پچھلے باب میں تنہا ارتکاز کرتی ہوئی اشیا کی حرکت کا مطالعہ کیا۔ ایسے نظام میں کیا ہوگا جوایسی اشیاکا مجموعہ ہے ؟مادی واسطہ (material medium )  ایسی مثال فراہم کرتا ہے ۔ یہاں لچکیلی قوتیں اجزائے ترکیبی کو ایک دوسرے سے باندھے رکھتی ہیں اورایک جز کی حرکت دوسروں کی حرکت کو متاثر کرتی ہے۔ اگر آپ ساکت پانی کے تالاب میں ایک چھوٹی سی کنکری گرائیں تو پانی کی سطح مضطرب ہو جاتی ہے۔ یہ اضطراب ایک مقام پر محدود نہیں رہتا بلکہ ایک دائرے کی شکل میں باہر کی طرف رواں ہو جاتا ہے۔ اگر آپ تالاب میں کنکریاں ڈالنا جاری رکھیں، تو آپ جس نقطہ پر تالاب کی سطح میں اضطراب پیدا ہوا ہے، وہاں سے باہر کی طرف تیزی سے حرکت کرتے ہوئے دائرے دیکھیں گے۔ اس سے ایسا محسوس ہوتا ہے، جیسے نقطۂ اضطراب سے باہر کی طرف پانی حرکت کررہا ہے ۔

اگر آپ مضطرب سطح پر کچھ کارک کے ٹکڑے رکھ دیں توآپ دیکھیں گے کہ کار ک کے ٹکڑے اوپر نیچے حرکت کرتے ہیں لیکن اضطراب کے مرکز سے دور نہیں جاتے۔ اس سے ظاہر ہوتا ہے کہ پانی کی کمیت، دائروں کے ساتھ، باہرکی طرف نہیں بہتی بلکہ ایک حرکت پیدا کرتا ہوا اضطراب پیدا ہوتا ہے۔ اسی طرح جب ہم بولتے ہیں تو آواز کی لہریں ہم سے باہر کی طرف حرکت کرتی ہیں، لیکن ان کے ساتھ واسطے کے ایک حصے سے دوسرے حصے میں کوئی ہوا کا بہاؤ نہیں ہوتا۔ ہوا میں پیدا ہوا خلل (اضطراب Distrubance)بہت کم واضح ہوتا ہے اور اسے صرف ہمارے کان یا مائیکروفون ہی معلوم کر پاتے ہیں۔ یہ نمونے جو حقیقی طبعی منتقلی یا مجموعی طور پرمادے کے بہاؤ کے بغیر حرکت کرتے ہیں، لہر (waves)کہلاتے ہیں۔ اس باب میں ہم ایسی ہی لہروں کا مطالعہ کریں گے۔

ایک لہر میں، اطلاع اور توانائی ، اشاروں (سگنل Signals) کی شکل میں، ایک نقطہ سے دوسرے نقطہ تک پہنچتی ہے۔ لیکن کوئی مادی شے حرکت نہیں کرتی ہماری تمام خبر رسانی، لہروں کے ذریعے سگنلوں کی ترسیل (Transmission) پر منحصر ہے۔ جب ہم کسی دور مقام پر اپنے دوست کو ٹیلیفون کرتے ہیں، ایک آواز کی لہرہماری صوتی رگ سے ہماراپیغام ، ٹیلیفون تک لے جاتی ہے۔ وہاں ایک برقی سگنل پیدا ہوتا ہے دھات   کے تار کے ساتھ حرکت کرتا ہوا آگے بڑھتا ہے۔ اگر فاصلہ بہت زیادہ ہوتا تو پیدا ہوئے برقی سگنل کو ایک روشنی کے سِگنل   یا برقی و مقناطیسی لہروں میں تبدیل کیا جا سکتا ہے اورنوری کیبل (Optical Cables)یا فضا سے ، ممکنہ طور پر ایک ترسیل سیارچہ کے راستے سے، اس کی ترسیل کی جاسکتی ہے۔ سننے والے سرے پراس برقی، یا روشنی کے سگنل یا برق و مقناطیسی لہر کو دوبارہ آواز کی لہروں میں بدلا جاتا ہے جو ٹیلیفون سے کان تک سفر کرتی ہیں۔

برقی ومقناطیسی لہروں کو اپنی اشاعت (Propagation)کے لیے واسطے کی ضرورت نہیں ہوتی۔ ہم جانتے ہیں کہ روشنی کی لہریں خلاء (Vaccum) سے گذرسکتی ہیں۔ ستاروں کے ذریعے خارج کی گئی روشنی ، جو ہم سے سینکڑوں نوری برسوں کے فاصلے پر ہیں، بین نجمی فضا (inter-stellar space) سے گذرکر ہم تک پہنچتی ہے، جو کہ عملی طور پر خلاء ہے۔

جن لہروں سے ہمارا واسطہ پڑتا ہے، وہ بنیادی طور پرتین قسم کی ہیں: (a) میکانیکی لہریں (b)برقی و مقناطیسی لہریں(c)مادی لہریں۔ میکانیکی لہروں سے ہم سب سے بہتر طور پرواقف ہیں اس لیے کہ ان سے اکثر ہمارا سامنا ہوتا رہتا ہے ۔ ان کی عام مثالیں ہیں : پانی کی لہریں، آواز کی لہریں، زلزلے کی لہریں وغیرہ۔ ان تمام لہروں کی کچھ مرکزی خاصیتیں ہیں : ان پرنیوٹن کے قانونوں کا اطلاق ہوتا ہے اور صرف مادی واسطے ہی میں پائی جاسکتی ہیں جیسے پانی ، ہوایا چٹان ۔ برقی و مقناطیسی لہروں کی عام مثالیں ہیں: بصری (Visibile)  اوربالابنفشی(Ultraviolet)روشنی ، ریڈیائی لہریں(Radio waves) مائیکرو لہریں(Microwaves)اور x–شعائیں(x–rays) وغیرہ۔ ہر برقی و مقناطیسی لہر، خلاء میں یکساں چال Cسے سفر کرتی ہے:

(15.1)    (روشنی کی رفتار)   

میکانیکی لہروں کے برخلاف ، برقی و مقناطیسی لہروں کو اپنی اشاعت کے لیے کسی واسطے کی ضرورت نہیں ہوتی۔ آپ ان لہروں کے بارے میں آئندہ مزید سیکھیں گے۔

مادی لہریں، متحرک الیکٹرانوں ، پروٹانوں، نیوٹرانوں اوردوسرے بنیادی ذرات اور یہاں تک کہ ایٹموں اور مالیکیولوں سے منسلک ہیں۔ کیونکہ ہم عام طور سے ان سب کو مادے کے اجزائے ترکیبی تصور کرتے ہیں،اس لیے یہ لہریں مادی لہریں کہلاتی ہیں۔فطرت کی کوانٹم میکانیکی توضیح میں ان کی ضرورت پڑتی ہے، جس کے بارے میں آپ آئندہ سیکھیں گے۔ حالانکہ تصوراتی طور پر، یہ میکانیکی یا برقی و مقناطیسی لہروں سے زیادہ تجریدی ہیں، ان کا استعمال جدید ٹکنالوجی کے بنیادی آلات میں کیا جانے لگا ہے۔ الیٹرانوں سے منسلک مادی لہریں ، الیکٹرانی خوردبین (electron microscopes) میں استعمال کی جاتی ہے۔

اس باب میں ہم میکانیکی لہروں کا مطالعہ کریں گے، جن کو اپنی اشاعت کے لیے واسطہ (Medium)کی ضرورت ہوتی ہے۔

