشش ‘CG  فراہم کرتا ہے۔بتائیں کہ یہ طریقہ کیوں صحیح ہے؟ چونکہ جسم چھوٹا ہے یہی طریقہ استعمال کرکے ہم کمیت مرکز بھی معلوم کرسکتے ہیں۔

مثال 7.8 ایک دھات کی چھڑ جس کی لمبائی70 cm اور کمیت 4.00 kg ہے، دو دھاردار ٹیکوں(knife edges) پر ٹکی ہوئی ہے، جن میں سے ہر ایک کا فاصلہ چھڑکے کنارے سے 10 cm  ہے،چھڑکے ایک کنارے سے 30 cmکے فاصلے پر ایک 6 kgکی کمیت لٹکائی گئی ہے۔دھاردارٹیکوں پر ردِّعمل معلوم کیجیے۔ (چھڑکو ہموار تراشہ والی اور متجانس مانیے)

شکل 7.26 

جواب

شکل 7.26 میں چھڑABدکھائی گئی ہے۔دھار دارٹیکس k1اور k2مقام پر ہے۔مادی کشش مرکز Gپر ہے اور لٹکایا گیا وزن Pنقطہ پر ہے۔

یہ خیال رہے کہ چھڑکا وزن W مادی کشش مرکز Gپر لگ رہا ہے۔چھڑ کا تراشہ (Cross Section)یکساں اور متجانس ہے۔اس لیے Gچھڑکے مرکز پر ہے۔

,AP=30cm ,AG =35 cm , AB= 70cm

K1G =K2G=325cm اور AK1=BK2=10cm,PG=5cm

 w = 4.00 kg چھڑ کا وزن اور 6.00 kg =w1=لٹکایا گیا وزن R1 اور R2دونوں دھار دار ٹیکوں پر ردِّعمل ہیں۔

 چھڑ کے خطی انتقالی توازن کے لیے

R1+ R2 –W1 –W = 0                 (i)

خیال رہے کہ W1اور Wیہ دونوں انتصابی نیچے کی جانب لگے رہے ہیں اور R1اور R2انتصابی اوپر کی جانب لگ رہے ہیں۔

گردشی توازن دیکھنے کے لیے ہم قوتوں کے معیارِاثر لیتے ہیں۔ایک آسان نقطہ جس کے گردمعیارِاثر لیے جاسکتے ہیں وہ Gہے۔ R2اور W1کے معیارِاثر کی سمت گھڑی کی سوئیوں کی حرکت کے مخالف (+ve)ہے جب کہ R1کے معیارِ اثر کی سمت گھڑی سوئیوں کی حرکت کی سمت (–ve)ہے۔

گردشی توازن کے لیے

   R1 (K1G) + W1 (PG) + R2 (K2G) = 0                    (ii)

یہ دیا گیا کہ W= 4.00 gN، W1=6.00 gN

جہاںg، مادی کشش اسراع ہے۔ہم g = 9.8 m/s2 لیتے ہیں

مساوات (i) سے

R1 + R2 – 4.00g N – 6.00g N = 0

           یا  R1 + R2 = 10.00g  N                             (iii)

                            = 98.00 N

مساوات   (ii) سے– 0.25 R1+ 0.05 W1+ 0.25 R2 = 0  

R2 – R1 = 1.2g  N = 11.76 N                   (iv)

مساوات (ii) اور (iv) سے            R1 = 54.88 N

               R2 = 43.12 N 

اس لیے ٹیک کا ردِّعمل k1پر تقریباً 55Nہے اور k2پر 43Nہے۔

مثال 7.9 ایک 3m لمبی سیڑھی جس کا وزن 20 kgہے ایک چکنی دیوار جھکی ہوئی ہے۔اس کا نچلا حصّہ فرش پر دیور سے 1mکی دوری پر حالت سکون میں ہے (شکل 7.27)۔دیوار اور فرش کا ردِّعمل قوت معلوم کریں۔

جواب

شکل 27

جواب

سیڑھی AB، 3mلمبی ہے۔اس کا نچلا حصّہ Aدیوار سے AC=1mکی دوری پر ہے۔پیتھا غورس مسئلہ کے مطابقBC=2.سیڑھی پر لگی قوتیں: اس کا وزنWجومادی کشش مرکز Dپر ہے،F1اورF2 بالترتیب دیوار اور فرش کی ردِّعمل قوتیں۔چونکہ دیوارچکنی بے رگڑ ہے اس لیے قوت F1دیوارہے قوت پر عمود ہے۔ قوت F2کو ہم دواجزاء میں تحلیل کرسکتے ہیں۔عمودی ردِّعمل Nاور رگڑقوت F۔خیال رہے کہ Fسیڑھی کو پھسلنے سے بچاتی ہے اور اسکی سمت دیوار کی طرف ہوتی ہے۔

خطی توازن کے لیے، قوتوں کو عمودی سمت میں لینے پر

N – W = 0                      (i)

 افقی سمت میں قوتوں کو لینے پر

F – F1 = 0                  (ii)  

گردشی توازن کے لیے، قوت کا گردشہ Aکے گرد لینے پر

اب W = 20 g = 20 × 9.8 N = 196.0 N          

مساوات (i)   سے  N = 196.0

مساوات (iii)سے

مساوات (ii)سے

قوت F2افقی سطح سے زاویہ a بناتا ہے۔

7.9   جمودگردشہ   (Moment of Inertia)

ہم پہلے ہی یہ کہہ چکے ہیں کہ خط انتقال حرکت کے متوازی گردش حرکت کے بارے میں جانکاری حاصل کررہے ہیں۔اس سلسلے میں ہمیں ابھی بھی ایک اہم سوال کا جواب دینا ہے۔گردش حرکت میں کمیت کا مماثل کیا ہے؟ ہم اس سوال کا جواب اس حصّہ حاصل کرنے کی کوشش کریں گے۔گفتگوکو آسان بنانے کے لیے ہم صرف جامد محور کے گرد گردش لیں گے اور گردشی جسم کی حرکی توانائی معلوم کرنے کی کوشش کریں گے۔ہم جانتے ہیں کہ جامد محور کے گرد گردش کرتے ہوئے جسم کا ہرذرّہ ایک دائرہ میں حرکت کرتا ہے جس کی خطی رفتارمساوات (7.19)سے دی جاتی ہے۔ (شکل 7.16 )۔ایک ذرّہ جو محور سےri دوری پر واقع ہے اس کی خطی رفتارu¹=r¹w ہے۔ اس ذرّہ کی حرکی توانائی

جہاںmiذرّہ کی کمیت ہے۔ جسم کی کل حرکی توانائی Kانفرادی ذرّات کی کل حرکی توانائی کا جوڑ ہوتا ہے۔

یہاں n جسم کے اندر ذرّات کی تعداد ہے۔خیال رہے کہ wہر ذرّہ کے لیے یکساں ہے۔اس لیے wکو تجمیع سے باہر لے سکتے ہیں۔

ہم استوار جسم کے لیے ایک نئی مقدار جمود گردشہ (I)لیتے ہیں۔

                 (7.34)          

تعریف کے مطابق

                  (7.35)          

خیال رہے کہ Iزاویائی رفتار کے قدر پر منحصر نہیں کرتا ۔یہ استوارجسم کی ایک صفت ہے اور جس محور کے گرد یہ گھومتا ہے ،اس کی صفت ہے۔

مساوات (7.35)کو گردشی جسم کی حرکی توانائی کا خطی حرکت کی حرکی توانائی سے موازنہ کرنے پر

یہاں mجسم کی کمیت ہے اور vرفتار ہے۔ہم پہلی ہی دیکھ چکے ہیں کہ زاویائی رفتار w(ایک جامدمحور کے گرد گردشی حرکت میں) اورخطی رفتار v (خطی حرکت میں) میں ایک مماثلت ہے۔اس سے ظاہر ہوتا ہے کہ جمودگردشہ Iکمیت کا گردشی مماثل ہے۔ایک جامد محور کے گرد گردش میں جمود گردشہ وہی کردار ادا کرتا ہے جو خطی حرکت میں کمیت کا ہے۔

اب دو سادہ صورتوں میںجمودگردشہ معلوم کرنے کے لیے مساوات (7.34) کا استعمال کرتے ہیں۔

 (a) Rنصف قطراور Mکمیت کے کسی پتلے چھلے پر غورکیجیے جو اپنے مرکزکے اطراف اپنے مستوی میں زاویائی رفتار wسے گردش کررہا ہے۔چھلے کی ہر ایک کمیت عنصر (mass element)محور سے Rدوری پر ہے اور وہ چال Rwسے حرکت کررہا ہے۔لہٰذا حرکی توانائی

اس کا مساوات (7.35)سے موازنہ کرنے پر ہمیں حاصل ہوتا ہے۔

I = MR2

شکل 28۔7 ایک ہلکی چھڑ، جسکی لمبائی1ہے کمیتوں کے چوڑے کے کے ساتھ محور کے گرد نظام کے مرکزکمیت کے گرد گھوم رہی ہے جو چھڑسے عمودی سمت میں ہے۔نظام کی کل کمیت M ہے

(b) اب لمبائی lکی کوئی بے کمیت ایسی استوار چھڑلیجیے جس کے سروں پر Mکمیت کا کوئی جوڑا جڑا ہو اوراس محور کے اطراف گردش کرتا ہو جو کمیت مرکز سے گذرتا ہے اور چھڑ پر عمود ہے۔ہر ایک کمیت M/2محور سے R=l/2 دوری پر ہے۔لہٰذا اس چھڑکا جمود گردشہ

(M/2) (l/2)2 + (M/2)(l/2)2

اس طرح چھڑکے عمودی محور کے اطراف گردش کرنے والی کمیتوں کے جوڑے کے لیے

I = Ml2/4

جدول 7.1میں کچھ مخصوص شکلوں کے اجسام کے جمودگردشہ دیے گئے ہیں۔جس طرح کسی جسم کی کمیت اس جسم کی خطی حرکت میں ہونے والی تبدیلی کا مزاحمت کرتی ہے اور خطی حرکت میں اس جسم کے جمود کی پیمائش ہوتی ہے ٹھیک اسی طرح کسی دئیے گئے محور کے اطراف کسی جسم کا جمودگردشہ اس جسم کی گردشی حرکت میں ہونے والی تبدیلی کی مزاحمت کرتی ہے اور اسے اس جسم کے گردشی جمود کی پیمائش کے طور پر مانا جاسکتا ہے۔یہ اس ڈھنگ کی پیمائش ہے جس کے مطابق جسم کے مختلف حصّے گردشی محور سے مختلف دوریوں پر پھیلے ہیں۔کمیت کے برخلاف کسی جسم کا جمودگردشہ ایک متعین مقدار نہیں ہوتا بلکہ اس کی قدر کل جسم کی بہ نسبت گردشی محور کے مقام اور تشریق (orientation) کے تابع ہوتی ہے۔اس ڈھنگ کی پیمائش کے لیے گردش کرتے ہوئے کسی استوار جسم کی کمیت گردشی محور کی بہ نسبت کس طرح تقسیم ہے، ہم ایک دیگر نئے پیرامیٹر جائریشن (گھوم) کے نصف قطر (radius of gyration) کو معرف کرسکتے ہیں۔یہ جسم کی کل کمیت اور اس کے جمود گردشہ سے منسلک ہے۔