لہروں کا فنون لطیفہ اورادب پر جمالیاتی اثر تو زمانہ قدیم سے دیکھنے میں آتا ہے، لیکن لہری حرکت (Wave motion) کا پہلا سائنسی تجزیہ سترہویں (17th)صدی میں کیا گیا ہے۔ لہری حرکت کی طبیعیات سے جڑے ہوئے کچھ اہم سائنسداں ہیں: کرسٹیان ہائی جین(Christiaan Huygens) (1629-1695)، روبرٹ ہوک اور اسحاق نیوٹن ۔ لہروں کی طبیعیات کی تفہیم ، اسپرنگ سے منسلک کمیتوں کے اہتزاز کی طبیعیات اورسادہ پنڈولم کی طبیعیات کی تفہیم کے بعد ہوئی ۔ لچکیلے واسطوں میں لہریں ہارمونی اہتزازات سے نزدیکی طور پر منسلک ہیں۔ (تنی ہوئی ڈوریاں ، چھلے داراسپرنگ، ہوا وغیرہ، لچکیلے واسطوں کی مثالیں ہیں۔)ہم سادہ مثالوں کے ذریعے یہ تعلق واضح کریں گے۔

اسپرنگ کا ایک مجموعہ   لیں، جس میں اسپرنگ ایک دوسرے سے اس طرح منسلک ہیں جیسے شکل 15.1میں دکھا یاگیا ہے کہ اگر ایک سرے کے اسپرنگ کواچانک کھینچ کرچھوڑ دیا جائے تو خلل (Disturbance) دوسرے سرے تک پہنچ جاتا ہے۔ کیا ہوا ہے؟ پہلے اسپرنگ کی توازن لمبائی میں بگاڑ (خلل)پیدا کیا گیا ہے۔ کیونکہ دوسرااسپرنگ پہلے اسپرنگ سے منسلک ہے، اس لیے یہ بھی کھنچ جاتاہے یا دب جاتا ہے، اوراس طرح دوسرے اسپرنگ بھی متاثر ہوتے ہیں۔ خلل ایک سرے سے دوسرے سرے تک حرکت کرتا ہے،  

شکل 15.1: اسپرنگ کاایک مجموعہ ، جس میں اسپرنگ ایک دوسرے سے منسلک ہیں۔ سرے Aکو اچانک کھینچ کر خلل پیدا کیا جاتا ہے، جو دوسرے سرے تک حرکت کرتا ہے۔

لیکن ہر اسپرنگ صرف چھوٹے اہتزازات کرتا ہے (اپنے مقامِ توازن کے گرد)۔اس حالت کی ایک عملی مثال کے بہ طور ریلوے اسٹیشن پرکھڑی ہوئی (ساکت)ٹرین تصور کریں۔ ریل گاڑی کے مختلف ڈبے ایک دوسرے سے اسپرنگوں کے ذریعے جڑے ہوتے ہیں۔ جب ایک سرے پر انجن جوڑا جاتا ہے، تو وہ اپنے پیچھے والے ڈبے کو ایک دھکا لگاتا ہے، اوریہ دھکا ایک ڈبے سے دوسرے ڈبے تک ترسیل ہو جاتاہے اورپوری ریل گاڑی مجسم طورپر منتقل نہیں ہوتی۔  

آئیے اب ہوا میں آواز کی لہروں کی اشاعت کو دیکھیں۔ جب لہر ہوا سے گذرتی ہے، تو وہ ہوا کے ایک چھوٹے علاقے کو دباتی یا پھیلاتی ہے۔ اس سے اس علاقہ کی ہوا کی کثافت میں تبدیلی آجاتی ہے فرض کیجیے sp۔ یہ تبدیلی دباؤ میں ایک تبدیلی sp پیدا کرتی ہے۔ دباؤ،کیوں کہ قوت فی اکائی رقبہ ہے، اس لیے اس خلل کے متناسب ایک بحالی قوت پیدا ہوتی ہے۔ بالکل ویسے ہی جیسے اسپرنگ میں ہوتا ہے۔ اس صورت میں توسیع (Extension)یا داب (Compression)جیسی مقدار کثافت کی تبدیلی ہے۔ اگر ایک علاقہ میں داب پیدا ہوتا ہے، تو اس علاقے کے مالیکیول ایک دوسرے کے نزدیک آجاتے ہیں اور وہ متصل علاقے میں حرکت کرنے کی کوشش کرتے ہیں، اس طرح متصل علاقے میں کثافت میں اضافہ کرتے ہیں یا داب پیدا کرتے ہیں۔ اس کے نتیجے میں، پہلے علاقے کی ہوا میں تلطیف (Rarefaction) ہوتی ہے۔ اگر ایک علاقہ مقابلتاً تلطیف شدہ (Rarefied)ہو تو آس پاس کی ہوا اس علاقے میں تیزی سے آئے گی اور اس طرح متصل علاقے میں حرکت دے گی۔ اس طرح داب (Compression) اور تلطیف ایک علاقہ سے دوسرے علاقہ میں حرکت کرتے ہیں اور ہوا میں خلل کی اشاعت کو ممکن بناتے ہیں۔

ٹھوس اشیاء کے لیے بھی اسی طرح کے دلائل پیش کیے جا سکتے ہیں۔ ایک قلمی (Crystalline)ٹھوس میں ایٹم یاایٹموں کے گروپ ایک دَدری جالی (لیٹسLattice) میں مرتب (arranged)ہوتے ہیں۔ ان میں، ہر ایٹم یا ایٹموں کا گروپ ، انہیں گھیرے ہوئے ایٹموں کی قوتوں کی وجہ سے حالت توازن میں ہوتا ہے۔ ایک ایٹم کو منتقل کرنے سے دوسروں کو اپنی جگہ قائم رکھتے ہوئے، بہ حالی قوتیں پیدا ہوتی ہیں، بالکل اسپرنگ کی طرح۔ اس طرح ایک لیٹس کے ایٹموں کو ہم سروں کے نقطے مان سکتے ہیں جن کے جوڑوں کے درمیان اسپرنگ لگے ہیں۔

اس باب کے اگلے حصوں میں ہم لہروں کی خصوصی خاصیتوں سے بحث کرنے جارہے ہیں۔

میکانیکی لہریں عرضی (Transverse)یا طولی (Longitudinal) ہو سکتی ہیں۔ یہ اس پرمنحصر ہے کہ واسطے میں خلل یا منتقلی کی سمت اور لہرکی اشاعت کی سمت میں کیارشتہ ہے۔ ان دونوں میں فرق کرنے کے لیے آئیے ایک سرے پرجڑی ہوئی ایک تنی ہوئی ڈوری کارد عمل دیکھیں۔ اگر آپ اس ڈور کے آزاد سرے کو اوپر نیچے ایک جھٹکا دیں، تو جیسا کہ شکل 15.2دکھایا گیا ہے، تو ڈوری پر ایک واحد ضرب (پلسPlus) کی شکل میں ایک لہر گذرتی ہے ہم فرض کرتے ہیں کہ پلس کے ناپ کے مقابلے میں ڈوری بہت لمبی ہے، اس لیے دوسرے سرے تک پہنچتے پہنچتے پلس کا اسراف (Dissipates)ہوجاتا ہے، اس لیے دوسرے سرے سے اس کے انعکاس کو نظر انداز کیا جا سکتا ہے۔ اس پلس کا تشکیل پانا اوراس کی اشاعت اس لیے ممکن ہے کیونکہ ڈوری میں تناؤ ہے۔ جب آپ رسی کے اپنی طرف کے سرے کو اوپر کھینچتے ہیں تو یہ سرا ، رسی کے متصل حصے کو اوپر کی طرف کھینچنا شروع کردیتا ہے، کیونکہ رسی کے ان دونوں حصوں کے درمیان تناؤ کام کر رہا ہے ۔ جیسے متصل حصہ اوپر کی طرف حرکت شروع کرتا ہے یہ اس کے بعد کے حصے کو اوپرکھینچنا شروع کرتا ہے اوراسی طرح اور– اس دوران آپ رسی کے اپنی طرف کے سرے کو نیچے جھٹکا دے چکے ہوتے ہیں۔ جیسے باری باری سے ہرحصہ اوپر کی طرف حرکت کرناشروع کرتا ہے وہ اپنے ان پڑوسی حصوں کے ذریعے دوبارہ نیچے کی طرف کھینچتا ہے جو پہلے ہی نیچے کی طرف حرکت شروع کر چکے ہوتے ہیں۔ اس کا کل نتیجہ یہ ہے کہ ڈوری کی شکل میں ایک بگاڑ (distortion)پیداہوتا ہے اور یہ بگاڑ (پلسPlus) ڈوری پر رفتار Vسے حرکت کرتا ہے۔

اگر آپ اپنی طرف کے سرے کو مستقل اوپر نیچے حرکت دیتے رہیں تو ڈوری پرسے ایک مسلسل لہر،Vرفتار سے، گذرتی ہے۔ لیکن اگر آپ کے ہاتھ کی حرکت، وقت کا سائن خم نما، تفاعل ، (sinusoidal function of time) ہے تو وقت کی کسیدی ہوئی ساعت پر، لہر کی شکل، سائن خم نما ہوگی ، جیسا کہ شکل 15.3 میں دکھایا گیاہے۔ دکھائی گئی لہر کی شکل سائن پاکو سائن منحنی جیسی ہے۔

  شکل (15.3) میں دکھائی گئی لہروں کا مطالعہ دو طریقوں سے کیا جا سکتا ہے۔ ایک طریقہ تو یہ ہے کہ لہرکی شکلوں کی نگرانی ، ان کے دایں طرف حرکت کرتے ہوئے کی جائے یعنی کہ دی ہوئی ساعت وقت پر ڈوری کا فور ی فوٹو لیا جائے۔ دوسرا متبادل طریقہ یہ ہے کہ ہم اپنی توجہ ڈوری کے کسی ایک خاص مقام پر مرکوز کر دیں اور اس نقطہ پرایک جز کی حرکت کی نگرانی کریں کہ جب اس سے ایک لہرگذرتی ہے تو وہ کیسے اوپرنیچے اہتزاز کرتا ہے۔ ہم دیکھیں گے کہ اس طرح اہتزاز کرتے ہوئے ڈوری کے ہرجز کا نقل ، لہر کے گذرنے کی سمت کے ، عرضی سمت (یعنی کہ عمودی سمت) میں ہوگا، جیسا کہ شکل 15.3 میں دکھایا گیا ہے۔ ایسی لہرکو عرضی لہر (Transverse wave)کہتے ہیں۔

اب ، ہم ایک لمبے ہوا بھرے ہوئے پائپ میں ،ایک پسٹن کی حرکت کے ذریعے ، لہروں کے پیدا ہونے کے دیکھتے ہیں، جیسا کہ شکل 15.4میں دکھایا گیا ہے۔ اگر آپ پسٹن کو تیزی سے دائیں موڑیں اورپھربائیں موڑیں، توآپ پائپ میں سے دباؤ کی ایک پلس بھیج رہے ہیں۔ بائیں طرف پسٹن کو موڑنے سے ، اس کے پاس کی ہوا کا دباؤ کم ہو جاتا ہے۔ اس کی وجہ سے اس کے بعد کے ہوا کے اجزاء واپس بائیں طرف حرکت کرتے ہیں اورپھر دور کے اجزاء بھی ایسا ہی کرتے ہیں۔ اس لیے ہوا کی حرکت اورہوا کے دباؤ میں تبدیلی دائیں طرف پائپ میں بہ طور پلس حرکت کرتے ہیں۔

اگر آپ پسٹن کو ایک سادہ ہارمونی طرز سے دھکیلیں اورکھینچیں تو پائپ میں سے ایک سائن خم نما لہر گذرے گی۔ یہ نوٹ کیاجاسکتا ہے کہ ہواکے اجزاء کی حرکت ، لہر کی اشاعت کی سمت کے متوازی ہے۔ ایسی حرکت طولی (Longitudinal)کہلاتی ہے اوراس لیے پیداہوئی لہر طولی لہر کہلاتی ہے۔ ہوا میں پیدا ہونے والی آ واز کی لہریں، ایسی ہی دباؤ لہریں ہیں، اوراس لیے طولی خاصیت کی ہیں۔

مختصراً، عرضی لہروں میں واسطے کے اجزائے ترکیبی، لہر کی اشاعت کی سمت کی عمودی سمت میں اہتراز کرتے ہیں اور طولی لہروں میں وہ لہر کی اشاعت کی سمت میں اہتراز کرتے ہیں۔  

ایک لہر، چاہے عرضی ہو یا طولی، رواں(travelling or progressive) لہر کہلاتی ہے، اگر وہ واسطے میں ایک نقطہ سے دو سرے نقطہ تک جاتی ہے۔ ایک رواں لہر اور ایک مقیم (standing or stationary)لہر میں فرق کرنا ہوگا۔ (دیکھیے حصہ 15.7)۔ شکل 15.3میں عرضی لہریں ڈوری کے ایک سرے سے دوسرے تک جاتی ہیں، جب کہ 15.4میں طولی لہریں پائپ کے ایک سرے سے دوسرے سرے تک جاتی ہیں۔ ہم پھر نوٹ کرتے ہیں کہ دونوں صورتوں میں ، یہ لہر خلل ہے جو ایک سرے سے دوسرے سرے تک حرکت کرتا ہے، وہ مادہ نہیں جس میں لہر سے اشاعت ہوتی ہے۔  

عرضی لہروں میں ذرات کی حرکت ، لہر کی اشاعت کی سمت کی عمودی سمت میں ہوتی ہے ۔ اس لیے جیسے جیسے لہر آگے بڑھتی ہے، واسطہ کے ہر جز میں ایک تحریفی بگاڑ (Shearing Strain)پیدا ہوتا ہے۔ اس لیے عرضی لہروں کی صرف انہیں واسطوں میں اشاعت ہو سکتی ہے جو تحریفی ذرر (Shearing Stress) کو برداشت کر سکتے ہیں، جیسے ٹھوس اشیاء میں اور سیالوں میں نہیں۔ سیال اور ٹھوس اشیاء دابی بگاڑ (Compressive Strain)کو برداشت کر سکتی ہیں، اس لیے طولی موجیں ہر لچکیلے واسطے میں سے گذر سکتی ہیں۔ مثلاً ایک فولاد کی چھڑ کو اگر بہ طور واسطہ لیا جائے تو اس میں سے طولی اورعرضی دونوں لہریں گذر سکتی ہیں جب کہ ہوا صرف طولی موجوں کو برقرار رکھ سکتی ہے۔ پانی کی سطح پر پیدا ہونے والی لہریںدو قسم کی ہوتی ہیں:شعری (Capillary) لہریں اورزمینی کشش لہریں(gravity waves)اول الذکر، کافی کم طول ِلہر، چند سینٹی میٹر سے زیادہ نہیں، کے حلقے (Ripple)ہیں اور بحالی قوت جو انہیں پیدا کرتی ہے، وہ پانی کا سطحی تناؤ ہے۔ زمینی کشش لہر کی طول لہر کئی میٹر سے لے کر کئی سو میٹر تک کی سعت میں ہو سکتی ہے۔ انہیں پیدا کرنے والی بحالی قوت ہے زمینی کشش کا کھنچاؤ جو پانی کی سطح کو اس کی کم ترین اونچائی پررکھتا ہے۔ ان لہروں میں ذرات کے اہتراز صرف سطح تک ہی محدود نہیں ہوتے بلکہ کم ہوتی ہوئی سعت کے ساتھ، پیندے تک پہنچتے ہیں۔ پانی کی لہروں میں، ذرات کی حرکت پیچیدہ ہوتی ہے: یہ صرف اوپر نیچے ہی حرکت نہیں کرتے بلکہ آگے۔ پیچھے بھی حرکت کرتے ہی۔ ایک سمند رمیں اٹھنے والی موجیں (لہریں)، طولی اور عرضی ، دونوں قسم کی لہروں کا مجموعہ ہیں۔ سُمانی لہریں اِن کی مثال ہیں۔یہ دیکھا گیا ہے کہ عام طور سے عرضی اورطولی لہریں یکساں واسطے میں سے مختلف چالوں سے گذرتی ہیں۔