جدول 7.1 پر غور کیجیے۔اس میں سبھی معاملوں میں ہمI=Mk2لکھ سکتے ہیں۔یہاںkکا بُعد لمبائی کے بُعد جیسا ہے۔کسی چھڑکے لیے اس کے درمیانی نقطہ پر عمودی محور کے اطراف½/k2=l2یعنی =k2

ہے۔اسی طرح اپنے قطرکے اطراف کسی دائری ڈسک کے لیے k=R/2 ہوتا ہے۔ لمبائی kگردشی محور اور جسم کی جیومیٹریائی خصوصیت ہوتی ہے۔اسے گھوم نصف قطر کہتے ہیں۔جسم کی گھوم نصف قطر کسی محور کے گرد اس طرح بیان کیا جاسکتا ہے کہ یہ محور سے اس کمیت نقطہ کا فاصلہ ہے، جس کمیت نقطہ کی کمیت کل جسم کی کمیت کے مساوی ہو اور جس کا، اس محور کے گرد، جمودگردشہ، کل جسم کے، اس محور کے گرد، جمودگردشہ کے مساوی ہو۔

اس طرح کسی استوار جسم کا جمود گردشہ، جسم کی کمیت، اس کی شکل اور سائز، گردشی محورکے اطراف کمیت کی تقسیم اور گردشی محور کے مقام اور تشریق کے تابع ہے۔

تعریف، مساوات (7.34)، سے اخذ کرسکتے ہیں کہ جمودگردشہ کے ابعاد [M L2] ہیں اور اس کی SIاکائی kg-m2  ہے۔

جسم کے گردشی جمود کی پیمائش کی شکل میں اس نہایت اہم مقدار Iکی خصوصیت کا نہایت عملی استعمال کیا جاتا ہے۔بھاپ انجن،آٹو موبائل انجن وغیرہ مشینیں جن کا استعمال گردشی حرکت پیدا کرنے میں کیا جاتا ہے، ان میں زیادہ جمود گردشہ کی ڈسک لگی ہوتی ہے جنہیں پروازی رفتار پہیہ (flywheel) کہتے ہیں۔زیادہ جمودگردشہ ہونے کے سبب پروازرفتارپہیہ، گاڑی کی چال میں اچانک کمی یا زیادتی میں رکاوٹ پیدا کرتا ہے۔ یہ گاڑیوں میں دھیرے دھیرے تبدیلی ہونے دیتا ہے اور جھٹکے دار حرکتوں سے بچائو کرتا ہے۔اس طرح یہ گاڑی میں سفر کرنے والے مسافروں کو پرسکون اور بے رکاوٹ (smooth ride)حرکت فراہم کرنے میں مددگار ہوتا ہے۔

7.10  عمودی اور متوازی محور کے تھیوریم (THEOREMS    

 OF PERPENDICULAR AND PARALLEL AXES)

یہ دوکافی کارآمد تھیوریم جمودگردشہ سے متعلق ہیں۔ہم پہلے عمودی محور کے تھیوریم کے بارے میں گفتگو کریں گے اور کچھ باقاعدہ شکل والے اجسام پر سوالات حل کریں گے۔

جسم	محور	شکل	1
پتلا دائری چھلا، نصف قطرR	قطر
پتلا دائری چھلا،  نصف قطرR	قطر
پتلی چھڑ، لمبائیL	چھڑ کے عمودی وسطی نقطے پر
دائری ڈسک (قرص)۔ نصف قطرR	قطر
دائری ڈسک، نصف قطرR	مرکز پر ڈسک کے عمودی
کھوکھلا استوانہ، نصف قطرR	مرکزپر ڈسک کے عمودی
ٹھوس سلینڈر، نصف قطرR	استوانہ کا محور
گول کرہR نصف قطرR	قطر

7.10.1 عمودی محور کا تھیوریم (Theorem of Perpendicular axes)

یہ تھیوریم مستوی اجسام پر لاگوہوتا ہے۔اس کا مطلب ہے یہ تھیوریم ایسے سپاٹ اجسام پر لاگو ہوتی ہے، جن کی موٹائی دوسرے ابعاد کے مقابلے کافی کم ہو (جیسے لمبائی، چوڑائی یا نصف قطر)۔شکل 7.29 اس تھیوریم کی وضاحت کرتی ہے۔ اس تھیوریم کا بیان ہے کہ ایک مسطح جسم )ورقہ(laminaکا  جمودگردشہ کسی محور کے گرد جو اس کے سطح سے عمودی سمت میں ہے دو دیگر ایسے محوروں کے گرد جمودگردشہ کے مجموعہ کے برابر ہوتا ہے جسم کے مستوی میں ہوں اور عمودی محور سے ہم نقطہ ہوں۔

شکل  7.29 مستوی جسم کے لیے عمودی محور کا تھیوریم ۔xاور yعمودی محور ایک سطح میں ہیں اور zمحور اسکے عمود میں ہے۔

شکل 7.29 مسطح جسم دکھاتی ہے۔-z محور نقطہ Oسے گذرتا ہوا جسم کا عمودی محور ہے۔-xمحور اور -y محور جو جسم میں واقع ہیں اور آپس میں ایک دوسرے پر عمود ہیں اور -zمحور کے ہم نقطہ ہیں۔ اس تھیوریم کے مطابق

12=1x+y

اب ہم اس تھیوریم کا استعمال ایک مثال سے لیتے ہیں

مثال 7.10   ڈسک کا جمودگردشہ اس کے اپنے قطرکے گرد کیا ہے

شکل 7.30 قطرکے گرد ڈسک کا جمود گردشہ جب کہ اس کے مرکز سے گذرتے ہوئے عمودی محور کے گرد جمودِ گردشہ دیاہوا ہے۔

ہم مانتے ہیں کہ ڈسک کا جمودگردشہ ایک ایسے محور کے گرد جو اس کے عمودی سمت میں ہے اور مرکز سے گذرتا رہا ہے، MR2/2 ہے۔ جہاں Mڈسک کی کمیت ہے اور Rاس کا نصف قطر ہے (جدول  7.1)

ڈسک کومسطح جسم مانا جاسکتا ہے۔اس لیے عمودی محور کی تھیوریم یہاں لاگوہوگی۔جیسا کہ شکل 7.30میں دکھایا گیا ہے ہم تین محورx، yاور zلیتے ہیں جو مرکزO سے گذرتے ہیں۔x،yمحور ڈسک کے مستوی میں ہیں اور -zمحور اس سے عمودی سمت میں ہے۔عمودی محور کی تھیوریم سے

12=1x+ly

اب xاورyمحور ڈسک کے دوقطرکی جانب ہیں اور تشاکل کے ذریعے جمودگردشہ کسی بھی قطرکے گرد ایک ہی ہے۔اس لیے

   Ix = Iy

اور

Iz = 2Ix

 لیکن

        Iz = MR2/2

          Ix = Iz/2 = MR2/4

اس لیے

اس لیے ڈسک کا جمود گردشہ کسی بھی قطرکے گرد MR2/4ہے۔

اسی طرح رنگ (چھلّہ)کا جمودگردشہ کسی قطرکے گرد معلوم کریں۔کیا یہ تھیوریم ایک ٹھوس استوانہ کے لیے بھی لاگو ہوگی؟

شکل 7.31 متوازی  محور کی  تھیوریم  z   اور  z'  دو  متوازی محورہیںجوaدوری پر ہیں۔ Oجسم کا مرکز کمیت ہیں 00'=a

7.10.2 متوازی محاورکی تھیوریم (Theorem of Parallel axes) 

یہ تھیوریم ہر شکل کے جسم کے لیے استعمال ہوسکتی ہے۔ہم اس تھیوریم کو بغیرثبوت پیش کئے ہوئے بیان کریں گے۔ ہم بحرحال اسے کچھ آسان حالات میں استعمال بھی کرکے دکھائیں گے۔یہ تھیوریم اس طرح بیان کی جاسکتی ہے۔

کسی محور کے گردجمود گردشہ، اس کے متوازی کمیت مرکزسے گذرتے ہوئے محورکے گردجمودگردشہ اور اس کی کمیت اور دونوں متوازی محوروں کے درمیان کی دوری کے مربع کے حاصل ضرب کے جوڑکے برابر ہوتا ہے۔جیسا کہ شکل7.31میں دکھایا گیا ہے،zاور'zدومتوازی محاور ایک دوسرے سے aدوری پرواقع ہے۔-zمحوراستوارجسم کے مرکزکمیت Oسے گذرتا ہے۔تب متوازی محاور کے تھیوریم کے مطابق

Iz' = Iz + Ma2 (7.37)

جہاں Izاور Iz' بالترتیب zاورz'کے گردجسم کے جمود گردشہ ہیں۔Mجسم کی کل کمیت ہے اور aدونوںمتوازی محاور کے درمیان کی عمودی دوری ہے۔

مثال  7.11 M کمیت اور lلمبائی کی کسی چھڑکا، اس کے ایک سرے سے عمودی گزرنے والے محورکے اطراف جمودگردشہ کیا ہے؟

جواب  M کمیت اور lلمبائی کے لیے I = Ml2/12

 متوازی محاور تھیوریم کے استعمال سے I'=I+Ma2 جس  میں a = l/2 

ہم اسے علاحدہ طورپر بھی جانچ سکتے ہیں۔چونکہ Iایسی چھڑکا، جس کی کمیت2Mاور لمبائی 2lہے۔اس کے وسطی نقطہ کے گرد، جمودگردشہ کا نصف ہے

مثال 7.12 ایک رنگ (چھلّہ) کا جمودگردشہ رنگ کے دائرہ کے خط مماس کے گرد کیا ہے؟

جواب  رنگ کی سطح میں رنگ پر خط مماس رنگ کے ایک قطرکے متوازی ہوتاہے۔دونوں متوازی محوروں کے درمیان دوری Rہے۔متوازی محورکا تھیوریم استعمال کرنے پر

شکل 32۔7

7.11  ایک متعین (جامد) محورکے گردگردشی حرکت کا 

مجردحرکیاتی عمل (Kinematics of 

Rotational Motion About a fixed Axis)

ہم پہلے گردشی حرکت اور خطی انتقالی حرکت کے درمیان مماثلت کا مطالعہ کرچکے ہیں۔مثال کے طورپر، گردشی حرکت میں زاویائی رفتار wکی وہی ااہمیت ہے جو خطی انتقالی حرکت میں خطی رفتارvکی ہے۔ ہم اس مماثلت کو  مزید آگے بڑھانا چاہتے ہیں۔ایسا کرنے پر ہمیں اپنی گفتگومحض ایک متعین (جامد) محور کے گرد گردش پر ہی رکھنی چاہیے۔اس طرح کی حرکت میں صرف واحد آزادی درجہ (degree of freedom)ہوتا ہے یعنی ایسی حرکت کو بیان کرنے کے لیے صرف ایک غیرتابع متغیرہ (variable) کی ضرورت ہوتی ہے۔یہ انتقالی حرکت میں خطی حرکت سے مطابقت رکھتا ہے۔یہ حصّہ صرف مجردحرکیات کی بحث تک محدود ہے۔ہم حرکی حرکیات کا مطالعہ اگلے حصہ میں کریں گے۔