لہر کا فیز ،مساوات (15.2)میں، اہترازی رکنکا حامل زاویہہے۔ یہ لہر کے ایک ڈوری کے جز پر ایک خاص مقام xسے گذرنے پر حرکت کی حالت بیان کرتا ہے۔یہ وقت tکے ساتھ خطی طور پر تبدیل ہوتا ہے اور +1اور1 –کے درمیان اہتراز کرتا ہے۔ اس کی منتہائی مثبت قدر +1اس جز سے گذرتی ہوئی لہر کے فراز سے مطابقت رکھتی ہے، تب مقام x پر yکی قدر aہے ۔اس کی منتہائی منفی قدر –1، اس جز سے گذرتی ہوئی لہر کے نشیب سے مطابقت رکھتی ہے،؛ تب مقام xپر yکی قد (–1)ہے۔ اس طرح، سائن تفاعل اورایک لہر  کا  تابع وقت فیز ، ڈوری کے ایک جز کے اہتراز سے مطابقت رکھتے ہیں اورلہر کی سعت سے جز کے نقل کی انتہائی قدروں کا تعین ہوتا ہے۔ مستقلہ،آغازی فیز زاویہ کہلاتا ہے ۔کی قدرجز کی آغازی (t=0)نقل اور رفتار (فرض کیجیے x=0پر)سے معلوم کی جاتی ہے ۔

ہم مبدے (x=0)اورآغازی ساعت (t=0)کو ہمیشہ اس طرح منتخب کر سکتے ہیں کہ=0  ہو۔اگرمساوات (15.2)میں =0  رکھا جائے تو بھی مساوات کی عمومیت میں کوئی کمی نہیں آتی۔

ایک لہر کا طول لہر ، لہر کی شکل کے لگاتار دہرائے جانے کے درمیان فاصلہ ہے (لہر کی اشاعت کی سمت کے متوازی) ۔ یہ دو لگاتار نشیب یا فراز کے درمیان یا لہری حرکت کے یکساں فیز والے دو لگاتار نقطوں کے درمیان ،کم ترین فاصلہ ہے۔ ایک مخصوص طول لہر کی نشاندہی شکل     میں  کی گئی ہے۔ جو t=0 اور  =0کے لیے مساوات (15.2)کی ترسیم (Plot)ہے ۔ اس صورت میں، مساوات (15.2)ہو جاتی ہے۔

تعریف کے مطابق، اس طول موج کے دونوں سروں پر، نقل y یکساں ہے۔

یعنی کہ  پر، اس لیے مساوات (15.2) کے ذریعے 

یہ شرط صرف اسی وقت مطمئن ہو سکتی ہے جب

جہاں،  کیونکہ  کی تعریف اس طرح کی گئی ہے کہ یکساں فیز والے نقطوں کے درمیان کم ترین فاصلہ ہے، اس لیے n=1 اور 

k اشاعت مستقلہ(Propagation Constant)یا زاویائی لہر عدد کہلاتا ہے،(اس کی SIاکائی ریڈین فی میٹریا* ہے۔  

شکل15.7میں ، مساوات (15.2)سے دیے جانے والے، نقل yبرخلاف tگراف کو ، ڈوری کے کسی مقام پر، جسے x=0لیا گیا ہے ، دکھایا گیا ہے ، اگر آپ ڈوری کی نگرانی کریں، تو آپ دیکھیں گے کہ اس مقام پر ڈوری جز ، سادہ ہارمونی حرکت میں، اوپر نیچے حرکت کرتا ہے، جو x=0کے ساتھ ، مساوات (15.2)سے دی جاتی ہے۔

اس لیے مساوات (15.21)سے اخذ کیا جا سکتا ہے کہ ایک ہم تا پی تبدیلی کے لیے

یہ رشتہ سب سے پہلے نیوٹن نے دیا تھا، اس لیے نیوٹن کا ضابطہ کہلاتا ہے۔

مثال 15.4: معیاری دباؤ اور درجہ حرارت پر، ہوا میں آواز کی رفتار کا تخمینہ لگائیے۔ ہوا کے ایک مول کی کمیت    ہے۔

جواب: ہم جانتے ہیں کہ کسی بھی گیس کے ایک مول کا S.T.P  پر حجم 22.4 لیتر ہوتا ہے۔ اس لیے STP پر ہو کی کثافت  ہے۔ 

STP پر ہو کے ایک مول کا حجم =

 ہوا کے ایک مول کی کمیت

ایک وسیلے میں آواز کی رفتار کے نیوٹن کے فارمولے کے مطابق، ہم ہو میں STP پر آواز کی رفتار حاصل کرتے ہیں:

مساوات (15.23)میں دکھایا گیا نتیجہ ، تجرباتی قدر  ، جو جدول 15.1میں دی گئی ہے، کے مقابلے میں تقریباً%15کم ہے۔ ہم نے کہاں غلطی کی ؟ اگر ہم نیوٹن کے بنیادی مفروضے،   ایک واسطے میں آواز کی اشاعت کے دوران ہونے والی دباؤ کی تبدیلیاں ، ہم تاپ ہیں، کو جانچیں تو ہمیں معلوم ہوتا ہے کہ یہ مفروضہ درست نہیں ہے۔ لیبلیس (Laplace)نے یہ نشاندہی معلوم کی کیوں کہ آواز کی لہروں کی اشاعت کے دوران ہونے والے دباؤ کے تغیرات اتنے تیز رفتار ہوتے ہیں کہ حرارت کے بہاؤ کو مستقلہ درجۂ حرارت برقرار رکھنے کے لیے ملنے والا وقت ناکافی ہوتا ہے۔ اس لیے ، یہ تغیرات حرناگزار ہیں ۔ حر ناگزارطریق کے لیے کامل گیس مساوات ہے ۔

نیوٹن کے فارمولے کی یہ ترمیم لیپلیس تصحیح(Laplace correction) کہلاتی ہے۔ ہوا کے لیے ،۔ اب مساوات (15.24)کے ذریعے ہوا میں، STPپر آواز کی رفتارکا تخمینہ لگانے پر، ہمیں قدر  حاصل ہوتی ہے، جو تجربہ کے ذریعے معلوم کی گئی قدر سے مطابقت رکھتی ہے۔  

15.5لہروں کے انطبا ق کااصول

(THE PRINICPLE OF SUPERPOSITION OF WAVES)