گردشی جسم کے زاویائی نقل کے لیے ہم جسم پر ایک نقطہ Pلیتے ہیں (شکل 7.33)۔جس مستوی میں جسم حرکت کررہا ہے، اسی مستوی میں اس کا زاویائی نقل qمکمل جسم کا زاویائی نقل کہلاتا ہے۔q،Pکی حرکت کے مستوی میں ایک متعین سمت سے ناپا جاتا ہے جسے ہم -x'محور کہہ سکتے ہیں جو -xمحورکے متوازی منتخب کیا گیا ہے۔یہ خیال رہے کہ گردش کا محور-zمحور ہے اور حرکت x-yمستوی میں ہے۔شکل 7.33بھی یہی دکھاتی ہے کہ=0 t پر زاویائی نقل θθ ہے۔

ہمیں یہ بھی یاد ہے کہ زاویائی رفتار، زاویائی نقل میں تبدیلی کی شرح ہے یعنی  w = dq/dt ۔یہ یاد رہے کہ چونکہ گردش کا محور متعین (جامد) ہے اس لیے زاویائی رفتارکو ایک سمتیہ کی طرح ماننے کی ضرورت نہیں ہے۔زاویائی اسراعa = dw/dt  ہوگا۔

گردشی حرکت میں مجرد حرکیاتی مقداریں: زاویائی نقل (q)، زاویائی رفتار (w) اور زاویائی اسراع (a) بالترتیب خطی حرکت میں مجردحرکیاتی مقداریں، نقل (x)، رفتار(v) اوراسراع(a) کے متطابق ہیں۔ہم خطی حرکت میں یکساں اسراع والی مجردحرکیاتی مساواتیں جانتے ہیں۔

جہاں، ابتدائی نقلx0=،ابتدائی رفتار=  v0۔ابتدائی کا مطلب ہے کہ  t=0پر ان کی مقداروں کی یہ قدر ہے۔

اسی طرح بالترتیب یکساں زاویائی اسراع کے ساتھ گردشی حرکت کے لیے مجردحرکیاتی مساوات ہیں

جہاں، گردشی جسم کے لیے ابتدائی زاویائی نقل =  q0 

جسم کی ابتدائی زاویائی رفتار θ0

شکل 7.33     ایک استوار جسم کا زاویائی مقام دکھاتا ہے

مثال  7.13  پہلے اصول (First Principle) سے مساوات (7.38)حاصل کریں۔

جواب  چونکہ زاویائی اسراع کے لیے ہے اس لیے

(i)       مستقلہ

اس مساوات کا تکملہ (Integration)لینے پر

(i) = J adt +c

(جہاں a  ایک متعین عدد ہے)                =at+ c

= 0 پر،  w=w0   (دیا ہوا ہے)

(i)  سے ہم پاتے ہیں کہ  t=0 پر،w = c = w0 

اس لیے 

w = at + w0 

تعریف : w = dq/dt کے مطابق ہم مساوات (7.38)کا تکملہ کرنے پر مساوات (7.39) پاتے ہیں مساوات (7.39) اور مساوات(7.40)کی تصدیق ہم آپ کے لیے بہ طور مشق چھوڑ رہے ہیں۔

مثال  7.14  ایک موٹرپہیہ کی زاویائی چال16  سیکنڈمیں 1200 rpm سے بڑھاکر 3120 rpmکردی گئی ہے۔ (i)اسراع کو یکساں مانتے ہوئے یہ بتائیں کہ اس کی زاویائی اسراع کیا ہے؟ (ii) اس وقفۂ مدت میں انجن کتنی بار چکر لگائے گا؟

جواب  (i)  ہمیں  w = w0 + at   استعمال کرنی چاہئے

=  ابتدائی زاویائی چال( rad/s) میںw0 = 

زاویائی چال ( rev/s  میں) = 2p ×

زاویائی چال   (rev/min میں)= 2p ×

60 s/min

=n 40 rad/s

اس طرح    w =   آخری زاویائی چال  (rad/s میں) w = 

=2n x 52 rad/s

104r = rad/s

زاویائی اسراع :   rad/s2   a = (w-w0)/t = 4p 

= 4p rad/s2انجن کا زاویائی اسراع 

(ii)  وقفہ  t میں زاویائی ہٹائو

7.12   ایک متعین محور (جامد )کے گرد گردشی حرکت کی حرکیاتی عمل (Dynamics of Rotational Motion About a Fixed Axis)

جدول 7.2میں خطی حرکت سے منسلک کی مقداروں اور ان کے مماثل گردشی حرکت سے منسلک مقداروںکی ایک فہرست دی گئی ہے۔ہم پہلے ہی دونوں قسم کی حرکتوں کی مجردحرکیات کا موازنہ کرچکے ہیں۔ہم جانتے ہیں گردشی حرکت میں جمودگردشہ اور قوت گردشہ کی وہی اہمیت ہے جو خطی حرکت میں، بالترتیب، کمیت اور قوت کی ہے۔ہمیں جدول کی مدد سے یہ اندازہ لگالینا چاہئے کہ دیگر مماثل مقداریں کیا ہیں۔مثال کے طورپر ہم جانتے ہیں کہ خطی حرکت میں کیا گیا کام Fdx ہے، ایک متعین (جامد) محورکے گرد گردشی حرکت � ہونا چاہیے چونکہ ہم جانتے ہیں �اور�۔ لیکن  پھر بھی یہ ضروری ہے کہ یہ مماثلتیں ٹھوس حرکی لحاظ سے حاصل کی جائیں۔ اب ہم ایسا ہی کریں گے۔

شروع کرنے سے پہلے ہم یہ نوٹ کرسکتے ہیں کہ ایک متعین (جامد) محورکے گردگردشی حرکت کی حالت میں مسئلہ مقابلتاً سادہ ہوجاتا ہے۔ چونکہ محورمتعین(جامد) ہے اس لیے قوت گردشہ کے صرف اسی جز پر گفتگوکی ضرورت ہے جو محور کی سمت میں ہے۔صرف یہی جزمحور کی گرد گردش پیدا کرتا ہے۔قوت گردشہ کا وہ جز جو گردش کے محور کے عمودی سمت میں ہے، محورکو گھمانے کی کوشش کرتا ہے۔ہم خاص طور پر یہ مانتے ہیں کہ کچھ ایسی قوتیں بھی پیداہونا لازمی ہیں جو قوت گردشہ (بیرونی)کے عمودی جز کے اثر کو ختم کرسکتی ہیں تاکہ محور کی متعین(جامد) حالت برقرار رہے۔اس لیے ابھی قوت گردشہ کے عمودی اجزا پر دھیان دیتے کی ضرورت نہیں ہے۔اس کا مطلب ہے کہ استوار جسم کے قوت گردشہ کے تخمینہ کے لیے

(1) ہمیں صرف انھیں قوتوں کا لحاظ کرنے کی ضرورت ہے جو محورکے عمودی مستوی میںواقع ہیں۔وہ قوتیں جو محور کے متوازی ہیں محور کی عمود ی سمت میں قوت گردشہ دیتی ہیں اور انھیں قوتِ گردشہ کی تحیب میں شامل کرنے کی ضرورت نہیں ہے۔

(2) ہمیں صرف انھیں مقام سمتیہ کے اجزاء کو معلوم کرنے کی ضرورت ہے جو محور کے عمودی ہیں۔محور کی سمت میں مقام سمتیہ کے اجزاء جو ہیں، ان کے ذریعے قوت گردشہ پیدا ہونے والے محور کے عمودی ہیں اور انھیںبھی شامل کرنے کی ضرورت نہیں ہے۔

قوت گردشہ کے ذریعہ کیا گیاکام   (Workdone by a torque)

شکل  7.34 ایک متعین(جامد)  محور کے گرد گردش کرتا ہوا ایک جسم جس کے ایک ذرہ پر لگی قوت F1کے ذریعہ کیا گیا کام دکھایاگیا ہے۔ذرّہ دائری راستہ پر حرکت کرتا ہے جس کا مرکز محور پر نقطہ Cہے۔چاپ P1P1  (ds1) ذرّہ کا نقل بتاتا ہے۔

شکل 7.34استوارجسم کا ترشہ دکھاتا ہے جو ایک متعین(جامد) محور کے گردگردش کررہاہے ،جسے ہم نے محور -z لیا ہے(صفحہ کے مستوی پر رعمود ہے دیکھیں شکل7.33 )۔جیسا کہ اوپربیان کیا جاچکا ہے ہمیں صرف انھیں قوتوں کو لینے کی ضرورت ہے جو محور کے عمودی مستوی میں واقع ہیں۔مان لیجیے F1 ایک ایسی قوت ہے جو ذرّہ کے اوپر نقطہ P1 پر لگ رہی ہے اور اس کا خطِ عمل(Line of action)جس مستوی میں ہے وہ محور پر عمود ہے۔ آسانی کے لیے اسے ہم x'-y' مستوی (صفحہ کا مستوی) کہتے ہیں۔P1پر ذرّہ ایک دائری راستہ طے کرتا ہے جس کا نصف قطرr1ہے، مرکز Cہے۔ اس لیے CP1= r1 

وقفہ dt میں یہی نقطہ مقام P1' پر حرکت کر جاتا ہے۔اس لیے ذرّہ   کے نقل ds1 کی عددی قدر:  ds1=r1 dqہوگی۔ اوراس کی سمت نقطہ P1 پردائری راستے کے خط مماس کی سمت میں ہوگی۔یہاں dθذرہ کا زاویائی نقل ہے۔dθ>p1cp1ہے۔ ذرّہ پر لگی قوت کے ذریعہ کیا گیا کام

dW1 = F1 ds1= F1ds1cosf1= F1 (r1 dq) sina1

جہاں، f1، قوت F1اور نقطہ P1 پر خط مماس کے درمیان زاویہ ہے  اورa قوتF1 اور نصف قطر سمتیہ OP1کے درمیان زاویہ ہے: f1+a1900 ۔

F1  کے ذریعہ قوت گردشہ مبدے کے گردOP1×F1 ہے۔ اب OP1=OC+OP1 (دیکھیں شکل 7.17 (b))۔ چونکہOCمحورکی سمت میں ہے اس لیے اس سے پیدا شدہ قوت گردشہ کو ہم شامل نہیں کریں گے۔ F1کے ذریعہ موثر قوت گردشہ t1= CP × F1 ہے۔ یہ گردش کے محور کی سمت میں ہے جس کی عددی قدرt1 = r1F1 sin a اس لیے

dW = t1dθ

اگر ایک سے زیادہ قوتیں جسم پر لگ رہی ہوں تو ان سب کے ذریعے  کیے گئے کاموں کو جوڑکر کل کام حاصل کیا جاسکتا ہے ۔اگر ہم مختلف قوتوں کے قوتِ گردشہ کی نشاندہی علامتوں  t1,t2 سے کریں تو

dw= (r1+r2+...)dθ   (7.41)