ہم دو ایسی لہریں تصور کرتے ہیں جو ایک ہی تنی ہوئی ڈوری پر مختلف سمتوں میں، ہمہ وقت (Simultaneously)حرکت کر رہی ہیں۔ شکل 15.9میں دکھایا گیا تصویروں کا ترتیب وار سلسلہ، ڈوری کے مختلف اجزاء کی، وقت کی مختلف ساعتوں پر نقل کی حالتوں کو ظاہر کرتا ہے۔ ہر تصویر ایک دی ہوئی ساعت وقت پر،ڈوری میں، ماحصل لہرشکل کو ظاہر کرتی ہے۔ مشاہدہ یہ بتاتا ہے کہ دیے ہوئے لمحہ وقت پر ڈوری کے کسی بھی جز کا کل نقل (Net displacement)، ہر لہر کی وجہ سے ہونے والے انفرادی نقل کا الجبرائی حاصل جمع (Algebraic sum) ہے۔ 

انفرادی لہری شکلوں کو اس طرح جوڑ کر کل لہر شکل معلوم کرنے کا یہ طریقہ انطباق کا اصول (Principle of superposition)کہلاتا ہے۔ اس قاعدے کو ریاضیاتی شکل میں لکھنے کے لیے ، فرض کیجیے کہ ,  اور  وہ نقل ہیں جو ڈوری کے کسی بھی جز میں ہوتے ہیں اگر ہر لہر اس جز میں سے انفرادی طور پر گذر رہی ہوتی ۔ اس جز کا نقل ، جو دونوں لہروں کے ایک دوسرے پر منطبق (Overlap)ہونے کی وجہ سے ہوتا ہے ، دیا جاتا ہے :

شکل 15.10: دو متماثل سائن خم نما لہریں ،اور ، ایک تنی ہوئی رسی پر، x–محور کی مثبت سمت میں، حرکت کرتی ہیں۔ وہ ایک ماحصل لہر(y(x,t دیتی  ہیں۔ دونوں  لہروں کے درمیان فیز فرق ہے متطابق ماحصل لہریں(C)اور (d)میں دکھائی گئی ہیں۔

سعت کی بیش ترین   قدر 2aہے۔ یہ kxکی ان قدروں پر ہوتی ہے، جو  دیتی ہیں۔  

ایسی قدریں ہیں:  

یہ اینٹی نوڈ (ضد نوڈAntinode) کہلاتے ہیں۔ انیٹی نوڈوں کے درمیانفاصلہ ہوتا ہے اوریہ نوڈوں کے جوڑے کے درمیان ، ان کے وسطی نقطے پر ہوتے ہیں۔

ایک لمبائی Lکی تنی ہوئی ڈوری کے لیے، جس کے دونوں سرے بندھے ہوئے   ہیں، ڈوری کے دونوں سرے نوڈ (Node) ہی ہونا چاہئیں۔ اگر ہم ایک سرے کو مقام x=0 منتخب کر لیں۔ تودوسرا سرا x=Lہے۔ اس دوسرے سرے کو بھی نوڈ ہونے کے لیے ضروری ہے، کہ Lمندرجہ ذیل شرط کو لازمی طور پرمطمئن کرے۔

ایک ہوا کالم کے جس کا ایک سرا کھلا ہوا ہے، ، کچھ نارمل موڈ شکل 15.14 میں دکھا ئے گئے ہیں۔  

اگر ایک پائپ دونوں سروں پر کھلا ہو، تو دونوں سروں پر اینٹی نوڈ ہوں گے اورتمام ہارمونک پیدا ہوں گے۔

ایک دائری جھلّی ، جو محیط سے استوار طور پر جڑی ہوئی ہو، جیسے طبلہ میں، کے نارمل موڈ اس سرحدی شرط (Boundary Condition)کے ساتھ معلوم کیے جاتے ہیں کہ جھلّی کے محیط کا کوئی نقطہ ارتعاش نہیں کرتا۔ اس نظام کے نارمل موڈوں کے تعدد کا تخمینہ لگانا زیادہ پیچیدہ ہے۔اس مسئلے میں دو ابعادمیں لہر کی اشاعت شامل ہے۔ حالانکہ ، متعلقہ طبیعیات یکساں ہے۔

ہم اوپر دیکھ چکے ہیں کہ ایک دونوں سروں پر بندھی ہوئی ڈوری میں، مقیم لہریں صرف کچھ تعدد پر بنتی ہیں، جو مساوات (15.42)سے دی جاتی ہیں، یا ان تعدد پر نظام گمک کرتا ہے۔ اسی طرح ایک سرے پر کھلا ہوا کالم ، مساوات (15.44)سے دیے گئے تعدد پر گمک کرتا ہے۔

جواب : پہلا ہارمونک تعدد دیا جا تا ہے :

جہاں پائپ کی لمبائی ہے۔ اس کے nthہارمونک کا تعدد ہے :

ایک سرے پر کھلے پائپ کے کچھ موڈ شکل 15.15میں دکھائے گئے ہیں۔

پانچواں ہارمونک    تیسرا ہارمونک   بنیادی پہلا ہارمونک

      fundamental        third           fifth

    or first harmonic    harmonic  harmonic

گیارہواں ہارمونک   نواں ہارمونک   ساتواں ہارمونک    

seven        ninth          eleventh   

harmonic    harmonic    harmonice  

واضح ہے کہ ایک1.1khzتعدد کا وسیلہ ،  ، یعنی کہ دوسرے ہارمونک پر گمک کرے گا۔  

اب اگر پائپ کا ایک سرا بند کر دیا جائے (شکل 15.14) ، تو مساوات (15.44)سے اخذ کیاجا سکتاہے کہ بنیادی تعدد ہے :  

دوسرا ہارمونک                             پہلا بنیادی ہارمونک

Fundamental or                      Second harmonic

                                                    harmonic

 

چوتھا ہارمونک                                    تیسرا ہارمونک

Third harmonic                         Fourth harmonic

آئیے معلوم کریں کہ کیا ہوتا ہے جب دو لہریں، جن کے تعدد میں معمولی سا فرق ہے، ایک دوسرے پر منطبق کی جاتی ہیں۔ فرض کیجیے کہ ایک خاص مقام پردونوں آواز کی لہروں کے نقل کے وقت تابع تغیرات دیے جاتے ہیں:

جہاں ہم نے آسانی کے لیے فرض کر لیا ہے کہ دونوں لہروں کی سعتیں اور فیزیکساں ہیں۔انطباق کے اصول کے مطابق ، ماحصل نقل ہے۔

تب مساوات (15.47) میں اصل وقت انحصار اس کو سائن تفاعل سے آتا ہے، جس کا زاویائی تواتر  ہے۔ قوسین میں دی ہوئی مقدار کو اس تفاعل کا سعت سمجھا جا سکتا ہے (جو مستقلہ نہیں ہے، بلکہ اس میں زاویائی تعدد کی خفیف تبدیلیشامل ہے)۔ یہ از حد ہوجاتا ہے، جب بھیکی قدر (+1)یا (–1)ہوتی ہے۔ کیونکہ    اور  کی قدریں ایک دوسرے کے بہت نزیک ہیں،اور ان دونوں میں سے کسی ایک میں بھی فرق کر پانا آسان نہیں ہے۔ اس لیے تقریباً یکساں تعدد والی دو لہروں کے انطباق کا نتیجہ ایک ایسی لہر ہے، جس کازاویائی تعدد تقریباًیکساں ہے لیکن سعت مستقلہ نہیں ہے ۔ اس لیے ، ماحصل آواز لہر کی شدت ایک زاویائی تعدد :کے ساتھ تبدیل ہوتی ہے۔ اب رشتہ:  استعمال کرتے ہوئے ، ضرب تعدد(Beat Frequency)دی جاتی ہے:

اس لیے ہم کم–زیادہ ہوتی ہوئی شدت کی آواز سنتے ہیں، جس کا تعدد ، منطبق ہونے والی لہروں کے تعدد کا فرق ہوتا ہے۔ تعدد 11HZاور تعدد 9HZکی دو لہروں کے وقت  نقل  گراف  شکل(a)۔15.16اور (b)۔15.16 میں دکھائے گئے ہیں۔ ان کے انطباق کا نتیجہ شکل (c)۔15.16میں دکھایا گیا ہے۔

موسیقی کاراپنے سازوں کی لے ملانے (انہیں ٹیون کرنے) میں ضرب مظہر استعمال کرتے ہیں۔ اگر ایک ساز کو ایک معیاری تعدد کے سامنے بجایا جائے اوراس وقت تک ٹیون کیا جاتا رہا ہے جب تک بیٹ غائب نہ ہو جائے، توساز اس معیار کے ساتھ لے میں (ٹیون کیا ہو) ہوتا ہے۔

جواب :ایک تار کے تناؤ میں اضافہ ، اس کے تعدد میں اضافہ کرتا ہے اگرBکا آغازی تعدد کے تعد دسے زیادہ ہوتاتو  میں مزید اضافہ سے ضرب تعد د بڑھنا چاہیے تھا۔ لیکن ضرب تعدد کم ہو رہا ہے۔ اس سے معلوم ہوتا ہے  ہمیں ملتا ہے،  

یہ روزمرہ کا تجربہ ہے کہ ایک تیزی سے حرکت کرتی ہوئی ریل گاڑی جب ہم سے دور ہوتی جاتی ہے تواس کی سیٹی کا سر(پچ Pitch)یا تعدد کم ہوتا جاتا ہے۔ اور جب ہم کسی آواز کے قائم (غیر متحرک) منبع (وسیلے Source) کی طرف تیزی سے جاتے ہیں، تو سنائی دینے والی آوازکی پچ، منبع کی پچ سے زیادہ معلوم ہوتی ہے۔ جیسے جیسے مشاہد، وسیلے سے دورجاتا ہے تو سنائی دینے والی پچ یا تعدد وسیلے کی پچ سے نیچی ہوتی جاتی ہے۔ یہ حرکت– منسلک تعدد تبدیلی، ڈوپلر اثر (Doppler effect)کہلاتا ہے۔ آسٹریلیائی طبیعیات داں، جون کرسٹین ڈوپلر نے سب سے پہلے 1842میں یہ اثر تجویز کیا۔ بائز بیلٹ (Buys Ballot)نے 1845میں ہولینڈ میں اس کی تجربہ کے ذریعے جانچ کی۔ ڈوپرل اثر ایک لہر، مظہر ہے۔ یہ صرف آواز کے لیے ہی نہیں بلکہ برقی مقناطیسی لہروں کے لیے بھی صادق ہے ۔ حالانکہ ، اس وقت ہم صرف آواز کی لہروں کو ہی لیں گے۔

ہم تین مختلف صورتوں میں تعدد میں ہونے والی تبدیلیوں کا تجزیہ کریں گے: (1)مشاہد، مقیم (Stationary)ہے اوروسیلہ (Source) حرکت کررہا ہے ،(2)مشاہد حرکت کر رہا ہے اوروسیلہ مقیم ہے، (3)مشاہد اور وسیلہ دونوں حرکت کر رہے ہیں۔ حالت (1)اور (2)مشاہد اورواسطے کے درمیان اضافی حرکت (Relative motion)کی موجودگی یا غیر موجودگی کی وجہ سے ایک دوسرے سے مختلف ہیں۔ زیادہ ترلہروںکو اشاعت کے لیے واسطے کی ضرورت ہوتی ہے، لیکن برقی و مقناطیسی لہروں کو اپنی اشاعت کے لیے واسطے کی ضرورت نہیں ہوتی۔ اگرکوئی واسطہ موجود نہ ہو توچاہے وسیلہ حرکت کرے یا مشاہد حرکت کرے ڈوپلر شفٹ (Doppler Shift) یکساں ہوتی ہے، کیونکہ اب دونوں صورتوں میں فرق کرنے کا کوئی ذریعہ نہیں ہے ۔

ہم یہ قرار داد(Convention) منتخب کرتے ہیں کہ رفتار  کی مثبت سمت مشاہد سے وسیلہ کی طرف ہے۔فرض کیجیے کہ ایک وسیلہ Sرفتار  سے حرکت کر رہا ہے اورایک وسیلہ اس فریم میں قائم ہے، جس میں واسطہ بھی حالت سکون پر ہے۔ فرض کیجیے کہ ایک زاویائی تعدد  کی لہر رفتار v ہے اورایک ایسے مشاہد کے ذریعے ناپے جاتے ہیں جو واسطے کی مناسبت سے حالت سکون پر ہے۔ ہم فرض کرتے ہیں کہ مشاہد کے پاس ایک ایساشناس کار (Detector)ہے جو اس پر پہنچنے والے لہر کے ہرفراز کو، اس کے پہنچتے ہی، شمار کرتا ہے۔ جیسا  شکل 15.17میں دکھایا گیا ہے۔ وقت t=0پر ، وسیلہ نقطہ  پر ہے، جو مشاہد سے فاصلہLپر واقع ہے اورایک فراز خارج کرتا ہے۔ یہ مشاہد تک وقت  پر پہنچتا ہے۔ وقتپر، وسیلہ ایک فاصلہ  طے کرچکا ہوگا اوراب یہ نقطہ  پر ہے ، جو مشاہدسے فاصلہ  پرواقع ہے۔  پر وسیلہ دوسرے فراز کا اخراج کرتا ہے۔ یہ مشاہد تک پہنچتا ہے وقت  پر :

شکل 15.17: vs رفتار سے حرکت کرتا ہوا ایک وسیلہ نقطہ S1 پر ایک لہر فراز خارج کرتاہے۔ Vs To فاصلہ طے کرنے کی بعد،S2 پر یہ اگلا لہر فراز خارج کرتا ہے۔

وقت nTo پر، وسیلہ  فراز خارج کرتا ہے اور یہ مشاہد تک وقت tn+1 پر پہنچتا ہے:

اس لیے وقفہ وقت (tn+1 - t1)

ایک مسافر کو لیجیے جو ایک سیدھی پٹر ی پرچلتی ہوئی ریل گاڑی میں بیٹھا ہے۔ فرض کیجیے وہ ٹرین کے ڈرائیور کے ذریعے بجائی گئی سیٹی سنتا ہے ۔وہ کیا تعدد سنے گا یا ناپے گا؟یہاں مشاہد اوروسیلہ دونوں یکساں رفتار سے حرکت کررہے ہیں،اس لیے تعدد میں کوئی شفٹ نہیں ہوگی اورمسافر قدرتی تعدد ہی سنے گا۔ لیکن ایک ٹرین کے باہر کھڑا ہوا مشاہد ، جو کہ پٹری کی مناسبت سے مقیم ہے،قدرتی تعدد سے زیادہ تعدد سنے گا،اگر ریل گاڑی اس کی طرف آرہی ہے اورکم تعدد سنے گا اگر ریل گاڑی اس سے دور جا رہی ہے ۔

نوٹ کریں کہ ہم نے مشاہدسے وسیلہ کی سمت میں مثبت سمت معرف کی تھی ۔ اس لیے ،اگر مشاہد واسطے کی طرف حرکت کررہا ہے توکی مثبت (عددی) قدرہوگی اور اگر O، Sسے دو  رجارہا ہے توکی منفی قدرہوگی۔ دوسری طرف ،اگر S، Oسے دورجارہا تو  کی مثبت قدر ہوگی اوراگروہ O کی طرف حرکت کر رہا ہے توکی منفی قدر ہوگی۔ وسیلے کے ذریعے خارج کی گئی آواز تمام سمتوں میں جاتی ہے۔ مشاہد ، آواز کاوہ حصہ شناس کرتا ہے جو اس کی طر ف آتا ہے۔ اس لیے مشاہد کی مناسبت سے ، آواز کی اضافی رفتار، تمام صورتوں میں،  ہے۔