خیال رہے کہ قوتیںجو قوت گردشہ پیدا کرتی ہیں مختلف ذرّات پر عامل ہوتی ہیں لیکن زاویائی نقل dq سب ذرات کے لیے ایک ہی ہے۔ چونکہ شامل کیے گئے سبھی قوت گردشہ متعین(جامد) محور کے متوازی ہیں اس لیے کل قوت گردشہ tکی عددی قدر انفرادی قوت گردشہ کی عددی قدروں کے الجبرائی جوڑ کے برابر ہوتی ہے۔ یعنی کہ ،  t = t1,t2  اس لیے

dW= rdθ

یہ مساوات جسم پرلگے کل (بیرونی) قوت گردشہ tکے ذریعہ، ایک متعین محور کے گرد گردش کررہے جسم پر کیے گئے کام کا پتا دیتا ہے۔اس کی مماثلث خطی حرکت میں کیے گئے کام کی عبارت ریاضیاتی عبارت سے واضح ہے۔

dw = Fds

مساوات (41۔7) کے دونوں طرف dtسے تقسیم کرنے پر

جدول 7.2  1.خطی انتقالی حرکت اور گردشی حرکت کے موازنے میں مماثلت

خطی انتقالی حرکت	گردشی حرکت
1-نقلx	زاویائی نقل θ
2 رفتار u=dx/dt	زاویائی رفتار (i)=dθ/dt
3-اسراع a=du/dt	زاویائی اسراع a=dο/dt
4۔کمیت M	جمودگردشہ 1
5۔قوت F=Ma	قوت گردشہ r = la
6۔کام dW =Fds	کام W=rdθ
حرکی توانائی k=Mu2/2	حرکی توانائی k=lΦ2/2
8۔طاقت p =Fu	طاقتp=1Φ
خطی معیار حرکت p=Mu	زاویائی معیار حرکت L =lΦ

جسم کی کمیت تبدیل نہیں ہوتی۔ جسم استوار رہتاہے اور جسم کے کی مناسبت سے محور اپنا مقام نہیں بدلتا ہے۔

چونکہ  a=dw/dt ،ہم پاتے ہیں

کیے گئے کام اور حرکی توانائی میں اضافہ کی شرحوں کو برابر کرنے پر

t w =Iwa 

t =Ia     (7.43)

مساوات  (7.43) خطی حرکت میں نیوٹن کے دوسرے کلیہ کے جیسا ہی ہے،جیسے علامتی طور پر ظاہر کرتے ہیں:

F = ma

ٹھیک اسی طرح جس طرح قوت اسراع پیدا کرتی ہے، قوت گردشہ زاویائی اسراع پیدا کرتا ہے۔زاویائی اسراع ، لگائے گئے قوت گردشہ کے راست متناسب اور جمود گردشہ کے معکوس متناسب ہوتا ہے۔ مساوات (7.43) کو ہم ایک متعین (جامد) محور کے گرد گردش کے لیے نیوٹن کا دوسرا کلیہ کہہ سکتے ہیں۔

مثال 7.15 ایک رسّی جس کی کمیت تقریباً صفر ہے پروازی پہیہ کے دھری پر لپٹی گئی ہے جس کی کمیت 20 kg  اور نصف قطر 20cmہے۔ رسّی پر25Nکی کھچائو قوت لگائی گئی ہے (شکل7.35 )۔ پروازی پہیہ بغیررگڑوالے بیرنگ کے ساتھ افقی دھری پر اچھی طرح جما ہوا ہے۔

(a) پہیہ کا زاویائی اسراع معلوم کریں (b) جب 2mرسی لپٹی ہو توکھچائو قوت کے ذریعہ کیا گیا کام معلوم کریں۔ (c) اس نقطہ پر پہیہ کی حرکی توانائی بھی معلوم کریں۔یہ مان لیجیے کہ پہیہ حالت سکون سے حرکت کرنا شروع کرتا ہے۔ (d) حصّہ (b) اور (c)کے جواب کا موازنہ کریں۔ جواب   

شکل  7.35

(a)   ہم استعمال کرتے ہیں                 I a

قوت گردشہ                                        t = FR 

= 25 × 0.2 NM  (R = 0.20 m)

= 5.0 Nm          

 = MR2/2 اپنے محورکے گرد ،پروازی پہیہ کا جمودگردشہ  I =

= 0.4 kg m2 

زاویائی اسراع     a =

 = 5.0 N m/0.4 kg m2 = 12.35 s-2

(b) بغیرلپٹی 2 mرسّی کے اوپر لگی کھچائو قوت کے ذریعہ کیا گیا کام

(c) مان لیجیے w اختتامی زاویائی رفتار ہے۔ Iw2 چونکہ پہیہ حالت سکون سے حرکت کرنا شروع کرتا ہے۔اب

بغیر لپٹی رسّی کی لمبائی  پہیے کا نصف قطر  8زاوئی نقل

= 2m/0.2 m = 10 rad

r2=2x12.5x10.0=250(rad)/s2

 حاصل شدہ حرکی توان

(d)دونوں جواب ایک ہی ہیں یعنی پہیہ کے ذریعہ حاصل شدہ حرکی توانائی = قوت کے ذریعہ کیا گیا کام، رگڑکے ذریعہ توانائی ضائع نہیں ہورہی ہے۔

7.13    ایک متعین (جامد) محورکے گرد گردشی حرکت میں زاویائی میعارِحرکت

(Angular Momentum in case of Rotation about a fixed axis)

ہم نے حصّہ7.7میں ذرّات کے نظام کے زاویائی میعارِحرکت کا مطالعہ کیا ہے۔ہم وہاں سے جانتے ہیں کہ ایک نقطہ کے گرد ذرّات کے نظام کے کل زاویائی میعارِ حرکت کی شرح وقت اسی نقطہ کے لیے کیے گئے کل بیرونی قوت گردشہ کے برابر ہوتی ہے۔جب کل بیرونی قوت گردشہ صفر ہوتا ہے تو نظام کے کل زاویائی میعارِ حرکت کی بقا ہوتی ہے۔

اب ہم ایک متعین (جامد) محور کے گرد گردش کی مخصوص صورت میں زاویائی میعارِ حرکت کا مطالعہ کرنا چاہتے ہیں۔نظام کے کل زاویائی میعارِ حرکت کے لیے عمومی ریاضیاتی عبارت ہے:

پہلے گردش کر رہے استوار جسم کے ایک ذرہ کا زاویائی میعارِ حرکت لیتے ہیں۔پھر ہم مکمل جسم کا Lحاصل کرنے کے لیے سبھی ذرّات کے انفرادی میعارِ حرکت کو جمع کرتے ہیں۔

ایک مخصوص ذرّہ کے لیے l = r × p ہے۔جیسا کہ پچھلے حصّہ میں ہم نے دیکھا ہے r = OP = OC + CP ]شکل 7.17 (b) [ اورp = mv 

l = (OC × mv) + (CP × mv)

نقطہP پر ذرّہ کی خطی رفتار vکی عددی قدرv = wr^  ہوگی۔جہاں r^،CP کی لمبائی یا گردشی محور سے P کی عمودی دوری ہے۔مزید، v، نقطہ Pپراس دائرہ کا خط مماس ہے جو ذرہ طے کرتا ہے۔دائیں ہاتھ والے طریقہ کے ذریعہ یہ تصدیق کی جاسکتی ہے کہ CP×v متعین(جامد) محور کے متوازی ہے۔متعین محور کی جانب اکائی سمتیہ (-zمحورماننے پر) k^ ہے۔اس لیے

(چونکہ  v = wr^ )  

اسی طرح ہم جانچ کرسکتے ہیں کہ OC×Vمتعین (جامد)محور پر عمود ہے۔ متعین محور) -z محور(کی سمت میںl کو lzسے دکھانے پر

l2=cpxmv=mr21rk

اور

1= 1z+oc+mv

lzمتعین(جامد) محورکے متوازی ہے جب کہ lنہیں ہے۔ عمومی طورپر ذرّہ کے لیے زاویائی میعارِ حرکتl گردشی محور کی سمت میں نہیں ہوتا۔یعنی ایک ذرّہ کے لیے lاور w لازمی طور پر متوازی نہیں ہوتے ۔ خطّی انتقالی حرکت میں اس کی مماثل حقیقت سے موازنہ کیجیے۔ ایک ذرّہ کے لیے  pاورv  ہمیشہ ہی آپس میں متوازی ہوتے ہیں۔

پورے استوارِ جسم کے کل زاویائی معیارِحرکت کی تحسیب کے لیے ہم جسم کے ہر ذرّہ کی زاویائی معیارِحرکت کو جوڑتے ہیں۔

اس لیے

ہمL1اورL2سے بالترتیب -zمحور کے عمودی اور متوازی سمت میں Lکے اجزاء کو ظاہر کرتے ہیں۔

جہاں mi اور viبالترتیب ithذرّہ کی کمیت اور رفتار ہے اور Ci ذرّے کے ذریعے طے کیے گئے دائرہ کا مرکز ہے۔

یا

Lz =lrk  (7.44b)

 یہ اس لیے کہ محور سے ithذرّہ کی عمودی دوری riہے اورتعریف کے مطابق گردشی محور کے گرد جسم کا جمودگردشہہے

L =Lz+L1

استوار جسم، جن سے ہم نے اس باب میں خاص طور پر بحث کی ہے،  گردشی محورکے گردمتشاکل (Symmetric)ہوتے ہیں، یعنی کہ گردش کا محوران کے تشاکل محاور میں سے ایک محور ہوتا ہے۔®OCi  کے لیے، ہراس ذرّے کے لیے جس کی رفتار®vi ہے،–®vi رفتار کا ایک دوسرا ذرہ ہے، جو ذرّہ کے ذریعے طے کیے گئے مرکز Ciکے دائرہ پر قطری مخالف مقام پر ہوتا ہے۔اس طرح کے جوڑوں کاL^ میں مجموعی حصہ صفر ہوتا ہے۔اس وجہ سے متشاکل اجسام کے لیے L^صفر ہوتا ہے۔اس طرح

L=Lz=Irk                (7.22 d)�  

ایسے اجسام کے لیے، جوگردشی محور کے گرد متشاکل نہیں ہیں  Lاور Lz دونوںبرابرنہیں ہونگے۔اسی لیے Lگردشی محور کی سمت میں واقع نہیں ہوگا۔

جدول 7.1 کے حوالہ سے کیا آپ بتا سکتے ہیں کہ کن صورتوں میں L=Lz  نہیں ہوگا؟

مساوات (7.44 b) کا تفرق لینے پر، جس میں k^ ایک متعین (مستقلہ) سمتیہ ہے۔

اب مساوات (7.28 b)کے مطابق

جیسا کہ ہم نے پچھلے حصہ میں دیکھا ہے متعین (جامد) محور کے گرد گردش میں، بیرونی قوت گردشہ کے صرف انھیں اجزا (components)کو لینے کی ضرورت ہے جو گردشی محور کی سمت میں ہیں۔اس کا مطلب ہےr=rkچونکہ L=Lz+L1اورLz کی سمت (سمتیہ  k^ ) متعین ہے اس لیے متعین (جامد) محورکے گرد گردش کے لیے