جواب : (1)مشاہد حالت سکون پر ہے اوروسیلہ رفتارسے حرکت کررہا ہے۔ کیونکہ یہ رفتار آواز کی رفتارسے قابل مقابلہ ہے، اس لیے ہمیں مساوات (15.50)استعمال کرنا ہوگی، مساوات (15.51)سے دیا گیا تقریبی رشتہ نہیں۔ کیونکہ وسیلہ ، ایک مقیم نشانہ کی طرف آرہا ہے ،بدلنا ہوگا:

15.1 ایک 2.50kgکمیت کی ڈوری 200Nتناؤ کے زیر اثر ہے۔ تنی ہوئی ڈوری کی لمبائی 20.0mہے۔ اگر ایک سرے پر عرضی جھٹکالگایا جائے، توڈوری کے دوسرے سرے تک پہنچنے میں خلل کو کتنا وقت لگے گا؟

15.2   ایک 300mاونچے مینار پرسے گرایا گیا پتھر، مینار بنیاد کے نزدیک تالاب کے پانی میں گرتا ہے۔پتھر کے پانی میں گرنے کی آواز مینارپرکب سنائی دے گی۔ دیا ہے، ہوا میں آواز کی رفتار  

15.3 ایک فولاد کے تار کی لمبائی 12.0mاور کمیت 2.10kgہے۔ تار میں تناؤ کتنا ہونا چاہیے کہ تار پر ایک عرضی لہر کی رفتار ، سوکھی ہوا میں آواز کی رفتارپرکے مساوی ہو۔

15.4 فارمولہ  کے استعمال کے ذریعے وضاحت کیجیے کہ ہوا میں آواز کی رفتار کیوں۔

(a)             دباؤ کے تابع نہیں ہے

(b) درجۂ حرارت کے ساتھ بڑھتی ہے

(c) مرطوبیت (Humidity)کے ساتھ بڑھتی ہے

15.5  آپ سیکھ چکے ہیں کہ ایک رواں لہر ، ایک بُعد میں ، ایک تفاعل کے ذریعے ظاہر کی جاتی ہے، جہاںxاور tکو (x- vt)یا (x tvt)کی شکل میں متحد ہونا لازمی ہے، یعنی کہ، y=f (x + vt) کیا اس کا برعکس بھی صادق ہے ؟ جانچیے کہ کیا yکے لیے مندرجہ ذیل تفاعلات کا ایک رواں لہر کو ظاہر کرنا ممکن ہے :

15.6 ایک چمگادڑ ہوا میں تعدد 1000khzکی بالا صوتی آواز خارج کرتی ہے ۔اگر آواز ایک پانی کی سطح سے ٹکراتی ہے تو ، کیا طول لہر ہوگی؟(a)منعکس آواز کی (b)ترسیل ہونے والی آواز کی ؟آواز کی رفتار: ہوا میں  ، پانی میں  ۔  

15.7 ایک اسپتال ایک نسج(Tissue)میں رسولیوں کا مقام پتہ کرنے کے لیے ایک بالا صوتی تقطیع کار (Ultrasonic Scanner)استعمال کرتا ہے ۔ اس نسح میں آواز کی طول لہر  کیاہوگی، جس میں آواز کی چال  ہے ؟تقطیع کار کے کام کرنے کا تعدد 4.2MHzہے۔

15.8 ایک ڈوری پر ایک ہارمونی عرضی لہردی جاتی ہے :(y(x, t) = 3.0 sin (36 t+0.018x+p/4)  

جہاں xاور y،سینٹی میٹر میں ہیں اورtسیکنڈمیں ۔xکی مثبت سمت، بائیں سے دائیں ہے۔

(a)یہ ایک رواں لہر ہے یاقائم لہر؟ یہ اگرحرکت کررہی ہے تو اس کی اشاعت کی چال اورسمت کیا ہیں؟

(b)اس کی سعت اورتعدد کی کیا قدریں ہیں؟

(c)مبدے پر آغازی فیز کیا ہے  

(d)لہر میں دو متواتر فرازوں کے درمیان کم ترین فاصلہ کیا ہے ؟

15.9 مشق15.8میں بیان کی گئی لہرکے لیے، نقل (y)بہ مقابلہ tگراف x=0.2اور x=4cmکے لیے کھینچے۔ ان گرافوں کی شکلیں کیسی ہیں؟ لہرمیں اہترازی حرکت ، ایک نقطہ سے دوسرے تک ، کس طورپرمختلف ہے :سعت ، تعدد یافیز کے لحاظ سے ۔

15.10 مندرجہ ذیل ہارمونی لہر:y(x, t)=2.0 cos 2p(10t–0.0080x+0.35)

کے لیے ، جہاں xاور yسینٹی میٹرمیں ہیں، اورtسیکنڈ میں ، ایسے دو نقطوں پراہترازی حرکت میں فیز فرق معلوم کیجیے، جن کے درمیان فاصلہ ہے :۔

15.11 ایک دونوںسروں پر بندھی ہوئی ڈوری کاعرضی نقل دیا جاتا ہے :

جہاں x اورyسینٹی میٹر میں اورtسیکنڈ میں۔ ڈوری کی لمبائی 1.5mاوراس کی کمیت  ہے۔  

مندرجہ ذیل کے جواب دیجیے:

(a) تفاعل ایک رواں لہرکو ظاہر کرتا ہے یا مقیم لہرکو؟

(b) اس لہرکی، مخالف سمتوں میں حرکت کرتی ہوئی دو لہروں کے انطباق کے بہ طور، تشریح کیجیے۔ ہر لہر کی طول لہر ، تعدد اورچال کیا ہے ؟

(c) ڈوری میں تناؤ معلوم کیجیے۔

15.12 (i) مشق 15.11میں بیان کی گئی ڈوری پر، کیا ڈوری کے تمام نقاط  یکساں

(a) تعدد

(b) فیز

  (c)سعت سے اہتراز کرتے ہیں؟اپنے جوابات کی وضاحت کیجیے۔

(ii)ایک نقطہ جو ایک سرے 0.375mدور ہے، اس پر سعت کتنی ہے؟  

15.13 نیچے ایک لچکیلی لہر کے نقل کو ظاہر کرنے کے لیے (عرضی یاطولی نقل)، xاورtکے کچھ تفاعلات دیے گئے ہیں۔  

بتائیے کہ ان میں سے کون ظاہر کرتے ہیں (i)ایک رواں لہر (ii)ایک قائم لہر یا (iii)کوئی لہر نہیں۔

15.14 دو استوار سہاروں کے درمیان تنا ہواایک تار، 45Hzکے تعدد کے ساتھ ، اپنے اساسی موڈ میں اہتراز کرتا ہے۔ تار کی کمیت  اوراس کی خطی کمیت کثافت  ہے۔ (a) تار پر عرضی لہر کی چال کیا ہے ؟ (a)تارمیں تناؤ کتنا ہے۔  