اس طرح ، متعین (جامد) محور کے گرد گردش کے لیے متعین محور کی عمودی سمت میں زاویائی معیارِحرکت کے اجزا مستقلہ ہوتے ہیں۔ کیونکہ Lz=lrkہم مساوات (7.45 a)سے پاتے ہیں

      (7.45 c 

اگر جمودگردشہ Iوقت کے ساتھ تبدیل نہیں ہوتا،

ور ہم مساوات (7.45 c)سے پاتے ہیں

     (7.43) r=l a

ہم پہلے ہی یہ مساوات کام–حرکی توانائی کے ذریعہ حاصل کرچکے ہیں۔

7.13.1  زاویائی تحرک کی بقا   (Conservation of angular momentum)

اب ہم اس مقام پر ہیں کہ ایک زاویائی معیارِحرکت کی بقا کے اصول کا مطالعہ متعین (جامد) محور کے گرد گردشی حرکت میں کرسکتے ہیں۔ مساوات (7.45 c) سے، اگر بیرونی قوت گردشہ صفر ہے تو

(7.46)         مستقلہ  Lz = Iw =

متشاکل کل اجسام کے لیے، مساوات (7.44 d) سے، Lzکو  Lسے تبدیل کرسکتے ہیں (L اور Lz بالترتیب L  اورLz کی عددی قدریں ہیں)

یہ مساوات (7.29 a)کی جامد محور کے گرد گردش کے لیے مطلوبہ شکل ہے جو ذرّات کے نظام کے زاویائی معیارِحرکت کی بقا کے اصول کو دکھاتی ہے۔مساوات (7.46)کو ہم بہت ساری ایسی جگہوں پر استعمال کرسکتے ہیں جو روز مرّہ کی زندگی میں ہمیں دیکھنے کو ملتی ہیں۔ مندرجہ ذیل تجربہ آپ اپنے دوست کے ساتھ کرسکتے ہیں۔آپ ایک گھومنے والی کرسی پر اپنے بازؤں کو موڑ کراور پیروں کو بغیرزمین پر لگائے بیٹھ جائیں۔آپ اینے دوست سے کہیں کہ وہ کرسی تیزگھمائیں۔جب کرسی کچھ زیادہ زاویائی چال سے گھومنے لگے آپ اپنے بازو کو افقی سمت میں پھیلائیے۔کیا ہوتا ہے؟ آپ کی زاویائی چال کم ہونے لگتی ہے۔اگرآپ اپنے بازو کو اپنے جسم کے قریب لائیں تو زاویائی چال دوبارہ بڑھ جاتی ہے۔یہ وہ حالت ہے جہاں زاویائی معیارِحرکت کی بقا کے اصول کو ہم استعمال کرسکتے ہیں۔اگرگردشی نظام میں رگڑکو نہ لیا جائے تو کرسی کے گردشی محورکے گرد کوئی بیرونی قوت گردشہ نہیں ہوگا اور اس لیے Iwمستقلہ ہوگا۔بازو کوبازو کو پھیلانے پر گردشی محور کے گرد Iبڑھ جاتا ہے جس سے زاویائی چال wکم ہوجاتی ہے۔بازوکو جسم کے قریب لانے پر مخالف اثر ہوتا ہے۔

شکل  7.36  (a)  زاویائی معیارِحرکت کی بقا کا مظاہرہ ۔ایک لڑکی گھومتی ہوئی کرسی پر بیٹھ کر اپنے بازو کو پھیلاتی ہے موڑکراپنے جسم کے قریب لاتی ہے۔

ایک سرکس کرتب باز اور غوطہ خور اس اصول کا فائدہ اٹھاتا ہے۔اسکیٹنگ، کلاسیکی؍ہندوستانی یا مغربی انداز کے رقاص ایک پیر کے انگوٹھے سے اپنے فن کا مظاہرہ اس اصول کی بنیاد پر ہی کرتے ہیں۔کیا آپ اس کی تشریح کرسکتے ہیں؟

7.14  لڑھکن حرکت(Rolling Motion) 

ایک بہت ہی عام حرکت جسے ہم روزمرّہ کی زندگی میں اکثرمشاہدہ کرتے رہتے ہیں وہ لڑھکن حرکت ہے۔سواری میں استعمال ہورہے سارے ہی پہیے لڑھکن حرکت میں ہوتے ہیں۔اسے سمجھنے کے لیے ہم ایک ڈسک کی مثال لیتے ہیں۔لیکن یہ نتیجہ ان سارے ہی ہموار اجسام پر لاگو ہوتا ہے جو ایک مستوی میں لڑھکن حرکت کرتے ہیں۔ہم مانتے ہیں کہ ڈسک بغیرپھسلن کے لڑھکتی ہے۔اس کا مطلب ہے کہ کسی ساعت میں ڈسک کا نچلا حصّہ جو سطح کو چھو رہا ہے سطح پر حالت سکون میں ہے۔

شکل   7.36 (b)  ایک کرتب بازاپنا تماشہ دکھاتے ہوئے معیارِحرکت کی بقا کے قانون کا استعمال کررہا ہے۔ 

ہم پہلے ہی کہہ چکے ہیں کہ لڑھکن حرکت میں گردشی اور خط انتقال حرکت ہے۔ہم جانتے ہیں کہ ذرّات کے نظام کی خط انتقال حرکت مرکز کمیت کی حرکت ہے۔

شکل   7.37  ہموار مستوی پر ڈسک کی لڑھکن حرکت (بغیرپھسلن کے)۔خیال رہے کہ کسی ساعت پر سطح کے ساتھ ڈسک کا نقطہ اتصال P0 حالت سکون میں ہے۔ڈسک کا کمیت مرکز vcmرفتار سے چل رہا ہے۔ڈسک محورکے گرد زاویائی چال wکے ساتھ گردش کرتی ہے جو C سے گذرتا ہے۔vcm = Rw ، جہاں Rڈسک کا نصف قطر ہے۔

مان لیجیے  vcmکمیت مرکز کی رفتار ہے اور اس لیے ڈسک کی خطی رفتار ہے۔چونکہ لڑھکن کرتی ہوئی ڈسک کاکمیت مرکزاس کے جیومیٹریائی مرکزC(شکل 7.37) پر ہے۔vcm، Cکی رفتار ہے۔ یہ ہموار سطح کے متوازی ہے۔ڈسک کی گردشی حرکت متاشاکل محورکے گرد ہے جو Cسے گذرتا ہے۔اس لیے ڈسک کے کسی بھی نقطہ کی رفتار جیسے P0،P1 یاP2 کی رفتاراجزا پر مشتمل ہوتی ہے۔ایک خطی انتقالی رفتار vcmہے اور دوسری گردش کی وجہ سے خطی رفتار vr ہے۔ vrکی عددی قدر vr=rwہے جہاں wڈسک کی محورکے گرد زاویائی رفتار ہے اور rمحورسے دوری ہے) C سے(۔ رفتار vr کی سمت نصف قطر سمتیہ کے عمود میں ہے۔شکل7.37  میں نقطہ P2کی رفتار (v2)اور اس کے اجزاء vrاور vcm  دکھائے گئے ہیں۔vr  ، CP2  پر عمود ہے۔ یہ دکھانا آسان ہے کہ vz  خط  P0 P2 پرعمود ہے۔اس لیے وہ خط جو  P0  سے گذرہا ہے اور wکے متوازی ہے، گردش کا لمحاتی محور کہلاتا ہے۔

 P0  پر، خط انتقال رفتا  vr  سے گردش کی وجہ سے  خطی رفتارvcm  کے بالکل مخالف سمت میں ہے۔مزید،  vr  کی عددی قدر Rwہے۔جہاں Rڈسک کا نصف قطرہے۔ اس لیے، ڈسک کے بنا پھسلن کے لڑھکنے کی شرط

vcm = Rw                                                 (7.47)

اس کا مطلب ہے کہ ڈسک کے اوپری حصّہ پر نقطہP1 کی رفتار ) v1 ( کی عددی قدر vcm + Rw یا 2vcm  ہوگی اور اس کی سمت ہموار مستوی کے متوازی ہوگی۔ شرط (7.47) ساری لڑھکن حرکت کے لیے استعمال ہوتی ہے۔

7.14.1 لڑھکن حرکت کی حرکی توانائی (Kinetic Energy of Rolling Motion)

ہمارا دوسرا کام یہی ہوگا کہ لڑھکن حرکت کرتے ہوئے جسم کے لیے حرکی توانائی کے لیے ایک فارمولہ حاصل کریں۔لڑھکن جسم کی حرکی توانائی کو ہم خطی حرکی توانائی اور گردشی حرکی توانائی میں الگ کرسکتے ہیں۔یہ ذرّات کے نظام کے لیے ایک مخصوص حالت ہے جس کے مطابق ذرّات کے نظام کی حرکی توانائی  (K) کو مرکزکمیت کی حرکی توانائی (mv2/2) اور ذرّات کے نظام کے مرکزکمیت کے گرد گردشی حرکت کی حرکی توانائی (K')میں الگ کرسکتے ہیں۔اس لیے

 K = K' + Mv2/2                 (7.48)

ہم اس عام نتیجہ کو مان لیتے ہیں (دیکھیں مشق 7.31)اور اسے لڑھکن حرکت کی حالت میں استعمال کرتے ہیں۔مرکز کمیت کی حرکی توانائی یعنی لڑھکن جسم کی خطی حرکی توانائی mv2cm/2 ہوگی۔ جہاں mجسم کی کمیت  اورvcm مرکزکمیت رفتار ہے۔چونکہ مرکزکمیت کے گرد لڑھکن جسم کی حرکت گردشی حرکت ہے اس لیے K'جسم کی گردشی حالت کی حرکی توانائی بتاتا ہے اور K'=Iw2/2 جہاں Iمناسب محور کے گرد جمودگردشہ ہے جو لڑھکن جسم کا  متاشاکل محور ہے۔لڑھکن جسم کی حرکی توانائی

I=m k2 رکھنے پر جہاں k جسم کا گھوم نصف قطراور vcm = Rw  ہے۔اب

مساوات (7.49 b) کسی بھی لڑھکن جسم ڈسک، استوانہ، رنگ (چھلّہ) یا کرّہ کے لیے استعمال کرسکتے ہیں۔

مثال  7.16 تین اشیاء ایک رنگ، ایک ٹھوس سلنڈر اور ایک ٹھوس کرّہ ایک مائل سطح پر بغیرپھسلن کے نیچے کی طرف لڑھک رہے ہیں۔یہ حالت سکون سے حرکت میں آتے ہیں۔ان کے نصف قطر ایک جیسے ہیں۔کون سی شئے زمین پر سب سے تیزرفتار کے ساتھ پہنچے گی؟

جواب  ہم لڑھکن جسم کے توانائی کی بقا کے اصول کا استعمال کرتے ہیں یعنی رگڑوغیرہ کے ذریعہ کوئی توانائی ضائع نہیں ہورہی ہے۔مائل سطح پر نیچے کی طرف لڑھکتے ہوئے جسم کے ذریعہ توانائی بالقوۃ کا نقصان (= mgh)حرکی توانائی کے فائدہ کے برابر ہونا چاہئے (شکل 7.38)۔چونکہ جسم حالت سکون سے حرکتشروع کرتے ہیں۔چونکہ جسم حالت سکون سے حرکت شروع کرتے ہیں اس لیے حرکی توانائی میں فائدہ جسم کی افتتای حرکی توانائی کے برابر ہوگا۔مساوات (7.49 b) سے،

  جہاں vجسم کی (کمیت مرکز کی) اختتای رفتار ہے۔ اب k اورmgh کو برابر کرنے پر

شکل 38۔7

نوٹ کریں یہ لڑھکن جسم کی کمیت کے تابع نہیں ہے۔

رنگ (چھلہ) کے لیے k2 =R2 رکھنے پر

ڈسک کے لیےk2 =R2 رکھنے پر

ٹھوس کرنے کے لیےK2 =2R2/5رکھنے پر

حاصل شدہ نتائج سے صاف ظاہر ہے کہ تینوں اجسام میں درمیان کرہ کے کمیت مرکز کی سب سے زیادہ اور رنگ کی سب سے کم رفتار مائل سطح کے نچلے حصہ پر ہے مان لیجیے جسم کی کمیت یکساں ہے تو کون سی شئے جسم کی سب سے زیادہ گردشی حرکی توانائی ہو گی جب مائل سطح سے لڑھک کر بالکل نیچے سطح پر پہنچ چکی ہے 

خلاصہ

1۔ ایک مثالی استوارِ جسم وہ ہوتا ہے جس کے مختلف ذرّات کی آپسی دوریوں میں کوئی تبدیلی نہیں ہوتی، گرچہ ان ذرّات پر قوتیں لگ رہی ہوتی ہیں۔

2۔ ایک استوارِ جسم جب ایک نقطہ پر یا ایک خط پر جڑا ہوتا ہے تو صرف گردشی حرکت ہی عمل میں آتی ہے۔اگراستوارِجسم کسی طرح جڑا ہوا نہ ہو تو یا تو خالص خطی انتقال یا خطی انتقال اور گردش دونوں ہونگے۔

3۔ متعین (جامد) محور کے گرد گردش میں استوارِ جسم کا ہر ذرّہ ایک دائرہ میں حرکت کرتا ہے ایسے مستوی میںواقع ہوتا ہے جو محورکے عمودی ہو اور اس دائرہ کا مرکز محور پر ہوتا ہے۔گردشی استوار جسم کے ہر نقطہ کسی بھی ساعت پر، زاویائی رفتار یکساں ہوتی ہے۔

4۔ خالص خطی انتقال میں جسم کا ہرذرّہ کسی بھی ساعت پر یکساں رفتار سے حرکت کرتا ہے۔

5۔ زاویائی رفتار سمتیہ ہے۔اس کی عددی قدر : w=dq/dtہے اوراس کی سمت گردشی محور کی جانب ہوتی ہے۔ایک متعین (جامد) محور کے گرد گردش کے لیے سمتیہwایک متعین سمت میں ہوتا ہے۔

6۔ دوسمتیہ a اور bکا سمتی یا کراس حاصلِ ضرب a×bلکھا جاتا ہے۔اس کی عددی قدر ab sinq ہے اور سمت دائیں ہاتھ والے اصول سے معلوم کی جاتی ہے۔

7۔ ایک متعین (جامد) محور کے گرد گردش کرتے ہوئے استوارِ جسم کے ذرّہ کی خطی رفتار v = w × r ہے جہاں r،متعین (جامد) محور پرایک مبدا کے لحاظ سے ذرّہ کا مقام سمتیہ ہے۔یہ استوارِ جسم کے لیے بھی لاگو ہوتا ہے جو ایک جامد نقطہ کے گرد گردش کررہاہے۔اس حالت میں rذرّہ کا مقام سمتیہ ہے جومبدہ سے ناپا جاتا ہے۔

8۔ ذرّات کے نظام کے کمیت مرکز کی تعریف ہے:مرکزکمیت کو اس طرح کہا جاتا ہے وہ نقطہ جس کا مقام سمتیہ ہے:

9۔ ذرّات کے نظام کے مرکز کمیت کی رفتار  v = p/M ہوتی ہے، جہاں P نظام کا خطی معیارِحرکت ہے۔مرکزکمیت اس طرح حرکت کرتا ہے جیسے نظام کی پوری کمیت اس نقطہ پر مرکوز ہو اور اس پر ساری بیرونی قوتیں لگ رہی ہوں۔ اگرنظام پر کل بیرونی قوت صفر ہو تو نظام کا کل خطی معیارِحرکت مستقلہ ہوتا ہے۔

10۔ n ذرّات کے نظام کے لیے مبدہ کے گرد معیارِحرکت ہوتا ہے۔

 n ذرّات کے نظام کے لیے منبع کے گرد قوتِ گردشہہوتا ہے

قوت Fi  جو ith  ذرّہ پر لگ رہی ہے اس میں بیرونی اور داخلی قوتیں شامل ہیں۔یہ فرض کرتے ہوئے نیوٹن تیسرا کلیہ لاگوہوتا ہے اور دو ذرّات کے بیچ لگی قوت ان کو سمت میں ہوتی ہے ملانے والے خط کی ہم دکھاسکتے ہیںrint=oاور

11۔ ایک استوارِ جسم میکانکی توازن میں ہوتا ہے اگر

(i)  یہ خطی توازن میں ہے یعنی کل بیرونی قوت صفر ہے،  

(ii)   یہ گردشی توازن میں ہے یعنی کل بیرونی قوت گردشہ صفر ہے

12۔ جسم کا مادی کشش مرکز وہ نقطہ ہے جہاں جسم پر کل مادی کشش قوت گردشہ صفر ہے۔

13۔ ایک متعین محور کے گرداستوارِ جسم کے جمودگردشہ سے دکھایا جاتا ہے۔ جہاں ri، ithذرّہ کی محور سے عمودی دوری ہے۔ گردش کی حرکی توانائیہے

14۔ متوازی محورکا تھیورم Iz' = Iz + Ma2 ، ہمیں استوارِجسم کا جمود گردشہ ایک محورکے گردبتاتا ہے۔ کسی بھی محور کے گردجسم کا جمودِگردشہ جسم کے مرکزکمیت سے گذرتے ہوئے محور جمودگردشہ جو متوازی محورکے گرد جمودِگردشہ اورکمیت اور دونوں محوروںکے بیچ کی عمودی دوری کے مربع کے حاصل ضرب کے جوڑ کے برابر ہوتا ہے۔

15۔ ایک متعین محورکے گردگردش اور خطی حرکت میں بہت مماثلت تجردحرکیات اور حری حرکیات عمل کے لحاظ سے۔

16۔ ایک متعین محور کے گردگردش کرتے ہوئے استوارِجسم کی زاویائی اسراعIa =t  ہے۔ اگربیرونی قوت گردشہ صفر ہے تو زاویائی تحرک کے اجزاء ایک متعین محورکے گرد (Iw)ایسی گردشی جسم کے لیے مستقل ہوتا ہے۔

17۔ بغیرپھسلن کے لڑھکن حرکت میں vcm = Rw  ہوتا ہے۔جہاں vcm  خطی رفتار ہے (یعنی مرکز کمیت کا)، R  نصف قطرہے اور mجسم کی کمیت ہے۔اس طرح کے لڑھکن جسم کے لیے حرکی توانائی خطی اور گردشی حرکی توانائی کا جوڑ ہوتا ہے۔

طبیعی مقدار	علامت	ابعاد	اکائی	تبصرہ
زاویائی رفتار	r	(T-1)	rad s-1	v=wxr
زاویائی تحرک	r	(ML2T-1)	j s	L=rxp
قوت گردشہ	T	(ML2T-2)	N  m	T=rx F
جمودی گردشہ	1	(ML2)	kg m2

قابل غورنکات

1۔ نظام کے مرکز کمیت کی حرکت معلوم کرنے کے لیے نظام کے داخلی قوتوں کی جانکاری ضروری نہیں ہے۔اس مسئلہ کے لیے ہمیں جسم پر صرف بیرونی قوتوں کا جاننا ضروری ہے۔

2۔ ذرّات کے نظام کی حرکت کو الگ کرنے پر مرکز کمیت کی حرکت، نظام کی خطی حرکت اور نظام کے مرکزکمیت کے گردحرکت ملتی ہے جو ذرّات کے نظام کے حری حرکیاتی عمل کو سمجھنے کے لیے ایک موزوں طریقہ ہے۔

ایک اس کی مثال ذرات کے نظام کی حرکی توانائی kکو الگ کرنے پر مرکزکمیت کے گردحرکی توانائی k'اور مرکز کی حرکی توانائی MV2/2 ملتی ہے۔

3۔ ایک مخصوص شکل جسم (یا ذرّات کے نظام) کے لیے نیوٹن کا دوسرا کلیہ منحصرکرتا ہے نیوٹن کے دوسرے کلیہ اور تیسرے کلیہ پر۔

4۔ ذرّات کے نظام کے کل زاویائی تحرک میں تبدیلی کی شرح نظام میں کل بیرونی قوت گردشہ کے برابر ہوتی ہے۔اس لیے ہمیں نیوٹن کا دوسرا اور تیسرا کلیہ کی ضرورت پڑتی ہے جس کے مطابق دو ذرّات کے بیچ لگی قوت ذرّات کو ملانے والی لائن کے سمت میں ہی ہوتی ہے۔

5۔ کل بیرونی قوت اور کل بیرونی قوت گردشہ صفر کرنے پر ایک آزاد شرط ملتا ہے۔ ہم ایک شرط کا استعمال دوسرے کے بغیرکرسکتے ہیں ۔ کسی قوت جفت میں، کل بیرونی صفرہوتی ہے لیکن کل قوت گردشہ غیرصفر ہوتی ہے۔

6۔ذرّات کے نظام پر لگی کل قوت گردشہ منبع سے آزاد ہوگی اگر کل بیرونی قوت صفر ہو۔

7۔ جسم کا مرکزثقل، مرکزکمیت سے ہی ہوتا ہے اگرثقلی میدان میں کوئی تبدیلی جسم کے ایک ۔۔۔؟

8۔ زاویائی تحرک Lاور زاویائی رفتار wضرورطورپر متوازی سمتیہ نہیں ہیں۔بحرحال ایک آسان حالت میں جب ایک متعین محورکے گرد گردش ہو جو استوارِ جسم کا ہم شکل محورہے اس میں تعلق L=Iw  گو ہوگا۔ جہاں Iجسم کا جمودِگردشہ گردشی محورکے گرد ہے۔

مشق

7.1 یکساں کمیت کثافت کے درج ذیل اجسام میں ہر ایک کی کمیت مرکز کا وقوع لکھیے (a) گولا (کرہ) (b) سلنڈر (c) چھلّا اور (d)مکعب۔ کیا کسی جسم کا کمیت مرکز لازمی طورپر اس جسم کے اندر واقع ہوتا ہے؟