15.15 ایک میٹرلمبی ایک ٹیوب کا ایک سرا کھلا ہے اوردوسرے سرے پر حرکت کر سکنے والا پسٹن لگا ہے۔ جب ٹیوب کی لمبائی 25.5cmیا 79.3cmہوتی ہے تو یہ ایک معین تعدد والے وسیلے (340Hzکی ٹیوننگ فارک) سے گمک ظاہر کرتی ہے۔ تجربہ کے درجہ حرارت پر ہوا میں آواز کی رفتار کا تخمینہ لگائیے۔ کنارہ اثرات (edge effects)نظر انداز کیے جا سکتے ہیں۔  

15.16 100cmلمبی فولادی چھڑ، اپنے وسطی نقطہ پربندھی ہوئی ہے۔ چھڑ کے طولی ارتعاشوں کا بنیادی تعدد 2.53kHzہے۔ فولاد میں آواز کی رفتار کیا ہے ؟

15.17 ایک 20cmلمبا پائپ ایک سرے پر بند ہے ۔ ایک 430Hzکے وسیلے سے پائپ کا کون سا ہارمونی موڈ گمک کرے گا؟ کیا یہی وسیلہ پائپ کے ساتھ جب بھی گمک کرے گا اگرپائپ کے دونوں سرے کھلے ہوں؟ (ہوا میں آواز کی رفتار  ہے۔

15.18 ستارکے دو تار Aاور Bایک دوسرے سے لے میں تھوڑے باہر ہیں (Gaسُر میں ) اور6Hzتعدد کی ضرب پیدا کرتے ہیں۔ تار Aمیں تناؤ کو کچھ کم کیا جاتا ہے اورضرب تعدد کم ہو کر 3Hzہو جاتا ہے ۔ اگر Aکا آغازی تعدد 324Hzہے ، تو B کا تعدد کیا ہے ؟

15.19 وضاحت کیجیے کیوں (یا کیسے) :

(a) ایک آواز کی لہر میں ، ایک نقل نوڈ ایک دباؤ اینٹی نوڈ ہوتا ہے اوراس کے برخلاف بھی ۔  

(b) چمگادڑیں بغیر آنکھوں کے بھی ، فاصلے ، سمتیں اوررکاوٹوں کی طبع اور سائز معلوم کر لیتی ہیں۔

(c) ایک وائلن سر اور ایک ستار سر کا تعدد اگر یکساں ہوتو بھی ہم ان دونوں کے سروں میں فرق کر سکتے ہیں۔

(d) ٹھوس اشیا ، طولی اورعرضی دونوں لہروں کو سہار سکتے ہیں، جب کہ گیسوں میں سے صرف طولی لہریں گذرسکتی ہیں۔

(e) ایک انکساری واسطے (Dipressive medium)میں سے گذرتے ہوئے ایک پلس کی شکل خراب ہو جاتی ہے۔

15.20 ایک اسٹیشن کے باہر سگنل پرکھڑی ریل گاڑی ، 400Hzتعدد کی ، ساکت ہوا میں ، سیٹی بجاتی ہے ۔(a)ایک پلیٹ فارم پر کھڑے مشاہد کے لیے سیٹی کا تعدد کیا ہوگا  جب  ٹرین(a)کی چال سے پلیٹ فار م کی طرف آتی ہے (b)پلیٹ فارم سےکی رفتار سے دور جاتی ہے۔ (ii)دونوں میں سے ہر صورت میں آواز کی رفتا ر کیا ہے ؟ ساکت ہوا میں آواز کی رفتار  ہے۔

15.21 ایک اسٹیشن یارڈ میں کھڑی ٹرین، ساکت ہوا میں400Hzتعد د کی سیٹی بجاتی ہے۔ یارڈ سے اسٹیشن کی جانب، ہوا  کی چال سے ، چلنے لگتی ہے۔ ایک اسٹیشن کے پلیٹ فارم پر کھڑے مشاہد کے لیے آواز کی تعدد ، سعت اور چال کی قدریں کیا ہیں۔ کیا یہ صورت بالکل دیسی ہی ہے (متماثل ہے)، جیسے کہ ہوا ساکت ہو، اورمشاہد یارڈ کی جانب  کی چال سے دوڑے؟ ساکت ہوا میں آواز کی رفتار  کی  جا سکتی ہے ۔

15.22 ایک ڈوری پر ایک رواں ہارمونی لہر، بیان کی جاتی ہے :

پر ایک نقطہ کے اہتراز کے نقل اوررفتار کیا ہوں گے؟

(b) ڈوری کے ان نقاط کے مقام معلوم کیجیے جن کے عرضی نقل اور رفتار کی قدریں وہیں ہوں گی جو x=1cmنقطہ کی t=2s, 11s 5s پرہیں۔

15.23 ایک پتلی آواز پلس ایک واسطے میں سے بھیجی جاتی ہے (a)کیا اس پلس کی متعین ہے (i)تعدد (ii)طول موج (iii)اشاعت کی چال (b)اگر پلس شرح، ہر 20Sپر 1ہے (یعنی کہ سیٹی ہر 20Sبعد ، سیکنڈ کے ایک ذرا سے حصے کے لیے بجائی جاتی ہے )، توسیٹی کے ذریعے پیدا کیے گئے سر کا تعدد کیا 1/20یا 0.5Hzکے مساوی ہوگا۔

15.24 ایک خطی کمیت کثافت  کی ڈوری کا ایک سرا ،256Hzتعدد کی بجلی سے چلنے والی ٹیونک فارک سے منسلک ہے ۔دوسرا سرا ایک گراری سے گذرتا ہوا ایک پلڑے سے بندھا ہے، جس میں 90Kgکی کمیت رکھی ہے۔ گراری کا سرا آرہی ساری توانائی جذب کرلیتا ہے ، اس طرح کہ اس سرے پرمنعکس لہروں کی سعت نظر انداز کی جا سکتی ہے۔ t=0پر، بایاں سرا( فورک کا سرا)، x=0کا عرضی نقل (y=0)صفر ہے اوروہ مثبت yسمت میں حرکت کر رہا ہے ۔ لہر کی سعتcm 5.0ہے۔ ڈوری پرلہر کو بیان کرنے والا عرضی نقل y، بہ طورتفاعل xاور t، لکھیے۔

15.25 ایک پن ڈبی میں نصب سونار نظام 40.0KHzکے تعدد پر کام کرتا ہے۔دشمن کی ایک پن ڈبی،کی رفتار سے سونار کی طرف آتی ہے۔ پن ڈبی سے منعکس ہوئی آواز کا تعدد کیا ہے ؟ پانی میں آواز کی رفتارلیجیے۔

15.26 زلزلے زمین کے اندر آواز کی لہریں پیدا کرتے ہیں۔ ایک گیس کے برخلاف، زمین عرضی، (s)اورطولی (p)دونوں آواز کی لہریں محسوس کرسکتی ہے۔ sلہر کی رفتار  ہے۔ ایک زلزلہ نگار ایک زلزلے کی PاورSلہریں ریکارڈ کرتا ہے۔ پہلی Pلہر ، پہلی Sلہر سے 4.0منٹ پہلے آتی ہے۔ یہ فرض کرتے ہوئے کہ لہریں خط مستقیم میں حرکت کرتی ہیں، بتائیے کہ زلزلہ کتنے فاصلے پر آیا۔

15.27 ایک چمگادڑایک غار میں چکر کاٹ رہی ہے اوربالا صوتی آواز کے ذریعے راستہ تلاش کر رہی ہے۔ یہ فرض کرتے ہوئے کہ چمگادڑ کا آواز خارج کرنے کا تعد د40KHzہے۔ ایک سیدھی دیوار کی طرف ایک بار براہ راست اڑاتے ہوئے چمگادڑ ہوا میں آواز کی رفتار کے 0.03کی رفتار سے اڑتی ہے۔ دیوار سے منعکس ہونے کے بعد چمگادڑ کیا تعد د سنتی ہے؟