7.2 HCl مالیکول میں دو ایٹموں کے نیوکلیس کے درمیان علاحدگی تقریباً (1Å = 10-10 m)1.27 Åہے۔ اس مالیکول کا کمیت مرکز کا تقریبی وقوع معلوم کیجیے۔ یہ معلوم ہے کہ کلورین کا ایٹم ہائیڈروجن کے ایٹم کے مقابلے 35.5 گنا بھاری ہوتا ہے اور کسی ایٹم کی کل کمیت اس کے نیوکلیس پر مرتکز ہوتی ہے۔

7.3 کوئی بچہ کسی ہموار افقی فرش پر یکساں چال v سے متحرک کسی لمبی ٹرالی کے ایک سرے پر بیٹھا ہے۔ اگر بچہ کھڑا ہوکر ٹرالی پر کسی بھی طرح سے دوڑنے لگتاہے، تب (ٹرالی + بچہ) نظام کی کمیت مرکز کی چال کیا ہے؟ 

7.4 ثابت کیجیے کہ سمتیہ aاور bکے درمیان مثلث کا رقبہ a×bکے مقدار کا آدھا ہوتا ہے۔

7.5 ثابت کیجیے کہ a.(b×c) کی مقدار اور تین سمتیہ a؛b اور c سے مبنی متوازی بیلن (parallelopiped)کا حجم دونوں ایک ہی ہے۔

7.6 ذرّات کے زاویائی تحرک lکے اجزاء x ،y،zمحورمیں ہیں اور تحرک pاجزاء px، pyاور pzہیں۔ یہ دکھائیں کہ اگر ذرّات صرف x-yسطح میں ہی حرکت کرتے ہیں تو زاویائی تحرک صرف -z اجزاء کی ہی ہوگی۔

7.7 دو ذرّات جس کی کمیت m اور رفتارvہے۔متوازی لائن کی طرف مخالف سمت میںچل رہے ہیں اور dدوری پر واقع ہیں۔یہ دکھائیں کہ دو ذرّات کے نظام کا سمتیہ زاویائی تحرک ایک ہی ہے خواہ کسی بھی بقطہ کے گرد زاویائی تحرک لی جائے۔

7.8 ایک غیر یکساں چھڑجسکا وزن w  حالت سکون میں دو دھاگہ (کمیت تقریباً صفر)کے ذریعہ لٹکایا گیا (شکل 7.39 )۔دھاگہ کے ذریعہ بنایا گیا زاویہ عمود سے بالترتیب 36.9o اور53.1o ہے۔چھڑ 2 m لمبی ہے چھڑ کا مرکز ثقل بائیں ہاتھ کی طرف سے دوری dمعلوم کریں۔

شکل 39۔7

7.9 ایک کار کی کمیت 1800 kg ہے۔اس کے اگلے اور پچھلے دھوری کی درمیانی دوری 1.8 m  ہے۔اس کا مرکز ثقل اگلے دھوری سے پیچھے کی جانب 1.05 ہے۔ہموار میدان کے ذریعہ لگی قوت اگلے اورپچھلے پہیہ پر کیا ہوگی۔

7.10 (a) ایک گولا کا جمود گردشہ گولا کے خط مماس کے گرد معلوم کریں۔ دیا گیا ہے کہ گولا کا جمود گردشہ قطر کے گرد2 MR2/5 ہے جہاں Mگولا کی کمیت ہے اور Rگولا کا نصف قطر ہے۔

(b)  ایک ڈسک کا جمود گردشہ کسی بھی قطر کے گرد MR2/4ہے جہاں Mکمیت اور  R نصف قطر ہے اس کا جمودگردشہ ایک محورجو ڈسک سے عمودی سمت میں ہے اور اس کے کنارہ پر واقع نقطہ سے گذرتی ہے، معلوم کرو۔

7.11 ایک ٹھوس گولا اور ایک کھوکھلا سلنڈر جس کی کمیت اور نصف قطر یکساں ہے، پر برابر مقدار کی قوت گردشہ لگ رہی ہے۔سلنڈر اپنے ہم شکل محور کے گرد گردش کے لیے آزاد ہے اور گولا ایک محور جو مرکز سے گذرتا ہے کے گرد گردش کے لیے آزاد ہے۔ان دونوں میں سے کون ایک وقفہ مدت کے بعد زیادہ زاویائی چال حاصل کرے گی۔

7.12 20 kg کمیت کا کوئی ٹھوس سلنڈر اپنے محور کے اطراف 100 rad s-1 کی زاویائی چال سے گردش کررہا ہے۔ سلنڈر کا نصف قطر 0.25 m ہے۔ سلنڈر کی گردش سے متعلق حرکی توانائی کیا ہے؟ سلنڈر کے اپنے محور کے اطراف زاویائی تحرک کی قدر کیا ہے؟

7.13 (a) کوئی بچہ کسی ٹرن ٹیبل کے مرکزپر اپنے دونوں بازوؤں کو باہر کی جانب پھیلا کر کھڑا ہے۔ ٹرن ٹیبل کو 40 rev/min کی زاویائی چال سے گردش کرائی جاتی ہے۔ اگر بچہ اپنے ہاتھوں کو واپس سکوڑ کر اپنا جمود گردشہ اپنے ابتدائی جمود گردشہ سے 2/5 گنا کر لیتا ہے تو اس صورت میں اس کی زاویائی چال کیا ہوگی؟ یہ مانیے کہ ٹرن ٹیبل کی گردشی حرکت رگڑ سے پاک ہے۔

(b)یہ دکھائیے کہ بچے کی گردش کی نئی حرکی توانائی اس کی ابتدائی گردش کی حرکی توانائی سے زیادہ ہے۔ آپ حرکی توانائی میں ہوئے اس اضافے کی تشریح کس طرح کریں گے؟

7.14 3 kgکمیت اور 40 cm نصف قطر کے کسی کھوکھلے سلنڈر پر نظرانداز کمیت کی رسی لپیٹی گئی ہے۔ اگر رسی کو 30 N قوت سے کھینچا جائے تو سلنڈر کا زاویائی اسراع کیا ہوگا؟ رسی کا خطی اسراع کیا ہے؟ یہ مانیے کہ اس معاملے میں کوئی پھسلن نہیں ہے۔

7.15 کسی روٹر(rotor) کی 200 rad s-1 کی یکساں زاویائی چال بنائے رکھنے کے لیے ایک انجن کے ذریعے 180 N m کا قوت گردشہ ترسیل کرنا ضروری ہوتا ہے۔ انجن کے لیے ضروری طاقت معلوم کیجیے۔ (نوٹ: رگڑ کی غیر موجودگی میں یکساں زاویائی رفتار ہونا اس بات کی دلالت

7.16 نصف قطر Rوالے یکساں ڈسک سے ایک گول سوراخ جس کا نصف قطر R/2ہے مانا گیا ہے۔سوراخ کا مرکز اصل ڈسک کے مرکز سے R/2دوری پر ہے۔اس جسم کا مرکز ثلق معلوم کریں۔

7.17 ایک میٹرچھر اپنے مرکز پر دھاری دار چیز پر متوازن حالت میں ٹکاہوا ہے۔ جب 5 g  کا دوسکہّ ایک کے اوپر ایک 12 cmنشان پر رکھا گیا ہے تو چھڑ اس حالت میں 45.0 cm پر متوازن ہوتا ہے۔میٹر چھڑ کی کمیت کیا ہے۔

7.18 ایک ٹھوس گولا دو مختلف مائل سطح سے برابر اونچائی مگر مختلف جھکائو زاویہ سے نیچے کی طرف لڑھک رہا ہے (a)کیا ہر حالت میں یہ دونوں ایک ہی رفتار سے نیچے پہونچے گی؟ (b)  کیا ایک سطح کے مقابلہ میں دوسرے سطح پر پہنچنے کی جانب لڑھکنے میں زیادہ وقت لگے گا؟ (c)اگر ایسا ہے، تو کون سا اور کیوں؟

7.19 ایک 2 m نصف قطر والے گولائی کا وزن 100 kg ہے۔ یہ افقی سطح کے سمت میں اس طرح لڑھکتا ہے کہ اس کی مرکز کمیت کی چال 20cm/s ہے۔اسے روکنے کے لیے کتنے کام کی ضرورت ہوگی؟

7.20 آکسیجن سالمہ کی کمیت 5.30×10-26 ہے اور اس کا جمودگردشہ ایک محور کے گرد جو مرکز سے گذرتا ہے اور دوجوہروں کو ملانے والی لائن کے عمود میں ہے وہ 1.94×10-46 ہے۔مان لیجیے کہ اس سالمہ کی اوسط چال گیس میں  500 m/s ہے اور اسکی گردشی حرکی توانائی خطی توانائی کے دوتہائی ہے۔سالمہ کی اوسط زاویائی رفتار معلوم کریں۔

7.121 ایک ٹھوس سلنڈر مائل مستوری پر اوپر کی جانب لڑھک رہا ہے جس کا جھکائو زاویہ 300ہے۔مائل مستوی کے بالکل نیچے سلنڈر کی مرکز کمیت کی چال  5 m/sہے۔

(a) سلنڈر مستوی پر کتنی دور اوپر جائے گا؟

(b)  نیچے آنے میں کتنا وقت لگے گا؟

اضافی مشقیں

7.22 جیسا کہ شکل 7.40میں دکھایا گیا ہے سیڑھی نما کے دونوں کنارے BAاور CA 1.6 میٹر لمبی ہے اور نقطہ Aپرپِن ہے۔ایک رسّیDE ، 0.5 m لمبی درمیان میں بندھی ہوئی ہے۔40 kg کا وزن نقطہ F سے لٹکایا گیا ہے جو سیڑھی BAکے سمت میں ہے اور Bسے 1.2 m  دور ہے۔سطح کو بغیر رگڑکا ماننے پر اور سیڑھی کے وزن کو نظرانداز کرنے پر رسّی کے اندر کھینچائو اور سطح کے ذریعہ سیڑھی پر لگی قوت معلوم کریں۔ (لیجیے g = 9.8 m/s2)۔

(اشارہ  :  سیڑھی کے ہر طرف متوازن حالت مان لیجیے)

شکل  7.40

7.23 ایک آدمی گھمائو دار پلیٹ فارم پر اپنے بازو کو افقی سمت میں پھیلائے ہوئے کھڑا ہے اور ہر ہاتھ میں 5 kg وزن پکڑے ہوئے ہے۔پلیٹ فارم کی زاویائی چال 30 rev/min ہے۔آدمی اس کے بعد اپنے بازو کو قریب کرتا ہے اس طرح کہ ہر وزن کی دوری محور سے 90 cm سے گھٹ کر 20 cm رہ جاتی ہے آدمی کا جمودگردشہ پلیٹ  فارم کے ساتھ ایک مستقل عدد 7.6 g m2  ہے۔

(a)  اس کی نئی زاویائی چال کیا ہے (رگڑ کو نظرانداز کریں)

(b)  کیا اس عمل میں حرکی توانائی کی بقا لاگو ہوگا۔اگر نہیں، تو تبدیلی کہا سے آتی ہے۔

7.24 بندوق کی ایک گولی جس کی کمیت 10 g  اور چال 500 m/s ہے دروازہ پر چھوڑی گئی ہے اور دروازے کے بالکل درمیان میں گھس گئی ہے۔دروازہ 1 m  چوڑی اور وزن 12 kg ہے۔اس کے ایک کنارہ پر پن لگی ہوئی ہے اور عمودی محور کے گرد بغیررگڑ کے گھومتی ہے۔دروازہ کی زاویائی چال ٹھیک گولی کے گھسنے کے بعد کیا ہوگی۔

(اشارہ  ۔  دروازہ کا جمودگردشہ عمودی محور کے گرد ایک کنارہ پر ML2/3  ہے)

7.25 دوڈسک جس کا جمودگردشہ بالترتیب اپنے محور کے گرد I1  اورI2 ہے (ڈسک سے عمود میں ہے اور مرکز سے گذرتا ہے) اور زاویائی چال w1 اورw2سے گھوم رہی ہے۔اسے قریب اس طرح لایا گیا ہے کہ اس کی گردشی محور آپ میں مل جاتی ہے۔(a)  ان دونوں ڈسک نظام کی زاویائی چال اب کیا ہوگی؟ (b)  یہ دکھائیں کہ متحدہ نظام کی حرکی توانائی دونوں ڈسک کے ابتدائی حرکی توانائی کے مجموعہ سے کم ہوگی۔آپ اس میں توانائی کے نقصان کو اس طرح لیں گے۔لیجیے

7.26 (a)  عمودی محورکے تھیورم کو ثابت کریں

(اشارہ  :  ایک نقطہ ، x,y)کے دوری کا مربع x-yسطح میں ایک محور سے جو منبع سے گذرتا ہے اور x2+y2 سطح کے عمود میں ہے)

(b)  متوازی محور کے تھیورم کو ثابت کریں

(اشارہ  :  nذرات کے کسی نظام کا مرکز کمیت اگر منبع منتخب کیا گیا ہے تو

7.27 لڑھکن جسم کی خطی حرکت کی رفتار vہے (جسم جسے رنگ، ڈسک، سلنڈر یا گولا)۔ثابت کیجیے کہ vمائل مستوی (اونچائی h)کے سب سے نیچے ہوگی

حری حرکیاتی عمل کے استعمال سے (قوت اور قوت گردشہ کے ماننے پر)۔ یہ خیال رہے کہ kجسم کا ہم شکل محور کے گرد گھوم نصف قطر ہے اور Rجسم کا نصف قطر ہے۔جسم حالت سکون سے سب سے اوپر کی جانب سے شروع ہوتی ہے۔

7.28 اپنے محورw0 زاویائی چال کو گردش کرنے والے کسی ڈسک کو دھیرے سے (انتقالی دھکادیے بغیر) کسی مکمل بے رگڑ میز پر رکھا جاتا ہے۔ڈسک کا نصف قطرRہے۔شکل 7.41میں دکھائے گئے ڈسکوں کے نقاط B,Aاور Cپر خطی رفتار کیا ہے؟ کیا یہ ڈسک شکل میں دکھائی سمت میں لڑھکنے کی حرکت کرے گی؟

شکل  7.41

7.29 واضح کیجیے کہ شکل 7.18میں دکھائی گئی سمت میں ڈسک کی لڑھکن حرکت کے لیے رگڑ ہونا ضروری کیوں ہے؟

(a)  B پر رگڑقوت کی سمت اور کامل لڑھکن شروع ہونے سے قبل رگڑقوت گردشہ کی سمت کیا ہے؟

(b)  کامل لڑھکن حرکت شروع ہونے کے بعد رگڑقوت کیا ہے؟

7.30 10 cm نصف قطر کی کوئی ٹھوس ڈسک اور اتنے ہی نصف قطر کا کوئی چھلا کسی افقی میز پر ایک ہی ساعت 10 p rad s-1 کی زاویائی چال سے رکھا جاتا ہے۔ ان میں سے کون پہلے لڑھکن حرکت شروع کردے گا۔ حرکی رگڑ ضربیہ  mk = 0.2 ہے۔

7.31 10 kgکمیت اور  15 cm نصف قطر کا کوئی سلنڈر کسی 30o جھکاؤ کے مستوی پر کامل لڑھکن حرکت کررہا ہے۔ ساکن رگڑ ضربیہ  ms × = 0.25 ہے۔

(a)   سلنڈر پر کتنی قوت رگڑ عمل پذیر ہے؟

(b) لڑھکن کی مدت میں رگڑ کے خلاف کتنا کام کیا جاتا ہے؟

(c) اگر مستوی کا جھکاؤ q میں اضافہ کردیا جائے تو qکی کس قدر پر سلنڈر کامل لڑھکن حرکت کرنے کے بجائے پھسلنا               (skid)            شروع کردے گا؟

7.32 نیچے دئیے گئے ہر ایک بیان کو غور سے پڑھیے اور اسباب کے ساتھ جواب دیجیے کہ ان میں کون سا صحیح ہے اور کون سا غلط۔

(a) لڑھکن حرکت کرتے وقت رگڑ قوت اسی سمت میں عمل پذیر ہوئی ہے جس سمت میں جسم کا سمت مرکز کمیت حرکت کرتا ہے۔

(b) لڑھکن حرکت کرتے وقت نقطہ لمس کی ساعتی چال صفر ہوتی ہے۔

(c) لڑھکن حرکت کرتے وقت نقطہ لمس کااسراع صفر ہوتا ہے۔

(d) کامل لڑھکن حرکت کے لیے رگڑ کے خلاف کیا گیا کام صفر ہوتا ہے۔

(e) کسی کامل بے رگڑ مائل مستوی پر نیچے کی طرف حرکت کرتے پہیے کی حرکت پھسلن حرکت (لڑھکنے کی حرکت نہیں) ہوگی۔

7.33 ذرّات کے نظام کی حرکت کو جدا کرنے پر مرکز کمیت کی حرکت اور مرکز کمیت کے گرد حرکت ملتی ہے۔

(a)  دکھائیں کہ p = pi' + mi v 

جہاں  pi، ith' ذرہ(کمیت mi )کا تحرک ہے اور  pi = pi' + mi vi'   ہے ۔خیال رہے کہ vi' ، ith'ذرہ کی رفتار مرکز کمیت کے نسبت سے ہے۔

مرکزکمیت کی تعریف کا استعمال کرتے ہوئے یہ بھی ثابت کردیں کہ

(b) دکھائیںK=K+½MV2جہاں kذرات کے نظام کی حرکی توانائی ہے، k'نظام کی کل حرکی توانائی ہے جب ذرّات کی رفتار مرکز کمیت کے لحاظ سے لی جاتی ہے اور Mv2/2 پورے نظام کے خطی حرکت کی حرکی توانائی ہے (یعنی نظام کے مرکز کمیت کے حرکت کی)۔اس نتیجہ کو سیکشن 7.14میں استعمال کیا گیا ہے۔

(c) یہ دکھائیں L=L.+R+MV جہاں  L-L مرکزکمیت کے گرد نظام کا زاویائی تحرک ہے۔اسکی رفتار مرکزکمیت کے لحاظ سے لی جاتی ہے۔یہ یادرکھیںr1=r1-Rباقی سارے علامت اسی باب کے مطابق ہیں۔خیال رہے L'اورMR×V بالترتیب زاویائی تحرک ذرّات کے نظام کے مرکز کمیت کی اور اسکے گرد ہے۔

دکھائیں 

آگے دیکھے کہ 

جہاں �مرکزکمیت کے گرد نظام پر لگے تمام بیرونی قوت گردشہ کا مجموعہ ہے۔

(اشارہ  : rext مرکز کمیت کی تعریف اورحرکت کا تیسرا کلیہ استعمال کریں۔ یہ مانیں گے کہ دوذرّات کے درمیان لگی داخلی قوت ذرّات کو ملانے والی لائن کے سمت میں ہوتی ہے۔)

پلوٹو : ایک بونا سیارہ 

چیک جمہوریہ کے پراگ میں  24 اگست 2006 کومنعقد اجرام فلکی کی بین الاقوامی یو نین ، آ ئی اے یو کی جنرل اسمبلی میں ہمارے نظام شمسی کے سیاروں کی ایک نئی تشریح پیش کی ہے ۔ نئی تعریف کے مطابق پلوٹو ایک سیارہ نہیں ہے ۔ اس کا مطلب ہے کہ نظام شمسی میں اب آٹھ سیارے ہیں جن میں عطارد، زہرہ، زمین، مریخ، مشتری، زحل، یورینس اور نیپچون شامل ہیں۔ آئی اے یو نے ہمارے نظام شمسی میں سیارچوں(سیٹلائٹ)کو چھوڑ کر ’’سیاروں‘‘ اور دیگر اجرام فلکی کو تین الگ الگ زمروں میں تقسیم کیا ہے ۔ جو مند درجہ ذیل ہے :

 (1)        ایک ’سیارہ’ ایک ایک ایسا جَرم فلکی ہے جو (الف ) سورج کے گرد گھومتا ہے (ب) اتنی وسعت رکھتا ہے کہ جو کسی ٹھوس مادے کی قوت پر اپنی کشش کے ذریعہ حاوی ہو کر مائع توازن سے (تقریباً گول) شکل اختیار کر لیتا ہے اور (ج)اپنے مدار کے آس پاس کسی کو داخل نہیں ہونے دیتا ۔ 

(2)        ایک  ’ بونا سیارہ ‘ (Dawrf Planet) ، ایک ایسا جَرم فلکی ہے جو (الف) سورج کے گرد گھومتا ہے (ب) اتنی وسعت رکھتا ہے جو کسی ٹھوس مادے کی قوت پر اپنی کشش کے ذریعہ حاوی ہوکر مائع کے توازن سے (تقریباً گول) شکل اختیار کر لیتا ہے  (ج) اپنے مدار کے آس پاس کسی کے داخلے کو نہیں روک سکتا اور (د) یہ ایک سیار چہ نہیں ۔ 

(3)      سیارچوں کو چھوڑ کر دیگر تمام اجرام ، جو سورج کے گرد گھوم رہے ہیں،کو مجموعی طور پر’’نظام شمسی کے چھوٹے اجرام ‘‘ کہا جانا چاہیے۔نظام شمسی کے دیگر آٹھ سیاروں کے بر خلاف پلوٹو کے مدار میں ’’دیگر اجرام‘‘ اور نیپچون سیارہ بھی آ جاتا ہے۔ فی الحال ’’ دیگر اجرام‘‘ میں زیادہ تر نظام شمسی کے گرد گھومنے والے بہت چھوٹے سیارے نیپچون سے گزرنے والے اجرام (TNOs) شہابِ ثاقب اور دیگر چھوٹے اجرام شامل ہیں۔ 

مذکورہ بالا تعریف کے مطابق پلوٹو ایک ’’بوناسیارہ ‘‘ ہے اور اسے نیپچون سے گذرنے والے اجرام کے نئے زمرے کے ابتدائی جَرم کے طورپر تسلیم کیا گیا ہے ۔